7/21/2019 Le Microscope a Effet Tunnel-solution

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LE MICROSCOPE A EFFET TUNNEL

corrige

La marche de potentiel

1. La fonction d’onde   ψ(x) de la particule est solution de l’equation deSchrodinger dans chaque region 1 et 2, soit en utilisant les constantespositives k  et ρ :

  ψ(x) + k2ψ(x) = 0 pour  x ≤ 0ψ(x) − ρ2ψ(x) = 0 pour  x ≥ 0

En integrant ces equations, on obtient les expressions generales suivantes,ou  A,  A,  B  et B sont des constantes :

ψ(x) =

  Aeikx + Ae−ikx pour  x ≤ 0Beρx + Be−ρx pour x ≥ 0

Pour determiner les constantes, il faut utiliser les condition suivantes :

– la fonction d’onde doit etre bornee en +∞, donc B  = 0.

– la fonction d’onde doit etre continue en  x  = 0, donc  A + A = B .

– la derivee de la fonction d’onde doit etre continue en  x   = 0, doncik(A − A) = −ρB.

Ces trois conditions donnent la solution suivante :

ψ(x) =

A(eikx + k − iρ

k + iρe−ikx) pour x ≤ 0

A  2k

k + iρe−ρx pour  x ≥ 0

La constante A  peut etre obtenue en ecrivant que  |ψ|2

est une densite deprobabilite, et donc que :

   +∞−∞

|ψ|2dx = 1

Toutefois, il est important de noter que, dans ce cas, cela conduirait a lacondition A  = 0 pour que du cote de −∞ la fonction tende vers 0. En fait,la particule ne peut pas etre emise depuis   −∞. Elle provient forcementd’une boıte de largeur finie (entre x  = −L et  x  = 0). En supposant que lepotentiel est infini pour  x ≤ −L, la condition ci-dessus donne une valeurde A   fonction de α  en remplacant  −∞  par  −L. De plus, dans ce cas (qui

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correspond a un puits de potentiel de largeur  L, l’energie de la particule

sera quantifiee.2. Dans l’expression de la fonction d’onde pour x ≤ 0, si on note ψI  le terme

en  eikx, soit  ψI (x) = Aeikx, celui-ci represente l’onde se propageant versles x  croissants. C’est l’onde incidente sur la marche. De meme, en notantψR celui en   e−ikx, soit   ψR(x) =   Ak−iρ

k+iρe−ikx, celui-ci donne l’onde se

propageant vers les x  decroissants. C’est l’onde reflechie par la marche. Lerapport des densites de probabilites associees a ces deux ondes representela possibilite d’observer une onde reflechie pour une onde incidente. Lecoefficient de reflexion  R  est donc :

R =  |ψR|2

|ψI |2  =

  |k − iρ|2

|k + iρ|2  = 1

La valeur de 1 signifie que la particule est totalement reflechie.3. La densite de probabilite de presence de la particule dans la region 2 est

donnee par  |ψ|2 a partir de l’expression de  ψ  pour x ≥ 0. On obtient :

 p(x) = |ψ|2 = 4A2   k2

k2 + ρ2e−2ρx

Cette densite de probabilite est non nulle. Il existe donc une onde evanescentenon nulle dans la region 2. On voit que la valeur de la constante ρ  donnela vitesse a laquelle cette probabilite decroıt dans la region 2.

La barriere de potentiel

1. En utilisant le meme raisonnement que precedemment, on obtient les ex-pressions generales suivantes, ou A, A, B, B , C  et  C  sont des constantes:

ψ(x) =

Aeikx + Ae−ikx pour  x ≤ 0Beρx + Be−ρx pour 0 ≤ x ≤ a

Ceikx + C e−ikx pour x ≥ a

Pour determiner les constantes, il faut utiliser les condition suivantes :

– il ne peut y avoir d’onde reflechie en +∞, donc C  = 0.

– la fonction d’onde doit etre continue en  x  = 0, donc A+A = B +B.

– la derivee de la fonction d’onde doit etre continue en  x   = 0, donc

ik(A − A

) = ρ(B − B

).– la fonction d’onde doit etre continue en  x  =  a, donc Ceika = Beρa +Be−ρa.

– la derivee de la fonction d’onde doit etre continue en   x   =  a, doncikCeika = ρ(Beρa − Be−ρa).

Ces cinq conditions donnent un systeme d’equations comportant quatreequations pour quatre inconnues. En effet, les constantes A,  B,  B et  C seront determinees en fonction de la constante  A. Comme dans le cas dela marche de potentiel, la constante  A   peut ensuite etre determinee enecrivant que   |ψ|2 est une densite de probabilite, et en tenant compte du

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fait que la particule ne peut pas provenir de  −∞. Le systeme obtenu est

le suivant en notant α =  k/ρ :

−A + B + B = AiαA + B − B = iαA

Beρa + Be−ρa − Ceika = 0

Beρa − Be−ρa − iαCeika = 0

Pour alleger les notations, il est commode d’introduire la quantite sui-vante :

D =  1

2((1 + iα)2e−ρa − (1 − iα)2eρa) = 2iα cosh(ρa) − (1 − α2) sinh(ρa)

Le systeme d’equations peut maintenant etre reduit pour obtenir  B  et B

en fonction de  A :

  (1 + iα)B − (1 − iα)B = 2iαA(1 − iα)eρaB − (1 + iα)e−ρaB = 0

  ⇒

B =  iα(1 + iα)e−ρa

D  A

B =  iα(1 − iα)eρa

D  A

On peut maintenant exprimer les constantes  A et C  en fonction de  A, al’aide des relations precedentes :

A = B  + B − A =  (α2 + 1) sinh(ρa)

D

  A

C  = e−ika(Beρa + Be−ρa) =  e−ika2iα

D A

Finalement, la fonction d’onde ψ  decrivant l’etat de la particule s’ecrit dela facon suivante:

ψ(x) =

A

eikx +

 (α2 + 1) sinh(ρa)

D  e−ikx

  pour  x ≤ 0

A

iα(1 + iα)eρ(x−a) + iα(1 − iα)e−ρ(x−a)

D

 pour 0 ≤ x ≤ a

A2iα

D eik(x−a) pour x ≥ a

2. Comme dans le cas precedent, on peut dire que le terme  ψI  = Aeikx (pourx ≤ 0) dans la fonction d’onde ψ  represente l’onde incidente sur la barrierede potentiel. De meme, l’onde transmise sera le terme  ψT  = Ceikx (pourx ≥ a). Le coefficient de transmission  T   sera donc logiquement le rapportentre les probabilites de presence associees a ψI  et a  ψT , soit:

T   =  |ψT |2

|ψI |2  =

  1

1 +  V  2

0

4E (V  0−E ) sinh2(ρa)

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