LECCIÓN 10: PLACAS Y LÁMINAS

SESIÓN I

TEORÍA DE PLACAS (I)

CONCEPTO DE PLACA E HIPÓTESIS FUNDAMENTALES

PLACA: Elemento estructural plano sometido a cargas perpendiculares al plano que contiene la placa. En ellas, una de las dimensiones: espesor es menor que las otras dos.

En función del espesor, las placas se clasifican en:

- DELGADAS; su espesor (e) es inferior a 1/5 (1/10 para que sea estrictamente” aplicable la teoría de Kirchoff) de la menor dimensión (a ó b)

- GRUESAS; e > a/5

La principal diferencia de comportamiento es que en las primeras los cortantes son de escasa importancia y los desplazamientos se pueden considerar independientes de ellos.

En el caso más general, la placa responde a las cargas que la solicita mediante su flexión. Dicha flexión genera los siguientes ESFUERZOS:

- dos esfuerzos cortantes (Qx y Qy)

- dos momentos flectores (Mx y My)

- un momento torsor (Mxy)

A su vez estos esfuerzos resultan de las siguientes TENSIONES:

- tensiones tangenciales (τxz y τyz)

- tensiones normales (σx y σy)

- tensión tangencial (τxy)

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CRITERIO DE SIGNOS:

- Son positivos los flectores que dan tracciones en la cara de z positiva

- Son positivos los cortantes los que en las caras positivas tienen el sentido de las z positivas

- Los torsores positivos se recogen en el gráfico:

HIPÓTESIS DE CÁLCULO

1. El material es homogéneo, isótropo y perfectamente elástico: cumple la ley de Hooke

2. Los desplazamientos de los puntos de la placa son muy pequeños comparados con su espesor

HIPÓTESIS DE KIRCHOFF (similares a las hipótesis de Navier en flexión de vigas). Sólo se cumplen en placas delgadas (e < a/10), en las que los movimientos provocados por los esfuerzos cortantes pueden despreciarse.

3. Las normales al plano medio de la placa se mantienen rectas tras la deformación, y dichas normales se mantienen ortogonales a la deformada del plano medio de la placa

4. La tensión normal al plano medio de la placa puede considerarse despreciable: ESTADO DE TENSIÓN PLANA (σz = 0)

5. LOS PUNTOS DEL PLANO MEDIO ÚNICAMENTE TIENEN DESPLAZAMIENTO VERTICAL (ω).

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e

Al cumplir con las hipótesis de Kirchoff, el movimiento vertical (flecha) de cualquier punto del plano medio la placa podrá expresarse mediante una función independiente de “z”:

ω = ω(x,y)

Recordemos que por hipótesis, los puntos del plano medio sólo pueden tener movimientos verticales.

Demostraremos que en este caso, cumplimiento de las hipótesis de Kirchoff, los desplazamientos de cualquier punto de la placa (u,v,w) son sólo función de los de su plano medio:

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Pero al considerar, según Kirchoff, que “una normal al plano medio se mantiene normal a la superficie deformada”, el problema se simplifica:

En definitiva, conocida la función de flechas (ω), que son los movimientos de los puntos del plano medio, podremos conocer el resto de movimientos de puntos no contenidos en el plano medio:

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FLEXIÓN DE PLACAS, TENSIONES Y DEFORMACIONES

Para resolver el problema, como en cualquier otro problema elástico, contamos con:

1. ECUACIONES DE EQUILIBRIO, relacionan las cargas exteriores con los esfuerzos

2. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD, relacionan los movimientos con las deformaciones

3. ECUACIONES CONSTITUTIVAS o de COMPORTAMIENTO, relacionan tensiones y deformaciones

En el caso particular de la flexión de placas resulta útil disponer de las relaciones entre ESFUERZOS Y TENSIONES, ya que de este modo la formulación posterior se simplifica. Dado que los esfuerzos resultan de la integración de las tensiones a los largo del elemento, tendremos:

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Estas expresiones también se conocen como TENSIONES GENERALIZADAS

1º Aplicamos las ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD (movimientos versus deformaciones):

2º APLICAMOS las ECUACIONES CONSTITUTIVAS/COMPORTAMIENTO (tensiones versus defomaciones)

Serán las ecuaciones correspondientes a la ley de Hooke generalizada pero aplicadas al caso de TENSIÓN PLANA (σz = 0):

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Sustituyendo en estas fórmulas, las relaciones deducidas y que expresaban las deformaciones en función de la DEFORMADA o ley de flechas de la placa, dispondremos de las ecuaciones que relacionan TENSIONES con MOVIMIENTOS:

Del mismo modo podemos continuar para obtener las ecuaciones que relacionan ESFUERZOS con MOVIMIENTOS:

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Con esto hemos sido capaces de expresar todas las incógnitas de la placa: DEFORMACIONES, TENSIONES Y ESFUERZOS en función sólo de la LEY DE FLECHAS de la misma.

Aún nos resta por aplicar las ECUACIONES DE EQUILIBRIO, que serán las que nos permitan obtener la ecuación diferencial final con la que poder resolver el problema: ECUACIÓN DE LAGRANGE.

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LECCIÓN 10: PLACAS Y LÁMINAS

SESIÓN II

TEORÍA DE PLACAS (y II)

ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL DESPLAZAMIENTO.

Las relaciones fundamentales que se obtuvieron en la sesión anterior se habían conseguido tras la aplicación sucesiva de las ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD, y más tarde las CONSTITUTIVAS.

Con ellas habíamos conseguido expresar todas las incógnitas del problema: tensiones, deformaciones y movimientos, en función de una única incógnita, que resultaba ser la LEY DE DESPLAZAMIENTO O FLECHAS de la placa: ω = ω(x,y).

Necesitamos por tanto disponer de una ecuación adicional para conseguir resolver la incógnita de que disponemos. Dicha ecuación resultará tras la aplicación de la ECUACIÓN DE EQUILIBRIO a un elemento diferencial de placa.

Estas tres ecuaciones: (1), (2) Y (3), resultantes del equilibrio de fuerzas verticales y momentos, pueden combinarse en una única, derivando las expresiones (2) y (3) y sustituyéndolas en (1):

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Si ahora utilizamos las expresiones de los momentos Mx, My y Mxy, en función de la ley de flechas, que se dedujo en la sesión pasada, obtendremos una única relación que ligue los desplazamientos de la placa (ley de flechas) con las cargas aplicadas sobre la misma:

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Esta ecuación diferencial de cuarto orden, conocida como ECUACIÓN DE LAGRANGE, nos va a permitir, mediante su resolución obtener la ley de deformaciones/flechas de la placa; ω(x,y) - y a partir de ella todo el resto de magnitudes -, para una ley de cargas dada: P(x,y).

La ecuación de Lagrange se trata de una expresión matemática bien conocida y para cuya resolución se han desarrollado diferentes métodos.

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL:

CONDICIONES DE CONTORNO

Para resolver cualquier ecuación diferencial necesitamos conocer las “condiciones de contorno” que debe satisfacer la misma. En el caso de las placas, cuyo comportamiento está regido como hemos visto por una ecu. diferencial de cuarto orden, estas condiciones de contorno tienen un sentido físico concreto.

En las placas las condiciones de contorno serían:

- valores de la función de flechas en los bordes de la placa, o

- valores de la derivada segunda de la función de flechas (momentos flectores) en los bordes

Dependiendo del tipo de estas condiciones de contorno, la ecuación diferencial puede tener una solución exacta y conocida, o bien exigir la utilización de métodos de aproximación matemática (cálculo numérico) para su resolución. Nosotros nos ocuparemos del primer caso.

Para placas rectangulares con sus CUATRO BORDES APOYADOS, es posible aplicar el método de NAVIER para su resolución, mientras que para placas rectangulares con DOS BORDES PARALELOS APOYADOS acudiremos al de LEVI-NADAI.

MÉTODO DE NAVIER

Las condiciones de contorno de una placa con sus cuatro bordes SIMPLEMENTE APOYADOS serían:

1. ω = 0, para (0,y), (x,0), (a,y) y (x,b)

2. , para (0,y) y (a,y)

3. , para (x,0) y (x,b)

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Según Navier, la ecuación diferencial de Lagrange , sólo tendría

solución si la carga actuante sobre la placa pudiera expresarse como el producto de dos funciones armónicas senoidales; es decir, como:

Esto representaría una carga de la forma:

En este caso, la solución para la ecuación, es decir, la función de flechas, sería también una función armónica:

CUALQUIER FUNCIÓN BIDIMENSIONAL PUEDE EXPRESARSE COMO UN DESARROLLO EN SERIE DE SENOS (desarrollo de Fourier), en función de esto, podremos desarrollar en serie de senos la punción de carga: P(x,y):

los coeficientes de esta expresión se obtienen de:

y por lo visto anteriormente, la función solución (ley de flechas) sería también un desarrollo en serie de senos:

Cumpliéndose que:

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y

x

b

a

Obviamente, la expresión exacta de P(x,y) mediante el desarrollo en serie de Fourier sólo se conseguiría con un número infinito de términos, sin embargo si sólo nos interesa una “solución aproximada” podemos realizar sólo un desarrollo parcial en el que sólo se consideren unos pocos términos. De hecho, para cargas uniformes y puntuales resultaría suficiente con tomar únicamente el primer término del desarrollo:

CARGA UNIFORME: P(x,y) = q (KN/m2),

Siendo el primer término del desarrollo:

CARGA PUNTUAL: P (x,y) = P (KN) en (xo,yo) y 0 (KN) en el resto

En este caso:

Siendo el primer término:

MÉTODO DE LEVI-NADAI

Las condiciones de contorno de una placa rectangular (a x b) con dos bordes paralelos (suponemos el x=0 y el x=a) SIMPLEMENTE APOYADOS serían:

1. ω = 0, para (0,y), (a,y)

2. , para (0,y) y (a,y)

En este caso, si la función de carga P(x,y) puede expresarse como el producto de dos funciones en x e y separadas y de la forma:

La ecuación diferencial de Lagrange , tendría solución, y dicha

solución (función de flechas) sería también de la forma:

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Haciendo uso del desarrollo en serie de Fourier tendríamos:

IMPORT: la dirección del desarrollo (en este caso x) ha de ser NORMAL A LOS BORDES APOYADOS

siendo:

La expresión de Wm(y) sólo la podremos obtener en algunos casos particulares de carga o de sustentación de los otros dos bordes (no apoyados).

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PLACAS CIRCULARES

Un caso particular de placas son aquellas que poseen forma circular (simetría de revolución). En este caso, las expresiones deducidas para placas en coordenadas cartesianas se simplifican si elegimos como sistema de referencia COORDENADAS CILÍNDICAS: r, θ y z.

La equivalencia entre coordenadas cartesianas y cilíndricas es:

x = r cos θ

y = r sen θ

z =z

Un ejemplo práctico de este tipo de placas lo encontramos en las losas de cimentaciones de silos, depósitos circulares, antenas de comunicación, mástiles, etc.

Si aislamos un elemento diferencial de placa circular, y elegimos un sistema de referencia en coordenadas cilíndricas (el eje z positivo hacia abajo), nos aparecerán los siguientes esfuerzos:

Las tensiones aquí dibujadas, integradas nos darán los esfuerzos correspondientes,, cuya expresión es análoga a la ya deducida para coordenadas cartesianas:

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Si de manera análoga a como hicimos en coordenadas cartesianas, aplicáramos las condiciones de equilibrio a estos esfuerzos, obtendríamos la ECUACIÓN DE LAGRANGE en coordenadas cilíndricas:

Esta expresión, formalmente más compleja que la deducida para coordenadas cartesianas, se simplifica enormemente en el caso de que las CARGAS que actúan sobre la placa tengan también SIMETRÍA DE REVOLUCIÓN, en este caso la función:

P(r, θ) se simplifica ya que resulta independiente de θ, por lo que tenemos:

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P(r, θ) = P(r)

En esta función, todas las derivadas respecto de θ son nulas y las derivadas parciales respecto de “r” son derivadas totales. En este caso, la ECU. DE LAGRANGE queda:

En este caso, la ecuación presenta una “derivación en cadena” de ω, de manera que para despejar debemos hacer una “integración sucesiva” del término P(r)/D, obteniendo:

Las cuatro constantes: C0, C1, C2, y C3, se calcularán haciendo uso de las condiciones de contorno:

Las expresiones de los esfuerzos, momentos flectores y cortantes, para placas de simetría de revolución con carga simétrica quedarían:

El cortante en la dirección radial también puede expresarse como:

Expresión MUY INTERESANTE, ya que permite determinar directamente Co, ya que Qr puede determinarse por equilibrio de fuerzas.

Respecto al resto de condiciones de contorno:

en toda placa que incluya el origen (r=0), C2 = 0

si además no existe ninguna fuerza puntual aplicada en el origen, Co = 0

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EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UNA PLACA SIMPLEMENTE APOYADA

EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UNA PLACA CIRCULAR