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L’échange naturel
Le choix individuel de Robinson l’amène à déterminer les termes d’un contrat naturel d’échange, selon lequel, en échange des quantités de travail offertes dans chacune des branches, il obtient les quantités de biens qu’il demande à la nature.
Robinson peut également, dans une extension du modèle, calculer de manière endogène sa quantité de travail.
L’échange naturel
1) Le contrat d’échange naturel
2) Le contrat naturel de travail
Le contrat naturel d’échange
Le comportement de Robinson est un programme de maximisation selon lequel Robinson choisit de consommer les quantités de biens qui maximisent son utilité sous sa contrainte technique
Quantités qui maximisent l’utilité
Égalité entre offre et demande sur chaque marché
Les quantités seront produites par le travail de Robinson
Contrainte de temps de travail
Le programme de RobinsonLe programme de Robinson
21
21,
s.c.
2,1pour )( s.c.
2,1pour s.c.
),(21
ttt
htfy
hyx
xxUMax
hhh
hh
xx
Les relations de Robinson aux biens sont construites dans un double espace : celui des préférences et celui des techniques
Le contrat naturel d’échange
Etude graphique de la solutionEtude graphique de la solution
x2
x1
y2
y1
En utilisant l’égalité offre-demande pour chaque bien de la contrainte, on peut analyser graphiquement la décision de Robinson sur un même graphique.
Les préférences de Robinson étant strictement croissantes, parmi le grand nombre de paniers de consommation situés sur sa frontière de possibilités techniques de production, Robinson choisit un panier situé sur sa courbe d’indifférence la plus éloigné de l’origine, qui lui permet ainsi d’atteindre le niveau d’utilité le plus élevé
Le contrat naturel d’échange
Etude graphique de la solutionEtude graphique de la solution
x2
x1
U2
U*U1
x2a
x2b
x1a x1b
xa
xb
x2*
x1*
x*
Sous l’hypothèse de convexité des préférences, la pente en valeur absolue en x* est égal à la pente en valeur absolue de la frontière des possibilités techniques de production
Les quantités x1* et x2* vérifient donc l’égalité suivante :
Le contrat naturel d’échange
Etude graphique de la solutionEtude graphique de la solution
x2
x1
U2
U*U1
x2a
x2b
x1a x1b
xa
xb
x2*
x1*
x*
2,1pour avec
),(),(**
*2
*11/2
*2
*11/2
hyx
yyTMSTxxTMS
hh
A ce point de tangence, si l’on reprend l’ensemble des résultats précédents, on montre que l’équilibre est un optimum de Pareto, au sens ou toute modification de la structure de consommation et de production entraîne une perte de bien-être pour la société, composée de Robinson lui seul
et
On retrouve la seconde loi de Gossen, selon laquelle Robinson égalise les utilités marginales des biens consommés, pondérées par leur prix, c’est à dire leur coût marginal
2
1
2
1
Um
Um
dx
dx
)(
)(
1'
1
2'
2
1
2
tf
tf
dy
dy
)(
)(
22
11
1
2
yCm
yCm
dy
dy
Le contrat naturel d’échange
Optimum de Pareto : première définitionOptimum de Pareto : première définition
)(
)(
1'
1
2'
2
2
1
tf
tf
Um
Um
2
2
1
1
Cm
Um
Cm
Um
Le contrat naturel de travail
Le temps de travail de Robinson n’est plus fixé ex ante, mais devient une variable endogène de son programme de maximisation
On suppose H = T – L, où H est le temps de travail, T l’équivalent d’une journée et L le temps de loisirs
Nouvelles données et hypothèsesNouvelles données et hypothèses
Robinson doit choisir une quantité de travail qui maximise son utilité La durée de travail devient donc une variable de sa fonction d’utilité, c’est
donc une variable endogène Pour simplifier l’analyse, l’économie de Robinson ne comporte plus qu’un
seul bien de consommation X La fonction d’utilité de Robinson prend donc la forme suivante :
Le contrat naturel de travail
Nouvelles données et hypothèsesNouvelles données et hypothèses
0et 0 avec )(),( βαLTXLXU
L’utilité est une fonction croissante par rapport aux biens de consommation
L’utilité est une fonction décroissante de sa durée de travail. On dit que le travail est une source de désutilité
Le contrat naturel de travail
Nouvelles données et hypothèsesNouvelles données et hypothèses
0),(
XUm
X
LXU
0),(
LUm
L
LXU
Les courbes d’indifférences de Robinson sont croissantes car la durée de travail et la consommation ne sont des biens substituables en vue d’augmenter l’utilité
Le contrat naturel de travail
Nouvelles données et hypothèsesNouvelles données et hypothèses
X
LTLBLCLA
XB
XC
XAA
BC
Le taux marginal de substitution de la consommation au travail, pour une combinaison (X,L) donnée, mesure la quantité de consommation que Robinson est prêt à perdre en échange d’une baisse d’une unité de sa durée du travail
Le Tms est croissant avec les quantités de travail. Autrement dit, plus la durée de travail est élevée, plus la quantité de consommation qu’il exige en échange d’une augmentation de la quantité de travail est élevée
Le contrat naturel de travail
Nouvelles données et hypothèsesNouvelles données et hypothèses
dL
dX
L
XLXTMS
LLX
0
/ lim),(
X
LT
A
B
C
Le Tms permettant d’étudier des petites variations pour un niveau d’utilité inchangé, on peut écrire :
D’où le Tms est égal au rapport des utilités marginales
Le contrat naturel de travail
Nouvelles données et hypothèsesNouvelles données et hypothèses
0 dLUmdXUmdU LX
X
L
Um
Um
dL
dX
La fonction de production de Robinson prend la forme suivante
La production est une fonction croissante de la quantité de travail
Le contrat naturel de travail
Nouvelles données et hypothèsesNouvelles données et hypothèses
)(LfY
0)(' Lf
Le programme de maximisation de Robinson consiste alors à déterminer la quantité de consommation X* et la durée de travail L* qui maximisent son utilité sous sa contrainte technique
Quantités qui maximisent l’utilité
Egalité offre-demande
Contrainte technique
Le contrat naturel de travail
Nouvelles données et hypothèsesNouvelles données et hypothèses
)( .
.
)(),(,
LfYcs
LXcs
LTXLXUMaxLX
Le contrat naturel de travail
Etude graphique de la solutionEtude graphique de la solution
X
LT
X=Y
LT
Les relations de Robinson à la consommation et au travail sont construites dans un double espace : celui des préférences et celui des techniques
Robinson choisit un couple (X*,L*) qui correspond au point de tangence entre la courbe d’indifférence la plus élevée et sa fonction de production.
A ce point, les quantités optimales de consommation et de travail vérifie l’égalité entre le taux marginal de substitution entre la consommation et le travail et la productivité marginale du travail
Le contrat naturel de travail
Etude graphique de la solutionEtude graphique de la solution
X
LT
XB
X*
XA
LA L* LB
A
E
B
*)('*)*,(/ LfLXTMS LX
Au point A, Robinson observe que la productivité marginale du travail est supérieure au taux marginal du substitution, donc si Robinson augmente d’une unité sa durée de travail, il obtient en retour une quantité de bien supérieure à celle qu’il exige pour compenser la désutilité de son travail supplémentaire.
Au point B, Robinson observe que la productivité marginale du travail est inférieure au taux marginal du substitution, donc si Robinson diminue d’une unité sa durée de travail, la quantité de consommation qu’il perdra sera inférieure à celle qu’il est prêt à perdre contre une baisse d’une unité de sa durée de travail
Son temps de loisir est alors H*
Le contrat naturel de travail
Etude graphique de la solutionEtude graphique de la solution
X
LT
XB
X*
XA
LA L* LB
A
E
B
H*
De plus, au point E, on a :
Ce qui signifie que la valeur que Robinson attribue au bien est égal à son coût marginal
Enfin, le couple (X*,L*) est un optimum de Pareto au sens où tout autre panier de production situé sur sa fonction de production entraîne une détérioration du bien-être de Robinson
Le contrat naturel de travail
Etude graphique de la solutionEtude graphique de la solution
X
LT
XB
X*
XA
LA L* LB
A
E
B
H*
*)(*)*,(/ LCmLXTMS XL