Leçons de la Nature L’os et le bambou

28 janvier 2009 Journée de rencontre Lions/D'Alembert Biomécanique

1

Leçons de la Nature

L’os et le bambou

Cécile BaronInstitut Jean Le Rond D’Alembert – UMR CNRS

7190Université Pierre et Marie Curie – Paris 6

Journée de rencontre Lions – D’Alembert

Biomécanique


2

FGM, qu’est-ce que c’est ?

Biomécanique Aéronautique et aérospatiale

Functionnally Graded Materials : matériaux à gradient de propriétés.

• Matériau hétérogène ou non-homogène ? Une seule phase.

• Les propriétés mécaniques et/ou thermiques du matériau varient progressivement selon une direction de l’espace. Cette variation « lente » des propriétés peut être due à une variation de la (micro)structure (porosité) ou de la composition du matériau. Rq : selon l’échelle d’observation, un matériau à hétérogénéité unidirectionnelle peut être un matériau à variation « continue » ou stratifié.

• Intérêt des Functionnally Graded Materials : éviter les concentrations de contraintes dues aux interfaces et améliorer les propriétés mécaniques et thermiques des pièces par association de matériau

Automobile Etc.


3

Des milieux biologiques à gradient de propriétés

• Les milieux biologiques, après des millions d’années d’évolution présentent des (micro)structures à gradient de propriétés. Les milieux vivants sont des milieux adaptatifs / environnement.

L’os

Le bambou

Mais aussi, le coquillage, les dents, les ailes de certains insectes etc.


4

Des milieux biologiques à gradient de propriétés


5

Hétérogénéité unidirectionnelle

• Milieux stratifiés

• Milieux continûment variables

Aki-Richard, 1980

Fonction constante par morceaux

Problème de Thomson-HaskellSolutions analytiques connues pour

les couches homogènes+raccords aux interfaces + Conditions aux limites

OU conservation de la continuité des profils de

propriétés

Fonctions spécialespour des profils

particuliers (ex : couche de Epstein)

Développement en série de Peano du matricant pour des profils quelconques


6

Plaque FGM

solide 3 3 1 , 6, ij i j

x c x

2x

3x

1x0

d

fluide 1

fluide 2

1 1,f fc

2 2,f fc

Direction de propagation

Dir

ectio

n d’

hété

rogé

néité

Modes propres (courbes de dispersion)Spectre fréquentiel des coefficients de réflexion et transmission


7

Equation d’onde et solution analytique

2 2

3 3 3 3 3 32

ijkli k kijkl

j l j l

Cu u ux x C x x x xt x x x x

termes d’hétérogénéité

Méthode originale pour conserver la continuité des profils de propriétés :

Solution explicite : Série de Peano du matricant M

1 3, ;s x Equation d'onde dans le domaine de Fourier état de réference

3 3 33

d x x xdx

η Q η 0

330

130

30

10

3 uux η

1333 ;, sxxCx ij QQ

dddxxx

x

x

x

x11

2033

03

3

03

3

03

, QQQIM

(Formalisme de Stroh)


8

Le développement en série de Peano

(Peano 1888; Pease, 1965; Aki-Richard, 1980; Kennett, 1983)

03 3 0

3 3 33

0 03 3

,, ,

, .

d x xx x x

dx

x x

MQ M

M I

dddxxx

x

x

x

x11

2033

03

3

03

3

03

, QQQIM

Écriture polynomiale : gain en temps de calcul et développements asymptotiques


9

Le développement en série de Peano

• Schéma récursif de construction : méthode des approximations successives

Convergence de la série : Si chaque composante de est une fonction bornée sur l’intervalle d’étude [a,b] alors la série est uniformément convergente (Kennett, 1983).

3xQ

0 03 33 3, lim ,

kx x x x

kM M

0

33

,d

xdx

k

k-1

M IM

Q M

3

03

13

0 03 3

1 1

1 2 2 1

,

,

.

x

x

x

x x

d

d d

0

k k-1

M I

M I Q M

I Q I Q

dddxxx

x

x

x

x11

2033

03

3

03

3

03

, QQQIM


10

Courbe de dispersion de l’onde de Rayleigh

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 2.5 3 3.5 4 4.5Cl (mm/s)

x 3 (mm

)

0 2 4 6 8 10 12 14

1.5

2

2.5

f (MHz)

V (m

m/

s)

Cij (x3), (x3)

d

x3

vide

1,7

1,8

1,9

2

2,1

2,2

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

numérique coté sainexpérimental coté sainnumérique coté dégradéexpérimental coté dégradé

f (MHz)

v (m

m/

s)

Confrontation à l’expérience

Objectif « problème inverse »

Plaque de microbéton EDFParamètres caractéristiques du profil

: - épaisseur de la zone dégradée ;- localisation du gradient ;- pente du gradient .Baron et al. Ultrasonics 2007


11

Diagnostic de l’ostéoporose : perspective

L’os cortical est un tissu vivant à gradient de propriétés.

Gradient de porosité =

gradient des coefficents de rigidité et de densité de masse

Résistance mécanique

GEOMETRIE + STRUCTURE + MATERIAUOsteoporoseObjectifs : problème inverse

1. Identifier le gradient des propriétés matérielles2. Forme du gradient de porosité (structure) 3. Stade de l’ostéoporose.

Baron et al., JASA (122), 2007


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Transmission axiale

c: angle critique pour les ondes longitudinales dans l’os Propagation de l’onde de tête à l’interface

Os

moelle

Tissus mous

Source Récepteurs

c c

x3 (direction radiale)

x1 (direction axiale)

Bossy et al., JASA 2002 ; Bossy et al. IEEE UFFC 2004

Skeletal site : multi-siteType of bone : cortical boneFrequency : 250kHz-2MHz Acoustic parameter : SOSTypical range : 3000-4000 m/s


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Guide d’onde plan

fluide 1

fluide 2

solide 3 3 1 , 6, ij i j

x c x

2x

3x

1x0 1 1,f fc

2 2,f fc

d

2

2

3 1 3 13

33 1 1

, ; , ; ;

, ; , ; .

f

f

u x d t u x d tx d

x d t p x d t

1

1

3 1 3 13

33 1 1

, 0; , 0; ;0

, 0; , 0; .

f

f

u x t u x tx

x t p x t

13 1 13 1 23 1 23 1, ; ,0; 0 , ; ,0; 0x d t x t x d t x t et

Fluides parfaits : contraintes de cisaillement nulles :

Les ondes P-SV waves se propagent dans le plan x2 = 0.


14

Conditions aux limites

1 1

3 3

33 33

00

( ) ,0 (0) ,00 0

0

u d uu d u

d d d

d

η M η M

Conditions aux limites et propriétés de propagateur du matricant

Expression analytique des coefficients de reflexion et de transmission :

1 1 1 22 1 4 2 3 (2)

1 33 1 2 4 1 2 1 2

2; exp ,

f f f fZ c c P P P PT s s d

P P Z P Z P Z Z

3 1 2 4 1 2 1 21

3 1 2 4 1 2 1 2; ,

P P Z P Z P Z ZR s

P P Z P Z P Z Z

2 21 1..4avec 1/ pour 1 or 2 and ,0

n nn f f i lkZ c s n P f M d


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Résultats

frequency × thickness (MHz.mm)

1 -

0.8 -

0.6 -

0.4 -

0.2 -

0 -

|R|


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Géométrie, anisotropie & hétérogénéité

• Peano & guide cylindrique anisotrope et hétérogèneOndes circonférentielles et axiales dans un cylindre creux à variation linéaire des et de .

Résistance osseuse aux phalanges par transmission transverse et/ou axiale.

ijC r r

fréquence × rayon extérieur (MHz.mm)

1/vitesse de phase (s/mm)

Cylindre creux d’os anisotrope à gradient

linéaire

ez

e

er

homogènegradient linéaire

Mesure de la vitesse ultrasonore de

l’enveloppe corticale aux phalanges par

transmission corticale transverse

P. Laugier et al. / ITBM-RBM 26

(2005)


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En question…

• Homogénéisation– Changement d’échelle : modéliser la variation des propriétés à l’échelle de

la microstructure par une variation continue des propriétés à l’échelle supérieure

• Evaluation de l’erreur– La série de Peano est convergente.– 2 sources d’erreur lors de l’évaluation numérique de la solution exacte :

• troncature de la série ;• évaluation numérique des intégrales (Simpson’s rule)

• Recherche de zéros/pôles– Newton-Raphson– dichotomie

• Problème inverse – optimisation– Méthode d’optimisation pour déterminer le profil de propriétés à partir de

mesure de courbes de dispersion ou de spectre fréquentiel des coefficients de réflexion et transmission


18

Merci !


19

Bones, sea shells, and bamboo are some typical examples ofnatural FGMs, which have evolved to their existing “optimally” graded

properties over millions of years to accommodate specific physical,chemical and biological environments that they expose

« Smart materials »


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• Homogénéisation de matériaux FGM?• Title: Modeling Bamboo as a Functionally Graded Material Author(s): Prof

Emilio Silva, Dr. Matthew Walters , Prof Glaucio Paulino Abstract: Natural fibers are promising for engineering applications due to their low cost. They are abundantly available in tropical and subtropical regions of the world, and they can be employed as construction materials. Among natural fibers, bamboo has been widely used for housing construction around the world. Bamboo is an optimized composite that exploits the concept of Functionally Graded Material (FGM). Biological structures such as bamboo have complicated microstructural shapes and material distribution, and thus the use of numerical methods such as the finite element method, and multiscale methods such as homogenization, can help to further understanding of the mechanical behavior of these materials. The objective of this work is to explore techniques such as the finite element method and homogenization to investigate the structural behavior of bamboo. The finite element formulation uses graded finite elements to capture the varying material distribution through the bamboo wall. To observe bamboo behavior under applied loads, simulations are conducted under multiple considerations such as a spatially-varying Young's modulus, an averaged Young's modulus, and orthotropic constitutive properties obtained from homogenization theory. The homogenization procedure uses effective, axisymmetric properties estimated from the spatially-varying bamboo composite. Three-dimensional models of bamboo cells were built and simulated under tension, torsion, and bending load cases.


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Équation d’onde : équation différentielle d’ordre 2

• Équations de l’élastodynamique :principe fondamental de la dynamique + loi de comportement (loi de Hooke)

• Champs harmoniques en x1et x2 et en t, se propageant dans le plan .

2

2i ij

ij

kij ijkl

l

uF

t xu

Cx

1 2 3 3 1 1 2 2, , , exp .x x x t x i k x k x t f A

1x 2x 1 3,x x 1x

3x

2x

direction de l’hétérogénéité

2 2

3 3 3 3 3 32i k ijkl k

ijklj l j l

u u C ux x C x x x x

t x x x x

Équation d’onde


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Définition et propriétés du matricant

• Définition : le matricant est LA matrice fondamentale solution de

• Propriétés– Existence : théorème de Picard-Lindelöf– Matrice de propagation

0 03 3 3 3,x x x xM

33 3

3

03

,

.

d xx x

dx

x

MQ M

M I

03 3, .x xMOn le note


23

Paramétrage et écriture polynomiale

• Formalisme de Stroh

– formulation de Lothe et Barnett

1 11 21 2

T 13 1 3

, ,,

,

nn nm nn

mm mn nn nm

N NN NN

N N N

3 2

3 1 1 11 2 T3 3 31 1 1

, ( , )x

x k v ikik x v

1U N NQ

T N I N

avec i ijkl lab a C b


24



– formulation de Thomson et Haskell

1 11 21 2

T 13 1 3

, ,,

,

nn nm nn

mm mn nn nm

N NN NN

N N N

3 1 1 2

3 1 2 T3 3 3 11 1

, ,i x s

x s ix s s

U N NQ

T N I N



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– formulation de Ingebrigsten et Tonning

1 11 21 2

T 13 1 3

, ,,

,

nn nm nn

mm mn nn nm

N NN NN

N N N

3 1 1 2

3 1 2 T3 1 3 3 1 1

, , .x k

x k ii x k k

U N NQ

T N I N



26


– Formulation de Lothe et Barnett

– Formulation dite de Thomson et Haskell

– Formulation de Ingebrigsten et Tonning

3 2

3 1 2 T3 3 31 11

1 11, ( , )vv

xx i

i xk

kk

1U N NQ

T N I N

3 1 2

3 2 T3 3

11

11 3 1, ,

i sx

sx

isx

s

U N NQ

T N I N

3 1 2

3 21

11

T3 3 13 1

, , .kx

x ii x

kk k

U N NQ

T N I N

factorisation

factorisation

factorisation


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• Formulation de Thomson et Haskell

– ondes SH – système

– ondes P-SV – système

44 3 2

3 323 66 3 21 3

0 1 /,

0C

sx i u

x i xx C x

Q

55 3

13 333 3 1

33 3 33 3

1313 323 3 33

33 3

3

1

1

1 1

1

0 1 / 0

0 0 1 /,

0 0

0 0

C xC x

C x i uC x i ux i xC x

x xC x

x

s

s

s s

s

Q


2 2

4 4


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Biomécanique : Appliquer les principes de la mécanique à la compréhension des processus et des fonctions biologiques.

Biomécanique ou mécanobiologie?

Biomécanique : prévoir le comportement mécanique d'un tissu ou d'un organe, en tenant compte des contraintes physiologiques et biologiques.Action biologique sur la mécanique

Mécanobiologie : prévoir l'évolution biologique d'un tissu ou d’un organe, en tenant compte des contraintes mécaniques qu’il subit.Action mécanique sur le biologique

7


29

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Leçons de la Nature L’os et le bambou