Lectura 2: Modelación de Sistemas Lineales

SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO DACI-EPN

Lectura 2: Modelación de Sistemas Lineales 1

Lectura 2: Modelación de Sistemas Lineales

1 Lecturas recomendadas • Cap. 3, pags. 78-80, 83-86, 89-106, Sistemas de Control Automático, KUO

Benjamín, Séptima Edición. • Cap. 3, pags. 57-76, 81-84, 87-91, Ingeniería de Control Moderna, OGATA

Katsuhiko, Tercera Edición. • Cap3, pags. 33-38, , Sistemas de Control Continuos y Discretos, DORSEY John.

2 Introducción Un primer paso importante en el análisis y diseño de sistemas de control es el modelado matemático de los procesos controlados. En general, dado un proceso controlado, primero se debe definir el conjunto de variables que describen las características dinámicas de dicho proceso. Por ejemplo, considerando un motor utilizado para fines de control. Las variables del sistema se pueden identificar como el voltaje aplicado, la corriente en el embobinado de la armadura, el par desarrollado en el eje del rotor, y el desplazamiento angular y la velocidad del rotor. Estas variables se interrelacionan a través de leyes físicas establecidas, que conllevan a ecuaciones matemáticas que describen la dinámica del motor.

3 Modelos matemáticos Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión o, al menos, bastante bien. Tenga presente que un modelo matemático no es único para un sistema determinado. Un sistema puede representarse en muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos modelos matemáticos, dependiendo de cada perspectiva. La dinámica de muchos sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se describe en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan un sistema determinado, como las leyes de Newton para sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos. Debemos siempre recordar que obtener un modelo matemático razonable es la parte más importante de todo el análisis. Una vez obtenido un modelo matemático de un sistema, se usan diversos recursos analíticos, así como computadoras, para estudiarlo y sintetizarlo.

3.1 Simplicidad vs precisión Es posible mejorar la precisión de un modelo matemático si se aumenta su complejidad. En algunos casos, se utilizan cientos de ecuaciones para describir un sistema completo. Sin embargo, en la obtención de un modelo matemático, debemos establecer un equilibrio entre la simplicidad del mismo y la precisión de los resultados del análisis. No obstante, si no se necesita una precisión extrema, es preferible obtener solo un modelo razonablemente simplificado. De hecho, por lo general basta con obtener un modelo matemático adecuado para el problema que se considera. Al obtener un modelo matemático razonablemente simplificado, a menudo resulta necesario ignorar ciertas propiedades físicas inherentes al sistema.



3.2 Sistemas lineales Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para el sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez y sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples.

3.3 Sistemas no lineales Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la vez y sumando los resultados. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales.

( )

( )

0

01

32

2

22

2

2

2

2

=+++

=+−+

=+

+

xxdt

dx

dt

xd

xdt

dxx

dt

xd

tAsenxdt

dx

dt

xd ω

En la Figura 1 se presentan curvas características de no linealidades.

Figura 1 Curvas características para diversas no linealidades

En general, los procedimientos para encontrar las soluciones a problemas que involucran tales sistemas no lineales son muy complicados. Debido a la dificultad matemática aunada a los sistemas no lineales, resulta necesario introducir los sistemas lineales “equivalentes” en lugar de los no lineales. Tales sistemas lineales equivalentes sólo son válidos para un rango limitado de operación. Una vez que se aproxima un sistema no lineal mediante un modelo matemático lineal, pueden aplicarse varias herramientas lineales para análisis y diseño.

3.4 Sistemas lineales invariantes y variantes con el tiempo Una ecuación diferencial es lineal e invariante en el tiempo si sus coeficientes son constantes.



Los sistemas dinámicos que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo (de coeficientes constantes) se denominan sistemas lineales invariantes con el tiempo (o lineales de coeficientes constantes SLI). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes con el tiempo. Un ejemplo de un sistema de control variante con el tiempo es un sistema de control de naves espaciales (la masa de una nave espacial cambia debido al consumo de combustible). A lo largo del presente curso se trabajarán con sistemas lineales invariantes en el tiempo.

4 Función de Transferencia En la mayoría de ocasiones la relación entrada-salida de un sistema continuo lineal e invariante se describe mediante una ecuación diferencial con coeficientes constantes reales, como la presentada a continuación:

Ecuación 1

donde para que el sistema sea causal n ≥ m. La resolución tradicional de la ecuación diferencial es bastante molesto, por lo que rara vez se emplean en su forma original para el análisis y diseño de sistemas de control. Por esta razón se emplea la función de transferencia del sistema. La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante con el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. Entonces para obtener la función de transferencia del sistema lineal que está representado por la Ecuación 1, simplemente se toma la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación y se suponen condiciones iniciales cero: El resultado será:

Ecuación 2

La función de transferencia entre y(t) (salida) y u(t) (entrada) está dada por:

Ecuación 3

Las propiedades de la función de transferencia se resumen a continuación:

Está definida solamente para un SLI. No está definida para sistemas no lineales. Está definida como la transformada de Laplace de la salida y la transformada de

Laplace de la entrada (Transformada de Laplace de la respuesta impulso). Todas las condiciones iniciales del sistema son iguales a cero. Es independiente de la entrada del sistema. Para sistemas continuos, la función de transferencia sólo se expresa como una

función de la variable compleja s.



No proporciona información acerca de la estructura física del sistema. Conocida la función de transferencia se estudia la salida o respuesta para varias

formas de entrada con la intención de comprender la naturaleza del sistema. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, se la puede establecer

experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema.

5 Modelado en el espacio de estados La tendencia moderna en los sistemas de ingeniería es hacia una mayor complejidad, debido principalmente a los requerimientos de las tareas complejas y la elevada precisión. Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo. Debido a la necesidad de alcanzar los requerimientos cada vez más restrictivos en el desempeño de los sistemas de control, al aumento en la complejidad del sistema y a un acceso fácil a las computadoras de gran escala, aproximadamente desde 1960 se ha desarrollado la teoría de control moderna, que es un nuevo enfoque del análisis y diseño de sistemas de control complejos. Este enfoque nuevo se basa en el concepto de estado. Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo. Observe que el concepto de estado de ningún modo está limitado a los sistemas físicos. Se puede aplicar a sistemas biológicos, económicos, sociales y otros. Variables de estado λλλλ(t). Es el conjunto más pequeño de variables que determinan el comportamiento (estado) de un sistema dinámico. Vector de estados ΛΛΛΛ(t). Vector cuyos elementos son todas las variables de estado de un sistema. Espacio de estados. Espacio cuyos ejes de coordenadas están formados por las variables de estado de un sistema. Ecuaciones en el espacio de estados. En el análisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de variables involucrados en el modelado de sistemas dinámicos: variables de entrada, variables de salida y variables de estado. No es única la representación en el espacio de estados para un sistema determinado, excepto en que la cantidad de variables de estado es igual para cualquiera de las diferentes representaciones en el espacio de estados del mismo sistema. El sistema dinámico debe incorporar elementos que memoricen los valores de la entrada. Dado que los integradores de un sistema de control en tiempo continuo funcionan como dispositivos de memoria, las salidas de tales integradores se consideran las variables que definen el estado interno del sistema dinámico. Por tanto, las salidas de los integradores funcionan como variables de estado. La cantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la cantidad de integradores que contiene el sistema. La Ecuación 4 es la ecuación de estado del sistema lineal e invariante con el tiempo. La Ecuación 5 es la ecuación de salida para el mismo sistema.

( ) ( ) ( )tBXtAt +Λ=Λ& Ecuación 4

( ) ( ) ( )tDXtCtY +Λ= Ecuación 5



5.1 Correlación entre función de transferencia y ecuaciones en el espacio de estados

A continuación se presenta como obtener la función de transferencia de un sistema con una sola entrada y una sola salida a partir de las ecuaciones en el espacio de estados. Considerando el sistema cuya función de transferencia se obtiene mediante

( )( ) ( )sGsX

sY =

Y además este sistema se representa en el espacio de estados mediante las siguientes ecuaciones:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tdxtCty

tBxtAt

+=+=

λλλ&

En donde λ(t) es el vector de estados, x(t) es la entrada y y(t) es la salida. La transformada de Laplace de las ecuaciones anteriores entonces es:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sDXsCsY

sBXsAss

+Λ=+Λ=−Λ 0λ

Dado que para la función de transferencia se consideran las condiciones iniciales iguales a cero se tiene:

( ) ( ) ( )sBXsAss +Λ=Λ o bien

( ) ( ) ( )sBXsAsI =Λ− de donde

( ) ( ) ( )sBXAsIs 1−−=Λ reemplazando

( ) ( )[ ] ( )sXdBAsICsY +−= −1 por lo que

( )( ) ( ) ( )[ ]dBAsICsGsX

sY +−== −1

Esta es la expresión de la función de transferencia en función de A, B, C y d.

6 Modelo de sistemas mecánicos La ley fundamental que controla los sistemas mecánicos es la segunda ley de Newton, que se aplica a cualquier sistema mecánico. A continuación se presenta dos ejemplos. Ejemplo 1:

B

k

Bf

kf

mf f

vx,

m

0=v& Figura 2 Sistema mecánico con una masa



kf

mf

Bff

Figura 3 Diagrama de cuerpo libre

Leyes de Newton: ffff kBm =++

xmvmmafm&&& === xBBvfB

&== kxf k = donde:

mf fuerza de inercia de la masa ‘m’

Bf fuerza del amortiguamiento ‘B’ (B es el coeficiente de rozamiento viscoso)

kf fuerza del resorte ‘k’ además:

naceleracióa = velocidadv =

salidaposiciónx == entradafuerzaf ==

- Ecuación Diferencial: fkxxBxm =++ &&&

- Función de Transferencia: kBsmssF

sXsG

++==

2

1

)(

)()(

- Variables de Estado: 1xyx ==

2112 xxxxxv =⇒=== &&&

m

ux

m

Bx

m

kxufkxBxxm +−−=⇒==++ 212122&&

u

mx

x

m

B

m

k

x

x

+

−−=

1

010

2

1

2

1

&

&

( )

=

2

101x

xy



- Función de transferencia en base al espacio de estado:

( ) ( )( ) ( )[ ]dBAsICsY

sXsG +−== −1

donde

( ) 001;10

;10

=

=

−−= dyCm

Bm

B

m

kA

entonces

( )1

11

−

−

+−

=−m

Bs

m

ks

AsI

( )

−

+

++=− −

sm

km

Bs

m

ks

m

Bs

AsI11

2

1

por lo que

( ) ( )( ) ( ) 01

0101

1

2

+

−

+

++==

msm

km

Bs

m

ks

m

BssY

sXsG

( ) ( )( )

+++

==mm

Bs

m

ks

m

BssY

sXsG 1

01

1

2

( ) ( )( )

m

ks

m

Bs

msY

sXsG

++==

2

1

( ) ( )( ) kBsmssY

sXsG

++==

2

1

Ejemplo 2:

2B

1k f2m

0=v&

1m 2k1

1v

y2

2v

y

Figura 4 Sistema mecánico con dos masas



)(2

reacciónk

f1m

1k

f

1m

f

Figura 5 Diagramas de cuerpo libre

Ecuaciones de la dinámica:

fyykyBymffff kBm =−++⇒=++ )( 1222222222

&&&

)( 1221111211

yykykymfff kkm −=+⇒=+ &&

Datos: ]//[12 smNB = ]/[221 mNkk ==

][11 Kgm = ][32 Kgm = - Modelos a Ecuaciones Diferenciales:

)(22

)(23

1211

1222

yyyy

fyyyy

−=+=−++

&&

&&&

- Modelos a variables de Estado:

=

2

2

1

1

4

3

2

1

v

y

v

y

x

x

x

x

ecuaciones: fxxxxfyyyy =−++⇒=−++ 13331222 223223 &&&&&&

024024 311211 =−+⇒=−+ xxxyyy &&&&

además: 12111 xxvyv && ==⇒=

34222 xxvyv && ==⇒=

por lo que: fxxxxfxxxx =−++⇒=−++ 13441333 223223 &&&&



024024 312311 =−+⇒=−+ xxxxxx &&& entonces:

f

x

x

x

x

x

x

x

x

+

−−

−=

31

4

3

2

1

31

32

32

4

3

2

1

0

0

0

0

1000

0204

0010

&

&

&

&

=

4

3

2

1

2

1

01

00

00

01

x

x

x

x

y

y

7 Modelo de sistemas eléctricos Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff. La ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de nodos) plantea que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero. (Esta ley también puede plantearse del modo siguiente: la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.) La ley de voltajes de Kirchhoff (la ley de mallas) establece que en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero. (Esta ley también se plantea del modo siguiente: la suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de las elevaciones de voltaje alrededor de un malla.) Un modelo matemático de un circuito eléctrico se obtiene aplicando una o ambas leyes de Kirchhoff. A continuación se presenta dos ejemplos. Ejemplo 1:

R

++

iv

0v

L

Ci

Figura 6 Sistema RLC

LVK: ivvRidt

diL =++ 0

Relación dinámica: dt

dvCi 0=

Ecuación Diferencial: ivvvRCvLC =++ 000&&&



- Modelos a variables de Estado:

R 1xiL =++

uvi = 20 xv =

L

C

Figura 7 Sistema RLC a variables de estado

LVK (ecuación constitutiva): ivvRidt

diL =++ 0

Relación dinámica: dt

dvCi 0=

donde:

uL

xL

xL

RxuxRxxL

11211211 +−−=⇒=++ &&

1221

1x

CxxCx =⇒= &&

+

−−=

0

1

01

1

2

1

2

1L

x

x

C

LL

R

x

x

&

&

( )

=

2

110x

xy

Ejemplo 2: - Modelo a Función de Transferencia y Ecuación Diferencial

++R R

C Civ

0v

av

Figura 8 Sistema RC doble



+

R/1 SC

R/1

SC

aV

0V

RVi /

Figura 9 Modelo de red

Donde, aplicando el método de nodos, se tiene:

=

+−

−+

011

12

0

R

V

V

V

sCRR

RsC

Ria

entonces, la Función de Transferencia viene dada por:

13

1222

0

++=

SCRRCSV

V

i

Considerando los siguientes datos, se tiene:

13

1][1000],[1

2

0

++=⇒=Ω=

ssV

VuFCKR

i

ii vvvvVVss =++⇒=++ 0000

2 3)13( &&& - Modelo a Variables de Estado

++

R R

C Cuvi= 20 xv =

1xv

a=

1i

2i

3i 4

i

1 2

Figura 10 Modelo a variables de estado

Nodo V0: 2042 xCvCii && ===

Malla 2: 21222221

11x

RCx

RCxxxRCxRixva −=⇒+=+== &&



Nodo Va: 210231 xCxCvCvCiii a&&&& +=+=+=

Malla 1: 12111211 )()( xxxxCRuxRxCxCvRiuv ai +−+=⇒++=+== &&&

uRC

xRC

xRC

xxxxxCRu112

)( 2111211 ++−=⇒+−+= &&

uRC

x

x

RCRC

RCRC

x

x

+

−

−=

0

1

11

12

2

1

2

1

&

&

( )

==

2

1

0 10x

xyv

8 Diagramas de bloque Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones que lleva a cabo cada componente en la ingeniería de control, por lo general se usa una representación denominada diagrama de bloques. Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tal diagrama muestra las relaciones existentes entre los diversos componentes. A diferencia de una representación matemática puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del sistema real.

Figura 11

Por ejemplo, el diagrama de bloque de la Figura 11(a) modela un sistema de control de velocidad en lazo abierto de un motor de cd. En este caso, simplemente el diagrama de bloques muestra como se conectan los componentes del sistema y no proporciona



ningún detalle matemático. Pero si se conocen las relaciones entrada-salida del sistema de control del motor de cd se pueden representar mediante el diagrama de bloques de la Figura 11(b). Aquí se considera que el motor es operado en la región lineal de sus características dinámicas, por lo que se puede representar mediante funciones de transferencia. Entonces conociendo la relación matemática y funcional de todos los elementos del sistema, el diagrama de bloques se puede emplear como una herramienta para obtener la solución analítica o por computadora del sistema.

8.1 Elementos de un diagrama de bloques En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. Observe que la señal sólo puede pasar en la dirección de las flechas. Por tanto, un diagrama de bloques de un sistema de control muestra explícitamente una propiedad unilateral.

Figura 12 Elementos de un diagrama de bloques

La Figura 12 muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha que señala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la salida. Tales flechas se conocen como señales.

Figura 13 Puntos de suma

Punto suma. Remitiéndonos a la Figura 13, un círculo con una cruz es el símbolo que indica una operación de suma. El signo de más o de menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Punto de ramificación. Un punto de ramificación es aquel a partir del cual la señal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques o puntos suma.

8.2 Diagrama de bloques de un sistema de control en lazo cerrado La Figura 14 muestra el diagrama de bloques de un sistema de control realimentado. La siguiente terminología se define con referencia a este diagrama:



Figura 14 Diagrama de bloques de un sistema de control realimentado

La función de transferencia en lazo cerrado ( ) ( )( )sR

sYsM = se puede expresar como

una función de ( )sG y ( )sH . De la Figura 14 se conoce que:

( ) ( ) ( )sUsGsY = y ( ) ( ) ( )sYsHsB = La señal actuante (error actuante) se define como

( ) ( ) ( )sBsRsU −= Entonces sustituyendo se obtiene que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sBsGsRsGsY −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sYsHsGsRsGsY −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sRsGsYsHsGsY =+

( ) ( )( ) ( ) ( )sR

sHsG

sGsY

+=

1

Por lo que la función de transferencia en lazo cerrado es:

( ) ( )( )

( )( ) ( )sHsG

sG

sR

sYsM

+==

1

8.3 Procedimiento para trazar un diagrama de bloques Con el objeto de trazar un diagrama de bloques de un sistema se sugiere seguir los siguientes pasos: 1. Es necesario conocer las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico del sistema a analizar y la salida y entrada consideradas. 2. Se obtiene la transformada de Laplace de estas ecuaciones, en este caso como el diagrama a bloques son representaciones de funciones de transferencia, las condiciones iniciales se consideran cero. 3. De las ecuaciones transformadas se despeja aquella donde esté involucrada la salida del sistema.



4. De la ecuación obtenida se ubican las variables que están como entrada y que deben de ser salidas de otros bloques. Se despejan esas variables de otras ecuaciones. Recuerda nunca utilizar una ecuación que ya se utilizó previamente. 5. Regresar al paso 4 hasta que la entrada sea considerada y todas las variables del sistema sean consideradas. 6. Después de obtener las ecuaciones se generan los diagramas a bloques de cada una. Debido al procedimiento utilizado los bloques quedan prácticamente para ser conectados a partir del bloque de salida.

8.4 Simplificación de un diagrama de bloques Teniendo el diagrama a bloques en algunos casos es necesario simplificarlo hasta una sola función de transferencia. Para esto existen varios procedimientos, uno de ellos es utilizando las propiedades del álgebra de bloques y otro, utilizando gráficos de flujo de señal que se verá mas adelante. Una regla general para simplificar un diagrama de bloques consiste en mover los puntos de bifurcación y los puntos suma, intercambiar los puntos suma y después reducir las mallas internas de realimentación. Es importante que no se altere las señales involucradas en el movimiento compensando con las funciones necesarias. En la Figura 15 se presentan varias de las reglas del álgebra de los diagramas de bloques.

Figura 15 Reglas del álgebra de los diagrmas de bloques

A continuación se presenta un ejemplo de la utilización de los conceptos explicados sobre los diagramas de bloques. Para el circuito de la Figura 16 se debe encontrar su función de transferencia

( )( )sE

sEi

o usando el enfoque de diagramas de bloque.



Figura 16

Las ecuaciones que caracterizan al circuito son:

( )

( )

∫

∫∫

∫

=

=++−

=+−

o

i

edtiC

dtiC

iRdtiiC

eiRdtiiC

22

22

22121

11211

1

011

1

Tomando la transformada de Laplace de estas ecuaciones, con condiciones iniciales cero, produce:

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )sEsIsC

sIsC

sIRsIsIsC

sEsIRsIsIsC

o

i

=

=++−

=+−

22

22

22121

11211

1

011

1

Simplificando estas ecuaciones se tiene: ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )sEsIsC

sIsIsCR

sC

sCsI

sIsIsIRsEsC

o

i

=

−

+=

−=−

22

2122

2

12

21111

1

1

1

Representado las ecuaciones mediante diagramas de bloques se tiene



( ) ( )[ ] ( ) ( )sIsIsIRsEsC i 21111 −=−

( ) ( ) ( )[ ]sIsIsCR

sC

sCsI 21

22

2

12 1

1 −

+=

sC1

1

+122

2

sCR

sC

( ) ( )sEsIsC o=2

2

1sC2

1

Combinando los diagramas se obtiene la Figura 17(a). Este diagrama de bloques se modifica sucesivamente tal como se aprecia en las Figuras 17 de la (b) a (f).

Figura 17 Las secciones muestran la simplificación del diagrama de bloques



9 Diagramas de flujo Es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones dinámicas simultáneas. Es una red en la que nodos están conectados mediante ramas, cada nodo representa una variable y cada rama una ganancia. Son la representación entrada-salida para sistemas lineales que son modelados por ecuaciones algebraicas. A diferencia de los diagramas de bloque se los aplica solamente para sistemas lineales. Se los considera como una versión simplificada de los diagramas de bloque. La ventaja del diagrama de flujo de señales es la disponibilidad de una fórmula (Regla de Mason) que proporciona la relación entre variables del sistema sin requerir ningún procedimiento de reducción.

9.1 Definiciones Nodo. Es un punto que representa una variable o señal. Rama. Un segmento lineal dirigido entre dos nodos. Transmitancia. Es la ganancia de una rama. Nodo de entrada (fuente). Es un nodo que solo tiene una rama saliente. Nodo salida (sumidero). Es un nodo que solo posee ramas entrantes. Nodo mixto. Es un nodo que tiene ramas tanto entrantes como salientes. Camino. Es un recorrido de ramas conectadas en la dirección de la flechas de las ramas. Si no atraviesa ningún nodo más de una vez el camino es abierto. Si el camino termina en el mismo nodo desde el que comenzó y no atraviesa ningún otro nodo más de un vez, es camino cerrado o lazo. Lazos que no se tocan. Son lazos que no poseen ningún nodo en común. Camino directo. Es un camino desde un nodo de entrada hasta un nodo de salida que no atraviesa ningún nodo más de una vez.

Figura 18 Ejemplo de un diagrama de flujo

El diagrama de flujo representa gráficamente un sistema de ecuaciones algébricas. En Control se manejan ecuaciones diferenciales, donde se despeja la más alta derivada y se usa el operador de integración 1/S.

2x& 2x1−s

Figura 18 Diagrama de flujo con ganacia 1/s

donde: ∫== − dtxxsx .. 22

1

2&&

Nodos mixtos

Nodo de entrada (fuente)

Nodo de entrada (fuente)

1x 2x3x

4x

3x

Nodo de salida (sumidero)

Camino directo Camino directo

Lazo

a b

c

d



Considerando el sistema de ecuaciones diferenciales:

fyyyyfyyyy 31

132

232

231

21222 223 ++−−=⇒=−++ &&&&&&

211211 24024 yyyyyy +−=⇒=−+ &&&& El diagrama de flujo correspondiente a las ecuaciones diferenciales, viene dado por:

2y&&2y& 2y

1y&& 1y& 1yf

3

2−

3

2

3

1−

3

1

4−

2s/1 s/1 s/1 s/1

entrada

2salida 1salida

Figura 19 Diagrama de flujo con dos salidas

9.2 Regla de Mason

Regla de Mason: ∑ ∆∆

== iiPsU

sYsG

1

)(

)()(

donde: ∑ ∑ ∑ +−+−=∆ Kkjijii LLLLLL1

además:

∑ iL = sumatoria de ganancias de lazos individuales

∑ ji LL = sumatoria de producto de ganancias de 2 lazos individuales que no

se topan

∑ kji LLL = sumatoria de producto de ganancias de 3 lazos individuales que

no se topan

iP = ganancia de la i-ava trayectoria directa entre entrada y salida

−=∆ 1i suma de ganancias de lazos individuales que no topan a la i-ava trayectoria + suma del producto de ganancias de dos lazos individuales que no se topan entre sí ni tampoco topan a la i-ava trayectoria - …….



Ejemplo: Aplicar la fórmula de Mason para obtener las funciones de transferencia de

cada salida respecto a la entrada.

2y&&2y& 2y

1y&& 1y& 1yf

3

2−

3

2

3

1−

3

1

4−

2s/1 s/1 s/1 s/1

1salida2salida

entrada

4L

1L2L 3L

Fig. 2.13 Diagrama de flujo con lazos individuales Donde las ganancias de cada lazo individual, viene dado por:

1

31

1

−−= sL 2

32

2

−−= sL 2

3 4 −−= sL 4

34

4

−= sL además:

)44143(3

1)()(1 4321

32314321

−−−− ++++=+++++−=∆ ssssLLLLLLLL

Salida 1: 4

1 3

2 −= sP 11 =∆

4

4

432131

432

1111 )44143()(

)()(

s

s

ssss

sP

sF

sYsG ⋅

++++=

∆∆

==−−−−

−

34

342

3143

314

1

111

1

3

2

)(

)()(

++++⋅==

sssssD

sNKsG

Salida 2: 2

2 3

1 −= sP 2

32 411 −+=−=∆ sL

4

4

432131

4342

31

2222 )44143()(

)()(

s

s

ssss

ssP

sF

sYsG ⋅

+++++=

∆∆

==−−−−

−−



34

342

3143

314

2

2

222

4

3

1

)(

)()(

+++++

⋅==ssss

s

sD

sNKsG

Ejemplo: Obtener la Función de Transferencia en base al diagrama de flujo

1

1

1

1r y

1−s

1−s

1−s

1x

2x

3x

1x&

2x&

3x&

6

29−

28

1−

5.1−

2−

1L

2L

3L

11

−−= SL 2

2 5.1 −−= SL 2

3 2 −−= SL

)35.65.41)()(1 321

321323121321

−−− +++=−+++++−=∆ SSSLLLLLLLLLLLL

además: 1

1 6 −= SP 21

32321 35.31)(1 −− ++=++−=∆ SSLLLL

1

2 29 −−= SP 21

31312 231)(1 −− ++=++−=∆ SSLLLL

1

3 28 −= SP 21

21213 5.15.21)(1 −− ++=++−=∆ SSLLLL

3

3

321

321332211

)35.65.41(

245

)(

)()(

S

S

SSS

SSSPPP

sR

sYsG ⋅

+++++=

∆∆+∆+∆

==−−−

−−−

35.65.4

4.08.05

)(

)()(

23

2

+++++⋅==

SSS

SS

sD

sNKsG

Ejemplo: Obtener la Función de Transferencia en base al diagrama de flujo



2L

1L

3L

11

−−= sL 1

2

−−= sL 2

3 2 −−= sL

321

3121321 2321)()(1 −−− +++=++++−=∆ sssLLLLLLL

1

1

−= sP 21

321 21)(1 −− ++=+−=∆ ssLL 2

2 4 −= sP 1

12 11 −+=−=∆ sL donde:

3

3

321

3212211

2321

65

)(

)()(

s

s

sss

sssPP

sU

sYsG ⋅

+++++

=∆

∆+∆==

−−−

−−−

232

651

)(

)()(

23

2

+++++

⋅==sss

ss

sD

sNKsG

Documents

Lectura 2: Modelación de Sistemas Lineales