Lectura 4-M2- Ejercitación_2013

- 1 - Materia: HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS II (ANÁLISIS MATEMÁTICO) Profesor: Mónica Bocco

Ejercicios y Problemas

Realizar, para afianzar la ejercitación y aplicación de estos temas los ejercicios

propuestos en el texto.

Ejercicio 1: Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, las funciones:

a) y = 3 x

b) y = 3 x + 1

c) y = 3 x − 1

d) y = x

e) y = - x

f) y = 2. x

g) Indicar, para cada uno de los gráficos:

a) Punto de corte con el eje x (si existe)

b) Punto de corte con el eje y (si existe)

c) Comportamiento de la función para valores “muy grandes” ( x → +∞ )

d) Comportamiento de la función para valores “muy pequeños” ( x → − ∞ )

Ejercicio 2: Graficar las funciones:

a) y = log 3

x

b) y = log 1/ 3

x

c) y = ln x = log e x

Indicar, para cada uno de los gráficos:

a) Punto de corte con el eje x (si existe)

b) Punto de corte con el eje y (si existe)

c) Comportamiento de la función para valores “muy grandes” ( x → +∞ )

d) Comportamiento de la función para valores “positivos próximos a cero” ( x → 0+ )


Ejercicio 3: Los siguientes gráficos corresponden a funciones exponenciales,

de la forma f ( x) = a x , o logarítmicas, de la forma f ( x) = log a x .

Indicar para cada uno de ellos a que tipo corresponde y el valor de la base a

para la misma.


a) b) c)

Ejercicio 4:

i) Indicar, si existen, el valor de sen x, cos x y tg x para:

π a) x =

2

b) x = π 3π

c) x = 2

ii) Indicar el signo de las funciones y = sen ( x), y = cos ( x) y y = tg ( x) para los siguientes ángulos:

}

Ejercicio 5:

i) Indicar que ángulos, en la circunferencia trigonométrica, verifican:

a) senγ = 0 y cosγ =1

b) cosγ = 0 y senγ = − 1

c) senγ = 0 y tgγ = 0 d) cosγ = − 1 y senγ = 0

ii) Indicar en qué cuadrantes se encuentran los ángulos que cumplen:

a) senγ <0 y cosγ <0

b) sen (γ+ 2

) >0 y tg (γ+

2

) <0

c) cosγ >0 y tgγ<0

d) cos(γ +π )<0 y sen(γ + π )< 0


Ejercicio 6: i) A partir de los gráficos de las funciones trigonométricas y utilizando las

operaciones entre funciones, construir los gráficos de:

a) y = 2 sen x

b) y = sen x + 1

c) y = (cos x) − 2

1 d) y =

2 cos x

ii) Para cada una de las funciones anteriores indicar su dominio e imagen.

Ejercicio 7: Encontrar el resultado de los límites solicitados para la función f

cuyo gráfico es el siguiente:

a) lim f ( x) b) lim f ( x) c) lim f ( x)

x→ − ∞ x→ − 6 x→ −2

d) lim f ( x) e) lim f ( x) f) lim f ( x)

x→ − 3 − x→ − 3 + x→ − 3

g) lim f ( x) h) lim f ( x) i) lim f ( x)

x→ 0 x→ 2 x→ + ∞

j) lim f ( x) k) lim f ( x) l) lim f ( x)

x→ 4 −

x→ 4 + x→ 4


Ejercicio 8: Dar el resultado, si existe, de los siguientes límites. Tener en cuenta que para muchos casos sólo se requiere el uso de las propiedades, para otros será necesario recordar el gráfico de la función:


Situaciones Problemas: Modelización.

Ejercicio 9: Los ingresos totales en taquilla a nivel mundial de una película se

pueden representar por la función:

donde I (x) se mide en millones de dólares y x son los meses posteriores al lanzamiento de la película.

a) ¿Qué ingresos totales en taquilla pueden esperarse después del primer y

segundo mes?

b) ¿Cuál será el ingreso bruto total de la película a largo plazo? Expresar este enunciado utilizando el concepto de límite.

Ejercicio 10: Si el costo total, para producir x unidades de un producto es C (x) entonces el costo promedio por unidad para una producción de x unidades

del mismo producto está dado por

a) Si el costo total (en dólares) de una compañía grabadora el imprimir x

cantidad de discos en el formato DVD está dado por C ( x) = 2,2 x + 2500 , ¿cuál es la función que define el costo promedio

por DVD? b) Obtener el costo promedio de cada unidad cuando se aumenta

continuamente la producción, expresar este enunciado utilizando el

concepto de límite.


Respuestas a los ejercicios y problemas

Ejercicio 1: a) Punto de corte con el eje x: NO existe. Punto de corte con el eje y: (0,1)

Comportamiento de la función para

3x → 0

x → +∞: 3x → +∞ y para x → − ∞ :

b) Punto de corte con el eje x: NO existe. Punto de corte con el eje y: (0,2)

Comportamiento de la función para

3x + 1 → 1

x → +∞ : 3x + 1 → +∞ y para x → − ∞ :

c) Punto de corte con ambos ejes en el punto (0,0).

Comportamiento para

x → +∞ : 3x − 2 → +∞ y para

x → − ∞ :

3x − 2 → −2

d) Punto de corte con el eje x: NO existe Punto de corte con el eje y: (0,1)

Comportamiento para x →+∞: ⎝ 3 ⎠

e) Punto de corte con el eje x: NO existe Punto de corte con el eje y: (0,-1)

Comportamiento para y para

f) Punto de corte con el eje x: NO existe Punto de corte con el eje y: (0,2)

Comportamiento para y para

g) Punto de corte con el eje x: NO existe. Punto de corte con el eje y: (0,1)

Comportamiento para x → +∞ : e x → +∞ y para x → − ∞ : e x → 0

Ejercicio 2:

1. Punto de corte con el eje x: (1,0) Punto de corte con el eje y: NO existe.

Comportamiento para x → +∞ : log3 x → +∞ y para x → 0+ : log3 x → −∞


2. Punto de corte con el eje x: (1,0)

Punto de corte con el eje y: NO existe.

Comportamiento para x → +∞: log 1/3 x → −∞ y para x → 0+ : log 1/3 x → +∞

3. Punto de corte con el eje x : (1,0)

Punto de corte con el eje y: NO existe.

Comportamiento para x → +∞ : ln x → +∞ y para x → 0+ : ln x → −∞

Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

i)

ii)

a) Signo de sen(α ) : + Signo de cos(α ) :− y Signo de tg (α ) :−

b) Signo de sen(β ) :− Signo de cos(β ) :− y Signo de tg (β ) :+

c) Signo de sen (δ ) :− Signo de cos(δ ) :+ y Signo de tg (δ ) :−

Ejercicio 5: i)

a) γ = 0º b) γ = 270º

c) γ = 0º o bien γ = 180º d) γ = 180º


ii)

a) γ pertenece al tercer cuadrante

b) γ pertenece al primer cuadrante

c) γ pertenece al cuarto cuadrante

d) γ pertenece al primer cuadrante

Ejercicio 6:

Ejercicio 7:

a) + ∞

b) –2

c) 0

d) − ∞ e) + ∞

f) No existe

g) –3

h) 0

i) − ∞ j) 4

k) 1

l) No existe


Ejercicio 8:

a) -2

b) 11 c) 3

1

d) 2

e) 4

f) + ∞

g) No existe

h) + ∞

i) 0

j) + ∞

k) 0

l) + ∞

m) 4

n) 3

o) + ∞

p) − ∞

q) 0 r) 1 s) 0

t) No existe

1

u) 4

v) + ∞

w) 0

x) 2 y) 2 z) 1

aa) 1

Ejercicio 9:

a) Ingresos totales en taquilla después del primer mes: 24 millones de

dólares

b) Ingresos totales en taquilla después del segundo mes: 60 millones de

dólares c) Ingreso bruto total de la película a largo plazo: 120 millones de dólares,

puesto que


Ejercicio 10:

a) Costo Promedio: c( x) = 2,2 +

2500

x

b) El costo promedio máximo por unidad producida, al aumentar en forma

continua la producción será de 2,2 dólares, puesto que lim

x→ + ∞ c( x) = 2,2


Autoevaluación

Ejercicio 1: Una inversión en bonos del estado se incrementa a razón del 3% anual. Si inicialmente invertimos $4.000, y con N (t) denotamos la función que permite dar cuenta de la cifra que se obtendrá al finalizar cada año de inversión.

i) Escribir la ecuación que representa a la función N (t)

ii) Obtener los dividendos al finalizar 3 años de inversión.

iii) ¿Cuántos años necesitamos tener en nuestro poder los bonos para obtener una

renta de $919,50?

Ejercicio 2: Para la función f cuyo gráfico se presenta

Cuál es el resultado de los límites que se indican:

y

6 ) (

5 ) f (x)

4 (

3

2

-3 1

-1,5 -1

) ( -2

x

2 4 6

• -3

lim c) x → − ∞

f ( x) lim d) x → 6

f ( x) lim e) x → −1,5

f ( x)

lim f) x → − 3 −

f ( x) lim g) x → − 3 +

f ( x) lim h) x → − 3

f ( x)

lim i) x → 0

lim

f ( x)

f ( x)

lim j) x → 2

lim

f ( x)

f ( x)

lim k) x → + ∞

lim

f ( x)

f ( x)

l) x → 4 − m) x → 4 +

n) x → 4


Respuestas a la Autoevaluación

Ejercicio 1: La función N (t) que permite representar la cifra que se obtendrá al finalizar

cada año de una inversión de $4000 de capital a una tasa del 3% anual

compuesto es N (t ) = 4000 . 1,03 x

Al finalizar 3 años de inversión los dividendos que se obtendrán serán

aproximadamente de $4370,91 , ya que N (3) = 4000 . 1,03 3

= 4370,91

Para obtener una renta de $919,50, lo que implica que el monto a retirar debe ser de $4919,50 se necesitan 7 años, ya que

N (t ) = 4000 . 1,03 x = 4949,50

dicho valor).

Ejercicio 2:

→ t = 7

(utilizando logaritmo para despejar

a) lim x → − ∞

f ( x) = +∞ b) lim x → 6

f ( x) = 4 c) lim x → −1,5

f ( x) = 0

d) lim

x → − 3 −

f ( x) = −2 e) lim

x → − 3 +

f ( x) = −2 f) lim x → − 3

f ( x) = −2

g) lim x → 0

j) lim

f ( x) = 6

f ( x) = 5

h) lim x → 2

k) lim

f ( x) = 2

f ( x) = 4

i) lim x → + ∞

l) lim

f ( x) = 4

f ( x) no existe

x → 4 − x → 4

+ x → 4

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