7/29/2019 Lecture 15 - DFS

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2 3 . 1 - 5 T h e s q u a r e o f a d i r e c t e d g r a p h G = V ; E i s

t h e g r a p h G

2

= V ; E

2

s u c h t h a t u ; w 2 E

2

i f o r

s o m e v 2 V , b o t h u ; v 2 E a n d v ; w 2 E ; i e . t h e r e i s

a p a t h o f e x a c t l y t w o e d g e s .

G i v e e c i e n t a l g o r i t h m s f o r b o t h a d j a c e n c y l i s t s a n d

m a t r i c i e s .

G i v e n a n a d j a c e n c y m a t r i x , w e c a n c h e c k i n c o n s t a n t

t i m e w h e t h e r a g i v e n e d g e e x i s t s . T o d i s c o v e r w h e t h e r

t h e r e i s a n e d g e u ; w 2 G

2

, f o r e a c h p o s s i b l e i n t e r m e -

d i a t e v e r t e x v w e c a n c h e c k w h e t h e r u ; v a n d v ; w

e x i s t i n O 1 .

S i n c e t h e r e a r e a t m o s t n i n t e r m e d i a t e v e r t i c e s t o

c h e c k , a n d n

2

p a i r s o f v e r t i c e s t o a s k a b o u t , t h i s t a k e s

O n

3

t i m e .

W i t h a d j a c e n c y l i s t s , w e h a v e a l i s t o f a l l t h e e d g e s i n

t h e g r a p h . F o r a g i v e n e d g e u ; v , w e c a n r u n t h r o u g h

a l l t h e e d g e s f r o m v i n O n t i m e , a n d l l t h e r e s u l t s

i n t o a n a d j a c e n c y m a t r i x o f G

2

, w h i c h i s i n i t i a l l y e m p t y .

I t t a k e s O m n t o c o n s t r u c t t h e e d g e s , a n d O n

2

t o

i n i t i a l i z e a n d r e a d t h e a d j a c e n c y m a t r i x , a t o t a l o f

O n + m n . S i n c e n m u n l e s s t h e g r a p h i s d i s -

c o n n e c t e d , t h i s i s u s u a l l y s i m p l i e d t o O m n , a n d i s

f a s t e r t h a n t h e p r e v i o u s a l g o r i t h m o n s p a r s e g r a p h s .

W h y i s i t c a l l e d t h e s q u a r e o f a g r a p h ? B e c a u s e t h e

s q u a r e o f t h e a d j a c e n c y m a t r i x i s t h e a d j a c e n c y m a -

t r i x o f t h e s q u a r e ! T h i s p r o v i d e s a t h e o r e t i c a l l y f a s t e r

a l g o r i t h m .

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B F S T r e e s

I f B F S i s p e r f o r m e d o n a c o n n e c t e d , u n d i r e c t e d g r a p h ,

a t r e e i s d e n e d b y t h e e d g e s i n v o l v e d w i t h t h e d i s c o v -

e r y o f n e w n o d e s :

r

T h i s t r e e d e n e s a s h o r t e s t p a t h f r o m t h e r o o t t o e v e r y

o t h e r n o d e i n t h e t r e e .

T h e p r o o f i s b y i n d u c t i o n o n t h e l e n g t h o f t h e s h o r t e s t

p a t h f r o m t h e r o o t :

L e n g t h = 1 F i r s t s t e p o f B F S e x p l o r e s a l l n e i g h -

b o r s o f t h e r o o t . I n a n u n w e i g h t e d g r a p h o n e e d g e

m u s t b e t h e s h o r t e s t p a t h t o a n y n o d e .

L e n g t h = s A s s u m e t h e B F S t r e e h a s t h e s h o r t e s t

p a t h s u p t o l e n g t h s , 1 . A n y n o d e a t a d i s t a n c e o f

s w i l l r s t b e d i s c o v e r e d b y e x p a n d i n g a d i s t a n c e

s , 1 n o d e .

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T h e k e y i d e a a b o u t D F S

A d e p t h - r s t s e a r c h o f a g r a p h o r g a n i z e s t h e e d g e s o f

t h e g r a p h i n a p r e c i s e w a y .

I n a D F S o f a n u n d i r e c t e d g r a p h , w e a s s i g n a d i r e c t i o n

t o e a c h e d g e , f r o m t h e v e r t e x w h i c h d i s c o v e r i t :

1

2 6

3

4

5

1

2

3

4

5

6

I n a D F S o f a d i r e c t e d g r a p h , e v e r y e d g e i s e i t h e r a

t r e e e d g e o r a b l a c k e d g e .

I n a D F S o f a d i r e c t e d g r a p h , n o c r o s s e d g e g o e s t o a

h i g h e r n u m b e r e d o r r i g h t w a r d v e r t e x . T h u s , n o e d g e

f r o m 4 t o 5 i s p o s s i b l e :

1 5

6

87

2

43

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E d g e C l a s s i c a t i o n f o r D F S

W h a t a b o u t t h e o t h e r e d g e s i n t h e g r a p h ? W h e r e c a n

t h e y g o o n a s e a r c h ?

E v e r y e d g e i s e i t h e r :

3. A Forward Edge

4. A Cross Edge

to a different node

to a decendant1. A Tree Edge

2. A Back Edge

to an ancestor

O n a n y p a r t i c u l a r D F S o r B F S o f a d i r e c t e d o r u n d i -

r e c t e d g r a p h , e a c h e d g e g e t s c l a s s i e d a s o n e o f t h e

a b o v e .

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D F S T r e e s

T h e r e a s o n D F S i s s o i m p o r t a n t i s t h a t i t d e n e s a

v e r y n i c e o r d e r i n g t o t h e e d g e s o f t h e g r a p h .

I n a D F S o f a n u n d i r e c t e d g r a p h , e v e r y e d g e i s e i t h e r

a t r e e e d g e o r a b a c k e d g e .

W h y ? S u p p o s e w e h a v e a f o r w a r d e d g e . W e w o u l d

h a v e e n c o u n t e r e d 4 ; 1 w h e n e x p a n d i n g 4 , s o t h i s i s a

b a c k e d g e .

1

2

3 4

S u p p o s e w e h a v e a c r o s s - e d g e

1

2

3 4 6

5 When expanding 2, we would discover

5, so the tree would look like:

1

2

34 5

6

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P a t h s i n s e a r c h t r e e s

W h e r e i s t h e s h o r t e s t p a t h i n a D F S ?

s

r

It could use multiple

back and tree edges,

where BFS only used

tree edges.

I t c o u l d u s e m u l t i p l e b a c k a n d t r e e e d g e s , w h e r e B F S

o n l y u s e s t r e e e d g e s .

D F S g i v e s a b e t t e r a p p r o x i m a t i o n o f t h e l o n g e s t p a t h

t h a n B F S .

1

2

4

8

12

14

15

3 5 7 9 11 13

6

10

The BFS tree can have height 1,

independant of the length of the

longest path.

The DFS must always have height

>= log P, where P is the length of

the longest path.

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T o p o l o g i c a l S o r t i n g

A d i r e c t e d , a c y c l i c g r a p h i s a d i r e c t e d g r a p h w i t h n o

d i r e c t e d c y c l e s .

DAG NON-DAG

A t o p o l o g i c a l s o r t o f a g r a p h i s a n o r d e r i n g o n t h e

v e r t i c e s s o t h a t a l l e d g e s g o f r o m l e f t t o r i g h t .

O n l y a D A G c a n h a v e a t o p o l o g i c a l s o r t .

A n y D A G h a s a t l e a s t o n e t o p o l o g i c a l s o r t .

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8/12

A p p l i c a t i o n s o f T o p o l o g i c a l

S o r t i n g

T o p o l o g i c a l s o r t i n g i s o f t e n u s e f u l i n s c h e d u l i n g j o b s

i n t h e i r p r o p e r s e q u e n c e . I n g e n e r a l , w e c a n u s e i t t o

o r d e r t h i n g s g i v e n c o n s t r a i n t s , s u c h a s a s e t o f l e f t -

r i g h t c o n s t r a i n t s o n t h e p o s i t i o n s o f o b j e c t s .

E x a m p l e : D r e s s i n g s c h e d u l e f r o m C L R .

E x a m p l e : I d e n t i f y i n g e r r o r s i n D N A f r a g m e n t a s s e m b l y .

C e r t a i n f r a g m e n t s a r e c o n s t r a i n e d t o b e t o t h e l e f t o r

r i g h t o f o t h e r f r a g m e n t s , u n l e s s t h e r e a r e e r r o r s .

A B R A C

A C A D A

A D A B R

D A B R A

R A C A D

A B R A C

R A C A D

A C A D A

A D A B R

D A B R A

A B R A C A D A B R A

S o l u t i o n b u i l d a D A G r e p r e s e n t i n g a l l t h e l e f t - r i g h t

c o n s t r a i n t s . A n y t o p o l o g i c a l s o r t o f t h i s D A G i s a c o n -

s i s t a n t o r d e r i n g . I f t h e r e a r e c y c l e s , t h e r e m u s t b e

e r r o r s .

A D F S c a n t e s t i f a g r a p h i s a D A G i t i s i t h e r e a r e

n o b a c k e d g e s - f o r w a r d e d g e s a r e a l l o w e d f o r D F S o n

d i r e c t e d g r a p h .

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A l g o r i t h m

T h e o r e m : A r r a n g i n g v e r t i c e s i n d e c r e a s i n g o r d e r o f

D F S n i s h i n g t i m e g i v e s a t o p o l o g i c a l s o r t o f a D A G .

P r o o f : C o n s i d e r a n y d i r e c t e d e d g e u ; v , w h e n w e e n -

c o u n t e r i t d u r i n g t h e e x p l o r a t i o n o f v e r t e x u :

I f v i s w h i t e - w e t h e n s t a r t a D F S o f v b e f o r e w e

c o n t i n u e w i t h u

I f v i s g r e y - t h e n u ; v i s a b a c k e d g e , w h i c h c a n n o t

h a p p e n i n a D A G .

I f v i s b l a c k - w e h a v e a l r e a d y n i s h e d w i t h v , s o

f v f u

T h u s w e c a n d o t o p o l o g i c a l s o r t i n g i n O n + m t i m e .

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10/12

A r t i c u l a t i o n V e r t i c e s

S u p p o s e y o u a r e a t e r r o r i s t , s e e k i n g t o d i s r u p t t h e t e l e -

p h o n e n e t w o r k . W h i c h s t a t i o n d o y o u b l o w u p ?

A n a r t i c u l a t i o n v e r t e x i s a v e r t e x o f a c o n n e c t e d g r a p h

w h o s e d e l e t i o n d i s c o n n e c t s t h e g r a p h .

C l e a r l y c o n n e c t i v i t y i s a n i m p o r t a n t c o n c e r n i n t h e d e -

s i g n o f a n y n e t w o r k .

A r t i c u l a t i o n v e r t i c e s c a n b e f o u n d i n O n m + n

j u s t d e l e t e e a c h v e r t e x t o d o a D F S o n t h e r e m a i n i n g

g r a p h t o s e e i f i t i s c o n n e c t e d .

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11/12

A F a s t e r O n + m D F S

A l g o r i t h m

T h e o r e m : I n a D F S t r e e , a v e r t e x v o t h e r t h a n t h e

r o o t i s a n a r t i c u l a t i o n v e r t e x i v i s n o t a l e a f a n d

s o m e s u b t r e e o f v h a s n o b a c k e d g e i n c i d e n t u n t i l a

p r o p e r a n c e s t o r o f v

X

The root is a special case since

it has no ancestors.

X is an articulation vertex since

the right subtree does not have

a back edge to a proper ancestor.

Leaves cannot be

articulation vertices

P r o o f : 1 v i s a n a r t i c u l a t i o n v e r t e x ! v c a n n o t b e a

l e a f .

W h y ? D e l e t i n g v m u s t s e p e r a t e a p a i r o f v e r t i c e s x

a n d y . B e c a u s e o f t h e o t h e r t r e e e d g e s , t h i s c a n n o t

h a p p e n u n l e s s y i s a d e c e n d a n t o f v

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12/12

X

Y

V

v s e p a r a t i n g x ; y i m p l i e s t h e r e i s n o b a c k e d g e i n t h e

s u b t r e e o f y t o a p r o p e r a n c e s t o r o f v

2 C o n d i t i o n s ! v i s a n o n - r o o t a r t i c u l a t i o n v e r t e x . v

s e p a r a t e s a n y a n c e s t o r o f v f r o m a n y d e c e n d a n t i n t h e

a p p r o p r i a t e s u b t r e e .

A c t u a l l y i m p l e m e n t i n g t h i s t e s t i n O n + m i s t r i c k y

b u t b e l i e v a b l e o n c e y o u a c c e p t t h i s t h e o r e m .