Lecture Note: Kinematics of Particles

Curvilinear Motion

지혜로운 자는 용사의 성에 올라가서

그 성의 견고히 의뢰하는 것을 파하느니라.

(잠언 21 장 22 절)

19

N

복선운동 (Curvilinear Motion)

N 은 Newtonian Reference Frame(절대기준틀)을 의미하며 공간에 고정되어 있다.

질점이 P 의 위치에서 t 의 시간 동안 P의 위치로 움직일 때, r과 r

을 각각 두 점의

기준점 O 점에 대한 위치 벡터라 하면, 질점의 평균속도는 t

rv

*

이고 순간속도는

dt

rd

t

rv

t

lim

0 이다. 그림에서 질점의 이동 거리 s 는 위치 변화인 r

과 다르며 그

미분 값 dt

ds는 속력이라 부르는 스칼라 값이다. 또 평균가속도

t

va

*

이고 순간가속도

2

2

dt

rd

dt

vda

이다.

< 예제 >

아래 변위 식으로 타원 운동을 하는 질점의 가속도 a가 변위 r

에 비례하는 것을 증명하라.

jptBiptAr ˆ)sin(ˆ)cos(

rpjptBpiptApdt

rda

222

2

2

ˆsinˆcos 따라서 ra

여기서 를 pt 의 함수로 표시해 보라.

20

벡터함수의 미분

<벡터함수의 정의>

어떤 벡터 p가 임의의 스칼라 변수들 1q , 2q , …, nq 의 변화에 따라 그 값이 변화할 때

벡터 p는 1q , 2q , …, nq 의 벡터함수라 부르고 )...,,,( 21 nqqqp

으로 표시한다.

<벡터함수의 미분>

벡터함수의 미분은 기준틀에 따라 그 결과가 달라진다. 본 장에서는 우주공간에 절대적으로

고정된 기준틀 즉 절대기준틀(Newtonian Reference Frame)에 대한 미분만 다루며 벡터함수도

단일 독립변수인 시간에 대한 함수만을 다룬다.

절대기준틀에 대한 미분만을 다룰 경우는 벡터 p가 t 의 함수라면, 벡터의 미분은 다음과

같이 정의할 수 있다.

t

p)tt(plim

t

plim

dt

pd

tt

00

위 식의 좌변은 엄밀하게 쓰자면 dt

pdN

라고 써야 하며 이는 절대기준틀 N 에 대한 미분을

의미한다. 교재 15 장에서 강체 동역학 내용을 다루게 될 때 절대기준틀에 대한 미분뿐만

아니라 임의의 기준틀에 (예를 들면 움직이는 기준틀) 대한 미분도 다루게 되는데 그 때는

어떤 기준틀에 대한 미분인가를 분명히 하기 위해서 벡터 미분표현의 좌측 상단에 기준틀

표시를 반드시 하여야 한다.

동일한 기준틀에 대한 미분에 대해서는 다음 법칙들이 성립한다.

dt

QdPQ

dt

Pd

dt

)QP(d

dt

QdPQ

dt

Pd

dt

)QP(d

dt

PdfP

dt

df

dt

)Pf(d

dt

Qd

dt

Pd

dt

)QP(d

21

질점의 상대운동

복선운동을 하는 두 질점 A 와 P 의 상대운동을 고려해 보자.

, , / APrOArOPr APAP

/ APAP rrr

Pr

= Ar

+

APr /

이를 시간에 대해 미분하면,

APAP vvv /

다시 한번 미분하면,

APAP aaa /

교재의 11.12 절에 Frame 이란 용어가 소개되었는데 그 설명이 적절치 않을 뿐만 아니라

질점 동역학을 위해 필요하지도 않다. Frame 즉 기준틀에 대한 상세하고 본격적인 설명은

15 장 이후 논의되는 강체동역학에서 다루게 될 것이다.

회전운동이 없는 강체의 경우 질점과 동일한 식들이 성립한다. 이는 회전운동이 없으면

강체 위의 모든 점의 속도나 가속도가 같기 때문에 강체를 하나의 질점 운동으로 취급해도

상관이 없기 때문이다.

22

<예제>

질점 A 는 등속운동을 질점 B 는 등가속운동을 할 때, 운동 시작 5 초 후에 질점 A 에 대한

B 의 상대변위, 상대속도, 그리고 상대가속도를 구하라. 이 때 주어진 조건은 아래와 같다.

0 10 00 AAAa,iv,r

j.a,vjr BB

0

B21 0 , 350

B 1.2 (m/s2

) 등가속운동

35

10 (m/s10 (m/s) 등속운동

주어진 조건에서

jaaa

ijvvv

ijrrr

jtr

Cjr

jCtrjtdt

rdv

jtv

Cv

jCtvjdt

vda

itr

Cr

iCtridt

rdv

t

ABAB

t

ABAB

t

ABAB

B

B

BB

B

B

B

BB

B

A

A

AA

A

ˆ2.1)(

ˆ10ˆ6)(

ˆ50ˆ20)(

ˆ)356.0(

35ˆ35

ˆ)6.0(ˆ2.1

ˆ2.1

0

ˆ)2.1(ˆ2.1

ˆ10

00

ˆ)10(ˆ10

5

/

5

/

5

/

2

3

3

2

2

2

1

1

0t

0 0t

0t

A

Y

X

23

A

B

C

j

i

<예제>

질점 A, B, C 가 아래 그림에 보이는 것과 같은 등속운동을 하며 그 정량적인 값들은 그림

우측에 나타나 있다.

)ˆ50sinˆ50(cos2.1

)ˆ2

3ˆ2

1(5.1 ,ˆ8.1

/ jiv

jiviv

AB

CA

이 때 각 질점 간 다음 상대운동들을 구하라.

(m/s) ˆ38.0ˆ32.3

)ˆ92.0ˆ57.2()ˆ30.1ˆ75.0(

ˆ92.0ˆ57.2

(b)

(m/s) ˆ30.1ˆ55.2 (a)

/

/

/

/

ji

jijiv

jivvv

vvv

jivvv

BC

ABAB

BCBC

CACA

CBrc /)(

, t =10 sec

CBr /

= Br

-

Cr

= - tvv BC )(

= tv BC /

(m) ˆ8.3ˆ2.33 ji

알아둘 점

0)()()(/// CABCABCABCAB vvvvvvvvv

24

A

B

ABx /

Ax

i

j

질점의 종속운동

아래 시스템에서 15 도의 상단 경사면을 갖는 블록 A 의 속도와 가속도가 각각 200mm/s 와

150mm/s2 이면 B 의 속도와 가속도를 구하라.

이 문제에서도 실의 길이가 일정하다는 조건을 이용한다.

constant2 / ABA xx 여기서 AA xx

그리고

ABAB xx //

위 식을 미분하면

02 / ABA vv 따라서 4002/ AAB vv

02 / ABA aa 따라서 3002/ AAB aa

그런데 A 의 운동과 B 의 A 에 대한 상대운동 방향이 다르므로 이는 다음과 같이 벡터를

이용하여 관계를 나타내어야 한다.

ABAB vvv / 여기서 400// ABAB vv

따라서 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ200 400 cos15 sin15 186.4 103.5Bv i i j i j

213.2Bv (mm/s)

또한 ABAB aaa /

여기서 300// ABAB aa

따라서 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ150 300 cos15 sin15 139.8 77.65Ba i i j i j

159.9Ba (mm/s2)

25

직교 좌표계로 표현된 운동 벡터

직교좌표계를 이용하여 위치벡터를 표시하면,

kzjyixr ˆˆˆ

여기서 i , j , k 는 고정된 기준틀에 부착된 x , y , z 방향 단위벡터들이다.

따라서 속도벡터는

kvjviv

kzjyixdt

rdv

zyx

또한 가속도벡터는

kajaia

kzjyixdt

rda

zyxˆˆˆ

ˆˆˆ2

2

좌표계와 좌표

직교좌표계란 세 단위 벡터들로 ( i , j , k ) 형성되며, x , y , z 는 직교좌표를 나타낸다.

좌표계라는 용어와 좌표라는 용어는 서로 구분하여 사용하여야 한다. 본 교과과정 후반부에

강체운동을 다루는 부분에서 이에 대한 설명을 더 상세히 할 것이다.

좌표계와 좌표의 혼용

경우에 따라 극좌표와 직교 좌표계를 혼용하여 사용할 수도 있다. 예를 들어, 위치벡터를

원통 극좌표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수도 있다.

kzjrirr ˆˆsinˆcos

그러나 극좌표는 극좌표계와 함께 사용하는 것이 통상 효율적이다. 즉, zr ezerr ˆˆ

.

26

<예제>

중력장에서 운동하는 포탄의 궤적을 (z방향 운동은 없는 평면운동 가정) 함수로 나타내라.

주어진 조건: 초기 위치, 초기 속도, 그리고 가속도는 다음과 같다.

gaa

vvvv

yx

yx

yx

,0

,

0

2010

00

따라서

10 .0 vxconstvxax xx

또 적분하면,

)2(2

10)0(

2

1

)0(

)1(0)0(

2

2

3

32

2

2220

2

110

11

tvgtyCy

Ctvgty

vgtyCvvy

Cgtygay

tvxCxx

Ctvx

y

y

(1)식에서

1v

xt , 이것을 (2)식에 대입하면,

1

2

2

12 v

xv

v

xgy

y 는 x 에 대한 2차 식, 즉 포물선 방정식이다. 포탄과 같이 중력장에서 자유운동을 하는

물체들이 포물선 궤적을 따라 운동을 한다는 것은 이 식에 근거한 말이다.

27

<예제>

해발 150m 의 고지에서 아래 그림과 같은 조건으로 포를 발사할 때, 그 포탄이 해발 0m 인

지면에 도달할 수 있는 수평비행 거리와 최대 높이를 구하라.

위 그림의 포물선 운동은 다음조건들 하에서 발생한다.

0 0

0

0

0

180cos30 156.

180sin 30 90.0

0, 9.81

o

x

o

y

x y

x y

v

v

a a

따라서, 기본적인 관계를 유도해 보면

1

1

2 2

0 156 156

(0) 0 0 156

9.81 9.81 , (0) 90.0 90.0

9.81 90.0

x

y

a x x const x t C

x C x t

a y y t C y C

y t

y

2

3 3

2

4.91 90.0 , (0) 0 0

4.91 90.0

t t C y C

y t t

(a) 수평비행거리를 구하라.

24.91 90.0 150. 19.9 156 19.9 3100y t t t x

(b) 최고높이를 구하라.

9.81 90.0 0 9.17 (9.17) 413y t t y

해발 0m

28

<예제>

아래 그림에 나타난 조건으로 공을 던져서 벽의 가장 높은 위치를 맞추려면, 어떤 각도로

공을 던져야 할까를 결정하라.

5.1tan15sec406.3

5.1cos

sin15

cos6

5905.4

cos6

515

5.12

1

sin18sin

cos18cos

2

2

0

0

2

00

00

y

ttv

tvgty

vv

vv

x

y

y

x

y 가 의 함수이므로 maxy 는 극값이 0 이 되는 위치에서 결정된다.

2

2

max

6.812sec (sec tan ) 15sec 0

sec ( 6.812 tan 15 ) 0

15sec 0 tan 65.58

6.812

14.60( ) 2.016

o

dy

d

y m t

생각해 보기: maxy 에서 yv 값이 0 이 될까? 이 질문의 답은 ‘아니다’이다.

x 방향: 등속운동

y 방향: 등가속운동

29

극좌표계로 표현된 운동 벡터

re : OP방향, 즉 r 이 증가하는 방향

e : re 에 수직으로 가 증가하는 방향

* 기준점 O가 정해져야 좌표계를 정할 수 있음

P에서의 반경방향 단위벡터를 re 이라 하고 re 과 re 을 한 점에 모으면 아래 그림과 같은

삼각형이 형성된다.

우선 위 그림에서 re 의 크기를 구하면 ( re 의 크기는 1 이므로)

2

22

2

sinsinee rr

따라서

1

2

222

limlimlim000

sinsiner

그런데 가 0 으로 갈 때, re 의 방향은 e 이다. 따라서

ee

d

ed rr

lim

0

앞에서와 동일한 방법으로 가 0 으로 갈 때, e 의 방향은 re 이므로

red

ed

위치벡터 r

P err ˆ

이므로 이를 시간에 대해 미분하면,

)ˆ(ˆrr

P edt

drerv

re

re re

e

e

e

30

그런데 체인 룰을 이용하면,

ererve

dt

de

d

de

dt

dr

P

rrˆˆˆ)ˆ()ˆ(

다시 속도 벡터를 미분하면

)ˆ(ˆˆ)ˆ(ˆ)( edt

drerere

dt

drerv

dt

da rr

PP

여기서,

errerrae

dt

de

d

de

dt

dr

P

rˆ)2(ˆ)(ˆ)ˆ()ˆ( 2

이상에서는 평면에서의 극좌표계 사용을 다루었다.

공간 운동일 경우

1) 극 좌표 계 중 원통좌표계를 (Cylindrical coordinate system) 사용하면

zr

P

zr

P

zr

P

ezerrerra

ezererv

ezerr

ˆˆ)2(ˆ)(

ˆˆˆ

ˆˆ

2

2) 극 좌표 계 중 구면좌표계를 (Spherical coordinate system) 사용하면

eRRdt

d

R

eRRdt

d

ReRRRa

eReReRv

eRr

R

P

R

P

R

P

ˆcossin1

ˆsin2cos

ˆ)cos(

ˆˆcosˆ

ˆ

22

2222

x

y

z

R

ˆRe

e

e

31

<예제>

아래 그림의 시스템 운동 시 슬라이더 B 의 속도와 가속도의 크기를 구하라.

주어진 조건은 (m) 12.09.0 , (rad) 15.0 22 trt

따라서

(sec) 869.1 0.150.524

rad 524.030

2

tt

(a) B 의 속도

ttr

ererv r

3.0 , 24.0

ˆˆ

(b) B 의 가속도

531.0

ˆ359.0ˆ391.0

359.02 , 391.0 869.1

3.0 , 24.0

ˆ)2(ˆ)(

2

2

a

eea

rrrrt

r

errerra

r

r

524.0)270.0449.0(

ˆ270.0ˆ449.0

270.0 , 449.0 869.1

2

1

22

v

eev

rrt

r

32

궤적좌표계로 표현된 운동 벡터

te : 궤적에 접선방향 단위벡터

tn ee ˆ:ˆ 에 수직인 곡률 안쪽을 향한 단위벡터로서

법선 방향 단위벡터라 한다.

시간 t 동안 P 에서 P으로 이동

P 와 P 을 한 점에 모을 때 te 와 'ˆte 이 이루는 각도를

라 하면

1

)2

(

)2

sin(

limˆ

lim

2sin2

2sinˆ2ˆ

00

t

tt

e

ee

ne 의 크기는 1 이고 방향은 가 0으로 갈 때 te 와 같아지

므로

nt

t ee

ed

dˆ

ˆlim)ˆ(

0

P 점의 접선방향 속력을 v 라 하면 속도벡터 t

P evv ˆ

가 되며, 이것을 미분해서 가속도를

구하면,

)ˆ(ˆ)( tt

PP edt

dvevv

dt

da

그런데 체인룰에 의해

ˆ

)ˆ( dt

ds

ds

d

d

ede

dt

d tt

우측 그림에서 는 곡률반경을 나타낸다. 즉,

또한 vdt

ds 이므로, nt e

ve

dt

dˆ)ˆ(

. 그러므로 nt

P ev

eva ˆˆ2

1

ds

ddsd

P

P

33

공간운동을 기술하기 위해서 te 와 ne 외에 be 가 결정되어야 완전한 좌표계를 구성하는데

ntb eee ˆˆˆ 의 식으로 결정되며 be 는 종법선 (binormal) 방향 단위벡터라 한다.

궤적 좌표계는 원점이 정의되지 않아도 사용이 가능하며, 통상 위치벡터를 표시하지 않는다.

궤적 좌표계가 극 좌표계와 다른 점은 극 좌표계의 경우 와 관련된 정보가 주어지면 사용

이 편리한데 반해 궤적 좌표계는 곡률반경 에 관한 정보가 주어지면 편리하다는 점이다.

용어설명

접촉 평면 (Osculating plane): te 와 ne 이 이루는 평면을 의미하며 가속도의 성분은 이

평면 상에만 존재한다.

좌표계의 선정방법

이상에서 우리는 직교좌표계, 극좌표계, 그리고 궤적좌표계를 소개하였다. 이 중에서 어떤

좌표계를 사용하는 것이 좋은가는 우리가 풀이하고자 하는 문제들에 달려있다. 이 중에서

직교 좌표계는 가장 일반적인 경우 적용하게 되며, 극좌표계나 궤적좌표계는 원운동과 같은

곡선형 운동에 적용할 경우가 많다. 그러므로 좌표계의 선택은 대상이 되는 운동의 형태에

의해 우선 좌우되며 이와 더불어 문제에 주어진 정보나 요청되는 정보의 종류에 의해 가장

적절한 좌표계가 결정될 수 있다. 물론 어떤 좌표계가 사용되더라도 모든 문제들의 해결이

가능하나, 좌표계를 적절하게 선정하지 못하면 동일한 문제풀이에 더 많은 시간과 노력을

투입해야 한다.

그러므로 학생들이 교재 11 장에 주어진 문제를 대할 때 가장 중요하게 관찰해야 하는 것은

주어진 문제를 어떤 좌표계를 사용하여 풀이하는 것이 가장 적절할 것인가를 우선 판단하는

것이다.

34

<예제>

오토바이가 반경 600m 인 곡선주로를 따라서 운동할 때, 한 지점에서 속력이 30 m/s 이고

가속력이 ( v ) –1 m/s2로 관측되었다. 이 때 오토바이의 가속도 크기는 얼마인가?

(이 문제에서 오토바이는 아래 그림 원호의 하단에서 상단 방향으로 이동하고 있다.)

궤적좌표계를 사용하여 가속도를 나타내면,

tn evev

a ˆˆ2

그런데

30v , 600 , 1v

따라서 가속도 tn eea ˆˆ5.1

이고, 가속도의 크기 21.5 1 1.80a 이다.

만일 극좌표계를 사용하여 풀이하면,

1 20

1

600

30 30 ˆ

rrerv

그러므로

eeerrerra rrˆˆ5.1ˆ)2(ˆ)( 2

좌표계의 선택이 문제풀이 난이도에 상당한 영향을 미칠 수 있음을 위의 풀이과정을 통해

알 수 있다.

re

e

35

<예제>

중력장에서 수평방향 속도 156m/s 로 발사된 포탄의 운동 시 그 최고점에서의 곡률 반경을

구하라.

문제에서 주어진 조건은

156.

9.81

x

n

v

a

문제에서 주어진 정보

그런데

nx

tn ev

evev

a ˆˆˆ22

(왜냐하면 최고점에서 0v 이므로)

즉

2 2 2156 2480 (m)

9.81

x xn

n

v va

a

<생각해 보기>

최고점에서 0v 인 이유는 무엇일까? 이것은 당연한 사실이 아니며, 잘 분석해 보아야 할

문제이다. 즉,

222

yx vvv

이 식을 미분하면 yyxx vvvvvv 222

그런데 우변에서 0xv 그리고 0yv (최고점에서)

따라서 우변은 0 이 되며 그 결과 0v 이 되는 것이다.