Legami momento-curvatura e duttilit di strutture in

Legami momento-curvatura e duttilit di strutture in

calcestruzzo armato con barre inox

Prof. N. Scibilia*, Ing. G. Campione**, Ing. M. Sacco***

Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Universit di Palermo

*Professore associato di Tecnica delle Costruzioni

**Ricercatore di Tecnica delle Costruzioni

***Dottorando di Ricerca in Ingegneria delle Strutture

1. Introduzione

Uno dei problemi di attualit nel campo della progettazione, realizzazione e manutenzione delle costruzioni in calcestruzzo armato riguarda la durabilit di unopera in relazione al periodo di vita utile previsto. Per garantire tale requisito necessario rispettare precise regole progettuali e di calcolo, in accordo con i pi recenti codici normativi, in aggiunta ad una buona esecuzione del manufatto e ad una dettagliata conoscenza della tecnologia del calcestruzzo.

Come ben noto, una delle maggiori cause di degrado delle opere in cemento armato la corrosione delle armature, sia per la riduzione delle aree di acciaio che ne deriva, che per i processi di danneggiamento del calcestruzzo stesso.

Le soluzioni correntemente proposte per aumentare la resistenza alla corrosione delle armature sono, oltre alla previsione di adeguato ricoprimento in relazione alle condizioni ambientali, luso di rivestimenti protettivi, di barre in acciaio zincato o in acciaio inox ed, ancora, di barre in materiale polimerico (fibre di vetro o di carbonio).

Appare evidente che limpiego di tali soluzioni aumenta sensibilmente il costo iniziale della struttura, ma tale incremento pu risultare accettabile rispetto a quello costo totale, se viene riguardato in funzione della vita utile dellopera (inglobando cio anche i costi degli interventi di manutenzione).

Nel seguito si focalizza lattenzione sul comportamento delle strutture in calcestruzzo armato con barre di acciaio inox, evidenziando alcune problematiche significative e confrontandole con quelle relative allimpiego di acciaio al carbonio.

2. Comportamento sperimentale e modelli analitici per lacciaio darmatura

Lacciaio al carbonio ad aderenza migliorata, se sottoposto a prova quasi statica di trazione, presenta comportamento iniziale del tipo elastico lineare con rigidezza pari al modulo Es = 206000 MPa, seguito dallo snervamento in corrispondenza della tensione fy e da una fase plastica (il materiale scorre a tensione praticamente costante o lievemente crescente) che si manifesta con una diversa caratterizzazione a seconda del tipo di acciaio.

Per gli acciai laminati a caldo (hot-treated), dopo lo snervamento, si manifesta un ramo sub-orizzontale (plateau) seguito da una successiva fase di incrudimento fino al raggiungimento della tensione massima fu in corrispondenza della deformazione uniforme s,u. Successivamente si manifesta la strizione della barra con apparente riduzione della tensione fino alla rottura. Negli acciai trafilati a freddo (cold-worked) ed in quelli legati (inox), lo snervamento non pronunziato e, pertanto, si fa riferimento alla tensione cui allo scarico corrisponde una deformazione residua dello 0.2%.

e

s,y

e

s,h

e

s,u

f

y

f

u

1

-

Laminato a caldo

2

-

Trafilato a freddo

e

s,5

f

s

2

1

e

s,0.2

e

Figura 1 Legami tensione-deformazione per acciaio da cemento armato

Per barre in acciaio legato o lavorate a freddo (cold-worked) un modello in grado di cogliere gli aspetti salienti del comportamento quello di Ramberg e Osgood avente il seguente legame tensione-deformazione in trazione:

n

s

B

E

+

=

s

s

e

(1)

con

-

=

y

u

s

y

u

,

s

f

f

ln

002

.

0

E

f

ln

n

e

e

=

n

1

y

002

.

0

f

B

(2)

Per barre in acciaio al carbonio o laminate a caldo invece, il legame elasto-plastico incrudente rilevato sperimentalmente viene bene interpretato dalle seguenti leggi:

e

s

=

s

E

per < y(3)

y

f

=

s

per y ( ( sh(4)

(

)

-

-

+

=

-

k

y

u

y

sh

1

f

f

f

e

e

e

s

per sh ( ( su(5)

essendo

16

.

0

028

.

0

k

sh

su

sh

-

-

=

e

e

e

(6)

Indipendentemente dalle diverse trattazioni teoriche e dalla forma che assumono i legami rappresentativi, sia nel caso di acciaio trattato a freddo che laminato a caldo, i parametri sperimentali atti a caratterizzare il tipo di legame costitutivo sono in entrambi i casi, il modulo di elasticit iniziale Es, la tensione di snervamento fy, quella di rottura fu e la deformazione uniforme s,u.

Per la modellazione analitica del legame costitutivo il modello pi adottato (D.M. 01/06/96) quello elasto-plastico mostrato in Figura 2, per la cui definizione necessaria la conoscenza della tensione di snervamento fy e della deformazione uniforme s,u.

e

s,y

e

s,u

f

y

elasto

-

plastico

elastico

-

incrudente

E

s

f

u

s

E

s

/100

e

Figura 2 Legami idealizzati per barre al carbonio

Unalternativa, mostrata sempre in Figura 2, rappresentata dal legame elasto-plastico incrudente, che contrariamente al precedente caso, tiene conto della ripresa di resistenza al di l dello snervamento (incrudimento), manifestatesi con un valore del modulo pari a circa Es/100.

Poich la valutazione della deformazione ultima profondamente influenzata dal fenomeno della strizione, pi appropriato, oltre a valutare la deformazione a rottura con riferimento ad una base di misura di cinque diametri, come si fa nella maggior parte dei casi, (tale deformazione indicata con il simbolo s,5), considerare anche le deformazioni s,10 sulla base di dieci diametri a cavallo della mezzeria della barra.

La valutazione delle deformazioni s,5 e s,10 contemplata sia dal Model Code 90 che dallEurocodice 2. Poich allaumentare della base di misura leffetto della strizione si distribuisce sempre di pi, risulta s,5s,10s,u.

Un'altra importante propriet dellacciaio la duttilit intesa come la capacit del materiale di subire elevate deformazioni con ridotte perdite di resistenza sia sotto lazione di carichi monotonici che ciclici.

A tal proposito risulta interessante la classificazione dellacciaio con riferimento alla deformazione ultima s,u e al rapporto fu / fy. Il Model Code 90 definisce le tre classi B, A, S dotate di duttilit crescente e consiglia luso di acciaio tipo S in zona sismica con la limitazione che il rapporto tra la tensione di rottura e quella di snervamento non superi il valore di 1.3. In Tabella 1 si forniscono i valori minimi suggeriti per garantire i requisiti di duttilit dellacciaio.

LEurocodice 2 prevede, invece, due diverse categorie di acciaio da cemento armato denominate rispettivamente ad alta duttilit (HD) ed a normale duttilit (ND) le cui propriet vengono riportate in Tabella 2. Restrizioni maggiori sono invece previste (come evidenziato sempre in Tabella 2 relativamente alle classi DC-M DC-H rispettivamente di media ed alta duttilit) dallEurocodice 8 per costruzioni in cemento armato in zona sismica.

Tabella 1 Valori minimi di rapporti di resistenza e di deformazione ultima secondo Model Code 90

CEB Model Code 90

Classe B

Classe A

Classe S

s,u

(2.5%

(5%

(6%

fu/fy

(1.05

(1.08

(1.15

Tabella 2 Valori minimi di rapporti di resistenza e di deformazione ultima secondo EC2, EC8

Eurocodice 2

Eurocodice 8

ND

HD

DC-M

DC-H

s,u

(2.5%

(5%

(6%

(9%

fu/fy

(1.05

(1.08

(1.15

(1.20

Fermo restando quanto detto fino ad ora, occorre sottolineare che unelevata duttilit del materiale non corrisponde sicuramente ad unelevata duttilit della struttura, in quanto nel cemento armato intervengono altri fenomeni legati al comportamento della sezione o dellelemento strutturale e problemi specifici come linfragilimento per azione tagliante o la perdita di aderenza in presenza di insufficienti ancoraggi che possono penalizzare la duttilit.

La duttilit pu essere valutata anche mediante un parametro definito parametro di acciaio equivalente, p,(Cosenza et al., 1993), che rappresenta una misura della duttilit del materiale in relazione alla struttura:

9

.

0

y

u

75

.

0

u

,

s

1

f

f

p

-

=

e

(7)

Valori del parametro p compresi fra 0.01 e 0.02 indicano secondo Cosenza et al. (1993) buone caratteristiche di duttilit, assicurando rotazioni plastiche fra 0.02 e 0.035.

3. Acciai al carbonio e inox: propriet, confronti e normativa

Lacciaio da cemento armato ad aderenza migliorata, viene fornito in barre, rotoli od in forma di reti elettrosaldate. Le barre hanno diametri ammessi compresi tra 5 e 30 mm, mentre limpiego dei rotoli ammesso per diametri ( < 12 mm.

Per laccertamento delle propriet meccaniche le norme di riferimento sono le EN 10002/1 del marzo 1990, e le UNI 6407 del marzo 1969.

In particolare si distinguono acciai formati a freddo (in barre o in rotoli), e laminati a caldo. Per gli acciai formati a freddo le propriet meccaniche vanno determinate su provette tenute per 30( a 250C e successivamente raffreddate in aria. Per gli acciai laminati a caldo tali prove vanno eseguite a temperatura ambiente. Per gli acciai per i quali non facilmente identificabile il limite di snervamento tale valore si assume pari alla tensione f(0.2), corrispondente al valore per cui allo scarico permane una deformazione residua dello 0.2%.

Le propriet meccaniche costituite dalla tensione di snervamento fy, e di rottura fu e dallallungamento a rottura A5 (valutato su una base di misura di 5 diametri) sono da intendersi come valori caratteristici minimi (cio tali che esista una probabilit del 95% che tali valori siano superati durante le prove) e, secondo le norme, risultano quelli forniti in Tabella 3.

Tabella 3 Propriet meccaniche di barre ad aderenza migliorata del tipo FeB 38K e Fe B 44K.

Tipo di acciaio

FeB 38K

FeB 44k

Tensione caratteristica di snervamento. fyk N/mm2

(375

(430

Tensione caratteristica di rottura... fuk N/mm2

(450

(540

Allungamento.A5 %

(14

(12

Si ricorda, inoltre, che per essere considerati conformi secondo norma, gli acciai devono anche superare le prove di piegamento e raddrizzamento, non presentando cricche o screpolature.

Le barre inox, le cui propriet meccaniche verranno discusse nel seguito, vengono fornite in barre con diametri compresi tra 5 e 26 mm ed in rotoli con diametri compresi tra 5 e 12 mm.

Le propriet meccaniche degli acciai inossidabili austenitici sono diverse da quelle degli acciai al carbonio e dipendono essenzialmente dal tipo di struttura metallografica che ne pu fare variare il modulo elastico da 160000 MPa a 210000 MPa. Come rilevato da Siviero et al. (2002) anche lallungamento uniforme influenzato dal particolare tipo di struttura e dal tipo di trattamento subito dallacciaio inox ed in modo predominante dal diametro della barra. Ad esempio, per barre di produzione italiana lallungamento uniforme per diametri compresi tra 5 e 12 mm varia tra il 2.5 ed il 5%, mentre per diametri compresi tra 16 e 26 mm raggiunge valori maggiori del 10%.

In genere, il valore della tensione di snervamento risulta superiore rispetto a quello delle barre tradizionali, come superiore risulta anche la tensione a rottura, poich tali acciai sono particolarmente sensibili al fenomeno dellincrudimento, con valori medi fino a 600 MPa per barre a caldo e 1000 MPa per barre a freddo, sempre con valori di allungamento a rottura accettabili.

Recenti studi (Siviero et al, 2002) hanno messo in luce le differenze in termini di duttilit rotazionale di sezioni inflesse (intesa come rapporto tra curvatura nelle condizioni di collasso ed al primo snervamento) al variare della percentuale di armatura calcolata sia per acciai al carbonio che del tipo inox.

Comunque, la caratteristica pi vantaggiosa che gli acciai inox presentano rispetto agli acciai tradizionali, rimane indubbiamente una migliore resistenza al fuoco ed una minore sensibilit allossidazione, che non produce fenomeni di rigonfiamento, e in virt del contenuto processo di corrosione cui soggetto lacciaio inox, esso consente la riduzione degli spessori del calcestruzzo di ricoprimento.

Tabella 4 Propriet meccaniche di reti e tralicci

Tensione caratteristica di snervamento... fyk (ovvero f(0.2)k N/mm2

(390

Tensione caratteristica di rottura..... fuk N/mm2

(440

Allungamento...A10 %

(8

Rapporto fuk/fyk..

(1.1

Rapporto dei diametri dei fili dellordito..

(0.60

Con riferimento alle nuove costruzioni, limpiego dellacciaio inox ammesso anche dalla normativa italiana, purch esso sia equiparabile come propriet meccaniche allacciaio del tipo FeB 44k.

Con riferimento alle reti ed ai tralicci di acciaio elettrosaldato con diametro compreso tra 5 e 12 mm si devono soddisfare, secondo il D.M. 09/01/96 i requisiti minimi forniti in Tabella 4, oltre che alcune prescrizioni circa la resistenza dei nodi e il rispetto di limiti geometrici.

4. Prove sperimentali su barre di acciaio inox

Vengono presentati i risultati di prove di trazione su acciaio in barre inox austenitico AISI 316 e si confrontano i risultati sperimentali con le curve tensione-deformazione relative alle barre al carbonio FeB 44k. Le barre inox provate sono in numero di tre nei diametri 8, 12 e 16 mm e provengono per ogni diametro da una stessa colata. In Figura 3 si mostra la foto delle barre provate prodotte dalla Cogne e fornite dalla ditta Sud Ferro di Palermo.

Figura 3 Barre inox fornite dalla Cogne tipo AISI 316

.

Figura 4 Prova di trazione con estensimetro

Per le prove di trazione si impiegata una macchina universale Galdabini da 60 tonn. operante in controllo di spostamento, inserendo la barra strumentata con trasduttore induttivo tra i morsetti della macchina, e collegando la cella di carico da 150 kN, ed il trasduttore ad una centrale di acquisizione dati computerizzata (Figura 4) stato possibile rilevare in modo continuo ed automatico le curve carico-allungamento.

Due barre per ogni diametro provato sono state ricavate da ununica barra ed hanno lunghezza totale, secondo normativa, pari a 15 + 2 L essendo il diametro della barra ed L la zona in cui viene misurata la deformazione dopo la rottura.

In Tabella 5 si riportano i valori, ricavati come media fra quelli ottenuti dai due campioni, della tensione allo 0.2% assunta come tensione di snervamento convenzionale, della tensione di rottura ed il valore dellallungamento a rottura, assunto pari ad A5 per gli acciai laminati e ad A10 per quelli, come prescritto dalla vigenti norme.

Tabella 5 Valori medi di resistenza e deformazione

Tipo acciaio

(mm)

fy

(MPa)

fu

(MPa)

A5

(%)

A10

(%)

Carbonio

8

622

737

/

13.00

Carbonio

16

490

614

23

/

Inox

8

834

913

/

10.90

Inox

12

785

898

/

10.88

Inox

16

546

742

44

/

In Figura 5 si riportano le curve tensione-deformazione di barre da 16 mm e da 8 mm sottoposte alla prova di trazione per lacciaio al carbonio ed inox.

0

200

400

600

800

1000

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

e

(%)

s

(MPa)

f

16

f

8

f

16

f

8

carbonio

inox

Figura 5 - Legami costitutivi ricavati sperimentalmente per lacciaio al carbonio FeB 44k ed inox.

5. Metodi di verifica regolamentari delle sezioni

Ladozione di barre in acciaio inox nelle strutture in cemento armato, verificate secondo il metodo delle tensioni ammissibili, consentito dal D.M. 09/01/96, non dovrebbe comportare particolari problemi. Assimilando gli acciai AISI 304 e 316 allacciaio al carbonio FeB 44k, dovrebbero utilizzarsi barre ad aderenza migliorata aventi diametro tra 5 e 26 mm. I suddetti acciai inox soddisfano le limitazioni regolamentari sui valori delle tensioni caratteristiche di snervamento e di rottura, nonch di allungamento su 5 diametri.

Le differenze tra i due acciai riguardano:

il valore del modulo di elasticit longitudinale che, per lacciaio inox pu assumersi compreso tra 190 e 200 kN/mm2, mentre per lacciaio al carbonio pari a 206 kN/mm2;

il coefficiente di dilatazione termica che per lacciaio inox pari a 1.610-5 C-1, mentre per lacciaio al carbonio pari a 110-5 C-1, pari a quello del calcestruzzo.

La prima differenza si ripercuoterebbe sul coefficiente di omogeneizzazione n dipendente dal rapporto tra i moduli elastici dellacciaio e del calcestruzzo. Essendo questultimo legato alla resistenza caratteristica del calcestruzzo e dipendente dalla sua viscosit, le norme prescrivono di fare riferimento ad un valore convenzionale di 15, sul quale non si ritiene che la variazione di Ea abbia incidenza effettiva.

La differenza tra il coefficiente di variazione termica dellacciaio inox ed il calcestruzzo determina, in caso di variazioni termiche uniformi, un regime di autotensioni assenti in presenza di armatura al carbonio.

Con riferimento ad una trave di lunghezza L sottoposta ad una variazione termica uniforme T > 0, in assenza di aderenza tra i due materiali, si determinerebbe una variazione di lunghezza L = L T. In virt delladerenza, nascono tensioni tangenziali tali da indurre accorciamento nellacciaio e trazione nel calcestruzzo, analogamente a quanto avviene a causa del ritiro.

Considerando la variazione termica regolamentare di 25, L = 0.610-5 L 25 = 0.15x10-3.

Con riferimento ai valori regolamentari dei coefficienti di contrazione cs per il ritiro, si osserva che gli effetti indotti dalle autotensioni sono valutabili in unaliquota compresa tra il 70% ed il 35% di quelli prodotti dal ritiro, rispettivamente in condizioni ottimali ed avverse di stagionatura.

Pertanto, sarebbe prudenziale incrementare i coefficienti di contrazione cs dei suddetti valori percentuali in relazione allumidit relativa dellambiente di stagionatura ed alla dimensione fittizia della sezione. Lincremento del coefficiente cs pu determinare, per T > 0, una maggiore ampiezza della fessurazione del calcestruzzo indotta dal ritiro , la quale non ha ripercussioni sulla resistenza della struttura , valutata nellipotesi che il calcestruzzo on resista a trazione, n sulla sua durabilit grazie allinsensibilit delle barre inox alla corrosione.

La verifica allo stato limite ultimo delle sezioni pressoinflesse potrebbe condursi sulla base delle procedure adottate per la verifica delle sezioni con armature al carbonio, tenendo opportunamente conto della tensione di snervamento che si ripercuote sulla posizione della retta di separazione dei campi di rottura 3 e 4. Tuttavia, per cogliere con efficacia linfluenza delladozione di tali nuovi acciai sulla sicurezza strutturale, si ritenuto opportuno affrontare unanalisi non lineare di strutture in calcestruzzo armato con barre inox.

Considerando le variazioni = 0.6 10-5 C-1 e rispettivamente fra i coefficienti di dilatazione termica dellacciaio inox e del calcestruzzo e di temperatura, si ottiene (T = 1.5(10-4 e considerando per lacciaio un modulo elastico pari a Ea = 200000 MPa, si avr:

m

+

D

a

D

m

=

s

n

1

T

200000

c

[MPa]

m

+

D

a

D

=

s

n

1

T

200000

a

[MPa]

A titolo desempio, per una sezione rettangolare, con armatura doppia e simmetrica, nella seguente tabella vengono riportati i valori delle tensioni che si ottengono utilizzando le formule summenzionate, al variare della percentuale di armatura (da 0.5% al 4%).

c [MPa]

a [MPa]

0.5%

0.14

28

2%

0.46

23

4%

0.75

19

Nella condizione pi sfavorevole per un pilastro con barre inox e una percentuale di armatura pari a = 0.3%, sempre per (T = 1.5(10-4, si avrebbe:

MPa

10

6

.

8

10

3

.

0

15

1

10

5

.

1

10

3

.

0

200000

2

2

4

2

c

-

-

-

-

=

+

=

s

MPa

29

10

3

.

0

15

1

10

5

.

1

200000

2

4

c

=

+

=

s

-

-

Per = 2%, si ottiene:

MPa

46

.

0

10

2

15

1

10

5

.

1

10

2

200000

2

4

2

c

=

+

=

s

-

-

-

MPa

23

10

2

15

1

10

5

.

1

200000

2

4

a

=

+

=

s

-

-

Facendo riferimento ad una sezione armata con Af = Af = 1% ( = 2%), si determina una forza di trazione nel calcestruzzo e di compressione nellacciaio (c = - 0.46 MPa; a = 23 MPa).

6. Necessit del calcolo non lineare per la valutazione della sicurezza strutturale

Negli ultimi anni nellambito della progettazione antisismica si affermata la tendenza, recepita da numerosi codici normativi, a permettere alle strutture il superamento della fase elastica, consentendo agli elementi strutturali ampie deformazioni in campo plastico.

Lo studio del comportamento strutturale oltre il limite elastico, finalizzato a valutare gli effettivi coefficienti di sicurezza nei confronti del crollo, ha orientato la ricerca verso lanalisi limite, in opposizione al calcolo lineare che rinuncia a tale valutazione, accontentandosi di verificare che non vengano superate le tensioni ammissibili.

Unanalisi corretta dovrebbe tener conto il pi fedelmente possibile, di quei fenomeni che, comunque presenti anche per bassi valori di sollecitazione, contribuiscono ad allontanare il comportamento delle strutture da quello elastico, quali le non linearit geometriche (effetti del secondo ordine caratteristici delle strutture snelle) e le non linearit meccaniche (legami costitutivi, fessurazione ed effetti viscosi) e, in fase plastica, di quei fenomeni che avvengono dopo lo snervamento dellacciaio o la plasticizzazione del calcestruzzo, quali il degrado progressivo della resistenza e della rigidezza.

Da ci, risulta palese che una pi affidabile definizione del livello di sicurezza deve necessariamente considerare leffettivo comportamento strutturale basato sulla conoscenza dei veri legami costitutivi dei materiali tramite unanalisi non lineare.

Uno studio non lineare richiede una doppia verifica: sulla resistenza e sulla deformazione, controllando che le azioni di calcolo Sd siano minori delle resistenze di calcolo Rd:

Sd < Rd (8)

e, nel contempo, che le deformazioni derivanti dalle azioni esterne r (deformabilit richiesta) siano minori di quelle ultime della struttura d (deformabilit disponibile):

r < d.(9)

Dividendo i valori delle deformazioni ultime per quelle al limite elastico, si ottengono le duttilit ultime disponibili e quelle richieste e la verifica diventa:

r < d.(10)

Riferendosi alla verifica sulle deformazioni ultime si parla di progettazione basata sulla duttilit. In particolar modo, la valutazione dei parametri di duttilit richiede unanalisi che, se riferita al materiale va fatta in termini di deformazione, se riferita alle sezioni pressoinflesse, si basa sul tracciamento dei diagrammi momento-curvatura ed, infine, per linsieme strutturale richiede unanalisi completa passo passo in modo da ottenere un diagramma carico-spostamento.

7. Relazioni momento-curvatura

Per una sezione semplicemente inflessa, il diagramma momento curvatura lineare nel tratto iniziale e la relazione tra il momento M e la curvatura data dalla classica equazione elastica M = EI(, dove EI la rigidezza a flessione della sezione. Con lincremento del momento, la fessurazione del conglomerato riduce la rigidezza flessionale e conseguentemente la pendenza del diagramma, fino allo snervamento dellacciaio. Quando lacciaio si snerva, si nota un elevato incremento di curvatura a momento flettente pressoch costante. In sezioni fortemente armate lo snervamento dellacciaio preceduto da elevate deformazioni anelastiche del calcestruzzo ed il cedimento fragile, tranne nel caso in cui il nucleo non sia confinato da adeguata staffatura.

Per assicurare un comportamento duttile, vengono usate per le travi quantit di acciaio minori di quelle corrispondenti ad una rottura bilanciata, in cui la crisi provocata contemporaneamente dallo schiacciamento del calcestruzzo e dallo snervamento dellacciaio teso.

La relazione momento-curvatura in cui lacciaio teso giunge a snervamento pu essere idealizzata con una trilatera (Figura 6a).

sufficientemente accurato idealizzare la curva con una bilatera (Figura 6b). Infatti, lidealizzazione trilineare meglio rappresenta leffettivo comportamento della sezione nel suo primo caricamento, ma, una volta che la fessurazione si stabilizzata, la relazione M( approssimativamente lineare fino allinizio dello snervamento. Dunque, le relazioni bilineari sono idonee a rappresentare travi gi fessurate.

Figura 6 - Idealizzazioni della relazione momento-curvatura trilineare (a) e bilineare (b).

Qualora la sezione sia soggetta a sforzo normale eccentrico, il legame momento-curvatura dipende soprattutto dal valore dello sforzo normale. Allaumentare di tale valore le sollecitazioni di compressione si incrementano, comportando un maggiore coinvolgimento del calcestruzzo nel processo di rottura, fino a quando il cedimento non avviene per schiacciamento del materiale, con lacciaio tanto pi lontano dalla sua deformazione ultima quanto pi elevata lintensit delle sollecitazioni di compressione.

Per sezioni che non hanno un comportamento fragile pu definirsi una duttilit disponibile di rotazione uy, immediatamente ricavabile dal diagramma momento-curvatura che possibile ricavare sulla base dei soli legami costitutivi dei materiali.

Assegnato lo sforzo normale N, per la determinazione del diagramma M(, si fissa la deformazione cm nella fibra estrema del calcestruzzo compresso e per lipotesi di conservazione delle sezioni piane, si ricava la posizione dellasse neutro kd (con d altezza utile della sezione) che definisce il diagramma delle deformazioni, cui corrisponde, attraverso i legami costitutivi, il diagramma delle tensioni in equilibrio con lo sforzo normale.

Le equazioni di equilibrio risultano:

(11)

(12)

Per ogni valore di viene ricavata la profondit dellasse neutro per tentativi in modo da soddisfare lequilibrio alla traslazione. Ricavando, poi, il momento dalla (12), si ottiene un punto della curva M(. Procedendo cos per valori crescenti di si ottiene il diagramma completo.

Con riferimento alla Figura 7, la sezione viene divisa in un determinato numero di strisce parallele alla direzione dellasse neutro con altezza dipendente dalla precisione desiderata. Un sistema di riferimento viene posto nel baricentro geometrico della sezione, cosicch le strisce avranno quote positive o negative a seconda che si trovino al di sopra o al di sotto del fissato asse x .

Figura 7 - Divisione della sezione in strisce

Detta H laltezza della sezione ed n il numero delle strisce in cui si divisa la sezione, laltezza di ogni striscia sar H/n. Gli elementi alle quote (nd/H) e (-nd/H) rappresentano le armature superiori e inferiori.

Se la deformazione per la fibra estrema di calcestruzzo cm e se si indica con kd la posizione dellasse neutro, la generica deformazione dellelemento i sar:

(

)

(

)

[

]

kd

n

H

5

.

0

n

H

i

kd

cm

i

+

=

(13)

Supponendo costante la tensione in ciascuna striscia, gli sforzi nel calcestruzzo e nellacciaio sono ricavati dalle leggi costitutive considerando la deformazione media della striscia. E ricavando le forze, le equazioni di equilibrio permettono di trovare iterativamente i diversi valori dei momenti, mentre il campo di variabilit delle curvature si ricava direttamente dalle deformazioni imposte come:

d

r

/

1

f

cm

e

e

c

+

=

=

14)

Tale procedura ha lunico svantaggio di essere lenta nel calcolo delle tensioni corrispondenti a cm, poich per un solo valore della deformazione il procedimento che fornisce le tensioni dalla legge costitutiva deve essere ripetuto per tutte le strisce. Tale modello, per, ha il vantaggio di potere tenere conto dei legami ciclici dei materiali e di definire lampiezza delle cerniere plastiche.

8. Duttilit di sezioni in c.a.

Nella progettazione sismica, la duttilit di una sezione inflessa generalmente espressa come rapporto tra la curvatura ultima e la curvatura di primo snervamento. Per una trave doppiamente armata nel caso in cui lacciaio teso sia giunto a snervamento prima del cedimento del calcestruzzo. La curvatura y al limite dello snervamento pu essere ricavata dalla (6) o dalla relazione:

y = cm / kd = f / (1 k)d.

Trovata la profondit dellasse neutro, si determina lintensit degli sforzi nellacciaio e nel calcestruzzo.

Figura 8 - Sezione doppiamente armata nella condizione di snervamento: deformazioni (a) e tensioni (b).

Per il calcolo della curvatura ultima si faccia riferimento alla Figura 9, in cui chiarito anche il significato di alcuni simboli.

Figura 9 - Sezione nella condizione ultima: deformazioni (a) e schematizzazione delle tensioni effettive (b).

Curvatura e momento ultimo possono essere trovati dalle seguenti equazioni:

c

y

f

y

f

f

b

85

.

0

f

'

A

f

A

a

-

=

(15)

(

)

(

)

M

ab

f

d

a

A

f

d

d

u

c

f

y

=

-

+

-

0

85

2

.

/

'

'

(16)

a

/

c

/

c

c

u

b

e

e

c

=

=

(17)

Il rapporto che fornisce la duttilit u/y, che, in forma esplicita, esprimendo u tramite la (10) e ricavando y tramite la (7), fornisce:

(

)

(

)

b

e

e

b

e

c

c

/

a

k

1

d

E

/

f

k

1

d

/

a

f

y

c

f

c

y

u

-

=

-

=

(18)

Da questa espressione si rileva che:

un incremento dellacciaio teso provoca un decremento della duttilit, poich k e a aumentano, la y aumenta e la u diminuisce;

un incremento dellacciaio compresso provoca un incremento della duttilit, perch k e a diminuiscono, la y diminuisce e la u aumenta;

un incremento di fy provoca un decremento della duttilit, poich fy e a diminuiscono, y diminuisce e u aumenta;

una resistenza maggiore del calcestruzzo fc contribuisce, invece, ad incrementare la duttilit, poich k e a diminuiscono, y diminuisce e u aumenta;

un incremento, infine, della deformabilit nella fibra estrema di calcestruzzo allo stato ultimo incrementa la duttilit, poich u aumenta.

Nelle sezioni pressoinflesse, il carico assiale influenza la curvatura; pertanto, la sezione di un pilastro, a differenza della trave, non pu essere caratterizzata da una sola curva M-

Linfluenza dello sforzo normale sulla duttilit rappresentata dai domini di resistenza Nu-Mu e dalle curve Nu-o, in alternativa, dai corrispondenti diagrammi adimensionalizzati (Nu/No)-(Mu/bd2fc) e (Nu/No)-ud, in cui No (=fcbd) rappresenta il carico assiale sopportabile dalla sezione in assenza di flessione.

Figura 10 - Diagrammi di interazione carico assiale( momento (a) e carico assiale( curvatura (b).

Con riferimento alla Figura 10, si vede che i diagrammi Nu-Mu sono caratterizzati da un tratto AB che rappresenta la rottura per schiacciamento del calcestruzzo, prima che lacciaio teso abbia potuto snervarsi e da un ramo BC nel quale, invece, si ha prima lo snervamento dellarmatura; la curva (2), rappresenta, invece, lo snervamento e manca pertanto della parte superiore del dominio, poich dal punto B in poi il calcestruzzo giunge alla sua deformazione limite prima che lacciaio possa giungere allo snervamento.

evidente, dunque che un comportamento duttile in pressoflessione si pu avere se il livello dello sforzo normale inferiore a NuB, corrispondente al punto B per il quale si ha la rottura bilanciata della sezione, vale a dire il collasso per contemporaneo schiacciamento del calcestruzzo e snervamento dellarmatura a trazione. In Figura 10a i tratti BC e BD sono molto ravvicinati a testimoniare che, dopo lo snervamento dellacciaio teso, gli incrementi di momento fino alla rottura, a parit di sforzo normale, sono estremamente modesti per un comportamento elastico-perfettamente plastico dellacciaio.

In Figura 10b si vede linfluenza dello sforzo normale sulle curvature a rottura e allo snervamento. Nel diagramma (Nu/No)-d, dopo il punto di rottura bilanciata, le due curve rimangono separate e indicano la quantit di deformazione flettente anelastica allo snervamento e a rottura. Il rapporto u/y, ottenuto da queste due curve pu mostrare, ancora meglio, come varia la duttilit in funzione di N/No.

Negli elementi pressoinflessi, in cui lo sforzo normale significativo, come nei pilastri di primo piano, la rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo; pertanto, non si sfruttano le risorse di duttilit dellacciaio. Al fine di migliorare la risposta strutturale (portare pi in alto il punto B), si pu intervenire incrementando le prestazioni del calcestruzzo attraverso un adeguato confinamento. Allo scopo si pu prevedere unarmatura trasversale in forma di staffe circolari o rettangolari o di spirali, in modo da confinare il calcestruzzo compresso, per ottenere il duplice scopo di incrementare sia la duttilit sia lo sforzo massimo sopportabile in compressione.

Un buon confinamento del nucleo necessario per dare al pilastro unadeguata capacit rotazionale plastica al fine di mantenere lo sforzo flessionale anche alle pi elevate curvature.

Diversi modelli analitici sono stati formulati per riprodurre il legame costitutivo del calcestruzzo confinato (Kent e Park, 1971). Uno tra i pi recenti quello di Mander (Mander et al., 1988(a)), il quale riesce ad interpretare con buona approssimazione gli effetti del confinamento sul comportamento in compressione di calcestruzzi di normale resistenza. In particolare, il modello consente con ununica espressione analitica di tenere conto dellincremento della tensione di picco e della corrispondente deformazione nel caso di elementi con sezione trasversale sia circolare che quadrata o rettangolare, riferendosi ad una dettagliata definizione del nucleo confinato che consente di valutare la pressione di confinamento in maniera appropriata. Per questo motivo il modello quasi interamente recepito dallEC8. Di seguito il legame di Mander stato usato per ricavare la legge del calcestruzzo confinato a partire da quello non confinato.

9. Modellazione delle leggi costitutive

Oltre alla suddivisione della sezione in strisce, la modellazione ha richiesto la conoscenza delle leggi costitutive dei materiali usati, includendo lo snervamento dellacciaio, la deformazione incrudente, la fessurazione e la perdita di capacit portante del calcestruzzo. Per non appesantire lonere computazionale si ritenuto opportuno trascurare la presenza del copriferro, dopo aver verificato che non viene commesso un sensibile errore.

Le leggi costitutive dei materiali vengono modellate tramite tratti lineari individuati dai valori delle deformazioni e delle corrispondenti tensioni in alcuni punti rappresentativi della legge stessa. I punti rappresentativi sono quelli che meglio consentono di approssimare il reale comportamento dei materiali.

Per lacciaio FeB 44k sono stati sufficienti due soli punti:

1. il punto A (AA) ( (y , fy) individuato dalla tensione di snervamento e dalla deformazione ad essa corrispondente;

2. il punto B (BB) ( (fu , fu) corrispondente alla deformazione ultima dellacciaio e capace di tenere conto dellincrudimento del materiale.

Figura 11 - Legge costitutiva assunta per lacciaio FeB 44k nella modellazione con il DRAIN.

Per lacciaio inox si sono, invece presi in considerazione 4 punti:

1. il punto A (AA) che tiene conto del modulo elastico;

2. il punto B (BB) ( (fy(0.2) , fy(0.2)) corrispondente alla tensione convenzionale assunta come snervamento e alla corrispondente deformazione;

3. il punto C (CC) ( (fu , fu) corrispondente al raggiungimento della tensione massima;

4. il punto D (DD) ( (ft , ft) corrispondente alla deformazione ultima dellacciaio.

A

B

C

D

1.5

e

(%)

A

B

C

D

1.2

0.9

0.6

0.3

0.0

0.02

0.00

0.04

0.06

0.08

0.10

s

/

f

y

(0.2%)

sperimentale

modellazione

Figura 12 - Legge costitutiva assunta per lacciaio inox AISI 316 nella modellazione con il DRAIN.

Lutilizzo del modello costitutivo di Figura 12a rappresenta con sufficiente attendibilit la curva ricavata sperimentalmente che viene riportata in forma adimensionale, insieme alla modellazione del legame costitutivo assunta per le analisi (Figura 12b).

Per il calcestruzzo, nel tentativo di riprodurre nel modo pi fedele possibile lestrema variabilit del comportamento del materiale prima e dopo la tensione di picco, sono stati utilizzati 5 punti che si traducono in una legge costituita da cinque tratti lineari.

Figura 13 - Legge costitutiva assunta per il calcestruzzo nella modellazione con il DRAIN

1. Il primo punto A (AA) stato scelto in modo da rispettare il modulo di Young del calcestruzzo Ec e, quindi, per evitare di commettere un errore rilevante nelle rigidezze iniziali.

2. Il secondo punto B (BB) ha permesso di non allontanarsi troppo dalla curva nel tratto prima della tensione di picco, soprattutto quando questultima abbastanza elevata come nel caso di alta resistenza o di forte armatura di confinamento.

3. Il punto C (cc) ( (o , fc) rappresenta la tensione di picco e la sua deformazione.

4. Il punto D (DD) ( (cu , 0.85 fc) corrisponde ad un abbattimento della tensione di picco del 15 %, in cui si fissata la deformazione ultima permessa al calcestruzzo.

5. Lultimo punto E (EE ), non essendo pi in alcun modo rappresentativo, viene fornito con una tensione bassissima (E ( 0, per simulare la completa perdita di portanza del materiale) e con una deformazione corrispondente molto prossima alla cu (per ottenere un tratto pressoch verticale.

Lelemento che viene adottato per modellare sia comportamenti in sola flessione che in pressoflessione di tipo elasto-plastico a plasticit diffusa, in grado di tenere conto della diffusione della plasticit sia allinterno della sezione sia lungo la lunghezza dellelemento strutturale, tramite la tecnica delle strisce e di rappresentare correttamente linterazione M-N.

La discretizzazione in strisce della sezione consente di ricavare i diagrammi M-

Ai fini del presente studio, il confronto fra i due tipi di acciaio (al carbonio FeB 44k e inossidabile incrudito AISI 316) stato operato ricavando i diagrammi momento curvatura per una sezione quadrata in calcestruzzo armato (Rck = 30 MPa), al variare del rapporto tra le armature compresse e tese ( = Af /Af = 0.25; 0.50; 0.75; 1.0) e dello sforzo normale ( = 0.0; 0.15; 0.25; 0.50). I legami adottati sono mostrati nelle precedenti Figure 1113 e i relativi diagrammi momento-curvatura, con i valori tabellati di curvatura ultima, curvatura a snervamento e duttilit che sono stati ricavati, vengono riportati in Figura 14, per i quattro diversi rapporti fra armature compresse e tese che sono stati presi in considerazione.

(a)

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0

2

4

6

8

10

a = 0.25

m=33.0

m=30.6

m=20.7

m=10.4

m=15.6

m=15.3

m=10.7

m=7.5

O

O

O

O

O

*

crisi acciaio

crisi cls

[n=0.50]

[n=0.0]

[n=0.15]

[n=0.25]

FeB 44K

AISI 316

Fe B 44 k

AISI 316

u (mm-1)

y (mm-1)

u (mm-1)

y (mm-1)

= 0.0

3.1610-3

0.9610-4

33.00

3.1610-3

2.0310-4

15.6

= 0.15

3.5210-3

1.200-4

30.60

3.5310-3

2.3110-4

15.3

= 0.25

2.7410-3

1.3010-4

20.76

2.7210-3

2.5010-4

10.8

= 0.50

1.7310-3

1.7010-4

10.36

1.8910-3

2.5010-4

7.5

(b)

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0

2

4

6

8

10

a = 0.50

m=32.8

m=30.4

m=24.4

m=11.6

m=15.4

m=15.1

m=12.4

m=5.9

O

O

O

O

O

crisi acciaio

*

crisi cls

[n=0.50]

[n=0.25]

[n=0.15]

[n=0.0]

Fe B 44 k

AISI 316

u (mm-1)

y (mm-1)

u (mm-1)

y (mm-1)

= 0.0

3.0210-3

0.9210-4

32.8

3.0610-3

2.0010-4

15.4

= 0.15

3.4010-3

1.1010-4

30.4

3.3810-3

2.2010-4

15.1

= 0.25

3.0710-3

1.310-4

24.4

3.1110-3

2.5010-4

12.4

= 0.50

1.8410-3

1.610-4

11.6

1.8110-3

2.3110-4

5.9

(c)

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0

2

4

6

8

10

a = 0.75

O

crisi acciaio

*

crisi cls

O

*

m=32.8

m=12.8

m=29.3

m=30.2

m=6.6

m=14.6

m=14.8

m=15.5

[n=0.50]

[n=0.25]

[n=0.15]

[n=0.0]

Fe B 44 k

AISI 316

u (mm-1)

y (mm-1)

u (mm-1)

y (mm-1)

= 0.0

3.0210-3

0.9210-4

32.8

3.0310-3

2.0010-4

15.46

= 0.15

3.2910-3

1.1010-4

30.2

3.2510-3

2.1910-4

14.84

= 0.25

3.5210-3

1.2010-4

29.3

3.5010-3

2.4010-4

14.58

= 0.50

1.9910-3

1.6010-4

12.8

1.9710-3

3.0010-4

6.63

(d)

0.00

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0

2

4

6

8

10

a = 1.0

O

crisi acciaio

*

crisi cls

O

*

m=33.2

m=14.5

m=27.7

m=25.9

m=7.7

m=14.5

m=14.8

m=15.7

[n=0.50]

[n=0.25]

[n=0.15]

[n=0.0]

Fe B 44 k

AISI 316

u (mm-1)

y (mm-1)

u (mm-1)

y (mm-1)

= 0.0

3.0110-3

0.9110-4

33.2

3.0310-3

1.9010-4

15.7

= 0.15

3.1810-3

1.2010-4

25.9

3.1610-3

2.1010-4

14.8

= 0.25

3.4110-3

1.2010-4

27.7

3.3310-3

2.3010-4

14.5

= 0.50

2.1610-3

1.5010-4

14.5

2.2010-3

2.9010-4

7.7

Figura 14 Confronto fra i diagrammi momento curvatura ottenuti per lacciaio FeB 44k ed inox.

Per operare un confronto sulla duttilit strutturale si prende in considerazione una mensola di altezza 3.2 m, avente una delle sezioni trasversali sopra caratterizzate, soggetta in sommit ad una forza verticale costante e ad una forza orizzontale crescente sino al collasso. La discretizzazione in elementi elasto-plastici a plasticit diffusa consente di ricavare i diagrammi F-e le lunghezze delle cerniere plastiche. La forza verticale si assunta in modo da indurre sforzi normali pari a = 0.0; 0.15 e 0.25. I risultati ottenuti sono diagrammati nelle figure seguenti in cui vengono anche tabellati, per tutti i casi esaminati, i risultati di interesse ottenuti (carico F a collasso, spostamento in sommit a snervamento e a collasso, duttilit di spostamento e lunghezza della cerniera plastica). Vengono, inoltre, riportati i diagrammi di distribuzione della curvatura lungo laltezza della mensola al momento del collasso.

0

100

200

300

400

(mm)

0

20

40

60

80

100

120

F

(

k

N

)

a = 0.25

d

n = 0.0

n = 0.15

n = 0.25

m = 11.4

m = 4.60

m = 7.1

m =3.92

m = 5.4

m = 3.75

FeB 44K

_ _ _

____

AISI 316

0.00

0.04

0.08

0.12

0

80

160

240

320

c

h

H (cm)

Fe B 44 k

AISI 316

F(kN)

u(mm)

y(mm)

lp(cm)

F(kN)

u (mm)

y (mm)

lp(cm)

= 0.0

18

300

26.3

11.4

68

18

107.

23.3

4.60

63

= 0.15

41

160

22.5

7.1

48

41

80.0

20.4

3.92

35

= 0.25

56

140

25.8

5.4

53

56

90.0

24.0

3.75

35

(a)

0

100

200

300

400

(mm)

0

20

40

60

80

100

120

F

(

k

N

)

a = 1.0

d

n = 0.0

n = 0.15

n = 0.25

m = 9.2

m = 2.34

m = 7.2

m = 6.1

m = 2.56

m = 2.46

0.00

0.04

0.08

0.12

0

80

160

240

320

c

h

H (cm)

(b)

Fe B 44 k

AISI 316

F(kN)

u(mm)

y(mm)

lp(cm)

F(kN)

u (mm)

y (mm)

lp(cm)

= 0.0

65

307

33.5

9.2

67

67

84

45.7

1.84

63

= 0.15

87

254

35.5

7.2

64

89

97

47.2

2.06

53

= 0.25

100

230

37.7

6.1

62

102

110

48.6

2.26

46

Figura 15 - Legami forza orizzontale - spostamento in testa per una mensola armata con acciaio FeB 44k

ed AISI 316 per i rapporti Af /Af = 0.25 (a) e 1.0 (b).

Conclusioni

Lo studio svolto ha confermato la possibilit di utilizzare barre di acciaio inox per le strutture in c.a.. in particolare, si sono confrontati gli acciai AISI 316, caratterizzati da una tensione f(0,2) > 450 MPa con lacciaio FeB 44 k, avente tensione fy > 430 MPa.

Operando secondo il metodo delle tensioni ammissibili sarebbe possibile attribuire allacciaio inox la stessa tensione di 255 MPa adottata per lacciaio FeB 44k.

Nelle verifiche allo stato limite ultimo pu farsi riferimento alla tensione di calcolo fyd = f(0,2) / 1.15.

Le indagini numeriche svolte per valutare la possibilit di applicazione dellacciaio inox nelle strutture intelaiate in zona sismica, caratterizzate da un elevato fattore di struttura, hanno evidenziato una minore duttilit di spostamento rispetto al analoghe strutture armate con barre di acciaio al carbonio.

Tale riduzione connessa alla minore pendenza del ramo incrudente del diagramma che si ripercuote su una lunghezza di cerniera plastica pi ridotta. Detta caratteristica, gi evidenziata in ricerche precedenti, dovrebbe essere approfondita in modo da definire valori diversi del fattore di struttura q (EC8) o del coefficiente di struttura (D.M. 16/01/96) rispetto a quelli utilizzati per lacciaio al carbonio.

Ringraziamenti

Si ringrazia il laboratorio GEOLAB s.r.l. di Palermo ed il Sig. Marcinn Giacomo per lesecuzione delle prove di laboratorio e la Ditta Sud Ferro nella persona del Dott. Angelo Di Liberto per aver organizzato la giornata di studio ed aver messo a disposizione il materiale di prova.

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y u y u

(a)

A : (A, A) = (0.0018; 360 MPa)

B : (B, B) = (fy, fy(0.2)) = (0.005; 450MPa)

C : (C, C) = (fu, fu) = (0.01; 550 MPa)

D : (D, D) = (ft, ft) = (0.09; 551 MPa)

A

B

A : (A, A) = (y, fy) = (0.0021; 440 MPa)

B : (B, B) = (fu, fu) = (0.09; 540 MPa)

NuB

Nu/No

curva (2)

curva (1)

B

A

snervamento

rottura

curva (1)

Mu,y /bd2fc

D

C

curva (2)

(a)

u,y d

MMu/bd2fc

(b)

f > fy/Ef

M

fy

b

Af

f

A

.

d

+

c

+0.85f

a

c

MPa

(b)

MPa

u

H

cm

(b)

(a)

(b)

(a)

b

y

kd

cm

fc

y

fy

M

H

A f

Af

i

y

x

cm

d

H

kd

f

striscia i-esima

i( H/n - 0.5 H/n

Mu

Mu

My

My

M

M

(a) (b)

primo snervamento

prima fessurazione

B

E

D

Legame calcestruzzo

A: (A, A)

B: (B, B)

C: (c, c)= (o, fc)

D: (D, D)= (cu, 0.85 fc)

E: (E, E)= (( cu, ( 0)

A

B

C

MPa

MPa

1

13

_1096976158.unknown

_1097047639.unknown

_1097414614.unknown

_1097420903.unknown

_1097476154.unknown

_1097420923.unknown

_1097420877.unknown

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