Lekcija VI

Elektromagnetni talasi

UVOD U MATEMATIČKI

FORMALIZAM

Skalar: veličina koja se može prikazatia pozitivnim ili negativnim brojem(masa, temperatura, energija, pritisak)

Vektor: veličina koja osim brojne vrednosti ima i pravac u prostoru(Sila, brzina, ubrzanje)

kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

r

( ) ( ) ( )kBAjBAiBABA zzyyxxˆˆˆ +++++=+

rr

Suma: dodavanje komponenti

kcAjcAicAAc zyxˆˆˆ ++=

rProizvod: vektor puta skalar

Uvod: 2 Polja i 3 Operacije

x

kBjBiBB zyxˆˆˆ ++=

r

Vektorski proizvod: determinanta sa jediničnim vektorima

( ) ( ) ( )kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzyˆˆˆ −+−+−=

=×

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

ˆˆˆ

detrr

zzyyxx BABABABA ++=⋅rr

Skalarni proizvod: pomnožiti komponente i sabrati

Skalarno polje: skalarna veličina definisana u svakoj tački 2D ili 3D prostora

),(),( yxfyxS =

Analitički Numerički

54658760098756445

33445456783928

564545769998836

555565554343833

4568790987664

56576808976553

34467097856335

60975756746

45686458654

8345059843

)sin(),( xyxyxS =

npr:

(… crno-bela slika je skalarno polje)

0

50

100

0

50

100-10

-5

0

5

10

f

xy

Grafički

Crtež-Površ (2D skalarno polje)

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-4

-2

0

2

4

6

Konturni crtež (isto 2D skalarno polje)

x

y

20 40 60 80 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-6

-4

-2

0

2

4

6

Slika (isto 2D skalarno polje)

x

y

0

10

20 05

1015

200

5

10

15

20

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

3D skarano polje

3D crtež tačaka sa bojom koja daje vrednost polja:

( ) ( ) ( ) 510210310222

1),,(−−−−−−−= zyx eeezyxS

Vektorsko polje: vektorska veličina definisana u svakoj tački 2D ili 3D prostora

( ) jyxixyyx ˆˆ)sin(),( ++=Sr

Analitički Numerički

2051

5544

3325

8562kVjViVzyx zyxˆˆˆ),,( ++=V

r

Funkcije od (x,y,z)

2051

5544

3325

8562

2051

5544

3325

8562

k+j+i

(…Slike u boji su vektorska polja)

2D npr:

Grafički

(2D vektorsko polje): dužina strelica = vrednost polja

( ) jyxixyyx ˆˆ)sin(),( ++=Vr

y

x-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temperaturska mapa: skalarno polje

Mapa vetrova: Vektorsko polje

Dva polja

Gradijent

“izvod polja”

y

S

x-2 -1 0 1 2

-2

0

20

5

10

15

20

22yxS=

Izvod (nagib) zavisi od pravca!

dyy

Sdx

x

SdS

∂

∂+

∂

∂=

kz

jy

ix

ˆˆˆ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

Totalni Diferencijal:

Sličan je skalarnom proizvodu: ( )jdyidxjy

Si

x

SdS ˆˆˆˆ +⋅

∂

∂+

∂

∂=

( ) ( )ldSdSr

⋅∇=

“delta”

“nabla”

Delta nije vektor i ne množi polje – delta je operator!

Premda, delta deluje kao vektor:

1. Deluje na skalarno polje: gradijent

2. Kao skalarni proizvod sa vektorskim poljem: divergence

3. Kao vektorski proizvod sa vektorsim poljem: rotor

S∇

Vr

⋅∇

Vr

×∇

y

S

x-2 -1 0 1 2

-2

0

20

5

10

15

20

22yxS=

Primer gradijenta:

jyxixyS ˆ2ˆ222 +=∇

At (1,1)

jiS ˆ22 +=∇

At (-1,1)

jiS ˆ22 +−=∇

Gradijent skalarnog polja je vektorsko polje čije komponente su izvodi skalarnog polja duž svake ose:

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

U svakoj tački vektor gradijenta je usmeren duž pravca maksimalnog nagiba i njegova vrednost je jednaka nagibu u tom pravcu.

jyxixyS ˆ2ˆ222 +=∇

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

12

kz

jy

ix

ˆˆˆ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

S∇ = gradijent

Kolor crtež = skalarno polje strelice = gradijent

Fundamentalne Teoreme

( ) ( )∫ −=b

a

afbfdxdx

df

1. Fundamentalna Teorema gradijenta

Sa poljima , delta operator nam daje tri fundamentalne teoreme:

( ) ( ) ( )∫ −=⋅∇b

a

aSbSldSv

(Integral od izvoda u nekom opsegu = vrednost na granici)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

2

4

6

8

10

12

0

50

100

0

50

100-10

-5

0

5

10

a

b

Vr

⋅∇

Divergencija vektorskog polja

( )kVjViVkz

jy

ix

zyxˆˆˆˆˆˆ ++⋅

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zyx Vz

Vy

Vx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂(skalarno polje)

( )jyxixyyx ˆˆ)cos(),(22 ++=V

r

yxyy 2)sin( +−=⋅∇ Vr

2. Fundamentalna teorema divergencije

zapreminski integralpovršinski integral

(Integral od izvoda u nekom opsegu = vrednosti na granici)

(Gaus-Ostrogradski)

∫∫ ∫∫∫ ⋅∇=⋅S V

dVFdSF

kjyix ˆ0ˆˆ ++=Vr

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

X

Y

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

X

Y

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

kjyix ˆ0ˆˆ ++=Vr

2=⋅∇ Vr

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

jyix ˆˆ 22 +=Vr

jyix ˆˆ 22 +=Vr

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-6

-4

-2

0

2

4

6

yx 22 +=⋅∇ Vr

Vr

×∇

Rotor vektorskog polja

( )kVjViVkz

jy

ix

zyxˆˆˆˆˆˆ ++×

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

“Koliko vektorsko polje može nešto da uvrne”

∂∂

∂∂

∂∂

zyx

zyx

VVV

kji ˆˆˆ

det

3. Fundamentalna teorema za rotor

Otvoreni površinski integralzatvoreni linijski integral

(Stoksova teorema)

(Integral od izvoda u nekom opsegu = vrednosti na granici)

∫ ∫∫ ⋅×∇=⋅L S

SdFdlF

F

F×∇

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

kjyix ˆ0ˆˆ ++=Vr

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

011 =−=×∇ Vr

Kolor crtež = z komponenta rotora(V)

kjyix ˆ0ˆˆ ++=Vr

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

( ) kjxiyy ˆ0ˆˆsin22 ++=V

r

-2 -1 0 1 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

( ) ( )[ ]kyyyyx ˆ cossin222+−=×∇ V

r

Kolor crtež = z komponenta od rotora(V)

( ) kjxiyy ˆ0ˆˆsin22 ++=V

r

Gradijent: usmereno ka većoj vrednostiS∇

Vr

⋅∇

Vr

×∇

Divergencija: vectori izviru ili uviru u zapreminski element

rotor: vectori izazivaju rotaciju površi

2 polja i 3 Operacije

( )zyxS ,,

),,( zyxVr

Skalarno polje

Vektorsko polje

MAKSVELOVE JEDNAČINE

+ -

+ -

( ) rrE ˆ4

12

0 r

q

πε=

rr

I.II. Gausov zakon

Daje vezu izmeñu raspodele naelektrisanja i električnog polja

Tačkasto naelektrisanje

Linije električnog poljaE

…dobro opisuje za tačkasto naelektrisanje.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

+ -

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

+ -

1S

2S

1v

2v

2211 vSvS =

dS

E

0=⋅∫∫S SdB

III. Faradejev zakon indukcije

•• Promenljivi magnetni fluks generiše Promenljivi magnetni fluks generiše elektromotornu siluelektromotornu silu ememss

•• Ili, promenljivo Ili, promenljivo BB--polje generiše polje generiše EE--poljepolje

•• Promena magnetnog fluksa je Promena magnetnog fluksa je potrebnapotrebna

dt

d Φ−−−−====ε

( )BvEqFrrrr

×+=

v

FF

Nestankom sile:

Sila koja deluje na provodne elektrone:

0=ems

Faraday

Kretanje namotaja u promenljivom B polju

( )BvEqFrrrr

×+=

Sila se ne poništava: 0≠ems

FF

v

v

EE

( )BvEqFrrrr

×+=

0=vr

EqFrr

=

Električno polje mora biti kreirano!

Ostaje samo:

Stacionarni kalem sa pokretnim B izvorom:

Ali mi još imamo ems …

EE

i

Uopšteno:

tems B

∂

Φ∂−=

Faradejev zakon(integralna forma)

Stacionarni kalem i izvor B

polja, ali se polje B povećava:

0≠ems

∫∫∫ ⋅∂

∂−=⋅

SCSd

t

BldE

IV. Amperov zakon

iB

zatvorenaC

ild 0µ=⋅∫rr

B

Oopštenije:

J = gustina struje

MaxwellAmpere

“Nešto nedostaje...”

∫∫∫ ⋅=⋅SC

SdJldB 0µ

∫ ⋅C

ldrr

B

Punjenje kondenzatora

i

- +

- +

- +- +

- +

∫∫ ⋅S

SdJ

∫ ⋅C

dlrr

B

i

- +

- +

- +- +

- +

Punjenje kondenzatora

Maxwell: “…promena električnog polja u kondenzatoru je takoñe struja.”

∫∫ ⋅S

SdJ

∫∫∫ ⋅

∂

∂+=⋅

SCSd

t

EJldB εµ

“Struja pomeraja”

MAKSVELOVE JEDNAČINE

(INTEGRALNA FORMA)

∫∫∫ ⋅∂

∂−=⋅

SCSd

t

BldE

∫∫∫ ⋅

∂

∂+=⋅

SCSd

t

EJldB εµ

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅VS

dVSdE ρε0

1

0=⋅∫∫S SdB

Maksvelovske jednačine u diferencijalnom obliku

Gausova teorema za divergenciju

∫∫ ∫∫∫ ⋅∇=⋅S V

dVFdSF

Stoksova teorema za rotor

∫ ∫∫ ⋅×∇=⋅L S

SdFdlF

∫ ∫∫ ⋅×∇=⋅L S

SdEdlE

∫∫ ∫∫ ⋅∂

∂−=⋅×∇ Sd

t

BSdE

t

BE

∂

∂−=×∇

∂

∂+=×∇

t

EJB εµ

∫∫ ∫∫∫ ⋅∇=⋅S V

dVESdE ∫∫∫ ∫∫∫=⋅∇ dVdVE ρε

1

ε

ρ=⋅∇ E 0=⋅∇ B