1

Náhodná veličina

Rozdelenie náhodnej veličiny

2

Náhodný jav

charakterizuje výsledok náhodného pokusu kvalitatívne – slovne, alebo kvantitatívne – číselne.

Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu xi

3

Náhodná veličina

Je určená výsledkom náhodného pokusu

Charakteristickým znakom je jej premenlivosť pri opakovaní pokusu

Môže nadobúdať rôzne hodnoty, alebo hodnoty z rôznych intervalov Diskrétna náhodná veličina Spojitá náhodná veličina

4

Diskrétna NV

Môže nadobúdať spočítateľne (konečne alebo nekonečne) mnoho hodnôt

Izolované, väčšinou celočíselné hodnoty Napr. počet narodených chlapcov z 1000 narodených detí, počet chybných výrobkov, a pod.….

5

Spojitá NV

Jej hodnotami sú všetky čísla z konečného alebo nekonečného intervalu, ktorých počet je nekonečný

Napr. hmotnosť, výška človeka, chyby merania v mm, príjem, ...

6

Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej veličine pravdepodobnosť P(xi)

Rozdelenie pravdepodobnosti môže byť vyjadrené tromi spôsobmi matematickým vzorcom – distribučnou funkciou

F(x) pravdepodobnostnou tabuľkou, u diskrétnej

náhodnej veličiny grafom, kde na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny

xi a na osi y sú jej príslušné pravdepodobnosti P(xi)

Zákon rozdelenia NV

7

Distribučná funkciaSlúži k popisu diskrétnej aj spojitej NVKaždému reálnemu číslu priraďuje

pravdepodobnosť, že náhodná veličina nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo

Distribučná funkcia spojitej NV

) ( )( ii xxPxF

dxxxFix

)(

8

Vlastnosti DF Distribučná funkcia nadobúda hodnoty od nuly

do jedna vrátane

Distribučná funkcia je neklesajúca

Distribučná funkcia je spojitá zľava

Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky

)()0( ixxPxF

1)(0 xF

0 )(F

1)(F

)()(x 2121 xFFxx

)()()0( ii xFxxPxF

9

Graf distribučnej funkcie

Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych relatívnych početností

10

Pravdepodobnostná tabuľka

Popisuje len diskrétnu náhodnú premennúJe najjednoduchšou formou zákona rozdelenia

Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti

xi x1 x2 ... xnSpolu

pi p1 p2 ... pn 1

11

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

F(x)

x

x

Graf distribučnej funkcie

diskrétnej NV spojitej NV

12

Pravdepodobnosť diskrétnej NV

Súčet pravdepodobností je rovný 1

Pravdepodobnosť je určená vzťahom

Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny je daná vzťahom

1)( ixP

)()()( 1221 xFxFxxxP

ixx

ii xPxFxxP )()()(

13

Hustota pravdepodobnosti

(x) je hustota pravdepodobnosti alebo frekvenčná krivka

Hustota pravdepodobnosti popisuje rozdelenie spojitej NV

Má podobné vlastnosti ako pravdepodobnosť pri diskrétnej veličine

x

xFxxFxFx

x

)()(lim

0

14

Vlastnosti hustoty pravdepodobnosti

1. Je nezáporná

2. Spĺňa vzťah

3. Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z intervalu <x1,x2>

0x

1

dxx

dxxxxxPx

x

2

1

21

15

Distribučná funkcia a hustota pravdepodobnosti

16

Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných veličín

Popisujú hlavné vlastnosti NV Charakteristiky polohy Charakteristiky premenlivosti Charakteristiky šikmosti Charakteristiky špicatosti

Charakteristiky náhodných veličín

17

Charakteristiky polohy

Stredná hodnotaMediánModusHarmonický priemerGeometrický priemerAritmetický priemerKvadratický priemer

18

Popisuje polohu náhodnej veličiny – stred celého rozdelenia

Stredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny

Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny

ix

ii xPxxE )(.)(

dxxxxE )(.)(

Stredná hodnota

19

Vlastnosti strednej hodnoty

Súčin konštanty a NV

Súčet dvoch náhodných veličín x a y

Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín

)(.).( xEkxkE

)()()( yExEyxE

)().().( yExEyxE

20

Momenty náhodnej veličiny

Počiatočný moment k-teho rádu

Centrálny moment k- teho rádu

kk xE

kkk xExExE 1

21

Momenty diskrétnej náhodnej veličiny

)(xPxkk

x

kk xPxEx )(

22

Momenty spojitej náhodnej veličiny

dxxxEx kk )()(

dxxxkk )(

23

Ďaľšie charakteristiky polohy

Medián

Modus – pri diskrétnej NV je to hodnota s najväčšou početnosťou

Harmonický priemer

5,0)()( medmed xxPxxP

nHP xxxnx11111

21

24

Geometrický priemer

Aritmetický priemer

Kvadratický priemer

nnGP xxxx .. 21

nAP xxxn

x 21

1

nxxx

x nQ

222

21

25

Charakteristiky premelivosti

VarianciaStredná kvadratická odchýlkaPriemerná odchýlkaPravdepodobná odchýlka

26

je mierou variability náhodnej premennej

je definovaná ako druhý centrálny moment

222 )()()()( xExExExExV

n

iii xPxExxV

1

2 )(.)()(

dxxxExxV i )()()( 2

Variancia (rozptyl, disperzia)

27

Vlastnosti variancie

Variancia konštanty

Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny

Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých NV

0)( kV

)().( 2 xVkxkV

)()()( yVxVyxV

28

Stredná kvadratická odchýlka

Základná charakteristika premenlivosti

Smerodajná odchýlka, štandardná odchýlka

)(xV

29

Priemerná lineárna odchýlka od strednej hodnoty

Prvý absolútny centrálny moment

V prípade skutočnej chyby v základnom súbore = L-l hovoríme priemernej lineárnej chybe

)(1 xExE

E1

30

Pravdepodobná odchýlka od strednej hodnoty

medián absolútnych odchýliek od strednej hodnoty

V prípade skutočnej chyby v základnom súbore = L-l hovoríme pravdepodobnej chybe

5,0)()( xExrPxExrP

5,0 rPrP

31

Normovaná náhodná veličina

Štandardizovaná veličina

Stredná hodnota normovanej veličiny

Variancia normovanej veličiny

)(xEx

u

0)( uE

1)( uV

32

Charakteristiky šikmosti

Tretí normovaný moment Koeficient šikmosti

Symetrické rozdelenie

33

3

3

3

)()(

xExEtA

0)(3 t

33

Charakteristiky špicatosti

Štvrtý normovaný moment

Koeficient špicatosti

Pre normálne rozdelenie je rovný 0Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako

normálne

44

4

4

4

)()(

xExEt

33)( 44

4 tE