LEKTION 3-1ESO

8/3/2019 LEKTION 3-1ESO

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MATHEMATIK 1 ESO

LEHRER: Javier Jdar Rodrguez IES EL ARGAR

Lektion drei Seite 1 von 8

LEKTION 3. TEILBARKEIT

0. Grundwortschatz

Teilbar StelleTeilbarkeit TeilermengeTeilbarkeitsregeln TeilerGerade Zahl VielfacheZiffer VielfachmengeQuersumme Menge Verfahren PrimzahlPrimfaktorzerlegung

1. Was ist eine Zahl durch eine andere teilbar?

Eine Zahl A heit durch eine andere Zahl B teilbar, wenn bei der Division

A:B kein Rest bleibt.

Wie testet man, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist?

Fr kleinere Zahlen gibt es einige einfache Teilbarkeitsregeln, mit denen man das

schnell testen kann:

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffereine 2,4,6,8 oder 0 ist.

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme, also die Summeall ihrer Ziffern durch 3 teilbar ist.

Beispiel: Ist 3 ein Teiler von 2.169.252?

Ja, denn die Quersumme ist 2+1+6+9+2+5+2 = 27, und 27 ist durch 3 teilbar.

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzten 2 Stellen durch 4 teilbar sind.Beispiel: 56.789.143.764 ist durch 4 teilbar, weil 64 durch 4 teilbar ist. Auch

56.789.000.000 ist durch 4 teilbar, denn 00 = 0 ist durch 4 teilbar (0/4 = 0).

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 5 oder eine 0ist.

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist, also wennsie gerade ist und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist (s.o.).

Beispiel: 108.273.288 ist gerade. Die Quersumme 39 ist glatt durch 3 teilbar.

Darum ist die Zahl durch 6 teilbar.

Um herauszufinden, ob eine Zahl durch 7 teilbar ist, multipliziere die letzteZiffer der Zahl mit 2. Subtrahiere das Ergebnis von der Zahl ohne die letzte


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Stelle. Wenn das Ergebnis durch 7 teilbar ist, dann ist es die ursprngliche Zahl

auch.

Beispiel: 364 ist durch 7 teilbar, denn die letzte Ziffer ist 4, multipliziert mit 2

ergibt 8. Subtrahiere 36 - 8 = 28. 28 ist durch 7 teilbar.

Diesen Test kann man mehrmals nacheinander durchfhren, solange, bis manbei einer Zahl endet, von der man wei, dass sie durch 7 teilbar ist.

Beispiel: 16562 ?

1656 - 2*2 = 1652

165 - 2*2 = 161

16 - 2*1 = 14

14 ist durch 7 teilbar, also auch 16562

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzten 3 Stellen durch 8 teilbar sind.Beispiel: 56.789.000.000? Die letzten drei Ziffern sind 000, und 000 = 0 ist

durch 8 teilbar.Und 786.565.120 ? Die letzten 3 Ziffern ergeben die Zahl 120, und 120 ist

durch 8 teilbar.

Wer das nicht so leicht sieht, der teilt die Zahl aus den letzten 3 Ziffern dreimal

durch 2. Wenn das Ergebnis ganzzahlig ist, dann ist die gegebene Zahl durch 8

teilbar.

Beispiel: 2956? Teile 956 durch 2, ergibt 478. Teile 478 durch 2, ergibt 239.

239 ist nicht glatt durch 2 teilbar. Folglich ist 2956 nicht durch 8 teilbar.

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 0 ist. Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn folgende Methode anwendbar ist:

1. Unterstreiche jede zweite Ziffer der Zahl.2. Addiere alle unterstrichenen Ziffern.3. Addiere alle nicht unterstrichenen Ziffern.4. Bilde die Differenz der greren minus der kleineren Ziffernsumme5. Ist das Ergebnis durch 11 teilbar, dann auch die ursprngliche ZahlBeispiel: 21483 ? Unterstreiche: 21483

Die Summe der unterstrichenen Ziffern ist 9. Die Summe der nicht

unterstrichenen Ziffern ist auch 9. Die Differenz 9 - 9 ist 0, und 0 ist durch 11

teilbar.

Man nennt das Ergebnis die alternierende Quersumme oder auch

Wechselsumme. Dabei bedeutet "alternierend", dass man die Ziffern

abwechselnd addiert und subtrahiert.

Weiteres Beispiel: 181907 = 181907. Die Summe der unterstrichenen Ziffern ist

8+9+7 = 24. Die Summe der nicht unterstrichenen Ziffern ist 2. Als Differenz

ergibt sich 22, und 22 ist durch 11 teilbar.

Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist.


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Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn ihre Wechselsumme dritter Stufe durch 13teilbar ist.

Fr die Berechnung der Wechselsumme dritter Stufe teilt man die Zahl von

rechts beginnend in Dreiergruppen ein und unterstreicht jede zweiteDreiergruppe. Wenn die Summe der unterstrichenen Dreiergruppen minus der

Summe der nicht unterstrichenen Dreiergruppen durch 13 teilbar ist, dann ist

es die ursprngliche Zahl auch.

Beispiel: 3458900745?

Aufteilen in Dreiergruppen 3.458.900.745

Unterstreichen: 3.458.900.745

Summe der unterstrichenen Zahlen: 458 + 745 = 1203

Summe der nicht unterstrichenen Zahlen: 3 + 900 = 903

Differenz: 1203 - 903 = 300

Die 300 ist nicht durch 13 teilbar.

Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 5 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 9 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 20 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine 0 und ihre vorletzte

Stelle gerade ist.

Aufgaben

1. Sind diese Aussagen wahr oder falsch?a. 20 ist ein Teiler von 2:b. 7 ist ein Teiler von 54:c. 10 ist ein Teiler von 120:

d. 25 ist ein Teiler von 5:e. 3 ist ein Teiler von 342:

f: 2 ist ein Teiler von 342:

2. Was ist die Teilermenge einer Zahl?Die Teilermenge einer Zahl ist die Menge aller Zahlen, durch die diese Zahl ohne

Rest teilbar ist.

Man schreibt sie in Mengenklammern und trennt die einzelnen Zahlen durch

Kommas. Zum Beispiel ist die Teilermenge von 15 gleich {1,3,5,15}.

Wie bestimme ich die Teilermenge einer Zahl?

Beispiel: Wir bestimmen die Teilermenge von 12.

Es gilt 12 ist durch 1 teilbar, und 12:1=12. Also sind 1 und 12 Teiler von 12.

Weiter 12 ist durch 2 teilbar, und 12:2=6. Also sind 2 und 6 Teiler von 12.

Auerdem ist 12 durch 3 teilbar, und 12:3=4. Also sind auch 3 und 4 Teiler von

12.


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Also hier zum Beispiel muss man 4 nicht mehr testen, da 4 bereits als Teiler

bekannt ist. Es gilt also: Teilermenge von 12={1,2,3,4,6,12}

Aufgaben

2. Schreibe die Teiler von den folgenden Zahlen auf:a. T9={ }b. T20={ }c. T50={ }d. T62={ }

3. Vielfache einer ZahlDie Zahlen, die sich bei der Multiplikation einer Zahl a mit 1; 2; 3; ... ergeben,

heien Vielfache einer ZahlBeispiel: Die Vielfachen von 6 sind: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54; 60; 66;

Vielfachmenge zusammen:

Beispiel: V6={6; 12; 18; 24; ...}

Eine Zahl hat unendliche Vielfache, die man erhlt, wenn man eben diese mit

beliebigen anderen Zahlen multipliziert.

Aufgaben

3. Schreibe die ersten zehn Vielfachen von den folgenden Zahlen auf:

a. V9={ , , , , , , , , , }

b. V3={ , , , , , , , , , }c. V7={ , , , , , , , , , }

d. V5={ , , , , , , , , , }

e. V12={ , , , , , , , , , }

4. Primzahlen und PrimfaktorzerlegungEine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch 1 oder durch sich selbst ohne Rest

teilbar ist.

Nehmen wir ein kleines Beispiel: Die Zahl 11.

Diese Zahl lsst sich nicht durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12 oder eine andere Zahl

teilen, ohne dass ein Rest / Kommazahl entsteht. Die Zahl 11 ist nur durch 1 und

sich selbst - also 11 - teilbar. Damit ist die Zahl 11 eine Primzahl. Genauso wie die

folgenden Zahlen:

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 ....

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Man erhlt stets eine neue Primzahl, wenn man

die bereits bekannten multipliziert und 1 dazu addiert (z.B. (2x3x5)+1=31).


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Primfaktorzerlegung

Fr jede natrliche Zahl gilt: Entweder ist sie eine Primzahl oder sie lsst sich in ein

Produkt aus Primzahlen zerlegen.

Eine solche Zerlegung wird als Primfaktorzerlegung bezeichnet. Jeder der Faktoren

heit Primfaktor.Ein Verfahren zur Bestimmung der Primfaktoren einer Zahl besteht darin,

beginnend mit der kleinsten Primzahl, mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln zu

untersuchen, ob diese Teiler der zu untersuchenden Zahl ist. Wenn dies der Fall ist,

kann eine erste Zerlegung vorgenommen werden.

Beispiel: Die Zahl 126 soll in Primfaktoren zerlegt werden.

Da 2 Teiler von 126 ist, gilt: 126=263

Nun wird der zweite Faktor (hier: 63) weiter zerlegt. Es gilt: 63=321, also

126=2321

Weiter ist 21=37, also 126=2337

Da jetzt alle Faktoren Primzahlen sind (also Primfaktoren sind), ist die Zerlegungabgeschlossen.

Diese Zerlegung lsst sich etwas bersichtlicher in Form einer Tabelle notieren:

Aufgaben

4. Schreibe alle Primfaktoren von 21 auf (alle Primzahlen, durch die man 21

teilen kann):

P21 = { }

5. Schreibe alle Primfaktoren von 9 auf(alle Primzahlen, durch die man 9 teilen

kann):

P9 = { }

6. Schreibe alle Primfaktoren von 70 auf (alle Primzahlen, durch die man 70

teilen kann):

P70 = { }


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5. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)

Von besonderer Bedeutung ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei

oder mehr Zahlen.

Welche Zahl ist das kleinste gemeinsame (ganzzahlige) Vielfache von 36 und120?Das Produkt 36 120 = 4320 ist ein gemeinsames Vielfaches der beiden Zahlen (es istganzzahliges Vielfaches von 36 und es ist ganzzahliges Vielfaches von 120). Aber ist esdas kleinste?Wieder gibt die Primfaktorzerlegung

36 = 22 32 (1)

120 = 23 3 5 (2)

auf systematische Weise die Antwort. Das kgV ist das Produkt aller gemeinsamauftretenden Primfaktoren, wobei jeder Faktor so oft genommen werden muss, wie ermindestens in beiden Zahlen auftritt, denn jedes gemeinsame Vielfache muss alleFaktoren enthalten, die in einer der beiden Zahlen auftreten. (Mit anderen Worten: esmuss immer die grere Hochzahl genommen werden).Das kgV von 36 und 120 ist also

23 32 5 = 360. (3)

Die Probe liefert: 360/36=10=ganzzahlig, 360/120=3=ganzzahlig, daher ist 360tatschlich ein gemeinsames Vielfaches der beiden gegebenen Zahlen 36 und 120. Esist ein kleineres Vielfaches als 4320 (das Produkt), und gem unserer Konstruktion ist

es das kleinste. Solche Situationen treten oft auf, wenn Brche addiert werden.In analoger Weise kann das kgV von mehr als zwei natrlichen Zahlen ermitteltwerden.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist das Produkt aus allenPrimzahlen, die in den Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlenvorkommen, und zwar in der hchsten vorkommenden Potenz.

Beispiel: Bestimme das kgV der Zahlen 105 und 90.

Aufgaben

7. Finde das kgVFinde das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 4 und 10:kgV(4; 10) =Finde das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 15 und 9:kgV(15; 9) =Finde das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 20 und 3:

kgV(20; 3) =


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6. Der grten gemeinsame Teiler (ggT)

Welche Zahl ist der grte gemeinsame Teiler von 36 und 120?Ein gemeinsamer Teiler ist 3 (denn 3 teilt 36 und 120), ein weiterer gemeinsamer

Teiler ist 6, und wieder ein anderer ist 12. Ist 12 der grte gemeinsame Teiler odergibt es einen noch greren? Eine definitive Antwort auf diese Frage liefert diePrimfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen:

36 = 22

32

(1)

120 = 23

3 5 (2)

Der ggT ist das Produkt aller gemeinsam auftretenden Primfaktoren, wobei jeder Faktor nur so oft genommen wird, wie er hchstens in beiden Zahlen auftritt.(Mit anderen Worten: es muss immer die kleinere Hochzahl genommenwerden).

In unserem Beispiel heit das: Die 2 tritt in 36 zweimal auf, in 120 dreimal, also ist 2

2

ein Teiler beider Zahlen (whrend 23 nur Teiler von 120 ist). Die 3 tritt in beidenZahlen auf (whrend 32 nur 36 teilt, nicht aber 120), und die 5 tritt nur in 120 auf,nicht aber in 36. Der ggT von 36 und 120 ist daher

22

3 = 12. (3)

In analoger Weise kann der ggT von mehr als zwei natrlichen Zahlen ermitteltwerden.

Es gilt ggT(a;b)kgV(a;b)=ab und somit kgV(a;b)=ab/ggT(a;b).

Aufgaben

8. Finde den ggT

Finde den grten gemeinsamen Teiler (ggT) von 10 und 20:ggT(10; 20) =



9. Jrgen ist zwischen vierzig und fnfzig Jahre alt und damit dreimal so alt wie seinSohn. Der Sohn ist jnger als 15 Jahre. Wie alt sind sie?


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10. Mattias kann seine Briefmarkensammlung in Gruppen zu zwei, drei und fnfMarken ordnen. Er hat mehr als 80 Briefmarken und weniger als 100. Wie vieleBriefmarken hat Mattias?

11. Eine Gruppe von sechzig Schlern und sechsunddreiig Eltern zelten auf einemBerge. Zum Schlafen wollen Sie die gleiche Personenanzahl pro Zelt haben. Je wenigerZelte es sind, desto weniger muss bezahlt werden. Schler und Eltern wollen jedochnicht zusammen in einem Zelt schlafen. Wie viele Personen schlafen in jedem Zelt?

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