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Lenguajes de simulación:
problemas con líneas de
espera (1)Instituto Tecnológico Superior de Tepeaca
Ingeniería en Sistemas Computacionales
M.C. Ana Cristina Palacios García
Agosto-Diciembre 2015
1
Análisis vs Simulación por
computadora
Una simulación por computadora es un programa que intenta representar
el mundo real basado en un modelo.
La precisión de la simulación depende de la precisión del modelo.
Ejemplo:
Suponga que la probabilidad de que caiga cara en un experimento de tirar una
moneda al aire es desconocida. Es posible realizar el experimento de tirar
monedas n veces repetidamente para aproximar la probabilidad de que caiga
cara.
𝑃 𝐻 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑎𝑦ó 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧ó 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Sin embargo, para muchos problemas prácticos no es posible determinar
probabilidades al ejecutar muchas veces un experimento.
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Modelos de líneas de espera (1)
Cualquiera que haya tenido que esperar frente a un semáforo, en la cola
de un banco o de un restaurante de comidas rápidas, ha vivido la
dinámica de las filas de espera.
El análisis de líneas de espera es de interés para los gerentes porque
afecta el diseño, la planeación de la capacidad, la planificación de la
distribución de espacios, la administración de inventarios y la
programación.
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Modelos de líneas de espera (2)
Los modelos de líneas de espera son útiles para la planificación de la
capacidad.
Generalmente, se forman líneas de espera frente a mostradores como los de
un aeropuerto, un centro de máquinas o un centro de cómputo central.
En estas filas los tiempos de llegada de dos clientes o trabajos sucesivos varían
y el tiempo de procesamiento también varia de un consumidor al siguiente.
Estos modelos de líneas de espera usan distribuciones de probabilidad para
ofrecer estimaciones del tiempo de retraso promedio de los clientes, la longitud
promedio de las filas de espera y la utilización del centro de trabajo.
Los gerentes usan esa información para elegir la capacidad más efectiva en
términos de costos, hallando un equilibrio entre el servicio al cliente y el costo
de la capacidad agregada.
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Modelos de líneas de espera (3)
Se entiende por línea de espera a una hilera formada por uno o varios
clientes que aguardan para recibir un servicio.
Los clientes pueden ser personas, objetos, máquinas que requieren
mantenimiento, contenedores con mercancías en espera de ser
embarcados o elementos de inventario a punto de ser utilizados.
Las líneas de espera se forman a causa de un desequilibrio temporal entre
la demanda de un servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.
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Modelos de líneas de espera (4)
Una posibilidad de 0.0625 significaque la posibilidad de tener más detres clientes en una fila de registro enun aeropuerto, en un ciertomomento del día, es unaprobabilidad de uno en 16.
Si American Airlines en el aeropuertode México puede vivir con cuatro omás pasajeros en líneaaproximadamente el 6% del tiempo,un agente de servicio será suficiente.Si no, se deben sumar más puestosde registro y personal.
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Modelos de líneas de espera (5)
En la mayoría de problemas de líneas de espera que se presentan, la tasa
de demanda varía, es decir, los clientes llegan en intervalos imprevisibles.
También es común que hayan variaciones en el ritmo de producción del
servicio, dependiendo de las necesidades del cliente.
Ejemplo:
Los pacientes que aguardan al médico en su consultorio y los taladros
descompuestos que esperan en una instalación de reparación tienen mucho en
común desde una perspectiva de producción y operaciones.
Ambas utilizan recursos humanos y recursos de equipos para mantener los
valiosos activos de producción (gente y máquinas) en buenas condiciones.
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Modelos de líneas de espera (6)
Los administradores de operaciones reconocen el trueque que se lleva acabo entre el costo de ofrecer un buen servicio y el costo del tiempo de
espera del cliente o la máquina.
Desean que las filas de espera sean lo suficientemente cortas, para que los
clientes no se sientan descontentos y se vayan sin comprar, o que compren
pero que nunca regresen.
Están dispuestos a permitir alguna espera, si ésta es proporcional a un ahorro
significativo en los costos del servicio.
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Usos de la teoría de líneas de espera
Se aplica a empresas de servicios o manufactureras, debido a que relaciona la llegadade los clientes y las características de procesamiento del sistema de servicios con lascaracterísticas de salida de dicho sistema.
Ejemplos de sistemas de servicio:
Una peluquería, en donde el servicio consiste en cortar el cabello.
Departamento de partes, con una máquina determinada para atender un pedido deproducción.
Fila de espectadores que esperan frente a un estadio de futbol para comprar entradas.
Camiones que esperan para ser descargados en una planta de acopio de cereales.
Máquinas en espera de ser reparadas por una cuadrilla de mantenimiento.
Los pacientes que esperan por ser atendidos por un médico.
Nota: independientemente de la situación, los problemas que tienen que ver con líneasde espera tienen algunos elementos en común.
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Estructura de los problemas de líneas
de espera (1)
Para analizar problemas de líneas de espera es necesario comenzar con
una descripción de los elementos básicos de la situación.
Cada situación específica tendrá características distintas, y sin embargo, los
cuatro elementos siguientes serán comunes en todas ellas.
1. Un insumo o población de clientes, que genera clientes potenciales.
2. Una línea o fila de espera formada por los clientes.
3. La instalación de servicio, que consta de una persona (o muchas), una
máquina (o varias máquinas) o ambas cosas si así se requiere para
proporcionar el servicio que el cliente solicita.
4. Una regla de prioridad para seleccionar al siguiente cliente que será atendido
por la instalación de servicio.
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Estructura de los problemas de líneas
de espera ()
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Población de clientes (1)
La población de clientes corresponde a la fuente de insumos para elsistema de servicio.
Fuente de insumos finita: cuando el número potencial de nuevos clientespara el sistema de servicio resulta afectado notablemente por el númerode clientes que ya se encuentran en el sistema.
Ejemplo: suponga que a una cuadrilla de mantenimiento se le asigna laresponsabilidad de reparar 10 máquinas y dejarlas en buen estado defuncionamiento.
Esa población generará los clientes para la cuadrilla de mantenimiento, de acuerdocon una función matemática de las tasas de falla de las máquinas.
A medida que un mayor número de máquinas falle y entre en el sistema de servicio, yasea para esperar turno o para ser reparada de inmediato, la población de clientesdisminuirá y, por consiguiente, se registrará un descenso de la tasa a la cual dichapoblación es capaz de generar otro cliente.
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Población de clientes (2)
Población de clientes infinita: es aquella en la que el número de clientesque entran al sistema no afecta la tasa a la cual dicha población genera
nuevos clientes.
Ejemplos: considere una operación de pedidos por Internet para la cual la
población de clientes está constituida por los compradores que han recibido un
catálogo de los productos que vende la compañía a través de correo
electrónico.
Debido a que la población de clientes es muy grande y solo una pequeña fracción de
los compradores hace pedidos en un momento dado, el número de nuevos pedidos
que generan no resulta afectado por el número de pedidos que están en espera de
servicio o que son atendidos por el sistema que imparte dicho servicio.
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Sistema de servicio (1)
Se describe en términos del número de filas y la disposición de las
instalaciones.
Número de filas: se diseñan en forma de una sola fila o de filas múltiples.
Generalmente se emplea una sola fila en mostradores de aerolíneas, cajas de
los bancos y algunos restaurantes de comida rápida. Se usan cuando el servicio
es de tipo general.
Se usan filas múltiples en supermercados y espectáculos públicos como teatros
o canchas de fútbol. Se emplean cuando se provee un conjunto limitado de
servicios, y son los clientes los que eligen los servicios que necesitan y esperan en
la fila.
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Sistema de servicio (2)15
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Disposición de instalaciones de servicio
(1)
Consisten en el personal y/o equipo necesario para proporcionar dicho
servicio al cliente.
Hay cinco tipos básicos de disposiciones para las instalaciones de servicio.
La disposición adecuada debe ser elegida por los gerentes según el
volumen de sus clientes y el carácter de los servicios ofrecidos.
Algunos servicios requieren un solo paso, también conocido como fase, en tanto
que otros requieren una secuencia de pasos.
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Disposición de instalaciones de servicio
(2)
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Disposición de instalaciones de servicio
(3)
Un solo canal y una sola fase: todos los servicios solicitados por un clientesuelen impartirse por una instalación con un solo servidor. Ejemplos: servicio
de lavado automático de automóviles donde los automovilistas no
necesitan salir de sus vehículos; cualquier máquina en la cual es necesario
procesar varios lotes de partes.
Un solo canal y múltiples fases: cuando se requiere que los servicios se
impartan en secuencia por varias instalaciones, pero el volumen de la
clientela y otras restricciones limitan el diseño a un solo canal. Ejemplo:
instalaciones donde se realizan trámites para la obtención de documentos
personales como los pasaportes, donde la primera instalación toma el
formulario de inscripción, la segunda toma huellas digitales y la tercera
saca la foto del solicitante.
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Disposición de instalaciones de servicio
(4)
Múltiples canales y una sola fase: cuando la demanda es suficientementegrande para justificar que se suministre el mismo servicio en más de unainstalación, o bien, cuando los servicios ofrecidos por las instalaciones sondiferentes. Aquí los clientes forman una o varias filas.
Si es una sola fila, los clientes son atendidos por el primer servidor disponible,como ocurre en los bancos.
Múltiples canales y múltiples fases: cuando los clientes pueden seratendidos por una de las instalaciones de la primera fase, pero despuésrequieren los servicios de una instalación de la segunda fase, y asísucesivamente. Ejemplo: negocio de servicios de lavandería, donde laslavadoras son la primera fase, y las secadoras son las instalaciones de lasegunda fase. Además, las lavadoras y secadoras pueden recibir cargasdistintas, con lo cual es posible brindar al cliente la posibilidad de elegirentre varios canales.
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Disposición de instalaciones de servicio
(5)
Disposición mixta: ocurre cuando en las filas de espera intervienen clientescuyos servicios requeridos tienen secuencias únicas; por lo cuál, el servicio
no puede dividirse claramente en distintas fases.
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Regla de prioridad
Determina a qué cliente deberá atender a continuación. Generalmente,
se aplica el esquema “el primero en llegar el primero en procesar”.
En este caso, pueden haber reglas que den prioridades a los clientes, de
tal forma que un cliente con mayor prioridad interrumpa el servicio de otro
cliente.
Ejemplo: sala de emergencias de un hospital, los pacientes que llegan con
heridas que representan amenazas más graves para la vida son atendidos
primero, sin importar en qué orden hayan llegado.
Nota: La construcción de modelos de sistemas con disciplinas de prioridad
complejas se realiza generalmente por medio de una simulación por
computadora.
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Distribuciones de probabilidad (1)
Las fuentes de variación de los problemas de filas de espera provienen del
carácter aleatorio de la llegada de los clientes y de las variaciones que se
registran en los distintos tiempos de servicio.
Cada una de esas fuentes suele describirse mediante una distribución de
probabilidades.
1. Distribución de llegadas.
2. Distribución de tiempo de servicio.
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Distribuciones de probabilidad (2)
1. Distribución de llegadas:
La llegada de clientes a las instalaciones de servicio es aleatoria.
La variabilidad en los intervalos de llegada de los clientes a menudo se describepor medio de una curva de distribución de Poisson, la cual especifica laprobabilidad de que n clientes lleguen en T periodos de tiempo:
La media de distribución de Poisson es λT, y la varianza también es λT.
La distribución de Poisson es una distribución discreta, es decir, lasprobabilidades corresponden a un número específico de llegadas por unidadde tiempo.
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Distribuciones de probabilidad (3)
Ejemplo del cálculo de la probabilidad de llegadas de clientes.
Los clientes se presentan en la sección de atención de quejas por productosdefectuosos de una casa de electrodomésticos a razón de dos clientes porhora. ¿Cuál es la probabilidad de que se presenten cuatro clientes durante lapróxima hora?
Solución:
En este caso λ = 2 clientes por hora, T=1 hora y n=4 clientes. La probabilidad de quelleguen cuatro clientes en la próxima hora es:
Otra forma de especificar la distribución de llegadas consiste en hacerlo en términosde tiempos entre llegadas de clientes, es decir, el intervalo de tiempo entre llegada dedos clientes sucesivos. Si la población de clientes genera a éstos de acuerdo con unadistribución de Poisson, entonces la distribución exponencial describe la probabilidadde que el próximo cliente llegue durante los siguientes T periodos de tiempo.
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Distribuciones de probabilidad (4)
2. Distribución de tiempo de servicio
La distribución exponencial describe la probabilidad de que el tiempo deservicio del cliente en una instalación determinada no sea mayor que T periodosde tiempo.
La probabilidad puede calcularse con la siguiente fórmula:
La media de la distribución del tiempo de servicio es 1/µ, y la varianza es (1/µ)2.
A medida que T incrementa, la probabilidad de que el tiempo de servicio delcliente sea menor que T se va aproximando a 1.0.
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Distribuciones de probabilidad (5)
Ejemplo del cálculo de la probabilidad del tiempo de servicio.
El empleado de la sección de atención de quejas por productos defectuosos puedeatender, en promedio, a tres clientes por hora. ¿cuál es la probabilidad de que un clienterequiera menos de 10 minutos de ese servicio?
Solución:
Es necesario expresar todos los datos en las mismas unidades de tiempo. Puesto que µ=3 clientes porhora, convertimos los minutos en horas, es decir, T=10 minutos = 10/60 horas = 0.167 horas. Entonces:
Algunas características de la distribución exponencial no siempre se adaptan a una situación real.
El modelo de distribución exponencial se basa en la suposición de que cada tiempo de servicio esindependiente de los tiempos que lo precedieron. Sin embargo, en la vida real, la productividadpuede mejorar a medida que los servidores humanos aprenden a hacer mejor su trabajo.
La suposición fundamental en este modelo es que los tiempos de servicio muy pequeños y muygrandes son posibles. Sin embargo, las situaciones de la vida real requieren a menudo un tiempo deduración fija para su puesta en marcha, algún límite para la duración total del servicio o un tiempode servicio casi constante.
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Uso de modelos de filas de espera
para analizar operaciones (1)
Estos modelos permiten establecer el equilibrio entre las ventajas que podríanobtener incrementado la eficiencia del sistema de servicio y los costos que estoimplica.
Los gerentes deberían considerar los costos por no hacer mejoras al sistema: laslargas filas de espera o los prolongados tiempos de espera resultantes de estoprovocan que los clientes se arrepientan o deserten.
Es preciso que los gerentes estén interesados en las siguientes características deoperación del sistema:
Longitud de fila.
Número de clientes en el sistema.
Tiempo de espera en la fila.
Tiempo total en el sistema.
Utilización de las instalaciones de servicio.
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Uso de modelos de filas de espera
para analizar operaciones (2)
Longitud de la fila:
La cantidad de clientes que forman una fila de espera refleja alguna de lassiguientes condiciones:
Las hileras cortas significan que el servicio al cliente es bueno o que la capacidad esexcesiva.
Las hileras largas indican una baja eficiencia del servidor o la necesidad de aumentarla capacidad.
Número de clientes en el sistema:
El número de clientes que forman una fila y reciben servicio también serelaciona con la eficiencia y la capacidad de dicho servicio.
Un gran número de clientes en ele sistema provoca congestionamientos ypuede dar lugar a la insatisfacción del cliente, a menos que el servicioincremente su capacidad.
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Uso de modelos de filas de espera
para analizar operaciones (3)
Tiempo de espera en la fila:
Las filas largas no siempre significan tiempos de espera prolongados.
Si la tasa de servicio es rápida, una fila larga puede ser atendida
eficientemente.
Cuando el tiempo de espera parece largo, los clientes tienen la impresión de
que la calidad del servicio es deficiente.
Los gerentes tratan de cambiar la tasa de llegada de los clientes o de diseñar el
sistema para que los largos tiempos de espera parezcan más cortos de lo que
realmente son
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Uso de modelos de filas de espera
para analizar operaciones (4)
Tiempo total en el sistema:
El tiempo total transcurrido desde la entrada al sistema hasta la salida del mismo
ofrece indicios sobre problemas con los clientes, eficiencia del servidor o
capacidad.
Si algunos clientes pasan demasiado tiempo en el sistema del servicio, tal vez
sea necesario cambiar la disciplina en materia de prioridades, incrementar la
productividad o ajustar de algún modo la capacidad.
Utilización de las instalaciones de servicio:
La utilización colectiva de instalaciones de servicio refleja el porcentaje de
tiempo que éstas permanecen ocupadas.
El objetivo de la gerencia es mantener altos niveles de utilización y rentabilidad,
sin afectar adversamente las demás características de operación.
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Uso de modelos de filas de espera
para analizar operaciones (5)
El mejor método para analizar un problema de filas de espera consiste en
relacionar las cinco características de operación y sus respectivas
alternativas con su valor monetario.
Es complejo asignar un valor económico a ciertas características (como el
tiempo de espera de un cliente en un banco).
Para ello es necesario que el analista compare el costo necesario para aplicar
la alternativa en cuestión, frente a una evaluación subjetiva del costo que
implicaría el hecho de no hacer dicho cambio.
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Modelo A: de un solo servidor (1)
Es el modelo de filas de espera más sencillo y corresponde a un solo
servidor y una sola fila de clientes.
Para especificar con mayor detalle el modelo, se hacen las siguientes
suposiciones:
1. La población de clientes es finita y todos los clientes son pacientes.
2. Los clientes llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y con una tasa
media de llegadas de λ.
3. La distribución del servicio es exponencial, con una tasa media de servicio de µ.
4. A los clientes que llegan primero se les atiende primero.
5. La longitud de la fila de espera es ilimitada.
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Modelo A: de un solo servidor (2)
A partir de las suposiciones anteriores, podemos aplicar varias fórmulas
para describir las características de operación del sistema:
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Modelo A: de un solo servidor (3)
Ejemplo del cálculo de las características de operación de un sistema con
un solo canal y una sola fase.
la gerente de un supermercado está interesada en brindar un buen servicio a
las personas de mayor edad que compran en su local. Actualmente, el
supermercado cuenta con una caja de salida reservada para los jubilados.
Estas personas llegan a la caja a un ritmo promedio de 30 por hora, de acuerdo
con una distribución de Poisson, y son atendidos a una tasa promedio de 35
clientes por hora, con tiempos de servicio exponenciales. Calcule los siguientes
promedios:
a) Utilización del empleado de la caja de salida.
b) Número de clientes que entran al sistema.
c) Número de clientes formados en la fila.
d) Tiempo transcurrido dentro del sistema.
e) Tiempo de espera en fila.
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Modelo A: de un solo servidor (4)
Solución:
La caja de salida puede representarse como un sistema con un solo canal y una
sola fase.
Usamos las ecuaciones correspondientes a las características de operación del
modelo con un solo servidor para calcular las características promedio:
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Modelo A: de un solo servidor (5)36
Modelo A: de un solo servidor (6)
Ejemplo del análisis de las tasas de servicio usando el modelo con un solo
servidor.
La gerente del supermercado mencionado, desea respuesta de las siguientes
preguntas:
a) ¿Qué tasa de servicio se requerirá para lograr que los clientes pasaran, en promedio,
sólo 8 minutos en el sistema?
b) Con esa tasa de servicio, ¿cuál sería la probabilidad de tener más de cuatro clientes
en el sistema?
c) ¿Qué tasa de servicio se requeriría para que fuera de sólo 10% la probabilidad de
tener más de cuatro clientes en el sistema?
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Modelo A: de un solo servidor (7)
Solución:
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Modelo A: de un solo servidor (8)39
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Modelo A: de un solo servidor (9)40
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Modelo A: de un solo servidor (10)41
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Ejercicio:
El gerente de un banco está interesado en brindar un buen servicio a sus
clientes. Actualmente, el banco cuenta con una sola caja de salida para
todos sus clientes. Los clientes llegan a la caja a un ritmo promedio de 25
por hora de acuerdo a una distribución de Poisson, y son atendidos a una
tasa promedio de 30 clientes por hora, con tiempos de servicio
exponenciales. Calcule los siguientes promedios:
a) Utilización del empleado de la caja de salida.
b) Número de clientes que entran al sistema.
c) Número de clientes formados en la fila.
d) Tiempo transcurrido dentro del sistema.
e) Tiempo de espera en fila.
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