J E A N - F R A N Ç O I S BRIÈRE

Les superpolynômes de Jack et leurs formules de Pieri

Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval

dans le cadre du programme de maîtrise en physique pour l 'obtention du grade de Maître ès sciences (M.Se.)

FACULTÉ DES SCIENCES ET DE G É N I E UNIVERSITÉ LAVAL

Q U É B E C

2008

©Jean-François Brière, 2008

Résumé

Les polynômes de Jack sont des polynômes symétriques qui constituent les fonctions propres de l'hamiltonien du problème à N corps complètement intégrable de Calogero-Moser-Sutherland (CMS) . Ces polynômes sont bien connus en physique et en mathéma­tiques et plusieurs de leurs propriétés ont été obtenues. Entre autres, il existe des règles, nommées formules de Pieri, qui permettent de développer un produit de deux polynômes de Jack dans une combinaison linéaire de polynômes de Jack. Ces formules ont mené à l 'obtention d'opérateurs différentiels analogues à des opérateurs de création qui per­mettent de générer ces polynômes sans avoir à diagonaliser explicitement l'hamiltonien. Dans le cadre de ce mémoire, on s'intéresse au modèle CMS supersymétrique et plus particulièrement aux généralisations des formules de Pieri. On introduit aussi quelques propriétés des superpolynômes de Jack qui seront utiles pour prouver les formules de Pieri obtenues dans le cas supersymétrique.

Avant-propos

Je tiens à remercier en premier lieu mon directeur de recherche, le professeur Pierre Mathieu, pour sa grande compréhension et sa patience. Il m'a fourni un environnement de travail sans pression qui, conjointement avec sa grande disponibilité, a contribué au succès de ma maîtrise. Je tiens également à remercier mon codirecteur, le professeur Patrick Desrosiers, qui m'a fourni un soutien constant. Il a grandement contribué à l'avancement de ma recherche par ses idées originales et ses travaux connexes. Merci aussi à notre collaborateur, le professeur Luc Lapointe, pour ses idées et sa compréhen­sion plus technique du sujet.

Je remercie aussi Vincent Veilleux, étudiant à la maîtrise en physique, qui travaillait sur un projet semblable au mien dans le cadre de sa maîtrise. Les nombreuses discussions que nous avons eues m'ont permis d'accroître ma compréhension et d'éclaircir plusieurs points. Je remercie aussi mes collègues, Pierre-Luc Lavertu et Emilie Guay, qui ont généreusement partagé leurs idées et points de vue sur certains problèmes.

Merci à ma conjointe Andrée qui, malgré ses propres études, m'a toujours soutenu par ses encouragements continuels. Merci d'être toujours à l 'écoute et compréhensive.

Je remercie aussi mes parents, mes deux frères ainsi que mes amis et amies pour avoir cru en moi. Merci d'avoir su me changer les idées lorsque j 'en ai eu besoin.

A tous ceux qui y trouveront réponses à leurs questions

An expert is a man who has made ail the mistakes which can be made in a

very narrow field. Niels Bohr

Table des matières

R é s u m é ii

A v a n t - p r o p o s iii

T a b l e d e s m a t i è r e s v

L i s t e d e s t a b l e a u x vi i

T a b l e d e s f igures vi i i

I n t r o d u c t i o n 1

1 L e s m o d è l e s C a l o g e r o - M o s e r - S u t h e r l a n d 4

1.1 Les problèmes à TV corps en mécanique quantique 4 1.1.1 Les modèles intégrables 7

1.2 Les modèles Calogero-Moser-Sutherland 8

2 L e s p o l y n ô m e s s y m é t r i q u e s 12 2.1 Définition des polynômes symétriques 12

2.1.1 Les partitions 13 2.1.2 Les bases de polynômes symétriques 16

3 L e s p o l y n ô m e s d e J a c k 19 3.1 Définition des polynômes de Jack 19

3.1.1 Les propriétés des polynômes de Jack 20 3.2 Les formules de Pieri 24 3.3 Les opérateurs de création 27

4 L e s m o d è l e s C a l o g e r o - M o s e r - S u t h e r l a n d s u p e r s y m é t r i q u e s 3 0 4.1 La supersymétrie 30

4.1.1 Les variables fermioniques 31 4.1.2 Les modèles quantiques supersymétriques 33

4.2 Les modèles Calogero-Moser-Sutherland supersymétriques 34

5 Les s u p e r p o l y n ô m e s s y m é t r i q u e s 3 7 5.1 Définition des superpolynômes symétriques 37

5.1.1 Les superpartitions 39 5.1.2 Les bases de superpolynômes symétriques 43

6 Les s u p e r p o l y n ô m e s d e J a c k et les f o r m u l e s d e P i e r i 4 7 6.1 Définition des superpolynômes de Jack 47

6.1.1 Les propriétés des superpolynômes de Jack 49 6.2 Les formules de Pieri 53

6.2.1 Formule de Pieri pour J( 0 ;o) 53 6.2.2 Formule de Pieri pour J( n ) 56

6.2.3 Exemples de calcul 65

C o n c l u s i o n 70

B i b l i o g r a p h i e 72

Liste des tableaux

2.1 Sommes de puissances de degré 3 en 4 variables 17

2.2 Fonctions monomiales de degré 3 en 4 variables 18

3.1 Polynômes de Jack de degré 3 en termes de fonctions monomiales . . . 20

5.1 Supersommes de puissances de secteur 2 et de degré 2 en 4 variables . . 44 5.2 Superfonctions monomiales de secteur 2 et de degré 3 en 4 variables . . 45

6.1 Superpolynômes de Jack de secteur 2 et de degré 3 49

Table des figures

2.1 Diagramme de la partition (5 ,4 , 4,1) 14 2.2 Transposée du diagramme de la partition (5. 4 ,4 ,1 ) 15 2.3 Diagramme du quotient ( 5 .4 ,4 , l ) / ( 4 , 3. 2) 16

3.1 Diagramme des partitions A = (5, 4 ,4 ,1 ) et A - / = (4. 3, 3) 23 3.2 Diagramme des partitions A = (5, 4 ,4 ,1 ) et A" = (4 ,4 ,1 ) 23 3.3 Action de l'opérateur B4 sur le diagramme (3, 2, 2) 28

5.1 Diagramme de la superpartition (3 ,0 ; 4, 3,1) 41 5.2 Transposée du diagramme de la superpartition (3, 0; 4, 3,1) 42 5.3 Diagramme du quotient (3, 0; 4, 3 , 1 ) / ( 3 , 2; 2,1) 43

6.1 Diagrammes des superpartitions (2, 0; 3) et ( 3 , 2 , 0 ; 0) 66 6.2 Diagramme du quotient (3, 2, 0; 0 ) / ( 2 , 0; 3) 66 6.3 Diagrammes des superpartitions (1 ,0 ; 2) et (1 ,0 ; 3,1) 67 6.4 Diagramme du quotient (1 ,0 ; 3 , 1 ) / ( 1 , 0 ; 2) 67 6.5 Diagrammes des superpartitions (1, 0; 2) et (2 ,1 ; 1) 68 6.6 Diagramme du quotient (2 ,1 ; 1 ) / ( 1 , 0 ; 2) 68

Introduction

Les problèmes dont on peut obtenir une solution analytique occupent une place importante en physique. Depuis quelques siècles, les physiciens et mathématiciens s'ef­forcent d'étudier ces modèles et de découvrir leurs propriétés. Toutefois, les physiciens ont rapidement découvert que, bien qu'en apparence simples, plusieurs problèmes phy­siques ne se laissent pas résoudre facilement. On peut penser, entre autres, à l 'exemple du pendule qui semble simple à première vue mais dont la résolution complète nécessite l'usage de fonctions elliptiques compliquées. De plus, la complexité des nouveaux modè­les et des nouvelles théories physiques engendre bien souvent des systèmes d'équations différentiels très difficiles et parfois même impossibles à résoudre analytiquement. Pour cette raison, le nombre de problèmes solubles connus est très restreint. L'étude de ces modèles est toutefois très importante puisqu'elle permet d'acquérir une meilleure compréhension des interactions et de la dynamique de problèmes physiques. De plus, l 'étude de systèmes intégrables, z.e., qui contiennent suffisamment de symétries pour être en principe solubles, permet parfois d'établir des liens inattendus avec d'autres modèles, ce qui bien souvent permet d'établir de nouvelles propriétés.

Un modèle intégrable particulièrement important en mécanique quantique voit le jour en 1969, dans un article publié par Calogero [3]. Ce modèle décrit la dynamique de trois particules identiques en une dimension spatiale qui sont soumises à un poten­tiel répulsif inversement proportionnel au carré de la distance ainsi qu'à un potentiel attractif proportionnel au carré de la distance. Les particules de ce modèle sont donc libres de se déplacer sur une ligne infinie et occupent des états discrets. Calogero résout exactement ce modèle en obtenant l'ensemble des fonctions propres ainsi que leurs va­leurs propres associées. Deux ans plus tard, en 1971, Calogero présente un nouvel article dans lequel il résout complètement ce même modèle, mais cette fois avec un nombre arbitraire de particules [5]. Il obtient aussi, dans ce même article, la solution d'un modèle semblable dans lequel les particules sont soumises uniquement à un potentiel répulsif inversement proportionnel au carré de la distance. Dans les deux cas, il spécifie complètement les fonctions propres et les valeurs propres de ces systèmes.

Peu de temps après. Sutherland considère le modèle formulé par Calogero qui ne contient que le potentiel répulsif et fixe une condition de périodicité aux frontières [30, 31, 32]. Le modèle devient alors périodique et les particules sont contraintes à se déplacer sur un cercle. Cette approche différente permet à Sutherland d'obtenir d'autres propriétés intéressantes de ce modèle. Il présente aussi une méthode permettant d 'obte­nir tout le spectre ainsi qu'une base complète de fonctions propres qui sont symétriques sous permutation de leurs variables. Ces fonctions propres correspondent en fait aux polynômes de Jack, découverts par ce dernier et présentés dans un article publié en 1969 [15]. Les fonctions symétriques constituent un vieux sujet des mathématiques et cette théorie a été étudiée en détail par plusieurs mathématiciens renommés dont Macdonald [23]. Plus particulièrement, Stanley étudie en profondeur les polynômes de Jack et regroupe un grand nombre de leurs propriétés dans un article publié en 1989 [29]. Plus tard, cet article permet à Forrester de faire le rapprochement entre les so­lutions du modèle de Sutherland et les polynômes de Jack [12]. Finalement, il existe des opérateurs différentiels, analogues à des opérateurs de création, qui permettent de générer récursivement les polynômes de Jack. Ces opérateurs ont été découverts par Lapointe et Vinet en 1995 [19].

Au niveau classique, Moser étudie les modèles dont les particules sont soumises à un potentiel inversement proportionnel au carré de la distance. Il prouve l'intégrabilité de ces modèles dans un article publié en 1974 [24]. Ainsi, ces différents modèles, que ce soit au niveau classique ou quantique, sont désormais reconnus comme les modèles Calogero-Moser-Sutherland (CMS) . Plus particulièrement, le modèle formulé par Sutherland est appelé modèle CMS trigonométrique ( tCMS) . De plus, ces modèles se retrouvent dans plusieurs branches de la physique. Entre autres, les modèles CMS interviennent dans la théorie des matrices aléatoires, l'effet Hall quantique, les trous noirs, les systèmes mésoscopiques, etc [14]. Un autre intérêt important des modèles CMS provient du fait que la dynamique des particules de ces modèles peut être associée à des particules libres qui obéissent à un principe d'exclusion généralisé [27]. Ainsi, ces particules possèdent une statistique généralisée qui ne dépend que de la constante de couplage du modèle. Cette statistique peut donc être choisie bosonique, fermionique ou même fractionnaire en ajustant la valeur de la constante de couplage. Finalement, le lien qui existe entre les modèles CMS et certains modèles de chaînes de spin constitue une autre motivation pour l'étude de ces modèles.

•

Les versions supersymétriques des modèles CMS sont apparues par la suite. Le premier modèle à être généralisé est le modèle proposé initialement par Calogero. Cette généralisation supersymétrique est obtenue par Freedman et Mende dans un article publié en 1990 [13]. Quelques années plus tard, l'hamiltonien supersymétrique du modèle trigonométrique est formulé par Shastry et Sutherland. mais aucune solution

n'est obtenue [28]. Par la suite, Desrosiers, Lapointe et Mathieu présentent une ana­lyse systématique de la généralisation supersymétrique du modèle tCMS et découvrent par le fait même une généralisation des polynômes de Jack [7]. Ils obtiennent ensuite un grand nombre de résultat concernant les superpolynômes symétriques, z.e., des po ­lynômes définis dans un espace contenant des variables bosoniques et des variables fermioniques [8, 9, 10, 11]. Entre autres, ils obtiennent une généralisation des partitions et formulent un ordre qui permet de comparer ces superpartitions entre elles. Ces no­tions permettent d'obtenir des bases de superpolynômes qui couvrent tout l'espace des superpolynômes symétriques. Ces auteurs définissent aussi formellement les superpo­lynômes de Jack et découvrent que plusieurs propriétés des polynômes de Jack peuvent être retrouvées dans le cas supersymétrique. Le présent mémoire s'inscrit ainsi dans la lignée de ces travaux portant sur les différentes propriétés des superpolynômes de Jack. Plus particulièrement, la recherche effectuée porte sur la généralisation des formules de Pieri, déjà obtenues par Stanley pour les polynômes de Jack.

Dans le premier chapitre, on commence par présenter un rappel des notions im­portantes pour étudier des problèmes à plusieurs corps en mécanique quantique. On y définit toutes les quantités qui seront utiles lors de l'analyse des modèles étudiés et on y fixe l'essentiel de la notation. Toutes ces notions permettront d'introduire le modèle tCMS. Dans le second chapitre, on introduit la théorie des fonctions symétriques qui servira à décrire les fonctions propres du modèle tCMS. On commence par définir for­mellement les polynômes symétriques ainsi que l'espace dans lequel ces polynômes sont définis. On introduit par la suite deux bases importantes de cet espace. Dans le troisième chapitre, on présente les polynômes de Jack d'un point de vue purement mathématique et on associe ces polynômes aux fonctions propres du modèle tCMS. On introduit aussi les formules de Pieri associées aux polynômes de Jack ainsi que des opérateurs différentiels permettant de les générer. A u quatrième chapitre, on introduit les modèles quantiques supersymétriques ainsi que quelques notions nécessaires à l'étude de ces systèmes. On présente ensuite la généralisation supersymétrique du modèle tCMS. Au cinquième chapitre, on introduit la théorie des superpolynômes symétriques qui consti­tue une généralisation de la théorie présentée au deuxième chapitre. Finalement, on présente au sixième chapitre les superpolynômes de Jack, solutions du modèle tCMS supersymétrique, ainsi que plusieurs de leurs propriétés. On formule par la suite les formules de Pieri pour le cas supersymétrique et on termine ce chapitre par quelques exemples d'utilisation de ces formules.

Chapitre 1

Les modèles Calogero-Moser-Sutherland

Les modèles Calogero-Moser-Sutherland (CMS) sont des problèmes quan­tiques à TV corps en interaction qui sont complètement intégrables. On présente donc les concepts nécessaires à l'étude de problèmes quantiques à plusieurs corps. On définit par la suite la notion d'intégrabilité quan­tique et on présente les propriétés des problèmes exactement solubles. Ces notions permettront ensuite d'introduire un modèle CMS particulièrement intéressant, le modèle CMS trigonométrique. On présente finalement une interprétation possible de ce modèle en termes de particules libres obéissant à un principe d'exclusion généralisé.

1.1 Les problèmes à TV corps en mécanique quan­tique

Les problèmes quantiques qui sont abordés sont des problèmes non relativistes en une dimension d'espace. Ainsi, si le modèle compte N particules, ces particules seront toujours confinées sur une ligne et le modèle aura alors N degrés de liberté. La dyna­mique de ces systèmes est régie par un hamiltonien dont le potentiel ne dépend que de l'interaction des particules entre elles. Ainsi, ces systèmes ne sont pas soumis à aucun potentiel extérieur. En considérant l'ensemble x = (xi,-- - ,XN) des positions X\ des différentes particules, on introduit la notation . •

Cette notation permet de définir une interaction arbitraire v(xij) entre les particules X{

et Xj. L'hamiltonien générique qui respecte les critères énoncés s'écrit

r 1 i<j

On remarque que la deuxième somme s'effectue sur les indices i < j de telle sorte que l'interaction entre une paire de particules ne soit comptée qu'une seule fois. En mécanique quantique, l'opérateur impulsion Pj correspond au moment conjugué de Xi et doit obéir au commutateur canonique

[Pi.Xj] = -ihôij. (1.3)

On constate que l'opérateur impulsion Pi est défini dans un sous-espace associé à la particule ce qui signifie qu'il commute avec toutes les autres particules. On peut alors représenter cet opérateur impulsion en termes d'un opérateur différentiel qui respecte ces propriétés. On définit

Pk = - i h ^ - . (1.4) oxk

Avec cette définition, l 'hamiltonien générique, éq.(1.2) , peut s'écrire

i 1 i<j

Cet hamiltonien est donc un opérateur qui décrit un système de N particules qui sont soumises à une interaction par paire v(xij). En fait, l 'hamiltonien est une observable dont les fonctions propres correspondent aux états dynamiques du système et dont les valeurs propres définissent l'énergie de ces états. En mécanique quantique, toutes les mesures physiques sont en réalité des mesures de valeurs propres de certaines observables associées au problème et l'état du système est caractérisé par un vecteur propre de ces observables. En particulier, l 'impulsion totale p d'un système est la valeur propre associée à l'opérateur P qui est défini comme la somme de tous les opérateurs impulsion Pi qui agissent sur toutes les particules. On écrit

Finalement, pour une observable O qui ne dépend pas explicitement du temps, on note

i—aw<* <L7> Une observable sera donc conservée si elle commute avec l'hamiltonien puisque cela implique que la variation temporelle de cette observable est nulle. Une telle quantité conservée correspond alors à une symétrie du problème.

En mécanique quantique, rhamiltonien H doit obéir à l'équation de Schrodinger,

i h ^ ^ = H^(x.t), (1.8)

où les ty(x,t) sont des fonctions d'onde qu'il est possible d'associer, dans une certaine limite, à la trajectoire des particules. Plus précisément, la quantité \ty(x,t)\2dx corres­pond au nombre moyen de particules, à l'instant t, qui se trouve dans un segment dx autour du point x. Si l'hamiltonien H ne dépend pas du temps, l 'équation de Schrodin­ger peut être grandement simplifiée, par séparation de variables, en posant une solu­tion de la forme ty(x,t) = <fi(t)îjj(x). Cette hypothèse permet de réduire l 'équation de Schrodinger à une équation aux valeurs propres en x et permet de résoudre directement l'équation en t. On obtient

Hr(x) = Ei/>(x), (1.9)

^(t) = e~Œt/h. (1.10)

Ainsi, les fonctions ip(x) représentent les états propres de l'hamiltonien et les valeurs propres E correspondent aux énergies de ces différents états. De plus, il est possible d'obtenir l'impulsion pi associée à chaque particule en appliquant l'opérateur Pi sur la fonction d'onde ip{x). On note donc

Plij(x)=p^(x). (1.11)

La résolution d'un problème quantique dont l'hamiltonien est de la forme de l 'éq.(1.5) revient donc à résoudre une équation aux valeurs propres, éq.(1.9). Par exemple, dans le cas d'un système de N particules libres, z.e., qui ne sont soumises à aucun potentiel, on pose v(xij) = 0 et l'hamiltonien devient

» —£555? - ( 1 1 2 )

Les fonctions propres ip{x) de cet hamiltonien sont

il>{x) = Yé"kJPkXk,h Va, . (1.13) k

De plus, les impulsions pi associées à chaque particule permettent d'écrire directement l'énergie totale E de ce système. En effet, l'énergie totale correspond à la somme de l'énergie cinétique de toutes les particules puisqu'il n'y a aucune autre contribution possible. On obtient donc

2m,i L

L'équation aux valeurs propres, éq.(1.9) , peut toutefois s'avérer très difficile à résoudre analytiquement lorsque le potentiel entre les particules est arbitraire. Les modèles pour

lesquels une solution analytique existe sont dits exactement solubles. Il existe aussi une classe de modèles, dit intégrables, qui possèdent suffisamment de symétries pour être en théorie solubles mais dont les solutions peuvent être impossibles à obtenir analyti-quement.

1.1 .1 Les modèles intégrables

Un modèle sera intégrable si ce modèle possède autant de quantités conservées indépendantes In que de degrés de liberté. Dans le cas présent, les problèmes d'intérêt possèdent TV degrés de liberté, ce qui signifie qu'il faut N observables indépendantes In

qui commutent avec l'hamiltonien H.

afin de rendre ces modèles intégrables. Il faut, de plus, que ces observables commutent entre elles,

Autrement dit, il faut que le problème possède un ensemble complet de TV opérateurs commutants. Cette structure assure que toutes les observables peuvent être diagona-lisées simultanément. En effet, le fait que ces opérateurs commutent entre eux assure qu'il existe une base de vecteurs propres communs à tous ces opérateurs. Un ensemble complet d'opérateurs commutants permet alors de définir une base de vecteurs propres de telle sorte qu'il existe une correspondance biunivoque entre un vecteur propre et un multiplet de valeurs propres. Toutes les dégénérescences possibles des valeurs propres ont alors été éliminées et le système est intégrable.

Tel que mentionné précédemment, un modèle intégrable possède en théorie assez de symétries pour être résolu exactement. Toutefois, il est possible que ces solutions ne puissent pas s'écrire en termes de fonctions analytiques connues. Il ne faut donc pas confondre les modèles intégrables avec les modèles solubles. En effet, les modèles solubles sont des modèles intégrables pour lesquels une solution analytique existe. En général, les modèles parfaitement solubles font appel à des fonctions mathématiques qui découlent d'équations différentielles bien connues et largement étudiées. Il est alors possible d'écrire toutes les fonctions propres ainsi que de connaître tout le spectre des valeurs propres de ce problème. En physique, il n'existe que très peu de modèles qui sont intégrables ou solubles, et la plupart d'entre eux ne font intervenir qu'une ou deux particules. Il existe toutefois des modèles intégrables à N particules qui sont particulièrement intéressants : les modèles Calogero-Moser-Sutherland.

[JÏ,I„] = 0 n = l . . . . , 7 V , (1.15)

[J„ ,I m ] = 0 ra,n = l , . . . , iV . (1.16)

1.2 Les modèles Calogero-Moser-Sutherland

Les modèles Calogero-Moser-Sutherland (CMS) sont des modèles intégrables à TV particules de masses identiques m en une dimension d'espace. De plus, le potentiel entre les particules est inversement proportionnel au carré de la distance qui les sépare. Le potentiel v(xij) est alors

v(xij) = :T2> ( L 1 7 ) ij

où g est une constante de couplage réelle. Le problème est considérablement simplifié si on impose une condition de périodicité aux frontières. Le problème devient alors défini sur un cercle de circonférence L et correspond au modèle CMS trigonométrique (tCMS) [31]. Les positions X{ des particules correspondent donc à la distance, sur un arc de cercle, définie par rapport à une origine arbitraire placée sur le cercle. Ces variables sont donc définies modulo L. En vertu de la périodicité, deux particules peuvent inter­agir entre elles un nombre infini de fois si on considère toutes les contributions possibles en effectuant des tours autour du cercle. Il faut alors sommer toutes ces contributions pour obtenir le potentiel réel. On écrit alors

*E(^br (L18)

où l'indice n s'étend de —oo à +oo. Les contributions négatives correspondent à la partie du potentiel qui est dirigée en sens contraire sur une même période. En effet, une particule agit sur une autre dans les deux directions possibles, ce qui donne lieu à une contribution de signe positif et une contribution en direction contraire de signe négatif. On peut montrer, par la méthode des résidus, que cette somme est

- ( s m ^ ) . (1.19)

L'hamiltonien du modèle tCMS devient donc

h 92 7T2 v-^ / 7TXn\-z

1 î < 7

Afin de simplifier l'écriture, on adopte un système d'unité tel que h = 1 et on pose que la masse des particules est m = 1. Pour éviter que les particules ne s'effondrent au même point, on doit spécifier une condition sur la constante de couplage. On peut montrer que l'effondrement est évité au niveau quantique en imposant g > —1/4 [30]. Cette condition est directement vérifiée si on écrit la constante de couplage telle que

g =8(3-1). 8 eR. (1.21)

Puisque les positions des particules sont définies sur un cercle, on peut traiter le problème dans le plan complexe en effectuant le changement de variables z{ = e

l27TX^L. Les variables Zi correspondent alors à la position de particules sur un cercle en représen­tation polaire dans le plan complexe. Ces variables possèdent aussi l'avantage d'être périodiques sur le cercle de circonférence L. Après substitution, on obtient l 'hamilto­nien

Finalement, on redéfinit les valeurs propres de cet hamiltonien de sorte que En = ^rËn. On obtient donc l'hamiltonien simplifié H,

z i \ °~iJ { < j zij

Puisque le système est fini, le spectre d'énergie de cet hamiltonien doit être discret et les impulsions des particules sont alors quantifiées. La résolution du modèle tCMS consiste alors à trouver les fonctions propres ip\(z) de l'hamiltonien H avec énergies E\,

H^x{z) = Êx<tl>x(z), (1.24)

où l'indice À désigne l'ensemble des nombres quantiques associés au problème.

Afin d'obtenir l'état fondamental, il s'avère très utile de réécrire rhamiltonien H sous une forme semi-positive [20], z.e., telle que

H = ^ A î A > + È°> (1-25) i

pour certains opérateurs différentiels Ai et Af. Cette structure assure que la fonction propre ^o(z) associée à l'état fondamental est annihilée par tout opérateur Ai et que les valeurs propres de cet hamiltonien sont nécessairement positives. On note donc

Ai^o(z) = 0 Vz. (1.26)

Dans ce présent, les opérateurs Ak et A^ qui définissent l'hamiltonien tCMS, éq.(1.23), sont

A k = - Z Z k d z ~ + l 2 ^ ~~^' ( L 2 7 ) ozk z zkj

j^k J

L'état fondamental ^o(z) de ce modèle est donc

/ Z 2 \ PI2

n — ' ( l 2 q) i<3 \ Z i Z i '

avec une valeur propre Eq correspondant à l'énergie de l'état fondamental,

Ê0 = ^P2N(N2 - 1). (1.30)

Les différents états excités ip\(z) sont construits à partir de l'état fondamental en po ­sant une solution de la forme ip\(z) = i/Jo(z)<f>\(z). On impose aussi que les fonctions 4>\{z) soit symétriques afin d'assurer que les états excités possèdent la même statistique que l'état fondamental. Pour résoudre le modèle, on doit alors trouver les fonctions symétriques (j)X(z) qui sont les solutions d'un autre hamiltonien H.

H<px(z) = ËX(t>x{z). (1.31)

L'hamiltonien H correspond en fait à l'hamiltonien du modèle tCMS auquel on a sous­trait la contribution de l'état fondamental. Il est obtenu en effectuant une transforma­tion de similarité à partir de l'hamiltonien H,

H = yë1(H-Ê0)i<0. (1.32)

On vérifie aisément que l'éq.(1.31) est équivalente à Téq.(1.24) en multipliant l 'éq.(1.31) par ^o(^) des deux côtés et en utilisant les définitions de ij)\(z) et de H. On trouve alors que les valeurs propres des deux équations sont reliées de telle sorte que

ËX = ÊX-Ê0. (1.33)

Finalement, on peut montrer que l'hamiltonien H s'écrit

* - i E ( « £ ) ' . i § ^ ( « £ - < ) - ™ Les solutions (j)X(z) de cet hamiltonien sont les polynômes de Jack Jx(z;l//3). Ces polynômes, ainsi que plusieurs de leurs propriétés, sont présentés au Chapitre 3.

Le spectre d'énergie de l'hamiltonien H est

^ = EQA<2 + \\(N+l-2r)0y (1.35)

où À = ( A i , . . . , AJV) est une partition d'entiers positifs À .̂ Les partitions sont présentées en détails au Chapitre 2. Toutefois, dans le présent contexte, il suffit de noter que

A, > Ai+i. Ainsi définie, la structure du spectre d'énergie totale È\, qui inclue l'énergie de l'état fondamental, permet une interprétation intéressante [27]. En effet, si on définit les quantités telles que

itt = A, + ( ^ ± ± _ ^ 8, (1.36)

l'énergie E\ peut s'écrire

Ex = Y,Y- ( L 3 ? )

i Si on compare cette équation à l'équation de l'énergie d'un système de N particules libres, éq.(1.14), on remarque que les quantités ni peuvent être interprétées comme des quasi-impulsions associées à des particules libres de masse m = 1. Le modèle tCMS est donc équivalent à un système de quasi-particules libres dont les impulsions sont quantifiées. Entre autres, on remarque que les quasi-impulsions respectent l'inégalité

Ki-KKi >P.' (1-38)

Cette inégalité code en fait un principe d'exclusion généralisé. On remarque en parti­culier que le cas 0 = 0 correspond à une statistique bosonique alors que le cas p = 1 correspond à une statistique fermionique. Une valeur de (3 entre ces deux extrêmes engendre une statistique fractionnaire.

Chapitre 2

Les polynômes symétriques

Les fonctions propres du modèle tCMS sont des polynômes symétriques. Afin de pouvoir les décrire correctement, on présente la théorie des fonctions symétriques. On définit d 'abord formellement les polynômes symétriques et on décrit leur structure. On introduit ensuite la notion de partition et on présente plusieurs de leurs propriétés. Les partitions joueront un rôle fonda­mental dans l 'élaboration des bases de polynômes symétriques. On introduit ensuite deux bases importantes de l'espace des polynômes symétriques. Ces bases seront nécessaires pour définir convenablement les polynômes de Jack.

2.1 Définition des polynômes symétriques

Un polynôme symétrique V(z\,..., ZN) est un polynôme à N variables qui demeure inchangé sous permutation de ses variables. De façon plus formelle, on dira qu'un po ­lynôme est symétrique s'il est invariant sous l'action du groupe symétrique SN- On in­troduit les N\ éléments du groupe SN en termes de transpositions Ky. De telles trans­positions, lorsqu'elles sont appliquées sur une fonction à plusieurs variables, agissent comme des opérateurs d'échange qui ont pour effet de permuter deux variables. On écrit

Avec cette définition, il devient évident que les opérateurs d'échange Kij respectent les propriétés

(2.1)

(2.2)

Ces opérateurs d'échange permettent de définir formellement un polynôme symétrique V(z), où z représente un ensemble de N variables z = [z\y..., ZN). On note

KijV(z)=P(z) Vi,jL (2.3)

En général, le degré d'un monôme est donné par la somme des puissances de ses différentes variables. Il existe un opérateur V qui permet d'obtenir le degré d'un monôme,

ozt

Ainsi, l 'action de cet opérateur sur un monôme redonne le même monôme multiplié par son degré. Par exemple, l 'action de V sur le monôme générique z™1 • • • zN

N est

i

L'ensemble des polynômes symétriques homogènes, z.e., qui sont formés de monômes du même degré, est noté E. De plus, si on suppose que les coefficients de ces polynômes sont des nombres rationnels Q, alors on obtient un espace vectoriel E (g) Q. Il est aussi possible de définir un sous-espace E n contenant tous les polynômes symétriques de degré n. On pourra ainsi écrire cet espace vectoriel E 0 Q comme la somme de tous les sous-espaces E n 0 Q générés par les polynômes symétriques d'ordre n. On écrit

S ^ Q = 0 S ^ Q . (2.6) n

Cette structure assure que tout polynôme symétrique homogène avec coefficients ra­tionnels peut être décomposé linéairement dans une base de polynômes symétriques. Toutefois, les bases de polynômes symétriques font intervenir la notion de partition, qui devra donc être introduite préalablement.

2 . 1 . 1 Les p a r t i t i o n s

Une partition À est une séquence d'entiers positifs Xi placés en ordre décroissant. On note

A = (Ài , . . - . ,Ar ) , A i - > - - . > A J > 0 . (2.7)

Les entiers \ qui forment la partition sont nommés parties. Le nombre de fois qu'une partie apparaît dans une partition définit sa multiplicité m ^ ,

rrii = C a r d j j : Xj = z} . (2.8)

On ne distingue pas deux partitions qui diffèrent uniquement par des parties nulles. Par exemple, les partitions ( 5 , 4 , 4 , 1 ) et ( 5 . 4 , 4 , 1 , 0 ) sont parfaitement équivalentes.

On n'écrira donc, en général, que les parties non nulles d'une partition. Le nombre de parties non nulles d'une partition définit sa longueur / (À) . On définit aussi le poids |À| d'une partition comme la somme de ses parties,

|A| = J > . (2.9) i

Une partition À de poids n est notée À h n et on dira que À est une partition de n. Aussi, on note p(n) le nombre de partitions de n. Par exemple, il existe 7 partitions de 5, ce qui signifie p(5) = 7. Ces partitions sont

(5) . ( 4 ,1 ) , (3 .2 ) . ( 3 . 1 . 1 ) , ( 2 , 2 , 1 ) . ( 2 , 1 , 1 . 1 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 . 1 ) .

Il existe aussi une autre notation pour désigner une partition qui fait intervenir la multiplicité de chaque partie. On écrira parfois

A = ( l m i , . . . , z m V . . ) . (2.10)

On peut associer à chaque partition À une partition conjuguée A' de telle sorte que chaque partie À- corresponde au nombre de partie de A qui sont plus grandes ou égales à z. On écrit

A; = C a r d j j : A, > z } . (2.11)

Par exemple, la partition conjuguée de ( 5 , 4 , 4 , 1 ) est ( 4 , 3 , 3 , 3 , 1 ) . On remarque que Ai = J(A) ainsi que Ai = / (A ' ) .

Il est utile de représenter une partition par son diagramme de Young. On définit ainsi formellement le diagramme de la partition A par un ensemble de boîtes (z, j) tels que 1 < j < X{ et 1 < i < l. On adopte la même convention que les matrices pour les indices de coordonnées, z.e., l'indice de rangée z croît vers le bas alors que l'indice de colonne j croît vers la droite. Ainsi, on construit le diagramme d'une partition A en plaçant A; boîtes dans la z e m e rangée et en alignant les rangées à gauche. Par exemple, le diagramme associé à la partition (5, 4 ,4 ,1 ) est présenté à la FIG. 2.1.

.

FlG. 2.1 - Diagramme de la partition ( 5 , 4 , 4 , 1 )

Il devient donc évident, avec cette représentation, que le poids d'une partition corres­pond au nombre de boîtes de son diagramme. On peut ainsi obtenir une partition de n

en construisant un diagramme contenant n boîtes de telle façon que chaque rangée de

ce diagramme contienne autant ou plus de boîtes que la rangée d'en dessous. Il existe alors p(n) manières de construire de tels diagrammes. En vertu de sa définition, le dia­gramme de la partition conjuguée A' correspond à la transposée du diagramme de la partition À. Par exemple, la transposée du diagramme de la partition ( 5 , 4 , 4 , 1 ) , FlG. 2.1. est présenté à la FlG. 2.2.

F i g . 2.2 - Transposée du diagramme de la partition (5, 4, 4,1)

On remarque que ce diagramme correspond bien à la partition ( 4 , 3 , 3 , 3 , 1 ) . Cette représentation rend évident le fait que \" = A et que A' possède le même poids que A.

La représentation de partitions en termes de diagrammes permet aussi de calculer facilement deux quantités importantes, le bras d\(i,j) et la jambe associés à la boîte (i.j) d'un diagramme. En effet, le bras a\(i,j) constitue le nombre de boîtes qui se trouve à la droite de la boîte (z, j ) alors que la jambe constitue le nombre de boîtes qui se trouve en dessous de la boîte (z, j ) . Par exemple, le bras &(5,4,4,i)(l, 1) du diagramme de la partition ( 5 , 4 , 4 , 1 ) , FlG. 2.1, est a ^ ^ j ^ l , 1) = 4 alors que la jambe £(5,4,4,1) ( 1 5 1 ) de ce même diagramme est £(5,4,4,1)(1,1) = 3.

Il existe plusieurs manières de définir un ordre qui permet de comparer des partitions entre elles. Toutefois, l'ordre qui sera utilisé est l'ordre de dominance qui est défini tel que

A > / i <̂ > Ai + - - - + À i > / z i + h ^ Vz. (2.12)

L'ordre de dominance est un ordre partiel, i.e., certaines partitions sont incomparables selon cet ordre, lorsque |A| > 6. Par exemple, on ne peut pas comparer les partitions (4 ,1 ,1 ) et (3 ,3) entre elles. On peut montrer que l'ordre de dominance entre deux partitions correspond à l'ordre inverse entre les partitions conjuguées [23]. On écrit

A > /i 44> / / > A'. , (2.13)

De plus, si chaque partie A; d'une partition A est plus grande ou égale à la partie correspondante m d'une partition // , alors on dira que la partition A contient la partition \i et on notera A ~D \i. Plus formellement, on écrit

A D n <=> A2 > /ij Vz. (2.14)

En termes de diagrammes, une partition À contient une partition \i si le diagramme de la partition \i peut s'imbriquer complètement dans le diagramme de la partition À. On se convainc aisément que À D (i implique À > //. Toutefois, l'inverse n'est pas vrai, i.e, À > /i n'implique pas nécessairement À 2 //. Par exemple, (3 .1) > (2 ,2) mais (3,1)2(2,2).

On définit l 'addition de deux partitions À et fi de telle sorte que chaque partie V{ de la partition résultante v corresponde à la somme des parties correspondantes À; et \ii des partitions sommées. On note

\ + fi = v <̂ > i/ i = A i + /x i V?:. (2.15)

On ne peut pas définir, de façon analogue, la soustraction de partitions car le résultat de cette opération ne correspond pas en général à une partition.

Finalement, si une partition À contient une partition on peut introduire le quo­tient X/ji de ces deux partitions. Ce quotient correspond à l'ensemble des boîtes qui apparaissent dans le diagramme À mais qui n'apparaissent pas dans le diagramme (i. En termes de diagrammes, le quotient de deux partitions À/ / i signifie qu'il faut construire le diagramme de À auquel on retire toutes les boîtes du diagramme /i. Par exemple, on présente à la FlG. 2.3 le quotient (5 ,4 ,4 , l ) / ( 4 , 3 , 2 ) .

FlG. 2.3 - Diagramme du quotient (5 ,4 ,4 , l ) / ( 4 , 3, 2)

h - + - + - H 1

h h - -)

th. On note que les boîtes tracées en pointillés représentent la partition (4, 3, 2) et ne font donc pas partie du diagramme (5 ,4 ,4 , l ) / ( 4 , 3 ,2) . Elles ont été tracées afin de mieux visualiser l 'emplacement des boîtes restantes.

2.1.2 Les bases d e p o l y n ô m e s s y m é t r i q u e s

Il existe plusieurs bases de polynômes symétriques. Toutefois, seules les sommes de puissance p\ et les fonctions monomiales m\ seront présentées étant donné le rôle important que ces bases jouent dans la définition des polynômes de Jack.

Les sommes de puissances pn d'ordre n sont définies telles que

pn(z) = £zî\ (2.16) i

où la somme s'étend sur les TV variables. En soit, les pn ne constituent pas à eux seuls une base de l'espace des fonctions symétriques d'ordre n. Il faut plutôt considérer tous les produits possibles de ces sommes de puissances telles que le polynôme résultant est d'ordre n. Puisque la multiplication est commutative, l'ordre dans lequel on multiplie ces différentes sommes de puissances n'a pas d' importance. Il est donc possible de définir une base des polynômes symétriques de degré n en considérant les p{n) partitions de poids n puisqu'une partition spécifie un ordre de multiplication particulier. On écrit

P\=P\1~' PAP (2.17)

où on considère p0 = 1. Ainsi défini, les p\ forment une base du sous-espace des fonc­tions symétriques de degré n. Manifestement, la dimension de ce sous-espace est p(n). Il est aussi possible d'obtenir une base de tout l'espace des polynômes symétriques en considérant des partitions de tous les poids. On présente à la T a b . 2.1 les sommes de puissances de degré 3 en 4 variables.

T a b . 2.1 - Sommes de puissances de degré 3 en 4 variables

Partitions Sommes de puissances A P\(z)

(3) z\ + zl + z\ + z\

(2,1) z\ + z\ + z\ + z\ + z\z2 + z\z2

+ z\zz + z2z4 + z\zY + z\z$ + z2z4 + z\z\ + Z3Z2 + Z2 Z4

+ z\z\ -h z\z2 + zjz3

(1,1,1) z\ + z\ + z\ + z\ + 3z2z2 + 3 ^ 2 3 + 3zfz4 + 3z^Z\ + 3^|^3 + 3z2z4

+ 32321 + 3z\z2 + 3z\ z4 + 3z\zY

+ 3z\z2 + 3z2z3 + 6zxz2z3

-h 6ziz2z4 + 6212:32:4 + 6z2z3z4

Les sommes de puissances permettent aussi de définir un produit scalaire de nature purement combinatoire sur l'espace des fonctions symétriques avec coefficients ration­nels E 0 Q. On écrit

(P\, Pu) = *A<W- (S-IS)

où z\ est défini tel que

Z x = Y[mi\tm\ (2.19)

On se rappelle que la quantité mi est la multiplicité de la partie i dans la partition À définie à Péq.(2.8).

Une autre base importante est formée par les fonctions monomiales m\ d'ordre |À|. On les définit tel que

mx(z)= Y, P**!1 (2-20) P*eSN

où la somme s'étend sur toutes les permutations distinctes P* des variables z. Ces permutations ont pour effet d'intervertir les variables Z\ entre elles. On entend par per­mutations distinctes toutes les permutations qui génèrent un polynôme différent, de telle sorte qu'aucun polynôme ne soit répété. En effectuant cette somme, on s'assure que le polynôme résultant est symétrique. Si on considère les p(n) différentes fonctions monomiales possibles de degré n, alors on obtient une base du sous-espace des fonc­tions symétriques de degré n. La dimension de ce sous-espace est donc p(n). De plus, il devient manifeste que les fonctions monomiales forment aussi une base de tout l'espace des fonctions symétriques en considérant des partitions de tous les poids. On présente à la T A B . 2.2 les fonctions monomiales de degré 3 en 4 variables.

T a b . 2.2 Fonctions monomiales de degré 3 en 4 variables

Partitions Fonctions monomiales A m\(z)

(3) z\ + z\ + z\ + z\

(2,1) z\z2 + z\z3 + z{zA + z\zx

+ z\z3 + z\z4 + z\zx + z\z2

+ |̂̂ 4 + z l z l + Z4Z2 + Z4Z3

(1,1,1) ZiZ2Z3 + ZiZ2Z4 + ZiZ3Z4 + Z2Z3Z4

Les fonctions monomiales m\ constituent aussi une généralisation de plusieurs po­lynômes symétriques. En effet, il est possible d'écrire d'autres polynômes symétriques en limitant les partitions À à quelques partitions particulières. Entre autres, les fonctions monomiales permettent d'obtenir les sommes de puissances en prenant des partitions qui ne contiennent qu'une seule partie. On écrit

Pn(z) = m(n)(z). (2.21)

On remarque que la fonction monomiale m^)(z) de la T a b . 2.2 correspond effectivement à la somme de puissances p3(z).

Chapitre 3

Les polynômes de Jack

Les polynômes de Jack sont des polynômes symétriques qui forment les états propres de l'hamiltonien du modèle tCMS. Ces polynômes seront tou­tefois étudiés d'un point de vue purement mathématique. On fournit donc une définition combinatoire des polynômes de Jack et on définit l'espace dans lequel ces polynômes sont définis. On fait ensuite le lien entre ces po ­lynômes et le modèle tCMS et on présente plusieurs de leurs propriétés. Ces propriétés seront essentielles dans l'élaboration des formules de Pieri qui seront introduites par la suite. Finalement, on présente des opérateurs de création qui permettent de générer récursivement les polynômes de Jack.

3-1 Définition des polynômes de Jack

Les polynômes de Jack J\ sont des polynômes symétriques qui dépendent d'un pa­ramètre a réel et positif. Si on considère toutes les fonctions rationnelles de a avec coef­ficients rationnels, notées Q ( a ) , alors les polynômes de Jack J\ sont définis dans l'espace vectoriel E (g)Q(a) . Comme c'était le cas pour l'espace des polynômes symétriques sans paramètre, cet espace peut s'écrire comme la somme de tous les sous-espaces E n ® Q ( a ) des polynômes symétriques de degré n à un paramètre. On écrit

E 0 Q ( a ) = 0 E n 0 Q ( a ) . (3.1) n

Cet espace contient aussi un produit scalaire qui généralise celui introduit à l 'éq.(2.18) afin de tenir compte du paramètre a. On le définit tel que

(PA ,PM>O = ^ A O , ( a ) V (3.2)

Les polynômes de Jack, lorsque décomposés dans la base des sommes de puissances p\, sont orthogonaux par rapport à ce produit scalaire. On écrit

( Jx, J M )a = 0 si A ^ \i. (3.3)

Les polynômes de Jack sont aussi triangulaires, Le., leur développement ne contient que des partitions plus petites ou égales dans l'ordre de dominance. lorsqu'ils sont décomposés dans la base des fonctions monomiales m\. On note

Jx{z-,a) = Y,v^a)m^z)- (3-4) Afin de rendre ces polynômes uniques, il faut leur spécifier une normalisation. Bien qu'il en existe plusieurs dans la littérature, on adoptera la convention [29]

vx,(in) = ni si |A| = n, (3.5)

où le coefficient VA,(in) s e réfère à l 'éq.(3.4). Ces trois critères, éqs . (3 .3 -3 .5 ) , i.e., l 'ortho-gonalité, la triangularité et la normalisation, définissent de façon unique les polynômes de Jack dans l'espace des polynômes symétriques à un paramètre. On présente à la T a b . 3.1 les polynômes de Jack de degré 3 en termes des fonctions monomiales. Pour obtenir ces polynômes en termes de variables, on peut se référer à la T a b . 2.2 qui fournit le développement des fonctions monomiales de degré 3 en 4 variables.

T a b . 3.1 - Polynômes de Jack de degré 3 en termes de fonctions monomiales

Partitions Polynômes de Jack A J\(z',a)

(3) (2a + l)(a + l ) m ( 3 ) + 3 (a + l)ra(2,i)

+ 6 m ( i , i , i ) (2,1) ( a + 2)ra ( 2 , i ) +6771(1,1,1)

(1,1,1) 6 M ( 1,1,1)

On remarque en particulier la décomposition triangulaire de la somme dans le développement des trois polynômes de Jack présentés. On remarque aussi que le terme m ( i , i , i ) dans ces développements possède bien un coefficient 3!, tel que fixé par la conven­tion de normalisation.

3.1.1 Les p r o p r i é t é s des p o l y n ô m e s d e J a c k

Les polynômes de Jack constituent les fonctions propres d'un certain opérateur différentiel D(a),

D(a)Jx(zN; a) = ex{a)Jx(zN; a), (3.6)

où D(a) est défini tel que

En fait, les polynômes de Jack sont les seules fonctions linéairement indépendantes de cet opérateur. Il serait donc possible de définir les polynômes de Jack par cette équation aux valeurs propres. Une telle définition ne spécifie toutefois pas la normalisation, ce qui signifie qu'il faudrait imposer une relation de la forme de Téq.(3.5) pour définir uniquement ces polynômes. Les valeurs propres e\(a) associées à cet opérateur sont

e A ( a ) = Ç ( t - l ) (aA{ - A,) . (3.8) i

Il est possible de montrer que l'opérateur D(a) correspond, dans une certaine limite, à l'hamiltonien du modèle tCMS, éq.(1.34). Cette relation permet de prouver que les polynômes de Jack forment bien les états propres de ce modèle. Pour faire le lien entre ces deux opérateurs, il faut toutefois adapter les paramètres a et (5 de ces équations de sorte que

« 4 (3.9)

On note finalement que, bien que ces opérateurs ont tous deux les polynômes de Jack comme fonctions propres, ces opérateurs ne possèdent pas les mêmes valeurs propres.

Les polynômes de Jack possèdent plusieurs propriétés intéressantes. Tous les po ­lynômes de Jack J\ tels que |À| = n forment une base de l'espace des polynômes symétriques à un paramètre de degré n. Manifestement, ceux-ci forment aussi une base de tout l'espace des polynômes symétriques à un paramètre. Ainsi, il est toujours pos­sible de décomposer linéairement n'importe quel polynôme symétrique à un paramètre en termes des polynômes de Jack. Entre autres, le produit de deux polynômes de Jack forme nécessairement un nouveau polynôme symétrique, et cette propriété assure que le polynôme résultant peut s'écrire comme une combinaison linéaire de polynômes de Jack. En particulier, on écrit

V(»)'= J*- (3-10) A

Il existe une formule, nommée formule de Pieri, qui permet de spécifier quelles partitions À feront partie de la somme. Cette formule permet aussi d'obtenir les coefficients c ^ ( n )

associés à chaque polynôme de Jack J\. Cependant, l ' introduction de cette formule nécessite d'autres propriétés des polynômes de Jack et sera donc présentée à la Section 3.2.

Le produit scalaire introduit à Féq.(3.2) permet de déterminer la norme j \ d'un polynôme de Jack Jx. On note

jx = (J\,Jx)œ (3.11)

Cette norme s'écrit de façon très élégante en termes des longueurs de crochet supérieur h^\s) et inférieur h^(s) associées à la boîte s = (?', j) du diagramme de la partition À. On définit ces longueurs de crochet en termes des bras <i\(s) et des jambes l\(s) introduits à la Section 2.1.1. On écrit

h{?(s)=lx(s)+a(ax(s) + l), (3.12)

hL(s) = lx(s) + l + aax(s). (3.13)

On obtient alors la norme d'un polynôme de Jack Jx en effectuant le produit des Ion

'(a) gueurs de crochet supérieur h^(s) et inférieur h*a)(s) sur toutes les boîtes s du dia­gramme de la partition À. On note

se A

Evidemment, cette norme est cohérente avec la définition préalable des polynômes de Jack, éq.(3.5) , et doit être modifiée si on adopte une convention différente.

Les polynômes de Jack constituent aussi une généralisation de plusieurs bases de l'espace des polynômes symétriques sans paramètre. En effet, on peut obtenir ces bases de polynômes symétriques en spécifiant une valeur particulière du paramètre a. Pour obtenir les fonctions monomiales, il faut prendre la limite lorsque le paramètre a tend vers l'infini. Toutefois, il faut préalablement diviser le polynôme de Jack J\ par le produit de toutes les longueurs de crochet inférieur hh s (s) du diagramme de la partition À. On écrit

m ^) = J™, ïïhûfy (3'15)

se A ( " ) v 7

Puisque les fonctions monomiales constituent aussi une généralisation des sommes de puissances, les polynômes de Jack peuvent ainsi générer les pn en prenant la spécialisa­tion précédente et en limitant les partitions À aux partitions qui ne contiennent qu'une seule partie.

Il existe aussi plusieurs propriétés qui relient des polynômes de Jack ayant des partitions différentes. Afin de rendre l'écriture de ces propriétés plus simple, il faut introduire un peu de notation. Ainsi, on écrit [x] pour désigner le coefficient de x à l'intérieur d'une expression et on introduit la notation f(a) = / ( 1 / a ) . On note aussi l'ensemble des N variables (zN) = ..., zN) et on écrit (zN_) = (zi,..., Z J V - I ) pour désigner l'ensemble (ZN) auquel on a retiré la variable ZN>

On introduit alors deux nouvelles partitions à partir de la partition À = (Ai, A/). On définit la partition X — I = (Ai — 1 , . . . , À/ — 1) de telle sorte qu'on soustrait 1 à chaque partie non nulle de la partition À. En termes de diagramme, la partition À — / représente la partition À à laquelle on a retiré la première colonne. Par exemple, on présente à la FlG. 3.1 le diagramme de la partition À = (5, 4 ,4 ,1 ) ainsi que celui de la partition X — I = (4. 3. 3) .

FlG. 3.1 - Diagramme des partitions A = (5, 4 ,4 ,1 ) et X — I = ( 4 ,3 ,3 )

A = X - I =

Toujours à partir de la partition À = ( A i , . . . , A/), on définit finalement la partition A" = ( A 2 . . . . , A/) de telle sorte qu'on soustrait la plus grande partie de la partition A. En termes de diagramme, la partition A - représente la partition A à laquelle on a retiré la première rangée. Par exemple, on présente à la FlG. 3.2 le diagramme de la partition A = (5 ,4 , 4 ,1) ainsi que celui de la partition A - = (4, 4 ,1 ) .

FlG. 3.2 - Diagramme des partitions A = (5, 4, 4,1) et A = (4, 4,1

A A"

Maintenant que la notation est fixée, on peut présenter les relations attendues [29]. Premièrement, on note que le nombre de variables TV doit être plus grand ou égal à la longueur de la partition /(A) pour que le polynôme de Jack J\ soit non nul.

Jx(zN) = 0 si /(A) > N. (3.16)

On peut relier un polynôme de Jack J\(zi) qui contient exactement /(A) variables au polynôme de Jack Jx-j(zi),

J\(zi) = cx(a) zi--zi J\-i{zi), (3.17)

où la quantité c\(a) est définie en termes d'un produit de longueurs de crochet inférieur hhdi, 1) sur toutes les boîtes de la première colonne du diagramme A. On note

(3.18) i G A

De même, on peut relier un polynôme de Jack J\(zN) qui contient un nombre arbitraire TV de variables au polynôme de Jack J\-(ZN_) qui en contient AT — 1,

[zNl]Jx{zN) = dx(a)Jx-(zN_), (3.19)

où la quantité d\(ot) est définie en termes d'un produit de longueurs de crochet inférieur hhdlyj) sur toutes les boîtes de la première rangée du diagramme À. On note

J € A

Il existe aussi une relation entre un polynôme de Jack J\ défini en fonction d'une par­tition A et un autre polynôme de Jack Jy défini en fonction de la partition conjuguée À'. Cette relation fait intervenir l'opérateur ûa qui, lorsqu'il est appliqué sur un po­lynôme de Jack, envoie ce polynôme vers un autre polynôme de Jack de même poids. On dit alors que cet opérateur définit un homomorphisme sur l'espace des polynômes symétriques à un paramètre. Son action sur un polynôme de Jack est telle que

u;aJx(zN) = a^ly(zN), (3.21)

où on a utilisé la notation J\i(ZN',OL) = J\'{ZN', 1/CV).

3.2 Les formules de Pieri

Une formule de Pieri permet d'obtenir le développement d'un produit de deux po­lynômes symétriques qui forment une base en termes de cette même base. Tel que mentionné à la Section 3.1.1, cette formule permet de spécifier les partitions de la combinaison linéaire ainsi que les coefficients associés à chaque polynôme. Plus parti­culièrement, les formules de Pieri qui seront présentées concernent le produit de deux polynômes de Jack particuliers qui est décomposé dans la base des polynômes de Jack. On s'intéresse donc à une équation analogue à l 'éq.(3.10). Toutefois, il sera pratique de modifier légèrement cette équation afin de ne pas tenir compte de la norme des polynômes de Jack J\ dans les coefficients. On écrit donc

v<«) = £JAV,(»)JA- ( 3 - 2 2 )

A

Le coefficient <7̂(n) e s t obtenu directement en effectuant le produit scalaire des deux côtés de cette équation avec Jv. Puisque les polynômes de Jack sont orthogonaux, on limite ainsi la somme à un seul terme et on obtient

9^(n) = ( Jf*J(n) > Ju )q- (3-23)

On remarque que la norme j u n'intervient pas dans cette équation en vertu de la définition des coefficients de la combinaison linéaire. Les formules de Pieri permettent alors de générer tous les coefficients 9^iny

La somme sur À dans l'éq.(3.22) se fait sur toutes les partitions qu'il est possible d'obtenir en partant du diagramme de la partition \i et en ajoutant n boîtes sans jamais en mettre plus d'une par colonne. Plus formellement, on somme sur toutes les partitions À ^ /i dont le quotient X/fi forme une bande horizontale à n boîtes, i.e. un quotient qui contient n boîtes disposées de façon à ce qu'il n'y ait pas plus d'une boîte par colonne. Le coefficient 9^n^ associé à la partition v fait intervenir un produit de longueurs de crochet sur toutes les boîtes des diagrammes de /i et v [29]. On écrit

< m ) = » ! a " n a ^ n (s-24) s G [i s Eu

avec

( h^\s) si contient une boîte dans la même colonne que s

h(a) (s) autrement

{ h"a}(s) si v/fj, contient une boîte dans la même colonne que s

h^u\s) autrement.

Cette équation se prouve par récurrence en faisant appel aux propriétés des po­lynômes de Jack introduites à la Section 3.1.1. Cette preuve sera présentée afin de fournir, dans un cas simple, l'idée de la preuve qui pourra être étendue au cas plus complexe de la preuve des formules de Pieri supersymétriques présentées au Chapitre 6. Toutefois, cette preuve est un peu technique et peut être omise sans pour autant affecter la compréhension.

La preuve procède par récurrence sur les colonnes. L'idée de cette preuve est d'écrire le coefficient g",^ en termes de partitions plus petites qui correspondent aux partitions \i et v auxquelles on a retiré des colonnes. Puisqu'il est impossible d'ajouter plus d'une boîte par colonne, la longueur des partitions /i et v peut être égale ou différer d'une seule boîte. Ces deux possibilités correspondent aux deux cas particuliers de la preuve. L'équation de départ qui s'applique à ces deux cas est définie en TV variables,

MZN)J(TI)(ZN) = ^3\l9l{n)JÀZN). (3.25) A

Cas 1. On a = = /, ce qui signifie que la longueur des deux partitions est identique. On commence par restreindre l 'éq.(3.25) à l'ensemble de variables (z{) et on

utilise la propriété définie à l'éq. (3.17) pour obtenir

c^J^-iJ(n) = Yl^lg»Mc\J\-i' ( 3 - 2 6 ) A

On multiplie ensuite cette équation par J„-j des deux côtés et on obtient, en réorganisant les termes,

<(n) = MÛ-I c»c»1 9Ï-l{ny (3'27)

Cette équation signifie que le coefficient 9^n) peut s'écrire comme un produit de constantes connues multiplié par le coefficient correspondant aux partitions /i et v auxquelles on a retiré la première colonne. Il est possible de simplifier encore plus cette équation en remarquant que

hj:-i = ^h^{i,\)hla){i,l). (3.28) i G v

Si on utilise la définition des constantes c\, éq.(3.18), on obtient alors l'équation re­cherchée

<(n)=n *<«)(<• !) n !) <-/,(«)• (3-29) i£ H iG v

Cas 2. On a l(y) = /(/x) + 1 = / + 1, ce qui signifie que la longueur des deux partitions diffère par une boîte. Ainsi, on ne peut pas utiliser la même méthode que pour le Cas 1 puisque la longueur des partitions n'est pas la même. On commence alors par appliquer l'opérateur Ûja de chaque côté de l'éq. (3.25). En utilisant l'éq. (3.21), on obtient

= X^ - 1 ^,(n ) J A'- (3-30) A

On peut trouver le coefficient [z1^1] de chaque côté de cette équation en utilisant la propriété définie à l'éq. (3.19). On obtient alors

dp'dcin) J^- J(in-I) = y^Jx l~9t(n)d\'J\'-- (3.31) A

On applique de nouveau l'opérateur iï>a de chaque côté de cette équation afin d'obtenir

~d^~d(\n)J^-iJ{n-\) = 7 ] 3x~l9uSn) dw J\-i • (3.32)

On multiplie ensuite cette équation par J^_/ des deux côtés et on obtient, en réorganisant les termes,

< ( n ) = JuJÛ-i^d^d'1 g^:[{n_iy (3.33)

Comme précédemment, cette équation signifie que le coefficient peut s'écrire comme un produit de constantes connues multiplié par le coefficient correspondant aux

On remarque que, pour le Cas L le quotient vj\x ne contient pas de boîtes dans la première colonne alors que, pour le Cas 2, le quotient v j \i contient une boîte dans la première colonne. Si on applique successivement ces deux cas, on peut alors écrire le coefficient 9^(n) e n termes d'un produit de longueurs de crochet, ce qui correspond au résultat annoncé, éq.(3.24). On remarque en particulier qu'il existe n colonnes qui obéissent au Cas 2, ce qui signifie que le facteur global sera n! an. Ce facteur correspond aussi au résultat attendu.

3.3 Les opérateurs de création

Les polynômes de Jack peuvent être générés récursivement en utilisant des formules différentielles analogues à des formules de Rodrigues [19]. En fait, il existe des opérateurs de création qui, lorsqu'ils sont appliqués sur un polynôme de Jack, permettent d'aug­menter le degré de ce polynôme. On peut alors créer un polynôme de Jack de n'importe quel degré à partir d'un polynôme de Jack de degré 0, soit J ( 0 ) ;

J{0)(zN]ci) = 1, (3.36)

et en appliquant successivement certains opérateurs de création. Ainsi, tous les po ­lynômes de Jack peuvent être générés par un produit d'opérateurs de création qui agissent sur l'unité. Ces opérateurs font intervenir des opérateurs de Dunkl, i.e., des opérateurs différentiels qui contiennent des opérateurs d'échange K{y Ces opérateurs sont définis tels que

A = c ^ | - + ] r - ( l - t f y ) . (3.37) OZ{ . . Zij

Il existe N opérateurs Di différents qui correspondent en fait à chacune des N variables du polynôme de Jack. On remarque en particulier que

KijDi = DjKij. (3.38)

partitions et v auxquelles on a retiré la première colonne. Il est possible de simplifier encore plus cette équation en utilisant la relation

3 V = IJa- 1^ )(t,l). (3.34) iex

Cette équation ainsi que l'éq. (3.28) permettent alors d'écrire l 'équation recherchée

<(»)=na n o n w i) <-/,(»-«• (3-35)

Il faut maintenant définir un ensemble ordonné J d'entiers positifs tel que

J = {JII • • • Jkh 1 < h < ' ' ' < 3k < N. (3.39)

Cet ensemble permet de définir un produit d'opérateurs de Dunkl Dj ainsi qu'un produit de variables z j ,

Dj = (Dh + l)..*(Dih + k), (3.40)

(3.41)

On introduit alors les opérateurs de création Bk en termes d'une somme sur tous les ensembles J possibles qui contiennent k éléments

Bi E Card{J}=fc

ZiD (3.42)

Ces opérateurs de création Bk ont pour effet d'augmenter de k le degré du polynôme de Jack sur lequel ils agissent en modifiant la partition du polynôme de Jack résultant.

BkJ\(zN) = J\+(ih)(zN) si k > / (A). (3.43)

où l'addition de partitions est définie à l 'éq.(2.15). On remarque que cette équation n'est valide que si la longueur de la partition /(À) est plus petite ou égale à k. En fait, l 'action des Bk sur un polynôme symétrique engendre nécessairement un autre polynôme symétrique, ce qui signifie que le résultat de l'application de ces opérateurs sur un polynôme de Jack pourra toujours s'écrire en termes d'une combinaison linéaire de polynômes de Jack. Toutefois, pour générer un seul polynôme de Jack avec coefficient 1, il faut imposer k > / (À) .

En termes de diagramme, l 'action de l'opérateur de création Bk sur un polynôme de Jack Jx consiste à ajouter au diagramme de la partition À une colonne contenant k boîtes. Cette colonne de k boîtes doit toutefois être plus grande ou égale à la première colonne du diagramme. Par exemple, on présente à la FlG. 3.3 l'effet de l'opérateur B± sur le diagramme de la partition (3, 2, 2) .

FlG. 3.3 - Action de l'opérateur B4 sur le diagramme (3, 2, 2)

B

On comprend donc qu'il est possible de générer n'importe quel polynôme de Jack J A

en ajoutant successivement des colonnes de longueur plus grande ou égale de façon

à reconstruire le diagramme À. Puisqu'il existe Xn — À n + i colonnes qui contiennent n boîtes, la méthode générique pour créer un polynôme de Jack arbitraire est

Jx{zN;a) = B^'B^-'-Xl • • • 1. (3.44)

On remarque finalement que la condition k > /(À) implique que le produit des Bk doit être effectué de telle sorte que les indices k soient placés en ordre décroissant, comme c'est le cas pour l 'éq.(3.44).

Chapitre 4

Les modèles Calogero-Moser-Sutherland supersymétriques

Les modèles Calogero-Moser-Sutherland supersymétriques (sCMS) sont des problèmes quantiques supersymétriques qui généralisent les modèles CMS. On introduit donc la supersymétrie ainsi que quelques propriétés des modèles supersymétriques. Ces modèles supersymétriques faisant intervenir des va­riables fermioniques, celles-ci sont ensuite introduites. Par la suite, on pré­sente les différents concepts nécessaires à l'étude de problèmes quantiques supersymétriques. On introduit aussi une méthode permettant de super-symétriser un modèle quantique connu. Ces notions permettront de générali­ser le modèle t C M S et ainsi d'obtenir le modèle sCMS trigonométrique.

4.1 La supersymétrie

La supersymétrie est une symétrie qui relie les degrés de liberté bosoniques aux degrés de liberté fermioniques. Ainsi, une théorie super symétrique est définie dans un espace généralisé, dit superespace, qui contient à la fois des variables bosoniques et des variables fermioniques. La dynamique de ce modèle est alors régie par un hamilto­nien généralisé H qui est défini dans ce superespace. Afin de respecter une statistique de Fermi-Dirac, on impose que les variables fermioniques anticommutent entre elles. On note que les variables bosoniques, qui respectent une statistique de Bose-Einstein, commutent entre elles.

Une théorie quantique sera supersymétrique si la dynamique de cette théorie de­meure inchangée sous l 'action d'une loi de transformation qui relie les variables boso­niques et fermioniques entre elles. En fait, si un modèle demeure inchangé sous l 'action de N lois de transformation reliant les variables bosoniques et fermioniques, alors ce modèle est supersymétrique et il possède M supersymétries. Plus formellement, une théorie possédera J\f supersymétries si elle contient M charges Qa qui commutent avec l'hamiltonien H. On note alors

[ W , Q a ] = 0 a=l,....Af. (4.1)

Ces charges sont en réalité des opérateurs fermioniques, i.e., qui respectent une règle d'anticommutation, qui transforment les degrés de liberté bosoniques en degrés de liberté fermioniques et vice versa. Tel que mentionné au Chapitre 1, le fait qu'un opérateur commute avec l'hamiltonien implique que cet opérateur est conservé puisque la variation temporelle de cet opérateur est nulle. Cette structure assure alors que le système possède une certaine symétrie, qui se traduit dans le présent contexte par une symétrie entre les degrés de liberté bosoniques et les degrés de liberté fermioniques.

Les modèles qui sont abordés sont des généralisations des modèles quantiques pré­sentés au Chapitre 1. Ainsi, ces problèmes sont non relativistes et sont définis en une di­mension d'espace. Toutefois, en vertu de l 'ajout des variables fermioniques, les systèmes comptent désormais 2N degrés de liberté. Finalement, on ne considère que des modèles qui possèdent J\f = 2 supersymétries et on note les deux charges Q et Q+.

4.1.1 Les var iab les f e r m i o n i q u e s

Tel que mentionné précédemment, les variables fermioniques respectent une statis­tique de Fermi-Dirac et doivent donc anticommuter entre elles. Ces variables peuvent alors être représentées par des variables de Grassmann 9i qui respectent cette propriété,

{0t,9J} = 0. (4.2)

En particulier, on remarque que cette structure implique directement que le carré de toute variable de Grassmann est nécessairement nul,

<>f - U. (4.3)

Les seules fonctions possibles de variables de Grassmann sont alors uniquement des fonctions linéaires puisque n'importe quelle puissance de ces variables est nulle. On note finalement que les variables de Grassmann commutent néanmoins avec les variables bosoniques usuelles,

b i , 0 ; ] = O. (4.4)

La différent iat ion des variables de Grassmann est définie exactement comme la différen-tiation usuelle. Il faut toutefois noter que les variables 9i anticommutent avec l'opérateur

_d_ ()0,

00,

différentiel -Â-. Par exemple, on écrit

M = (4-5) L'intégration des variables de Grassmann est différente de l'intégration usuelle. Elle est définie de manière à respecter un certain nombre de propriétés [2] et est complètement déterminée par les relations

[d6i = 0, (4.6)

j dOl6j = ôu. (4.7)

On remarque alors que l'intégration de variables de Grassmann est équivalente à la différentiation.

On introduit aussi l'opérateur 6f qui correspond au moment conjugué de 0$. Comme pour le cas de Pi et X J , éq.(1.3), il existe une certaine relation qui les relient,

{9tA) = 6iy (4-8)

On peut alors représenter cet opérateur Of en termes d'un opérateur différentiel qui respecte cette propriété. On définit

0_ d6k

K = i?r- (4-9)

Les variables 6i et constituent alors une représentation des variables fermioniques nécessaires à la description de modèles supersymétriques.

Il existe aussi une autre représentation des variables fermioniques en termes de matrices Q. Ces matrices commutent avec les variables bosoniques et font intervenir des matrices 2 x 2 dans un espace produit tensoriel à N dimensions,

Q =q3 0 . . . 0 erg® q_ (g) 1 ® • •• - 0 1, (4.10) i - 1 FOIS N - i FOIS

C+ =?3 ® ® < T 3 , ® ^ + ® 1_® "J ® 1, (4.11) i - 1 FOIS N - i FOIS

où les matrices a3 et <j± sont définies telles que

- f î . 0 . ) . < - »

De telles matrices possèdent les propriétés

{<j±, a±} = 0. {<7±, aT} = 1. {a±, a3} = 0. (4.13)

Ces propriétés permettent aux matrices Q et £+, qui sont des matrices 2N x 2N. de respecter une règle d'anticommutation,

{< ; - ,< ; } = <%• (4 . i4)

Ces matrices forment donc aussi une représentation des variables fermioniques. Cette représentation matricielle illustre bien le concept de variables anticommutantes en termes de quantités mathématiques bien connues. Cette représentation possède tou­tefois le désavantage d'être plus difficile à manipuler que la représentation en termes de variables de Grassmann. Pour cette raison, les variables fermioniques seront associées à des variables de Grassmann.

4.1.2 Les m o d è l e s q u a n t i q u e s s u p e r s y m é t r i q u e s

Il existe une méthode pour générer un hamiltonien H qui est manifestement su­persymétrique. En effet, si on écrit l 'hamiltonien comme l'anticommutateur de deux charges fermioniques, alors l'hamiltonien possède deux supersymétries par construc­tion. On écrit donc

n = -{Q,Q+}. (4.15)

Les charges Q et Q+ commutent alors directement avec l'hamiltonien TL puisque le carré de ces charges est nul par définition. Afin qu'elles respectent cette propriété, il est possible de définir les charges Q et Q+ en termes d'un produit d'une variable de Grassmann Si avec un opérateur bosonique arbitraire On note alors

Q = YJ0tAu (4.16) i

Q+ = YJ0lAf, (4.17) i

Afin que le carré des charges Q et Q+ soient réellement nul, il faut imposer que les opérateurs Ai et A* commutent respectivement entre eux,

[At:AJ} = 0={At,A+] Vi,)?. (4.18)

En termes de ces opérateurs, Thamiltonien générique H s'écrit alors

n = \YJAÎAl + \Y,0t0][Ai.A]}. (4.19)

Il devient évident que cet hamiltonien constitue une généralisation supersymétrique du modèle pour lequel rhamiltonien H est

Finalement, on remarque que l'hamiltonien supersymétrique H est défini sous une forme semi-positive en termes des charges Q et Q+. Ainsi, l'état fondamental correspond à la fonction d'onde qui est annihilée à la fois par les deux charges supersymétriques,

L'état fondamental est donc toujours supersymétrique. En fait, il n'y a que l'état fon­damental qui soit supersymétrique puisque tous les états excités ne peuvent pas être annihilés par les deux charges Q et Q+ à la fois. Finalement, on note que si l'énergie EQ associée à l'état fondamental est nulle, on dira que la supersymétrie n'est pas brisée, alors que si l'énergie E0 n'est pas nulle, on dira que la supersymétrie est spontanément brisée.

4.2 Les modèles Calogero-Moser-Sutherland super­symétriques

Les modèles Calogero-Moser-Sutherland supersymétriques (sCMS) constituent une généralisation des modèles CMS rencontrés au Chapitre 1. Ces modèles généralisés sont toujours intégrables, bien qu'il soit nécessaire de trouver d'autres quantités conservées en vertu du nombre de degrés de liberté qui est augmenté. Ces modèles supersymétriques présentent aussi une généralisation de plusieurs propriétés qui sont reliées aux modèles CMS. Par exemple, les fonctions propres du modèle tCMS supersymétrique (stCMS) définissent les superpolynômes de Jack qui forment une généralisation des polynômes de Jack.

L'hamiltonien supersymétrique associé au modèle t C M S s'obtient simplement en prenant les opérateurs Ai et Af, éqs.(1.27-1.28), qui définissent l'hamiltonien H et en utilisant l'éq. (4.19). Puisque ces opérateurs commutent respectivement entre eux, ils respectent la condition définie à l'éq. (4.18) et on peut donc écrire directement l'hamil­tonien H,

(4.20)

(4.21)

i<j V

(4.22)

où rhamiltonien H est défini à l'éq. (1.23) et où Ë0 correspond à l'énergie de l'état fon­damental de H, éq.(1.30). On remarque que l'hamiltonien supersymétrique H redonne l'hamiltonien H dans la limite où les variables de Grassmann sont nulles.

Il existe deux fonctions d'onde qui sont annihilées par les charges Q et Q+, ce qui signifie qu'il y a deux états fondamentaux ^o (^) et *&o(z, 6) associés à l'hamiltonien 7Y,

w = n - y • ( 4 - 2 3 )

* o ( s , 0 )=0 i - . . 0 *n — • (4-24)

On remarque que la fonction d'onde \I/o correspond aussi à l'état fondamental X/JQ du modèle tCMS. Toutefois, contrairement au modèle tCMS, l'énergie £ 0 associée à cet état dans le modèle supersymétrique est nulle. Il est possible de dissocier ces états en un état fondamental bosonique et un état fondamental fermionique. En effet, si on définit les états fermioniques <fo = 1 et ïp0 = 6\ ...0N, on peut interpréter l'état ipo

comme ne contenant aucun fermion et l'état Tp0 comme contenant TV fermions. Ainsi, l'état correspond à un état qui ne contient aucun fermion alors que l'état ^ 0 cor­respond à un état qui contient N fermions. Le problème pour lequel l'état fondamental ne contient aucun fermion possédera des fonctions propres symétriques alors que le problème pour lequel l'état fondamental contient N fermions possédera des fonctions propres antisymétriques. Seul le cas sans fermion sera élaboré.

Les différents états excités ^A(Z, 0) de ce modèle sont construits de la même manière qu'à la Section 1.2, Le., en définissant des états de la forme ty(z,6) = ^O(Z)^A(Z,0).

Ainsi, on s'intéresse aux solutions d'un nouvel hamiltonien H qui correspond en fait à l'hamiltonien du modèle stCMS auquel on a soustrait la contribution de l'état fon­damental. Cet hamiltonien est obtenu en effectuant une transformation de similarité à partir de l'hamiltonien H,

H = ^H^o. (4.25)

On peut alors montrer que l'hamiltonien H s'écrit

H = H-2pJ2fèWtp (4-26) i<j V

où rhamiltonien H est défini à l'éq. (1.34). La résolution du problème supersymétrique consiste alors à obtenir les fonctions propres Q>\(z,0) de l'hamiltonien H,

W*AM) = £A*A(M), (4.27)

où l'indice A désigne l'ensemble des nombres quantiques associés au problème. Cet hamiltonien est aussi supersymétrique puisqu'il commute désormais avec les charges Q et Q+ définies telles que

Q = %lQ^o- (4.28)

Q+ = %1Q+^0. (4.29)

Le spectre d'énergie de ce modèle est

£A = E (\A> + \A'(N+1 - 2?;)/3) > (4-3°) i ^ '

où A désigne une superpartition d'entiers positifs. Les superpartitions forment aussi une généralisation des partitions usuelles et sont présentées en détails au Chapitre 5. Finalement, on remarque que l'expression du spectre d'énergie est identique à celle du modèle tCMS, éq.(1.35), sauf pour la partition À qui est maintenant devenue une superpartition A. L'interprétation de ce modèle en termes de particules libres obéissant à un principe d'exclusion généralisé est donc toujours valide dans le cas supersymétrique.

Les fonctions propres $\(z,0) sont les superpolynômes de Jack J\(z,0;l/P). Ces superpolynômes sont définis dans un superespace et constituent ainsi une généralisation des polynômes de Jack. Plusieurs propriétés de ces superpolynômes sont reliées aux propriétés des polynômes de Jack. Ils sont présentés au Chapitre 6.

Chapitre 5

Les superpolynômes symétriques

Ce chapitre contient une généralisation supersymétrique systématique des concepts introduits dans le Chapitre 2. En effet, la majorité des concepts qui y ont été introduits sont étendus pour tenir compte des variables fermio­niques ajoutées lors de la description des modèles supersymétriques. Ainsi, on commence par définir les superpolynômes symétriques. On introduit en­suite les superpartitions et on présente plusieurs de leurs propriétés qui généralisent les propriétés des partitions. Les superpartitions permettent alors de définir les versions supersymétriques des sommes de puissances et des fonctions monomiales introduites au Chapitre 2. Ces bases serviront par la suite à définir les superpolynômes de Jack.

5.1 Définition des superpolynômes symétriques

Un superpolynôme est un polynôme qui est défini dans un superespace contenant des variables bosoniques et des variables fermioniques. De plus, un superpolynôme symétrique est un superpolynôme qui demeure inchangé sous permutation de ses va­riables bosoniques et fermioniques. Plus précisément, ce superpolynôme devra rester identique si on permute simultanément les variables bosoniques Z{ et Zj entre elles et les variables fermioniques Oi et 6j entre elles. On introduit les opérateurs d'échange Kij qui, lorsqu'ils sont appliqués sur un superpolynôme, ont pour effet de permuter deux variables fermioniques. Ces opérateurs constituent la contrepartie fermionique des opérateurs d'échange K^. On remarque finalement que les opérateurs agissent uni­quement sur les variables fermioniques alors que les opérateurs agissent uniquement

sur les variables bosoniques. On écrit donc

Kijf(zu Zj\ Ou 6j) = f{zu Zj\ Oj, Oi)K,ij, (5.1)

Kijf(zi,zj;0ii9j) = f(zj,zi;0i,0j)Kij. (5-2)

Ces opérateurs respectent toujours les propriétés des opérateurs d'échange définies à l'éq. (2.2). Ces opérateurs permettent aussi de définir un autre opérateur d'échange /Cy qui agit simultanément sur les variables bosoniques et fermioniques. On définit

Cet opérateur d'échange permet alors de définir formellement un superpolynôme symé­trique V(z\ 9\ où la notation (z; 9) = (z\,..., z^\ 0\,..., 0N) dénote l'ensemble des N variables bosoniques Z{ et des N variables fermioniques 9\. On écrit

KiiV{z;6) = V{z;6). (5.4)

On remarque que, en vertu de la définition d'un superpolynôme symétrique V(z\ 9) et des propriétés des opérateurs d'échange, l 'action d'un opérateur bosonique Kij sur un superpolynôme symétrique produit le même résultat que l'action d'un opérateur fermionique K ^ . On écrit donc

KijV(z;9) = KijV(z;9). (5.5)

Cette équation constitue alors une autre définition d'un superpolynôme symétrique.

Le degré bosonique d'un supermonôme est défini comme la somme des puissances des variables bosoniques Z{. De plus, l'opérateur V défini à l 'éq.(2.4) permet toujours d'obtenir le degré bosonique d'un supermonôme. L'ajout des variables fermioniques dans un supermonôme nécessite aussi l 'introduction d'une quantité fermionique analogue. • Puisque la puissance d'une variable fermionique ne peut pas être plus grande que un, il suffit de compter le nombre de variables fermioniques 9{ présentes dans le supermonôme. Ce nombre de variables définit le secteur fermionique. Il existe aussi un opérateur n qui permet d'obtenir le secteur fermionique d'un supermonôme,

77 = y > 0 f . (5.6)

Ainsi, l 'opérateur n compte le nombre de fermions présents dans un supermonôme. Par exemple, l 'action de n sur le super monôme 9\ — -9m est

r}91-"9rn = m91---9m. (5.7)

On note finalement que le secteur fermionique et le degré bosonique sont arbitraires et peuvent donc être différents.

L'ensemble des superpolynômes symétriques homogènes en z et 6 est noté Ê. Si les coefficients de ces superpolynômes sont des nombres rationnels Q, alors les superpo­lynômes symétriques sont définis dans un espace vectoriel E ^ Q . Cet espace vectoriel peut se décomposer en sous-espaces contenant tous les superpolynômes de même secteur fermionique et de même degré bosonique. Ces sous-espaces se notent alors Ë^ m , n ^ (g) Q. Ainsi, l'espace vectoriel total des superpolynômes symétriques correspond à une somme directe de sous-espaces définis par un secteur fermionique m et un degré bosonique n. On écrit

Z®Q = 0 S ( m ' n ) ® Q (5.8)

Cette structure assure, tout comme pour les polynômes symétriques, que tout superpo­lynôme symétrique homogène avec c o e f f i c i e n t s r a t i o n n e l s p e u t se décomposer dans une base de superpolynômes symétriques.

5.1.1 Les s u p e r p a r t i t i o n s

Une superpartition A constitue une généralisation des partitions usuelles. En fait, une superpartition est formée de deux partitions À a et À s indépendantes séparées par un point-virgule. On note

A = ( À a ; À s ) . (5.9)

La partition À a constitue la composante antisymétrique de la superpartition alors que la partition À s constitue la composante symétrique. De plus, la partition À a doit être strictement décroissante sur ses m parties. On impose donc

A a = ( A i , . . . , A m ) , Ai > • • • > A m > 0. (5.10)

Pour sa part, la partition À s est une partition usuelle,

Xs = ( A m + 1 , . . . , A , ) , A m + 1 > • • • A/ > 0. (5.11)

Avec ces définitions, une superpartition est notée

A = ( A i , . . . , A m ; A m + i , . . . , A / ) , (5.12)

avec les propriétés définies aux éqs.(5.10-5.11). On remarque qu'une des parties de la partition À a peut être nulle. Aussi, contrairement au cas de la partition À s , on doit distinguer deux superpartitions si elles diffèrent uniquement par une partie nulle dans la partition À a . Par exemple, les superpartitions (3 ,0 ; 4, 3,1) et (3; 4, 3,1) sont deux superpartitions distinctes alors que les superpartitions (3 ,0 ; 4 ,3 ,1 ) et ( 3 . 0 : 4 . 3 . 1 . 0 ) sont deux superpartitions équivalentes. Ainsi, comme pour le cas des partitions usuelles,

on n'écrira que les parties non nulles de la partition À s excepté lorsque la partition À s

est la partition nulle, i.e. lorsque À s = (0) . Dans le cas où la partition À° est vide, on omet le point-virgule et on retrouve la partition usuelle À s . On comprend donc que les partitions ne sont que des cas particuliers des superpartitions.

La longueur / (A) d'une superpartition est définie comme le nombre de parties de la partition À a additionné au nombre de parties non nulles de la partition À s . On définit aussi le secteur fermionique A d'une superpartition A comme la longueur de la partition A a ,

A = / ( A Û ) . (5.13)

En fait, le secteur fermionique correspond à la longueur de la composante antisymétrique d'une superpartition. De plus, le degré bosonique |A| d'une superpartition A est défini comme la somme de ses parties,

|A| = J > . (5.14) i

Cette définition est aussi équivalente à prendre la somme des poids des partitions À a et À s séparément. En fait, le degré bosonique d'une superpartition constitue une généralisation du poids d'une partition usuelle.

Une superpartition A de secteur m et de degré n est noté A h (m, n) et on dira que A est une superpartition de degré (m, n) ou, plus simplement, une superpartition de (m, n ) . On note sp(m, n) le nombre de superpartitions de (m, n ) . Par exemple, il existe 7 superpartitions de (1 ,3 ) , ce qui permet d'écrire S£>(1, 3) = 7. Ces superpartitions sont

(3 ;0 ) , ( 2 ;1 ) , (1 ;2 ) , (1; 1,1), ( 0 ;3 ) , ( 0 ; 2 , 1 ) , (0; 1 ,1 ,1 ) .

On remarque que toutes les superpartitions de secteur nul sont en fait des partitions. On peut alors écrire sp(0, n) — p(n). Finalement, on note que le nombre de superpartitions est nul si le degré n est inférieur à une certaine valeur critique. En effet, on écrit

/ x • m (m — 1) sp(m, n) = 0 si n < . (5.15)

Ce résultat est une conséquence directe de la décroissante imposée sur la composante antisymétrique À a d'une superpartition.

Il est possible d'associer une partition unique A* à une superpartition A parti­culière. Cette partition A* est obtenue en retirant le point-virgule et en réorganisant les parties en ordre décroissant. Par exemple, la partition A* associée à la superpartition A = (3, 0:4, 3,1) est A* = (4, 3, 3 ,1) . On note que la correspondance entre une superpar­tition A et sa partition associée A* n'est pas biunivoque. En effet, il est possible qu'une partition particulière provienne de deux superpartitions distinctes. Afin de rendre cette

correspondance biunivoque, on introduit la partition C ( A ) qui correspond à la parti­tion A* à laquelle on a encerclé toutes les parties qui proviennent de la composante antisymétrique A a . Si la partition A* contient plusieurs parties identiques à une partie de À a , on encercle la partie la plus à gauche. Par exemple, la partition C ( A ) associée à la superpartition A - (3, 0; 4, 3,1) est C ( A ) = (4, (§) , 3 .1 . © ) .

Il existe une autre partition unique s h ( A ) 1 qui est obtenue en additionnant un à chaque partie de la composante antisymétrique À a , en retirant le point-virgule et en réorganisant les parties en ordre décroissant. Par exemple, la partition sh(A) associée à la superpartition A = (3, 0; 4, 3,1) est sh(A) = (4,4. 3 .1 ,1 ) . On remarque aussi que la correspondance entre une superpartition A et sa partition associée sh(A) n'est pas non plus biunivoque.

Les superpartitions peuvent aussi être représentées sous forme de diagrammes con­struits à base de boîtes et de cercles. Ces diagrammes de Young généralisés sont obtenus à partir de la partition C ( A ) . En effet, on construit le diagramme de Young associé à la partition C ( A ) en plaçant C ( A ) j boîtes dans la z e m e rangée et en ajoutant un cercle à la fin de la rangée si la partie C(A)i est encerclée. Par exemple, le diagramme associé à la superpartition (3, 0; 4, 3,1) est présenté à la FlG. 5.1.

Ainsi, le degré bosonique d'une superpartition correspond au nombre de boîtes de son diagramme alors que le secteur fermionique correspond au nombre de cercles. De plus, le diagramme de la partition A* correspond au diagramme de la superpartition A auquel on a retiré tous les cercles alors que le diagramme de la partition sh(A) correspond au diagramme de la superpartition A auquel on a remplacé tous les cercles par des boîtes.

Cette représentation en termes de diagrammes permet de définir un diagramme A° associé au diagramme A. En effet, on définit le diagramme A° comme le diagramme A auquel on a retiré toutes les boîtes qui apparaissent en même temps dans une rangée et dans une colonne qui contiennent des cercles. Pour une superpartition A de secteur m, il faut donc retirer m (m — l ) / 2 boîtes au diagramme A pour obtenir A°. On remarque aussi que les diagrammes A et A° sont identiques pour m < 2.

1. La notation sh provient de l'anglais shape.

FlG. 5.1 - Diagramme de la superpartition (3, 0; 4, 3,1)

O

La représentation en termes de diagrammes permet aussi d'associer à chaque su­perpartition A une superpartition conjuguée A 7 qui est définie comme la superpartition associée au diagramme de la transposée du diagramme de A. Par exemple, la transposée du diagramme de la superpartition (3, 0: 4, 3 ,1 ) . FlG. 5.1, est présentée à la FlG. 5.2.

FlG. 5.2 - Transposée du diagramme de la superpartition (3, 0; 4, 3,1)

La superpartition conjuguée de (3 ,0 ; 4 ,3 ,1 ) est donc (4 ,1 ; 3, 3) . En vertu de cette définition, il devient évident que (A*) 7 = (A 7 )* et que (sh(A) ) ' = sh(A' ) .

Les notions de bras a\(i, j) et de jambe j) associés à la boîte (i, j) du diagramme de A s'appliquent toujours aux superpartitions. Toutefois, il faut noter que ces quantités ne comptent que le nombre de boîtes, alors il ne faut pas tenir compte des cercles présents à la fin des colonnes ou des rangées. Il faut introduire deux nouvelles quantités, les bras â\(i, j) et les jambes afin de tenir compte aussi des cercles possiblement présents. Ainsi, le bras CL\(i,j) compte le nombre de boîtes à la droite du point et additionne un si la rangée se termine par un cercle alors que la jambe compte le nombre de boîtes en dessous du point (i, j) et additionne un si la colonne se termine par un cercle. On comprend donc que â\(i,j) = a\(i,j) si la rangée i ne se termine pas par un cercle et que = si la colonne j ne se termine pas par un cercle.

L'ordre qui généralise l'ordre de dominance utilisé avec les partitions usuelles est l'ordre de Bruhat [9]. Cet ordre permet de comparer deux superpartitions A et Q entre elles en utilisant les partitions A* et Q* ainsi que les partitions sh(A) et sh(Q) . On définit cet ordre tel que

On remarque que l'ordre utilisé pour comparer les partitions A*, Q* et sh(A) , sh(Q) est l'ordre de dominance défini à l'éq. (2.12). Tout comme l'ordre de dominance, l'ordre de Bruhat est un ordre partiel. Finalement, on peut montrer que l'ordre de Bruhat entre deux superpartitions correspond à l'ordre inverse entre les superpartitions conjuguées,

D

A > fi A* > fi* ou A* = fi* et sh(A) > sh(f i ) . (5.16)

A > n ^ n' > A'. (5.17)

Le concept de quotient de superpartitions n'est pas très bien défini puisqu'il est difficile d'établir si une superpartition en contient une autre. On adoptera la convention

qu'une superpartition A contiendra une superpartition ft si les partitions A* et sh(A) contiennent respectivement les partitions fi* et sh ( f i ) . Plus formellement, on écrit

A 2 0 & A* D fi* et sh(A) D sh(f i ) . (5.18)

Cette définition permet d'introduire le quot ient 2 de deux superpartitions. Ainsi, si une superpartition A contient une superpartition fi, on définit le quotient A / f i comme l'union des boîtes appartenant aux quotients A*/Q* et sh (A) / sh ( f i ) . De plus, on inscrit * à l'intérieur des boîtes qui proviennent du quotient A* / f i* et sh à l'intérieur des boîtes qui proviennent du quotient sh (A) / sh ( f i ) . Par contre, on n'écrira rien si la boîte existe dans les deux quotients à la fois. Par exemple, on présente à la FlG. 5.3 le quotient (3 ,0 ; 4. 3, l ) / ( 3 , 2 ; 2 , 1 ) .

FlG. 5.3 - Diagramme du quotient (3, 0; 4. 3. l ) / ( 3 , 2; 2,1)

1 * * sh

sh " J

On remarque finalement que les boîtes tracées en pointillés ne font pas partie du dia­gramme (3, 0; 4, 3, l ) / ( 3 , 2; 2 ,1) . Elles ont été tracées afin de mieux visualiser l 'empla­cement des boîtes restantes.

5.1.2 Les bases d e s u p e r p o l y n ô m e s s y m é t r i q u e s

La définition des polynômes de Jack faisant intervenir deux bases importantes, les sommes de puissances et les fonctions monomiales, il sera nécessaire d'obtenir une généralisation de ces bases afin de définir les superpolynômes de Jack. On note que ces fonctions symétriques forment déjà deux bases du sous-espace £ ( ° ' n ) 0 Q. Il faut donc généraliser ces bases pour tenir compte des secteurs fermioniques non nuls.

Les sommes de puissances fermioniques pn d'ordre n sont définies telles que

= 5>*T. (5-19) i

où la somme s'étend sur les N variables. Tout comme les sommes de puissances boso­niques pn définies à l'éq. (2.16), les sommes de puissances fermioniques pn ne forment pas

2. Cette définition sera utile pour simplifier la notation mais ne constitue pas en soit une définition formelle des quotients de superpartitions.

en soit une base de l'espace des superpolynômes symétriques. Il faut plutôt considérer tous les produits de sommes de puissances bosoniques et fermioniques tels que le su­perpolynôme résultant soit de degré et de secteur voulu. On écrit

PA = PA, "-PAmPA m + 1 PA, (5.20)

où la superpartition est A = ( A i , . . . , A m ; A m + i , . . . , A / ) . SI on considère toutes les superpartitions possibles de secteur m et de degré n, les supersommes de puissances PA forment une base du sous-espace des superfonctions symétriques de secteur m et de degré n. La dimension de ce sous-espace est donc sp(m,n). Les supersommes de puissances p\ forment aussi une base de tout l'espace des superpolynômes symétriques en considérant des superpartitions de tous les degrés et de tous les secteurs. On présente à la T a b . 5.1 les SUPERSOMMES de PUISSANCES de secteur 2 et de degré 3 en 4 variables.

T A B . 5.1 - Supersommes de puissances de secteur 2 et de degré 2 en 4 variables

Superpartitions Supersommes de puissances A PA(Z;0)

(2,1 ;0) 0Mz*z2 -- zxz\) + 0i03(z2z3 - zxz\) + 6164{z2z4 - zlZ

24) + 02O3(z2z3 - z2z2)

+ 6204(z2z4 - z2z2) + 0304(z2z4 - z3z\)

(2,0:1) oMzî - z2)p1 + 9l63{z2- z2)Pl

+ 0104(z2 -z24)p1 + 0293(z2-z2)p1

+ 0294(z2 - z2)Pl + 6394(z2 - z24)Pl

(1,0 ;2) 0Mzx -- z2)p2 + 6i63(zi- z3)p2

+ 0Mzi - z4)p2 + 6203(z2 - z3)p2

+ 0204(z2 - z4)p2 + 0394(z3 - z4)p2

(1,0;1,1) 0\02(zi - z2)p\ + 0 i0 3 (* i - zs)PÏ

+ 6M*i - z4)p2 + 0263{z2- z3)p\

+ 6204(z2 - z4)p\ + e3o4(z3 - z4)p\

Ces supersommes de puissances permettent aussi de généraliser le produit scalaire défini à l'éq. (2.18) afin de l'étendre à l'espace des superfonctions symétriques E (g) Q. Ce produit scalaire, défini de façon purement combinatoire, est

((PA,Pn)) = ZAS An-,

où ZA est défini tel que

ZA ( - 1 ) ra(ra-l)/2

(5.21)

(5.22)

et où zx est introduit à l'éq. (2.19). On remarque que, si le secteur fermionique est nul, ce produit scalaire est parfaitement équivalent à celui de l'espace des fonctions symétriques puisque dans ce cas m = 0 et A = Xs.

Une autre base importante est formée par les fonctions monomiales m a d'ordre |A|. On les définit telles que

mA(z;9) = P*01-.-Omz^...z^. (5.23) P*esN

où la somme s'étend sur toutes les permutations distinctes P* des variables z et 0. Ces permutations ont pour effet d'intervertir simultanément les variables z{ entre elles et les variables 9\ entre elles. Autrement dit, ces permutations agissent en même temps sur les variables bosoniques et fermioniques mais séparément sur ces deux ensembles. De plus, on entend par permutations distinctes toutes les permutations qui génèrent un supermonôme différent, de telle sorte qu'aucun supermonôme ne soit répété. Si on considère les sp(m, n) différentes superfonctions monomiales possibles de secteur m et de degré n, alors on obtient une base du sous-espace des superfonctions symétriques de secteur m et de degré n. Manifestement, la dimension de ce sous-espace est sp(m,n). De plus, il devient évident que les superfonctions monomiales forment aussi une base de tout l'espace des superfonctions symétriques en considérant des superpartitions de tous les degrés et de tous les secteurs. On présente à la T a b . 5.2 les superfonctions monomiales de secteur 2 et de degré 3 en 4 variables.

T a b . 5.2 - Superfonctions monomiales de secteur 2 et de degré 3 en 4 variables

Superpartitions Superfonctions monomiales A mA(z;9)

(2,1;0) 0i92(zjz2 - zxz\) + 9193(zjz3 - zxz2) + 9194(z2z4 - zxz\) + 9293(z\z3 - z2zl) + 9294(z\z4 - z2z\) + 9394(z\z4 - z3z\)

(2,0 ;1) W*!2 - z2)(z3 + z4) + 0Mz\ - 4)(*2 + ZA) + 0x04(2? - z\\z2 + z3) + 9293{z2

2 - z|)(z 1 + z4)

+ 0294(Z22 - Z2)(ZL + Z3) + 0 3 0 4 (*3 - *2)(*1 + Zl)

(1,0 ;2) OMz! - z2)(z2 + z2) + 0x03(21 - z3)(z2 + z2) + 0 i0 4 ( z i - z4)(z2 H- z2) + 9293(z2 - z3)(z2 + z2)

+ 0204(^2 - Z4)(Z2 + Z2) + 0 304(Z 3 ~ Z4)(z2 + Z2)

(1,0;1,1) 9192{z1 - z2)z3z4 + 0 i 0 3 ( 2 i - z3)z2z4

+ 0104(^1 - 24)^2:3 + 0203(^2 - 2:3)2:12:4

+ 0204(^2 - 2:4)2:12:3 + 0304(^3 - 2:4)242:2

Les superfonctions monomiales m\ constituent aussi une généralisation des super­sommes de puissances. En effet, on obtient les sommes de puissances fermioniques en limitant les superpartitions A des superfonctions monomiales aux superpartitions qui ne contiennent qu'une seule partie fermionique. On note donc

pn(z:9) = m ( n ; O ) ( * ; 0 ) . (5.24)

Il est donc possible d'écrire toutes les supersommes de puissances en termes de super­fonctions monomiales en utilisant cette équation ainsi que celle reliant les sommes de puissances bosoniques aux fonctions monomiales, éq.(2.21).

Chapitre 6

Les superpolynômes de Jack et les formules de Pieri

Les superpolynômes de Jack sont des superpolynômes symétriques qui sont définis comme les états propres de l'hamiltonien du modèle stCMS. Ces su­perpolynômes possèdent toutefois une autre définition purement mathéma­tique. On fournit donc une définition combinatoire des superpolynômes de Jack et on définit l'espace dans lequel ces superpolynômes sont définis. Par la suite, on établit le lien entre ces superpolynômes et le modèle stCMS et on introduit plusieurs de leurs propriétés. Ces propriétés permettront d 'ob­tenir les formules de Pieri pour les superpolynômes de Jack qui constituent une généralisation des formules de Pieri pour les polynômes de Jack.

6.1 Définition des superpolynômes de Jack

Les superpolynômes de Jack JA sont des superpolynômes symétriques qui dépendent toujours d'un paramètre a réel et positif. L'ensemble des fonctions rationnelles de a avec coefficients rationnels, noté Q ( a ) , permet de définir l'espace vectoriel E(g )Q(a) dans le­quel sont définis les superpolynômes de Jack J\. Cet espace est donc une généralisation à un paramètre de l'espace des superpolynômes symétriques. Cet espace peut aussi s'écrire comme la somme directe de tous les sous-espaces E ( m ' n ) <g> Q(a) des superpo­lynômes symétriques de secteur m et de degré n à un paramètre. On écrit

Cet espace vectoriel est aussi muni d'un produit scalaire qui généralise celui introduit à l 'éq.(5.21) afin de tenir compte du paramètre a. On le définit tel que

((pA,Pn))a = z A a l w ô A n . (6.2)

Les superpolynômes de Jack, lorsque décomposés dans la base des supersommes de puissances p A , sont orthogonaux par rapport à ce produit scalaire. On écrit

( ( « / A , Jn ) ) « = 0 s i A ^ î l (6.3)

Les superpolynômes de Jack sont aussi triangulaires lorsqu'ils sont décomposés dans la base des superfonctions monomiales mA. On écrit

JA(z; 0;a) = J2 mn{z; 0). (6.4)

La normalisation qui sera utilisée n'est pas unique mais elle est cohérente avec la nor­malisation des polynômes de Jack. On adopte la convention que

vA^Amin = l{rn,n)\ si A = m et |A| = n, (6.5)

où la quantité Z(m , n) est définie telle que

m ( m - l ) km,n) =n , (6.6)

et où la superpartition Amin correspond à la superpartition minimale associée à la superpartition A. Si la superpartition A est une superpartition de (m, n ) , alors sa su­perpartition minimale Amin est définie comme la superpartition qui contient m parties fermioniques telles que la somme de ces parties est minimale et qui ne contient que des 1 dans sa partie bosonique. On note donc

Amin = ( m _ i 5 _ 5 0 ; l W o ) . (6.7)

Ces trois critères, éqs . (6 .3 -6 .5 ) , i.e., l 'orthogonalité, la triangularité et la normalisa­tion, définissent de façon unique les superpolynômes de Jack dans l'espace des super­polynômes symétriques à un paramètre. On présente à la T a b . 6.1 les superpolynômes de Jack de secteur 2 et de degré 3 en termes de fonctions monomiales. Pour obtenir ces superpolynômes en termes de variables, on peut se référer à la T a b . 5.2 qui fournit le développement des superfonctions monomiales de secteur 2 et de degré 3 en 4 va­riables. On remarquera que le terme ra^oiij) dans ces développements possède bien un coefficient 2!, tel que fixé par la convention de normalisation puisque la superpartition minimale associée à une superpartition de (2, 3) est (1, 0; 1,1).

T a b . 6.1 - Superpolynômes de Jack de secteur 2 et de degré 3

Superpartitions Superpolynômes de Jack A JK{Z',9\OL)

(2,1 ;0) 2 ( q + l ) 2 m ( 2 . i ; o ) + 2 (a + l )m ( 2 , o ; i ) - o t m { i m

+ 2ra(i )o ;i,i) (2,0 ;1) (a + l )m (2 , 0 ; i ) + m ( i î 0 ;2) + 2m ( 1 . 0 ; i , i ) (1,0 ;2) (a + 2)ra. (i.0;2) + 2m ( i . 0 ; i , i )

(1.0:1.1) 2m(i | 0 ; i , i )

6.1.1 Les p r o p r i é t é s d e s s u p e r p o l y n ô m e s d e J a c k

Les superpolynômes de Jack forment les fonctions propres de deux opérateurs diffé­rentiels V(cx) et A ( a ) . En fait, l 'opérateur V(a) est une généralisation de l'opérateur D(cv), éq.(3.6) , qui possède les polynômes de Jack comme fonctions propres, afin de tenir compte des variables fermioniques. L'opérateur A (a ) contenant des variables fer­mioniques, il n'existe pas d'opérateur analogue pour les polynômes de Jack. On note

V(a)JA(zN;9N;cx) =

A(cx)JA(zN]6N;cx) =

où ces deux opérateurs sont définis tels que

l2

eA{a)JA(zN;9N;a),

eA(a)JA(zN;6N;a),

u w 2 2 . ^ 2 + 2 . Z i j [ d Z i Z i j d 0 J ,

A(a) = aJ20iZi d_d_

de, dzi E 0lzJ+6Jzi d

zij 39 i

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(6.11)

En fait, les superpolynômes de Jack sont les seules superfonctions linéairement indépen­dantes qui sont solutions simultanément de ces deux opérateurs. De plus, ces deux opérateurs permettent d'associer à chaque superpolynôme de Jack un couple distinct de valeurs propres. Ainsi, il serait possible de définir les superpolynômes de Jack par le biais de ces équations aux valeurs propres. Toutefois, puisque toute fonction proportionnelle aux superpolynômes de Jack peut être solution de ces équations, il faut imposer une normalisation afin de définir de façon unique ces superpolynômes. La normalisation est spécifiée par une relation de la forme à celle définie à l'éq. (6.5). Les valeurs propres eA(ci) et e\(a) de ces opérateurs sont

c A ( a ) = £ ( i - l ) ( a (A ' )J - A*).

£ A ( a ) = a | A a | - | ( A ' ) a |

(6.12)

(6.13)

où la notation A a signifie qu'il faut prendre la composante antisymétrique A a de la superpartition A. Il est possible de montrer que l'opérateur V(a) correspond, dans une certaine limite, à l'hamiltonien du modèle s tCMS, éq.(4.26). Cette relation permet donc de prouver que les superpolynômes de Jack constituent réellement les états propres de ce modèle. On note finalement que, bien que ces deux opérateurs possèdent les superpolynômes de Jack comme fonctions propres, leurs valeurs propres associées sont différentes.

Plusieurs des propriétés des polynômes de Jack présentées à la Section 3.1.1 peuvent être étendues au cas des superpolynômes de Jack. Ainsi, tous les superpolynômes de Jack de secteur m et de degré n forment une base de l'espace des superpolynômes symétriques à un paramètre de secteur m et de degré n. Les superpolynômes de Jack forment donc nécessairement une base de tout l'espace des superpolynômes symétriques à un paramètre. Cette propriété assure qu'il est toujours possible de décomposer n'im­porte quel superpolynôme symétrique à un paramètre en termes des superpolynômes de Jack. Entre autres, il existe aussi, dans le cas supersymétrique, des formules de Pieri qui décrivent le produit de deux superpolynômes de Jack. On s'intéresse à deux cas particuliers des formules de Pieri,

JnJ(0:0) = ^ C ^ ( 0 ; ° ) ^ A ' (6.14) A

JnJ(n) = ^2CÛ,(n)JA- (6-15) A

Tel que mentionné à la Section 3.2, les formules de Pieri permettent de spécifier quelles superpartitions A feront partie de la somme. Ces formules permettent aussi d'obtenir les différents coefficients associés à chaque superpolynôme de Jack JA dans cette somme. L'introduction de ces formules sera faite à la Section 6.2.

Le produit scalaire introduit à l'éq. (6.2) permet de déterminer la norme j A d'un superpolynôme de Jack JA. On note

Ja = ((Ja, JaK- (6.16)

Cette norme s'écrit en termes de longueurs de crochet généralisées analogues aux lon­gueurs de crochet utilisées pour définir la norme des polynômes de Jack. On définit ces longueurs de crochet généralisées en termes des bras aA(s) et âA(s) et des jambes lA(s) et [a(S) introduits à la Section 5.1.1. On écrit donc les longueurs de crochet supérieur h^\s) et inférieur hfoJs) telles que

fi{Z\s) = ïA(s) + a(aA(s) + i), h{i

a)(s) = lA(s) + l + aâA(s). (6.17)

(6.18)

En fait, ces quantités généralisent les longueurs de crochet introduites dans le cas de par­titions qui ne contiennent que des boîtes. On remarque aussi que ces nouvelles définitions sont parfaitement équivalentes à celles utilisées pour les partitions usuelles lorsque les diagrammes ne contiennent que des boîtes, ce qui signifie qu'elles produisent le même résultat. On peut donc adopter ces nouvelles définitions en général sans avoir à modifier les résultats obtenus précédemment.

La norme d'un superpolynôme de Jack Ja est obtenue en effectuant le produit des longueurs de crochet supérieur et inférieur sur toutes les boîtes et les cercles «s du diagramme A° associé à la superpartition A. On écrit

JA Il h%\s)hfa(s). (6.19) seA°

Évidemment, cette norme est cohérente avec la définition préalable des superpolynômes de Jack, éq.(6.19), et doit être modifiée si on adopte une convention différente. On note finalement que cette norme est parfaitement équivalente à la norme des polynômes de Jack puisque dans le cas de superpartitions de (0, n ) , i.e., de partitions usuelles, on obtient A° = A.

Les propriétés qui reliaient des polynômes de Jack ayant des partitions différentes présentées précédemment peuvent aussi être généralisées aux superpolynômes de Jack. En guise de rappel de la notation, on écrit [x] pour désigner le coefficient de x à l'intérieur d'une expression et on note f(a) = / ( 1 / a ) . On définit aussi l'ensemble de variables (zN;0N) = {zu...,zN;0u...,0N) et on écrit (zN_;0N_) = {zu...,zN-1;01,...,0N_1) pour désigner l'ensemble {ZN\0N) auquel on a retiré les variables ZN et 0N.

On introduit aussi la généralisation des partitions À — / et A - de telle sorte que ces nouvelles définitions tiennent compte des cercles possiblement présents dans les diagrammes. La superpartition A — I devient

A _ j = i (Ai - 1 , . . . , A m - 1; A m + 1 - 1 , . . . , Ai - 1) si Am ^ 0 [ (Ai - l , . . . , A m _ ! - l ; A m + i - 1 , . . . , A Z - 1) s i A m = 0.

En termes de diagramme, la superpartition A — I correspond à la superpartition A à laquelle on a retiré la première colonne, peu importe que cette colonne contienne ou non un cercle. De plus, la superpartition À" devient

a - _ f ( A i , . . •, A m ; A m + 2 , . . . , Ai) si A m + 1 > Ai . ~~ j ( A 2 , . . . , A m ; A m + i , . . . , A / ) s i A i | > A m + i .

En termes de diagramme, la superpartition A~ correspond à la superpartition A à laquelle on a retiré la première rangée, peu importe que cette rangée contienne ou non un cercle.

Maintenant que la notation est fixée, on peut présenter les généralisations attendues [11]. Premièrement, on note que le nombre de variables N doit être plus grand ou égal à la longueur de la superpartition / (A) pour que le superpolynôme de Jack JA soit non nul.

JA(ZN] QN) = 0 si / (A) > N. (6.22)

On peut relier un superpolynôme de Jack JA(zi;9i) qui contient exactement / (A) va­riables au superpolynôme de Jack J\-i(zi\0i). Il y a désormais deux cas possibles puisque la première colonne du diagramme de A peut contenir ou non un cercle. Si la première colonne ne contient pas de cercle, alors A m ^ 0 et on écrit

Mzn Oi) = cAz1..-zl JA_j{Zl: Oi). (6.23)

De plus, si la première colonne contient un cercle, alors A 7 „ = 0 et on écrit plutôt

WdzfA) =(-ir~1CAZl---zl.1JA.,(zL;eL) (6.24) J zt=0

La quantité cA(a) est définie en termes d'un produit de longueurs de crochet inférieur h^(i, 1) sur toutes les boîtes de la première colonne du diagramme A°. On note

i E A0

De même, on peut relier un superpolynôme de Jack JA{ZN\ON) qui contient un nombre arbitraire N de variables au superpolynôme de Jack JA- (z^_; 0^_) qui en contient N—l.

Il y a aussi deux cas possibles en vertu du cercle possible à la fin de la première rangée du diagramme de A. Si la première rangée ne contient pas de cercle, alors A m + 1 > Ai et on écrit

ON) = dAJA- (zN_; 0N_). (6.26) j oN =o

De plus, si la première rangée contient un cercle, alors Ai > A m + i et on écrit plutôt

[0N][ZN1]J^N\0n) = (-l)m-ldAJA-{zN:,eN_). (6.27)

La quantité dA(a) est définie en termes d'un produit de longueurs de crochet inférieur hfc\(l,j) sur toutes les boîtes de la première rangée du diagramme A°. On note

n h u ^ j ) - (6-28) jeA°

Finalement, il faut introduire la généralisation de l'opérateur iùa qui relie un superpo­lynôme de Jack JA au superpolynôme de Jack JA>. Cet opérateur généralisé définit tou­jours un homomorphisme sur l'espace des super polynômes symétriques à un paramètre. Son action sur un superpolynôme de Jack dont la superpartition est de secteur m et de degré n est telle que

ÛJAJA(zN-0N) = ( _ l ) - ( m - l ) / 2 a m + W ) J A , ( Z N - 0 N ) , ( 6 .29 )

où on a utilisé la notation JA'{ZN\0N\OL) — Jm{zn\Qn\ 1/Oî) et où la quantité l(m,n) e s t définie à l'éq. (6.6).

6.2 Les formules de Pieri

Les formules de Pieri qui seront présentées concernent le produit de deux superpo­lynômes de Jack particuliers et constituent des résultats originaux. Ainsi, les cas qui seront traités correspondent aux éqs.(6.14-6.15). Comme il a été fait pour les formules de Pieri des polynômes de Jack, on modifie légèrement ces équations afin de retirer la norme dans les coefficients. On écrit donc

JnJ(o:0) = y^JÂ^afOîQ^A, (6.30) A

JnJ(n) = ^JAl9Û.(n)JA' (6-31)

A

On obtient les coefficients ftf ( 0. 0) et g*tn\ en effectuant le produit scalaire des deux côtés de ces équations avec J$. Puisque les superpolynômes de Jack sont orthogonaux, on limite ainsi la somme à un seul terme et on obtient

#£?(0;0) = (( JnJ{o-o) j J$ ))a, (6.32)

&?,(n) = (( JV J(n) > J<$> ))<*• (6-33)

La norme jA n'intervient donc pas dans ces coefficients. Les formules de Pieri qui sont présentées dans les Sections 6.2.1 et 6.2.2 permettent de les obtenir.

6.2.1 F o r m u l e d e P i e r i p o u r J( 0 ;o)

La somme sur A dans l 'éq.(6.30) est effectuée sur toutes les superpartitions qu'il est possible d'obtenir en partant du diagramme de Q et en ajoutant un cercle de manière à générer le diagramme d'une nouvelle superpartition permise. Plus formellement, on somme sur toutes les superpartitions A D Q dont le quotient A/Cl ne contient qu'une seule boîte sh telle que définie à la Section 5.1.1 [11]. Le coefficient g^(0.0\ associé à la superpartition <Ë> fait alors intervenir un produit de longueurs de crochet sur toutes les boîtes des diagrammes de Q° et <É>°. Définissant la quantité Q$n comme le nombre de cercles dans le diagramme de Q qui sont situés sous la boîte du diagramme de «Ê/fi, la formule de Pieri s'écrit

&t(o;o) = (—L)^*N a n Â*a{8) El (6-34) avec

{ h^\s) si contient une boîte sh dans la même colonne que s

hf^(s) autrement

h^(s) si $/Q contient une boîte sh dans

B$n(s) = { la même colonne que s

h^\s) autrement

Cette formule de Pieri, ainsi que la preuve qui suit, sont des résultats originaux. Comme pour le cas des formules de Pieri introduites à la Section 3.2, la preuve procède par récurrence sur les colonnes. Toutefois, puisque les colonnes peuvent désormais se terminer ou non par un cercle, le nombre de cas possibles est augmenté. L'idée de la preuve est cependant toujours la même, Le., réussir à exprimer le coefficient #jf(o-o) en termes d'un produit de constantes connues multiplié par le coefficient #n-/(o-o) ^ dépend des superpartitions initiales <l> et Q auxquelles on a retiré la première colonne. En procédant par récurrence, on retire une à une toutes les colonnes et on peut ainsi écrire le coefficient voulu en termes uniquement de constantes connues. L'équation de départ qui s'applique à tous les cas possibles est

Jn{ZN\0N)J^.Q){ZN]9N) = y^JÂl9n,(OIO)JA(ZN', ON)- (6.35) A

On note que la superpartition Q est de degré (m, n) alors que la superpartition <É> est de degré (m + l , n ) . Puisqu'il faut effectuer un calcul sur la première colonne des diagrammes de Q et <É>, il est possible que ces deux colonnes ne se terminent pas par un cercle (Cas 1)1 que ces deux colonnes se terminent par un cercle (Cas 2), ou que la première colonne de ft ne contienne pas de cercle alors que la première colonne de <î> en contienne un (Cas 3).

Cas 1. On a /(<£) = l(Q) = /, Qm ^ 0 et <Ë>m+i ^ 0, ce qui signifie que les deux super­partitions possèdent la même longueur et que leurs premières colonnes ne se terminent pas par un cercle. On restreint l 'éq.(6.35) à l'ensemble de variables (ZI\0i) et on utilise la propriété définie à l'éq. (6.23) pour écrire

CÇIJN-I J(0;0) = ^ J Â ^ a C O î O ^ A ^ A - / - ( 6 ' 3 6 ) A

Cette équation nous permet d'obtenir, en prenant le produit scalaire des deux côtés de cette équation avec J $ _ / et en réorganisant les termes,

&?,(0;0) = Mi-I C^CI1 ft?-/(0;0)- ( 6 ' 3 7 )

Cette équation correspond à la relation recherchée. On peut toutefois la simplifier en notant que

3*3£i=ïïh%\i,l)hta)(i,ï). (6.38)

Utilisant ce résultat ainsi que la définition des coefficients ca, éq.(6.25), on peut finale­ment écrire

g£.{m = El h<«)(z•1 ) Il hi* & 1 ) »*-/ . (o : o)• (6-39)

Cas 2. On a /(<£) — / (Q) = /. H m = 0 et < £ m + i = 0, ce qui signifie que la longueur des deux superpartitions est la même et que leurs premières colonnes se terminent par un cercle. Tout comme pour le Cas L on restreint l 'éq.(6.35) à l'ensemble de va­riables (zi\9i). On ne peut toutefois pas utiliser la même propriété puisque les premières colonnes se terminent désormais par un cercle. On utilise alors la propriété définie à l 'éq.(6.24) en appliquant l'opérateur [0j\ de chaque côté et en prenant la limite lorsque Z\ est nul. On obtient alors

( - 1 ) cnJn_/J(o;o) = ^ J Â ^ O Î O ^ A J A - J . (6.40) A

Le signe négatif provient du fait que A = Q + 1. En prenant le produit scalaire avec « /$_/ , on obtient

Cette équation étant identique, à l 'exception du signe négatif, à l'éq. (6.37), on peut écrire directement

aSW» = (-i) Il i) II ̂ fc !) atlmr (6-42)

Cas 3. On a Z(<3>) = / (H) + 1 = / + 1 , fim ^ 0 et <É>m+i = 0, ce qui signifie que la première colonne de Q ne contient pas de cercle mais que la première colonne de <Ë> en contient un. Puisque / ( $ ) ^ / ( ^ ) , on ne peut pas utiliser la même méthode que précédemment. Appliquant l'opérateur ûa de chaque côté de l'éq. (6.35), on obtient

Jn>Jm) = E(-iramJA_13n,(0;0)^. (6.43) A

On peut alors appliquer l'opérateur [ôjvlfcjy] de chaque côté de cette équation et utiliser les propriétés éqs. (6.26-6.27). Sachant que

[W(0ï0) = 1, (6-44)

on obtient du côté gauche

[ON][zlN]Jn>Jm(zN]0N) = (-l)mdQ,jÀ-(zN_-,0N.). (6.45)

En effet, puisque possède une première rangée sans fermion, on sait qu'il ne possède aucun terme contenant 0^zl

N, ce qui signifie que la seule contribution au coefficient de ON provient de J(o ;o)- Cela nous permet d'écrire

A

En appliquant de nouveau l'opérateur uja de chaque côté de cette équation, on obtient

dçi'Jçi-i = J2a~mj^lgn-(o-0)dA>JA-i. (6.47) A

En prenant le produit scalaire avec et en réorganisant les termes, on obtient finalement

&?(0;0) = otmj*dwdû . (6.48)

Cette équation permet donc d'écrire directement le coefficient g£ en termes de con­stantes connues. Afin de simplifier cette équation, on peut montrer que

2 A ' = J[a-lhf^(i,l). (6.49) i£A°

Le produit sur la première colonne du diagramme Q° contient / (Q) termes puisque cette colonne ne contient pas de cercle. Toutefois, le produit sur la première colonne du diagramme <3>° contient ( / ( $ ) — ra($) + 1 ) termes puisque (ra(<ï>) — 1) boîtes ont été retirées de la première colonne étant donné que celle-ci se termine par un cercle. En substituant ces résultats, on obtient

<fe*(o ;o)=a n h*a)(s) n h£\i, i) n or1- ^

Puisque fl — / = <!> — / , on peut finalement écrire ce résultat sous la forme souhaitée,

9n,(m = a /4Q)fc 1) II *<•>(«. !) Il II ̂ M- (6'51)

Pour les Cas 1 et 2, on remarque que le quotient ne contient pas de boîtes dans la première colonne alors que pour le Cas 3, le quotient contient une boîte dans la première colonne. Ainsi, les facteurs concernant les produits de longueurs de crochet correspondent au résultat annoncé. De plus, on rencontrera le Cas 2 Q<$>çi fois, ce qui signifie qu'il faudra ajouter un facteur (—1)^*" à la formule de Pieri. Ce résultat correspond à la formule de Pieri annoncée et complète la preuve.

6.2.2 F o r m u l e d e P ie r i p o u r J( N )

La somme sur A dans l'éq. (6.31) se fait sur toutes les superpartitions qu'il est possible d'obtenir en partant du diagramme de la superpartition Q* et en ajoutant n boîtes sans jamais en mettre plus d'une par colonne. Ensuite, on ajoute les cercles sur tous les nouveaux diagrammes aux endroits où ils étaient anciennement placés. Si la position

d'un cercle est toutefois déjà occupée par une boîte ajoutée dans la première étape, on peut alors placer ce cercle à toutes les positions permises et ainsi générer plusieurs nouveaux diagrammes. La somme s'effectue alors sur toutes les superpartitions dont les diagrammes ont été construits de la manière prescrite. Plus formellement, on somme sur toutes les superpartitions A D Q telles que le quotient A/Cl contient n boîtes * et forme une bande horizontale généralisée, i.e. un quotient dont les boîtes sont disposées de façon à ce qu'il n'y ait pas plus d'une boîte vide par colonne ou pas plus d'une boîte * et d'une boîte sh par colonne [11]. Le coefficient associé à la superpartition <I> fait alors intervenir, dans certains cas, un produit de longueurs de crochet sur toutes les boîtes des diagrammes de Cl° et <£>°.

Une méthode similaire à celle présentée pour l 'obtention de la formule de Pieri pour J 0;0) permet d'obtenir des formules de Pieri explicites pour J( n ) dans certains cas particuliers et fournit un algorithme pour les calculer dans tous les cas. L'approche privilégiée sera générale et les difficultés rencontrées qui empêcheront de continuer en toute généralité seront soulignées. Tous les résultats présentés dans cette section sont originaux. On note que l 'obtention de la formule de Pieri pour J( 0 ;o) constitue un résultat essentiel dans cette approche. On procède comme il a été fait pour le cas de J(o;o)7 en essayant de réécrire le coefficient g * e n termes du coefficient g^ZJ in\ et de d'autres constantes connues. On suppose que la superpartition Q est une superpartition de (m, n)

et on commence avec l'équation générique

Comme pour la preuve de J(o;o) J il peut y avoir plusieurs cas possibles si on considère la première colonne des diagrammes de Q et <ï>. La première colonne des deux diagrammes peut être de la même longueur et ne pas se terminer par une boîte ( Cas 1 ) ou être de la même longueur et se terminer par un cercle (Cas 2). La première colonne du diagramme de <É> peut aussi contenir une boîte de plus. Dans ce cas, la première colonne des deux diagrammes peut se terminer par une boîte (Cas 3) ou se terminer par un cercle (Cas 4)- Finalement, la première colonne de f2 peut contenir un cercle alors que la première colonne de <ï> n'en contient pas (Cas 5) ou inversement (Cas 6).

Cas 1. On a / ( $ ) = l(Q) — /, Clm ^ 0 et <ï>m ^ 0, ce qui signifie que les deux super­partitions possèdent la même longueur et que leurs premières colonnes ne se terminent pas par un cercle. On procède exactement comme pour le Cas 1 de la Section 6.2.1 et on obtient directement

Jn(zN',0N)J(Kn)(zN]0N) — 3\l9çj,{n)JA{ZN\ ON)- (6.52) A

9*M=n *<«>(<. I) n !) (6.53)

Cas 2. On a / ( $ ) = = fim = 0 et <Ê m + i = 0, ce qui signifie que la longueur des deux superpartitions est la même et que leurs premières colonnes se terminent par un cercle. On procède comme pour le Cas 2 de la Section 6.2.1 et on obtient l'équation

cnJn-iJ(n) = J^JÂ19çi,(n)cAJA-i' (6-54) A

Cette équation est différente de l'éq. (6.40) puisque dans le cas présent A = Q. Ces deux équations ne différant que d'un signe négatif, on peut écrire directement

&?,(„) = II *<«)(<. !) Il Wfr !) dtLy (6-55)

Cas 3. On a /(<£) = + 1 = / + 1. Um ^ 0 et <î>m 7̂ 0, ce qui signifie que la première colonne de <É> est plus grande d'une boîte que la première colonne de Q. De plus, aucune de ces deux colonnes ne contient de cercle. On doit procéder en utilisant l'opérateur ùa

puisque les premières colonnes ne sont pas de la même longueur. On applique donc cet opérateur de chaque côté de l'éq. (6.52) et on obtient

Jn'J(in) = ^1^9n,(n)Jv' (6-56) A

On peut alors appliquer l'opérateur [z1^1] de chaque côté de cette équation, prendre la limite lorsque ON est nul et utiliser la propriété définie à l'éq. (6.26). On obtient

dn>d(in>)Jçi,-J(in-i) = ~9n,{n)d\'JA'-' (6.57) A

Appliquant à nouveau l'opérateur uja des deux côtés de cette équation, on écrit

Cfcyd(in) Jçi-iJ(n-\) = /,JÂ19n,(n)dA'JA-I' (6.58) A

On prend alors le produit scalaire de cette équation avec J $ _ / et on obtient, en réorgani­sant les termes,

9n,{n) =Jdi-idn>d(ln)dv g£ltyn_iy (6.59)

On utilise les résultats énoncés à l'éq. (6.38) ainsi qu'à l'éq. (6.49) afin de simplifier cette équation. Sachant que dcin) = n, on peut écrire

»£<») = n a II 1) Il 1) 9t!,n-iy (6-60)

Cas 4. On a /(<£>) = + 1 = Z + 1, fim = 0 et $ m = 0, ce qui signifie que la première colonne de <î> est plus grande d'une boîte que la première colonne de fi et que ces deux colonnes se terminent par un cercle. On procède comme pour le Cas 3 pour obtenir

l'éq. (6.56). On applique ensuite l'opérateur [ ^ a / ] ^ 1 ] de chaque côté de cette équation et on obtient

(kvdçin)Jçv-J(in-I) = j A 9QMdA'J\'-. (6.61) A

Cette équation étant identique à l'éq. (6.57), on peut écrire directement

&?,(«) = n a II ftn'(*' D II h U l - ! ) 5n-"/.,N-D- ( 6 ' 6 2 )

Ces différents cas ne constituent pas tous les cas possibles, mais ils permettent d 'ob­tenir l'expression des coefficients des formules de Pieri pour certaines superpartitions particulières. En effet, on sait que la somme dans l 'éq.(6.31) s'effectue sur toutes les superpartitions A D fi telles que le quotient A / f i contient n boîtes * et forme une bande horizontale généralisée. Plus particulièrement, les Cas 1 k 4 permettent d'obtenir les coefficients des superpartitions telles que la bande horizontale est formée exclusivement d'une boîte vide par colonne ou d'une boîte * suivie d'une boîte sh par colonne. Bien entendu, il est aussi possible que des colonnes ne contiennent pas de boîte. En termes de diagrammes, cette propriété signifie que les cercles sont disposés à la fin des mêmes colonnes sur les superpartitions fi et A. On écrit alors

9n,(n) = n\ an T\ Am(s) T\ B^{s), (6.63)

avec

( hç^(s) si <É>/fi contient une boîte vide ou une boîte * et une boîte sh dans la même colonne que s

^(a ) ( s ) autrement

( fya)(s) si ^ / f i contient une boîte vide ou une boîte * et une boîte sh dans la même colonne que s

h$(s) autrement.

On note que cette formule n'est pas valide dans tous les cas. Il faut nécessairement que les superpartitions $ et fi possèdent des cercles sur les mêmes colonnes. Les deux prochains cas fournissent les équations permettant de calculer les coefficients lorsque les cercles se trouvent sur des colonnes différentes. En fait, ce sont les situations où les cercles ne se situent pas sur les mêmes colonnes qui engendrent des difficultés majeures. En effet, il est impossible en général d'écrire les coefficients des formules de Pieri sous une forme similaire à l'éq. (6.63) puisque ces coefficients font intervenir une somme de plusieurs autres coefficients. L'auteur conjecture cependant qu'il est possible d'obtenir ces coefficients même si les cercles ne se trouvent pas sur les mêmes colonnes en effec­tuant explicitement les calculs.

Cas 5. On a / ( $ ) = / ( f i ) = L fim = 0 et <Êm ^ 0, ce qui signifie que la première colonne de fi se termine par un cercle alors que la première colonne de <ï> ne se termine pas par un cercle. Ainsi défini, il est impossible d'utiliser une des propriété des superpolynômes de Jack comme pour les cas précédents. Il faut alors faire appel au résultat de la formule de Pieri pour J(o ;o), éq.(6.34). Ainsi, on multiplie l 'éq.(6.52) par J(o ;o)(zwî&N), c e Qui engendre une nouvelle somme de chaque côté. On obtient

zZJr19^,(0,0) JrJ(n) = /jÂ19n.(n) J*19Z(0;Q)J*' (6-64) r A ,*

Une des superpartitions de la somme sur qu'on note contient alors nécessairement un cercle à la fin de sa première colonne. On peut alors procéder comme pour le Cas 3 en appliquant successivement l 'opérateur o>a, l 'opérateur [̂ /VH^AT-1] et de nouveau l'opérateur ûa. Après avoir effectué ces différentes opérations, on obtient

Jr19QA0:0) drd{in) J r - / ^ ( n - i ) = ^ JÂ19n.(n) J^19Z(o,o)5ft'^fr-j- (6.65) r A

La seule superpartition de la somme sur ^ qui survit à l'opérateur [0JV][£AT] e s t c e ^ e Q u i possède un cercle à la fin de sa première colonne. Par définition, cette superpartition est ^ , ce qui signifie que la somme sur \I/ disparaît et que seule la superpartition ^ subsiste. Le coefficient d'intérêt est celui pour lequel la superpartition de la somme sur A ne contient pas de cercle sur la première colonne. Cette superpartition particulière est <I> par définition. On remarque que — I = ^ — I. On effectue le produit scalaire de cette équation avec J$_ j et on obtient

^ ^ ^ ^ ( o ^ ^ i n ) ^ 7 ^ ! ) = illH-idi,^3Algi{n)9Z{m- (6-66) r A

L'équation recherchée est alors obtenue en isolant le coefficient g ® e t en réorganisant les termes. On remarque qu'il n'y a que deux superpartitions de la somme sur A qui peuvent donner le diagramme de ^ en ajoutant un cercle à leur diagramme. La première est évidemment la superpartition <Ë> alors que la deuxième sera, notée T . Sachant que d(\n) = n, on écrit

<É> •—i i> • •—i ~ / — 1 — i r ~j <£>—/ 9çi,(n) J$ #$,(0;0) — n3i>3y_I

ai>' / JY 9n,(o-o)ar' 9T-r(n-i) r

- i T ^ a ( n ) ^ T , ( 0 ; 0 ) - ( 6 - 6 7 )

La somme sur T est effectuée sur toutes les superpartitions telles que leurs diagrammes correspondent au diagramme de fi auquel on a ajouté un cercle à un endroit permis. On comprend alors que cette équation ne peut pas être simplifiée en général. Elle permet toutefois d'écrire le coefficient gfi(n) en termes de quantités connues, bien que le calcul explicite de ce coefficient peut s'avérer très difficile.

Cas 6. On a / ( $ ) = / ( f i ) + 1 = Z + 1, fim ^ 0 et $ m = 0, ce qui signifie que la première colonne de fi ne se termine pas par un cercle alors que la première colonne de $ se termine par un cercle. On procède alors comme pour le Cas 5, i.e., on multiplie l 'éq.(6.52) par </(o;o)(^/v; #TV) et on obtient l 'éq.(6.64). Cependant, la superpartition qui sera utile pour appliquer une propriété des superpolynômes de Jack est la superpartition, notée T, dont le diagramme correspond au diagramme de fi auquel on a ajouté un cercle à la première colonne. On restreint ensuite l'éq. (6.64) à l'ensemble de variables

on utilise la propriété définie à l 'éq.(6.24) et on obtient

JF 19n.(o-,o) cr JT-iJ{N) = ^JA19n.(N) JV19A.{0:0) c * ^ - / - (6.68) A,*

On effectue ensuite le produit scalaire de cette équation avec un superpolynôme de Jack arbitraire J r - / dont la superpartition T fait partie de la somme sur Il est toutefois plus simple de choisir la superpartition T qui possède des cercles sur un nombre maximum de colonnes communes avec la superpartition T. On obtient alors

^N,(0;0) CF #FT-/(N) = X^A Î̂MN) JT ' JT- / C T &£(0;0)- ( 6 - 6 9 )

A

Comme pour le Cas 5, il n'y a que deux superpartitions de la somme sur A qui peuvent donner le diagramme de T en ajoutant un cercle à leur diagramme. On note ces deux superpartitions <ï> et A . Plus particulièrement, <£> est la superpartition qui contient un cercle à la fin de sa première colonne alors que A est la superpartition qui ne contient pas de cercle sur sa première colonne. On isole ainsi le coefficient g®(ra) dans cette équation pour obtenir

9n,(N) 3$ ^^(Ojo) = JrJr-i cr1JT l9E,(o-,o) CF #FW|(N)

-JÂ^LT(N)PA,(0;0)- ( 6 - 7 0 )

Manifestement, cette équation ne peut pas être simplifiée en général. Elle permet toute­fois, comme pour le Cas 5, d'écrire le coefficient g®^ en termes de quantités connues, même si ce calcul peut s'avérer très laborieux.

Il existe une relation qui permet d'écrire le coefficient g®/ x en termes du coefficient contenant les superpartitions conjuguées #sf',(in)- ^ n obtient cette équation en prenant le produit scalaire des deux côtés de l'éq. (6.56) avec J$/. On obtient alors

Considérant que la superpartition <£> est une superpartition de (m, n ) , cette équation peut s'écrire

n * _ 2 (m+/ ( m > n ) ) (fi 79Ï

où l(mjn) est défini à l'éq. (6.6). On peut donc, dans certains cas, obtenir le coefficient <7jf,(n) indirectement en calculant le coefficient ^j f / ( 1 „ ) lorsque ce calcul est plus simple.

Finalement, on note que les Cas 5 et 6 peuvent être simplifiés pour le cas particulier où n = 1. On peut alors obtenir une formule de Pieri explicite de la forme de l'éq. (6.63). On définit la quantité Q^q comme le nombre de cercles contenus entre les deux colonnes du diagramme <&/Q qui contiennent une boîte * ou une boîte sh. La formule de Pieri pour J(i) est alors, considérant que la superpartition Q est une superpartition de (m, n ) ,

0n,o) = ( - i ) Q ^ « n a ^ ri (6.73)

avec

a si ^>/Q contient une boîte quelconque dans la même colonne et la même rangée que s

h,Q (s) si <3>/Q contient une boîte quelconque dans la même

colonne mais pas la même rangée que s

^(a ) ( s ) autrement

1 si contient une boîte quelconque dans la même colonne et la même rangée que s

h^(s) si <£/Q contient une boîte quelconque dans la même colonne mais pas la même rangée que s

h^\s) autrement.

On comprend que la boîte * du diagramme <Ë>/fi correspond à l 'emplacement initial du cercle qui a été déplacé alors que la boîte sh correspond à l 'emplacement final de ce cercle. On suppose que cet emplacement final correspond au point (q,p). Les Cas 1 k 4 sont déjà valides pour J(i), alors il ne reste qu'à simplifier les Cas 5 et 6. Sachant que

0n,(o) - JaSqa, (6.74)

on peut modifier l 'éq.(6.67) du Cas 5 pour J( n ) et l 'adapter pour J^. On obtient

9n,(i) = ^ ^ ( o j o ) 1 {h dty Jr1 djy 0n,(o;o) ~ Jr^n+n) 0t,(o ;o)) • ( 6 -75)

On peut montrer, par un calcul long mais simple, que cette équation s'écrit

3 = 1,P

x n hM*>3) n hUij) n wm)-i,je$° i,jen° i,j£3>° j=i,p j^hp j^l,p

Cette équation correspond directement à la formule de Pieri annoncée.

(6.76)

On doit procéder différemment pour le Cas 6. On utilise l'éq. (6.72) afin de calculer le coefficient 9^ny On note que le fait de passer aux superpartitions conjuguées a transformé le Cas 6 en un Cas 5. On peut donc calculer le coefficient g% ^ en utilisant la formule de Pieri, éq.(6.73), qui est valide pour les Cas 1 k 5. On obtient alors

9*iW = a~l J] Âw(s) J] (6.77) sefi'° se$'°

avec

si (Ê'/fi ' contient une boîte quelconque dans la même colonne et la même rangée que s si /Çl' contient une boîte quelconque dans la même colonne mais pas la même rangée que s si $ ' / f i ' contient une boîte quelconque dans la même rangée mais pas la même colonne que s si «Ê'/fi' ne contient pas de boîte dans la même rangée ni dans la même colonne que s

si Yfi ' contient une boîte quelconque dans la même colonne et la même rangée que s si &7fi' contient une boîte quelconque dans la même colonne mais pas la même rangée que s si <Ê>'/fi' contient une boîte quelconque dans la même rangée mais pas la même colonne que s si <Ê>'/fi' ne contient pas de boîte dans la même rangée ni dans la même colonne que «s.

On a écrit au long les différentes conditions de la formule de Pieri afin de clarifier les manipulations qui vont suivre. Ce résultat ne fait intervenir que les superpartitions conjuguées fi' et <£>'. On veut toutefois écrire le résultat final en terme de fi et <Ê>. Pour ce faire, on remarque que

oTlh(*\j,ï), (6.78)

a-lh?a)(j,i). (6.79)

De plus, on se convainc aisément que Qw — On peut alors écrire

a " 1

V

' I

avec

Q

a~l si $/Q contient une boîte quelconque dans la même colonne et la même rangée que s

a~1h^(s) si <&/Q contient une boîte quelconque dans la même rangée mais pas la même colonne que s si $/Q contient une boîte quelconque dans la même colonne mais pas la même rangée que s si <£/fi ne contient pas de boîte dans la même rangée ni dans la même colonne que s

si <ï>/fi contient une boîte quelconque dans la même colonne et la même rangée que s si <Ê>/fi contient une boîte quelconque dans la même rangée mais pas la même colonne que s si <ï>/fi contient une boîte quelconque dans la même colonne mais pas la même rangée que s

a _ 1 ^ ( a ) ( s ) S1 n e c o n t i e n t pas de boîte dans la même rangée ni dans la même colonne que s.

Q

Q KM

Cette équation dépend maintenant uniquement de Q et <£. On note que, en passant des superpartitions à leurs superpartitions conjuguées, les rangées deviennent des colonnes et vice versa. On remarque aussi que si <£>/fi ne contient pas de boîte dans la même rangée ni dans la même colonne que 5, alors h^\s) = h$(s) et h?Js) = h^Js). Puisqu'il y a autant de boîtes dans fl et dans <É> qui répondent à cette condition, on peut les faire passer du coefficient A$n(s) au coefficient B$n(s) et inversement sans problème. Cette étape permet de regrouper les conditions comme pour la formule de Pieri, éq.(6.31),

si <Ë>/fi contient une boîte quelconque dans la même colonne et la même rangée que s

a~1h^\s) si 3>/fi contient une boîte quelconque dans la même colonne mais pas la même rangée que s autrement

A^Q(S)

a 2a

1

a

Q

si &/Q contient une boîte quelconque dans la même colonne et la même rangée que s si <3>/fi contient une boîte quelconque dans la même colonne mais pas la même rangée que s

autrement.

Si on suppose que $ contient r cases qui sont à la fois dans une colonne et dans une rangée de alors Q en contient r — 1. De plus, on sait que le produit sur ft° contient

(m + / ( m , „ ) ) termes alors que le produit sur <Ê>° contient (m + l + Z( m > n ) ) termes. Il y aura donc (m + l(myn) - (r — 1) + 2(r — 1)) facteurs a'1 provenant de Q° et (m + 1 + / ( m . n ) - r) facteurs a"1 provenant de <I>0. On obtient un total de 2 ( m + / ( m , n ) ) facteurs o j _ 1 provenant des coefficients A^q(s) et B^q(s). Utilisant la relation définie à l 'éq.(6.72) et le fait que la superpartition <ï> est une superpartition de (m, n + 1), on peut écrire

a 2 ( m + l + W ) ) ^ ( i ) (6.8i; On remplace ce résultat dans l'éq. (6.77) pour finalement obtenir

(6.82)

avec

B$n(s)

a si <ï>/fi contient une boîte quelconque dans la même colonne et la même rangée que s

h^\s) si <ï>/fi contient une boîte quelconque dans la même colonne mais pas la même rangée que s

^ ( a ) ( s ) autrement

1 si 3>/n contient une boîte quelconque dans la même colonne et la même rangée que s

h^Js) si <&/Q contient une boîte quelconque dans la même

colonne mais pas la même rangée que s

hf£\s) autrement.

Cette équation est identique à la formule de Pieri et prouve ainsi le résultat.

6.2.3 E x e m p l e s d e ca l cu l

Dans cette section, on présente quelques exemples qui illustrent l'utilisation des formules de Pieri obtenues précédemment. En fait, on effectue le calcul explicite d'un coefficient pour des produits qui font intervenir les formules de Pieri éq.(6.34), éq.(6.63) et éq.(6.73). Le premier exemple illustre le calcul du coefficient de J(3,2,0;0) appartenant au produit de J(2,o ;3.o) avec J(o :o)- On démontre que ce coefficient est

(( J(iw)J{0), </(3,2,o;o) » a = ^(2a + 3 ) (2a + l ) ( a + 2 ) (a + l ) 4 . (6.83)

Afin de faciliter les calculs des différentes longueurs de crochet, il est très intéressant de tracer les deux diagrammes des superpartitions considérées. Ainsi, les diagrammes (2 ,0 ; 3) et ( 3 , 2 , 0 ; 0 ) sont présentés à la FlG. 6.1.

FlG. 6.1 - Diagrammes des superpartitions (2, 0; 3) et (3, 2, 0; 0)

0 ( 2 , 0 :3 ) =

0 Q ( 3 . 2 . 0 : 0 ) = 0 b

Le diagramme ( 3 , 2 , 0 ; 0 ) * / (2 ,0 ; 3)* ne contient pas de boîte alors que le diagramme sh(3, 2,0; 0 ) / sh (2 ,0 ; 3) contient une seule boîte à la position (1 ,4 ) . Le diagramme du quotient (3, 2,0; 0 ) / ( 2 , 0 ; 3) contient donc une boîte sh à la position (1 ,4 ) . Ce diagramme est présenté à la FlG. 6.2.

FlG. 6.2 - Diagramme du quotient (3, 2, 0; 0 ) / ( 2 . 0; 3)

( 3 , 2 , 0 ; 0 ) / ( 2 , 0 ; 3 ) = [~\~l~ \

Le calcul de ce coefficient fait appel à la formule définie à l'éq. (6.34). Puisqu'il y a deux cercles sous la boîte sh dans le diagramme de (2 ,0 ; 3) , on obtient Q\n = 2. De plus, on note que A / f i contient une boîte dans la colonne 4. On présente ainsi les différents calculs associés à chaque case des diagrammes fi° et A° . Ces diagrammes correspondent aux diagrammes fi et A auxquels on a retiré toutes les boîtes qui se trouvent à la fois dans une rangée et dans une colonne qui contiennent des cercles. On remarque que la boîte (2 ,1) ne fait donc pas partie du diagramme de fi° alors que les boîtes { ( 1 , 1 ) , ( 1 ,3 ) , ( 2 , 1 ) } n'appartiennent pas au diagramme de A° . Ainsi, on n'effectue aucun calcul sur ces différentes boîtes pour leurs diagrammes respectifs.

Positions Diagramme fi° Diagramme A°

(u) 2a + 2

(1,2) a + 2 2a + 1

(1,3) 1 -

(1,4) - 1

(2,1) - -

(2,2) a + 1 a

(2,3) 1 a

(3,1) 1 a

En effectuant le produit de ces différents résultats et en utilisant l'éq. (6.34), on obtient bien le coefficient annoncé à l'éq. (6.83),

(( J(2mJ(0), ^(3.2.0:0) » a = a x 2a3(2a + l ) ( a + 2 ) (a + l ) 2 . (6.84)

Le deuxième exemple illustre le calcul du coefficient de J(i,o ;3,i) appartenant au produit de J(i,o;2) a v e c J(2). On démontre que ce coefficient est

(( ./(i.cw) J ( 2) , J(i,0;3,i) ))o = 4 a 4 ( 2 a + 3 ) (2a + l ) ( a + 1). (6.85)

Les deux diagrammes (1 ,0 ; 2) et (1 .0 ; 3,1) sont présentés à la FlG. 6.3.

FlG. 6.3 - Diagrammes des superpartitions (1 ,0 ; 2) et (1 ,0 ; 3,1)

(1 ,0 ; 2) (1 ,0 ; 3,1) =

o o Le calcul de ce coefficient fait appel à la formule définie à l'éq. (6.63). Le diagramme (1 .0 ; 3 .1 )* / (1 ,0 ; 2)* contient deux boîtes aux positions (1 ,3 ) et (3 ,1 ) . De plus, le dia­gramme sh ( l , 0; 3, l ) / s h ( l , 0; 2) contient aussi deux boîtes, cette fois aux positions (1 ,3) et (4 ,1 ) . Le diagramme (1, 0; 3 , 1 ) / ( 1 , 0; 2) contient donc une boîte vide à la position (1 ,3 ) , une boîte * à la position (3 ,1) et une boîte sh à la position (4 ,1 ) . Ce diagramme est présenté à la FlG. 6.4.

FlG. 6.4 - Diagramme du quotient (1, 0; 3 , 1 ) / ( 1 , 0; 2)

i : i : u (1 ,0 ; 3 , 1 ) / ( 1 , 0 ; 2) =

SH

On note que A / f i contient une boîte vide dans la colonnes 3 et une boîte * suivie d'une boîte sh dans la colonne 1. On présente ainsi les différents calculs associés à chaque case des diagrammes fi° et A°. On remarque que la boîte (2 ,1) ne fait pas partie des diagrammes de fi° et de A° , ce qui signifie qu'il n'y a aucun calcul à effectuer sur cette case.

Positions Diagramme fi° Diagramme A°

( i , i ) 2Q + 2 2a + 3

(1,2) 1 2a + 1

(1,3) - 1

(2,1) - -

(2.2) 1 a

(3.1) a 1 (4.1) - 1

En effectuant le produit de ces différents résultats et en utilisant l 'éq.(6.63), on obtient le coefficient

(( J{iM2)Jp), <W,i) » a = 2 a 2 x 2a2(2a + 3)(2q + l ) ( a + 1)

ce qui correspond au résultat annoncé à l 'éq.(6.85).

(6.86)

Le dernier exemple illustre le calcul du coefficient de J(2,i ;i) appartenant au produit de «/(i,o;2) a v e c ^(i)- On démontre que ce coefficient est

(( ^(1.0:2)^(1) , «/(2,1;1) ))a = ~OiA(a + 2).

Les deux diagrammes (1, 0; 2) et (2 ,1 ; 1) sont présentés à la FIG. 6.5.

(6.87)

FlG. 6.5 - Diagrammes des superpartitions (1 ,0 ; 2) et ( 2 , 1 ; 1)

(1 ,0 ; 2) =

O ( 2 , l ; l ) =

Le calcul de ce coefficient fait appel à la formule définie à l'éq. (6.73). Le diagramme (2 ,1 ; 1 )* / (1 ,0 ; 2)* contient une seule boîte à la position (3 ,1) alors que le diagramme sh(2 ,1 ; l ) / s h ( l , 0; 2) contient une seule boîte à la position (1 ,3 ) . Le diagramme du quotient (2 ,1 ; 1 ) / ( 1 , 0; 2) contient donc une boîte * à la position (3 ,1) et une boîte sh à la position (1 ,3 ) . Ce diagramme est représenté à la FlG. 6.6.

FlG. 6.6 - Diagramme du quotient (2 ,1 ; 1 ) / ( 1 , 0; 2)

( 2 , 1 ; 1 ) / ( 1 , 0 ; 2 ) = sh

Puisqu'il y a un cercle entre la colonne contenant la boîte * et la colonne contenant la boîte sh dans le diagramme de (2 ,1 ; 1), on obtient Q\q = 1. De plus, on note que A / f i contient une boîte dans les colonnes 1 et 3 et que les boîtes { ( 1 , 1 ) , ( 1 ,3 ) , ( 3 , 1 ) } sont telles que A / f i contient une boîte dans la même colonne et la même rangée. On présente ainsi les différents calculs associés à chaque position des diagrammes fi° et A°. On remarque que la boîte (2 ,1) ne fait pas partie du diagramme de fi°, ce qui signifie qu'il n'y a aucun calcul à effectuer sur cette case. Aussi, pour le diagramme de A, on n'effectue pas de calcul sur la boîte (1 ,2 ) car elle n'appartient pas au diagramme de A°.

Positions Diagramme Q° Diagramme A°

( i , i ) a 1

(1,2) 1 -

(1-3) - 1

(2,1) - a + 2 (2-2) 1 a

(3.1) a 1

En effectuant le produit de ces différents résultats et en utilisant l 'éq.(6.73), on obtient le coefficient annoncé à l'éq. (6.87),

(( ^(1.0:2)^(1) , J(2,l;l) ))a = " O X C*3(a + 2) . (6.88)

Conclusion

Ce mémoire avait pour objectif, d'une part, de présenter la théorie du modèle CMS trigonométrique ainsi que le développement menant à la généralisation super­symétrique de ce modèle. D'autre part, il était important d'introduire la théorie des fonctions symétriques et plus particulièrement la théorie des polynômes de Jack. Le développement des superpolynômes de Jack constituait également un sujet important puisqu'il a établi un point de départ pour notre recherche. En effet, le but principal de ces travaux était d'obtenir les formules de Pieri pour les superpolynômes de Jack en faisant appel à certaines de leurs propriétés obtenues récemment. Ces propriétés ont permis d'appliquer une méthode semblable à celle employée pour prouver les formules de Pieri dans le cas des polynômes de Jack. Cette technique s'est avérée très fructueuse puisqu'elle a permis d'obtenir les formules de Pieri pour deux différents cas, soit J( 0 ;o) et J ( n ) . Ces résultats originaux constituent l'essentiel des découvertes effectuées dans le cadre de ce mémoire.

La raison principale qui motivait la recherche des formules de Pieri pour les su­perpolynômes de Jack, outre leur intérêt propre, était que ces formules pourraient éventuellement mener à l 'obtention des opérateurs de création des superpolynômes de Jack. En effet, les formules de Pieri constituent un résultat fondamental dans la preuve de ces opérateurs pour les polynômes de Jack. Ces formules peuvent également fournir des pistes à suivre pour l'élaboration de nouvelles propriétés des superpolynômes de Jack. Par contre, le fait que les formules de Pieri obtenues dans le cas supersymétrique ne puissent pas, dans certains cas, être simplifiées et écrites sous une forme compacte et accessible semble indiquer que cette démarche n'est pas très prometteuse. Il est tou­tefois possible que l 'approche privilégiée dans ce mémoire ne permette pas de mettre en évidence des simplifications possibles qui permettraient d'écrire différemment les co­efficients de ces formules de Pieri. En outre, il est possible que les cas particuliers qui peuvent être simplifiés donnent accès directement aux opérateurs de création puisque ces opérateurs ne concernent que l 'ajout de colonnes. Dans de tels cas, les positions des cercles sont déterminées à l'avance et les cercles ne peuvent pas être déplacés.

Quoi qu'il en soit, la question de l 'obtention des opérateurs de création pour les superpolynômes de Jack demeure ouverte et constitue une des possibilités intéressantes de prolongement de ce travail. Ce résultat représenterait une progression majeure dans la théorie des superpolynômes symétriques puisqu'il permettrait d'écrire explicitement tout superpolynôme de Jack sans avoir à diagonaliser l'hamiltonien du modèle super­symétrique. Ce résultat pourrait aussi ouvrir la voie à l 'obtention de nouvelles propriétés intéressantes des superpolynômes de Jack. Un autre résultat intéressant à acquérir consisterait en une définition générale et cohérente des quotients de superpartitions. En effet, la définition utilisée dans le cadre de ce mémoire servait uniquement à simplifier la notation et ne possédait aucune motivation intrinsèque. Par ailleurs, la découverte des quotients de superpartitions permettrait peut-être de simplifier l'écriture des formules de Pieri dans tous les cas.

Finalement, il pourrait être intéressant d'effectuer des recherches dans le but de trouver une formule combinatoire qui permettrait d'écrire explicitement les superpo­lynômes de Jack. En effet, une telle formule existe déjà dans le cas des polynômes de Jack et la preuve de cette formule fait intervenir les formules de Pieri. Ainsi, il pourrait s'avérer possible de généraliser cette approche pour obtenir une formule analogue dans le cas supersymétrique. Cette piste de recherche constitue donc un autre prolongement intéressant du présent mémoire.

Bibliographie

[1] Bagchi, B. K. Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics, C H A P M A X k H A L L / C R C . 2001.

[2] Berezin, F. A. The Method of Second Quantization, Académie Press, 1966.

[3] Calogero, F. Solution of a Three-Body Problem in One Dimension, J. Math. Phys., 10, 2191-2196, 1969.

[4] Calogero, F. Ground State of a One-Dimensional N-Body System, J. Math. Phys., 10, 2197-2200, 1969.

[5] Calogero, F. Solution of the One-Dimensional N-Body Problems with Quadratic and/or Inversely Quadratic Pair Potentials, J. Math. Phys., 12, 419-436, 1971.

[6] Cooper, F., Khare, A . k Sukhatme, U. Supersymmetry in Quantum Mechanics, World Scientific, 2001.

[7] Desrosiers, P., Lapointe, L. k Mathieu, P. Supersymmetric Calogero-Moser-Sutherland Models and Jack Superpolynomials, Nue. Phys. B, 606, 547-582, 2001.

[8] Desrosiers, P., Lapointe, L. k Mathieu, P. Jack Superpolynomials, Superpartition Ordering and Determinantal Formulas, Comm. Math. Phys., 233, 383-402, 2003.

[9] Desrosiers, P., Lapointe, L. k Mathieu, P. Classical Symmetric Functions in Su-perspace, J. Alg. Comb. , 24, 209-238, 2006.

[10] Desrosiers, P., Lapointe, L. k Mathieu, P. Orthogonality of Jack Polynomials in Superspace, Adv . Math., 212, 361-388, 2007.

[11] Desrosiers, P., Lapointe, L. k Mathieu, P. Specialization and Normalization of Jack Polynomials in Superspace, Article à paraître.

[12] Forrester, P.J. Selberg Corrélation Intégrais and the 1 / r 2 Quantum Many-Body System, Nucl. Phys. B, 388, 671-699, 1992.

[13] Freedman, D.Z. k Mende, P.F. An Exactly Solvable N-Particle System in Super-symmetric Quantum Mechanics, Nucl. Phys. B, 344, 317-343, 1990.

[14] Gurappa, N. k Panigrahi, P. K. Free Harmonie Oscillators, Jack Polynomials, and

Calogero-Sutherland Systems, Phys. Rev. B, 62, 1943-1949. 2000.

Bibliographie 73

[15] Jack, H. A Class of Symmetric Polynomials with a Parameter, Proc. Roy. Soc. Edin. A, 69. 1-18. 1969.

[16] Kakei, S. Common Algebraic Structure for the Calogero-Sutherland Models, J. Phys. A : Math. Gen., 29, L619-L624, 1996.

[17] Knop, F. h, Sahi, S. A Recursion and a Combinatorial Formula for Jack Polyno­mials, Inv. Math.. 128. 9-22, 1997.

[18] Langmann, E. Algorithms to Solve the (Quantum) Sutherland Model, J. Math. Phys., 42, 4148-4157, 2001.

[19] Lapointe, L. k Vinet, L. A Rodrigues Formula for the Jack Polynomials and the Macdonald-Stanley Conjecture, Int. Math. Res. Notices, 1995, 419-424, 1995.

[20] Lapointe, L. Sz Vinet, L. Exact Operator Solution of the Calogero-Sutherland Model Comm. Math. Phys.. 178. 2, 425-452, 1996.

[21] Lapointe, L. & Vinet, L. Création Operators for the Macdonald and Jack Polyno­mials, Lett, Math. Phys., 40, 269-286, 1997.

[22] Lapointe, L., Lascoux, A. & Morse, J. Determinantal Expression and Recursion for Jack Polynomials, Elect. J. Comb. , 7, NI , 2000.

[23] Macdonald, I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials, Second Edition, Oxford University Press, 1995.

[24] Moser, J. Three Integrable Hamiltonian Systems Connected with Isospectral Défor­mations, Adv. Math., 16, 197-220, 1975.

[25] Pasquier, V. A Lecture on the Calogero-Sutherland Models, hep-th/9405104v3, 1994.

[26] Polychronakos, A. P. Exchange Operator Formalism for Integrable Systems of P ar­ticles, Phys. Rev. Lett., 69, 703-705, 1992.

[27] Polychronakos, A. P. Generalized Statistics in One Dimension, hep-th/9902157, 1999.

[28] Shastry, B. S. k Sutherland, B. Superlax Pairs and Infinité Symmetries in the 1 / r 2

System, Phys. Rev. Lett, 70, 4029-4033, 1993.

[29] Stanley, R. P. Some Combinatorial Properties of Jack Symmetric Functions, Adv . Math., 77, 76-115, 1989.

[30] Sutherland, B. Quantum Many-Body Problem in One Dimension : Ground State, J. Math. Phys. 12, 246-250, 1971.

[31] Sutherland, B. Exact Results for a Quantum Many-Body Problem in One Dimen­sion. Phys. Rev. A , 4, 2019-2021, 1971.

[32] Sutherland, B. Exact Results for a Quantum Many-Body Problem in One Dimen­

sion IL Phys. Rev. A, 5. 1372-1376. 1972.