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Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique
Université Virtuelle de Tunis
Les systèmes asservis linéaires
échantillonnés
Compensation des systèmes échantillonnée
Mohamed AKKARI
Attention !
Ce produit pédagogique numérisé est la propriété exclusive de l'UVT. Il est strictement interdit de le reproduire à des fins
commerciales. Seul le téléchargement ou impression pour un usage personnel (1 copie par utilisateur) est permis.
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
2 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
Objectif : La commande des systèmes discrets asservis constitue l’objectif
fondamental de toute étude qui vise à imposer des performances que le système
commandé doit satisfaire.
C’est la raison pour laquelle que nous avons très détaillé ce chapitre où nous avons
présenté les différentes techniques de l’implantation et du calcul des régulateurs
numériques. Ces régulateurs de type PID, ou de type RST, très largement
exploités par ailleurs, ont fait l’objet d’une étude développée. Ils devront par la
suite être traduits en algorithmes de commande (Non traité dans ces notes) par
le biais de calculateurs pour conduire le processus étudié.
Nous avons présenté des exemples détaillés de commande de processus discrets et on a
exploité le logiciel Matlab pour mener le calcul ou la traçage des courbes, en rappelant à
chaque fois les syntaxes utilisées pour ce faire.
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
3 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
VIII-1: Introduction Ce chapitre porte sur les approches de commande des systèmes
asservis discrets et représente l’étape la plus importante sur laquelle une attention
particulière doit être portée.
En effet, toutes les techniques présentées dans les chapitres précédents doivent
aboutir au savoir faire relatif au choix et au calcul de correcteurs capables de
conférer à un processus discrets les performances désirées.
Ces régulateurs numériques, sous quelle forme qu’ils peuvent se présenter, sont
caractérisés par une sortie discrètes U(z) appelée loi de commande qui pilote le
processus et conditionne son comportement pour satisfaire ces performances .
Différentes approches de commande sont présentées dans ce chapitre pour
permettre la compensation des processus discrets dans ce sens:
VIII-2 : La commande par transposition de correcteurs analogiques
Cette méthode exploite des régulateurs analogiques dont les paramètres sont déja
établis (par différentes techniques) dans une boucle de commande continue qui
confère au processus analogique commandé les performances à satisfaire
conformément à un cahier de charges imposées par l’utilisateur.
A partir d’une boucle de commande continue, on établit une boucle de commande
numérique, par la discrétisation et du modèle du processus et du régulateur
analogique implanté, en respectant les techniques de dicrétisation. On obtient
alors un asservissement discret tel que présenté
Dans la figure 34.
C1(z) H (z)
U(z) Y(z) E(z)
_
Fig.36 : Boucle d’un système asservi discret compensé
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
4 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
Etapes à suivre
♦ On choisit la période d’échantillonnage Te appropriée au processus étudié.
♦ On transpose le régulateur C(p) et la fonction de transfert H(p) en numérique en
remplaçant par exemple la variable p par )1(
)1(2
+
−=
zT
zp
e
(Approximation de Tustin), ou en utilisant les techniques de discrétisation
exposées précédemment.
♦ On calcule la fonction de transfert en boucle fermée )()(1
)()()(
1
1
zHzC
zHzCzH f
+=
♦ On vérifie la stabilité (condition fondamentale) de ce système discret.
♦ On établit ensuite l’équation de récurrence y (k).
♦ En choisissant une entrée e (k) =1, le calcul des échantillons y(k) pour
k=0,1,…informe sur l’évolution de y(k) afin de comparer cette évolution à celle du
système non corrigé, de point de vue précision, temps de réponse,….
♦ La loi commande u (k) qui doit être mise sous la forme d’un algorithme
programmable découle directement de l’équation de récurrence.
VIII-3 : Commande par implantation d’un régulateur naturellement
numérique
Par cette méthode, on calcule directement un correcteur C(z), en imposant à la
fonction de transfert discrète en boucle fermée Hf(z) du système compensé
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
5 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
d'être égale une fonction de transfert G(z) qu’on choisit d’avance et qui satisfait
les performances souhaitées sur le système régulé.
Donc : )()()(1
)()()( zG
zHzC
zHzCzH f =
+=
On déduit alors l’expression de C(z) :
)(1
)(.
)(
1)(
zG
zG
zHzC
−= (61)
Si )(
)()(
zB
zAzH = et
)(
)()(
zD
zNzG =
Les modules des zéros de B(z) et des zéros de D(z) doivent être inférieurs à un (
pour respecter la condition de stabilité), l’expression de C(z) devient:
)()(
)(.
)(
)()(
zNzD
zN
zA
zBzC
−=
La condition de stabilité doit aussi être vérifiée sur ce correcteur
Or d’après l’expression du dénominateur de C (z) cette condition ne peut être
assurée que si :
* les zéros de A(z) sont aussi à modules inférieurs à un.
* les zéros de D(z)- N(z) ont leurs modules inférieurs à un.
Ceci limite bien sûr l’utilisation de cette méthode à une catégorie particulière de
processus vérifiant des conditions sur les modules d’aussi bien leur dénominateur
que leur numérateur.
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
6 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
Exemple1 : Supposons qu’on veuille commander un processus représenté par sa
fonction de transfert discrète)(
)()(
zB
zAzH = en boucle ouverte.
(Tous les modules des zéros de B(z) doivent être inférieurs à un pour la stabilité)
On implante un régulateur discret C(z) et on obtient alors une fonction de
transfert en boucle fermée du processus régulé de la forme :)()(1
)()(
zHzC
zHzC
+
Si on ne souhaite pas avoir de dépassement sur la réponse du système corrigé, il
faut donc que)()(1
)()(
zHzC
zHzC
+ soit identifiée à une fonction G(z) de la forme
az
azG
−
−=
1)( qui représente un système de premier ordre discret à gain statique
unitaire. Alors az
azG
zHzC
zHzC
−
−==
+
1)(
)()(1
)()(
D’où on déduit l’expression de c(z) : )()1(
)()1()(
zAz
zBazC
−
−=
Ce qui impose, pour la stabilité, que tous les modules des zéros de A(z) doivent
aussi être inférieurs à un
Exemple2 : Soit la fonction de transfert en boucle ouverte d’un système asservi :
5.05.1
)75.0(03.0
)(
)()(
2 +−
+==
zz
z
zB
zAzH
Calculer un régulateur numérique qui confère au système corrigé :
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
7 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
♦ Un comportement de deuxième ordre en boucle fermée caractérisé par : un
coefficient d’amortissement 6.0=ξ et une pulsation propre srad /30 =ω
♦ Une erreur statique 0)( =∞ε et une erreur en vitesse 2.0=vε .
Solution :
♦ On établit d’abord l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée :
))(())((
)(
)(
)()(
2121 zzzz
baz
zzzz
zN
zD
zNzG
−−
+=
−−==
Où z1 et z2 sont les racines imposées du deuxième ordre choisi et dont les
expressions sont:
200 1
2/1
ξωξω −±−= ee TjTez pour Te= 0.2s, on a 360.0526.02/1 jz ±=
♦ Pour calculer a et b on exploite les conditions 0)( =∞ε et 2.0=vε :
Exprimons l’erreur )(zε : D’après fig. 37 on )()(1
1)( ze
zXz
+=ε sachant
que )()(1
)(
)(
)(zG
zX
zX
ze
zy=
+= alors
)(1
)()(
zG
zDzX
−= et donc )()](1[)( zezGz −=ε
X (z)
y(z) e(z
_
Fig.37 : Boucle d’un système asservi
discret
)(zε
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
8 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
♦ Pour une entrée échelon unitaire1
)(−
=z
zze l’erreur statique est donc
1
)](1[)(−
−=z
zzGzε
Comme )()1(lim)(lim)( 1
1 zzk zk εεε −→∞→ −==∞ alors
)]1(1[)( G−=∞ε , or 0)( =∞ε par hypothèse, donc )1(1 G=
1)()(1
)1(2121
=+++
+=
zzzz
baG d’où 21211 zzzzba +++=+
♦ L’erreur en vitesse correspond à une entrée rampe 2)1()(
−=
z
zTze e
v
e
zkvvKz
zTzGzk
1
)1()](1)[1(lim)(lim
2
1
1 =−
−−== −→∞→εε Comme 2.0=vε
alors 2.0
1=vK
On peut également exploiter la formule de l’Hospital (où Te=0.2s, par hypothèse):
1
2.02.0
1
11]
)([ 1 −=−=−==
TKdz
zdG
v
z
Alors 2
2121
212121'
)]()(1[
))(2()1(1)1(
zzzz
bazzzzzzaG
+++
+++−+++=−=
En conclusion 1)1( =G et 1)1(' −=G permettent de calculer a et b et
le correcteur )(1
)(.
)(
1)(
zG
zG
zHzC
−= est alors complètement défini
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
9 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
VIII-4 : Commande par PID numérique
VIII-4-1: Introduction
Ce paragraphe (VIII-4) s’apparente au paragraphe (VIII-2), mais vu l’importance
des régulateurs PID, nous avons jugé de leur consacrer un paragraphe indépendant.
Le régulateur PID est le plus « populaire » des régulateurs et il est largement
utilisé, notamment en commande analogique.
Il est caractérisé par ses trois coefficients, proportionnel KP, intégral KI et dérivé
KD qui figurent dans l’expression temporelle reliant la sortie du régulateur à son
entrée )(tε :
dt
tdKdKtKtu D
t
IP
)()()()(
0
εττεε ++= ∫
La transformée de Laplace donne la fonction de transfert suivante :
p
KpKpKpK
pKK
p
pUpR IPD
DIP
++=++==
..1
)(
)()(
2
ε
Notons que :
♦ KP et KI améliorent le temps de réponse mais par contre rendent le
système moins stable.
♦ KI permet en plus, d'éliminer l'erreur statique, mais en revanche,
il peut générer beaucoup d'oscillations nuisibles à la stabilité.
♦ KD ralentit la réponse, mais permet d'atténuer les oscillations et donc
rend le système plus stable.
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
10 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
La détermination des trois coefficients KP, KI et KD en étude analogique fait
appel à plusieurs techniques tant théoriques "méthode de Naslin" ,
qu’empiriques "méthode de Ziegler - Nichols" qui sont largement exposées
dans les ouvrages de base de l’automatique analogique.
Pour déterminer les coefficients du PID, on peut aussi mener une étude en
boucle ouverte sur le système corrigé par un PID et imposer au numérateur
du PID d’éliminer les constantes de temps les plus grandes de la fonction de
transfert en boucle ouverte du processus.
Les coefficients peuvent aussi être déterminés à partir d’une étude en
boucle fermée du système corrigé où l’on impose des performances sur la
stabilité ou sur la précision par exemple…
Dans tous les cas, il faut chercher un compromis entre la rapidité, la
stabilité et l'erreur statique, en respectant les conditions imposées dans un
cahier de charge dicté par l’utilisateur.
Par ailleurs, l’étude des systèmes asservis analogique régulés par un PID
exploite utilement la réponse indicielle du système pour mettre en exergue :
* Le dépassement : (overshoot) de la réponse par rapport à la consigne en
régime transitoire (qui ne doit pas généralement excéder 20%).
* Le temps de montée (rise time) qui représente le temps nécessaire au
système pour passer de 10% à 90% de la consigne, et qui caractérise la dynamique
du système.
* Le temps de réponse (settling time) qui est le temps nécessaire à un
système pour atteindre en régime établi 5%( ou 2%) de sa consigne.
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
11 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
Cette étude aboutit à déterminer les coefficients du PID en analogique
conformément à la satisfaction des performances demandées au système régulé.
Il est aisé ensuite de discrétiser le PID analogique ainsi obtenu pour avoir son
expression numérique qu’on implante dans une boucle de commande d’un système
discret.
Notons qu’il existe une méthode directe pour calculer les coefficients d’un PID
numérique qui exploite, comme la méthode de Ziegler-Nichols en analogique, une
approche empirique (Basée sur l’expérimentation), que nous n’évoquons pas ici.
VIII-4-2 : Expressions numériques du régulateur PID
VIII-4-2-a Approximation de l’intégrale et de la dérivée
En partant d’un régulateur analogique dont l’expression :
])(
)(1
)([)(0
dt
tdTd
TtKtu d
t
i
p
εττεε ++= ∫ où Ti et Td sont ses constantes
intégrale et dérivée, on peut discrétiser la loi de commande u(p) en l'évaluant à
l'instant d'échantillonnage Te .
(Pour alléger l’écriture, la période d’échantillonnageTe étant constante , on
remplace chaque fonction F(Te k) par F(k) ou Fk ).
)( pε , e(p) et y(p): sont le signal d'erreur, la consigne et la sortie.
PID Processus )( pε )( pu
)( py )( pe
-
+
Fig.38 : Boucle d’asservissement analogique commandée
par PID
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
12 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
Pour ce faire, on effectue les substitutions suivantes :
)()( kutu → , )()( kt εε →
eT
kkt
dt
d )1()()(
−−→
εεε (62)
L’expression intégrale de )(kε peut être approximée par la somme des
rectangles élémentaires eTl).(ε (voir figure 36)
.....).1().0().()(1
00
++=≈ ∑∫−
=ee
k
l
e
kh
TTTld εεεττε (63)
Dans ce cas, la loi de commande discrète s’écrit :
])1()(
).(1
)([)(1
0 e
d
k
l
e
i
pT
kkTTl
TkKku
−−++= ∑
−
=
εεεε (64)
Toutefois, la forme de la loi de commande obtenue ci-dessus se prête mal à la
programmation, à cause de l’approximation de l’intégrale.
En effet en faisant une sommation de l’entrée ε on aura besoin de mémoriser
toutes les valeurs passées de ε à partir de ∑−
=
1
0
)(k
l
lε :
……..
Pour éviter cette contrainte, on explicite l’expression )1( −ku
)0(ε )1(ε )2(ε )1( −kε
)(kε )1( +kε
)2(ε
)1(ε
)0(ε
T
Fig.39 : Approximation d’une intégrale par des rectangles
élémentaires
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
13 Mohamed AKKARI
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])2()1(
).(1
)1([)1(2
0 e
d
k
l
e
i
pT
kkTTl
TkKku
−−−++−=− ∑
−
=
εεεε
Et on calcule ensuite la différence )1()( −− kuku , il vient :
])1()(
[]).().([)]1()([)1()(2
0
1
0 e
dp
k
l
e
k
l
e
i
p
pT
kkTKTlTl
T
KkkKkuku
−−+−+−−=−− ∑∑
−
=
−
=
εεεεεε
])2()1(
[e
dpT
kkTK
−−−−
εε
L’expression intégrale se réduit alors à : )1(]).().([2
0
1
0
−=−∑∑−
=
−
=
kTT
KTlTl
T
Ke
i
pk
l
e
k
l
e
i
pεεε
Celle de la dérivée à : )2()1(2
)( −+−− kT
TKk
T
TKk
T
TK
e
dp
e
dp
e
dp εεε
En réarrangeant, il vient l’expression finale de la loi de commande par PID:
)2(.)1(.)(.)1()( 210 −+−++−= kbkbkbkuku εεε (65)
Avec )1(0
e
dp
T
TKb += ; )21(1
e
d
i
ep
T
T
T
TKb −+−= ;
e
dp
T
TKb =2
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
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14 Mohamed AKKARI
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VIII-4-2-b Discrétisation directe de la fonction de transfert du
PID analogique
La fonction de transfert étant : pKp
KKpR dip ++=1
)(
Elle peut s’écrire: )11
1()( pTpT
KpR d
i
++= (66)
Alors pour discrétiser R(p), on peut :
● Soit exploiter directement le tableau des transformées, et on obtient :
A : ]1
.1
.1
1[)(z
zT
z
z
TKzR d
i
−+
−+= (67)
Qui est la forme la plus simple mais dans laquelle la période d’échantillonnage Te
n’apparaît pas.
• Soit discrétiser :
- L’intégrale avec une période d’échantillonnage Te et un bloqueur d’ordre zéro et
on obtient dans ce cas 1−z
z
T
T
i
e
- Le terme dérivé en approximant par : eT
kk
dt
td )1()()( −−⇒
εεε d’où :
z
z
T
Tz
T
T
e
d
e
d 1)1( 1 −
=− −
Et on obtient :
B : )1
11()(
z
z
T
T
z
z
T
TKzR
e
d
i
e −+
−+= (68)
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
15 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
Notons par ailleurs que l’expression dérivée en analogique Td .p n’est pas
physiquement réalisable et l’on adopte pour la réalisation pratique du terme dérivé,
une expression où l’on multiplie Td .p par l’expression
pN
Td+1
1 appelée terme de
filtrage. (Voir annexe).
Dans ce cas, Td .p est remplacée par
pN
T
pT
d
d
+1
, où N est une constante de
filtrage comprise entre 3 et 20, (On prend généralement N ~ 10).
On aura alors une expression analogique de la fonction de transfert:
)
1
111()(
pN
T
pT
pTKpR
d
d
i +
++= qu’on va discrétiser.
Ecrivons :
)
1
111(
)()(
2
pN
T
T
pTpK
p
pRpS
d
d
i +
++==
D’ après le tableau des transformées on aura S(z) :
])1(1
[)(2
d
e
T
TN
i
e
ez
zN
z
z
T
T
z
zKzS
−
−
+−
+−
=
Comme :
)(1
]1
)()([]
)([)]([)( *0** zR
z
z
e
pRpB
p
pRpSzS
Tep −=
−===
−
Alors l’expression discrète R(z) du PID devient :
C : ]1
)1(
11[)(
d
e
T
TN
i
e
ez
zN
zT
TKzR
−
−
−+
−+= (69)
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
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16 Mohamed AKKARI
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VIII-4-2-c Discrétisation d’un PID analogique, en exploitant
l’approximation d’Euler .
Dans ce cas on aboutit à d’autres expressions de R(z) :
• En remplaçant p par eT
z 1−, dans R(p), on obtient l’expression D :
D : ]
)1(
1
)1(
11[)(
d
ei
e
T
TNz
zN
zT
TKzR
−−
−+
−+= (70)
• En remplaçant p par z
z
Te
1.
1 −, dans R(p), on obtient l’expression E :
E : ]
1)1(
1
)1(1[)(
−+
−+
−+=
zT
TN
zN
z
z
T
TKzR
d
ei
e
(71)
• En remplaçant p par 1
1.
2
+
−
z
z
Te
, dans R(p), on obtient l’expression F:
F : ]
)2
1()1(
1
)1(
1
21[)(
d
e
d
ei
e
T
TNz
T
TN
zN
z
z
T
TKzR
−−+
−+
−
++= (72)
Ces différentes variantes de l’expression d’un PID numérique sont toutes
équivalentes. Toutefois, une forme standard est généralement utilisée, qui consiste
à appliquer l’approximation d’EulereT
z 1− pour numériser l’intégrale, et
l’approximation z
z
Te
1.
1 − pour numériser le terme dérivateur.
Dans ce cas, la forme standard d’un PID numérique (qu’on retient par la suite) est:
]
1)1(
1
)1(
11[)(
−+
−+
−+=
zT
TN
zN
zT
TKzR
d
ei
e (73)
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
17 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
VIII-4-3 : Le PID numérique dans une boucle d’asservissement
Comme dans une boucle analogique, le régulateur R(z) est placé en amont du
processus discrétisé que l’on souhaite régler. e(z) étant l’écart entre la consigne
Yc(z) et la sortie Y(z) et u(z), sortie de R(z).
Un autre schéma d’implantation où il y’a séparation des trois actions est :
]
1)1(
1
)1(
11[
−+
−+
−+
zT
TN
zN
zT
TK
d
ei
e
+
-
H(z) Y(z)
e(z)
Yc(z)
u(z)
Fig. 40 : Première configuration de l’implantation d’un PID
numérique
K
Proportionn
el
Intégr
al
Gai
1)1(
1
−+
−
zT
TN
zN
d
e
)1(
1
−zT
T
i
e
Dérivateu
r
H(z) +
+
+
+ -
u(z) Y(z)
Yc(z)
e(z)
Fig. 41 : Deuxième configuration de l’implantation d’un PID
numérique
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
18 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
Pour palier certains inconvénients liés à des phénomènes de fortes variations de
u(z), et provoqués par le dérivateur, on évite de dériver le gain comme c’est
explicité dans le schéma ci-dessous.
-
Exemple d’implantation d’un régulateur PID analogique et numérique
Le schéma de câblage suivant représente un système électromécanique.
établi dans l’environnement Simulink de Matlab.
On réalise une première simulation numérique sur ce système analogique asservi
(voir schéma ci-dessous) représenté dans une boite entrée-sortie.
K
Proportionn
Intégr
al Gai
1)1(
1
−+
−
zT
TN
zN
d
e
)1(
1
−zT
T
i
e
Dérivateu
H(z)
+ +
+
+ -
u(z) Y(z)
Yc(z)
e(z)
Fig. 42 : Troisième configuration de l’implantation d’un PID
numérique
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
19 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
La simulation est réalisée simultanément sur le système sans régulation et avec
régulation avec un PID dont les coefficients sont choisis judicieusement.
D’après les courbes obtenues grâce à cette simulation, nous constatons que la
sortie y(t) présente une précision de piètre qualité pour le système non commandé,
alors que cette sortie, pour le système commandé par un PID atteint sa consigne
imposée après 20 secondes et s’y maintient accusant en régime transitoire un
dépassement qui n’excède pas 5%.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
20
40
60
80
100
120
Evolution du système commandé
Evolution du système non commandé
(n'atteint pas la consigne)
Simulation du système analogique
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
20 Mohamed AKKARI
Université Virtuelle de Tunis
Nous réalisons ensuite une simulation du système asservi discrétisé et commandé
(voir schéma ci-dessous), où un échantillonneur bloqueur d’ordre zéro échantillonne
la chaîne directe contenant le PID et le processus, avec une période
d’échantillonnageTe correctement choisie.
On constate alors que le PID numérique apporte un meilleur résultat sur la sortie
du système discret, puisque cette sortie atteint sa consigne en 15s et s’y
maintient, en n’accusant aucun dépassement.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
20
40
60
80
100
120
Commande par PID numérique
Les systèmes asservis linéaires échantillonnés
Stabilité et précision des systèmes discrets
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VIII-5 : commande par retour d’état
VIII-5-1 : Introduction
Nous avons vu que la représentation d'état discrète d’un processus (en boucle
ouverte) est régie par les équations (où D=0 ):
X (k+1) = F. X (k) + G. u (k) (74)
y (k) = C. X (k)
Le schéma fonctionnel est représenté dans la figure 43 :
Avant d’aborder l’approche de commande par retour d’état de ce système, il
convient de rappeler que :
• L’on peut déduire la fonction de transfert en boucle ouverte de ce système, à
partir de (74).
En effet, le passage à l’expression en Z de (74) donne
zX(z)= F.X(z)+ G.U(z) etY(z) = CX(z)
d’où (z.I-F)X(z) = G.U(z) donc X(z) = (z.I-F)-1.G.U(z) Comme Y(z) = C.X(z)
alors Y(z)= C. (z.I-F)-1.G.U(z)
GFzICzU
zYzH .)(
)(
)()( 1
0
−−== (75)
Q
F
X (k+1) X(k) v (k) y(k) +
+
C G
Fig. 43 : Schéma fonctionnel de la représentation d’état
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• Si un système est régi par le formalisme « fonction de transfert », l’étude de
sa stabilité en boucle fermée, porte sur la position de ses pôles.
[ Zéros du dénominateur de la fonction de transfert en boucle fermée de Hf(p)
ou de Gf(z) ].
Pour les systèmes analogiques, ces pôles doivent tous avoir leur partie réelle
strictement négative. Pour les systèmes discrets, les pôles doivent avoir leur
module strictement inférieur à un.
Ainsi, pour l’étude de la stabilité, on est amenée à résoudre l’équation
caractéristique 0)(1)( 0 =+= pHpP en analogique ou 0)(1)( 0 =+= zGzP en
numérique. Le polynôme P représente le dénominateur de Hf(p) ou Gf(z), sur les
racines duquel on doit vérifier les conditions assurant la stabilité.
• Par contre, si le système est décrit par une représentation d’état, continue
ou discrète, l’étude de la stabilité est menée sur 0)( =− ApIDet pour les
systèmes à temps continu et sur 0)( =− FzIDet pour les systèmes à temps
discret.
En effet, il y’a une équivalence directe entre 0)( =pP et 0)( =− ApIDet , de
même que pour les systèmes discrets. (Voir formules (39) et (45) du chapitre
représentation d’état).
VIII-5-2 : La commande par retour d’état
Cette commande réalise une boucle fermée sur le système (74), par
l’implantation d’une loi de commande de la forme :
u(k)= e(k)-K.X(k) (76)
Qui prend en compte, outre la consigne v(k), l’évolution du vecteur X(k)
K est appelée matrice de contre réaction d’état.
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Cette commande impose toutefois que le système étudié soit gouvernable, ce qui,
par définition, doit vérifier :
Rang [G F. G F 2 . G…..F nG] = rang du système (77)
IX-5-2-a : Calcul des coefficients de la matrice de réaction d'état K
Les éléments de la matrice K sont calculés à partir de la représentation d'état du
système initial et de la satisfaction de la dynamique que l’on souhaite obtenir en
boucle fermée.
Pour ce faire, il faut imposer un nouveau polynôme caractéristique, dont les zéros
sont choisis tel que le système en boucle fermée satisfasse à certaines conditions
imposées.
Etapes à suivre
♦ On impose en premier lieu les nouveaux pôles de la fonction de transfert en
boucle fermée souhaitée: soit z1, z2, .. ……………… zn
Une nouvelle expression Paf (z) du dénominateur de la fonction de transfert Hf(z)
qui remplace le dénominateur initial Pbf (z) est alors établie.
Paf (z) = (z – z1)(z – z2)……(z – zn) = z n +an-1 z + an-2 z n-2+……a0
Au lieu de Pbf (z)= z n +bn-1 z n-1 + bn-2 z n-2+……b0
Q
F
X (k+1) X (k) u y (k) +
+
C G
+
-
e (k)
K
Fig. 44 : schéma dune représentation discrète compensée par
Processu
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On obtient les coefficients ai du nouveau polynôme caractéristique Paf (z).
qu’on compare aux coefficients bi du polynôme caractéristique initial Pbf .
Dans le cas d'un système mono variable, les éléments de la matrice K sont alors
calculés par la formule de Bass-Gura:
11 )],([])[( −−−= GFGAbaK gouv
T
Topli
TTT (78)
Où a = [ an-1 an-2 ……a0 ] (Coefficients de Paf )
b = [ bn-1 bn-2 ……b0 ] (Coefficients de Pbf )
1−T
TopliA est la transposée de l’inverse de la matrice de Topliz construite selon
l’approche suivante :
♦ On construit la matrice de Toplitz ATolpi
ATolpi de Toplitz, se construit à partir des coefficients de Paf
1 0 0 ……. 0
a n-1 1 0 …… 0
a n-2 a n-1 1 ……. 0
a n-3 a n-2 a n-1 …….. 0
…. ….. …..
♦ On établit ensuite la matrice de gouvernabilité du système échantillonné
Ggouv (F,G) = [G F. G F 2 . G...... F n .G]
Pour finalement calculer KT par 11 )],([])[( −−−= GFGAbaK gouv
T
Topli
TTT
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VIII-5-2-b : Etude du régime permanent
En plus de la détermination de la matrice de contre réaction K, l’étude doit être
complétée par le calcul de l’expression du gain par lequel il faut corriger le
système compensé pour qu’en régime permanent, on obtienne une sortie y (k) = e
(k).
On pose alors v (k) = g. e (k) (79)
et on calcule le gain « g » qui conduit à la satisfaction de y (k) = e (k)
L’expression de la nouvelle commande u (k) = g. e (k) - K. X (k).
est reportée dans l’expression de la représentation d’état :
X (k+1) = F. X (k) + G. u (k) = F.X(k)+ G[ g.e(k) - K.X(k) ].
Donc X (k+1) = ( F - G.K ).X(k) + G.g.e(k)
Par ailleurs, en régime permanent, le système étant soumis à une entrée e(k)
constante on doit avoir X (k+1) =X (k), ce qui conduit à l’expression finale:
X (k) = [I – F – G.KT] -1.G.g.e (k) (80)
Comme y (k) = C.X (k), et que l’on souhaite avoir y (k) = e (k) alors :
Q
F
X (k+1) X (k) u
(k)
y (k) +
+
C G
_
e (k)
K
Fig. 45 : schéma dune représentation discrète compensée par retour d’état et
g v (k)
Processus
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y(k) = e(k)= CX (k) = C. [I – F – G.KT] -1.G.g.e (k)
D’où l’expression du gain :
GGKFICg
T .][
11−−−
= (81)
Remarque : Pour déterminer les coefficients de K, on peut opérer une démarche
plus directe qui consiste à faire un passage en z de :
X (k+1) = ( F - G.K ).X(k) + G.g.e(k) pour obtenir
( zI - F + G.K)X(z)=G.g.e(z)
Sachant que le polynôme caractéristique Pf(z) n’est autre que le déterminant de
(zI-F + G.K) (voir formule 45), alors :
Det (zI – F + G.K) = Pf(z) (82)
Où Pf(z) est le polynôme caractéristique dont les coefficients sont imposés. La
matrice ligne K est donc déterminée directement en résolvant l’équation (82), où
les seuls inconnus sont les coefficients de K.
Plusieurs logiciels de calcul sont disponibles qui permettent de déterminer les
coefficients de la matrice K ainsi que le gain « g » d’une manière rapide, évitant
d’opérer manuellement un calcul matriciel fastidieux.
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Exemple
Dans ce qui suit, on traite un exemple de commande par retour d’état en s’appuyant
sur les potentialités offertes par le logiciel MATLAB :
Soit un système continu dont la représentation d’état est :
)();()()( tCXYtBUtAXtX =+=•
où les éléments des matrices A, B, et C sont
données numériquement en analogique, suite à une modélisation d’un système
électromécanique (non étudié ici).
* Calculer une loi de commande discrète par retour d’état qui confère en boucle
fermée les performances sur la sortie Y du système, imposées par un placement
des pôles à z 1= 0.4 , z 2 = 0.2+0.4j et z 3 = 0.2-0.4j].
% On introduit A, B, et C par une syntaxe qui définit les matrices sur MATLAB:
A=[0 1 0 ; -0.5 -0.5 0.2; 0 -0.02 -1];
B=[0 0 0; 0 0 0; 0.1 0 0];
C=[1 0 0]; D=0 ;
% La syntaxe suivante définit la représentation d'état
% continue et permet d’opérer le calcul du vecteur d’état
% et la sortie du système en réponse à une entrée donnée.
SYS = SS(A,B,C,D); ( SS veut dire state space)
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% La représentation d'état discrète X(k+1)=FX(k)+GU(k);
% y(k)=CX(k),avec une période d’échantillonnage Te = 0.5s % est
calculée par :
SYSD = c2d(SYS,0.5) (c2d veut dire continue to discrete)
% les deux matrices F et G sont du système discret sont
% alors compilées. C et D demeurent inchangées,on trouve:
F=[0.943 0.4332 0.01936;-0.2166 0.726 0.06728;0.0009 -0.0067 0.6062 ];
G=[0.00034; 0.00193; 0.03934]; C=[1 0 0]; D=0;
% POUR LE CALCUL DE LA MATRICE K DE LA CONTRE REACTION, ON IMPOSE
D’ABORD LES NOUVEAUX PÔLES :
p = [0.4 0.2+0.4j 0.2-0.4j];
% La syntaxe « place » de Matlab permet le calcul direct
% des coefficients de la matrice de retour d’état K :
K = place(F,G,p)
% LA NOUVELLE MATRICE D’ETAT DU SYSTEME CORRIGE
Fc=F-G*K’; % [K’ signifie transposée de K]
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% POUR LE CALCUL DU GAIN ON SE REFERE A LA FORMULE (81)
g=1/(C*inv(eye(3)-Fc)*G)
% LE SYSTEME AINSI CORRIGE DEVIENT:
sysd=ss(Fc,G*g,C,D);
Ob=obsv(sysd); % vérification de l'observabilité:
det(Ob);
C0=ctrb(Fc,G*g); % vérification de la contrôlabilité
rank(C0) ;
% Tracé des courbes discrètes du système corrigé en
% réponse à un échelon.
T=0:1:20;
n=size(T,2);
U=ones(n,1); % Echelon unitaire d’entrée
[yd,T,xd]=lsim(sysd,U,T);
plot(T,yd),grid
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%CALCUL DE LA LOI DE COMMANDE COMM :
COMM = k*U'-K*xd'
% Tracé de l'évolution de la loi de commande:
stairs(T,U,'r'),grid
Courbes de l’évolution de la sortie du système non commandé
0 5 10 15 20 25 300
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Temps en s
Am
plitude
Réponse du système continu en boucle ouverte
Consigne
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Temps
Module
Réponse du système discret en boucle ouverte
Consigne
Commentaire I :
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On constate sur les deux premiers graphiques, que le système étudié, qu’il soit
présenté en analogique ou en discret, sans correction,fournit une réponse à un
échelon d’entrée de 100v, qui se stabilise respectivement après 10s et après 5s.
La précision est médiocre tant en continu qu’en discret puisque la sortie est loin
d’atteindre la consigne imposée.
Courbes de l’évolution de la sortie du système commandé
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Temps
Am
plit
ude
Réponse du système commandé par une réaction d'état
Consigne
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
Temps
Amplitude
Evolution de la commande
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Commentaire II :
Sur le premier graphique, on constate que la réponse indicielle du système discret
corrigé par une contre réaction d’état fournit une réponse indicielle qui se stabilise
à 4.5s environ c'est-à-dire qu’il possède une bonne dynamique. On constate
également que la sortie atteint la consigne imposée (échelon unitaire) et s’y
maintient (Bonne précision).
En outre, la réponse n’accuse pas de dépassement par rapport à la consigne donc
pas d’oscillations (Bonne stabilité).
Le graphique représentant l’évolution de la commande montre que celle –ci, pour
intervenir sur le système en vue de le corriger, réagit rapidement pendant une
seconde passant de 275v à -140v puis décroît pour se maintient à environ 30v dès
que le système atteint son régime permanent.
VIII-6: Commande par approche polynomiale (Régulateur RST)
[ T : Tracking ( poursuite ) ; S : Simplify ; R : Return]
VIII-6-1:Introduction
Même si 90% des boucles de régulation et asservissement utilisent une structure
PID classique, et bien que le PID soit relativement facile à calculer, il n’est pas
toujours évident d’obtenir de bonnes performances sur le processus commandé par
PID, surtout si ce processus :
▪ Possède un retard pur important,
▪ Ses caractéristiques dynamiques varient en cours de fonctionnement,
▪ Son ordre est supérieur à 2.
▪ Le dépassement de la consigne imposée n’est pas toléré.
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Le régulateur RST, est exploité dans une représentation « fonction de transfert »
pour permettre la commande d’un système dont la fonction de transfert en boucle
fermée Hf(z) sera modifiée par l’implantation de trois polynômes R(z), S(z) et T(z)
disposés dans une boucle d’asservissement tel que c’est présenté dans la figure 45
pour aboutir à une loi de commande qui tient compte des coefficients de ces
polynômes et satisfait les performances souhaitées. Ainsi le système commande
peut-il :
▪ Gérer la dynamique de poursuite (asservissement) et la dynamique de réjection
de perturbation (régulation) d’une manière indépendante.
▪ Spécifier indépendamment le temps de montée et le dépassement sur la
consigne.
▪ Tenir compte du retard pur du processus.
▪ Assurer une régulation robuste vis à vis :
- des variations du processus,
- des changements des points de consigne….,
)( 1−zS )( 1−
zT H0(z) Y Yc U +
-
Fig. 46 : Schéma bloc d’une commande
)( 1−zR
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VIII-6-2: Données sur le système à commander :
* Le processus discret est régi par une fonction de transfert en boucle ouverte
)(
)()(0
zA
zBzH = .
Notons que les fonctions de transfert du système étudié peuvent porter sur la
régulation de correspondance Hm(z) ( Par rapport à une consigne) ou sur la
régulation de maintien Gp(z) ( Par rapport à une perturbation).
Correspondance : )().()().(
)().(
)(
)()(
zSzBzRzA
zTzB
zA
zBzH
m
m
m+
== (83)
Maintien : )().()().(
)().()(
zSzBzRzA
zRzBzG p
+= (84)
Nous avons choisi de traiter ici uniquement le cas relatif à la régulation de
correspondance, soit Hm(z) .
* La loi de commande est par ailleurs régie par l’équation :
)()(
)()(
)(
)()( zY
zR
zSzY
zR
zTzU
c −= (85)
VIII-6-3: Données sur le modèle à poursuivre
* Les performances désirées en asservissement doivent être spécifiées dans un
modèle à poursuivre , imposé par l’utilisateur et qui, en boucle fermée, est
exprimé sous la forme d’une fraction rationnelle en z :)(
)(
)(
)()(
zY
zY
zA
zBzH
c
m
m
m ==
qu’on identifie à )().()().(
)().(
zSzBzRzA
zTzB
+
Et qu’on doit choisir avec grand soin :
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* Il faut d’abord que Hm(z) soit choisie de sorte que l’erreur statique 0)( =∞ε
soit nulle ( On peut, dans certains cas d’études, imposer également une condition
sur l’erreur de traînage. Il faut alors expliciter l’expression de )(∞vε en réponse
à une entrée rampe discrète.
L’erreur statique, découle de l’expression : )()()( kykyk c −=ε , et on a
)]()()[1(lim)]()([lim0)( 1 zYzYzkykyc
z
c
k −−=−==∞ →∞→ε (86)
or )()()( zHzYzY m
c=
et Yc(z) est une entrée unitaire 1
)(−
=z
zzY
c
En remplaçant dans (84), on trouve que Hm(z) doit vérifier :
1)1( =mH (87)
* Le dénominateur Am(z) de Hm(z) doit avoir comme zéros les valeurs imposées
par l’utilisateur en fonction de la dynamique qu’il aura choisie.
* Le numérateur Bm(z) contiendra les zéros non compensés du système comme on
le verra plus loin.
* L’implantation des trois polynômes R(z), S(z), et T(z) permet de calculer leurs
coefficients dans le but de satisfaire les performances qui peuvent porter sur la
précision, le taux de dépassement, la réponse indicielle, la durée de réglage, ou la
bande passante en boucle fermée … à partir donc de l’identification de
l’expression )().()().(
)().(
zSzBzRzA
zTzB
+ au modèle à poursuivre
)(
)()(
zA
zBzH
m
m
m = qui
résume ces performances .
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On suit les étapes suivantes pour le diagnostic du système étudié guidant vers le
choix des pôles à placer. Les conditions imposées aux degrés des polynômes et la
détermination des coefficients de ces polynômes sont alors liées au choix de ses
pôles et au choix de la dynamique ciblée:
VIII-6-4: Synthèse de dimensionnement des polynômes R S T
On traite d’abord la fonction de transfert en boucle ouverte du système initial
)(
)()(0
zA
zBzH = :
VIII-6-4-a On décompose B(z) :
)().()( zBzBzB −+= (88)
* B+(z) représente les zéros dont le module est inférieur à un
* B-(z) représente les zéros dont le module est supérieur à un
VIII-6-4-b: Le polynôme Bm(z) numérateur du modèle choisi Hm(z),
doit donc contenir B-(z) afin de s’assurer qu’aucun zéro
de H0(z) dont le module est supérieur à “ un ” ne sera
compensé.
On pose donc )().()('
zBzBzB mm
−= (89)
Le polynôme )('
zBm reste à déterminer.
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VIII-6-4-c:Pour que B+(z) soit compensé, la seule possibilité, pour
permettre une simplification du dénominateur de
)().()().(
)().(
zSzBzRzA
zTzB
+ est qu’il le soit par le polynôme R(z)
[ donc R(z) doit contenir B+(z) ].
)().()( ' zRzBzR += (90)
La fonction de transfert en boucle fermée relative au schéma de la figure 45
est donc: )().()().(
)().()(
zSzBzRzA
zTzBzH f
+=
Comme )(zH f doit être identifiée à
)(
)()(
zA
zBzH
m
m
m = , alors :
)().().()().().(
)().().(
)().()().(
)().(
)(
)()(
' zSzBzBzRzBzA
zTzBzB
zSzBzRzA
zTzB
zA
zBzH
m
m
m +−+
+−
+=
+==
Or )()()('
zBzBzB mm
−= donc )(.)()().(
)().(
)(
)().('
'
zSzBzRzA
zTzB
zA
zBzB
m
m
−
−−
+=
Ces deux fractions sont égales, mais on ne peut identifier respectivement leurs
numérateurs et leurs dénominateurs que si l’on introduit un polynôme A0(z) normé,
appelé polynôme observateur, et choisi par le concepteur.
Généralement αzzA =)(0 mais peut aussi être choisi par une expression
0
1
10 ...)( azazzA ++= −αα
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En tout cas A0(z) doit satisfaire une condition bien définie sur son degré comme il
sera exposé plus loin. Il faut également qu’impérativement les zéros de A0(z)
soient situés à l’intérieur du cercle unité (pour la stabilité).
)(.)()().(
)().(
)(
)(.
)(
)().('
0
0
'
zSzBzRzA
zTzB
zA
zA
zA
zBzB
m
m
−
−−
+= (91)
On peut alors établir :
)().()().()().( '
0zSzBzRzAzAzAm
−+= (92)
et en multipliant par B+(z) et en exploitant (88) et (89), on obtient
)().()().()().().(0
zSzBzRzAzAzAzB m +=+ (93)
Cette formule, appelée équation de Diophante, sera exploitée ultérieurement pour
le calcul des coefficients des polynômes.
En imposant aux deux numérateurs de (84) d’être égaux on aura aussi:
)().()(0
'zAzBzT m= (94)
VIII-6-4-d:On vérifie les contraintes sur le degré de chaque
polynôme pour assurer la causalité
( i.e : Faisabilité, conditionnée par le fait qu’une fraction
rationnelle doit avoir le degré de son dénominateur
strictement supérieur au degré de son numérateur):
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D°[A] ≥ D°[B]
D°[Am] - D°[ Bm] ≥ D°[A] - D°[ B]
D°[A0] ≥ 2. D°[ A] - D°[Am] - D°[ B+] -1 (95)
D°[ R] ≥ D°[S]
D°[ R] ≥ D°[T]
VIII-6-4-e:On impose les conditions sur l’égalité des degrés des polynômes:
D°[R] = D°[B+] + D°[A0] + D°[Am] - D°[A]
D°[S] = D°[A] -1 (96)
D°[T] = D°[A0] + D°[ B’ m]
VIII-6-4-f:On calcule les coefficients ri , sj et ak des polynômes R , S et A0
A
AAAazazazzA δ
δδδ ++++= −− ....)( 2
2
1
1
R
RRRrzrzrzzR δ
δδδ ++++= −− ....)( 2
2
1
1 (97)
B
BBBbzbzbzbzB δ
δδδ ++++= −− ....)( 2
2
1
10
S
SSSszszszszS δ
δδδ ++++= −− ....)( 2
2
1
10
0
00 ....)(1
10 A
ASAzzzA δ
δδ αα +++= −
En remplaçant A(z), R(z), B(z) , S(z) et A0 par leurs expressions dans
l’équation: )().().()().()().( 0 zAzAzBzSzBzRzA m
+=+
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et en opérant une identification des coefficients terme à terme selon les
puissances de z à )().().( 0 zAzAzB m
+ où A0 vérifie :
D°[A0] ≥ 2. D°[ A] - D°[Am] - D°[ B+] -1
B+ et Am étant connus, on peut déterminer les ri et les sj et ak .
Les coefficients du polynôme T sont déterminés à partir de l’équation (110)
Remarque 1 : si la fonction de transfert)(
)()(0
zA
zBzH = ne comporte pas
d’intégrateur, il faut que le polynôme R(z) contienne une intégration pour
permettre l’élimination de l’erreur statique :
(98)
Remarque 2 : Il est commode pour mener une simulation numérique, d’exprimer
les fonctions de transfert et les polynômes en z-1.
R(z-1) = r0 + r1 z-1 + …. + rn z
-n
S(z-1) = s0 + s1 z-1 + …. + sm z-m
T(z-1) = t0 + t1 z-1 + …. + tp z
-p
)()1).(()( zQzzBzR −= +
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Exemple 1:
Préliminaire : Soit un système asservi défini en boucle ouverte par sa fonction de
transfert 64.016.0
64.0)(
2 ++=
pppG
C’est un système de deuxième ordre caractérisé par une pulsation propre comme
8.00 =ω et un faible facteur d’amortissement 1.0=ξ
Il est fortement oscillatoire comme le montre sa réponse indicielle, tracée en
exploitant le logiciel Matlab :
G=tf(0.64,[1 0.16 0.64]); %tf: syntaxe transfert function
Gf=feedback(G,1) % Fonction de transfert en boucle ouverte
step(Gf),grid % step: réponse indicielle)
0 10 20 30 40 50 60 700
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Temps(s)
Amplitude
Step Response
Time (sec)
Amplitude
Réponse indicielle d'un 2° ordre fortement oscillatoire
La discrétisation de G(p) sur Matlab avec une période d’échantillonnage inférieure
à sa plus petite constante de temps, soit sT e 5.0= donne :
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H= c2d(G,0.5) (syntaxe du passage du continu au discret)
0.07688 z + 0.07485
H0(z) = ----------------------
z^2 - 1.771 z + 0.9231
Step(G,H,30),grid
Le système discret est aussi très oscillatoire comme le montre sa réponse
indicielle qu’on a superposée à la réponse indicielle continue pour comparer.
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (sec)
Amplitude
Superposition du système continu et système discret
Objectif : On veut calculer un régulateur R S T qui confère au système en
boucle fermée un comportement d’un deuxième ordre de avec 8.0=ξ et
4.10 =ω
Cet exemple est simple car H0(z) ne contient pas de zéros de module supérieur à
un.
A-1 : Utilisons la syntaxe Zpk(H0)
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Pour mettre H0(z) sous la forme : 9231.0771.1
)9735.0.(076881.0
)(
)()(
20+−
+==
zz
z
zA
zBzH
A-2 : Les zéros de H0(z) doivent être décomposés en zéros de modules
supérieurs à ‘ un ‘ )(zB−
, et en zéros de modules inférieurs à ‘ un’ )(zB+
9231.0771.1
)().(
)(
)(2 +−
=−+
zz
zBz
zA
zB B
On a )9735.0.(076881.0)( += zzB
Comme il n’y a pas de zéro de module supérieur à un, on peut être tenté de
poser 1)( =−zB ; )9735.0(076881.0)( +=+
zzB , or le zéro
9735.0−=z est jugé trop proche de « un » et peut être la source d’oscillations.
Pour éviter cet état de fait on préfère plutôt choisir :
)9735.0(076881.0)( +=− zzB qu’on ne compense pas et 1)( =+ zB
B) Construction de la fonction de transfert du modèle à poursuivre
)(
)()(
zA
zBzH
m
mm =
Détermination du dénominateur )(zAm :
)(zAm doit se comporter comme un système de deuxième ordre avec 8.0=ξ
4.10 =ω .
* On Calcule par Matlab un deuxième ordre analogique avec 8.0=ξ et 4.10 =ω
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[Nbf,Nbf]=ord2(1.4,0.8) % (Construction d’un deuxième ordre)
* On discrétise ce deuxième ordre avec Te =0.5s par la syntaxe :
zp=exp(0.5*roots(dbf)
afin de calculer les racines discrètes z1 et z2
On trouve z1 = 0.5216 + 0.2329i et z2 = 0.5216 - 0.2329i
* Calcul du dénominateur Am(z) :
Am=[1 -zp(1)-zp(2) zp(1)*zp(2)] ce qui donne :
2121
2
21 )())(()( zzzzzzzzzzzAm ++−=−−=
On souhaite obtenir un gain statique égal à 1, alors :
1)1(
)1()1( ==
m
mm
A
BH
Alors on choisit le numérateur gzBzBm ).()( =
D’où :
3263.00431.1
).9735.0(07688.0
)(
)()(
2 +−
+==
zz
gz
zA
zBzH
m
mm
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Et on impose :
13263.00431.11
).97357.01(07688.0
)1(
)1()1(
2=
+−
+==
g
A
BH
m
mm
D’où :
888.1=g
Finalement : 3263.00431.1
)9735.0(145.0
)(
)()(
2 +−
+==
zz
z
zA
zBzH
m
mm
C) Vérification des conditions sur les degrés de R, S, T et A0 :
C -1 )]([)]([)]([)]([ zBDzADzBDzAD mm
°°°° −≥−
C -2 gzzBzBzBm ).9735.0(07688.0)().()( +== ∗−
C -3 2)]([ =° zAD m
D) Identification des polynômes R, S, T et du polynôme d’observation A0
D -1
1)]([)]([)]([2)]([ 0 −−−≥ +°°°°zBDzADzADzAD m
11024)]([ 0 =−−−≥°zAD donc zzA =)(0 ( Polynôme normé )
D -2
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1)]([)]([)]([)]([ 0 =−+= °°°° zADzADzADzRD m
1]212)]([ =−+=°zRD Donc 0)( rzzR += (Normé)
D -3 11)]([)]([ =−= °° zADzSD alors 01)( szszS +=
E : Calcul des coefficients des polynômes R, S, et T
On exploite l’égalité de Diophante pour calculer r0 et s0:
)().()().()().( 0 zSzBzRzAzAzAm
−+=
=+− zzz ).3263.00431.1( 2
))(9735.0(076881.0))(9231.0771.1( 010
2szszrzzz +++++−
En identifiant terme à terme on trouve :
365.0)( += zzR
77.453.4)( +−= zzS
)(.)().1()( 00
' zAgzABzT m ==
Or )1(
)1()1('
−=
B
AB m
m (Car 1)1(
)1().1(
)1(
)1()1(
'
===−
m
m
m
m
mA
BB
A
BH )
86.115.0
28.0)1(
' ==mB
D’où : zzT 86.1)( =
D’où la loi de commande numérique : )()(
)()(
)(
)()( zY
zR
zSzY
zR
zTzU C −=
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A.N : )(365.0
77.453.4)(
365.0
86.1)( zY
z
zzY
z
zzU
C
+
+−−
+=
D’où l’équation récurrente, sous forme d’algorithme aisément programmable:
11 77.453.486.1365.0 −− −++−= kk
c
kkk yyyuu
On constate sur le schéma ci-dessous, obtenu par simulation numérique, la
performance sur la réponse indicielle du système corrigé, qui atteint sa consigne
imposée en 8 s avec un très faible dépassement, performance qu’on peut apprécier
à sa juste valeur, comparée à celle de la réponse indicielle du système non corrigé :
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Temps
Am
plitude
Step Response
Time (sec)
Am
plitude
Réponseindicielle du système compensé par RST
Répons indicielle du système initial (trés oscillatoire)
Exemple 2: soit le système défini par sa fonction discrète en boucle ouverte :
5.08.12.2
)3.0)(2(05.0
)(
)()(
230−+−
++==
zzz
zz
zA
zBzH
Diagnostic :
1° Ce système contient un zéro = -2 situé en dehors du disque unité.
2° par la syntaxe zpk(H0) on obtient sa mise en facteur de H0(z).
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)8565.0616.1)(5838.0(
)3.0)(2(05.0
)(
)()(
20+−−
++==
zzz
zz
zA
zBzH
A partir de cette expression on déduit que le système a un pôle z1 = 0.5838 et
deux pôles conjugués Z2/3 = 0.8080 ±0.4513i dont le module égal à 0.9255 est
jugé très proche de l’unité.
3° Par ailleurs, sa réponse indicielle fait apparaître un caractère très oscillatoire
avec un dépassement supérieur à 40% et une précision médiocre.
Step Response
Time (sec)
Am
plitude
0 10 20 30 40 50 60 700
0.5
1
1.5
2
2.5
3
System: H
Time (sec): 45.2
Amplitude: 2
System: H
Peak amplitude: 2.76
Overshoot (%): 41.4
At time (sec): 8
System: H
Rise Time (sec): 3.14
On se propose de calculer un régulateur RST qui permet de placer les pôles à
z1=0.3 et Z2/3 = 0.2 ± 0.3i afin d’améliorer les performances de ce système et
d’établir la loi de commande correspondante.
Démarches :
1° Définition du modèle à poursuivre :
On décompose le numérateur de H0(z)
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)2)(3.0(05.0)().()( ++== −+zzzBzBzB
2)( +=−zzB ne doit pas être compensé, donc doit se trouver dans le
numérateur du système à poursuivre Hm(z)
)().2()('
zBzzB mm +=
Le dénominateur de Hm(z) doit être constitué des pôles choisis par le concepteur
z1=0.3 et Z2/3 = 0.2 ± 0.3i
)3.02.0)(3.02.0)(3.0()( izizzzAm +−−−−=
Donc )3.02.0)(3.02.0)(3.0(
)(')2()(
izizz
zBzzH m
m+−−−−
+=
Pour avoir un gain statique unitaire, il faut que :
1)3.02.01)(3.02.01)(3.01(
)21()1( =
+−−−−
+=
ii
kH m d’où 17.0=k
)3.02.0)(3.02.0)(3.0(
)2(17.0)(
izizz
zzH m
+−−−−
+=
2313)]([)]([)]([)]([ −−=−≥− °°°°fzBDzADzBDzAD mm est satisfaite
2° Définition des polynômes:
2°-1 : polynôme d’observation A0(z)
On a D°[A0] ≥ 2. D°[ A] - D°[Am] - D°[ B+] -1 = 2*3 – 3 – 1= 2
On choisit alors un polynôme d’ordre deux normé.
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A0(z) = z2 + a1z + a0 qui doit toutefois avoir ses zéros à l’intérieur du disque unité.
2°-2 : Polynôme R (z)
On constate que )(0 zH ne contient pas d’intégration, pour éliminer l’erreur
statique il faut alors que R(z) en contienne.
Comme )().()( 'zRzBzR
+= on doit donc avoir :
1..);()1).(()( =−= + ααaveczQzzBzR d’où )().1).(3.0(055.0)( zQzzzR −+=
Or, D°[R] = D°[B+] + D°[A0] + D°[Am] - D°[A]=1 +3 – 2 + 3 – 3=2
Donc D°[Q]=1 qui doit être un polynôme d’ordre deux normé.
Alors ))(1).(3.0(055.0)( 0qzzzzR +−+=
2°- 3 : Polynôme S(z)
De l’équation de Diophante )().()().()().( 1
0zSzBzRzAzAzAm
−+=
on peut déduire le degré de S(z) :
01)( szszS +=
2°- 4 : Polynôme T(z)
0
' .)( ABzT m= or 4.3)2(05.0
)2(17.0' =+
+==
−z
z
B
BB m
m
)(4.3.)( 00
'zAABzT m ==
3° Calcul des coefficients des polynômes
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On remplace dans )().()().()().( 1
0zSzBzRzAzAzAm
−+= chaque polynôme par
son expression :
))(3.02.0)(3.02.0)(3.0( 01
2 azazizizz +++−−−− =
))(1)(3.0(055.0*)5.08.12.2( 0
23qzzzzzz +−+−+− + ))(2( 01 szsz ++
En développant les deux membres de cette égalité et en identifiant les termes
affectés au mêmes puissances en z, on détermine les coefficients
a0 a1 s0 s1 q0
La réponse indicielle, portée dans le schéma ci-dessous montre que le système ainsi
commandé n’est plus oscillatoire et qu’en plus il atteint sa consigne sans
dépassement au bout de 5s.
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plitude