contribution a

G. AYMERIC . M. PERRIERElèves de 3' année à l'Ecole Nationale Supérieure d'Arts et

C. PHILIPPEProfesseur à I'E.N.S.A.M., Paris

J.P. POZZIMaître de recherches au C.N.R.S., Paris

1. INTRODUCTION

Le caractère de cataclysme des éruptions volcaniques aété, rappelê, le 18 mai 1980 avec I'activité du MontSaint-Helens dans la chaîne des Cascades aux Etats-Unis. Des roches dans un champ magnétique faiblesubissent une variation d'aimantation sous I'action d'unétat de contraintes. Nous pouvons penser que lamesure de cette variation d'aimantation au niveau dusol, dans le cas d'éruption volcanique qui s'étend surune faible durée de temps, caractériserait I'apparitiondes phénomènes donc permethait une prévision durisque.

L'instabilité de la chambre magmatique provient dedifférents facteurs :

le refroidissement naturel qui provoque la diminu-tion de la solubilité des gaz et un accroissement depression,

I'instabilité par variation de pression totale, il y adécompression à l'apparition de fissures,

I'instabilité par injection de magma dense quiprovoque un déséquilibre et un apport d'énergieimportant,

I'instabilité par injection de magma dans unechambre riche en gà2, il y a réalimentation en magmaet une surpression due aux gaz qui se dégagent sousI'action de la température. La Soufrière appartient à cedernier type.

l'étude de la prévision des éruptionsapplication de la Soufrière

volcaniques

Dans tous les cas, le résultat est une augmentation dela pression dans la chambre magmatique qui entraîneune augmentation des contraintes dans le volcan. Cesera la première partie de nos calculs. Ensuite, comptetenu de la relation expérimentale variation decontrainte-variation de magnétisme, nous calculons lavariation de magnétisme et établissons dans la zone duvolcan la modification de la distribution du champmagnétique. La mesure de ces modifications rê,alisée insitu permet d'en déduire l'état des contraintes, desdéformations et donc de prévoir la rupture de la rochecompte tenu de son comportement mécanique.

2. UÉTHODE UTILISÉE

2.L Utilisation d'un logiciel(Méthode des êlêments finis)

Nous utilisons le programme Nastran implanté surI'U.N.I.V.A.C. 1110 de la Faculté des Sciences d'Or-say. Les éléments utilisés sont des tores à sectionshiangulaires ou rectangulaires.

Le champ de déplacement i (M) cinématiquementadmissible est à deux composantes u, v.

68

Les fonctions de base dans les éléments sont linéairesen (xr, xù.

Le maillage est généré par un programme de maillageautomatique mis au point à I'E.N.S.A.M. (fig. 2).

2.2. Modèle

Des relevés topographiques montrent que la modélisa-tion du volcan de la Soufrière par un tronc de côneconstitue une bonne approximation sur un arc de I20,environ. Son profil est considéré axisymétrique. Uneétude théorique (théorie des écransl vénfiée par desmesures en place ont permis de situer la chambremagmatique à une profondeur de 6 km. Son diamètreest êvalué, à 1km.

L'analyse des roches du volcan montre qu'elles sontconstituées d'andésite. De plus les fissures existantessont gorgées d'eau. Nous admettons que ces défautssont répartis de manière aléatoire, ce qui nous permetde formuler les hypothèses d'homogénéité et d'isotro-pie. Le comportement du milieu étant considéréélastique, il est nécessaire de déterminer le moduled'élasticité linéaire et le coefficient de Poisson. Lamesure de la vitesse des ondes sismiques donne:

E _ 30 000 MPa

l, -- 0,25

Ces valeurs sont confirm ées par une recherche biblio-graphique.

La strucfure est chargée à partir d'un état d'équilibreentre la pression magmatique et le poids propre. Unesurpression A p _ 10 MPa est introduite dans lachambre magmatique. Par cette méthode, nous évitonsde situer chronologiquement le chargement: I'accroisse-

SORT IE

qÔç)T IFvvt \ | lL_

N" 27 REVUE FRANçA|SE DE GÉOTECHNTOUE

ment Ap a son origine sur la courbe o(e) mais quin'est pas obligatoirement confondu avec I'origine desaxes. Ceci est nécessaire car dans I'historique duchargement, peuvent figurer des périodes de comporte-ment non réversible. Les conditions aux limites endéplacement sont imposées par I'axisym étne AB oupar des considérations d'encastrements. La figure 1

montre les déplacements libres u et v et les déplace-ments imposés nuls u et v.

Dans un système de coordonnées cylindriques (r, 0, zl,la strucfure et les charges admettent le même axe derévolution (z) . Le tenseur des contraintes s'écrit :

o(M)lrÙz _lo* 0 or.ll0os0 |

lo- 0 o-l

La figureprincipales

3 donneaux bords

lade

distribution des contuaintesla chambre magmatique.

3. CALCUL DE LA VARIATIONDU CHAMP MAGNÉTIQUE

3.1. Etude expérirnentale

Des essais en laboratoire de compression, décompres-sion et traction uniaxiales ont montré qu'il existe unerelation contrainte-aimantation dans la roche. Lesfigures 4 et 5 montrent l'évolution de l'aimantation enfonction de la contrainte respectivement, pour unchamp magnétique appliqué parallèlement et perpendi-culairement à la contrainte. A partir d'un état initial (O)on applique un champ magnétique d'une intensitécomparable à celle du champ terrestre (A) puis oncomprime l'échantilon : l'aimantation augmente conti-nuement avec la contrainte. Lorsque la contraintemaximale est atteinte (B), la décomposition fait évoluerI'aimantation sur une courbe proche d'une droite (BC)qui traduit l'existence d'une hystérésis. Lors des recom-pressions ultérieures, l'aimantation décrit réversiblementla courbe BC tant que la contrainte ne dépasse pasl'intensité maximale atteinte précédemment. On suppo-sera que les roches du massif volcanique ont subi dans

A

D isc r^é lisot ion

û(g--a.t,JV v€'e'

-g(v)dons 'e'

flM)dons'e'

Puisscnce infenne dedéionmofion ds'e'

PursScnce rnlenne dloufe lo sfnuclune

Puissonce extenneà lo sfucfune

,r-Equof iol I

'équilibne

gl o oot

Dâplocemenls ouxnceuds

'l

Fig. 1a. Organigramme d'étude. Fig. 1b. Déplacements imposés Lt, V.

REVUE FRANçAIsE DE cÉorecHNtouE N" 27

Fig. 2. Le maillage du volcan.

,tr//r,

Ç/ ar\

"y'll

I

,t

't 1,,

"'

ll(r rAr|.l tndrl

le passé au moins une fois une contrainte importante:c'est donc la pente des courbes BC qui permetha dedéfinir des changements réversibles d'aimantation enfonction de la contrainte.

Les changements de I'aimantation J en fonction de lacontrainte o s'expriment par la relation tensorielle:

AJr _ P,ju., A or., Joj

P,ju. est un terme du tenseur piêzomagnétique. Enutilisant le principe de superposition dans les troisdirections principales et en supposant l'isohopie de laroche on peut écnre la relation simplifiée suivante:

les autres formules étant obtenues par permutationcirculaire sur les indices 1, 2 et 3.

Qr et Qz étant les pentes des deux droites BC citéesprécédemment (fig. 4 et 5).

Ces relations peuvent ëtre affinées en tenant comptede la pression de confinement due au poids propre,mais les approximations faites par ailleurs ne justifientpas cette précision d'autant plus que la différence despentes est minime d'une part et que le calcul de lavariation d'anomalie magnétique en fonction dà lavariation de contrainte suppose la roche dans un étatde contraintes donné d'autre part.

Cette remarque justifie ce calcul sous l'action d'unaccroissement de pression dans la chambre magmati-que.

frr I ltr I rr.

AJt /1J,

_ Qr orr Qz @zz + oss)

70 N" 27t.

REvUE FRANçAIsE DE cÉorecHNtouE

h=O

A

tlCt2

-

C Orrtpr(lgttorr

- - - -- tçn sron

I

4OO boîsH

ocr

lrlG?

t0

0e

Bi_ Fo

4n

BZ: #î

loo 200,ACfq (MPo l

Fig.5.

300

/

+€P

.t.rYt

H-1--F

+Mo322 f--Mo

-E5

Fig.3.

Pc=O

. Jax( ?h- r lP

too 200 300AG (MPo )

Fig. 4.

3.2. Méthode de calcul

En utilisant la théorie du champ magnétique cré,é, parun dipole de moment dipolaire M dans la direction asoit:

B:_$--+M^"x 4n r"

le champ total est la somme des champs élémentairesproduits par les éléments toriques découpés radiale-ment dans chaque tore défini par le maillage du profilaxisymétrique (fig. 6).

Fis. 6.

Nous avons vénfié qu'un découpage en secteurs de 8"(45 secteurs) suffit pour que chaque êlêment soitassimilable à un doublet pour la hauteur de mesurechoisie. Le calcul des contraintes effectué prê,cédem-ment permet de calculer dans le repère principal lavariation du moment dipolaire AM _ V. AJ, où Vreprésente le volume d'un parallélépipède élémentaire.La valeur du champ induit se déduit simplement:

BI _+-3x2-f-'j' 4n 15 Mt

Br{ _ +31y-M,,' 4fi rt --rr

RIII_ lro +M,'u l 4n fb ^'^lll

l4

r.3

o{r\-l

ro

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et 83 sont obtenus par permutation circulaire sur x,z. On obtient la composante sur 1 (respectivement 23) par:

81 _ Bi + BU, + Btg (resp. 2 et 3)

On obtient B dans le repère terrestre en faisant lasomme pour tous les éléments du maillage pourlesquels la température ne dépasse pas 600 "C. Eneffet la prêsence du point de Curie, annulant l'effetmagnétique, nous amène à évaluer la température dela roche à I'intérieur du volcan. La méthode desdifférences finies peut ëtre utilisée compte tenu desvaleurs peu précises que nous avons aux limites dumassif. Le problème traité reste plan (indépendant de0). L'équation de la chaleur:

p.Co + div (k. grad. T) - q (t, x, 9, o).pt

nous supposons le régime établi et remplaçons laprésence de la source Q(x, y) par une condition limiteaux bords de I'inclusion magmatique T - constante.La figure 7 indique le choix des conditions limites. Latempérature ainsi obtenue aux 140 næuds du mail-lage, nous calculons la valeur aux barycentres dumaillage Nastran en supposant une répartition linéairebidimensionnelle. Sur la figureS, nous avons repêré, lesroches dont la température est supérieure à 600 "C.

N" 27 71

B2

9,et

Fig.7.

Fig. 8.

TRACE Bxo froJrcTroN Dt I sur rhxr x

. ArIf TUot 5oo. x AU DÉlsus

DU NIYÊAU OiJ SOl,

. OIITNTATION DF J :

DÊCLINÀISON ; 0.0 DÉclt5

lNCtlNAl9ON : a3.0D€cnFS

r €OUID.StexCF 0rt rT'

Vete urs N€GA rrvEs

YAI.TUIg NULTES

YAt turS TOSlltvtS

III/

\- --cou?r Noro suD FCtlf:r,LG lCtt:lt50H

}I.H. XOTD HAGNTTIOUf

o.q. ouFST l'tAGNtTtouE

tCt{tLt t lCt{: l(H

cou?t tsT ourST EClt[Ll,É 1CH:ti5g1t1

Fig. 9.

72

La grandeur mesurable expérimentalement lors depoussée magmatique étant la projection de B sur ladirection du champ magnétique terrestre, on calculecette valeur:

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proj. B _ B* cos I - B, sin I.

où I représente I'inclinaison du champ terrestre àI'endroit considéré (voir le groupe de figures 9, 10, 11à titue indicatif).

N" 27

Fig. 1 0.

4. CONCLUSION

4.L Validité du modèleL'île de la Guadeloupe n'est pas un îlot circulaire dansla pointe sud de I'lle. Le modèle mécanique utilisé netient pas compte du massif de montagne qui se trouveau nord du volcan. L'hypothèse d'axisymétrie n'estévidemment pas rigoureusement acceptable. Il fautnoter cependant que celle-ci est mieux vêifiée sur lapartie accessible du volcan, sur laquelle sont effectuésles relevés. De plus on constate que sur les bords dumodèle, il n'y a pratiquement pas de variation decontrainte due à la surpression imposée. La géométriedu modèle est assez correcte même si les fôrmes ducanal d'alimentation et de la chambre magmatiquepeuvent être jugées trop précises car les concentrationsde contraintes enregistrées ne sont pas prises encgmpt_e, la tempérafure à cet endroit étant supérieure à600 "c.

Le milieu étudié est considéré linéaire élastique. La loide comportement de la roche peut être améliorêe parla définition d'un critère de plasticité. Pour cela il estpossible de mettre en évidence par différents essais decompression triaxiale un seuil d'endommagement de laroche traduisant le fait que si elle peut supporter descompressions hydrostatiques considérables, il se produitune décohésion ne lui permettant plus de subir unnouveau chargement pour lequel le déviateur seraithop important. La définition des lois de comportementconstituerait une amélioration importante de cetteétude et augmenterait la validité des résultats.

La définition des conditions limites aux extrémités dumodèle peut être imprécise par endroit. L'espacementdu maillage pour le calcul des contraintes et le fait queI'aimantation évolue selon I'inverse du cube de ladistance atténue l'importance de ce choix.

TRACE 3zo ?loitcltoN Dt ! sun r-lte 7

O A[TIIUDL 'OO.

H AU DESSUS

DU NIVÊAU DU SOt

o OIIFNTATION DË J :

DECtINA19ON : 0.0 DEcRFS

lNCtlNAltOr{ : 43.0D€GR€5

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REVUE FRANçAIsE DE cÉorrcHNtouE

MODTJLE

o ALTIIUDf 500. l,l AU OE55Ut

DU NIVFAU DU sOL

o olt€r,trArfoN DÊ J:DECtIN^l5Ox : 0.0 D€CrFs

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COU?E EST OUTST TCHELLE lCH:2150H

4.2. Importance des résultats

il faut noter que le programme informatique réalisé estfacilement adaptable à d'autres volcans. La partieu Donn ées modifiables u permet de faire varier certainsparamèfues comme:

l'inclinaison de J;les coefficients Qr et Qz caractérisant la loi

contrainte-aimantation en fonction du lieu géographi-que et de la nature de la roche.

Le calcul des contraintes peut être tridimensionnel. Ilest donc tout à fait possible de traiter des volcans pluscomplexes.

En exemple, le volcan de la Fournaise à la Réunionest constitué de blocs, et la chambre magrnatique estconique. Nous essayons actuellement de mettre aupoint un programme de blocs (rigides, simplementdéformables et pleinement déformables) qui prend encompte la configuration morcelée du massif.

La surpression en période de crise permethait d'ouvrirune fissure verticale apparaissant au sommet de lachambre magmatique. Le milieu étudié, dans I'hy-pothèse d'élasticité, linéaire permettrait par homothétied'obtenir les valeurs de B. L'ordre de grandeur de la

N" 27

Fis. 11.

modification du champ magnétique est de I'ordre dugamma, ce qui est encourageant dans la poursuite del'étude par ce moyen de prévention des éruptions etdes séismes car cette variation est parfaitement mesu-rable.

Remarque

Cette étude a été entreprise dans le cadre de projetsde fin d'études réalisés sur plusieurs années à I'EcoleNationale Supérieure des Arts et Métiers à Paris.

Les élèves-ingénieurs qui ont participé à ce travail onttoujours montré une attention et un esprit d'initiativeprouvant l'intérêt d'une collaboration entre deuxbranches d'activités distinctes telles que la mécaniquedes milieux continus et la géophysique.

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