Ley Hooke Adapted

7/24/2019 Ley Hooke Adapted

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TEORÍA CLÁSICA DE LA ELASTICIDAD LINEAL

Ley generalizada de Hooke

Para el planteamiento de esta ley se asume:

1. Los desplazamientos son pequeños y no hay distinción entre la

descripción de Lagrange y Euler

2. Los procesos de deformación son adiabáticos e isotérmicos

3. Existe una relación lineal entre el tensor esfuerzo y el tensor

deformación:

Por ejemplo 11 es una combinación lineal de ij que puede expresarse como

11 = C111111 + C111212 + C111313 + C112121 + C112222 +

C112323 + C113131 + C113232 + C113333 (E-1)

Para ij:

ij = Cij1111 + Cij1212 + Cij1313 + Cij2121 + Cij2222 +

Cij2323 + Cij3131 + Cij3232 + Cij3333

Generalizando

ij = Cijkmkm (E-2)

O también



33

32

31

23

22

21

13

12

11

333333323331332333223321331333123311

323332323231322332223221321332123211

313331323131312331223121311331123111

233323322331232323222321231323122311

223322322231222322222221221322122211

213321322131212321222121211321122111

133313321331132313221321131313121311

123312321231122312221221121312111211

113311321131112311221121111311121111

33

32

31

23

22

21

13

12

11

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

CCCCCCCCC

(E-2.1)

Cijkm se conoce como la matriz de rigidez y es una matriz de 34 = 81 elementos

pero que puede reducirse a una matriz de 6x6 por la simetría de los tensores

esfuerzos y deformación. En efecto puesto que 12 = 21 , 23 = 32 , 13 = 31; de

(E-1):

11 = C111111 + C112222 + C113333 + (C1112+ C1121)12 + (C1123 + C1132)23 +

(C1113 + C1131)13

De la misma manera

ij = Cij1111 + Cij2222 + Cij3333 + (Cij12+ Cij21)12 + (Cij23 + Cij32)23 + (Cij13 +Cij31) 13

Reemplazando el doble indizado por un indizado simple tal como se indica a

continuación:

11 = 1 11 = 1 (E-3.1)

22 = 2 22 = 2 (E-3.2)

33 = 3 33 = 3 (E-3.3)

12 = 4 212 = 221 = 4 (E-3.4)

23 = 5 223 = 232 = 5 (E-3.5)

31 = 6 213 = 231 = 6 (E-3.6)

Entonces la ecuación (E-2) se puede escribir:



K = CKMM (E-4)

Los índices K, M toma valores de 1 a 6

6

5

4

3

2

1

6665642636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

cccccc

cccccc

cccccc

cccccc

cccccccccccc

(E-4.1)

Para un cuerpo elásticamente isótropo la matriz CKM de (E-4.1) contiene solo

dos constantes:

CKM =

00000

00000

00000

0002

0002

0002

(E-5)

y son las constantes de Lamé

Entre las dos situaciones extremas, correspondientes a un material

completamente isótropo o anisótropo, existen muchas situaciones intermedias

en las que el material sólo presenta simetría elástica en determinadas

direcciones, como es el caso de la isotropía transversal o la ortotropía, en

donde el material presenta tres planos de simetría elástica, y la matriz de

rigidez queda de la forma siguiente:

jkm c11 c12 c13 0 0 0c12 c22 c23 0 0 0c13 c23 c33 0 0 00 0 0 c44 0 00 0 0 0 c55 00 0 0 0 0 c66



Reemplazando (E-5) en (E-4.1) y usando (E-3):

11 = kk + 211 (E-6.1)

22 = kk + 222 (E-6.2)

33 = kk + 233 (E-6.3)

13 = 31 = 213 = 231 (E-6.4)

23 = 32 = 223 = 232 (E-6.5)

12 = 21 = 212 = 221 (E-6.6)

En consecuencia la ecuación de Hooke para un cuerpo isótropo viene dada por

En las ecuaciones arriba indicadas ij y km son matrices 6x1. Si quisiéramos

preservar la forma de matrices 3x3, entonces la ecuación de Hooke a aplicarse

es como sigue

333231

232221

131211

kk

kk

kk

333231

232221

131211

2

00

00

00

(E-7)

o también

= kk I + 2 (E-7.1)

6

5

4

3

2

1

00000

00000

00000

0002

0002

0002

6

5

4

3

2

1

(E-6.7)

ij = ij kk + 2 ij (E-6.7.1)



De (E-7.1) se puede notar que la ley de Hooke es una transformación afín y no

una transformación lineal .

Ley de Hooke para un estado de carga uniaxial

Supóngase un sólido isotrópico bajo un estado de tensiones ij = 0, 11 0.

De (E-6)

11 = kk + 211 (E-12.1)

22 = 0 = kk + 222 (E-12.2)

33 = 0 = kk + 233 (E-12.3)

12 = 0 = 212 = 221 (E-12.4)

23 = 0 = 223 = 232 (E-12.5)

31 = 0 = 231 = 213 (E-12.6)

De (E-12.4) a (E-12.6) se deduce

12 = 21 = 23 = 32 = 13 = 31 = 0

Desde que (E-12.2) = E-12.3) se obtiene que

22 = 33 =

22 = 33 = -

11)(2 (E-13)

Dividiendo (E-13) entre 11

11

33

11

22 -)(

2

= Constante = - (E-14)

donde es la relación de Poisson



Despejando de (E-14)

=

21

2 (E-15)

Reemplazando (E-14) en (E-12.1)se obtiene

11 = (1-2)+211 = E11 (E-16)

En (E-16) se ha hecho

(1-2) + 2 = E = Módulo de Young (E-17)

En general para una carga axial a lo largo de X i

ii = Eii (E-18)

De (E-15) y (E-17) se deduce

Módulo de corte o G =)1(2

E

(E-19)

Ley de Hooke para un estado de carga triaxial



Sea un estado de tensiones en donde ij = 0 para i = j y ij 0 para i j; luego

11 = kk + 211 (E-20.1)

22 = kk + 222 (E-20.2)

33 = kk + 233 (E-20.3)

21 = 0 = 221 = 212 (E-20.4)

23 = 0 = 223 = 232 (E-20.5)

31 = 0 = 231 = 213 (E-20.6)

Sumando (E-20.1)+( E-20.2)+( E-20.3)

kk = (3 + 2)kk (E-21)

Reemplazando (E-21) en (E-20.1)

11 =

23

kk + 211 (E-22)

Reemplazando (E-15) en (E-21) y despejando 11

11 =

kk 11

12

1=

12

1 kk 1111 (E-23)

Reemplazando (E-19) en (E-23)

11 = 332211E

1 (E-24)

Análogamente a partir de (E-20.2) y (E-20.3)



22 = 331122E

1 (E-25)

33 = 221133E

1 (E-26)

Para deformaciones infinitesimales se define la dilataciónV

V mediante

V

V = 11 + 22 + 33 = kk (E-27)

Reemplazando (E-24),(E-25),(E-26) en (E-27)

kk =

m

kk

E

213

3E

213 )()(= m

K

1 (E-28)

En donde K se conoce como el módulo volumétrico o módulo de rigidez o

módulo de compresibilidad y es igual a

K =)21(3

E

(E-29)

Componente esférica y componente desviadora de la ley de Hooke

De (E-6) puede notarse que

kk = 11 + 22 + 33 = 3kk + 2(11 + 22 + 33) (E-30)

kk = 3kk +2kk = (3+2)kk (E-31)



Despejando kk de (E-31)y reemplazando en (E-6.1)

ij =

kk

ij

23 + 2ij =

kk ij

1 + 2ij (E-32)

Despejando ij de (E-32)

ij =

kk ijij

122 (E-33)

Reemplazando kk = 3m en (E-33)

ij =

m

ijij

E2

3=

m

ijijm

ijm

E22

3ij (E-34)

En (E-34)

2

ijmijD

ij y si además en la expresión

2

ijm de la ecuación (E-

32)se reemplaza el valor de dado por

(E-19)se obtiene

ij =

E

1

2

mijijmDij 3

(E-35)



ij =

E

21

2

ijmDij

=

E

21

2

Eij

Dij

(E-36)

En (E-36) podemos hacer las siguientes identificaciones

Deformación desviadora:ijD =

2

iD

j (E-37)

Deformación esférica :ijE =

mij

E

21 =

K 3

mij (E-38)

Energía de distorsión elástica

Sea d w la energía de distorsión elástica por unidad de volumen acumulada por

un cuerpo sometido a un estado de tensiones ij y que experimenta una

deformación elástica

d ij. Se define entonces:

d w = ij d ij (E-44)

La expresión (E-44) contiene nueve sumandos

Reemplazando el valor de ij dado por (E-2) en (E-44) e integrando

W = εε ijkmijkmC d

W = εεδδC ijmjik ijijkm d



W =2

Cijkm ikmjij2 =

2

Cijkm kmij (E-45)

Reemplazando (E-2) en (E-45), se obtiene la ecuación de Clapeyron

W =2

εσ ijij (E-46)

En forma desarrollada es

W =

2

222 313123231212333322221111 (E-46.1)

De (E-46)

W =2

ijij=

2

Dij

Eij

Dij

Eij

W =2

Dij

Dij

Eij

Dij

Dij

Eij

Eij

Eij (E-47)

Pero

ijEij

D = ijm(ij - ijm)

ijEij

D = ijmij - ijijmm

Recordando que ijij = 3

ijEi j

D = m jj - mkk = 0 (E-48)

De otro lado





ijij = 1j1j + 2j2j + 3j3j = 3 (E-54)

ijijD = ii

D (E-55)

ijijD = ii

D (E-56)

Introduciendo (E-54) (E-55) y (E-56) en (E-53)

W =

D

IJ

D

ij

Dii pp

Diikk ppkk

3332

1

(E-57)

Pero

3

Diikk

= D

33D22

D11

kk

3

3

Diikk

=3

kk (11-

3

m +22-3

m +33-3

m )= 0 (E-58)

Análogamente

3

Dii pp

= D

33D22

D11

pp

3 = 0 (E-59)



Sustituyendo (E-58) y (E-59) en (E-57)

W =

6

1 ppkk +

2

1 DIJ

Dij (E-60)

La energía por unidad de volumen según (E-60) tiene dos componentes:

Energía de dilatación o

componente esférica WE :6

1 ppkk (E-61)

Energía de distorsión o

componente desviadora wD :2

1 DIJ

Dij (E-62)

La energía por unidad de volumen en términos del tensor esfuerzo viene dado

por:

W =

31

2

23

2

12

2113333222211

33

2

22

2

11

21

2

1

E

1

Reemplazando el valor de pp dado por (E-28) e introduciendo en (E-61)

Energía de dilatación o

componente esférica WE :K186

1 ppkkppkk

(E-63)

Siendo la invariante kk = 11 + 22 + 33 = 1 + 2 + 3



Por otro lado reemplazando el valor de lado ijD dado por la ecuación (E-37) en

(E-62)

2

1 Dij

Dij =

4

iD

j

2

(E-64)

Para esfuerzos principales

ij

D = ij -

m

ij =

i -

m

ij, sustituyendo en (E-62)

2

1 Dij

Dij =

m3

2

m2

2

m1

2

4

1 (E-65)

Introduciendo el valor3

321m

en (E-65)

Componente

desviadora wD =

13

2

32

2

21

2

12

1 (E-66)

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