Leyla Yldrm

Leyla YldrmBlm 310.10.12

BLM 3

FZKSEL SSTEMLERN SERBEST SALINIMLARI

BAST HARMONK HAREKET (BHH)

Cisimlerin elastik zellikleri ile ilgili olarak kuvvet-yer deitirme ilikisi Robert Hooke tarafndan basit bir ekilde ifade edilmitir. rnein yay-cisim sistemi iin, denge konumundan x kadar sktrlarak veya gerilerek uzaklatrlm yay, ucuna tutturulmu cisme, Hook yasasna gre, F = kx ile verilen geri arc bir kuvvet uygular. Bu rnekte olduu gibi, yer deitirme ile orantl bir geri arc kuvvetin etkisindeki cisimler BHH yaparlar.

3.1. Ktle-Yay Sistemi

Yay sabiti k olan bir yayn ucuna m ktleli bir cisim balanarak, denge noktas etrafnda eklinde bir geri arc kuvvetin etkisi ile BHH yapmaktadr.

3.1.1. Yatayda Ktle-Yay sistemi

Byle bir sistemde kinetik enerjiyi m ktleli cisim tarken, potansiyel enerji yayda depolanacaktr.

Bu ifadedeki () iareti geri arc kuvvet olduunu, nin ynnn in deiim yn ile ters olduunu gstermeketdir.

Bu denklemin zm:

: uzanm

: genlik

: asal frekans () (:frakans, : periyot, )

: faz sabiti

3.1.2. Deyde Ktle-Yay sistemi

ekil 3.2

ekil 3.3. Deyde hareket yapan ktle-yay sistemi ve BHH hareketi yapan bir cismin x, v, a grafikleri.

Paralel Bal Yaylar

Paralel bal yaylardaki uzama miktar birbirine eittir. Yaylarn ktleye uygulad toplam kuvvet her iki yayn uygulad kuvvetlerin toplamna eittir.

Yaylar paralel balandnda toplam yay sabiti, yaylarn yay sabitlerinin toplamna eittir.

Seri Bal Yaylar

Yaylar u uca eklediimizde seri balam oluruz.

Seri bal yaylarda herbir yay zerine ortaya kacak kuvvet eittir.

Yaylar seri balandnda, toplam uzama her iki yaydaki uzamann toplamna eittir.

3.1.3. Basit Harmonik Harekette Enerji

BHH yapan bir ktle yay sisteminin toplam mekanik enerjisi

ifadesi ile verilir. BHH yapan bir cismin herhangi bir andaki uzanm deeri

ve hz,

dir.

olduundan herhangi bir t anndaki hz, olur.

Cisim denge durumundan geerken en byk hza, dolaysyla en byk kinetik enerjiye sahip olur. Cisim dnme noktalarnda geerken ise en byk potansiyel enerjiye sahip olur. Kinetik enerjinin maksimum deeri potansiyel enerjinin maksimum deerine eittir ve bu deer herhangi bir andaki toplam enerjiye eittir.

Cisim denge durumundan geerken olacandan, elde edilir. Bu cismin hareketteki en byk hzdr.

Bu durumda kinetik enerji de en byk olacandan,

dir. deeri yukardaki bantda yerine konursa,

sonucuna varlr.

Cismin herhangi bir andaki kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplam, maksimum kinetik enerjiye ayn zamanda maksimum potansiyel enerjiye eit olacaktr.

K

U

E

ekil 3.4. BHH yapan bir cismin uzanm, kinetik enerji (k.e.), potansiyel enerji (p.e.) ve toplam enerjinin (E) zamanla ve yer deitirmeye gre deiim grafii.

3.2.1. Basit Sarka

Bir ucundan tespit edilmi uzunluundaki hafif iplikle tanan m ktleli noktasal bir cismin oluturduu dzenee basit sarka denir. Basit sarka denge konumundan kk bir as kadar uzaklatrlp serbest braklrsa mg yerekimi kuvvetiyle ipteki T gerilmesinin etkisi altnda dey bir dzlemde periyodik salnmlar yaplr. Ktleye etki eden geri arc kuvvet

ifadesi ile verilir. asnn kk (5den kk) olmas halinde, olup, dir. Bu durumda geri arc kuvvet,

olur. u halde kk uzanmlar iin geri getirici kuvvet uzanmla orantldr. Dolaysyla bu art altnda basit sarkacn hareketi basit harmonik harekettir. asnn kk deerleri iin

(BHH)

Bu denklemin zm:

: Asal uzanm

: Asal genlik

Periyot (veya frekans) ktleden bamszdr.

3.2.2. Basit Sarkacn Enerjisi

, ,

asnn kk (5den kk) olmas halinde, Sin olup,

Dik genden

Kk al salnmlar iin olacandan alnabilir .

Potansiyel enerji :

Kinetik enerji:

Mekanik enerji:

Mekanik enerjiyi maksimum potansiyel enerji cinsinden ifade edersek :

(A genlik)

3.2.3. Burulma Sarkac

Kk al burulmalar iin geri arc tork

yazlabilir. Burada K, telin burulma sabitidir.

I: diskin eylemsizlik momenti (disk dzlemine dik ve ktle merkezinden geen eksene gre eylemsizlik momenti Ik..m. = (MR2)/2).

(BHH)

Burada

Denklemin zm:

,

3.2.4. Fiziksel Sarka

(kk al salnm)

(BHH)

zm:

, veya ,

3.2.5. Yzen Cisimler in Basit Harmonik Hareket

Cisim serbest brakldnda titreim hareketi yapar.

(hyCisim yzyor (b) y kadar bastrlm)

: yzen cismin ktlesi

: kesit alan

: svnn younluu

(yer deitiren svnn arl)

(BHH)

;

ekil-ada batan ksm h olduundan Archimed ilkesi gerei yazabiliriz. Bu deeri periyot (veya freakns) ifadesinde yerine yazarak;

ve

elde ederiz.

3.2.6. Esneklik ve Young Modl

Kat cisimlerin esneklik zelliklerinin incelenmesi ile atomlar ve molekller arasndaki balayc kuvvetler hakknda bilgi elde edilebilir. zel koullarda bytlen tek-kristaller, esneklik asndan anizotropik zellik gsterirler. Farkl kristal dorultularnda ultrases hz ve esneklik sabitlerinin llmesi ile esneklik zellikleri ve balar hakknda yorumlar yaplabilir.

Hi esneklik gstermeyen bir kat maddenin varl dnlemez. Her cisim, stne uygulanan kuvvete, ancak belirli bir lye kadar dayanabilir. Uygulanan cismin zelliklerine bal kalma kouluyla, cismin dayanabilme yetenei, boyut, biim ya da hacim deiiklii olarak ortaya kar. Kuvvet uygulanan kuvvet ortadan kalktnda, cisim, yeniden eski bykln ve biimini kazanrsa, esneklikten sz edilebilir. Btn kat ve svlar, belirli snrlara kadar esneklik zellii gsterir. Bu snra esneklik snr denir. Young Modl (elastisite modl), malzemenin kuvvet altnda elastik ekil deitirmesinin lsdr.

Ayn malzemeden yaplm, kalnlklar (kesitleri) farkl iki elik tel, bir tavana balanr ve ularna eit arlklar aslrsa, ince olan tel daha fazla uzama gsterir. Bunun nedeni, ince telin kesitinde birim alana uygulanan kuvvetin, kaln telinkine uygulanandan fazla olmasdr. Kuvvetin, bu kesitin alanna oranna zor (stress) denir.

nceki rnekte ele alnan elik teller, bu kez ayn kalnlkta, ama deiik boyda seilirse, uzun olan telde daha ok uzama oluacaktr. ekme gerilmesinin boyca uzama oranna blm, Young modln verir ve yukardaki iki durum iin de ayndr.

Mhendislikte, basma ve ekme zorlamalar etkisi altnda alacak malzemelerin seiminde, Young modl byk nem tar. Szgelimi, bir kprnn tasarmnda direklerin ne kadar yke dayanacan, dolaysyla seilecek malzemenin Young modln, bilmek gerekir.

Bir ubuun veya yayn gerilmesini ele alarak esneklik ve Young modln irdeleyelim.

Denge durumunda byle bir sistemin davran aadaki gibi tarif edilebilir;

1. Yanda verilen ekildeki gibi bir ucu duvara tutturulmu ubuun dier ucuna bir F kuvveti uygulanmas durumda ubuun deiik noktalarnn yer deitirmesi bu noktalarn sabit uca olan uzaklklar ile orantldr. ubuun bir ucuna uygulanan F kuvveti ubuun tm uzunluu boyunca F byklnde bir gerilme meydana getirir.

Belli bir kesit alana sahip ubuk ya da tel eklindeki bir cisimde kuvvet etkisi altndaki l uzama miktar cismin kuvvet uygulanmadan nceki boyu l0 ile orantldr. Boyutsuz olan l/l0 oranna zorlnama (strain) denir.

2. Deiik kesit alanlara sahip ubuk eklindeki cisimler iin ayn zorlanma, ekilde grld gibi kesit alanlara orantl uygulanan kuvvetlerle de meydana getirilebilir. F/A oranna zor denir ve basn boyutundadr.

3. Eer zorlanma ok kk ise (kuvvet uygulanmadan nceki uzunluk olan l0 deerinin %0.1inden kk) zor ve zorlanma arasndaki iliki Hook kanununa gre lineerdir.

Young modl iin

(kk gerilmelerde)

ya da

yazabiliriz. F kuvveti, x ise uzamay gsterirsek, yukardaki ifadeyi

eklinde de yazabiliriz. fadedeki terimine dersek, yaya bal bir ktle iin yazdmz geri arc kuvvet ifadesini elde ederiz. Bu durumda sistem BHH yapar.

Hareketin periyodu ifadesi ile verilir.

rnein 1 kglk bir ktle 1 m uzunluunda ve 1 mm apndaki bir elik tele aslm ise (elik iin Y=20x1010 N/m2) periyot deerini bulalm.

,

Eer m ktleli cisim biraz nce bahsedilen tele aslm ve statik denge salanm iken denklemler buna gre yazlrsa,

olur. Bu ifade periyot eitliinde yerine konulursa, elde edilir. Bulunan bu sonu h uzunluunda bir sarkacn periyot ifadesi ile ayndr. Bu ifade, tel ya da ucuna aslm ktle hakknda hibir bilgiye sahip olmakszn statik uzama lmleri ile periyodun hesaplanmasna olduka basit bir yol temin eder.

3.2.7. Elektrik Devrelerinde Osilasyonlar

ndktans (L) ve kapasitans (C) ieren bir devre BHH salnm zellikleri gsterir. Bu tr devreleri laboratuarlarda inceleyeceiz.

devre denklemi

olduunu kullanrsak

diyelim

(BHH)

elde edilir. Bu denklem ile

(Ktle yay sistemi) denklemi matematiksel olarak ayndr.

zm :

ve

ndktanstan geen akm:

LC devresi ile Ktle-Yay sistemi arasndaki benzerlikler

1) x Q

2) k

3) m L

4)

5)

SERBEST TTREMLERN BOZULMASI

Snml Hareket ve Snml Harmonik Haraket

Salnan bir sistemin zerine bir srtnme kuvveti etki ederse salnm genlii, srtnme nedeniyle yava yava klerek sfr olur. Bu cins salnmlara SNML HARMONK HARAKET denir.

imdi srtnme kuvveti gibi korunumsuz kuvvetlerin ie girmesiyle serbest titreim ifadelerinin nasl deiiklie uradn tartacaz. Genellikle srtnme hava direncinden veya i kuvvetlerden kaynaklanr. Srtnme kuvvetlerinin bykl ou kez hza baldr. Pek ok rnekte srtnme kuvvetinin bykl hz ile orantl olup, hz dorultusunda, hza zt olarak ynelmitir.

Ktle-yay sistemini yeniden ele alalm. ekilde grld gibi yaya asl olan bir ktlenin salnm yaparken sv dolu bir kap iine batrldn dnelim. Bu ktle snml hareket yapacaktr.

ekil 3.12.

KABULLERMZ:

Potansiyel enerjinin tmnn, ktlesiz ve hibir srtnme kuvvetinin etkimedii ideal yayda topland kabul edilecektir.

Kinetik enerjinin tm salnan m ktlesinde topland kabul edilecek.

Tm s eklindeki i enerjinin, kab dolduran vizkoz svda ortaya kt kabul edilecek.

Snml hareketin denklemi eklindeki ikinci Newton yasasndan elde edilir. Ktleye etki eden kuvveti, geri arc eklindeki kuvvet ile eklindeki srtnme kuvvetlerinin toplamdr. Burada bir sabit olup snm kuvvetinin byklnn bir lsdr.

Bu durumda hareket denklemini

(1)

olarak yazabiliriz veya

(2)

olur. Bu denklemi yeniden

(3)

eklinde dzenlenebilir.

ve ksaltmalar yapldnda,

( )

(4)

yazabiliriz. fadedeki snm frekans boyutunda bir niceliktir, w0 ise snm olmad durumdaki serbest titreimlerin asal frekansn verir. Bu denklemi ksaca

(5)

eklinde yazabiliriz. Buradaki ve nicelikleri gerek ve sabit saylardr. Sabit katsayl ikinci dereceden homojen denklemdir.

Bu denklem sabit katsayl ikinci dereceden, lineer, homojen bir diferansiyel denklemdir. Bu denklemin zmn matematik kitaplarndan yararlanarak yapabilirsiniz (Ross, Differansiyel Denklemler, Kenneth Franklin Riley, Michael Paul Hobson, Stephen John Bence, Mathematical methods for physics and engineering, ).

Bu denklemde belirlenmesi gereken bir parametre olmak zere, eklinde alnrsa ve ve ifadeleri denklem (5)de yerine konulursa,

(6)

ve (7)

(8)

elde edilir. sfr olamaycandan,

(9)

olmak zorundadr. Bu denkleme karakteristik denklem ad verilir ve bu denklemin zmnn iki kk vardr. Bu kkler,

(10)

(11)

eklinde yazlabilir.

deerine gre bu denklemin zmnde farkl durum sz konusudur.

ve

1

2

3

> 0

Kiritik st Snm

(Over-damped)

= 0

Kritik Snm

(Critical-damped)

< 0

Kritik Alt Snm

(Under-damped)

denklemin farkl iki reel kk vardr

denklemin eit iki reel kk vardr

denklemin reel kk yoktur, komplex iki farkl kk vardr.

komplex

Yukarda tanmlanan farkl snml hareketi aadaki ekilde zetlenmitir.

( Kritik snm ) (Kritik alt snm ) (Kritik st snm )

1. Kiritik st Snml Hareket (Over-Damped)

=

ve olacaktr. Denklem 4 iin elde edilecek zm

veya

elde edilir. A ve B katsaylar balang koullarndan bulunabilir.

Bu koulda hareket zamanla stel olarak sner ve cisim denge konumunda durur. Bu tip zm KRTK ST SNM olarak adlandrlr. Bu durumda hareket SALINIMLI DELDR.

2. Kritik Snml Hareket (Critically Damped)

olur. Bu durumda ve kkleri iin

yazabiliriz. Bu durumda (4) denklemin zm iin

yazabiliriz. Burada A ve B sabitleri balang koullarndan elde edilir. Zaman ilerledike x'in deeri sfra yaklar. HAREKET SALINIMLI DELDR. Bu tip snme KRTK SNM denir.

3. Kritik Alt Snm (Snml Harmonik Hareket)

negatif

yani ( )

ve

veya

yazabiliriz. Bu durumda genel zm:

ifadesi de denklemin zmdr. Burada A ve B balang koullarndan belirlenir. Salnc snml harmonik hareket yapar. Bu ifadeyi sadece sinse veya cosnse evirmek hareketi daha kolay yorumlamamz salayacaktr. Bunun iin,

, , ,

eitlikleri ile tanml iki yeni ve sabitlerine geebiliriz.

=

veya

yazabiliriz. Burada genlik, faz sabitidir. Faz sabitini = 0 semekte bir saknca yoktur.

Bu durumda zm iin

(=)

yazabiliz. Bu zmden, cismin bir titreim hareketi yapt, Fakat genliinin zaman iinde stel olarak azald grlr. Snm dolaysyla cismin enerjisi korunmaz.

Hareketin Periyodu:

olmal. Buradan T iin

( ) ( )

ve frakans iin elde ederiz

( ve )

Eer b = 0 olursa, periyot ve frekans

olur. Bu zel durumun basit harmonik harekete (BHH) kar geldiini hatrlayalm.

'nin grafii aada verilmitir.

ve ardk iki genlik olsun. Buralarda cosins arpan 1'e eit olur. Bu durumda ardk iki

genliin oran,

Her iki tarafn doal logaritmasn alalm.

Bu deere logaritmik decrement denir. Logaritmik decrement genliin azalmasnn bir lsdr.

Birok sistemdeki salnm hareketi dikkate alndnda (saatlerde olduu gibi), snmn ok kk hale getirilmesine ihtiya vardr. Araba yayalarnda olduu gibi dier sistemler iin salnmlar sorun oluturur, bu nedenle yeterli miktarda bir snm (kritik snm) tercih edilir.

Snml hareketin ortalama mr (Zaman Sabiti ) ve kalite faktr:

sabiti salnmn genliinin zamanla ne kadar abuk azalarak sfra gittiinin bir lsdr.

zaman salnmn orjinal genliinin 'sine dmesi iin geen sredir. Bu sresi salnmlarn "ortalama mr" olarak adlandrlr.

Byk b deerleri iin, salnmlarn daha ksa sre ierisinde azalarak yok olduu sylenebilir.

fadesinde, b arttka w deeri azalr, dolaysyla hareketin periyodu artar. Bu durumda olduunda, w=0 olur. bnin bu deerine kritik b denir ve bk ile gsterilir, . Bu durumda sistem kritik snmldr.

b < bk olduunda genlik azalmakla birlikte, sistem yine de salnr. Buna kritik alt snm denir.

b > bk olduunda ise, sistem ar snmldr. Snmn iddeti, herhangi bir salnm olmakszn sistemi denge durumuna dndrecek kadar byktr.

lk yer deitirmenin ardndan ktle denge noktasndan en fazla bir kez geer. ifadesinde salnm genliinin zamanla deiimini veren stel fonksiyonun st boyutsuz olduu iin tnin arpan teriminin [zaman-1] boyutunda olmas gerekir. Bu nedenle, snml salnmlarn ortalama mr ile verilir. Bu durumda genlik fonksiyon eklinde yazlr.nun byk deerlerinde snm yava olur.

Snm baka bir ekilde,

olarak verilen Q parametresi ile de ifade edilir. Grld gibi Q, ile orantldr. Qnun byk deerleri yava snmlere kar gelir. Qya kalite faktr denmektedir. Farkl Q deerleri iin x(t)nin grafikleri yanda verilmitir.

Snml salnc sisteminde kullanlan deiik malzemelere ait Q deerleri aada tabloda verilitir. Q>1 olduunda kritik alt snml harmonik hareket oluur.

Snml salnc sistemi

Q deeri

Saat sarkac

200

Mikrodalga kavite osilatr

104

Quartz crystal

106

SNML HARMONK HAREKETTE ENERJ KAYIP ORANI

Snml harmonik hareketin enerjisi srtnme veya hareketi engelleyici kuvvetler (korunumsuz kuvvet) nedeniyle azalr. Sistemin toplam mekanik enerjisi E,

dir. Burada kritik alt snml durumu (snml harmonik hareket) ele alalm.

Bu durumda

eitlii durumunda yaklak yazlabilir. Bu durumda iin

yazabiliriz. Buradan hz iin

elde ederiz. olduu kabul edildiine gre, hz ifadesindeki ilk terim ihmal edilerek,

yazlabilir. Bu toplam enerji ifadesinde yerine konulursa,

olduuna gre,

elde ederiz. Burada E0, t = 0 anndaki toplam mekanik enerjidir. Eitlikten de anlalaca gibi nn boyutu (zaman-1) dir. Enerjinin ilk deerinin 1/e deerine dmesi iin geen zamana snm zaman (decay time) veya zaman sabiti (time constant) denir ve ile gsterilir.

Bu durumda enerji ifadesi

eklinde yazlabilir. Klasik ve kuantum mekaniindeki birok sistemin enerjisi stel olarak azalr. Bu tr sistemlerde zaman sabiti olarak adlandrlr. Byle sistemlerin enerjisinin zamanla deiimi stteki grafikte verilmitir.

Enerjinin deiim hz:

hareket denkleminin

olduunu hatrlarsak

elde ederiz. Bu bant da enerjin srekli azaldn gsterir.

Enerjideki azalma miktarn kalite faktr Q cinsinden de yazabiliriz.

Buradan faydalanarak

ifadesini yeniden ele alalm.

(t2=t1+T bir periyot sonraki zaman)

yazabiliriz. Buradan

Enerji deiiminin ilk enerjiye oran:

olur. Bu ifade kalite faktr Q iin yeni bir tanmlama getirmektedir.

Qnun byk deerlerinde snm az olur ve alabiliriz.

rnein Q=5 iin,

SNML ELEKTRKSEL OSLASYONLAR

Daha nce bir LC devresindeki osilasyonlar incelemitik. Bu devrenin BHH salnm yaptn grmtk. imdi devreye bir R direnci ekleyeceiz.

Devredeki C kondansatr VC voltaj ile yklendiinde,

kondansatr zerinde q yk depolanacaktr. Daha sonra S anahtar kapatlrsa, devre iin

yazabiliriz.

Eitlikleri yerine konulursa,

(Mekanik sistemiElektrik SistemixqmLk1/CbR=b/m=R/L)

denklemi elde edilir.

Bu denklem snml harmonik hareket denklemi olan,

denklemi ile ayndr.

Bu iki denklem karlatrldnda, mekanik sistemdeki byklkler ile RLC elektrik devresindeki byklkler arasnda benzerlikler yanda verilmitir. Bu benzetiimden yararlanarak devre denkleminin zm iin

yazabiliriz. Burada q0, kondansatrn balangtaki ykdr. Bu durum snml harmonik hareketi incelerken yani kouluna kar gelmektedir (kritik alt zm) yani veya dir. olduu iin

yazabiliriz. Burada , balangtaki voltaj deeridir. Bu sistemin asal frekans

olacaktr.

1) Eer ise (kritik alt snm),

Sistem snml harmonik hareket yapar ve sistemin asal frekans olacaktr.

Voltajn genlii zaman sabiti ile stel olarak azalacaktr. R/Lnin boyutu (zaman-1) dir.

2) koulu salandnda kritik st snm.

3) koulu salandnda kritik snm olaca aktr.

Mekanik sistemde tanmladmz Q kalite faktrnn karl ise olaca aktr.

rnein L=10 mH, C=2.5 nF ve R=10 olursa, Q=200 olacaktr.

Q kalite faktr kullanlarak mekanik ve elektrik sistemlerinde snml harmonik hareketin denklemi

ve

eklinde yeniden yazlabilir.

7