yunus.hacettepe.edu.tryunus.hacettepe.edu.tr/~tatar/fiz217/doc/FİZ217 bolum7b... · Web viewDispersif bir ortamda w açısal hızı dalga sayısının fonksiyonu olduğundan v g

Fiz 217 Bölüm 7bProf. Dr. Leyla Yıldırım 03.12.2012

DAĞILMA (Dispersiyon)

Geri çağırıcı kuvvetin mekanik dalgalardaki yer değiştirmeyle tam olarak orantılı olmadığı bazı sürekli ortamlarda,

sinüzoidal dalganın hızı frekansa bağlıdır. Frekansla hızın değişimi dispersiyon (dağıtkanlık) olarak adlandırılır. Bir

kompleks dalganın bileşiminde bulunan farklı sinüzoidal dalgalar biraz farklı hızlarla hareket ederler. Bunun sonucu

olarak, kompleks bir dalga içinde hareket ettiği dispersif ortamda şekil değiştirir. Fakat korunumsuz kuvvetler

(sürtünme gibi) yoksa saf bir sinüs dalgası bu şartlar altında şekil değiştirmez. Dispersiyon yoksa, kompleks bir

doğrusal dalga da şekil değiştirmez.

Genelde bir ip üzerindeki dalgalarda, kısa dalga boylu (yüksek frekanslı) saf sinüzoidal dalgalar uzun dalga boylu

dalgalara nazaran daha küçük hızlarda hareket ederler. Bu durum dispersiyon (dağılım) adı verilen dalga boyu ile

dalga hızının değişimi olayına bir örnektir.

Dispersiyon olayı birçok fiziksel mekanizmanın temelini teşkil eder. Dağılma

(Dispersiyon) sözcüğü ilk anda bir ayrılma anlamını çağrıştırır. Yandaki şekilde

görüldüğü gibi, bir beyaz ışığın bir prizmadan geçtiği zaman değişik renklere

ayrıldığını biliyoruz. Cam içindeki kırmızı ışık dalgalarının hızı mavi ışık

dalgalarının hızından daha büyüktür. Bir prizmaya gelen ışık Snell kanununa göre

kırılmaya uğrar;

sin isin r

=n= cv

Şekil 20. a) Camın ışığı kırmasının şematik gösterimi.

Grafiğe göre dalga boyu arttıkça n azalmaktadır, n’nin azalması v’nin artması ile mümkündür. Yani dalga boyu arttıkça

hız da artmaktadır. Bu nedenle kırmızı ışığın cam içindeki hızı mavi ışığınkinden büyük olacaktır.

Böylece kırılma açısı hızın değişimine karşılık gelen renk ile değişir.

Bir boyutlu dalgalarda dağılma, başlangıçta birbiri üstüne binmiş farklı dalga boylarına sahip uzun fakat sınırlı dalga

katarlarının zaman ilerledikçe ayrılmalarına karşılık gelir. Aynı zamanda hafifçe farklı hızlardaki saf sinüs dalgalarının

bir karışımından meydana gelen her bir bireysel dalga katarı zamanın ilerlemesi ile bozulmaya ve dağılmaya uğrar.

1

Şekil 19. Beyaz ışığın üçgen

prizmadan geçerken dağılmasını

gösteren şekil.

Şekil 20.b) Camının kırma indisinin dalga boyuna bağlı değişimi.


Tek bir dalga boyu ve frekansa sahip sadece sonsuz genişlikteki bir saf sinüs dalgası dağıtıcı ortamda tanımlanmış tek

bir hıza sahip olabilir. (Şüphesiz dağılma bazı özel durumlarda ihmal edilebilir ve ışığın özel bir durumu için vakumda

dağılma sıfırdır.)

Dağılma olayını daha somut açıklayabilmek için bir maddesel ortamda aynı yönde ilerleyen ve dalga boyları çok hafif

birbirinden farklı olan iki sinüzoidal dalganın hızlarını (grup ve faz hızı) inceleyelim.

FAZ VE GRUP HIZI

Dağılma sonuçlarını daha somut tartışmak için, bir ip boyunca aynı yönde (belki farklı hızlarda) hafifçe farklı dalga

boylarına sahip iki sinüzoidal dalga için ortaya çıkacak durumu göz önüne alalım. Basitlik olsun diye bu iki dalganın

genliklerinin eşit olduğunu kabul edelim. Bu iki dalga

y1=Acos(k1 x−w1 t) (1a)

y2=Acos(k2 x−w2 t) (1b)

ifadeleri ile tanımlanabilir. Burada k1=2 π❑1

ve k 2=2 π❑2

dir. Burada w1 ve w2 frekanslarının çok az farklı olduğunu

kabul edeceğiz (w1≈ w2¿.

Bu iki dalganın üst üste gelmesiyle aşağıdaki dalga ortaya çıkar:

y= y1+ y2=Acos (k1 x−w1 t )+Acos (k 2 x−w2t ) (2)

veya

v1=w1/k 1 ve v2=w2/k 2 (3)

k=k1+k2

2 ve w=

w1+w2

2 (4)

diyelim. Burada k 0 ve w0 dalga sayısının ve frekansın ortalama değeridir.

Başlangıçta w1 ile w2 arasındaki farkın küçük olduğunu kabul etmiştik. Bu nedenle k1 ile k 2 arasındaki fark da küçük

olacaktır. Bu durumda

∆ k=k 1−k2 ve ∆ w=w1−w2 (5)

alabiliriz. Bunları (2) denkleminde kullanırsak

y=2 Acos(∆ k2 x−∆w2t)cos (kx−w t) (6)

yazabiliriz. Bu denklemi

A ( x , t )=2 Acos (∆k2 x−∆w2t) (7)

alarak yeniden

y=A (x , t)cos (kx−w t) (8)

formunda yazabiliriz.

Denklem (8) açısal frekansı w , dalga sayısı k ve hızı v f olan bir dalgayı gösterir. Burada

v f=wk (9)

2


olup, faz hızı olarak adlandırılır.

Bu dalganın genliği denklem (7) ile verilen A(x , t) ifadesi tarafından modüle edilir. Dispersif bir ortamda modüle

edilmiş bir dalganın yayılması çeşitli zaman dilimlerinde Şekil 21’de verilmiştir.

Şekil 21. Modüle edilmiş y (x ,t ) dalgasının dispersif bir ortamda yayılması.

Modüle olmuş y (x ,t ) dalgasının x’e göre davranışı eşit δt zaman aralıklarında art arda çizilmiştir. Modüle olmuş dalga sürekli çizgi ile modülasyon nedeniyle oluşan zarf ise kesikli çizgi ile gösterilmiştir. Zarf eğrisi üzerinde seçilen işaretli nokta ve dalga üzerinde seçilen işaretli noktanın zamanla ilerlemesi grup ve faz

hızını temsil etmektedir. Bu örnekte v f>vg olduğu görülmektedir.

3


Bu şekil dikkatle incelendiğinde zarf eğrisinin de ileri gittiği görülür. Zarf eğrisinin ilerleme hızına grup hızı denir ve vg

ile gösterilir. Grup hızı genelde faz hızından farklı değerdedir. Şekil 21’de zarf eğrisi üzerinde bir nokta seçelim (

işaretli nokta), aynı zamanda modüle dalganın üzerinde bir nokta seçelim ( işaretli nokta). Zaman ilerledikçe bu iki

noktanın birbirine göre konumları değişmektedir. Eğer v f ile vg eşit olsaydı, bu iki noktanın birbirine göre konumları

değişmezdi. Şekilde işaretli nokta modülasyon genliğinin hep aynı değerini göstermektedir yani bu noktalar için

A ( x , t ) sabittir.

A ( x , t )=sabit şartı

∆ k2x−∆w

2t=sabit

olması ile mümkündür. Her iki tarafın zamana göre türevi

∆ k dxdt

−∆ w=0 veya dxdt

=∆w∆k

yazabiliriz. Burada dxdt grup hızıdır.

vg=dxdt

=∆w∆k

=w1−w2

k1−k 2(10)

Dispersif bir ortamda w açısal hızı dalga sayısının fonksiyonu olduğundan vg’yi

vg=w(k¿¿1)−w (k¿¿2)k1−k 2

¿¿ (11)

formunda yazabiliriz. Frekans değerleri birbirine çok yakın olduğunda grup hızı için

vg=dxdt

=∆w∆k

=dwdk

ifadesi elde edilir.

Burada sadece iki tek dalga boylu (monokromatik) dalganın üst üste gelmesi ile grup ve faz hızı ifadelerini elde ettik.

Ancak çok daha fazla tek dalga boylu dalgaların üst üste gelmesi durumunda da bu ifadelere ulaşmak mümkündür.

Sonuç olarak

FAZ HIZI: v f=wk (15a)

GRUP HIZI: vg=dwdk (15b)

ifadelerini yazabiliriz.

Grup hızı ifadesine yeniden bakalım: vg=dwdk

w=k v f olduğunu biliyoruz (w=2πf=2π v f❑ v f=f ¿. Bu durumda

vg=dwdk

=d (k v f )dk

=v f+kd v fdk

=v f+kd v fd

ddk

(16)

yazabiliriz. k=2π❑

olduğuna göre

4


ddk

=−2πk2 =−2π

k1k=−❑

k (17)

Bunu denklem (16)’da yerine koyarsak,

vg=v f+kd v fd (−❑k )=vf−d v fd (18)

elde ederiz. Bu ifadelere göre değişik koşullarda grup ve faz hızlarını karşılaştıralım.

i) Genel olarak d v fd

pozitiftir. Bu durumda

vg<v folur. Bu duruma NORMAL DİSPERSİYON denir.

Örneğin, Şekil 21’de başlangıçta işaretli nokta işaretli noktanın önündedir. Ancak zaman ilerledikçe işaretli nokta

öne geçmektedir.

ii) Bazı durumlarda d v fd

negatiftir. Bu durumda

vg>v folur. Bu duruma ANORMAL DİSPERSİYON denir.

iii) Eğer dispersiyon yok ise d v fd

=0 olacak ve

vg=v folacaktır.

5

Dalga ve atmanın grup ve faz hızıv f=2 vg



















MEKANİK DALGALARDA ENERJİ VE GÜÇ

Mekanik dalgalar ortam parçacıklarının yer değiştirmesi sonucu oluştuğundan, hareket enerjisi içerirler. Kütle,

dalganın ilerleme sürecinde dalga ile birlikte taşınmaz. İlerleyen, ard arda gelen kütlelerin birbirlerine aktardığı

enerjidir. Dolayısıyla dalga bir enerji taşıyıcısıdır.

Şimdi T gerilimi altında bir ipinx noktasındaki dx kadarlık bir parçası dy

kadar enine yer değişme yapıldığında dx elemanın herhangi bir andaki

kinetik enerjisini hesaplayalım:

Gerilmiş ipin homojen olduğunu kabul edeceğiz. İpin boyca kütle yoğunluğu

μ olsun (kg /m). Bu durumda dx diferansiyel elemanın kütlesi dm=μdx

olacaktır. Bu elemanın enine hareketi nedeniyle hızı ise u=∂ y∂t dir.

Bu durumda dxelemanının kinetik enerjisi için

dK=12(μdx )( ∂ y∂ t )

2

(1)

yazabiliriz.

Potansiyel enerjiyi, göz önüne alınan küçük ip parçasının düzgün olan ilk konumuna göre deformasyondan sonra boyundaki uzamayı hesaplayarak yazabiliriz.

İpin boyundaki uzama miktarı ile sabit T gerilim kuvvetinin çarpımı deformasyon için yapılan işe eşittir. Böylece göz önüne alınan diferansiyel ip parçası için potansiyel enerji

dU=T (ds−dx ) (2)

olacaktır. Buradads−dx=¿ diferansiyel elemanın enine dy kadar çekilmesi nedeniyle boyunda oluşacak değişimdir. Küçük bir uzama için

ds=√d x2+d y2=dx [1+( ∂ y∂ x )2]

1/2

(3)

yazabiliriz (Bir eğrinin diferansiyel yay elemanı).

6


(1+x )α=1+αx+ α (α−1 )2!

x2+α (α−1 ) (α−2 )

3 !x3+… (4)

Binom serisini kullanarak

[ x=( ∂ y∂ x )2

, α=12 ][1+(∂ y∂ x )

2]1 /2

≅ 1+ 12 ( ∂ y∂ x )

2

(5)

yazabiliriz (daha yüksek mertebeden terimlerin katkısı ihmal edilebilecek kadar küçüktür).

(5 ) ifadesini (3 ) 'de kullanırsak, ds yay elemanı için

ds=dx+dx 12 ( ∂ y∂x )

2

veya

ds−dx=12 ( ∂ y∂ x )

2

dx (6)

yazabiliriz. Bu ifadeyi (2) denkleminde kullanırsak dx diferansiyel elemanı dy kadar yer değişimi nedeniyle oluşacak potansiyel enerji için

dU=12T ( ∂ y∂ x )

2

dx (7)

yazabiliriz. Denklem (1) ve (7)’de verilen kinetik enerji ve potansiyel enerji ifadelerinden enerji yoğunluklarına geçmek mümkün.

Kinetik enerji yoğunluğu olarak adlandıracağımız birim uzunluk başına kinetik enerji ifadesi (bir boyutlu bir ortam için),

K inetik enerji yoğunluğu= dKdx

= 12μ(∂ y∂t )

2

(8a)

Benzer şekilde potansiyel enerji yoğunluğu ise,

Potansiyel enerji yoğunluğu=dUdx

≅ 12T ( ∂ y∂x )

2

(8b)

şeklinde verilir. Burada T=μv2 dir. İki enerji yoğunluklarının bu eşitliği her zaman geçerli olmasına rağmen, ifadeler lineer geri çağırıcı kuvvetlere maruz kalan mekaniksel sistemlerin toplam enerjilerinin eş bölüşümü hakkında bilgiler içermektedir.

Şimdi bu denklemleri

y ( x , t )=Asin (kx−wt )

ile tanımlı x- ekseni boyunca ilerleyen bir dalgaya uygulayalım.

Bu dalganın enine hızı ∂ y (x ,t )/∂t 'ye eşittir.

Bunu u(x , t) ile gösterirsek

7


u ( x , t )=∂ y (x , t)∂ t

=−Awcos(kx−wt ) (9)

olacaktır. Enine hızın maksimum değeri Aw'ya eşittir. Bunu u0 ile gösterelim (u0=Aw ) . ip üzerinde seçilen dx elemanın kütlesi dm=μdx olacaktır. Bu küçük parçanın kinetik enerjisi

dK=12μdx ( ∂ y∂t )

2

=12μdx (Aw )2 cos2(kx−wt ) (10)

olacaktır. Şimdi bir dalga boyu () kadar uzunluğunda ipin kinetik enerjisi için

K=12μ ( Aw )2∫

0

❑

cos2(kx−wt )dx (11)

¿ 12μ (Aw )2∫

0

❑ 12(1−cos2 (kx−wt )⏟

Buradan gele nkatkı=0dır .

)dx=12μ ( Aw )2 1

2

K= 14μ ( Aw )2=1

4(μ )u0

2 (12a)

Bir dalga boyu içinde toplam kinetik enerji sabittir.

dx diferansiyel elemanın potansiyel enerjisi ise (7) ifadesinden

dU=12T ( ∂ y∂ x )

2

dx dU=12μv2 [Akcos (kx−wt )]2dx dir.

Buradan bir dalga boyu içindeki potansiyel enerji için

U=12μ v2 A2 k2∫

0

❑

cos2(kx−wt )dx

U=12μ v2 A2 k2 1

2

U=14μ ( f )2 A2(2π

❑ )2

=14μ (2 πf )2 A2

U=14μ w2 A2=1

4(μ )u0

2 (12b)

yazılabilir. (12a) ve (12b) eşitliklerinden bir dalga boyu içinde toplam kinetik enerjinin, toplam potansiyel enerjiye eşit olduğu görülür. Bu durumda bir dalga boyu içinde toplam enerji için

E=K+U=12μw 2 A2=1

2(μ )u0

2 (12c)

yazabiliriz. Toplam enerjinin genliğin karesi ve frekansın karesi ile orantılı olduğuna dikkat ediniz. Bu eşitlikler tüm t değerlerinde geçerlidir.

8


Şekil-3'de bir dalga boyluk bölgede uzanımın y (x ,t ) enine hızın, anlık kinetik (dK ) ve potansiyel (dU ) enerjisinin x'e göre değişimi verilmiştir.

Şekil-3

a) Belli bir anda, ilerleyen bir sinüs dalgasının bir dalga boyluk () kısmı.

b) Enine dalga hızının anlık değerinin (∂y/∂t¿ x'e göre değişimi.

c) İp üzerinde dx uzunluğundaki elemanın kinetik enerjisinin (dK ¿ x 'e göre değişimi.

d) İp üzerinde dxuzunluğundaki elemanın anlık potansiyel enerjisinin (dU ) x'e göre değişimi.

DALGA TARAFINDAN TAŞINAN ENERJİ

İp boyunca hareket eden sinüzoidal bir dalga oluşturmak için oldukça uzun bir ipin ucundan enine titreştirmek gerekir. Bu titreştirme işi sisteme sürekli bir enerji vermek demektir. İpin her yeni uzunluğu için daha önce hesapladığımız

E=12

(μ )u02 (1)

kadarlık enerji sisteme temin edilmelidir. Dolaysıyla bu enerjiye eşit bir iş, ipin sol ucuna uygulanankuvvet tarafından sağlanmalıdır (Şekil-1)

Şekil -1 Gerilmiş bir ip üzerinde sinüzoidal bir dalganın meydana getirilmesi ve herhangi bir anda uygulanan F kuvvetinin görünüşü.

Sağa doğru v hızı ile ilerleyen

y ( x , t )=Asin(kx−wt ) (2)

dalgayı ele alalım. İpin x=0 'daki ucu bir dış kuvvetin etkisinde kalsın (Şekil-1).T gerilmesine eşit olan dış kuvvet (F), şekilde görüldüğü gibi ipe teğet olarak uygulanmalıdır.

9

y ( x , t )=Asin (kx−wt )

x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0x=0


Saf enine olarak salınan uç noktasının hareketi,

y0 ( t )=−Asin(wt) (3)

ifadesi ile verilir. Bu enine hareket yönündeki F 'nin bileşeni ise,

F y=−Tsinθ≅−Ttanθ≅−T ( ∂ y∂x )x=0 (4)

şeklindedir. (2) denklemindeki fonksiyonun ∂ y∂ x türevini alarak,

∂ y∂ x

=Akcos (kx−wt ) (5)

yazabiliriz. Bunu (4) ifadesini yerine yazarak

F y=−TAkcos(kx−wt )|x=0

F y=−TAkcoswt (6)

ifadesi elde edilir. Şimdi F y kuvvetinin x=0 da dy0 kadar yer değiştirmesi durumda yapılan diferansiyel işi

dW=F ydy0 (7)

yazabiliriz. Buradan

W=∫ Fy dy0=−∫TAkcoswt dy0 (8)

(3) ifadesinden dy0=−Awcoswtdt yazabiliriz. Bunu (8)'de yerine yazarsak

W=∫TAkAwcos2wt dt (9)

Bu integrali t=0 ile t=T p (T p=Periyot ¿ arasında alalım (Burada gerilim T ile periyot T karışmasın diye periyodu T p ile gösterdik)

W=T A2 kw∫0

T p

cos2wt dt

¿T A2kw∫0

T p 12(1−2coswt )dt

¿12T A2 kwT p=

12μv2 A2 2π

❑ w 1f=1

2μ ( f )2 A2 2π

❑wf

10


¿12μ (2πf )⏟

w

wA2

W=12μ w2 A2=1

2μu0

2 (10)

(10) ifadesi ile verilmiş iş, bir periyotluk sürede sisteme sağlanan enerjidir. Birim zamanda sisteme verilmesi gereken enerji yani güç (P) için

P=WT p

= W1/ f

=Wf=12μw2 A2 f=1

2μw2 A2v

P=12μw2 A2 v=1

2μu0

2v

yazabiliriz. Burada 12μu0

2 birim uzunluk başına toplam enerjidir. Buradan iş yapma hızının yani gücün (P), dalga hızı

v ile ip üzerindeki birim uzunluk başına toplam enerjinin çarpımı olduğu anlaşılır.

Enerji kaynakta alıkonamaz, v dalga hızına eşit bir hız ile ortam içinde bir noktadan diğerine aktarılır.

Burada ortamın dağıtkan (dispersif) olmadığını varsayıyoruz. Eğer ortam dağıtkan ise enerji grup hızı ile taşınır.

İpin belli bir kısmı dalga hareketine başlamış ise bu parçanın enerjisi değişmeden kalır.

Bu sonuçlar bir ipte ilerleyen dalgalar için bulunmuş olsa da enerjinin taşınma hızının, gücün veya enerji yoğunluğunun, genlik ve frekansının karesiyle doğru orantılı olması bütün dalgaların genel bir özelliğidir.

Kararlı dalgaların enerji yoğunluğunun genliğe ve frekansa bağımlılığı, ilerleyen dalgaların toplam enerji yoğunluğunun genliğe ve frekansa bağımlılığı ile aynıdır. Ancak, uzayda ilerlemedikleri için, kararlı dalgalarla güç aktarılamaz.

DALGA PAKETİ

Pozitif x yönünde ilerleyen bir düzlem dalgayı (yani sinüs ya da kosinüs dalgası) göz önüne alalım. Düzlem dalga tüm uzaya yayılmış bir dalgadır.

( x ,t )=Acos(kx−wt ) (1)

Burada k= 2π❑ dalga sayısı, w=vk=2 πf açısal frekanstır.

¿∗{Sonlubir bölgede genliği olupdiğer bölgelerde genliği sıfır olan dalgayadalga paketi denir

Düzlem dalganın genliğini bir Gauss eğrisiyle modüle edersek bir dalga paketi oluşturabiliriz.

( x ,t )=Ae−b x2

cos (kx−wt ) (2)

11


Bu fonksiyonun grafiği Şekil-1'deki gibi olacaktır.

Şekil-1. Birim dalga paketi.

Daha kullanışlı diğer bir yol ise, çok sayıda farklı dalga boyunda düzlem dalgalar olup bunları öyle uygun genliklerle toplarız ki (süperpozisyon), küçük bir bölge hariç, diğer yerlerde birbirlerini yok ederler.

Her bir dalga

❑n ( x , t )=an cos(kn x−wnt) (1)

formunda olacaktır. Bunların süperpozisyonu ise

❑n ( x , t )=∑n=1

∞

an cos (kn x−wnt) (2)

olacaktır.

Basit olması bakımından, dalga sayıları birbirine çok yakın k1=k ve k 2=k+∆k ve yine açısal frekansları da birbirine çok yakın w1=w ve w2=w+∆w olan aynı genlikli iki düzlem dalgayı ele alalım:

❑1 ( x ,t )=Acos(kx−wt) (3)❑2 ( x ,t )=Acos [ (k+∆k ) x−(w+∆w ) t ] (4)

Bu dalgaların üst üste gelmesi (süperpozisyonu)

( x ,t )=❑1 ( x , t )+❑2 ( x , t )

¿ Acos (kx−wt )+Acos [( k+∆k ) x−(w+∆ w ) t ]

¿2 Acos [ ∆k2 x−∆w2t ]cos[ 2k+∆k

2x−2w+∆w

2t ] (5)

olacaktır. Burada ∆ k≪2k ve ∆ w≪2w olduğundan

( x ,t )=2 Acos[ ∆k2 x−∆ w2t ]cos [kx−wt ] (6)

yazabiliriz. ( x ,t ) 'nin x 'e bağlı grafiği t=0 anında Şekil-2'de verilmiştir.

12


t=0 anında ( x ,t ) için

(x ,t )t=0=2 Acos ∆k2xcoskx (7)

yazabiliriz. (x ,t=0)'nin ikinci faktörü olan coskx yine bir düzlem dalgadır. Ancak birinci faktör olan

2 Acos ∆k2x ise genliğin periyodik bir zarla modüle olduğunu göstermektedir.

Şekil-2'de iki farklı ilerleme hızı söz konusudur.

1) Faz hızı: Düzlem dalganın belirli bir x noktasını ele alalım. (kx−wt ) faz ifadesi sabit olduğu sürece cos ( kx−wt ) ifadesi aynı değeri verecek, yani aynı noktanın ilerlemesini takip etmiş olacağız. Bu noktanın hızını hesaplarsak

(kx−wt )=sabit (8)

Her iki tarafın t'ye göre türevi alınarak,

k dxdt

−w=0 dxdt=wk

yazabiliriz. Burada dxdt , faz hızıdır, yani

v f=wk (9)

olacaktır.

2) Grup hızı: Dalga paketi genliği modüle eden zarf tarafından oluşturulmuştur. Bu zarfın ilerlemesi paketin ilerlemesi demektir. Bu paket için yine faz bağıntısı yazılırsa yani

∆k2x−∆w

2t=sabit (10)

veya

13

Şekil-2. Dalga sayıları ve açısal frekansları birbirine çok yakın iki dalganın t=0 anında süperpozisyomu (( x ,t )=❑1 ( x , t )+❑2 ( x , t ) ¿ .


dxdt

=∆w∆k (11)

yazabiliriz. Burada dxdt grup hızıdır yani

vg=∆ w∆k (12)

olacaktır.

Bu örnekte dalga paketinin genliği modüle olmuştur, fakat yine sonsuza kadar uzanmaktadır. Yerel bir dalga paketi oluşturmak için çok sayıda düzlem dalga kullanmak gerekir. Ancak yukarda verdiğimiz kavramlar, sonsuz sayıda düzlem dalganın süperpozisyonu durumunda da geçerli olacaktır.

Sonsuz sayıda ve birbirlerine yakın dalga sayılı düzlem dalga varsa, Eşitlik-1'de verilen toplam integral olarak yazılabilir:

( x ,t )=∫0

∞

A (k )cos [kx−w ( k ) t ] dk (13)

Burada w ( k ) dalga paketinin her bir bileşenin ayrı frekansta olabileceğini gösterir. Bu durumda faz hızı için

v f=w (k )k

ve grup hızı için vg=dwdk yazabiliriz.

İLERLEYEN DALGA PAKETİ x=0’da bir sürücünün (vericinin) çıkışı Şekil 2’deki pulsa benzer bir hareketle tanımlanmış olsun. Sürücünün sınırlı bir süre için yaydığı ortalama dalgalar uzay içinde sınırlı büyüklükte bir dalga pulsu oluşturacaklardır. Bu pulsa bir “dalga paketi” ya da “dalga öbeği, dalga kümesi, dalga çıkını” denir.

Dalga paketi grup hızı ile yayılır. k ile w birbirine k (w) dispersiyon bağıntısı ile bağlı olduklarına göre sürücünün çıktısı ∆ w frekans kuşağı içinde bulunması zorunluluğu dalga paketindeki dalga sayılarının bir ∆ k kuşağı içinde bulunmalarını gerektirir.

∆ k=( dkdw ) , ∆ k=∆wv g (14)

Burada vg=( dwdk )’dır.

Aynı zamanda denklem 14’ün birinci terim olarak dikkate alınabilmesi için dispersiyon bağıntısının Taylor serisine açılımında, yüksek terimleri ihmal edebiliriz.

Dalga paketi uzunluğu ile dalga sayısı kuşak genişliğinin çarpımı:∆ x uzunluğundaki, bir dalga paketi, belirli bir x noktasında vg grup hızıyla

14


∆ x ≅ v g∆ t (15)bağıntısı gereğince bir ∆ t süresinde geçer. Denklem (14) ve (15)’in çarpımını alarak

∆ k. ∆ x ≅ ∆wv g

. vg∆ t ≅∆ w .∆ t (16)

Elde ederiz. Böylece ∆ w .∆ t ≥2π olduğundan

∆ k. ∆ x ≥2 π (17)buluruz.

Şekil 2. Yukarıda verilen 1(t) ve 2(t) iki dalga fonksiyonunun toplamı ile elde edilen (t)’nin t’ye göre şekli.

∆ w=70−80=10 t 1=2π10

≅ 6,3 s ∆ t=t 1=2π∆w

≅ 6,3 s

15

Documents

yunus.hacettepe.edu.tryunus.hacettepe.edu.tr/~tatar/fiz217/doc/FİZ217 bolum7b... · Web viewDispersif bir ortamda w açısal hızı dalga sayısının fonksiyonu olduğundan v g