LEZIONE A.4

Modalità rappresentative

TQuArs – a.a. 2010/11Tecniche quantitative per l’analisi nella ricerca sociale

Giuseppe A. Micheli

In questa lezione..

In questa lezione proseguiremo nella procedura di sintesi delle informazioni.

Abbiamo già conosciuto i primi tre passi di sintesi:

La ricodifica in matrice;

La classificazione in forma di variabile statistica

La rappresentazione grafica.

Il quarto passo è quello della individuazione e calcolo di misure di misure di sintesi delle distribuzioni di frequenzasintesi delle distribuzioni di frequenza. Esse sono come i tratti tratti identificativi di una carta d'identitàidentificativi di una carta d'identità.

In questa lezione acquisteremo familiarità con la media e la moda.a media e la moda.

Ne vedremo le proprietà e le procedure di calcolo.Ne vedremo le proprietà e le procedure di calcolo.

Infine calcoleremo tali misure Infine calcoleremo tali misure per miscugli di popolazioniper miscugli di popolazioni.

 

Tratti identificativi

Carta di identità di

Pippo Superman

Tratti identificativi:

Quanto è alto? __

Quanto pesa?___

Colore occhi____

………….. _____

Carta di identità di

Distribuzione dei redditi di XLand

Tratti identificativi:

Quale è il reddito medio? ________

Quanta è la disuguaglianza?_

E’ asimmetrica?__

………….. _____

Come in una carta d'identità, non po-tendo descrivere la persona o variabile statistica nei minimi dettagli, ci limi-teremo a identificarla mediante alcune misure sintetiche:misure di posizione (centro)misure di dispersione o variabilitàaltre misure di forma (simmetria,...)

NOTA: sintetizzando perdiamo sempre informazioni. Se di un ricercato sappiamo solo che è

alto 1.70, pesa 63 kg. e ha occhi castani, quanti di voi

potrebbero essere "vittime di errore giudiziario"?

Misure di posizione

Le misure di posizione misurano l'attitudine di un fenomeno X a localizzarsi in un intorno delimitato dell'asse reale, che siamo indotti a ritenere il centrocentro di X.

Quale è il partito di

maggioranza?

La lunghezza delle gonne varia di anno in anno.

Qual è la moda di quest’anno?

A che età avviene ‘di

regola’ l’andata

in pensione? Qual è il numero medio di figli per donna in Italia?

Possiamo chiamare queste misure genericamente "medie".

Due definizioni di media

Una media M = g(xUna media M = g(x11, x, x22,..., x,..., xmm) è un indice sintetico di una di-) è un indice sintetico di una di-

stribuzione statistica, che alle diverse modalità del carattere ne stribuzione statistica, che alle diverse modalità del carattere ne sostituisce una sola che, per il modo in cui è stata scelta, possa sostituisce una sola che, per il modo in cui è stata scelta, possa ritenersi rappresentativa o tipicaritenersi rappresentativa o tipica.

Se la v.s. è quantitativa la media indicherà l'ordine di grandezzal'ordine di grandezza del carattere studiato. In caso di v.s. quantitative definiamo:

Media in senso stretto di una v.s. X è una qualsiasi funzione Media in senso stretto di una v.s. X è una qualsiasi funzione reale M = reale M = (x(x11,.., x,.., xmm; n; n1,1,.., n.., nmm) che soddisfi 3 proprietà) che soddisfi 3 proprietà:

InternalitàInternalità [Cauchy]: la media deve essere compresa tra il mini-mo e il massimo valo-re assunto dalla varia-bile.

MonotonicitàMonotonicità: date due v.s. X e Y, con osserva-zioni identiche salvo (al-meno) una per la quale sia yi >xi, la media di Y non può essere più pic-cola della media di X.

MoltiplicativitàMoltiplicatività [o in-varianza rispetto all’u-nità di misura]: se C è una costante reale e o-gni modalità xi è mol-tiplicata per C, anche la media è moltiplicata per C.

Medie analitiche, medie lasche

La definizione di media in senso stretto è restrittiva.

Può essere soddisfatta da medie calcolate su v.s. quantitative, che quindi possono «coinvolgere in un'unica funzione coinvolgere in un'unica funzione di sintesi matematica di sintesi matematica tutti i termini della distribuzione, xtutti i termini della distribuzione, xii e n e nii». Una mediamedia calcolata in questo modo si dice analiticaanalitica.

Una media che non coinvolge nel calcolo tutti i termini della Una media che non coinvolge nel calcolo tutti i termini della distribuzione si dice media lascadistribuzione si dice media lasca.

Grazie alla loro procedura di costruzione, alcune medie lasche possono essere calcolate anche per mutabili. In compenso potranno non godere della terza proprietà (di monotonicità).

Medie lasche (o "medie in senso lato“) sono la moda e la mediana.

Di medie analitiche ce n’è una gran varietà. La più ‘naturale’ e di uso comune è la media aritmetica ponderata.

In questa lezione faremo conoscenza della Media aritmetica e della Moda.

Medie come modalità rappresentative

Di medie, s’è detto, sia generiche che in senso stretto, se ne possono de-finire molte. Noi ci fermeremo su alcune, a cui corrisponde un significato logico comprensibile e utile. Medie che siano per noi davvero rappresen-rappresen-tativetative della popolazione analizzata. In particolare definiremo medie che:

Corrispondono alla modalità più osservatamodalità più osservata (es. partito di mag-gioranza, abbigliamenti ‘in’ o di moda…).

Corrispondono alla modalità ‘di mezzo’ della popolazionemodalità ‘di mezzo’ della popolazione, quella che sta ‘al centro del plotone’ (vedi l’immagine oraziana dell’”in medio stat virtus”, o ‘l’uomo medio’ di Quetelet o di Asimov).

Corrispondono a una modalità ‘virtuale’modalità ‘virtuale’ che, se sostituita a tutte le modalità di fatto osservate, lascia immutata una misura ‘di sin-lascia immutata una misura ‘di sin-tesi’ della popolazionetesi’ della popolazione (es.: il reddito medio è quello che sostituito ai diversi redditi lascia inalterato il reddito complessivo della col-lettività; il tasso di incremento del costo della vita negli anni ’90 è quello che, sostituito ai diversi tassi annui, lascia inalterato il tasso di incremento sull’intero decennio..).

Medie e livelli di misurazione

I tre significati di media corrispondono a livelli diversi di misurazione. I tre significati di media corrispondono a livelli diversi di misurazione.

Medie che corrispondono..

Richiedono operazioni di .. Livello di misurazione

Alla modalità più osservata

Spoglio delle modalità, di qualunque tipo esse siano

Tutte Tutte (nominali, ordi-nali, quantitat.)

Alla modalità ‘di mezzo’

Ordinamento delle modalità in una sequenza crescente o decrescente

OrdinabiliOrdinabili (ordinali, quantitative)

Alla modalità che, sostituita alle xi, lascia immutata una misura di sintesi

Sintesi algebrica delle proprietà individuali (somma, prodotto) per determinare la corrispondente proprietà collettiva

Solo Solo quantitativequantitative

Medie e funzione obiettivo

Anche se si possono applicare solo a variabili quantitative, medie del terzo tipo (le medie analitiche) corrispondono all’idea più diffusa e all’uso comune delle medie. Esse implicano l’esistenza di una sintesi algebrica sintesi algebrica delle proprietà individuali in una corrispondente proprietà del delle proprietà individuali in una corrispondente proprietà del collettivo, che abbia un significato utile e condivisocollettivo, che abbia un significato utile e condiviso.

Media obiettivo (o secondo Chisini)Media obiettivo (o secondo Chisini) rispetto a una data funzione o-funzione o-biettivobiettivo è quel valore numerico che, sostituito a ogni modalità osservata, lascia inalterata la funzione obiettivo stessa. Una media analitica richiede:

la possibilità di maneggiare algebricamente le modalità individuali osservate,

una scelta ragionata della misura di sintesi.

Dunque non esiste una media buona “per tutte le stagioni”, ma la non esiste una media buona “per tutte le stagioni”, ma la media giusta per ogni “funzione obiettivo”.media giusta per ogni “funzione obiettivo”.

Intensità totale e media aritmetica

La funzione obiettivo più diffusa è l’intensità totalel’intensità totale del carattere studiato, cioè la somma delle modalità osservate nelle N unità somma delle modalità osservate nelle N unità della popolazionedella popolazione. L’intensità totale ripartita tra le N unità è la L’intensità totale ripartita tra le N unità è la media aritmetica.media aritmetica.

Carattere / popolazione Intensità totale Media aritmetica

Reddito annuo / cittadini Prodotto interno Reddito pro capite

Nascita di un figlio nell’anno / donne

Totale nascite annue Numero medio figli per donna

Ore lezione / docenti Monte ore Numero medio ore/docente

Furti / province Ammontare nazionale microcriminalità

Media furti per provincia

m

i

m

iii

iix N

nxfxmXEXMm

1

11)()(

Media aritmetica ‘pon-pon-derata’derata’: le modalità so-

no ‘ponderate’ con le rispettive frequenze

Calcolo della media aritmetica

xi

x1

x2

x3

x4

x5

ni

n1

n2

n3

n4

n5

N

fi= ni /N

f1= n1/N

f2= n2/N

f3= n3/N

f4= n4/N

f5= n5/N

1

xi ni

x1 n1

x2 n2

x3 n3

x4 n4

x5 n5

T

xi fi

x1 f1

x2 f2

x3 f3

x4 f4

x5 f5

T/N

Per calcolare una media aritmetica usere-mo la rappresentazione incolonnata di una v.s.. Alle colonne già note dovremo ag-giungere quella delle intensità specifiche (xi

ni) o, equivalentemente, delle intensità specifiche relative (xi fi).

L’intensità totale del ca-rattere studiato si ottiene facendo la somma della colonna delle intensità specifiche:

T = xi ni

La media aritmetica si ot-tiene dividendo T per N, oppure facendo la somma della colonna delle inten-sità specifiche relative:

m = xi fi m = T/N

Un esempio su variabili discrete (e 3 annotazioni)

(I) Le intensità specifiche (assolute) han-(I) Le intensità specifiche (assolute) han-no un significato concreto: 350 è il monte no un significato concreto: 350 è il monte totale di azioni possedute dai piccoli totale di azioni possedute dai piccoli azionisti (10 azioni a testa), mentre 200 è azionisti (10 azioni a testa), mentre 200 è il monte azioni dei grandi azionisti.il monte azioni dei grandi azionisti.

010203040

xxii

nnii

xi ni fi

10 35 0,7609

50 9 0,1956

100 2 0,0435

niente 46 1,00

xi ni xi fi

350 7,61

450 9,78

200 4,35

1000 21,74

Torniamo ai 46 azionisti e loro azioni

m = xi fi = 21,74

m =T/N=1000/46

=21,74

(II) L’uso di frazioni (II) L’uso di frazioni come le frequenze come le frequenze relative nel calcolo relative nel calcolo richiede di portarsi richiede di portarsi dietro un ‘congruo’ dietro un ‘congruo’ numero di decimalinumero di decimali

m=21,739

(III) La media aritmetica è una modalità ‘virtuale’! Essa può non corrispondere a (III) La media aritmetica è una modalità ‘virtuale’! Essa può non corrispondere a nessun valore osservato e nemmeno osservabile (cfr 2,1 figli per donna..)nessun valore osservato e nemmeno osservabile (cfr 2,1 figli per donna..)

Variabili per classiIl calcolo della media aritmetica coinvolge nel conto tutte le modalità e numerosità. Che fare, se una variabile è per classi? Quale valore assumiamo per ogni intervallo? Il minimo? Il massimo? Uno a caso?

Anche se comporta rischi di errore, si sceglie di prendere il valore centrale di ogni intervallo, cioè la semisomma degli estremi: vci = (xi

INF + xi

SUP)/2.

Pazienti anoressiche per età di insorgenza

xi-xi+1 ni(xi+xi+1)/2 fi vci x fi

9-11 11 10 0,077 0,770

11-14 45 12,5 0,317 3,963

14-19 63 16,5 0,444 7,326

19-25 23 22 0,162 3,564

142 1,000 15,623

Nota: prendere il valore centrale delle classi non è solo una scelta pragmatica. Abbiamo costruito l’istogramma con l’ipotesi di distribuzione uniforme entro ogni intervallo, e la mediala media di una distribuzione di una distribuzione rettangolare è rettangolare è proprio laproprio la semisomma semisomma.

0

4

8

12

16

20

0 5 10 15 20 25 30

mmxx=15,6=15,6

xxii

hhii

Un secondo esempioxi |- xi+1

0 |- 20

20 |- 40

40 |- 60

60 |- 80

80 |- 100

100|-160

160|-300

ni

126

439

346

123

37

22

6

1099

fi

11,46

39,95

31,48

11,19

3,37

2,00

0,55

100

VCi

10

30

50

70

90

130

230

vci x fi

1,146

11,985

15,740

7,833

3,033

2,600

1,265

43,6

0

4

8

12

16

20

24

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

xi

hi

Famiglie per reddito annuo (milioni lire)

vci x ni

1260

13170

17300

8610

3330

2860

1380

47910

mx = T/N = 47910/1099 = 43,6 (il grafico è espresso in decine di milioni)

mx=4,36

Un esempio riassuntivo xi |- xi+1

0,0 |- 0,8

0,8 |- 1,2

1,2 |- 1,6

1,6 |- 2,0

2,0 |- 2,4

2,4 |- 2,8

2,8 |- 3,2

3,2 |- 3,6

3,6 |- 4,0

4,0 |- 4,4

4,4 |- 4,8

4,8 |- 5,2

5,2 |- 6,0

6,0 |- 8,0

8,0 |- 12

milano

ni

4

1

7

10

9

23

11

15

8

6

3

3

3

8

3

114

xi

0,4

1,0

1,4

1,8

2,2

2,6

3,0

3,4

3,8

4,2

4,6

5,0

5,6

7,0

10,0

xini

1,6

1,0

9,8

18,0

19,8

59,8

33,0

51,0

30,4

25,2

13,8

15,0

16,8

56,0

30,0

381,2

ni

7

9

55

103

88

123

68

50

30

41

15

11

12

13

3

628

xi

0,4

1,0

1,4

1,8

2,2

2,6

3,0

3,4

3,8

4,2

4,6

5,0

5,6

7,0

10,0

piccoli

xini

2,8

9,0

77,0

185,4

193,6

319,8

204,0

170,0

114,0

172,2

69,0

55,0

67,2

91,0

30,0

1760,0

Possiamo ora fare confronti tra medieconfronti tra medie:

mxM=381,2/114=3,34

mxP=1760,0/628=2,80

Il reddito medio di Mi-lano è assai più elevato di quello dei piccoli co-muni della Regione

Una cosa da notare:La classe di reddito a

cui corrisponde il maggiore ammontaredi reddito non è perforza l’ultima, quella

dei più ricchi: è quella dei numerosi ceti medi

(2,4-2,8 milioni)

Proprietà della media aritmetica

La media aritmetica rispetta le tre proprietà di base delle medie La media aritmetica rispetta le tre proprietà di base delle medie analitiche.analitiche.

InternalitàInternalità: m=21,74 azioni sta in mezzo tra x: m=21,74 azioni sta in mezzo tra x11 (10) e x (10) e xmm (100) (100)

Invarianza alle trasformazioniInvarianza alle trasformazioni: se ogni azioni vale 1,5 euro, la : se ogni azioni vale 1,5 euro, la v.s. “Valore azionario posseduto in euro” è una trasformata v.s. “Valore azionario posseduto in euro” è una trasformata Y=1,5Y=1,5**X. La media di Y è effettivamente = 1,5X. La media di Y è effettivamente = 1,5**m(X)m(X)

MonotonicitàMonotonicità: se i due grandi azionisti incrementano il loro pac-: se i due grandi azionisti incrementano il loro pac-chetto portandolo a 150 azioni ciascuno, il monte azioni totale di-chetto portandolo a 150 azioni ciascuno, il monte azioni totale di-venta T=1100 e la media aritmetica diventa 23,9. La spe-venta T=1100 e la media aritmetica diventa 23,9. La spe-requazione del mercato cresce, ma la media procapite aumenta!requazione del mercato cresce, ma la media procapite aumenta!

Ma essa possiede anche altre due proprietà assai importanti :Ma essa possiede anche altre due proprietà assai importanti :

BaricentricitàBaricentricità: la media a. è il ‘baricentro’ della distribuzione: la media a. è il ‘baricentro’ della distribuzione

Minimizzazione del dannoMinimizzazione del danno: la media a. rende minima una : la media a. rende minima una funzione di errore o di perdita di informazioni funzione di errore o di perdita di informazioni

Il concetto di baricentro

La rana è più grassa della gru: l’altalena non è in equilibrio. Come fare per portarla in equilibrio?

A sinistra possono appollaiarsi più gru a diverse di-stanze: ora la somma dei pesi delle gru moltiplica-te per le loro distanze dal cuneo che fa da punto di appoggio è pari al prodotto del peso della rana per la sua distanza dal cuneo. L’altalena è in equilibrio.

Più semplicemente, basta spostare il fulcro dell’al-talena: ora la distanza della rana, moltiplicata per il suo peso, pareggia il peso della gru moltiplicato per la distanza dal fulcro. L’altalena è in equilibrio.

Il fulcro è il Il fulcro è il baricentro baricentro dell’altalenadell’altalena

Media aritmetica come baricentro

La media aritmetica ponderata è il baricentro di una v.s.: essa cioè si situa nel punto di equilibrio centrale della distribuzione, così che la somma delle modalità (distanze dal fulcro) alla sua sinistra, ponderate per le rispettive numerosità (pesi), pareggia la somma delle modalità alla sua destra, ponderate per le rispettive numerosità.

Algebricamente questa proprietà si esprime così: "la somma degli scarti la somma degli scarti semplici delle modalità osservate dalla media aritmetica, ponderati semplici delle modalità osservate dalla media aritmetica, ponderati per le rispettive frequenze (o numerosità) è zeroper le rispettive frequenze (o numerosità) è zero"

01

p

iixi fmx

p

iix

p

iii

p

iixi fmfxfmx

111

01 1

xx

p

iixx mmfmm

Infatti:

C.V.D.

Un esempio

xi ni xi ni

10 35 350

50 9 450

100 2 200

46 1000

(xi-m) (xi-m)n i

-11,739 -410,87

28,261 +254,35

78,261 +156,52

1000 0

010203040

m=21,739

Nota:

La proprietà è soddisfatta sia ponderando con le numerosità che pe-sando con le frequenze relative.

La media aritmetica è l’unica media che possiede questa proprietà.

Verifichiamo la proprietà della media come baricentro con un esempio già conosciuto:

Il concetto di funzione di perdita

Supponete che una grande azienda di abbigliamento basi la propria pro-duzione di giacche sulle statistiche dell’ufficio Leva nazionale, da cui ri-sulta che la taglia media dei giovani italiani è la 48.

L’azienda produca allora giacche ‘giovanili’ solo di taglia 48. I giovani di taglia 46 ci staranno larghi, i ’50’ stretti e brontoleranno. Ma tutti gli altri (i 44, i 52..) si incavoleranno proprio e cambieranno marca..

Data un v.s. X e un indice di posizione , misuro la perdita di informazione con una "funzione di perditafunzione di perdita":

L(SL(Skk) = L(x) = L(xkk – – ))kk > 0 > 0 k, per k = 1,...N k, per k = 1,...N

Ci sono tante "leggi di perdita“ secondo il valore di k. Per esempio:

scarti assoluti: L(Sscarti assoluti: L(Skk)=|x)=|xkk––|; o scarti quadratici: L(S|; o scarti quadratici: L(Skk)=(x)=(xkk––)²)²

Data una funzione di perdita definita per un k definiamo DANNODANNO la media aritmetica della perdita. Scegliamo la media Scegliamo la media che minimizza il danno che minimizza il danno.

Media aritmetica come misura di minimo danno

c.v.d. m= SSE min

021

2

x

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

xx

m

iixix

m

iix

m

iixi

m

iixxi

m

iixxi

m

iii

mmKost

fmxm

fmfmx

fmmx

fmmxfx

x1

2 m= SSE min

m

iii fx

La media aritmetica è la misu-La media aritmetica è la misu-ra di posizione che rende mini-ra di posizione che rende mini-ma una funzione quadratica di ma una funzione quadratica di perdita di informazione.perdita di informazione.

= i(xi -)2fi

min

mLa media m è il valore di in cui la funzione quadratica pervie-ne al suo minimo. In tal punto la tangente alla curva (cioè la deri-vata) ha pendenza nulla. Quindi:

=min dove d/d =0

Medie di miscugliTorniamo all’esempio delle province secondo il tasso di disoccupazione

xi|-xi+1 xi niT xi ni

T

0–5 2,5 15 37,5

5-10 7,5 44 330,0

10-15 12,5 25 312,5

15-25 20 16 320,0

Italia 100 1000,0

xi niN xi ni

N

2,5 15 37,5

7,5 36 270,0

12,5 4 50,0

20 0 0,0

Nord 55 357,5

xi niS xi ni

N

2,5 0 0,0

7,5 8 60,0

12,5 21 262,5

20 16 320,0

Sud 45 642,5

Nel nord le 55 province hanno un tasso medio mN(x)=357,5/55=6,5

Nel sud le 45 province hanno un tasso medio mS(x)=642,5/45= 14,278

In Italia le 100 province hanno un tasso medio mT(x)=1000/100= 10

Ma il tasso nazionale si ottiene anche come media ponderata dei tassi delle due ripartizioni: mT(x)= [mN(x)nN . mS(x)nS]/N. In generale:

La media di un miscuglio è pari alla media delle medie delle singole subpopolazioni, ponderate per le rispettive numerosità.

Variabili qualitative: la moda e il suo calcolo

xi ni fi

Sufficiente 33679 0,667

Insuff. 3 mesi 6291 0,124

Insuff. 6 mesi 10574 0,209

X=acqua corr. 50544 1,000

sufficienteinsuff 3minsuff 6m0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

xi ni fi

Sinistra 20 0,113

Centrosin. 45 0,254

Centro 39 0,220

Centrodes. 59 0,290

Destra 20 0,113

X=deputati 177 1,000

dxcdxcxcsxsx06

121824303642485460

Per variabili Per variabili qualitative la qualitative la Moda è la Moda è la modalità con modalità con la massima la massima frequenza.frequenza.

Calcolo della moda per variabili quantitative

xi ni fi

10 35 0,7609

50 9 0,1956

100 2 0,0435

46 1,00

010203040

m=21,74

xi-xi+1 ni

9-11 11

11-14 45

14-19 63

19-25 23

142

MMxx=15,6=15,6

Per v.s. discrete la Moda Per v.s. discrete la Moda è il valore più frequente-è il valore più frequente-mente osservato. mente osservato.

Per v.s. per classi Moda è Per v.s. per classi Moda è la semisomma della clas-la semisomma della clas-se con massima densità se con massima densità di frequenzadi frequenza

hi=ni/i

5,50

15,00

12,60

3,83

Md=12,5Md=12,5

Md=10Md=10

0

4

8

12

16

20

0 5 10 15 20 25 30

Max hi = 15,00

Md = (11+14)/2

= 12,5

Proprietà della moda

dxcdxcxcsxsx06

121824303642485460

Variabile bimodale La moda (Md) è la modalità a cui corrisponde La moda (Md) è la modalità a cui corrisponde la massima frequenza (v.s. discrete) o la la massima frequenza (v.s. discrete) o la massima densità di frequenza (v.s. per massima densità di frequenza (v.s. per classi)classi)(si distingue una classe modale (max den-sità) e un valore modale (valore centrale classe).Un fenomeno può avere più di una modapiù di una moda; si dirà bi-modale, tri-modale, amodale (tutte le modalità con uguale frequenza).

La moda è data a ogni livello di misurazioneLa moda è data a ogni livello di misurazione.Ma Ma non soddisfa la proprietà di monotonicitànon soddisfa la proprietà di monotonicità..Esempio: Nel tema in classe ci sono stati 10 quattro, 11 cinque, 6 sei, 2 sette, 1 otto. Md=5, M=5,1. Se il prof alza due voti da 5 a 6, M=5,17 ma Md=4. 87654

0

3

6

9

12

15

876540

3

6

9

12

15

Il fatto è che la moda non coinvolge nel conto Il fatto è che la moda non coinvolge nel conto tutte le modalità. Per lo stesso motivo la moda tutte le modalità. Per lo stesso motivo la moda di un miscuglio si comporta in modo imprevistodi un miscuglio si comporta in modo imprevisto(pensate a un corridore al Giro che vince la classifica ‘a punti’ senza vincere neanche una tappa)