Lezioni di Meccanica del Volo1 - Modellazione del velivolo

L. Trainelli

1

2Indice

1 INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1 Scelte di modellazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Equazioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Forze agenti sul velivolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Ipotesi di Terra piatta e non rotante . . . . . . . . . . . . 5

2 CINEMATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1 Cinematica delle traiettorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Posizione, velocita`, accelerazione . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Velocita` al suolo e allaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Grandezze integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.4 Riferimento orizzonte locale . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.5 Quota di volo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.6 Velocita` orizzontale e verticale . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.7 Angoli di traiettoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.8 Classificazione delle manovre . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Cinematica degli assetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Configurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Atto di moto rigido e velocita` di volo . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Riferimento solidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4 Angoli dassetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.5 Componenti solidali della velocita` . . . . . . . . . . . . . 152.2.6 Angoli aerodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.7 Componenti solidali della velocita` angolare . . . . . . . . 172.2.8 Riferimento aerodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.9 Volo simmetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.10 Ipotesi di angoli piccoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 DINAMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1 Dinamica traslatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Quantita` di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.2 Derivata della quantita` di moto . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.3 Definizione della spinta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.4 Espressioni per le forze applicate . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Dinamica rotatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.1 Riduzione al baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Risultante e momento risultante delle quantita` di moto . 253.2.3 Derivata del risultante e del momento risultante delle quan-

tita` di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.4 Espressioni per i momenti applicati . . . . . . . . . . . . . 27

3.3 Manovre stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1 aprile 2008(Versione 2.2)

1 INTRODUZIONE 3

The three most useless things in the world are the altitude above you, therunway behind you and a tenth of a second ago.

one of the Flight rules (from the Internet).

1 INTRODUZIONE

1.1 Scelte di modellazione

In questa sezione consideriamo la modellazione del velivolo, ed in parte anchedellambiente in cui questo si trova ad operare. Questa modellazione non e` altroche unidealizzazione che permette di formalizzare matematicamente i problemidella Meccanica del Volo Atmosferico.

A questo fine, notiamo che come frequente nellIngegneria sono disponibilidiverse scelte modellistiche caratterizzate da un diverso livello di dettaglio nelladescrizione del sistema da analizzare. Ad esempio, nel caso della Meccanica delVolo, per la struttura del velivolo si puo` fare riferimento, in ordine crescente dicomplessita`, ai modelli di

1. punto materiale nel piano o nello spazio (2 o 3 gradi di liberta`);

2. corpo rigido nel piano o nello spazio (3 o 6 gradi di liberta`);

3. corpo deformabile (sono possibili numerose possibilita` combinando tra loroelementi di trave, guscio, continuo tridimensionale, con un numero di gradidi liberta` dellordine tra 101 e 105).

La scelta di un modello piuttosto che un altro dipende fortemente dalle caratte-ristiche del risultato che si vuole ottenere. Sommariamente possiamo dire che,nel caso del velivolo, i modelli appena citati sono utilizzati al fine di analizzarne

1. le traiettorie, e quindi la maggior parte delle prestazioni, che determinanole caratteristiche di volo;

2. le condizioni di equilibrio, stabilita` e controllabilita` e la risposta dinamica,che concorrono a definire le qualita` di volo;

3. il comportamento aeroelastico.

E` chiaro che la modellazione strutturale si dovra` accompagnare ad una model-lazione aerodinamica e propulsiva di livello analogo per ottenere un modello disistema consistente. Ecco quindi che, se per il punto materiale e per il corporigido e` giustificata ladozione di una descrizione aerodinamica per mezzo di coef-ficienti sperimentali di forza e momento, per modelli deformabili di complessita`crescente risulta via via necessario rivolgersi a modelli dellaerodinamica capa-ci di supportare sempre maggiore dettaglio, passando cos` dalla linea portante

1 INTRODUZIONE 4

(strip theory), ai metodi ad elementi di contorno (panel methods e BEM, boun-dary element methods), fino alle tecniche CFD (computational fluid dynamics)basate su approcci agli elementi finiti, alle differenze finite, ai volumi finiti, etc.

Ai fini di questo corso, i modelli strutturali dinteresse si limitano a quelli dipunto materiale e di corpo rigido, corroborati da modelli aerodinamici semplicibasati su coefficienti sperimentali di forza e momento e da modelli propulsivi dianaloga semplicita`.

1.2 Equazioni fondamentali

Il punto di partenza fondamentale per i ragionamenti della Meccanica del VoloAtmosferico e` rappresentato dalle equazioni cardinali alla traslazione (per ilpunto materiale e per il corpo rigido) e alla rotazione (per il solo corpo rigido),altrimenti dette equazioni di bilancio delle forze e dei momenti, ovvero equazionidi conservazione della quantita` di moto e del momento delle quantita` di moto.

1.2.1 Forze agenti sul velivolo

Le equazioni cardinali si scrivono, rispetto ad un riferimento inerziale F i, comesegue:

dQdt

=k

Fk,

dHPdt

+ vP Q =k

MkP ,(1)

dove Q rappresenta la quantita` di moto risultante, HO il momento risultantedelle quantita` di moto rispetto al generico polo P in moto con velocita` vP , {Fk}tutte le forze, attive e reattive, applicate sul sistema e {MkP } i corrispondentimomenti ridotti ad P .

Le forze in gioco, nel caso del velivolo, sono date, nel caso di volo libero, da

forze aerodinamiche, di risultante F e momento risultante MP ; forze propulsive esterne,1 di risultante Ta e momento risultante aP ; forze gravitazionali, di risultante W e momento risultante P = W (P G), dove G e` il baricentro;

a cui si aggiungono, nel caso di volo vincolato (come nel caso di un aliantetrainato in quota) oppure di moto in contatto con il suolo o con uno specchiodacqua,

forze reattive, di risultante R e momento risultante NP .1 Il significato di questa dizione sara` chiarito nel seguito.

1 INTRODUZIONE 5

Pertanto, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale F i, le equazioni cardi-nali assumono la forma2

Q = F+Ta +W +R,

HP + vP Q =MP + aP +P +NP ,(2)

Naturalmente, alcuni dei termini presenti a secondo membro possono esserenulli, come nel caso di volo libero (i termini di reazione vincolare) oppure di volonon propulso (i termini propulsivi). Non sono mai nulli, nel volo atmosferico,invece i termini di natura aerodinamica e quelli di natura gravitazionale.

1.2.2 Ipotesi di Terra piatta e non rotante

Volendo descrivere ed analizzare il volo di un velivolo, risulta naturale osservareil moto da un sistema di riferimento Fe solidale alla Terra, e quindi, in linea diprincipio, non inerziale. Infatti la Terra e` animata di un moto complesso rispettoad un sistema di riferimento inerziale (le cosiddette stelle fisse), comprendenteil moto di rivoluzione attorno al Sole, il moto di rotazione attorno al proprioasse polare ed altri moti di minore entita`.

Nel caso si osservi il moto in un sistema di riferimento non inerziale Fm, leequazioni cardinali assumono la forma

dQdt

=k

Fk + FFm

,

dHPdt

+ vP Q =k

MkP +MFmP ,

(3)

dove FFm

eMFm

P rappresentano il risultante ed il momento risultante delle forzeapparenti (centrifughe e di Coriolis), ossia di quelle azioni fisicamente inesisten-ti che permettono di estendere la validita` delle equazioni cardinali a sistemi diriferimento non inerziali. Lentita` di queste azioni e` funzione dellaccelerazio-ne lineare, della velocita` angolare e dellaccelerazione angolare del sistema diriferimento Fm rispetto ad un qualunque sistema di riferimento inerziale F i.

Ai fini della Meccanica del Volo Atmosferico, non e` difficile dimostrare che levelocita` e le quote in gioco comportano valori del risultante FF

e

e del momentorisultante MF

e

O del tutto trascurabili rispetto ai valori che possono assumere leforze aerodinamiche, propulsive e gravitazionali. Pertanto, per i nostri scopi,

assumeremo che un sistema di riferimento solidale alla Terra si possaconsiderare inerziale, e quindi che valgano le equazioni cardinali 2.

Di fatto, cio` corrisponde a trascurare i moti della Terra rispetto alle stelle fisse,ed in particolare il moto che tra tutti ha gli effetti piu` rilevanti perche carat-terizzato dalla velocita` angolare piu` elevata, ossia quello di rotazione attornoallasse polare.

2 Indichiamo con un punto sovrapposto la derivata rispetto al tempo di una grandezza.

2 CINEMATICA 6

A questassunzione, detta ipotesi di Terra non rotante, si aggiunge unaltraassunzione sulla sua forma geometrica: lipotesi di Terra piatta. Trascurando lacurvatura della superficie terrestre, si ha che

le traiettorie a quota costante (isoipse) possono essere assunte come ret-tilinee invece che approssimativamente circolari, il che a sua volta portaa trascurare leffetto della forza centrifuga relativa alla curvatura dellatraiettoria rispetto a quella gravitazionale.

il campo gravitazionale possa essere considerato un campo di vettori pa-ralleli, normali alla superfici terrestre.

Dato che il campo gravitazionale effettivo (quello che produce leffetto del peso)deriva dalla composizione del campo gravitazionale in senso stretto (funzionedella distanza dal centro della Terra) con il campo delle forze centrifughe (fun-zione della distanza dallasse polare della Terra), e quindi di fatto variabile conla quota e la latitudine, linsieme delle due assunzioni appena viste consen-te di approssimare il campo gravitazionale effettivo come un campo vettorialeuniforme, ossia caratterizzato da unintensita` g = const , di modulo

g := g = 9.810m/s2 (4)

(si tratta di un valore di riferimento, pari al valore medio misurato a quota zeroalla latitudine di 45 Nord).

Lipotesi di Terra piatta, quindi, consiste nellestendere lapprossimazionedella superficie terrestre con il suo piano tangente in un certo punto. Se dalpunto di vista delle grandezze locali, o puntuali, cio` risulta sempre giustificato,non e` sempre cos` nel caso delle grandezze globali, o integrali. Queste, infatti,sono legate ad una porzione finita di traiettoria (distanze, tempi, consumi, etc.)e quindi possono assumere valori significativamente differenti se calcolati su unatraiettoria rettilinea o su un arco di curva, tipicamente di lossodromia (trattodella curva piu` breve che unisce due punti sulla superficie terrestre). Pertan-to, nei calcoli di navigazione ed in generale nella stima accurata di grandezzeintegrali realative a crociere prolungate, puo` essere necessario considerare unaforma geometrica della Terra piu` realistica.

2 CINEMATICA

2.1 Cinematica delle traiettorie

Per lanalisi delle traiettorie, adottiamo il modello di velivolo puntiforme, equindi consideriamo il velivolo come rappresentato dal punto materiale P . Ilmoto del punto P viene descritto rispetto ad un riferimento solidale alla TerraFe.

2 CINEMATICA 7

2.1.1 Posizione, velocita`, accelerazione

Detto O un punto fisso sulla superficie della Terra, la posizione del velivolo r(t)e` data dal vettore

r = P O. (5)Se introduciamo unascissa curvilinea s lungo la traiettoria, in modo da consi-derare r funzione di s, a sua volta funzione di t, la velocita` del punto P risultadata da

r = s et, (6)

dove et e` il versore tangente alla traiettoria nel punto P . Inoltre, laccelerazionedel punto P risulta data da

r = s et +s2

Ren, (7)

dove en e` il versore normale principale alla traiettoria ed R il raggio di curvaturadella traiettoria relativi al punto P . I versori tangente e normale principaleformano, assieme al versore binormale eb := et en la terna ortonormale dettatriedro intrinseco.

Ricordiamo che il moto e` rettilineo per R, uniforme per s = 0, e quindirettilineo uniforme per r = 0.

Il rapporto := s/R rappresenta la velocita` di rotazione del vettore ve-locita`, spesso indicata come velocita` angolare della traiettoria del punto P .3

Adotteremo quindi le seguenti scritture alternative

r en = s2

R= s = 2R (8)

per il modulo dellaccelerazione centripeta.

2.1.2 Velocita` al suolo e allaria

La velocita` del punto P rispetto al riferimento Fe e` indicata con VGS(t) edenominata velocita` al suolo (groundspeed):

VGS := r. (9)

Posto che s sia concorde con t, il modulo della velocita` al suolo VGS := VGS e`dato da

VGS = s. (10)

La velocita` al suolo e` data dalla somma della velocita` del velivolo rispetto allaporzione datmosfera in cui e` immerso, indicata con V(t) e denominata velocita`allaria (airspeed) e della velocita` di tale porzione datmosfera rispetto al suolo,indicata con VWS(t) e denominata velocita` del vento (windspeed):

VGS = V +VWS. (11)

3 Tale terminologia puo` rivelarsi ambigua, in quanto grandezze denominate allo stesso modo(velocita` angolari) vengono definite a proposito del moto dei sistemi di riferimento.

2 CINEMATICA 8

Questa decomposizione e` cruciale nellanalisi delle traiettorie del velivolo e dellesue prestazioni, dato che le forze aerodinamiche e propulsive agenti su di essodipendono dalla sola velocita` allaria V, di modulo V := V. Questultimaviene denominata anche velocita` di volo oppure velocita` vera (true airspeed,TAS). Questa terminologia e` adottata per distinguere la velocita` allaria daaltre grandezze connesse direttamente misurate a bordo. Largomento vienesviluppato ulteriormente nella trattazione dellanemometria.

Ipotesi di vento nullo Dato il taglio elementare del corso, dora in poi assu-meremo per semplicita` che la porzione datmosfera in cui e` immerso il velivolosia in quiete rispetto alla Terra, il che comporta VWS = 0 e quindi

VGS = V, (12)

salvo recuperare eventualmente la decomposizione 11 per correggere alcuni ri-sultati che risentono significativamente della presenza di componenti orizzontalio verticali di vento. Assumendo lipotesi di vento nullo, abbiamo che la velo-cita` allaria e la sua derivata coincidono con le derivate prima e seconda dellaposizione e quindi possono essere espresse come

V = V et,

V = V et +V 2

Ren,

(13)

e naturalmente valgono le scritture alternative

V en = V2

R= V = 2R (14)

per il modulo dellaccelerazione centripeta.

Unita` di misura Lunita` di misura della velocita`, nel Sistema Internazionale,e` il metro al secondo, m/s. Tuttavia, nella pratica aeronautica si fa larghissimouso del nodo, (knot) kn, pari ad un miglio marino (nautical mile) allora.4 Piu`raro e` luso del chilometro allora, km/h, mentre per velivoli lenti (regime bassosubsonico) si usa talvolta il miglio allora (mile per hour), mph, essendo pero` ilmiglio un miglio terrestre (statute mile)5 e non marino.

Per quanto riguarda la velocita` angolare, nel Sistema Internazionale lunita`di misura e` il radiante al secondo, rad/s, ma di fatto si fa spesso riferimento algrado al secondo, /s.6

2.1.3 Grandezze integrali

Oltre alle caratteristiche locali viste in precedenza, hanno interesse grandezze ditipo integrale, quali il tempo di percorrenza T di una porzione della traiettoria

4 Essendo 1NM = 1852m, si ha 1 kn = 0.514m/s.5 Essendo 1mi = 1609m, si ha 1mph = 0.447m/s.6 Essendo 1 rad = 57, 295, si ha 1 /s = 0, 0174 rad/s.

2 CINEMATICA 9

e la lunghezza S:

T = tfti

dt = sfsi

1VGS

ds,

S = tfti

VGSdt = sfsi

ds,(15)

avendo tenuto conto che ds = VGSdt ed avendo posto si := s(ti) e sf := s(tf ).

Unita` di misura Lunita` di misura del tempo, nel Sistema Internazionale, e` ilsecondo, s. Tuttavia, nella pratica aeronautica si fa largo uso tanto del minuto,min, quanto dellora, hr. Per quanto riguarda la lunghezza della traiettoria,lunita` di misura del Sistema Internazionale, il metro, m, viene normalmentesostituita nella pratica aeronautica dal chilometro, km, dal miglio marino, NM,o anche dal miglio terrestre, mi.

2.1.4 Riferimento orizzonte locale

Il sistema di riferimento detto orizzonte locale (local horizon frame) Fh haorigine nel punto materiale P che rappresenta il velivolo ed assi ortonormali(xh, yh, zh) tali che il piano xhyh e` tangente alla superficie terrestre e che lassezh e` diretto verso il basso, ossia nella direzione della gravita`. I versori degli assisono indicati con (ehx, e

hy , e

hz ).

Altri nomi utilizzati in letteratura per questo sistema di riferimento sonosistema di riferimento verticale trascinato (vehicle carried vertical frame) esistema di riferimento terrestre mobile (moving Earth frame). Spesso gli assixh e yh vengono allineati in direzione Nord ed Est, rispettivamente, da cui ladenominazione particolare di NED frame, dove la sigla NED sta per North,East, Down.

Il riferimento orizzonte locale consente di formalizzare una quantita` di gran-dezze cinematiche caratteristiche utili alla descrizione del moto del velivolo ealla caratterizzazione delle sue prestazioni. Tra queste grandezze, la quota divolo, le componenti verticale ed orizzontale della velocita` di volo, gli angoli ditraiettoria.

2.1.5 Quota di volo

La quota di volo (flight altitude) e` la distanza tra il velivolo e la superficieterrestre. Formalmente, quindi, la quota di volo h e` data dalla proiezione delvettore posizione sullasse verticale:

h := ehz r, (16)essendo il segno negativo giustificato dal fatto che lasse zh e` rivolto verso ilbasso.

Si parla di quota geometrica oppure quota vera (true altitude, TA) quandotale grandezza e` riferita al livello medio del mare, oppure di quota assoluta

2 CINEMATICA 10

(absolute altitude, AA) quando e` riferita alla superficie del suolo che il velivolosta sorvolando. Nellambito del nostro corso, con h intenderemo sempre la quotageometrica TA, riservando la notazione hAA alla quota assoluta AA.

Unita` di misura Lunita` di misura della quota, nel Sistema Internazionale, e` ilmetro, m. Tuttavia, nella pratica aeronautica si fa largo uso del piede (foot), ft.7

Largomento viene sviluppato ulteriormente nella trattazione dellaltimetria.

2.1.6 Velocita` orizzontale e verticale

E` naturale definire due componenti significative della velocita` di volo V: lavelocita` verticale Vv e la velocita` orizzontale Vh, definite rispettivamente dalleproiezioni della velocita` di volo sullasse verticale e sul piano orizzontale:

Vv := ehz V,Vh := V + Vvehz.

(17)

Si tratta quindi di componenti scalari relative a direzioni fra loro perpendicolari,sicche V =

V 2v + V 2h .

La velocita` verticale e` anche indicata come velocita` ascensionale, velocita`di salita o, nel gergo aeronautico, rateo di salita (rate of climb, R/C).8 Il suoopposto, Vd := Vv e` detto velocita` di discesa ovvero rateo di discesa (rate ofdescent, R/D, oppure sinking speed).

Unita` di misura Come unita` di misura della velocita` orizzontale si fa riferimen-to a quella della velocita` di volo, mentre per la velocita` verticale si utilizzano ilmetro al secondo m/s oppure, piu` frequentemente, il piede al minuto, ft/min.9

2.1.7 Angoli di traiettoria

Allo scopo di caratterizzare ulteriormente la velocita` di volo, introduciamo dueangoli, detti angoli di traiettoria:

langolo di rampa (flight path angle) , definito come langolo formatodalla velocita` di volo ed il piano dellorizzonte xhyh, con verso positivoverso il basso;

langolo di rotta (track angle) , definito come langolo formato dalla pro-iezione della velocita` di volo sul piano dellorizzonte e lasse xh, con versopositivo pari a quello naturale sul piano stesso (cioe` da xh verso yh).

7 1 ft = 0.3048m.8 Nel gergo aeronautico si va oltre: spesso infatti la velocita` verticale viene chiamata

variometro, usando cioe` il nome dello strumento di bordo che la misura.9 1 ft/min = 0.005m/s.

2 CINEMATICA 11

Formalmente, le definizioni appena date si traducono nelle formule

:= asinehz VV

,

:= atanehy Vehx V

.

(18)

con [pi/2, pi/2) e [0, 2pi).Leq. 181 mette in relazione langolo di rampa con la velocita` verticale.

Infatti,

sin = ehz VV

=VvV, (19)

e quindi la velocita` verticale risulta data da

Vv = V sin . (20)

Di conseguenza la velocita` orizzontale risulta

Vh = V cos , (21)

dato che V =V 2v + V 2h = V

sin2 + cos2 .

Leq. 182 mette in relazione langolo di rotta con le componenti della velocita`orizzontale nel piano xhyh. Infatti,

tan =sincos

=ehy Vehx V

(22)

comporta che ehx V = Vh cos e ehy V = Vh sin.Tramite gli angoli di traiettoria e` quindi possibile esprimere la velocita` di

volo in componenti nel riferimento orizzonte locale nel modo seguente:

V = V (cos cos ehx + sin cos ehy sin ehz ). (23)

Cio` corrisponde semplicemente alladozione di coordinate sferiche piuttosto checartesiane per la descrizione delle componenti scalari del vettore V, essendo Vil raggio della sfera, langolo di longitudine, quello di latitudine.

Gli angoli e rivestono unimportanza fondamentale nellanalisi delle pre-stazioni. In particolare, per come e` stato definito, langolo di rampa rappresentalinclinazione della traiettoria del velivolo rispetto al suolo, ed e` positivo nel voloin salita. Pertanto e` anche noto come angolo di salita (angle of climb). In casodi volo in discesa, caratterizzato da valori negativi di , si preferisce spesso fareriferimento al suo opposto, detto angolo di discesa (angle of descent), indicatocon d := , che risulta quindi positivo.

2 CINEMATICA 12

2.1.8 Classificazione delle manovre

Le grandezze definite nei paragrafi precedenti permettono di caratterizzare inmodo significativo le diverse possibili manovre del velivolo. Assumendo ventonullo, ossia per V VGS, diciamo che, localmente, ossia in un certo istante, ilvolo e`

orizzontale se = 0, in salita se > 0, in discesa se < 0,

mentre, globalmente, ossia per una certa durata, il volo

e` uniforme se V = const ; si svolge in un piano verticale se = const; si svolge in un piano orizzontale se = 0; rettilineo se entrambi e sono costanti; curvilineo se e sono variabili nel tempo.

Notiamo inotre che se il volo si svolge in un piano verticale si ha = 0 e = ||.10 Se invece si svolge in un piano orizzontale si ha = 0 e = ||.11Nel volo rettilineo, R tende allinfinito e = 0, mentre nel volo curvilineo R simantiene finito quasi ovunque. In generale, si puo` dimostrare che

=2 + 2 cos2 . (24)

Una manovra curvilinea nel piano verticale e` detta

richiamata (pull-up) se > 0; affondata (push-over) se < 0.

Una manovra curvilinea nel piano orizzontale e` detta

virata positiva (right turn) se > 0; virata negativa (left turn) se < 0.

Tutte le definizioni viste fin qui comportano valori di parametri cinematici ca-ratteristici della sola traiettoria del punto rappresentativo del velivolo rispettoallatmosfera circostante.10 In effetti, e` per definizione una grandezza positiva. Vale = + se il versore binormaleeb := et en coincide con ehy , = se eb = ehy .11 Analogamente, vale = + se eb = e

hz , = se eb = ehz .

2 CINEMATICA 13

2.2 Cinematica degli assetti

Per lanalisi dei moti di rotazione del velivolo, ossia del modo in cui varia la suaorientazione, o assetto, rispetto ad un certo riferimento, il modello di puntomateriale va necessariamente abbandonato, ed in sostituzione consideriamo ilvelivolo rappresentato da un corpo rigido, in generale tridimensionale.

2.2.1 Configurazione

Un corpo rigido e` un corpo esteso caratterizzato da un vincolo fondamentale:la distanza tra due punti qualsiasi appartenenti al corpo non varia durante ilmoto. Cio` comporta che il moto del corpo nel suo insieme sia rappresentabileattraverso il moto di una qualsiasi terna dassi materiali centrata in un certopunto P del corpo. Linsieme punto-terna rappresenta dunque un sistema diriferimento mobile, sicche il moto del velivolo puo` essere descritto come il motodi tale riferimento rispetto al riferimento terrestre Fe.

Il moto di un sistema di riferimento e` caratterizzato da sei gradi di liberta` sca-lari, che possono essere scelti come tre parametri di traslazione e tre di rotazione.Tipicamente, tra le diverse scelte possibili,

i parametri di traslazione sono le coordinate che descrivono lo spostamentodellorigine mobile rispetto allorigine fissa;

i parametri di rotazione risultano dal considerare la matrice dei cosenidirettori assieme ai vincoli di ortonormalita` per i versori della terna mobile.

I coseni direttori sono gli scalari che rappresentano i coseni degli angoli tra i ver-sori della terna mobile e quelli della terna fissa. Si tratta dunque di 9 parametri,ma non tutti indipendenti tra loro. Infatti, per i vincoli di ortonormalita` delleterne, 6 sono sovrabbondanti e possono essere espressi in funzione degli altri 3.Pertanto, i gradi di liberta` effettivi per descrivere completamente lorientazionedella terna mobile rispetto alla terna fissa sono soltanto tre. La configurazionedel velivolo e` descritta quindi dallinsieme dei tre parametri di posizione e deitre parametri di orientazione effettivamente indipendenti.

2.2.2 Atto di moto rigido e velocita` di volo

La descrizione dellatto di moto, analogamente, e` piu` ricca di quella relativaal punto materiale (in cui basta la velocita` del punto stesso). Nel caso delmoto rigido, normalmente si considerano due grandezze vettoriali (e quindi seiparametri scalari):

la velocita` di un punto appartenente al corpo, ad esempio quella dellori-gine mobile P , ossia vP ;

la velocita` angolare .

2 CINEMATICA 14

Questultima e` un vettore che permette di esprimere la derivata dei versori dellaterna mobile attraverso le formule di Poisson:

ebx = ebx,eby = eby,ebz = ebz,

(25)

e quindi e` legata alla derivata della matrice dei coseni direttori. Latto di motorigido e` dunque caratterizzato dalla coppia (vP ,), ovvero da qualsiasi altracoppia (vQ,), dove Q e` un generico punto materiale appartenente al corpo.Infatti, vale la legge di distribuzione delle velocita` nel moto rigido

vQ = vP + (Q P ) (26)

per qualsiasi coppia di punti materiali (P,Q). Lequazione precedente e` anchedetta regola di trasporto delle velocita`.12

Adottando il modello di velivolo rigido, in generale la velocita` e` diversa dapunto a punto, secondo la regola di trasporto appena richiamata. Pertanto, lavelocita` di volo V e` definita come la velocita` di un punto materiale notevole(tipicamente il baricentro nominale).13 Gli angoli di traiettoria, le componentiverticale ed orizzontale della velocita`, la quota di volo ed in generale tuttele grandezze finora esaminate sintendono dunque riferite al punto scelto percaratterizzare la velocita` di volo.

2.2.3 Riferimento solidale

Il sistema di riferimento solidale (body frame) Fb utilizzato in Meccanica del Voloha origine in un punto materiale P del velivolo ed assi ortonormali (xb, yb, zb)tali che il piano xbzb coincide con il piano di simmetria materiale del velivolo.14

In particolare, lasse xb, detto asse di rollio (roll axis), e` allineato con lasselongitudinale di fusoliera e lasse yb, detto asse di beccheggio (pitch axis), e`diretto verso la semiala destra. Lasse zb, detto asse dimbardata (yaw axis),risulta quindi determinato dal fatto che deve completare la terna ortonormaledestra, e quindi e` rivolto verso il basso. I versori degli assi sono indicati con(ebx, e

by, e

bz).

Altri nomi utilizzati in letteratura per questo sistema di riferimento sonosistema di riferimento corpo o sistema degli assi corpo (body axes).

12 E` evidente lanalogia formale di questa formula con quella detta regola di trasporto deimomenti, per cui si ha MQ = MP + F (Q P ), dove F e` il risultante di un certo campodi forza e MP il momento risultante rispetto al polo P .13 La dizione nominale e` necessaria perche, a rigore, il baricentro di un velivolo spesso non e`

un punto materiale e cambia posizione durante il volo (per effetto del consumo di combustibile,degli spostamenti di passeggeri ed equipaggio, etc.).14 Assumiamo infatti che il velivolo possieda un piano di simmetria materiale, almeno dal

punto di vista macroscopico, come si verifica nella stragrande maggioranza dei casi.

2 CINEMATICA 15

2.2.4 Angoli dassetto

Come accennato, esiste una notevole liberta` di scelta per i tre parametri che de-scrivono lorientazione del riferimento solidale rispetto al riferimento orizzontelocale. Quelli tradizionalmente piu` utilizzati nella Meccanica del Volo sono treangoli, detti angoli di Cardano, o angoli di Eulero aeronautici. Normalmentesono indicati con (, , ) ed indicati rispettivamente come angoli di azimuth,elevazione e rotazione propria. Questi angoli sono definiti attraverso una succes-sione di rotazioni parziali che trasformano la terna del riferimento Fh in quelladel riferimento Fb.

Dato il carattere elementare della presente trattazione, omettiamo le for-mule generali che legano i coseni direttori degli assi corpo a quelli degli assidellorizzonte locale, limitandoci a considerare due soli angoli che hanno rilievonellanalisi delle manovre considerate nel nostro corso:

langolo delevazione , definito come langolo formato dallasse xb colpiano dellorizzonte locale xhyh, con verso positivo verso lalto;

angolo dinclinazione laterale (angle of bank) , definito come langoloformato dallasse yb col piano dellorizzonte locale xhyh, con verso positivoverso il basso.

Formalmente, quindi, abbiamo le definizioni

:= asin(ebx ehz ), := asin(eby ehz ).

(27)

Mentre langolo delevazione coincide con uno degli angoli di Cardano, langolodinclinazione laterale puo` essere messo in relazione con una combinazione nonlineare degli angoli (, ).

2.2.5 Componenti solidali della velocita`

Nella Meccanica del Volo lorientazione della velocita` di volo rispetto al velivolo(e quindi rispetto agli assi del riferimento solidale) e` della massima importanza,dato che le forze aerodinamiche e propulsive dipendono strettamente da taleorientazione.

Le componenti scalari della velocita` di volo nel riferimento Fb sono di normaindicate con le lettere (u, v, w) e denominate rispettivamente velocita` longitudi-nale, velocita` laterale e velocita` trasversale:

u := ebx V,v := eby V,w := ebz V,

(28)

sicche possiamo scrivere

V = u ebx + v eby + w e

bz. (29)

2 CINEMATICA 16

Notiamo che (V v eby) rappresenta il componente vettoriale nel piano di sim-metria materiale del velivolo, il cui modulo Vs e` dato da

Vs =u2 + w2. (30)

Risulta dunque V =V 2s + v2. La componente v viene anche detta velocita` di

derapata.

2.2.6 Angoli aerodinamici

Analogamente a quanto visto per gli angoli di traiettoria, caratterizziamo ul-teriormente lorientazione della velocita` di volo introducendo due angoli, dettiangoli aerodinamici :

langolo dincidenza (angle of attack, AoA) , definito come langolo for-mato dalla proiezione della velocita` di volo nel piano di simmetria delvelivolo e lasse xb, con verso positivo pari a quello naturale sul piano xbzb

(da zb a xb);

angolo di deriva (angle of sideslip) , definito come langolo formato dallavelocita` di volo ed il piano di simmetria xbzb del velivolo, con verso positivoin direzione della semiala destra.

Formalmente, le definizioni appena date si traducono nelle formule

:= atanebz Vebx V

,

:= asineby VV

.

(31)

con [pi, pi) e [pi/2, pi/2).Leq. 312 mette in relazione langolo di deriva con la velocita` di derapata.

Infatti,

sin =eby VV

=v

V, (32)

e quindi la velocita` di derapata risulta data da

v = V sin. (33)

Di conseguenza la velocita` nel piano di simmetria risulta

Vs = V cos, (34)

dato che V =V 2s + v2 = V

sin2 + cos2 .

Leq. 311 mette in relazione langolo dincidenza con le componenti dellavelocita` nel piano xbzb. Infatti,

tan =sincos

=ebz Vebx V

(35)

2 CINEMATICA 17

comporta che ebx V = Vs cos e ehz V = Vs sin e quindi

u = Vs cos = V cos cos,w = Vs sin = V sin cos.

(36)

Tramite gli angoli aerodinamici e` quindi possibile esprimere la velocita` divolo in componenti nel riferimento solidale nel modo seguente:

V = V (cos cos ebx + sin eby.+ sin cos e

bz). (37)

Cio` corrisponde semplicemente alladozione di coordinate sferiche piuttosto checartesiane per la descrizione delle componenti scalari del vettore V, essendo Vil raggio della sfera, langolo di longitudine, quello di latitudine.

Limportanza degli angoli aerodinamici risiede nel fatto che e` in praticalangolo dincidenza delle superfici portanti orizzontali, ed in particolare dellala,mentre rappresenta di fatto langolo dincidenza delle superfici verticali, ed inparticolare della deriva.

2.2.7 Componenti solidali della velocita` angolare

Quando il velivolo manovra, cambiando orientazione rispetto alla porzione dat-mosfera in cui e` immerso, le forze aerodinamiche e propulsive dipendono anchedalla velocita` angolare, ed in particolare dalle sue componenti solidali.

Le componenti scalari della velocita` angolare nel riferimento Fb sono dinorma indicate con le lettere (p, q, r) e denominate rispettivamente velocita` (orateo) di rollio (roll rate), velocita` (o rateo) di beccheggio (pitch rate) e velocita`(o rateo) dimbardata (yaw rate):

p := ebx ,q := eby ,r := ebz ,

(38)

sicche possiamo scrivere

= p ebx + q eby + r e

bz. (39)

Volendo esprimere le formule di Poisson attraverso le componenti solidali dellavelocita` angolare otteniamo

ebx = ebx = r eby q ebz,eby = eby = p ebz r ebx,ebz = ebz = q ebx p eby.

(40)

Non ci addentriamo ulteriormente nella relazione tra le componenti solidali dellavelocita` angolare ed i coseni direttori della terna solidale. E` importante ricor-dare, tuttavia, che (p, q, r) non rappresentano derivate di grandezze angolari,eccetto che nel caso di moto rigido piano e proprio in uno dei piani coordinatidel riferimento solidale.

2 CINEMATICA 18

2.2.8 Riferimento aerodinamico

Il sistema di riferimento aerodinamico (air trajectory frame oppure flight pathframe) Fa ha origine in un punto materiale P del velivolo ed assi ortonormali(xa, ya, za) tali che lasse xa e` allineato con la velocita` di volo e lasse za e`contenuto nel piano di simmetria del velivolo, disposto in modo da formare unangolo acuto con lasse zb. I versori degli assi sono indicati con (eax, e

ay, e

az).

Altri nomi utilizzati in letteratura per questo sistema di riferimento sonosistema di riferimento vento o sistema degli assi vento (wind axes).

Notiamo che lespressione della velocita` di volo nel sistema di riferimentoaerodinamico e` particolarmente semplice,

V = V eax. (41)

Questo sistema di riferimento viene introdotto in quanto funzionale allespres-sione delle forze aerodinamiche, come vedremo in seguito.

Omettiamo, dato il carattere elementare della presente trattazione, la rela-zione generale tra i versori degli assi vento e quelli degli assi corpo, che coinvol-gono seni e coseni degli angoli aerodinamici. Questa relazione, tuttavia, diventaparticolarmente semplice nel caso di volo simmetrico.

2.2.9 Volo simmetrico

Il volo si dice simmetrico quando la velocita` di volo e` contenuta nel piano disimmetria materiale del velivolo. Si tratta di gran lunga delle condizioni divolo piu` importanti dal punto di vista operative, ed in generale piu` desiderabili,perche, a parita` di altri parametri minimizzano sia il carico di lavoro del pilota,sia la resistenza aerodinamica (e di conseguenza i consumi). Le condizioni divolo simmetrico implicano percio`

= 0 v = 0 Vs V. (42)

Pertanto, lespressione della velocita` di volo in assi solidali risulta

V = V (cos ebx + sin ebz). (43)

I piani xbzb e xaza coincidono, ovvero coincidono gli assi yb e ya. Lunica dif-ferenza tra il riferimento solidale ed il riferimento aerodinamico consiste quindiin una rotazione di nel piano di simmetria materiale del velivolo. Valgonodunque le seguenti relazioni tra i versori dei sistemi di riferimento Fb e Fa, percomodita` scritte in forma matriciale:[

ebxebz

]=[cos sinsin cos

] [eaxeaz

], eby = e

ay. (44)

Come vedremo in seguito, due particolari condizioni di volo sono di interessefondamentale nellanalisi delle prestazioni e dellequilibrio, della stabilita` e delcontrollo: il volo simmetrico in un piano verticale ed il volo simmetrico in unpiano orizzontale.

2 CINEMATICA 19

Angolo(gradi)

Angolo(radianti) Seno Coseno Tangente

1 0.0174 0.0174 0.9998 0.01742 0.0349 0.0349 0.9994 0.03495 0.0873 0.0872 0.9961 0.087510 0.1745 0.1736 0.9848 0.176315 0.2618 0.2588 0.9659 0.267920 0.3491 0.3420 0.9396 0.3640

Tab. 1: Ipotesi di angoli piccoli. Sono sottolineate le cifre comuni ai valori del-langolo (in radianti), del suo seno e della sua tangente. Si nota chenellintervallo (0, 15] il valore assoluto della differenza tra seno ed an-golo si mantiene inferiore allo 1.2%, quello della differenza tra cosenoed uno inferiore al 3.5%, quello della differenza tra tangente ed angoloinferiore allo 2.4%.

2.2.10 Ipotesi di angoli piccoli

Per concludere lesame delle grandezze cinematiche, consideriamo il caso diangoli aerodinamici piccoli, in senso matematico, ovvero

, 1 rad. (45)

Cio` significa che e` giustificato confondere i valori del seno di questi angoli coni valori degli angoli stessi (in radianti) ed i valori del loro coseno con 1; diconseguenza, anche il valore della tangente di questi angoli puo` essere confuso colvalore degli angoli stessi (a questo proposito, si veda la tabella 1). Naturalmente,la giustificazione di questo comportamento si ritrova formalmente sviluppandole funzioni sin(x), cos(x), tan(x) in serie di Taylor nellintorno di x = 0.

In questo caso valgono quindi le approssimazioni

=w

V,

=v

V,

(46)

e corrispondentemente

u = V,v = V ,w = V .

(47)

per le componenti solidali della velocita` di volo.

3 DINAMICA 20

3 DINAMICA

3.1 Dinamica traslatoria

Consideriamo le grandezze che compaiono nellequazione cardinale alla trasla-zione. Questa, nel caso si adotti il modello di velivolo puntiforme, rappresentail fondamento dei procedimenti per lanalisi delle traiettorie e delle principaliprestazioni puntuali ed integrali.

3.1.1 Quantita` di moto

La quantita` di moto Q del velivolo, nellambito del modello di punto materiale,vale

Q = mV. (48)

In generale, non solo la velocita` di volo V, ma anche la massa m varia neltempo. In effetti, il modello di punto materiale per il velivolo va inteso in unsenso piu` ampio di quanto si faccia nella Meccanica Razionale elementare, pertenere conto del decremento della massa a seguito di

consumo di combustibile (per velivoli propulsi); aviolancio di uomini (paracadutisti) e carico utile; rilascio di zavorra (frequente negli alianti da competizione); rilascio di acqua/liquido ritardante (operazioni antincendio), di ordignimilitari, di serbatoi ausiliari, etc.;

nonche dellincremento della massa a seguito di

rifornimento di combustibile in volo; rifornimento daqua (operazioni antincendio); recupero aereo, etc.

Ai fini della presente trattazione, consideriamo il caso piu` rilevante di variabilita`della massa, quello legato al consumo di combustibile nei velivoli propulsi. Ilprocesso di combustione comporta che i suoi prodotti siano espulsi dal velivolostesso e dispersi nellambiente. La massa del velivolo si riduce quindi in modocontinuo durante il volo, secondo lequazione

dmdt

= mf , (49)

dove mf > 0 rappresenta la portata in massa di combustibile bruciato (ossia lamassa di combustibile bruciato nellunita` di tempo).

3 DINAMICA 21

Unita` di misura Lunita` di misura della massa nel Sistema Internazionale e` ilkilogrammo, kg. Nella pratica e` possibile incontrare anche altre unita` di misura,come la libbra (pound), lb, e lo slug (slug).15 Per la portata in massa abbiamoil kilogrammo al secondo, kg/s, e la libbra al secondo, lb/s.

3.1.2 Derivata della quantita` di moto

La derivata della quantita` di moto, che compare a primo membro dellequazionecardinale alla traslazione, va valutata con attenzione per tenere conto dellavariabilita` della massa. Supponendo che il regime del propulsore sia tale daconferire allinsieme dei prodotti di combustione una velocita` uj relativa alvelivolo, e` possibile valutare la derivata della quantita` di moto del velivolo nelmodo seguente.

Consideriamo il sistema chiuso formato dal velivolo, incluso il combustibilein esso contenuto prima della combustione e rilasciato nellatmosfera dopo diessa. Al generico tempo t la quantita` di moto vale Q = mV, mentre al tempo(t+ dt) vale

Q+ dQ = (m+ dm) (V + dV) + mfdt (V + uj), (50)

in quanto la massa contenuta nel velivolo e` cambiata da m a (m+dm), essendodm = m dt = mfdt, la velocita` del velivolo e` cambiata da V a (V + dV),essendo dV = V dt, ed essendo la massa espulsa tra t e (t + dt) pari a mfdtanimata da una velocita` assoluta pari a (V+uj). Pertanto, sottraendo membroa membro le eq. 50 e 48 si ottiene

dQ = mdV + mfujdt+O(dt2), (51)

sicche, dividendo per dt e considerando il limite per dt 0 si ha

Q = m V + mfuj . (52)

In conclusione quindi, la derivata della quantita` di moto del velivolo differisceda quella che avrebbe un punto materiale a massa costante (ossia il sempliceprodotto di massa m per accelerazione V) per un termine che rappresenta lavariazione di quantita` di moto del combustibile espulso nellunita` di tempo.

Naturalmente, nel caso di volo non propulso, lespressione per la quantita`di moto del velivolo si riduce a quella corrispondente ad un punto materiale amassa costante.

3.1.3 Definizione della spinta

Da quanto appena visto a proposito della derivata della quantita` di moto,lequazione cardinale alla traslazione 21 per velivoli propulsi si scrive

m V + mfuj = F+Ta +W +R. (53)15 1 lb = 0.45 kg, 1 slug = 14.59 kg (il termine slug significa proiettile nel gergo militare e

pepita nel gergo minerario).

3 DINAMICA 22

Nellequazione precedente, compaiono due termini legati a variazioni di quantita`di moto di portate di fluido:

la spinta esterna Ta, corrispondente alla variazione di quantita` di motodi una portata di fluido esterna al velivolo (ossia di aria atmosferica);

la spinta interna Tf ,Tf := mfuj , (54)

corrispondente alla variazione di quantita` di moto di una portata di fluidointerna al velivolo (ossia di combustibile).

Pertanto, definendo spinta totale T (thrust) la somma di questi due contributi,

T := Ta +Tf , (55)

lequazione cardinale alla traslazione assume una forma analoga a quella cheavrebbe nel caso di un punto materiale a massa costante:

m V = F+T+W +R, (56)

ed in particolare, in volo libero,

m V = F+T+W, (57)

In altre parole, il prodotto della massa per laccelerazione di volo eguaglia lasomma totale delle forze applicate sul velivolo, comprendendo la forza di naturainerziale corrispondente alla variazione della quantita` di moto della massa dicombustibile espulsa nellunita` di tempo.

Unita` di misura Lunita` di misura della forza nel Sistema Internazionale e`il newton, N. Nella pratica si usano spesso altre unita` di misura, come ilkilogrammo-forza, kgf, eventualmente specializzato come kilogrammo-peso okilogrammo-spinta.16

3.1.4 Espressioni per le forze applicate

Lequazione 57 rappresenta la forma piu` conveniente per rappresentare lequi-librio alla traslazione (ovvero il bilancio delle forze) in forma vettoriale per ilvelivolo in volo. Le grandezze che vi compaiono possono essere espresse inmodo significativo in corrispondenza agli assi dei diversi sistemi di riferimentoprecedentemente definiti per il velivolo. Infatti,

le forze aerodinamiche hanno un comportamento intrinsecamente legatoallorientazione del vento relativo che investe il rispetto a questo, e quin-di trovano unespressione naturale in componenti rispetto al riferimentoaerodinamico;

16 1 kgf = 9.81N.

3 DINAMICA 23

il risultante delle forze propulsive, per la maggior parte dei velivoli, pos-siede una retta dazione che in prima approssimazione puo` essere consi-derata fissa rispetto al velivolo e quindi trova unespressione naturale incomponenti rispetto al riferimento solidale;

il peso, essendo determinato dal campo gravitazionale, trova unespressio-ne naturale in componenti rispetto al riferimento orizzonte locale.

Rimandiamo una trattazione dettagliata su ciascuno dei sistemi di forze con-siderati alla sede opportuna, limitandoci qui a puntualizzare sinteticamente leespressioni piu` interessanti per i risultanti corrispondenti.

Forza aerodinamica Il risultante delle forze aerodinamiche F puo` essere intesocome dato dalla somma vettoriale di due azioni intrinsecamente diverse:

unazione di resistenza, ossia direttamente opposta al vettore della velocita`di volo, di risultante Ft;

unazione deviatrice, ossia perpendicolare al vettore della velocita` di volo,di risultante Fd:

F = Ft + Fd, (58)La forza resistente Ft, essendo allineata a V, comporta la considerazione di unasola componente scalare rispetto agli assi aerodinamici:

Ft = D eax. (59)La resistenza D (drag) e` definita quindi come la componente della forza aerodi-namica in direzione della velocita` di volo e in verso opposto:

D := eax F = eax Ft. (60)La forza deviatrice Fd, essendo disposta sul piano perpendicolare aV, comportala considerazione di due componenti scalari rispetto agli assi aerodinamici:

Fd = Q eay L eaz . (61)La devianza Q (sideforce) e la portanza L (lift) sono definite quindi come lecomponenti della forza aerodinamica in direzione degli assi di beccheggio edimbardata ed in verso opposto:

Q := eay F = eay Fd,L := eaz F = eaz Fd.

(62)

In definitiva quindi il risultante delle forze aerodinamiche si esprime nel modoseguente:

F = (D eax +Q eay + L eaz). (63)Per le grandezze (D,Q,L), forniremo in seguito opportune equazioni costitutive,ossia relazioni che ne esplicitano la dipendenza dai diversi parametri relativiallatto di moto (es. componenti solidali delle velocita` lineare ed angolare), allecondizioni di volo (es. quota, regimi di volo), alle caratteristiche del velivolo(forma, dimensioni).

3 DINAMICA 24

Spinta Nella presente trattazione, considereremo la spinta T espressa da

T = T eT , (64)

essendo eT un versore fisso nel riferimento solidale e T := T la spinta scalare.Normalmente, si tratta di un versore contenuto nel piano di simmetria materialedel velivolo, e quindi con componente nulla lungo lasse di beccheggio, eT eby =0, e tipicamente allineato in direzione longitudinale, per ovvie ragioni. Datalarbitrarieta` della scelta dellasse di rollio, quindi, introduciamo lassunzioneche sia proprio eT ebx, ovvero scegliamo lasse di rollio coincidente propriocon lasse della spinta:

T = T ebx. (65)

Per la grandezza T , forniremo in seguito opportune equazioni costitutive, ossiarelazioni che ne esplicitano la dipendenza dai diversi parametri relativi allatto dimoto (es. componenti solidali delle velocita` lineare ed angolare), alle condizionidi volo (es. quota, regimi di volo), alle caratteristiche del propulsore (tipo,posizione della manetta).

Peso Il peso W e` in generale dato da

W = mg, (66)

essendo g lintensita` del campo gravitazionale che, date le ipotesi di Terra piattae non rotante, puo` essere espressa come g = g ehz , dove g e` data dalleq. 4. Diconseguenza, il peso puo essere espresso semplicemente come

W = mg ehz =W ehz , (67)

dove naturalmente W := W = mg rappresenta il peso scalare.

3.2 Dinamica rotatoria

Consideriamo le grandezze che compaiono nelle equazioni cardinali, sia alla tra-slazione, sia alla rotazione. Queste, nel caso si adotti un modello di velivolo comecorpo esteso, ed in particolare come corpo rigido, rappresentano il fondamentodei procedimenti per lanalisi dellequilibrio, del controllo e della stabilita`.

Ci limitiamo a cenni sintetici, dato che il tema ha bisogno degli strumentidella Meccanica del Corpo Rigido nello spazio per unanalisi completa, il cheesula dai requisiti necessari al presente corso, limitati alla Meccanica del CorpoRigido nel piano.

3.2.1 Riduzione al baricentro

Lequazione cardinale alla rotazione 22 e` stata scritta per un generico polo P diriduzione dei momenti. Assumendo al posto di P il baricentro G si ottiene lasemplificazione

HG =MG + aG +NG, (68)

3 DINAMICA 25

e, nel caso di volo libero,HG =MG + aG. (69)

Questo risultato consegue dal fatto che vG Q = 0 in quanto Q = mvG(prodotto vettoriale di vettori paralleli) e dal fatto che G = 0 (momento delpeso identicamente nullo al baricentro).

3.2.2 Risultante e momento risultante delle quantita` di moto

Per il velivolo rigido, il risultante ed il momento risultante delle quantita` dimoto, sono definiti dalle formule

Q :=BvQdmQ,

HP :=BvQ (P Q) dmQ,

(70)

dove B rappresenta lestensione del velivolo, Q rappresenta il punto materialecorrente dintegrazione, dmQ la massa elementare relativa a tale punto e

vQ = vP + (Q P ) (71)

la distribuzione di velocita` corrispondente ad un moto rigido. Lintegrale nel-leq. 701 risulta pari a mvG, essendo G il baricentro del velivolo, e quindi

Q = mV, (72)

come nel caso del punto materiale, essendo V := vG. Il calcolo dellintegralenelleq. 702 conduce invece ad un risultato piu` complesso, che omettiamo nelcaso generale. Nel caso in cui P G, tale integrale puo` essere ridotto alleformule seguenti:

HG = (JxxG p+ JxyG q + J

zxG r) e

bx

+ (JxyG p+ JyyG q + J

yzG r) e

by

+ (JzxG p+ JyzG q + J

zzG r) e

bz,

(73)

dove (JxxG , JyyG , J

zzG ) rappresentano i momenti polari dinerzia baricentrali del

velivolo rispetto agli assi (xb, yb, zb), rispettivamente,

JxxG :=B

((yG yQ)2 + (zG zQ)2

)dmQ,

JyyG :=B

((zG zQ)2 + (xG xQ)2

)dmQ,

JzzG :=B

((xG xQ)2 + (yG yQ)2

)dmQ,

(74)

3 DINAMICA 26

mentre (JxyG , JyzG , J

zxG ) rappresentano i prodotti dinerzia baricentrali del velivolo

rispetto ai piani (xbyb, ybzb, zbxb), rispettivamente,

JxyG :=B(xG xQ) (yG yQ) dmQ,

JyzG :=B(yG yQ) (zG zQ) dmQ,

JzxG :=B(zG zQ) (xG xQ) dmQ.

(75)

Assumendo che il piano xbzb sia di simmetria materiale per il velivolo, si ha diconseguenza

JxyG = 0, JyzG = 0, (76)

e quindi la formula semplificata

HG = (JxxG p+ JzxG r) e

bx + J

yyG q e

by + (J

zxG p+ J

zzG r) e

bz. (77)

Notiamo dunque che le componenti solidali del momento risultante delle quan-tita` di moto in rollio ed imbardata dipendono da entrambe le velocita` di rollio ped imbardata r, mentre la componente in beccheggio dipende dalla sola velocita`di beccheggio q.

3.2.3 Derivata del risultante e del momento risultante delle quantita` dimoto

Per quanto riguarda la derivata del risultante della quantita` di moto, valgo-no le considerazioni gia` svolte nel caso del modello di punto materiale, con leconseguenze sulla definizione della spinta totale.

La variabilita` della massa per effetto del consumo di combustibile del velivolonon comporta pero` conseguenze significative in termini di distribuzione spazialedella stessa, per cui normalmente e` giustificato considerare i momenti polaridinerzia ed i prodotti dinerzia costanti nel tempo. Cio` comporta anche che nonvi sia un contributo significativo in termini di momento da parte della portatadi combustibile consumata. Di fatto, i propulsori aeronautici non conferisco aiprodotti di combustione componenti di velocita` significative in direzione normalea quella assiale, per cui il momento propulsivo totale puo` essere identificato conquello esterno,

G aG. (78)Lequazione cardinale alla rotazione 69 si scrive quindi

HG =MG + G. (79)

Derivando lespressione 77 e tenendo conto delle formule di Poisson 40, e` possibi-le esprimere compiutamente la derivata del momento risultante delle quantita` di

3 DINAMICA 27

moto in funzione delle componenti solidali della velocita` angolare e delle loro de-rivate. Tale espressione rivela un cospicuo accoppiamento sui tre assi: ad esem-pio, la componente in rollio dipende, oltre che dallaccelerazione e dalla velocita`di rollio, anche dalle velocita` di beccheggio ed imbardata e dallaccelerazionedimbardata.

Ai fini del presente corso, non e` necessario considerare questespressione nelcaso generale, essendo generalmente sufficiente fare riferimento ad alcuni casiparticolari (es.: manovre stazionarie, manovre nel piano di simmetria).

3.2.4 Espressioni per i momenti applicati

Lequazione 79 rappresenta la forma piu` conveniente per rappresentare lequili-brio alla rotazione (ovvero il bilancio delle momenti) in forma vettoriale per ilvelivolo in volo. Analogamente a quanto visto per le forze applicate, le grandezzeche compaiono in questa equazione possono essere espresse in modo significati-vo in corrispondenza agli assi dei diversi sistemi di riferimento precedentementedefiniti per il velivolo.

Momento aerodinamico Il momento risultante delle forze aerodinamicheMPviene normalmente espresso nella forma seguente:

MP = LPebx +MPeby +NPebz. (80)

dove il momento di rollio LP (rolling moment), il momento di beccheggio MP(pitching moment) ed il momento dimbardata NP (yawing moment) sono de-finiti come le componenti della momento aerodinamico in direzione degli assi dirollio, beccheggio ed imbardata:

LP := eax MP ,MP := eay MP ,NP := eaz MP .

(81)

Per le grandezze (LP ,MP ,NP ), forniremo in seguito opportune equazioni co-stitutive, ossia relazioni che ne esplicitano la dipendenza dai diversi parametrirelativi allatto di moto (es. componenti solidali delle velocita` lineare ed ango-lare), alle condizioni di volo (es. quota, regimi di volo), alle caratteristiche delvelivolo (forma, dimensioni).

Momento propulsivo Il momento risultante delle forze propulsive P puo` es-sere generalmente considerato come fornito dalla somma di una pura coppia Ce di un momento di trasporto,

P = C+T (P H), (82)essendo H il centro del sistema di forze propulsive. Analogamente alla spinta,almeno in prima approssimazione, si ritiene che la coppia C possieda una retta

3 DINAMICA 28

dazione che puo` essere considerata fissa rispetto al velivolo e quindi trova une-spressione naturale in componenti rispetto al riferimento solidale. In particolare,spesso e` possibile ritenere che sia C = C eT e quindi

C = C ebx (83)

per le ipotesi viste a proposito della spinta T.Per la grandezza C, forniremo in seguito opportune equazioni costitutive,

ossia relazioni che ne esplicitano la dipendenza dai diversi parametri relativiallatto di moto (es. componenti solidali delle velocita` lineare ed angolare), allecondizioni di volo (es. quota, regimi di volo), alle caratteristiche del propulsore(tipo, posizione della manetta).

3.3 Manovre stazionarie

Il velivolo si dice in equilibrio stazionario, ovvero inmanovra stazionaria, quandotutte le forze che compaiono a secondo membro delle equazioni 57 e 79 sonovettori solidali, ossia hanno componenti costanti nel riferimento solidale.

Si puo` dimostrare che, di conseguenza, anche la velocita` di volo e` solidale;cio` significa in particolare che la velocita` di volo ha modulo costante, ossia ilvolo e` uniforme, V = const V = 0, e che la velocita` angolare della traiettoriacoincide con la velocita` angolare del velivolo, = . Inoltre, anche la velocita`angolare del velivolo e` solidale; il moto di rotazione risulta quindi uniforme, = const .

Si puo` dimostrare facilmente che il tipo piu` generale di manovra stazionariacomporta una traiettoria elicoidale con asse perpendicolare al piano delloriz-zonte locale: infatti, unelica e` il luogo geometrico tracciato da un punto che simuove con V e costanti, mentre lasse verticale e` necessario in quanto, perchela forza peso (la quale e` lunica a non dipendere dallorientazione del velivolo)sia solidale, la direzione verticale deve risultare costante in assi solidali, e quindideve coincidere con lasse di rotazione.

Naturalmente, nella categoria delle manovre stazionarie rientrano le viratestazionarie ed il volo rettilineo uniforme. Le prime corrispondono al caso dieliche verticali a passo nullo, ossia a traiettorie circolari nel piano orizzontale,mentre il volo rettilineo corrisponde al caso degenere di elica di raggio tenden-te allinfinito. In entrambi i casi, si tratta di condizioni di volo di primariaimportanza per la Meccanica del Volo.

Avvertenza

Questo testo e` fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibile informa preliminare, a supporto per la preparazione dellesame di Meccanica del Volo.E` gradita la segnalazione di errori e refusi.

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