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Lezioni di Metodi Statistici di controllo dellaqualità
Michele Scagliarini
Anno Accademico 2003/2004
ii
INDICE
CAPITOLO 1. Termini per la qualità1.1 Aspetti generali1.2 Variabilità
CAPITOLO 2. Richiami di probabilità2.1 La distribuzione binomiale2.2 La distribuzione di Poisson2.3 La distribuzione normale2.4 La distribuzione chi quadrato2.5 Aspetti inferenziali
2.5.1 Distribuzioni campionarie2.5.2 Stima puntuale e stima intervallare2.2.3 Verifica d’ipotesi
CAPITOLO 3. Il Controllo Statistico di Processo3.1 Variabilità nel processo produttivo3.2 Aspetti generali delle carte di controllo3.3 Costruzione di una carta di controllo
3.3.1 Limiti di controllo3.3.2 Numerosità campionaria e frequenza di campionamento3.3.3 Regole di decisione e analisi degli andamenti tipici
3.4 Stima dei parametri del processo da un prerun
CAPITOLO 4. Carte di controllo per variabili4.1 Carte di controllo per il livello del processo
4.1.1 Carta x bilaterale (parametri noti)4.1.2 Carta x bilaterale con parametri non noti4.1.3 Carta x unilaterale4.1.4 Carta per mediane
4.2 Carte di controllo per la variabilità del processo produttivo4.2.1 Carta S4.2.2 Carta S con regola del 3-sigma4.2.3 Carta R
4.3 Costruzione e uso delle carte x−R e x− S
CAPITOLO 5. Carte di controllo per attributi5.1 Carta di controllo np e carta p
5.1.1 Carta np5.1.2 Carta np con limiti 3-sigma5.1.3 Carta np con p0 non noto5.1.4 Carta p
5.2 Carte di controllo per le non conformità
iii
5.2.1 Carta per il numero di non conformità per unità di prodotto (cartac)
5.2.2 Carta c con i limiti 3-sigma5.2.3 Carta c con λ0 non noto5.2.4 Carta per il numero di non conformità per unità fisica (carta u)
Capitolo 1
Termini per la qualità
Il termine qualità è ampiamente utilizzato nel linguaggio corrente ed il suosignificato è, almeno a grandi linee, noto a molti. La definizione più generalepossibile del termine qualità è la seguente:qualità è l’insieme delle caratteristiche di un’entità (bene o servizio)
che ne determinano la capacità di soddisfare le esigenze espresse edimplicite di chi la utilizza.Di solito si parla di qualità con riferimento a prodotti fisici o a servizi. La
distinzione è rilevante in quanto non sempre strumenti adeguati per valutare laqualità di un prodotto possono essere adeguati per un servizio. Nel seguito tut-tavia si presenteranno metodologie che con le dovute accortezze possono essereutili in entrambi i casi. Per questo motivo il termine prodotto verrà utilizzatoanche come sinonimo di servizio salvo i casi segnalati.E’ importante prima di procedere parlare anche del processo produttivo.
Infatti prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi. Unadefinizione generale di processo produttivo è la seguente: un processo produttivoè un insieme di risorse e di attività tra loro interconnesse che trasformanodegli elementi in ingresso (input) in elementi in uscita (output). Tra gli inputconviene distinguere tra input controllabili ed input non controllabili da partedi chi governa il processo.
1.1 Aspetti generali
Gli aspetti generali della qualità sono:
1. la qualità di progetto. I beni e servizi sono prodotti con vari gradi diqualità. Tali differenze sono intenzionali
2. la conformità alle normative. Questo aspetto fa riferimento all’aderenzadel prodotto alle specificazioni e tolleranze assegnategli in fase di proget-tazione.
1
2 CAPITOLO 1. TERMINI PER LA QUALITÀ
Ogni prodotto possiede un certo numero di elementi misurabili, o comunquepercepibili dall’utilizzatore, che contribuiscono congiuntamente alla formazionedella qualità del prodotto. Questi elementi vengono indicati con il nome diCARATTERISTICHE DI QUALITA’. Le caratteristiche di qualità possonoessere di diversi tipi, ad esempio: fisiche, sensoriali, comportamento nel tempo.In genere quando le caratteristiche di qualità sono misure espresse su una
scala continua (peso, resistenza, lunghezza, durata) si parla di variabili. Quan-do invece si utilizzano dati discreti, per esempio dati di conteggio (numero dilampadine non funzionanti, ecc.) si parla di attributi.Le caratteristiche di qualità sono valutate in relazione alle specifiche ovvero
le misure stabilite per alcune caratteristiche di qualità del prodotto/servizio. Ilvalore desiderato per una caratteristica di qualità è definito VALORE NOMI-NALE oppure VALORE TARGET. Oltre al valore nominale può essere indicatoun intervallo di valori, tipicamente un intorno del valore nominale, tale che seil valore della caratteristica di qualità rientra in tale intervallo il prodotto vieneritenuto conforme.Il limite superiore di questo intervallo è definito limite di specifica su-
periore (USL, Upper Specification Limit), limite inferiore è definito limitedi specifica inferiore (LSL, Lower Specification Limit). Talvolta per alcunecaratteristiche di qualità ha senso fornire solamente specifiche unilaterali.
1.2 Variabilità
La variabilità delle caratteristiche di qualità è un aspetto molto delicato per laqualità del prodotto. Le aziende infatti investono risorse per assicurarsi che ivalori delle caratteristiche di qualità dei prodotti realizzati siano il più vicinopossibile ai valori nominali. Tuttavia due o più unità di prodotto (o servizio)non sono mai uguali. Pertanto esiste sempre un livello di variabilità nelle carat-teristiche di un prodotto e la qualità del prodotto dipende dall’ammontare dellavariabilità.Nella Figura (1.1) sono visualizzate, come esempio, le distribuzioni di due
caratteristiche di qualità. Si può notare il diverso livello di variabilità ed èintuitivo comprendere che una maggiore variabilità aumenta la probabilità diprodurre un elemento che non rispetta le specifiche.Poiché la variabilità può essere descritta solamente in termini statistici, i
metodi statistici hanno un ruolo centrale nelle attività legate al miglioramentodella qualità.La variabilità può manifestarsi in diversi modi
• in una unità di prodotto• tra unità di prodotto• nel tempo
Inoltre la variabilità è dovuta ad almeno quattro cause (4M):
1.2. VARIABILITÀ 3
Caratteristica di qualità
valore nominaleUSL LSL
Figura 1.1: Caratteristiche di qualità con diversa variabilità
1. Man
2. Machine
3. Methods
4. Materials
La variabilità non è totalmente eliminabile quindi un certo grado di variabil-ità può essere ritenuto tollerabile, o fisiologico, per un dato processo produttivo.Questo tipo di variabilità viene indicata anche con il nome di variabilità naturale.Il controllo della qualità ha l’obiettivo di mantenere la variabilità nel
processo e nel prodotto ad un livello naturale. Ilmiglioramento della qualitàmira ad una riduzione della variabilità nel processo e nel prodotto.
Capitolo 2
Richiami di probabilità
In questo capitolo vengono richiamate le più comuni variabili aleatorie discrete econtinue. Dovrebbero essere nozioni ampiamente note quindi si farà riferimentoal capitolo 2 del libro di testo (Montgomery, 2000).Verranno richiamati solo alcuni aspetti.Distribuzioni discrete: ipergeometrica, binomiale, poisson
2.1 La distribuzione Binomiale
La variabile X ha distribuzione binomiale con parametri n ≥ 0 e p (0 < p < 1)
X ∼ Bin(n, p)
se
Pr {X = k} =µnk
¶pk (1− p)n−k k = 0, 1, 2....n
si ha E(X) = np, V (X) = np(1− p).SimbologiaBi(j;n, p) indica il la probabilità che una variabile casuale binomiale di
parametri n, e p assuma il valore j
Bi(j;n, p) = Pr {X = j} =µnj
¶pj (1− p)n−j
FB(k|n, p) indica il valore della funzione di ripartizione di una varibilecasuale binomiale di parametri n e p calcolato nel punto k
FB(k|n, p) = Pr {X ≤ k} =kXj=0
Bi(j;n, p)
5
6 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ
2.2 La distribuzione di PoissonLa variabile X ha distribuzione di Poisson con parametro λ > 0
X ∼ Po(λ)se
Pr {X = k} = e−λλk
k!k = 0, 1, 2.
E(X) = λ e V (H) = λ.SimbologiaPo(j;λ) indica il la probabilità che una variabile casuale di Poisson di
parametro λ assuma il valore j
Po(j;λ) = Pr {X = j} = e−λλj
j!
FP (k|λ) indica il valore della funzione di ripartizione di una variabile casualedi Poisson di parametro λ calcolato nel punto k
FP (k|λ) = Pr {X ≤ k} =kXj=0
Po(j;λ)
2.3 La distribuzione normaleSeX è una variabile aleatoria normale, allora la sua funzione di densità è definitacome segue:
f (x) =1
σ√2πe−
12(
x−µσ )
2 −∞ < x <∞
µ è la media della distribuzione, σ2 è la varianza. La simbologia che si utilizzaper indicare tale variabile è la seguente
X ∼ N ¡µ,σ2¢La funzione di ripartizione della normale è definita come la probabilità che lavariabile X assuma valori inferiori o uguali ad un certo valore a:
Pr {X ≤ a} = F (a) =Z a
−∞
1
σ√2πe−
12(
x−µσ )
2
dx
Per il calcolo di questa probabilità è conveniente effettuare un cambio di variabilegiungendo alla normale standardizzata:
Z =X − µσ
2.4. LA DISTRIBUZIONE CHI QUADRATO 7
risulta che la variabile Z è ancora normale, ma con media 0 e con varianza 1,
Z ∼ N (0, 1)
Quindi per calcolare la probabilità Pr {X ≤ a} si può operare nel seguentemodo:
Pr {X ≤ a} = Pr½X − µσ
≤ a− µσ
¾= Pr
½Z ≤ a− µ
σ
¾= Φ
µa− µσ
¶dove Φ (.) è la funzione di ripartizione della normale standardizzata.SIMBOLOGIACon zα/2 si usa indicare il punto percentile di una normale standardizzata
N(0, 1) tale che
Pr©Z ≥ zα/2
ª= α/2
zα/2 è anche indicato come il punto percentile superiore al livello α/2 ottenutodalla distribuzione normale standardizzata. Vedi appendice A2 Montgomery(2000)
2.4 La distribuzione chi quadrato
Se X è una variabile chi quadrato con n gradi di libertà, allora la sua funzionedi densità è definita come segue:
f (x) =1
2n/2Γ¡n2
¢x−(n/2)−1e−y2/2 x > 0
la media della distribuzione è
E(X) = n
e la varianza è
V (X) = 2n
La simbologia che si utilizza per indicare tale variabile è la seguente
X ∼ χ2n
SIMBOLOGIACon χ2
α,nsi usa indicare il punto percentile della variabile casuale chi quadra-
to con n gradi di libertà tale
Prnχ2n ≥ χ2
α,n
o= α
8 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ
2.5 Aspetti inferenzialiI parametri di un processo produttivo sono generalmente non noti e possonovariare nel tempo (per parametri di un processo produttivo di solito si intendela media e la varianza della caratteristica di qualità, la frazione di elementidifettosi ecc.). Se si aggiunge inoltre che la maggior parte delle informazionisono disponibili solo su base campionaria, ci si rende conto che l’inferenza sta-tistica gioca un ruolo fondamentale. La situazione più comune è dover stimarei parametri del processo produttivo oppure prendere una decisione sul processo(controllo d’ipotesi).Se si dispone di un campione di ampiezza n alcune delle principali sintesi
campionarie che si possono calcolare sono
x =1
n
nXi=1
xi media del campione
s2 =
Pni=1 (xi − x)2n− 1 varianza del campione
s =
sPni=1 (xi − x)2n− 1 deviaz. std del camp.
r = xmax − xmin range del campione
Nell’universo dei campioni il valore di una sintesi calcolata su un campionepuò essere visto come una realizzazione di una variabile aleatoria campi-onaria. La variabili aleatorie campionarie relative alle sintesi sopra riportatesono:
X =1
n
nXi=1
Xi media campionaria
S2 =
Pni=1
¡Xi −X
¢2n− 1 varianza campionaria
S =
sPni=1
¡Xi −X
¢2n− 1 deviaz. std campionaria
R = xmax − xmin range campionario
2.5. ASPETTI INFERENZIALI 9
f(x)
-10 0 10 20 30
f(x)
Figura 2.1: Funzione di densita di una normale con parametri µ = 10, e σ2 = 9
2.5.1 Distribuzioni campionarie
Essendo funzioni delle osservazioni campionarie le variabili casuali sopra indicatesono delle statistiche.Per esempio, supponiamo che la caratteristica di qualità sia distribuita nor-
malmente
X ∼ N(µ,σ2)
(per esempio µ = 10 mm, e σ2 = 9 mm vedi figura 2.1). Se x1, x2, ...., xn è uncampione casuale di ampiezza n estratto dalla popolazione, allora la statisticamedia campionaria
X ∼ N(µ,σ2/n)
nella Figura (2.2) sono riportate le distribuzioni di X, e X per n = 5.
Vedi capitolo 3 Montgomery (2000)
2.5.2 Stima puntuale e stima intervallare
Vedi capitolo 3 Montgomery (2000). Qui si richamano solo alcuni punti dellastima intervallare.Una stima intervallare di un parametro è l’intervallo tra due statistiche che
include il valore vero del parametro con un’assegnata probabilità.
10 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ
-10 0 10 20 30
f(x)f(xmedio)
Figura 2.2: X normale con µ = 10, e σ2 = 9; X normale con µ = 10, e σ2 = 1.8
Ragioniamo in questo modo. Consideriamo una variabile aleatoria X conmedia µ nota e varianza σ2 nota.La variabile media campionaria tende a distribuirsi (teorema del limite cen-
trale) come una normale
X ∼ N(µ,σ2/n)di conseguenza la variabile standardizzata
Z =X − µσ/√n
tende a distribuirsi come una normale con media 0 e varianza 1
Z ∼ N(0, 1)Sfruttando le proprietà della normale standardizzata si può affermare che laprobabilità che la variabile aleatoria Z assuma valori compresi tra −zα/2 e zα/2è pari a 1− α
Pr©−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2ª = 1− α
Si può allora definire un intervallo tale che la probabilità dell’avverarsi di uncampione con media x contenuta nell’intervallo stesso sia pari a 1− α
Pr
½µ− zα/2 σ√
n≤ x ≤ µ+ zα/2 σ√
n
¾= 1− α
2.5. ASPETTI INFERENZIALI 11
Questa è la soluzione del ”problema diretto”: prevedere una proprietà statisticadi un campione nota quella della popolazione.L’induzione statistica invece riguarda il ”problema inverso”: fare inferen-
za su una proprietà statistica della popolazione nota quella di un campione.Questo è proprio della stima intervallare di un parametro: partendo dalla con-stante osservata nel campione si vuole individuare un intervallo che contenga ilparametro incognito con una preassegnata probabilità.Si supponga quindi che la media in popolazione µ sia incognita. Se si estrae
un campione di ampiezza n
x1, x2, ...xn
la cui media è
x =1
n
nXi=1
xi
l’intervallo di confidenza al livello 100(1− α)% per µ è dato da
x− zα/2 σ√n≤ µ ≤ x+ zα/2 σ√
n
Gli estremi dell’intervallo sono variabili aleatorie infatti dipendono dai dati cam-
pionari e 1−α è detto livello di confidenza. L’intervallohx− zα/2 σ√
n, x+ zα/2
σ√n
iè da intendersi come un intervallo aleatorio che ha una probabilità pari a 1− αdi contenere il parametro incognito µ.Quello che abbiamo appena visto è un intervallo di confidenza della
media con varianza nota
Intervallo di confidenza della varianza di una distribuzione normaleConsideriamo la variabile casuale
X ∼ N(µ,σ2)con media µ e varianza σ2 non note.Consideriamo la varianza campionaria
S2 =
Pni=1
¡Xi −X
¢2n− 1
e definiamo la variabile (n−1)S2σ2 . Tale variabile è distribuita come un χ2 con
n− 1 gradi di libertàSe si osserva un campione e si calcola la varianza del campione
s2 =
Pni=1 (xi − x)2n− 1
l’intervallo di confidenza al livello 100(1− α)% per la varianza è dato da
(n− 1) s2χ2α/2,n−1
≤ σ2 ≤ (n− 1) s2χ21−α/2,n−1
12 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ
2.5.3 Verifica d’ipotesi
Vedi capitolo 3 Montgomery (2000).Qui vediamo solo alcuni richiami utilizzando un esempio.
EsempioUna macchina produce barre di acciaio a sezione circolare il cui diametro
ottimale dovrebbe essere 10 millimetri. Le barre effettivamente prodotte, che sisuppongono tra loro indipendenti, hanno un diametro aleatorio con distribuzionenormale di media µ0 = 10mm e scarto σ = 3mm.Come si può verificare il corretto funzionamento della macchina basandosi
su un campione di ampiezza finita?Un possibile strumento è il controllo o verifica d’ipotesi.Un’ipotesi statistica è una proposizione riguardante i valori di uno o più
parametri di una distribuzione.Nel controllo statistico di qualità le ipotesi formulate hanno un preciso
significato.Nel nostro caso:
H0 : µ = 10
H1 : µ 6= 10
L’ipotesi H0 : µ = 10 è detta ipotesi nulla: la macchina funziona corretta-menteL’ipotesi H1 : µ 6= 10 è detta ipotesi alternativa: la macchina non funziona
correttamentePer procedere al controllo:a) si estrae un campione casuale di ampiezza n dalla popolazioneb) si rilevano le n misure della caratteristica di qualità di interessec) si calcola un’opportuna statistica test.Sulla base del valore che tale statistica assume si deciderà se rifiutare o non
rifiutare l’ipotesi H0.Per stabilire il criterio di decisione, ovvero la regione di rifiuto di H0, si usa
ragionare sulla probabilità di commettere un errore.Gli errori possono essere di 2 tipi:a) ERRORE DEL PRIMO TIPO, ovvero rifiutare l’ipotesi H0, quando H0
è verab) ERRORE DEL SECONDO TIPO, ovvero non rifiutare l’ipotesiH0, quan-
do H0 è falsaLe probabilità associate ai due errori sono:
α = Pr (errore del primo tipo)
β = Pr (errore del secondo tipo)
2.5. ASPETTI INFERENZIALI 13
Usualmente si usa specificare un valore della probabilità dell’errore del primotipo α (controllo diretto). Il valore del rischio β lo si controlla indirettamenteessendo funzione dell’ampiezza del campione.Nel nostro caso siamo in una situazione di ipotesi su una media µ con
varianza nota σ2
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0(µ0 = 10)Definisco la variabile aleatoria (statistica test)
Z0 =X − µ0σ/√n
dove X è la media campionaria:
X =1
n
nXi=1
Xi
Si rifiuta l’ipotesi H0 se |zc = x−µ0σ/√n| > zα/2 dove zα/2 è il valore di ascissa
di una N(0, 1) tale che Pr¡Z ≥ zα/2
¢= α/2.
Spiegazione (intuitiva): sotto l’ipotesi H0 si ha che Z0 ∼ N (0, 1) (Figura2.3)Se per esempio si fissa un valore di α = 0.002 la regione di non rifiuto per
H0 è
−zα2
= −3.09zα2
= 3.09
Quindi non rifiuto H0 se:
−zα2≤ zc ≤ zα2
Torniamo all’esempioSupponiamo di estrarre un campione di ampiezza n = 5 e che le misure dei
5 diametri siano risultate:
11, 9, 12, 11, 10
La media del campione risulta
x =1
5(11 + 9 + 12 + 11 + 10) = 10, 6
14 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ
f(z)
-6 -4 -2 0 2 4 6
f(z)
Figura 2.3: N(0, 1)
ed il valore della statistica test
zc =10, 6− 103/√5
= 0, 447
In questo caso non si rifiuta H0 in quanto zc < zα2 .Consideriamo ora la probabilità β la probabilità di non rifiutare H0 quando
è falsa (e’ vera H1). (significato....)Supponiamo quindi sia vera l’ipotesi H1 : µ 6= µ0. In particolare supponi-
amo che la media della distribuzione (ovvero la media dei diametri delle barreprodotte) sia pari a
µ1 = µ0 + δ
allora si ha che
Z0 ∼ Nµδ√n
σ, 1
¶vedi Figura (2.4).E’ possibile calcolare la probabilità β:
β = Pr©−zα
2≤ Z0 ≤ zα2
¯H1ª
= Pr
½µ−zα
2− δ√n
σ
¶≤ Z0 − δ
√n
σ≤µzα2− δ√n
σ
¶¯H1
¾
2.5. ASPETTI INFERENZIALI 15
-6 -4 -2 0 2 4 6
f(xmedio)f(shift)
Figura 2.4:
ora la variabile
Z0 − δ√n
σ
è una normale standardizzata (siamo sotto H1) quindi la probabilità β si puòcalcolare come
β = Φ
µzα2− δ√n
σ
¶− Φ
µ−zα
2− δ√n
σ
¶Nel nostro caso supponendo δ = 1
β = Φ
µzα2− δ√n
σ
¶− Φ
µ−zα
2− δ√n
σ
¶=
= Φ
Ã3.09− 1
√5
3
!− Φ
Ã−3.09− 1
√5
3
!=
= Φ (2.345)− Φ (−3.835) = 0.990
La probabilità β è quindi una funzione di (Figura 2.5):n ampiezza del campioneδ ampiezza dello shift (variazione).......α probalilità dell’errore di primo tipo
16 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ
00,20,40,60,8
11,2
0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 6,4 7,2 8
delta
BETA(5)
BETA(10)
Figura 2.5: probabilità β in funzione di δ e per n = 5 e n = 10
Capitolo 3
Il Controllo Statistico diProcesso
L’obiettivo è produrre beni e/o servizi che soddisfino le esigenze dei consumatori.Un processo produttivo dovrebbe quindi essere stabile ed operare con una vari-abilità ridotta intorno al valore obiettivo (target) specificato per la caratteristicadi qualità di interesse.Il controllo statistico di processo, SPC (Statistical Process Control), è
costituito da un insieme di strumenti utili per garantire la stabilità e ridurre lavariabilità del processo.Tra gli strumenti del SPC la carta di controllo è lo strumento tecnicamente
più importante. Le carte di controllo sono state sviluppate da W. A. Shewart(Bell Telephone Laboratories) nel 1920 ed in letteratura sono spesso indicatecon il nome di carte Shewart.
3.1 Variabilità nel processo produttivo
Ogni processo produttivo è caratterizzato da una certa variabilità naturale, ques-ta variabilità è presente anche se il processo è ben progettato e controllato edè dovuta all’azione congiunta di molte piccole cause e generalmente non è ad-debitabile a singoli fattori controllabili: usualmente in queste condizioni talevariabilità è piccola.Quando un processo produttivo è caratterizzato solo da una variabilità nat-
urale, si può affermare che il processo opera soggetto ad un sistema di cause ac-cidentali o comuni. Nella terminologia del SPC, un processo che opera soggettosolo ad un sistema di cause accidentali è in uno STATO DI CONTROLLOSTATISTICO.Altre fonti di variabilità, dovute a fattori ben individuabili e controllabili,
possono intervenire nel processo produttivo alterando ed aumentando la vari-abilità “naturale” fino a valori non accettabili per gli standard di qualità. Inquesto caso si può affermare che il processo opera soggetto ad un insieme di cause
17
18 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO
valore nominaleUSL LSL
AB
Figura 3.1: shift nella media (A); aumento della variabilità (B)
sistematiche o speciali. Un processo che opera in presenza di cause sistematicheè in uno STATO DI FUORI CONTROLLO STATISTICO.Quando un processo produttivo è ben progettato e tarato opera in uno sta-
to di controllo statistico. Cause sistematiche possono intervenire nel processoprovocando: A) un allontanamento del valore medio della caratteristica di qual-ità dal valore target; B) un aumento della variabilità della caratteristica diqualità; C) sia variazioni nella media sia un aumento della variabilità (Figura3.1). Il risultato è che aumenta la produzione di elementi che non soddisfanole specifiche richieste, con un conseguente peggioramento della qualità risul-tante del prodotto ed un danno economico per l’azienda. Questo provoca unospostamento (SHIFT) del processo verso uno stato di fuori controllo statistico.L’obiettivo principale del controllo statistico di processo è individuare, nel minortempo possibile, lo shift del processo in modo che possano essere prese azionicorrettive. Le carte di controllo consentono di sorvegliare il processo in corsodi produzione (on-line) segnalando eventuali problemi e consentendo interventicorrettivi.
3.2 Aspetti generali delle carte di controllo
Una carta di controllo è una visualizzazione grafica di una sequenza di teststatistici per verificare lo stato di controllo del processo.Indicando con X la caratteristica di qualità da controllare, dal processo pro-
duttivo si estraggono, ad intervalli regolari di tempo, dei campioni di numerositàn, (x1,x2,...., xn) = Xn, si forma la statistica campionaria g(Xn) (media cam-
3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO 19
pionaria, mediana campionaria, range, deviazione standard ecc.) e la si utilizzaper verificare il sistema d’ipotesi:
H0 : Il processo e in controllo
H1 : Il processo e fuori controllo
la carta di controllo è la visualizzazione grafica dei risultati campionari rispettoal tempo.Nella carta è presente una linea centrale, CL (central line), che rappresenta il
valore medio caratteristica di qualità in genere corrispondente al valore desider-ato nell’ipotesi di controllo del processo. Altre due linee orizzontali identificano ilimiti di controllo: UCL (Upper Control Limit) il limite di controllo superiore eLCL (Lower control limit) il limite di controllo inferiore. UCL e LCL vengonodeterminati prima di iniziare l’ispezione campionaria, in modo tale che quandoil processo è in controllo la probabilità che i valori della statistica test cadanoall’interno di tali limiti sia elevata. Quando un valore della statistica test cadeal di fuori dei limiti di controllo si ha un segnale di allarme o segnale di fuoricontrollo: l’evidenza empirica porta ad accettare H1. In questi casi è necessariofare ulteriori controlli sul processo per verificare se sono intervenute cause spe-ciali e se necessario intraprendere azioni correttive. In realtà, come si vedrà inseguito, le regole di decisione sono più complesse. Infatti non si esamina solola posizione del singolo punto campionario rispetto ai limiti di controllo, ma sifa anche un esame della sequenza di punti per verificare l’eventuale presenza diandamenti sistematici che possono essere dovuti a situazioni di fuori controllo.In alcune situazioni possono essere presenti anche i limiti di guardia: UWL
(Upper Warning Limit) il limite di guardia superiore; LWL (Lower WarningLimit) il limite di guardia inferiore. Sul loro significato ed utilizzo si rimandaai paragrafi seguenti.
3.3 Costruzione di una carta di controlloIl modello generale per una carta di controllo è il seguente. Sia Y = g(Xn) lastatistica campionaria relativa ad una caratteristica di qualità che si desideracontrollare con E(Y ) = µY e V (Y ) = σ2Y .Si supponga di voler controllare il seguente sistema d’ ipotesi:
H0 : µ = µY il processo è in controllo
H1 : µ 6= µY il processo è fuori controlloAllora
UCL = µY + k1σY
20 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO
Esempio di carta di controllo
istanti campionari
CL
statistica test
UCL
LCL
UWL
LWL
Figura 3.2: Esempio di carta di controllo
CL = µY
LCL = µY − k2σYI fattori k1 e k2 sono fissati in modo che sotto H0
Pr {Y /∈ (LCL,UCL)} = α
Si noti che se la distribuzione di Y è simmetrica e Pr {Y ≥ UCL} = Pr {Y ≤ LCL} =α2 allora k1 = k2 = kα/2.La funzione test è basata sulla statistica
Y = g(Xn)
si accetta H0 se
LCL = µY − k2σY < Y < µY + k1σY = UCLsi accetta H1 quando
Y ≥ UCLoppure
Y ≤ LCLLa probabilità α corrisponde alla probabilità dell’errore di primo tipo nellateoria di verifica delle ipotesi. Nel controllo statistico di processo α corrisponde
3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO 21
alla probabilità di segnalare un fuori controllo quando il processo è in controllo(quando H0 è vera). Comunemente α viene indicata con il termine probabilitàdi un falso allarme. Un falso allarme porta ad una interruzione del processo,o comunque ad un insieme di controlli inutili ed il risultato può essere un dannoeconomico per l’azienda.La probabilità di un mancato allarme è invece data da:
Pr {Y ∈ (LCL,UCL|H1} = β
La probabilità β corrisponde alla probabilità di commettere l’errore di secondotipo nella verifica d’ipotesi. Un mancato allarme porta ad un aumento della”difettosità” nella produzione in quanto non si rileva che il processo ha subitouno shift: anche in questo caso si ha un danno economico per l’azienda inquanto si ha un aumento della produzione non conforme. Un piccolo esempiopuò aiutare a chiarire alcuni dei concetti espressi sopra.
ESEMPIO 3.1Consideriamo un processo produttivo che produce barre di acciaio a sezione
circolare. Una caratteristica di qualità critica per questo tipo di processo pro-duttivo è il diametro, X, delle barre che assumiamo distribuito normalmente:X ∼ N ¡µ,σ2¢. Si supponga che il processo sia sotto controllo se il diametrodelle barre prodotte è pari a 10 millimetri e che la deviazione standard del di-ametro sia pari a σ = σ0 = 0.07 mm. Sostanzialmente si vuole controllare illivello medio della caratteristica di qualità ovvero
H0 : µ = µ0 il processo è sotto controllo
H1 : µ 6= µ0 il processo è fuori controllo
Per controllare il processo ogni ora un campione casuale di n = 5 unità vieneanalizzato. Ogni ora quindi si estraggono in modo casuale dal processo produttivo5 barre, si rilevano i 5 diametri e si calcola la media del campione
x =1
n
nXi=1
xi
La statistica media campionaria
X =1
n
nXi=1
Xi
sotto l’ipotesi H0 si distribuisce normalmente
X ∼ Nµµ0,
σ20n
¶
22 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO
quindi fissata una probabilità α si può scrivere
Pr
½µ0 − zα/2
σ0√n< X < µ0 + zα/2
σ0√n|µt = µ0
¾= 1− α
Segue che i limiti di controllo risultano
UCL = µ0 + zα/2σ0√n
LCL = µ0 − zα/2σ0√n
La linea centrale risulta ovviamente pari a
CL = µ0 = 10
e se è fissata una probabilità di un falso allarme pari a α = 0.002 si ha kα/2 =zα/2 = 3.09, quindi i limiti risultano
UCL = µ0 + zα/2σ0√n= 10.097
LCL = µ0 − zα/2σ0√n= 9.903
Supponiamo ora che sia vera l’ipotesi H1 : µ 6= µ0, in particolare µ = 9.915.Questo significa che sul parametro media del processo produttivo è avvenuto unoshift. Definendo con
δ =µ− µ0σ0
lo shift standardizzato, quindi nel caso in esame si ha
δ =9.915− 100.07
= −1.214
Ora è interessante calcolare la probabilità di un mancato allarme ovvero β. Taleprobabilità, come visto prima è data da
β = Pr {Y ∈ (LCL,UCL|H1} == Pr
½X ≤ µ0 + zα/2
σ0√n|µt = µ
¾− Pr
½X ≤ µ0 − zα/2
σ0√n|µt = µ
¾Sotto l’ipotesi H1 si ha che
X ∼ Nµµ,
σ20n
¶
3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO 23
dove µ = µ0 + δσ0. Standardizzando la variabile possiamo scrivere che
β = Φ¡zα2− δ√n¢− Φ ¡−zα
2− δ√n¢
Nel nostro caso essendo δ = −1.214
β = Φ³3.09−−1.214
√5´− Φ
³−3.09−−1.214
√5´=
= Φ (5.805)− Φ (−0.375) ' 1− 0.354 = 0.646La probabilità β è una funzione di n ampiezza del campione, di δ ampiezza delloshift (variazione del parametro) e di α probalilità dell’errore di primo tipo.
3.3.1 Limiti di controllo
Come posizionare i limiti di controllo? Occorre ragionare sulle probabilità dicommettere degli errori: α probabilità di un falso allarme; β probabilità di unmancato allarme.I limiti di controllo, fissata un’ampiezza campionaria n, dipendono da α: se
α diminuisce i limiti di controllo diventano più ampi, conseguentemente peròβ aumenta; se si aumenta α i limiti di controllo diventano più stretti e con-seguentemente β diminuisce. Si comprende quindi che non si riescono a rendereminimi contemporaneamente sia α che β. Nella prassi si possono seguire duestrade:
1. se n è fisso, si fissa α e si determina β conseguentemente
2. se n può variare, si fissano α e β e si determina conseguentemente n.
Per determinare i limiti di controllo nelle carte di tipo Shewart esistono delle”convenzioni” o linee guida. In Europa, per i limiti di controllo si usa fissareun valore per α (probabilità di un falso allarme) oppure ragionare su alcunefunzioni legate ad α come la funzione ARL di cui parleremo in seguito. Peresempio, stabilire che la probabilità di un falso allarme è pari α = 0.002 nelcaso di popolazione normale corrisponde ad un kα/2 = 3.09.Negli USA, indipendentemente dalla distribuzione della caratteristica ogget-
to di controllo, si è soliti individuare i limiti di controllo come multiplo delladeviazione standard della statistica test. Il multiplo solitamente scelto è
k = 3
(regola del 3-sigma). In questo modo nel caso di popolazione normale equivale afissare α = 0.0027. La scelta dei limiti 3-sigma dà in genere buoni risultati nelleapplicazioni e nei casi in cui la vera distribuzione della caratteristica di qualitànon è nota.
LIMITI DI GUARDIA O DI SORVEGLIANZAOltre ai limiti di controllo possono essere presenti dei limiti più interni chia-
mati limiti di guardia o sorveglianza. Tali limiti chiamati UWL e LWL (Upper
24 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO
Warning Limit e Lower Warning Limit). Vengono determinati specificando unvalore di probabilità α2 > α ad esempio α2 = 0.05 che corrisponde ad un valorekα2 = 1.96. Negli USA si usa per i limiti di guardia la regola 2 sigma: k = 2Un valore della statistica campionaria interno ai limiti di controllo, ma es-
terno ai limiti di guardia è un evento che pur non essendo un segnale di fuoricontrollo ha una probabilità non elevata di verificarsi, quindi sono opportuniulteriori accertamenti sul processo produttivo.
3.3.2 Numerosità campionaria e frequenza di campiona-mento
NUMEROSITA’ CAMPIONARIAIn generale tanto più è grande il campione tanto più è facile individuare
piccoli spostamenti del processo. Questo lo si può verificare se si calcolano lemisure delle prestazioni di una carta di controllo: la funzione di potenza o, ilsuo complemento a uno, la curva operativa caratteristica. La probabilità dirilevare uno shift, vista come funzione di n e dello shift, è data dalla Funzionedi potenza (G)
G = Pr {Y /∈ (UCL,LCL)|H1}
La funzione Curva Operativa caratteristica(CO) di una carta di controlloesprime invece la probabilità di non rilevare uno shift
CO = Pr {Y ∈ (UCL,LCL)|H1}
sempre come funzione dell’ampiezza del campione n e dello shift. Come si puònotare dalle Figure (3.3) e (3.4) la funzione di potenza è una funzione crescentesia di n sia dell’ampiezza in valore assoluto dello shift. La curva operativacaratteristica ha ovviamente un comportamento complementare. Si può quindideterminare n in funzione dello shift del processo che si vuole individuare conuna certa probabilità. Nella pratica n, anche per ragioni di costo, è contenuto(n ≤ 15).
FREQUENZA DI CAMPIONAMENTOUn’elevata frequenza di campionamento comporta un minor tempo per in-
dividuare eventuali anomalie nel processo. Anche in questo caso è importantericordare che un’elevata frequenza di campionamento comporta un aumentonei costi d’ispezione. Nella pratica si tendono a privilegiare, salvo indicazionicontrarie, piccoli campioni con una frequenza di campionamento elevata.
La funzione ARLUn’importante misura sulla quale basarsi per prendere decisioni sull’ampiez-
za campionaria e frequenza di campionamento è costituita dalla funzione ARL(Average Run Lenght-lunghezza media delle sequenze).
3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO 25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
9.850
9.875
9.900
9.925
9.950
9.975
10.00
0
10.02
5
10.05
0
10.07
5
10.10
0
10.12
5
10.15
0
Media del processo
Funz
ione
di p
oten
za
n=5n=10n=15
Figura 3.3: Funzione di potenza per la carta x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Media del processo
Curv
a op
erat
iva
n=5
n=10
n=15
Figura 3.4: Curva operativa caratteristica per la carta x
26 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO
Si definisca con RL la variabile casuale discreta che descrive il numero dicampioni che è necessario osservare per rilevare un segnale di fuori controllo:
RL = numero di campioni da estrarre per avere un segnale di fuori controllo
La funzione ARL è il valore atteso della variabile RL:
ARL = E(RL)
ovvero il numero medio di campioni da estrarre per avere un segnale di fuoricontrollo. Per campioni rilevati ad intervalli di tempo regolari ARL è una misuradel tempo medio di attesa per un segnale di fuori controllo.L’ARL è una funzione dello stato del processo: se il processo è in controllo
l’ARL dovrebbe essere alto; se il processo è fuori controllo l’ARL dovrebbeessere piccolo.Si supponga di essere in regime di H0. La probabilità di un fuori controllo è
α, segue che RL ha una distribuzione geometrica con parametro p = α:
Pr {RL = m} = p(1− p)m−1
e la funzione ARL(H0) è
ARL(H0) = E(RL) =∞Xk=1
k(1− p)k−1p = 1
p=1
α
Per esempio con α = 0.002 si ha ARL(H0) = 500. Questo vuole dire che se ilcampionamento avviene ogni ora ci si attende in media un falso allarme ogni500 ore.Si supponga di essere in regime di H1. La probabilità di avere un segnale
di fuori controllo è 1 − β, segue che RL ha una distribuzione geometrica conparametro p = 1− β:
Pr {RL = m} = p(1− p)m−1
e la funzione ARL(H1) è
ARL(H1) = E(RL) =∞Xk=1
k(1− p)k−1p = 1
p=
1
1− β
3.3.3 Regole di decisione e analisi degli andamenti tipici
Una carta di controllo indica una situazione di fuori controllo quando: a) uno opiù punti superano i limiti di controllo; b) si è in presenza di un comportamentonon casuale della sequenza dei valori della satistica test.
3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO 27
E’ importante non osservare solamente il singolo istante campionario. Con-sideriamo m campioni (prove) indipendenti in cui α è la probabilità di un falsoallarme. Sia Z la variabile aleatoria che enumera i punti fuori controllo (sottoH0) su m campioni. La probabilità di avere esattamente Z = r è data da
Pr (Z = r) =
µmr
¶αr (1− α)
m−r=
Bin(m,α)
Il valore atteso della variabile Z è dato da
E(Z) = mα
che rappresenta il numero di punti fuori controllo su m campioni quando ilprocesso è sotto l’ipotesi H0. Consideriamo ora la probabilità di avere almenoun falso allarme su m campioni
Pr (Z ≥ 1) = 1− Pr (Z = 0) = 1− (1− α)m
questa probabilità è una funzione crescente di m.
per n −→∞ si ha Pr (Z ≥ 1) −→ 1
non è trascurabile per m > 20
Ad esempio α = 0.0027 (regola del 3-sigma) e m = 20, si ha Pr (Z ≥ 1) =0.053 con Pr (Z = 1) = 0.051 e Pr (Z = 2) = 0.001. Quindi: con un un puntofuori controllo è ancora elevata la probabilità di giungere a conclusione errate(accettare H1 quando è vera H0); con due o più punti fuori controllo invecequasi certamente il processo è effettivamente fuori controllo.Un Run è una sequenza di osservazioni dello stesso tipo: Run up sequen-
za crescente; Run down sequenza decrescente. Si possono inoltre osservaresequenze di punti tutti sopra CL o tutti sotto CL. Ogni sequenza può es-sere probabilizzata e una sequenza o Run di lunghezza 8 ha una probabilitàmolto bassa di verificarsi. Pertanto la presenza di tale Run è indicativo diuna situazione di fuori controllo, anche se tutti i punti cadono entro i limiti dicontrollo.Per individuare comportamenti non casuali nella carte Shewart esistono delle
regole di decisione (Run rules) suggerite nel 1956 dalla Western Electric. Al-cune diqueste regole sono riportate di seguito, mentre per una trattazione piùarticolata si rimanda a Montgomery (2000).Il processo è fuori controllo se:
1. uno o più punti sono fuori dai limiti di controllo
2. 2 punti su 3 consecutivi sono fuori dai limiti di guardia
3. 8 punti consecutivi tutti al di sopra o sotto CL
28 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO
4. ..................................................
5. .................VEDI MONTGOMERY (2009) p.131
In generale un comportamento visivamente non casuale dei punti
Commento sulle regole di decisioneBisogna fare attenzione ad esercitare più di un criterio di decisione perchè
aumenta la probabilità di falsi allarmi. Consideriamo k criteri di decisione esia αi la probabilità di commettere l’errore di primo tipo del criteri i − esimo(i = 1, 2, ...k). Segue che la probablità di un falso allarme basata su k testindipendenti
α = 1−kYi=1
(1− α1)
Quindi α > αi con α che cresce al crescere di k. In conclusione se le RunRules aumentano la sensibilità della carta di controllo a rilevare lo stato di fuoricontrollo, aumentano anche la probabilità di falsi allarmi.
3.4 Stima dei parametri del processo da un ”pre-run”
Nella pratica, l’ipotesi di ritenere noti i parametri del processo produttivo, chequi indichiamo in modo generico con µ e σ, non è quasi mai soddisfatta. Segueche è necessario stimarli sulla base di un certo numero m (m = 20 ÷ 25) dicampioni preliminari opportunamente estratti in un periodo in cui il processoviene ritenuto sotto controllo. Tale insieme di campioni viene indicato con iltermine prerun.Indicando con
x1, x2, ..., xm
le medie di ciascun campione uno stimatore della media incognita del processoµ è la media degli m campioni:
bµ = x = x1 + x2 + ...+ xmm
Se anche la variabilità del processo σ non è nota, allora è necessaria stimarla.I due stimatori più comuni di σ utilizzano i range o le deviazioni standard deglim campioni.
Metodo basato sui rangeIn ogni campione di ampiezza n è possibile calcolare il range del campione,
così
R1, R2, ..., Rm
3.4. STIMA DEI PARAMETRI DEL PROCESSO DA UN ”PRERUN” 29
sono i range degli m campioni che costituiscono il prerun. Il range medio
R =R1 +R2 + ...+Rm
m
è uno stimatore del range del processo (non è uno stimatore di σ).Lo stimatore per σ0 si ottiene considerando la variabileW = R/σ detta range
relativo. La variabile W ha una distribuzione nota che dipende dall’ampiezzadel campione n, ed il suo valore atteso è
E(W ) = d2
dove d2 è un fattore tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery(2000)).Segue che se R è il range medio degli m campioni preliminari uno stimatore
corretto di σ è dato da
bσ = R
d2
Inoltre se la caratteristica di qualità è distribuita normalmente X ∼ N(µ,σ2),allora la deviazione standard di W è pari a
σW = d3
dove d3 è un fattore tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery(2000)). Segue che essendo
R =Wσ
lo scarto quadratico medio di R risulta quindi
σR = d3σ
ed essendo σ non nota si può stimare σR con
bσR = d3 Rd2
Metodo basato sulle deviazioni standardIn ogni campione di ampiezza n è possibile calcolare la deviazione standard
del campione, così
s1, s2, ..., sm
sono le deviazioni standard dei m campioni che costituiscono il prerun. Si puòquindi calcolare la deviazione standard media
S =s1 + s2 + ...+ sm
m
30 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO
La statistica S ha un valore atteso pari a
E(S) = c4σ
e una deviazione standard pari a
σS = σq1− c24
Dove il termine c4 è tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery,(2000)).Segue che uno stimatore di σ è dato da
bσ = S
c4
SCHEMA DELLE CARTE DI CONTROLLO CHE VEDREMOCARTE DI CONTROLLO (Shewart)
VARIABILI ATTRIBUTIcontrollo X media np numero elementi non conformilocazione eX mediana p frazione elementi non conformi
c numero di difetticontrollo R range u numero di difetti per unità fisicavariabilità S deviaz.stand.
Capitolo 4
Carte di controllo pervariabili
La caratteristica di qualità di interesse è descritta da una variabile aleatoriacontinua X e si assume che sia distribuita normalmente (test di normalità)
X ∼ N(µt,σ2t )Se il processo è in stato di controllo allora µt = µ0 e σt = σ0. Il controllo del
processo produttivo serve per controllare che nel tempo µt e σt si mantenganoin accordo con i valori target o nominali µ0 e σ0.Il valori target possono essere
• valori nominali µN e σN specificati da una legge, uno standard o dalprogetto del prodotto
• valori empirici µE e σE ticavati dall’esperienza passata del processo• stime bµ0 e bσ0 ricavate da un apposito insieme di dati preliminari (prerun)relativi al processo non disturbato
4.1 Carte di controllo per il livello del processoQuando interessa rilevare shift nella media µt del processo in entrambe le di-rezioni si costruisce una carta di controllo bidirezionale. Il sistema d’ipotesi chesi vuole controllare è il seguente
H0 : µt = µ0H1 : µt 6= µ0
La posizione di CL (la linea centrale) dipende dall’informazione disponibilesu µ0, ovvero:
CL = µ0
31
32 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
se µ0 è un valore nominale noto.I limiti di controllo UCL e LCL sono determinati in modo che nell’ipotesi
H0 la probabilità di un falso allarme sia α:
Pr {Y /∈ (LCL,UCL) |H0} = α
Se presenti, per i limiti di guardia UWL e LWL si segue lo stesso ragiona-mento con riferimento ad un α2 specificato (α < α2)
Pr {Y /∈ (LWL,UWL) |H0} = α2
4.1.1 Carta x bilaterale (parametri noti)
Questa carta di controllo utilizza come statistica test la media campionaria
X =1
n
nXi=1
Xi
Per controllare il processo un campione di ampiezza n > 1 elementi viene es-tratto casualmente dal processo produttivo ad intervalli di tempo regolari siosservano gli n valori della caratteristica di qualità di interesse e si calcola lamedia del campione
x =1
n
nXi=1
x
Si supponga che la caratteristica di qualità X si distribuisca normalmente, X ∼(µt,σ
20), quindi segue che
X ∼ N(µt,σ20n)
Si può quindi ricavare la probabilità che la statistica test assuma valori inun intorno di µ0 quando è vera l’ipotesi H0:
Pr
½µ0 − zα/2
σ0√n≤ X ≤ µ0 + zα/2
σ0√n|µt = µ0
¾= 1− α
dove zα/2 è il punto percentile di una normale standardizzata Z ∼ N(0, 1) taleche Pr
¡Z ≥ zα/2
¢= α/2.
Pertanto se µ0 e σ0 sono noti, si ha
CL = µ0
e i limiti di controllo ed i limiti di guardia diventano:
UCL = CL+zα/2√nσ0 = µ0 +
zα/2√nσ0
4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO 33
LCL = CL− zα/2√nσ0 = µ0 −
zα/2√nσ0
UWL = CL+zα2/2√n
σ0 = µ0 +zα2/2√n
σ0
LWL = CL− zα2/2√n
σ0 = µ0 −zα2/2√n
σ0
Se invece se µ0 e σ0 non sono noti , allora vengono sostituiti da loro stimecorrette e le asserzioni di probabilità in questo caso sono solo approssimate.
Funzione di potenza e curva operativa della carta xLa capacità di una carta Shewart nell’individuare uno shift nel livello del
processo è fornita dalla funzione di potenza o dal suo complemento a 1, la curvaoperativa caratteristica (OC).La funzione di potenza rappresenta la probabilità di avere un segnale di fuori
controllo, dato il livello del processo al tempo t. Nel nostro caso:
G(µt) = Pr©X ≥ UCL|µt
ª+Pr
©X ≤ LCL|µt
ªcon CL = µ0 e σ0 noti e fissi.
Sviluppando i calcoli e ricordando che X ∼ N(µt, σ20
n )
G(µt) = Pr
½X ≥ µ0 +
zα/2√nσ0|µt
¾+Pr
½X ≤ µ0 −
zα/2√nσ0|µt
¾=
= 1− Φõ0 +
zα/2√nσ0 − µt
σ0
√n
!+Φ
õ0 − zα/2√
nσ0 − µt
σ0
√n
!=
= Φ
Ã−µ0 +
zα/2√nσ0 − µt
σ0
√n
!+Φ
õ0 − zα/2√
nσ0 − µt
σ0
√n
!dove Φ (.) indica la funzione di ripartizione della N(0, 1). Indicando lo shiftstandardizzato con
δt =µt − µ0
σ0
si ottiene
G(δt) = Φ¡−zα/2 + δt
√n¢+Φ
¡−zα/2 − δt√n¢
La funzione di potenza è una funzione crescente del valore assoluto delloshift standardizzato:
G(δt = 0) = α
e per |δt| −→∞, si ha che G(δt) −→ 1.
34 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
Example 1 Un processo produttivo produce pistoni per motori, il diametro ot-timale dei pistoni dovrebbe essere 74 millimetri. Supponendo nota la variabilitàdel processo produttivo, σ0 = 0.01, costruire una carta di controllo per il livellomedio del processo basandosi su campioni di ampiezza n = 5. a) Calcolare i lim-iti di controllo in modo tale che la probabilità di un falso allarme sia α = 0.002.Risposta a)
CL = µ0 = 74
UCL = CL+ Ccσ0 = µ0 +zα/2√nσ0 = 74 +
3.09√50.01 = 74.01382
LCL = CL− Ccσ0 = µ0 −zα/2√nσ0 = 74− 3.09√
50.01 = 73.98618
b) Calcolare i limiti di guardia con α2 = 0.05. Risposta b)
UWL = CL+ CWσ0 = µ0 +zα2/2√n
σ0 = 74 +1.96√50.01 = 74.00877
LWL = CL− CWσ0 = µ0 −zα2/2√n
σ0 = 74− 1.96√50.01 = 73.99123
c) Calcolare la probabilità di rilevare che è avvenuto uno shift nella media delprocesso, più precisamente µt = 73.98. Risposta c) Si tratta di calcolare ilvalore della funzione di potenza quando µt = 73.98. Calcolo il valore dello shiftstandardizzato
δt =µt − µ0
σ=73.98− 740.01
= −2
quindi
G(δt = −2) = Φ³−3.09− 2
√5´+Φ
³−3.09 + 2
√5´=
= Φ (−7.562) +Φ (1.382) ' 0.916Nella figura (4.1) è riportato il grafico della funzione di potenza della carta dicontrollo.d) Calcolare il valore dell’ARL quando µt = 73.98. Risposta d) Ilvalore dell’ARL si ricava da
ARL(δt) =1
G(δt)=
1
0.916= 1.092
Nella figura (4.2) è riportato il grafico della funzione di potenza della carta dicontrollo.e) Si supponga che i valori della statistica test siano quelli riportati inFigura (4.3). Cosa si può affermare sullo stato del processo produttivo?
4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO 35
Funzione di potenza
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
73.9
66
73.9
70
73.9
74
73.9
78
73.9
82
73.9
86
73.9
90
73.9
94
73.9
98
74.0
02
74.0
06
74.0
10
74.0
14
74.0
18
74.0
22
74.0
26
74.0
30
74.0
34
Figura 4.1: Grafico della funzione di potenza della carta x bilaterale
Funzione ARL
0
100
200
300
400
500
600
73.9
66
73.9
70
73.9
74
73.9
78
73.9
82
73.9
86
73.9
90
73.9
94
73.9
98
74.0
02
74.0
06
74.0
10
74.0
14
74.0
18
74.0
22
74.0
26
74.0
30
74.0
34
Figura 4.2: Grafico della funzione ARL della carta x
Carta per la media
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
istanti campionari
CL
UCL
LCL
UWL
LWL
Figura 4.3: Carta di controllo dell’esempio 1
36 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
Example 2 Un’azienda produce fibre di materiale biocompatibile per uso chirur-gico. La caratteristica di qualità rilevante è il DIAMETRO della fibra. Il di-ametro ottimale delle fibre è 6×10−3 (millimetri). Supponendo nota la variabil-ità del processo produttivo, σ0 = 0.09×10−3 (millimetri): a) costruire una cartadi controllo per il livello medio del processo basandosi su campioni di ampiezzan = 5, estratti ogni 4 ore dal processo produttivo, ed in modo tale che in media siverifichi un falso allarme ogni 100 istanti campionari; b) determinare il tempoche mediamente si deve attendere per rilevare che in realtà le fibre prodotte han-no un diametro di 6.05× 10−3 (millimetri). Risposta a) Si controlla il livellodel processo produttivo quindi si può costruire una carta x. Un falso allarmemediamente ogni 100 istanti campionari significa
ARL(H0) = 100
e siccome ARL(H0) = 1α segue che
α = 0.01
La linea centrale della carta è quindi
CL = µ0 = 6
I limiti di controllo risultano quindi
UCL = µ0 +zα/2√nσ0 =
= 6 +2.576√50.09 = 6.104
LCL = µ0 −zα/2√nσ0 =
= 6− 2.576√50.09 = 5.896
Risposta b). Supponiamo ora che il processo sia fuori controllo
µt = 6.05× 10−3
Per rispondere alla domanda è necessario di calcolare il valore dell’ ARL(H1)(quando µt = 6.05). Per cui sapendo che
ARL(δt) =1
G(δt)
dobbiamo calcolare il valore della funzione di potenza. Calcolo il valore delloshift standardizzato
δt =µt − µ0
σ=6.05− 60.09
= 0.555
4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO 37
5.755.8
5.855.9
5.956
6.056.1
6.15
1 2 3 4 5 6
UCL
CL
LCL
Figura 4.4: Carta di controllo x per i diametri delle fibre
quindi
G(δt = 0.555) =
= Φ³−2.576 + 0.555
√5´
+Φ³−2.576− 0.555
√5´
= Φ (−1.333) +Φ (−3.818) == 0.0912 + 0.00000673 ' 0.0912
Segue che il valore dell’ARL quando µt = 6.05 vale
ARL(δt) =1
G(δt)=
1
0.0912= 10.960
Interpretazione:...........c) Supponiamo ora che nei primi 3 campioni si sianoosservati i seguenti valori
campione x1 x2 x3 x4 x5 xi1 5.99 6.02 6.09 5.89 6.09 6.0162 5.8 5.9 6 6.02 6.01 5.9463 6.1 6.03 5.9 5.9 6.01 5.988
e la carta di controllo è visualizzata nella Figura (4.4) cosa si può affermaresullo stato del processo?
Exercise 3 Un’azienda produce una bibita frizzante. La caratteristica di qualitàche risulta importante per processo produttivo è il contenuto di anidride carbon-ica della bevanda. Il contenuto ideale di anidride carbonica della bevanda è 6gr/litro. Si suppone che la caratteristica si distribuisca normalmente con mediaappunto pari a µ0 = 6 gr/litro e scarto quadratico medio σ = 0.3. Il respons-abile della produzione chiede di costruire una carta di controllo con le seguenti
38 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
caratteristiche: 1) dal processo produttivo si estrarranno campioni indipenden-ti di ampiezza 5 (per esempio lattine o bottiglie) ad intervalli di 1 ora; 2) iltasso di falsi allarmi tollerabile è un falso allarme mediamente ogni 250 istanticampionari. SOLUZIONE IN AULA.
Carta x bilaterale costruita con la regola del 3-sigmaCome già accennato in precedenza costruire una carta di controllo con la
regola del 3-sigma significa posizionare i limiti di controllo ad una distanza paria tre volte lo scarto quadratico medio della statistica test dalla linea centrale:
UCL = CL+ 3σ0√n= µ0 + 3
σ0√n
LCL = CL− 3 σ0√n= µ0 − 3
σ0√n
come si nota al posto di zα/2 è presente il termine 3.Sostanzialmente se la caratteristica di qualità è distribuita normalmente uti-
lizzare la regola del 3-sigma è equivalente ad impiegare un α = 0.0027 (infatticon questo valore di α si ha zα/2 ' 3) che corrisponde ad un valore della funzioneARL sotto l’ipotesi H0 pari a ARL(H0) ' 370.Questo metodo per costruire la carta di controllo fornisce buoni risultati in
pratica ed è maggiormente utilizzato negli USA. In Europa si preferisce invecestabilire il valore della probabilità di un falso allarme o il valore dell’ARL(H0)ragionando sullo specifico problema da affrontare. Non sempre infatti un α =0.0027 (o ARL(H0) ' 370) può essere adeguato (per esempio se si controllaun processo produttivo con un’elevata frequenza di campionamento si rischia diavere troppi falsi allarmi), infine con gli strumenti di calcolo odierno è relativa-mente facile costruire una carta di controllo dove α può variare a piacere.Quando si utilizza per i limiti di controllo la regola del 3-sigma i limiti di
guardia si posizionano ad una distanza pari a 2 volte lo scarto quadratico mediodella statistica test dalla linea centrale:
UWL = CL+ 2σ0√n= µ0 + 2
σ0√n
LWL = CL− 2 σ0√n= µ0 − 2
σ0√n
La funzione di potenza si ottiene con medesimi passaggi visti in precedenzaoppure semplicemente sostituendo zα/2, con 3.
G(δt) = Φ¡−3 + δt
√n¢+Φ
¡−3− δt√n¢
Exercise 4 Rifare gli esercizi precedenti con la regola del 3-sigma
4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO 39
4.1.2 Carta x bilaterale con parametri non noti
Se i valori µ0 e σ0 non sono noti, allora è possibile sostituirli con delle stimeottenute da un insieme di campioni preliminari un ”prerun” ottenuto sottoopportune condizioni.Lo stimatore per µ0, come abbiamo visto è x, mentre per σ0 è possibile uti-
lizzare due diversi stimatori uno basato sul range ed uno basato sulla deviazionestandard.Nel caso si utilizzi lo stimatore basato sul range si ha
CL = bµ0 = xUCL = bµ0 + zα/2√n bσ0 = x+ zα/2√n R
d2
LCL = bµ0 − zα/2√n bσ0 = x− zα/2√n R
d2
Se si utilizza la regola del 3-sigma, allora
CL = bµ0 = xUCL = bµ0 + 3√
nbσ0 = x+ 3√
n
R
d2= x+A2R
LCL = bµ0 − 3√nbσ0 = x− 3√
n
R
d2= x−A2R
dove A2 = 3d2√nè una costante tabulata in funzione di n (Appendice A6 del
Montgomery (2000)).Nel caso si utilizzi lo stimatore basato sulla deviazione standard si ha
CL = bµ0 = xUCL = bµ0 + zα/2√n bσ0 = x+ zα/2√n S
c4
LCL = bµ0 − zα/2√n bσ0 = x− zα/2√n S
c4
Se si utilizza la regola del 3-sigma, allora
CL = bµ0 = x
40 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
UCL = bµ0 + 3√nbσ0 = x+ 3√
n
S
c4= x+A3S
LCL = bµ0 − 3√nbσ0 = x− 3√
n
S
c4= x−A3S
dove A3 = 3c4√nè una costante tabulata in funzione di n (Appendice A6 del
Montgomery (2000)).Esercizi ed esempi sulle carte di controllo con parametri non noti si trovano
alla fine di questo capitolo.
4.1.3 Carta x unilaterale
In molte situazioni reali possono interessare shift in una direzione, quindi siandrà a costruire una carta di controllo unidirezionale. I sistemi d’ipotesi chetale carta verifica sono i seguenti:shift crescente
H0 : µt ≤ µ0 il processo è in controlloH1 : µt > µ0 il processo è fuori controllo
shift decrescente
H0 : µt ≥ µ0 il processo è in controlloH1 : µt < µ0 il processo è fuori controllo
Consideriamo il caso di shift crescente (la situazione di shift decrescente si puòricavare in modo analogo).La statistica test utilizzata è ancora la media campionaria
X =1
n
nXi=1
xi
Sarà presente solamente il limite di controllo superiore, pertanto si può scrivere:
Pr
½X ≤ µ0 + zα
σ0√n|µt = µ0
¾= 1− α
Da cui segue che:
UCL = CL+zα√nσ0 = µ0 +
zα√nσ0
UWL = CL+zα2√nσ0 = µ0 +
zα2√nσ0
4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO 41
Se invece se µ0 e σ0 non sono noti , allora vengono sostituiti da loro stime correttee le asserzioni di probabilità anche in questo caso sono solo approssimate. Se siutilizza la regola del 3-sigma si ha za = 3 quindi UCL = µ0 +
3√nσ0.
La funzione di potenza per una carta x (Shewhart) unilaterale sarà:
G(µt) = Pr©X ≥ UCL|µt
ªcon CL = µ0 e σ0 noti e fissi.
Sviluppando i calcoli e ricordando che X ∼ N(µt, σ20
n )
G(µt) = Pr©X ≥ UCL|µt
ª= Pr
½X ≥ µ0 +
zα√nσ0|µt
¾= 1− Φ
õ0 +
zα√nσ0 − µt
σ0
√n
!= Φ
Ã−µ0 +
zα√nσ0 − µt
σ0
√n
!
indicando con
δt =µt − µ0
σ0
lo shift standardizzato si ottiene
G(δt) = Φ¡−zα + δt
√n¢
Example 5 Un’azienda produce un sensore a raggi infrarossi per antifurti edesidera mettere sotto controllo il proprio processo produttivo. La caratteristicadi qualità di interesse è il tempo di reazione del sensore ad una sollecitazione.Il tempo di reazione ideale dovrebbe essere di 7 millisecondi, la variabilità delprocesso è supposta nota σ0 = 0.2 (millisecondi). L’azienda è interessata inparticolare ad evitare che il tempo di reazione non superi il valore target conconseguente malfunzionamento dell’antifurto. a) Costruire un’opportuna cartadi controllo per controllare il processo sopra descritto che si basi su campionidi ampiezza pari a 5 ed in modo tale che la probabilità che si verifichi un falsoallarme sia pari a 0.01. Risposta a)
CL = µ0 = 7,α = 0.01
UCL = CL+zα√nσ0 = µ0 +
zα√nσ0 = 7 +
2.326√50.2 = 7.208
b) Calcolare anche il limite di guardia con α2 = 0, 05
UWL = µ0 +zα2√nσ0 = 7 +
1.645√50.2 = 7.147
42 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
6.85
6.9
6.95
7
7.05
7.1
7.15
7.2
7.25
1 3 5 7 9 11 13 15 17
UCL
UWL
CL
Figura 4.5: Carta x unilaterale (UCL)
c) Nei primi istanti campionari i valori rilevati sono stati i seguenti
istanti x1 x2 x3 x4 x5 xi1 6.98 7.01 7.02 6.95 6.99 6.992 6.99 7.02 7.15 7.12 7.2 7.0963 6.95 7.2 7.1 7.01 7.09 7.074 7.12 7.05 6.98 6.99 7.2 7.0685 7.12 6.98 6.9 6.95 6.98 6.986
e la carta di controllo è riportata nella Figura (4.5) Commento..... d) deter-minare il valore della funzione di potenza quando µt = 7.1 e determinare ilnumero di campioni che mediamente si deve attendere per rilevare tale shift.Risposta d)
δt =7.1− 70.2
= 0.5
G(δt = 0.5) = Φ(−2.326 + 0.5√5) = Φ(−1.208) = 0.1134
ARL =1
G(δt)=
1
0.1134= 8.813
Example 6 Un’azienda che produce cavi in acciao desidera mettere sotto con-trollo il proprio processo produttivo.Il cavo prodotto dovrebbe reggere alla trazionealmeno 15Kg/mm2. La variabilità del processo è supposta nota σ0 = 0.8
4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO 43
14
14.2
14.4
14.6
14.8
15
15.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
CL
LCL
Figura 4.6: Carta x unilaterale (LCL)
Kg/mm2 a) Costruire un’opportuna carta di controllo per controllare il pro-cesso sopra descritto che si basi su campioni di ampiezza pari a 5 ed in modotale che la probabilità che si verifichi un falso allarme sia pari a 0.05. Rispostaa) Si tratta di costruire una carta con solo il limite inferiore.
CL = µ0 = 15,α = 0.05
LCL = CL− zα√nσ0 = µ0 −
zα√nσ0 = 15− 1.645√
50.8 = 14.411
b) Nei primi istanti campionari i valori rilevati sono stati i seguenti
istanti x1 x2 x3 x4 x5 x1 14.98 15.1 14.93 14.99 15.01 15.0022 15.05 14.72 14.97 15.02 14.99 14.953 15.1 15.12 15.01 15.03 14.99 15.054 14.99 14.98 15.05 14.97 15.01 155 14.6 14.96 15.06 14.7 15.02 14.868
e la carta di controllo è riportata nella Figura (4.6) Commento... c) determinareil valore della funzione di potenza quando µt = 14.5 e determinare il numero dicampioni che mediamente si deve attendere per rilevare tale shift. Risposta c)
G(µt) = Pr©X ≤ LCL|µt
ªSviluppando i calcoli e ricordando che X ∼ N(µt, σ
20
n )
G(µt) = Pr
½X ≤ µ0 −
zα√nσ0|µt
¾= Φ
õ0 − zα√
nσ0 − µt
σ0
√n
!
44 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
indicando con
δt =µt − µ0σ0
lo shift standardizzato si ottiene
G(δt) = Φ¡−zα − δt
√n¢
Nel nostro caso δt =14.5−150.8 = −0.625 quindi
G(δt = −0.625) = Φ³−1.645 + 0.625
√5´= Φ (−0.247) ' 0.402
segue che ARL = 1G(δt)
' 2.485
Carta unilaterale con valori obiettivo non notiNel caso in cui µ0 e/o σ0 non siano noti si può procedere ad una loro stima
come già visto per la carta bilaterale. La procedura è la stessa ovviamente cisarà solo il limite di controllo che interessa.
4.1.4 Carta per mediane (carta ex )In questo caso la statistica test è la mediana campionaria
eXn = ½ X<k+1;n> se n = 2k + 112(X<k;n> +X<k+1;n>) se n = 2k
Se la caratteristica di qualitàX si distribuisce normalmente, X ∼ (µt,σ20), allora
eXn ∼ N(µt,σ20 c2nn )dove cn è un fattore tabulato in funzione di n.Pertanto
Pr
½µ0 − zα/2
σ0cn√n≤ eXn ≤ µ0 + zα/2σ0cn√n |µt = µ0
¾= 1− α
Quindi se µ0 e σ0 sono noti, i limiti di controllo ed i limiti di guardia diventano:
UCLLCL
= µ0 ±zα/2 · cn√
nσ0
UWLLWL
= µ0 ±zα2/2 · cn√
nσ0
Se invece se µ0 e σ0 non sono noti , verranno allora sostituiti da loro stimecorrette e le asserzioni di probabilità in questo caso sono solo approssimate .
4.2. CARTEDI CONTROLLO PER LA VARIABILITÀDEL PROCESSO PRODUTTIVO45
4.1.5 Funzione di potenza della carta exNell’ipotesi di normalità distributiva della caratteristica di qualità si può scri-vere:
G(δt) = Φ
µ−zα/2 + δt
√n
cn
¶+Φ
µ−zα/2 − δt
√n
cn
¶
4.2 Carte di controllo per la variabilità del pro-cesso produttivo
Le carte di controllo di tipo Shewhart possono anche essere utilizzate per sorveg-liare la variabilità del processo produttivo. Se si è interessati a variazioni soloin una direzione, normalmente si desidera evitare eventuali aumenti della vari-abilità, si sviluppano le carte unilaterali. Il sistema d’ipotesi sottostante è ilseguente:
H0 : σt ≤ σ0 processo è in controllo
H1 : σt > σ0 processo è fuori controllo
Si possono anche costruire le carte bilaterali
H0 : σt = σ0 processo è in controllo
H1 : σt 6= σ0 processo è fuori controllo
in questo caso si è interessati a variazioni in entrambe le direzioni. Questo tipodi carta è comunque poco utilizzato nella pratica e nel seguito l’attenzione saràrivolta alle carte unilaterali.Anche in questo caso la carta di controllo è costituita da una linea centrale
e dal limite di controllo superiore, nel caso di ipotesi unilaterali, dai due limitidi controllo superiore ed inferiore nel caso di ipotesi bidirezionali.La costruzione della carta di controllo dipende dalla statistica test che si
impiega. Nel seguito si svilupperanno la carta S, che utilizza la statistica test”deviazione standard campionaria”, e la carta R che invece utilizza il ”rangecampionario”. Sulle due tipologie di carte di controllo è importante fare al-cune puntualizzazioni. Da un punto di vista della facilità di calcolo calcolareil range in un campione è sicuramente più facile e veloce che calcolare la devi-azione standard. Questo spiega perchè le carte che utilizzano il range sono lepiù utilizzate. Attualmente la disponibilità di strumenti di calcolo pratici edeconomici ed una maggior familiarità con gli strumenti informatici ha eliminatoquesta difficoltà. L’utilizzo del range è consigliabile comunque per campioni dibassa numerosità. I presenza di dimensioni campionarie sufficientemente grandi(n > 10) è opportuno controllare la variabiltà del processo utilizzando la cartaS.
46 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
4.2.1 Carta S (deviazione standard)
La statistica test usata è la deviazione standard campionaria:
S =
vuut 1
n− 1nXi=1
¡Xi − X
¢2la linea centrale viene posta pari la valore obiettivo σ0 che è supposto noto.Il limite di controllo superiore è determinato secondo lo schema usuale, ovveroUCL è tale che la probabilità di un falso allarme sia pari a H0:
Pr {S ≥ UCL|H0} = α
Quando X ∼ N ¡µt,σ2t ¢ si ha che(n− 1)S
2
σ2t∼ χ2n−1
quindi, quando il processo è non disturbato, σ2t = σ20 (è vera H0), si ha che(n− 1)S2
σ20∼ χ2n−1. Si può quindi scrivere
Pr
½(n− 1) S
2
σ20≤ χ2α;n−1
¾= 1− α
da cui segue
Pr
S ≤s
χ2α;n−1n− 1 σ0
= 1− α
dove χ2α;n−1 è il percentile di ordine α di una variabile casuale chi-quadro conn− 1 gradi di libertà (Pr©χ2n−1 ≥ χ2α;n−1
ª= α).
Questo significa che quando il processo è sotto H0 il (1− α)100% dei valori
di S si troveranno al di sotto del limiteq
χ2α;n−1n−1 σ0. Pertanto
CL = σ0
UCL =
sχ2α;n−1n− 1 σ0
Per il limite di guardia si può ragionare in modo analogo definendo un α2 > αe di conseguenza
UWL =
sχ2α2;n−1n− 1 σ0
4.2. CARTEDI CONTROLLO PER LA VARIABILITÀDEL PROCESSO PRODUTTIVO47
Funzione di potenza della carta SPer la funzione di potenza della carta S si ha
GS (σt) = Pr (S ≥ UCL|σt) = 1− Pr (S < UCL|σt)Riprendendo la definizione di UCL si può scrivere
GS (σt) = 1− PrS <
sχ2α;n−1n− 1 σ20
¯¯σ2t
=
= 1− PrÃ(n− 1)σ2t
S2 <χ2α;n−1σ2t
σ20
!=
= 1− PrÃ(n− 1)σ2t
S2 <χ2α;n−1(σt/σ0)
2
!
e ricordando che (n− 1)S2σ2t∼ χ2n−1 si ottiene
GS (σt) = 1− FCHÃ
χ2α;n−1(σt/σ0)2
¯¯n− 1
!
dove FCH(x|n− 1) rappresenta la funzione di ripartizione calcolata nel punto xdi un chi-quadro con n− 1 gradi di libertà. L’espressione precedente può essereriscritta anche come funzione dello shift relativo
εt =σtσ0
GS (εt) = 1− FCHÃχ2α;n−1ε2t
¯¯n− 1
!Example 7 Un’azienda petrolifera produce un combustibile per uso aereo-spaziale.La caratteristica di qualità rilevente è il contenuto (misurato in gr/litro) nelcarburante di un particolare componente chimico che qui indichiamo con X. Inparticolare l’azienda intende controllare la variabilità del processo produttivo,H0 : σt ≤ σ0, H1 : σt > σ0 utilizzando campioni di ampiezza pari a n = 5 esapendo che σ0 = 3. a) Determinare il limite di controllo (α = 0.01) ed il limitedi guardia (α2 = 0.05). Risposta a)
CL = σ0 = 3
UCL =
sχ2α;n−1n− 1 σ0 =
r13.277
43 = 5.466
48 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
C a rta S
0.001.002.003.004.005.006.00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
is tan ti cam p io n ar i
UCLUW L
CL
Figura 4.7: carta S
UWL =
sχ2α2 ;n−1n− 1 σ0 =
r9.488
43 = 4.620
b) Nei primi 4 istanti campionari si sono osservati i seguenti dati
tempo X1 X2 X3 X4 X5 S1 12 10 14 10 17 2.9662 9 15 17 10 12 3.3613 12 17 12 10 9 3.0824 9 16 18 10 20 4.879
e la visualizzazione della statistica test S (ultima colonna della tabella) è ripor-tata nella Figura (4.7) cosa si può affermare su processo? c) Calcolare la prob-abilità rilevare che è intervenuto uno shift nella variabilità della caratteristicadi qualità, in particolare σt = 4.2. Risposta c) Calcolo lo shift relativo
εt =σtσ0= 1.4
GS (εt) = 1− FCHÃχ2α;n−1ε2t
¯¯n− 1
!
GS (1.4) = 1− FCHµ13.277
1.42
¯4
¶GS (1.4) = 1− FCH (6.774| 4) = 0.148
4.2. CARTEDI CONTROLLO PER LA VARIABILITÀDEL PROCESSO PRODUTTIVO49
d) Quando σt = 4.2 quanti istanti campionari si deve attendere mediamente perrilevare tale shift? Risposta d) Si tratta di calcolare l’ARL(σt = 4.2). Quindisignifica che
ARL(σt) =1
GS(σt)
quindi
ARL(σt = 4.2) =1
GS(σt = 4.2)=
1
GS(εt = 1.4)=
1
0.148= 6.741
Carta S con parametri non notiSe il valore target per la variabilità σ0 non è noto può essere stimato utiliz-
zando lo stimatore
bσ0 = S
c4
Quindi seguendo sempre il ragionamento visto in precedenza
CL = bσ0 = S
c4
UCL =
sχ2α;n−1n− 1 bσ0 =
sχ2α;n−1n− 1
S
c4
4.2.2 Carta S con regola del 3-sigma
Anche la carta S può essere costruita con la regola del 3-sigma, qui si faràriferimento alla procedura illustrata da Montgomery (2000).
σ0 notoNel caso in cui il valore σ0 sia noto la carta ha linea centrale pari a
CL = c4σ0
dal momento che il valore atteso della statistica test è dato da E(S) = c4σ0.Mentre per i limiti di controllo si ha
UCL = c4σ0 + 3σ0
q1− c24
LCL = c4σ0 − 3σ0q1− c24
50 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
Se si definiscono le costanti
B5 = c4 − 3q1− c24
B6 = c4 + 3q1− c24
che sono dei valori tabulati in funzione di n (Appendice A6 in Montgomery,2000), allora i limiti di controllo risultano
UCL = B6σ0
LCL = B5σ0
Come si può vedere nelle formule è riportato anche il limite di controlloinferiore (spiegazione).
σ0 non notoNel caso in cui il valore σ0 non sia noto verrà stimato da un insieme di m
campioni preliminari utilizzando lo stimatore Sc4. I limiti della carta di controllo
risultano quindi
CL = S
UCL = S + 3S
c4
q1− c24
LCL = S − 3 Sc4
q1− c24
Se si definiscono le costanti
B3 = 1− 3
c4
q1− c24
B4 = 1 +3
c4
q1− c24
che sono dei valori tabulati in funzione di n (Appendice A6 in Montgomery,2000), allora i limiti di controllo risultano
UCL = B4S
LCL = B3S
4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X −R E X − S 51
4.2.3 Carta R (range)
La statistica test utilizzata è il range campionario:
R = Xmax −XminSe σ0 non è noto, può essere stimato da un insieme di m campioni preliminariutilizzando lo stimatore R
d2. I limiti della carta di controllo risultano quindi
CL = R
UCL = R+ 3d3R
d2
LCL = R− 3d3 Rd2
Se si definiscono le quantità
D3 = 1− 3d3d2
D4 = 1 + 3d3d2
i cui valori dipendono dall’ampiezza n del campione e sono tabulati nell’appen-dice A6 di Montgomery (2000), allora di può scrivere in forma più compatta
CL = R
UCL = D4R
LCL = D3R
4.3 Costruzione e uso delle carte x−R e x− SIn questo paragrafo si illustrerà l’applicazione e l’uso delle carte di controlloviste finora utilizzando esempi concreti.Nella pratica di solito si procede al controllo simultaneo del livello medio
e della variabilità di un processo produttivo. Di conseguenza si utilizzanocontemporanemente le carte di controllo x e S oppure x e R.
Carte x e R
52 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
Campione x1 x2 x3 x4 xi Ri1 351.3 349.8 351 350.1 350.55 1.52 351 350.4 350.6 351.1 350.775 0.73 350.7 350.8 351 350.5 350.75 0.54 350.8 350.3 350.6 350.2 350.475 0.65 351.6 351.7 351.2 351.6 351.525 0.56 350.5 351 350.3 350.9 350.675 0.77 350.1 350.5 351 350.4 350.5 0.98 350.9 350.7 350.8 351.2 350.9 0.59 351.5 350.5 351 351.3 351.075 110 350.8 351.2 351.4 350.4 350.95 111 350.6 349.8 350.2 351.1 350.425 1.312 350.6 350.9 350.1 350.2 350.45 0.813 349.9 351.3 350.2 351.2 350.65 1.414 351.1 350.7 351 350.2 350.75 0.915 350.3 351 351.1 351.4 350.95 1.116 350.9 350.8 350.2 351 350.725 0.817 351.5 349.8 351 351.1 350.85 1.718 350.8 350.6 350.9 351.2 350.875 0.619 351.4 350.5 349.8 350.6 350.575 1.6
Tabella 4.1: Contenuto in ml di bevanda nei contenitori
Prendiamo come riferimento un processo produttivo che imbottiglia una bibi-ta. La caratteristica di qualità di interesse è il contenuto della bevanda, espressoin ml, nel contenitore. L’obiettivo è controllare sia il livello medio sia la vari-abilità del processo produttivo. In particolare per il livello medio si desiderautilizzare una carta x tale che in media un falso allarme si presenti ogni 250istanti campionari. Per la variabilità si vuole utilizzare una carta R con limite3-sigma. Del processo produttivo non si sa nulla quindi in fase preliminare sonostati prelevati 19 campioni, ciascuno di ampiezza 4 in un arco di tempo duranteil quale il processo viene ritenuto sotto controllo. I dati raccolti sono riportatinella Tabella (4.1).Dai dati si può stimare il livello medio del processo
bµ0 = x = Pmi=1 xim
= 350.7592
e la sua variabilità
bσ0 = R
d2=0.952632
2.059= 0.462667
Per la carta x sapendo che
ARL(H0) = 250
4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X −R E X − S 53
si ha α = 0.004 da cui zα/2 = 2.878. I limiti risultano quindi
CL = bµ0 = 350.7592UCL = bµ0 + zα/2 bσ0√n = 351.425LCL = bµ0 − zα/2 bσ0√n = 350.093
Per la carta R
CL = R = 0.952632
UCL = RD4 = R2.282 = 2.1739
I limiti ottenuti sono considerati limiti di controllo di prova Questo per-chè è necessario verificare che i campioni preliminari provengano da un processoeffettivamente sotto controllo. A questo scopo le m determinazioni preliminaridi x e R vengono rappresentate sulle carte di controllo i cui limiti sono statiappena calcolati: se tutti i punti sono all’interno dei limiti di controllo e nessuncomportamento sistematico è evidente allora si può concludere che il processoera sotto controllo e i limiti ottenuti possono essere utilizzati per controllare ilprocesso da questo momento in poi. Nelle Figure (4.8) e (4.9) sono riportatele carte con i limiti di controllo di prova.Se uno o più punti cadono fuori con-trollo, come nel caso del campione 5 per la carta x, allora significa che moltoprobabilmente la produzione in quegli istanti campionari era fuori controllo. E’quindi necessario intervenire sui limiti di controllo calcolati. La procedura chesi esgue è la seguente: a) si analizza ciascun punto fuori controllo cercando dicapire se esistono cause specifiche che li hanno prodotti; b) individuata la causail campione viene eliminato e i limiti di controllo vengono ricalcolati sui rima-nenti campioni; c) si controlla che i punti rimasti siano dentro i nuovi limiti dicontrollo, infatti può capitare che alcuni campioni prima sotto controllo sianoora fuori controllo in quanto eliminando osservazioni i limiti possono diventaremeno ampi. Il procedimento viene quindi reiterato fintantochè tutti i punti ri-masti sono interni ai limiti ed i limiti così ottenuti possono essere utilizzati percontrollare il processo.Nel nostro caso un’analisi del processo produttivo ha evidenziato che il fuori
controllo del campione 5 è dovuto ad un problema di taratura del macchinarioche provvedeva all’imbottigliamento. Tale campione viene quindi eliminato e sirifanno i calcoli sui 18 campioni rimasti:
bµ0 = x = 350.7167 e R = 0.9778la nuova stima di σ0 è
bσ0 = R
d2= 0.47488
54 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
349
349.5350
350.5
351351.5
352
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
UCL=351.425
LCL=350.0934
campione n° 5
CL
Figura 4.8: Carta x costruita sui campioni preliminari
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
UCL=2.1739
CL=0.9526
Figura 4.9: Carta R costruita sui campioni preliminari
4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X −R E X − S 55
349
349.5
350
350.5
351
351.5
352
1 3 5 7 9 11 13 15 17
UCL=351.4001
LCL=350.0333
CL=350.7167
Figura 4.10: Carta x con i limiti ricalcolati
i nuovi limiti di controllo della carta x risultano
UCL = bµ0 + zα/2 bσ0√n = 351.4001LCL = bµ0 − zα/2 bσ0√n = 350.0033
e per la carta R si ha
CL = R = 0.9778
UCL = RD4 = R2.282 = 2.231289
Nelle Figure (4.10) e (4.11) sono riportate le carte di controllo con i limitiricalcolati.Dai grafici non risulta più nessun punto fuori controllo e non emergono com-
portamenti sistematici delle statistiche campionari. Si possono quindi utilizzarei limiti di controllo ottenuti per controllare in futuro il processo.Domanda Si supponga che la carta di controllo sia utilizzata per controllare
il processo produttivo calcolare la probabilità di rilevare un segnale di fuoricontrollo quando µt = 350 e calcolare anche il valore dell’ARL .
Carte x e S
56 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1 3 5 7 9 11 13 15 17
UCL=2.231289
CL=0.9778
Figura 4.11: Carta R con i limiti ricalcolati
Campione Si1 0.714142 0.330403 0.208174 0.275385 0.221746 0.330407 0.374178 0.216029 0.4349310 0.4434711 0.5560312 0.3696813 0.7047514 0.4041415 0.4654716 0.3593917 0.7325718 0.250019 0.65514
Tabella 4.2: Valori di Si del prerun
4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X −R E X − S 57
Per illustrare l’implementazione delle carte x e S consideriamo gli stessi datidell’esempio precedente. In questo casi invece di calcolare per ogni campione ilvalore Ri si calcolerà Si. I valori delle deviazioni standard dei campioni sonoriportati nella tabella (4.2). Valori di Si del prerunLa stima del livello medio del processo è sempre la stessa (i dati non sono
cambiati)
bµ0 = x = Pmi=1 xim
= 350.7592
Per la stima della variabilità si ha
bσ0 = S
c4=0.423473
0.9213= 0.459647
Per la carta x come prima si ha α = 0.004 da cui zα/2 = 2.878. I limiti risultanoquindi
CL = bµ0 = 350.7592UCL = bµ0 + zα/2 bσ0√n = 351.4207LCL = bµ0 − zα/2 bσ0√n = 350.0977
Per la carta S
CL = S = 0.423473
UCL = SB4 = S2.266 = 0.95950
Come in precedenza il campione 5 risulta non in controllo per quanto riguar-da il livello del processo produttivo Figure (4.12) e (4.13).Procedendo alla sua eliminazione si ottengono le seguenti quantità:
bµ0 = x = 350.7167 e S = 0.434681la nuova stima di σ0 è
bσ0 = S
c4= 0.471812
i nuovi limiti di controllo della carta x risultano
UCL = bµ0 + zα/2 bσ0√n = 351.3956
58 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
349
349.5
350
350.5
351
351.5
352
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
UCL=351.4207
LCL=350.0977
campione n° 5
CL
Figura 4.12: Carta x costruita sui campioni preliminari
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19UCL=0.95959
CL=0.423473
Figura 4.13: Carta S costruita sui campioni preliminari
4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X −R E X − S 59
349
349.5
350
350.5
351
351.5
1 3 5 7 9 11 13 15 17
UCL=351.3956
LCL=350.0377
CL=350.7167
Figura 4.14: Carta x con i limiti ricalcolati
LCL = bµ0 − zα/2 bσ0√n = 350.0377e per la carta S si ha
CL = S = 0.434681
UCL = SB4 = S2.266 = 0.984986
Come in precedenza i campioni preliminari rimasti non risultano fuori controlloFigure (4.14)-(4.15) quindi i limiti determinati possono ritenersi validi e possonoessere utilizzati per controllare il processo produttivo. Domanda Si suppongache la carta di controllo sia utilizzata per controllare il processo produttivocalcolare la probabilità di rilevare un segnale di fuori controllo quando µt = 350e calcolare anche il valore dell’ARL .
60 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI
00.20.40.60.8
11.2
1 3 5 7 9 11 13 15 17
UCL=0.984986
CL=0.434681
Figura 4.15: Carta S con i limiti ricalcolati
Capitolo 5
Carte di controllo perattributi
Numerose caratteristiche di qualità non si prestano ad essere misurate quan-titativamente. In queste situazioni si può ricorrere a valutazioni di caratterequalitativo classificando un generico elemento come conforme o non conforme inbase alle specificazioni di una o più caratteristiche di qualità che caratterizzanoil processo. Il controllo del processo si basa quindi su dati di conteggio enu-merando le unità conformi e/o quelle non conformi. Gli strumenti conseguentisono chiamati carte di controllo per attributi. Nel capitolo si prenderanno inesame la carta di controllo per il numero di elementi non conformi (carta np),la carta di controllo per la frazione di elementi non conformi (carta p), la cartadi controllo per il numero di non conformità per unità di prodotto (carta c) ela carta di controllo per il numero di non conformità per unità fisica (carta u).
5.1 Carta di controllo np e carta p
La popolazione di riferimento è l’insieme (virtualmente infinito) delle unitàprovenienti dal processo produttivo e tale popolazione è caratterizzata dallafrazione di elementi non conformi p. Se il processo sta operando in modo sta-bile e le unità successive del processo sono indipendenti, p rappresenta anchela probabilità di ottenere un elemento non conforme. In questi termini il pro-cesso produttivo è descritto una sequenza di variabili aleatorie di Bernoulli diparametro p: seXn è il numero di elementi non conformi in n prove indipendenti(numerosità del campione), allora Xn ha distribuzione binomiale
Xn ∼ Bin(n, p)
Pr {Xn = x} =µnx
¶px (1− p)n−x x = 0, 1, ..., n
61
62 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
La media e varianza di Xn sono rispettivamente
E(Xn) = np
V ar(Xn) = np(1− p)Al tempo t il livello di difettosità del processo è descritto da pt. Usualmente
si utilizza come riferimento un valore target p0 come il livello di ”difettosità”desiderato. Il valore di p0 può essere a seconda dei casi un valore nominale, unvalore empirico o una stima basata su un prerun.Solitamente il processo produttivo viene considerato sotto controllo statistico
quando pt ≤ p0 quindi si dovranno costruire delle carte di controllo per verificareil seguente sistema d’ipotesi
H0 : pt ≤ p0
H1 : pt > p0
In questo caso nella carta sarà presente solamente il limite di controllo superiore.Se invece il processo è considerato sotto controllo per pt = p0 il sistema
d’ipotesi è il seguente
H0 : pt = p0
H1 : pt 6= p0nella carta di controllo saranno presenti i limiti di controllo superiore ed inferi-ore. Nella pratica sono più rilevanti le carte per verificare le ipotesi unilaterali,tuttavia in molti casi si preferisce anche avere il limite di controllo inferiore inquanto può essere utile per individuare eventuali errori di misura.
5.1.1 Carta np
La statistica campionaria è il numero di elementi non conformi nel campione:Xn (campione di numerosità n).Sotto H0 e supponendo p0 noto
Xn ∼ Bin(n, p0)con E(Xn) = np0 e V ar(Xn) = np0(1− p0).Pertanto
CL = np0
Per determinare il limite di controllo UCL si segue sempre lo stesso ragion-amento. Il limite UCL deve essere un numero intero tale che
Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) = α
5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P 63
Siccome Xn ha una distribuzione discreta la probabilità sopra riportata puòessere soddisfatta solo in modo approssimato
Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) = α∗
con α∗ ≤ α.Si tratta quindi di individuare il valore UCL come il più grande intero che
soddisfa:
Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) ≤ α
Di conseguenza UCL è un numero che soddisfa la seguente relazione:
Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) ≤ α < Pr(Xn ≥ UCL− 1|pt = p0)Ricordando che Xn ∼ Bin(n, p) :
Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) =nX
j=UCL
Bi(j;n, p0) = 1−UCL−1Xj=0
Bi(j;n, p0)
= 1− FB(UCL− 1|n, p0)
Pr (Xn ≥ UCL− 1|pt = p0) =nX
j=UCL−1Bi(j;n, p0) = 1−
UCL−2Xj=0
Bi(j;n, p0)
= 1− FB(UCL− 2|n, p0)dove FB(x|n, p) è la funzione di ripartizione di una binomiale di parametri n ep.Pertanto
1− FB(UCL− 1|n, p0) ≤ α < 1− FB(UCL− 2|n, p0)o equivalentemente
FB(UCL− 2|n, p0) < 1− α ≤ FB(UCL− 1|n, p0)Dati i valori di n e p0, e specificato α si individua il limite di controllo UCL
che soddisfa la disuguaglianza con l’ausilio delle tavole della Binomiale.
Funzione di potenza e curva operativa della carta np
La funzione di potenza è data da
G(pt) = Pr (Xn ≥ UCL|pt)quindi
G(pt) =nX
j=UCL
Bi(j;n, pt) = 1−UCL−1Xj=0
Bi(j;n, pt) = 1− FB(UCL− 1|n, pt)
64 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
La curva operativa non è altro che il complemento a 1 della funzione di potenza:
OC(pt) = 1−G(pt)Example 8 Un’azienda produce lampadine e desidera controllare il processoproduttivo. In questo caso la lampadina non funzionante è un elemento nonconforme. L’azienda stabilisce che il proprio processo produttivo è sotto controlloquando al massimo il 7% delle lampadine prodotte non funziona. Per controllareil sistema decide quindi di implementare una carta di controllo per il numero dielementi non conformi basandosi su un campione giornaliero di 30 lampadine.a) Costruire la carta di controllo fissando α = 0.01. Risposta a) Si tratta diuna carta UNILATERALE. Il sistema d’ipotesi che si deve verificare è :
H0 : pt ≤ p0
H1 : pt > p0
con p0 = 0.07. Quindi la linea centrale:
CL = np0 = 2.1
Per il calcolo di UCL
FB(UCL− 2|n, p0) < 1− α ≤ FB(UCL− 1|n, p0)Quindi visto che
FB(5|30, 0.07) = 0.98377
FB(6|30, 0.07) = 0.99601segue che
UCL = 7
Quindi dalla produzione giornaliera si estrae in modo casuale un campione di30 lampadine e si ”contano” le lampadine non funzionanti riportando i valorisulla carta di controllo b) Si supponga che nei primi 8 giorni si siano ottenutii seguenti risultati
Campione 1 2 3 4 5 6 7 8Xn 3 2 1 3 1 3 4 6
la cui rappresentazione grafica è riportata nella Figura (5.1). Cosa si puòaffermare sullo stato del processo produttivo? c) Si supponga che ora che illivello di difettosità (cioè la percentuale di lampadine non funzionanti ) sia parial 9% ovvero pt = 0.09. Calcolare la probabilità che la carta di controllo costru-ita al punto a) individui tale anomalia e calcolare il valore dell’ARL in questa
5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P 65
012345678
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
UCL=7
Figura 5.1: Carta np
situazione. Risposta b) Si tratta di calcolare la funzione di potenza quandopt = 0.09
G(pt) = 1− FB(UCL− 1|n, pt)
G(0.09) = 1− FB(6|30, 0.09) = 1− 0.98475 = 0.01525
da cui segue che
ARL =1
G(pt)= 65.574
5.1.2 Carta np con limiti 3-sigma
Utilizzando la regola del 3-sigma la linea centrale ed i limiti di controllo dellacarta np si ottengono come segue
CL = np0
UCL = np0 + 3pnp0(1− p0)
LCL = np0 − 3pnp0(1− p0)
Utilizzando la regola del 3-sigma è necessario prestare attenzione al limite LCLin quanto potrebbe risultare negativo. In questi casi si pone LCL = 0
66 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
campione Xin campione Xin1 6 11 82 5 12 153 2 13 34 3 14 95 6 15 66 7 16 47 9 17 58 4 18 69 2 19 710 7 20 11
Tabella 5.1: Numero di condensatori non funzionanti (Xin) nei campionipreliminari
5.1.3 Carta np con p0 non noto
La frazione p0 spesso non è nota, è quindi necessario stimarla utilizzando uninsieme di campioni preliminari provenienti dal processo quando opera in modonon disturbato. Se il prerun è composto da m campioni (m = 20 ÷ 25) di nelementi e Xin è il numero di elementi difettosi nel campione i-esimo, allora lafrazione campionaria di elementi non conformi è
bpi = Xinn, i = 1, 2, ...,m
e utilizzando le bpi si può ottenere uno stimatore per p0bp0 = Pm
i=1 bpim
=
Pmi=1Xinmn
il valore ottenuto può quindi essere sostituito nelle formule opportune per cal-colare i limiti della carta di controllo. I limiti così ottenuti dovrebbero essereconsiderati come limiti di controllo di prova come illustrato nel seguenteesempio.
Esempio. Si consideri la produzione di condensatori. Nell’ispezionareil prodotto si controlla che risponda in modo corretto a predeterminate sol-lecitazioni di tensione. Si vuole predisporre una carta di controllo per il numerodi condensatori non conformi, ed è richiesto che ARL(H0) = 250.Per la costruzione della carta vengono estratti, ad intervalli di 15 minuti, 20
campioni di n = 100 condensatori. I dati sono riportati nella Tabella (5.1).Sulla base dei dati provenienti dai campioni preliminari si può stimare p0
bp0 = Pmi=1Xinmn
=125
20 · 100 = 0.0625
A questo punto si può costruire la carta di controllo per verificare se il processoera sotto controllo al momento della raccolta dei dati preliminari.
5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P 67
02468
10121416
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
UCL=14
CL
camp 12
Figura 5.2: Carta np iniziale sui dati preliminari
La linea centrale risulta
CL = np0 = 6.25
Per il calcolo di UCL si segue il ragionamento usuale
FB(UCL− 2|n, p0) < 1− α ≤ FB(UCL− 1|n, p0)Essendo ARL(H0) = 250 si ha α = 0.004, di conseguenza visto che
FB(12|100, 0.0625) = 0.990479
FB(13|100, 0.0625) = 0.996232si ottiene
UCL = 14
La carta di controllo risultante è riportata nella Figura (5.2). Dalla carta sinota che è presente un valore fuori controllo: il campione 12. Da un’analisi delcampione 12 è emerso che l’aumento di difettosità è attribuibile ad un lotto dimateriale difettoso.Individuate la causa il campione viene eliminato e si procede al ricalcolo
della stima di p0
bp0 = Pmi=1Xinmn
=110
19 · 100 = 0.057895
Ricalcolo la linea centrale
CL = nbp0 = 5.7895
68 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
02468
10121416
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
UCL=14
CL
Figura 5.3: Carta np con i limiti ricalcolati
Ricalcolo UCL
FB(12|100, 0.057895) = 0.994857
FB(13|100, 0.057895) = 0.998115quindi
UCL = 14
In questo caso si è solo spostata la linea centrale della carta, mentre il limiteUCL è rimasto immutato. La carta corrispondente viene riportata nella Figura(5.3) Dalla carta non si notano punti fuori controllo nè comportamenti sistem-atici sospetti. Per cui si ritiene bp0 = 0.057895 una stima affidabile della frazionedi elementi non conformi del processo e di conseguenza i limiti trovati si possonoutilizzare per controllare il processo da questo momento in avanti. Data la cartadi controllo appena costruita, calcolare il numero di campioni che in media ènecessario estrarre dal processo produttivo prima di rilevare che pt = 0.09. Quisi tratta di calcolare il valore dell’ARL(H1). E’ necessario calcolare la funzionedi potenza per pt = 0.09
G(pt) = 1− FB(UCL− 1|n, pt)
G(0.09) = 1− FB(13|100, 0.09) = 0.0654452da cui segue che
ARL =1
G(pt)= 15.515
5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P 69
Esercizio. Rifare l’esempio precedente con limite UCL posto a 3-sigma
ApprossimazioniIn alcune situazioni è conveniente utilizzare delle approssimazioni della Bi-
nomiale.
• Approssimazione della Binomiale con la PoissonBin(n, p0) ≈ P (λ = np0)
per np0 ≤ 10 o n ≥ 1500p0• Approssimazione della Binomiale con la Normale
Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) = α ≈ ΦÃUCL− 0.5− np0p
np0(1− p0)
!
per np0(1− p0) > 9. Quindi risolvendo per UCL si ottiene
UCL ≈ np0 + z1−αpnp0(1− p0) + 0.5
e UCL viene approssimato sempre per eccesso all’intero più vicino
5.1.4 Carta p
Controlla direttamente la frazione di elementi difettosi, quindi ha lo stessosistema d’ipotesi della carta np. La statistica test
bpn = Xnn
è la frazione di elementi non conformi.La linea centrale e le linee di controllo si ottengono dividendo per n le
analoghe quantità della carta np
Carta np Carta pCL CL∗ = CL
n
UCL UCL∗ = UCLn
LCL LCL∗ = LCLn
Funzione di potenza della carta p
La funzione di potenza della carta p è la stessa della carta np:
Gp(pt) = Pr {bpn ≥ UCL∗|pt} = Pr½Xnn≥ UCL
n|pt¾=
= Pr {Xn ≥ UCL|pt} = G(pt)
70 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
campione Xin campione Xin campione Xin campione Xin1 2 7 3 13 2 19 32 3 8 5 14 4 20 53 2 9 2 15 5 21 34 5 10 4 16 7 22 65 1 11 1 17 1 23 86 12 12 4 18 1 24 2
Tabella 5.2: numero di valvole non conformi nei 24 campioni preliminari
Esempio. Si consideri la produzione valvole per pneumatici per automobili.Il prodotto viene ispezionato sollecitando la valvola con una pressione predeter-minata controllandone la tenuta. Si vuole utilizzare una carta di controllo perla frazione di elementi non conformi, ed è richiesto che ARL(H0) = 200.Per la costruzione della carta vengono estratti, ad intervalli di 30 minuti, 24
campioni di n = 50 valvole. I dati sono riportati nella Tabella (5.2)Utilizzando i 24 campioni preliminari la stima di p0 risulta:
CL = bp0 = Pmi=1Xinmn
=91
24 · 50 = 0.07583
Visto che ARL(H0) = 200 significa α = 0.005 ed essendo il limite UCL unnumero intero tale da soddisfare
FB(UCL− 2|n, p0) < 1− α ≤ FB(UCL− 1|n, p0)si trova che
FB(8|50, 0.07583) = 0.987944
FB(9|50, 0.07583) = 0.996136quindi risulta
UCL = 10
Il limite della carta p si ottiene dividendo il limite appena trovato per n
UCL∗ =10
50= 0.2
La visualizzazione grafica del prerun è riportata nella Figura (5.4) Dalla Figurasi nota che un valore non risulta in controllo. E’ necessario quindi analizzare lecause che possono aver dato luogo a questa situazione. Supponiamo ora che si siaindividuata le causa del problema e che siano state fatte le opportune operazionicorrettive. Si può quindi procedere eliminando il campione e rifacendo i calcoli.
5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P 71
0
0.05
0.10.15
0.2
0.25
0.3
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
UCL=0.2
CL
camp. 6
Figura 5.4: Carta p costruita sui dati preliminari
La nuova stima di p0 è data da
CL = bp0 = Pmi=1Xinmn
=79
23 · 50 = 0.068696
per limite UCL ricalcolato si ha
FB(8|50, 0.068696) = 0.993504
FB(9|50, 0.068696) = 0.998117
da cui risulta
UCL = 10
e quindi il limite ricalcolato della carta p è ancora
UCL∗ =10
50= 0.2
La visualizzazione dei campioni preliminari è riporata nella Figura (5.5). DallaFigura si nota che tra i 23 campioni rimasti non è presente nessun punto fuoricontrollo La carta di controllo così costruita è quindi utilizzabile per controllareil processo da questo momento in avanti.Se avviene uno shift e pt = 0.1 quanto tempo in media si deve attendere
per rilevare il problema? Si tratta anche in questo caso di calcolare ARL(H1).Calcolo quindi il valore della funzione di potenza
Gp(pt) = Pr {bpn ≥ UCL∗|pt} = Pr {Xn ≥ UCL|pt} == 1− FB(UCL− 1|n, pt)
72 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
UCL=0.2
CL
Figura 5.5: Carta p ottenuta eliminado il campione 6
Nel nostro caso essendo UCL = 10 si ha
G(0.1) = 1− FB(9|50, 0.1) = 0.0024538e quindi
ARL(pt = 0.1) = 1/Gp(pt) = 40.75322
Esercizio. Rifare l’esempio precedente con limite UCL posto a 3-sigma
5.2 Carte di controllo per le non conformitàUn elemento non conforme è un prodotto che non soddisfa una, o più, dellespecifiche richieste. Ogni specifica non rispettata costituisce un difetto o unanon conformità. Conseguentemente un elemento non conforme contiene almenouna non conformità. In molte situazioni pratiche è preferibile controllare ilnumero di difetti o non conformità nel campione anziché la frazione di elementinon conformi. In questa situazione l’unità di riferimento può essere:
• l’unità di prodotto;• una unità fisica (normalmente più unità fisiche formano una unità diprodotto).
In entrambi i casi si assume che la variabile aleatoria in grado di descriverela probabilità che si presenti un difetto sia una Poisson di parametro λt, X ≈Po(λt):
Pr(x = k) =e−λλktk!
5.2. CARTE DI CONTROLLO PER LE NON CONFORMITÀ 73
ed essendo
E(X) = V ar(X) = λt
il parametro λt rappresenta il numero medio di difetti di una unità prodotta altempo t.Se il processo produttivo viene considerato sotto controllo statistico per λt ≤
λ0 si dovranno costruire delle carte di controllo per verificare il seguente sistemad’ipotesi
H0 : λt ≤ λ0
H1 : λt > λ0
Se il processo è considerato sotto controllo per λt = λ0 il sistema d’ipotesi èil seguente
H0 : λt = λ0
H1 : λt 6= λ0
Nella pratica sono più rilevanti le carte per verificare le ipotesi unilaterali.
5.2.1 Carta per il numero di non conformità per unità diprodotto (carta c)
La statistica campionaria è il numero cumulato di non conformità nel campione:X∗n (campione di numerosità n).Sotto H0 lo stato del processo è caratterizzato da un tasso medio di non
conformità pari a λ0
X∗n ∼ Po(nλ0)con E(X∗n) = nλ0.Pertanto
CL = nλ0
Il limite di controllo UCL deve soddisfare
Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) = α
Dato che X∗n ha una distribuzione discreta la probabilità sopra riportata puòessere soddisfatta solo in modo approssimato
Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) = α∗
74 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
con α∗ ≤ α.Si tratta quindi di individuare il valore UCL come il più grande intero che
soddisfa:
Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) ≤ α
Di conseguenza il limite UCL è tale da soddisfare la seguente relazione:
Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) ≤ α < Pr(Xn ≥ UCL− 1|λt = λ0)
Ricordando che X∗n ∼ Po(nλ) :
Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) =∞X
j=UCL
Po(j;nλ0) = 1−UCL−1Xj=0
Po(j;nλ0)
= 1− FP (UCL− 1|nλ0)
Pr (X∗n ≥ UCL− 1|λt = λ0) =∞X
j=UCL−1Po(j;nλ0) = 1−
UCL−2Xj=0
Po(j;nλ0)
= 1− FP (UCL− 2|nλ0)
Pertanto
1− FP (UCL− 1|nλ0) ≤ α < 1− FP (UCL− 2|nλ0)
o equivalentemente
FP (UCL− 2|nλ0) < 1− α ≤ FP (UCL− 1|nλ0)
Dati i valori di n e λ0, e specificato α si individua il limite di controllo UCLche soddisfa la disuguaglianza con l’ausilio delle tavole della Poisson.
Funzione di potenza e curva operativa
La funzione di potenza è data da
G(λt) = Pr (X∗n ≥ UCL|λt)
quindi
G(λt) =∞X
j=UCL
Po(j;npt) = 1−UCL−1Xj=0
Po(j;nλt) = 1− FP (UCL− 1|nλt)
5.2. CARTE DI CONTROLLO PER LE NON CONFORMITÀ 75
Example 9 Un’azienda che produce rotoli di carta desidera controllare il nu-mero di non conformità per unità di prodotto. Sapendo che n = 3 e che λ0 = 2costruire una carta di controllo unilaterale. a) Determinare il limite di controllocon α = 0.05. Risposta a) Si tratta di una carta UNILATERALE.
H0 : λt ≤ λ0
H1 : λt > λ0
In questo caso
CL = nλ0 = 6
Calcolo UCL
FP (UCL− 2|nλ0) < 1− α ≤ FP (UCL− 1|nλ0)
quindi visto che
FP (9|6) = 0.91608
FP (10|6) = 0.95738
segue che UCL = 11.b) Calcolare il valore della funzione di potenza e l’ARLquando λt = 2, 5. Risposta b)
G(λt) = 1− FP (UCL− 1|nλt)
G(λt = 2.5) = 1− FP (10|7, 5) = 1− 0.86224 = 0.13776
Quindi l’ARL vale
ARL(λt = 2.5) =1
G(λt)= 7.259
5.2.2 Carta c con i limiti 3-sigma
Utilizzando la regola del 3-sigma la carta c risulta
UCL = nλ0 + 3pnλ0
CL = nλ0
LCL = nλ0 − 3pnλ0
76 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
Campione X∗in Campione X∗in1 2 11 82 4 12 23 6 13 24 2 14 35 4 15 16 8 16 17 1 17 48 0 18 39 3 19 210 5 20 7
Tabella 5.3: Numero di non conformit nei campioni del prerun
5.2.3 Carta c con λ0 non noto
Nel caso in cui nessun valore di riferimento viene assegnato è possibile stimareλ0 usando il numero medio di difetti rilevati in un campione preliminare.Si prenda ad esempio la produzione di un cavo a fibra ottica. A tale scopo
per 20 giorni vengono controllati 10 rotoli di cavo per evidenziare eventualidifetti. I dati rilevati su questo insieme di campioni preliminari sono riportatinella Tabella (5.3).Si vuole costruire una carta di controllo per le non conformità in modo tale
che in media ci sio un falso allarme ogni 200 istanti campionari.Costruzione della carta.Dai dati a disposizione abbiamo ARL(H0) = 200 quindi α = 0.005.Stimo λ0
bλ0 = Pmi=1X
∗in
m · n =68
20 · 10 = 0.34la linea centrale risulta quindi
CL = nbλ0 = 3.4Per il limite UCL, visto che
FP (8|3.4) = 0.991707
FP (9|3.4) = 0.997291si ottiene
UCL = 10
La carta di controllo costruita per i campioni preliminari e riportata nellaFigura (5.6)Dalla Figura si nota che tutti i campioni risultano prelevato quando il pro-
cesso operava sotto H0 quindi la carta così ottenuta può essere utilizzata percontrollare da questo momento il processo produttivo.
5.2. CARTE DI CONTROLLO PER LE NON CONFORMITÀ 77
02468
1012
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
UCL=10
CL
Figura 5.6: Carta c per i campioni preliminari
5.2.4 Carta per il numero di conformità per unità fisica(carta u)
Controlla il numero di conformità per unità fisica. L’unità fisica dipende ovvi-amente dal tipo di prodotto e più unità fisiche, diciamo d, costituiscono ilprodotto.Indicando con Xi il numero di non conformità nel’i-esima unità di prodotto
si ha
Xi ∼ Po(λt)Quindi se si indica con Uj il numero di non conformità nella j-esima unità fisica
Uj ∼ Po(λ∗t )con
λ∗t =λtd
Conseguentemente la linea centrale e le linee di controllo si ottengono divi-dendo per d le analoghe quantità della carta c
Carta c Carta uCL CL∗ = CL
d
UCL UCL∗ = UCLd
LCL LCL∗ = LCLd
Funzione di potenza della carta u
La funzione di potenza della carta u è la stessa della carta c:
78 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI
Gu(λ∗t ) = Pr {X∗n/d ≥ UCL∗|λ∗t } = Pr {X∗n ≥ UCL|λt} = G(λt)
Approssimazioni utiliIn alcune situazioni è conveniente utilizzare delle approssimazioni della Pois-
son.
• Approssimazione della Poisson con la Normalese nλ0(1− λ0) ≥ 9 allora
Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) = α ≈ 1− ΦµUCL− 0.5− nλ0√
nλ0
¶Quindi risolvendo per UCL si ottiene
UCL ≈ nλ0 + z1−αpnλ0 + 0.5
e UCL viene approssimato, sempre per eccesso, all’intero più vicino.
Bibliografia
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[5] Ryan, T. P. (1989) ”Statistical Methods for Quality Improvement” WileyNew York
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