Álgebra Básica Examen final (Temas 3 y 4) 22-01-2018

apellidos nombre

Observaciones:-) Escribir el nombre y los apellidos en esta hoja, que deberá entregarse con el examen.-) Escribir la respuesta a cada ejercicio en hojas separadas. Entregar al final las hojas ordenadas

por ejercicios.-) Durante la realización del examen exclusivamente se podrá disponer de material de escritura.

Ningún otro objeto está permitido.-) El examen se puntuará sobre 20 puntos y cada uno de los ejercicios sobre 10 puntos. Para superar

este examen, habrá que alcanzar un mínimo de 3 puntos sobre 10 en cada uno de los ejerciciosrealizados.

Ejercicio 1. (10 puntos)(a) (2,5 puntos) Sea N > 1 un número natural cualquiera, que consideraremos fijo. Resolver el

siguiente sistema de congruencias, justificando primero por qué ha de tener solución:

x ≡ 1 (mod N)x ≡ 2 (mod N2 − 1).

(b) (2,5 puntos)(i) Calcular los últimos dos dígitos de 4919.(ii) Calcular: 1× 10 + 2× 102 + 3× 103 + ...+ 2018× 102018 (mod 11).

(c) (2,5 puntos) Sean m 6= 0, 1 y a unos enteros. Probar que las dos propiedades siguientes sonequivalentes:(i) a+ Zm es una unidad en Z/Zm.(ii) mcd(a,m) = 1.

(d) (2,5 puntos) Sea p > 2 un primo. Demostrar que cada divisor primo de 2p − 1 es ≡ 1 módulo p(y por tanto > p). Indicación: se puede seguir el siguiente esquema. Sea q un primo que dividea 2p − 1.

-) Observa y justifica que: 2p ≡ 1 (mod q). ¿Cuál sería el orden de la clase de 2 en el grupode las unidades de Z/Zq?

-) Prueba que: 2q−1 ≡ 1 (mod q). ¿Qué relación puedes deducir entre p y q − 1?

Solución.

Ejercicio 2. (10 puntos)A. (5 puntos) Sean f(x) = x6 − 4x4 − 3x3 + 2x2 + 6x+ 4 y g(x) = x4 − x2 − 2 dos polinomios con

coeficientes enteros. Se pide:(1) Calcular mcd(f(x), g(x)) y una identidad de Bézout (en Q[x]) para estos polinomios.(2) Descomponer f(x) en factores irreducibles en Q[x], R[x] y C[x].

B. (5 puntos)(1) Sean en este caso f(x) = x3 + 1 ∈ F2[x] e I = 〈f(x)〉. ¿Es A = F2[x]/I un cuerpo? Dar la

lista de las unidades de A. Calcular, si existe, el inverso de la clase del polinomio x en A.(2) Sean k un cuerpo, f(x) ∈ k[x] un polinomio e I = 〈f(x)〉 el ideal generado por f(x). Probar

que g(x) + I es una unidad en A = k[x]/I si y sólo si mcd(g(x), f(x)) = 1. (Indicación: Laprueba es análoga al caso de Z).

Solución.A. (1) Aplicamos el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor como sigue:

x6 − 4x4 − 3x3 + 2x2 + 6x+ 4 =(x4 − x2 − 2

)·

(x2 − 3

)+(− 3x3 + x2 + 6x− 2

)x4 − x2 − 2 =

(− 3x3 + x2 + 6x− 2

)·(− 1

3x−19

)+(109 x

2 − 209

)− 3x3 + x2 + 6x− 2 =

(109 x

2 − 209

)·

(− 27

10x+ 910

)+ 0

De donde el máximo común divisor es (10/9)x2− 20/9. Para expresarlo como un polinomiomónico es suficiente multiplicar por 9/10, de donde

mcd(f(x), g(x)) = x2 − 2.

Para obtener una identidad de Bézout deshacemos los cálculos del algoritmo de Euclides:

10

9x2 − 20

9= g(x)− (−3x3 + x2 + 6x− 2)

(−1

3x− 1

9

)=

= g(x) +

(1

3x+

1

9

)(f(x)− (x2 − 3)g(x)) =

=

(1

3x+

1

9

)f(x) +

(1−

(1

3x+

1

9

)(x2 − 3)

)g(x) =

=

(1

3x+

1

9

)f(x) +

(4

3+ x− 1

9x2 − 1

3x3

)g(x).

Multiplicando por 9/10, se tiene

x2 − 2 =

(3

10x+

1

10

)f(x) +

(6

5+

9

10x− 1

10x2 − 3

10x3

)g(x).

(2) Veamos primero la factorización en Q[x]. Evidentemente f(x) es divisible por el máximocomún divisor calculado antes, haciendo la división:

f(x) = (x2 − 2)(x4 − 2x2 − 3x− 2).

El polinomio x2− 2 es irreducible sobre Q al ser sus raíces, ±√2, irracionales. El polinomio

x4 − 2x2 − 3x − 2 tiene raíces −1 y 2 (comprobando entre los divisores de −2), realizandola división entre los factores correspondientes se obtiene:

x4 − 2x2 − 3x− 2 = (x+ 1)(x− 2)(x2 + x+ 1).

El polinomio x2 + x+ 1 tiene raíces complejas no reales

−1

2±√3

2i,

luego es irreducible sobre Q (y R).Por tanto, la factorización de f(x) en factores irreducibles en Q[x] es

f(x) = (x+ 1)(x− 2)(x2 − 2)(x2 + x+ 1).

Por los cálculos anteriores se tiene que la factorización en R[x] es

f(x) = (x+ 1)(x− 2)(x−√2)(

x+√2)(x2 + x+ 1).

Y sobre C es

f(x) = (x+ 1)(x− 2)(x−√2)(

x+√2)(x− α)(x− β),

siendo α = − 12 +

√32 i y β = − 1

2 −√32 i.

B. (1) El anillo A = F2[x]/I es un cuerpo si y solo si el ideal I es maximal. A su vez sabemosque I = 〈f(x)〉 es maximal si y solo si f(x) es irreducible sobre F2. Pero el polinomiof(x) = (x+ 1)(x2 + x+ 1) es reducible, luego A no es un cuerpo.Cada elemento de A = F2[x]/I es una clase de equivalencia que se puede representar porun polinomio de grado menor que 3. Identificando cada elemento con su representante degrado menor que 3 podemos dar la lista de elementos de A:

A = {0 + I, 1 + I, x+ I, (x+ 1) + I, x2 + I, (x2 + 1) + I, (x2 + x) + I, (x2 + x+ 1) + I}.

Sabemos, y de hecho vamos a demostrarlo en el siguiente apartado, que g(x) + I es unaunidad en A si y solo si mcd(f(x), g(x)) = 1.La descomposición en factores irreducibles sobre F2 de f(x) es

f(x) = (x+ 1)(x2 + x+ 1).

Así que los polinomios cuyo máximo común divisor con f(x) es distinto de 1 son aquellosque tienen algún factor irreducible en común, además del polinomio 0. Es decir, para elcojunto de las unidades quitamos de la lista a

0, x+ 1, x2 + 1 = (x+ 1)2, x2 + x = x(x+ 1), y x2 + x+ 1.

Por tanto, el conjunto de las unidades de A es

A∗ = {1 + I, x+ I, x2 + I}.

Si uno observa que el grupo multiplicativo A∗ es cíclico de orden 3, generado por x + I,puede deducir que (x+ I)3 = x3 + I = 1 + I, de donde el inverso de x+ I es x2 + I.Si no nos damos cuenta de este hecho, el procedimiento para hallar el inverso es calcular unaidentidad de Bézout para mcd(f(x), x) = 1. En este caso mediante el algoritmo de Euclidesse llega rápidamente a que

f(x) + x2 · x = 1 (en F2).

Luego el inverso de x+ I es x2 + I, como ya sabíamos.(2) =⇒ Supongamos que g(x)+I es una unidad en A. Esto quiere decir que existe un polinomio

p(x) ∈ k[x] tal que(g(x) + I)(p(x) + I) = 1 + I.

Es decir,g(x)p(x)− 1 ∈ I = 〈f(x)〉.

Los elementos de I son los múltiplos de f(x), luego existe un polinomio q(x) tal que

g(x)p(x)− 1 = f(x)q(x).

O, lo que es lo mismo,p(x)g(x)− q(x)f(x) = 1.

Sea d(x) = mcd(f(x), g(x)). Como d(x) divide a g(x) y a f(x), también divide a p(x)g(x)−q(x)f(x) = 1. De donde mcd(f(x), g(x)) = 1.

⇐= Recíprocamente, si mcd(f(x), g(x)) = 1, por la Identidad de Bézout sabemos queexisten dos polinomios α(x) y β(x) tales que

α(x)f(x) + β(x)g(x) = 1.

Tomando módulo I, como f(x) + I = 0 + I, tenemos

(β(x) + I)(g(x) + I) = 1 + I.

Luego el inverso de g(x) + I es β(x) + I y, por tanto, g(x) + I es una unidad en A.