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Álgebra de BooleÁlgebra de Boole
Nikolas Libert
Aula 4B
Eletrônica Digital ET52CTecnologia em Automação Industrial
DAELT ● Nikolas Libert ● 2
Álgebra de Boole
Álgebra de Boole
Augustus De Morgan (1806-1871) e George Boole (1815-1864).
– Desenvolvimento de uma álgebra para representação de situações lógicas de forma simples.
DAELT ● Nikolas Libert ● 3
Álgebra de Boole
Variáveis booleanas.
– Representadas através de letras, podendo assumir dois valores (0 ou 1).
Expressão booleana.
– Sentença matemática que opera sobre variáveis booleanas.
DAELT ● Nikolas Libert ● 4
Postulados da Álgebra Booleana
Postulados da Álgebra Booleana
Postulado da Complementação.
– A é chamado de complemento de A.
– Se A = 0 ► A = 1.
– Se A = 1 ► A = 0.
– Implica na seguinte identidade: A = A.
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Postulados da Álgebra Booleana
Postulado da Adição.
– Define as regras do operador “+”.● 0 + 0 = 0.● 0 + 1 = 1.● 1 + 0 = 1.● 1 + 1 = 1.
– Estabelece as seguintes identidades.● A + 0 = A.● A + 1 = A.● A + A = A.● A + A = 1.
DAELT ● Nikolas Libert ● 6
Postulados da Álgebra Booleana
Postulado da Multiplicação.
– Define as regras do operador “.”.● 0 . 0 = 0.● 0 . 1 = 0.● 1 . 0 = 0.● 1 . 1 = 1.
– Estabelece as seguintes identidades.● A . 0 = 0.● A . 1 = A.● A . A = A.● A . A = 0.
DAELT ● Nikolas Libert ● 7
Propriedades da Álgebra Booleana
Propriedades da Álgebra Booleana
Propriedade Comutativa.
– Soma: A + B = B + A.
– Produto: A . B = B . A.
Propriedade Associativa.
– Soma: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C.
– Produto: A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C.
Propriedade Distributiva.
– A . (B + C) = A . B + A . C
DAELT ● Nikolas Libert ● 8
Teoremas de De Morgan
Teoremas de De Morgan
Importantes para simplificação de circuitos lógicos.
1° Teorema.
– O complemento do produto é a soma dos complementos.
– A . B = A + B
– A . B . (…) . N = A + B + (…) + N
A B A . B A + B
0 0 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 0
DAELT ● Nikolas Libert ● 9
Teoremas de De Morgan
2° Teorema.
– O complemento da soma é o produto dos complementos.
– A + B = A . B
– A + B + (…) + N = A . B . (…) . N
Consequência prática dos teoremas.
A B A + B A . B
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
=
=
1° Teorema
2° Teorema
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Identidades Auxiliares
Identidades Auxiliares
A + A.B = A.
– A + A.B = A.(1 + B) = A.(1) = A
(A + B).(A + C) = A + B.C
– (A + B).(A + C) = A.A + A.C + A.B + B.C = A + A.C + A.B + B.C = A.(1 + B + C) + B.C = A + B.C
A + A.B = A + B
– A + A.B = A + A.B = A . A.B = A . (A+B) =A.A + A.B = A.B = A + B
DAELT ● Nikolas Libert ● 11
Simplificação de Expressões Booleanas
Simplificação de Expressões Booleanas
A Álgebra de Boole permite a simplificação de expressões lógicas e consequentemente, de circuitos que as representem.
Exemplo: Simplifique a expressão S = ABC + AB + AC
– S = A.(BC + B + C) = A.(BC + (B+C)) =A.(BC + (B+C)) = A.(BC + BC) = A.1 = A
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
Expressões que Representam uma Tabela Verdade Dada uma tabela verdade, é possível a obtenção da
expressão lógica que a representa analisando-se as condições que tornam a saída verdadeira ou falsa.
Quando retiradas da tabela verdade de forma direta, as expressões se encontram num formato chamado de canônico.
Expressões canônicas nem sempre se encontram na representação mais simples.
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
Análise das condições de saída verdadeira.
– Devido ao formato da expressão de saída, este método é chamado de método da soma de produtos ou SOP (Sum of Products).
Logo: S = A.B.C + A.B.C + A.B.C
C0
C2
C5
A saída será verdadeira se as condições “C0” OU “C2” OU “C5” forem verdadeiras:
S = C0 + C2 + C5
O que torna a condição “C0” verdadeira?- As entradas “A” E “B” E “C” devem ser
falsas. C0 = A.B.C
C2 = A.B.C
C5 = A.B.C
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
Exercício: utilizando Álgebra de Boole simplifique a expressão obtida S = A.B.C + A.B.C + A.B.C.
S = A.C + A.B.C
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
Análise das condições de saída falsa.
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Logo: S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
C1
C3
C6
A saída será falsa se as condições “C1” OU “C3” OU “C4” OU “C6” OU “C7” forem verdadeiras: S = C1 + C3 + C4 + C6 + C7
O que torna a condição “C1” verdadeira?- As entradas “NÃO A” E “NÃO B” E “C”
devem ser verdadeiras. C1 = A.B.C
C3 = A.B.C
C7 = A.B.C
C4
C7C4 = A.B.C
C6 = A.B.C
DAELT ● Nikolas Libert ● 16
Expressões que Representam uma Tabela Verdade
Análise das condições de saída falsa.
– Devido ao formato da expressão de saída, este método é chamado de método do produto das somas ou POS (Product of Sums).
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
Negando os dois lados da expressão obtida:
S = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
S = (A.B.C).(A.B.C).(A.B.C).(A.B.C).(A.B.C)
Aplicando De Morgan:
S = (A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)
Aplicando De Morgan:
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
Resultado por SOP e POS.
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Soma de Produtos (SOP):
S = (A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C).(A+B+C)
Produto das Somas (POS):
S = A.B.C + A.B.C + A.B.C
Nesse caso, a representação por soma de produtos é vantajosa.
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Expressões que Representam uma Tabela Verdade
Exercício: Obtenha as expressões SOP e POS que representam a tabela verdade abaixo e simplifique a SOP.
A B C S
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
S = A B + AC + ABC
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Exemplo de Projeto
Três aparelhos de som devem ser conectados a um único amplificador. Caso mais de um aparelho esteja ligado, o amplificador deverá receber o sinal de um dos três de acordo com a seguinte lista de prioridades:
– Prioridade 1: Toca-discos.
– Prioridade 2: Toca-fitas.
– Prioridade 3: Rádio FM.
Escreva a tabela verdade de um sistema digital de três entradas e três saídas que determina qual aparelho é conectado ao amplificador.
– As variáveis de entrada são A, B e C e indicam quais equipamento estão ligados.
– As variáveis de saída são X, Y e Z e indicam qual equipamento está conectado ao amplificador. Apenas uma saída pode ser ativada simultaneamente.
Toca-discos Toca-fitas Rádio FM
Amplificador
X Y Z
A B C
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Exemplo de Projeto
A B C X Y Z
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 0 0
A: Toca-discos ligado.B: Toca-fitas ligado.C: Rádio FM ligado.
X: Toca-discos conectadoao amplificador.Y: Toca-fitas conectadoao amplificador.Z: Rádio FM conectadoao amplificador.
Toca-discos Toca-fitas Rádio FM
Amplificador
X Y Z
A B C
Obtenha as 3 expressões SOP que representam o sistema.
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Exemplo de Projeto
A B C X Y Z
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 0 0
1 1 1 1 0 0
Utilizando Álgebra de Boole, simplifique as expressões encontradas.
X = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
Y = A.B.C + A.B.C
Z = A.B.C
DAELT ● Nikolas Libert ● 22
Exemplo de Projeto
X = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
Y = A.B.C + A.B.C
Z = A.B.C
X = A.(B.C + B.C + B.C + B.C)
X = A.(B.(C + C) + B.(C + C))
X = A.(B + B)
X = A
Y = A.B.(C + C)
Y = A.B
DAELT ● Nikolas Libert ● 23
Exercício
Desenhe o circuito abaixo utilizando apenas portas NÃO E.
A B
S