Lógica Matemática 1paginapessoal.utfpr.edu.br/...e...LogicaMatematica.pdfLógica Matemática 1 Semanas 13 e 14 Professor Luiz Claudio Pereira Departamento Acadêmico de Matemática

Lógica Matemática 1

Semanas 13 e 14

Professor Luiz Claudio Pereira

Departamento Acadêmico de Matemática

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Material Previsto para quatro dias

Implicação e equivalência (UTFPR) Dr. Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 136

Método Dedutivo

1 Propriedades


Regras de Inferência e argumentosDedução natural ou lógica

Revisão de Conteúdo

porque Recordar é Viver.

Falsos ← Enunciados↓

Não justicados ← Verdadeiros → Justicados↓ ↓

Axiomas, Denição na Proposições,postulados, formal normal lemas,princípios. (atribuição, teoremas,

deniendum) corolários.deniens)

Seja a ∈ N. Diz-se que a é par se ∃k ∈ N | a = 2k .atribuição deniendum deniens


PropriedadesIdempotente

Idempotente

Mostre que:1 p∧p⇔ p.2 p∨p⇔ p.

Solução

p p∧p p∨pV

F



Idempotente


Solução

p p∧p p∨pV

F



Idempotente


Solução

p p∧p p∨pV V V

F F F



Idempotente

Mostre que a condicional e abicondicional não gozam dapropriedade idempotente.

Solução 1

p p→ p p↔ p

V

F



Idempotente


Solução 1

p p→ p p↔ p

V

F



Idempotente


Solução 1

p p→ p p↔ p

V V V

F V V



Idempotente


Solução 1

p p→ p p↔ p

V V V

F V V

Solução 2

Tomando V (p) = F , tem-seV (p→ p) = V e V (p↔ p) = V .Portanto, não ocorrem p⇔ p→ p ep⇔ p↔ p.


PropriedadesIdentidade

Identidade

Mostre que:1 p∧ τ ⇔ p e

p∨ τ ⇔ τ , sendo τ

uma tautologia.2 p∧χ ⇔ χ e

p∨χ ⇔ p, sendo χ

uma contradição.

Solução

p∨χ p∨ τ p τ χ p∧ τ p∧χ

V V F

F V F



Identidade





uma contradição.

Solução


V V F

F V F



Identidade





uma contradição.

Solução


V V V V F V F

F V F V F F F


PropriedadesComutativa

Comutativa

Mostre que:1 p∧q⇔ q∧p.2 p∨q⇔ q∨p.3 p↔ q⇔ q↔ p.

Solução

q∧p p q p∧qV V

V F

F V

F F



Comutativa


Solução

q∧p p q p∧qV V

V F

F V

F F



Comutativa


Solução

q∧p p q p∧qV V V V

F V F F

F F V F

F F F F



Comutativa


Solução

q∨p p q p∨qV V

V F

F V

F F



Comutativa


Solução

q∨p p q p∨qV V

V F

F V

F F



Comutativa


Solução

q∨p p q p∨qV V V V

V V F V

V F V V

F F F F



Comutativa


Solução

q↔ p p q p↔ q

V V

V F

F V

F F



Comutativa


Solução

q↔ p p q p↔ q

V V

V F

F V

F F



Comutativa


Solução

q↔ p p q p↔ q

V V V V

F V F F

F F V F

V F F V



Comutativa

Mostre que a condicional nãogoza da propriedadecomutativa.

Solução 1

q→ p p q p→ q

V V

V F

F V

F F



Comutativa


Solução 1

q→ p p q p→ q

V V

V F

F V

F F



Comutativa


Solução 1

q→ p p q p→ q

V V V V

V V F F

F F V V

V F F V



Comutativa


Solução 1

q→ p p q p→ q

V V V V

V V F F

F F V V

V F F V

Solução 2

Tomando V (p) = V e V (q) = F ,tem-se V (q→ p) = V eV (p→ q) = F . Portanto, não ocorrep↔ q⇔ q↔ p.


PropriedadesAssociativa

Mostre que:1 (p∧q)∧ r ⇔ p∧ (q∧ r).2 (p∨q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r).3 (p↔ q)↔ r ⇔ p↔ (q↔ r).

p∧ (q∧ r) q∧ r p q r p∧q (p∧q)∧ rV V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F




p∧ (q∧ r) q∧ r p q r p∧q (p∧q)∧ rV V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F




p∧ (q∧ r) q∧ r p q r p∧q (p∧q)∧ rV V V V V V V

F F V V F V F

F F V F V F F

F F V F F F F

F V F V V F F

F F F V F F F

F F F F V F F

F F F F F F F




p∨ (q∨ r) q∨ r p q r p∨q (p∨q)∨ rV V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F




p∨ (q∨ r) q∨ r p q r p∨q (p∨q)∨ rV V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F




p∨ (q∨ r) q∨ r p q r p∨q (p∨q)∨ rV V V V V V V

V V V V F V V

V V V F V V V

V F V F F V V

V V F V V V V

V V F V F V V

V V F F V F V

F F F F F F F




p↔ (q↔ r) q↔ r p q r p↔ q (p↔ q)↔ r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F




p↔ (q↔ r) q↔ r p q r p↔ q (p↔ q)↔ r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F




p↔ (q↔ r) q↔ r p q r p↔ q (p↔ q)↔ r

V V V V V V V

F F V V F V F

F F V F V F F

V V V F F F V

F V F V V F F

V F F V F F V

V F F F V V V

F V F F F V F



Associativa

Mostre que a condicional nãogoza da propriedadeassociativa.

Solução

Tente resolver sem usar

tabela-verdade.



Associativa


Solução

Tente resolver sem usar

tabela-verdade.



Associativa


Solução

Tomando V (p) = F , V (q) = V e

V (r) = F , segue que V (p→ q) = V ,

V (q→ r) = F , V ((p→ q)→ r) = F

e V (p→ (q→ r)) = V . Portanto,

não ocorre

(p→ q)→ r)⇔ p→ (q→ r).


Regras de inferência e argumentosPropriedades

Demonstre as implicações:1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.

Solução Q1

Precisamos vericar que χ → p é uma tautologia.




Solução Q1

Precisamos vericar que χ → p é uma tautologia.



Demonstre as implicações.1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.

Solução Q1

χ → p ⇔ ¬χ ∨p




Solução Q1

χ → p ⇔ ¬χ ∨p⇔ τ ∨p




Solução Q1

χ → p ⇔ ¬χ ∨p⇔ τ ∨p⇔ τ



Demonstre as implicações.1 χ ⇒ p, sendo χ uma contradição.2 p⇒ τ , sendo τ uma tautologia.

Solução Q2

p→ τ ⇔ ¬p∨ τ




Solução Q2

p→ τ ⇔ ¬p∨ τ

⇔ ¬(p∧χ)




Solução Q2

p→ τ ⇔ ¬p∨ τ

⇔ ¬(p∧χ)⇔ ¬χ




Solução Q2

p→ τ ⇔ ¬p∨ τ

⇔ ¬(p∧χ)⇔ ¬χ

⇔ τ



Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p→ q.

Solução Q1

(p→ q)∧p ? ??




Solução Q1

(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND




Solução Q1

(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND⇔ (¬p∧p)∨ (q∧p) , DIST




Solução Q1

(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND⇔ (¬p∧p)∨ (q∧p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧p) , CONT




Solução Q1

(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND⇔ (¬p∧p)∨ (q∧p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧p) , CONT⇔ q∧p , IDEN




Solução Q1

(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND⇔ (¬p∧p)∨ (q∧p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧p) , CONT⇔ q∧p , IDEN⇒ q , SIMP




Solução Q2

(p→ q)∧¬q ? ??




Solução Q2

(p→ q)∧¬q ⇔ (¬p∨q)∧¬q , COND




Solução Q2

(p→ q)∧p ⇔ (¬p∨q)∧p , COND⇔ (¬p∧p)∨ (q∧p) , DIST




Solução Q2

(p→ q)∧¬q ⇔ (¬p∨q)∧¬q , COND⇔ (¬p∧¬q)∨ (q∧¬q) , DIST⇔ (¬p∧¬q)∨χ , CONT




Solução Q2

(p→ q)∧¬q ⇔ (¬p∨q)∧¬q , COND⇔ (¬p∧¬q)∨ (q∧¬q) , DIST⇔ (¬p∧¬q)∨χ , CONT⇔ ¬p∧¬q , IDEN




Solução Q2

(p→ q)∧¬q ⇔ (¬p∨q)∧¬q , COND⇔ (¬p∧¬q)∨ (q∧¬q) , DIST⇔ (¬p∧¬q)∨χ , CONT⇔ ¬p∧¬q , IDEN⇒ ¬p , SIMP




Solução Q3

(p∨q)∧¬p ? ??




Solução Q3

(p∨q)∧¬p ⇔ (p∧¬p)∨ (q∧¬p) , DIST




Solução Q3

(p∨q)∧¬p ⇔ (p∧¬p)∨ (q∧¬p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧¬p) , CONT




Solução Q3

(p∨q)∧¬p ⇔ (p∧¬p)∨ (q∧¬p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧¬p) , CONT⇔ q∧¬p , IDEN




Solução Q3

(p∨q)∧¬p ⇔ (p∧¬p)∨ (q∧¬p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧¬p) , CONT⇔ q∧¬p , IDEN⇔ q , SIMP



Demonstre as implicações:1 (MP) (p→ q)∧p⇒ q.2 (MT) (p→ q)∧¬q⇒¬p.3 (SD) (p∨q)∧¬p⇒ q.

Solução Q3

(p∨q)∧¬p ⇔ (p∧¬p)∨ (q∧¬p) , DIST⇔ χ ∨ (q∧¬p) , CONT⇔ q∧¬p , IDEN⇔ q , SIMP⇒ q , SIME



Demonstre as implicações:1 (Exportação-Importação) p∧q→ r ⇔ p→ (q→ r).2 (Redução a absurdo) p→ q⇔ p∧¬q→ χ .

Solução Q1

(p∧q)→ r ? ??



Demonstre as equivalências:1 (Exportação-Importação) p∧q→ r ⇔ p→ (q→ r).2 (Redução a absurdo) p→ q⇔ p∧¬q→ χ .

Solução Q1

(p∧q)→ r ⇔ ¬(p∧q)∨ r , COND⇔ (¬p∨¬q)∨ r , De Morgan⇔ ¬p∨ (¬q∨ r) , ASSO⇔ p→ (¬q∨ r) , COND⇔ p→ (q→ r) , COND




Solução Q2

p→ q ? ??




Solução Q2

p→ q ⇔ ¬p∨q , COND⇔ ¬(p∧¬q) , De Morgan⇔ ¬(p∧¬q)∨χ , IDEN⇔ (p∧¬q)→ χ , COND


Regras de inferência e argumentosArgumento

Denição

Chama-se argumento toda a armação de que uma dada sequência nita

P1, P2, ..., Pn (n ≥ 1) de proposições tem como consequência ou acarreta

uma proposição nal Q.

Simbolicamente

Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q indica-se por

P1, P2, ..., Pn ` Q

o qual se lê:

P1, P2, ..., Pn acarretam Q .

Q decorre (se deduz, se infere) de P1, P2, ..., Pn .


Regras de inferência e argumentosArgumento

Denição

Chama-se argumento toda a armação de que uma dada sequência nita

P1, P2, ..., Pn (n ≥ 1) de proposições tem como consequência ou acarreta

uma proposição nal Q.

Simbolicamente

Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q indica-se por

P1, P2, ..., Pn ` Q

o qual se lê:

P1, P2, ..., Pn acarretam Q .

Q decorre (se deduz, se infere) de P1, P2, ..., Pn .


Regras de inferência e argumentosSilogismo, argumento válido e sosma

Denição

Um argumento formado por duas premissas e uma conclusão é chamado

silogismo.

P1, P2 ` Q

Denição

Um argumento

P1, P2, ..., Pn ` Q

é dito válido - correto, legítimo - se, e somente se, a conclusão Q é

verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, ..., Pn são verdadeiras.

Um argumento que não é válido é dito inválido ou ilegítimo ou, ainda,sosma.


Regras de inferência e argumentosSilogismo, argumento válido e sosma

Denição

Um argumento formado por duas premissas e uma conclusão é chamado

silogismo.

P1, P2 ` Q

Denição

Um argumento

P1, P2, ..., Pn ` Q

é dito válido - correto, legítimo - se, e somente se, a conclusão Q é

verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, ..., Pn são verdadeiras.

Um argumento que não é válido é dito inválido ou ilegítimo ou, ainda,sosma.


Regras de inferência e argumentosA lógica se ocupa com a validade dos argumentos

Comentário

A validade de um argumento

P1, P2, ..., Pn ` Q

depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e aconclusão. Portanto, dizer que um argumento é válido signica armar queas premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que a partirda veracidade daquelas inescapavelmente obtém-se a veracidade desta.

Por conseguinte, a validade ou não-validade de um argumento dependeapenas da sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade e falsidade dasproposições que o integram.

Argumentos diversos podem ter a mesma forma e é a forma que determinaa validade.


Regras de inferência e argumentosA lógica se ocupa com a validade dos argumentos

Comentário

A validade de um argumento

P1, P2, ..., Pn ` Q

depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e aconclusão. Portanto, dizer que um argumento é válido signica armar queas premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que a partirda veracidade daquelas inescapavelmente obtém-se a veracidade desta.

Por conseguinte, a validade ou não-validade de um argumento dependeapenas da sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade e falsidade dasproposições que o integram.

Argumentos diversos podem ter a mesma forma e é a forma que determinaa validade.


Regras de inferência e argumentosInconsistência

Denição

Duas ou mais proposições que não podem ser simultâneamente verdadeirassão ditas inconsistentes; caso contrário, chamam-se consistentes. Diz-seque um argumento

P1, P2, ..., Pn ` Q

é (in)consistente quando suas premissas P1, P2, ..., Pn são (in)consistentes.

Exemplo

O argumento p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` p∧¬r é consistente.

Com efeito, tomando V (r) = F , V (q) = F e V (p) = F , segue queV (¬r) = V , V (p→ q) = V , V (q→ r) = V , V (r → p) = V ,V (p→¬r) = V e, por conseguinte,V ((p→ q)∧ (q→ r)∧ (r → p)∧ (p→¬r)) = V como requerido.



Denição


P1, P2, ..., Pn ` Q


Exemplo





Denição


P1, P2, ..., Pn ` Q


Exemplo




Regras de inferência e argumentosArgumento consistente e inválido

Denição

Um argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q

é dito válido - correto, legítimo - se, e somente se, a conclusão Q éverdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, ..., Pn são verdadeiras.

Exemplo

O argumento p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` p∧¬r é inválido.

Com efeito, tomando V (r) = F , V (q) = F e V (p) = F , segue queV (p→ q) = V , V (q→ r) = V , V (r → p) = V , V (p→¬r) = V , masV (p∧¬r) = F .


Regras de inferência e argumentosArgumento consistente e inválido

Denição

Um argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q

é dito válido - correto, legítimo - se, e somente se, a conclusão Q éverdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2, ..., Pn são verdadeiras.

Exemplo

O argumento p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` p∧¬r é inválido.

Com efeito, tomando V (r) = F , V (q) = F e V (p) = F , segue queV (p→ q) = V , V (q→ r) = V , V (r → p) = V , V (p→¬r) = V , masV (p∧¬r) = F .


Regras de inferência e argumentosArgumento inconsistente

Exemplo

O argumento¬p∨¬q, p∧ s, ¬s ∨ r , r → r ∧q ` Γ

é inconsistente.

Com efeito, para que se tenha V (p∧ s) = V , deve-se ter V (p) = V ,V (s) = V . Ademais, V (¬s) = F e para que se tenha V (¬s ∨ r) = V ,deve-se ter V (r) = V . Como V (¬p) = F para ocorrer V (¬p∨¬q) = V ,obrigatoriamente V (q) = F . Mas, neste caso, V (r → r ∧q) = F .

Portanto, não há como tornar as premissas simultanemente verdadeiras.Noutras palavras, a conjunção das premissas é uma contradição.



Exemplo


é inconsistente.





Exemplo


é inconsistente.




Regras de inferência e argumentosArgumento (associado) e condicional associada

Denição

A cada argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q

corresponde a proposição

P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q

denominada condicional associada ao argumento, cujo antecedente é aconjunção das premissas e cujo consequente é a conclusão do argumentodado.

Reciprocamente, a cada condicional corresponde um argumento associadocujas premissas são as proposições do antecedente ligadas por conjunção ecuja conclusão é o consequente.


Regras de inferência e argumentosArgumento (associado) e condicional associada

Denição

A cada argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q

corresponde a proposição

P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q

denominada condicional associada ao argumento, cujo antecedente é aconjunção das premissas e cujo consequente é a conclusão do argumentodado.

Reciprocamente, a cada condicional corresponde um argumento associadocujas premissas são as proposições do antecedente ligadas por conjunção ecuja conclusão é o consequente.


Regras de inferência e argumentosArgumento válido, condicional

Teorema

Um argumento P1, P2, ..., Pn ` Q é válido se, e somente se, a condicionalassociada

P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q (1)

é uma tautologia.

Prova

As premissas P1, P2, . . ., Pn são todas verdadeiras se, e só se, a proposiçãoP1∧P2∧ ...∧Pn é verdadeira. Logo, o argumento dado é válido se, e só se,a conclusão Q é verdadeira sempre que P1∧P2∧ ...∧Pn é verdadeira, ouseja, se, e somente se, a proposição P1∧P2∧ ...∧Pn implica logicamenteQ, o que é equivalente a dizer que a condicional (1) é tautológica.



Teorema

Um argumento P1, P2, ..., Pn ` Q é válido se, e somente se, a condicionalassociada

P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q (1)

é uma tautologia.

Prova

As premissas P1, P2, . . ., Pn são todas verdadeiras se, e só se, a proposiçãoP1∧P2∧ ...∧Pn é verdadeira. Logo, o argumento dado é válido se, e só se,a conclusão Q é verdadeira sempre que P1∧P2∧ ...∧Pn é verdadeira, ouseja, se, e somente se, a proposição P1∧P2∧ ...∧Pn implica logicamenteQ, o que é equivalente a dizer que a condicional (1) é tautológica.



Teorema

Um argumento P1, P2, ..., Pn ` Q é válido se, e somente se, a condicionalassociada P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q é uma tautologia.

Corolário 1 - princípio de substituição

Se o argumento

P1(r ,s,u, ...), P2(r ,s,u, ...), ..., Pn(r ,s,u, ...) ` Q(r ,s,u, ...)

é válido, então o argumento

P1(Γ,Φ,Ω, ...), P2(Γ,Φ,Ω, ...), ..., Pn(Γ,Φ,Ω, ...) ` Q(Γ,Φ,Ω, ...)

também válido, quaisquer que sejam as proposições Γ, Φ, Ω, ...



Teorema


Corolário 1 - princípio de substituição

Se o argumento

P1(r ,s,u, ...), P2(r ,s,u, ...), ..., Pn(r ,s,u, ...) ` Q(r ,s,u, ...)

é válido, então o argumento

P1(Γ,Φ,Ω, ...), P2(Γ,Φ,Ω, ...), ..., Pn(Γ,Φ,Ω, ...) ` Q(Γ,Φ,Ω, ...)

também válido, quaisquer que sejam as proposições Γ, Φ, Ω, ...



Teorema


Corolário 2

O argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q

é válido se, e somente se,

P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q

é uma tautologia; o que ocorre se, e somente se,

P1∧P2∧ ...∧Pn⇒ Q .


Regras de inferência e argumentosArgumento inconsistente é válido

Corolário 3

Todo argumento inconsistente P1, P2, ..., Pn ` Q é válido.

Prova

Com efeito, como o argumento é inconsistente

V (P1∧P2∧ ...∧Pn) = F .

Desta forma, independentemente do valor lógico de Q, tem-se

V (P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q) = V .

Pelo teorema, conclui-se que o argumento é válido.


Regras de inferência e argumentosArgumento inconsistente é válido

Corolário 3

Todo argumento inconsistente P1, P2, ..., Pn ` Q é válido.

Prova

Com efeito, como o argumento é inconsistente

V (P1∧P2∧ ...∧Pn) = F .

Desta forma, independentemente do valor lógico de Q, tem-se

V (P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q) = V .

Pelo teorema, conclui-se que o argumento é válido.


Regras de inferência e argumentosDedução natural

Dedução natural

Devido ao corolário 2, ao investigar a validade de um argumento, podemosusar uma tabela-verdade ou alguma forma de raciocínio que utilize osvalores lógicos das proposições (simples) constituintes das premissas e daconclusão. Outro método possível é a dedução natural. Este métodoconsiste em aplicar resultados estabelecidos - implicações ou equivalênciaslógicas conhecidas - ao conjunto de premissas, gerando conclusõesintermediárias às quais aplicam-se novamente as regras, até atingir-se aconclusão nal desejada.

A esse processo chamamos deduzir, provar, demonstrar a conclusão (nal)a partir do conjunto das premissas, e a seu resultado, uma dedução ouprova ou demonstração.



Dedução natural

Devido ao corolário 2, ao investigar a validade de um argumento, podemosusar uma tabela-verdade ou alguma forma de raciocínio que utilize osvalores lógicos das proposições (simples) constituintes das premissas e daconclusão. Outro método possível é a dedução natural. Este métodoconsiste em aplicar resultados estabelecidos - implicações ou equivalênciaslógicas conhecidas - ao conjunto de premissas, gerando conclusõesintermediárias às quais aplicam-se novamente as regras, até atingir-se aconclusão nal desejada.

A esse processo chamamos deduzir, provar, demonstrar a conclusão (nal)a partir do conjunto das premissas, e a seu resultado, uma dedução ouprova ou demonstração.



Denição

Dado um argumento

P1, P2, ..., Pn ` Q

chama-se demonstração ou dedução de Q,a partir das premissas P1, P2, . . ., Pn atoda sequência nita Γ1, Γ2, ..., Γk tais quecada Γi ou é uma premissa ou resulta deproposições anteriores da sequência pelouso de uma Regra de Inferência (ou umaEquivalência Notável) e de tal que modoque a última proposição Γk da sequênciaseja a conclusão Q do argumento dado.

Dispositivo prático

P1 (1)...

...Pn (n)

Γ1 RI ou ENΓ2 RI ou EN...

...Γk−1 RI ou ENΓk = Q conclusão

nal



Denição

Dado um argumento

P1, P2, ..., Pn ` Q

chama-se demonstração ou dedução de Q,a partir das premissas P1, P2, . . ., Pn atoda sequência nita Γ1, Γ2, ..., Γk tais quecada Γi ou é uma premissa ou resulta deproposições anteriores da sequência pelouso de uma Regra de Inferência (ou umaEquivalência Notável) e de tal que modoque a última proposição Γk da sequênciaseja a conclusão Q do argumento dado.

Dispositivo prático

P1 (1)...

...Pn (n)

Γ1 RI ou ENΓ2 RI ou EN...

...Γk−1 RI ou ENΓk = Q conclusão

nal


Implicação lógicae a arte da argumentação

Dilema Construtivo, Dilema Destrutivo

Exemplo

Vimos que valem as seguintes implicações:

(DC) (p→ q)∧ (r → s)∧ (p∨ r)⇒ q∨ s(DD) (p→ q)∧ (r → s)∧ (¬q∨¬s)⇒¬p∨¬r

Dispositivoprático

(DC) p→ q

r → s

p∨ rq∨ s

(DD) p→ q

r → s

¬q∨¬s¬p∨¬r



Exemplos



Disso decorre que são tautológicas as condicionais

(p→ q)∧ (r → s)∧ (p∨ r)→ q∨ s(p→ q)∧ (r → s)∧ (¬q∨¬s)→¬p∨¬r

Além disso, são válidos os argumentos

p→ q, r → s, p∨ r ` q∨ sp→ q, r → s, ¬q∨¬s ` ¬p∨¬r



Exemplos









Exemplos









Propriedades

São Equivalências Notáveis:1 Condicional (COND).2 Bicondicional (BICOND)3 Disjunção exclusiva (DEXC)4 Idempotência (ID), comutatividade (COM), associatividade (ASSOC),

identidade (IDEN) da conjunção e disjunção.5 Distributividade (DIST), dupla negação (DN), absorção (ABS) e

regras de De Morgan (DM) para a conjunção e disjunção.6 Contraposição (CP), exportação-importação (EI).

Qual é mesmo a Equivalência Notável indicada por DEXC ?



Propriedades







Propriedades







Propriedades







Propriedades







Propriedades







Propriedades







Propriedades







Propriedades




(DEXC) α Yδ ⇔ (α ∨δ )∧¬(α ∧δ )



Propriedades




(IDEN) p∧ τ ⇔ p e p∧χ ⇔ χ

p∨ τ ⇔ τ e p∨χ ⇔ p



Propriedades




(ABS) p∧ (p∨q)⇔ p e p∨ (p∧q)⇔ p



Propriedades




(CP) p→ q⇔¬q→¬p



Propriedades




(EI) p∧q→ r ⇔ p→ (q→ r)



Propriedades




Estude os capítulos 6, 7 e 12 e, se considerar conveniente, elabore umformulário com essas Equivalências Notáveis.



Exemplo

p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND



Exemplo

p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND⇔ (¬p∨p)∧ (¬p∨q) , DIST



Exemplo

p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND⇔ (¬p∨p)∧ (¬p∨q) , DIST⇔ τ ∧ (¬p∨q) , DEF



Exemplo

p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND⇔ (¬p∨p)∧ (¬p∨q) , DIST⇔ τ ∧ (¬p∨q) , DEF⇔ ¬p∨q , IDEN



Exemplo

p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND⇔ (¬p∨p)∧ (¬p∨q) , DIST⇔ τ ∧ (¬p∨q) , DEF⇔ ¬p∨q , IDEN⇔ p→ q , COND



Exemplo

p→ (p∧q) ⇔ ¬p∨ (p∧q) , COND⇔ (¬p∨p)∧ (¬p∨q) , DIST⇔ τ ∧ (¬p∨q) , DEF⇔ ¬p∨q , IDEN⇔ p→ q , COND

Em particular, pode-se armar que

p→ q⇒ p→ (p∧q) .



Propriedades

São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso corrente):1 Adição (AD), simplicação (SIMP), conjunção (CONJ).2 Modus ponens (MP), modus tollens (MT).3 Absorção (ABS).4 Silogismo disjuntivo (SD), silogismo hipotético (SH).5 Dilema construtiva (DC), dilema destrutivo (DD).

Qual é mesmo o argumento válido fundamental indicado por ABS ?



Propriedades





Propriedades





Propriedades





Propriedades





Propriedades





Propriedades





Propriedades


(ABS) p→ q ` p→ (p∧q)

pois, conforme visto acima, vale a implicação p→ q⇒ p→ (p∧q).



Propriedades


Estude os capítulos 8 e 9 e, se considerar conveniente, elabore umformulário com essas Regras de Inferência (argumentos fundamentaisválidos)



Exemplo

Demonstre que é válido o argumento

q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p

Solução - usando um dispositivo prático

(1) q∨ (r → t)(2) q→ s

(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) ? ??



Exemplo


q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p


(1) q∨ (r → t)(2) q→ s

(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) ? ??



Exemplo


q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p


(1) q∨ (r → t)(2) q→ s

(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) ? 3,4 - MP



Exemplo


q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p


(1) q∨ (r → t)(2) q→ s

(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ? ??



Exemplo


q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p


(1) q∨ (r → t)(2) q→ s

(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ? 2,4 - MT



Exemplo


q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p


(1) q∨ (r → t)(2) q→ s

(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ¬q 2,4 - MT(7) ? ??



Exemplo


q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p


(1) q∨ (r → t)(2) q→ s

(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ¬q 2,4 - MT(7) ? 6,1 - SD



Exemplo


q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p


(1) q∨ (r → t)(2) q→ s

(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ¬q 2,4 - MT(7) r → t 6,1 - SD(8 ? ??



Exemplo


q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p


(1) q∨ (r → t)(2) q→ s

(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ¬q 2,4 - MT(7) r → t 6,1 - SD(8) ? 5,7 - SH



Exemplo


q∨ (r → t), q→ s, ¬s → (t→ p), ¬s ` r → p


(1) q∨ (r → t)(2) q→ s

(3) ¬s → (t→ p)(4) ¬s(5) t→ p 3,4 - MP(6) ¬q 2,4 - MT(7) r → t 6,1 - SD(8) r → p 5,7 - SH



Exemplo

Prove a validade de p→ q, q→ (p→ r ∨ s), r ↔ s, ¬(r ∧ s) ` ¬p.


(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s

(4) ¬(r ∧ s)(5) ? ??



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s

(4) ¬(r ∧ s)(5) ? ??



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s

(4) ¬(r ∧ s)(5) ? 3 - BICOND



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s

(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ? ??



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s

(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ? 5 - SIMP



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s

(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ¬r ∧¬s 5 - SIMP(7) ? ??



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s

(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ¬r ∧¬s 5 - SIMP(7) ¬(r ∨ s) 6 - DM



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s

(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ¬r ∧¬s 5 - SIMP(7) ¬(r ∨ s) 6 - DM(8) p→ (p→ r ∨ s) 1,2 - SH



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s

(4) ¬(r ∧ s)(5) (r ∧ s)∨ (¬r ∧¬s) 3 - BICOND(6) ¬r ∧¬s 5 - SIMP(7) ¬(r ∨ s) 6 - DM(8) p→ (p→ r ∨ s) 1,2 - SH(9) (p∧p)→ (r ∨ s) 8 - EI



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s


(10) p→ r ∨ s 9 - ID



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ (p→ r ∨ s)(3) r ↔ s


(10) p→ r ∨ s 9 - ID(11) ¬p 7,10 - MT



Exemplo

Prove a validade de p→ q, q→ r , r → p, p→¬r ` ¬p∧¬r .


(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p

(4) p→¬r



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p

(4) p→¬r



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p

(4) p→¬r(5) ? ??



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p

(4) p→¬r(5) ? 1,2 - SH



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p

(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) ? ??



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p

(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) (p→ r)∧ (r → p) 3,5 - AD



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p

(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) (p→ r)∧ (r → p) 3,5 - AD(7) p↔ r 6 - BICOND



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p

(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) (p→ r)∧ (r → p) 3,5 - AD(7) p↔ r 6 - BICOND(8) (p∧ r)∨ (¬p∧¬r) 7 - BICOND



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p

(4) p→¬r(5) p→ r 1,2 - SH(6) (p→ r)∧ (r → p) 3,5 - AD(7) p↔ r 6 - BICOND(8) (p∧ r)∨ (¬p∧¬r) 7 - BICOND(9) ¬p∨¬r 4 - COND



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p


(10) ¬(p∧ r) 9 - DM



Exemplo



(1) p→ q

(2) q→ r

(3) r → p


(10) ¬(p∧ r) 9 - DM(11) ¬p∧¬r 8,10 - SD



Demonstre que é válido o argumento p∧q→¬r , r ∨ (s ∧ t), p↔ q ` p→ s.


(1) p∧q→¬r(2) r ∨ (s ∧ t)(3) p↔ q

(4) ? ??





(1) p∧q→¬r(2) r ∨ (s ∧ t)(3) p↔ q

(4) ? ??





(1) p∧q→¬r(2) r ∨ (s ∧ t)(3) p↔ q

(4) (p→ q)∧ (q→ p) 3 - BICOND(5) p→ q 4 - SIMP(6) p→ p∧q 5 - ABS(7) p→¬r 1,6 - SH(8) (r ∨ s)∧ (r ∨ t) 2 - DIST(9) r ∨ s 8 - SIMP

(10) ¬¬r ∨ s 9 - DN(11) ¬r → s 10 - COND(12) p→ s 7,11 - SH


Regras de inferência e argumentosDedução natural ou lógica

Exemplo

Mostre que é válido o seguinteargumento

(1) 2x + y = 5→ 2x = 2(2) 2x + y = 5∨ y = 3(3) 2x = 2→ x = 1(4) y = 3→ 2x = 2∴ x = 1

Solução

Considerep: 2x + y = 5q: 2x = 2

r : y = 3s: x = 1

Segue que(1) p→ q

(2) p∨ r(3) q→ s

(4) r → q

(5) q∨q 1,2,4 - DC(6) q 5 - ID(7) s 3,6 - MP



Exemplo


(1) 2x + y = 5→ 2x = 2(2) 2x + y = 5∨ y = 3(3) 2x = 2→ x = 1(4) y = 3→ 2x = 2∴ x = 1

Solução


r : y = 3s: x = 1

Segue que(1) p→ q

(2) p∨ r(3) q→ s

(4) r → q

(5) q∨q 1,2,4 - DC(6) q 5 - ID(7) s 3,6 - MP



Exemplo


(1) 2x + y = 5→ 2x = 2(2) 2x + y = 5∨ y = 3(3) 2x = 2→ x = 1(4) y = 3→ 2x = 2∴ x = 1

Solução


r : y = 3s: x = 1

Segue que(1) p→ q

(2) p∨ r(3) q→ s

(4) r → q

(5) q∨q 1,2,4 - DC(6) q 5 - ID(7) s 3,6 - MP



Exemplo

Considere o argumento: Se Londres não ca na Bélgica, então Paris nãoca na França. Mas Paris ca na França. Logo, Londres ca na Bélgica.

(a) Você concorda com aconclusão?(b) O argumento é válido?

Sendo as proposiçõesλ : Londres ca na Bégicap: Paris ca na França

o

argumento assume a formasimbólica ¬λ →¬p, p ` λ .

Segue que(1) ¬λ →¬p(2) p

(3) ¬(¬λ )∨ (¬p) 1 - COND(4) λ ∨ (¬p) 3 - DN(5) ¬(¬p) 2 - DN(6) λ 4,5 - SD



Exemplo




o






Exemplo




o






Exemplo (revisitado)

Prove que é inconsistente ¬p∨¬q, p∧ s, ¬s ∨ r , r → r ∧q ` Ω.

Solução

(1) ¬p∨¬q(2) p∧ s(3) ¬s ∨ r(4) r → r ∧q(5) ? ??...

......

(n) ???





Solução

(1) ¬p∨¬q(2) p∧ s(3) ¬s ∨ r(4) r → r ∧q(5) ? ??...

......

(n) ???





Solução

(1) ¬p∨¬q(2) p∧ s(3) ¬s ∨ r(4) r → r ∧q(5) ? ??...

......

(n) χ





Solução

(1) ¬p∨¬q(2) p∧ s(3) ¬s ∨ r(4) r → r ∧q(5) p 2 - SIMP(6) s 2 - SIMP(7) ¬q 1,5 - SD(8) r 3,6 - SD(9) r ∧q 4,8 - MP

(10) q 9 - SIMP(11) q∧¬q 7,10 - CONJ


Regras de inferência e argumentosDemonstração condicional e demonstração indireta

Demonstração Condicional

Por vezes, a conclusão Q de um argumento

P1, P2, ..., Pn ` Q (2)

é uma condicional Γ→Υ. Neste caso, o argumento é válido se, e só se, acondicional

P1∧P2∧ ...∧Pn→ (Γ→Υ)

é tautológica. Como pela propriedade da exportação-importação (EI),

P1∧P2∧ ...∧Pn→ (Γ→Υ)⇔ P1∧P2∧ ...∧Pn∧Γ→Υ

conclui-se que (2) é válido se, e só se, é tautológica a condicional

P1∧P2∧ ...∧Pn∧Γ→Υ (3)




Uma demonstração condicional consiste em analisar a validade doargumento

P1, P2, ..., Pn ` Γ→Υ

por meio da condicional

P1∧P2∧ ...∧Pn∧Γ→Υ

É obrigatório utilizar uma demonstração condicional na investigação davalidade de um argumento

P1, P2, ..., Pn ` Q

cuja conclusão Q é uma proposição condicional Γ→Υ?




Uma demonstração condicional consiste em analisar a validade doargumento

P1, P2, ..., Pn ` Γ→Υ

por meio da condicional

P1∧P2∧ ...∧Pn∧Γ→Υ

É obrigatório utilizar uma demonstração condicional na investigação davalidade de um argumento

P1, P2, ..., Pn ` Q

cuja conclusão Q é uma proposição condicional Γ→Υ?




É válido o argumento (p→ q)∧¬(r ∧¬s) , s → δ ∨u, ¬u ` r → δ ?

Solução

Pela Regra DC (Demonstração Condicional), deve-se analisar se(p→ q)∧¬(r ∧¬s) , s → δ ∨u, ¬u, r ` δ

é um argumento válido. Nesse caso, o dispositivo prático assume a forma(1) (p→ q)∧¬(r ∧¬s)(2) s → δ ∨u(3) ¬u(4) r

(5)...

......

......

... δ...





Solução

Pela Regra DC (Demonstração Condicional), deve-se analisar se(p→ q)∧¬(r ∧¬s) , s → δ ∨u, ¬u, r ` δ

é um argumento válido. Nesse caso, o dispositivo prático assume a forma(1) (p→ q)∧¬(r ∧¬s)(2) s → δ ∨u(3) ¬u(4) r

(5)...

......

......

... δ...





Solução

(1) (p→ q)∧¬(r ∧¬s)(2) s → δ ∨u(3) ¬u(4) r

(5)...

......

......

......

...... δ

...





Solução

(1) (p→ q)∧¬(r ∧¬s)(2) s → δ ∨u(3) ¬u(4) r

(5) 1 - SIMP(6) 5 - DM, DN, COND(7) 2,6 - SH(8) 7 - COND(9) 8 - ASSOC

(10) 3,9 - SD(11) δ 4,10 - SD





Solução

(1) (p→ q)∧¬(r ∧¬s)(2) s → δ ∨u(3) ¬u(4) r

(5) ¬(r ∧¬s) 1 - SIMP(6) r → s 5 - DM, DN, COND(7) r → δ ∨u 2,6 - SH(8) ¬r ∨ (δ ∨u) 7 - COND(9) (¬r ∨δ )∨u 8 - ASSOC

(10) ¬r ∨δ 3,9 - SD(11) δ 4,10 - SD



Demonstração Indireta

Um argumentoP1, P2, ..., Pn ` Q (4)

é válido se, e somente se, a condicional P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q étautológica. Pela propriedade da redução ao absurdo,

P1∧P2∧ ...∧Pn→ Q⇔ P1∧P2∧ ...∧Pn∧ (¬Q)→ χ

Portanto, o argumento (4) é válido se, só se,

P1∧P2∧ ...∧Pn∧ (¬Q)→ χ (5)

é uma tautologia. Uma Demonstração Indireta consiste em analisar avalidade do argumento (4) por meio da condicional (5).




É válido o argumento ¬p→¬q, ¬p∨ r , r →¬s ` ¬q∨¬s ?

Solução

Pela Regra DI (Demonstração Indireta), deve-se analisar se¬p→¬q, ¬p∨ r , r →¬s, ¬(¬q∨¬s) ` χ

é um argumento válido. Nesse caso, o dispositivo prático assume a forma(1) ¬p→¬q(2) ¬p∨ r(3) r →¬s(4) ¬(¬q∨¬s)

(5)...

......

......

... χ...





Solução

Pela Regra DI (Demonstração Indireta), deve-se analisar se¬p→¬q, ¬p∨ r , r →¬s, ¬(¬q∨¬s) ` χ

é um argumento válido. Nesse caso, o dispositivo prático assume a forma(1) ¬p→¬q(2) ¬p∨ r(3) r →¬s(4) ¬(¬q∨¬s)

(5)...

......

......

... χ...





Solução

(1) ¬p→¬q(2) ¬p∨ r(3) r →¬s(4) ¬(¬q∨¬s)

(5)...

......

......

......

......

......

... χ...





Solução

(1) ¬p→¬q(2) ¬p∨ r(3) r →¬s(4) ¬(¬q∨¬s)(5) 4 - DM, DN(6) 1,2,3 - DC(7) 6 - COND(8) 5 - SIMP(9) 7,8 - MP

(10) 5 - SIMP(11) 9,10 - CONJ





Solução

(1) ¬p→¬q(2) ¬p∨ r(3) r →¬s(4) ¬(¬q∨¬s)(5) q∧ s 4 - DM, DN(6) ¬q∨¬s 1,2,3 - DC(7) q→¬s 6 - COND(8) q 5 - SIMP(9) ¬s 7,8 - MP

(10) s 5 - SIMP(11) s ∧¬s 9,10 - CONJ


Resolva os exercícios Idos capítulos 9 até 13 do livro de Edgard de Alencar Filho

Filho, Edgard de Alencar.Iniciação à Lógica Matemática.São Paulo: Nobel, 2002.

Mortari, Cezar A.Introdução à Lógica.São Paulo: editora UNESP, 2001.


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Lógica Matemática 1paginapessoal.utfpr.edu.br/...e...LogicaMatematica.pdfLógica Matemática 1 Semanas 13 e 14 Professor Luiz Claudio Pereira Departamento Acadêmico de Matemática