liber.onu.edu.ualiber.onu.edu.ua/pdf/visn_matem_1_2019.pdfЗасновник: ОдеськийнацiональнийунiверситетiменiI.I.Мечникова Редакцiйна

ДОСЛIДЖЕННЯв МАТЕМАТИЦIi МЕХАНIЦI

RESEARCHESin MATHEMATICSand MECHANICS

Том 24. Випуск 1(33).

Volume 24. Issue 1(33).

2019

RM

&M

RM

&M

RM

&M

RM

&M

RM

&M ISSN 2519–206X

ISSN 2519—206X

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРАЇНИОдеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечникова

ДОСЛIДЖЕННЯв МАТЕМАТИЦIi МЕХАНIЦI

Науковий журнал

Виходить 2 рази на рiк

Журнал заснований у сiчнi 1997 р.

Том 24. Випуск 1(33). 2019

Одеса«Астропринт»2019

Засновник: Одеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечникова

Редакцiйна колегiя журналу

Головний редактор — М. О. Перестюк, д. ф.-м. н., проф., акад. НАНУ (Україна)Заступник головного редактора — В. М. Євтухов, д. ф.-м. н., проф. (Україна)Вiдповiдальний редактор — О. Д. Кiчмаренко, к. ф.-м. н., доц. (Україна)

A. Alifov, д. ф.-м. н., проф. (Азербайджан)А. Аshyralyev, д. ф.-м. н., проф. (Туреччина)S. Dashkovskiy, Dr. habil., проф. (Нiмеччина)F. Iacoviello, PhD, проф. (Iталiя)I. T. Kiguradze, д. ф.-м. н., проф. (Грузiя)O. Menshikov, D.Sc., проф. (Великобританiя)С. К. Асланов, д. ф.-м. н., проф. (Україна)Н. Д. Вайсфельд, д. ф.-м. н., проф. (Україна)П. Д. Варбанець, д. ф.-м. н., проф. (Україна)Д. В. Дмитришин, д. т. н., проф. (Україна)А. А. Дороговцев, д. ф.-м. н., проф. (Україна)М. I. Iванчов, д. ф.-м. н., проф. (Україна)О. В. Капустян, д. ф.-м. н., проф. (Україна)П. I. Когут, д. ф.-м. н., проф. (Україна)Ан. О.Кореновський, д. ф.-м. н., проф. (Україна)О. Ф. Кривий, д. ф.-м. н., проф. (Україна)В. Є. Круглов, к. ф.-м. н., проф. (Україна)А. В. Плотнiков, д. ф.-м. н., проф. (Україна)В. Г. Попов, д. ф.-м. н., проф. (Україна)В. В. Реут, к. ф.-м. н., доц. (Україна)Н. В. Скрипник, д. ф.-м. н., доц. (Україна)О. М. Станжицький, д. ф.-м. н., проф. (Україна)I. М. Черевко, д. ф.-м. н., проф. (Україна)С. А. Щоголєв, д. ф.-м. н., проф. (Україна)

Вiдповiдальний за випуск — О. П. Огуленко, к. ф.-м. н.

Свiдоцтво про державну реєстрацiю друкованого засобумасової iнформацiї серiя КВ № 21400—11200ПР вiд17 червня 2015 р.

Журнал внесений до перелiку наукових фахових видань наказамиМiнiстерства освiти i науки України № 527 вiд 24.05.2018 р.та № 775 вiд 16.07.2018 р.

c○ Одеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечникова, 2019

ISSN 2519—206X

MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF UKRAINEOdesa I. I. Mechnikov National University

RESEARCHESin MATHEMATICSand MECHANICS

Scientific journal

Published twice a year

Journal founded in January, 1997

Volume 24. Issue 1(33). 2019

Odesa«Astroprint»2019

Founder: Odesa I. I. Mechnikov National University

Editorial board of the journal

Editor-in-chief — M. O. Perestyuk, D.Sc., prof., academ. NANU (Ukraine)Deputy Editor-in-chief — V. M. Evtukhov, D.Sc., prof. (Ukraine)Executive Editor — O. D. Kichmarenko, PhD, docent (Ukraine)

A. Alifov, D.Sc., prof. (Azerbaijan)A. Ashyralyev, D.Sc., prof. (Turkey)S. K. Aslanov, D.Sc., prof. (Ukraine)I. M. Cherevko, D.Sc., prof. (Ukraine)S. Dashkovskiy, Dr. habil., prof. (Germany)D. V. Dmitrishin, D.Sc., prof. (Ukraine)A. A. Dorogovtsev, D.Sc., prof. (Ukraine)M. I. Ivanchov, D.Sc., prof. (Ukraine)O. V. Kapustyan, D.Sc., prof. (Ukraine)I. T. Kiguradze, D.Sc., prof. (Georgia)P. I. Kogut, D.Sc., prof. (Ukraine)An. O.Korenovskyi, D.Sc., prof. (Ukraine)V. Ye. Kruglov, PhD, prof. (Ukraine)O. F. Kryvyi, D.Sc., prof. (Ukraine)F. Iacoviello, D.Sc., prof. (Italy)O. Menshikov, D.Sc., prof. (United Kingdom)A. V. Plotnikov, D.Sc., prof. (Ukraine)V. G. Popov, D.Sc., prof. (Ukraine)V. V. Reut, PhD, docent (Ukraine)S. A. Shchogolev, D.Sc., prof. (Ukraine)N. V. Skripnik, D.Sc., docent (Ukraine)O. M. Stanzhytskyi, D.Sc., prof. (Ukraine)P. D. Varbanets, D.Sc., prof. (Ukraine)N. D. Vaysfeld, D.Sc., prof. (Ukraine)

Publication Editor — O. P. Ogulenko, PhD

The certificate of mass media state registration underthe number № 21400—11200ПР issued on June 17, 2015.

The journal was included in the list of scientific specializedpublications by the orders of Ministry of education andscience of Ukraine №527 issued on May 24, 2018 and№ 775 issued on July 16, 2018.

c○ Odesa I. I. Mechnikov National University, 2019

ISSN 2519-206X. Дослiдження в математицi i механiцi. – 2019. – Т. 24, вип. 1(33)

ЗМIСТ

Воронкова С. Р. Про змiну знакiв доданкiв узагальненого гармонiч-ного ряду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Зеленський О. В., Дармосюк В. М., Касянюк М. В. Мiнiмальнаматриця показникiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Лысенко З. М. Алгебры, порожденные теплицевыми операторамисо специальными символами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Плотнiков А. А. Узагальнення теореми О. Ф. Фiлiппова . . . . . 42

Шанин Р. В. Обратное неравенство Гельдера . . . . . . . . . . . . 53

Щоголев С. А. Про пiдвищення порядку мализни швидких змiннихв лiнiйних диференцiальних системах . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Mysov K. D. Torsion problem for an elastic twice-truncated cone . . 65

Ogulenko A. Averaging method for dynamic systems on time scaleswith periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Tatsij R.M., Chmyr O.Yu., Karabyn O.O. The total first boundaryvalue problem for equation of hyperbolic type with piecewise constantcoefficients and 𝛿-singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

ISSN 2519-206X. Researches in Mathematics and Mechanics. – 2019. – V. 24, Is. 1(33)

CONTENTS

Voronkova S. R. About changing the signs of summands of general-ized harmonic series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Zelenskiy O.V., Darmosiuk V.M., Kasyaniuk M.V. Minimal exponentmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Lysenko Z. M. Algebras generated by Toeplitz operators with specialsymbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Plotnikov A. A. Generalization of Filippov’s theorem . . . . . . . . 42

Shanin R. V. Reverse Holder inequality . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Shchogolev S. A. On increasing the order of smallness of fast variablesin linear differential systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Mysov K. D. Torsion problem for an elastic twice-truncated cone . . 65

Ogulenko A. Averaging method for dynamic systems on time scaleswith periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Tatsij R.M., Chmyr O.Yu., Karabyn O.O. The total first boundaryvalue problem for equation of hyperbolic type with piecewise constantcoefficients and 𝛿-singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Дослiдження в математицi i механiцi. – 2019. – Т. 24, вип. 1(33). – С. 7–14

УДК 517.5

С. Р. ВоронковаОдеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечникова

ПРО ЗМIНУ ЗНАКIВ ДОДАНКIВ УЗАГАЛЬНЕНОГОГАРМОНIЧНОГО РЯДУ

Автор висловлює щиру подяку Кореновському А. О. за постановку задачi тацiннi поради пiд час роботи.

Дана робота пов’язана з аналiзом збiжностi рядiв, модулi доданкiв яких є доданкамиузагальненого гармонiчного ряду. Розташування знакiв доданкiв у таких рядах визнача-ється послiдовнiстю, помiж сусiднiми номерами якої доданки зберiгають знак. У межахцiєї роботи дослiджуються ряди з послiдовнiстю змiни знакiв доданкiв, визначеноюдовiльним рацiональним числом. Головним результатом є теорема, яка дає вичерпнувiдповiдь щодо збiжностi таких рядiв.MSC: 40A05.Ключовi слова: збiжнiсть, узагальнений гармонiчний ряд, номери перемикання знаку.DOI: 10.18524/2519–206x.2019.1(33).175541.

Вступ. Розглядається ряд∞∑𝑛=1

𝜀𝑛𝑛𝛼, (1)

де 𝜀𝑛 = ±1, 0 < 𝛼 ≤ 1. Покладемо 𝑛0 = 1, а для 𝑘 ≥ 1 визначимо послiдовнiсть 𝑛𝑘номерiв перемикання знаку доданкiв ряду (11), тобто вважаємо, що 𝜀𝑛 = (−1)𝑘−1

при 𝑛𝑘−1 ≤ 𝑛 < 𝑛𝑘. Для визначення збiжностi ряду (11) в [3] була отримана

Теорема 1. При 𝛼 = 1 збiжнiсть ряду (11) рiвносильна збiжностi ряду

∞∑𝑘=1

(−1)𝑘−1 ln𝑛𝑘𝑛𝑘−1

, (2)

а при 0 < 𝛼 < 1 ряд (11) збiгається або розбiгається одночасно з рядом

∞∑𝑘=1

(−1)𝑘−1(𝑛1−𝛼𝑘 − 𝑛1−𝛼𝑘−1

). (3)

У [3] наведено кiлька прикладiв застосування теореми 1. Найбiльш цiкавимвиявився випадок степеневого росту номерiв перемикання знакiв (тобто 𝑛𝑘 = 𝑘𝛽),що обумовлює перехiд до цiлих частин у випадку, коли показник степеня неє натуральним. При довiльних 𝛽 необхiдно покласти 𝑛𝑘 = [𝑘𝛽 ], де символом [·]позначено цiлу частину числа (тобто округлення до найближчого цiлого в меншусторону). За таких 𝑛𝑘 доведено, що ряд (11) розбiгається при 0 < 𝛼 ≤ 1 − 1

𝛽 тазбiгається при 1

2 < 𝛼 ≤ 1 i 1𝛼 < 𝛽 < 1

1−𝛼 .

Надiйшла 16.04.2019 c○Воронкова С. Р., 2019

8 Воронкова С. Р.

При 𝑛𝑘 = 𝑟 · 𝑘 (𝑟 ∈ N) ряд (11) збiгається при всiх 0 < 𝛼 ≤ 1 за узагальненоюознакою Лейбниця [2, c. 302]. Також за ознакою Лейбниця, очевидно, збiгаються йряди (2) та (3). Якщо ж 𝑛𝑘 = 𝑟 ·𝑘 для 𝑟 ∈ R, 𝑟 ≥ 2, то ряди (2) та (3) залишаютьсязбiжними. Але, у цьому випадку числа 𝑛𝑘, взагалi кажучи, не є натуральними.Основний результат даної роботи складає наступна теорема, яка мiстить умовузбiжностi ряду (11) при 𝑛𝑘 = [𝑟 · 𝑘] у випадку довiльного рацiонального 𝑟.

Теорема 2. Нехай 𝑛𝑘 = [𝑟 · 𝑘], де 𝑟 = 𝑚+ 𝑝/𝑞 (𝑚, 𝑝, 𝑞 ∈ N, 𝑝/𝑞 - правильнийнескорочуваний дрiб). Тодi для 0 < 𝛼 ≤ 1 ряд (11):

1. розбiгається при парному 𝑞;

2. збiгається при непарному 𝑞.

Основнi результати. Наведемо спочатку деякi допомiжнi вiдомостi.

Лема 1. Iз збiжностi ряду (3) при деякому 𝛼 < 1 випливає збiжнiстьряду (2).

Доведення. Твердження леми випливає з теореми 1 застосуванням до ря-ду (11) ознаки Дiрiхлє [2, c. 307].

Лема 2. Нехай 𝑝/𝑞 – правильний нескорочуваний дрiб. Тодi число

𝑧𝑡 =𝑡𝑝

𝑞. (4)

не є натуральним при будь-якому натуральному 0 < 𝑡 < 𝑞 та справедливарiвнiсть

[𝑧𝑡]− [𝑧𝑡−1] = [−𝑧𝑡−1]− [−𝑧𝑡] ≡ 𝜒𝑡, (5)

де 𝜒𝑡 ∈ {0, 1}.

Доведення. Припустимо, що 𝑧𝑡 ∈ N. Звiдси випливає, що 𝑡𝑝 дiлиться на𝑞. За правилами подiльностi (враховуючи, що 𝑝/𝑞 - нескорочуваний дрiб) 𝑡 маєдiлитися на 𝑞. Проте, це неможливо, оскiльки 1 ≤ 𝑡 < 𝑞. Отже, прийшли допротирiччя з припущенням, що 𝑧𝑡 ∈ N.

Доведемо рiвнiсть (5). Оскiльки числа 𝑧𝑡 ∈ Z i 0 < 𝑧𝑡 − 𝑧𝑡−1 = 𝑝𝑞 < 1, то

можливий лише один з двох наступних випадкiв:a) [𝑧𝑡] < 𝑧𝑡−1 < 𝑧𝑡 < [𝑧𝑡] + 1. У цьому випадку −[𝑧𝑡]− 1 < −𝑧𝑡 < −𝑧𝑡−1 < −[𝑧𝑡];

[𝑧𝑡]− [𝑧𝑡−1] = [𝑧𝑡]− [𝑧𝑡] = 0, [−𝑧𝑡−1]− [−𝑧𝑡] = −[𝑧𝑡]− 1− (−[𝑧𝑡]− 1) = 0.

b) [𝑧𝑡]− 1 < 𝑧𝑡−1 < [𝑧𝑡] < 𝑧𝑡 < [𝑧𝑡] + 1. Маємо −[𝑧𝑡]− 1 < −𝑧𝑡 < −[𝑧𝑡] < −𝑧𝑡−1;

[𝑧𝑡]− [𝑧𝑡−1] = [𝑧𝑡]− ([𝑧𝑡]− 1) = 1, [−𝑧𝑡−1]− [−𝑧𝑡] = −[𝑧𝑡]− (−[𝑧𝑡]− 1) = 1.

Згiдно з цим отримуємо рiвнiсть (5) i на цьому завершується доведення леми.

Про змiну знакiв доданкiв узагальненого гармонiчного ряду 9

Доведення теореми 2. Згiдно з лемою 1 iз збiжностi ряду (3) випливає збi-жнiсть ряду (2). Тому для доведення твердження 1 теореми 2 достатньо довести,що розбiгається ряд (2), а для доведення твердження 2, що збiгається ряд (3) прибудь-якому 0 < 𝛼 < 1. Доведення засноване на групуваннi доданкiв та застосу-ваннi теореми Лагранжа [1, c. 226].

1. Нехай 𝑞 = 2𝑙, де 𝑙 ∈ N. Будемо вважати, що пiдсумовування в рядi (2)починається з номера 2𝑙+1. Для номерiв 𝑛𝑘 = [(𝑚+𝑝/(2𝑙))𝑘] розглянемо частковiсуми 𝑆2𝑙(𝑁+1) (𝑁 ∈ N) ряду (2), об’єднуючи доданки в групи довжини 2𝑙. Маємо

𝑆2𝑙(𝑁+1) =

=

𝑁∑𝑠=1

2𝑙𝑠+2𝑙∑𝑘=2𝑙𝑠+1

(−1)𝑘−1(ln([(

𝑚+𝑝

2𝑙

)𝑘])

− ln([(

𝑚+𝑝

2𝑙

)(𝑘 − 1)

])). (6)

Для фiксованого 𝑠 в (6) розглянемо внутрiшню суму

𝜎𝑠 =

2𝑙𝑠+2𝑙∑𝑘=2𝑙𝑠+1

(−1)𝑘−1(ln([(

𝑚+𝑝

2𝑙

)𝑘])

− ln([(

𝑚+𝑝

2𝑙

)(𝑘 − 1)

])).

Поклавши 𝑘 = 2𝑙𝑠+ 𝑗, маємо

𝜎𝑠 =

2𝑙∑𝑗=1

(−1)𝑗−1

(ln

((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚𝑗 +

[ 𝑗𝑝2𝑙

])−

− ln

((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚(𝑗 − 1) +

[ (𝑗 − 1)𝑝

2𝑙

]))=

=

𝑙∑𝑡=1

(−1)𝑡−1

((ln

((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚𝑡+

[ 𝑡𝑝2𝑙

])−

− ln

((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡− 1)𝑚+

[ (𝑡− 1)𝑝

2𝑙

]))−

−(ln

((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 𝑡+ 1)𝑚+ 𝑝+

[− (𝑡− 1)𝑝

2𝑙

])−

− ln

((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 𝑡)𝑚+ 𝑝+

[− 𝑡𝑝2𝑙

]))). (7)

З урахуванням позначення (4) перепишемо (7) в наступному виглядi

𝜎𝑠 =

𝑙∑𝑡=1

(−1)𝑡−1 ((ln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚𝑡+ [𝑧𝑡]) −

− ln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡− 1)𝑚+ [𝑧𝑡−1])) −

− (ln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 𝑡+ 1)𝑚+ 𝑝+ [−𝑧𝑡−1]) −− ln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 𝑡)𝑚+ 𝑝+ [−𝑧𝑡]))) . (8)


Застосуємо теорему Лагранжа до функцiї ln𝑥 на вiдрiзках[(2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡− 1)𝑚+ [𝑧𝑡−1], (2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚𝑡+ [𝑧𝑡]

]та[

(2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 𝑡)𝑚+ 𝑝+ [−𝑧𝑡], (2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 𝑡+ 1)𝑚+ 𝑝+ [−𝑧𝑡−1]].

Згiдно з цiєю теоремою знайдуться такi

𝜉𝑡,𝑠 ∈((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡− 1)𝑚+ [𝑧𝑡−1], (2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚𝑡+ [𝑧𝑡]

)та

𝜂𝑡,𝑠 ∈((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙− 𝑡)𝑚+ 𝑝+ [−𝑧𝑡], (2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙− 𝑡+1)𝑚+ 𝑝+ [−𝑧𝑡−1]

),

щоln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚𝑡+ [𝑧𝑡])− ln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡− 1)𝑚+ [𝑧𝑡−1]) =

=𝑚+ [𝑧𝑡]− [𝑧𝑡−1]

𝜉𝑡,𝑠та

ln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 𝑡+ 1)𝑚+ 𝑝+ [−𝑧𝑡−1])−

− ln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 𝑡)𝑚+ 𝑝+ [−𝑧𝑡]) =𝑚+ [−𝑧𝑡−1]− [−𝑧𝑡]

𝜂𝑡,𝑠.

Вiдмiтимо, що0 ≤ 𝜂𝑡,𝑠 − 𝜉𝑡,𝑠 ≤ 2𝑙𝑚+ 𝑝. (9)

Для 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑙 розглянемо окремо [𝑧𝑡]− [𝑧𝑡−1] та [−𝑧𝑡−1]− [−𝑧𝑡].Якщо 𝑡 = 1, то

[𝑧1]− [𝑧0] =[ 𝑝2𝑙

]−[0]= 0− 0 = 0,

[−𝑧0]− [−𝑧1] =[0]−[− 𝑝

2𝑙

]= 0− (−1) = 1,

i томуln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚+ [𝑧1])− ln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ [𝑧0]) =

𝑚

𝜉1,𝑠та

ln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ 2𝑙𝑚+ 𝑝+ [−𝑧0])−

− ln ((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 1)𝑚+ 𝑝+ [−𝑧1]) =𝑚+ 1

𝜂1,𝑠.

При 𝑡 ≥ 2, за лемою 2 виконується (5), тому

ln

((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚𝑡+

[ 𝑡𝑝2𝑙

])− ln

((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡− 1)𝑚+

[ (𝑡− 1)𝑝

2𝑙

])=

=𝑚+ 𝜒𝑡𝜉𝑡,𝑠

Про змiну знакiв доданкiв узагальненого гармонiчного ряду 11

та

ln

((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 𝑡+ 1)𝑚+ 𝑝+

[− (𝑡− 1)𝑝

2𝑙

])−

− ln

((2𝑙𝑚+ 𝑝)𝑠+ (2𝑙 − 𝑡)𝑚+ 𝑝+

[− 𝑡𝑝2𝑙

])=𝑚+ 𝜒𝑡𝜂𝑡,𝑠

.

Отже, (8) набуває вигляду

𝜎𝑠 =𝑚

𝜉𝑡,𝑠− 𝑚+ 1

𝜂𝑡,𝑠+

𝑙∑𝑡=2

(−1)𝑡−1(𝑚+ 𝜒𝑡)

(1

𝜉𝑡,𝑠− 1

𝜂𝑡,𝑠

)=

=

𝑙∑𝑡=1

[(−1)𝑡−1(𝑚+ 𝜒𝑡)

(1

𝜉𝑡,𝑠− 1

𝜂𝑡,𝑠

)]− 1

𝜂1,𝑠, (10)

де 𝜒1 = 0.Застосуємо теорему Лагранжа до функцiї 1/𝑥 на вiдрiзках

[𝜉𝑡,𝑠, 𝜂𝑡,𝑠

]. В ре-

зультатi знайдемо таке 𝜁𝑡,𝑠 ∈(𝜉𝑡,𝑠, 𝜂𝑡,𝑠

), що

−(

1

𝜉𝑡,𝑠− 1

𝜂𝑡,𝑠

)= −

(𝜂𝑡,𝑠 − 𝜉𝑡,𝑠

𝜁2𝑡,𝑠

),

та, вiдповiдно,

𝜎𝑠 =

𝑙∑𝑡=1

[(−1)𝑡(𝑚+ 𝜒𝑡)

(𝜂𝑡,𝑠 − 𝜉𝑡,𝑠

𝜁2𝑡,𝑠

)]− 1

𝜂1,𝑠= 𝐴𝑠 −

1

𝜂1,𝑠.

З урахуванням (9)𝜂𝑡,𝑠 − 𝜉𝑡,𝑠

𝜁2𝑡,𝑠≤ 2𝑙𝑚+ 𝑝

𝜁2𝑡,𝑠,

що означає збiжнiсть ряду з доданками 𝐴𝑠. Проте, ряд з доданками 1𝜂1,𝑠

розбi-гається, адже вони обмеженi знизу 1

𝑠 . Тому, остаточно, частковi суми 𝑆2𝑙(𝑁+1)

ряду (2) не мають границi.2. Нехай тепер 𝑞 = 2𝑙 + 1, де 𝑙 ∈ N. Для номерiв 𝑛𝑘 = [(𝑚 + 𝑝/(2𝑙 + 1))𝑘]

розглянемо частковi суми 𝑆(2𝑙+1)(𝑁+2) (𝑁 ∈ N) ряду (3). Будемо вважати, щопiдсумовування в рядi (3) починається з номера 2𝑙 + 2. Об’єднуючи доданки вгрупи довжини 2(2𝑙 + 1), маємо

𝑆(2𝑙+1)(𝑁+2) =

=

𝑁∑𝑠=1

(2𝑙+1)𝑠+4𝑙+2∑𝑘=(2𝑙+1)𝑠+1

(−1)𝑘−1

([(𝑚+

𝑝

2𝑙 + 1

)𝑘

]1−𝛼−

−[(

𝑚+𝑝

2𝑙 + 1

)(𝑘 − 1)

]1−𝛼). (11)


Для фiксованого 𝑠 в (11) розглянемо внутрiшню суму

𝜎𝑠 =

(2𝑙+1)𝑠+4𝑙+2∑𝑘=(2𝑙+1)𝑠+1

(−1)𝑘−1

([(𝑚+

𝑝

2𝑙 + 1

)𝑘

]1−𝛼−[(

𝑚+𝑝

2𝑙 + 1

)(𝑘 − 1)

]1−𝛼).

Поклавши 𝑘 = (2𝑙 + 1)𝑠+ 𝑗, бачимо, що

𝜎𝑠 =

4𝑙+2∑𝑗=1

(−1)𝑗−1

((((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚𝑗 +

[ 𝑗𝑝

2𝑙 + 1

])1−𝛼

−

−(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚(𝑗 − 1) +

[ (𝑗 − 1)𝑝

2𝑙 + 1

])1−𝛼)

=

=

2𝑙+1∑𝑡=1

(−1)𝑡−1

(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡+ 2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝+

[ 𝑡𝑝

2𝑙 + 1

])1−𝛼

−

−(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚𝑡+

[ 𝑡𝑝

2𝑙 + 1

])1−𝛼

+

+

(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡+ 2𝑙)𝑚+ 𝑝+

[ (𝑡− 1)𝑝

2𝑙 + 1

])1−𝛼

−

−(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+𝑚(𝑡− 1) +

[ (𝑡− 1)𝑝

2𝑙 + 1

])1−𝛼

. (12)

Для функцii 𝑥1−𝛼, згiдно з теоремою Лагранжа, iснують такi

𝜇𝑡,𝑠 ∈(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+ 𝑡𝑚+

[ 𝑡𝑝

2𝑙 + 1

],

((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡+ 2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝+[ 𝑡𝑝

2𝑙 + 1

]),

𝜈𝑡,𝑠 ∈(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡− 1)𝑚+

[ (𝑡− 1)𝑝

2𝑙 + 1

],

((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡+ 2𝑙)𝑚+ 𝑝+[ (𝑡− 1)𝑝

2𝑙 + 1

]),

що

(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡+ 2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝+

[ 𝑡𝑝

2𝑙 + 1

])1−𝛼

−

−(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+ 𝑡𝑚+

[ 𝑡𝑝

2𝑙 + 1

])1−𝛼

= (1− 𝛼)(2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝

𝜇𝛼𝑡,𝑠,

Про змiну знакiв доданкiв узагальненого гармонiчного ряду 13(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡+ 2𝑙)𝑚+ 𝑝+

[ (𝑡− 1)𝑝

2𝑙 + 1

])1−𝛼

−

−(((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)𝑠+ (𝑡− 1)𝑚+

[ (𝑡− 1)𝑝

2𝑙 + 1

])1−𝛼

= (1− 𝛼)(2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝

𝜈𝛼𝑡,𝑠.

Вiдмiтимо, що0 ≤ 𝜇𝑡,𝑠 − 𝜈𝑡,𝑠 ≤ 2(𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝+ 2. (13)

Далi до функцii 𝑥−𝛼, застосуємо теорему Лагранжа на вiдрiзкax [ 𝜈𝑡,𝑠, 𝜇𝑡,𝑠 ].Згiдно з цiєю теоремою, знайдуться такi 𝑣𝑡,𝑠 ∈ (𝜈𝑡,𝑠, 𝜇𝑡,𝑠), що

−(𝜈−𝛼𝑡,𝑠 − 𝜇−𝛼

𝑡,𝑠

)= 𝛼(𝜇𝑡,𝑠 − 𝜈𝑡,𝑠)𝑣

−𝛼−1𝑡,𝑠 ,

𝜎𝑠 = 𝛼(1− 𝛼)

𝑙∑𝑡=1

(−1)𝑡((2𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝)

𝜇𝑡,𝑠 − 𝜈𝑡,𝑠

𝑣1+𝛼𝑡,𝑠

.

Оскiльки справедлива нерiвнiсть (13), то

𝜇𝑡,𝑠 − 𝜈𝑡,𝑠

𝑣1+𝛼𝑡,𝑠

≤ 2(𝑙 + 1)𝑚+ 𝑝+ 2

𝑣1+𝛼𝑡,𝑠

.

А тому 𝑆(2𝑙+1)(𝑁+2) =𝑁∑𝑠=1

𝜎𝑠 збiгається. Оскiльки частковi суми iнших порядкiв

вiдрiзняються вiд 𝑆(2𝑙+1)(𝑁+2) не бiльш нiж на 2(2𝑙 + 1) − 1 доданкiв, кожен зяких прямує до нуля, то ряд (3) збiгається.

Висновки. Нам невiдомi умови збiжностi ряду (11) у випадку 𝑛𝑘 = [𝑟 · 𝑘]при iррацiональному 𝑟.

Список лiтератури

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. /Г. М. Фихтенгольц. Т.I. – М.: Физматлит, 1962. – 600 c.

2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. /Г. М. Фихтенгольц. Т.II. – М.: Физматлит, 1970. – 800 c.

3. Воронкова С. Р. Про збiжнiсть узагальненого гармонiчного ряду при змiнi знакiвйого доданкiв. // Дослiдження в математицi та механiцi. / Воронкова С.Р. – 2018.– Т. 23, вип. 1 (31). – с. 43–51.

Воронкова С. Р.Об изменении знаков слагаемых обобщенного гармонического ряда

Резюме

Данная работа связана с анализом сходимости рядов, модули слагаемых которых со-ответствуют слагаемым обобщенного гармонического ряда. Расположение знаков сла-гаемых в таких рядах определяется последовательностью, между соседними номерамикоторой слагаемые сохраняют знак. В рамках этой работы исследуются ряды с последо-вательностью изменения знаков слагаемых, определенной произвольным рациональнымчислом. Главным результатом является теорема, которая дает исчерпывающий ответ осходимости таких рядов.


Ключевые слова: сходимость, обобщенный гармонический ряд, номера переключениязнака .

Voronkova S. R.About changing the signs of summands of generalized harmonic series

Summary

This work is connected with the analysis of the convergence of the series, the terms of which

do not have a fixed sign, and the absolute values of this terms correspond to the terms of the

generalized harmonic series. The arrangement of the signs of the summands is determined

by the sequence of numbers, between adjacent numbers of which the summands have already

same sign. In the framework of this work, we study series with a sequence of changes in the

signs of the terms defined by an arbitrary rational number. The main result is a theorem

that gives an exhaustive answer about the convergence of such series.

Key words: convergence, generalized harmonic series, numbers of sign switching.

References

1. Fikhtengolz, G. M. (1962). Kurs differentsialnogo i integralnogo ischisleniya [A Courseof Differential and Integral Calculus], Vol. I. Moscow: Fizmatlit, 600 p.

2. Fikhtengolz, G. M. (1970). Kurs differentsialnogo i integralnogo ischisleniya [A Courseof Differential and Integral Calculus], Vol. II. Moscow: Fizmatlit, 800 p.

3. Voronkova S. R. (2018). Pro zbijnist uzagalnenogo garmonichnogo ryadu pri zmini znakiviyogo dodankiv [About convergence of the generalized harmonic series when the signsof its summands are changed]// Doslidjennya v matematici i mehanici [Researches inmathematics and mechanics] – 2018. – V. 23, issue 1 (31). – p. 43–51.


УДК 512.552

О. В. Зеленський, В. М. Дармосюк, М. В. КасянюкКам’янець-Подiльський нацiональний унiверситет iменi Iвана ОгiєнкаМиколаївський нацiональний унiверситет iменi В. О. Сухомлинського,Унiверситет економiки, права та iнформацiйних технологiй "КРОК"м. Київ

МIНIМАЛЬНА МАТРИЦЯ ПОКАЗНИКIВ

У роботi дослiджуються мiнiмальнi матрицi показникiв та мiнiмальнi ваговi функцiїдопустимого сагайдака. Знайдено обмеження для суми елементiв матрицi показникiвз одиничним сагайдаком та обмеження для суми елементiв мiнiмальної матрицi пока-зникiв з сагайдаком, який має петлю в кожнiй вершинi. Показано, що зменшення вагипростого циклу сагайдака, може привести до збiльшення суми елементiв матрицi по-казникiв з якої одержується сагайдак. Наведено приклад, що спростовує гiпотезу проте, що для сагайдака з петлею в кожнiй вершинi вагова функцiя з вагою всiх простихциклiв рiвною 2 є мiнiмальною. Доведено, що жорсткий сагайдак одержується з мiнi-мальної матрицi показникiв.MSC: 16G20, 16G30.Ключовi слова: матриця показникiв, допустимий сагайдак матрицi показникiв, мiнi-мальна матриця показникiв .DOI: 10.18524/2519–206x.2019.1(33).175542.

Вступ. Один iз аспектiв теорiї кiлець є вивчення властивостей кiлець задопомогою теорiї графiв. Кожний черепичний порядок повнiстю визначаєтьсясвоєю матрицею показникiв i дискретно нормованим кiльцем [1]. Багато власти-востей таких кiлець повнiстю визначаються їх матрицями показникiв, зокрема,сагайдаки таких кiлець [1]. Порiвняно недавно матрицi показникiв стали окремимоб’єктом вивчення. В [4] доводиться нежорсткiсть допустимого сагайдака, якиймає хоча б одну петлю. В [5] розглядаються ваговi функцiї якi визначають допу-стимi сагайдаки, з появою яких з’явилося бiльше можливостей для дослiдженнядопустимих сагайдакiв. Опис деяких класiв жорстких сагайдакiв започаткова-но в [6]. В [7] знайдено властивостi одиничних циклiв та одиничних сагайдакiв,зокрема знайдено обмеження для елементiв матрицi показникiв одиничного са-гайдака. В [8] дослiджуються цикли допустимих сагайдакiв.

Нехай ℰ=(𝛼𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛(𝒵)(𝑀𝑛(𝒵) — це кiльце матриць 𝑛× 𝑛 з цiлими елемен-тами).

Означення 1. [1] Матриця ℰ=(𝛼𝑖𝑗), для якої виконуються наступнi умо-ви:

1) 𝛼𝑖𝑗 + 𝛼𝑗𝑘 > 𝛼𝑖𝑘 для всiх 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1, . . ., 𝑛,2) 𝛼𝑖𝑖 = 0 для всiх 𝑖 = 1, . . ., 𝑛,

називається матрицею показникiв.Матриця показникiв, для якої виконується умова3) 𝛼𝑖𝑗 + 𝛼𝑗𝑖 > 1 для всiх 𝑖, 𝑗 ∈ {1, . . ., 𝑛} (𝑖 = 𝑗)називається зведеною матрицею показникiв.

Надiйшла 22.04.2019 c○Зеленський О. В., Дармосюк В. М., Касянюк М. В., 2019

16 Зеленський О. В., Дармосюк В. М., Касянюк М. В.

Нехай ℰ = (𝛼𝑖𝑗) — зведена матриця показникiв. Введемо матрицi ℰ(1) =(𝛽𝑖𝑗) = ℰ + 𝐸𝑛 ∈ 𝑀𝑛(Z), де 𝐸𝑛 — одинична матриця, та ℰ(2) = (𝛾𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛(Z):𝛾𝑖𝑗 = min

𝑘{𝛽𝑖𝑘 + 𝛽𝑘𝑗}.

Означення 2. [1] Сагайдаком зведеної матрицi показникiв 𝑄 = 𝑄(ℰ) на-зивається сагайдак, матриця сумiжностi якого задається формулою [𝑄] =ℰ(2) − ℰ(1).

Теорема 1. [3] Якщо ℰ - зведена матриця показникiв, 𝑄 = 𝑄(ℰ) -сагайдакматрицi показникiв, то матриця [𝑄] є (0, 1) - матрицею сумiжностi сильнозв’язного сагайдака.

Означення 3. [1] Зведенi матрицi показникiв ℰ1 i ℰ2 називають еквiва-лентними, якщо одну можна одержати з iншої за допомогою елементарнихперетворень двох типiв:

1. Вiдняти цiле число 𝑡 вiд елементiв 𝑖-го рядка i додати його до елементiв𝑖-го стовпця.

2. Помiняти мiсцями два рядки i два стовпцi з такими ж номерами.

Означення 4. [1] Сагайдак 𝑄 називається допустимим, якщо icнує зведенаматриця показникiв ℰ, така що 𝑄(ℰ) = 𝑄.

Теорема 2. [3] Нехай 𝑄* - сильно зв’язний простий сагайдак з петлею вкожнiй вершинi. Тодi 𝑄* - допустимий сагайдак.

Означення 5. [5] Сагайдак 𝑄 = (𝑉 𝑄,𝐴𝑄) називають зваженим, якщовизначена функцiя 𝜔: 𝐴𝑄 → 𝑅 . Функцiю 𝜔 називають ваговою, а її значенняна стрiлцi – вагою стрiлки.

Сума ваг всiх стрiлок шляху називається вагою шляху.Якщо ℰ - зведена матриця показникiв, 𝑄 = 𝑄(ℰ)-сагайдак матрицi показни-

кiв, то матриця [𝑄] є (0, 1) - матрицею сумiжностi сильно зв’язного сагайдака.

Теорема 3. [5] Сильно зв’язний сагайдак 𝑄 = (𝑉 𝑄,𝐴𝑄) допустимий тодiй тiльки тодi, коли iснує вагова функцiя 𝜔 : 𝐴𝑄→ 𝑁 ∪Ø , яка задовольняє такiумови:

1. Вага стрiлки з точки 𝑖 у точку 𝑗 менша за вагу шляху з точки 𝑖 у точку𝑗 довжини 𝑙 ≥ 2.

2. Вага петлi в точцi 𝑖 менша за вагу будь-якого циклу, що проходить черезточку 𝑖, довжиною 𝑙 ≥ 2.

3. Вага будь-якого циклу бiльша або дорiвнює 1.4. Вага петлi дорiвнює 1.5. Через кожну точку без петлi проходить цикл довжиною 𝑙 ≥ 2, вага якого

дорiвнює 1.

Зауваження. Згiдно з умовами (4) та (5) через кожну точку допустимогосагайдака проходить цикл ваги 1.

Означення 6. [5] Вагову функцiю, яка задовольняє всi умови теореми 3,називатимемо допустимою ваговою функцiєю.

Minimal exponent matrix 17

За сагайдаком 𝑄 i допустимою ваговою функцiєю 𝜔 можна побудувати ма-трицю показникiв ℰ = (𝛼𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛(𝑍) таким чином: якщо сагайдак 𝑄 мiститьстрiлку 𝜎𝑖𝑗 , то 𝛼𝑖𝑗 = 𝜔(𝜎𝑖𝑗), у протилежному випадку 𝛼𝑖𝑗 дорiвнює вазi найлег-шого шляху iз вершини 𝑣𝑖 у вершину 𝑣𝑗 .

Означення 7. [6] Допустимий сагайдак 𝑄 називають жорстким, якщоiснує з точнiстю до еквiвалентностi єдина зведена матриця показникiв ℰ така,що 𝑄(ℰ) = 𝑄.

Твердження 1. [7] В допустимому сагайдаку 𝑄 = (𝑉 𝑄,𝐴𝑄) мiж вершинамиодиничного циклу не iснує iнших стрiлок окрiм стрiлок цього циклу.

Твердження 2. [7] Допустимий сагайдак 𝑄 не може мiстити двох стрiлок𝜎𝑖𝑎 та 𝜎𝑗𝑎, де вершини 𝑖, 𝑗 належать одному одиничному циклу.

Твердження 3. [7] Допустимий сагайдак 𝑄 = (𝑉 𝑄,𝐴𝑄), не може мiститистрiлки 𝜎𝑎𝑖, 𝜎𝑎𝑗 , де вершини 𝑖, 𝑗 належать деякому одиничному циклу.

Означення 8. Сагайдак зведеної матрицi показникiв називається одини-чним, якщо його цикли утворюють сильнозв’язний сагайдак.

Теорема 4. [8] Матрицю показникiв ℰ2 можна одержати з матрицi ℰ1 задопомогою елементарних перетворень тодi i тiльки тодi, коли сагайдак 𝑄(ℰ1)iзоморфний сагайдаку 𝑄(ℰ2) та вага циклiв сагайдака 𝑄(ℰ1) дорiвнює вазi вiдпо-вiдних циклiв сагайдака 𝑄(ℰ2).

Основнi результати.

Означення 9. Для допустимого сагайдака 𝑄 виберемо матрицею показни-кiв ℰ з мiнiмальною сумою елементiв, цю суму надалi будемо позначати 𝐹 (𝑄), атаку матрицю будемо називати мiнiмальною матрицею показникiв для сагай-дака 𝑄. Допустиму вагову функцiю, яка визначає матрицю ℰ, називатимемомiнiмальною ваговою функцiєю для сагайдака 𝑄.

Лема 1. Сума всiх попарних вiдстаней вершин зв’язного неорiєнтованого

простого графа 𝐺𝑛, 𝑛 ≥ 2 не перевищує 𝐶3𝑛+1 = (𝑛+1)𝑛(𝑛−1)

6 , тобто𝑛∑

𝑖,𝑗=1

𝑑(𝑣𝑖, 𝑣𝑗)≤𝐶3𝑛+1 =

(𝑛+1)𝑛(𝑛−1)6 .

Доведення. Застосуємо метод математичної iндукцiї.

1. При 𝑛 = 2 є тiльки один зв’язний неорiєнтований графа 𝐺 з матрицею

сумiжностi [𝐺] =

⎛⎝ 0 1

1 0

⎞⎠ . В графа є тiльки одна пара вершин, тому

сума дорiвнює один: 1 ≤ 𝐶33 = 1 нерiвнiсть виконується.

2. Припустимо, що нерiвнiсть виконується при 𝑛 ≤ 𝑚, тобто𝑚∑

𝑖,𝑗=1,𝑖<𝑗

𝑑(𝑣𝑖, 𝑣𝑗)

≤ (𝑚+1)𝑚(𝑚−1)6 (1)


3. Доведемо, що нерiвнiсть виконується при 𝑛 = 𝑚 + 1, тобто для графа𝐺𝑚+1. Знайдемо в графi вершину 𝑣0, пiсля видалення якої, вiн залишитьсязв’язним. Якщо граф мiстить цикли, то можна взяти довiльну вершинуцикла, якщо граф не мiстить циклiв, то граф є деревом, тому можна взя-ти довiльний лист дерева. Оскiльки граф 𝐺 зв’язний, то вiдсортуємо всiверщини у порядку зростання вiдстаней до 𝑣0. Нехай ми одержимо послiв-довнiсть вершин 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑚, тодi 𝑑(𝑣0, 𝑣𝑖) ≤ 𝑖, для довiльного 𝑖 ∈ 1, ...,𝑚.

Тому𝑛∑𝑖=1

𝑑(𝑣0, 𝑣𝑖) ≤ 1 + 2 + ... + 𝑚 = 𝑚(𝑚+1)2 .(2) Cума вiдстаней мiж вер-

шинами графа 𝐺𝑚+1 дорiвнює𝑚∑𝑖=1

𝑑(𝑣0, 𝑣𝑖) +𝑛𝑚∑𝑖,𝑗=1

𝑑(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) З нерiвностей (1)

та (2) випливає, що𝑚∑𝑖=1

𝑑(𝑣0, 𝑣𝑖) +𝑛𝑚∑𝑖,𝑗=1

𝑑(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) ≤ (𝑚+1)𝑚(𝑚−1)6 + (𝑚+1)𝑚

2 =

(𝑚+2)(𝑚+1)𝑚6 = 𝐶3

𝑚+2 Отже, за принципом математичноъ iндукцiї нерiв-нiсть виконується для всiх натуральних 𝑛 ≥ 2.

Лему доведено.

Теорема 5. Сума елементiв зведеної матрицi показникiв з одиничним са-гайдаком 𝑄 не перевищує 𝐶3

𝑛+1 = (𝑛+1)𝑛(𝑛−1)6 .

Доведення. По сагайдаку 𝑄 побудуємо неорiєнтований граф 𝐺, який скла-дається з тих же вершин, що й сагайдак 𝑄, i в якому двi вершини з’єднанi ребром,якщо в сагайдаку𝑄 вони належать одному одиничному циклу. Оскiльки сагайдак𝑄 одиничний, то граф 𝐺 зв’язний. Для графа 𝐺 пiд вiдстанню 𝑑(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) мiж двомавершинами будемо розумiти кiлькiсть ребер у найкоротшому маршрутi. Нагада-ємо, що в матрицi показникiв ℰ = ℰ(𝜔,𝑄) = (𝛼𝑖𝑗) 𝛼𝑖𝑗 дорiвнює вазi найлегшогошляху iз вершини "𝑖"у вершину "𝑗 який може складатися з однiєї стрiлки. Анало-гiчно 𝛼𝑗𝑖 дорiвнює вазi найлегшого шляху iз вершини "𝑗"у вершину "𝑖". Рiвнiсть𝑑(𝑖, 𝑗) = 𝑘, означає, що в сагайдаку 𝑄 iснує шлях, який починається в верши-нi "𝑖"проходить через вершину "𝑗"i повертається в вершину "𝑖 який проходитьпо стрiлкам 𝑘 одинчних циклiв(можливо не по всiм стрiлкам), тому вага цьогощляху не перевищує 𝑘. Отже, 𝛼𝑖𝑗 + 𝛼𝑗𝑖 дорiвнює вазi найлегшого циклу, якийпроходить через вершини "𝑖 "та "𝑗 не перевищує ваги одного з циклiв, який не

перевищує 𝑑(𝑖, 𝑗). Тому 𝛼𝑖𝑗 + 𝛼𝑗𝑖 ≤ 𝑑(𝑖, 𝑗), звiдси випливає, що𝑚∑


(𝛼𝑖𝑗 + 𝛼𝑗𝑖)

≤𝑚∑


𝑑(𝑖, 𝑗) ≤ 𝐶3𝑛+1. Теорему доведено.

Лема 2. 𝐶2𝑛 ≤ 𝐹 (𝑄)

Доведення. Нехай 𝑄 - допустимий сагайдак, 𝑄 = 𝑄(ℰ). Для зведеної ма-трицi показникiв ℰ = (𝛼𝑖𝑗) ∈𝑀𝑛(𝑍): 𝛼𝑖𝑗 + 𝛼𝑗𝑖 ≥ 1 для всiх 𝑖 = 𝑗. Оскiльки такихпар елементiв матрицi показникiв, якi симетричнi вiдносно головної дiагоналi є𝐶2𝑛, то сума елементiв ℰ не менше нiж 𝐶2

𝑛 = 𝑛(𝑛−1)2 . Отже, 𝐶2

𝑛 ≤ 𝐹 (𝑄). Лемудоведено.

Теорема 6. Для допустимого сагайдака 𝑄 = 𝑄(ℰ), який є простим циклом(або без петель, або з петлею в кожнiй вершинi) сума елементiв ℰ дорiвнює𝑝𝐶2

𝑛 , де 𝑝-вага циклу.


Доведення. Розглянемо сагайдак𝑄 = (123 . . . 𝑛), з ваговою функцiєю 𝜔(𝜎12) =

𝜔(𝜎23 = ... = 𝜔(𝜎𝑛−1,𝑛)) = 0, 𝜔(𝜎𝑛,1) = 𝑝. 𝑐 = (𝛼𝑖𝑗) = ℰ(𝜔,𝑄) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 ... 0 0

𝑝 0 0 ... 0 0

𝑝 𝑝 0 ... 0 0

... ... ... ... ... ...

𝑝 𝑝 𝑝 ... 0 0

𝑝 𝑝 𝑝 ... 𝑝 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,

тобто в матрицi ℰ елементи нижче головної дiагоналi рiвнi 𝑝, а iншi елементи рiв-нi 0, сума елементiв ℰ дорiвнює 𝑝𝐶2

𝑛 . За теоремою 4, всi матрицi показникiв зяких одержується сагайдак 𝑄 з вагою циклу 𝑝 еквiвалентнi мiж собою, тому їхсума елементiв також дорiвнює 𝑝𝐶2

𝑛 . Теорему доведено.Вiдомо, що для сильнозв’язного сагайдака з петлею в кожнiй вершинi 𝑄 є

допустима вагова функцiя 𝜔* , для якої вага всiх стрiлок дорiвнює одиницi. Зна-йдемо оцiнку суми елементiв матрицi показникiв , яка визначається ваговою фун-кцiєю 𝜔*.

Теорема 7. Для довiльного допустимого сагайдака з петлею в кожнiй вер-шинi 𝑄, та вагової функцiї 𝜔*(𝜎𝑖𝑗) = 1, сума елементiв матрицi показникiвℰ = (𝛼𝑖𝑗) = ℰ(𝜔*, 𝑄) не перевищує 𝑛2(𝑛−1)

2

Доведення. Нехай ℰ = (𝛼𝑖𝑗) = ℰ(𝜔*, 𝑄). Позначимо через 𝑙(𝑖, 𝑗) -найменшукiлькiсть стрiлок, по яким потрiбно пройти, щоб в сагайдаку𝑄 з вершини "𝑖"потрапитиу вершину "𝑗". Всi вершини крiм першої впорядкуємо у порядку зростання числа𝑙(1, 𝑣𝑖), нехай ми одержали послiдовнiсть вершин 𝑣1, 𝑣2, . . . , 𝑣𝑛−1 тодi 𝑙(𝑣0, 𝑣𝑖) ≤ 𝑖,для довiльного 𝑖 = 1, ..., 𝑛 − 1. (3) Нерiвнiсть (3) рiвносильна нерiвностi 𝛼𝑖𝑗 ≤ 𝑗, для довiльного 𝑗 = 1, ..., 𝑛 − 1. Тому сума елементiв першого рядка матрицiℰ = (𝛼𝑖𝑗) не перевищує 1+2+ ..+𝑛−1 = (𝑛−1)𝑛

2 , аналогiчнi нерiвностi можна до-вести для iнших рядкiв матрицi ℰ , тому сума елементiв матрицi ℰ не перевищує𝑛2(𝑛−1)

2 .

Наслiдок. Для довiльного сильнозв’язного сагайдака з петлею в кожнiйвершинi 𝑄, 𝐹 (𝑄) ≤ 𝑛2(𝑛−1)

2 .

Доведення. Для сагайдака 𝑄, допустима вагова функцiя 𝜔*(𝜎𝑖𝑗) = 1 визна-чає матрицю показникiв ℰ = (𝛼𝑖𝑗), сума елементiв, якої за теоремою 5 не пере-вищує 𝑛2(𝑛−1)

2 . Сума елементiв мiнiмальної матрицi показникiв дорiвнює 𝐹 (𝑄) iне перевищує суми елементiв ℰ , тому 𝐹 (𝑄) ≤ 𝑛2(𝑛−1)

2 .

Приклад. Для 𝑛 = 5. Розглянемо сагайдак 𝑄, який є простий циклом з

петлею в кожнiй вершинi. [𝑄] =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, вагова функцiя 𝜔*(𝜎𝑖𝑗) =


1 визначає матрицю показникiв ℰ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 2 3 4

4 0 1 2 3

3 4 0 1 2

2 3 4 0 1

1 2 3 4 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠cума елементiв якої

дорiвнює 50 ≤ 52×42 = 50.

Проте, зрозумiло , що ℰ не є мiнiмальною матрицею показникiв для сагайдака𝑄. Побудуємо мiнiмальну вагову функцiю для сагадака 𝑄. Сагайдак 𝑄 мiститьцикл (12345), вершини якого мають петлi, тому за теоремою 1, вага циклу не

менше 2, а тому за теоремою 4 𝐹 (𝑄) = 2𝐶2𝑛 = 20, ℰ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 0 0 0

2 0 0 0 0

2 2 0 0 0

2 2 2 0 0

2 2 2 2 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Оцiнка 𝐹 (𝑄) ≤ 𝑛2(𝑛−1)2 не є точною.

Виникає питання знайти максимум 𝐹 (𝑄). Тобто для якого допустимого са-гайдака 𝑄 з 𝑛 вершинами 𝐹 (𝑄) має найбiльше значення.

Твердження 4. Матриця показникiв з якої одержується жорсткий сагайдакє мiнiмальної матрицею показникiв.

Доведення. Нехай 𝑄 = 𝑄(ℰ), 𝑄- жорсткий. Припустимо протилежне, щоℰ не є мiнiмальною матрицею показникiв. Тодi iснує матриця показникiв ℰ𝑚𝑖𝑛,така, що 𝑄 = 𝑄(ℰ) = 𝑄(ℰ𝑚𝑖𝑛), i сума елементiв матрицi ℰ𝑚𝑖𝑛 менше нiж су-ма елементiв матрицi ℰ . Оскiльки суми елементiв матриць рiзнi, то матрицi нееквiвалентi, тому отримали протирiччя, жорсткий сагайдак не може одержува-тися з двох попарно не еквiвалентних матриць показникiв. Отже, ℰ- мiнiмальнаматриця показникiв.

З теореми 4, випливає що матрицi показникiв еквiвалентнi, тодi i тiльки, колисагайдаки iзоморфнi, а вага вiдповiдних циклiв рiвна. Тобто, якщо для сагада-ка 𝑄 ми знаємо вагу циклiв, то всi матрицi показникiв з яких 𝑄 одержуєтьсяеквiвалентнi мiж собою. Оскiльки еквiвалентнi матрицi мають однакову сумуелементiв, то знаючи вагу циклiв ми однозначно знаємо суму елементiв матрицьпоказникiв з яких вiн одержується.

Наприклад сагайдак 𝑄 з матрицею сумiжностi [𝑄] =

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 0

1 1 1

0 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠, який

мiстить три цикли (1, 2), (2, 3), (1, 2, 3). Нехай вага цикла (1, 2) дорiвнює 𝑎, i вага

цикла (2, 3) дорiвнює 𝑏. 𝑄 = 𝑄(ℰ), де ℰ =

⎛⎜⎜⎜⎝0 𝑎 𝑎+ 𝑏

0 0 𝑏

0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠, сума елементiв


матрицi ℰ дорiвнює 2(𝑎+ 𝑏), а iншi матрицi яких одержується 𝑄 еквiвалентнi доℰ тому їх сума елементiв дорiвнює 2(𝑎+ 𝑏).

Виникла гiпотеза, що чим менше вага простих циклiв, тим менше сума еле-ментiв матрицi показникiв, з якої вiн одержується. Гiпотеза виявилась непра-вильною.

Твердження 5. Зменшення ваги простого циклу сагайдака, може привестидо збiльшення суми елементiв матрицi показникiв з якої сагайдак одержується.

Доведення. Розглянемо сагайдак𝑄, з матрицею сумiжностi [𝑄] =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 1

1 0 1 0 0 1

0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠,

який мiстить чотири простих цикла (1, 2.3), (2, 3, 5), (2, 6, 5), (3, 5, 4), якi вiдповiд-но мають вагу. Приклад вагової функцiї на рисунку.

Матриця показникiв для цiєї вагової функцiї ℰ3 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 1 2 1 1

2 0 1 2 1 1

1 1 0 2 1 2

1 1 0 0 1 2

2 1 1 1 0 2

2 1 1 1 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, сума елементiв якої 34. Зменшимо вагу циклу (2, 3, 5) до двох. Тобто побуду-ємо допустиму вагову функцiю, для якої вага всiх простих циклiв дорiвнює 2.Приклад такої функцiї на рисунку.


ℰ2 =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 0 1 2 1 1

2 0 1 2 1 1

1 1 0 1 0 2

2 2 1 0 1 3

3 1 2 1 0 2

3 1 2 1 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, сума елементiв якої 42. Доведемо, що 𝐹 (𝑄) =

34, тобто, що ℰ3-мiнiмальна матриця показникiв. В цьому доведенi будемо вва-жати, що вага стрiлки може бути вiд’ємна. (Оскiльки вага будь-якого циклу неменше одиницi то елементарними перетвореннями завжди вагу будь-якої стрiлкиможна зробити додатною або нулем).

Очевидно, що якщо для допустимої вагової функцiї можна вагу стрiлки змен-шити на одиницю, так щоб вагова функцiя залишилось допустимою, то ця ваговафункцiя i матриця показникiв, яку вона визначає точно не є мiнiмальною. Якщов сагайдаку 𝑄 вага циклу (123) бiльше або дорiвнює трьох, то зменшуючи вагустрiлки 𝜎12 на одиницю ми прийдемо до матрицi показникiв з меншою сумою.Ми одержали важливе правило, якщо в простому циклi з петлями , хоча б однастрiлка належить тiльки цьому простому циклу, то для мiнiмальної вагової фун-кцiї його вага має дорiвнювати два. Аналогiчно для мiнiмальної вагової функцiївага циклiв (265) i (354) також дорiвнює 2. Для циклу (2, 3, 5) це правило не дiє,тому що в нього кожна стрiлка належить, деякому iншому циклу. Варiанти коливага циклу (2, 3, 5) дорiвнює два або три ми розглянули . Зауважимо, що вага ци-клу (1, 2, 6, 5, 4, 1) = (2, 3, 5)+(265)+(354)−(2, 3, 5) = 6−(2, 3, 5). Тому, якщо вага(2, 3, 5) бiльше або дорiвнює чотирьох, то вага (1, 2, 6, 5, 4, 1) менше або дорiвнюєдвох i не буде виконуватися нерiвнiсть вага шляху бiльше нiж вага стрiлки. От-же, 𝐹 (𝑄) = 34. Останнiй приклад спростував гiпотезу про те, що для сагайдаказ петлею в кожнiй вершинi вагова функцiя з вагою всiх простих циклiв рiвною 2є мiнiмальною.

Висновки. В роботi знайдено оцiнки для суми елементiв мiнiмальної ма-трицi показникiв. Доведено, що жорсткi сагайдаки одержуються тiльки з мiнi-мальних матриць показникiв. Авторами встановлено, що зменшення ваги про-стого циклу сагайдака, може привести до збiльшення суми елементiв матрицiпоказникiв, з якої одержується сагайдак.


1. Hazewinkel M. Algebras Rings and Modules, vol. 1/ M. Hazewinkel, N. Gubareni,V.V. Kirichenko - Kluwer Academic Publisheers, 2004.- 380 p.


3. Kirichenko V. V. Exponent Matrices and Tiled Order over Discrete Valuation Rings/V. V. Kirichenko , O. V. Zelenskiy, V. N. Zhuravlev // International Journal of Algebraand Computation. 2005.– Vol. 15, – № 5 - 6. – p. 1-16.

4. Зеленський О. В. Жорсткi сагайдаки зведених матриць показникiв / О. В. Зе-ленський // Вiсник Київського унiверситету. Cерiя: фiзико-математичнi науки. -2007. - №3. - С. 27-31.

5. Журавлев В.Н. Допустимые колчаны./ В.Н. Журавлев// Фундаментальная иприкладная математика. Том 14, 2008. 7, c. 121-128.

6. Кириченко В.В. О жестких колчанах /В.В. Кириченко, В. Н. Журавлёв, И. Н.Цыгановская // Фундаментальная и прикладная математика. Том 12, выпуск 8,2006. Часть 1. С. 105 - 120.

7. Журавльов В. М. Одиничнi сагайдаки матрицi показникiв/ В.М. Журавльов,О.В. Зеленський, В.М. Дармосюк // Вiсник Київського унiверситету. Cерiя: фiзико-математичнi науки. - 2012. - №4. - С. 27-31.

8. Зеленський О. В. Цикли допустимих сагайдакiв / О. В. Зеленський// Матема-тичнi студiї. Том 42, випуск 1.С. 3-8.

Зеленський A. В., Дармосюк В. Н., Касянюк М.В.Минимальная матрица показателей

Резюме

В работе исследуются минимальные матрицы показателей и минимальные весовыефункции допустимого колчана. Найдено ограничения для суммы элементов матрицыпоказателей с единичным колчаном и ограничения для суммы элементов минимальнойматрицы показателей с колчаном, который имеет петлю в каждой вершине. Показа-но, что уменьшение веса простого цикла колчана, может привести к увеличению сум-мы элементов матрицы показателей из которой получается колчан. Приведен пример,опровергающий гипотезу о том, что для колчана с петлей в каждой вершине весоваяфункция с весом всех простых циклов равным 2 является минимальной. Доказано, чтожесткий колчан получается из минимальной матрицы показателей.Ключевые слова: матрица показателей, допустимый колчан матрицы показателей,минимльная матрица показателей .

Zelenskiy O.V., Darmosiuk V.M., Kasyaniuk M.V.Minimal exponent matrix

Summary

This paper investigates the minimal exponent matrix and minimal weight functions of the

admissible quiver. Found limitations for the sum of the elements of exponent matrix with

a single quiver and a limitation for the sum of the elements the minimal exponent matrix

with quiver which has a loop in each the top. It is shown that reducing the weight of a

simple quiver cycle, can lead to an increase in the sum of elements of the exponent matrix

from which you get a quiver. An example is given that refutes the hypothesis that that for


a quiver with a loop in each vertex, the weight function with the weight of all simple cycles

equal to 2 is minimal. It is proved that a rigid quiver is obtained from a minimal exponent

matrix.

Key words: exponent matrix, admissible quiver, minimal exponent matrix.

References



3. Kirichenko V. V. Exponent Matrices and Tiled Order over Discrete Valuation Rings/V. V. Kirichenko , O. V. Zelenskiy, V. N. Zhuravlev // International Journal of Algebraand Computation. 2005.– Vol. 15, – № 5 - 6. – p. 1-16.

4. Zelenskiy О.V. Rigid quivers of reduced exponent matrices/ O. V. Zelenskiy// Bulletinof Taras Shevchenko National University of Kiev. Series: Physics Mathematics - 2007. -№3. - p. 27-31.

5. Zhuravlev V.N. Admissible quivers/ V.N. Zhuravlev// Fundamental and AppliedMathematics. -2008. - Vol. 14, no 7.- p. 121-128.

6. Kirichenko V. V. On rigid quiver/ V. V. Kirichenko, V. N. Zhuravlev, I. N. Tsygani-vska// Fundamental and Applied Mathematics. - 2006.- Vol 12, no 8.- p. 105 - 120.

7. Zhuravlev V. N. Unit quivers of exponent matrices/ V. N. Zhuravlev, O. V.Zelenskiy,V. M. Darmosiuk// Bulletin of Taras Shevchenko National University of Kiev. Series:Physics and Mathematics. - 2012. - №4. - p. 27-31.

8. Zelenskiy О.V. Cycles of admissible quivers/O.V.Zelenskiy// Mat. Stud.-2014.-42.-p.3–8.


УДК 517.9

З. М. ЛысенкоОдесский национальный университет имени И. И. Мечникова

АЛГЕБРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ТЕПЛИЦЕВЫМИ ОПЕРАТОРАМИСО СПЕЦИАЛЬНЫМИ СИМВОЛАМИ

Автор благодарен Н. Л. Василевскому за постановку задачи и полезноеобсуждение результатов.Рассматривается весовое пространство Бергмана 𝒜2

𝜆 (𝐷𝑛) (𝜆 > −1) в области Зигеля𝐷𝑛, состоящее из аналитических функций пространства 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆), где

𝑑𝜇𝜆 =𝑐𝜆4

(Im 𝑧𝑛 −

𝑧′2)𝜆

𝑑𝜈(𝑧), 𝑐𝜆 =Γ(𝑛+ 𝜆+ 1)

𝜋𝑛Γ(𝜆+ 1),

𝑑𝜈(𝑧) – стандартная мера Лебега в C𝑛. Описана структура 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛). Именно, простран-

ство 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛) можно рассаматривать (с точностью до изометрического изоморфизма 𝑅)

в виде прямого интеграла⊕∫

R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1) 𝑑𝜉

пространства Фока 𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

), состоящего из аналитических функций пространства

𝐿2

(C𝑛−1, 𝑑𝜈𝛼

)(𝛼 = 2𝜉), где 𝑑𝜈𝛼 (𝑧′) =

(𝛼𝜋

)𝑛−1e−𝛼|𝑧′|2 𝑑𝜈 (𝑧′), 𝛼 ∈ R+, 𝑧′ ∈ C𝑛−1. Ис-

пользуя оператор 𝑅, доказано, что каждый теплицевый оператор 𝑇𝑎 со специальнымограниченным символом 𝑎(𝑧) = 𝑎

(Im 𝑧𝑛 − |𝑧′|2

), действующий в пространстве 𝒜2

𝜆 (𝐷𝑛),унитарно эквивалентен прямому интегралу от оператора умножения 𝛾𝑎(𝜉)𝐼, действую-щему в пространстве Фока 𝐹 2

2𝜉

(C𝑛−1

), 𝜉 ∈ R+. Функция 𝛾𝑎(𝜉) определяется формулой

𝛾𝑎(𝜉) =(2𝜉)𝜆+1

Γ(𝜆+ 1)

∫R+

𝑎(𝑣)e−2𝜉𝑣𝑣𝜆 𝑑𝑣.

Отсюда вытекает, что 𝐶*-алгебра, порожденная таким оператором, коммутативна. По-казано, что 𝐶*-алгебра, порожденная теплицевыми операторами 𝑇𝑎 и 𝑇𝑏, где

𝑎 = 𝑎(Im 𝑧𝑛 −

𝑧′2) ∈ 𝐿∞ (R+) , 𝑏 = 𝑏

(𝑧′)∈ 𝐿∞

(C𝑛−1) ,

коммутативна тогда и только тогда, когда для каждого 𝜉 ∈ R+ алгебра, порожденнаятеплицевыми операторами 𝑇 2𝜉

𝑏 , действующими в пространстве 𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

), коммутатив-

на.MSC: 47B35, 47L80, 47G10, 32A36.Ключевые слова: пространство Бергмана, область Зигеля, унитарный оператор, со-пряженный оператор.DOI: 10.18524/2519–206x.2019.1(33).175543.

Введение. Пусть 𝐷 – некоторое многообразие. Пространство Бергмана𝒜2 (𝐷) состоит из аналитических функций пространства 𝐿2(𝐷). Через 𝐵𝐷 обо-значим ортогональный проектор (проектор Бергмана) 𝐿2(𝐷) на замкнутое под-пространство 𝒜2(𝐷). Тогда оператор Теплица 𝑇𝑎 с символом 𝑎 ∈ 𝐿∞(𝐷), дей-ствующий в 𝒜2(𝐷), определяется следующим образом:

𝑇𝑎 : 𝜙 ∈ 𝒜2(𝐷) → 𝐵𝑑(𝑎𝜙) ∈ 𝒜2(𝐷).

Получена 11.06.2019 c○Лысенко З. М., 2019

26 Лысенко З. М.

Алгебры, порожденные теплицевыми операторами, изучались многими авто-рами (см. монографию [1], а также библиографию к ней). Так, в [1] получена пол-ная характеристика коммутативных 𝐶*-алгебр теплицевых операторов в весовыхпространтсвах Бергмана для случая единичного круга и верхней полуплоскости.Именно, доказано, что 𝐶*-алгебра, порожденная операторами Теплица в указан-ных пространствах, коммутативна тогда и только тогда, когда соответствующиесимволы постоянны на циклах некоторых пучков гиперболических геодезиче-ских линий. Этот результат показывает как геометрия базисного многообразиявлияет на свойства операторов Теплица на этом многообразии. Во всех случа-ях изучение алгебр теплицевых операторов, как правило, строится унитарныйоператор, который преобразует соответствующий оператор Теплица в конкрет-ный мультипликативный оператор, зависящий от символа. Это влечет не толькокоммутативность соответствуюей алгебры, но и дает возможность в будущем ис-следовать ограниченность, компактность, спектральные свойства, инвариантныеподпространства изучаемых операторов Теплица.

В данной работе исследуется коммутативность 𝐶*-алгебры теплицывых опе-раторов в весовых пространствах Бергмана над областью Зигеля со специальны-ми символами.

Основные результаты1. Структура пространства Бергмана в области Зигеля. Пусть R =

(−∞; +∞), R+ = (0;+∞), C – множество комплексных чисел, |𝑧|2 = |𝑧1|2 + . . .+

|𝑧𝑛|2, где 𝑧 = (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) ∈ C𝑛.Обозначим через 𝐷𝑛 область Зигеля в C𝑛, определяемую следующим образом

𝐷𝑛 ={𝑧 = (𝑧′, 𝑧𝑛) ∈ C𝑛−1 × C : Im 𝑧𝑛 − |𝑧′|2 > 0

}. (1)

Пусть𝒟 = C𝑛−1 × R× R+.

Отображение𝑘 : (𝑧′, 𝑢, 𝑣) ∈ 𝒟 →

(𝑧′, 𝑢+ 𝚤𝑣 + 𝚤 |𝑧′|2

)∈ 𝐷𝑛 (2)

является диффеоморфизмом между 𝒟 и 𝐷𝑛.Обозначим через 𝑑𝜈(𝑧) = 𝑑𝑥1𝑑𝑦1 . . . 𝑑𝑥𝑛𝑑𝑦𝑛, где 𝑧𝑚 = 𝑥𝑚+ 𝚤𝑦𝑚, 𝑚 = 1, 𝑛, стан-

дартную меру Лебега в C𝑛. Введем следующее однопараметрическое семействовесовых мер (см., например, [2])

𝑑𝜇𝜆(𝑧) =𝑐𝜆4

(Im 𝑧𝑛 − |𝑧′|2

)𝜆𝑑𝜈(𝑧),

где 𝑐𝜆 – нормализованная константа вида

𝑐𝜆 =Γ(𝑛+ 𝜆+ 1)

𝜋𝑛Γ(𝜆+ 1), 𝜆 > −1. (3)

Обозначим через 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛) весовое пространство Бергмана, состоящее из аналити-

ческих функций пространства 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆) и, тем самым, являющееся замкнутымподпространством 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆). Известно (см., например, [3–5]), что ортогональ-ный проектор

𝐵𝐷𝑛,𝜆 : 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆) → 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛)

Алгебры, порожденные теплицевыми операторами ... 27

можно представить в следующем виде

(𝐷𝐷𝑛,𝜆𝑓) (𝑧) =

∫𝐷𝑛

𝑓(𝑤)(𝑧𝑛−𝑤𝑛

2𝚤 = 𝑧′𝑤′) 𝑑𝜇𝜆(𝑤).Вернемся снова к области

𝒟 = C𝑛−1 × R× R+.

Введем пространство 𝐿2 (𝒟, 𝑑𝜇𝜆), где мера 𝑑𝜇𝜆 задается формулой

𝑑𝜇𝜆(𝑤) = 𝜂𝜆(𝑣) =𝑐𝜆4𝑣𝜆𝑑𝜈(𝑧), 𝜆 > −1,

при этом 𝑤 = 𝑢+ 𝚤𝑣, а константа 𝑐𝜆 задается формулой (3).Рассмотрим унитарный оператор сдвига

𝒰0 : 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆) → 𝐿2 (𝒟, 𝑑𝜂𝜆) ,

действующий по формуле(𝒰𝑜𝑓) (𝑤) = 𝑓 [𝑘(𝑤)],

где 𝑘 задано (2).Тогда образ

𝒜𝑜 = 𝒰0

(𝒜2𝜆 (𝐷𝑛)

)совпадает (см. [2, формула (2.10)]) с множеством всех функций из 𝐿2 (𝒟, 𝑑𝜇𝜆),удовлетворяющих уравнениям:(

𝜕

𝜕𝑢+ 𝚤

𝜕

𝜕𝑣

)𝜙 = 0 и

(𝜕

𝜕𝑧𝑘− 𝚤

𝜕

𝜕𝑢𝑧𝑘

)𝜙 = 0 𝑘 = 1, 𝑛− 1.

Следуя [2, раздел 7] введем унитарный оператор

𝒰1 = 𝐼 ⊗ 𝐹 ⊗ 𝐼,

действующий в

𝐿2 (𝒟, 𝑑𝜂𝜆) = 𝐿2

(C𝑛−1

)⊗ 𝐿2 (R)⊗ 𝐿2 (R+, 𝜂𝜆) ,

где

(𝐹 𝑓)(𝜉) =1√2𝜋

∫R

𝑓(𝑢)e−𝚤𝜉𝑢 𝑑𝑢

– преобразование Фурье в 𝐿2(R). Тогда образ

𝒜1(𝒟) = 𝒰1 (𝒜0(𝒟))

состоит из функций пространства 𝐿2 (𝒟, 𝑑𝜂𝜆), имеющих вид:

𝜙 (𝑧′, 𝜉, 𝑣) = 𝜒R+(𝜉)Ψ (𝑧′, 𝜉) e−|𝜉|𝑣,


где функция Ψ удовлетворяет уравнению(𝜕

𝜕𝑧𝑘+ 𝜉𝑧𝑘

)Ψ(𝑧′, 𝜉) = 0, 𝑘 = 1, 𝑛− 1. (4)

Введем теперь весовое пространство Фока [6, 7] (или Сигала – Боргмана [8, 9]) впространстве C𝑛−1. Для заданного параметра 𝛼 ∈ R+ рассмотрим 𝐿2

(C𝑛−1, 𝑑𝑣𝛼

),

где

𝑑𝑣𝛼 (𝑧′) =

(𝛼𝜋

)𝑛−1

e−𝛼|𝑧′|2𝑑𝜈 (𝑧′) , 𝑧′ ∈ C𝑛−1.

Тогда пространство Фока 𝐹 2𝛼

(C𝑛−1

)– это замкнутое подпространство простран-

ства 𝐿2


), состоящее из аналитических функций.

Обозначим через 𝑃𝛼 ортогональный проектор:

𝑃𝛼 : 𝐿2


)→ 𝐹 2

𝛼

(C𝑛−1

).

Для каждого 𝜉 ∈ R введем оператор

(𝑉𝜉𝑓) (𝑧′) =

(2|𝜉|𝜋

)−𝑛−12

e|𝜉| |𝑧′|2𝑓 (𝑧′) ,

который отображает унитарно

𝐿2

(C𝑛−1

)на 𝐿2

(C𝑛−1, 𝑑𝜈2|𝜉|

).

Заметим, что ∀ 𝜉 ∈ R+

𝑉𝜉

(𝜕

𝜕𝑧𝑘+ 𝜉𝑧𝑘

)𝑉 −1𝜉 =

𝜕

𝜕𝑧𝑘, 𝑘 = 1, 𝑛− 1. (5)

Представим пространство 𝐿2 (𝒟, 𝑑𝜂𝜆) в следующем виде:

𝐿2 (𝒟, 𝑑𝜂𝜆) = 𝐿2(R)⊗ 𝐿2 (R+, 𝜂𝜆)⊗ 𝐿2

(C𝑛−1

)= 𝐿2 (R+, 𝜂𝜆)⊗

⊕∫R

𝐿2

(C𝑛−1

)𝑑𝜉.

Используя это представление, введем оператор

𝑉 = 𝐼 ⊗⊕∫

R

𝑉𝜉 𝑑𝜉,

отображающий унитарно

𝐿2 (R+, 𝜂𝜆)⊗⊕∫

R

𝐿2

(C𝑛−1

)𝑑𝜉

на

𝐿2 (R+, 𝜂𝜆)⊗⊕∫

R

𝐿2

(C𝑛−1, 𝑑𝜈2|𝜉|

)𝑑𝜉.


Тогда образ𝒜𝑉 = 𝑉 (𝒜1(𝒟))

состоит из всех функций вида

𝜙 (𝑧′, 𝜉, 𝑣) = 𝜒R+(𝜉)𝑐(𝜉)e−𝜉𝑣Ψ(𝜉, 𝑧′) , (6)

где, согласно (4) и (5), функция Ψ принадлежит

⊕∫R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉,

а 𝑐(𝜉) – нормализованная функция, определяемая формулой

𝑐(𝜉) =

(4(2𝜉)𝜆+1

𝑐𝜆Γ(𝜆+ 1)

)1/2

,

при этом константа 𝑐𝜆 вычисляется по формуле (3).

Лемма 1. Унитарный оператор

𝒰 = 𝑉 𝒰1𝒰0

отображает пространство Бергмана 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛) на пространство 𝒜𝑉 , которое

является замкнутым подпространством пространства

𝐿2 (R+, 𝜂𝜆)⊗⊕∫

R

𝐿2

(C𝑛−1, 𝑑𝜈2|𝜉|

)𝑑𝜉

и состоит из функций вида

𝜙 (𝑧′, 𝜉, 𝑣) = 𝜒R+(𝜉)𝑐(𝜉)e−𝜉𝑣Ψ(𝜉, 𝑧′) ,

где

Ψ(𝜉, 𝑧′) ∈⊕∫

R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉.

Доказательство. Согласно (6) подпространство 𝒜𝑉 пространства

𝐿2 (R+, 𝜂𝜆)⊗⊕∫

R

𝐿2

(C𝑛−1, 𝑑𝜈2|𝜉|

)𝑑𝜉

состоит из всех функций

𝜙 (𝑧′, 𝜉, 𝑣) = 𝜒R+(𝜉)𝑐(𝜉)e−𝜉𝑣Ψ(𝜉, 𝑧′) ,


где

Ψ ∈⊕∫

R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉.

Покажем, что ‖𝜙‖ = ‖Ψ‖:

‖𝜙‖2 =

∫R2

+

𝑐2(𝜉)e−2𝜉𝑣‖Ψ(𝜉, ·)‖2𝐹 22𝜉(C𝑛−1)

𝑐𝜆4𝑣𝜆 𝑑𝜉 𝑑𝑣 =

=

∫R+

‖Ψ(𝜉, ·)‖2𝐹2𝜉(C𝑛−1)

(2𝜉)𝜆+1

Γ(𝜆+ 1)𝑑𝜉

∫R+

e−2𝜉𝑣𝑣𝜆 𝑑𝑣.

Вычисляя интеграл Эйлера∫R+

e−2𝜉𝑣𝑣𝜆 𝑑𝑣 =Γ(𝜆+ 1)

(2𝜉)𝜆+1, (7)

получаем утверждение леммы.

Введем изометрическое отображение

𝑅0 :

⊕∫R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉 → 𝐿2 (R+, 𝜂𝜆)⊗

⊕∫R

𝐿2

(C𝑛−1, 𝑑𝜈2|𝜉|

)𝑑𝜉

по следующему правилу:

𝑅0 : Ψ (𝜉, 𝑧′) → 𝜒R+(𝜉)𝑐(𝜉)e−𝜉𝑣Ψ(𝜉, 𝑧′) ,

где функция Ψ(𝜉, 𝑧′) = 0 ∀ 𝜉 ∈ R ∖ R+, ∀ 𝑧′ ∈ C𝑛−1. Сопряженный оператор

𝑅*0 : 𝐿2 (R+, 𝜂𝜆)⊗

⊕∫R

𝐿2

(C𝑛−1, 𝑑𝜈2|𝜉|

)𝑑𝜉 →

⊕∫R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉

имеет вид:

𝑅*0 : 𝑓 (𝑢, 𝜉, 𝑧′) →

∫R+

𝑐(𝜆)e−𝜉𝑣 (𝑃2𝜉𝑓) (𝑣, 𝜉, 𝑧′)𝑐𝜆4𝑣𝜆 𝑑𝑣.

Тогда мы имеем

𝑅*0𝑅0 = 𝐼 :

⊕∫R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉 →

⊕∫R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉,

𝑅0𝑅*0 = 𝑃𝑉 : 𝐿2 (R+, 𝜂𝜆)⊗

∫R

𝐿2

(C𝑛−1𝑑𝑣2|𝜉|

)𝑑𝜉 → 𝐴𝑉 ,

где 𝑃𝑉 – ортогональный проектор.Из леммы 1 непосредственно вытекает следующая


Теорема 1. Оператор 𝑅 = 𝑅*0𝒰 , где 𝒰 = 𝑉 𝒰1𝒰0, отображает 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆)

на⊕∫R𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉 и сужение

𝑅𝒜2

𝜆(𝐷𝑛): 𝒜2

𝜆 (𝐷𝑛) →⊕∫

R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉

есть изометрический изоморфизм. Сопряженный оператор

𝑅* = 𝒰*𝑅0 :

⊕∫R+

𝐹2𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉 → 𝒜2

2 (𝐷𝑛) ⊂ 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆)

есть изометрический изоморфизм этих пространств. Более того,

𝑅𝑅* = 𝐼 :

⊕∫R+

𝐹⊕2𝜉𝐹

22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉 →

⊕∫R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉,

𝑅*𝑅 = 𝐵𝐷𝑛,𝜆 : 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆) → 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛) ,

где 𝐵𝐷𝑛,𝜆 – проектор Бергмана пространства 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆) на пространство𝒜2𝜆 (𝐷𝑛).

2. Алгебры, порожденные теплицевыми операторами. Рассмотрим це-почку обратных операторов :

𝑈−10 : 𝐿2(𝐷, 𝑑𝜂𝜆) → 𝐿2(𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆),

где (𝑈−10 𝜙)(𝑧) = 𝜙[𝑘−1(𝑧)];

𝑈−11 = 𝐼 ⊗ 𝐹−1 ⊗ 𝐼 : 𝐿2(𝐷, 𝑑𝜂𝜆) → 𝐿2(𝐷, 𝑑𝜂𝜆),

где

(𝐹−1𝑓)(𝜉) =1√2𝜋

∫R

𝑓(𝑢)e𝑖𝜉𝑢𝑑𝑢

обратное преобразование Фурье в 𝐿2(R);

𝑉 −1 = 𝐼 ⊗⊕∫

R

𝑉 −1𝜉 𝑑𝜉 : 𝐿2(R+, 𝑑𝜂𝜆)⊗

⊕∫R

𝐿2(C𝑛−1, 𝑑𝜈2|𝜉|)𝑑𝜉 →

𝐿2(R+, 𝑑𝜂𝜆)⊗∫ ⊕

R𝐿2(C𝑛−1)𝑑 𝜉,

где

(𝑉 −1𝜉 𝜙)(𝑧′) =

(2|𝜉|𝜋

)𝑛−12

e−|𝜉||𝑧′|2𝜙(𝑧′).


Теорема 2. Пусть символ 𝑎 = 𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2) ∈ 𝐿∞(R). Тогда теплицевыйоператор

𝑇𝑎 = 𝐵𝐷𝑛,𝜆𝑎𝐼 : 𝐴2

𝜆(𝐷𝑛) → 𝐴2𝜆(𝐷𝑛)

унитарно эквивалентен оператору

𝑅𝑇𝑎𝑅* =

⊕∫R+

(𝛾𝑎(𝜉)𝐼) 𝑑𝜉,

действующему в пространстве⊕∫R𝐹 22𝜉(C𝑛−1)𝑑𝜉. Здесь оператор

𝛾𝑎(𝜉)𝐼 : 𝐹 22𝜉(C𝑛−1) → 𝐹 2

2𝜉(C𝑛−1)

является оператором умножения на скалярную функцию

𝛾𝑎(𝜉) =(2𝜉)𝜆+1

Γ(𝜆+ 1)

∫R+

𝑎(𝑣)e−2𝜉𝑣𝑣𝜆𝑑𝑣, 𝜉 ∈ R+.

Доказательство. На основании теоремы 1 имеем :

𝑅𝑇𝑎𝑅* = 𝑅𝐵𝐷𝑛,𝜆

𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2)𝐵𝐷𝑛,𝜆𝑅* =

= 𝑅(𝑅*𝑅)𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2)(𝑅*𝑅)𝑅* =

= (𝑅𝑅*)𝑅𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2)𝑅*(𝑅𝑅*) = 𝑅𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2)𝑅* =

= 𝑅*0𝑉 𝑈1𝑈0𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2)𝑈−1

0 𝑈−11 𝑉 −1𝑅0 =

= 𝑅*0𝑉 𝑈1𝑎(𝑣)𝑈

−11 𝑉 −1𝑅0 = 𝑅*

0𝑉 𝑎(𝑣)𝑉−1𝑅0 = 𝑅*

0𝑎(𝑣)𝑅0.

Далее,

𝑅*0𝑎(𝑣)𝑅0𝜓(𝜉, 𝑧

′) = 𝑅*0

{𝑎(𝑣)𝜒R+

(𝜉)(𝑐(𝜉))1/2e−𝜉𝑣𝜓(𝜉, 𝑧′)}=

=

∫R+

(𝑐(𝜉))1/2e−𝜉𝑣𝑃2𝜉

{𝑎(𝑣)𝜒R+

(𝜉)(𝑐(𝜉))1/2e−𝜉𝑣𝜓(𝜉, 𝑧′)} 𝑐𝜆

4𝑣𝜆𝑑𝑣 =

=

⎧⎪⎨⎪⎩∫R+

𝑐(𝜉)e−2𝜉𝑣𝑎(𝑣)𝑐𝜆4𝑣𝜆𝑑𝑣

⎫⎪⎬⎪⎭𝜓(𝜉, 𝑧′) =

=

⎧⎪⎨⎪⎩ (2𝜉)𝜆+1

Γ(𝜆+ 1)

∫R+

𝑎(𝑣)e−2𝜉𝑣𝑣𝜆𝑑𝑣

⎫⎪⎬⎪⎭𝜓(𝜉, 𝑧′) = 𝛾𝑎(𝜉)𝜓(𝜉, 𝑧′),

где 𝜉 ∈ R+. Таким образом, 𝑅𝑇𝑎𝑅* = 𝛾𝑎(𝜉)𝐼, где 𝜉 ∈ R+.Отсюда

𝑅𝑇𝑎𝑅* =

⊕∫R+

(𝛾𝑎(𝜉)𝐼) 𝑑𝜉.


Теорема доказана.Через 𝑀 обозначим 𝐶*-алгебру, порожденную всеми теплицевыми операто-

рами 𝑇𝑎, где 𝑎 = 𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2) ∈ 𝐿∞(R+), а через 𝜏 – 𝐶*-алгебру, порожденнуюскалярными функциями 𝛾𝑎 (см. теорему 2).

Пусть 𝐶𝑏(R+) — алгебра всех непрерывных ограниченных функций на полу-оси R+.

Следствие 1. 𝐶*-алгебра 𝑀 коммутативна и изомоморфна 𝐶*-подалгебре𝜏 алгебры 𝐶𝑏(R+). Указанный изоморфизм порожден следующим отображениемобразующих алгебр 𝑀 и 𝜏 :

𝜈 : 𝑇𝑎 → 𝛾𝑎 = 𝛾(𝜉).

Доказательство. По условию существует 𝐾 > 0 такое, что для всех 𝑣 ∈ R+

|𝑎(𝑣)| 6 𝐾. Отсюда, учитывая (7), получаем

|𝛾𝑎(𝜉)| 6(2𝜉)𝜆+1

Γ(𝜆+ 1)𝐾

∫R+

e−2𝜉𝑣𝑣𝜆𝑑𝑣 = 𝐾, 𝜉 ∈ R+,

и, тем самым, следствие доказано.

Рассмотрим теперь символ

𝑏 = 𝑏(𝑧′) ∈ 𝐿∞(C𝑛−1).

Теплицевы операторы с символом 𝑏, действующие в пространстве Фока 𝐹 22𝜉(C𝑛−1),

будем обозначать через 𝑇 2𝜉𝑏 . В то же время, теплицевы операторы с символом 𝑏,

действующие в пространстве Бергмана 𝐴2𝜆(𝐷𝑛), будем по-прежнему обозначать

через 𝑇𝑏.

Теорема 3. Теплицевый оператор 𝑇𝑏, действующий в пространстве 𝐴2𝜆(𝐷𝑛),

унитарно эквивалентен, действующему в пространстве⊕∫

R+

𝐹 22𝜉(C𝑛−1)𝑑𝜉, прямо-

му интегралу от теплицева оператора 𝑇 2𝜉𝑏 , а именно, имеет место представ-

ление:

𝑅𝑇𝑏𝑅* =

⊕∫R+

𝑇 2𝜉𝑏 𝑑𝜉 .

Доказательство. Оператор 𝑇𝑏 унитарно эквивалентен оператору

𝑅𝑇𝑏𝑅* = 𝑅𝐵𝐷𝑛,𝜆

𝑏(𝑧′)𝐵𝐷𝑛,𝜆𝑅* = 𝑅(𝑅*𝑅)𝑏(𝑧′)(𝑅*𝑅)𝑅* =

= (𝑅𝑅*)𝑅𝑏(𝑧′)𝑅*(𝑅𝑅*) = 𝑅𝑏(𝑧′)𝑅* = 𝑅*0𝑉 𝑈1𝑈0𝑏(𝑧

′)𝑈−10 𝑈−1

1 𝑉 −1𝑅0 =

𝑅*0𝑉 𝑏(𝑧

′)𝑉 −1𝑅0 = 𝑅*0𝑏(𝑧

′)𝑅0.


Далее,

𝑅*0𝑏(𝑧

′)𝑅0𝜓(𝜉, 𝑧′) = 𝑅*

0𝑏(𝑧′)𝜒R+(𝜉)(𝑐(𝜉))

1/2e−𝜉𝑣𝜓(𝜉, 𝑧′) =

=

∫R+


(𝑏(𝑧′)𝜒R+

(𝜉)(𝑐(𝜉))1/2e−𝜉𝑣𝜓(𝜉, 𝑧′)) 𝑐𝜆

4𝑣𝜆𝑑𝑣 =

=(2𝜉)𝜆+1

Γ(𝜆+ 1)

∫R+

e−2𝜉𝑣𝑣𝜆𝑑𝑣 · 𝜒R+(𝜉)𝑃2𝜉(𝑏𝜓)(𝜉, 𝑧

′) =

= 𝜒R+(𝜉)𝑃2𝜉(𝑏𝜓)(𝜉, 𝑧

′) =(𝑇 2𝜉𝑏 𝜓

)(𝜉, 𝑧′), 𝜉 ∈ R+.

Отсюда

𝑅𝑇𝑏𝑅* =

⊕∫R+

𝑇 2𝜉𝑏 𝑑𝜉.

Теорема доказана.

Теорема 4. Для любых символов 𝑎 = 𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2) ∈ 𝐿∞(R+) и𝑏 = 𝑏(𝑧′) ∈ 𝐿∞(C𝑛−1) имеют место равенства: 𝑇𝑎𝑏 = 𝑇𝑎𝑇𝑏 = 𝑇𝑏𝑇𝑎 и 𝑅𝑇𝑎𝑏𝑅

* =⊕∫

R+

𝛾𝑎(𝜉)𝑇2𝜉𝑏 𝑑𝜉.

Доказательство.

𝑅𝑇𝑎𝑏𝑅* = 𝑅𝐵𝐷𝑛,𝜆

𝑎𝑏𝐵𝐷𝑛,𝜆𝑅* = 𝑅(𝑅*𝑅)𝑎𝑏(𝑅*𝑅)𝑅* = (𝑅𝑅*)(𝑅𝑎𝑏𝑅*)(𝑅𝑅*) =

= 𝑅𝑎𝑏𝑅* = 𝑅*0𝑉 𝑈1𝑈0𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2)𝑏(𝑧′)𝑈−1

0 𝑈−11 𝑉 −1𝑅0 = 𝑅*

0𝑎(𝑣)𝑏(𝑧′)𝑅0.

Отсюда

𝑅*0𝑎(𝑣)𝑏(𝑧

′)𝑅0𝜓(𝜉, 𝑧′) = 𝑅*

0𝑎(𝑣)𝑏(𝑧′)𝜒R+

(𝜉) (𝑐(𝜉))1/2

e−𝜉𝑣𝜓(𝜉, 𝑧′) =

=

∫R+


[𝑎(𝑣)𝑏(𝑧′)𝜒R+

(𝜉)(𝑐(𝜉))1/2e−𝜉𝑣𝜓(𝜉, 𝑧′)] 𝑐𝜆4𝑣𝜆𝑑𝑣 =

=

⎡⎢⎣ (2𝜉)𝜆+1

Γ(𝜆+ 1)

∫R+

𝑎(𝑣)e−2𝜉𝑣𝑣𝜆𝑑𝑣

⎤⎥⎦𝜒R+(𝜉)𝑃2𝜉𝑏(𝑧

′)𝜓(𝜉, 𝑧′) = 𝛾𝑎(𝜉)𝑇2𝜉𝑏 , 𝜉 ∈ R+.

Следовательно,

𝑅𝑇𝑎𝑏𝑅* =

∫R+

𝛾𝑎(𝜉)𝑇2𝜉𝑏 𝑑𝜉. (8)

С другой стороны, согласно теореме 1, а также теоремам 2 и 3, имеем

𝑅𝑇𝑎𝑇𝑏𝑅* = 𝑅𝑇𝑎𝐵𝐷𝑛,𝜆

𝑇𝑏𝑅* = 𝑅𝑇𝑎 (𝑅

*𝑅)𝑇𝑏𝑅* = (𝑅𝑇𝑎𝑅

*) (𝑅𝑇𝑏𝑅*) = (𝛾𝑎(𝜉)𝐼)𝑇

2𝜉𝑏 ,


где 𝜉 ∈ R+. Отсюда

𝑅𝑇𝑎𝑇𝑏𝑅* =

∫R+

𝛾𝑎(𝜉)𝑇2𝜉𝑏 𝑑𝜉. (9)

Из (8) и (9), тем самым, вытекает равенство:

𝑇𝑎𝑏 = 𝑇𝑎𝑇𝑏

Теперь коммутативность теплицевых операторов 𝑇𝑎 и 𝑇𝑏 следует из равенств:𝑇𝑏𝑇𝑎 = 𝑇𝑏𝑎 = 𝑇𝑎𝑏 = 𝑇𝑎𝑇𝑏. Теорема доказана.

Напомним, что 𝐶* алгебра 𝑀 , порожденная всеми теплицевыми операторами𝑇𝑎, где 𝑎 = 𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2) ∈ 𝐿∞(R+), коммутативна (см. следствие 1).

Пусть теперь 𝑆 — некоторое подпространство пространства 𝐿∞(C𝑛−1). Обо-значим через 𝑀(𝑆) унитальную алгебру, порожденную всеми, действующими впространстве 𝐴2

𝜆(𝐷𝑛), теплицевыми операторами 𝑇𝑏, где 𝑏 = 𝑏(𝑧′) ∈ 𝑆. В отличиеот алгебры 𝑀 , алгебра 𝑀(𝑆), вообще говоря, не является 𝐶*-алгеброй. 𝑀(𝑆)будет 𝐶*-алгеброй, если подпространство 𝑆 замкнуто относительно комлексногосопряжения.

Пусть Φ = ⟨𝑇𝑎, 𝑇𝑏⟩ – унитальная алгебра, порожденная всеми операторами𝑇𝑎 и 𝑇𝑏, где 𝑎 = 𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2) ∈ 𝐿∞(R+) и 𝑏 = 𝑏(𝑧′) ∈ 𝐿∞(C𝑛−1). Таким образом,алгебра Φ порождена двумя унитальными подалгебрами: 𝑀 и 𝑀(𝑆).

Из следствия 1 и теоремы 4 вытекает

Следствие 2. Алгебра Φ коммутативна тогда и только тогда, когда длякаждого 𝜉 ∈ R+ унитальная алгебра, порожденная теплицевыми операторами𝑇 2𝜉𝑏 с символами 𝑏 = 𝑏(𝑧′) ∈ 𝑆 и действующими в пространстве Фока 𝐹 2

2𝜉(C𝑛−1),будет коммутативной.

3. Коммутивность 𝐶*-алгебры теплицевых операторов со специаль-ными символами. Рассмотрим вопрос коммутативности алгебры Φ = ⟨𝑀,𝑀(𝑆)⟩для некоторых частных случаев алгебры 𝑆.

Введем оператор

𝑊 : 𝐿2(C𝑛−1)⊗ 𝐿2(R)⊗ 𝐿2(R+, 𝜂𝜆) → 𝐿2(C𝑛−1)⊗ 𝐿2(R)⊗ 𝐿2(R+, 𝜂𝜆),

действующий по правилу:

(𝑊𝜓)(𝑧, 𝜉, 𝑣) = (2|𝜉|)−𝑛+𝜆

2 𝜓

(𝑧√2|𝜉|

, 𝜉,𝑣

2|𝜉|

).

Непосредственная проверка показывает, что 𝑊 – унитарный и его сопряженный𝑊 * имеет вид:

(𝑊 *)(𝑦, 𝜇, 𝜈) = (𝑊−1𝜙)(𝑦, 𝜇, 𝜈) = (2|𝜇|)𝑛+𝜆𝜆 𝜙(𝑦

√2|𝜇|, 𝜇, 𝜈2|𝜇|).

Также рассмотрим оператор

𝑄0 : 𝑙2(Z𝑛−1+ , 𝐿2(R+) → 𝐿2(𝐷, 𝜂𝜆) = 𝐿2(C𝑛−1)⊗ 𝐿2(R)⊗ 𝐿2(R+, 𝜂𝜆),


действие которого происходит следующим образом:

𝑄0 : {𝐶𝛼(𝜉)}𝛼∈Z𝑛−1+

→ 𝜒+(𝜉)∑

𝛼∈Z𝑛−1+

𝐶𝛼(𝜉)𝑒𝛼(𝑧)𝑙0(𝑣),

где

𝑒𝛼(𝑧) = (𝜋𝑛−1𝛼!)12 𝑧𝛼e−

|𝑧|22 ∈ 𝐿2(C𝑛−1),

𝑙0(𝑣) =

(4

𝑐𝜆Γ(𝜆+ 1)

)1/2

e−𝑣2 ∈ 𝐿2(R+, 𝜂).

Что же касается функций 𝐶𝛼(𝜉), принадлежащих образу оператора 𝑄0, то ониявляются продолжением на все R соответствующих функций из области опреде-ления, именно, 𝐶𝛼(𝜉) = 0, если 𝜉 ∈ R ∖ R+.

Тогда сопряженный оператор

𝑄*0 : 𝐿2(𝐷, 𝜂𝜆) → 𝑙2(Z𝑛−1

+ , 𝐿2(R+))

действует по правилу :

𝑄*0 : 𝜙(𝑧, 𝜉, 𝑣) →

⎧⎪⎨⎪⎩𝜒+(𝜉)

∫C𝑛−1×R+

𝜙(𝑧, 𝜉, 𝑣)𝑒𝛼(𝑧)𝑙0(𝑣)𝜂𝜆(𝑣)𝑑𝜈(𝑧)𝑑𝑣

⎫⎪⎬⎪⎭𝛼∈Z𝑛−1

+

.

Положим𝑄 = 𝑄*

0𝑊𝑈1𝑈0 : 𝐿2(𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆) → 𝑙2(Z𝑛−1+ , 𝐿2(R+)).

Известно [10], что

𝑄|𝐴2𝜆(𝐷𝑛) : 𝐴

2𝜆(𝐷𝑛) → 𝑙2(Z𝑛−1

+ , 𝐿2(R+))

является изометрическим изоморфизмом соответствующих пространств, при этомимеют место равенства:

𝑄𝑄* = 𝐼 : 𝑙2(Z𝑛−1+ , 𝐿2(R+)) → 𝑙2(Z𝑛−1

+ , 𝐿2(R+)),

𝑄*𝑄 = 𝐵𝐷𝑛,𝜆: 𝐿2(𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆) → 𝐴2

𝜆(𝐷𝑛).

Лемма 2. Пусть функция 𝑑(𝜔) ∈ 𝐿∞(𝐷𝑛) имеет следующий вид

𝑑 = 𝑑(𝑧′, 𝑦𝑛 − |𝑧′|2),

где 𝑧 ∈ C𝑛−1, 𝑦𝑛 = Im𝜔𝑛. Тогда для теплицевого оператора 𝑇𝑑, действующего впространстве 𝐴2

𝜆(𝐷𝑛), имеет место соотношение:

𝑄𝑇𝑑𝑄* = 𝑄*

0𝑑

(𝑧√2|𝜉|

,𝑣

2|𝜉|

)𝑄0.


Доказательство. Непосредственно находим:

𝑄𝑇𝑑𝑄* = 𝑄𝐵𝐷𝑛,𝜆

𝑑𝐵𝐷𝑛,𝜆𝑄* = 𝑄(𝑄*𝑄)𝑑(𝑄*𝑄)𝑄* = (𝑄𝑄*)(𝑄𝑑𝑄*)(𝑄𝑄*) =

= 𝑄𝑑(𝑧′, 𝑦𝑛 − |𝑧′|2)𝑄* = 𝑄*0𝑊𝑈1𝑈0𝑑(𝑧

′, 𝑦𝑛 − |𝑧′|2)𝑈−10 𝑈−1

1 𝑊−1𝑄0 =

= 𝑄*0𝑊𝑈1𝑑(𝑧

′, 𝑣)𝑈−11 𝑊−1𝑄0 = 𝑄*

0𝑊𝑑(𝑧′, 𝑣)𝑊−1𝑄0 = 𝑄*0𝑑

(𝑧′√2|𝜉|

,𝑣

2|𝜉|

)𝑄0.

Лемма доказана.

Докажем теперь аналог теоремы 10.2 в [10] для квазипараболического сим-вола 𝑑 = 𝑑(𝑟, 𝑦𝑛 − |𝑧′|2) ∈ 𝐿∞(𝐷𝑛).

Теорема 5. Пусть символ

𝑑 = 𝑑(𝑟, 𝑦𝑛 − |𝑧′|2) ∈ 𝐿2(𝐷𝑛).

Тогда теплицевый оператор 𝑇𝑑, действующий в пространстве 𝐴2𝜆(𝐷𝑛), унитар-

но эквивалентен оператору умножения 𝛾𝑑𝐼, действующему в пространстве𝑙2(Z𝑛−1

+ , 𝐿2(R+)), именно,𝑄𝑇𝑑𝑄

* = 𝛾𝑑𝐼,

где 𝛾𝑑 = {𝛾𝑑(𝛼, 𝜉)}𝛼∈Z𝑛−1+

, 𝜉 ∈ R+, при этом элементы 𝛾𝑑(𝛼, 𝜉) имеют следую-щий вид:

𝛾𝑑(𝛼, 𝜉) =𝜒+(𝜉)

𝛼!Γ(𝜆+ 1)

∫R𝑛

+

𝑑

(√𝑟12𝜉, . . . ,

√𝑟𝑛−1

2𝜉,𝑣

2𝜉

)𝑟𝛼𝑒−(𝑣+𝑟1+···+𝑟𝑛−1)𝑣𝜆𝑑𝑟𝑑𝑣.

Доказательство. На основании леммы 2 достаточно показать, что

𝑄*0𝑑

(𝑟√2|𝜉|

,𝑣

2|𝜉|

)𝑄0 = 𝛾𝑑𝐼.

Непосредственно находим:

𝑄*0𝑑

(𝑟√2|𝜉|

,𝑣

2|𝜉|

)𝑄0{𝐶𝛽(𝜉)}𝛽∈Z𝑛−1

+=

= 𝑄*0

⎡⎢⎣𝑑( 𝑟√2|𝜉|

,𝑣

2|𝜉|

)𝜒+(𝜉)

∑𝛽∈Z𝑛−1

+

𝐶𝛽(𝜉)𝑒𝛽(𝑧)𝑙0(𝑣)

⎤⎥⎦ =

=

⎧⎪⎨⎪⎩𝜒+(𝜉)

∫C𝑛−1×R+

𝑒𝛼(𝑧)𝑙0(𝑣)

⎡⎢⎣ ∑𝛽∈Z𝑛−1

+

𝜒+(𝜉)𝑑

(𝑟√2|𝜉|

,𝑣

2|𝜉|

)𝐶𝛽(𝜉)𝑒𝛽(𝑧)𝑙0(𝑣)

⎤⎥⎦×

× 𝜂𝜆(𝑣)𝑑𝜈(𝑧)𝑑𝑣

}𝛼∈Z𝑛−1

+

=


=

⎧⎪⎨⎪⎩𝐶𝛼(𝜉)∫R𝑛

+

[𝜒+(𝜉)

𝛼!Γ(𝜆+ 1)𝑑

(√𝑟

2𝜉,𝑣

2𝜉

)𝑟𝛼e−(𝑣+𝑟1+···+𝑟𝑛−1)𝑣𝜆

]𝑑𝑟𝑑𝑣

⎫⎪⎬⎪⎭𝛼∈Z𝑛−1

+

=

= {𝛾𝑑(𝛼, 𝜉}𝛼∈Z𝑛−1+

{𝐶𝛼(𝜉)}𝛼∈Z𝑛−1+

.

Теорема доказана.Пусть

𝑑1 = 𝑑1(𝑦𝑛 − |𝑧′|2) ∈ 𝐿∞(R+)

и𝑑2 = 𝑑2(𝑟1, . . . , 𝑟𝑛−1) ∈ 𝐿∞(R𝑛−1

+ ).

Тогда, согласно теореме 5,𝑄𝑇𝑑1𝑄

* = 𝛾𝑑1(𝜉)𝐼,

где

𝛾𝑑1(𝜉) =𝜒+(𝜉)

Γ(𝜆+ 1)

∫R+

𝑑1

(𝑣

2|𝜉|

)e−𝑣𝑣𝜆𝑑𝑣

и𝑄𝑇𝑑2𝑄

* = 𝛾𝑑2(𝛼, 𝜉)𝐼,где 𝛾𝑑2(𝛼, 𝜉) = 𝜒+(𝜉)

𝛼!

∫R𝑛−1

+

𝑑2

(√𝑟12𝜉, . . . ,

√𝑟𝑛−1

2𝜉

)𝑟𝛼e−(𝑟1+···+𝑟𝑛−1)𝑑𝑟.

Отметим также, что𝛾𝑑1(𝜉) · 𝛾𝑑2(𝛼, 𝜉) =

=𝜒+(𝜉)

𝛼!

∫R𝑛

+

𝑑1

(𝑣

2|𝜉|

)𝑑2

(√𝑟12𝜉, . . . ,

√𝑟𝑛−1

2𝜉

)𝑟𝛼e−(𝑣+𝑟1+···+𝑟𝑛−1)𝑣𝜆𝑑𝑣𝑑𝑟 =

= 𝛾𝑑1𝑑2(𝛼, 𝜉).

Отсюда следует, что произведение теплицевых операторов 𝑇𝑑1 и 𝑇𝑑2 будетснова теплицевым оператором:

𝑇𝑑1𝑇𝑑2 = 𝑇𝑑1𝑑2 .

Из вышесказанного вытекает следующая

Теорема 6. Пусть

𝑆 = {𝑏 = 𝑏(𝑟1, . . . , 𝑟𝑛−1) ∈ 𝐿∞(R𝑛−1+ )}.

Тогда 𝐶*-алгебра Φ = ⟨𝑀,𝑀(𝑆)⟩ коммутативна и является подалгеброй алгеб-ры, порожденной теплицевыми операторами с квазипараболическими символа-ми вида

𝑑 = 𝑑(𝑟1, . . . , 𝑟𝑛−1, 𝑦𝑛 − |𝑧′|2).


Заключение.1. Пространство Бергмана 𝒜2

𝜆 (𝐷𝑛) в области Зигеля 𝐷𝑛 можно рассматри-вать (с точностью до изометрического изоморфизма) в виде прямого интеграла

⊕∫R+

𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

)𝑑𝜉

пространства Фока 𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

) (⊂ 𝐿2

(𝐶𝑛−1, 𝑑𝜈2𝜉

)).

2. 𝐶*-алгебра, порожденная теплицевыми операторами

𝑇𝑎 = 𝐵𝐷𝑛,𝜆𝑎𝐼 : 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛) → 𝒜2

𝜆 (𝐷𝑛)

с символами 𝑎 = 𝑎(𝑦𝑛 − |𝑧′|2

)∈ 𝐿∞ (R+), коммутативна.

3. Коммутативность алгебры, порожденной теплицевыми операторами 𝑇𝑎 и𝑇𝑏, где 𝑎 = 𝑎

(𝑦𝑛 − |𝑧′|2

)∈ 𝐿∞ (R+), 𝑏 = 𝑏 (𝑧′) ∈ 𝐿∞

(𝐶𝑛−1

), равносильна комму-

тативности алгебры, порожденной теплицевыми операторами 𝑇 2𝜉𝑏 , действующи-

ми в пространстве Фока 𝐹 22𝜉

(𝐶𝑛−1

), 𝜉 ∈ R+.

1. Vasilevski N. Commutative Algebras of Toeplitz Operators on the Bergman space /N. Vasilevski // Operator Theory: Advanced and Applications. – 2008. – Vol. 185, 417 p.

2. Quiroga-Barranco R. Commutative 𝐶*-algebra of Toeplitz operators on the unitball, I. Bargmann type transform and spectral representations of Toeplitz operators /R. Quiroda-Barranco, N. Vasilevski // Integral Equations and Operator Theory. – 2007.– Vol. 59, № 3. – P. 379–419.

3. Bekolle D. Reproducing properties and 𝐿𝑝-estimates for Bergman projections in Siegeldomains of tupe, II / D. Bekolle, Kagou Tomgoua // Studia Math. – 1995. – Vol. 115,№ 3. – P. 219–239.

4. Gindikin S. G. Analysis on homogeneous domain / S. G. Gindikin // Russian Math.Surv. – 1964. – Vol. 4, № 2. – P. 1–89.

5. Kornyi A. 𝐻2 spaces of generalized half-spaces / A. Koryi, E. M. Stein // StudiaMath. – 1972. – Vol. 44. – P. 379–388.

6. Berezin F. A. Covariant and contravariant symbols of operators / F. A. Berezin //Math. USSR Izvestia. – 1972. – № 6. – P. 1117–1151.

7. Fock V. A. Konfigurationstrum und zweite Quatelung / V. A. Fock // Z. Phys. – 1932.– Vol. 75. – P. 622–647.

8. Bargmann V. On a Hilbert space of analytic functions and an associated integraltranform / V. Bargmann // Comm. Pure Appl. Math. – 1961. – № 3. – P. 187–214.

9. Segal I. E. Lectures at the Summer Seminar on Appl. Math. / I. E. Segal. – Boulder,Colorado, 1960.

10. Vasilevski N. Parabolic Quasi-radial Quasi-homogeneous Symbol and CommutativeAlgebras of Toeplitz Operators / N. Vasilevski // Operator Theory: Advanced andApplications. – 2009. – Vol. 201. – P. 553–568.


Лисенко З. М.Алгебри, що породженi теплицевими операторами iз спецiальними символа-ми

Резюме

Розглядається ваговий простiр Бергмана 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛) (𝜆 > −1) в областi Зiгеля 𝐷𝑛, який

складається з аналiтичних функцiй простору 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆), де


(Im 𝑧𝑛 −

𝑧′2)𝜆

𝑑𝜈(𝑧), 𝑐𝜆 =Γ(𝑛+ 𝜆+ 1)


𝑑𝜈(𝑧) – стандартна мiра Лебега в C𝑛. Описана структура 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛). А саме, простiр

𝒜2𝜆 (𝐷𝑛) можна розглядати (з точнiстю до iзометричного iзоморфiзму 𝑅) у виглядi

прямого iнтегралу⊕∫

R+

𝐹 22𝜉


простору Фока 𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

), який скадається з аналiтичних функцiй простору 𝐿2


)(𝛼 = 2𝜉), де 𝑑𝜈𝛼 (𝑧′) =

(𝛼𝜋

)𝑛−1e−𝛼|𝑧′|2 𝑑𝜈 (𝑧′), 𝛼 ∈ R+, 𝑧′ ∈ C𝑛−1. Використовуючи

оператор 𝑅, доведено, що кожний теплицевий оператор 𝑇𝑎 iз спецiальним обмеженимсимволом 𝑎(𝑧) = 𝑎

(Im 𝑧𝑛 − |𝑧′|2

), який дiє у просторi 𝒜2

𝜆 (𝐷𝑛), унiтарно еквiвалентний

прямому iнтегралу вiд оператора множення 𝛾𝑎(𝜉)𝐼, що дiє в просторi Фока 𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

),

𝜉 ∈ R+. Функцiя 𝛾𝑎(𝜉) означається за формулою

𝛾𝑎(𝜉) =(2𝜉)𝜆+1

Γ(𝜆+ 1)

∫R+


Звiдси випливає, що 𝐶*-алгебра, яка породжена такими теплицевими операторами, ко-мутативна. Показано, що 𝐶*-алгебра, яка породжена теплицевими операторами 𝑇𝑎 i 𝑇𝑏,де


𝑧′2) ∈ 𝐿∞ (R+) , 𝑏 = 𝑏

(𝑧′)∈ 𝐿∞

(C𝑛−1) ,

комутативна тодi i лише тодi, коли для кожного 𝜉 ∈ R+ алгебра, яка породжена тепли-цевими операторами 𝑇 2𝜉

𝑏 , що дiють у просторi 𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

), комутативна.

Ключовi слова: простiр Бергмана, область Зiгеля, унiтарний оператор, спряженийоператор .

Lysenko Z. M.Algebras generated by Toeplitz operators with special symbols

Summary

We concider the weighted Bergman space 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛) (𝜆 > −1) in the Siegel domain 𝐷𝑛, which

consist of analytic functions of the space 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆), where


(Im 𝑧𝑛 −

𝑧′2)𝜆

𝑑𝜈(𝑧), 𝑐𝜆 =Γ(𝑛+ 𝜆+ 1)


𝑑𝜈(𝑧) – is standard Lebesgue measure in C𝑛. We discribe the structure of 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛). A jast

nemely, we can consider the space 𝒜2𝜆 (𝐷𝑛) (up to isometric isomorphism 𝑅) as a direct

integral⊕∫

R+

𝐹 22𝜉



of the Fock space 𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

), which consist of analytic functions of the space 𝐿2


)(𝛼 = 2𝜉), where 𝑑𝜈𝛼 (𝑧′) =

(𝛼𝜋

)𝑛−1e−𝛼|𝑧′|2 𝑑𝜈 (𝑧′), 𝛼 ∈ R+, 𝑧

′ ∈ C𝑛−1. Using the op-erator 𝑅, we prove that each Toeplitz operator 𝑇𝑎 with special bounded symbol 𝑎(𝑧) =

𝑎(Im 𝑧𝑛 − |𝑧′|2

), and acting on 𝒜2

𝜆 (𝐷𝑛), is unitary equivalent to the direct integral of the

multiplication operator 𝛾𝑎(𝜉)𝐼, acting on Fock space 𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

), 𝜉 ∈ R+. The function 𝛾𝑎(𝜉)

is given by formula

𝛾𝑎(𝜉) =(2𝜉)𝜆+1

Γ(𝜆+ 1)

∫R+


This implies that the 𝐶*-algebra generated by such operators is commutative. We show thatthe 𝐶*-algebra generated by Toeplitz operators 𝑇𝑎 and 𝑇𝑏, where


𝑧′2) ∈ 𝐿∞ (R+) , 𝑏 = 𝑏

(𝑧′)∈ 𝐿∞

(C𝑛−1) ,

is commutative if and only if for each 𝜉 ∈ R+ algebra generated by Toeplitz operator 𝑇 2𝜉𝑏 ,

acting on the space 𝐹 22𝜉

(C𝑛−1

), is commutative.

Key words: Bergman spaces, Siegel domain, the unitary operator, the adjoint operator.

References

1. Vasilevski, N. (2008). Commutative Algebras of Toeplitz Operators on the Bergman space.Operator Theory: Advanced and Applications. Vol. 185, 417 p.

2. Quiroga-Barranco, R., Vasilevski, N. (2007). Commutative 𝐶*-algebra of Toeplitzoperators on the unit ball, I. Bargmann type transform and spectral representationsof Toeplitz operators. Integral Equations and Operator Theory, Vol. 59, № 3, P. 379–419.

3. Bekolle, D., Kagou Tomgoua (1995). Reproducing properties and 𝐿𝑝-estimates forBergman projections in Siegel domains of tupe, II. Studia Math., Vol. 115, № 3, P.219–239.

4. Gindikin, S. G. (1964). Analysis on homogeneous domain. Russian Math. Surv., Vol. 4,№ 2, P. 1–89.

5. Kornyi, A., Stein, E. M. (1972). 𝐻2 spaces of generalized half-spaces. Studia Math., Vol.44, P. 379–388.

6. Berezin, F. A. (1972). Covariant and contravariant symbols of operators. Math. USSRIzvestia, № 6, P. 1117–1151.

7. Fock, V. A. (1932). Konfigurationstrum und zweite Quatelung. Z. Phys., Vol. 75, P.622–647.

8. Bargmann, V. (1961). On a Hilbert space of analytic functions and an associated integraltranform. Comm. Pure Appl. Math., № 3, P. 187–214.

9. Segal, I. E. (1960). Lectures at the Summer Seminar on Appl. Math. Colorado: Boulder.

10. Vasilevski, N. (2009). Parabolic Quasi-radial Quasi-homogeneous Symbol andCommutative Algebras of Toeplitz Operators. Operator Theory: Advanced andApplications, Vol. 201, P. 553–568.


УДК 517.9

А. А. ПлотнiковОдеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечникова

УЗАГАЛЬНЕННЯ ТЕОРЕМИ О. Ф. ФIЛIППОВА

В статтi введено поняття диференцiального включення зi змiнною розмiрнiстю, якеузагальнює звичайне диференцiальне включення та систему зi змiнною розмiрнiстю ди-ференцiальних включень та обґрунтовано можливiсть їх використання при дослiдженнiсистем керування зi змiнною розмiрнiстю. Системи керування зi змiнною розмiрнiстю цесистеми керування декiлькома об’єктами з послiдовним у часi режимом їх роботи. По-чатковий стан кожного наступного об’єкта залежить вiд кiнцевого стану попередньогооб’єкту, що об’єднує їх в єдину систему змiнної розмiрностi. Передбачається, що ко-жен об’єкт описується системою звичайних диференцiальних рiвнянь на iнтервалi йогодiї. При цьому довжини iнтервалiв заданi або невiдомi. Системи рiвнянь можуть матинеоднакову розмiрнiсть, можуть також змiнюватися розмiрнiсть керуючої функцiї таобмеження на її значення. В роботi дано означення розв’язку такого диференцiальноговключення та наведено їх основнi властивостi: умови iснування розв’язку, компактнiстьта опуклiсть перерiзу множини розв’язкiв, а також сформульовано та доведено аналогтеореми О. Ф. Фiлiппова.MSC: 34A60, 49J21, 49K21.Ключовi слова: диференцiйне включення, iснування, рiшення, змiнна розмiрнiсть, ке-рування .DOI: 10.18524/2519–206x.2019.1(33).175544.

Вступ. На початку 60-х рокiв з’явився цикл робiт T. Wazewski [1, 2] i О.Ф.Фiлiппова [3], в яких автори розглянули новий вид узагальнення диференцiаль-ного рiвняння - диференцiальне включення

�� ∈ 𝐹 (𝑡, 𝑥), 𝑥(0) = 𝑥0, (1)

та встановили зв’язок диференцiальних включень з системами керування

�� = 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑢), 𝑥(0) = 𝑥0, (2)

де 𝑥 ∈ 𝑅𝑛, 𝐹 : 𝑅 × 𝑅𝑛 → 𝑐𝑜𝑛𝑣(𝑅𝑛) – множинно-значне вiдображення, 𝑢 ∈ 𝑈 ∈𝑐𝑜𝑛𝑣(𝑅𝑘) – вектор керування, 𝑓 : 𝑅 × 𝑅𝑛 × 𝑅𝑘 → 𝑅𝑛. Очевидно, якщо 𝐹 (𝑡, 𝑥) ≡{𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑢) : 𝑢 ∈ 𝑈}, то замiсть системи (2) можна розглядати систему (1). Таксамо можна записати диференцiальне включення (1) у виглядi диференцiальногорiвняння, яке мiстить керування (2). При цьому важливу роль вiдiграє теоремаБ.М. Макарова [4]. Тобто дослiдження керовоної системи можливо проводити,як у виглядi системи (2) так i у виглядi системи (1).

На теперiшнiй час теорiя диференцiальних включень досить добре сформу-валася i продовжує iнтенсивно розвиватися. Так же як i в теорiї диференцiаль-них рiвнянь були отриманi результати, пов’язанi з iснуванням, продовженням таобмеженiстю розв’язку, неперервної залежностi вiд початкових умов i параметрiвта iн. В той же час у диференцiального включення з кожної початкової точки

Надiйшла 22.04.2019 c○Плотнiков А. А., 2019

Узагальнення теореми О. Ф. Фiлiппова 43

виходить вже цiле сiмейство траєкторiй. Ця множинно-значнiсть породжує своїспецифiчнi питання, такi, як замкнутiсть, опуклiсть сiмейства розв’язкiв, iсну-вання граничних розв’язкiв, видiлення розв’язкiв iз заданими властивостями табагато iнших питань [5–7].

На практицi нерiдко виникають задачi керування декiлькома об’єктами зпослiдовним у часi режимом їх роботи. Початковий стан кожного наступногооб’єкта залежить вiд кiнцевого стану попереднього, що об’єднує їх в єдину си-стему змiнної розмiрностi тому, що кожен об’єкт описується системою звичай-них диференцiальних рiвнянь на iнтервалi його дiї, якi можуть мати неоднаковурозмiрнiсть. При цьому довжини iнтервалiв можуть бути заданi або невiдомi, атакож може змiнюватися розмiрнiсть функцiї керування i обмеження на її зна-чення, тобто

1) якщо моменти часу змiни фазового простору фiксованi

��𝑖 = 𝑓𝑖(𝑡, 𝑥𝑖, 𝑢𝑖), 𝑡 ∈ [𝜏𝑖, 𝜏𝑖+1), 𝑖 = 0, ...,𝑚, (3)

𝑥0(0) = 𝑥0, 𝑥𝑖(𝜏𝑖) = 𝜑𝑖(𝑥𝑖−1(𝜏𝑖 − 0)), 𝑖 = 1, ...,𝑚, (4)

2) якщо моменти часу змiни фазового простору залежать вiд фазового ве-ктору

��𝑖 = 𝑓𝑖(𝑡, 𝑥𝑖, 𝑢𝑖), 𝑡 ∈ [𝜏𝑖(𝑥𝑖−1), 𝜏𝑖+1(𝑥𝑖)), 𝑖 = 0, 1, ..., (5)

𝑥0(0) = 𝑥0, 𝑥𝑖(𝜏𝑖) = 𝜑𝑖(𝑥𝑖−1(𝜏𝑖 − 0)), 𝑖 = 1, 2, ..., (6)

де 𝑥𝑖(𝑡) ∈ 𝑅𝑛𝑖 , 𝑢𝑖(𝑡) ∈ 𝑈𝑖 ∈ 𝑐𝑜𝑛𝑣(𝑅𝑘𝑖) – керування, 𝑓𝑖 : [𝜏𝑖, 𝜏𝑖+1)×𝑅𝑛𝑖 ×𝑅𝑘𝑖 → 𝑅𝑛𝑖 ,𝜑𝑖 : 𝑅

𝑛𝑖−1 → 𝑅𝑛𝑖 , 𝜏0(𝑥−1) = 0.Такi системи розглядаються в математичнiй теорiї оптимального керуван-

ня i мають рiзнi назви: задача оптимiзацiї зi змiною фазового простору - В.Г.Болтянский [8], I.С. Максимова, В.М. Розова [9], ступеневi системи - В.О. Мє-двєдев, В.М. Розова [10], В.М. Розова [11], Г.К. Захаров [12], Ш.Ф. Магеррамов,К.Б. Мансiмов [13], системи зi змiнною структурою - М.С. Нiкольский [14, 15],Т.А. Тадумадзе, Н.М. Авалiшвiлi [16], Г.Л. Харатiшвiлi [17], з поетапно змiн-ною динамiкою - В.Р. Барсегян [18], Є.Л. Єрьомiн [19], складенi системи - В.В.Велiченко, Л.Т. Ащепков [20], системи змiнної розмiрностi - О.Д. Кiчмаренко,А.А. Плотнiков [21, 22]. У роботах В.Г. Гребеннiкова [23], О.М. Кирилова [24],Є.Л. Єрьомiна [19] розглянуто застосування даних систем в економiцi, екологiї,робототехнiцi, авiабудуваннi, електроенергетицi, технiчних i хiмiчних системахтощо. Також до таких систем зводяться керованi процеси виникнення i розвиткуоб’єктiв, диференцiйованих по моменту створення О.В.Романенко, О.В. Федосе-єв [25], керованi гiбриднi системи P.I. Barton, Ch.K. Lee [26], W.M. Haddad, V.S.Chellaboina, S.G. Nersesov [27].

Зрозумiло, що замiсть розгляду систем (3),(4) та (5),(6) можно розглядатинаступнi системи зi змiнною розмiрнiстю диференцiальних включень

��𝑖 ∈ 𝐹𝑖(𝑡, 𝑥𝑖), 𝑡 ∈ [𝜏𝑖, 𝜏𝑖+1), 𝑖 = 0, ...,𝑚, (7)

𝑥0(0) = 𝑥0, 𝑥𝑖(𝜏𝑖) = 𝜑𝑖(𝑥𝑖−1(𝜏𝑖 − 0)), 𝑖 = 1, ...,𝑚, (8)

та��𝑖 ∈ 𝐹𝑖(𝑡, 𝑥𝑖), 𝑡 ∈ [𝜏𝑖(𝑥𝑖−1), 𝜏𝑖+1(𝑥𝑖)), 𝑖 = 0, 1, ..., (9)

44 Плотнiков А. А.

𝑥0(0) = 𝑥0, 𝑥𝑖(𝜏𝑖) = 𝜑𝑖(𝑥𝑖−1(𝜏𝑖 − 0)), 𝑖 = 1, 2, ..., (10)

де 𝐹𝑖(𝑡, 𝑥𝑖) ≡ {𝑓𝑖(𝑡, 𝑥𝑖, 𝑢𝑖) : 𝑢𝑖 ∈ 𝑈𝑖}. Систему (7),(8) було розглянуто в роботах[28,29].

Далi зробимо деякi припущення та введемо необхiднi означення, що дастьможливiсть розглянути новий тип диференцiальних включень - диференцiаль-не включення зi змiнною розмiрнiстю, яке узагальнює звичайнi диференцiальнiвключеня та систему зi змiнною розмiрнiстю диференцiальних включень (7),(8).

Основнi результати. Нехай 𝜃 > 0 є довiльне дiйсне число. Позначимочерез Σ𝜃 множину функцiй 𝑛(·) : 𝑅+ → 𝑁 , якi вiдповiдають наступним умовам:

1) 𝑛(·) – кусково-сталi i кусково-неперервнi справа;2) якщо 𝑛(𝑡− 0)− 𝑛(𝑡) = 0, то 𝑛(𝜏)− 𝑛(𝑡) = 0 для всiх 𝜏 ∈ [𝑡, 𝑡+ 𝜃].

Вiзьмемо довiльну функцiю 𝑛(·) ∈ Σ𝜃.Очевидна справедливiсть наступної леми.

Лема 1. Для будь якої функцiї 𝑛(·) ∈ Σ𝜃 пiввiсь 𝑅+ можна розбити небiльше нiж на злiчену кiлькiсть множин 𝐼𝑖 = [𝑡𝑖, 𝑡𝑖+1), 𝑖 = 0, 1, ... таких, що𝑅+ =

⋃𝑖 𝐼𝑖 та 𝐼𝑖

⋂𝐼𝑗 = ∅, якщо 𝑖 = 𝑗, де 𝑛(𝑡)− 𝑛(𝑡𝑖) = 0 для всiх 𝑡 ∈ 𝐼𝑖.

Вiзьмемо довiльну функцiю 𝑛(·) ∈ Σ𝜃. Позначимо через Φ𝑛 множину функцiй𝜑(𝑡, 𝑥), якi вiдповiдають функцiї 𝑛(·) ∈ Σ𝜃 та таких, що

𝜑(𝑡, 𝑥) =

⎧⎨⎩ 𝑥, 𝑛(𝑡− 0) = 𝑛(𝑡),

𝜓𝑡(𝑥), 𝑛(𝑡− 0) = 𝑛(𝑡),

де 𝜓𝑡 : 𝑅𝑛(𝑡−0) → 𝑅𝑛(𝑡) - неперервна функцiя.Наприклад, 𝜓𝑡(𝑥) = 𝑀(𝑛(𝑡))𝑥, де 𝑀(𝑛(𝑡)) = (𝑚𝑖𝑗)

𝑛(𝑡),𝑛(𝑡−0)𝑖=1,𝑗=1 матриця розмiр-

ностi 𝑛(𝑡) × 𝑛(𝑡 − 0), яка належить деякiй множинi 𝑀 = {(𝑚𝑖𝑗)𝑘,𝑙𝑖=1,𝑗=1}

∞,∞𝑘=1,𝑙=1

матриць розмiрностей (𝑘 × 𝑙), 𝑘 = 1, 2, ..., 𝑙 = 1, 2, ... .

Вiзьмемо довiльну функцiю 𝜑(·, ·) ∈ Φ𝑛.

Означення 1. Функцiю 𝑥(·, 𝑛, 𝜑) будемо називати функцiєю зi змiнною роз-мiрнiстю, якщо 𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑) ∈ 𝑅𝑛(𝑡) для всiх 𝑡 ≥ 0 та 𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑) = 𝜑(𝑡, 𝑥(𝑡 − 0, 𝑛, 𝜑)для всiх 𝑡 > 0.

Означення 2. Функцiя 𝑥(·, 𝑛, 𝜑) зi змiнною розмiрнiстю називається куско-во-неперервною на iнтервалi (𝑡′, 𝑡′′) ⊂ 𝑅+, якщо вона неперервна в точках 𝑡 ∈(𝑡′, 𝑡′′), де 𝑛(𝑡) − 𝑛(𝑡 − 0) = 0 та неперервна справа в точках 𝑡 ∈ (𝑡′, 𝑡′′), де𝑛(𝑡)− 𝑛(𝑡− 0) = 0.

Зауваження 1. Аналогiчно можна ввести означення вимiрностi, диферен-цiйованостi, iнтегрованостi та лiпшицевостi функцiї 𝑥(·, 𝑛, 𝜑).

Означення 3. Множинно-значне вiдображення 𝐹 (·, 𝑛) будемо називати вiд-ображенням зi змiнною розмiрнiстю, якщо має мiсце наступне включення 𝐹 (𝑡, 𝑛)⊂ 𝑅𝑛(𝑡) для всiх 𝑡 ∈ 𝑅+.


Означення 4. Множинно-значне вiдображення 𝐹 (·, 𝑛) зi змiнною розмiр-нiстю називається кусково-неперервним на iнтервалi (𝑡′, 𝑡′′) ⊂ 𝑅+, якщо вононеперервне в точках 𝑡 ∈ (𝑡′, 𝑡′′), де 𝑛(𝑡) − 𝑛(𝑡 − 0) = 0, та неперервне справа вточках 𝑡 ∈ (𝑡′, 𝑡′′), де 𝑛(𝑡)− 𝑛(𝑡− 0) = 0.

Тепер розглянемо наступне диференцiальне включення зi змiнною розмiрнi-стю

�� ∈ 𝐹 (𝑡, 𝑥, 𝑛), 𝑥(0, 𝑛, 𝜑) = 𝑥0, (11)

де 𝑡 ∈ 𝑅+ – час; 𝑛(·) ∈ Σ𝜃; 𝜑(·, ·) ∈ Φ𝑛; 𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑) - фазовий вектор; 𝐹 (𝑡, 𝑥, 𝑛) : 𝑅+×𝑅𝑛(𝑡) → 𝑐𝑜𝑛𝑣(𝑅𝑛(𝑡)) - множинно-значне вiдображення зi змiнною розмiрнiстю,𝑥0 ∈ 𝑅𝑛(0).

Зауваження 2. Якщо 𝑛(𝑡) ≡ 𝑛, то система (11) буде звичайним диферен-цiальним включенням.

Припущення 1.Нехай функцiя 𝑛(·) обмежена сталою 𝑛 > 0 для всiх 𝑡 ≥ 0.

Зауваження 3. Припущення 1 не дає зростання розмiрностi на нескiнчен-ностi до нескiнченностi (ця умова може бути не обов’язковою, якщо система(11) розглядається на скiнченному промiжку.)

Позначимо через 𝑄𝑖 = { (𝑡, 𝑥) : 𝑡 ∈ 𝐼𝑖, 𝑥 ∈ 𝑅𝑛(𝑡)}, де 𝐼𝑖 = [𝜏𝑖, 𝜏𝑖+1) вiдповiда-ють лемi 1.

Означення 5. Кусково-неперервна функцiя 𝑥(·, 𝑛, 𝜑) називається розв’яз-ком системи (11) на вiдрiзку [0, 𝑇 ], якщо

1) ��(𝑡, 𝑛, 𝜑) ∈ 𝐹 (𝑡, 𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑), 𝑛) для майже всiх 𝑡 ∈ (0, 𝑇 ),2) 𝑥(0, 𝑛, 𝜑) = 𝑥0;3) 𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑) = 𝜑(𝑡, 𝑥(𝑡− 0, 𝑛, 𝜑)) для всiх 𝑡 ∈ (0, 𝑇 ].

Теорема 1. [30] Якщо для 𝜃 > 0 вiдображення 𝑛(·) ∈ Σ𝜃, 𝜑(·) ∈ Φ𝑛 тавиконуються умови:

a) 𝐹 (·, 𝑥, 𝑛) - кусково-неперервне по 𝑡 на 𝑅+;b) 𝐹 (𝑡, ·, 𝑛) - лiпшицеве зi сталою 𝐿 по 𝑥 на 𝑄𝑖, 𝑖 = 0, 1, ...;c) iснує така стала 𝐾 > 0, що ℎ𝑛(𝑡)(𝐹 (𝑡, 𝑥, 𝑛), {0}𝑛(𝑡)) ≤ 𝐾 для всiх (𝑡, 𝑥) ∈

𝑄𝑖, 𝑖 = 0, 1, ..., де ℎ𝑛(𝑡)(𝐴,𝐵) – метрiка Хаусдорфа у просторi 𝑐𝑜𝑚𝑝(𝑅𝑛(𝑡)).Тодi на деякому промiжку [0, 𝑇 ] система (11) має розв’язок 𝑥(·, 𝑛, 𝜑).

Зауваження 4. Очевидно, якщо на кожному промiжку 𝐼𝑖 = [𝜏𝑖, 𝜏𝑖+1), 𝑖 =0,𝑚, виконується умова 𝐹 (𝑡, 𝑥, 𝑛) ≡ 𝐹𝑖(𝑡, 𝑥), то розв’язок системи (11) на про-мiжку [0, 𝑇 ] буде розв’язоком системи (7),(8) на промiжку [0, 𝑇 ] та навпаки.

Позначимо через 𝑋(𝑡, 𝑛, 𝜑) перерiз множини розв’язкiв системи (11) в моментчасу 𝑡 ≥ 0.

Теорема 2. [30] Якщо для 𝜃 > 0 i вiдображення 𝑛(·) ∈ Σ𝜃, 𝜑(·) ∈ Φ𝑛 таa) 𝐹 (·, 𝑥, 𝑛) - кусково-неперервне по 𝑡 на [0, 𝑇 ];b) 𝐹 (𝑡, ·, 𝑛) - лiпшицеве зi сталою 𝐿 по 𝑥 на 𝑄𝑖, 𝑖 = 0, 1, ...,𝑚;c) iснує така стала 𝐾 > 0, що ℎ𝑛(𝑡)(𝐹 (𝑡, 𝑥, 𝑛), {0}𝑛(𝑡)) ≤ 𝐾 для всiх (𝑡, 𝑥) ∈

𝑄𝑖, 𝑖 = 0, 1, ...,𝑚.

Тодi 𝑋(𝑡, 𝑛, 𝜑) ∈ 𝑐𝑜𝑚𝑝(𝑅𝑛(𝑡)) для всiх 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], де 𝑚 таке, що𝑚⋃𝑖=0

𝐼𝑖 = [0, 𝑇 ].


Тепер сформулюємо i доведемо аналог теореми О.Ф. Фiлiппова.

Теорема 3. Якщо для 𝜃 > 0 i вiдображення 𝑛(·) ∈ Σ𝜃, 𝜑(·) ∈ Φ𝑛 таa) 𝐹 (·, 𝑥, 𝑛) - кусково-неперервне по 𝑡 на [0, 𝑇 ];b) 𝐹 (𝑡, ·, 𝑛) - лiпшицеве зi сталою 𝐿 по 𝑥 на 𝑄𝑖, 𝑖 = 0, 1, ...,𝑚;c) iснує така стала 𝐾 > 0, що ℎ𝑛(𝑡)(𝐹 (𝑡, 𝑥, 𝑛), {0}𝑛(𝑡)) ≤ 𝐾 для всiх (𝑡, 𝑥) ∈

𝑄𝑖, 𝑖 = 0, 1, ...,𝑚.d) iснує стала 𝜇 > 0 така, що для всiх 𝜏𝑖 та будь яких 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑄𝑖−1

‖𝜑(𝜏𝑖, 𝑥1)− 𝜑(𝜏𝑖, 𝑥2)‖𝑅𝑛(𝜏𝑖) ≤ 𝜇 ‖𝑥1 − 𝑥2‖𝑅𝑛(𝜏𝑖−0) ;

e) 𝑦(·, 𝑛, 𝜑) - кусково-неперервна функцiя на [0, 𝑇 ] така, що

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑛(𝑡)(��(𝑡, 𝑛, 𝜑), 𝐹 (𝑡, 𝑦(𝑡, 𝑛, 𝜑), 𝑛)) ≤ 𝜌(𝑡)

майже для всiх 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ], де 𝜌(·) – сумовна функцiя на [0, 𝑇 ], 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑛(𝑡)(𝑎,𝐵) =

min𝑏∈𝐵

‖𝑎− 𝑏‖𝑅𝑛(𝑡) , 𝑎 ∈ 𝑅𝑛(𝑡), 𝐵 ∈ 𝑐𝑜𝑛𝑣(𝑅𝑛(𝑡)), ‖𝑎− 𝑏‖𝑅𝑛(𝑡) – евклiдова метрика у

просторi 𝑅𝑛(𝑡);f) ‖𝑦(0, 𝑛, 𝜑)− 𝑥0‖𝑅𝑛(0) ≤ 𝛿.Тодi iснує розв’язок системи (11) такий, що

‖𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝑡, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(𝑡) ≤ 𝜆(𝑡)𝛿𝑒𝐿𝑡 + 𝜆(𝑡)𝑒(𝑡)

∫ 𝑡

0

𝑒𝐿(𝑡−𝑠)𝜌(𝑠)𝑑𝑠,

де 𝜆(𝑡) =

⎧⎨⎩ 1, 𝜇 ∈ (0, 1]

𝜇𝑖(𝑡), 𝜇 > 1, 𝑒(𝑡) =

⎧⎨⎩ 1, 𝑡 ∈ [0, 𝜏1]

𝑒𝐿(𝑡−𝜏1), 𝑡 ∈ (𝜏1, 𝑇 ], 𝑖(𝑡) - кiлькiсть

точок 𝜏𝑖 на промiжку [0, 𝑡].

Доведення. Згiдно теореми 1 розв’язок системи (11) iснує на деякому про-мiжку [0, 𝑇 ]. Тодi згiдно леми 1 iснує деяке 𝑚 ≥ 0 та 𝐼𝑖 = [𝜏𝑖, 𝜏𝑖+1), 𝑖 = 0,𝑚,якi задовольняють умовам леми 1. Тодi згiдно теореми О.Ф. Фiлiппова [5–7] накожному промiжку 𝐼𝑖 = [𝜏𝑖, 𝜏𝑖+1), 𝑖 = 0,𝑚 маємо

‖𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝑡, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(𝜏𝑖) ≤

≤ ‖𝑥(𝜏𝑖, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝜏𝑖, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(𝜏𝑖) 𝑒𝐿(𝑡−𝜏𝑖) +

∫ 𝑡

𝜏𝑖


для всiх 𝑡 ∈ [𝜏𝑖, 𝜏𝑖+1).Оцiнимо ‖𝑥(𝜏1, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝜏1, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(𝜏1) .Оскiльки для всiх 𝑡 ∈ [0, 𝜏1)

‖𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝑡, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(0) ≤ 𝛿𝑒𝐿𝑡 +

∫ 𝑡

0


то‖𝑥(𝜏1, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝜏1, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(𝜏1) =

= ‖𝜑(𝜏1, 𝑥(𝜏1 − 0, 𝑛, 𝜑))− 𝜑(𝜏1, 𝑦(𝜏1 − 0, 𝑛, 𝜑))‖𝑅𝑛(𝜏1) ≤


≤ 𝜇 ‖𝑥(𝜏1 − 0, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝜏1 − 0, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(0) ≤ 𝛿𝑒𝐿𝜏1 +

∫ 𝜏1

0

𝑒𝐿(𝜏1−𝑠)𝜌(𝑠)𝑑𝑠.

Тодi для всiх 𝑡 ∈ [𝜏1, 𝜏2) маємо:

‖𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝑡, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(𝜏1) ≤

≤ 𝜇𝛿𝑒𝐿𝜏1𝑒𝐿(𝑡−𝜏1) + 𝜇𝑒𝐿(𝑡−𝜏1)∫ 𝜏1

0

𝑒𝐿(𝜏1−𝑠)𝜌(𝑠)𝑑𝑠+

∫ 𝑡

𝜏1

𝑒𝐿(𝑡−𝑠)𝜌(𝑠)𝑑𝑠 ≤

≤ 𝜆(𝑡)𝛿𝑒𝐿𝑡 + 𝜆(𝑡)𝑒𝐿(𝑡−𝜏1)(∫ 𝜏1

0


∫ 𝑡

𝜏1

𝑒𝐿(𝑡−𝑠)𝜌(𝑠)𝑑𝑠

)=

= 𝜆(𝑡)𝛿𝑒𝐿𝑡 + 𝜆(𝑡)𝑒𝐿(𝑡−𝜏1)∫ 𝑡

0

𝑒𝐿(𝑡−𝑠)𝜌(𝑠)𝑑𝑠.

Отже, для 𝑡 = 𝜏2 отримаємо

‖𝑥(𝜏2, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝜏2, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(𝜏2) =

= ‖𝜑(𝜏2, 𝑥(𝜏2 − 0, 𝑛, 𝜑))− 𝜑(𝜏2, 𝑦(𝜏2 − 0, 𝑛, 𝜑))‖𝑅𝑛(𝜏2) ≤≤ 𝜇 ‖𝑥(𝜏2 − 0, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝜏2 − 0, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(𝜏1) ≤

≤ 𝜇𝜆(𝜏1)𝛿𝑒𝐿𝜏2 + 𝜇𝜆(𝜏1)𝑒

𝐿(𝜏2−𝜏1)∫ 𝜏2

0

𝑒𝐿(𝜏2−𝑠)𝜌(𝑠)𝑑𝑠 ≤

≤ 𝜆(𝜏2)𝛿𝑒𝐿𝜏2 + 𝜆(𝜏2)𝑒

𝐿(𝜏2−𝜏1)∫ 𝜏2

0

𝑒𝐿(𝜏2−𝑠)𝜌(𝑠)𝑑𝑠.

Тодi для всiх 𝑡 ∈ [𝜏2, 𝜏3) маємо:

‖𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝑡, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(𝜏2) ≤

≤ 𝜆(𝑡)𝛿𝑒𝐿𝜏2𝑒𝐿(𝑡−𝜏2) + 𝜆(𝑡)𝑒𝐿(𝑡−𝜏2)𝑒𝐿(𝜏2−𝜏1)∫ 𝜏2

0


∫ 𝑡

𝜏2

𝑒𝐿(𝑡−𝑠)𝜌(𝑠)𝑑𝑠 ≤

= 𝜆(𝑡)𝛿𝑒𝐿𝑡 + 𝜆(𝑡)𝑒𝐿(𝑡−𝜏1)∫ 𝑡

0


Далi, використовуючи метод математичної iндукцiї, одержимо, що для всiх𝑡 ∈ [0, 𝑇 ]:

‖𝑥(𝑡, 𝑛, 𝜑)− 𝑦(𝑡, 𝑛, 𝜑)‖𝑅𝑛(𝑡) ≤ 𝜆(𝑡)𝛿𝑒𝐿𝑡 + 𝜆(𝑡)𝑒(𝑡)

∫ 𝑡

0


Теорему доведено.

Зауваження 5. Якщо на промiжку [0, 𝑇 ] система (11) має постiйну роз-мiрнiсть, то 𝜆(𝑡) = 𝑒(𝑡) = 1 i таким чином отримаємо оцiнку з теореми О.Ф.Фiлiппова для звичайних диференцiальних включень.

Висновки. В статтi введено диференцiальне включення зi змiнною розмiр-нiстю, яке узагальнює систему зi змiнною розмiрнiстю диференцiальних вклю-чень (7),(8) та звичайне диференцiальне включення. Дано означення розв’язкута наведено їх основнi властивостi: умови iснування розв’язку, компактнiсть таопуклiсть перерiзу множини розв’язкiв, а також доведено аналог теореми О. Ф.Фiлiппова.


1. Wazewski T. Systemes de comande et equations au contingent / T. Wazewski // Bull.Acad. Polon. Sci. Ser. sci. math., astron. et phys. – 1961. – Vol.9, № 3. – P. 151 – 155.

2. Wazewski T. Sur une condition equvalente l’equation an contingent / T. Wazewski //Bull. Acad. Polon. Sci. Ser.sci. math., astr. et phys. – 1961. – Vol.9, № 12. – P. 865 –867.

3. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования / А.Ф. Филиппов // Вестник МГУ, сер. Матем., мех. – 1959. – №2. – С. 25–32.

4. Гелиг А.Х. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием рав-новесия / А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович // М.: Наука. – 1978. – 400 с.

5. Aubin J.-P. Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory / J.-P. Aubin,A. Cellina // Berlin: Springer-Verlag. – 1984 – 341 p.

6. Плотников В.А. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью.Асимптотические методы / В.А. Плотников, А.В. Плотников, А.Н. Витюк // Одес-са: Астропринт. – 1999. – 356 с.

7. Половинкин Е. С. Многозначный анализ и дифференциальные включения / Е.С.Половинкин // М.: Физматлит. – 2014. – 597 с.

8. Болтянский В. Г. Задача оптимизации со сменой фазового пространства / В. Г.Болтянский // Дифференц. уравн. – 1983. – Т. 19, №3. – С. 519–521.

9. Максимова И. С. Условия управляемости в задаче со сменой фазового пространс-тва / И. С. Максимова, В. Н. Розова // Вестник ТГУ. – 2011. – Т. 16, вып. 4. – С.1118–1119.

10. Медведев В. А. Оптимальное управление ступенчатыми системами / В. А. Ме-дведев, В. Н. Розова // Автоматика и телемеханика. – 1972. – Т.3. – С. 15-23.

11. Розова В. Н. Оптимальное управление ступенчатыми системами / В. Н. Роз-ова // Вестник Российского Университета Дружбы Народов. Серия: Физико-Математические Науки. – 2006. – №1. – С. 27–32.

12. Захаров Г. К. Оптимизация ступенчатых систем управления / Г. К. Захаров //Автоматика и телемехан. – 1981. – № 8. – С. 5–9.

13. Магеррамов Ш. Ф. Оптимизация одного класса дискретных ступенчатых системуправления / Ш. Ф. Магеррамов, К. Б. Мансимов // Ж. вычисл. матем. и матем.физ. – 2001. – Т. 41, № 3. – С. 360–366.

14. Никольский М. С. Линейные дифференциальные игры с переменной структурой/ М. С. Никольский // Доклады АН СССР. – 1984. – Т. 276, № 4. – С. 791–794.

15. Никольский М. С. Об одной вариационной задаче с переменной структурой / М.С. Никольский // Вестн. МГУ. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. – 1987. – №1. – С. 36–41.

16. Тадумадзе Т. А. Регулярные возмущения в оптимальных задачах с переменнойструктурой / Т. А. Тадумадзе, Н. М. Авалишвили // Оптимальные задачи в систе-мах с переменной структурой. – 1985. – Тбилиси. – С. 100–154.

17. Харатишвили Г. Л. Полиатомические оптимальные системы / Г. Л. Харатишвили// Оптимальные задачи в системах с переменной структурой. Тбилиси. – 1985. – С.3–47.

18. Барсегян В. Р. О задаче оптимального управления поэтапно меняющимися линей-ными системами с фазовыми ограничениями в промежуточные моменты времени/ В. Р. Барсегян // Ученые записки ЕГУ. – 2002. – №1. – С.118–119.


19. Еремин Е. Л. Адаптивное управление динамическим объектом на множестве со-стояний функционирования / Е. Л. Еремин // Адаптивное и робастное управление.– 2012. – №4(34). – С. 107–118.

20. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление. Курс лекций / Л. Т. Ащепков, В. В.Величенко // Владивосток: Изд-во Дальневост. Ун-та. – 1989. – 116 с.

21. Кiчмаренко О.Д. Системи лiнiйних керованих диференцiйних рiвнянь зi змiнноюрозмiрнiстю / О.Д. Кiчмаренко, А.А. Плотнiков // Дослiдження в математицi iмеханiцi. - 2018. - Т. 23. - N 1(31) - C. 52–67.

22. Kichmarenko O. D. The Averaging of Control Linear Differential Equations with Vari-able Dimension on Finite Interval / O. D. Kichmarenko, A. A. Plotnikov // InternationalJournal of Sensing, Computing and Control. – 2015. – Vol. 5, №1. – P. 25–35.

23. Гребенников В. Г. Оптимальный выбор траектории развития и принцип непре-рывности планирования / В. Г. Гребенников // В сб.: Методологические пробле-мы анализа долгосрочных социально-экономических процессов. Труды ВНИИСИ.– 1979. – вып. 9. – С. 3–15.

24. Кириллов А. Н. Метод динамической декомпозиции в моделировании системуправления со структурными изменениями / А. Н. Кириллов // Моделированиесистем и процессов. – 2009. – № 1. – С. 20–24.

25. Романенко А. В. Оптимальное управление экономическими системами с возра-стной структурой / А. В. Романенко, А. В. Федосеев // Журнал вычислит. мат. иматем. физики. – 1993. – Т.33, №8. – С. 1155–1165.

26. Barton P. I. Modeling, simulation, sensitivity analysis, and optimization of hybridsystems / P. I. Barton, Ch. K. Lee // ACM Trans. on Model. and Comput. Simul. –2002. – Vol. 12, №4. – P. 256–289.

27. Haddad W. M. Impulsive and hybrid dynamical systems / W. M. Haddad, V. S.Chellaboina, S. G. Nersesov // Princeton: Princeton University Press. – 2008.

28. Плотников А. А. Пошаговое усреднение линейных дифференциальных включе-ний переменной размерности на конечном интервале / А. А. Плотников // Нелiнiйнiколивання. – 2017. – Т. 20, №2. – С. 211–227.

29. Kichmarenko O. D. The Averaging of Linear Differential Inclusions with VariableDimension on Finite Interval /O. D. Kichmarenko, A. A. Plotnikov // InternationalJournal of Nonlinear Science. – 2015. – Vol. 20, №2. – P. 67–78.

30. Кичмаренко О. Д. Нелинейные дифференциальные включения с переменной ра-змерностью / О.Д. Кичмаренко, А.А. Плотников // Вiсник Од. нац. ун-ту. Мат. iмех. – 2013. – Т.18, вип. 2(18). – С. 29–34


Плотников А. А.Обобщение теоремы А. Ф. Филиппова

Резюме

В статье введено понятие дифференциального включения с переменной размерностью,которое обобщает обычное дифференциальное включение и систему с переменной раз-мерностью дифференциальных включений и обоснована возможность их использова-ния при исследовании систем управления с переменной размерностью. Системы управ-ления с переменной размерностью это системы управления несколькими объектами споследовательным во времени режимом их работы. Исходное состояние каждого следу-ющего объекта зависит от конечного состояния предыдущего объекта, что объединяетих в единую систему переменного размерности. Предполагается, что каждый объектописывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале егодействия. При этом длины интервалов заданные или неизвестны. Системы уравнениймогут иметь неодинаковую размерность, могут также меняться размерность управляю-щей функции и ограничения на ее значение. В работе дано определение развязку такогодифференциального включения и приведены их основные свойства: условия существо-вания решения, компактность и выпуклость сечения множества решений, а также сфор-мулированы и доказано аналог теоремы А. Ф. Филиппова.Ключевые слова: дифференциальное включение, существование, решение, переменнаяразмерность, управление .

Plotnikov A. A.Generalization of Filippov’s theorem

Summary

The article introduces the concept of differential inclusion with variable dimension, that

generalizes the ordinary differential inclusion and system with variable dimension of differ-

ential inclusions, and the possibility of its use in the study of variable-dimensional control

systems is substantiated. Variable dimensional control systems are the systems for managing

of multiple objects with a consistent mode of operation. The initial state of each next object

depends on the final state of the previous object, that unites them into a single system of

variable dimension. It is assumed that each object is described by a system of ordinary

differential equations on the interval of its action. At the same time, intervals are given

or unknown. Equation systems may have different dimensions, and the dimension of the

control function and the limit on its value may also change. In the paper, the definition

of the solution of such differential inclusion and its main properties (the conditions for the

existence of the solution, the compactness and convexity of the section of the set of solutions)

are given, and also an analogue of Filippov’s theorem is proved.

Key words: differential inclusion, existence, solution, variable dimension, control.

References

1. Wazewski, T. (1961). Systemes de comande et equations au contingent. Bull. Acad.Polon. Sci. Ser. sci. math., astron. et phys., Vol.9, № 3. – P. 151 – 155.

2. Wazewski, T. (1961). Sur une condition equvalente l’equation an contingent. Bull. Acad.Polon. Sci. Ser.sci. math., astr. et phys., Vol.9, № 12. – P. 865 – 867.

3. Filippov, A. F. (1959). Nekotorie voprosi teorii optimal’nogo regulirovaniya [On somequestions in the theory of optimal regulation]. Vestnik Moskov. Univ. Ser. Mat. Meh.Astr. Fiz. Him., №2. – P. 25–32.


4. Gelig, A. H., Leonov, G. A., Jakubovic, V. A. (1978). Ustoichivost’ nelineinih sistems needinstvennim sostoyaniem ravnovesiya [The stability of nonlinear systems with anonunique equilibrium state], Nauka, Moscow, – 400 p.

5. Aubin, J.-P. (1984). Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory. Berlin:Springer-Verlag. – 341 p.

6. Plotnikov, V. A., Plotnikov, A. V., Vityuk, A. N. (1999). Differentsial’nyye uravneniya smnogoznachnoy pravoy chast’yu: Asimptoticheskiye metody [Differential equations witha multivalued right-hand side: Asymptotic methods]. AstroPrint, Odessa. – 356 p.

7. Polovinkin, E. S. (2014). Mnogoznachnyy analiz i differentsial’nyye vklyucheniya [Multi-valued analysis and differential inclusions]. Fizmatlit, Moscow . – 597 p.

8. Boltyanskii, V. G. (1983). Zadacha optimizacii so smenoi fazovogo prostranstva [Theproblem of optimization with change of phase space]. Differentsial’nye Uravneniya, Vol.19 , №3. – P. 518–521.

9. Maksimova, I. S., Rozova, V. N. (2011). Uslobiya upravlyaemosti v zadache so smenoifazovogo prostranstva [Controllability conditions in the problem with the change of phasespace]. Vestnik TGU, Vol. 16, №4. – P. 1118–1119.

10. Medvedev, V. A., Rozova, V. N. (1972). Optimal’noe upravlenie stypenchatimi sistemami[Optimal control step system]. Avtomatika i telemehanika, Vol. 3. – P. 15–23.

11. Rozova, V. N. (1972). Optimal’noe upravlenie stypenchatimi sistemami [Optimalcontrol step system]. Vestnik Rossiiskogo Universiteta Druzhbi Narodov. Seriya: Fiziko-matematicheskie nauki, №1. – P. 27–32.

12. Zakharov, G. K. (1981). Optimizaciya stupenchatih sistem upravleniya [Optimization ofstep control systems]. Avtomatika i telemehanika, Vol. 8. – P. 5–9.

13. Magerramov, Sh. F., Mansimov, K. B. (2001). Optimization of a class of discrete stepcontrol systems. Comput. Math. Math. Phys., Vol. 41 , №3. – P. 334–339.

14. Nikol’skii, M. S. (1984). Lineinie differencial’nie igri s peremenoi strukturoi [Linear di-fferential games with variable structure]. Dokl. Akad. Nauk SSSR, Vol. 276, №4. – P.791–794.

15. Nikol’skii, M. S. (1987). Ob odnoi variacionnoi zadache s peremennoi strukturoi [Avariational problem with a variable structure]. Vestnik Moskov. Univ., Ser. XV Vychisl.Mat. Kibernet., №1. – P. 36–41.

16. Tadumadze, T. A., Avalishvili, N. M. (1985). Regulyarnie vozmuscheniya v optimal’nihzadachah s peremennoi strukturoi [Regular perturbations in optimal problems with vari-able structure]. Optimal control in systems with variable structure. – P. 100–154.

17. Haratishvili, G. L. (1985). Poliatomicheskie optimal’nie sistemi [Polyatomic optimalsystems]. Optimal control in systems with variable structure. – P. 3–47.

18. Barsegyan, V. R. (2002). O zadache optimal’nogo upravleniya poetapno menyayuschimi-sya lineinimi sistemami s fazovimi ogranicheniyami v promezhutochnie momenti vremeni[On the problem of optimal control of gradually varying linear systems with phaseconstraints at intermediate instants of time]. Uchenie zapiski EGU, №1. – P. 118–119.

19. Eremin, E. L. (2012). Adaptivnoe upravlenie dinamicheskim ob’ektom na mnozhestvesostoyanii funkcionirovaniya [Adaptive control of a dynamic object in the set operationstates]. Adaptive and robust control, №4(34). – P. 107–118.

20. Aschepkov, L. T., Velichenko, V. V. (1989). Optimal’noe upravlenie. Kurs lekcii [Optimalcontrol. Lecture course]. Vladivostok: Izdat. Dal’nevostochnogo universiteta, 116 p.


21. Kichmarenko, O. D., Plotnikov, A. A. (2018). Systemy liniynykh kerovanykh dyferentsi-al’nykh rivnyan’ zi zminnoyu rozmirnistyu [Systems of linear controlled differentialequations with variable dimension]. Visnik Od. nac. un-tu. Mat. i mekh., Vol. 23, №1(31)– P. 52–67.

22. Kichmarenko, O. D., Plotnikov, A. A. (2015). The Averaging of Control Linear Di-fferential Equations with Variable Dimension on Finite Interval. International Journalof Sensing, Computing and Control, Vol. 5, №1. – P. 25–35.

23. Grebennikov, V. G. (1979). Optimal’nii vibor traektorii razvitiya i princip neprerivnostiplanirovaniya [ Optimal choice of the development trajectory and the principle of conti-nuity of planning]. In: Methodological problems of analysis of long-term socio-economicprocesses. Proceedings of VNIISI, №9. – P. 3–15.

24. Kirilov, A. N. (2009). Metod dinamicheskoi dekompozicii v modelirovanii sistemupravleniya so strukturnimi szmeneniyami [ The method of dynamic decompositionin the modeling of control systems with structural changes]. Modeling of systems andprocesses, № 1. – P. 20–24.

25. Romanenko, A. V., Fedoseev, A. V. (1993). Optimal’noe upravlenie ekonomicheskimisistemami [Optimum management of economic systems with age structure]. Zhurnalcomputes. mat. i math. physics, Vol.33, №8. – P. 1155–1165.

26. Barton, P. I., Lee, Ch.K. (2002). Modeling, simulation, sensitivity analysis, and optimi-zation of hybrid systems. ACM Trans. on Model. and Comput. Simul., Vol. 12, №4. – P.256–289.

27. Haddad, W. M., Nersesov, S.G. (2008). Impulsive and hybrid dynamical systems. Pri-nceton: Princeton University Press.

28. Plotnikov, A.A. (2018). Step-By-Step Averaging of Linear Differential Inclusions of Vari-able Dimension on a Finite Interval. Journal of Mathematical Sciences, Vol. 231, № 6. –P. 760–779.

29. Kichmarenko, O.D., Plotnikov, A.A. (2015). The Averaging of Linear Differential Inclusi-ons with Variable Dimension on Finite Interval. International Journal of Nonlinear Sci-ence, Vol. 20, №2. – P. 67–78.

30. Kichmarenko, O. D., Plotnikov, A. A. (2013). Nelineinie differencial’nie vklucheniya speremennoi razmernost’yu [Nonlinear differential inclusions with variable dimension],Visnik Od. nac. un-tu. Mat. i mekh., Vol. 18, №2(18). – P. 29–34.


УДК 517.5

Р. В. ШанинОдесский национальный университет имени И. И. Мечникова

ОБРАТНОЕ НЕРАВЕНСТВО ГЕЛЬДЕРА

Пусть 𝑟 = 0 и 𝐸 измеримое множество, |𝐸| > 0. Для неотрицательной функции𝑓 ∈ 𝐿𝑟(𝐸) средним порядка 𝑟 называется величина 𝑀𝑟(𝑓,𝐸) := (|𝐸|−1

∫𝐸𝑓𝑟(𝑥) 𝑑𝑥)1/𝑟.

В работе изучается класс 𝑅𝐻 ′1,2,1(𝑅0) функций 𝑓 , удовлетворяющих обратному нера-

венству Гельдера, ⟨𝑓⟩ = sup𝑅⊂𝑅0[𝑀2(𝑓,𝑅)−𝑀(𝑓,𝑅)] < +∞. Получена оценка скорости

убывания равноизмеримых перестановок функций из этого класса и построен пример,показывающий, что полученная оценка асимптотически точная. Этот результат явля-ется аналогом хорошо известной теоремы Джона–Ниренберга о пространствах 𝐵𝑀𝑂.Также получены оценки равноизмеримых перестановок функций из 𝑅𝐻 ′

1,2,1 с заданнойскорость убывания к нулю разности средних.MSC: 42B35, 46E30.Ключевые слова: обратное неравенство Гельдера, равноизмермая перестановка функ-ции.DOI: 10.18524/2519–206x.2019.1(33).175545.

Введение. Пусть 𝐸 ⊂ R𝑑 — произвольное измеримое множество, 0 < |𝐸| <+∞, и пусть 𝑟 = 0. Напомним, что для неотрицательной функции 𝑓 число

𝑀𝑟(𝑓,𝐸) :=

(1

|𝐸|

∫𝐸

𝑓𝑟(𝑥) 𝑑𝑥

)1/𝑟

называется средним 𝑟-ого порядка функции 𝑓 на множестве 𝐸. Если 𝑟 = 1, тоиндекс будем опускать. Соотношение между степенными средними

𝑀𝑟(𝑓,𝐸) ≤𝑀𝑠(𝑓,𝐸),

где 𝑟 < 𝑠, 𝑟𝑠 = 0, является простым следствием неравенства Гельдера и спра-ведливо для всех функций. Обратные к нему, в том или ином смысле, соотно-шения возникают в разных разделах анализа. Так, при исследовании весовыхпространств, как правило, возникают так называемые классы весовых функцийМакенхаупта [4], а в теории квазиконформных отображений — классы Герин-га [1].

Пусть зафиксирован сегмент 𝑅0 = [𝑎1, 𝑏1; . . . ; 𝑎𝑑, 𝑏𝑑] ⊂ R𝑑. Следуя обозна-чениям работы [5], для 𝑟 < 𝑠, 𝑟𝑠 = 0, обозначим через 𝑅𝐻 ′

𝑟,𝑠,𝑘(𝑅0) класс всехфункций 𝑓 ∈ (𝐿𝑠 ∩ 𝐿𝑟)(𝑅0), удовлетворяющих обратному неравенству Гельдера

⟨𝑓⟩ = ⟨𝑓⟩𝑅𝐻′𝑟,𝑠,𝑘(𝑅0) := sup

𝑅⊂𝑅0

sign𝑘 · [𝑀𝑘𝑠 (𝑓,𝑅)−𝑀𝑘

𝑟 (𝑓,𝑅)] < +∞,

где верхняя грань берется по всем сегментам 𝑅 ⊂ 𝑅0, а в случае 𝑘 < 0 по та-ким сегментам, для которых 𝑀𝑟(𝑓,𝑅) = 0. Класс 𝑅𝐻 ′

1,2,2 совпадает с подмноже-ством неотрицательных функций из пространства 𝐵𝑀𝑂 функций с ограничен-ным средним колебанием впервые введенных в работе [3]. В работах [5, 6] были

Получена 10.06.2019 c○Шанин Р. В., 2019

54 Шанин Р. В.

получены оценки равноизмеримых перестановок функций из классов 𝑅𝐻 ′𝑟,𝑠,𝑘.

Подобного сорта оценки играют важную роль при изучении различных функ-циональных пространств. В частности, в этой работе мы получаем основной ре-зультат благодаря полученным ранее оценкам перестановок.

В данной работе получена оценка скорости убывания равноизмеримых пере-становок функций для класса 𝑅𝐻 ′

1,2,1 (следствие 2) и изучены свойства функций,разности средних которых при стремлении к 0 мер сегментов убывают из задан-ной скоростью (теорема 2 и следствие 1).

Основные результаты1. Определения и вспомогательные результаты. Для функции 𝑓 ∈

𝐿2(𝑅0) обозначим

𝜈𝑓 (𝑡) := sup|𝑅|≤𝑡

(𝑀2(𝑓,𝑅)−𝑀(𝑓,𝑅)

)1/2,

где верхняя грань берется по всем сегментам 𝑅 ⊆ 𝑅0 с мерой |𝑅| ≤ 𝑡.Пусть 𝑟 = 0. Для функции 𝜙 ∈ 𝐿𝑟([𝛼, 𝛽]) обозначим 𝑀𝑟𝜙(𝑡) := 𝑀𝑟(𝜙, [𝛼, 𝑡]),

где 𝑡 ∈ (𝛼, 𝛽] и для функции 𝜙 ∈ 𝐿2([𝛼, 𝛽]) обозначим

𝜈𝜙(𝑡) := sup𝜏∈[𝛼,𝑡]

(𝑀2𝑓(𝜏)−𝑀𝑓(𝜏)

)1/2, 𝑡 ∈ (𝛼, 𝛽].

Легко видеть, что функции 𝜈 и 𝜈 не убывают и, если 𝜈 ограничена, то функ-ция 𝑓 ∈ 𝑅𝐻 ′

1,2,1(𝑅0).Напомним определение равноизмеримой перестановки функции (см., напри-

мер, [2, с. 276]). Равноизмеримой невозрастающей непрерывной справа переста-новкой функции 𝑓 , измеримой на ограниченном множестве 𝐸 ⊂ R𝑑 называется

𝑓*(𝑡) := sup{𝑦 > 0: |{𝑥 ∈ 𝐸 : |𝑓(𝑥)| > 𝑦}| > 𝑡}, 0 < 𝑡 < |𝐸|.

Следующая лемма— это переформулированная в частном случае лемма 8из [6].

Лемма 1. [6] Пусть сегмент 𝑅0 ⊂ R𝑑, функция 𝑓 ∈ 𝐿2(𝑅0). Тогда длялюбого интервала 𝐽 = (0, 𝛿) ⊆ (0, |𝑅0|) найдется такой набор дизъюнктивныхсегментов 𝑅𝑛 ⊂ 𝑅0, 𝑛 ≥ 1, что |𝑅𝑛| ≤ 𝛿 и 𝑀(𝑓,𝑅𝑛) =𝑀(𝑓*, 𝐽) для всех 𝑛 ≥ 1 и

𝑀2(𝑓*, 𝐽) ≤ sup

𝑛≥1𝑀2(𝑓,𝑅𝑛).

Из этой леммы вытекает следующая теорема.

Теорема 1. Пусть сегмент 𝑅0 ⊂ R𝑑, функция 𝑓 ∈ 𝐿2(𝑅0). Тогда

𝜈𝑓*(𝑡) ≤ 𝜈𝑓 (𝑡), 𝑡 ∈ (0, |𝑅0|]

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай 𝜈(𝑓, 𝑡) < ∞. Зафиксиру-ем произвольное 𝜏 , 0 < 𝜏 ≤ 𝑡. Тогда, по лемме 1, для интервала 𝐽 = (0, 𝜏) ⊆

Обратное неравенство Гельдера 55

(0, |𝑅0|) найдется такой набор дизъюнктивных сегментов 𝑅𝑛 ⊂ 𝑅0, что |𝑅𝑛| ≤ 𝜏и 𝑀(𝑓,𝑅𝑛) =𝑀(𝑓*, 𝐽) для всех 𝑛 ≥ 1 и

𝑀2𝑓*(𝜏)−𝑀𝑓*(𝜏) =𝑀2(𝑓

*, 𝐽)−𝑀(𝑓*, 𝐽)

≤ sup𝑛≥1

(𝑀2(𝑓,𝑅𝑛)−𝑀(𝑓,𝑅𝑛)) ≤ 𝜈2𝑓 (𝑡).

Отсюда следует, что

𝜈2𝑓*(𝑡) = sup𝜏∈[0,𝑡]

(𝑀2𝑓*(𝜏)−𝑀𝑓*(𝜏)) ≤ 𝜈2𝑓 (𝑡).


Следующая лемма позволяет оценивать скорость изменения𝑀𝜙(𝑡) для невоз-растающей функции. На применении этой леммы базируется доказательство ос-новного результата этой работы.

Лемма 2. Пусть невозрастающая функция 𝜙 ∈ 𝐿([0, 𝛽]) и пусть 𝑎 > 1.Тогда

0 ≤𝑀𝜙(𝑡/𝑎)−𝑀𝜙(𝑡) ≤ 𝑎

2

(𝑀2

2𝜙(𝑡)−𝑀2𝜙(𝑡))1/2

.

Доказательство. Зафиксируем 𝑡 ∈ (0, 𝛽] и обозначим

𝑎𝑡 = max{𝑥 ∈ [0, 𝛽] : 𝜙(𝑥) > 𝑀𝜙(𝑡)}.

Тогда, применяя неравенство Гельдера, получим

𝑀𝜙(𝑡/𝑎)−𝑀𝜙(𝑡) =1

𝑡/𝑎

∫ 𝑡/𝑎

0

(𝜙(𝑥)−𝑀𝜙(𝑡)) 𝑑𝑥 ≤ 𝑎

𝑡

∫ 𝑎𝑡

0

(𝜙(𝑥)−𝑀𝜙(𝑡)) 𝑑𝑥

=𝑎

2· 1𝑡

∫ 𝑡

0

|𝜙(𝑥)−𝑀𝜙 (𝑡) | 𝑑𝑥

≤ 𝑎

2

(1

𝑡

∫ 𝑡

0

(𝜙(𝑥)−𝑀𝜙 (𝑡))2 𝑑𝑥

)1/2

=𝑎

2

(𝑀2

2𝜙(𝑡)−𝑀2𝜙(𝑡))1/2

.

Лемма доказана.

2. Основной результат.

Теорема 2. Пусть неотрицательная, невозрастающая функция 𝜙 заданана отрезке [0, 𝛽]. Тогда, если 𝜈𝜙(𝛽) <∞, то

𝑀1/2𝜙(𝑡)−𝑀1/2𝜙(𝛽) ≤√3

ln 2

∫ 𝛽

𝑡

𝜈𝜙(𝜏)

𝜏𝑑𝜏, 𝑡 ∈ (0, 𝛽/2] (1)

и𝑀1/2𝜙(𝑡)−𝑀1/2𝜙(𝛽) ≤ 𝜈𝜙(𝛽), 𝑡 ∈ (𝛽/2, 𝛽]. (2)


Доказательство. Пусть 𝑀1/2𝜙(𝑡) ≤ 𝜈𝜙(𝑡) для некоторого 𝑡 ∈ (0, 𝛽]. Если𝑡 ∈ (0, 𝛽/2], то, учитывая, что функция 𝜈𝜙(𝑡) не убывает, получаем

𝑀1/2𝜙(𝑡)−𝑀1/2𝜙(𝛽) ≤𝑀1/2𝜙(𝑡) ≤ 𝜈𝜙(𝑡)

≤√3

ln 2𝜈𝜙(𝑡)

∫ 𝛽

𝑡

𝑑𝜏

𝜏≤

√3

ln 2

∫ 𝛽

𝑡

𝜈𝜙(𝜏)

𝜏𝑑𝜏.

Следовательно, неравенство (1) выполнено. Если 𝑡 ∈ (𝛽/2, 𝛽], то

𝑀1/2𝜙(𝑡)−𝑀1/2𝜙(𝛽) ≤𝑀1/2𝜙(𝑡) ≤ 𝜈𝜙(𝑡) ≤ 𝜈𝜙(𝛽)

и неравенство (2) выполнено.Пусть 𝑀1/2𝜙(𝑡) > 𝜈𝜙(𝑡). Отсюда следует, что(

𝑀2𝜙(𝑡) +𝑀𝜙(𝑡))1/2

=(𝑀2𝜙(𝑡)−𝑀𝜙(𝑡) + 2𝑀𝜙(𝑡)

)1/2≤(𝜈2𝜙(𝑡) + 2𝑀𝜙(𝑡)

)1/2<

√3𝑀1/2𝜙(𝑡).

Применяя лемму 2, получаем

𝑀1/2𝜙(𝑡/2)−𝑀1/2𝜙(𝑡) =𝑀𝜙(𝑡/2)−𝑀𝜙(𝑡)

𝑀1/2𝜙(𝑡/2) +𝑀1/2𝜙(𝑡)≤(𝑀2

2𝜙(𝑡)−𝑀2𝜙(𝑡))1/2

𝑀1/2𝜙(𝑡/2) +𝑀1/2𝜙(𝑡)

=

(𝑀2𝜙(𝑡)−𝑀𝜙(𝑡)

)1/2(𝑀2𝜙(𝑡) +𝑀𝜙(𝑡)

)1/2𝑀1/2𝜙(𝑡/2) +𝑀1/2𝜙(𝑡)

≤(𝑀2𝜙(𝑡) +𝑀𝜙(𝑡)

)1/2𝑀1/2𝜙(𝑡/2) +𝑀1/2𝜙(𝑡)

𝜈𝜙(𝑡) ≤√3

2𝜈𝜙(𝑡).

Если 𝑡 ∈ (𝛽/2, 𝛽], то, учитывая, что 𝑀1/2𝜙(𝑡) не возрастает, получаем

𝑀1/2𝜙(𝑡)−𝑀1/2𝜙(𝛽) ≤𝑀1/2𝜙(𝛽/2)−𝑀1/2𝜙(𝛽) ≤ 𝜈𝜙(𝛽).

Таким образом, неравенство (2) выполнено. Пусть 𝑡 ∈ (0, 𝛽/2]. Тогда существуеттакое натуральное 𝑘, что 𝛽 2−𝑘−1 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽 2−𝑘. Следовательно, учитывая, что𝑀𝜙(𝑡) не возрастает, мы имеем

𝑀1/2𝜙(𝑡)−𝑀1/2𝜙(𝛽) ≤𝑀1/2𝜙

(𝛽

2𝑘+1

)−𝑀1/2𝜙(𝛽)

=

𝑘∑𝑖=0

(𝑀1/2𝜙

(𝛽

2𝑖+1

)−𝑀1/2𝜙

(𝛽

2𝑖

))

≤√3

2

𝑘∑𝑖=0

𝜈𝜙

(𝛽

2𝑖

)≤

√3

2

(𝜈𝜙(𝛽) +

𝑘∑𝑖=1

𝜈𝜙

(𝛽

2𝑖−1

))

≤√3

ln 2

∫ 𝛽

𝛽

2𝑘

𝜈𝜙(𝜏)

𝜏𝑑𝜏 ≤

√3

ln 2

∫ 𝛽

𝑡

𝜈𝜙(𝜏)

𝜏𝑑𝜏.


Обратное неравенство Гельдера 57

Следствие 1. Пусть сегмент 𝑅0 ⊂ R𝑑 и пусть функция 𝑓 ∈ 𝐿2(𝑅0). Тогда

𝑀1/2𝑓*(𝑡)−𝑀1/2𝑓*(𝛽) ≤√3

ln 2

∫ 𝛽

𝑡

𝜈𝑓 (𝜏)

𝜏𝑑𝜏, 𝑡 ∈ (0, |𝑅0|/2]. (3)

Доказательство. Утверждение этого следствия следует из теорем 1 и 2,если в теореме 2 положить 𝜙 = 𝑓*.

Следствие 2. Пусть сегмент 𝑅0 ⊂ R𝑑 и пусть функция 𝑓 ∈ 𝑅𝐻1,2,1(𝑅0).Тогда

𝑀1/2𝑓*(𝑡)−𝑀1/2𝑓*(𝛽) ≤√3

ln 2⟨𝑓⟩ ln 𝛽

𝑡, 𝑡 ∈ (0, |𝑅0|/2] (4)

и эта оценка является точной по порядку.

Доказательство. Неравенство (4) легко получается, если применить нера-венство 𝜈𝑓 (𝑡) ≤ ⟨𝑓⟩ к (3). Осталось показать, что полученная скорость ln2 𝛽𝑡 яв-ляется точной. Для этого покажем, что функция 𝑓(𝑡) = ln2 1

𝑡 ∈ 𝑅𝐻1,2,1([0, 1]).Имеем,

sup0<𝑡≤1

(𝑀2𝑓(𝑡)−𝑀𝑓(𝑡)) = sup0<𝑡≤1

((1

𝑡

∫ 𝑡

0

ln41

𝑥𝑑𝑥

)1/2

− 1

𝑡

∫ 𝑡

0

ln21

𝑥𝑑𝑥

)=

= sup0<𝑡≤1

(√ln4

1

𝑡+ 4 ln3

1

𝑡+ 12 ln2

1

𝑡+ 24 ln

1

𝑡+ 24−

(ln2

1

𝑡+ 2 ln

1

𝑡+ 2

))=

= sup0<𝑡≤1

4 ln2 1𝑡 + 16 ln 1

𝑡 + 20√ln4 1

𝑡 + 4 ln3 1𝑡 + 12 ln2 1

𝑡 + 24 ln 1𝑡 + 24 +

(ln2 1

𝑡 + 2 ln 1𝑡 + 2

) < +∞.

Следствие доказано.

Заключение. В работе получена оценка скорости убывания равноизме-римых перестановок функций из класса 𝑅𝐻 ′

1,2,1 и построен пример, показыва-ющий, что полученная оценка асимптотически точная. Этот результат являетсяаналогом хорошо известной теоремы Джона–Ниренберга о пространствах 𝐵𝑀𝑂.Также получены оценки равноизмеримых перестановок функций из 𝑅𝐻 ′

1,2,1, раз-ности средних которых при стремлении к 0 мер сегментов убывают из заданнойскоростью.

1. Gehring F. W. The 𝐿𝑝-integrability of the partial derivatives of a quasicinformalmapping / F. W. Gehring // Acta Math. — 1973. — Vol. 130, № 1. — P. 265–277.

2. Hardy G. H. Inequalities / G. H. Hardy, J. E. Littlewood, and G. Polya. — CambridgeUniversity Press., Cambridge, 1934. — 314 p.

3. John F. On functions of bounded mean oscillation / F. John, L. Nirenberg // Comm.Pure Appl. Math. — 1961. — Vol. 14, Issue 3. — P. 415–426.

4. Muckenhoupt B. Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function /B. Muckenhoupt // Trans. Amer. Math. Soc. — 1972. — Vol. 165. — P. 207–226.


5. Shanin R. Equimeasurable rearrangements of functions satisfying the reverse Holder orthe reverse Jensen inequality / R. Shanin // Ricerche di Matematica. — 2015. — V. 64.— P. 217–228.

6. Shanin R. V. Estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropic case / R.V. Shanin // Ukrainian Mathematical Journal. — 2018. — Vol. 70, № 7. — P. 1115–1126.

Шанiн Р. В.Обернена нерiвнiвнiсть Гельдера

Резюме

Нехай 𝑟 = 0 i 𝐸 вимiрна множина, |𝐸| > 0. Для невiд’ємної функцiї 𝑓 ∈ 𝐿𝑟(𝐸) сере-днiм iнтегральним порядку 𝑟 називається величина 𝑀𝑟(𝑓,𝐸) := (|𝐸|−1

∫𝐸𝑓𝑟(𝑥) 𝑑𝑥)1/𝑟.

В роботi вивчається клас 𝑅𝐻 ′1,2,1(𝑅0) функцiй 𝑓 , що задовольняють обернену нерiв-

нiсть Гельдера, ⟨𝑓⟩ = sup𝑅⊂𝑅0[𝑀2(𝑓,𝑅) −𝑀(𝑓,𝑅)] < +∞. Отримана оцiнка швидкостi

спадання рiвновимiрних перестановок функцiй iз цього класi i побудовано приклад, щодемонструє, що отримана оцiнка є асимптотично точною. Цей результат є аналогомдобре вiдомої теореми Джона–Нiренберга в просторi 𝐵𝑀𝑂. Також в роботi отриманiоцiнки рiвновимiрних перестановок функцiй iз 𝑅𝐻 ′

1,2,1 з заданою швидкiсть спаданнядо нуля рiзницi середнiх iнтегральних.Ключовi слова: обернена нерiвнiсть Гельдера, рiвновимiрна перестановка функцiї.

Shanin R. V.Reverse Holder inequality

Summary

Let 𝑟 = 0 and let 𝐸 be a measurable set with |𝐸| > 0. For a non-negative function 𝑓 ∈ 𝐿𝑟(𝐸)

the mean of the order 𝑟 is defined by the equality 𝑀𝑟(𝑓,𝐸) := (|𝐸|−1∫𝐸𝑓𝑟(𝑥) 𝑑𝑥)1/𝑟. In the

paper we study the class 𝑅𝐻 ′1,2,1(𝑅0) of functions 𝑓 satisfying the reverse Holder inequality

⟨𝑓⟩ = sup𝑅⊂𝑅0[𝑀2(𝑓,𝑅) − 𝑀(𝑓,𝑅)] < +∞. We obtain a estimate of decrease rate of

equimeasurable rearrangements of functions of this class and we give an example which show

that the estimate is asymptotically exact. This result is analogous to well-known theorem of

F. John and L. Nirenberg in the space of 𝐵𝑀𝑂. Also we obtain estimates of equimeasurable

rearrangements of functions of 𝑅𝐻 ′1,2,1 with given decreasing rate to 0 of difference of means.

Key words: reverse Holder inequality, equimeasurable rearrangement.

References

1. Gehring F. W. (1973) The 𝐿𝑝-integrability of the partial derivatives of a quasicinformalmapping. Acta Math., Vol. 130, № 1, P. 265–277.

2. Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. (1934) Inequalities. Cambridge: CambridgeUniversity Press., 314 p.

3. John F. (1961) On functions of bounded mean oscillation. Comm. Pure Appl. Math.,Vol. 14, № 3, P. 415–426.

4. Muckenhoupt B. (1972) Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function.Trans. Amer. Math. Soc., Vol. 165, P. 207–226.

5. Shanin R. (2015) Equimeasurable rearrangements of functions satisfying the reverseHolder or the reverse Jensen inequality. Ricerche di Matematica, V. 64, P. 217–228.

6. Shanin R. V. (2018) Estimation of equimeasurable rearrangements in the anisotropiccase. Ukrainian Mathematical Journal, Vol. 70, № 7, P. 1115–1126.


UDC 517.926

S. A. ShchogolevOdesa I. I. Mechnikov National University

ПРО ПIДВИЩЕННЯ ПОРЯДКУ МАЛИЗНИ ШВИДКИХЗМIННИХ В ЛIНIЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМАХ

Доведено теорему про пiдвищення порядку мализни швидких змiннiх в лiнiйних си-стемах диферецiальних рiвнянь.MSC: 34A30, 34C25.Ключовi слова: лiнiйнi диференцiальнi системи, лiнiйнi перетворення.DOI: 10.18524/2519–206x.2019.1(33).175546.

Вступ. Одною з важливих проблем теорiї звичайних диференцiальних рiв-нянь є проблема зведення системи, що дослiджується, до бiльш простого вигля-ду. У випадку лiнiйноi системи диференцiальних рiвнянь це може бути задачазведення даної системи до системи зi сталими коефiцiєнтами (проблема звiдно-стi), або до системи з трикутною, зокрема, дiагональною матрицею коефiцiєнтiв,жордановою матрицею коєфiцiєнтiв тощо. Особливий iнтерес являють системиз перiодичними коефiцiєнтами [1,2]. Якщо в коефiцiєнтах такої системи коливнiдоданки в певному сенсi малi порiвняно з неколивними, то природно розглянутизадачу при пiвищення мализни коливних доданкiв [3]. В данiй працi ця задачарозглядається для лiнiйної однорiдної системи диференцiальних рiвнянь, коефi-цiєнти якої мають вигляд 𝑓(𝑡, 𝜃)𝜇(𝜃), де 𝑓(𝑡, 𝜃) – 2𝜋-перiодична по 𝜃 i в певномурозумiннi повiльно змiнна вiдносно 𝑡, а 𝜇(𝜃) – неперервна мала функцiя змiнної𝜃.

Позначення. Нехай

𝐺 = {𝑡, 𝜀 : 𝑡 ∈ [𝑡0,+∞), 𝜀 ∈ (0, 𝜀0), 𝜀0 ∈ R+}.

Означення. Скажемо, що функцiя 𝑓(𝑡, 𝜀) належить до класу 𝑆(𝑚), 𝑚 ∈N ∪ {0}, якщо:

1) 𝑓 : 𝐺→ C,2) 𝑓(𝑡, 𝜀) ∈ 𝐶𝑚(𝐺) за 𝑡,3) 𝑑𝑘𝑓(𝑡, 𝜀)/𝑑𝑡𝑘 = 𝜀𝑘𝑓𝑘(𝑡, 𝜀) (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚),

‖𝑓‖𝑆(𝑚)𝑑𝑒𝑓=

𝑚∑𝑘=0

sup𝐺

|𝑓𝑘(𝑡, 𝜀)| < +∞.

Пiд повiльно змiнною функцiєю розумiємо функцiю з класу 𝑆(𝑚).

Основнi результати1. Постановка задачi. Розглядається наступна система диферецiальних

рiвнянь:𝑑𝑥

𝑑𝑡=

(𝐴0(𝑡, 𝜀) +

𝑟∑𝑠=1

𝐴𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃(𝑡, 𝜀))(𝜇(𝜃(𝑡, 𝜀)))𝑠

)𝑥, (1)

Надiйшла 16.04.2019 c○ Shchogolev S. A., 2019

60 Shchogolev S. A.

𝑥 = colon(x1, ..., xn), 𝐴0(𝑡, 𝜀) – (𝑁×𝑁)-матриця, елементи якої належать до класу𝑆(𝑚). Функцiя 𝜃(𝑡, 𝜀) має вигляд:

𝜃(𝑡, 𝜀) =

𝑡∫𝑡0

𝜙(𝜏, 𝜀)𝑑𝜏, (2)

𝜙 ∈ R+, 𝜙(𝑡, 𝜀) ∈ 𝑆(𝑚), inf𝐺𝜙(𝑡, 𝜀) = 𝜙0 > 0. Елементи матриць 𝐴𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃) належать

до класу 𝑆(𝑚) вiдносно 𝑡, 𝜀, неперервнi та 2𝜋-перiодичнi за 𝜃 ∈ [0,+∞). Функцiя𝜇(𝜃) неперервна на [0,+∞).

При малiй функцiї 𝜇(𝜃) система (1) близька до системи з повiльно змiннимикоефiцiєнтами:

𝑑𝑥0𝑑𝑡

= 𝐴0(𝑡, 𝜀)𝑥0. (3)

Доданки, що залежать вiд 𝜃, в системi (1) мають порядок 𝑂(𝜇). Вивчається за-дача про зведення системи (1) до такого вигляду, де доданки, що залежать вiд 𝜃,мають порядок або 𝑂(𝜇𝑟+1) або 𝑂(𝜀). Якщо параметр 𝜀 достатньо малий, то пе-ретворена система буде ближчою до системи з повiльно змiнними коефiцiєнтами,нiж система (1).

У роботах [4,5] аналогiчна задача розглядалася для випадку перiодичних за 𝑡(тобто 𝜃(𝑡) = 𝑡) матриць 𝐴𝑠, сталої матрицi 𝐴0 та функцiї 𝜇(𝑡) експоненцiальногоабо степеневого типу.

У випадку, коли елементи матриць 𝐴𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃) зображуванi абсолютно та рiв-номiрно збiжними рядами Фур’є вигляду

∞∑𝑛=−∞

𝑓𝑛(𝑡, 𝜀) exp(𝑖𝑛𝜃(𝑡, 𝜀)), (4)

де 𝑓𝑛(𝑡, 𝜀) ∈ 𝑆(𝑚), а 𝜇(𝜃) = 𝜇* = const, вiдповiдна задача розглядалася авторому роботах [6,7]. У цьому випадку було показано, що елементи перетворюючоїматрицi також зображуванi у виглядi рядiв (4).

У данiй роботi функцiя 𝜇(𝜃) є довiльною неперервною функцiєю.2. Основний результат.Tеорема. Нехай система (1) задовольняє наступнi умови:1) власнi значення 𝜆𝑗(𝑡, 𝜀) (𝑗 = 1, 𝑁) матрицi 𝐴0(𝑡, 𝜀) такi, що

𝜆𝑗(𝑡, 𝜀)− 𝜆𝑘(𝑡, 𝜀) = 𝑖𝑛𝑗𝑘𝜙(𝑡, 𝜀), 𝑛𝑗𝑘 ∈ Z,

де функцiю 𝜙(𝑡, 𝜀) визначено умовою (2);2) iснує матриця 𝐿(𝑡, 𝜀), елементи якої належать до класу 𝑆(𝑚), така, що

inf𝐺

|det𝐿(𝑡, 𝜀)| > 0, и

𝐿−1(𝑡, 𝜀)𝐴0(𝑡, 𝜀)𝐿(𝑡, 𝜀) = Λ(𝑡, 𝜀) = diag[𝜆1(t, 𝜀), ..., 𝜆N(t, 𝜀)];

3) функцiя 𝜇(𝜃) така, що

𝜇(𝜃) ∈ R, sup[0,+∞)

𝜇(𝜃) ≤ 𝜇0 < + ∞,

+∞∫0

𝜇𝑘(𝜃)𝑑𝜃 ≤ 𝜇0 < + ∞ (𝑘 = 1.𝑟).

Про пiдвищення порядку мализни . . . 61

Тодi для достатньо малих значень 𝜇0 iснує перетворення вигляду

𝑥 = Φ(𝑡, 𝜀, 𝜃(𝑡, 𝜀))𝑦, (5)

де елементи матрицi Φ(𝑡, 𝜀, 𝜃(𝑡, 𝜀)) обмеженi на 𝐺 × [𝑡0,+∞), що приводитьсистему (1) до вигляду:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (Λ(𝑡, 𝜀) + 𝜀𝑉 (𝑡, 𝜀, 𝜃) +𝑊 (𝑡, 𝜀, 𝜃)) 𝑦, (6)

де елементи матриць 𝑉 (𝑡, 𝜀, 𝜃) та 𝑊 (𝑡, 𝜀, 𝜃) обмеженi при 𝐺×[𝑡0,+∞), причомуелементи матрицi 𝑊 (𝑡, 𝜀, 𝜃) мають порядок 𝜇𝑟+1

0 .Доведення. Здiйснивши в системi (1) пiдстановку

𝑥 = 𝐿(𝑡, 𝜀)𝑥(1), (7)

де 𝑥(1) – новий невiдомий 𝑁 -вимiрний вектор, зведемо систему (1) до вигляду:

𝑑𝑥(1)

𝑑𝑡=

(Λ(𝑡, 𝜀) + 𝜀𝐻(𝑡, 𝜀) +

𝑟∑𝑠=1

𝐵𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃)(𝜇(𝜃))𝑠

)𝑥(1), (8)

де

𝐻(𝑡, 𝜀) = −1

𝜀𝐿−1(𝑡, 𝜀)

𝑑𝐿(𝑡, 𝜀)

𝑑𝑡, 𝐵𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃) = 𝐿−1(𝑡, 𝜀)𝐴𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃)𝐿(𝑡, 𝜀). (9)

Елементи матрицi 𝐻(𝑡, 𝜀) належать до класу 𝑆(𝑚− 1).Перетворення, яке приводить систему (8) до вигляду (6), будемо шукати у

виглядi:𝑑𝑥(1)

𝑑𝑡=

(𝐸 +

𝑟∑𝑠+1

𝑄𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃)

)𝑦, (10)

де матрицi 𝑄𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃) (𝑠 = 1, 𝑟) визначаються з наступного ланцюжка диференцi-альних рiвнянь:

𝜙(𝑡, 𝜀)𝜕𝑄1

𝜕𝜃= Λ(𝑡, 𝜀)𝑄1 −𝑄1Λ(𝑡, 𝜀) +𝐵1(𝑡, 𝜀, 𝜃)𝜇(𝜃), (11)

𝜙(𝑡, 𝜀)𝜕𝑄2

𝜕𝜃= Λ(𝑡, 𝜀)𝑄2−𝑄2Λ(𝑡, 𝜀)+𝐵2(𝑡, 𝜀, 𝜃)(𝜇(𝜃))

2+𝐵1(𝑡, 𝜀, 𝜃)𝑄1𝑡, 𝜀, 𝜃)𝜇(𝜃), (12)

...

𝜙(𝑡, 𝜀)𝜕𝑄𝑟𝜕𝜃

= Λ(𝑡, 𝜀)𝑄𝑟 −𝑄𝑟Λ(𝑡, 𝜀) +𝐵𝑟(𝑡, 𝜀, 𝜃)(𝜇(𝜃))𝑟+

+

𝑟−1∑𝑠=1

𝐵𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃)𝑄𝑟−𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃)(𝜇(𝜃))𝑠. (13)

Матрицi 𝑉 (𝑡, 𝜀, 𝜃), 𝑊 (𝑡, 𝜀, 𝜃) визначимо з рiвнянь:(𝐸 +

𝑟∑𝑠=1


)𝑉 = 𝐻(𝑡, 𝜀)

(𝐸 +

𝑟∑𝑠=1


)− 1

𝜀

𝑟∑𝑠=1

𝜕𝑄𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃)

𝑑𝑡, (14)

62 Shchogolev S. A.(𝐸 +

𝑟∑𝑠=1


)𝑊 =

𝑟∑𝑗=1

𝑟∑𝑠=𝑗

𝐵𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃)𝑄𝑟+𝑗−𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃)(𝜇(𝜃))𝑠. (15)

Розглянемо рiвняння (11). Нехай 𝑄𝑠 = (𝑞(𝑠)𝑗𝑘 )𝑗,𝑘=1,𝑁 , 𝐵𝑠 = (𝑏

(𝑠)𝑗𝑘 )𝑗,𝑘=1,𝑁 ,

𝑠 = 1, 𝑟. Тодi з урахуванням умови 1) теореми, рiвняння (11) еквiвалентно суку-пностi скалярних рiвнянь:

𝜕𝑞(1)𝑗𝑘

𝜕𝜃= 𝑖𝑛𝑗𝑘𝑞

(1)𝑗𝑘 +

1

𝜙(𝑡, 𝜀)𝜇(𝜃)𝑏

(1)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃), 𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁. (16)

Для кожного з рiвнянь (16) розглянемо такий його розв’язок:

𝑞(1)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃) =

1

𝜙(𝑡, 𝜀)𝑒𝑖𝑛𝑗𝑘𝜃

𝜃∫0

𝜇(𝜗)𝑏(1)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜗)𝑒

−𝑖𝑛𝑗𝑘𝜗𝑑𝜗, (𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁). (17)

З того, що елементи матриць 𝐴𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃) в системi (1) належать до класу 𝑆(𝑚)вiдносно 𝑡, 𝜀, i неперервнi та 2𝜋-перiодичнi за 𝜃 ∈ [0,+∞), i з рiвностi (9) випливає,що аналогiчнi властивостi мають i елементи матриць 𝐵𝑠(𝑡, 𝜀, 𝜃), отже

sup𝐺×[0,+∞)

|𝑏(1)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃)| = 𝑐(1)𝑗𝑘 < +∞, 𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁.

З (17) та умови 3) теореми тодi маємо:

sup𝐺×[0,+∞)

𝑞(1)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃)

≤ 1

𝜙0𝜇0 𝑐

(1)𝑗𝑘 , 𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁. (18)

Тепер розглянемо рiвняння (12), i вiзьмемо такий його розв’язок:

𝑞(2)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃) =

=1

𝜙(𝑡, 𝜀)𝑒𝑖𝑛𝑗𝑘𝜃

𝜃∫0

(𝜇(𝜗)2𝑏

(2)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜗) + 𝜇(𝜗)

𝑁∑𝑙=1

𝑏(1)𝑗𝑙 (𝑡, 𝜀, 𝜗)𝑞

(1)𝑙𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜗)

)𝑒−𝑖𝑛𝑗𝑘𝜗𝑑𝜗,

𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁.

Маємо, аналогiчно попередньому:

sup𝐺×[0,+∞)

𝑏(2)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃)

= 𝑐

(2)𝑗𝑘 < +∞, 𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁.

Тодi

sup𝐺×[0,+∞)

𝑞(2)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃)

≤ 𝜇2

0

𝜙0𝑐(2)𝑗𝑘 +

𝜇20

𝜙20

𝑁∑𝑙=1

𝑐(1)𝑗𝑙 𝑐

(1)𝑙𝑘 , 𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁

тобто 𝑞(2)𝑗𝑘 обмеженi при 𝑡 ∈ 𝐺× [0,+∞).

Про пiдвищення порядку мализни . . . 63

I нарештi для 𝑞(𝑟)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃) визначимо:

𝑞(𝑟)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃) =

1

𝜙(𝑡, 𝜀)𝑒𝑖𝑛𝑗𝑘𝜃×

×𝜃∫

0

((𝜇(𝜗))𝑟𝑏

(𝑟)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜗) +

𝑟−1∑𝑠=1

(𝜇(𝜗))𝑠𝑁∑𝑙=1

𝑏(𝑠)𝑗𝑙 (𝑡, 𝜀, 𝜗)𝑞

(𝑟−𝑘)𝑙𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜗)

)𝑒−𝑖𝑛𝑗𝑘𝜗𝑑𝜗,

𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁.

Всi функцiї 𝑞(𝑠)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃) (𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁, 𝑠 = 1, 𝑟 − 1) обмеженi при 𝑡 ∈ 𝐺 ×[𝑡0,+∞). Всi функцiї 𝑏(𝑠)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃) (𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁, 𝑠 = 1, 𝑟) також обмеженi при 𝑡 ∈𝐺 × [𝑡0,+∞). Отже, умова 3) теореми гарантує iснування обмежених розв’язкiв𝑞(𝑟)𝑗𝑘 (𝑡, 𝜀, 𝜃) (𝑗, 𝑘 = 1, 𝑁), причому цi розв’язки мають порядок 𝜇𝑟0. А при малих𝜇0 ця ж умова гарантує невиродженiсть перетворення (10). Матриця 𝑉 (𝑡, 𝜀, 𝜃)однозначно визначається з рiвняння (14), а матриця 𝑊 (𝑡, 𝜀, 𝜃) однозначно ви-значається з рiвняння (15), причому, як нескладно бачити, порядок елементiвматрицi 𝑊 (𝑡, 𝜀, 𝜃) не нижче, нiж 𝜇𝑟+1

0 .Теорему доведено.

Висновки. Доведено теорему про пiдвищення мализни швидких змiннiх влiнiйних системах диферецiальних рiвнянь.

1. Якубович В. А., Старжинский В. М., 1972, Линейные дифференциальныеуравнения с переменными коэффициентами. М., Наука, 720 с.

2. Штокало И. З. 1960, Линейные дифференциальные уравнения с переменнымикоэффициентами. К., Изд-во АН УССР, 76 с.

3. Стрижак Т. Г. 1984, Асимптотический метод нормализации. К., Вища школа, 280с.

4. Kоняев Ю. А., Маслов Д. А. 2017, Анализ неавтономных систем дифферен-циальных уравнений с экспоненциально-периодической матрицей. Известия вузов.Математика, № 10, с. 62–69.

5. Koняев Ю. А., Мартыненко Ю. Г., Панфилов Н. Г. 2004, Асимптотическийаналог теорем о приводоимости некоторых классов неавтономных линейных систем.Дифференц. уравн., Т. 40, № 3. с. 330–333.

6. Shchogolev, S. A. 2014, On a reduction of a linear homogeneous differential systemwith oscillating coefficients to a system with slowly-varying coefficients. Visnyk Odesk.Nats. Univers. Mat. i Mekh., V.19, Is. 1(21). – P. 81–91.

7. Shchogolev, S. A. 2014, On a reduction of a linear homogeneous differential systemwith oscillating coefficients to a system with slowly-varying coefficients in resonance case.Visnyk Odesk. Nats. Univers. Mat. i Mekh., V.19, Is. 3(23). – P. 48–56.

64 Shchogolev S. A.

Щёголев С. А.О повышении порядка малости быстрых переменных в линейных дифферен-циальных системах

Резюме

Доказана теорема о повышении порядка малости быстрых переменных в линейных си-стемах дифферециальных уравнений.Ключевые слова: линейные дифференциальные системы, линейные преобразования.

Shchogolev S. A.On increasing the order of smallness of fast variables in linear differentialsystems

Summary

A theorem on increasing the order of smallness of fast variables in linear systems of differentialequations are proved.Key words: linear differential systems, linear transformation.

1. Yakubovich, V. A., and Starzhinskiy, V. M. 1972, Lineynyie differentsialnyieuravneniya s periodicheskimi koefficientami i ih prilozheniya [The linear differentialequations with periodic coefficients and their applications], M.: Nauka, 720 p.

2. Shtokalo, I. Z. 1960, Lineynyie differentsialnyie uravneniya s peremennymi koeffici-entami [The linear differential equations with variable coefficients], K.: Izd-vo AN USSR,76 p.

3. Strizhak, T. G. 1984, Asimptoticheskij metod normalizcii [Asymptotic NormalizationMethod], K.: Vishcha shkola, 280 p.

4. Konyaev, Yu. A. and Maslov, D. A. 2017, Analys neavtonomnuch sistem differentsi-alnuih uravneniy s eksponencialno periodicheskoy matricey [Analysis of nonautonomoussystems of differential equations with exponentially periodic matrix], Izvestia vuzov.Mathematica, №10, c. 62—69.

5. Konyaev, Yu. A. and Martynenko, Yu. G. and Panfilov, N. G. 2004, Asimptoti-cheskyi analog teorem o privodimosti nekotoryh klassov neavtonomnyh lineynuh sistem[Asymptotic analogue of theorems on the reducibility of certain classes of nonautonomouslinear systems], Differehtsialnye uravnenia, T. 40, № 3, p. 330—333.

6. Shchogolev, S. A. 2014, On a reduction of a linear homogeneous differential systemwith oscillating coefficients to a system with slowly-varying coefficients, Visnyk Odesk.Nats. Univers. Mat. i Mekh., V.19, Is. 1(21). – P. 81–91.

7. Shchogolev, S. A. 2014, On a reduction of a linear homogeneous differential systemwith oscillating coefficients to a system with slowly-varying coefficients in resonance case,Visnyk Odesk. Nats. Univers. Mat. i Mekh., V.19, Is. 3(23). – P. 48–56.

Researches in Mathematics and Mechanics. – 2019. – V. 24, Is. 1(33). – P. 65–73

UDC 532.3

K. D. MysovOdesa I. I. Mechnikov National University,Faculty of Mathematics, Physics and Information Technologies

TORSION PROBLEM FOR AN ELASTIC TWICE-TRUNCATEDCONE

The problem of an elastic twice-truncated cone wave field estimation is investigated in case

of steady state torsional oscillations. The G. Ya. Popov integral transform with regard to

an angular coordinate is applied. Thus reducing the original problem to one-dimensional

boundary value problem in the transform’s domain. The Green’s function is build for one-

dimensional boundary value problem. With it’s help the solution of one-dimensional problem

is constructed in an explicit form. The G. Ya. Popov inverse transformation helped to derive

the solution in original domain in form of an infinite sum. With it’s help dependence of the

eigenfrequencies from the cone’s geometric parameters is investigated. Stress field was found

with the use of asymptotic procedure. Comparison plots are build for different opening

angles.

MSC: 74G70, 74H99, 74J10.

Key words: twice-truncated cone, steady state torsional oscillations, G. Ya. Popov integral

transform, eigenfriquencies, wave field, Green’s function.

DOI: 10.18524/2519–206x.2019.1(33).175547.

Introduction. An important problem widely common in engineering practice isto determine the dynamic stress state of a cone under the impact of a non-stationaryload. A particularly important point is the ability to calculate the eigenfrequen-cies required to evaluate the dynamic stability of the constructions. It is possibleto do with help of the initial boundary value problems apparatus of mathematicalphysics. The solving of the initial boundary value problems for cone-shaped elasticbodies is not a new problem, however, there are many unresolved issues. In [1], thethree-dimensional Green’s function for a transverse-isotropic thermoelastic cone witha stable heat source on the vertex is derived. In [2] the problem of equilibrium fora semi-infinite transverse-isotropic three-dimensional elastic cone under the antisym-metric force at its vertex, is considered. In [3], the solution of the problem for ahalf-infinite elastic cone is constructed under the concentrated force applied at it’svertex at a certain distance from it. In [4] the problem of deriving the displacementand the stress fields of a semi-infinite isotropic elastic cone under mixed boundaryconditions on the surface of the cone is considered. In [5] one found a solution inquadratures for the linear problem of the dynamic theory of elasticity with respectto the deformation of an infinite elastic homogeneous isotropic space caused by therotation of an absolutely rigid circular cone with an uneven lateral surface. In [6],problems were solved on the stress-strain state of an elastic cone of variable thick-ness in a three-dimensional formulation using both analytical methods and numericalapproaches. In [7] an axisymmetric problem of tensile of a cone under the action ofconcentrated load is considered in view of large deformations. The exact solution ofthe torsion problem of an elastic conically-layered cone is obtained in [8]. In [9] the

Received 31.03.2019 c○Mysov K. D., 2019

66 Mysov K. D.

solution for semi-infinite elastic cone with help of Papkovycha-Neybera functions isderived and analyzed stress distribution in the length of their attenuation. In [10]a numerical method for constructing eigenfunctions for arbitrary conical bodies withsmooth and non-smooth lateral surfaces is considered. In [11] the method of distri-bution of variables yields an effective solution of various boundary thermoelasticityproblems for a hollow endless cone. The dynamic problem of instability of a sur-face of a finite circular anisotropic cone with an arbitrary aperture in the form of ahexagonal single crystal is considered in [12]. In [13], a study was made of the stressintensity factor near a spherical crack inside a semi-infinite cone under a compressionload applied to the vertex of a cone. The question of steady-state oscillations of anelastic infinite cone under the action of a concentrated oscillating force added at thevertex of a cone is solved in [14]. The problem of torsion of an elastic cone, weakenedby a spherical crack under the action of the shock moment, added to the vertex, isconsidered in [15].

Problem statement for finite cones adds some complexity when studying the sim-ilar problems. For example, in [16] the influence of wave propagation in an elastictruncated cone is experimentally investigated. The problem of determining the non-stationary wave field of an elastic truncated cone, taking into account its own weight,is investigated in [17]. In [18] the stressed state of the inhomogeneous thin truncatedhollow cone is investigated. In [19] obtained an exact solution of the problem of tor-sion of a truncated hollow cone. In [20] an exact solution of the torsion problem ofan elastic truncated layered cone is found in static formulation.

Much less often, similar problems are considered for a twice-truncated elasticcones. This is explained by the mathematical difficulties caused by the geometry ofthe problem. A thick-walled twice-truncated cone from two-dimensional, functionallygraded materials exposed to the combined load is considered at [21]. In [22] the stressstate of a twice-truncated cone resting on a rigid base of the lateral surface under auniform load applied at a larger base is investigated. An axisymmetric problem fora twice-truncated anisotropic cone is solved in [23] with the help of the straight linesmethod for three-dimensional elasticity equations. The general solution for axisym-metric boundary value prob-lems for a twice-truncated cone is derived in [24]. Morecomplicated, an axially mixed problem for a twice-truncated hollow cone under itsown weight was con-sidered in [25]. Significantly less problems are confirmed withan investigation of the dynamic field of conical bodies. An axisymmetric dynamicproblem for a twice truncated dynamic cone first was considered at [26], but a lot ofunresolved questions connected with eigenvalues investigation still remain.

Main Results

1. Statement of the problem. The twice truncated elastic cone is consideredin the spherical coordinate system 𝑎 < 𝑟 < 𝑏,−𝜓 ≤ 𝜃 ≤ 𝜓,−𝜋 ≤ 𝜙 < 𝜋.

The problem is stated in case of steady-state oscillations, thus for all mechanicalcharacteristic representation 𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜙, 𝑡) = 𝑒𝑖𝜔𝑡𝑓(𝑟, 𝜃, 𝜙) take place, where 𝜔 is thesteady state frequency, factor 𝑒𝑖𝜔𝑡 will be omitted in next formulas.

The cone surface 𝑎 < 𝑟 < 𝑏, 𝜃 = 𝜓,−𝜋 ≤ 𝜙 < 𝜋 is loaded

𝜏𝜃𝜙|𝜃=𝜓 = 𝐹 (𝑟), (1)

where 𝐹 (𝑟) = 1/𝑟2 is given load.

Torsion problem for a finite cone 67

The upper spherical face of the cone 𝑟 = 𝑏,−𝜓 ≤ 𝜃 ≤ 𝜓,−𝜋 ≤ 𝜙 < 𝜋 is fixed

𝑤|𝑟=𝑏 = 0, (2)

where 𝑤(𝑟, 𝜃) = 𝑢𝜙 (𝑟, 𝜃) the only nonzero displacement in this problem statement.The bottom spherical face of the cone 𝑟 = 𝑎,−𝜓 ≤ 𝜃 ≤ 𝜓,−𝜋 ≤ 𝜙 < 𝜋 is free

from stress

𝜏𝑟𝜙|𝑟=𝑎 = 0. (3)

One need find the displacement to satisfy the boundary conditions (1)-(3) andthe torsion equation

(𝑟2𝑤′)′ +(sin 𝜃𝑤∙)

∙

sin 𝜃− 𝑤

sin2𝜃= −𝑟2𝑞2𝑤, (4)

where 𝑤∙ = 𝜕𝑤(𝑟,𝜃)𝜕𝜃 , 𝑤′ = 𝜕𝑤(𝑟,𝜃)

𝜕𝑟 , 𝑞 = 𝜔𝑐 is the wave number and 𝑐 =

√𝐺𝜌 is the

shear wave speed, 𝜌 is density and 𝐺 is the shear modulus.

a

b

F(r)

ψ

Fig. 1. Geometry of the problem

2. Deriving the basis solutions of a one dimension boundary problem.The integral G. Ya. Popov transform [27] is applied to problem (1)-(4)

𝑤𝑘(𝑟) =

𝜓∫0

sin 𝜃𝑃 1𝜈𝑘(cos 𝜃)𝑤(𝑟, 𝜃)𝑑𝜃 (5)

with inverse transform formula

𝑤(𝑟, 𝜃) =

∞∑𝑘=0

𝑃 1𝜈𝑘(cos 𝜃)𝑤𝑘(𝑟)𝑃 1𝜈𝑘(cos 𝜃)

2 , (6)

where 𝑃 1𝜈𝑘(cos 𝜃) ia associated Legendre’s function of the first kind, 𝜈𝑘 are the

roots of the transcendental equation

𝜕𝑃 1𝜈𝑘(cos 𝜃)

𝜕𝜃

𝜃=𝜓

− 𝑐𝑡𝑔𝜔 𝑃 1𝜈𝑘(cos𝜓) = 0 (7)

68 Mysov K. D.

Thus, a one-dimensional boundary value problem is received in the transform’sdomain: (

𝑟2𝑤′𝑘

)′ − 𝜈𝑘 (𝜈𝑘 + 1)𝑤𝑘 − 𝑟2𝑞2𝑤𝑘 = −𝑟𝐹 (𝑟) sin𝜓𝑃 1𝜈𝑘(cos 𝜃)

𝑤𝑘|𝑟=𝑏 = 0

𝜏𝑘𝑟𝜙𝑟=𝑎

= (𝑤′𝑘 − 𝑟−1𝑤𝑘)

𝑟=𝑎

= 0

(8)

It’s basis solution system {Ψ0𝑘 (𝑟) ,Ψ1𝑘 (𝑟)} [28] has next form

Ψ0𝑘 (𝑟) =(𝑎𝑟

) 12𝑊𝜈𝑘 (𝑞𝑟, 𝑞𝑏)Δ

−1𝑘

Ψ1𝑘 (𝑟) =(𝑏𝑟

) 12(− 3

2𝑎−1𝑊𝜈𝑘 (𝑞𝑎, 𝑞𝑟)Δ

−1𝑘 +𝑊 1

𝜈𝑘(𝑞𝑎, 𝑞𝑟)

)Δ−1𝑘

Δ𝑘 = − 32𝑎

−1𝑊𝜈𝑘 (𝑞𝑎, 𝑞𝑏) +𝑊 1𝜈𝑘

(𝑞𝑎, 𝑞𝑏)

, (9)

where

𝑊𝑘 (𝑥, 𝑦) = 𝐽𝑘 (𝑥)𝑌𝑘 (𝑦)− 𝐽𝑘 (𝑦)𝑌𝑘 (𝑥)

𝑊 1𝑘 (𝑥, 𝑦) = 𝐽 ′

𝑘 (𝑥)𝑌𝑘 (𝑦)− 𝐽𝑘 (𝑦)𝑌′𝑘 (𝑥)

, (10)

where 𝐽𝑘 (𝑥) and 𝑌𝑘 (𝑥) are Bessel’s functions of the first and second kind respec-tively.

The solution of boundary value problem (8) is constructed in form

𝑤𝑘 (𝑟) =

𝑏∫𝑎

𝑅 (𝜉)𝐺𝑘 (𝑟, 𝜉) 𝑑𝜉, (11)

where 𝑅(𝜉) is a right part of differential equation in (8) and 𝐺𝑘 (𝑟, 𝜉) is Green’sfunction [28].

3. Green’s function deriving. Green’s function is constructed in next form

𝐺𝑘 (𝑟, 𝜉) =

⎧⎨⎩ 𝑎0 (𝜉)Ψ0𝑘 (𝑟) + 𝑎1(𝜉)Ψ1𝑘 (𝑟) , 𝑎 < 𝑟 < 𝜉

𝑏0 (𝜉)Ψ0𝑘 (𝑟) + 𝑏1(𝜉)Ψ1𝑘 (𝑟) , 𝜉 < 𝑟 < 𝑏(12)

where 𝑎𝑖(𝜉), 𝑏𝑖(𝜉) 𝑖 = 0, 1 are unknown constants found from four defining prop-erties of Green’s function.

𝑎0 (𝜉) ≡ 0, 𝑏1 (𝜉) ≡ 0

𝑎1 (𝜉) = 𝜉−2 Ψ0𝑘(𝜉)𝛿(𝜉)

𝑏0 (𝜉) = 𝜉−2 Ψ1𝑘(𝜉)𝛿(𝜉)

𝛿 (𝜉) = Ψ′0𝑘 (𝜉)Ψ0𝑘 (𝜉)−Ψ0𝑘 (𝜉)Ψ

′1𝑘 (𝜉)

(13)

Thus, Green’s function become

𝐺𝑘 (𝑟, 𝜉) = 𝜉−2

⎧⎨⎩Ψ0𝑘(𝜉)Ψ1𝑘(𝑟)

𝛿(𝜉) , 𝑎 < 𝑟 < 𝜉

Ψ1𝑘(𝜉)Ψ0𝑘(𝑟)𝛿(𝜉) , 𝜉 < 𝑟 < 𝑏

. (14)


Considering basis solutions (9) one can obtain next form of green function

𝐺𝑘 (𝑟, 𝜉) = − 𝜋𝑞

2𝜉𝑟

⎧⎨⎩𝐹𝑘(𝜉,𝑟)

Δ𝑘, 𝑎 < 𝑟 < 𝜉

𝐹𝑘(𝑟,𝜉)Δ𝑘

, 𝜉 < 𝑟 < 𝑏, (15)

where Δ𝑘 is known from (9) and

𝐹𝑘(𝜉, 𝑟) =𝑊𝜈𝑘 (𝑞𝜉, 𝑞𝑏)×(−3

2𝑎−1𝑊𝜈𝑘 (𝑞𝑎, 𝑞𝑟) +𝑊 1

𝜈𝑘(𝑞𝑎, 𝑞𝑟)

)(16)

4. The final calculation formulas construction. G. Ya. Popov inverseintegral transform is applied to (11). Thus, solution can be written in next form

𝑤𝑘 (𝑟, 𝜃) = sin𝜓𝜋𝑞

2√𝑟

∞∑𝑘=0

𝑃 1𝜈𝑘(cos 𝜃)𝑃 1

𝜈𝑘(cos𝜓)

𝑃 1𝜈𝑘(cos 𝜃)

2𝑏∫𝑎

𝜉32 �� (𝑟, 𝜉) 𝑑𝜉, (17)

where

��𝑘 (𝑟, 𝜉) =

⎧⎨⎩𝐹𝑘(𝜉,𝑟)

Δ𝑘, 𝑎 < 𝑟 < 𝜉

𝐹𝑘(𝑟,𝜉)Δ𝑘

, 𝜉 < 𝑟 < 𝑏. (18)

Next is shown asymptotic procedure which is used to find behavior of sum in (17).Let 𝑓𝑘(𝑘) be the function for which 𝐹𝑘(𝑥) it’s asymptotic form when k is big

enough. An infinite sum can be represented in form of two addends∑∞𝑘=0 𝑓𝑘 (𝑥) =∑𝑁

𝑘=0 𝑓𝑘 (𝑥)+∑∞𝑘=𝑁+1 𝑓𝑘 (𝑥), where 𝑁 is big enough. In second addend function can

be replaced with it’s asymptotic representation. Thus sum can be rewritten in nextform

∞∑𝑘=0

𝑓𝑘 (𝑥) ≈∞∑𝑘=1

𝐹𝑘 (𝑥) +

𝑁∑𝑘=1

(𝑓𝑘 (𝑥)− 𝐹𝑘 (𝑥)) + 𝑓0 (𝑥) (19)

After applying this procedure to displacement one can differentiate them to receiveunknown stress.

5. Numeric results discussion. From the point of view of mechanical appli-cations, one of the most important goals is to find the eigenfrequencies. The solvingof the transcendental equation is required

𝐷 (𝜔) =

𝑁∏𝑘=0

((𝑐𝜈𝑘𝑎

− 3𝜔

2𝑎

)𝑊𝜈𝑘

(𝜔𝑎

𝑐, 𝜔𝑏

𝑐

)− 𝜔𝑊 1

𝜈𝑘

(𝜔𝑎

𝑐, 𝜔𝑏

𝑐

)), (20)

where

𝑊 1𝑘 (𝑥, 𝑦) = 𝐽𝑘+1 (𝑥)𝑌𝑘 (𝑦)− 𝐽𝑘 (𝑦)𝑌𝑘+1 (𝑥) . (21)

The following input parameters were selected for the calculation: 𝑁 = 5, 𝐺 =45.5 · 1010 𝑔/𝑐𝑚/𝑠2, 𝜌 = 8.92 𝑔/𝑐𝑚3, 𝑎 = 10 𝑐𝑚, 𝑏 = 3𝑎, 𝑐 = 2.26 · 105 𝑐𝑚/𝑠.

For three different cone angles 𝜓 = 15∘, 45∘, 75∘ the first five eigenfrequencies areshown in Table 1.

70 Mysov K. D.

𝜓 Ω𝑖

15∘ 1.534381498 3.287793796 5.213091256 7.179694419 9.160953572

45∘ 1.534381498 3.287793796 4.633579360 5.213091256 6.196233245

75∘ 1.534381498 3.204860521 3.287793796 4.578468556 4.589225785

Table 1. Eigenfrequencies dependence from cone’s opening angle

Here Ω𝑖 =2𝜔𝑖𝑙

𝜋𝑐and 𝑙 = 𝑏− 𝑎.

In Table 2 one can see how changing the cone size influences the values of firsteigenfrequencies (𝜓 = 45∘).

𝑏 1.5a 2a 3a 10a

Ω1 1.202871561 1.321210018 1.534381498 2.139666391

Table 2. Eigenfrequencies dependence from cone’s linear size

In Fig. 2 one can see values 𝜏𝜓 =𝜏𝑟𝜙(𝑏,𝜃)

𝐺 where 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜓 and 𝑤𝜓 = 𝑤 (𝑟, 𝜓)where 𝑎 < 𝑟 < 𝑏 for the two cone angles 𝜓 = 45∘ and 𝜓 = 75∘.

0 0.2 0.4 0.6 0.8-10

-5

0

5

45

10-3

10 15 20 25 30r

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

w45

10-3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

75

10 15 20 25 30r

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

w75

Fig. 2. The values of stress and displacement for opening angles 45∘ and 75∘.

Conclusion. The explicit formulae for stress and displacement fields of an elastictwice truncated cone under dynamic torsion are derived in this paper. The dependen-cies of the eigenfrequencies on cones geometric parameters was stated. Comparisonof eigenfrequencies was made to the results in [26]. In case when load is applied onthe lateral surface, the first eigenfrequencies are lower than ones when load is appliedthrough an overlay to bottom face. The proposed approach can be used in case whenan elastic twice-truncated cone is weakened by a spherical crack.


Мисов К. Д.Проблема кручення еластичного двiчи-усiченного конуса

Резюме

Дослiджено задачу визначення хвильового поля пружного двiчi-зрiзаного конуса у ви-падку встановлених коливань. Застосовується iнтегральне перетворення Г. Я. Попова,вiдносно кутової координати. Таким чином, вихiдна задача зводиться до одновимiрноїкрайової задачi в областi трансформант. Функцiя Грiна побудована для одновимiрноїкрайової задачi. З її допомогою розв’язок одновимiрної проблеми побудовано точно.Обернене перетворення Г. Я. Попова допомогло отримати розв’язок в оригiнальномупросторi у формi нескiнченної суми. З його допомогою дослiджена залежнiсть власнихчастот вiд геометричних показникiв конуса. Поле напружень було знайдено за допомо-гою асимптотичної процедури. Графiки порiвняння побудованi для рiзних кутiв отвору.Ключовi слова: двiчи-зрiзаний конус, встановленнi коливання, iнтегральне перетво-рення Г. Я. Попова, власнi частоти, хвильове поле, функцiя Грiна .

Мысов К. Д.Проблема кручения эластичного дважды-усеченного конуса

Резюме

Исследована задача определения волнового поля упругого дважды-усеченного конусав случае установившихся колебаний. Применяется интегральное преобразование Г. Я.Попова относительно угловой координаты. Таким образом исходная задача сводиться кодномерной краевой задаче в области трансформант. Функция Грина построена для од-номерной краевой задаче. С ее помощью решение одномерной краевой задачи построеноточно. Обратное преобразование Г. Я. Попова помогло получить решение в простран-стве оригиналов в форме бесконечной суммы. С его помощью исследована зависимостьсобственных частот от геометрических показателей конуса. Поле напряжений было по-строено с помощью асимптотической процедуры. Графики сравнений построены дляразных углов раствора.Ключевые слова: дважды-усеченный конус, установившиеся колебания, интегральноепреобразование Г. Я. Попова, собственные частоты, волновое поле, функция Грина .

References

1. Yong-Tie Xu, Li-Li Zhang. (2012). 3D Green’s function for a transversely isotropic ther-moelastic cone. Elsevier. Applied Mathematical Modelling, Vol. 36, P. 5891–5900.

2. William, T. Chen. (1965). Stresses in a transversely isotropic elastic cone under anasymmetric force at its vertex. ZAMP, Vol. 16, P. 337–344.

3. Bhargava, R. D., Gupta S. C. (1968). Stresses in an elastic cone due to an axial forceat a point on the axis. Acta Mechanica, Vol. 6, P. 255–274.

4. Roger, D. low, Harry, J. Weiss. (1962). On a mixed boundary value problem for an infiniteelastic cone. ZAMP, Vol. 13, P.232–242.

5. Sabodash, P. F. (1989). Elastic transverse waves initiated in an infinite medium byrotation of a circular cone. Soviet Applied Mechanics, Vol. 25, P. 797–801.

6. Vasilenko, A. T., Pankratova N. D. (1987). Solution of problems on the elastic equilibriumof an anisotropic inhomogeneous cone. Soviet Applied Mechanics, Vol. 23, P. 1141–1147.

72 Mysov K. D.

7. Gao, Y. C., Chen, S. H. (2000). Asymptotic analysis and finite element calculation of arubber cone under tension. Acta Mechanica, Vol. 141, P. 149–159.

8. Popov, G., Vaisfel’d, N. (2014). The torsion of the conical layered elastic cone. ActaMechanica, Vol. 225, P.67–76.

9. Thompson, T. R. (1970). End effects in a truncated semi-infinite cone. Quart. J. Mech.Appl. Math., Vol. 23, P. 185–196.

10. Korepanova, T. O., Matveenko, V. P., Sevodina, N. V. (2013). Numerical analysis ofstress singularity at singular point of three-dimensional elastic bodies. Acta mechanica,Vol. 224, P. 2045–2063.

11. Khomosuridze, N. G. (2003). The thermoelastic equilibrium of the conical bodies. Appl.Maths Mechs, Vol. 67, P. 111–120.

12. Rossikhin, Y. A., Shitikova, M. V. (2004). The influence of the initial stresses on thedynamic instability of an anisotropic cone. Kluwer academic publisher, Vol. 163, P.257–270.

13. Popov, G., Vaysfel’d, N. (2009). The stress concentration in the neighborhood of thespherical crack inside the infinite elastic cone. Modern Analysis and Applications, Vol.191, P. 173–186.

14. Popov, G., Vaysfel’d, N. (2011). The steady-state oscillations of the elastic infinite coneloaded at vertex by a concentrated force. Acta Mechanica, Vol. 221, P. 261–270.

15. Vaysfel’d, N. D. (2002). Nonstationary problem of torsion for an elastic cone with spher-ical crack. Materials Science, Vol. 38, P. 698–708.

16. Kenner, V. H., Goldsmith, W. (1968). Elastic waves in truncated cone. ExperimentalMechanics, Vol. 8, P. 442–449.

17. Kebli, B., Popov, G. Ya., Vaysfel’d N. D. (2011). Dynamics of a truncated elastic cone.International Applied Mechanics, Vol. 46, P. 1284–1291.

18. Akhmedov, N. K., Mekhtiyev, M. F. (1993). Analysis of a three-dimensional problem ofthe theory of elasticity for an inhomogeneous truncated hollow cone. Journal of AppliedMathematics and Mechanics, Vol. 57, P. 871–877.

19. Popov, G. Ya. (2012). Torsion of an infinite truncated hollow elastic cone. DokladyPhysics, Vol. 57, P. 492–496.

20. Popov, G. Ya., Vaisfel’d N. D. (2014). Torsion of a truncated conically layered elasticcone. Journal of Mathematical Sciences, Vol. 203, P. 135–148.

21. Kamran, A., Manouchehr, S., Mehdi, A. (2011). Elastic solution of a two dimensionalfunctionally graded thick truncated cone with finite length under hydrostatic combinedloads. Acta Mechanica, Vol. 217, P. 119–134.

22. Savchenko, V. I., Shokot’ko, S. G., Uspenskii, A. A. (1977) Study of the stress-strainstate of truncated elastic cones. Strength of Materials, Vol. 9, P. 817–821.

23. Uspemskii, A. A. (1977). State of stress of an anisotropic cone under an axisymmetricload. Soviet Applied Mechanics, Vol. 13, P. 436–440.

24. Popov, G. Ya. (2005). On the axisymmetrical problems of elasticity for the truncatedhollow cone. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 69, P. 417–426.

25. Vaisfel’d, N. D., Popov, G. Ya., Reut, A. V. (2014). Axisymmetric problem of stressedstate for a twice truncated cone. Journal of Mathematical Sciences, Vol. 201, P. 229–244.

26. Mysov, K., Vaysfeld, N. (2018). Steady state torsion of twice truncated elastic cone.Young Scientist Vol. 10, P. 118–121.


27. Popov, G. Ya. (2003). New transforms for the resolving equations in elastic theory andnew integral transforms, with applications to boundary-value problems of mechanics.International Applied Mechanics, Vol. 39(12), P. 1400–1424.

28. Popov, G. Ya., Abdimanapov, S.A., Efimov, V.V. (1999). Green’s functions and matrixof one-dimensional boundary value problems. Almati: Rauan, 113 p.


UDC 517.9

A. OgulenkoTel Aviv University, Faculty of Exact Sciences

AVERAGING METHOD FOR DYNAMIC SYSTEMS ON TIMESCALES WITH PERIODICITY

This paper aims to improve existing results about using averaging method for analysis of

dynamic systems on time scales. We obtain a more accurate estimate for proximity be-

tween solutions of original and averaged systems regarding Δ–periodic and Δ-quasiperiodic

systems, which are introduced for the first time. To illustrate the application of the aver-

aging theorem for such kind of system we considered an example and conducted numerical

modelling. Obtained results extend an application area for previously developed numerical-

ly–asymptotic method of solution for optimal control problems on time scales.

MSC: 34N05, 34C29.

Key words: time scale, dynamic system, averaging method, periodic in shifts, Δ-periodic in

shifts, Δ-quasiperiodic in shifts.

DOI: 10.18524/2519–206x.2019.1(33).175548.

Introduction. A systematic theory of averaging method for ordinary differentialequations began from the works of [7]. Further it was developing by [2] and the others.Since then, there have been many works establishing the averaging method for varioustypes of dynamic systems: differential equations with discontinuous and multi-valuedright-hand side, with Hukuhara derivative, with delay etc. The review of these resultsone can find in [11].

On the other hand, the theory of dynamic equations on time scales was introducedby [5] in order to unify continuous and discrete calculus. In detail, the description oftime scale analysis can be found in the [3, 4].

As far as we know the averaging method in connection with the systems on timescales was first examined by [12]. In particular, there were studied conditions ofproximity between solutions of the original system on time scale and some generalizeddifferential equation. From the practical point of view, the interpretation of the lastequation’s solution in terms of given application is somewhat unclear.

Previously we established the scheme of full averaging for dynamic systems ontime scales ( [9]) and in our approach the averaged system has the same time natureas the original one. Recently we also established the analogous result for partiallyaveraged systems, [8]. On the base of this scheme, it was developed the numerically–asymptotic method of solution for optimal control problems on time scales ( [6, 10]).

Auxiliary arguments. We now present some basic information about timescales according to [4]. A time scale is defined as a nonempty closed subset of theset of real numbers and usually denoted by T. The properties of the time scale aredetermined by the following three functions: 1) the forward-jump operator 𝜎(𝑡) =inf {𝑠 ∈ T : 𝑠 > 𝑡}; 2) the backward-jump operator 𝜌(𝑡) = sup {𝑠 ∈ T : 𝑠 < 𝑡} (in this

Received 13.01.2019 c○Ogulenko A., 2019

Averaging method for dynamic systems on time scales with periodicity 75

case, we set inf ∅ = supT and sup∅ = inf T); 3) the granularity function 𝜇(𝑡) =𝜎(𝑡)− 𝑡.

The behaviour of the forward- and backward-jump operators at a given point ofthe time scale specifies the type of this point. If 𝑡 < 𝜎(𝑡), then 𝑡 is called right–scattered, if 𝑡 = 𝜎(𝑡) — right–dense. Also, point will be called left–scattered when𝜌(𝑡) < 𝑡 and left–dense when 𝜌(𝑡) = 𝑡. Finally, point is called dense if it is right-dense and left–dense at the same time and isolated if it is both right–scattered andleft-scattered.

Important role in time scales calculus has the set T𝜅 which is derived from thetime scale T as follows: if T has a left–scattered maximum 𝑚, then T𝜅 = T − {𝑚}.Otherwise, T𝜅 = T. In what follows, we set [𝑎, 𝑏]T = {𝑡 ∈ T : 𝑎 6 𝑡 6 𝑏}.

Definition 1 ( [4]). Let 𝑓 : T → R and 𝑡 ∈ T𝜅. The number 𝑓Δ(𝑡) is calledΔ-derivative of function 𝑓 at the point 𝑡, if ∀𝜀 > 0 there exists a neighborhood 𝑈 ofthe point 𝑡 (i. e., 𝑈 = (𝑡− 𝛿, 𝑡+ 𝛿) ∩ T, 𝛿 < 0) such that

|𝑓(𝜎(𝑡))− 𝑓(𝑠)− 𝑓Δ(𝑡)(𝜎(𝑡)− 𝑠)| 6 𝜀|𝜎(𝑡)− 𝑠| ∀𝑠 ∈ 𝑈.

Definition 2 ( [4]). If 𝑓Δ(𝑡) exists ∀𝑡 ∈ T𝜅, then 𝑓 : T → R is called Δ-differentiable on T𝜅. The function 𝑓Δ(𝑡) : T𝜅 → R is called the delta-derivative of afunction 𝑓 on T𝜅.

If 𝑓 is differentiable with respect to 𝑡, then 𝑓(𝜎(𝑡)) = 𝑓(𝑡) + 𝜇(𝑡)𝑓Δ(𝑡).

Definition 3 ( [4]). The function 𝑓 : T → R is called 𝑟𝑑-continuous if it iscontinuous at the right-dense points and has finite left limits at the left-dense points.The set of these functions is denoted by 𝐶𝑟𝑑 = 𝐶𝑟𝑑(T) = 𝐶𝑟𝑑(T;R).

The indefinite integral on the time scale takes the form∫𝑓(𝑡)Δ𝑡 = 𝐹 (𝑡) + 𝐶,

where 𝐶 is integration constant and 𝐹 (𝑡) is the preprimitive for 𝑓(𝑡). If the relation𝐹Δ(𝑡) = 𝑓(𝑡) where 𝑓 : T → R is an 𝑟𝑑-continuous function, is true for all 𝑡 ∈ T𝜅

then 𝐹 (𝑡) is called the primitive of the function 𝑓(𝑡). If 𝑡0 ∈ T then 𝐹 (𝑡) =𝑡∫𝑡0

𝑓(𝑠)Δ𝑠

for all 𝑡. The definite Δ-integral on time scale interval is defined by Newton–Leibnizformula.

Definition 4 ( [4]). A function 𝑝 : T → R is called regressive (positive regressive)if

1 + 𝜇(𝑡)𝑝(𝑡) = 0, (1 + 𝜇(𝑡)𝑝(𝑡) > 0), 𝑡 ∈ T𝜅.

The set of regressive (positive regressive) and 𝑟𝑑-continuous functions is denoted byℛ = ℛ(T) (ℛ+ = ℛ+(T)).

A function 𝑝 from the class ℛ can be associated with a function 𝑒𝑝(𝑡, 𝑡0) which isthe unique solution of Cauchy problem

𝑦Δ = 𝑝(𝑡)𝑦, 𝑦(𝑡0) = 1.

The function 𝑒𝑝(𝑡, 𝑡0) is an analog, by its properties, of the exponential functiondefined on R.

In what follows we heavily use the next result.

76 Ogulenko A.

Theorem 1 (Substitution rule, [4], theorem 1.98). Assume 𝜈 : T → R is strictlyincreasing and T = 𝜈(T) is a time scale. If 𝑓 : T → R is an rd-continuous functionand 𝜈 is differentiable with rd-continuous derivative, then for 𝑎, 𝑏 ∈ T,

𝑏∫𝑎

𝑔(𝑠)𝜈Δ(𝑠)Δ𝑠 =

𝜈(𝑏)∫𝜈(𝑎)

𝑔(𝜈−1(𝑠)

)Δ𝑠. (1)

Various kinds of periodicity on time scale was presented and studied by [1]. Thebasic framework is as follows. For arbitrary non-empty susbet T* of the time scale Tincluding a fixed number 𝑡0 the operators 𝛿± : [𝑡0,+∞) × T* → T* are introduced.The operators 𝛿+ and 𝛿− associated with the initial point 𝑡0 ∈ T* are said to beforward and backward shift operators on the set T*, respectively. The first argumentin 𝛿±(𝑠, 𝑡) is called the shift size. The values 𝛿+(𝑠, 𝑡) and 𝛿−(𝑠, 𝑡) indicate translationof the point 𝑡 ∈ T* to the right and left by 𝑠 units, respectively.

Definition 5 ( [1]). Let T be a time scale with the shift operators 𝛿± associatedwith the initial point 𝑡0 ∈ T*. The time scale T is said to be periodic in shifts 𝛿± ifthere exists a 𝑝 ∈ (𝑡0,∞)T* such that (𝑝, 𝑡) ∈ 𝐷∓ for all 𝑡 ∈ T*. Furthermore, if

𝑃 = inf {𝑝 ∈ (𝑡0,∞)T* : (𝑝, 𝑡) ∈ 𝐷∓ for all 𝑡 ∈ T*} = 𝑡0,

then 𝑃 is called the period of the time scale T.

Definition 6 ( [1]). Let T be a time scale that is periodic in shifts 𝛿± with theperiod 𝑃 . We say that a real valued function 𝑓 defined on T* is periodic in shifts 𝛿±if there exists a 𝑇 ∈ [𝑃,∞)T* such that (𝑇, 𝑡) ∈ 𝐷± and 𝑓(𝛿±(𝑇, 𝑡)) = 𝑓(𝑡) for all𝑡 ∈ T*. The smallest such a number 𝑇 ∈ [𝑃,∞)T* is called the period of 𝑓 .

Definition 7 ( [1]). Let T be a time scale that is periodic in shifts 𝛿± with theperiod 𝑃 . We say that a real valued function 𝑓 defined on T* is Δ-periodic in shifts 𝛿±if there exists a 𝑇 ∈ [𝑃,∞)T* such that (𝑇, 𝑡) ∈ 𝐷± for all 𝑡 ∈ T*, the shifts 𝛿±(𝑇, 𝑡)are Δ-differentiable with rd-continuous derivative with respect to second argument and

𝑓(𝛿±(𝑇, 𝑡))𝛿Δ± (𝑇, 𝑡) = 𝑓(𝑡)

for all 𝑡 ∈ T* The smallest such a number 𝑇 ∈ [𝑃,∞)T* is called the period of 𝑓 .

It was shown in [1] that the following propositions about periodicity in shifts aretrue.

Proposition 1 ( [1]). If 𝛿+(𝑠, ·) is Δ-differentiable in its second argument, then𝛿Δ+ (𝑠, ·) > 0.

Proposition 2 ( [1]). Let T be a time scale that is periodic in shifts 𝛿± with theperiod 𝑃 and 𝑓 a Δ-periodic in shifts 𝛿± with the period 𝑇 ∈ [𝑃,∞)T* . Suppose that𝑓 ∈ 𝐶𝑟𝑑(T), then

𝑡∫𝑡0

𝑓(𝑠)Δ𝑠 =

𝛿𝑇±(𝑡)∫𝛿𝑇±(𝑡0)

𝑓(𝑠)Δ𝑠.


Main Results. Let T be an unbounded above time scale that is periodic in shifts𝛿± with period 𝑃 ∈ (𝑡0,+∞)T* . For simplicity we denote by 𝛿𝑇±(𝑡) the shift operators

with period 𝑇 and by 𝛿(𝑖)±𝑇 (𝑡) or 𝛿

(𝑖)(𝑡) the 𝑖-th power of shift operator composition,dropping argument sometimes.

Consider on T the following dynamic system:

𝑥Δ = 𝜀𝑋(𝑡, 𝑥), 𝑥(𝑡0) = 𝑥0. (2)

Here 𝑥 ∈ R𝑛, 𝜀 > 0 is a small parameter, 𝑋(𝑡, 𝑥) is 𝑛-dimensional vector–functionsuch that every component is Δ-periodic in shifts 𝛿±(𝑇, 𝑡) function, 𝑇 ∈ [𝑃,+∞)T* .

In correspondence to this original system, we put another dynamic system on thesame time scale as follows:

𝜉Δ = 𝜀 𝑋(𝑡, 𝜉), 𝜉(𝑡0) = 𝑥0, (3)

where

𝑋(𝑡, 𝑥) =

{ 𝑋𝑖(𝑥) =1

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)− 𝛿(𝑖)(𝑡0)

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)∫𝛿(𝑖)(𝑡0)

𝑋(𝑡, 𝑥)Δ𝑡,

𝛿(𝑖)(𝑡0) 6 𝑡 < 𝛿(𝑖+1)(𝑡0), 𝑖 = 0, 1, 2, . . .

}.

(4)

The last system (4) we call partially averaged system corresponding to the originalone.

Taking into account Δ-periodical properties of the function 𝑋(𝑡, 𝑥), it is easy tosee, that

𝑋𝑖(𝜉) =

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)∫𝛿(𝑖)(𝑡0)

𝑋(𝑡, 𝜉)Δ𝑡

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)− 𝛿(𝑖)(𝑡0)=

𝛿(𝑖)(𝑡0)∫𝛿(𝑖−1)(𝑡0)


𝛿(𝑖+1)(𝑡0)− 𝛿(𝑖)(𝑡0)= · · · =

𝛿𝑇+(𝑡0)∫𝑡0


𝛿(𝑖+1)(𝑡0)− 𝛿(𝑖)(𝑡0),

that is, 𝑋𝑖(𝜉) =𝛿𝑇+(𝑡0)− 𝑡0

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)− 𝛿(𝑖)(𝑡0)𝑋0(𝜉), 𝑖 = 0, 1, 2, . . . .

We now prove that under general conditions there exists proximity between solu-tions of systems (2) and (3).

Theorem 2. Let 𝑄 ={𝑡 ∈ T, 𝑥 ∈ 𝐷

}, 𝑥(𝑡) and 𝜉(𝑡) denote solutions of the

Cauchy problems (2) and (3) respectively. Now suppose the following conditions holdin 𝑄:

1) every component of vector–function 𝑋(𝑡, 𝑥) is Δ-periodic in shifts 𝛿±(𝑇, 𝑡) func-tion, 𝑇 ∈ [𝑃,+∞)T* .

2) the function 𝑋(𝑡, 𝑥) is rd-continuous with respect to 𝑡 and regressive. Moreover,𝑋(𝑡, 𝑥) satisfies conditions of existence and uniqueness of solution for Cauchyproblem such that

∀(𝑡, 𝑥) ∈ 𝑄 ‖𝑋(𝑡, 𝑥)‖ 6𝑀,𝑀 > 0,

78 Ogulenko A.

𝑋(𝑡, 𝑥) is Lipschitz continuous with respect to 𝑥 with constant 𝜆 > 0, i. e.

‖𝑋 (𝑡, 𝑥1)−𝑋 (𝑡, 𝑥2)‖ 6 𝜆 ‖𝑥1 − 𝑥2‖ ∀ (𝑡, 𝑥1) , (𝑡, 𝑥2) ∈ 𝑄 ;

3) there exists a constant 𝐾 > 0 such that the following holds for all 𝑖 > 1:

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)− 𝛿(𝑖)(𝑡0) 6 𝐾;

4) the solution 𝜉(𝑡) of averaged system (3) with initial value 𝜉(𝑡0) = 𝑥0 ∈ 𝐷′ ⊂ 𝐷is well defined for all 𝑡 ∈ T𝜅 and with its 𝜌-neighbourhood lies in 𝐷.

Then for any 𝐿 > 0 there exists 𝜀0 (𝐿) > 0 such that for 0 < 𝜀 < 𝜀0 and 𝑡 ∈[𝑡0, 𝑡0 + 𝐿𝜀−1

]∩ T the following estimate holds:

‖𝑥(𝑡)− 𝜉(𝑡)‖ 6 𝐶𝜀. (5)

Proof. It is easy to see that 𝑋(𝑡, 𝑥) is bounded and Lipschitz continuous withrespect to the second argument. It directly follows from the way of construction (4).So, we have for any fixed 𝑡 ∈ T 𝑋(𝑡, 𝑥′)− 𝑋(𝑡, 𝑥′′)

6 𝜆 ‖𝑥′ − 𝑥′′‖ .

Therefore, conditions 1) and 2) imply the existence and uniqueness of solutions forboth original system and averaged one. Moreover, these solutions can be continueduntil 𝑥(𝑡) ∈ 𝐷 (accordingly, 𝜉(𝑡) ∈ 𝐷).

Let us write both original and partially averaged systems in integral form:

𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝜀

𝑡∫𝑡0

𝑋(𝑠, 𝑥(𝑠))Δ𝑠, 𝜉(𝑡) = 𝑥0 + 𝜀

𝑡∫𝑡0

𝑋(𝑠, 𝜉(𝑠))Δ𝑠.

In the same way as we did establishing the scheme of full averaging for dynamicsystems on time scales in [9], let us estimate the norm of difference between solutions:

‖𝑥(𝑡)− 𝜉(𝑡)‖ =

𝜀

𝑡∫𝑡0

[𝑋(𝑠, 𝑥(𝑠))− 𝑋(𝑠, 𝜉(𝑠))

]Δ𝑠

6

6 𝜆𝜀

𝑡∫𝑡0

‖𝑥(𝑠)− 𝜉(𝑠)‖Δ𝑠+ 𝜀

𝑡∫𝑡0

[𝑋(𝑠, 𝜉(𝑠))− 𝑋(𝑠, 𝜉(𝑠))

]Δ𝑠

.

We will estimate the last summand on the time scale interval[𝑡0, 𝑡0 + 𝐿𝜀−1

]∩ T.

By 𝜙(𝑡, 𝜉) denote the last integrand:

𝜙(𝑡, 𝜉) = 𝑋(𝑡, 𝜉(𝑠))− 𝑋(𝑡, 𝜉(𝑠)).

Consider time interval[𝛿(𝑖)(𝑡0), 𝛿

(𝑖+1)(𝑡0)]. By construction, on this interval𝑋(𝑡, 𝜉) = 𝑋𝑖(𝜉) and

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)∫𝛿(𝑖)(𝑡0)

𝜙(𝑠, 𝜉𝑖)Δ𝑠 = 0,


where 𝜉𝑖 = 𝜉(𝛿(𝑖)(𝑡0)

)= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Further,

𝑡∫𝑡0

𝜙(𝑠, 𝜉(𝑠))Δ𝑠

6

𝛿

(𝑁)+ (𝑡0)∫𝑡0


+

𝑡∫𝛿(𝑁)(𝑡0)


6

6

𝑁−1∑𝑖=0

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)∫𝛿(𝑖)(𝑡0)

[𝜙(𝑠, 𝜉)− 𝜙(𝑠, 𝜉𝑖)]Δ𝑠

+ 𝑡∫𝛿(𝑁)(𝑡0)

‖𝜙(𝑠, 𝜉(𝑠))‖Δ𝑠 6

6𝑁−1∑𝑖=0

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)∫𝛿(𝑖)(𝑡0)

‖𝜙(𝑠, 𝜉)− 𝜙(𝑠, 𝜉𝑖)‖Δ𝑠+ 2𝑀(𝑡− 𝛿(𝑁)(𝑡0)

)6

6𝑁−1∑𝑖=0

2𝜆

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)∫𝛿(𝑖)(𝑡0)

‖𝜉(𝑠)− 𝜉𝑖‖Δ𝑠+ 2𝑀(𝛿(𝑁+1)(𝑡0)− 𝛿(𝑁)(𝑡0)

)6

6𝑁−1∑𝑖=0

2𝜆 · 𝜀𝑀(𝛿(𝑖+1)(𝑡0)− 𝛿(𝑖)(𝑡0)

)+ 2𝑀𝐾 6

6 2𝜆 · 𝜀𝑀𝑁−1∑𝑖=0

(𝛿(𝑖+1)(𝑡0)− 𝛿(𝑖)(𝑡0)

)+ 2𝑀𝐾 =

= 2𝜆 · 𝜀𝑀(𝛿(𝑁)(𝑡0)− 𝑡0

)+ 2𝑀𝐾 =

= 2𝜆 · 𝜀𝑀 · 𝐿𝜀+ 2𝑀𝐾 = 2𝑀 (𝜆𝐿+𝐾) .

Thus we have

‖𝑥(𝑡)− 𝜉(𝑡)‖ 6 𝜆𝜀

𝑡∫𝑡0

‖𝑥(𝑠)− 𝜉(𝑠)‖Δ𝑠+ 𝜀

𝑡∫𝑡0


6

6 𝜆𝜀

𝑡∫𝑡0

‖𝑥(𝑠)− 𝜉(𝑠)‖Δ𝑠+ 𝜀 · 2𝑀 (𝜆𝐿+𝐾) .

Taking into account Gronwall’s inequality and properties of the exponential func-tion on time scale ( [3]), we obtain as we did before

‖𝑥(𝑡)− 𝜉(𝑡)‖ 6 𝜀 · 2𝑀 (𝜆𝐿+𝐾) · 𝑒𝜆𝜀(𝑡, 𝑡0) < 𝜀 · 2𝑀 (𝜆𝐿+𝐾) · 𝑒𝜆𝐿,

that is,

‖𝑥(𝑡)− 𝜉(𝑡)‖ < 𝐶𝜀,

where 𝐶 = 2𝑀 (𝜆𝐿+𝐾) · 𝑒𝜆𝐿 and this concludes the proof. �

80 Ogulenko A.

It is clear that trivial time scales R, Z, and ℎZ are periodic in shifts 𝛿±(𝑇, 𝑡) =𝑇 ± 𝑡 for various periods 𝑇 . Also, any periodic in shifts 𝛿±(𝑇, 𝑡) function is Δ-periodic in such cases. Moreover, condition 3) of the last theorem is trivially satisfied.Thus proved theorem is the closest analogue of the averaging theorem for ordinarydifferential equations with a periodic right-hand side.

At the same time to find a good example of periodic in shifts non-trivial timescales appears to be a hard problem. Finding Δ-periodic functions defined on suchtime scales is a yet harder problem. For example, consider some non-trivial time scalewith a condensation point. By definition, a Δ-periodic function has to compensatedecreasing length of the integration interval by increasing magnitude. Hence functionneeds to be unbounded as time tends to condensation point and we cannot applyaveraging theorem.

Example 1. Let T =

{𝑡𝑛 = 1− 1

𝑞𝑛, 𝑛 ∈ N0, 𝑞 > 1

}∪ {1}. This is a time scale

with condensation point 𝑡 = 1, forward jump operator 𝜎(𝑡) = 𝑞−1+𝑡𝑞 , and graininess

𝜇(𝑡) =𝑞 − 1

𝑞(1− 𝑡). Forward shift can be defined as follows:

𝛿+(𝑇, 𝑡) =𝑞𝑇 + 𝑡− 1

𝑞𝑇.

It is easy to compute 𝛿Δ+ (𝑇, 𝑡) = 𝑞−𝑇 . We found out a simple function 𝑓(𝑡) =1

1− 𝑡such that 𝑓 (𝛿+(𝑇, 𝑡)) 𝛿

Δ+ (𝑇, 𝑡) = 𝑓(𝑡), i. e. the function 𝑓(𝑡) is Δ-periodic in shifts.

However 𝑓(𝑡) is unbounded above as 𝑡→ 1.

Analyzing the example, we found one more possibility to obtain a more accurateestimate for proximity between solutions of the original and averaged systems.

Definition 8. Let T be a periodic in shift 𝛿+(𝑃, 𝑡) time scale with a period 𝑃 .A function 𝑓(𝑡) is called geometric Δ-quasiperiodic function with period 𝑇 > 𝑃 andfactor 𝛾 if the following condition holds:

𝑓 (𝛿+(𝑇, 𝑡)) 𝛿Δ+ (𝑇, 𝑡) = 𝛾𝑓(𝑡). (6)

Using substitution rule (1) we can easily prove the important property of geomet-ric Δ-quasiperiodic function.

Lemma 1. Let T be a time scale that is periodic in shift 𝛿+ with the period 𝑃and 𝑓 a geometric Δ-quasiperiodic in shift 𝛿+ with the period 𝑇 ∈ [𝑃,∞)T* . Supposethat 𝑓 ∈ 𝐶𝑟𝑑(T), then

𝑡∫𝑡0

𝑓(𝑠)Δ𝑠 = 𝛾

𝛿𝑇+(𝑡)∫𝛿𝑇+(𝑡0)

𝑓(𝑠)Δ𝑠.

Proof. Substituting 𝜈(𝑠) = 𝛿+(𝑇, 𝑠) and 𝑔(𝑠) = 𝑓 (𝛿+(𝑇, 𝑡)) in (1) and taking(6) into account we obtain the statement of lemma by direct calculation.


Now suppose 𝑋(𝑡, 𝑥) in (2) is geometric Δ-quasiperiodic with period 𝑇 and factor𝛾 for any fixed 𝑥. Consider dynamic system

𝜉Δ = 𝜀 𝑋(𝑡, 𝜉), 𝜉(𝑡0) = 𝑥0, (7)

where

𝑋(𝑡, 𝑥) =

{ 𝑋𝑖(𝑥) =𝛾𝑖

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)− 𝛿(𝑖)(𝑡0)

𝛿+(𝑇,𝑡0)∫𝑡0

𝑋(𝑡, 𝑥)Δ𝑡,

𝛿(𝑖)(𝑡0) 6 𝑡 < 𝛿(𝑖+1)(𝑡0), 𝑖 = 0, 1, 2, . . .

}.

(8)

We can prove now that there exists proximity between solutions of systems (2)and (7) when 𝑋(𝑡, 𝑥) is a geometric Δ-quasiperiodic function.

Theorem 3. Suppose the conditions 2)–4) of Theorem 2 hold in 𝑄, and besidesthis, every component of vector–function 𝑋(𝑡, 𝑥) is geometric Δ-quasiperiodic functionwith period 𝑇 and factor 𝛾 for any fixed 𝑥.

Then for any 𝐿 > 0 there exists 𝜀0 (𝐿) > 0 such that for 0 < 𝜀 < 𝜀0 and𝑡 ∈

[𝑡0, 𝑡0 + 𝐿𝜀−1

]∩ T the following estimate holds:

‖𝑥(𝑡)− 𝜉(𝑡)‖ 6 𝐶𝜀, (9)

where 𝑥(𝑡) and 𝜉(𝑡) denote solutions of the Cauchy problems (2) and (7) respectively.

Proof. From quasiperiodical properties of the function 𝑋(𝑡, 𝑥), it follows easilythat

𝛿(𝑖+1)(𝑡0)∫𝛿(𝑖)(𝑡0)

𝜙(𝑠, 𝜉𝑖)Δ𝑠 = 0, 𝑖 = 0, 1, . . . ,

where 𝜙(𝑡, 𝜉) = 𝑋(𝑡, 𝜉(𝑠)) − 𝑋(𝑡, 𝜉(𝑠)) and 𝜉𝑖 = 𝜉(𝛿(𝑖)(𝑡0)

)= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Thus the argu-

mentation of previous proof can be repeated almost literally. For brevity, we omit thedetails.

Example 2. Let us use time scale from previous example. Consider dynamicsystem

𝑥Δ = 𝜀(−1)−ln(1−𝑡)

ln 𝑞 𝑥, 𝑥(0) = 1, 𝑡 ∈ T,

that is, 𝑋(𝑡, 𝑥) = (−1)−ln(1−𝑡)

ln 𝑞 𝑥. We get

𝑋 (𝛿+(𝑇, 𝑡), 𝑥) 𝛿Δ+ (𝑇, 𝑡) = 𝑥 · (−1)−

ln

(1− 𝑞𝑇 +𝑡−1

𝑞𝑇

)ln 𝑞 · 1

𝑞𝑇=

= 𝑥 · (−1)−ln(1−𝑡)−ln 𝑞𝑇

ln 𝑞 · 1

𝑞𝑇=

= 𝑥 · (−1)−ln(1−𝑡)

ln 𝑞 · (−1)𝑇 · 1

𝑞𝑇=

= 𝑋(𝑡, 𝑥) · (−1)𝑇 · 1

𝑞𝑇.

82 Ogulenko A.

This implies that 𝑋(𝑡, 𝑥) is geometric Δ-quasiperiodic with period 𝑇 = 2 and factor𝛾 = 𝑞−𝑇 = 𝑞−2.

Further, 𝛿(𝑖+1)(0)− 𝛿(𝑖)(0) =𝑞𝑇 − 1

𝑞𝑇 (𝑖+1)6𝑞𝑇 − 1

𝑞𝑇. Thus we have

𝑋𝑖(𝑥) =

(𝑞−𝑇

)𝑖𝛿(𝑖+1)(0)− 𝛿(𝑖)(0)

𝛿+(𝑇,0)∫0

𝑋(𝑡, 𝑥)Δ𝑡 =

=𝑞2

𝑞2 − 1

1− 1𝑞2∫

0

𝑋(𝑡, 𝑥)Δ𝑡 =

=𝑞2

𝑞2 − 1· 𝑥 · 𝑞 − 1

𝑞2= 𝑥 · 1

𝑞 + 1.

Hence we have two systems on the same time scale:

{𝑥Δ = 𝜀 · (−1)−

ln(1−𝑡)ln 𝑞 𝑥,

𝑥(0) = 1,and

⎧⎨⎩𝜉Δ = 𝜀 · 𝜉

𝑞 + 1,

𝜉(0) = 1.

It is not too hard to find exact solution of the linear equation

𝑦Δ = 𝑝𝑦, 𝑦(0) = 𝑦0, 𝑡 ∈ T.

Indeed, all 𝑡 = 1 are isolated points and thus 𝑦(𝜎(𝑡)) = 𝑦(𝑡) + 𝜇(𝑡)𝑦Δ(𝑡). Starting

from 𝑡 = 0 we get 𝑦(𝜎𝑘(0)

)= 𝑦0

𝑘−1∏𝑖=0

[1 + 𝑝𝜇

(𝜎𝑖(0)

)]. This yields that

𝑦(𝑡) = 𝑦0

𝑘−1∏𝑖=0

[1 +

𝑝(𝑞 − 1)

𝑞𝑖+1

], 𝑘 = − ln(1− 𝑡)

ln 𝑞, 𝑡 = 1.

Actually 𝑦(𝑡) = 𝑒𝑝(𝑡, 0), i. e. exponential function on time scale T.In the same way, we obtain exact solutions of original and averaged systems:

𝑥(𝑡) =

𝑘−1∏𝑖=0

[1 + 𝜀 · (−1)𝑖(𝑞 − 1)

𝑞𝑖+1

],

𝜉(𝑡) =

𝑘−1∏𝑖=0

[1 + 𝜀 · 𝑞 − 1

𝑞𝑖+1(𝑞 + 1)

].

It seems to be impossible to find a precise analytical estimate of difference |𝑥(𝑡)− 𝜉(𝑡)|in terms of 𝜀. Instead we conducted numerical modelling and found empirical depen-dence between proximity of solutions and small parameter 𝜀. The results of modellingare presented in Figure 1.


0 1/2 3/4 7/8 11

1.0005

1.001

1.0015

1.002

1.0025

x(t)

ξ(t)

15/16

a) Solutions of original and averaged

systems, 𝜀 = 0.005, 𝑞 = 2

0 0.44 0.69 0.83 11

1.0005

1.001

1.0015

1.002 x(t)

ξ(t)

0.90


systems, 𝜀 = 0.005, 𝑞 = 1.8

0 0.67 0.89 11

1.0005

1.001

1.0015

1.002

1.0025

1

x(t)

ξ(t)

0.96


systems, 𝜀 = 0.005, 𝑞 = 3

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03 max|x(t) - ξ(t)|

d) Absolute difference between solutons in

regard to 𝜀

Fig. 1. Numerical modelling of averaging method for quasiperiodic system on time

scale T =

{𝑡𝑛 = 1− 1

𝑞𝑛, 𝑛 ∈ N0, 𝑞 > 1

}∪ {1}

Conclusion. The aim of this paper is to develop our previous results for theaveraging method on time scales. Following [1] we considered Δ–periodic systemsand obtained a more accurate estimate for proximity between solutions of original andaveraged systems. Moreover, the same result was obtained for dynamic systems witha quasiperiodic right-hand side, which are introduced for the first time. To illustratethe application of the averaging theorem for such kind of system we considered anexample and conducted numerical modelling. Obtained results can be used to improvepreviously developed numerically–asymptotic method of solution for optimal controlproblems on time scales.

84 Ogulenko A.

Огуленко О. П.Метод усереднення для динамiчних систем на часових шкалах з перiодичнi-стю

Резюме

Метою цiєї статтi є розвиток методу усереднення для аналiза динамiчних систем начасових шкалах. Отримана бiльш точна оцiнка близькостi розв’язкiв вихiдної та усере-дненної систем для Δ-перiодичного та Δ-квазiперiодичного випадкiв, причому остiннiйтип систем уводиться вперше. Для iллюстрацiї застосування теореми усереднення мипобудували та чисельно дослiдили низку прикладiв. Отриманi результати розширяютьсферу застосування розробленого ранiше чисельно–асимптотичного методу розв’язаннязадач оптимального керування на часових шкалах.Ключовi слова: часова шкала, динамiчна система, метод усереднення, периодична вiд-носно зсувiв, Δ-перiодична вiдносно зсувiв, Δ-квазiперiодична вiдносно зсувiв .

Огуленко А. П.Метод усреднения для динамических систем на временных шкалах с пери-одичностью

Резюме

Целью этой статьи является развитие метода усреднения для анализа динамическихсистем на временных шкалах. Получена более точная оценка близости решений исход-ной и усредненной систем для Δ-периодического и Δ-квазипериодического случая, при-чем последний тип систем вводится впервые. Для иллюстрации применения теоремыусреднения мы построен и численно исследован ряд примеров. Полученные результатырасширяют сферу применения ранее разработанного численно–асимптотического мето-да решения задач оптимального управления на временных шкалах.Ключевые слова: временная шкала, динамическая система, метод усреднения, пе-риодическая относительно смещений, Δ-периодическая относительно смещений, Δ-квазипериодическая относительно смещений .

References

1. Adivar, M. (2013). A new periodicity concept for time scales. Mathematica Slovaca, vol.63, 4, 817–828.

2. Bogolyubov, N. N., Mitropolskii, Y. A. (1961). Asymptotic Methods in the Theory ofNonlinear Oscillations. Gordon & Breach, Delhi.

3. Bohner, M., Peterson, A. (2002). Advances in Dynamic Equations on Time Scales.Springer Science & Business Media.

4. Bohner, M., Peterson, A. (2012). Dynamic equations on time scales: An introductionwith applications. Springer Science & Business Media.

5. Hilger, S. (1988) Ein maßkettenkalkul mit anwendung auf zentrumsmannigfaltigkeiten.Ph.D. thesis, Universitat Wurzburg.

6. Kichmarenko, O. D., Ogulenko, A. P. (2017). Averaging of multicriteria control problemsof systems on time scales. Journal of Computer and Systems Sciences International, vol.56, 1, 33–43.

7. Krylov, N. M., Bogolyubov, N. N. (1947). Introduction to Nonlinear Mechanics. Prince-ton Univ. Press, Princeton.


8. Ogulenko, A. P. (2017). Partial averaging of the systems on time scales. Researches inmathematics and mechanics, vol. 22, 1(29), 32–45.

9. Ogulenko, A. P., Kichmarenko, O. D. (2012). A scheme of full averaging on time scales.Visn. Odes. Nat. Univ. Mat. Mekh., vol. 17, 4(16), 67–77.

10. Ogulenko, A. P., Kichmarenko, O. D. (2016). Averaging of the problem of optimal controlon time scales. Journal of Mathematical Sciences, vol. 212, 3, 290–304.

11. Plotnikov, V. A. (1992). Method of Averaging in the Problems of Control. Lybid, Kiev,Odessa.

12. Slavık, A. (2012). Averaging dynamic equations on time scales. Journal of MathematicalAnalysis and Applications, vol. 388, 2, 996–1012.


UDC 517.9

R. M. Tatsij, O. Yu. Chmyr, O. O. KarabynLviv State University of Life Safety

THE TOTAL FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOREQUATION OF HYPERBOLIC TYPE WITH PIECEWISECONSTANT COEFFICIENTS AND 𝛿-SINGULARITIES

For the first time a new formal solving scheme of the general first boundary value problem

for a hyperbolic type equation with piecewise constant coefficients and 𝛿-singularities was

proposed and justified. In the basis of the solving scheme is a concept of quasi-derivatives,

a modern theory of systems of linear differential equations, the classical Fourier method and

a reduction method. The advantage of this method is a possibility to examine a problem

on each breakdown segment and then to combine obtained solutions on the basis of matrix

calculation. Such an approach allows the use of software tools for solving the problem.

MSC: 34B05.

Key words: quasi-differential equation, the boundary value problem, the Cauchy matrix, the

Dirac function, the eigenvalues problem, the method of Fourier and the method of eigenfunc-

tions.

DOI: 10.18524/2519–206x.2019.1(33).175549.

Introduction. Methods for solving nonstationary boundary value problemscan be divided into direct methods which basis includes the separation of variablesmethod, method of sources (Green’s function method), method of integral transforms,approximate methods and numerical methods.

The scheme proposed in this article belongs to the direct methods for solv-ing boundary value problems. In the basis of this scheme is the concept of quasi-derivatives [10] that lets to bypass the problem of multiplication of generalized func-tions.

First of all a mixed problem for the heat equation with piecewise continuouscoefficients by the general boundary conditions of the first kind [11] was solved.

The general boundary value problems for hyperbolic equation with piecewise con-tinuous on spatial variable coefficients and right parts was considered in [7].

This article examines the general first boundary value problem for a hyperbolictype equation with piecewise constant coefficients and 𝛿 - singularities. With the useof the reduction method solving of such a problem is reduced to finding a solutionof the stationary inhomogeneous boundary value problem with the initial boundaryconditions and the mixed problem with the zero boundary conditions for an inhomo-geneous equation.

Main Results

1. Main designations, formulation of the problem and supporting state-ments. Let 𝐼 be an open interval of the real axis R, [𝑥0;𝑥𝑛] ⊂ 𝐼 – segment of thereal axis; 0 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < . . . < 𝑥𝑖−1 < 𝑥𝑖 < 𝑥𝑖+1 . . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑙 – arbitrarypartition of the segment [𝑥0;𝑥𝑛] of the real axis 𝑂𝑥 into 𝑛 parts.

Received XX.XX.XXXX c○R. M. Tatsij, O. Yu. Chmyr, O. O. Karabyn, 2019

The total first boundary value problem 87

Let’s declare the main designations:𝜃𝑖 – characteristic function of the interval [𝑥𝑖;𝑥𝑖+1), that is

𝜃𝑖 (𝑥) =

⎧⎨⎩ 1, 𝑥 ∈ [𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1) ,

0, 𝑥 /∈ [𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1) ,𝑖 = 0, 𝑛− 1.

Remark 1. Let 𝑎1𝑖, 𝑎2𝑖, 𝑖 = 0, 𝑛− 1 be real numbers. If 𝑎1 =𝑛−1∑𝑖=0

𝑎1𝑖𝜃𝑖, 𝑎2 =

𝑛−1∑𝑖=0

𝑎2𝑖𝜃𝑖, then 𝑎1 · 𝑎2 =𝑛−1∑𝑖=0

𝑎1𝑖 · 𝑎2𝑖𝜃𝑖. In particular, if 𝑎 =𝑛−1∑𝑖=0

𝑎𝑖𝜃𝑖, then 1𝑎 =

𝑛−1∑𝑖=0

𝑎−1𝑖 𝜃𝑖.

Let’s declare 𝐵𝑉 +𝑙𝑜𝑐(𝐼) as a class of continuous from the right functions, locally

bounded on I variation [2].Let 𝑚𝑖, 𝑖 = 0, 𝑛− 1,𝑀𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛− 1, 𝜆𝑖, 𝑖 = 0, 𝑛− 1 be positive real numbers, 𝑔𝑖,

𝑖 = 0, 𝑛− 1, 𝑠𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛− 1 – real numbers and 𝛿𝑖 = 𝛿𝑖(𝑥− 𝑥𝑖) – 𝛿 - Dirac’s functionwith a carrier at the point 𝑥 = 𝑥𝑖 ∈ 𝐼. Let’s define

𝑚(𝑥) =𝑛−1∑𝑖=0

𝑚𝑖𝜃𝑖 +𝑛−1∑𝑖=1

𝑀𝑖𝛿(𝑥− 𝑥𝑖); 𝜆(𝑥) =𝑛−1∑𝑖=0

𝜆𝑖𝜃𝑖;

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑠(𝑥) =𝑛−1∑𝑖=0

𝑔𝑖𝜃𝑖 +𝑛−1∑𝑖=1

𝑠𝑖𝛿𝑖(𝑥− 𝑥𝑖).

Note that if 𝑀(𝑥) is an antiderivative for 𝑚(𝑥), then 𝑚(𝑥)𝑑𝑒𝑓= 𝑀 ′(𝑥). We assume

here, that the function𝑀(𝑥) is extended arbitrarily (for example, zero) on the interval𝐼/[𝑥0;𝑥𝑛].

Let’s examine the general first boundary value problem for a hyperbolic typeequation

𝑚(𝑥)𝜕2𝑢

𝜕𝑡2=

𝜕

𝜕𝑥

(𝜆(𝑥)

𝜕𝑢

𝜕𝑥

)+ 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ (𝑥0;𝑥𝑛), 𝑡 ∈ (0;+∞), (1)

with the boundary conditions⎧⎨⎩ 𝑢(𝑥0, 𝑡) = 𝜓0(𝑡),

𝑢(𝑥𝑛, 𝑡) = 𝜓𝑛(𝑡),𝑡 ∈ [0; +∞) (2)

and the initial conditions⎧⎨⎩ 𝑢(𝑥, 0) = 𝜙0(𝑥),

𝜕𝑢𝜕𝑡 (𝑥, 0) = 𝜙1(𝑥),

𝑥 ∈ [𝑥0;𝑥𝑛], (3)

where 𝜓0(𝑡), 𝜓𝑛(𝑡)∈𝐶2(0;+∞), 𝜙0(𝑥), 𝜙1(𝑥) are piecewise continuous on (𝑥0;𝑥𝑛).The method of reduction for finding a solution of the problem is described in

detail in [1, 12] for example. In accordance with this method we can find a solutionto the problem as a sum of two functions

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑤(𝑥, 𝑡) + 𝑣(𝑥, 𝑡). (4)

88 R. M. Tatsij, O. Yu. Chmyr, O. O. Karabyn

Let’s choose one of the functions for example 𝑤(𝑥, 𝑡) in a particular method, thenthe 𝑣(𝑥, 𝑡) function will be defined clearly.

2. Building the function 𝑤(𝑥, 𝑡). Let’s define a function 𝑤(𝑥, 𝑡) as a solutionof a boundary value problem

(𝜆(𝑥)𝑤𝑥′)𝑥

′= −𝑓(𝑥) (5)⎧⎨⎩ 𝑤(𝑥0, 𝑡) = 𝜓0(𝑡),

𝑤(𝑥𝑛, 𝑡) = 𝜓𝑛(𝑡),𝑡 ∈ [0; +∞). (6)

Note that a variable 𝑡 is considered as a parameter here.In the basis of the solving method of the problem (5), (6) is the concept of quasi-

derivatives [9].

Let’s introduce the vectors 𝑊 =

⎛⎝ 𝑤

𝑤[1]

⎞⎠, where 𝑤[1] = 𝜆𝑤𝑥′, 𝐺 =

⎛⎝ 0

−𝑔(𝑥)

⎞⎠,

𝑆𝑖 =

⎛⎝ 0

−𝑠𝑖

⎞⎠, 𝑆 =𝑛−1∑𝑖=1

𝑆𝑖 · 𝛿𝑖. Using these definitions, the quasi-differential equation

(5) simplifies to the equivalent system of differential equations of the first order

𝑊 𝑥′=

⎛⎝0 1𝜆(𝑥)

0 0

⎞⎠ ·𝑊 +𝐺+ 𝑆. (7)

As a solution of the system (7) we take a vector function 𝑊 (𝑥, 𝑡) that belongsto the 𝐵𝑉 +

𝑙𝑜𝑐(𝐼) class by the 𝑥 variable and fulfills the system (7) in a generalizedsense [9].

Boundary conditions (6) can be written down in vector form

𝑃 ·𝑊 (𝑥0, 𝑡) +𝑄 ·𝑊 (𝑥𝑛, 𝑡) = Γ (𝑡) , (8)

where 𝑃 =

⎛⎝1 0

0 0

⎞⎠, 𝑄 =

⎛⎝0 0

1 0

⎞⎠, Γ (𝑡) =

⎛⎝𝜓0(𝑡)

𝜓𝑛(𝑡)

⎞⎠.

Let 𝑤𝑖(𝑥, 𝑡), 𝑤[1]𝑖 (𝑥, 𝑡) and 𝑔𝑖(𝑥) be defined on the interval [𝑥𝑖;𝑥𝑖+1). Let’s define

𝑤(𝑥, 𝑡) =

𝑛−1∑𝑖=0

𝑤𝑖(𝑥, 𝑡)𝜃𝑖. (9)

On the [𝑥𝑖;𝑥𝑖+1) interval the system (7) is represented as⎛⎝ 𝑤𝑖

𝑤[1]𝑖

⎞⎠𝑥

′

=

⎛⎝0 1𝜆𝑖

0 0

⎞⎠⎛⎝ 𝑤𝑖

𝑤[1]𝑖

⎞⎠+

⎛⎝ 0

−𝑔𝑖

⎞⎠+

⎛⎝ 0

−𝑠𝑖

⎞⎠ , (10)

where 𝑠0𝑑𝑒𝑓= 0.


Let’s examine a homogeneous system that corresponds to the system (10)⎛⎝ 𝑤𝑖

𝑤[1]𝑖

⎞⎠𝑥

′

=

⎛⎝0 1𝜆𝑖

0 0

⎞⎠⎛⎝ 𝑤𝑖

𝑤[1]𝑖

⎞⎠ .

The Cauchy matrix 𝐵𝑖(𝑥, 𝑠) of such a system is represented as

𝐵𝑖(𝑥, 𝑠) =

⎛⎝1 𝑏𝑖(𝑥, 𝑠)

0 1

⎞⎠ , (11)

where 𝑏𝑖(𝑥, 𝑠) =𝑥∫𝑠

1𝜆𝑖𝑑𝑧 = 𝑥−𝑠

𝜆𝑖.

Let’s define (for an arbitrary 𝑘 ≥ 𝑖)

𝐵(𝑥𝑘, 𝑥𝑖)𝑑𝑒𝑓= 𝐵𝑘−1(𝑥𝑘, 𝑥𝑘−1) ·𝐵𝑘−2(𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘−2) · . . . ·𝐵𝑖(𝑥𝑖+1, 𝑥𝑖). (12)

The structure (11) of the matrices 𝐵𝑖 (𝑥, 𝑠) allows us to define the structure ofthe matrix (12)

𝐵(𝑥𝑘, 𝑥𝑖) =

⎛⎜⎝1𝑘−1∑𝑚=𝑖

𝑥𝑚+1−𝑥𝑚

𝜆𝑚

0 1

⎞⎟⎠ ,

besides that 𝐵(𝑥𝑘, 𝑥𝑘)𝑑𝑒𝑓= 𝐸, where 𝐸 is an identity matrix.

The solution of the system (10) on the interval [𝑥𝑖;𝑥𝑖+1) is

𝑊 𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑖(𝑥, 𝑥𝑖) · 𝑃 𝑖 +𝑥∫

𝑥𝑖

𝐵𝑖(𝑥, 𝑠) ·𝐺𝑖(𝑠) 𝑑𝑠 =

= 𝐵𝑖(𝑥, 𝑥𝑖) · 𝑃 𝑖 +

⎛⎝−𝑔𝑖 (𝑥−𝑥𝑖)2

2𝜆𝑖

−𝑔𝑖(𝑥− 𝑥𝑖)

⎞⎠ , (13)

where 𝑃 𝑖 is a yet unknown vector [11].Similarly on the interval [𝑥𝑖−1;𝑥𝑖)

𝑊 𝑖−1(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑖−1(𝑥, 𝑥𝑖−1) · 𝑃 𝑖−1 +

𝑥∫𝑥𝑖−1

𝐵𝑖−1(𝑥, 𝑠) ·𝐺𝑖−1(𝑠) 𝑑𝑠 =

= 𝐵𝑖−1(𝑥, 𝑥𝑖−1) · 𝑃 𝑖−1 +

⎛⎝ −𝑔𝑖−1(𝑥−𝑥𝑖−1)

2

2𝜆𝑖−1

−𝑔𝑖−1(𝑥− 𝑥𝑖−1)

⎞⎠ .

At the point 𝑥 = 𝑥𝑖 the conjugation condition has to be fulfilled that is𝑊 𝑖(𝑥𝑖, 𝑡) =𝑊 𝑖−1(𝑥𝑖, 𝑡) + 𝑆𝑖 [13]. As a result we get a recurrence relation

𝑃 𝑖 = 𝐵𝑖−1(𝑥𝑖, 𝑥𝑖−1) · 𝑃 𝑖−1 +

𝑥𝑖∫𝑥𝑖−1

𝐵𝑖−1(𝑥𝑖, 𝑠) ·𝐺𝑖−1(𝑠) 𝑑𝑠+ 𝑆𝑖. (14)


By the method of mathematical induction from (14) the following is received

𝑃 𝑖 = 𝐵(𝑥𝑖, 𝑥0) · 𝑃 0 +

𝑖∑𝑘=0

𝐵(𝑥𝑖, 𝑥𝑘)𝑍𝑘, (15)

where 𝑍𝑘 =𝑥𝑘∫

𝑥𝑘−1

𝐵𝑘−1(𝑥𝑘, 𝑠) ·𝐺𝑘−1(𝑠) 𝑑𝑠 + 𝑆𝑘 =

⎛⎝ −𝑔𝑘−1(𝑥𝑘−𝑥𝑘−1)

2

2𝜆𝑘−1

−𝑔𝑘−1(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1)

⎞⎠ +

⎛⎝ 0

−𝑠𝑘

⎞⎠,

𝑘 = 1, 𝑛− 1, note that 𝑍0𝑑𝑒𝑓= 0, 𝑆𝑛

𝑑𝑒𝑓= 0; 𝑃 0 is the initial (unknown) vector.

In order to find 𝑃 0 the boundary conditions (8) should be used, where we define

𝑊 (𝑥0, 𝑡)𝑑𝑒𝑓= 𝑃 0,

𝑊 (𝑥𝑛, 𝑡)𝑑𝑒𝑓= 𝑊𝑛−1(𝑥𝑛, 𝑡) = 𝐵𝑛−1(𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1)𝑃𝑛−1 +

𝑥𝑛∫𝑥𝑛−1

𝐵𝑛−1(𝑥𝑛, 𝑠) ·𝐺𝑛−1(𝑠) 𝑑𝑠 =

= 𝐵𝑛−1(𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1)𝐵(𝑥𝑛−1, 𝑥0)𝑃 0 +𝐵𝑛−1(𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1)𝑛−1∑𝑘=1

𝐵(𝑥𝑛−1, 𝑥𝑘)𝑍𝑘+

+𝑥𝑛∫

𝑥𝑛−1

𝐵𝑛−1(𝑥𝑛, 𝑠) ·𝐺𝑛−1(𝑠) 𝑑𝑠 = 𝐵(𝑥𝑛, 𝑥0)𝑃 0 +𝑛∑𝑘=1

𝐵(𝑥𝑛, 𝑥𝑘)𝑍𝑘.

Then [𝑃 +𝑄𝐵(𝑥𝑛, 𝑥0)]𝑃 0 +𝑄𝑛∑𝑘=1

𝐵(𝑥𝑛, 𝑥𝑘)𝑍𝑘 = Γ, and as a result

𝑃 0 = [𝑃 +𝑄 ·𝐵(𝑥𝑛, 𝑥0)]−1 ·

(Γ−𝑄

𝑛∑𝑘=1

𝐵(𝑥𝑛, 𝑥𝑘)𝑍𝑘

). (16)

Let’s evaluate

[𝑃 +𝑄 ·𝐵(𝑥𝑛, 𝑥0)]−1

=

⎡⎢⎣⎛⎝1 0

0 0

⎞⎠+

⎛⎝0 0

1 0

⎞⎠ ·

⎛⎜⎝1𝑛−1∑𝑚=0

𝑏𝑚(𝑥𝑚+1, 𝑥𝑚)

0 1

⎞⎟⎠⎤⎥⎦−1

=

=

⎛⎝ 1 0

− 1𝜎𝑛

1𝜎𝑛

⎞⎠, where 𝜎𝑛 =𝑛−1∑𝑚=0

𝑏𝑚(𝑥𝑚+1, 𝑥𝑚) =𝑛−1∑𝑚=0

𝑥𝑚+1−𝑥𝑚

𝜆𝑚, 𝜎0

𝑑𝑒𝑓= 0;

Γ−𝑄

𝑛∑𝑘=1

𝐵(𝑥𝑛, 𝑥𝑘)𝑍𝑘 =

⎛⎝𝜓0(𝑡)

𝜓𝑛(𝑡)

⎞⎠−

⎛⎝0 0

1 0

⎞⎠×

×𝑛∑𝑘=1

𝐵(𝑥𝑛, 𝑥𝑘)

⎛⎜⎝ 𝑥𝑘∫𝑥𝑘−1

𝐵𝑘−1(𝑥𝑘, 𝑠) ·𝐺𝑘−1(𝑠) 𝑑𝑠+ 𝑆𝑘

⎞⎟⎠. (17)

Let’s write down the right side part (17) in a matrix form

𝑥𝑘∫𝑥𝑘−1

𝐵𝑘−1(𝑥𝑘, 𝑠) ·𝐺𝑘−1(𝑠) 𝑑𝑠+ 𝑆𝑘 =𝑥𝑘∫

𝑥𝑘−1

⎛⎝1 𝑏𝑘−1(𝑥𝑘, 𝑠)

0 1

⎞⎠ ·

⎛⎝ 0

−𝑔𝑘−1

⎞⎠ 𝑑𝑠+

+

⎛⎝ 0

−𝑠𝑘

⎞⎠ =

⎛⎜⎜⎝−𝑥𝑘∫

𝑥𝑘−1

𝑏𝑘−1(𝑥𝑘, 𝑠) · 𝑔𝑘−1 𝑑𝑠

−𝑥𝑘∫

𝑥𝑘−1

𝑔𝑘−1 𝑑𝑠− 𝑠𝑘

⎞⎟⎟⎠ 𝑑𝑒𝑓=

⎛⎝ 𝐼𝑘−1(𝑥𝑘)

𝐼[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘

⎞⎠ = 𝑍𝑘;


𝑛∑𝑘=1

𝐵(𝑥𝑛, 𝑥𝑘)

⎛⎝ 𝐼𝑘−1(𝑥𝑘)


⎞⎠ =𝑛∑𝑘=1

⎛⎜⎝1𝑛−1∑𝑚=𝑘


0 1

⎞⎟⎠×

×

⎛⎝ 𝐼𝑘−1(𝑥𝑘)


⎞⎠ =

⎛⎜⎜⎝𝑛∑𝑘=1

(𝐼𝑘−1(𝑥𝑘) + (𝐼

[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘) ·

𝑛−1∑𝑚=𝑘


)𝑛∑𝑘=1

(𝐼[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘

)⎞⎟⎟⎠.

Thus, we receive

Γ−𝑄

𝑛∑𝑘=1

𝐵(𝑥𝑛, 𝑥𝑘)𝑍𝑘 =

⎛⎝𝜓0(𝑡)

𝜓𝑛(𝑡)

⎞⎠−

⎛⎝0 0

1 0

⎞⎠×

×

⎛⎜⎜⎝𝑛∑𝑘=1

(𝐼𝑘−1(𝑥𝑘) + (𝐼

[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘) ·



)𝑛∑𝑘=1

(𝐼[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘

)⎞⎟⎟⎠ =

=

⎛⎜⎝ 𝜓0(𝑡)

𝜓𝑛(𝑡)−𝑛∑𝑘=1

(𝐼𝑘−1(𝑥𝑘) + (𝐼

[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘) ·



)⎞⎟⎠ . (18)

Let’s substitute (18) to (16)

𝑃 0 =

⎛⎝ 1 0

− 1𝜎𝑛

1𝜎𝑛

⎞⎠×

×

⎛⎜⎝ 𝜓0(𝑡)

𝜓𝑛(𝑡)−𝑛∑𝑘=1

(𝐼𝑘−1(𝑥𝑘) + (𝐼

[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘) ·



)⎞⎟⎠ =

=

⎛⎜⎝ 𝜓0(𝑡)

𝜓𝑛(𝑡)−𝜓0(𝑡)𝜎𝑛

− 1𝜎𝑛

𝑛∑𝑘=1

(𝐼𝑘−1(𝑥𝑘) + (𝐼

[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘) ·



)⎞⎟⎠ . (19)

Based on the formulas (13), (15), (19), after performed transformations an imageof the vector function 𝑊 𝑖(𝑥, 𝑡) on the interval [𝑥𝑖;𝑥𝑖+1) is received

𝑊 𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝐵𝑖(𝑥, 𝑥𝑖) ·

(𝐵(𝑥𝑖, 𝑥0) · 𝑃 0 +

𝑖∑𝑘=1

𝐵(𝑥𝑖, 𝑥𝑘)𝑍𝑘

)+

𝑥∫𝑥𝑖

𝐵𝑖(𝑥, 𝑠) ·𝐺𝑖(𝑠) 𝑑𝑠 =

=

⎛⎝1 𝑏𝑖(𝑥, 𝑥𝑖)

0 1

⎞⎠·

⎛⎝1 𝜎𝑖

0 1

⎞⎠·𝑃 0+

⎛⎝1 𝑏𝑖(𝑥, 𝑥𝑖)

0 1

⎞⎠·𝑖∑

𝑘=1

⎛⎜⎝1𝑖−1∑𝑚=𝑘


0 1

⎞⎟⎠𝑍𝑘+


+

𝑥∫𝑥𝑖

⎛⎝1 𝑏𝑖(𝑥, 𝑠)

0 1

⎞⎠ ·𝐺𝑖(𝑠) 𝑑𝑠 =

⎛⎝1 𝑏𝑖(𝑥, 𝑥𝑖) + 𝜎𝑖

0 1

⎞⎠ · 𝑃 0+

+

⎛⎝1 𝑏𝑖(𝑥, 𝑥𝑖)

0 1

⎞⎠ ·

⎛⎜⎜⎝𝑖∑

𝑘=1

(𝐼𝑘−1(𝑥𝑘) + (𝐼

[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘)

𝑖−1∑𝑚=𝑘


)𝑖∑

𝑘=1

(𝐼[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘

)⎞⎟⎟⎠+

+

⎛⎜⎜⎝−𝑥∫𝑥𝑖

𝑏𝑖(𝑥, 𝑠) · 𝑔𝑖 𝑑𝑠

−𝑥∫𝑥𝑖

𝑔𝑖𝑑𝑠

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎝1 𝑏𝑖(𝑥, 𝑥𝑖) + 𝜎𝑖

0 1

⎞⎠ · 𝑃 0+

+

⎛⎜⎜⎝𝑖∑

𝑘=1

(𝐼𝑘−1(𝑥𝑘) + (𝐼

[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘)



)𝑖∑

𝑘=1

(𝐼[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘

)+ 𝐼

[1]𝑖 (𝑥)

⎞⎟⎟⎠+

+

⎛⎜⎝𝑏𝑖(𝑥, 𝑥𝑖)𝑖∑

𝑘=1

(𝐼[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘

)+ 𝐼𝑖(𝑥)

0

⎞⎟⎠ . (20)

The first coordinate of the vector 𝑊 𝑖(𝑥, 𝑡) in (20) is indeed the searched function𝑤𝑖(𝑥, 𝑡). Therefore

𝑤𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝜓0(𝑡) + (𝑏𝑖(𝑥, 𝑥𝑖) + 𝜎𝑖) ·𝜓𝑛(𝑡)− 𝜓0(𝑡)

𝜎𝑛− 1

𝜎𝑛(𝑏𝑖(𝑥, 𝑥𝑖) + 𝜎𝑖)×

×

(𝑛∑𝑘=1

(𝐼𝑘−1(𝑥𝑘) + (𝐼

[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘)



))+

+

𝑖∑𝑘=1

(𝐼𝑘−1(𝑥𝑘) + (𝐼

[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘)



)+

+𝑏𝑖(𝑥, 𝑥𝑖)

𝑖∑𝑘=1

(𝐼[1]𝑘−1(𝑥𝑘)− 𝑠𝑘

)+ 𝐼𝑖(𝑥). (21)

By substituting the expression (21) into (9), the solution on the whole interval[𝑥0;𝑥𝑛] is received.

3. Building the function 𝑣(𝑥, 𝑡).Let’s write down a mixed problem for the function 𝑣(𝑥, 𝑡). Substituting (4) into

(1) and considering that the function 𝑤(𝑥, 𝑡) fulfills (5), an inhomogeneous equationis received

𝑚(𝑥)𝜕2𝑣

𝜕𝑡2− 𝜕

𝜕𝑥

(𝜆(𝑥)

𝜕𝑣

𝜕𝑥

)= −𝑚(𝑥)

𝜕2𝑤

𝜕𝑡2, 𝑥 ∈ (𝑥0;𝑥𝑛), 𝑡 ∈ (0;+∞). (22)


Let’s substitute (4) into the initial conditions (3). Initial conditions for the func-tion 𝑣(𝑥, 𝑡) are received ⎧⎨⎩ 𝑣(𝑥, 0) = Φ0(𝑥),

𝜕𝑣𝜕𝑡 (𝑥, 0) = Φ1(𝑥),

𝑥 ∈ [𝑥0;𝑥𝑛], (23)

where Φ0(𝑥)𝑑𝑒𝑓= 𝜙0(𝑥)− 𝑤(𝑥, 0), Φ1(𝑥)

𝑑𝑒𝑓= 𝜙1(𝑥)− 𝜕𝑤

𝜕𝑡 (𝑥, 0).Since the function 𝑤(𝑥, 𝑡) fulfills the boundary conditions (6), then from (4) the

boundary conditions for the function 𝑣(𝑥, 𝑡) will be the following⎧⎨⎩ 𝑣(𝑥0, 𝑡) = 0,

𝑣(𝑥𝑛, 𝑡) = 0,𝑡 ∈ [0; +∞). (24)

Therefore under the condition that the solution 𝑤(𝑥, 𝑡) of the problem (5), (6) isknown, the function 𝑣(𝑥, 𝑡) is the solution of the mixed problem (22)-(24).

4. The Fourier method and the eigenvalue problem.4.1. Expansion by eigenfunctions.

Let’s examine the corresponding homogeneous equation for the equation (22)

𝑚(𝑥)𝜕2𝑣

𝜕𝑡2=

𝜕

𝜕𝑥

(𝜆(𝑥)

𝜕𝑣

𝜕𝑥

). (25)

Now let’s find its nontrivial solutions

𝑣(𝑥, 𝑡) = sin(𝜔𝑡+ 𝜀) ·𝑋(𝑥), (26)

where 𝜔 is a parameter, 𝜀 is a constant, 𝑋(𝑥) is a yet unknown function [1], thatfulfill the boundary conditions (24).

Let’s substitute (26) into the equation (25). Quasi-differential equation is received

(𝜆(𝑥)𝑋 ′(𝑥))′+ 𝜔2𝑚(𝑥)𝑋(𝑥) = 0. (27)

Let’s substitute (26) into the conditions (24). The following boundary conditionsare received

𝑋(𝑥0) = 0,

𝑋(𝑥𝑛) = 0.(28)

As a solution of the equation (27) consider an absolutely continuous on the interval[𝑥0;𝑥𝑛] function 𝑋(𝑥) that fulfills it in a generalized sense [9].

The problem (27), (28) is the eigenvalue problem. The properties of the eigenval-ues 𝜔𝑘 and the eigenfunctions of the problem (27), (28) are described in detail in [8].In particular, it is established that all eigenvalues 𝜔𝑘 > 0 [5]; eigenfunctions 𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘)are orthogonal with the weight 𝑚(𝑥) = 𝑑𝑀(𝑥):

𝑥𝑛∫𝑥0

𝑋𝑖(𝑥, 𝜔𝑖) ·𝑋𝑗(𝑥, 𝜔𝑗) 𝑑𝑀(𝑥) = 0, 𝑖 = 𝑗


‖𝑋𝑘‖2 =

𝑥𝑛∫𝑥0

𝑋2𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) 𝑑𝑀(𝑥). (29)

If 𝐹 (𝑥) is an absolutely continuous function that has different analytical expres-sions on each of the intervals [𝑥𝑖;𝑥𝑖+1), that is the function allows the image

𝐹 (𝑥) =

𝑛−1∑𝑖=0

𝐹𝑖(𝑥) · 𝜃𝑖 (30)

on the interval [𝑥0;𝑥𝑛], then its expansion by the eigenfunctions 𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) is thefollowing

𝐹 (𝑥) =

∞∑𝑘=1

𝐹𝑘 ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘),

where the Fourier coefficients 𝐹𝑘 are computed by the formulas

𝐹𝑘 =1

‖𝑋𝑘‖2·𝑥𝑛∫𝑥0

𝐹 (𝑥) ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) 𝑑𝑀(𝑥). (31)

Integration of the function 𝐹 (𝑥) is performed as the Riemann-Stieltjes integralwith respect to the 𝑚(𝑥),

𝑥𝑛∫𝑥0

𝐹 (𝑥) 𝑑𝑀(𝑥)𝑑𝑒𝑓=

𝑛−1∑𝑖=0

𝑚𝑖

𝑥𝑖+1∫𝑥𝑖

𝐹𝑖(𝑥) 𝑑𝑥+

𝑛−1∑𝑖=1

𝑀𝑖 · 𝐹𝑖(𝑥𝑖).

Functions of the type (30) are integrated the following way [9]: if

𝐹1(𝑥) =

𝑛−1∑𝑖=0

𝐹1𝑖(𝑥) · 𝜃𝑖, 𝐹2(𝑥) =

𝑛−1∑𝑖=0

𝐹2𝑖(𝑥) · 𝜃𝑖,

then𝑥𝑛∫𝑥0

𝐹1(𝑥) · 𝐹2(𝑥) 𝑑𝑀(𝑥) =

𝑛−1∑𝑖=0

𝑚1𝑖 ·𝑚2𝑖


𝐹1𝑖(𝑥) · 𝐹2𝑖(𝑥) 𝑑𝑥+

+

𝑛−1∑𝑖=1

𝑀1𝑖 ·𝑀2𝑖 · 𝐹1𝑖(𝑥𝑖) · 𝐹2𝑖(𝑥𝑖), (32)

‖𝐹𝑘‖2 =

𝑥𝑛∫𝑥0

𝐹 2𝑘 (𝑥) 𝑑𝑀(𝑥) =

𝑛−1∑𝑖=0

𝑚2𝑘𝑖


𝐹 2𝑘𝑖(𝑥)𝑑𝑥+

+

𝑛−1∑𝑖=1

𝑀2𝑘𝑖 · 𝐹 2

𝑘𝑖(𝑥𝑖), 𝑘 ≥ 1 . (33)

The expression (32) is the dot product of the functions 𝐹1(𝑥) and 𝐹2(𝑥). Theexpression (33) is the norm square of the function 𝐹𝑘(𝑥).


Let’s define

𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) =

𝑛−1∑𝑖=0

𝑋𝑘𝑖(𝑥, 𝜔𝑘) · 𝜃𝑖. (34)

Then for the Fourier coefficients 𝐹𝑘 and for the 𝑋𝑘(𝑥) from the (31) and (29) thefollowing is received

𝐹𝑘 =1

‖𝑋𝑘‖2

⎛⎝𝑛−1∑𝑖=0

𝑚𝑖


𝐹𝑖(𝑥) ·𝑋𝑘𝑖(𝑥, 𝜔𝑘)𝑑𝑥+

𝑛−1∑𝑖=1

𝑀𝑖 · 𝐹𝑖(𝑥𝑖) ·𝑋𝑘𝑖(𝑥𝑖, 𝜔𝑘)

⎞⎠ ,

‖𝑋𝑘‖2 =

𝑛−1∑𝑖=0

𝑚2𝑘𝑖


𝑋2𝑘𝑖(𝑥, 𝜔𝑘)𝑑𝑥+

𝑛−1∑𝑖=1

𝑀2𝑘𝑖 ·𝑋2

𝑘𝑖(𝑥𝑖, 𝜔𝑘).

4.2. Constructional approach to building eigenfunctions.

Let’s introduce a quasi-derivative𝑋 [1]𝑑𝑒𝑓= 𝜆𝑋 ′, a vector𝑋 =

⎛⎝ 𝑋

𝑋 [1]

⎞⎠ and matrices

𝐴𝑘 =

⎛⎝ 0 1𝜆𝑘

−𝑚𝑘 𝜔2 0

⎞⎠, 𝐶𝑘 =

⎛⎝ 0 0

−𝑀𝑘 𝜔2 0

⎞⎠. Now let’s reduce a quasi-differential

equation (27) to the system of the first order differential equations

𝑋′=

(𝑛−1∑𝑘=0

𝐴𝑘𝜃𝑘 +

𝑛−1∑𝑘=1

𝐶𝑘𝛿(𝑥− 𝑥𝑘)

)·𝑋. (35)

Similarly to the paragraph 2.2, the solution of the system (35) is considered tobe a vector function 𝑋(𝑥, 𝜔) ∈ 𝐵𝑉 +

𝑙𝑜𝑐(𝐼) that fulfills it in a sense of the theory ofgeneralized functions.

Let’s write down the corresponding system on the interval [𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1) in a followingway

𝑋′𝑖 = (𝐴𝑖 + 𝐶𝑖𝛿𝑖) ·𝑋𝑖, 𝑖 = 0, 𝑛− 1.

It is known [9] that the jump of the system’s solution at the point 𝑥 = 𝑥𝑖 isΔ𝑋𝑖(𝑥𝑖) = 𝐶𝑖 𝑋𝑖−1(𝑥𝑖).

This gives an opportunity to reduce the problem to the equivalent problem of thesystem of impulsive differential equations [6]

𝑋′=

𝑛−1∑𝑘=0

𝐴𝑘𝜃𝑘 ·𝑋, (36)

𝑋𝑖(𝑥𝑖)−𝑋𝑖−1(𝑥𝑖) = 𝐶𝑖 𝑋𝑖−1(𝑥𝑖)

and the following boundary conditions

𝑃𝑋(𝑥0) +𝑄𝑋(𝑥𝑛) = 0. (37)

The system is examined in detail in [9]. Let’s note the main properties of thesystem:


∙ this system is proper (namely, it is clearly defined in a sense of the theory ofgeneralized functions), because the following condition is valid

𝐶2𝑘 =

⎛⎝ 0 0

−𝑀𝑘 𝜔2 0

⎞⎠2

=

⎛⎝0 0

0 0

⎞⎠ ;

∙ the fundamental matrix (analog of the Cauchy matrix on the whole interval [𝑥0;𝑥𝑛])has the following structure

𝐵(𝑥, 𝑥0, 𝜔)𝑑𝑒𝑓=

𝑛−1∑𝑖=0

𝐵𝑖(𝑥, 𝑥𝑖, 𝜔) · 𝐵(𝑥𝑖, 𝑥0, 𝜔) · 𝜃𝑖, (38)

where 𝐵(𝑥𝑖, 𝑥0, 𝜔)𝑑𝑒𝑓=

𝑖∏𝑗=0

𝐶𝑗 · 𝐵𝑖−𝑗(𝑥𝑖−𝑗+1, 𝑥𝑖−𝑗 , 𝜔), 𝐶𝑖 = (𝐸 + 𝐶𝑖), 𝑖 = 1, 𝑛− 1,

𝐵(𝑥𝑖, 𝑥𝑖, 𝜔)𝑑𝑒𝑓= 𝐸.

With a direct verification let’s ascertain that the Cauchy matrix 𝐵𝑖(𝑥, 𝑠, 𝜔) of thesystem (36) on the interval [𝑥𝑖;𝑥𝑖+1) is the following

𝐵𝑖(𝑥, 𝑠, 𝜔) =⎛⎝ cos𝛼𝑖(𝑥− 𝑠) sin𝛼𝑖(𝑥−𝑠)

𝜆𝑖𝛼𝑖

−𝜆𝑖𝛼𝑖 sin𝛼𝑖(𝑥− 𝑠) cos𝛼𝑖(𝑥− 𝑠)

⎞⎠, where 𝛼𝑖 = 𝜔√

𝑚𝑖

𝜆𝑖.

Let’s define

𝐵(𝑥𝑛, 𝑥0, 𝜔)𝑑𝑒𝑓=

⎛⎝𝑏11(𝜔) 𝑏12(𝜔)

𝑏21(𝜔) 𝑏22(𝜔)

⎞⎠ . (39)

The nontrivial solution 𝑋(𝑥, 𝜔) of the system (35) can be found as

𝑋(𝑥, 𝜔) = 𝐵(𝑥, 𝑥0, 𝜔) · 𝐶, where 𝐶 =

⎛⎝𝐶1

𝐶2

⎞⎠ is some nonzero vector.

The vector function 𝑋(𝑥, 𝜔) has to fulfill the boundary conditions (37). That is[𝑃 · 𝐵(𝑥0, 𝑥0, 𝜔) +𝑄 · 𝐵(𝑥𝑛, 𝑥0, 𝜔)

]· 𝐶 = 0,

taking into consideration that 𝐵(𝑥0, 𝑥0, 𝜔) = 𝐸, the following equation is received[𝑃 +𝑄 · 𝐵(𝑥𝑛, 𝑥0, 𝜔)

]· 𝐶 = 0. (40)

In order for the nonzero vector 𝐶 to exist the validity of the following conditionis necessary and sufficient

det[𝑃 +𝑄 · 𝐵(𝑥𝑛, 𝑥0, 𝜔)

]= 0. (41)

Let’s concretize the left part of the characteristic equation (41), taking into con-sideration the matrices 𝑃 , 𝑄 and (39)

det[𝑃 +𝑄 · 𝐵(𝑥𝑛, 𝑥0, 𝜔)

]= det

⎡⎣⎛⎝1 0

0 0

⎞⎠+

⎛⎝0 0

1 0

⎞⎠ ·

⎛⎝𝑏11(𝜔) 𝑏12(𝜔)

𝑏21(𝜔) 𝑏22(𝜔)

⎞⎠⎤⎦ =


= det

⎡⎣⎛⎝ 1 0

𝑏11(𝜔) 𝑏12(𝜔)

⎞⎠⎤⎦ = 𝑏12(𝜔).

Let’s make the following proposition.

Remark 2. Characteristic equation of the eigenvalue problem is the following

𝑏12(𝜔) = 0. (42)

As known [8], the roots 𝜔𝑘 of the characteristic equation (42), that are also eigen-values of the problem (27), (28), are positive and different.

In order to find the nonzero vector 𝐶 let’s substitute 𝜔𝑘 with 𝜔 into the equation(40). Then the following vectorial equality is received⎛⎝ 1 0

𝑏11(𝜔𝑘) 𝑏12(𝜔𝑘)

⎞⎠ ·

⎛⎝𝐶1

𝐶2

⎞⎠ =

⎛⎝0

0

⎞⎠ ,

that is equivalent to the system of equations⎧⎨⎩ 𝐶1 = 0,

𝑏11(𝜔𝑘) · 𝐶1 + 𝑏12(𝜔𝑘) · 𝐶2 = 0.(43)

Since the determinant of this system 𝑏12(𝜔) = 0, then the system (43) has thefollowing solutions 𝐶1 = 0, 𝐶2 ∈ R∖{0}. By introducing, for example 𝐶2 = 1,

𝐶 =

⎛⎝0

1

⎞⎠ is received. Note, that the vector 𝐶 doesn’t depend on 𝜔𝑘. Let 𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘)

be a nontrivial eigenvector that corresponds to the value of 𝜔𝑘.

Remark 3. The eigenvectors of the system of differential equations (35) withboundary conditions (37) have the following structure

𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) = 𝐵(𝑥, 𝑥0, 𝜔𝑘) ·

⎛⎝0

1

⎞⎠ , 𝑘 ∈ N.

Cosequence 1. The eigenfunctions 𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) as the first coordinates of theeigenvectors 𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) can be written down as

𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) =(1 0

)· 𝐵(𝑥, 𝑥0, 𝜔𝑘) ·

⎛⎝0

1

⎞⎠ , 𝑘 = 1, 2, 3, . . . . (44)

In particular, since the 𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) is (34), then from (38) and (44) follows that

𝑋𝑘𝑖(𝑥, 𝜔𝑘) =(1 0

)· 𝐵𝑖(𝑥, 𝑥𝑖, 𝜔𝑘) · 𝐵(𝑥𝑖, 𝑥0, 𝜔𝑘) ·

⎛⎝0

1

⎞⎠ , 𝑖 = 0, 𝑛− 1. (45)


5. Building a solution to the mixed problem (22) - (24). In order to solvethe problem (22) - (24) let’s apply the eigenfunctions method [12], what means thatthe problem’s solution can be found in a following form

𝑣(𝑥, 𝑡) =

∞∑𝑘=1

𝑇𝑘(𝑡) ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘), (46)

where 𝑇𝑘(𝑡) are unknown functions that will be later defined.

Since 𝜕2𝑤𝜕𝑡2 is in the right side of equation (22) let’s expand it into the Fourier

series by the eigenfunctions 𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) of the boundary problem (27), (28)

𝜕2𝑤

𝜕𝑡2=

∞∑𝑘=1

𝑤𝑘(𝑡) ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘). (47)

Substituting (46) into the equation (22) and considering (47), the following equa-tion is received

𝑚(𝑥) ·∞∑𝑘=1

𝑇𝑘′′(𝑡) ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) =

∞∑𝑘=1

𝑇𝑘(𝑡) ·(𝜆(𝑥)𝑋𝑘

′(𝑥, 𝜔𝑘))′−

−𝑚(𝑥) ·∞∑𝑘=1

𝑤𝑘(𝑡) ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘).

Considering that the eigenfunctions 𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) satisfy the equation (27), we getan equality

𝑚(𝑥) ·∞∑𝑘=1

𝑇𝑘′′ (𝑡) ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) = −𝑚(𝑥)

∞∑𝑘=1

𝜔2𝑘 ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘)𝑇𝑘(𝑡)−

−𝑚(𝑥) ·∞∑𝑘=1

𝑤𝑘(𝑡) ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘),

∞∑𝑘=1

[𝑇𝑘

′′(𝑡) + 𝜔2𝑘 · 𝑇𝑘(𝑡) + 𝑤𝑘(𝑡)

]·𝑚(𝑥) ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) = 0. (48)

Let’s multiply the right and left parts (48) by 𝑋𝑗(𝑥, 𝜔𝑗) and integrate by thevariable 𝑥 on the interval [𝑥0;𝑥𝑛). Considering the eigenfunctions’ orthogonality weget each of the differential equations

𝑇𝑘′′(𝑡) + 𝜔2

𝑘 · 𝑇𝑘(𝑡) = −𝑤𝑘(𝑡), 𝑘 = 1, 2, 3, . . . . (49)

The general solution of each of the differential equations (49) is

𝑇𝑘(𝑡) = 𝑎𝑘 cos𝜔𝑘𝑡+ 𝑑𝑘 sin𝜔𝑘𝑡−1

𝜔𝑘

𝑡∫0

sin𝜔𝑘(𝑡− 𝑠) · 𝑤𝑘(𝑠) 𝑑𝑠, (50)

where 𝑎𝑘, 𝑑𝑘 are unknown constants [3].


Let’s declare 𝐼(𝑡) = 1𝜔𝑘

𝑡∫0

sin𝜔𝑘(𝑡− 𝑠) · 𝑤𝑘(𝑠) 𝑑𝑠. Note that 𝐼(0) = 0,

𝐼 ′𝑡(0) = 0 [4].In order to find the constants 𝑎𝑘, 𝑑𝑘 let’s expand the right parts of the initial

conditions (23) into the Fourier series by the eigenfunctions 𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘)

Φ0(𝑥) =

∞∑𝑘=1

Φ0𝑘 ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘), (51)

Φ1(𝑥) =

∞∑𝑘=1

Φ1𝑘 ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘), (52)

where Φ0𝑘, Φ1𝑘 are the corresponding Fourier coefficients.From (50) follows that

𝑇𝑘(0) = 𝑎𝑘, (53)

𝑇𝑘′(𝑡) = −𝑎𝑘𝜔𝑘 sin𝜔𝑘𝑡+ 𝑑𝑘𝜔𝑘 cos𝜔𝑘𝑡− 𝐼𝑡

′(𝑡),

so𝑇𝑘

′(0) = 𝑑𝑘𝜔𝑘. (54)

Taking into account (46), (51) and the first condition in (23) the following is

received:∞∑𝑘=1

𝑇𝑘(0) ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) =∞∑𝑘=1

Φ0𝑘 ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘). Now using (53) we receive

𝑇𝑘(0) = 𝑎𝑘 = Φ0𝑘.

Analogically from (46), (52) and the second condition in (23)∞∑𝑘=1

𝑇𝑘′(0) ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) =

∞∑𝑘=1

Φ1𝑘 ·𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘) is received. Using (54) we find

𝑇𝑘′(0) = 𝑑𝑘𝜔𝑘 = Φ1𝑘 or 𝑑𝑘 =

Φ1𝑘

𝜔𝑘.

Thus, finally a solution of the mixed problem (22) - (24) is received in a form ofthe series

𝑣(𝑥, 𝑡) =

∞∑𝑘=1

⎡⎣Φ0𝑘 cos𝜔𝑘𝑡+Φ1𝑘

𝜔𝑘sin𝜔𝑘𝑡−

1

𝜔𝑘

𝑡∫0

sin𝜔𝑘(𝑡− 𝑠) · 𝑤𝑘(𝑠) 𝑑𝑠

⎤⎦𝑋𝑘(𝑥, 𝜔𝑘).

Considering (34) and that 𝑣(𝑥, 𝑡) =𝑛−1∑𝑖=0

𝑣𝑖(𝑥, 𝑡) · 𝜃𝑖, where 𝑣𝑖(𝑥, 𝑡) are defined on

the interval [𝑥𝑖;𝑥𝑖+1), we receive

𝑣𝑖(𝑥, 𝑡) =

∞∑𝑘=1

⎡⎣Φ0𝑘 cos𝜔𝑘𝑡+Φ1𝑘

𝜔𝑘sin𝜔𝑘𝑡−

1

𝜔𝑘

𝑡∫0

sin𝜔𝑘(𝑡− 𝑠) · 𝑤𝑘(𝑠) 𝑑𝑠

⎤⎦××𝑋𝑘𝑖(𝑥, 𝜔𝑘), (55)


where the functions 𝑋𝑘𝑖(𝑥, 𝜔𝑘) are computed by the formula (45).Considering (21), (55) the solution of the problem (1)-(3) is received

𝑢(𝑥, 𝑡) =

𝑛−1∑𝑖=0

[𝑤𝑖(𝑥, 𝑡) + 𝑣𝑖(𝑥, 𝑡)] · 𝜃𝑖.

Conclusion. The expansion by the eigenfunctions theorem is adapted for thecase of differential equations with piecewise constant (by the spatial variable) coeffi-cients.

Explicit formulas for finding the solution and its quasi-derivatives for any partialinterval of the main interval that are valid for arbitrary finite numbers of the firsttype break points of the earlier referred coefficients are received.

This scheme of problem examination was considered in a case of rectangularCartesian coordinate system. However, it remains valid in a case of any curvilinearorthogonal coordinates. The advantage of this method is a possibility to examine theproblem on each breakdown segment and then using the matrix calculation to writedown an analytical expression of the solution. Such an approach allows the use ofsoftware tools for solving the problem.

The received results have a direct application to applied problems.

1. V.Ya. Arsenin, Methods of Mathematical Physics. – Nauka, Moscow, 1974.

2. A. Halanay and D. Veksler, Qualitative Theory of Pulse Systems. – Mir, Moscow,1971.

3. P.I. Kaleniuk, J.K. Rudavsky, R.M. Tatsij, I.F. Kliinik, V.M. Kolesnik, P.P.Kostrobij, I.Ya. Oleksiv, Differential Equations. – Lviv Polytechnic Publisher, Lviv,2014.

4. V.S. Martynenko, Operational Calculus. – Vyshcha Shkola, Kiev, 1973.

5. V.V. Mazurenko, On the reduction of discrete- continuous boundary value problemfor the generalized scheme Atkinson. – Reports of the National Academy of Sciences ofUkraine, Vol. 8 (2001), 19–22.

6. A. M. Samoilenko, N. A. Perestyuk, Impulse Differential Equations. – VyshchaShkola, Kiev, 1987.

7. R.M. Tatsij, O.Yu. Chmyr, O.O. Karabyn, The total boundary value problems forhiperbolic equation with piecewise continuous coeffitients and right parts. – Researchesin mathematics and mechanics, Vol. 22 (2017), No. 2(30), 55–70.

8. R.M. Tatsij, V.V. Mazurenko, Discrete-continuous boundary problems for thequasi-differential equations of even order. – Mathematical Methods and Physico-Mechanical Fields, Vol. 44 (2001), No. 1, 43–53.

9. R.M. Tatsij, M.F. Stasjuk, V.V. Mazurenko, O.O. Vlasij, Generalized Quasi-differential Equations. – Kolo, Drogobych, 2011.

10. R.M. Tatsij, M.F. Stasjuk, O.O. Vlasij, Discrete-continuous boundary problemsfor the quasi-differential equations of second order. – Bulletin of the University ”LvivPolytechnic”, series ”Physics and mathematics”, Vol. 718 (2011), 61–69.


11. R.M. Tatsij, O.O. Vlasij, M.F. Stasjuk, General first boundary value problem forthe heat equation with piecewise variable coefficients. – Bulletin of the University ”LvivPolytechnic”, series ”Physics and mathematics”, Vol. 804 (2014), 64–69.

12. A.N. Tikhonov, A.A. Samarskii, Equations of Mathematicai Physics. – Nauka,Moscow, 1977.

13. O.O. Vlasij, M.F. Stasjuk, R.M. Tatsij, The structure of generalized solutions ofsystems with piecewise variable coefficients. – Bulletin of the University ”Lviv Polytech-nic”, series ”Physics and mathematics”, Vol. 660 (2009), 34–38.

Тацiй Р. М., Чмир О. Ю., Карабин О. О.Перша дискретно–неперервна крайова задача для рiвняння гiперболiчноготипу з кусково - сталими коефiцiєнтами та 𝛿-особливостями

Резюме

Вперше запропоновано та обґрунтовано нову формальну схему розв’язування загальноїпершої крайової задачi для рiвняння гiперболiчного типу з кусково–сталими коефiцiєн-тами та 𝛿-особливостями. В основу схеми розв’язування покладено концепцiю квазiпо-хiдних, сучасну теорiю систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь, а також класичнийметод Фур’є та метод редукцiї. Перевагою методу є можливiсть розглянути задачу накожному вiдрiзку розбиття, а потiм за допомогою матричного числення записати ана-лiтичний вираз розв’язку. Такий пiдхiд дозволяє застосовувати програмнi засоби допроцесу вирiшення задачi та графiчної iлюстрацiї розв’язку.Ключовi слова: квазiдиференцiальне рiвняння, крайова задача, матриця Кошi, фун-кцiя Дiрака, задача на власнi значення, метод Фур’є та метод власних функцiй .

Таций Р.М., Чмырь О.Ю., Карабин О.О.Первая дискретно–непрерывная краевая задача для уравнения гиперболи-ческого типа с кусочно–постоянными коэффициентами и 𝛿–особенностями

Резюме

Впервые предложена и обоснована новая формальная схема решения общей первойкраевой задачи для уравнения гиперболического типа с кусочно–постоянными коэффи-циентами и 𝛿-особенностями. В основе схемы решения лежит концепция квазипроиз-водных, современная теория систем линейных дифференциальных уравнений, а такжеклассический метод Фурье и метод редукции. Преимуществом метода является возмож-ность рассмотреть задачу на каждом отрезке разбиения, а затем на основании матрич-ного исчисления объединить полученные решения. Такой подход позволяет применитьпрограммные средства к процессу разрешения задачи и графической иллюстрации ре-шения.Ключевые слова: квазидифференциальное уравнение, краевая задача, матрица Коши,функция Дирака, задача на собственные значения, метод Фурье и метод собственныхфункций .

References

1. Arsenin, V. Ya. (1974). Metody matematicheskoyu phiziki [Methods of MathematicalPhysics]. Moscow: Nauka, 432 p.

2. Halanay, A. and Veksler, D. (1971). Yakisna teoriya impulsnykh system [QualitativeTheory of Pulse Systems]. Moscow: Mir, 315 p.


3. Kaleniuk, P. I., Rudavsky, J. K., Tatsij, R. M., Kliinik, I. F., Kostrobij, P. P., Olek-siv, I. Ya. (2014). Dyferentsialni rivnyannya [Differential Equations]. Lviv: PolytechnicPublisher, 380 p.

4. Martynenko, V. S. (1973). Operatsionnoye ischislyeniye [The operational calculus]. Kyiv:Vyshcha shkola, 359 p.

5. Mazurenko, V. V. (2001). Pro zvidnist dyskretno-neperervnoyi krayovoyi zadachi douzagalnenoyi skhemy Atkinsona [On the reduction of discrete- continuous boundaryvalue problem for the generalized scheme Atkinson]. Reports of the National Academyof Sciences of Ukraine, Vol. 8. – P. 19–22.

6. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. (1987). Impulsni dyferentsiayni rivnyannya [ImpulseDifferential Equations]. Kyiv: Vyshcha shkola, 472 p.

7. Tatsij R.M. , Chmyr O.Yu., Karabyn O.O. (2017) Zagalni krayovi zadachi dlya hiper-bolichnogo rivnyannya iz kuskovo-neperervnymy koefitsiyentamy ta pravymy chasty-namy [The total boundary value problems for hiperbolic equation with piecewise con-tinuous coeffitients and right parts]. Researches in mathematics and mechanics, Vol. 22,No. 2(30). – P. 55–70.

8. Tatsij R.M., Mazurenko, V. V. (2001). Dyskretno-neperervni krayovi zadachi dlya kvazi-dyferentsialnykh rivnyan dovilnogo poryadku [Discrete-continuous boundary problemsfor the quasi-differential equations of even order]. Reports of the Mathematical Methodsand Physico-Mechanical Fields, Vol. 44, No. 1. – P. 43–53.

9. Tatsij, R. M., Stasjuk, M. F., Mazurenko, V. V., Vlasij, O. O. (2011). Uzagalnenikvazidyferentsialni rivnyannya [Generalized quasi-differential equations]. Drogobych:Kolo, 297 p.

10. Tatsij, R. M., Vlasij, O. O., Stasjuk, M. F. (2011). Dyskretno-neperervni krayovi zadachidlya kvazi-dyferentsialnykh rivnyan drugogo poryadku [Discrete-continuous boundaryproblems for the quasi-differential equations of second order]. Bulletin of the University”Lviv Polytechnic”, series ”Physics and mathematics”, Vol. 718. – P. 61–69.

11. Tatsij, R. M., Vlasij, O. O., Stasjuk, M. F. (2014). Zagalna persha krayova zadacha dlyarivnyannya teploprovidnosti z kuskovo-zminnymy koefitsiyentamy [General first bound-ary value problem for the heat equation with piecewise variable coefficients]. Bulletinof the University ”Lviv Polytechnic”, series ”Physics and mathematics”, Vol. 804. – P.64–69.

12. Tikhonov, A. N., Samarskii, A. A. (1977). Uravneniya matematicheskoyu phiziki [Equa-tions of Mathematicai Physics]. Moscow: Nauka, 735 p.

13. Vlasij, O. O., Stasjuk, M. F., Tatsij, R. M., (2009). Struktura rozvyazkiv uzagalnenykhsystem z kuskovo-zminnymy koefitsiyentamy [The structure of generalized solutions ofsystems with piecewise variable coefficients]. Bulletin of the University ”Lviv Polytech-nic”, series ”Physics and mathematics”, Vol. 660. – P. 34–38.

IНФОРМАЦIЯ ДЛЯ АВТОРIВ(скорочений варiант)

Журнал «Дослiдження в математицi i механiцi» має мету iнформувати чита-чiв про новi науковi дослiдження у сферi теоретичної i прикладної математики iмеханiки та сумiжних дисциплiн. У журналi друкуються статтi, в яких наведенiоригiнальнi результати теоретичних дослiджень, огляди з актуальних проблемза тематикою видання, а також повiдомлення про ювiлеї, знаменнi дати та подiї.

Статтi публiкуються українською, росiйською або англiйською мовами.

До журналу приймаються ранiше не опублiкованi науковi роботи.

Електронну версiю рукопису слiд надсилати на e-mail журналу

[email protected]

або завантажувати через сайт журналу

www.rmm-journal.onu.edu.ua

Вона повинна складатися з

1) вихiдного TEX-файла,

2) PDF-файла,

3) всiх допомiжних файлiв (графiки, рисунки, iлюстрацiї тощо),

4) документа з анкетними даними авторiв (прiзвище, iм’я, по батьковi, мiсцероботи, e-mail, адреса для листування та телефон).

Текст статтi має бути пiдготовлений за допомогою видавничої системи LATEXвiдповiдно до вимог та з використанням шаблону, якi викладено на сторiнцi жур-налу для авторiв на сайтi. Також вимоги можна отримати в редакцiйнiй колегiїжурналу.

Загальний обсяг статтi не повинен перевищувати 25 сторiнок.Структура статтi:— УДК;— список авторiв;— мiсце роботи авторiв;— назва статтi;— резюме мовою оригiналу обсягом не менш як 100 слiв;— Mathematical Subject Classification (2010);— список ключових слiв мовою оригiналу;— основний текст статтi повинен вiдповiдати вимогам постанови Президiї

ВАК України «Про пiдвищення вимог до фахових видань, внесених до перелi-кiв ВАК України» вiд 15.01.2003 р. № 7-05/1, тобто необхiдно видiлити вступ,основну частину i висновки. Основна частина повинна мiстити постановку про-блеми в загальному виглядi та її зв’язок iз важливими науковими чи практични-ми завданнями; аналiз останнiх дослiджень i публiкацiй, в яких започатковано

розв’язання даної проблеми i на якi спирається автор, видiлення невирiшенихранiше частин загальної проблеми, котрим присвячується подана стаття; форму-лювання цiлей статтi (постановка завдання); виклад основного матерiалу дослi-дження з повним обґрунтуванням отриманих наукових результатiв; висновки зцього дослiдження i перспективи подальших розвiдок у цьому напрямi. Посилан-ня на лiтературу в текстi подаються порядковим номером у квадратних дужках;

— список лiтературних джерел укладається в порядку посилань або в алфа-вiтному порядку та оформлюється вiдповiдно до державного стандарту УкраїниДСТУ ГОСТ 7.1:2006 «Бiблiографiчний запис. Бiблiографiчний опис. Загальнiвимоги та правила складання» та вiдповiдає вимогам ВАК України (див. наказ№ 63 вiд 26.01.2008);

— анотацiї двома iншими мовами, якi повиннi мiстити назву, список авторiв,резюме обсягом не менш як 100 слiв та список ключових слiв;

— додатково, якщо стаття написана українською або росiйською мовами, пi-сля анотацiй подається список лiтератури у транслiтерацiї, оформлений у вiд-повiдностi до мiжнародного стандарту Harvard (зразок та правила оформленняможна знайти в шаблонi статтi на сайтi).

Усi надiсланi статтi проходять анонiмне рецензування.

Редколегiя має право вiдхилити рукописи, якщо вони не вiдповiдають вимо-гам журналу «Дослiдження в математицi i механiцi».

В одному номерi журналу публiкується тiльки одна стаття автора, зокрема iу спiвавторствi.

Редакцiйна колегiя журналу«Дослiдження в математицi i механiцi»

Одеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечниковавул. Дворянська, 2

м. Одеса, 65082

Українською, росiйською та англiйською мовами

Свiдоцтво про державну реєстрацiю друкованого засобу масовоїiнформацiї: серiя КВ, № 21400—11200ПР вiд 17 червня 2015 р.

Затверджено до друку вченою радоюОдеського нацiонального унiверситету iменi I. I. МечниковаПротокол № 8 вiд 24 квiтня 2018 р.

Вiдповiдальний за випуск О. П. ОгуленкоЗавiдувачка редакцiї Т. М. ЗабановаТехнiчний редактор М. М. Бушин

Тираж 100 прим. Зам. № 330(68).

Адреса редколегiї:65082, м. Одеса, вул. Дворянська, 2

Одеський нацiональний унiверситет iменi I. I. Мечникова

Видавництво i друкарня «Астропринт»65091, м. Одеса, вул. Разумовська, 21

Тел.: (0482) 37-07-95, 37-14-25, 33-07-17, (048) [email protected]

Свiдоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 1373 вiд 28.05.2003 р.

Дослiдження в математицi i механiцi. – 2019. – Т. 24, вип. 1(33). – С. 1–105.

Documents

liber.onu.edu.ualiber.onu.edu.ua/pdf/visn_matem_1_2019.pdfЗасновник: ОдеськийнацiональнийунiверситетiменiI.I.Мечникова Редакцiйна