Embed Size (px)
Citation preview
3
Некоммерческое
акционерное общество
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Конспект лекции для студентов специальности
5В100200-Системы информационной безопасности
Алматы 2017
АЛМАТИНСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра
математического
моделирования и
программного
обеспечения
4
СОСТАВИТЕЛИ: А.К. Дуйсек, Ж.С. Абдулланова. Теория
вероятностей и математическая статистика. Конспект лекции для
студентов специальности 5В100200-Системы информационной
безопасности.- Алматы: АУЭС, 2017.- 53 с.
Конспект лекций содержит разделы «Элементарная теория
вероятностей, элементы математической статистики» для студентов
специальности 5В100200-Системы информационной безопасности. Конспект
лекций для студентов специальности 5В100200-Системы информационной
безопасности составлен в соответствии с программой дисциплины «Теория
вероятностей и математическая статистика».
Ил. 9, табл. 11, библиогр.-6назв.
Рецензент: доцент Койлыбаева Р. К.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества
«Алматинский университет энергетики и связи» на 2017 г.
© НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2017 г.
5
1 Модуль № 1. Элементарная теория вероятностей
1.1 Лекция №1. Предмет теории вероятностей
Содержание лекции: классическое, статистическое, геометрическое
определения вероятностей; пространство элементарных событий; алгебра
событий; элементы комбинаторики.
Цель: ввести основные понятия теории вероятностей.
Предмет теории вероятностей.
Для решения многих задач, встречающихся в природе, в обществе,
учёные точных наук строят их математические модели, т.е. их аналоги,
записанные с помощью математических формул и различных алгебраических
операций над ними. Далее, это исследуется с помощью математических
программ на соответствующих современных компьютерах.
Во многих случаях эти задачи находят необходимые решения, а в
других их очень трудно найти.
Большую трудность представляют задачи, связанные с трудно ис-
следуемыми случайными факторами, явлениями. Например, до сих пор не
могут предсказать время, в которое произойдут катастрофические явления:
землетрясения, вулканы, цунами и т.д.
Теория вероятностей изучает закономерности, которые справедливы к
массовым случайным явлениям. С помощью элементов теорий вероятностей
можно прогнозировать влияния случайных факторов на поставленную задачу,
контролировать их, ограничивать сферы влияния случайности.
В настоящее время теория вероятностей развилась как одна из
необходимых ветвей математической науки и находит многочисленные
приложения в естественных и гуманитарных направлениях.
События, пространство элементарных событий. Алгебра событий.
Случайным событием называется событие, которое при осуществлении
совокупных условий может произойти, а может не произойти. Эту
совокупность условий называют испытанием или опытом. События
обозначают буквами А, В, С и т.д.
Полученные в результате опытов некоторые исходы называют
элементарными событиями.
Множество всех элементарных событий называют пространством
элементарных событий или пространством исходов.
Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в
результате данного опыта.
Событие называют невозможным, если оно заведомо не произойдет в
результате проведения опытов.
6
Два события называются несовместными, если появление одного
исключает появление другого события в одном и том же опыте. В противном
случае, эти события называют совместными.
События называют равновозможными, если ни одно из них не является
более возможным, чем другие, т.е. все события имеют равные шансы.
Событие называют единственно возможным, если появление в
результате испытания одного и только одного из них является достоверным
событием.
Событие, противоположное А, обозначается через А и означает, что со-
бытие А не наступило.
Полной группой называют совокупность единственно возможных
событий испытания.
Суммой событий ВиА называют событие ВАСВАС ,
состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Разностью событий ВиА называют событие ВАВАС \ , про-
исходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не
происходит событие В.
Произведением событий ВиА называют событие ВАВАС , сос-
тоящее в совместном наступлений этих событий.
Для событий выполняются следующие алгебраические операций:
..)3
.)2.,)1
дтиСВАСВАВСАССВА
АВВААВВА
Определения вероятностей.
Пусть nААА ,...,, 21 полная группа равновозможных элементарных
исходов испытания. При некоторых исходах событие А происходит, при
других нет.
Исходы, при которых событие А происходит, называются
благоприятствующими событию А.
Определение 1 (классическое определение вероятности).
Вероятностью события А называют отношение числа m элементарных
исходов испытания, благоприятствующих событию А, к числу n всех
единственно возможных и равновозможных, образующих полную группу
элементарных исходов.
Вероятность события А обозначается AP , тогда по определению
n
mAP .
Из классического определения вероятности вытекают следующие
свойства:
1) Вероятность достоверного события равна единице. В этом случае
,nm и следовательно .1n
nAP
7
2) Вероятность невозможного события равна нулю, т.е. .00
nn
mAP
3) Вероятность случайного события есть положительное число, зак-
люченное между 0 и 1, т.е. 0<P(A)<1.
Определение 2. Относительной частотой события А или просто
частотой, обозначаемой W(A), называется отношение числа опытов m~ , в
которых произошло событие А, к числу всех проведенных опытов n~ , т.е.
n
mАW ~
~ .
Определение 3 (статистическое определение вероятностей).
Вероятностью случайного события А называется постоянное число
P(A), около которого группируются частоты W(A) события А, по мере
увеличения числа опытов.
Так как в классическом определении вероятности предполагается
конечное число исходов, то более предпочтительно применять при решении
вероятностных задач её статистическое определение.
Если пространство элементарных событий Q в задаче является
бесконечным несчётным множеством, а элементарные события
равновозможными, то для определения вероятности можно применить
геометрическое определение.
При геометрическом подходе условия задачи можно свести к бросанию
наугад точки в определённую геометрическую область Q (отрезок, часть
плоскости или часть пространства). Так как точка бросается наугад, то равно-
возможно её попадания в любую конечную часть Х области Q. Поэтому
вероятность попадания точки в область Х (ХQ) будет пропорциональна мере
q (длине, площади или объёму) и не зависит от формы и расположение q.
Определение 4 (геометрическое определение вероятности).
Пусть событие А-попадание точки в область Х(ХQ). Тогда вероятность
этого событие равно отношению меры области Х к мере всей области Q, в
которой может появиться это точка:
Vq
Vqили
Sq
Sqили
Lq
LqAP )( ,
где L, S,V-длины, площади, объёмы областей соответственно.
Пример. Пусть бросают мяч в круг радиуса 10 м. Какова вероятность
попадания в круг радиуса 2 м, находящейся в заданном кругу?
Решение. ,1002
1 RS .162
22 RS
Вероятность: .25
4
100
16
1)( 2
S
SAP
Элементы комбинаторики.
Комбинаторика-раздел математики, в котором изучаются задачи выбора
элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным
правилам. В частности, задачи о подсчётах числа комбинаций (выборок),
получаемых из элементов заданного множества.
8
Существуют две схемы выбора m элементов из n исходных (с
возвращением и без возвращения). Мы пока изучаем выборки без
возвращения.
Определение 1. Размещением из элементов n по m (0<m<n ) называется
любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее m из
элементов n, и обозначается
!!
mn
nAm
n
,
где (1!=1: 0!=1) или )1)...(2)(1( mnnnnAm
n .
Пример 1. Составить размещения по 2 из элементов множества
5,4,3D .
Решение. Составляем пары (3,4), (3,5), (4,3), (5,3), (4,5), (5,4). Тогда
6232
3 A .
Определение 2. Перестановкой из n элементов называются размещения
из n элементов по n элементов.
.123)...1(! nnnPn
Определение 3. Сочетанием из n элементов по m (0<m<n) называется
любое подмножество, которое содержит m элементов данного множества и
отличается друг от друга хотя бы одним элементом и обозначается:
)!(!
!
!
)1)...(1(
mnm
n
m
mnnn
Pm
AC
m
nm
n
.
Пример 2. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность
того, что среди наудачу взятых деталей 4 стандартные.
Решение. В данной задаче число благоприятствующих 2
3
4
7 CCm , а
всевозможных 6
10Cn . Тогда
.2
1)(
6
10
2
3
4
7
C
CC
n
mАР
1.2 Лекция №2. Основные теоремы теории вероятностей
Содержание лекции: теоремы сложения и умножения вероятностей;
зависимые и независимые события; формулы повторных испытаний;
формулы полной вероятности и Байеса.
Цель: ввести основные формулы теорий вероятностей.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема 1(сложение вероятностей). Вероятность суммы двух
несовместных событий равно сумма их вероятностей, т.е. если BA , то
)()()( BPAPBAP .
Следствие. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий т.е.
9
n
i
i
n
i
i APAP11
)( где jAAi при .ji
Пример 1. В урне 40 шаров, из них 10 красных, 4 зелёных, 16 синих и
остальные белые. Найти вероятность появления окрашенного шара.
Решение. .40
16)(;
40
4)(;
40
10)( 321 APAPAP
.4
3
40
30
40
16
40
4
40
10)( 321 AAAP
Вероятность суммы двух совместных событий равна
)()()()( ABPBPAPBAP .
Определение 1. Два события называются независимыми, если
вероятность одного из них не зависит от появления или не появления другого.
Определение 2. Два события называются зависимыми, если появление
одного из них зависит от появления другого.
Теорема 2 (умножение вероятностей). Вероятность произведения двух
независимых событий равна произведению вероятностей этих событий т.е.
)()()( BPAPBAP .
Следствие. Вероятность произведения нескольких событий,
независимых в совокупности, равно произведению вероятностей этих
событий
)()...()()...( 21321 nn APAPAPAAAAP .
Обозначим nn qAPqAPqAP )(,....,)(;)( 2211 .
Теорема. Если событии nAAA ,..., 21 , независимые в совокупности, то
nn qqqAAAP ...1)...( 2121 .
Определение 3. Условной вероятностью события B при условии, что
произошло событие A , называется отношение вероятности произведение этих
событий к вероятности события )0)((, APA и обозначается символом )/( ABP .
Таким образом, .0)(,)(
)()/(
AP
AP
BAPAВP
Вероятность )(BP называется безусловной вероятностью. Заданную
выше формулу можно записать в виде )/()()( ABPAPBAP , т.е. вероятность
произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них
на условную вероятность другого при условии, что первое произошло. Данное
равенство можно обобщить на случай n событий
).../(:...)/()()...( 1-n2112121 АААAPAAPAPAAAP nn
или .()...)()()...(12121 ...32121 nАААААn AРAРAPAPAAAP
п
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
10
Пусть событии ni HHH ,...,, 2 образуют полную группу независимых
событий, т.е. .,,1)(1
jiHHHP ji
n
i
i
Событие может наступить только с
наступлением одного из событии ,,..., 21 nHHH которые называют гипотезами.
Тогда справедлива формула полной вероятности:
)/()()(1
i
n
i
i HAPHPAP
.
Если события nHHH ,...,, 21 образуют полную группу несовместных со-
бытии (гипотез) и событие А произошло, то
.,...,2,1,
)/()(
)/()()/(
1
nj
HAPHP
HAPHPAHP
n
i
ii
jj
j
Данная формула называется формулой Байеса. Она даёт возможность
находить условные вероятности )/( AHP j по известным до опыта
вероятностям гипотез nHHH ,...,, 21 и данным )/( iHAP .
Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-
Лапласа. Теорема Пуассона.
Пусть производится n-испытаний, в каждом из которых событие А
может появиться либо не появиться.
Вероятность события А в каждом испытании одна и та же и
обозначается через .p Вероятности не наступления события А обозначается
p1q .
Поставим задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях
событие А осуществляется к раз и следовательно не осуществляется n-k раз.
Тогда вероятность определяется с помощью формулы Бернулли:
knk
n qpknk
nkP
)!(!
!)( , где )(kPn вероятность того, что событие А в
испытаниях появится к раз.
Формулу Бернулли трудно использовать при больших значениях m и k.
Вычисление вероятности приводит к громоздким вычислениям.
В таких случаях возникает необходимость в отыскании приближенных
формул для вычисления ),(kPn обеспечивающих необходимую точность.
Если число испытаний n велико, а вероятность p близка к нулю
),1.0p( p то для вычисления вероятностей используют предельные теоремы
Муавра-Лапласа.
Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа). Вероятность того, что в n
независимых испытаниях событие А наступит равно к раз
11
)(1
)( хnpq
kPn , где .,2
1)( 2
2
npq
npmxeх
x
p -вероятность наступления события в отдельных испытаниях, p1q .
Данное равенство тем точнее, чем больше n и p ближе к 0,5.
Функция ),(х называемая функцией Гаусса, является чётной, её
значения для 0x приведены в приложении А.
В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что в n
независимых испытаниях событие А появится не менее 1K раз, но не более
2K
раз, т.е. )( 21 KmKPn или );( 21 KKPn , используют следующую теорему.
Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Пусть вероятность
появления события А в каждом из n независимых испытаний равна p . Тогда
вероятность того, что в n независимых испытаниях оно появится от 1K до
2K раз
)( 12 KK выражается формулой:
1221 )( xxkmkPn , где .,,2
1
0
22
11
2/2
x
t
npq
npkx
npq
npkxdtex
Функция Лапласа Ф(х)-нечётная, её значения приведены в приложении
Б. Для значений х>5 полагают Ф(х)=0,5.
С помощью функций Лапласа можно найти вероятность отклонения
относительной частоты n
n от вероятности p в n независимых испытаниях.
Имеет место формула
pq
np
n
nP 02 , где 5.0)()(0 xx .
В тех случаях, когда вероятность p крайне мала, а количество
испытаний велико применяют следующую теорему.
Теорема (Пуассона). Если число испытаний достаточно увеличивается
),( n а вероятность события А в каждом испытании неограниченно
уменьшается )0( р , причем ,stсопапр то вероятность )(kPn находят по
формуле:
.!
)(!
)(limm
eekPили
m
eekP
npk
n
npk
nn
Данное выражение называется асимптотической формулой Пуассона.
1.3 Лекция №3. Случайные величины
Содержание лекции: дискретные и непрерывные случайные величины,
их свойства; непрерывные и дискретные распределения; математическое
ожидание и дисперсия; начальные и центральные моменты.
Цель: ввести понятие случайных величин.
Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины,
их свойства.
12
Одним из важнейших понятии в теории вероятностей является понятие
случайной величины.
Величина, принимающая заранее неизвестные случайные значения,
называется случайной величиной.
Случайные величины обозначаются буквами латинского алфавита
,..,,, UZYX значения соответственно малыми буквами ,...,,, uzyx
Примерами случайных величин могут быть число выстрелов до первого
попадание в цель, количество бракованных деталей в партии, прибыль фирмы
и т.д.
Случайная величина, которая имеет конечное или бесконечное счётное
множество значений, называется дискретной случайной величиной.
Если же множество возможных значений несчётно, то такая величина
называется непрерывной.
К примеру, дискретные случайные величины могут принимать
отдельные изолированные значения, а непрерывные случайные величины
принимают любые значения из некоторых интервалов или отрезков числовой
оси.
Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможным
значением случайной величины и их вероятностями, называют законом
распределения случайной величины.
Пусть Х -дискретная случайная величина, принимающая значения
nxxx ,...,, 21 с некоторой вероятностью niPi ...3,2,1, . Тогда для Х закон
распределения может быть задан в виде таблицы распределения
X 1x 2x
3v … nx
P 1p 2p
3p … np
Такая таблица называется рядом распределения случайной величины,
если nxxx ...21 и 11
n
i
iP . Для непрерывных случайных величин такой ряд
невозможно построить, так как число возможных значении несчётно.
Пусть задана непрерывная случайная величина Х и х-действительное
число. Функция распределения случайной величины Х называется функций
)(xF , которая для любого числа Rx равно вероятности события xХ ( , т.е.
)()( xХPxF . Функция )(xF также называется интегральной функцией
распределения.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1) )(xF ограничена, т.е. 1)(0 xF . Это следует из определения
вероятности.
2) )(xF - неубывающая функция, т.е. если 12 xx , то )()( 12 xFxF . Так
как 12 xx , то )()( 12 xХPxХP . Отсюда следует, что )()( 12 xFxF .
Аналогично объясняются свойства.
13
3) )(xF обращается в ноль на минус бесконечности и равно единице в
плюс бесконечности, т.е. 1)(,0)( FF .
4) Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток ва,
равно )()()( aFbFbХaP .
5) )(xF непрерывна слева т.е. )()(lim 000
xFxFxx
.
Для дискретной случайной величины Х, заданной рядом распределения,
интегральная функция распределения имеет вид
xx
i
i
xХPxF )()( . Если
возможные значения Х принадлежат конечному отрезку ва, , то 0)( xF при
ax и 1)( xF при вx . Величина в-а называется размахом случайной
величины Х.
Очевидно, что для любой случайной величин
).0()0()( 000 xFxFxХP
Для непрерывных случайных величин 0)( 0 xXP .
Одним из важнейших характеристик непрерывной случайной величины
является плотность распределения вероятностей.
Плотностью распределение вероятностей случайной величины Х в
точке х или дифференциальной функцией распределения )(xf называется
предел:
)(f)(
lim0
xx
xxХxP
x
.
Из свойства 3 интегральной функции распределения и выше
приведенной формулы следует, что )()()(
)( lim0
xFx
xFxxFxf
x
(предполагается, что )(xF существует ).
Для дискретной случайной величина функция распределения
кусочно-постоянная, а плотность распределения вероятности
n
i
i xxPx1
0 )()(f , где )(x - функция Дирака, которая, по определению,
равна 0 при 0x и при 0x .
Отметим, что формулы плотности )(f x можно применять для
определения плотности распределения масс на оси абсцисс или плотности
тока в теории электричества.
Перечислим без доказательства свойства плотности
распределения вероятностей:
а) )(xf неотрцительна, т.е. 0)( xf ;
б) вероятность попадания непрерывной случайной величины в
промежуток ва, равна:
в
аdxxfвХaP )()( ;
14
в) функция распределения может быть выражена через плотность
распределения формулой:
x
dttfxF )()( ;
г) несобственный интеграл от плотности вероятности непрерывной
случайной величины равен:
.1)( dххf
Исходя из этих свойств, можно сказать, что случайная величина будет
непрерывной, если существует неотрицательная функция )(xf , что при
любом Х:
x
dttfxF )()( .
Числовые характеристики случайных величин (математическое
ожидание, дисперсия, моменты).
Представленные законы распределения случайных величин полностью
характеризируют случайную величину.
Но во многих достаточно знать некоторые обьединяющие числовые
параметры. Такие числа называют числовыми характеристиками.
Важнейшими из этих характеристик являются математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной
случайной величины Х, имеющей закон распределения nixХPP i ,1),(i ,
называется число, равное .)...)(1
n2211
n
i
iin pxpхрхрxХМ
В случае, когда п , предполагается, что полученный числовой ряд
абсолютно сходится.
Вероятностный смысл математического ожидания заключается в том,
что оно является средним значением случайной величины. Действительно,
так как
11
n
i
ip , то среднееn
i
i
n
i
in
i
ii x
p
pх
pxХМ
1
1
i
1
)( .
Если непрерывная случайная величина х имеет плотность распределения
вероятностей )(xf , то
.)()( dххxfmХМ x
Основными свойствами математического ожидания являются:
-математическое ожидание числа появления события А в одном
испытании равно вероятности р наступления этого события;
- ,)( ССМ если С-постоянное (неслучайное) число;
15
- ),()( ХСМСХМ т.е. постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания;
- )()()( УМХМУХМ ;
- )()()( УМХМХУМ , если случайные величины Х и У независимы;
-математическое ожидание отклонения случайной величины от ее
математического ожидания равна нулю, т.е. 0))(( ХМХМ .
Для любой случайной величины x
0 m хx называется
центрированной
случайной величиной или отклонением.
Дисперсией или рассеянием )(D Х случайной величины Х называют
математическое ожидание квадрата отклонения, т.е. ))m(()(D 2
x ХМХ .
Величина D(X)х называется средним квадратичным отклонением
случайной величины Х. Для непрерывной случайной величины:
dxxfххМХ )()m())(()(D 2
x
20 .
Для дискретной случайной величины ix
n
i
pmххМХ 2
1
i
20 )())(()(D
.
На практике более удобно находить дисперсию по следующей формуле: 22 ))(()()(D ХМХМХ .
Действительно,
).()()()()(2)())(())(2()()))(()(2()(D
222
22222
ХМХМХМХМХМХМХММХХММХМХМХХМХМХ
Отсюда .))(()()(,))(()(D 222
1
2
i
ХMdxxfxХDХMpxХ i
n
i
Перечислим основные свойства дисперсии:
- дисперсия постоянной равна нулю, т.е. 0)(D С ;
- постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя ее
в квадрат, т.е. D(X);)(D 2ССХ
- если Х и У независимы, то )()()( УDХDУХD ;
- если Х и У независимы, то ).()()()()( 2222 УМХМУМХМХУD
Для среднего квадратичного отклонения справедливы все свойства,
приведенные для дисперсии случайной величины.
Мы знаем, что математическое ожидание является средним значением,
вокруг которого группируются значения случайной величины, а дисперсия и
среднее квадратичное отклонение характеризируют рассеяние случайной
величины около математического ожидания.
Для более подробного описания свойств случайной величины
рассмотрим также ее другие характеристики.
Модой 0М дискретной случайной величины Х называют ее наиболее
вероятное значение.
16
Модой непрерывной случайной величины называют такое ее значение
0М , для которого )(max)( 0 xfMf .
Медианой случайной величины Х называется такое ее значение еМ , для
которого )()( ее МхРМхР . Если рассматривается симметричное
распределение случайной величины, то мода и медиана совпадают с ее
математическим ожиданием. Также числовыми характеристиками являются
начальные к)(ХМк и центральные ))m(())(( к
x
0 ХМхМ к
к - моменты
порядка к, к=1,2,… Очевидно, что к)(ХМк и )(D2 Х , число
3
3
х
хА
называется коэффициентом ассиметрии случайной величины Х, число
34
4 х
хЕ
называется эксцессом и характеризирует островершинность
графика плотности распределения вероятностей )(xf . Для нормального
закона распределения 0хЕ .
1.4 Лекция №4. Распределения для дискретных случайных величин
Содержание лекции: основные виды распределения; их числовые
характеристики.
Цель: ввести понятие распределения.
Биномиальный закон распределения.
Пусть в каждом из n независимых испытаний событие А появляется с
вероятностью р. Тогда случайная величина Х, означающая число появлений
события А в n независимых испытаниях, может принимать значения 0,1,2,…n
с вероятностью mnm
п qpХР m
nCm)( . Такое распределение называется
биномиальным. Биномиальный закон можно записать в виде следующей
таблицы.
Х n n -1 … к … 0 p пр
1ппр q … knk qp k
nC … nq
Здесь n-число независимых испытаний; р-вероятность наступления
события, pq 1 -вероятность не наступления события.
Контроль:
n
1i
i 1р .
Функция распределения случайной величины Х, распределенная по
биномиальному закону, имеет вид:
17
nxпри
пхприqpxm
mnm
,1
.0,С0 хпри 0,
F(x) m
n
Нетрудно найти, что .)(,mx npqХDпр
Распределение Пуассона.
Если число испытаний велико, а вероятность появления событии мала,
то используют приближенную формулу ,m!
m)(m
eРп где m-число появления
события А в n независимых испытаниях, .пр Такое распределение
называется распределением Пуассона.
Распределение Пуассона является предельным случаем для
биномиального, когда ,0 рип причем пр постоянное число.
Примерами случайных величин, имеющих распределение Пуассона,
являются число α-частиц испускаемых радиоактивным излучением, число
вызовов на телефонную станцию, число опечаток в большом тексте и т.д.
Случайная величина Х, распределенная по данному закону, имеет ряд
распределения.
mХ 0 1 2 … m …
mp e e
!1 e
!2
2
…
em
m
!…
…
Контроль: 1!00
eem
epm
m
m
m
.
Для нахождения числовых характеристик для данного распределения
введем понятие производящей функции, которая записывается в виде:
...,)( 2
210
0
zpzppzpz k
k
k
где z-произвольный параметр, 1z0 .
Отметим, что коэффициенты приведенного степенного ряда являются
вероятностями закона распределения дискретной случайной величины Х.
Тогда нетрудно найти, что ,(1))(-(1)(1)D(Х(),1()( 2 ХМ
производящей функции распределения Пуассона, будет
.)(..,!
z)(
!)(
0
1)-z()1(k
0
k
xxkк
k
ехетeeek
еzк
еz
Отсюда .(z),)z( )1(2)1( zz ee
Находим .D(X),)1()( 22 ХМ
18
Таким образом, .)(,)()( ХXDХМ Это означает, что в
пуассоновском распределении данные характеристики совпадают и это можно
использовать на практике, когда математическое ожидание и дисперсия на
основе опытов близки между собой.
Геометрическое распределение.
Если для возможных значений 1,2,3,4,…распределения их вероятности
определяются по формуле ,...2,1,0,)( 1 кpqкХРР к
к то ее называют
геометрическим распределением дискретной случайной величины Х.
В данном случае ряд распределения Х имеет вид
кХ 1 2 3 …
кp р pq 2pq …
Контроль: .11
1
1
11
1
p
p
qpqppq
k
kk
к
Находим производящую функцию для случайной величины Х:
,1
z)(..,
1
1)((z)
1
11
1 qz
pzет
qzpzzqpzzpq
k
kk
к
находим .)1(
2)(,
)1((z)
22 qz
pqz
qz
р
Отсюда
.)(,p
qD(Х(,
1)(..
,112
))1(()1()1()(,1
)1((z)D(Х(
2
223
2
22
p
qХ
рХМет
p
q
ppp
pqХD
pp
p
qz
р
Пример. Известно, что вероятность попадания в цель при отдельном
выстреле для данного стрелка равна 0,2. Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины Х-числа выстрелов по цели до первого
попадания.
Решение. По вышеприведенным формулам:
.102)(,40)2,0(
8,0D(Х(,5
2,0
1)(
2 ХХМ
Гипергеометрический закон распределения.
Дискретная случайная величина Х задана по гипергеометрическому
распределению, если она принимает значения 0,1,2,.. m,….min(n,M) с
вероятностями ,m)(m m
N
mn
mN
m
M
C
CCХPР
где m=0, 1, 2,… min(n,M),
NMnNnnmNM ,,,,, натуральные числа.
19
f(x)
1/(b-a)
0 a b x
Приводим без доказательства числовые характеристики
гипергеометрического распределения:
.))((
1D(Х(,
N
M)(
2N
nNMN
n
MnпХМ
Если n очень мало по сравнению с N (практически при N10
1п ), данное
распределение приближается к биномиальному с параметрами n и
.)(N
Mm
M mnmm
nm
N
mn
MN qpCC
CСР
Гипергеометрическое распределение используется при контроле
качества продукции и других задачах.
1.5 Лекция №5. Распределения для непрерывных случайных
величин
Содержание лекции: равномерный закон распределения; показательный
закон распределения; математическое ожидание и дисперсия при
распределении непрерывных случайных величин; правило трех сигм.
Цель: ввести понятие распределения для непрерывных случайных
величин и ввести формулы их числовых характеристик.
Равномерный закон распределения.
Если случайная величина Х принимает все значения b],[ах с
постоянной плотностью распределения, равной а-b
1с , то говорят, что неп-
рерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке b].,[а
Плотность равномерно распределенной случайной величины Х:
b.,,0
,1
)f( хахпри
bxaприabх
График плотности )f(х для данного распределения имеет вид (рисунок 1)
Рисунок 1
Находим функцию распределения:
20
,|)()(F
x
x
a
x
aab
ax
ab
t
ab
dtdxxfx при ;bха
0,F(x) при ,ах и
,1|00)(F
b
а
b
a
x
bаab
tdt
ab
dtdxx при b.х
Таким образом,
.,1
,1
,0
)F(
xbпри
bxaприab
ахпри
х
Ее график имеет вид (рисунок 2):
Рисунок 2
Далее находим:
b
a
b
a
b
b
a
b
a
а
abbaab
ab
bax
abab
dxbaxХD
ba
ab
abx
abdxxdx
ab
xхdxxxfХМ
.12
)()
8
)(
8
)((
)(3
1|)
2(
3
11)
2()(
;2)(2
|2
10dx0)()(
23322
222
Таким образом, .32
)(,12
)()(,
2)(М
2 abХ
abХD
baХ
К случайным величинам, имеющих равномерное распределение,
относятся величины, у которых все ее значения находятся внутри некоторого
интервала и все они имеют одинаковую вероятность.
Показательный закон распределения.
Пусть плотность распределения вероятностей случайной величины Х
задана функцией:
.0,0,
0,0)f(
хприехпри
х х
Тогда говорят, что случайная величина Х распределена по
показательному (экспоненциальному) закону.
f(x)
0
1
1
a b x
21
f(x)
0
λ
x
F(x)
0
1
x
График плотности )f(х для данного распределения имеет вид (рисунок 3)
Рисунок 3
Находим функцию распределения
x x
xx edtedtdtfx .10)t()(F
0
0
Таким образом,
0,0,0,1)F(
хприхприех
х
Ее график имеет вид (рисунок 4).
Рисунок 4
Найдем ее числовые характеристики:
.1121
)))10(1
00(2
0(1
|)))1
(2
(lim(1
)()()(
;1
)10(1
0
)|1
|(lim1
,dxlim)(
22222202
2
2
0
222
0
00
0b
bx
xx
b
x
bxbx
bx
x
b
xх
e
ex
ex
dxexxMdxxfxХD
exe
ev
dxedvdxduxu
eхdxеxХМ
22
Таким образом,
.1
)(,1
)(,1
)(М2
ХХDХ
Далее найдем вероятность попадания случайной величины Х,
распределенной по показательному закону в интервал b),(а .
.)(..,)1()1()()()( babaab eebХaFетeeeeaFbFbХaF
Показательное распределение используется в различных отраслях, к
примеру, в теории массового обслуживания, в теории надежности.
Если T-время безотказной работы механизма (прибора), то F(t)=P(T<t)
выражает вероятность выхода из строя механизма за время t. Тогда
R(t)=P(T>t)=1-F(t)-вероятность безотказной работы механизма за время t.
Функция R(t) называется функцией надежности. Если при показатель-
ном распределении вероятностей F(t)=1- te , то R(t)= te , где
интенсивность отказов в единицу времени.
Пример. Время безотказной работы механизма подчинено
показательному закону, с плотностью распределения вероятностей t03,003,0)f( ех , при -(t0t время в часах). Найти вероятность того, что
механизм проработает безотказно 100 часов.
Решение. По условию ,03,0 тогда .0498,01
)R(100Р3
310003,0
eeе
1.6 Лекция №6. Нормальный закон распределения. Правило трех
сигм
Содержание лекции: нормальный закон распределения; функция
Лапласа; математическое ожидание и дисперсия для нормального закона
распределения; правило трех сигм.
Цель: ввести понятие нормального закона распределения.
Нормальный закон распределения.
Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины
называется нормальным, если ее дифференциальная функция f(x)
определяется формулой
,2
1f(x)
2
2
2
)(
ах
е
(6.1)
где 0а и 0 -некоторые параметры распределения.
Нормальное распределение случайной величины с параметрами иа можно сокращенно записывать так: ).N(a,Х
Функция (6.1) удовлетворяет всем условиям плотности данного
распределения. Очевидно, что 0,f(x) проверим, что .1f(x)dx
Действительно,
23
,111
.e2
2
22
12
a-xt
dxе2
1 222
2
t-
-
2
а)-(х-
dtedt
dtdx
dxdt t
т.е. все условия плотности распределения выполняются. Здесь мы
воспользовались значением интеграла Пуассона: .dte2-
Тогда
0
-
2
z-
0 0
2
z
- .e.2
,2
dte
22
2
dzdzе Отсюда функция распре-
деления имеет вид: .dte2
1F(x)
2
2
2
a)-(t-
x
(6.2)
Если 0a и 1 , то нормальное распределение называется
стандартным и записывается в виде: 2
2
2
1(x)
x
e
. (6.3)
Функция распределения для такой плотности имеет вид:
x
dte2
1Ф(x) 2
t-
2
(6.4)
и называется функцией Лапласа.
Теперь покажем, что вероятностный смысл параметров и а таковы:
а-математическое ожидание, -среднее квадратичное отклонение
нормального распределения.
а) находим математическое ожидание:
.22
.e)(2
a-xz
dxе2
1)()(
22
2
z-
-
2
а)-(х-
22
2
2
2
dzea
dzze
dzazdzdx
azxxdxxxfХM
zz
Первое слагаемое равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция,
пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), а
,2dze 2
z-
2
тогда ,)(,22
)( аХМаа
ХM
т.е. математическое
ожидание равно параметру .а Аналогично можно показать, что дисперсия
нормального распределения
dxе)(2
1)(D
2
2
2
а)-(х-
2
axХ после замены
z
ах приводится к виду
dzеz2
)(D 2
z-
22
2
Х и, интегрируя правую часть по
частям, имеем: 2)(D Х или )()( XDХ .
24
Таким образом, среднее квадратичное отклонение нормального
распределения равно параметру .
Можно показать, что для
.03,0;)()(M)N(a,Х4
4
3
30
EAaХMХ e
Для построения графика функции распределения )(xf исследуем ее:
- 0)( xf при );( х график расположен выше оси Ох;
-ось Ох является асимптотой графика функции )(xf , так как ;0)(lim
xfx
-находим производную ,2
)(2
2
2
)(
3
ах
еах
xf
отсюда легко видеть, что
при ах функция )(xf имеет максимум, и он равен .2
1
-так как разность ах входит в функцию )(xf в квадрате, то отсюда
следует, что график этой функции симметрична относительно прямой ;ах
-найдя вторую производную ))(
1(2
1)(
2
2
2
)(
3
2
2
ахеxf
ах
, можно вы-
числить, что точками перегиба являются ).2
1,(),
2
1,( 21
eaM
eaM
Используя проведенные исследования, можно построить график
плотности распределения вероятности нормального закона-кривую
распределения называемого нормальной кривой или кривой Гаусса
(рисунок 5).
е 2
1
Рисунок 5
Нетрудно заметить, что графики функции )(xf и )( аxf имеют
одинаковую форму, т.е. изменение величины параметра а не приводит к
изменению формы кривой (приводит к сдвигу вправо или влево). А изменение
параметра влечет за собой изменение формы кривой, т. е. при
возрастании кривая сжимается к оси Ох, а при убывании кривая
становится более островершинной в положительном направлении оси Оу.
f(x)
0
x a-ϭ a a+ϭ
25
Правило трех сигм.
Найдем теперь вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее
интервалу , при нормальном распределении:
),()(2
1
2
1
2
1
,
t,
,
2
1)(
0
2
0
2
22
)(
22
2
2
2
aФ
aФdtedte
dte
atхпри
aхпри
dtdx
taxtax
dxеХР
a
t
a
t
a
a
tах
где
х
dtехФ0
2
t
.)(
2
Таким образом, ).()()(
aФ
aФХР
Используя эту формулу,
находим )Ф(2)()()()(
ФФаХаРаХР . Если ,3 то
можно найти по таблице, что Ф(3)=0,9973, т.е. ,9973,0)3( аХР , а это
близко к единице, т.е. к вероятности достоверного события.
Это утверждение называется правилом «трех сигм». Данное правило
часто применяют в практических задачах, когда надо убедиться в
достоверности полученного результата.
Нормальное распределение вероятностей имеет в теории вероятностей
большое значение. Нормальному закону подчиняется вероятность при
стрельбе по цели, при нахождении точности в измерениях и т.д. В частности,
оказывается, что закон распределения суммы достаточно большого числа
независимых случайных величин (если влияние каждой из которых на всю
сумму ничтожно мало) близок к нормальному распределению.
Этот факт был доказан русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-
1918гг.) и называется центральной предельной теоремой.
Пример. Математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение нормально распределенной случайной величины равны
соответственно 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания
случайная величина х примет значение из отрезка [15, 25].
Решение. По условию .25,15,5,20 а
Используем формулу ).()()(
aФ
aФхР
Тогда
.6826,03413,02)1(2)1()1()5
2015()
5
2025()2515(
ФФФФФХР
26
1.7 Лекция №7. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева и
Маркова. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная
предельная теорема
Содержание лекции: закон больших чисел; неравенства Чебышева и
Маркова; теоремы Чебышева и Бернулли; центральная предельная теорема.
Цель: ввести понятие закона больших чисел и познакомить с
неравенствами Чебышева и Маркова и теоремами Чебышева и Бернулли.
Как видно из исследований случайных величин, заранее нельзя
предугадать, какую из возможных ее значений примет случайная величина.
Целый ряд утверждений и теорем, устанавливающие связь между
теоретическими и экспериментальными исследованиями, показывает, что при
большом числе испытании случайные величины утрачивают случайный
характер и сходятся по вероятности к некоторым параметрам распределений.
Такие утверждения, называемые предельными теоремами, делятся
условно на две группы:
-группа теорем, называемых законом больших чисел, устанавливает, что
при большом числе испытаний их средний результат утрачивает случайность
и может быть найден с необходимой точностью;
-эта группа теорем, называемыми центральными предельными
теоремами, находит условия, при котором распределение суммы большого
числа случайных величин приближается к нормальному.
Неравенство Чебышева и Маркова.
Сначала докажем следующую лемму: пусть Х-случайная величина,
принимающая только неотрицательные значения.
Тогда )()1( ХМХР (7.1)
Доказательство. Для простоты докажем это утверждение для
дискретной случайной величины Х, принимающей значения ,,...., n21 ххх при
условии .0i х
По теореме сложения для несовместных событий
1i
),()1(х
ixХPХР
где суммирование распространяется на все значения .1i х
Но очевидно, что )()( i ii xХPxхХР .
Поэтому
11
)(.)()1(i ix
ii
х
i xХPxxХPХР (7.2)
Добавим к правой части (7.1.2) сумму
1
)(ix
ii xХPx , где .1i
27
Эта сумма неотрицательна, так как 0i х по условию, а вероятность
.0)( i хХР Отсюда .)()()(.)(1 11
i
1i
i ix
n
i
ii
x
iii
х
i xХPxxХPхxХPxxХP
Тогда можем записать
n
1i
i ),1()(x( ХPxХPхХМ i что доказывает
лемму.
Теперь рассмотрим саму теорему.
Теорема (неравенство Чебышева).
Для любой случайной величины Х при каждом положительном числе
имеет место неравенство 2
D(X)))((
ХМХР . (7.3)
Доказательство. Так как событие )(ХМХ равносильно событию
,1
)(2
2
ХМХ то .1
))(())((
2
2
ХМХРХМХР
Случайная величина
2
2)(
ХМХ неотрицательна и значит согласно
предыдущей лемме на основании свойств математического ожидания и
определения дисперсии
.D(X)
))((1))((
)1)(
(2
2
22
2
2
2
ХМХМ
ХМХМ
ХМХР
Поэтому 2
D(X)))((
ХМХР , что и требовалось доказать.
Примечание-Найдем другую форму неравенства Чебышева. Так как
,1))(())(( ХМХРХМХР то ).)((1))(( ХМХРХМХР
Тогда, если учесть неравенство (7.3), имеем
2
D(X)1))((
ХМХР (7.4)
Пример. Пусть случайная величина Х имеет D(Х)=0,004. Какова
вероятность того, что Х отличается от М(Х) более чем на 0,2?
Решение. .1,0)2,0(
004,0
)2,0(
D(Х()2,0)((
22 ХМХР
Следствие. (неравенство Маркова). Для любой неотрицательной X,
имеющей М(Х) и >0, справедливо неравенство .М(Х)
)(
ХР
Действительно, используя лемму, имеем .М(Х)
)()(n
1i
i
ixХPх
ХР
Неравенство Чебышева имеет больше теоретическое, чем практическое
значение, так как показывает только границы отклонения Х от М(Х) и
утверждает, что вероятность этого отклонения неотрицательна, что очевидно
само собой. Предлагаемое далее теорема Чебышева имеет как теоретическое
так и практическое значение. Здесь при доказательстве применено
неравенство Чебышева.
28
Теорема Чебышева (закон больших чисел). Если дисперсии
независимых случайных величин n21 ,...., ХХХ ограничены одной и той же
постоянной С, ),....2,1(,)( niCХD i , каково бы ни было число >0,
вероятность выполнения неравенства ),)( ХМХ где )...(n
121 nxxxХ ,
будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин n
достаточно велико, т.е. .1))((limn
ХМХР
Доказательство. Применяя неравенство Чебышева в формуле (7.4) к
величине Х, имеем 2
)ХD(1))((
ХМХР . (7.5)
Используя свойства дисперсии и условия данной теоремы, имеем
.))(...)()((n
1)ХD(
2212 n
C
n
nCХDХDХD n Отсюда с учетом неравенства
(7.5) и того, что вероятность любого события не превосходит единицы,
получаем
n
С1))((1
2 ХМХР . (7.6)
Тогда, переходя в (7.6) к пределу при ,n имеем
,1))((limn
ХМХР что и требовалось доказать.
Следствие (частный случай теоремы Чебышева). Если все iХ имеют
одинаковые математические ожидания аХМХМХМ n )(. . . .)()( 21 и
n),....2,1(,)( кСХD к, то 1)(lim
n
аХР . (7.7)
Сущность теоремы Чебышева состоит в следующем. Несмотря на то,
что каждая из независимых случайных величин iХ может принять значение,
далекое от математического ожидания М(Х), среднее арифметическое Х
достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью
весьма близко к среднему арифметическому их математических ожиданий .
Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для
непрерывных случайных величин, что показано в книге [3]. На теореме
Чебышева основан часто используемый выборочный метод, по которому о
качестве большого количества однородного материала можно судить по ее
небольшой пробе (качество сельхоз продукции, результаты различных
измерений и т д.).
Из теоремы Чебышева (частный случай) следует теорема, называемая
теоремой Бернулли, являющейся простой формой закона больших чисел.
Теорема (Бернулли). Пусть m-число наступления события А в n
независимых испытаниях и р есть вероятность наступления события А в
каждом из испытаний. Тогда каково бы ни было положительное число
1)n
m(lim
n
pР . (7.8)
Доказательство. Обозначим через кХ случайную величину, равную
числу наступлений события А в «к» -ом испытании, где .,....2,1 nк Тогда
29
имеем 4
1)(,)(,...m 21 pqХDpХMxxx n
, и все условия частного
случая теоремы Чебышева выполняются. Тогда равенство (7.7) превращается
в равенство (7.8). Из данной теоремы следует, что при постоянстве
вероятности случайного события А во всех испытаниях и при неограниченном
возрастании можно с вероятностью, как угодно близкой к единице,
утверждать, что наблюдаемая относительная частота случайного события
будет как угодно мало отклоняться от его вероятности. Далее приведем без
доказательства так называемую центральную предельную теорему, которая
имеет огромное практическое значение тем, что устанавливает связь между
различными законами распределения суммы случайных величин с его
предельной формой-нормальным законом распределения.
Теорема (центральная предельная теорема). Пусть случайные величины
n21 ,...., ХХХ независимы, одинаково распределены, имеют конечные
математическое ожидание аХМ i )( и дисперсию niХ i ,...2,1,)(D 2 , также
обозначим in xS
n
1i
. Тогда функция распределения центрированной
нормированной суммы этих случайных величин стремится при n к
функции распределения стандартной нормальной случайной величины:
.2
1)()()(
;.)(
)M(S-S
x
-
2
t
nn
2
dtехФxZPxF
n
naS
SDZ
n
nZ
n
n
n
n
(7.9)
Из соотношений (7.9) следует, что при достаточно большом n сумма
Zn приближенно распределена по нормальному закону N(0,1).Zn Это
означает, что и сумма nxxx ...Sn 21 приближенно распределена по
нормальному закону ).nN(na,Sn
Примечание. Вспомним, что случайная величина х называется
центрированной и нормированной, если 0)( ХМ , .1)(D Х
Также, если iХ ),...2,1( ni независимы, ,)( аХМ i .)S(,)(D 2 nanМХ i
2 Модуль №2. Элементы математической статистики
2.1 Лекция №8. Предмет и основные понятия математической
статистики
Содержание лекции: предмет математической статистики; генеральная и
выборочная совокупность; способ отбора; выборочный метод.
Цель: ввести основные понятия математической статистики.
Математическая статистика-это наука, в которой разрабатываются
научно-обоснованные методы сбора, обработки и анализа статистических
данных для получения научных и практических выводов.
30
Пусть требуется изучить множество однородных обьектов (это
множество называют статистической совокупностью) относительно
некоторого качественного или количественного признака, например, если
имеется партия деталей, то качественным признаком может служить
стандартность деталей, а количественным –контролируемый размер детали.
Конечно, можно было бы сделать сплошное обследование, т.е. изучить
каждый обьект. Но этому может препятствовать большое число обьектов, их
недоступность. Поэтому, если невозможно сплошное обследование, то из всей
совокупности отбирают для изучения часть обьектов.
Статистическая совокупность, из которой выбирают обьекты,
полученные в результате наблюдении, производимые в неизменных условиях
над одним обьектом, называется генеральной совокупностью. Множество
обьектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называют
выборочной совокупностью или выборкой.
Число обьектов генеральной совокупности и выборки называют
соответственно обьемом генеральной совокупности и обьемом выборки.
Если выборку отбирают по одному обьекту, которую обследуют и снова
возвращают в генеральную совокупность, то выборка называется повторной.
Если обьекты выборки не возвращают в генеральную совокупность, то
выборка называется бесповторной. На практике чаще используется
бесповторная выборка.
Свойства обьектов выборки должны правильно отражать свойства
обьектов генеральной совокупности или, как говорят, выборка должна быть
репрезентативной (представительной). Считается, что выборка
репрезеантивна, если все обьекты генеральной совокупности имеют
одинаковую вероятность попасть в выборку, т.е. выбор имеет случайный
характер.
На практике применяются различные способы отбора. Эти способы
подразделяются на две части, когда в одном при отборе не требуется
разделение генеральной совокупности на части, в другом необходимо это
деление.
К первому относятся такие отборы: простой случайный бесповторный,
при котором обьекты извлекают по одному из всей генеральной
совокупности. Если выбранный обьект возвращают в генеральную
совокупность и производят выборку, то этот отбор называют простым
случайным повторным отбором.
При втором случае производятся следующие виды отбора:
а) типический отбор, когда отбирают не из всей генеральной
совокупности, а из ее принадлежности к какому-то типу;
б) механический отбор, когда генеральную совокупность делят на
группы, соответствующие числу выборки, и из каждого отбирают один
обьект;
31
в) серийный отбор, когда из генеральной совокупности обьекты
отбираются группами или сериями, которые подвергаются сплошному
обследованию.
На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором
применяются все вышеприведенные способы отбора.
Метод, осуществляемый с помощью отбора, и изучение полученной
выборки называют выборочным.
Статистическое распределение выборки. Вариационный ряд.
Эмпирические функции. Полигон. Гистограмма.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем 1x
наблюдалось 1n раз;
2x наблюдалось 2n раз; …;
кx наблюдалось кn раз и
nnn k ...n 21-обьем выборки. Наблюдаемые значения
n21 ,...., ххх
называют вариантами, а последовательность вариант, записанная в
возрастающем порядке, -вариационным рядом. Число наблюдении
kn n...,,n 21называют частотами, а их отношения к обьему выборки
n*
2*2
1*1 ,....,,
n
np
n
np
n
np k -относительными частотами. Ясно, что
.1...р *2
*1
* kрр
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и
соответствующих им частот или относительных частот, и это распределение
можно записать в виде таблицы:
x
1x 2x 3x … кx
n 1n
2n 3n … кn *р 1
*р 2*р 3
*р … к*р
Эмпирической функцией распределения выборки называют функцию
(x)F* , определяющую для всякого Rх относительную частоту события
х)(Х , т.е.
,n
n(x)F x*
xx
i
in
m
где хn -число вариант, меньших х; n -обьем выборки.
Приведем без доказательства следующие свойства эмпирической
функции распределения:
-значение функции (x)F* принадлежат отрезку [0, 1];
-функция (x)F* является неубывающей;
- 0,(x)F* при jхх и ,1(x)F* при
кхх , где кj х,х -соответственно
наименьшее и наибольшее значение вариант.
Величина jk ххw называется размахом выборки.
Пример. Пусть задан статистический ряд
32
ix 3 5 7 8 9
im 2 4 6 8 10
Из определения эмпирической функции находим:
.9,1
98,8
5
87,8
3
75,16
3
53,16
13,0
(x)F*
хпри
хпри
хпри
хпри
хпри
хпри
При больших обьемах выборки интервал изменения всех ее вариант
разбивают на определенное число интервалов равной длины, которые
называют интервалом группировки. Чтобы найти длину интервала,
устраивающего данной задаче, применяют формулу Стерджеса:
,log1
h2
minmax
n
xx
где minmax хх -разность между наибольшим и наименьшим значениями
признака; nlog1m 2 -число интервалов ( 3,322lgn).nlog2
За начало первого интервала можно брать величину 2
hхх minнач . Во
второй строчке статистического ряда вписывается количество наблюдений
),,1(n i ki попавших в каждый интервал.
Для графического изображения статистического распределения
используется полигон и гистограмма.
Полигоном частот называют ломаную линию, состоящую из отрезков
соединяющих точки ).,(),...,,(),m,(х 2211 kk mxmx
Полигон относительных частот представляет собой ломаную линию,
состоящую из отрезков соединяющих точки .,1),,( i kin
mx i
Полигоном обычно пользуются в случае небольшого числа вариант. В
случае большого числа вариант и непрерывного распределения признака чаще
строят гистограммы. Для этого интервал, в котором заключены все
наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных
интервалов длиной h и находят для каждого интервала in -сумму частот
вариант, попавших в i интервал. Затем на этих интервалах, как на
основаниях, строят прямоугольники с высотами ,nh
n(
n iили
h
i где n- обьем
выборки). Площадь i частичного прямоугольника .n
nhn *i
i
i pnh
Следовательно, площадь гистограммы равна сумме всех частот (или
относительных частот), т.е. обьему выборки (или единице).
33
m
0 x x3 x4
m1
m2
m3
m4
x2 x
1
График полигона частот можно построить в виде (рисунок 6):
Рисунок 6
Пример. Построить гистограмму частот по следующим данным (n=100).
Частичный
интервал
длиною h=3
Сумма частот
вариант частичного
интервала in
Плотность
частоты h
in
2-5
5-8
8-11
11-14
9
12
3
6
3
4
1
2
Тогда, график соответствующий ей (гистограмма), представляется в
виде (рисунок 7).
n
Рисунок 7
3
2
1
4
0 x 2 5 8 11 14
34
2.2 Лекция №9. Числовые характеристики статистического
распределения
Содержание лекции: выборочные средние; выборочная дисперсия и
среднее квадратичное отклонение; исправленная выборочная дисперсия;
статистические оценки параметров распределения; точечные оценки
параметров генеральной совокупности.
Цель: ввести формулы числовых характеристик статистического
распределения.
Числовые характеристики статистического распределения.
Пусть статистическое распределение выборки обьема n имеет вид:
ix 1x
2x 3x … кx
in 1n
2n 3n … кn
Выборочным средним Вx называют среднее арифметическое всех
значений выборки: ,n
1
1
*
1
n
i
ii
n
i
iiВ pxnxx где n
nр i*
i-частота.
Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов
отклонении значений выборки от выборочной средней, т.е.
.)(n)(n
1D *
i
2n
1i1
i
2 рxxxx Вi
n
i
ВiВ
Выборочное среднее квадратичное отклонение выборки ВDВ .
При решении практических задач используется величина ВD
n
1-nS2 ,
называемая исправленной выборочной дисперсией. Аналогично можно
записать значения генеральной средней и генеральной дисперсии.
Если значения n21 ,...., ххх признака х генеральной совокупности обьема n,
то n
nргдеpxnxx i
n
i
ii
n
i
iiГ
*
i
1
*
1
,N
1 -относительная частота или частота.
Генеральной средней ГD называют среднее арифметическое квадратов
отклонения значении признака х генеральной совокупности от генеральной
средней, т.е. ,)(n)(N
1D *
i
2N
1i1
i
2 рxxxx Гi
N
i
ГiГ
где N
Nр i*
i-частота
признака х. Ясно, что ....N 21 NNN k
Cтатистические оценки nараметров распределения. Несмещенные,
состоятельные и эффективные оценки.
Одной из основных задач математической статистики является оценка
параметров распределения случайной величины х по данным выборки.
Для оценки параметров распределения х из данных выборки составляют
выражения, которые должны служить оценками неизвестных параметров.
35
Пусть по выборке n21 ,...., ххх требуется оценить неизвестный параметр .
Оценкой n
~ или просто
~ параметра теоретического распределения
называют ее приближенное значение, зависящее от данных выборки.
Очевидно, что ~ является случайной величиной (функцией),
т.е.
),....,(~~
n21 ххх .
Данная оценка может иногда больше , в других случаях меньше , т.е.
приводят к нежелательным оценкам.
Поэтому необходимо дать дополнительные требования, при которых
полученная оценка была бы более точной, доброкачественной. Укажем эти
требования.
Несмещенной оценкой ~ называют математическое ожидание, равное
оцениваемому параметру , т.е. )~
(М , в противном случае оценка
называется смещенной. Состоятельной оценкой параметра является n
~ ,
при которой для любого наперед заданного числа 0 , вероятность
)~
( n Р при n стремится к единице, т.е. .1)~
( n Р
Заметим, что с увеличением обьема выборки оценка n
~ приближается к
эффективной, т.е. если ее дисперсия принимает минимальное значение.
Точечные оценки параметров генеральной совокупности.
Оценка, полученная по данным выборки, является числом и называется
точечной оценкой. Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь
данные выборки генеральной совокупности, к примеру, значение
количественного признака Х: n21 ,...., ххх , полученные в результате n
наблюдений. Эти данные признака можно рассматривать и как значения
разных случайных величин n21 ,...., ХХХ с тем же распределением, что и Х, и
следовательно, с теми же числовыми характеристиками
).()D(Х),()( ii ХDХМХМ Величины n21 ,...., ХХХ можно считать
независимыми в силу независимости наблюдении. Таким образом, найти
оценку неизвестного параметра-значит найти функцию от наблюдаемых
случайных величинn21 ,...., ХХХ , которые должны дать приближенное значение
независимого параметра.
Обозначим через выборочную среднюю
n
i
iВ xx1
n,n
1 и находим от нее
математическое ожидание
),()(1
)(n
1)
n
1()(
11
n, ХМХnMn
xMxМxМn
i
i
n
i
iВ
т.е. согласно определению получаем, что n,Вx -несмещенная оценка ).(ХМ
Нетрудно показать, что если оценка )( n,ВxМ является несмещенной для
),(хМ то )( n,ВxМ -состоятельная оценка. Действительно, из неравенства
Чебышева для случайной величины )( n,ВxМ , для любого 0
36
2
n,
nВ,
))((1))()((
ВxMDХMхМР или ,1))()(( nВ, ХMхМР
т.е. )( n,ВxМ является состоятельной оценкой параметра ).(ХМ В некоторых
случаях можно доказать эффективность этой оценки. Но не всегда
выполняются все три вида оценок, поэтому приходится довольствоваться
полученными оценками.
Аналогично, можно показать, что выполняется следующее утверждение:
пусть n21 ,...., ххх -выборка из генеральной совокупности и
).()D(Х),()( ii ХDХМХМ Тогда исправленная выборочная средняя
В
1
i
22
1n)(
1-n
1S D
n
nxx
n
i
Вi
-несмещенная и состоятельная оценка
дисперсии ).(ХD
Проще говоря, оценкой выборочной средней является математическое
ожидание, для дисперсии-исправленная выборочная дисперсия, для
неизвестной вероятности-относительная частота, для функции распределения
)(F х эмпирическая функция распределения )(F* х и т.д.
Для нахождения точечных оценок применяются метод моментов, метод
максимального правдоподобия, которые подробно приведены в [3].
2.3 Лекция №10. Интервальные оценки параметров. Доверительные
вероятность и интервалы
Содержание лекции: интервальные оценки параметров; доверительные
вероятность и интервалы; доверительный интервал для математического
ожидания нормального закона распределения при неизвестной и известной
дисперсии; задачи статистической проверки гипотез; распределения
Стьюдента, Фишера.
Цель: ввести понятие интервальных оценок параметров, доверительного
интервала и распределения Стьюдента, Фишера.
Интервальные оценки параметров.
Оценки параметров, которые были получены в предыдущих подтемах,
являются точечными. Точечные оценки при малом обьеме выборки могут
значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым
ошибкам. Поэтому более предпочтительно пользоваться в этих случаях
интервальными оценками.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами-
концами интервала.
Если является оцениваемым параметром, то ставится задача: по
данным выборки построить такой числовой интервал )~
,~
( 21 , чтобы в ней с
заранее заданной вероятностью находилось точное значение оцениваемого
параметра.
37
Интервал )~
,~
( 21 называют доверительным интервалом, а вероятность
-надежностью оценки или доверительной вероятностью.
Во многих случаях доверительный интервал выбирается симметричным
относительно несмещенной оценки ~ , т.е. )
~,
~( , причем:
.)~
( n Р
Число 0 характеризирует точность оценки, т.е. чем меньше n
~ ,
тем точнее оценка.
Надежность принято выбирать равной 0,9; 0,95; 0.99 или 0,999.
Тогда ясно, что нахождение параметра в доверительном интервале
)~
,~
( является почти достоверным событием.
Доверительный интервал для математического ожидания при
известном .
В некоторых случаях среднее квадратичное отклонение ошибки
измерения бывает известно, например, если измерение производится одним и
тем же прибором при одних и тех же условиях, для всех измерений
одно и то же и обычно бывает известно.
Итак, пусть случайная величина Х распределена нормально с
параметрами иа , причем известно. Построим доверительный
интервал, покрывающий неизвестный параметр а с надежностью .
Предположим, что данные выборки есть реализация случайных величин
n21 ,...., ХХХ , имеющих нормальное распределение с параметрами иа .
Тогда и выборочная средняя )...(n
121 nxxxХ также имеет
нормальное распределение. При этом .n
)Х(,)(
аХМ
Потребуем, чтобы выполнялось соотношение ,)( аХР здесь
,0 заданная надежность. Было известно, что .)(
)ХD(2
nn
xD Тогда
)n
(2)(
ФаХР или ),t(2)( ФаХР где .
nt
Отсюда
).(2)t
( tФn
аХР
Так как вероятность р задана и равна , то окончательно
имеем (заменяя ВхХ )
.)(2n
t
tФХan
tХР ВВ
Смысл полученного соотношения таков: с надежностью можно
утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр а;
точность оценки .n
t Здесь число t определяется из равенства
2)(
tФ и
находится из таблицы (приложение Б). Как уже упоминалось, надежность
принимает значения 0,95; 0,99 или 0,999.
38
Доверительный интервал для математического ожидания при
неизвестном . Распределение Стьюдента.
Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение с
неизвестными параметрами .иа Тогда случайную величину (ее
возможные значения будем обозначать через t) можем исследовать с
помощью распределения Стьюдента.
,a-x
T
n
S
где -n обьем выборки;
х выборочная средняя;
S исправленное среднее квадратичное отклонение.
Данное распределение привлекает тем, что не зависит от параметров .иа
Плотность вероятности распределения Стьюдента дается формулой:
,1
1n)S(t,22
n
n
n
tВ
где коэффициент nВ зависит от обьема выборки. Потребуем, чтобы
выполнялось соотношение ,)T( tР где - заданная надежность.
Так как n)S(t, - четная функция от t, то, пользуясь формулой о
нахождении вероятности попадания в заданный интервал, имеем:
.),(2S
1
0
1
dtntStах
Р
t
Отсюда .n
tS 11
S
xan
tхР
Следовательно, приходим к утверждению: с надежностью можно
утверждать, что доверительный интервал
n
Sx
n
Sх ВВ
11 t;
t покрывает
независимый параметр а, точность оценки .t
n
S Здесь случайные величины
Sих заменены неслучайными величинами S,ихВнайденными по
выборке.
В приложении В приведена таблица значений ),(t nt для различных
значений n и обычно задаваемых значений надежности.
Заметим, что при 30n распределение Стьюдента практически не
отличается от нормированного нормального распределения.
Задачи статистической проверки гипотез.
Статистическая проверка гипотез является вторым после оценивания
параметров распределения и в то же время важнейшим разделом математичес-
39
кой статистики.
Приведем основные понятия и определения для этих задач.
Гипотезой называется всякое утверждение, высказанное относительно
неизвестного закона генеральной совокупности или относительно числовых
характеристик этого закона.
Основной (нулевой) гипотезой называют выдвинутую гипотезу 0Н , а
конкурирующей (альтернативной)-гипотезу 1Н , которая противоречит
нулевой гипотезе.
Гипотеза, содержащая только одно предположение, называется простой,
а гипотеза , состоящая из некоторого числа предположений, сложной.
Поскольку проверку справедливости гипотез производят
статистическими методами, то их называют статистическими.
В ходе проверки могут быть допущены следующие ошибки. Ошибка
первого рода заключается в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.
Ошибка второго рода заключается в том, что будет принята неправильная
гипотеза.
Статистическим критерием называют случайную величину к, которая
служит для проверки гипотезы 0Н .
Наблюдаемым значением критерия к , при котором нулевую гипотезу
отвергают, называют критической областью. Совокупность значений
критерия к , при которых гипотезу 0Н принимают, называется областью
допустимых значений или областью принятия гипотезы.
Таким образом, если наблюдаемые значения критерия принадлежат
критической области, то гипотезу 0Н отвергают, в противном случае
гипотезу 0Н принимают.
Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы,
называют критическими и обозначают крк .
Правосторонняя критическая область определяется из равенства
)( крккР , левосторонняя критическая область- из равенства )( крккР , а
двусторонняя критическая область – из равенства )()( 12 ккРккР , где
вероятность называют уровнем значимости, 21, кк соответственно левая и
правая критические точки. На практике при проверке гипотез обычно задается
уровень значимости .001,0;01,0;05,0 (приложение Г)
Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в
критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза
1Н . Точнее мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза
будет отклонена, если верна конкурирующая гипотеза 1Н .
Пусть 1и равны вероятностям ошибок первого и второго
рода соответственно. Чем меньше эти величины, тем "лучше" критическая
область. Чтобы это получить надо увеличить обьем выборки.
40
Построение теоретического закона распределения по данному
вариационному ряду. Применение критерия 2 Пирсона.
Пусть по выборке обьема n получено эмпирическое распределение с
равноотстоящими вариантами.
Варианты 1х 2х …. mх
Эмпирические частоты 1n 2n …. mn
По данным наблюдений выдвигают гипотезу о законе распределения
генеральной совокупности, например, предполагают, что генеральная
совокупность распределена равномерно или нормально. Как определить,
правильно или нет выдвинута гипотеза? Для решения этого вопроса
применяют критерий согласно эмпирическим наблюдениям выдвинутой
гипотезы.
Наиболее известными являются несколько критериев согласия: 2 -
критерий Пирсона, Колмогорова, Смирнова и т.д.
Предположим, что на основе приведенного выше распределения
выдвинута гипотеза 0Н : генеральная совокупность имеет нормальное
распределение.
По критерию Пирсона, надо находить следующие элементы
совокупности:
-значения ВD, ВВх ;
-выравнивающие частоты in по формуле )(
nhn i
В
иi
,
где n -сумма наблюдавшихся частот,
2
n
1-i
2
2
1)(,,....3,2,1,xh
и
Вi
ii еииxx
umix
.
В результате получено множество выравнивающих частот m21 ,...., ппп .
Обозначим через 2 сумму квадратов разностей между эмпирическими
и выравнивающими частотами, деленными на соответствующие частоты
m
i i
i
п
пп
1
2
i2 .)(
(*)
Для данной выборки по формуле (*) необходимо значение случайной
величины 2 . Обозначим ее через2
0 . Затем определяем число 3-mк ,
называемой числом степеней свободы, где m-число различных вариант
выборки.
Проверку гипотезы 0Н проводим следующим образом. Задаемся
уровнем значимости р столь малым, что событие }{ 22
0 , имеющее
вероятность р в единичном испытании, не произойдет. В таблице значений 2 по заданному уровню значимости и числу степеней свободы (приложение
Д) находим значение ),(2 кр . Если окажется, что ),(22
0 кр , то гипотеза
41
0Н отвергается на уровне значимости р, так как это не должно быть при
верной гипотезе 0Н ; если же ),(22
0 кр , то 0Н принимается на уровне
значимости р. Обычно, как уже упоминалось, в качестве р берут либо 0,05,
либо 0,01, либо 0,001.
Пример. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном
распределении генеральной совокупности, если известно эмпирические и
теоретические частоты.
Эмпирические
частоты
6 13 38 74 106 85 30 14
Теоретические
частоты
3 14 42 82 99 76 37 13
Вычислим 2
0 по формуле (*).
i in in ii nn 2)( ii nn
i
ii
n
nn
2)(
1 6 3 3 9 3
2 13 14 -1 1 0,07
3 38 42 -4 16 0,38
4 74 82 -8 64 0,78
5 106 99 7 49 0,49
6 85 76 9 81 1,07
7 30 37 7 49 1,32
8 14 13 1 1 0,08
Найдем число степеней свободы, учитывая, что число вариант m=8.
Имеем к=8-3=5. По уровню значимости р=0,05 и числу степеней свободы к=5.
По таблице значений 2
0 находим 1,11)5,05,0(2 . Так как )5,05,0(22
0 , нет
основания отвергать гипотезу 0Н .
Проверка гипотезы о равенстве дисперсии. Применение распределения
Фишера-Снедекера.
Пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально. По
независимым выборкам обьемов 1m и 2m , извлеченных из этих
совокупностей, найдем исправленные выборочные дисперсии 2
XS и 2
YS .
При заданном уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу, что
эти генеральные дисперсий рассматриваемых совокупностей равны между
собой: D(Y).D(X):0 Н
Так как исправленные дисперсии являются несмещенными оценками
генеральных дисперсий, имеем )()M(D(X),)S( 22
X YDSМ Y .
42
Тогда нулевую гипотезу можно записать так: :0Н )M()S( 22
X YSМ .
В качестве проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных
дисперсий примем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей,
т.е. случайную величину 2
2
FМ
Б
S
S .
Величину F, при условии справедливости нулевой гипотезы, исследуем
с помощью распределения Фишера-Снедекера со степенями свободы
111 nk и 122 nk ,
где 1п обьем выборки, по которой найдена большая исправленная
дисперсия, а 2п обьем выборки, по которой найдена меньшая исправленная
дисперсия.
Известно, что распределение F Фишера-Снедекера записывается в виде:
2
1k
u
F
k
v ,
где u и v независимые случайные величины, распределенные по
закону 2 со степенями свободы 21 kuk .
Данное распределение зависит только от чисел степеней свободы и не
зависит от других параметров.
Рассмотрим вышеприведенную задачу проверки нулевой гипотезы по
этому распределению.
Пусть нулевая гипотеза D(Y)D(X):0 Н , конкурирующая гипотеза
D(Y)D(X):1 Н . Для поверки данной гипотезы надо вычислить отношение
большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. 2
2
набл.FМ
Б
S
S , и по таблице
критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню
значимости и числам степеней свободы, найти критическую точку в
),,(F 21набл. кк . Если кр.набл. FF -нет основания отвергнуть нулевую гипотезу.
Если кр.набл. FF , то нулевая гипотеза отвергается.
2.4 Лекция №11. Элементы корреляции и регрессии
Содержание лекции: корреляционная зависимость; коэффициент
корреляции; функции и линии регрессии; проверка статистической
значимости выборочного коэффициента корреляции.
Цель: ввести понятие корреляции и регрессии.
Корреляционная зависимость, коэффициент корреляции.
В некоторых задачах приходится иметь дело с другой зависимостью, чем
функциональная. К примеру, связь между толщиной снежного покрова и
обьемом стока последующего половодья. В данном случае каждому значению
43
y
0
Регрессия X на Y
x a
(a,b)
Регрессия Y на X
b
одной величины соответствует множество возможных значений другой
величины. Такого рода зависимости называют корреляционными
зависимостями.
Определение 1. Две случайные величины Х и У находятся в
корреляционной зависимости, если каждому значению любой из их величин
соответствует определенное распределение вероятностей другой величины.
Определение 2. Условным математическим ожиданием дискретной
случайной величины Х при у=У (у-определенное возможное значение У)
называют сумму произведения возможных значении величины Х на их
условные вероятности
n
i
iy xXpхХ1
iу. )()(М , где )(p iy. xX условная
вероятность равенства ixX при условии, что У=у. Для непрерывных
величин
dx)()(М у. ххХ у , где )(у х плотность вероятности случайной
непрерывной величины Х на величину У. Условное математическое ожидание
)(М у. Х есть функция от у: f(y))(Му. X , которую называют функцией
регрессии величины Х на величину У.
Аналогично определяются условное математическое ожидание
случайной величины У и функция регрессии У на Х: g(x))(М х. У .
Уравнение g(x))(Уf(y) Х называют уравнением регрессии Х на У (У
на Х), а линию на плоскости, соответствующую этому уравнению, линией
регрессии.
Линия регрессии У на Х (Х на У) показывают, что в среднем зависит У
от Х (Х от У).
Пусть Х и У независимы, bYМаX )(,)(М . Тогда
aXMXMY )()(Mf(Y)b;(Y))(Мg(x) yx.. Линия регрессии
изображается в виде (рисунок 8):
Рисунок 8
44
Пусть Х и У связаны линейной зависимостью: У=АХ+В, А 0 . Тогда
функция регрессии У на Х будет иметь вид
ВАХY В)M(AX)(Мg(x) x..
Так как )(1
Х ВYА
, то функция регрессии Х на У имеет вид:
B)-(Y1
B))-(YA
1()(Мf(y) y.
AMX .
Значит, линия регрессии Х на У:
ВАхуилиВуА
)(1
x .
Таким образом, в случае линейной зависимости Х на У линия регрессии
Х на У и У на Х совпадают, и эта линия-прямая.
Для характеристики корреляционной зависимости между случайными
величинами вводится понятие коэффициента корреляции.
Известно, что если Х и У-независимые случайные величины, то
(Y);)()(М MХМХY если они зависимы, то (Y).)()(М MХМХY Введем за
меру связи двух случайных величин безразмерную величину r , определяемую
соотношением )()(
М(Х)М(У)-М(ХУ)r
ух или более кратким соотношением
,r21
где )(),(),()()( 21 ухУМХМХУМ и называемую
коэффициентом корреляции. Нетрудно увидеть, что
)))())(((()()()( уМУхМХМУМХМХУМ . Величину называют
ковариацией двух случайных величин Х и У.
Определение 3. Случайные величины Х и У называют
некоррелированными, если 0r , и коррелированными, если 0r . Отметим
некоторые свойства коэффициента корреляции:
-если Х и У –независимые случайные величины, то 0r ;
-верно утверждение, что 1|r| ; при этом, если 1r , то между
случайными величинами Х и У имеет место линейная зависимость;
-коэффициент корреляции характеризует тесноту зависимости между
Х и У.
Линейная корреляция.
Определение 4. Корреляционную зависимость между случайными
величинами Х и У называют линейной корреляцией, если обе функции
регрессии g(x)и f(y) являются линейными. В этом случае эти регрессии
называют прямыми.
Выведем уравнение прямой регрессии У на Х, т.е. найдем
коэффициенты линейной функции ВАХ g(x) .
Обозначим 2
2
22
1
2 ))((,)a)-M((Хb,)(,)(М bYMYMаХ .
Используя свойства математического ожидания, находим
BAab..,)()BM(AXg(x))()( етBХAMМYM , откуда Aa-bB .
45
β α
y
x 0
Регрессия X на Y
a
Регрессия Y на X b
Также aA)a,-(b)AM(Х)()()BXM(AX)x()( 222
g ХBMХAMХМХYM
откуда
22 )( аХМ
А
или .
2
1
А
Полученный коэффициент называется коэффициентом регрессии У на
Х и обозначается .)/(:))/(2
1
ХУХУ
Т
аким образом, уравнение регрессии У на Х имеет вид:
.b))(/( ахХУУ (*)
Аналогично можно получить уравнение прямой регрессии Х на У:
aуУХХ )b)(/( (**), где .)/(2
2
УХ
Подставляя вместо ее значение, получим уравнение прямых
регрессии: .)();(b1
2
2
1 byraxaxrу
Из этих уравнений видно,
что обе прямые проходят через точку b).,(a Угловые коэффициенты
прямых регрессии равны соответственно ,1
2
rtg
2
1tg
r (рисунок 9).
Рисунок 9
Так как 1|r| , то .|tg| tg Это означает, что прямая регрессия У на Х
имеет меньший наклон к оси абсцисс, чем прямая регрессия Х на У. Чем
ближе |r| к единице, тем меньше угол между прямыми регрессии. Эти
прямые сливаются тогда, когда 1.|r| При 0r прямые регрессии имеют
уравнение .xb, aу В этом случае ).(b)();()( XMУМХМаХМ ху
46
Выборочные коэффициенты корреляции и регрессии и их значимость.
Пусть проведено n опытов, в результате которых получены
следующие значения системы величин (Х, У): .,2,1),,( i niyх i За
приближенные значения )(),(D),(),( УDХУМХМ принимают их
выборочные значения:
,1
1
i
n
i
В хп
х ,1
1
i
n
i
В yп
y
n
i
ii
n
i
B yyn
Sxхп
S1
22
2
1
2
i
2
1 )(1
,)(1
1.
Оценкой для служит величина ).()(1
1
1
iB Bi
n
i
B yyxхп
Заменяя
величины ,, 1 2 их выборочными значениями 21,, SSВ , получаем
приближенные значения коэффициента корреляции и коэффициентов
регрессии .S
)/(;S
)/(;2
2
2
121
ВВB УХХУSS
r
Подставив эти значения в (*) и (**) вместо )/(),/( b,, ухуха их
приближенные значения, получим выборочные уравнения прямых реггрессии:
).(S
),(2
2
2
1
В
В
ВВ
B
В ууххххS
уу
Заметим, что по данной выборке нельзя утверждать, что и для
генеральной совокупности признаки будут связаны линейной
функциональной зависимостью. Такое возможно при большом обьеме
репрезентативной выборки.
С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффициента
корреляции линейная корреляционная становится более тесной и при 1|r| В
переходит в функциональную зависимость. Из приведенных свойств
вытекает, что коэффициент корреляции характеризирует тесноту линейной
связи: чем ближе |r| В к 1, тем связь сильнее, чем ближе |r| В к 0, тем связь
слабее. Если выборка имеет большой обьем и репрезентативна, то заключение
о тесноте линейной зависимости между признаками выборки может быть
распространено и на генеральную совокупность. Например, для оценки
коэффициента корреляции rr нормально распределенной генеральной
совокупности (при 5n ) можно воспользоваться формулой:
n
rrr B
Br
22
BВ
13
n
r-13-r
.
Проверить значимость уравнения регрессии –значит установить,
соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между
переменными, экспериментальным данным.
Пусть Q -общая сумма квадратов отклонения зависимой переменной от
общей средней, а остQ QuR соответственно сумма квадратов отклонения,
обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов,
47
характеризирующая отклонение от среднего в точке х, т.е. влияние
неучтенных факторов.
Пусть число степеней свободы для RQ равно 1-m , а для остQ равно
m-n . Тогда m-n
QS;
1-m
QS ост2
остR2
R , а для остR QQQ -степень свободы
равен 1-n . Уравнение регрессии, значимое на уровне , исследуем в виде
отношения двух исправленных дисперсий
.)12(
)2(Q
1)-(mQ
)(Q
S
SF
ост
R
ост
R
2
ост
2
R
Q
nmn
Чтобы данная регрессия оценивала значение независимой переменной по
сравнению ее средней, должно быть .FF 2-n1;n;
По таблице значений F критериев Фишера-Снедекера проверяем
приведенные неравенства: если оно выполняется, то данная регрессия
является значимой в поставленной задаче.
48
Приложение А
Таблица А.1-Значения функции x)(
X о 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973
0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918
0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 3825
0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 3697
0,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538
0,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352
0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144
0,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 2920
0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685
0,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444
1,0 2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203
1.1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1989 1965
1.2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736 1.3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518
1.4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315
1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127
1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0873 0957
1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804
1,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669
1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551
2,0 0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449
2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363
2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290
2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229
2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180
2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139
2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107
2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081
2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061
2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046
3,0 0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034
3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025
3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018
3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013
3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009
3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006
3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004
3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003
3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002
3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001
49
Приложение Б
Таблица Б.1-Значения функции x)(Ф
X Ф(х) Х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) 0,00 0,0000 0,32 0,1255 0,64 0,2389 0,96 03315 0,01 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,3340 0,02 0,0080 0,34 0,1331 0,66 0,2454 0,98 03365 0,03 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0,99 0,3389 0,04 0,0160 0,36 0,1406 0,68 0,2517 1,00 0,3413 0,05 0,0199 0,37 0,1443 0,69 03549 1,01 0,3438 0,06 0,0239 0,38 0,1480 0,70 03580 1,02 03461 0,07 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,3485 0,08 0,0319 0,40 0,1554 0,72 0,2642 1,04 0,3508 0,09 0,0359 0,41 0,1591 0,73 0,2673 1,05 0,3531 0,10 0,0398 0,42 0,1628 0,74 03703 1,06 0,3554 0,11 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 03577 0,12 0,0478 0,44 0,1700 0,76 0,2764 1,08 0,3599 0,13 0,0517 0,45 0,1736 0,77 0,2794 1,09 0,3621 0,14 0,0557 0,46 0,1772 0,78 0,2823 1,10 0,3643 0,15 0,0596 0,47 0,1808 0,79 03852 1,11 03665 0,16 0,0636 0,48 0,1844 0,80 03881 1,12 0,3686 0,17 0,0675 0,49 0,1879 0,81 0,2910 1,13 0,3708 0,18 0,0714 0,50 0,1915 0,82 0,2939 1,14 0,3729 0,19 0,0753 0,51 0,1950 0,83 03967 1,15 03749 0,20 0,0793 0,52 0,1985 0,84 03995 1,16 0,3770 0,21 0,0832 0,53 03019 0,85 0,3023 1,17 0,3790 0,22 0,0871 0,54 0,2054 0,86 0,3051 1,18 03810 0,23 0,0910 0,55 0,2088 0,87 0,3078 1,19 0,3830 0,24 0,0948 0,56 0,2123 0,88 03106. 1,20 0,3849 0,25 0,0987 0,57 03157 0,89 03133 131 03869 0,26 0,1026 0,58 03190 0,90 0,3159 1,22 0,3883 0,27 0,1064 0,59 03224 0,91 0,3186 133 0,3907 0,28 0,1103 0,60 0,2257 0,92 0,3212 1,24 0,3925 0,29 0,1141 0,61 03291 0,93 0,3238 135 0,3944 0,30 0,1179 0,62 03324 0,94 0,3264 1,26 0,3962 0,31 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0,3289 1,27 0,3980 1,28 0,3997 1,61 0,4463 1,94 0,4738 2,54 0,4945 1,29 0,4015 1,62 0,4474 1,95 0,4744 2,56 0,4948
1,30 0,4032 1,63 0,4484 1,96 0,4750 2,58 0,4951
1,31 0,4049 1,64 0,4495 1,97 0,4756 2,60 0,4953
1,32 0,4066 1,65 0,4505 1,98 0,4761 2,62 0,4956
1,33 0,4082 1,66 0,4515 1,99 0,4767 2,64 0,4959
1,34 0,4099 1,67 0,4525 2,00 0,4772 2,66 0,4961
50
Окончание таблицы Б.1
1,35 0,4115 1,68 0,4535 2,02 0,4783 2,68 0,4963
1,36 0,4131 1,69 0,4545 2,04 0,4793 2,70 0,4965
1,37 0,4147 1,70 0,4554 2,06 0,4803 2,72 0,4967
1,38 0,4162 1,71 0,4564 2,08 0,4812 2,74 0,4969
1,39 0,4177 1,72 0,4573 2,10 0,4821 2,76 0,4971
1,40 0,4192 1,73 0,4582 2,12 0,4830 2,78 0,4973
1,41 0,4207 1,74 0,4591 2,14 0,4838 2,80 0,4974
1,42 0,4222 1,75 0,4599 2,16 0,4846 2,82 0,4976
1,43 0,4236 1,76 0,4608 2,18 0,4854 2,84 0,4977
1,44 0,4251 1,77 0,4616 2,20 0,4861 2,86 0,4979
1,45 0,4265 1,78 0,4625 2,22 0,4868 2,88 0,4980
1,46 0,4279 1,79 0,4633 2,24 0,4875 2,90 0,4981
1,47 0,4292 1,80 0,4641 2,26 0,4881 2,92 0,4982
1,48 0,4306 1,81 0,4649 2,28 0,4887 2,94 0,4984
1,49 0,4319 1,82 0,4656 2,30 0,4893 2,96 0,4985
1,50 0,4332 1,83 0,4664 2,32 0,4898 2,98 0,4986
1,51 0,4345 1,84 0,4671 2,34 0,4904 3,00 0,49856
1,52 0,4357 1,85 0,4678 2,36 0,4909 3,20 0,49931
1,53 0,4370 1,86 0,4686 2,38 0,4913 3,40 0,49966
1,54 0,4382 1,87 0,4693 2,40 0,4918 3,60 0,499841
1,55 0,4394 1,88 0,4699 2,42 0,4922 3,80 0,499928
1,56 0,4406 1,89 0,4706 2,44 0,4927 4,00 0,499968
1,57 0,4418 1,90 0,4713 2,46 0,4931 4,50 0,499997
1,58 0,4429 1,91 0,4719 2,48 0,4934 5,00 0,499997
1,59 0,4441 1,92 0,4726 2,50 0,4938
1,60 0,4452 1,93 0,4732 2,52 0,4941
51
Приложение В
Таблица В.1-Значение )n,( t
γ
n
0,95 0,99 1 0,999 Y
n
0,95 0,99 0,999
5 1,37 2,67 5,64 20 0,37 0,58 0,88
6 1,09 2,01 3,88 25 0,32 0,49 0,73
7 0,92 1,62 2,98 30 0,28 0,43 0,63
8 0,80 1,38 2,42 35 0,26 0,38 0,56
9 0,71 1,20 2,06 40 0,24 0,35 0,50
10 0,65 1,08 1,8 45 0,22 0,32 0,46
11 0,59 0,98 1,60 50 0,21 0,30 0,43
12 0,55 .0,90 1,45 60 0,188 0,269 0,38
13 0,52 0,83 1,33 70 0,174 0,245 0,34
14 0,48 0,78 1,23 80 0,161 0,226 0,31
15 0,46 0,73 1,15 90 0,151 0,211 0,29
16 0,44 0,70 1,07 100 0,143 0,198 0,27
17 0,42 0,66 1,01 150 0,115 0,160 0,211
18 0,40 0,63 0,96 200 0,099 0,136 0,185
19 0,39 0,60 0,92 250 0,089 0,120 0,162
52
Приложение Г
Таблица Г.1-Критические точки распределения Стьюдента
Число степеней
свободы к
Уровень значимости α
(двустороняя критическая область)
0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001
1 6,31 12,7 31,8 63,7 318,2 637,0
2 2,92 4,30 2 9,92 22,33 31,6
3 2,35 3,18 6,97 5,84 10,22 12,9
4 2,13 2,78 4,54 4,60 7,17 8,61
5 2,01 2,57 3,75 4,03 5,89 6,86
6 1,94 2,45 3,37 3,71 5,21 5,96
7 1,89 2,36 3,14 3,50 4,79 5,40
8 1,86 2,31 3,00 3,36 4,50 5,04
9 1,83 2,26 2,90 3,25 4,30 4,78
10 1,81 2,23 2,82 3,17 4,14 4,59
11 1,80 2,20 2,76 3,11 4,03 4,44
12 1,78 2,18 2,72 3,05 3,93 4,32
13 1,77 2,16 2,68 3,01 3,85 4,22
14 1,76 2,14 2,65 2,98 -3,79 4,14
15 1,75 2,13 2,62 2,95 3,73 4,07
16 1,75 2,12 2,60 2,92 3,69 4,01
17 1,74 2,11 2,58 2,90 3,65 3,96
18 1,73 2,10 2,57 2,88 3,61 3,92
19 1,73 2,09 2,55 2,86 3,58 3,88
20 1,73 2,09 2,54 2,85 3,55 3,85
21 1,72 2,08 2,53 2,83 3,53 3,82
22 1,72 2,07 2,52 2,82 3,51 3,79
53
Окончание таблицы Г.1
Приложение Д
Таблица Д.1-Критические точки распределения χ2
Число степеней
свободы k
Уровень значимости α
0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,99
1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016
2 9,2 7.4 6,0 0,103 0,051 0,020
3 11,8 9.4 7,8 0,352 0,216 0,115
4 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297
5 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,554
6 16,8 14,4 12.6 1,64 1,24 0,872
7 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,24
8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65 1
9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09
10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56
11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05
12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57
13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11
14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66
15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23
16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81
24 1,71 2,06 2,50 2,80 3,47 3,74
25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,72
26 1,71 2,06 2,49 2,78 3,44 3,71
27 1,71 2,05 2,48 2,77 3,42 3,69
28 1,70 2,05 2,47 2,76 3,40 3,66
29 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66
30 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65
40 1,68 2,02 2,46 2,70 3,31 3,55
60 1,67 2,00 2,42 2,66 3,23 3,46
120 1,66 1,98 2,39 2,62 3,17 3,37
54
Окончание таблицы Д.1
17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41
18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01
19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63
20 37,6 34,2 31,4 10,9 9 59 8 26
20 37,6 34,2 31,4 10,9 9 59 8 26
21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,9
22 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,54
23 41,6 38,1 35,2 13,1 11 7 10,2
24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9
25 44,3 40,6 37,7 14.6 13,1 11,5
26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12.2
27 47,0 43,2 40,1 16.2 14,6 12,9
28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6
29 49,6 45,7 42,6 17,7 16.0 14,3
55
Список литературы
.
1 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
Учебное пособие для ВУЗов.-М.: Высш. школа. 2003.
2 Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика-М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
3 Письменный Д.Т. Конспект лекций о теории вероятностей и
математической статистике, случайные процессы.-М.: Айрис-пресс, 2006.
4 Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей.-М.: Эдиториал УРСС, 2005.
5 Астраханцева Л.Н., Байсалова М.Ж.Теория вероятностей и ма-
тематическая статистика (конспект лекции).-Алматы: АУЭС, 2013.
6 Искакова А.К., Отарова А.Г. Теория вероятностей и математическая
статистика (конспект лекции). -Алматы: АУЭС, 2015.
Содержание
1 Модуль 1. Элементарная теория вероятностей…………………………... 3
1.1 Лекция №1. Предмет теории вероятностей……………………………... 3
1.2 Лекция №2. Основные теоремы теории вероятностей…………………. 6
1.3 Лекция №3. Случайные величины……………………………………... 9
1.4 Лекция №4. Распределения для дискретных случайных величин……. 14
1.5 Лекция №5. Распределения для непрерывных случайных величин…... 17
1.6 Лекция №6. Нормальный закон распределения. Правило трех сигм…. 20
1.7 Лекция №7. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева, Маркова.
Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема
24
2 Модуль 2. Элементы математической статистики……………………….. 27
2.1 Лекция №8 Предмет и основные понятия математической статистики 27
2.2 Лекция №9.Числовые характеристики статистического
распределения…………………………………………………………………
32
2.3 Лекция №10. Интервальные оценки параметров. Доверительные
вероятность и интервалы……………………………………………………..
34
2.4 Лекция №11. Элементы корреляции и регрессии………………………. 40
Приложение А………………………………………………………………… 46
Приложение Б…………………………………………………………………. 47
Приложение В………………………………………………………………… 49
Приложение Г………………………………………………………………… 50
Приложение Д………………………………………………………………… 51
Список литературы …………………………………………………………... 53
