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Metrologia
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Metrología
Metrologia
Edición 2004
Autor:
Ing. Rubén Villamizar
Profesor de la cátedra de Metrologia
Jefe del departamento de Ingeniería Mecánica de la UNEXPO-Barquisimeto
Estudiantes Colaboradores:
Bachiller Javier Ojeda
Bachiller David Garmendia
Bachiller Aura Méndez
Bachiller Yudith Gil
Bachiller Franklin Suárez
Bachiller José Pineda
Bachiller Roxana Hernández
iii
PREFACIO
Este libro fue escrito gracias a una propuesta del profesor de la asignatura Metrología y
Calidad Rubén Villamizar, el cual, al verse preocupado por la falta de bibliografía
referente a la materia dictada por él, decide asignar un proyecto para que un grupo de
estudiantes, bajo su tutela, se dediquen a recopilar la información dada en las clases, y
adicionalmente investigar y ahondar sobre los temas que, por restricciones de tiempo, no se
pueden dictar.
Este libro se compone de 5 unidades y un apéndice, los cuales tratan sobre los
principales temas tratados en la asignatura, los cuales son dirigidos al estudio de la
medición y los métodos para realizarla, además de un énfasis especial sobre la probabilidad
y la estadística, la cual es la principal herramienta utilizada en metrología.
La Unidad I da una introducción extensa al concepto de metrología. Aquí se habla sobre
la importancia de la metrología en el desarrollo industrial, la normalización, etc. Es decir,
los conceptos principales que se tratan en la materia.
La Unidad II trata sobre los instrumentos de medición, su descripción, características y
usos. Aquí se explican la mayoría de los instrumentos usados en mediciones de
dimensiones comunes, en particular los encontrados en el laboratorio de metrología.
La Unidad III se habla sobre el cálculo de errores en la medición, parte muy importante
de la materia. Aquí se explican los procedimientos a seguir para el cálculo de errores, los
cuales son difíciles de encontrar en la bibliografía especializada a pesar de su importancia
crítica en metrología.
La Unidad IV podría decirse que forma una sola unidad junto con la anterior, ya que
habla sobre el cálculo de incertidumbre. Aquí se explican los métodos de cálculo basados
en datos y fórmulas estadísticas.
La Unidad V habla sobre las tolerancias de medidas en elementos mecánicos, y se
puede afirmar que es el tema en el cual se aplican todos los conocimientos aprendidos a lo
largo del curso. (Contenido en revisión)
El Apéndice es solo una pequeña reseña de probabilidad y estadística, en donde se
repasan los conceptos utilizados de esta ciencia a lo largo del contenido de la materia.
Solo queda decir, que este libro es una pequeña ayuda a los estudiantes que cursen ésta
materia en la UNEXPO, al facilitarle un resumen de todos los temas tratados en la misma.
iv
CONTENIDO
UNIDAD I .............................................................................................................................. 9
INTRODUCCION Y CONCEPTOS GENERALES ............................................................. 9
I.-DEFINICION, IMPORTANCIA, DESARROLLO, NECESIDAD Y CAMPOS DE
LA METROLOGÍA ....................................................................................................... 9
¿Beneficios de la metrología? ...................................................................................... 10
Campos de la Metrología .............................................................................................. 12
II.-SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) ............................................... 15
Prefijos del sistema internacional ................................................................................. 21
Tablas de longitud, masa y tiempo ............................................................................... 22
Tabla comparativa de ordenes de magnitud ................................................................. 24
III.-PRESICIÓN, EXACTITUD Y SENSIBILIDAD ...................................................... 30
IV MEDIR, VERIFICAR Y CALIBRAR ........................................................................ 33
MEDICIÓN: ................................................................................................................. 33
Clasificación de los instrumentos de Medición ............................................................ 34
VERIFICACIÓN: ......................................................................................................... 34
CALIBRACIÓN: .......................................................................................................... 35
V.-PATRONES ................................................................................................................ 36
VI.-PATRONES DE LONGITUD Y DE ÁNGULO ....................................................... 37
VII.-CLASIFICACIÓN DE PATRONES SEGÚN LAS NORMAS ............................... 40
VIII.-TRAZABILIDAD ................................................................................................... 42
IX.-CONTROLES METROLÓGICOS SEGÚN LA LEY VENEZOLANA .................. 43
X.-ASEGURAMEINTO METROLÓGICO .................................................................... 44
Factores que Determinan la Perdida de Exactitud de un Sistema ................................ 45
Elementos de un Proceso Eficiente de Medición ......................................................... 45
XI.-CONFIRMACIÓN METROLÓGICA ....................................................................... 45
Empresas que necesitan aplicar Confirmación Metrológica: ....................................... 45
Aspectos de la Confirmación Metrológica: .................................................................. 46
Documentación de la Confirmación Metrológica: ....................................................... 46
Características de un Sistema de Confirmación Metrológica ....................................... 46
Intervalos de Confirmación Metrológica ...................................................................... 47
Objetivos de la Calibración Metrológica ...................................................................... 47
Factores que Influyen en la Frecuencia de la Calibración ............................................ 47
Métodos De Calibración Metrológica .......................................................................... 48
XII. APROBACIÓN PARA LOS LABORATORIOS .................................................... 48
Objetivos: ..................................................................................................................... 48
Prioridades de Aprobación: .......................................................................................... 48
XIII.-GLOBALIZACIÓN ................................................................................................ 49
UNIDAD II. .......................................................................................................................... 59
INSTRUMENTOS DE MEDICION .................................................................................... 59
CALIBRE O PIE DE REY ............................................................................................... 59
v
Aplicaciones de los calibres ......................................................................................... 62
Calibres especiales ........................................................................................................ 62
MICRÓMETROS ............................................................................................................. 64
Variantes del micrómetro ............................................................................................. 66
Sonda micrométrica o micrómetro de profundidad ...................................................... 66
Micrómetro con contacto expansible ............................................................................ 67
Micrómetro de patas ..................................................................................................... 68
Micrómetro para interiores ........................................................................................... 68
TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS O GONIÓMETRO ............................................. 69
MESA DE SENOS ........................................................................................................... 71
GALGAS O CALAS PATRÓN ....................................................................................... 72
CALIBRES FIJOS ............................................................................................................ 74
Calibres fijos para ejes .................................................................................................. 75
Calibres fijos para agujeros .......................................................................................... 76
EL COMPARADOR ........................................................................................................ 77
Las partes principales de un comparador ..................................................................... 78
ALEXÓMETRO O COMPARADOR PARA INTERIORES ......................................... 81
MÁRMOLES ................................................................................................................... 82
COMPARADOR NEUMÁTICO ..................................................................................... 83
COMPARADOR ELECTRÓNICO ................................................................................. 86
MAQUINAS DE VERIFICACIÓN TRIDIMENSIONAL .............................................. 87
PROYECTORES DE PERFILES .................................................................................... 89
LA RUGOSIDAD Y EL RUGOSÍMETRO ..................................................................... 90
El rugosímetro .................................................................................................................. 92
UNIDAD III ......................................................................................................................... 94
TIPOS DE LOS ERRORES DE MEDIDA .......................................................................... 94
Errores Sistemáticos (fx) .................................................................................................. 94
Notación: .......................................................................................................................... 94
Definición de Errores Sistemáticos indeterminados ......................................................... 95
Definición de los errores sistemáticos, definidos parcialmente ....................................... 95
Errores casuales ............................................................................................................ 95
Errores Sobrantes ........................................................................................................ 100
Inexactitud de las medidas .............................................................................................. 101
Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos están
determinados totalmente ............................................................................................. 102
Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos no están
determinados ............................................................................................................... 103
Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos están
definidos parcialmente ................................................................................................ 103
UNIDAD IV ....................................................................................................................... 105
INCERTIDUMBRE EN LA MEDICIÓN .......................................................................... 105
1.- El Mensurando: ......................................................................................................... 105
2.-Incertidumbre: ............................................................................................................ 106
3.- Modelo Matemático: ................................................................................................. 106
4.-Identificación de las Fuentes de Incertidumbre.......................................................... 106
vi
5.- Métodos Principales para cuantificar las fuentes de la Incertidumbre. ..................... 108
5.1 Método de Evaluación Tipo A: ............................................................................ 108
5.2.- Método de Evaluación Tipo B: .......................................................................... 109
5.3.-Distribuciones de Probabilidad ........................................................................... 110
6.- Combinación ............................................................................................................. 111
6. l.-Coeficiente de Sensibilidad ................................................................................. 111
6.2.- Propagación de la incertidumbre para magnitudes de entrada no
correlacionadas. .................................................................................................. 112
6.3.- Magnitudes de entrada relacionadas con más de una fuente de incertidumbre. 112
6.4. Cálculo con incertidumbres relativas .................................................................. 113
6.5. Propagación de la incertidumbre para magnitudes de entrada correlacionadas. . 113
7. Correlación ................................................................................................................. 114
8. Incertidumbre expandida ............................................................................................ 114
8.1. Factor de cobertura y nivel de confianza ............................................................. 114
8.2. Distribución t de Student ..................................................................................... 115
8.3. Grados de libertad ................................................................................................ 116
9. Algoritmo para el cálculo de incertidumbre 116
UNIDAD V ........................................................................................................................ 122
AJUSTES Y TOLERANCIAS ........................................................................................... 122
Las tolerancias ................................................................................................................ 122
Objeto de las tolerancias ............................................................................................. 122
Dimensión nominal: ................................................................................................... 122
Dimensión efectiva: .................................................................................................... 122
La intercambiabilidad: ................................................................................................ 123
Tipos de intercambiabilidad: ...................................................................................... 123
Las desviaciones de las dimensiones .......................................................................... 123
Valor de la desviación ................................................................................................ 124
Normalización de las dimensiones lineales nominales y de las tolerancias ................... 125
Posiciones de las tolerancias. Representación gráfica ................................................ 125
NORMALIZACIÓN DE LAS DIFERENCIAS Y DE LAS POSICIONES DE LAS
TOLERANCIAS ........................................................................................................ 126
CALIDAD DE TOLERANCIA ..................................................................................... 127
Para dimensiones de hasta 500 mm ............................................................................ 127
Unidad de tolerancia ............................................................................................... 129
Calidad de elaboración ........................................................................................... 129
Elección de la calidad ............................................................................................. 129
Amplitud de las tolerancias .................................................................................... 129
Para dimensiones superiores a 500 mm ...................................................................... 130
Grupos dimensiónales ............................................................................................ 130
Calidad de elaboración ........................................................................................... 131
Amplitud de las tolerancias .................................................................................... 131
LAS DESVIACIONES Y LOS AJUSTES .................................................................... 131
MÉTODOS DE APLICACIÓN DE LOS AJUSTES ..................................................... 132
Método Directo ........................................................................................................... 132
Método Indirecto ........................................................................................................ 132
vii
Método Analítico ........................................................................................................ 133
TOLERANCIAS DE ENGRANAJES ........................................................................... 133
Generalidades ............................................................................................................. 133
Errores en los engranajes ............................................................................................ 133
CONTROL DE LA RUEDA EN SI COMO CUERPO DEL LENGUAJE ............... 133
CONTROL DEL DENTADO .................................................................................... 134
División del dentado ................................................................................................... 135
Flanco derecho ............................................................................................................ 135
Flanco izquierdo ......................................................................................................... 135
Paso de número K ....................................................................................................... 136
Paso primitivo ............................................................................................................. 136
Paso circular ............................................................................................................... 136
Paso base .................................................................................................................... 136
Error individual de paso circular ................................................................................ 136
Error individual de paso base ..................................................................................... 137
Error acumulado sobre un sector ................................................................................ 137
Error de concentridad o excentridad ........................................................................... 138
Error total de perfil ..................................................................................................... 139
Error total de distorsión .............................................................................................. 139
Error compuesto radial ............................................................................................... 140
Error compuesto tangencial ........................................................................................ 140
Control de montaje en disposición de funcionamiento .............................................. 140
Error de distancia entre centros .................................................................................. 140
Paralelismo de ejes ..................................................................................................... 140
Juego entre dientes...................................................................................................... 140
TOLERANCIAS ISA PARA ROSCAS MECANIZADAS
DE AJUSTES DESLIZANTES ............................................................................. 141
CONCEPTOS BÁSICOS ........................................................................................... 141
Generalidades ......................................................................................................... 141
Dimensiones afectadas por las tolerancias de roscas.............................................. 141
Diámetro de roscas ................................................................................................. 142
Longitudinales de ajustes o acoplamientos ............................................................ 142
Calidades ................................................................................................................ 143
Posiciones de la tolerancia y diferencias ................................................................ 145
Posiciones y tolerancias para los diámetros exteriores de tornillos....................... 145
Tolerancias de los diámetros de núcleo de tornillo y tuercas. ................................ 145
TOLERANCIAS DE CONOS ....................................................................................... 146
TOLERANCIAS EN LOS MONTAJES DE RODAMIENTOS ................................... 146
Tolerancias de ejes...................................................................................................... 146
Cojinetes radiales con agujero cilíndrico ................................................................... 147
Cojinetes radiales cargados en el anillo interior ......................................................... 147
Tolerancias: ................................................................................................................ 147
Cojinetes radiales con carga giratoria o indeterminada en el anillo interior .............. 147
Cojinetes radiales empleados para soportar cargas axiales puras............................... 150
viii
COJINETES RADIALES CON AGUJERO CÓNICO Y MANGUITO ................... 151
COJINETES CON EMPUJE AXIAL ........................................................................ 151
TOLERANCIAS DE ALOJAMIENTOS ................................................................... 152
ALOJAMIENTOS PARA RODAMIENTOS RADIALES ....................................... 152
ALOJAMIENTOS PARA RODAMIENTOS CON EMPUJE AXIAL ..................... 155
APÉNDICE REPASO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA .................................... 157
Probabilidad .................................................................................................................... 159
1. Espacios muestrales y eventos ................................................................................ 159
2. Algunas relaciones de teoría de conjuntos ............................................................. 160
3. Axiomas, interpretaciones y propiedades de probabilidad ..................................... 160
4. Técnicas de conteo.................................................................................................. 161
La regla del producto para pares ordenados ............................................................... 161
5. Una regla del producto más general ....................................................................... 161
6. Permutaciones ......................................................................................................... 162
7. Combinaciones ....................................................................................................... 162
8. Probabilidad condicional ........................................................................................ 163
9. La regla de multiplicación para P(AB) ................................................................ 163
10. Teorema de Bayes ................................................................................................ 164
11. Independencia ....................................................................................................... 164
Variables aleatorias y discretas y distribuciones de probabilidad .................................. 166
1. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas ........................ 167
2. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas ....................... 174
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................ 179
I. Introducción y Conceptos Generales. 9
UNIDAD I
INTRODUCCION Y CONCEPTOS GENERALES
I.-DEFINICION, IMPORTANCIA, DESARROLLO, NECESIDAD Y CAMPOS DE LA METROLOGÍA
La experiencia humana es muy variada; constantemente vemos, oímos, olemos,
probamos y tocamos objetos y productos, es decir, hay un constante flujo de sensaciones.
El trabajo de la metrología es describir en forma ordenada esta experiencia. Dicho de la
manera más simple, es la ciencia de la medida (vocabulario Internacional de Términos
Básicos y Generales en Metrología). Según la Ley del Sistema Venezolano para la Calidad,
la Metrología “comprende todos los aspectos tanto teóricos como prácticos que se refieren
a las mediciones”.
Mediante las mediciones se obtiene información sobre el comportamiento de la materia
y lo producido mediante su transformación. Para obtener una medición confiable deben
controlarse factores como: interacción operador-instrumento, el instrumento mismo, el
método de medición y el ambiente en que se realiza la medición. La esencia de la
Metrología es garantizar la efectividad de los procesos de medición que se llevan a cabo,
garantizando de esta forma las propiedades de calidad en los servicios, los procesos y los
productos; es la encargada de estudiar, diseñar y establecer las técnicas de medición
requeridas para alcanzar la incertidumbre necesaria, conforme a la aplicación particular, en
los resultados de las mediciones.
Su trabajo es describir en forma ordenada esta experiencia, un trabajo que la curiosidad
del hombre ha conducido por muchos siglos y que presumiblemente nunca terminara. En la
actualidad, un experimento físico que no involucre medición es considerado poco valioso.
Un metrólogo siente la necesidad que una pregunta, por muy simple que parezca: ¿cuánto?,
tenga una respuesta razonable y acorde con lo que está estudiando, de lo contrario, no
entenderá lo que sucede a su alrededor. El metrólogo ha seleccionado como campo de
estudio una porción especial de la gran variedad de experiencias humanas; de la totalidad
ha abstraído ciertos aspectos que le parecen susceptibles de describir con exactitud: en
cada laboratorio, taller, línea de producción y casi dondequiera, es posible encontrar
aparatos o dispositivos con escalas, estas con marcas y con números asociados a cada hecho
relacionado con la metrología.
Por esto es un hecho que cada lector pensara en la medición física que le es más
familiar, por ejemplo: consultar el reloj de pulsera; al hacerlo reconocerá en cada análisis la
medición, leerá la hora desde la carátula con la posición de las agujas. Piense que esto
I. Introducción y Conceptos Generales. 10
sucede en los medidores eléctricos, reglas medidores de corriente, voltaje y potencia, en los
termómetros, rugosímetros, micrómetros, calibradores, medidores de presión, etc.
La Metrología también es la encargada de investigar, experimentar y establecer los
patrones de referencia primarios en el ámbito internacional; de mantener los patrones
nacionales de los diferentes países o de mantener los instrumentos de referencia utilizados
en el ámbito de la industria (cuando éstas poseen su propio laboratorio de metrología).
Idealmente, en todo el mundo, los instrumentos utilizados para medir las mismas
magnitudes físicas deberían indicar el mismo valor, aunque esto no sea posible. Con el fin
de mantener esa igualdad aproximada los distintos organismos y laboratorios mantienen
relación y ponen en práctica la intercomparación de patrones. Por otro lado, en el ámbito de
los gobiernos se establecen instituciones que vigilan y regulan las actividades metrológicas
en el país y supervisan su cumplimiento por parte los sectores, entidades o personas
responsables.
El papel de la metrología se hace realmente relevante cuando el proceso de medición es
vital en algún tipo de transacción comercial, en aplicaciones militares, en aplicaciones en el
campo de la salud, en la producción de medicinas o de alimentos, en la realización de
pruebas para construcciones de ingeniería civil, en la realización de diagnósticos para
descubrir la causa de algún problema eléctrico, en la realización de trabajos destinados al
alcance del uso racional de la energía, en el monitoreo rutinario de los sistemas
electromecánicos, mecánicos y electrónicos, en la verificación de límites de contaminantes
del ambiente o valores de niveles de radiación, en el monitoreo permanente de las diversas
magnitudes físicas que intervienen en los procesos de producción, y muy especialmente, en
la realización de pruebas de calidad. En realidad, sin la metrología, el trabajo de los
ingenieros químicos, sanitarios, de alimentos, ambientalistas, electricistas, luminotécnicos,
electrónicos, mecánicos o civiles, o el trabajo de los médicos o los científicos en general, si
no imposible, sería de características totalmente obsoletas para la dinámica que requieren
los procesos actuales. Sin la metrología, sería imposible verificar la calidad de los
productos o de los procesos, definida en la normativa internacional. Dicho de otra manera,
la metrología y la normalización son vitales para el aseguramiento de la calidad.
¿Beneficios de la metrología?
Proporciona confianza e información sobre la variabilidad de los procesos para su
control y mejoramiento. La Metrología encierra grandes ventajas y beneficios para todos
los sectores industriales, destacando los siguientes:
Incremento en el nivel de calidad de los productos
Disminución de rechazos y garantías, o sea, la posibilidad que se acepten
productos defectuosos o que el cliente o consumidor adquiera un producto fuera
de especificaciones sea baja.
Aumento de la productividad.
Disminución de costos.
I. Introducción y Conceptos Generales. 11
Aumento de la vida útil de los instrumentos y equipos de medición.
Mayor vida útil para equipos de medición.
Promueve el desarrollo de un sistema armonizado de medidas, análisis ensayos
exactos, necesarios para que la industria sea competitiva.
Facilita a la industria las herramientas de medida necesarias para la investigación
y desarrollo de campos determinados y para definir y controlar mejor la calidad
de los productos.
Perfecciona los métodos y medios de medición.
Facilita el intercambio de información científica y técnica.
Posibilita una mayor normalización internacional de productos en general,
maquinaria, equipos y medios de medición.
Todos estos puntos buscan la necesidad de plantear la importancia que tiene la
Metrología a nivel internacional. Esta es decisiva en el comercio internacional debido a que
proporciona los medios técnicos necesarios para asegurar medidas correctas, mediante la
implementación de un sistema armonizado de medición compuesto por el Sistema
Internacional de Unidades (SI), la exactitud de los instrumentos de medidas cumpliendo
con normas internacionales y los métodos y procedimientos validados: la medición entra en
prácticamente todas las operaciones comerciantes, desde el comercio del producto a granel
(como los minerales, el petróleo y el gas natural) hasta la venta minorista de productos al
público en el mercado.
La realidad es que existen sin fin de ejemplo que podremos citar y los cuales demuestran
la importancia que tiene la metrología, alguno de ellos son los siguientes:
1) El precio de los productos comercializados se deriva de la cantidad que está
involucrada en ellos, la cual normalmente se determina por medición. Los
precios correctos obviamente dependerán de mediciones correctas. Para lograr
estas mediciones es necesario verificar y calibrar los instrumentos de medidas.
En ambos casos, el comportamiento de un equipo de medida se compara con el
de un instrumento de medida con mayor exactitud, conocido como patrón de
medida.
2) La tarea de asegurar la verificación de instrumentos de medida y la vigilancia de
su uso en el comercio recae en los Servicios Nacionales de Metrología.
3) Además de la cantidad, la calidad de los productos y su conformidad con las
normas son conceptos esenciales en el comercio internacional. El control de la
calidad y la conformidad requiere de muchos casos mediciones los resultados de
las medidas deben ser indudable si se espera confianza en los resultados del
ensayo y en la aceptación de los certificados. Los laboratorios de calibración
debe cerciorarse de que sus mediciones y el equipo de ensayo son debidamente
calibrados.
I. Introducción y Conceptos Generales. 12
La mayoría de los procesos de producción modernos se caracterizan por el ensamblaje
de la mayoría de sus partes y componentes comprados en el mercado internacional. Esto
implica de manera directa la aplicación de sistemas de medida uniformes, fiables que
garanticen el intercambio de las dimensiones mecánicas y la compatibilidad de las
especificaciones eléctricas. Por tal motivo es tarea de los institutos nacionales de
metrología mantener los patrones nacionales de manera que el equipo de medición pueda
referirse a estos patrones.
No queda duda, pues, del papel altamente importante que juega la metrología en el
desarrollo económico de un país, en su desarrollo tecnológico o científico, o en la salud de
sus habitantes cuando aplicada correctamente le permite a los médicos hacer diagnósticos
fidedignos. Y, si lo anteriormente explicado no basta, la metrología y la normalización son
imprescindibles para el aseguramiento de la calidad y, si el país pretende incorporarse a los
tratados de libre comercio internacionales, no le queda otro camino que invertir en el
desarrollo de tales disciplinas.
Campos de la Metrología
La metrología tiene varios campos: metrología legal, metrología industrial y metrología
científica. Son divisiones que se han aceptado en el mundo, encargadas en cubrir todos los
aspectos técnicos y prácticos de las mediciones:
La Metrología Legal
Este término esta relacionado con los requisitos técnicos obligatorios de los métodos y
de los instrumentos de medición, desde el punto de vista se seguridad y exactitud de las
mediciones. Un servicio de metrología legal comprueba estos requisitos con el fin de
garantizar medidas correctas en áreas de interés público, como el comercio, la salud, el
medio ambiente y la seguridad. El alcance de la metrología legal depende de las
reglamentaciones nacionales y puede variar de un país a otro.
El Objetivo de la metrología legal, básicamente es dar seguridad al público en general
acerca de las mediciones que se utilizan, por ejemplo:
Si usted compra una balanza de baño para saber cual es la masa corporal debe
tener la seguridad de que este instrumento cumple con las condiciones
necesarias.
Muchas balanzas en los establecimientos comerciales, pueden encontrarse
alteradas, originando alteración en el peso y que el cliente pague más de lo
debido.
En la Metrología Legal, se encuentran varios aspectos básicos:
1. Disponer de La Ley de Metrología.
2. Contar con personal capacitado.
I. Introducción y Conceptos Generales. 13
3. Equipos sofisticados, los equipos deben estar en una edificación acorde y
segura.
4. Argumentar y Coordinar todo lo relacionado al campo laboral.
Su objetivo es proteger a los consumidores para que reciban los bienes y servicios con
las características que ofrecen o anuncian los diferentes fabricantes. Debe ser ejercida por
gobierno y entre sus campos de acción están:
Verificación de pesas, balanzas y básculas.
Verificación de cintas métricas.
Verificación de surtidores de combustible.
Verificación de productos pre-empacados.
Control de escapes de gas de automóviles.
Taxímetros.
Cilindros de gas.
Contadores eléctricos, de agua y de gas, etc.
La Metrología Industrial
Esta disciplina se centra en las medidas aplicadas a la producción y el control de la
calidad. Materias típicas son los procedimientos e intervalos de calibración, el control de
los procesos de medición y la gestión de los equipos de medida, soluciona problemas
relacionados con los procesos de medición utilizados en el área industrial y tecnológica. El
término se utiliza frecuentemente para describir las actividades metrológicas que se llevan a
cabo en materia industrial, podríamos decir que es la parte de ayuda a la industria.
En la Metrología industrial la persona tiene la alternativa de poder mandar su
instrumento y equipo a verificarlo bien sea, en el país o en el exterior. Tiene posibilidades
de controlar más este sector, la metrología industrial ayuda a la industria en su producción,
aquí se distribuye el costo, la ganancia.
Se aplica en:
La calibración de los equipos de medición y prueba.
La etapa de diseño de un producto o servicio.
La inspección de materias primas, proceso y producto terminado.
Durante el servicio técnico al producto.
Durante las acciones de mantenimiento.
Durante la prestación de un servicio.
I. Introducción y Conceptos Generales. 14
La Metrología Científica
También conocida como ―metrología general‖. ―Es la parte de la Metrología que se
ocupa a los problemas comunes a todas las cuestiones metrológicas, independientemente de
la magnitud de la medida‖; es decir trata de los problemas teóricos de las mediciones:
Teoría general de mediciones.
Teoría de las magnitudes físicas y unidades de medida.
Teoría de errores de medición y métodos de procesamiento de resultados.
Se ocupa de los problemas teóricos y prácticos relacionados con las unidades de medida
(como la estructura de un sistema de unidades o la conversión de las unidades de medida en
fórmulas), del problema de los errores en la medida; del problema en las propiedades
metrológicas de los instrumentos de medidas aplicables independientemente de la magnitud
involucrada.
Es el campo de la metrología que investiga intensamente para mejorar los patrones, las
técnicas y métodos de medición, los instrumentos y la exactitud de las medidas. Se ocupa,
entre otras cosos de actividades como:
Mantenimiento de patrones internacionales.
Búsqueda de nuevos patrones que representen o materialicen de mejor manera
las unidades de medición.
Mejoramiento de la exactitud de las mediciones necesarias para los desarrollos
científicos y tecnológicos.
En la Metrología hay diferentes áreas específicas. Algunas de ellas son las siguientes:
Metrología de masa, que se ocupa de las medidas de masa.
Metrología dimensional, encargada de las medidas de longitudes y ángulos.
Metrología de la temperatura, que se refiere a las medidas de las temperaturas.
Metrología química, que se refiere a todos los tipos de mediciones en la química.
Adentrándose aún más en el estudio de esta ciencia se encuentra lo que podemos llamar
como el Triángulo de Oro
Metrología
Normalización Calidad
I. Introducción y Conceptos Generales. 15
Este gráfico expresa la relación intrínseca entre la metrología, normalización y calidad,
las mismas se confunden en significado y aplicación, no pudiendo existir alguna de ellas sin
tener una mínima relación con las demás. Esta relación puede analizarse de la siguiente
manera: para trabajar con calidad se hace necesario adaptarse a las diferentes
estandarizaciones aceptadas mundialmente y estar en completa capacidad de utilizar
laboratorios de metrología y mediciones para aplicarlas a los productos. Esta última
implica el tener el conocimiento de las normas que rigen estos laboratorios y los
certificados de calidad que permitan avalar las labores que dentro de ellos se realizan. Por
último las normas, las cuales son realizadas por institutos internacionales tratando de
establecer estándares de calidad, a través del uso de sus propios laboratorios de metrología
y mediciones; de manera tal que el resto de los laboratorios del mundo sigan esos
estándares.
En el triángulo de oro hay algo implícito, que es lo que permite la comunicación de
estas tres áreas: La Estadística.
La estadística, según Jay L. Devore, puede ser definida como ―la rama de la
investigación científica que proporciona métodos para organizar y resumir información y
usar ésta para obtener diversas conclusiones‖. Definición muy concreta y precisa sobre el
significado de esta palabra. La importancia de la estadística en la metrología, y en general
en la ingeniería, esta relacionada con un viejo adagio científico; ―una prueba es más valiosa
que cientos de opiniones expertas‖, sucede que un ingeniero realiza cientos de diversas
pruebas a un material, pieza, máquina, etc. antes de emitir una opinión seria, y dicha
opinión debe estar basado en calcular estadísticas para ser válida. De ahí que se puede
afirmar que un ingeniero sin conocimientos sobre estadística y probabilidad es un
analfabeta funcional.
Por esto y por muchas razones más que serán explicadas a lo largo del desarrollo de este
libro, se sabe que la metrología siendo la ciencia de la medición y el estudio y la aplicación
de los medios más propios para la medición de magnitudes tales como longitud, ángulos,
temperatura, presión, etc.; está íntimamente ligada al estudio de la estadística, por esto, el
presente libro en su final, recopila un apéndice que ayudará al estudiante a nivelarse en
Probabilidad y Estadística. Este curso se centrará en el estudio de la metrología
dimensional, en la que se verifica geométrica y dimensionalmente elementos y piezas
mecánicas.
II.-SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
Se acostumbra medir longitudes o distancias en unidades como centímetros, metros o
kilómetros; y medir el tiempo en unidades como segundos, minutos, horas, días y años.
Cuando se usa una regla graduada o una cinta métrica se supone que sus resultados están de
acuerdo con otros instrumentos parecidos para medir longitudes. Sin embargo, cuando se
usa un reloj para medir el tiempo, se puede uno preguntar si dicho instrumento funciona
correctamente.
Los científicos y muchas otras personas necesitan normalizar su sistema de medidas para
que los datos suministrado por una persona pueden ser interpretados por otra. En verdad,
I. Introducción y Conceptos Generales. 16
las medidas de uso común metros y centímetros, horas y minutos, kilogramos y gramos
tienen su estado legal basado en los patrones de medidas de los físicos.
La Asamblea Nacional de Francia pidió a la Academia de Ciencias de ese país, la
creación de un sistema de medición que lo puedan usar todos los países; luego de sucesivas
propuestas y modificaciones, los científicos de fines del Siglo XVIII, lograron diseñar el
Sistema Métrico Decimal basado en parámetros relacionados con fenómenos físicos y
notación decimales esa época tuvieron de lidiar con la resistencia al cambio de los antiguos
sistemas medievales de referencias antropológicas y subdivisiones en mitades sucesivas, a
los modernos; la comunidad científica de la segunda mitad del Siglo XX, debió encarar la
adopción de un nuevo sistema de medidas de mayor precisión en cuanto a la referencia con
fenómenos físicos de sus unidades fundamentales, adaptado a los crecientes avances de la
ciencia, y que a la vez tuviese la amplitud y universalidad suficientes, para abarcar las
necesidades evidenciadas en la proliferación de subsistemas surgidos como necesidad
particular de las distintas ramas de la ciencia.
El sistema científico de medidas se identifica por las letras iniciales de tres de sus
unidades: el metro, el kilogramo y el segundo. Este sistema se llama sistema mks. El metro
(m) y el kilogramo (Kg.) provienen del sistema métrico y son, respectivamente, las
unidades fundamentales de longitud y de masa. La unidad llamada segundo (seg.) procede
del sistema de medidas usadas en la antigua Babilonia hace más de 4000 años.
En el año 1960 se crea el SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) basado
en fenómenos naturales que casi no ofrecen variación alguna que impida uniformizar
internacionalmente las unidades de medidas. En el Perú su uso es oficial a partir de 1982.
Un sistema de unidades de medida es un conjunto de unidades confiables, uniformes
y adecuadamente definidas que sirven para satisfacer las necesidades de medición. El
Sistema Internacional de Unidades (SI) es resultado de un largo trabajo que comenzó en
Francia hace más de un siglo y que continuó internacionalmente para poner a disposición
de todos los hombres un conjunto de unidades confiables y uniformes, este tiene su origen
en el sistema métrico, sistema de medición adoptado con la firma de la Convención del
Metro en 1875.
Para 1960, la Conferencia General de Pesos y medidas (C.G.P.M) como autoridad
suprema para la época adoptó el nombre de Sistema Internacional de Unidades (SI). El SI
está hoy en día en uso en más de 100 países. Está formado por siete unidades básicas y
varias unidades derivadas. A continuación se definen algunas unidades del SI comúnmente
utilizadas en Metrología Dimensional:
Las UNIDADES BÁSICAS son:
LONGITUD Metro (m) Unidad Base: para la magnitud longitud: y es la
longitud de trayectoria recorrida por la luz en el vacío, durante un lapso de 1/
299792458 de segundo.
MASA Kilogramo (kg) Unidad Base: para la magnitud masa: es la masa
igual a la del prototipo internacional del kilogramo.
I. Introducción y Conceptos Generales. 17
TIEMPO Segundo (s) Unidad Base: para la magnitud tiempo: es la duración
de 9192631770 períodos de la radiación correspondiente aa la transición entre los
dos niveles hiperfinos del átomo de cesio 133.
CORRIENTE ELECTRICA Amperio (A) Unidad Base: para la corriente
eléctrica: es la intensidad de una corriente eléctrica constante que mantenida en dos
conductores paralelos rectilíneos, de longitud finita, de sección circular despreciable
y colocados a un metro de distancia entre sí producirá en el vacío entre estos
conductores una fuerza igual de 2 x 10 7 newton por metro de longitud.
TEMPERATURA TERMODINAMICA Kelvin (°K) Unidad Base: para la
temperatura termodinámica: es la fracción 1/273.16 de la temperatura
termodinámica del punto triple del agua.
INTENSIDAD LUMINOSA Candela (cd) Unidad Base: para la intensidad
luminosa: en una dirección dada de una fuente que emite una radiación
monocromática de frecuencia 540 x 10 12 hertz, cuya intensidad energética en esa
dirección es 1/683 watt por esteorradián.
SUSTANCIA Mol (mol) Unidad Base: para la cantidad de sustancia: es la
cantidad de sustancia que contiene tantas entidades elementales como existen
átomos en 0.012 Kg de carbono 12.
Magnitud Nombre Símbolo
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Intensidad de corriente eléctrica ampere A
Temperatura termodinámica kelvin K
Cantidad de sustancia mol mol
Intensidad luminosa candela cd
Las UNIDADES SUPLEMENTARIAS son:
ANGULO PLANO Radián (rad) Unidad Suplementaria: para el ángulo plano:
es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que interceptan,
sobre la circunferencia de este círculo, un arco de longitud igual a la del radio.
ANGULO SÓLIDO Esteorradián (sr) Unidad Suplementaria: para el ángulo
sólido: es el ángulo sólido que teniendo su vértice en el centro de una esfera,
corta sobre la superficie de esta esfera un área igual a la de un cuadrado que tiene
por lado el radio de la esfera.
I. Introducción y Conceptos Generales. 18
Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades
SI básicas
Ángulo plano Radián rad mm-1
= 1
Ángulo sólido Estereorradián sr m2m
-2= 1
Las UNIDADES DERIVADAS son:
Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades
básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de
productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor
numérico igual 1.
Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades
SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular.
Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando,
bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras
unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de
ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan
las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia
al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton
metro al joule.
Un ejemplo de unidad derivada es:
FUERZA Newton (N) Unidad Derivada: para la unidad fuerza.
A continuación se presentan las unidades derivadas, mediante las cuales se miden muy
diversas magnitudes tales como velocidad, aceleración, presión, energía, tensión y
resistencia eléctrica, entre otras.
Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias
Magnitud Nombre Símbolo
Superficie metro cuadrado m2
Volumen metro cúbico m3
Velocidad metro por segundo m/s
Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2
Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1
Masa en volumen kilogramo por metro cúbico kg/m3
Velocidad angular radián por segundo rad/s
Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2
I. Introducción y Conceptos Generales. 19
Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales.
MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO EXPRESIÓN
EN OTRAS
UNIDADES SI
EXPRESIÓN EN
UNIDADES SI
BÁSICAS
Frecuencia hertz Hz s-1
Fuerza newton N m·kg·s-2
Presión pascal Pa N·m-2
m-1
·kg·s-2
Energía, trabajo,
cantidad de calor
joule J N·m m2·kg·s
-2
Potencia watt W J·s-1
m2·kg·s
-3
Cantidad de electricidad
carga eléctrica
coulomb C s·A
Potencial eléctrico
fuerza electromotriz
volt V W·A-1
m2·kg·s
-3·A
-1
Resistencia eléctrica ohm V·A-1
m2·kg·s
-3·A
-2
Capacidad eléctrica farad F C·V-1
m-2
·kg-1
·s4·A
2
Flujo magnético weber Wb V·s m2·kg·s
-2·A
-1
Inducción magnética tesla T Wb·m-2
kg·s-2
·A-1
Inductancia henry H Wb·A-1
m2·kg s
-2·A
-2
Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales
MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO EXPRESIÓN
EN UNIDADES
SI BÁSICAS
Viscosidad dinámica pascal segundo Pa·s m-1
·kg·s-1
Entropía joule por kelvin J/K m2·kg·s
-2·K
-1
Capacidad térmica másica joule por kilogramo
kelvin
J/(kg·K) m2·s
-2·K
-1
Conductividad térmica watt por metro kelvin W/(m·K) m·kg·s-3
·K-1
Intensidad del campo
eléctrico
volt por metro V/m m·kg·s-3
·A-1
I. Introducción y Conceptos Generales. 20
Nombres y símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades
SI autorizados
MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO RELACIÓN
Volumen litro l o L 1 dm3=10
-3 m
3
Masa tonelada t 103 kg
Presión y
tensión
bar bar 105 Pa
Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son múltiplos o
submúltiplos decimales de dichas unidades.
Magnitud Nombre Símbolo Equivalencia S.I.
Ángulo grado º 1=( pi/180)rad
minuto ' 1'=(pi/10.8)rad=(1/60)º
segundo " 1"=(1/60)"=(pi/648)rad
Tiempo minuto min 1min=60s
hora h 1h=60min=3,600s
día d 1d=24h=86,400s
Volumen litro L aL=10dm3=10
-3m
-3
Masa tonelada t 1t=103kg=1Mg
Área hectárea ha 1ha=1hm2=10
4m
2
Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha
obtenido experimentalmente.
MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLO VALOR EN UNIDADES SI
Masa unidad de masa atómica u 1,6605402 10-27
kg
Energía electronvolt eV 1,60217733 10-19
J
I. Introducción y Conceptos Generales. 21
Prefijos para formar los Múltiplos y submúltiplos decimales
FACTOR PREFIJO SÍMBOLO FACTOR PREFIJO SÍMBOLO
1024
yotta Y 10-1
deci d
1021
zeta Z 10-2
centi c
1018
exa E 10-3
mili m
1015
peta P 10-6
micro μ
1012
tera T 10-9
nano n
109 giga G 10
-12 pico p
106 mega M 10
-15 femto f
103 kilo k 10
-18 atto a
102 hecto h 10
-21 zepto z
101 deca da 10
-24 yocto y
Prefijos del sistema internacional
Uso escrito de símbolos y prefijos:
1. Los nombres de las unidades, así como de sus múltiplos y submúltiplos, se
escriben con minúscula. El grado Celsius es una excepción.
2. Los símbolos que representan a las unidades se escriben con minúscula, excepto
cuando proceden nombres propios. Se usa la letra mayúscula L para litro porque el
1 se confunde con l. Cuando un símbolo con dos letras procede de un nombre
propio, la letra inicial es mayúscula. Por ejemplo Pa (en honor a Blaise Pascal)
3. Los prefijos y submúltiplos se escriben con minúscula, excepto en el caso de mega
y superiores.
4. Los símbolos nunca se escriben en plural, ni llevan punto final, salvo que estén al
final de una frase.
5. Entre el número y el símbolo debe dejarse un espacio salvo en las medidas
angulares.
6. Los productos de unidades se expresan o bien dejando un espacio entre los
símbolos o bien dejando un espacio entre ellos.
I. Introducción y Conceptos Generales. 22
Factor
Prefijo Símbolo
1024
yota Y
1021
zeta Z
1018
exa E
1015
peta P
1012
tera T
109
giga G
106= 1.000.000
mega M
103= 1.000
kilo k
102 = 100
hecto h
10 = 10
deca da
1 = ( Unidad Básica sin Prefijo )
1
10
= 10-1 = 0,1
deci d
1
102
= 10-2 = 0,01
centi c
1
103
= 10-3 = 0,001
mili m
1
106
= 10-6 = 0,000001
micro µ
1
109
= 10-9
nano n
1
1012
= 10-12
pico p
1 = 10-15
1015
femto f
1
1018
= 10-18
atto a
10-21
zepto z
10-24
yocto y
Tablas de longitud, masa y tiempo
Algunas longitudes de interés
I. Introducción y Conceptos Generales. 23
Longitud Longitud
radio del protón 1 fm radio de la Luna 1738.16 km
longitud de la onda de
rayos X 0.01-1 nm radio de la Tierra 6371.02 km
radio del átomo de
hidrógeno 0.529 A radio de la órbita lunar 3.84405x10
5 km
diámetro del retrovirus
del VIH 10
-1 mm radio del Sol 0.696265x10
6 km
longitud de onda del
espectro visible 4.0-7.0 A radio de la órbita terrestre
149.59787x106 km
499.0s luz
longitud del bacilo de
Koch 1 mm radio del sistema solar 10 horas luz
diámetro de un glóbulo
rojo 10 mm
distancia a la estrella más
cercana (Próxima Centauri) 4.3 años luz
longitud de onda del
Do musical 1.33 m diámetro de la Galaxia 10
5 años luz
altitud del Everest 8.8461
km radio del Universo visible 10 -20 x10
9 años luz
Algunas masas de interés
Masa Masa
me=masa del electrón 0.910939x10
-27 kg
mp/1836.15 masa de un elefante 10 t
mp=masa del protón 1.67262x10-24
kg masa de la pirámide de
Keops 10
7 t
masa del átomo de
hidrógeno 1.00783 u masa de la lluvia anual 10
13 t
masa de una bacteria 1 pg masa de la atmósfera
terrestre 10
16 t
masa de un glóbulo rojo 0.1 ng masa del agua de los mares 1017
t
masa de un mosquito 10 mg masa de la Luna 7.3474x1022
kg
masa de un sello de correos 20 mg masa de la Tierra 5.97371x1024
kg
masa de un litro de agua 1 kg ms=masa del Sol 1.98892x1030
kg
masa del ser humano 102 kg masa del sistema solar 1.9916x10
30 kg
masa de un coche 103 kg masa de la Galaxia 10
11-10
12 ms
consumo anual de petróleo 109t masa del Universo visible 10
53 kg
Algunos tiempos de interés
Tiempo Tiempo
período orbital del electrón en el 0.152 fs período orbital de la Luna 27.3217 días
I. Introducción y Conceptos Generales. 24
hidrógeno
período de la luz visible 1.53 - 2.33
fs período orbital de la Tierra 365.25636 días
período de la nota musical Do 1/256 s edad del Universo cuando
se hizo transparente a la luz 3x10
5 años
período de la corriente eléctrica
en Europa 1/50 s
tiempo transcurrido desde la
desaparición de los
dinosaurios
65x106 años
período de los latidos del corazón 1 s edad del Sol 4.6x109 años
período entre latidos cardiacos
sucesivos de Miguel Indurain en
reposo
2.14 s edad del Universo 10 -20 x109 años
Algunas velocidades de interés
Velocidad Velocidad
deriva continental 10-9
m/s sonido en el aire 322 m/s
crecimiento del cabello 10-8
m/s Luna en torno a la
Tierra 1 km/s
sangre en capilares 0.3 mm/s Tierra en torno al Sol 30 km/s
sangre en aorta 30 cm/s Sol en torno al centro
galáctico 10
2 km/s
velocidad terminal (con paracaídas)
sobre la superficie terrestre 6 m/s
electrón en el
hidrógeno 2.2x10
3 km/s
velocidad terminal (sin paracaídas)
sobre la superficie terrestre 50 m/s luz en el vacío c=299,792.458 m/s
Tabla comparativa de ordenes de magnitud
En esta tabla, se podrán observar los órdenes de magnitud en los que es aplicable la
física:
I. Introducción y Conceptos Generales. 25
Longitud
(m)
Protón 10-15
Átomo de hidrógeno 10-10
Virus 10-7
Altura de una persona 100
Un kilometro 103
Diámetro de la Tierra 107
Distancia Tierra- Luna 109
Distancia Tierra - Sol 1011
Diámetro del Sistema Solar 1013
Distancia a la estrella más cercana 1017
Diámetro de nuestra Galaxia 1021
Distancia a la galaxia más cercana
(Andrómeda) 10
22
Distancia al confín del universo
observable 10
26
FACTORES DE CONVERSIÓN
Ángulo plano
º ' " radián rev
1 grado 1 60 3600 1.745x10-2
2.778x10-3
1 minuto 1.667x10-2
1 60 2.909x10-4
4.630x10-5
1 segundo 2.778x10-4
1.667x10-2
1 4.848x10-6
7.716x10-7
1 radián 57.3 3438 2.063x105 1 0.1592
1 revolución 360 2.16x104 1.296x10
6 6.283 1
Ángulo sólido
1 esfera = 4p esterradianes = 12.57 esterradianes
Longitud
cm metro km in ft mi
I. Introducción y Conceptos Generales. 26
1
centímetro 1 10
-2 10
-5 0.3937 3.281x10
-2 6.214x10
-6
1 metro 100 1 10-3
39.37 3.281 6.214x10-4
1
kilómetro 10
5 1000 1 3.937x10
4 3281 0.6214
1 pulgada 2.540 2.540x10-2
2.540x10-5
1 8.333x10-2
1.578x10-5
1 pie 30.48 0.3048 3.048x10-4
12 1 1.894x10-4
1 milla 1.609x105 1609 1.609 6.336x10
4 5280 1
Área
metro2 cm
2 ft
2 in
2
1 metro cuadrado 1 104 10.76 1550
1 centímetro cuadrado 10-4
1 1.076x10-3
0.1550
1 pie cuadrado 9.290x10-2
929.0 1 144
1 pulgada cuadrada 6.452x10-4
6.452 6.994x10-3
1
Volumen
m3 cm
3 L ft
3 in
3
1 metro cúbico 1 106 1000 35.31 6.102x10
4
1 cetímetro cúbico 10-6
1 1.000x10-3
3.351x10-5
6.102x10-2
1 litro 1.000x10-3
1000 1 3.351x10-2
61.02
1 pie cúbico 2.832x10-2
2.832x10-4
28.32 1 1728
1 pulgada cúbica 1.639x10-5
16.39 1.639x10-2
5.787x10-4
1
Masa
g kilogramo slug u oz lb ton
1 gramo 1 0.001 6.852x10-5
6.022x1023
3.527x10-2
2.205x10-3
1.102x10-6
1 kilogramo 1000 1 6.852x10-2
6.022x1026
35.27 2.205 1.1022x10-3
1 slug 1.459x104 14.59 1 8.786x10
27 514.8 32.07 1.609x10
-2
1 u 1.661x10-24
1.661x10-27
1.138x10-28
1 5.857x10-26
3.662x10-27
1.830x10-30
1 onza 28.35 2.835x10-2
1.943x10-3
1.718x1025
1 6.250x10-2
3.125x10-5
1 libra 453.6 0.4536 3.108x10-2
2.732x1026
16 1 0.0005
1 ton 9.072x105 907.2 62.16 5.463x10
29 3.2x10
4 2000 1
I. Introducción y Conceptos Generales. 27
Las cantidades sombreadas no son unidades de masa pero a menudo se usan como tales.
Por ejemplo, cuando escribimos 1kg=2.205lb significa que un kilogramo es una masa que
pesa 2.205 libras en condiciones de gravedad estándar (g=9.80665m/s2).
Densidad
slug/ft3 kilogramo/metro
3 g/cm
3 lb/ft
3 lb/in
3
1slug por pie cúbico 1 515.4 0.5154 32.17 1.862x10-2
1 kilogramo por métro
cúbico 1.940x10
-3 1 0.001 6.243x10
-2 3.613x10
-5
1 gramo por centímetro
cúbico 1.940 1000 1 62.43 3.613x10
-2
1 libra por pie cúbico 3.108x10-2
16.02 1.602x10
-
2
1 5.787x10-4
1 libra por pulgada
cúbica 53.71 2.768x10
4 27.68 1728 1
Las unidades de densidad que contienen unidades de peso son dimensionalmente
diferentes a las de masa. Véase la nota de tablas de masa.
Tiempo
y d h min segundo
1 año 1 365.25 8.766x103 5.259x10
5 3.156x10
7
1 día 2.738x10-3
1 24 1440 8.640x104
1 hora 1.141x10-4
4.167x10-2
1 60 3600
1 minuto 1.901x10-6
6.944x10-4
1.667x10-2
1 60
1 segundo 3.169x10-8
1.157x10-5
2.778x10-4
1.667x10-2
1
Velocidad
ft/s km/s m/s mi/h cm/s
1 pie por segundo 1 1.097 0.3048 0.6818 30.48
1 kilometro por hora 0.9113 1 0.2778 0.6214 27.78
1 metro por segundo 3.821 3.6 1 2.237 100
1 milla por hora 1.467 1.609 0.447 1 44.70
1 centímetro por segundo 3.281x10-2
3.6x10-2
0.01 2.237x10-2
1
1 nudo =1milla náutica por hora=1.668ft/s 14mi/min=60mi/h
I. Introducción y Conceptos Generales. 28
Fuerza
dina newton lb pdl Gf kgf
1 dina 1 10-5
2.248x10-6
7.233x10-5
1.020x10-3
1.020x10-6
1 newton 105 1 0.2248 7.233 102.0 0.1020
1 libra 4.448x105 4.448 1 32.17 453.6 0.4536
1 poundal 1.383x104 0.1383 3.108x10
-2 1 14.10 1.410x10
-2
1 gramo fuerza 980.7 9.807x10-3
2.205x10-3
7.093x10-2
1
1 kilogramo fuerza 9.807x105 9.807 2.205 70.93 1000 0.001
Las cantidades sombreadas no son unidades de fuerza pero a menudo se utilizan como
tales. Por ejemplo, si escribimos 1 gramo fuerza, queremos decir que un gramo masa
experimenta una fuerza de 980.7 dinas en condiciones de gravedad estándar.
Presión
atm dina/cm2 inH20 cmHg pascal lb/in
2 lb/
2
1 atmósfera 1 1.013x106 406.8 76 1.013x10
5 14.7 2116
1 dina por cm2 9.869x10
7 1 4.015x10
-4 7.501x10
-5 0.1 1.405x10
-5 2.089x10
-3
1 in de agua 4ºC 2.458x10-3
2491 1 0.1868 249.1 3.613x10-2
5.202
1 cmHg a 0ºC 1.316x10-2
1.333x104 5.353 1 13333 0.1934 27.85
1 pascal 9.869x10-6
10 4.015x10-3
7.501x10-4
1 1.450x10-4
2.089x10-2
1 libra por in2 6.805x10
-2 6.985x10
4 27.68 5.171 6.985x10
3 1 144
1 libra por ft2 4.725x10
-4 478.8 0.1922 3.591x10
-2 47.88 6.944x10
-3 1
El valor de la gravedad es de 9.80665m/s2. 1bar=10
6dinas/cm
2=0.1MPa
1torr=1mmHg
I. Introducción y Conceptos Generales. 29
Potencia
BTU/h lb ft/s hp cal/s kW W
1 unidad térmica británica por hora 1 0.2161 3.929x10-4
6.998x10-2
2.930x10-4
0.2390
1 libra pie por segundo 4.628 1 1.818x10-3
0.3239 1.356x10-3
1.356
1 caballo de fuerza 2545 550 1 178.1 0.7457 745.7
1 caloría por segundo 14.29 3.088 5.615x10-3
1 4.186x10-3
4.186
1 kilowatt 3413 737.6 1.341 238.9 1 1000
1 watt 3.413 0.7376 1.341x10-3
0.2389 0.001 1
Energía, trabajo y calor
BTU erg ft lb hp h joule cal kWh eV MeV kg u
1 unidad térmica
británica 1 1.055x1010 777.9 3.929x10
-4 1055 252.0 2.93x10
-4 6.585x10
21 6.585x10
15 1.174x10
-14 7.070x10
12
1 erg 9.481x10-11
1 7.376x10-8
3.725x10-14
10-7
2.389x10-8
2.778x10-14
6.242x1011
6.242x105 1.113x10
-24
670.2
9.037x109
1 libra pie 1.285x10-3
1.356x107 1 5.051x10
-7 1.356 0.3238 3.766x10
-7 8.464x10
18 8.464x10
12 1.509x10
-17 1.799x10
16
1 caballo de fuerza
por hora 2545 2.685x10
13 1.980x10
6
1 2.685x10
6 6.413x10
5 0.7457 1.676x10
25 1.676x10
19 2.988x10
-11 6.702x10
9
1 joule 9.481x10-4
107 0.7376 3.725x10
-7 1 0.2389 2.778x10
-7 6.242x10
18 6.242x10
12 1.113x10
-17 2.806x10
10
1caloría 3.969x10-3
4.186x107 3.088 1.560x10
-6 4.186 1 1.163x10
-6 2.613x10
19 2.613x10
13 4.660x10
-17 2.413x10
16
1 kilowatt hora 3413 3.6x1013
2.655x106
1.341 3.6x10
6 8.6x10
5 1 2.247x10
25 2.247x10
19 4.007x10
-11 1.074x10
-9
1 electrón volt 1.519x10-22
1.602x10-12
1.182x10-19
5.967x10-26
1.602x10-19
3.827x10-20
4.450x10-26
1 10-6
1.783x10-36
1.074x10-3
1 millón de electrón
volts 1.519x10
-16 1.602x10
6 1.182x10
-13 5.967x10
-20 1.602x10
-13 3.827x10
14 4.450x10
-20 10
6 1 1.783x10
-30 6.022x10
26
1 kilogramo 8.521x1013 8.987x1023
6.629x1016
3.348x1010
8.987x1016
2.146x1016
2.497x1010
5.610x1035
5.610x1029
1 1
1 unidad unificada
de masa atómica 1.415x10
-13 1.492x10
-3 1.101x10
-10 5.559x10
-17 1.492x10
-10 3.564x10
-11 4.146x10
-17 9.32x10
8 932.0 1.661x10
-27
I. Introducción y Conceptos Generales. 30
Las cantidades sombreadas no son unidades de denergía propiamente pero se incluyen
por conveniencia. Provienen de la fórmula de equivalencia masa energía relativista y
representan la energía equivalente de una masa de un kilogramo o unidad unificada de
masa.
Flujo magnético
maxwell weber
1 maxwell 1 10-3
1 weber 108 1
Campo magnético
gauss tesla milligauss
1 gauss 1 10-4
1000
1 tesla 104 1 10
7
1 milligauss 0.001 10-7
1
III.-PRESICIÓN, EXACTITUD Y SENSIBILIDAD
Factores que Determinan la Pérdida de Exactitud de un Sistema: Precisión y Exactitud
Es una característica del proceso, es que cuando se mida, mi medida esté lo más cercana
de la magnitud, es decir se estará hablando del resultado final, depende del operario.
PRECISIÓN:
El concepto de precisión fue sustituido en el V.I.M. (VOCABULARIO
INTERNACIONAL DE METROLOGÍA) por los conceptos de repetibilidad y
reproducibilidad. Debido su concordancia con ellos, algunos autores usan las expresiones:
precisión bajo condiciones de repetibilidad o precisión bajo condiciones de
reproducibilidad según el caso.
La Precisión es el atributo de un conjunto de medidas que expresa el acuerdo entre ellas.
Aun cundo no se define de manera cuantitativa, es común cuantificarlas en términos de
algún parámetro estadístico de dispersión, tal como la desviación estándar. No debe
confundirse precisión con exactitud; se debe saber que es una característica del
instrumento, siendo así el grado de repetibilidad del mismo, en la medida que se tenga un
instrumento más preciso las medidas se repiten; el hecho de que se posea un instrumento
muy preciso, no implica que las medidas estarán tomadas correctamente, es decir no
implica exactitud.
I. Introducción y Conceptos Generales. 31
Repetibilidad de los resultados de medición:
Es la concordancia entre los resultados de las mediciones sucesivas de alguna
magnitud física llevada a cabo con el mismo método de medición, observador, medios de
medición y condiciones ambientales en intervalos de tiempo cortos. Cercanía o acuerdo
entre los resultados de mediciones sucesivas de la misma magnitud por medir, efectuadas
en las mismas condiciones de medición.
1. Estas condiciones se llaman condiciones de repetibilidad.
2. Las condiciones de repetibilidad incluyen:
El mismo procedimiento de medición.
El mismo observador.
El mismo instrumento de medición utilizado en las mismas condiciones.
El mismo lugar.
Repetición dentro de un periodo de tiempo corto.
La repetibilidad se puede expresar en forma cuantitativa, en términos de las
características de dispersión de los resultados.
Reproducibilidad de los resultados de mediciones:
Es la concordancia entre los resultados de mediciones de una misma magnitud física
siendo ejecutada mediciones individuales con el mismo método de medición, observador y
condiciones ambientales en intervalos de tiempo diferentes. Cercanía o acuerdo entre los
resultados de mediciones sucesivas de la misma magnitud por medir, efectuadas bajo
diferentes condiciones de medición combinadas.
1) Para que una expresión de la repetibilidad sea valida, es necesario especificar las
condiciones necesarias.
2) Las condiciones cambiantes pueden ser entre otras:
- El principio de medición
- El método de medición.
- El observador.
- El instrumento de medición.
- El patrón de referencia.
- El lugar.
- Las condiciones de uso.
- El tiempo.
3) La Reproducibilidad se puede expresar en forma cuantitativa en función de las
características de dispersión de los resultados.
4) Los resultados considerados aquí generalmente son los corregidos.
I. Introducción y Conceptos Generales. 32
m
s
EXACTITUD:
Cercanía o acuerdo entre el resultado de medición y el valor verdadero de la magnitud
por medir.
1) El concepto de exactitud es un concepto cualitativo.
2) No se debe usar el término precisión en vez de exactitud.
De acuerdo con esta definición la exactitud es un atributo de cada resultado de medición.
Su carácter cualitativo indica que no se ha definido una expresión matemática para
evaluarla cuantitativamente. Sin embargo es frecuente hallar en la literatura reportes
cuantitativos de la exactitud de una medición. Es preferible usar la incertidumbre como
parámetro cuantitativo de la evaluación de la calidad de un resultado de medición, en lugar
de la exactitud.
Exactitud de un instrumento de medición:
Aptitud de un instrumento de medición para dar respuestas próximas a un valor
verdadero.
Precisamente es la exactitud de un instrumento de medición, el atributo que se evalúa
durante la calibración. Las calibraciones permiten clasificar los instrumentos en diferentes
clases de exactitud. A los instrumentos de mayor clase de exactitud se les exige resultados
con mayor cercanía al valor convencionalmente verdadero mientras que a los de menor
clase se les permite indicaciones mas alejadas de las del patrón.
SENSIBILIDAD
Es una característica que es propia de los instrumentos de medición y se representa por
el cociente del incremento de la respuesta de un instrumento de medida por el incremento
correspondiente de la señal de entrada. Como es de suponer, la sensibilidad puede
suponer del valor de la señal de entrada.
Es importante identificar los parámetros sensibles, porque estos determinan aquellos
valores que deben asignarse con más cuidado para evitar distorsiones en los resultados del
modelo, el análisis de sensibilidad en un instrumento, juega un papel de gran importancia,
en la investigación de que si las estimaciones están equivocadas o no.
Mide la capacidad de discriminar pequeñas diferencias de concentración en un analito.
Va a depender de dos factores: la pendiente de la curva de calibrado y de la precisión o
desviación estándar. La IUPAC define la sensibilidad de calibración, la cual solo tiene en
cuenta la pendiente de la curva de calibrado: Donde m es la pendiente de la curva de
calibrado, S la señal y la señal de interferencia.
Se preparan disoluciones patrón y se le aplica la ecuación anterior.
También se define la sensibilidad analítica:
I. Introducción y Conceptos Generales. 33
Donde m es la pendiente y s la desviación estándar.
Es más común encontrarla como la medida mas pequeña que se puede realizar con
el instrumento con exactitud y precisión, la posibilidad de poder discriminar entre 2 valores
sumamente cercanos entre si.
IV MEDIR, VERIFICAR Y CALIBRAR
MEDICIÓN:
Consiste en comparar una magnitud con otra conocida llamada unidad.
Conjunto de operaciones cuyo objetivo es determinar el valor de una magnitud o
cantidad. De acuerdo con la definición anterior, la medición es una magnitud física.
Consiste en asignar un número a dicha cantidad. En otras palabras, es una evaluación
cuantitativa de la misma.
La medición se puede pensar como un proceso. La entrada del proceso es la definición
de la magnitud por medir. A partir de la entrada una persona opera un instrumento
siguiendo un método de medición, todo esto enmarcado dentro del medio ambiente. El
producto del proceso es un valor numérico llamado resultado de medición.
La metrología se encuentra muy íntimamente relacionada con otras ciencias que
requieren de alguna u otra forma de datos que son medidos o verificados a través de
instrumentos apropiados. Estos favores realizados por la metrología se han visto
recompensados, puesto que en los últimos días esta ciencia ha sido muy impulsada y en la
actualidad está en constante evolución, sobre todo en los países industrializados europeos,
asiáticos y norteamericanos.
I. Introducción y Conceptos Generales. 34
Clasificación de los instrumentos de Medición
Los instrumentos de medición los podemos ubicar en tres grupos:
Dispositivos.
Aparatos.
Máquinas.
Dispositivos de Medición:
Son una serie de instrumentos que utilizados aisladamente no son apropiados para
medir o verificar una magnitud, pero si los combinamos apropiadamente se obtienen
aparatos y máquinas.
1. Patrón: Es un objeto que materializa una magnitud y la mantiene invariable con
el tiempo. Podemos Conseguir patrones de longitud y de ángulos.
2. Medición: Son aquellos dispositivos que tienen materializada alguna escala en su
superficie (reglas, vernier, micrómetros, transportadores, entre otros).
3. Auxiliares: Son todos los ornamentos que se requieren para medir pero que no
son patrones o medidores.
Aparatos:
Se obtienen un aparato de medición cuando se combinan dos dispositivos, incluyendo
uno de patrón y esta combinación se utiliza para medir una sola magnitud.
Máquinas:
Se obtienen cuando se combinan dispositivos y se alcanza un nivel de sofisticación más
grande, siendo capaces de medir dos o más dimensiones y de trabajar con diferentes
métodos.
VERIFICACIÓN:
Constituye un medio para comprobar que las desviaciones entre los valores indicados
por un instrumento de medición y los correspondientes valores conocidos de una magnitud
medida son consistentemente menores que el error máximo permisible definido en una
norma, regulación o especificación particular al manejo del equipo de medición ( el
resultado de la verificación conduce a una decisión ya sea para que continúe en servicio,
ajustarlo, repararlo, reclasificarlo o declararlo obsoleto)
Después de realizar la calibración, de haber comparado la lectura del instrumento con un
patrón, se consigue la curva de calibración; con todos los datos obtenidos, se busca en una
I. Introducción y Conceptos Generales. 35
norma que proporciona que para la lectura del instrumento, los errores son permisibles
hasta un cierto valor, si se observa que los valores dados en la lectura se pasan, se debe
concluir que el instrumento no sirve o debe ser calibrado, de lo contrario, está dentro de las
especificaciones. Con esto se verifica que el instrumento es apto para medir.
Si se poseen instrumentos que tengan mucho tiempo de fabricados, por ejemplo 25 años,
lo más seguro es que el mismo ya no esté dentro de las especificaciones; en este caso, se
puede recurrir a la norma de calibración, que perfectamente es aplicable al instrumento y
posteriormente a la verificación, si la persona o empresa, etc., no puede realizarlos, por un u
otra razón, se puede llevar a un organismo competente que se encargue de eso, y
posteriormente podrá ser utilizado.
CALIBRACIÓN:
Se refiere a tomar un instrumento, comparar lo lectura del instrumento con un patrón.
Son un conjunto de operaciones que establecen en condiciones especificadas la relación
entre los valores de magnitudes indicados por un instrumento de medición o los valores
representados por una medida materializada por un material de referencia y los valores
correspondientes determinados por medio de patrones.
1. El resultado de una calibración permite bien sea asignar a las indicaciones de las
magnitudes por medir, o determinar las correcciones con respecto a las
indicaciones.
2. Una calibración también puede determinar otras propiedades metrologicas tales
como el efecto de las magnitudes de influencia.
3. El resultado de una calibración se puede registrar en un documento que aveces se
llama certificados de calibración o informe de calibración.
En general la calibración es una evaluación de la exactitud de un instrumento de
medición mediante la comparación de las medidas de este contra las del otro instrumento
mejor llamado patrón. La calibración suele ser una operación dispendiosa, pues en ella se
evalúan diferentes aspectos del instrumento a lo largo de su rango de uso. Puede requerir
condiciones ambientales controladas y debe ser ejecutada por personal especializado. No se
debe confundir con el mantenimiento correctivo o ajuste del instrumento, como
frecuentemente ocurre. Tampoco con el ajuste por el usuario.
Importancia de la calibración de los equipos de medición y ensayos
El comportamiento de los equipos de medición y ensayos pueden cambiar con pasar del
tiempo gracias a la influencia ambiental, es decir, el desgaste natural, la sobrecarga o por un
uso inapropiado. La exactitud de la medida dada por un equipo necesita ser comprobado de
vez en cuando.
Para poder realizar esto, el valor de una cantidad medida por el equipo se comparará con
el valor de la misma cantidad proporcionada por un patrón de medida. Este procedimiento
se reconoce como calibración. Por ejemplo un tornillo micrométrico puede calibrarse por
I. Introducción y Conceptos Generales. 36
un conjunto de bloques calibradores estándar, y para calibrar un instrumento de peso se
utiliza un conjunto de pesos estándar. La comparación con patrones revela si la exactitud
del equipo de medida está dentro de las tolerancias especificadas por el fabricante o dentro
de los márgenes de error prescrito.
Se pueden utilizar los resultados de la calibración, que demuestra la desviación respecto
al patrón que representa el valor correcto, para corregir sus lecturas de medida o para
diseñar una curva de corrección. Por las razones anteriormente mencionadas, deberá repetir
la calibración de su equipo de vez en cuando. El espacio existente entre dos calibraciones se
denomina intervalo de calibración; cada una de las calibraciones que se realizan después de
la primera se denomina recalibración.
Especialistas en el área recomienda realizar una recalibración a los equipos después de
una sobre carga, bien sea mecánica o eléctrica, o después de que el equipo haya sufrido un
golpe, vibración o alguna manipulación incorrecta, el cliente es quien puede solicitar la
recalibración en estos casos.
Algunos instrumentos, como los matraces de cristal graduados, no necesitan la
recalibración porque mantiene sus propiedades metrológicas a no ser que se rompa el cristal
Realmente la confirmación Metrológica comprende un conjunto de pasos y operaciones
necesarias para asegurar de que el equipo cumpla con los requisitos exigidos para su uso.
La calibración es parte esencial del proceso de la confirmación Metrológica.
Cuando elija patrones de medida para el ejercicio de calibraciones es esencial que utilice
patrones que sean trazables a patrones nacionales o internacionales
V.-PATRONES
PATRÓN: Hay que diferenciar una unidad, que es una idealización abstracta, y un
patrón o modelo, que es la materialización de la unidad. Desde el origen del sistema
métrico, los patrones han tenido varias revisiones para reflejar precisión creciente a medida
que avanzaba la ciencia de la metrología. Se debe saber que a falta de patrón, se puede
poseer un material de referencia que cumple la función de un patrón.
1. Se denomina patrón colectivo a un conjunto de medidas materializadas o de
instrumentos de medición semejante que convenientemente combinados,
desempeñan a en común el papel de patrón. Este está habitualmente destinado a
suministrar un valor único de una magnitud y este valor es una media apropiada
de los valores suministrados por los diversos instrumentos.
Ejemplos:
Patrón colectivo de tensión eléctrica compuesto de un grupo de pilas
Weston.
I. Introducción y Conceptos Generales. 37
Patrón colectivo de intensidad luminosa compuesto de un grupo de
lámparas incandescentes similares
2. Se denomina serie de patrones a un conjunto de patrones de valores
seleccionados especialmente para reproducir individualmente o por combinación
conveniente una serie de valores de una magnitud sobre un rango, es decir un
aserie de valores de la misma clase.
Ejemplos:
Juego de pesas.
Juego de hidrómetros que cubren rangos contiguos de densidad.
VI.-PATRONES DE LONGITUD Y DE ÁNGULO
a. Patrones de Longitud: Estos patrones materializan el metro, o en los del
taller, un número determinado de milímetros o fracciones de milímetros. Se
pueden clasificar los patrones de longitud en orden jerárquico de la siguiente
manera:
i. Patrón Prototipo Internacional. Es el patrón reconocido en todo el
mundo de longitud nominal de un metro a 0ºC. Tiene una sección
transversal en forma de X asimétrica con la cara grabada situada en
la línea neutra para evitar variación de longitud debido a una flexión
eventual. Está construido de platino iridiado, con un contenido de
10% de iridio.
ii. Patrones primarios. Están construidos de la misma manera que el
patrón prototipo internacional. No difieren del prototipo
internacional en más de 3 milésimas de milímetro y se encuentran
repartidos entre los países adheridos a la convención del Metro.
iii. Patrones Secundarios. Se construyen a partir del patrón primario
nacional para las necesidades de las oficinas oficiales de metrología
y para las fábricas de aparatos de precisión, utilizándose entonces
como patrón para operaciones de contraste.
iv. Patrones de Taller. Son los empleados para el contraste o
comprobación de los instrumentos de medición empleados para las
fabricaciones mecánicas. Se construyen de aceros especiales de
temple, en general aceros al cromo. Los tipos de acero empleados
varían algo según el fabricante, pero en cualquier caso el patrón debe
tener una gran dureza, para que presente una buena resistencia al
desgaste, así como una buena estabilidad estructural. Los Patrones de
taller se clasifican en: cilíndricos, de extremos esféricos y de caras
paralelas.
I. Introducción y Conceptos Generales. 38
1. Patrones Cilíndricos: En los calibres cilíndricos la medida de
referencia está materializada por el diámetro de la superficie
cilíndrica, existen diversas clases de estos patrones. Los
calibres normales simples, formados or un cilindro cuyo
diámetro tiene la medida de referencia y un mango para
facilitar su manejo. Son denominados también calibres de
tampón. Los calibres de anillo normales, son piezas en forma
de anillo cuyo diámetro del agujero materializa la cota de
referencia grabada en ellos. Se construyen con precisión de
una micra y se emplean para el control de los instrumentos de
medición y verificación de interiores. Calibres de anillos
similares a éstos, pero construidos dentro de unos límites de
tolerancia determinados, se utilizan para el reglaje de los
escariadores. Los discos patrón son discos perforados en su
centro y de un cierto espesor, cuya cota de referencia está
materializada por un diámetro exterior. Se utilizan montados
en un mango o en juegos montados sobre un soporte
cilíndrico.
2. Patrón de Extremos Esféricos: Este tipo de patrones tiene la
forma de varillas cilíndricas de 12 mm de diámetro
terminadas por los dos extremos en dos casquetes esféricos
que forman parte de una misma superficie esférica cuyo
centro se encuentra en el eje de la varilla. La cota nominal
está materializada por el diámetro de la esfera de la que
forman parte los casquetes de los extremos; esto permite una
cierta inclinación de la posición de la varilla cuando se
emplea para la comprobación de la distancia entre dos
superficies planas sin que la medición sea falseada.
Igualmente permite formar combinaciones a tope de dos
varillas sin que un ligero defecto de alineación falsee la
medida. Las varillas de extremos esféricos se emplean como
patrón para la verificación de instrumentos de medida con
palpadores planos, tales como micrómetros, máquinas de
medir y calibres de tolerancia para exteriores. Su uso es
aconsejable para longitudes superiores a 150 milímetros, para
las cuales son preferibles a las galgas patrón de caras
paralelas.
3. Patrones de Caras Paralelas o Galgas Patrón: Los patrones
de caras paralelas más corrientemente conocidos con los
nombres de galgas patrón o galgas Johansson, fueron
inventadas, perfeccionadas e introducidas en al industria por
el ingeniero sueco de este nombre. Estos patrones están
constituidos por pequeños bloques paralepipédicos de acero
I. Introducción y Conceptos Generales. 39
templado y estabilizado de gran dureza. Todas las caras de
estos bloques están finamente rectificadas y dos de ellas están
lapidadas, siendo perfectamente planas y paralelas, distando
entre sí la longitud nominal grabada sobre el patrón a la
temperatura de referencia de 20º C. La particularidad más
importante de estos patrones es la de que se pueden agrupar
por superposición de modo que la longitud del grupo formado
queda dentro de los límites de precisión requeridos para su
empleo como patrón. Esta cualidad hace que con un número
relativamente pequeño de patrones se puedan formar un
número de combinaciones tal, que satisfaga todas las
necesidades de taller en cuanto a patrones para la
comprobación de instrumentos y aparatos de verificación y
medida.
b. Patrones de Angulo: Son de diferentes tipos, según su finalidad, entre los
que se pueden menciona:
i. Patrones de ángulo recto (90º). Corrientemente conocidos como
escuadras.
ii. Patrones de ángulo de valor cualquiera. Que pueden ser fijos o
variables.
iii. Mármoles. Son los elementos de verificación utilizados para
materializar un plano. Existen varios tipos de mármoles:
1. Mármoles de Fundición: Son los más utilizados como
mármoles de control y, por lo general, las piezas de gran
tamaño. Es una gruesa placa rectangular, con una cara
perfectamente plana y pulida y la cara opuesta provista de
nervios de gran profundidad para dar rigidez a la placa. Se
construyen generalmente de fundición perlítica de alta
calidad resistente al desgaste y estabilizada para que conserve
su precisión de origen.
2. Mármoles de Coordenadas: Se fabrican de acero, de
calidades similares a las empleadas en la fabricación de
calibres, templado y estabilizado, la superficie plana es
rectificada y lapeada. La superficie plana está provista de
ranuras que permiten la eliminación del aire al colocar las
galgas sobre ellos y la eliminación del polvo o suciedad.
3. Mármoles de Piedra Alegra o Granito: Entre las ventajas
más destacadas de estos mármoles se pueden contar las
siguientes: están totalmente libres de distorsión, no dañan las
superficies de los instrumentos, son resistentes a la humedad,
no son afectados prácticamente por el calor del cuerpo de
operador. Son de mayor precisión que los mármoles de
fundición.
I. Introducción y Conceptos Generales. 40
iv. Reglas. Pueden ser de fundición o de acero. Las reglas de fundición
tienen por lo general una sección en forma de I, pueden tener dos
caras de verificación planas y paralelas, pero no más corriente es que
tengan una sola cara plana y la opuesta de forma elíptica. Por lo
general son practicado tales como forma elíptica. Por lo general son
practicados taladrados en el alma de la regla con la finalidad de
aligerarla. Las reglas de acero empleadas con fines de verificación se
construyen de acero tratado y estabilizado, con las caras de
comprobación rectificadas según la precisión. Sus formas son
variadas: biseladas, triangulares equiláteras o isósceles, rectangulares
de sección llena o variada y cuadradas de sección variada.
v. Escuadras. Son patrones de ángulo de 90ºC y son empleados para el
trazado y comprobación de ángulos de 90º y la comprobación de la
perpendicularidad de rectas o superficies. Existen diferentes tipos:
planas, de sombrero, de lámina, de lámina biselada.
vi. Reglas de Senos. Un dispositivo extensamente utilizado para la
formación de patrones de un ángulo de cualquier valor determinado,
es el denominado regla de senos. Su amplio empleo se debe a su
facilidad de manejo, precisión de las operaciones de comprobación
con ella efectuadas y sencillez de realización. El fundamento de la
regla de senos consiste en dos discos patrón del mismo diámetro se
fijan a una regla de forma que sus centros se encuentren a un
distancia fija L y perfectamente determinada por interposición de
galgas patrón y que sus distancias al borde de referencia sean iguales.
Apoyando los discos en dos acoplamientos de galgas patrón cuyas
alturas sean H y h, se cumple la relación siguiente:
L
hHsen
. Si se desea formar un patrón para un ángulo
determinado α siendo L una longitud determinada, basta con escoger
dos apilamientos de galgas cuyos valores cumplan la condición:
senLhH . Estas reglas se construyen en acero templado y
rectificado y la superficie de comprobación está lapeada con gran
precisión.
VII.-CLASIFICACIÓN DE PATRONES SEGÚN LAS NORMAS
Definiciones según la norma de patrón: Medida materializada, instrumento de
medición, material de referencia o sistema de medición destinado a definir, realizar,
I. Introducción y Conceptos Generales. 41
conservar o reproducir una unidad o uno o más valores conocidos de una magnitud para
transmitirlos por comparación a otros instrumentos de medida.
I. Patrón Internacional: aquel reconocido por un acuerdo internacional como base
para asignar valores a otros patrones de la misma magnitud. Es el patrón que rige
sobre los demás patrones, es el de mayor importancia.
II. Patrón Nacional: patrón reconocido por una decisión oficial como base para la
asignación de valores a otros patrones. Cada país puede decidir que patrón regirá a
los demás medidos, este estará hecho en base al patrón internacional. En Venezuela
el patrón nacional se encuentra en las oficinas de Metrología en SENCAMER.
III. Patrón Primario: patrón designado o ampliamente aceptado como el de las más
altas cualidades metrológicas y cuyo valor es aceptado sin referencia a otros
patrones de la misma magnitud. Hay una similitud entre patrón primario y patrón
internacional, simplemente un patrón puede ser los dos tipos, la diferencia entre un
y otro es que según el patrón primario, los demás patrones serán fabricados y el
patrón internacional es el reconocido a nivel mundial como el patrón que está por
encima de todos los demás. Por ejemplo: en la convención de París, cuando se
decidió elegir un patrón por el cuál los demás que se fabricaran debían regirse, el
que fue escogido, es un patrón Primario e Internacional, en cambio la medida de Pie
y Yarda son patrones Nacionales Primarios debido a que Inglaterra es el país que se
rige por esas medidas, mas no es Internacional.
IV. Patrón Secundario: patrón cuyo valor es asignado por comparación a un patrón
primario.
i. Patrón de Referencia: patrón que generalmente posee la más alta
calidad metrológica disponible en una localidad dada o en una
organización, de la cual se derivan las mediciones realizadas. Son
aquellos patrones que son utilizados para medir pero son primarios.
ii. Patrón de Trabajo: estos patrones son utilizados frecuentemente
para calibrar, verificar y tomar medidas materializadas,
instrumentos de medida o materiales de referencia; por lo tanto son
los que tienden a desgastarse más y pueden con el tiempo perder la
seguridad de estar en buenas condiciones.
V. Patrón de Transferencia: patrón utilizado como intermediario para comparar
patrones.
i. Patrón Viajero: patrón destinado para ser transportado entre
diferentes localidades
VI. Cadena de Patrones: es el conjunto de patrones escojidos para reproducir
individualmente o por una combinación conveniente una serie de valores de una
magnitud. Está conformada por todo el conjunto de patrones nombrado
anteriormente y es la base de la TRAZABILIDAD.
I. Introducción y Conceptos Generales. 42
VIII.-TRAZABILIDAD
La trazabilidad es la propiedad de un resultado de medición que nos permite relacionar
ese resultado con el respectivo patrón internacional o nacional de la magnitud que se esta
midiendo, es decir con referencias estipuladas; a través de una cadena interrumpida de
comparaciones que tengan todas incertidumbres determinadas.
La trazabilidad únicamente existe cuando se presentan evidencias rigurosamente
científicas, continuas y apropiadas a cada aplicación, que muestran que la medición está
produciendo resultados documentados con valores de incertidumbre estimados y declarados.
La única forma en que pueden compararse los resultados obtenidos por diferentes sistemas
de medición en diferentes lugares del mundo es asegurando su trazabilidad, es decir , que
ambos estén referidos al patrón internacional. Como se ve, este es el uno de los atributos
indispensables para la confiabilidad de cualquier resultado de medición.
La trazabilidad de un resultado se asegura utilizando instrumentos que hayan sido
calibrados contra patrones que a su vez sean trazables. En nuestro medio (industrias,
comercios, universidades, hospitales, etc.), no es muy común que las medidas sean
trazables a patrones internacional.
El concepto de trazabilidad puede ilustrarse mediante la siguiente pirámide. Para
asegurar la trazabilidad de una medida no puede haber eslabones rotos en la cadena (a
veces pueden que existan menos eslabones).
I. Introducción y Conceptos Generales. 43
Esquema de trazabilidad: es el documento que establece los medios, métodos e
incertidumbre en la transmisión de una magnitud medida, desde el instrumento o equipo de
medición hasta el patrón de mayor calidad metrológica en dicha magnitud.
Transmisión de una magnitud medida: consiste en determinar el valor correspondiente a
la magnitud en cada nivel de referencia en la cadena de patrones, las desviaciones (errores)
de los patrones y los errores máximos permitidos o tolerancias de los instrumentos o
equipos de medición.
Las Mediciones trazables: aseguran uniformidad de los productos manufacturados y de
los procesos industriales, así como también el cumplimiento de las regulaciones y la
equidad en el comercio tanto nacional como internacional.
Trazabilidad de las Mediciones: da lugar a la necesidad de la calibración de los
instrumentos, equipos y patrones de medición.
La NORMA ISO 9000, ha propiciado un incremento general en los requerimientos
comerciales por calibraciones trazables, con el propósito por una parte de cumplir con las
especificaciones del producto por otra la conveniencia o aptitud para su uso. Además
facilitan la aceptación de los productos manufacturados de un país en el mercado
internacional y garantizando el éxito en la satisfacción de las expectativas de los
consumidores.
Todo el equipo de medición se debe calibrar utilizando patrones de medición cuya
trazabilidad se pueda hacer hacia patrones de medición internacionales o hacia patrones de
medición nacionales que sean consistentes con las recomendaciones de la conferencia
general sobre pesas y medidas (C.G.P.M.). En los casos en que no existan esos patrones de
mediciones nacionales e internacionales se debe establecer la trazabilidad hacia otros
patrones de medición que sean aceptados internacionalmente en el campo que interesa.
IX.-CONTROLES METROLÓGICOS SEGÚN LA LEY VENEZOLANA
Aprobación de Modelos: Decisión tomada por las máximas autoridades
competentes, reconociendo que el modelo de un instrumento de medición responde a las
exigencias reglamentarias.
Ejemplo. Una empresa o persona decide importar micrómetros para venderlos
posteriormente en Venezuela (esto se hace debido a que no se fabrican instrumentos de
medición en el país), esa persona debe dirigirse a las oficinas SENCAMER de metrología
para solicitar la aprobación de modelos; debe llevar como mínimo cuatro micrómetros, que
serán sometidos a las revisiones correspondientes de metrología y allí es cuando se
aprueban o no que sean introducidos al país los instrumentos; de esos, uno debe quedarse
en la organización, como testigo. Es una garantía para poder introducirlos.
Aferición: Conjunto de operaciones realizadas por las autoridades, que tienen como
objetivo comprobar y afirmar que el instrumento de medida satisface por completo las
exigencias de los reglamentos sobre la aferición. Es la garantía del estado para el usuario.
Debe establecerse las diferencias entre la norma anterior y esta; aprobación de modelos
I. Introducción y Conceptos Generales. 44
sólo se encarga de afirmar como su nombre lo indica, los modelos de los instrumentos, sin
ser muy específicos ni detallistas, sólo se encargan de verificar que los modelos estén de
acuerdo con las normas que los rigen. Mientras que esta norma, se encarga de someter a un
análisis completo el instrumento para ver si está en las condiciones, si posee sus
características propias, es de buena calidad y si sirve para medir apropiadamente; teniendo
así ya los instrumentos, pues ya estarán calificados para poder utilizarlos debido a que
cumplen con las especificaciones requeridas.
Al estar en una empresa, en sus laboratorios de calidad o en algún lugar que posea
instrumentos de medición, lo primero que debe hacerse es pedir el certificado de aferición,
porque si no se posee, pues no se tendrá la certeza de que los instrumentos sean de buena
calidad y estén dentro de las normas requeridas. Con esto, las normas y la ley dice que si
no se posee el certificado de aprobación de modelos y el certificado de aferición el
organismo de METROLOGÍA se reserva el derecho de encartar los instrumentos debido a
que no se tienen las aprobaciones necesarias. Si se posee algún certificado que haya sido
expedido por otro organismo internacional que también esté encargado de la aprobación de
certificados, este es totalmente válido en Venezuela y viceversa.
Calibración: El conjunto de actividades u operaciones que establecen, bajo condiciones
específicas, la relación de los valores indicados por un medio de medición, (instrumento o
equipo de medición o un sistema de medición o valores representados por una medida
materializada o un material de referencia) y los correspondientes valores de una magnitud,
establecidos por un patrón de referencia. Se refiere a tomar un instrumento, comparar lo
lectura del instrumento con un patrón.
Verificación: Es un control metrológico que tiene como objetivo confirmar si un
instrumento de medición cumple los requisitos de regulaciones de verificación. Este control
constituye un modelo para comprobar que las desviaciones entre los valores indicados por
un instrumento de medición y los correspondientes valores conocidos de la magnitud
medida son menores o iguales al error máximo permitido, definido en una norma,
regulación o especificaciones particulares del instrumento.
X.-ASEGURAMEINTO METROLÓGICO
El conjunto de actividades organizativas y técnicas desarrolladas por instituciones
oficiales y privadas con la finalidad de garantizar la uniformidad de las mediciones. Antes
de desarrollar cualquier sistema de control metrológico se debe considerar el proceso de
medición de una forma global. El análisis total permite concentrar la atención y recursos en
los equipos de medición que mayor control requieren, así como la selección de métodos y
frecuencias o intérvalos de recalibración y verificación.
Es decir, debe ser especificado cuándo se va a hacer el control Metrológico; cada
vez que se deba realizar se debe estar seguro de cómo y qué es lo que se va a aplicar.
I. Introducción y Conceptos Generales. 45
No es lo mismo el rigor que se le puede dar a un vernier o un micrómetro que está
en la intemperie a un vernier o micrómetro que se encuentra en un laboratorio, debido a que
los mismos presentan un rango de tolerancia que va a variar según sea su manejabilidad
siendo el de el laboratorio muchísimo menor debido al tipo de medidas y elementos sobre
el cual es utilizado y por las condiciones ambientales. Controlando así, que para cierta
medida, según sea la misma, se analiza cuál instrumento debe ser utilizado y aquel cereal
que recoja con mayor exactitud la medición.
Factores que Determinan la Perdida de Exactitud de un Sistema
1) En el diseño y manufactura: diseño que no anticipen las condiciones
ambientales, etc.
2) Durante la instalación: modelos instalados en forma inadecuada para las
condiciones de aplicación, falta de protección de ruido, vibraciones, etc.
3) Durante el uso: operadores no entrenados apropiadamente par el uso y
manipulación del equipo, la lectura incorrecta del instrumento, intérvalos de
confirmación inadecuados, instrumentos utilizados en los límites permisibles
o más allá de sus especificaciones de operación, etc.
4) Durante su reparación o modificación: reparaciones que alteren el
funcionamiento del equipo.
Elementos de un Proceso Eficiente de Medición
El proceso global de la medición incluye los siguientes elementos: instrumento o equipo
de medición, el operador, las condiciones ambientales de la medición, procedimientos de la
medición, la propiedad que está siendo medida y la ejecución adecuada.
XI.-CONFIRMACIÓN METROLÓGICA
Procedimiento desarrollado para garantizar que una o varias características de un
instrumento de medición se encuentra en condiciones de cumplimiento de sus requisitos
técnicos o de cualquier propiedad metrológica. Es un conjunto de preparativos que se
requieren para garantizar que una característica de un equipo de medición se encuentre en
condiciones de cumplir los requisitos (técnicos y metrológicos) de uso al cual está
determinado. La confirmación metrológica garantiza que las mediciones realizadas tengan
exactitud y precisión.
Empresas que necesitan aplicar Confirmación Metrológica:
Empresas tales como laboratorios de ensayos, los laboratorios de calibración y los
proveedores de productos y servicios que han implantado un sistema de calidad ISO 9000
en el cual los resultados de las mediciones efectuadas se utilizan para demostrar
I. Introducción y Conceptos Generales. 46
cumplimiento de requerimientos específicos. Toda empresa que tenga como objetivo lograr
la certificación ISO 9000 tiene que establecer la confirmación Metrológica.
Aspectos de la Confirmación Metrológica:
Abarca aspectos tales como: calibración o verificación de los equipos de medición, el
ajuste o las reparaciones requeridas, la recalibración periódica y el marcaje ( sellado y
rotulación) que se establezca.
Documentación de la Confirmación Metrológica:
Como parte integral del Sistema de Aseguramiento de la calidad debe existir
documentación de los métodos utilizados. La documentación debe ser específica en
relación con:
Qué equipos de medición son objeto de las disposiciones de la normativa.
Asignaciones de las responsabilidades.
Acciones correctivas y preventivas.
Disponibilidad de evidencias objetivas (registros) de que la exactitud de las
mediciones es alcanzada. Debe existir un formato con explicaciones claras y
específicas.
Cuando un equipo es enviado a calibrar y a verificar es necesario que den el certificado
de los procesos que se realizaron, cuál es el equipo que se sometió a dichos procesos, qué
condiciones y qué resultados dieron, quienes hicieron la experiencia, quienes son los
responsables de que el instrumento ha sido sometido a calibración y verificación.
Características de un Sistema de Confirmación Metrológica
Debe establecer y mantener un sistema de documentado eficaz para la administración,
confirmación y uso de los equipos de medición (incluyendo los patrones de
calibración) para demostrar de esta manera el cumplimiento de los requerimiento
establecidos.
Ser diseñado de tal modo que garantice que todo el equipo de medición funcione
según lo planificado, es decir para aquellas mediciones para los cuales son aptos
según sus características.
Debe proveer que se eviten errores superiores a los límites máximos permisibles,
mediante la detección de deficiencias (técnicas metrológicas) y la acción oportuna de
correcciones.
Para cada tipo de equipo de medición debe autorizar un personal calificado como
designado para efectuar las confirmaciones de acuerdo con el sistema y que los
equipos estén en condiciones satisfactorias.
I. Introducción y Conceptos Generales. 47
Debe verificar que los servicios externos contratados también cumplan con los
requisitos hasta el grado necesarios.
La intención de un sistema de confirmación es asegurarse de mantener dentro de límites
aceptables el riesgo de que el equipo de medición produzca resultados que contengan
errores inaceptables. Se recomienda utilizar métodos estadísticos adecuados para analizar
los resultados de las calibraciones hechas anteriormente a manera de evaluar los resultados
de las calibraciones de muchos equipos de medición similares y también para predecir la
incertidumbre acumulativa.
El error atribuible a la calibración debe ser tan pequeño como sea posible. En la
mayoría de las áreas posibles de medición, no debe ser mayor de un tercio y,
preferiblemente, de un décimo del error permisible en el equipo confirmado cuando este se
esté utilizando.
Intervalos de Confirmación Metrológica
Los instrumentos, equipos y patrones de medición deben ser confirmados a intervalos
periódicos adecuados sobre la base de las características petrológicas, la aplicación y su
propósito. El objetivo de contar con un sistema de confirmación es para garantizar que los
equipos no hayan sufrido deterioro en la exactitud y evitar que se utilicen cuando haya una
posibilidad significante de que se produzcan resultados erróneos.
Los intervalos deben ser tales que la confirmación se efectúe de nuevo antes de
cualquier cambio probable de exactitud, que sea relevante en la utilización del equipo
dependiendo de los resultados de las calibraciones en las confirmaciones anteriores, los
intervalos de la confirmación se deben acortar, si es necesario para garantizar la exactitud
en forma permanente.
Los intervalos de confirmación no se deben alargar a menos que los resultados de las
calificaciones en las confirmaciones anteriores suministren indicaciones definitivas de que
esa acción no afectará adversamente a la confianza en la exactitud del equipo de medición.
La confirmación frecuente es costosa, ya que saca de servicio al equipo, lo que origina que
este sea reemplazado o de lugar a una interrupción del trabajo en el cual se estaba
utilizando.
Objetivos de la Calibración Metrológica
Conocer las características petrológicas exactas del instrumento o equipo.
Suministrar los elementos objetivos que permitan asegurar que dichos instrumentos y
equipos de medición responden a las especificaciones técnicas del fabricante.
Factores que Influyen en la Frecuencia de la Calibración
Recomendación del fabricante.
Grado de severidad de la utilización.
I. Introducción y Conceptos Generales. 48
Condiciones ambientales.
Tendencia a la desviación y desgaste.
Registro de los datos de mantenimiento y su preservación.
Exactitud de la medición buscada.
Mientras más se utilice el instrumento debe haber períodos más cortos de calibración.
Métodos De Calibración Metrológica
Ajuste automático o en escalera.
Gráfico de control.
Tiempo calendario.
Tiempo de uso
Servicio o ensayo de caja negra.
XII. APROBACIÓN PARA LOS LABORATORIOS
Objetivos:
Realizar o ensayos e investigaciones necesarias, para fijar las características de los
productos para los cuales se elaboran las normas COVENIN.
Llevar acabo pruebas en los productos objetos de la marca NORVEN.
Cooperar con asistencia técnica en problemas sobre calidad, así como emitir las
certificaciones de inspecciones y ensayos de lotes – CERTIVEN-
Prioridades de Aprobación:
Laboratorios de universidades, institutos oficiales e institutos de investigación.
Laboratorios privados, sin fines de lucro.
Laboratorios de empresas y privados provistos de equipos e instalaciones que no
posean los laboratorios referidos en los dos puntos anteriores.
Es independiente de los sistemas de control de calidad y no juzga sobre la
calidad de los productos de la empresa.
I. Introducción y Conceptos Generales. 49
XIII.-GLOBALIZACIÓN
¿Qué es la Globalización?
La GLOBALIZACIÓN es hoy uno de los temas más delicados a tratar. Aparece en todos
los debates públicos, sean breves comentarios en la televisión y consignas en carteles, sitios
en la red y periódicos versados, debates parlamentarios, directorios de empresas o
asambleas de trabajadores. Curiosamente, tratándose de un término de uso tan extendido,
no existe, al parecer, una definición precisa y ampliamente aceptada. De hecho, la variedad
de significados que se le atribuye pareciera ir en aumento en lugar de reducirse con el paso
del tiempo, y adquiere connotaciones culturales, políticas y de otra índole, además de la
económica. Sin embargo, el concepto más común o básico es globalización económica,
seguramente por el hecho de que en los últimos años ha aumentado vertiginosamente la
parte de las relaciones económicas entre personas de distintos países.
Llamamos globalización al proceso político, económico, social y ecológico que está
teniendo lugar actualmente a nivel planetario, por el cual cada vez existe una mayor
interrelación económica entre unos lugares y otros, por alejados que estén, bajo el control
de las grandes empresas capitalistas, las multinacionales.
Aún siendo un término difícil de definir está determinado por dos variables:
Una se refiere a la globalización de carácter financiero que ha tenido lugar en el
mundo al calor de dos fenómenos: los avances tecnológicos y la apertura de los
mercados de capitales.
¿Qué crea esto? El capitalismo salvaje.
Se trata de un paso más del capitalismo, un sistema que, por otra parte, estaba ya
causando crecientes problemas. Se incrementa la desigualdad a todos los niveles y el medio
ambiente se deteriora con rapidez, a medida que las multinacionales van teniendo más y
más poder. Esto se presenta como un proceso económico inevitable pero no es así. La
globalización no es un fenómeno natural. Es importante darse cuenta de que se trata de un
proceso político dirigido por una minoría a través de determinadas instituciones
internacionales, como el Banco Mundial, el Fondo Monetario Internacional (FMI). Y
también la que fue definida como "la organización política más importante del mundo": la
Organización Mundial de Comercio.
¿Qué ha realizado el FMI?
El FMI ha decidido que existe un mejor destino para las tierras cultivables que dar
alimento a la población local: los mercados de exportación. Así, África y Latinoamérica se
ven obligadas a adaptarse a un mercado mundial para el que deben producir soja, café,
plátanos, flores..., en beneficio de unos pocos, olvidándose de la supervivencia de la gente.
I. Introducción y Conceptos Generales. 50
La población de estos países preferiría seguir produciendo alimentos, pero se les obliga a
transformar su economía por medio de los Planes de Ajuste Estructural.
Y los campesinos expulsados de sus tierras por el neoliberalismo, ¿adonde van?
A agrandar los cinturones de pobreza de las grandes ciudades del Sur. Y muchos a ser
duramente explotados en "zonas de procesamiento de exportaciones" donde trabajan por
salarios de miseria para las multinacionales, las llamadas "maquiladoras".
Así, se demuestra que la globalización en la mayoría de los casos, recae en el aspecto
económico.
La otra globalización, se trata de las transacciones de bienes y servicios que se
realizan a nivel mundial.
En este caso, son los países pobres y los mayores productores de materias primas (que
en muchos casos coinciden) los que reclaman apertura de fronteras, ya que tanto en Estados
Unidos como en la UE existe un fuerte proteccionismo. Muchas ONG de las que se
manifiestan contra la globalización quieren desarrollar el comercio, pero no los capitales.
Se deben tener ciertas observaciones generales acerca de la globalización:
*En primer lugar, es crucial que en un análisis de la globalización se distinga entre
las distintas formas que ésta asume. El comercio internacional, la inversión extranjera
directa y las corrientes del mercado de capitales plantean cuestiones distintas y tienen
consecuencias diferentes: posibles beneficios por un lado, y costos y riesgos por otro, que
requieren evaluaciones y respuestas normativas diferentes. En general, el Banco Mundial se
inclina a favor de una mayor apertura para el comercio porque las evidencias sugieren que
los beneficios en materia de desarrollo económico y reducción de la pobreza tienden a ser
relativamente mayores que los riesgos o costos posibles (aunque también se preste atención
a políticas concretas para atenuar o aliviar esos costos y riesgos).
El Banco es más cauteloso respecto de la liberalización de otras corrientes financieras o
de los mercados de capital, cuya extrema inestabilidad muchas veces puede fomentar ciclos
de auge y quiebra y crisis financieras con enormes costos económicos, como la que sacudió
a los mercados emergentes de Asia oriental y de otras partes del mundo entre 1997 y 1998.
En este aspecto, debe hacerse hincapié en la configuración de instituciones y políticas
internas que reduzcan los riesgos de la crisis financiera antes de emprender una apertura
ordenada y cuidadosamente escalonada de la cuenta de capital.
*En segundo lugar, la medida de participación de los distintos países en la
globalización también dista de ser uniforme. Para muchos de los países menos
desarrollados más pobres, el problema no consiste en que la globalización los empobrezca
sino que se encuentran en peligro de quedar casi totalmente excluidos de ella. En 1997, la
participación de esos países en el comercio mundial era de apenas el 0,4%, proporción
minúscula y equivalente a la mitad de lo que había sido en 1980. Su acceso a las
inversiones extranjeras privadas sigue siendo insignificante. Lejos de condenar a esos
países a que sigan sumidos en el aislamiento y la pobreza, es urgente que la comunidad
internacional les ayude a incorporarse en mayor grado a la economía mundial, brindándoles
I. Introducción y Conceptos Generales. 51
asistencia para ayudarlos a formar las instituciones y las políticas de respaldo necesarias y a
continuar mejorando su acceso a los mercados mundiales.
*En tercer término, es importante que se comprenda que la globalización
económica no es una tendencia totalmente nueva. De hecho, y en un plano básico, ha
sido un aspecto presente en la historia de la humanidad desde las épocas más remotas, a
medida que las comunidades ampliamente esparcidas por el mundo fueron estableciendo
relaciones económicas cada vez más amplias y complejas. En la era moderna, la
globalización tuvo un florecimiento temprano hacia fines del siglo XIX, que abarcó a los
países que hoy día son ricos o desarrollados, para muchos de los cuales las corrientes de
comercio y capitales en relación con el PIB llegaron a ser similares o superiores a las que
registran en la actualidad. Ese apogeo de la globalización declinó en la primera mitad del
siglo XX, época que se caracterizó por el aumento del proteccionismo dentro de un marco
de contiendas nacionales y entre las grandes potencias, guerras mundiales, revoluciones,
auge de las ideologías autoritarias y vasta inestabilidad económica y política. En los últimos
50 años reapareció la tendencia hacia una mayor globalización. Las relaciones
internacionales han sido más tranquilas (por lo menos en comparación con la primera mitad
del siglo), respaldadas por la creación y la consolidación del sistema de las Naciones
Unidas como medio para la solución pacífica de las diferencias políticas entre los Estados,
que ofrece una estructura normativa para que los países administren sus políticas
comerciales. El fin del colonialismo incorporó numerosos actores nuevos e independientes
a la escena mundial, limpiando al mismo tiempo una mácula vergonzosa asociada al
anterior proceso de globalización del siglo XIX.
La globalización da miedo también porque es vista como una supresión de la identidad
local. La desigualdad es hoy mayor que nunca. El 80 % de la población cuenta con menos
del 20% de los ingresos, pero es que además, los pueblos que mantenían cierta calidad de
vida sin apenas necesidad de dinero (campesinos autosuficientes, indígenas...) están
perdiendo sus modos de vida, expulsados de sus tierras por grandes empresas,
terratenientes, o por la "invisible" mano del mercado. 800 millones de personas pasan
hambre. El progreso tecnológico, con su consiguiente reducción del costo del transporte y
las comunicaciones entre los países, también ha brindado impulso a la globalización. La
caída radical del costo de las telecomunicaciones y del procesamiento, acopio y transmisión
de la información, facilita enormemente la detección y el aprovechamiento de
oportunidades comerciales alrededor del mundo, la coordinación de las operaciones en
sitios distantes o las transacciones por línea que comprenden servicios que antes no podían
comercializase a escala internacional.
Finalmente, y en estas circunstancias, quizá no sea sorprendente que a veces se use el
término "globalización" en un sentido económico mucho más amplio, como otro nombre
del capitalismo o de la economía de mercado, pero esto no es de mucha ayuda.
Globalización junto con algunas de sus características fundamentales, como la producción
en manos de empresas privadas con fines de lucro, redistribución frecuente de los recursos
de acuerdo con los cambios de la oferta y la demanda y cambios tecnológicos rápidos e
imprevisibles. Es importante, por cierto, el análisis de los aspectos positivos y las
deficiencias de la economía de mercado como tal, así como una mejor comprensión de las
I. Introducción y Conceptos Generales. 52
instituciones y políticas necesarias para que su funcionamiento sea mejor. Además, las
sociedades deben ponderar cuidadosamente la mejor forma de tratar las consecuencias del
rápido cambio tecnológico, pero poco se gana confundiendo estos aspectos distintos
(aunque relacionados) con la globalización económica en su sentido básico, que es la
ampliación de las relaciones económicas a través de las fronteras.
La apertura y la sinceridad constituyen la mejor forma de considerar los cambios que
determina la integración internacional de los mercados de bienes, servicios y capital. Como
se indica en esta reseña informativa, la globalización ofrece oportunidades pero también
entraña riesgos. Las autoridades internacionales, nacionales y locales, al mismo tiempo que
aprovechan las oportunidades de aumentar el crecimiento económico y mejorar las
condiciones de vida que brinda una mayor apertura, también se ven ante la exigencia de
reducir los riesgos para los pobres, los vulnerables y los marginados y de incrementar la
equidad y la inclusión.
Si bien a escala mundial la pobreza disminuye, puede haber aumentos regionales o
sectoriales que exigen la atención de la sociedad. Durante el siglo pasado, las fuerzas de la
globalización, entre otras, coadyuvaron a un mejoramiento impresionante del bienestar
social, que incluyó el rescate de millones de personas de la opresión de la pobreza. Con
vistas al futuro, esas fuerzas pueden seguir rindiendo grandes beneficios para los pobres,
pero la magnitud de esos beneficios también dependerá decisivamente de factores como la
calidad de las políticas macroeconómicas globales, el funcionamiento de las instituciones,
tanto formales como informales, la estructura de activos existente y la disponibilidad de
recursos, entre muchas otras. Para llegar a la definición de métodos justos y viables de
atención a estas necesidades humanas por demás reales, los gobiernos deben escuchar las
voces de todos sus ciudadanos.
¿Ha aumentado la desigualdad entre países debido a la globalización?
En los decenios recientes la distribución del ingreso per cápita entre los países se ha
tornado más desigual. Por ejemplo, en 1960 el promedio de Producto Interno Bruto per
cápita de los 20 países más ricos del mundo era 15 veces mayor que el de los 20 países más
pobres. Hoy día, la brecha se ha ensanchado hasta llegar a 30 veces, puesto que, en
promedio, los países ricos crecen a ritmo más acelerado que los pobres. De hecho, el
ingreso per cápita en los 20 países más pobres poco ha variado desde 1960 y ha disminuido
en varios. Sin embargo, no es probable que la mayor apertura comercial explique el hecho
de que el crecimiento promedio de los países pobres sea más lento que el de los ricos
puesto que, como ya se mencionó, la apertura impulsa el aumento de los ingresos, y no su
disminución. Al contrario, hay ciertos indicios de que la mayor apertura comercial ha
tendido a reducir la desigualdad entre los países. Se ha observado que, si bien el
crecimiento promedio de los países ricos es más rápido que el de los pobres, cuando éstos
se han abierto al comercio han crecido ligeramente más rápido que los ricos y con mucha
mayor celeridad que los países pobres que han permanecido enclaustrados.
También puede ajustarse la información acerca de la distribución del ingreso en distintos
países, para tomar en cuenta las diferencias en materia de población. Esto es importante
I. Introducción y Conceptos Generales. 53
porque algunos países pobres con población muy numerosa (China, Indonesia) han crecido
con suma rapidez. Por consiguiente, el nivel relativo de grandes grupos de personas en los
países en desarrollo ha mejorado, aunque haya declinado la situación relativa de muchos
países. La distribución del ingreso entre los países, ajustada conforme a la población,
muestra pocas variaciones significativas durante los dos decenios anteriores: algunos
estudios muestran aumentos modestos de la desigualdad y otros, ligeras disminuciones.
La Globalización como Fenómeno desde el Punto
de Vista de la Metrología
Desde este punto de vista, se puede decir que la globalización es una controversia entre
las barreras aduanales y las barreras tecnológicas que imponen los países a los países
exportadores, para toda clase de productos, teniendo en cuenta que todo s los países
importan y exportan artículos de todo tipo en diferentes proporciones.
Para proteger los mercados internos, a principio de la era industrial los países menos
desarrollados imponían grandes aranceles a los exportadores, de ésta forma se obligaba a
comprar productos nacionales, los cuales, la mayoría de las veces como estaban destinados
al consumo interno, eran de poca calidad. Esto permitió al país importador poder
desarrollar su parque industrial pero sin poder competir en calidad con los productos
realizados en los países más industrializados.
Pero poco a poco esto fue cambiando. El caso más representativo se da con la guerra
económica que se dio entre Japón y Estados Unidos. Mientras que los japoneses producían
en masa, con calidad y a menores precios para introducirse en el mercado norteamericano,
este último aumentaba los aranceles aduanales, para contrarrestarlos los japoneses bajaban
aún más los precios sin disminuir la calidad, hasta que las barreras arancelarias se hicieron
insostenibles y los japoneses vencieron, entrando y siendo aceptados por el exigente
mercado norteamericano. De nada sirvió la propaganda ―compra hecha en América‖ contra
el nivel de calidad japonesa. Entonces surge una nueva barrera mucho más difícil de
derribar que las del dinero: las barreras tecnológicas.
En ese momento, el diseño de normas de calidad, permitió ponerle frenos a los
productos que venían de Europa y Japón, pero estos no se quedaron quietos. También ellos
diseñaron sus propias normas de calidad internas para proteger sus mercados y optimizar su
producción de manera que pudieran competir con Norteamérica.
Lo que permite el desarrollo y aplicación de estas normas, es la puesta en marcha de
programas para la optimización y modernización de los laboratorios de metrología
existentes, y la construcción de nuevos laboratorios. En el mapa de la siguiente página se
muestran los principales laboratorios de metrología del mundo, agrupados en asociaciones.
Estas asociaciones de laboratorios son las que desarrollan estas normas, e investigan
constantemente para aumentar la precisión en sus labores y con esto, aumentar los
estándares de calidad. De esta forma, si un país desea exportar algún producto a otro país,
debe cumplir con las normas internas de este.
I. Introducción y Conceptos Generales. 54
Ahora bien, es aquí donde se hace importante el desarrollo de la metrología. Cuando un
país no desarrolla sus propias normas y estas no tienen la calidad requerida, cualquier
producto de pobre calidad puede entrar en el mercado interno y no habrá leyes que lo
detengan. Es por es que para proteger los mercados internos y desarrollar la industria y la
calidad es necesario modernizar, desarrollar e investigar en metrología ya que esto
permitirá establecer las barreras tecnológicas necesarias para proteger los mercados
internos y competir con calidad en el ámbito internacional.
I. Introducción y Conceptos Generales. 55
I. Introducción y Conceptos Generales. 56
¿Qué ha Sucedido en Venezuela con la Globalización?
¿Qué ha Pasado Antes y Después de la Crisis?
Venezuela no escapa al fenómeno de la globalización. Pero se puede decir que la
historia reciente de nuestra industria nacional se divide en: antes y después del viernes
negro.
Antes de esta crisis el sector productivo presentaba las siguientes características.
Insumos: Existían altos inventarios en las empresas, existía un tipo de cambio fijo (4.30
Bs. por cada $) una inflación moderada, los precios no subían tanto en el tiempo, lo cual
fomentaba indirectamente el ahorro y por último existían muchos proveedores.
Empresas: Lo anterior se deriva de la sobreproducción existente en las empresas, lo
cual implicaba una baja productividad interna. Existía una resistencia a realizar cambios
internos en las industrias, a la modernización y a la diversificación de la producción. Lo
anterior se reflejaba en la baja calidad de los productos nacionales.
Mercado: El mercado nacional era un mercado domestico, la mayoría de los productos
estaban dirigidos al hogar, muy poco era el comercio Inter-industrial ya que estas adquirían
sus insumos generalmente en el exterior. Existía una competencia limitada; lo monopolios
y digopolios dominaban el mercado. Además estaban presentes las altas barreras aduanales
que, aunque a veces lograba proteger el mercado interno, no eran aprovechadas para
desarrollar y fortalecer las industrias y el mercado nacional. Este período podríamos
denominarlo ―el período de las vacas gordas‖. Mucha abundancia pero poco desarrollo
interno. Esto último se pago muy caro con la llegada del viernes negro, cuando se hizo
insostenible el subsidio otorgado por el estado a las divisas.
I. Introducción y Conceptos Generales. 57
Las consecuencias que trajo al mercado interno fueron:
Insumos: El tipo de cambio variable originó una disminución del poder adquisitivo
del venezolano, ya no compra lo mismo ni la misma cantidad que antes. El alza en la
inflación hace muy volátiles los precios, lo que provocó una disminución en el ahorro: es
preferible comprar las cosas hoy que esperar a que dentro de un mes estén 10, 20 ó 30 %
más costosas. La disminución de las compras provoca despidos masivos y grandes
presiones laborales, ya el venezolano no trabaja, y sobre todo, no duerme tranquilo.
Mercado: Sigue siendo un mercado domestico pero restringido, ya la gente no
compra como antes y esta exigiendo calidad para comprar. La reducción de las barreras
aduanales permite la entrada de Venezuela a los mercados globales pero no como un país
con un equilibrio entre la importación y la exportación sino como un país netamente
importador.
Empresas: Una gran interrogante. Muchas empresas cierran sus puertas debido a
que no pueden sobrevivir en un mercado que exige cambios constantes y la búsqueda de la
calidad. Solo las empresas fuertes y de mentes abiertas a los cambios, a la modernización y
a la búsqueda de la calidad se mantienen en pie.
Es período que aún transitamos, es ―el período de las vacas flacas‖, pero a
diferencia del relato bíblico no guardamos el trigo y estamos sufriendo las consecuencias.
Solo mejores políticas de inversión nacional y la atracción del capital extranjero nos sacará
de este período de depresión.
I. Introducción y Conceptos Generales. 58
II. Instrumentos de Medición. 59
UNIDAD II.
INSTRUMENTOS DE MEDICION
CALIBRE O PIE DE REY
El calibre es el instrumento de medida lineal que más se utiliza en el taller. Por medio
del pie de rey se pueden controlar medidas de longitud externa, interna y de profundidad.
La precisión del calibre es entre 1/10, 1/20 y 1/50 de mm.
Para comenzar familiarizándonos con los calibres, vemos en la figura II-1 uno de éstos
instrumentos de medida con las partes más importantes del mismo, que más adelante
detallaremos; éste es el prototipo de calibre que se usa en cualquier taller para realizar las
medidas habituales de las piezas mecanizadas.
Figura II-1. Calibre Pie de Rey
La evolución de estos instrumentos de medida la podemos comprobar en la figura II-2,
donde tenemos otro calibre al que se le incorporado una especie de reloj para facilitar la
medida; la aguja de este reloj nos indica la medida que hay entre milímetro y milímetro
pero no indica el número de milímetros que tiene la abertura del calibre y hay que recurrir a
la forma de medida tradicional que después explicaremos. También vemos en la figura 8 un
calibre con lectura digital; ésta ya es una lectura directa y con bastante precisión,
simplemente tenemos que realizar la medida y leer en la pan talla digital.
II. Instrumentos de Medición. 60
Figura II-2. Calibres con Reloj y Digital
Pasamos a definir las partes del calibre y su situación en la figura II-3, que son las
siguientes: a) Cuerpo del calibre; b) Corredera; c) Puntas para la medida externa; d) Puntas
para la medida interna; e) Varilla para medir la profundidad; f) Escala graduada en
milímetros; g) Escala graduada en pulgadas; h) Graduación del nonios en pulgadas; i)
Graduación del nonios en milímetros; j) Pulsador para el blocaje del cursor (en algunos
calibres es sustituido por un tornillo); m) Embocadura de las puntas para la medida de
ranuras, roscas, etc.; n) Embocadura de la varilla de profundidad para penetrar en agujeros
pequeños; o) Tornillos para fijar la pletina que sirve de tope para el cursor, y p) Tornillo
para corregir eventuales errores de paralelismo de las puntas de medida.
Figura II-3. Partes de un Calibre
II. Instrumentos de Medición. 61
En el reverso del calibre se encuentran impresas algunas tablas de utilidad práctica en el
taller, como la medida del diámetro del agujero para roscar.
El material con que se construyen los calibres es generalmente acero inoxidable, que
posee una gran resistencia a la deformabilidad y al desgaste.
El nonios representa la característica principal del calibre, ya que es en el que se
efectúan las medidas con aproximaciones inferiores al milímetro.
La graduación señalada en el cuerpo del calibre, y entre marcas, representa un
milímetro, como si de una regla normal se tratara.
La graduación marcada en el nonios del cursor posee diez marcas que están subdivididas
en partes iguales en una longitud de 9 mm. Así pues, la distancia entre dos marcas
consecutivas del nonios es de 9/10 de mm (9: 10 - 0,9 mm).
Para facilitar la lectura, la mayor parte de los pie de rey están dotados de un nonios
doble dividido en 10 partes en una longitud de 19 mm, en vez de 9 mm. El principio de
lectura y la aproximación no varían, varía tan sólo la visibilidad del trazo inciso sobre el
nonios, por que al estar más distanciada es la que facilita la lectura.
El calibre más preciso es el que se caracteriza por tener el nonios dividido en 50 partes,
en una longitud de 49 mm. La distancia, pues, entre dos divisiones del nonios del cursor
resulta 0,98 mm, o sea: 49: 50 - 0,98. El calibre cerrado, el cero del nonios, corresponde al
cero de la escala fija del cuerpo y, en esta posición, la división 50 coincide con la 49 de la
escala fija. Si situamos el cursor de manera que coincida la primera división del nonios con
la primera división de la escala fija, la abertura del calibre es de 0,02 mm, o sea: 1 - 0,98’ =
0,02 mm.
La más pequeña medida de un calibre centesimal, es decir, la aproximación mínima, es
de 0,02 mm, o sea: 1/50 mm.
En general, el calibre centesimal difiere de los otros calibres menos precisos por su
precisión y por alguna particularidad constructiva. Veamos estas diferencias:
Tornillo de fijación del cursor.
Tornillo de fijación del segundo cursor.
Botón de maniobra del tornillo micrométrico.
Extremidad de las puntas, que son de medida exacta (5 mm para pie de rey
pequeños y 10 mm para los grandes, como 500 mm).
Nonios centesimal.
Tornillo micrométrico.
Estos tipos de calibres son los que usan normalmente los torneros, ya que las puntas al
estar redondeadas con un radio aseguran un perfecto contacto con la superficie interna del
agujero.
II. Instrumentos de Medición. 62
Aplicaciones de los calibres
Las posibilidades del calibre como instrumento de medida son múltiples, como se puede
comprobar en la figura II-4, en la que especificamos todas las formas de manejo es estos
instrumentos:
Medida de exteriores, sean planos o cilíndricos.
Medida de cajeados interiores con las orejas del calibre.
Medida de la profundidad de una caja o un fondo con la sonda del calibre.
Medida de puntos estrechos donde entran las partes delgadas del calibre.
Trazado con la regla.
Medida de diámetro en piezas/tubos cilíndricos, tanto exteriores como interiores.
Marcado de un punto central.
Figura II-4. Aplicaciones de los Calibres.
Calibres especiales
Algunas variaciones del calibre han dado como resultado otros tipos de calibre con
funciones más específicas. En la figura II-5 podemos ver estos tipos de calibre que
adquieren nombres propios dependiendo de la función específica que realicen. En el
apartado a) de esta figura podemos ver una sonda de profundidad que su función es la de
II. Instrumentos de Medición. 63
medir la profundidad de una caja o similar, con una base de asiento mucho mejor que la de
un calibre universal y mejor precisión de medida.
En el apartado b) de la misma figura vemos un calibre de pie o de altura que apoyándolo
encima de una pieza, la punta, nos da la altura calibrada, pero su función principal es la de
marcar piezas rayándolas con la punta a la altura que fijemos con referencia a la mesa
donde se apoya.
Figura II-5. Calibres Especiales; sonda de profundidad, calibre de altura.
Calibres de altura van montados de forma rígida sobre una base. Estos calibres,
denominados calibres verticales, pueden venir montados con una punta trazadora; en este
caso se denominan gramiles por realizar la misma función de trazado. Estos calibres están
montados y realizados de manera que la distancia entre la punta de medida o trazante y el
plano de referencia corresponde a la distancia entre el cero del nonios y el cero de la escala
del cuerpo fijo.
En la figura II-6 vemos la forma de cómo un calibre de altura es utilizado como gramil
para trazar en una pieza (p) una cota (h).
Sobre el plano de referencia (a) se pone un bloque patrón (b) cuya altura debe ser igual a
la cota (h) a trazar.
La punta trazante (c) está desfasada respecto de la pata (d) por un valor equivalente a la
distancia entre el plano de referencia (a) y el plano de apoyo (e) de la pieza y del soporte
del trazador (plano de referencia). El valor de la medida (h) puede ser leído en el calibre
dotado de nonios centesimal.
II. Instrumentos de Medición. 64
Figura II-6. Forma de utilizar un Calibre de altura de gramil
MICRÓMETROS
El micrómetro, también llamado pálmer, es un instrumento superior al calibre en lo que
se refiere a precisión, pero mucho menos versátil.
En la figura II-7 vemos el formato exterior de los micrómetros. Como se puede apreciar
en esta figura los micrómetros, al igual que los calibres, han evolucionado con la
incorporación de pantallas digitales, que nos ofrecen una lectura directa y precisa.
II. Instrumentos de Medición. 65
Figura II-7. Formato exterior de los Micrómetros
Las partes fundamentales de un micrómetro las podemos ver en la figura II-8, y son las
siguientes: a) Arco de herradura; b) Punto fijo plano; c) Eje móvil, cuya punta es plana y
paralela al punto fijo; d) Cuerpo graduado sobre el que está marcada una escala lineal
graduada en mm y 1/2 mm; e) Tornillo solidario al eje móvil; f) Tambor graduado; g)
Dispositivo de blocaje, que sirve para fijar el eje móvil en una medida patrón y poder
utilizar el micrómetro de calibre pasa, no pasa, y h) Embrague. Este dispositivo consta de
una rueda moleteada que actúa por fricción. Sirve para impedir que la presión del eje móvil
sobre la pieza supere el valor de 1 kg/cm ya que una excesiva presión contra la pieza pueda
dar lugar a medidas erróneas.
Figura II-8. Partes esenciales de un micrómetro.
Este instrumento de medida está formado por un eje móvil con una parte roscada al
extremo de la cual va montado un tambor graduado; haciendo girar el tambor graduado, se
obtiene el movimiento del tornillo micrométrico, y por consiguiente el eje móvil que va a
apretar la pieza contra el punto plano, sobre la parte fija, que está solidaria al arco, va
marcada la escala lineal graduada en milímetros.
Para realizar la lectura del micrómetro, éste dispone de dos graduaciones: una para los
milímetros y otra para centésimas de milímetro.
La rosca del tornillo micrométrico tiene un paso de 0,5 mm. Por tanto, con un giro
completo del tornillo, el tambor graduado avanza o retrocede 0,5 mm.
La extremidad cónica del tambor está dividida en 50 partes de otra graduación. Por
tanto, la apreciación se hace en este caso dividiendo el paso entre 50 partes; sería: 0,5: 50 =
0,01 mm. Girando el tambor el cuerpo graduado en centésimas, el eje móvil y el embrague
van corriendo por la escala graduada fija. El milímetro y el medio milímetro se leen sobre
la graduación lineal fija que está en correspondencia con la graduación de la parte cónica
del tambor graduado.
II. Instrumentos de Medición. 66
Variantes del micrómetro
Los micrómetros se han adaptado a las distintas necesidades de medida (en la figura II-9
podemos ver tres tipos diferentes). El micrómetro representado como a) en la figura II-9 es
un instrumento digital para medidas mucho mayores que los vistos anteriormente
(compruebe que tiene una barra metálica que se utiliza como patrón de medida). El
apartado b) muestra un micrómetro especializado para medida de ranuras o zonas
inaccesibles que posibilitan estas puntas estrechas. Por último, el apartado c) nos muestra
un pálmer de punta en forma de plato que es especial para medir distancias de pasos de
dientes en piñones, usillos, etc.
Figura II-9. Micrómetros especiales para medir largas longitudes (a), ranuras (b) y piñones
(c)
Sonda micrométrica o micrómetro de profundidad
En la figura II-10 tenemos un conjunto de sondas micrométricas: una con sistema de
lectura digital y otra con sistema tradicional; por último, vemos un esquema numerado para
pro ceder a la explicación de la misma.
La función de la soda de profundidad es comprobar la medida de la profundidad de
agujeros, acanaladuras, etc. Se diferencia del micrómetro para medidas externas en que se
sustituye el arco por un puente aplicado a la cabeza del micrómetro. El campo de medida de
este instrumento es de 25 mm y su aproximación es de 0,01 mm. Las partes fundamentales
II. Instrumentos de Medición. 67
son: a) Puente de acero (la anchura puede variar de 50 a 100 mm); b) Plano de apoyo; c)
Eje móvil; d) Dispositivo de blocaje; e) Cuerpo graduado, y f) Tambor graduado.
Para aumentar la capacidad de lectura, el micrómetro de profundidad dispone de unos
ejes de medidas variables que son intercambiables. En esta misma figura se indica un
ejemplo de medida con micrómetro de profundidad.
Figura II-10. Sonda de Profundidad
Micrómetro con contacto expansible
Su función es la medida de taladros de gran tamaño. La medida es efectuada por tres
cabezas situadas a 120°, que se expanden simétrica mente al ser empujadas o retraídas por
un cono roscado, fijo al eje y mandado por el botón.
La lectura se efectúa sobre el cuerpo y sobre el tambor, graduados, y de análoga manera
que en el micrómetro normal. Algunos modelos tienen otros nonios que poseen
aproximaciones de 0,005, 0,002 ó 0,001 mm. Los micrómetros con contacto expansible son
los más adecuados para la verificación de todo tipo de agujeros, ya que el apoyo de las tres
patas determina el plano de lectura (en la figura II-11 vemos unos micrómetros expansibles
y, entre ellos, uno de lectura directa por pantalla digital).
II. Instrumentos de Medición. 68
Figura II-11. Micrómetros para interiores cilíndricos
Micrómetro de patas
Este micrómetro está diseñado para medida de interiores (las patas de medida son
similares a las de un calibre). Este tipo de instrumento es particularmente indicado cuando
se deben medir agujeros con dimensiones bastante pequeñas, mínimo 5 mm. Una de las
patas es fija, mientras la otra se mueve haciendo girar el tambor del micrómetro, siendo
solidaria al tornillo micrométrico.
Micrómetro para interiores
Este micrómetro es un poco distinto a los anteriores en lo que se refiere al aspecto
exterior, pero bastante similar en cuanto al resto. El micrómetro para interiores sirve para
medir el diámetro del agujero y otras cotas internas superiores a 50 mm. Está formado por
una cabeza micrométrica sobre la que pueden ser montados uno o más ejes combinables de
prolongación. En la figura II-12 mostramos un esquema con las partes principales del
instrumento: a) Tambor graduado; b) Cuerpo graduado; c) Tornillo micrométrico; d)
Dispositivo de blocaje; e) Punta fija de la cabeza, micrométrica; Primer tubo de
prolongación, atornillado directamente sobre la cabeza; g) Eje que se atornilla por el
interior del primer tubo de prolongación; h) Segundo tubo de prolongación atornillado
sobre el primer tubo; i) Eje atornillado por el interior al primer tubo; 1) Extremidad
esférica, y m) Extremidad plana.
Los ejes combinables están contenidos dentro de tubos de prolongación que,
oportunamente acoplados, pueden efectuar múltiples combinaciones. Con el tambor
completamente abierto la cabeza da una longitud de 50 mm.
El campo de medida es de cerca de 13 mm. Con sólo la cabeza del micrómetro pueden,
por tanto, efectuarse medidas comprendidas entre 50 y 63 mm. Para ampliar las medidas se
pueden utilizar uno o más ejes de prolongación. Un conjunto completo está constituido por
cinco ejes, cuyas medidas son: 1 3, 25, 50, 100 y 150 mm. Combinando los ejes de
II. Instrumentos de Medición. 69
diferentes maneras puede medirse cualquier distancia comprendida entre 50 y 400 mm.
Para medidas superiores a 400 mm hacen falta ejes suplementarios de 200 mm. En esta
misma figura mostramos la aplicación de una medida efectuada sobre dos paredes, que bien
puede ser la de un taladro.
Figura II-12. Micrómetro de Interiores.
TRANSPORTADOR DE ÁNGULOS O GONIÓMETRO
La función de un goniómetro es la de medir el ángulo de una pieza, o en el papel, etc.; el
funcionamiento básico de un goniómetro es sobreponerse o adaptarse al ángulo a medir, y
en este aparato graduado comparar la medida del original. En la figura II-13 vemos un
transportador de ángulos para dibujar y otro que se utiliza en la mecánica para la medida de
piezas tridimensionales. El goniómetro mecánico es un instrumento de medida de ángulos
con aproximaciones inferiores a 10; la aproximación del nonios es de 5’, aproximadamente.
Figura II-13. Transportador de ángulos: a) de delineación; b) mecánico.
II. Instrumentos de Medición. 70
Está formado por las siguientes partes, que podemos identificar en la el esquema de la
figura II-14:
Escuadra fija (a) solidaria al disco graduado (b). La superficie (a constituye el
apoyo principal fijo del instrumento sobre la pieza y la superficie (a es
perpendicular a la principal y se utiliza sólo en casos particulares como superficie
auxiliar de apoyo.
Disco graduado (b). La graduación del disco tiene el valor cero en dos posiciones
diametralmente opuestas. En cualesquiera de estas posiciones la escala crece en los
dos sentidos hasta 900.
Disco móvil (c) con nonios graduado y coaxial al disco graduado (b).
Regla (d), con una acanaladura central que le sirve para deslizarse por el soporte
(e); una extremidad de la regla está inclinada a 45° y la otra a 60°.
Soporte (e) de la regla solidaria al disco (b y c) mediante un perno.
Tornillo (f) con excéntrica para fijar en cualquier posición la regla móvil.
Tornillo (g) de blocaje del soporte (e) al disco (b y c).
Nonios (h) atornillado al disco móvil (c).
La medida del ángulo se realiza sobre el nonios una vez ajustado en la pieza que
deseamos verificar. Los grados son dados por el número de divisiones comprendidas entre
el cero de la escala fija y el cero del nonios.
Los minutos están indicados por el número de divisiones del nonios que resultan
comprendidas entre el cero y la división del nonios que coincide exactamente con cualquier
división del disco externo, teniendo presente la dirección de la lectura.
Cuando el cero del nonios coincide con una división del disco graduado, el valor del
grado es entero.
En ángulo se lee partiendo del cero del disco graduado en dirección a los 90°, teniendo
presente la dirección de la lectura. Cuando el cero del nonios no coincide con una división
de la escala fija, el valor del ángulo está expresado en grados y fracción de grado (múltiplo
de 5’).
El sentido de la lectura del goniómetro se encuentra dado por la posición que ocupa el
cero del nonios. Cuando el cero del nonios se encuentra a la izquierda del cero de la escala
fija, la lectura será hacia la izquierda, o sea, considerando la parte del nonios a la izquierda
del cero. Cuando el cero del nonios está a la derecha del cero de la escala fija, la lectura
será hacia la derecha, o sea, considerando la parte del nonios a la derecha del cero.
Con un goniómetro se pueden medir ángulos de todo tipo (agudos y obtuso). En el
ángulo agudo el valor viene leído directamente sobre el disco graduado. En el caso de que
la medida del ángulo no sea entera, la fracción de grado se leerá según la dirección del
número entero de grado.
II. Instrumentos de Medición. 71
La dirección de lectura puede ser a derecha o izquierda del cero, según la disposición del
goniómetro respecto a la pieza. En ángulos obtusos, ya que las cuatro escalas del
goniómetro están graduadas de 0º a 90º, no es posible leer directamente el valor del ángulo.
Lo que se lee directamente es el ángulo suplementario (a). El valor del ángulo obtuso (β)
será, pues, calculado restando el ángulo suplementario (a) del ángulo plano. O sea:
β = 180º - α.
Figura II-14. Partes del Goniómetro
MESA DE SENOS
La mesa de senos es un útil para la medida de los ángulos. Es utilizado para el control de
la inclinación y del ángulo de algunas piezas con una precisión aproximada de 10‖.
En la figura II-15 vemos una mesa de senos que consta de una mesa (t) que puede girar
al rededor de un perno (a) fijado a la base (f) del útil. En la extremidad opuesta de la mesa
se encuentra otro perno (b) de apoyo. Las diversas inclinaciones de la mesa se obtienen
situando el perno (b) a las diversas alturas (h) mediante uno o más bloques patrón (c).
Atornillando luego la tuerca del fijador (s), se bloquea la mesa.
La distancia (d) entre el eje del perno de rotación y el de apoyo es una característica
precisa de este útil. Los tipos más comunes de barra o regla de senos tienen una distancia
entre ejes de 50, 100,150,200 y 300 mm.
La pieza (p) puede estar sujeta por medio de mordazas o directamente sujeta a la mesa
con bridas.
Con la aplicación de un simple cálculo trigonométrico al triángulo rectángulo (uvz) y
midiendo directamente la altura (h) de la pila de bloques patrón, se obtiene el ángulo (alfa)
deseado. O sea: h = d x sen α.
En esta misma figura vemos el sistema de control de un ángulo mediante la mesa de
senos.
II. Instrumentos de Medición. 72
Figura II-15. Mesa de Senos
GALGAS O CALAS PATRÓN
Las galgas o calas patrón son unos bloques prismáticos de un acero especial con dos
caras opuestas perfectamente planas y paralelas, que conforman la superficie de medida.
La función de estas galgas es servir de calibre patrón para calibrar medidas
determinadas. Son muy empleadas para la medida de ranuras o chavetas, por ejemplo, por
su facilidad de componer medidas determinadas. Los bloques se acoplan fácilmente entre
sí.
Se limpia primero la grasa que cubre las superficies y después se deslizan la una sobre la
otra de forma perpendicular, como vemos en la figura II-16, y luego girando, de manera
que se haga desaparecer la lámina de aire comprendida entre ambas superficies. La
adherencia es muy grande (al parecer es debida al fenómeno de «atracción molecular»).
Esta atracción reduciría por contracción las dimensiones de un grupo de bloques o piezas
II. Instrumentos de Medición. 73
apiladas si no existiese la fina película de lubrificante (espesor aproximado 0,00002 mm)
que siempre separa las superficies de unión.
Sus características principales son su fiabilidad de espesor constante en cualquier punto
de la superficie de medida, cuya dimensión nominal viene grabada en una de sus caras. La
elaboración y el tratamiento especial a que están sometidos los bloques aseguran una
elevadísima precisión milesimal y unas características geométricas de planitud y
paralelismo tales que, sobreponiendo bloques de varios espesores, se puede realizar
cualquier cota con una aproximación inferior del orden de 0,001 mm. El material que se
emplea para la fabricación de los bloques es un acero de alto contenido en carbono,
templado, revenido y estabilizado para eliminar las tensiones internas. Este acero puede
contener diversos porcentajes de materiales, como cromo, manganeso, silicio, vanadio y
tungsteno.
Se comercializan en cajas que contienen los siguientes:
1 bloque de 1,0005 mm.
9 bloques de 1,001 a 1,009 (progresan 0,001).
49 bloques de 1,01 a 1,49 (progresan 0,01).
19 bloques de 0,5 a 9,5 (progresan 0,5).
10 bloques de 10 a 100 (progresan 10).
En esta misma figura vemos una caja de galgas completa.
Figura II-16. Galgas Patrón.
II. Instrumentos de Medición. 74
CALIBRES FIJOS
Los calibres fijos tienen la misma función que las calas, pero aplicaciones determinadas
de estos instrumentos son utilizados para el control, sobre todo, de piezas producidas en
serie. Tienen formas y dimensiones determinadas y son necesarios para un control rápido.
Estos calibres no miden la cota de una pieza, pero sí es posible establecer que la cota a
controlar esté comprendida dentro del campo de tolerancia asignado. La forma y la
dimensión del calibre deben ser muy precisas, ya que son para controlar piezas que pueden
tener tolerancias muy estrictas.
Respecto a los instrumentos de medida di recta, el calibre fijo es más simple y su
rendimiento es mucho más rápido para el control de las dimensiones de la pieza. Al mismo
tiempo se evita el error de medida, aunque tienen el inconveniente de que sólo sirven para
un tipo de control y una sola dimensión. Por esta razón son utilizados para el control y
verificación de piezas producidas en serie.
La forma de los calibres es complementaria de la forma de la pieza a controlar; así pues,
se adapta a la forma de la pieza para poder efectuar el control dimensional requerido. Por
ejemplo, un calibre para el control de un agujero tendrá forma cilíndrica o de tampón; el
calibre para el control de un eje tendrá forma de herradura, y el calibre para el control de
roscas será roscado.
Los principales tipos de calibres son:
Calibres para ejes.
Calibres para agujeros.
Calibres para piezas cónicas.
Calibres para ejes acanalados
Calibres para roscas externas e internas
A los calibres fijos se les aplica un tratamiento térmico, al igual que las galgas, a fin de
aumentar su dureza y resistencia al rozamiento, son estabilizados para evitar que con el
tiempo aparezcan deformaciones y éstas provoquen variaciones dimensionales.
Para aumentar la resistencia al rozamiento del calibre, sobre todo cuando está destinado
a efectuar una larga serie de controles, la superficie está recubierta de metal duro, carburos
sintetizados, etc.
Con respecto a su utilización los calibres fijos los podemos clasificar en tres grupos:
1. Calibres de trabajo. Son los que se utilizan en el taller para verificar las
dimensiones de las piezas en fase de trabajo. Como se usan con cierta frecuencia,
deben revisarse periódicamente.
2. Calibres de verificación. Son los que se utilizan en la fase de verificación y antes
de que la pieza salga al mercado. Son más precisos que los anteriores y menos
sujetos a problemas de desgaste.
II. Instrumentos de Medición. 75
3. Calibres de patrón. Son aquellos que se utilizan para controlar periódicamente los
calibres de taller y de verificación. Como se fabrican con tolerancias más estrictas
que los anteriores, son más costosos y delicados.
Calibres fijos para ejes
Los calibres para ejes sirven para controlar el diámetro de piezas cilíndricas (ejes), más
en ciertos casos pueden ser utilizados para el control de piezas prismáticas. La figura II-17
ilustra los tipos principales de calibres fijos para ejes.
Calibre simple de anillo (a).
Calibre diferencial de herradura tipo «pasa no pasa» (b).
Calibre simple de herradura (c).
Calibre diferencial de herradura tipo «pasa no pasa» de tipo progresivo (d).
Calibre regulable diferencial del tipo «pasa no pasa» (e).
Figura II-17. Calibres Fijos para Ejes.
1. Calibre diferencial de herradura
Estos calibres son los más usados para el control de ejes y están elaborados según las
normas ISO. Si la dimensión efectiva del eje está comprendida dentro del campo de
tolerancia previsto por el calibre, el eje debe pasar entre las mandíbulas del lado «pasa» y
no debe poder pasar entre las del lado «no pasa».
En estos calibres se dan las tolerancias e indicaciones completas de las normas ISO a las
cuales se ajustan el eje a controlar, la dimensión nominal, la calidad de elaboración y las
medidas correspondientes. La superior en el lado «pasa» y la inferior en el lado «no pasa».
Los dos lados se distinguen mediante las siglas P o MAX, dispuestas en el lado «pasa», y
NP o MIN sobre el lado «no pasa». Además, en el lado «no pasa» se pinta una franja roja
que lo distingue del otro.
2. Calibre regulable para ejes
Están constituidos por una herradura única sobre la que se montan dos topes de medida,
cuya distancia es regulable mediante un tornillo micrométrico. Los topes de la parte externa
II. Instrumentos de Medición. 76
constituyen el lado «pasa» y los topes de la parte interna el lado «no pasa». Las
posibilidades de registro de este calibre permiten su utilización para diversas medidas
nominales, así como variar el campo de tolerancia. Otra posibilidad que tiene es la de
compensar el desgaste, comprobando periódicamente la distancia mediante bloques patrón.
Calibres fijos para agujeros
Como su nombre indica están preparados para el control del diámetro de agujeros
cilíndricos, pero también pueden utilizarse para el control de cotas internas de piezas de
formas geométricas. Estos pueden clasificarse en:
Calibre simple de tampón (a).
Calibre diferencial o tampón tipo «pasa no pasa>) para ø < 120 mm (b).
Calibre diferencial a tampón («pasa no pasa») de tipo progresivo, con tampón por un solo lado (c).
Calibre diferencial plano para ø < 260 mm (d).
Calibre simple de barra para ø > 260 mm (e).
Calibre simple regulable (f).
En la figura II-18 vemos estos tipos de calibres cilíndricos.
Figura II-18. Calibres Fijos para Agujeros.
1. Calibres de tampón
Estos calibres, como en el caso anterior, llevan incorporadas las indicaciones completas
de las tolerancias ISO a las que corresponde el agujero a controlar, la dimensión nominal, la
calidad de elaboración, la posición de la tolerancia y las medidas correspondientes. Los dos
lados se distinguen por: el tampón del lado «no pasa» es más corto que el del lado «pasa»;
en una franja roja va escrita la letra P o MIN en el lado «pasa» y NP o MAX en el lado «no
pasa».
Calibres para roscas
II. Instrumentos de Medición. 77
Calibres fijos para rosca pueden ser del tipo de anillo para controlar roscas exteriores o
de tampón para comprobar roscas internas. Lo que comprueba es el diámetro externo, el
diámetro medio o primitivo y el diámetro del fondo del filete. Para el control total del filete
de un tornillo éste puede ser seguido por el calibre de herradura diferencial a rodillos para
filetes de roscas. Como todos los calibres diferenciales, se controla con el sistema «pasa no
pasa». La parte «pasa» está constituida por dos rodillos roscados por los que debe pasar
fácil mente la rosca a examen. La parte «no pasa» está constituida por dos rodillos situados
más adentro y la rosca a examen no debe pasar los rodillos. Con este instrumento se
controlan el diámetro medio, el paso y la regularidad del triángulo generador de la rosca
(todos estos calibres de rosca los podemos ver en la figura II-19).
Figura II-19. Calibres Fijos para Roscas Interiores y Exteriores.
EL COMPARADOR
El comparador es, junto con el pie de rey, el instrumento que más se utiliza en los
talleres mecánicos. Se utiliza para casi todo: centrar una mordaza en la fresadora,
comprobar el salto de un eje entre puntos en un torno, etc.
El comparador, como su nombre indica, se utiliza para la medida comparativa (por
diferencia) entre la dimensión de una pieza sujeta a examen y la de una pieza patrón.
Al ser un instrumento de comparación, es necesario que durante su uso esté sólidamente
sujeto a una base de referencia. A tal efecto se vienen usando soportes especiales, como
pueden ser bases magnéticas que son muy útiles para todo tipo de posicionamientos.
El comparador lleva un palpador retráctil que va unido a un índice móvil, atravesando un
mecanismo de amplificación. La rotación del índice sobre el cuadrante es proporcional a la
desviación vertical del palpador. El palpador, primero, mide el patrón y luego la pieza a
examen. La desviación del índice sobre el cuadrante indica en centésimas de milímetros la
diferencia de cota entre la pieza y el patrón.
II. Instrumentos de Medición. 78
Las partes principales de un comparador
Los comparadores están compuestos por las siguientes partes:
Palpador. Es el que se apoya sobre la superficie de la pieza a examen. Está roscado
sobre el eje móvil (a). La punta del palpador está redondeada, pero puede asumir
formas diversas en función del tipo de superficie a controlar (b).
Carcasa que contiene el mecanismo amplificador. Generalmente son de aluminio o
acero inoxidable (c).
Cuadrante centesimal (d);
Indicador de las centésimas (e).
Cuadrante de los milímetros. La aguja se mueve una división, por una vuelta
completa de la aguja del cuadrante centesimal (f.)
Indicador móvil, que puede moverse a lo largo del cuadrante y que sirve para
delimitar el campo de tolerancia prefijado (g).
Rueda que, unida al eje (b), sirve para levantar la punta del palpador (h).
Tope para fijar el palpador para el transporte (i).
Figura II-20. Partes de un Comparador.
El campo de medida y de apreciación del comparador es de 0,01 mm, aunque algunos
más precisos son de 0,005, de 0,002 mm o, como en el comparador milesimal, de 0,001
mm. En el centesimal, una vuelta completa de la aguja mayor corresponde a 1 mm de la
división del cuadrante pequeño. Si el cuadrante grande lo dividimos en cien partes,
tendremos que una división será 1/100—0,01 mm. En la figura II-20 podemos ver las partes
indicadas anteriormente.
El mecanismo de amplificador de los movimientos rectilíneos del eje que porta el
palpador se transforma en rotatorio y amplificador del índice, que indica sobre el cuadrante
la entidad de la desviación y que es amplificada por el mecanismo. La figura II-21 muestra
un sistema amplificador por medio de una cremallera y rueda dentada. El sistema de
funcionamiento es el siguiente: eje (b) del palpador (a) está dotado en cierto tramo de su
II. Instrumentos de Medición. 79
longitud de un dentado de cremallera (i) que engrana con una rueda dentada (h). El
movimiento rectilíneo del eje viene amplificado, transmitiendo por medio de la rueda (d) su
movimiento al índice central.
Figura II-21. Mecanismo de Amplificación de un Comparador.
La forma de usar un comparador es, como muestra la figura II-22, verificando una cota.
En primer lugar se pone el comparador sujeto en un soporte y se sitúa encima de unos
bloques patrón que forman una cota igual a la que en teoría debe tener la pieza a controlar.
A continuación, por medio de un tornillo que hace bascular al comparador, se hace que
vaya apretando los bloques hasta que la aguja del cuadrante centesimal llegue a cero.
Posteriormente se traslada todo el comparador y soporte sobre la pieza a verificar y se
observa la desviación de la aguja con referencia al cero del patrón. Esta desviación puede
ser positiva o negativa.
II. Instrumentos de Medición. 80
Figura II-22. Forma de uso de un reloj comparador para realizar
una medida con una galga patrón.
La planitud de la superficie se hace recorriendo con el comparador la superficie a
examen en varias direcciones. Los errores positivos y negativos, registrados por el
comparador en varios puntos, con una precisión centesimal.
Los tipos más sensibles de comparadores permiten controlar o verificar las piezas con
aproximaciones de dos milésimas (0,002 mm). Estos comparadores tienen la ventaja de que
la aguja palpadora puede colocarse de diversas maneras. Son los más versátiles, aunque su
precio es más ele vado. Se le llama comparador universal. La diferencia más importante
radica en la posibilidad de orientar el palpador según un ángulo cualquiera respecto al eje
del instrumento.
Este instrumento puede ser utilizado para el control de medidas internas o externas y en
los puntos en que es difícil o imposible usar el comparador normal. El campo de medida,
según el tipo, varía de 0,2 a 2 mm. La aproximación es en general de 0,01 mm, aunque
algunos tipos poseen aproximaciones de 0,002 mm.
II. Instrumentos de Medición. 81
La posición del palpador puede variar dentro de un campo de cerca de 210°. El palpador
puede ser orientado en la posición angular que se quisiera por medio de unas arandelas de
fricción.
ALEXÓMETRO O COMPARADOR PARA INTERIORES
Una variación del comparador es el alexómetro que ha sido diseñado para realizar
medidas en interiores, encontrando las mayores aplicaciones en la verificación de agujeros
pequeños y profundos. El alexómetro tiene una precisión centesimal, aunque también los
hay que aprecian 0,002 mm (milesimal). El registro y la apreciación del instrumento se
efectúan con un anillo patrón o bien con otros instrumentos de precisión superior a la del
alexómetro.
Aparte de comprobar el diámetro del agujero, puede comprobar el error de circularidad y
conicidad del mismo. En la figura II-23 vemos un alexómetro.
Las partes principales de un alexómetro son: a) una cabeza medidora, y b) un soporte
tubular, similar en todo al comparador para exteriores.
Figura II-23. Alexómetro.
El sistema de funcionamiento es el siguiente: la cabeza medidora del alexómetro está
compuesta de un palpador fijo (d) y de un palpador móvil (e); a través del mecanismo (f)
transmite al eje (g) y por medio del amplificador al índice del comparador (Figura II-24), la
variación de la distancia entre los dos palpadores, que corresponde al diámetro del agujero
controlado. Tiene la posibilidad de intercambiar los palpadores fijos (d) de longitud
variable consiguiendo extensiones de 30 a 160 mm.
II. Instrumentos de Medición. 82
La forma de realizar la medida con el alexómetro en un agujero: el palpador debe estar
centrado con las paredes de éste. Esta condición está garantizada por el dispositivo
centrador montado al extremo del palpador móvil. Este dispositivo está constituido por un
soporte, el cual accionado por un muelle se apoya en dos puntos y hace pasar
automáticamente por el centro del agujero el eje del palpador.
La perpendicularidad entre el eje del palpador y el eje del agujero se obtiene haciendo
oscilar el instrumento a derecha e izquierda, para comprobar cuándo señala el índice del
comparador la medida mínima. Esta posición corresponde al valor del diámetro efectivo del
agujero.
En la verificación de taladros de pequeño diámetro el palpador medidor debe asumir
dimensiones mínimas. El palpador está constituido por una semiesfera que se hace elástica
por medio de un corte longitudinal. La variación del diámetro de la esfera medidora hace
mover axialmente un eje, que al mismo tiempo hace agitar el índice del comparador. Una
serie de esferas intercambiables de varios diámetros hace que el campo de medida pueda
extenderse entre 0,5 y 12 mm.
Figura II-24. Esquema de funcionamiento de un Alexómetro.
MÁRMOLES
Los mármoles o mesas planas son utilizados para el control de la planitud de las piezas,
sobre todo sirven como útil de apoyo para realizar medidas con el comparador usándolo
como base de las medidas patrón, en los con los calibres de altura o para re medidas con
éstos apoyadas sobre un mármol.
Estos mármoles se construyen con dos tipos de material: en acero o en granito negro.
Los mármoles de acero están provistos de unas fuertes nervaduras en la parte inferior que
II. Instrumentos de Medición. 83
impiden la deformación. Se les da un tratamiento térmico a fin de eliminar las tensiones
internas del material. Tiene, en general, tres pies de apoyo para evitar el balanceamiento
por mínimo que sea, ya que tres puntos delimitan un plano.
La superficie del plano de control viene trabajada a mano con una última operación de
rasqueteado que le da una óptima planitud, aunque tiene una serie numerosísima de puntos
de contacto que favorecen e! resbalamiento de la pieza o de los instrumentos de control.
Normalmente la superficie no se rectifica para evitar que algunos granos abrasivos de la
muela queden incrustados en la superficie y puedan perjudicar la pieza a controlar.
El mármol de diabasa, en los últimos tiempos, ha tenido una gran difusión porque ofrece
numerosas ventajas respecto a los de acero. Estando constituidos por piedra natural como el
granito, no están sujetos a tensiones internas. Son muy resistentes al rozamiento, muy duros
e indeformables.
El coeficiente de dilatación térmica del granito negro es muy limitado y netamente
inferior al del acero. Esto significa que el plano es insensible a las variaciones de
temperatura.
COMPARADOR NEUMÁTICO
En la foto II-1 vemos un comparador neumático. Este tipo de comparador es utilizado en
la actualidad por su gran precisión.
El palpador está constituido por una capa de aire comprimido que sale a través de un
orificio. La pieza se sitúa debajo del orificio de salida; ésta hace variar la presión, a medida
que aumenta o disminuye su tamaño, y por consiguiente la presión de salida.
Sobre esta variación de presión, controlable por medio de un manómetro, está basado el
principio de funcionamiento de este instrumento. Con la sobrepresión del contacto
mecánico entre la pieza y el palpador se eliminan posibles deformaciones elásticas y de
error instrumental.
Este aparato, gracias a la gran amplificación del error revelado, permite medidas
milesimales, es decir, con aproximaciones del orden de una milésima.
II. Instrumentos de Medición. 84
Foto II-1. Comparador Neumático.
El esquema de funciona miento lo vemos en la figura II-25, que muestra un medidor
neumático. El aire de alimentación es pasado por un reductor de presión y un filtro y llega a
una presión (p). Entra en el medidor, donde es estabilizado a una presión (h) rigurosamente
constante.
Ya que la presión (p) debe ser superior a la presión (h), a la cual funciona el medidor, el
exceso de aire escapa atravesando el depósito (a). El aire a presión (h) alimenta la cámara
de presión (b) atravesando el chicIé (c) y fluye a la apertura (d) de la cabeza medidora.
Las holguras del palpador (e) solidario a la válvula (f) determina las variaciones de
dimensión de la pieza (g) a medir y hace variar la identidad de la fuga de aire provocando
una variación de la presión (h) registrada por el manómetro (a), situado entre el chorro de
cabeza (c) y el chorro de salida (d).
El manómetro (a) es de agua. Uno de los vasos comunicantes está constituido por el
depósito (a1) y el otro por la columna (a2) En el depósito (a1) está inmerso un tubo (m) a
una profundidad (n), que estabiliza y mantiene constante la presión del aire del medidor.
El tubo (a2) está graduado y mide el valor de la presión (h) determinada por la altura (n)
por el nivel de agua del depósito (a), lo mismo que el tubo.
II. Instrumentos de Medición. 85
Figura II-25. Esquema de funcionamiento de un Comparador Neumático.
El nivel de agua del tubo (a2) es regulado por la variación de la fuga de aire de la
abertura (d) de la cabeza medidora.
Para facilitar la lectura de la cota medida, la columna (a2) se rellena con agua coloreada,
está graduada directamente en μm y va dotada de un índice registrador que indica el campo
de tolerancia establecido.
Para poner a punto el medidor neumático se le dota de una pieza patrón que da la medida
en la columna del manómetro (a2)
La figura II-26 nos muestra un ejemplo de medidor neumático:
a) Palpador fijo
b) Palpador móvil que se regula por medio de una pieza patrón y se fija por medio del
tornillo (d).
c) Tubería de aire.
d) Tope regulable en función del diámetro controlado.
e) Mando de regulación de la columna manométrica.
II. Instrumentos de Medición. 86
Figura II-26. Comparador Neumático.
COMPARADOR ELECTRÓNICO
Las formas de medida cada vez son más precisas. En gran parte se debe a la facilidad de
realizarlas con los nuevos equipos electrónicos, que nos facilitan lecturas directas con
precisiones centesimales y milesimales.
Dispone de un lector digital con un botón de puesta a cero para poder realizar medidas
desde cualquier punto de referencia.
Según los fabricantes de estos equipos son capaces de realizar medidas con precisión de
0,0005 mm. Son adecuados para el proceso de datos en dos dimensiones, por ejemplo
distancia entre taladros, distintas alturas de comparación, etc.
En la figura II-27 vemos un comparador de formato tradicional pero con una pantalla
digital de mediada directa.
Figura II-27. Comparador con pantalla digital
II. Instrumentos de Medición. 87
La figura II-28 nos muestra un comparador de última generación, en la que se ve un
soporte con mesa de verificación y sobre éste cuelga el comparador digital.
Figura II-28. Comparador digital con salida de datos a impresora
y mando a distancia.
El comparador consta de un palpador y una caja en la que tenemos un visualizador de
seis dígitos (véase detalle de la figura). También nos da la posibilidad de poner a cero el
marcador en cualquier posición y apoyados del mando a distancia podemos fijar
tolerancias. También consta de una impresora para la salida de datos.
MAQUINAS DE VERIFICACIÓN TRIDIMENSIONAL
Para comenzar, lo primero que vemos es una de estas máquinas tridimensionales donde
se puede apreciar una máquina de verificación tridimensional, la que consta de una mesa de
apoyo de tipo mármol para conseguir la mayor planitud posible (el apoyo de las piezas a
verificar se realiza bien directamente sobre la mesa o sobre algún útil, mordaza, etc.).
También se aprecia el pulsador, que sólo tenemos que apoyarlo en la pieza y la cara a
verificar (esto se realiza moviendo el pulsador sobre las vías en las tres dimensiones del
espacio).
Estas máquinas constan de las siguientes partes:
La propia máquina de medida, compuesta de una mesa donde se apoyan y sujetan las
piezas a verificar, y un pulsador con el que se palpa en la pieza y nos facilita la
medida deseada.
El ordenador personal, que contiene el software necesario para gestionar y calcular
las medidas requeridas que le transmite el pulsador de la máquina.
II. Instrumentos de Medición. 88
Una impresora que nos facilita en papel el valor de las medidas realizadas.
En el esquema de la figura II-29 vemos estos tres componentes de la máquina
tridimensional.
El encendido de estas máquinas se realiza como cualquier otra máquina electrónica,
pulsando el interruptor a la posición ON de la máquina, el ordenador y la impresora. En
estas circunstancias si el autoexec.bat del ordenador está configurado para arrancar el
programa de verificación éste entra en algún menú de iniciación que nos pide un dato
inicial, como son las coordenadas de referencia (los ceros absolutos).
Esta máquina contiene un software (programa que suministra el fabricante de la misma)
que hay que aprender a manejar para usarla correctamente.
Cualquier persona que esté acostumbrada a utilizar los programas actuales de ordenador
no le será difícil manejarse con uno de éstos, pues funcionan con formatos de ventanas y
son muy simples de manejar.
El manejo de las funciones se aprende fácilmente si se tienen claros algunos conceptos
algebraicos, como son los sistemas de coordenadas, las distancias entre rectas, planos, etc.
Estos son los elementos que la máquina utiliza bajo un programa para realizar las
medidas oportunas.
Las fases de medida del programa se reducen a la elección de los ejes de coordenadas, es
decir, el sistema de referencia para posterior mente realizar las medidas.
Los programas nos ofrecen la posibilidad de trabajar con los siguientes sistemas de
coordenadas:
Coordenadas cartesianas.
Coordenadas polares.
Cosenos directores.
La elección de la figura geométrica que de seamos medir y que el propio programa nos
facilita una serie de ellas en distintas ventanas.
También ofrece la posibilidad de medida di recta, la posibilidad de programar medidas
nominales y realizar cálculos de errores que enviará al vídeo, la impresora o a los dos
periféricos si así se desea.
Para entender la diferencia fundamental entre estas máquinas tridimensionales y las
vistas anteriormente vamos a realizar un ejemplo.
II. Instrumentos de Medición. 89
Figura II-29. Elementos principales de una MMC.
PROYECTORES DE PERFILES
En la foto II-2 podemos ver un proyector de última generación para realizar el control de
las piezas pequeñas de forma compleja.
Foto II-2. Proyector de Perfiles (Laboratorio de Metrología y
Calidad de la UNEXPO Vicerrectorado Barquisimeto)
II. Instrumentos de Medición. 90
Se hace mucho más fácilmente observando sobre una pantalla su imagen aumentada (x
10 a x 100). Para ello se utiliza un aparato denominado proyector que reproduce superficies
y perfiles todo tipo de útiles. La proyección luminosa realiza de dos maneras diferentes:
a) Proyección diascópica (día = a través de). La iluminación se efectúa por la parte
posterior de la pieza que se examina, obteniéndose sobre la pantalla una silueta oscura
limitada por el perfil que se trata de controlar. Entre la lámpara y la pieza se sitúa un
condensador que concentra sobre ella los rayos luminosos. Los que no son detenidos por la
pieza atraviesan el objetivo de aumento y tras ser desviados por espejos planos, van a
iluminar la pantalla. El aumento es de x 10 a x 100.
b) Proyección episcópica (epi = desde arriba) La iluminación se efectúa sobre la
superficie a examinar, siendo los detalles de esa superficie los que aparecen en la pantalla,
sobre todo si el relieve es claro y poco acentuado. El aumento episcópico está limitado a 20
aumentos.
Para conseguir esto se utilizan los proyectores. Este aparato permite aumentos de 10, 20,
50 y 100 aumentos. Dispone de una pantalla circular giratoria dividida en grados con
nonios de 1/12, lo que asegura la lectura de ángulos con una aproximación de 5’. Las piezas
se sitúan sobre un soporte apropiado, por ejemplo mesa de vidrio, prismas en «V», etc.
El conjunto del soporte es orientable y permite el examen de superficies oblicuas o
helicoidales con una inclinación de hasta 10 Este soporte está montado sobre un carro doble
y permite hacer mediciones en coordenadas rectangulares.
Por medio de compara dores se indican los desplazamientos cortos del carro;
suplementado éste con una serie de bloques-patrón, pueden medirse también los
desplazamientos largos.
La proyección se utiliza para el control de piezas pequeñas, por ejemplo: útiles, calibres
de forma, fresas; brocas, machos de roscas, etc.
La posición vertical de la pantalla favorece el control de series de piezas sobre dibujo o
plantilla. Este dibujo de referencia se hace generalmente en papel transparente y se fija
después sobre la pantalla. Para los trabajos en series muy grandes pueden grabarse
directamente sobre el vidrio deslustrado que hace de pantalla.
LA RUGOSIDAD Y EL RUGOSÍMETRO
El rugosímetro es el aparato que, como su nombre indica, mide la rugosidad, en concreto
de las superficies mecanizadas que son las de nuestro interés.
Comenzaremos realizando un estudio de la rugosidad para posteriormente ocuparnos del
aparato que la mide.
Para comprender cómo es evaluada la rugosidad de las superficies, consideremos las
distintas características de éstas:
Superficie ideal - la que está perfectamente plana y lisa y exenta de todo tipo de
irregularidades (esta superficie es teórica).
II. Instrumentos de Medición. 91
Superficie real - Es la que se obtiene con la mecanización y sobre la cual se encuentran
los errores dimensionales, geométricos, de ondulación y rugosidad.
Superficie medida - Es la que detecta el instrumento de medida microgeométrico
(rugosímetro), que tiene por misión revelar las asperezas superficiales de un valor mínimo
del orden de una milésima. Dada la alta sensibilidad de este instrumento, se puede
considerar que la superficie real y la medida son coincidentes.
Superficie técnica - Es la superficie leída por el instrumento de medida
macrogeométrico, formado por un palpador con una punta esférica, el cual detecta los
errores dimensionales (Ed), geométricos (Eg) y macrogeométricos (Mg). Sobre esta
superficie técnica detectada se realizan los estudios adecuados para determinar el acabado
superficial final y para determinar también qué elementos de mecanización son los
apropiados para su realización.
La figura II-30 muestra esquemáticamente el aspecto que presenta una superficie
mecanizada, obsérvese el detalle del oscilógrafo. Las irregularidades constantes que
presenta son de dos tipos:
Irregularidad microgeométrica, que se debe a la acción de la herramienta de corte que
mecaniza la superficie. La rugosidad se caracteriza por una sucesión de crestas y valles de
pequeña amplitud. Se entiende por rugosidad total (Rt) la distancia entre la cresta más alta y
el valle más profundo. Normalmente, la rugosidad muestra una orientación que depende del
movimiento de trabajo de la herramienta que ha elaborado la superficie.
Irregularidad macrogeométrica u ondulación, en las que las crestas y los valles de la
superficie de la pieza no están normalmente dispuestos en un plano, pero en la superficie
que presenta la ondulación se marcan la altura (h) y el paso de la ondulación (Po), que son
muy superiores a los de la rugosidad, como vemos en esta misma figura. Estas
ondulaciones macrogeométricas derivan casi siempre de un defecto de la máquina, como
pueden ser las vibraciones de carácter periódico o también la excentricidad, aunque sea
mínima, de los útiles dotados de motores rotatorios.
Figura II-30. Superficie Mecanizada
II. Instrumentos de Medición. 92
La diferencia entre rugosidad microgeométrica y ondulación macrogeométrica es sólo
convencional y consiste principalmente en la diferencia de paso entre los dos tipos de
irregularidades.
Al medir la rugosidad superficial se cometen errores. La forma de una superficie
consiste en la desviación de la superficie real (Sr) respecto la superficie técnica (St). Como
la rugosidad posee un carácter irregular, para calcularla se deben seguir numerosos relieves
en planos diversos. Pero, en la práctica, la medida viene efectuada sólo si algún perfil
prevalece perpendicularmente sobre la orientación del control.
Deformando con un aumento vertical superior al aumento horizontal, el perfil real de
una superficie viene a esclarecer el método de medida de la rugosidad, definiendo:
L = Longitud del trazo de medida. Es el trazo de perfil técnico sobre el cual se efectúa el
relieve de la rugosidad.
Lm = Línea media del perfil. Es la línea ideal, paralela al perfil técnico, que divide el
perfil real de modo que el área rayada sobre éste (cresta) sea igual al área rayada bajo el
mismo (valle). El valor de la rugosidad Ra se obtiene por la media aritmética de trece
mediciones sobre distintos puntos de la superficie de la pieza, es decir:
Ra = Σ y / N
Por ejemplo: suponiendo que las medidas realizadas en una pieza han dado los
siguientes resultados: 10, 12, 11, 13, 15, 10, 14, 11, 13, 16, 14, 12 y 13, la rugosidad será:
Ra = Σ y / N = 10 + 12 + 11 + 13 ÷ 15÷10) / 13 =
(+14+11 +13+16+14+12+13) / 13= 164 / 13 = 12,61 =13 mm.
El rugosímetro
El rugosímetro es un aparato electrónico que dispone de un palpador más difundido y
está construido de manera que pueda satisfacer las más variadas exigencias (laboratorio,
taller y portátil). En la figura II-31 podemos ver dos de estos equipos: uno portátil y otro
para laboratorio.
Está constituido por un palpador, afilado, con un radio de 0,0025 mm (en la actualidad
se construyen con radios de 1 mm), que se mueve sobre la superficie a examinar con
dirección, velocidad, presión y longitud de carrera preestablecidas por las normas para la
medida de la rugosidad.
El palpador está unido rígidamente a un dispositivo de conversión que transforma su
movimiento alternativo en una característica eléctrica, la cual será después amplificada de
modo suficiente para mover visiblemente el índice de un instrumento a cuadrante o la aguja
escribiente de un instrumento registrador.
El perfilograma queda trazado por el registrador siguiendo fielmente el perfil real de la
superficie, la cual será aumentada sobre el gráfico con un aumento de 100.000 veces (altura
de la rugosidad) y 200 veces (paso de la rugosidad).
El registro gráfico consiste en una fuerte deformación vertical del perfil.
II. Instrumentos de Medición. 93
Utilizando en vez del aparato indicador el índice del instrumento al cuadrante, señalará
directamente el valor de la rugosidad (Ra).
El aparato está constituido por un palpador, intercambiable, el cual se apoya sobre la
superficie a controlar. El cuerpo está montado sobre una cabeza medidora en la cual es
posible regular la velocidad de la carrera.
Figura II-31. Rugosimetro de Laboratorio y Portátil.
SUPERMERCADO SOL ORIENTAL C.A
III. Tipos de los Errores de Medida. 94
UNIDAD III
TIPOS DE LOS ERRORES DE MEDIDA
Cuando se mide, se obtiene solamente un resultado bruto, en el cual están incluidos los
errores de medida, por lo cual es necesario introducir en ellos métodos correctivos que
determinen la confiabilidad de las mediciones. Un resultado de medida, efectuado de esta
manera, se denomina ―resultado de medida corregido‖.
Las técnicas de la metrología hacen posible la determinación y eliminación de los
siguientes errores:
1. Los errores sobrantes (errores gruesos o gordos).
2. Los errores sistemáticos.
3. Los errores casuales.
Errores Sistemáticos (fx)
La mayor dificultad en la definición de los errores sistemáticos es descubrir los motivos
que los ocasionan. Los errores sistemáticos unas veces pueden calcularse, y otras veces es
posible determinarlos por ensayos. Los valores y los signos de los errores sistemáticos se
obtienen a través de los aparatos o instrumentos de medición. La liberación del resultado de
medida de un error sistemático se efectúa añadiendo a él una corrección, que es equivalente
al error absoluto del resultado bruto de medida, pero de signo contrario.
La corrección está basada sobre el camino experimental.
Notación:
El error sistemático corregido se denota con el siguiente símbolo N , para lo cual el
valor exacto de la magnitud N es:
NNN e ó eNNN
En el cual:
Ne: es el resultado bruto de la medida.
N: es el valor correcto de la magnitud medida.
III. Tipos de los Errores de Medida. 95
Dentro de los errores sistemáticos se encuentran estos errores que no varían su valor ni
su signo durante el proceso de medición; efectuadas por el mismo instrumento de medición.
Por ejemplo, si un calibrador tiene las superficies de los topes desgastadas y en
consecuencia la escala no es exacta, entonces todas las mediciones efectuadas por el uso de
este calibrador presentan el mismo error de medida (error sistemático).
El cambio de la temperatura influye directamente sobre los resultados de las mediciones,
ocasionando los errores sistemáticos, los cuales son una función de temperatura. Cuando el
cambio de temperatura no es verificado, los errores de medida ocasionan los errores
casuales.
El error sistemático puede determinarse también a través de los resultados de medida
indirecta; el resultado depende de los errores sistemáticos ocasionados después de las
mediciones directas. Para ello se toma en consideración todas las dependencias entre la
magnitud medida y las magnitudes medias directamente. Este procedimiento se puede hacer
de una manera muy sencilla; es decir, liberando a todos los resultados parciales directos de
los errores sistemáticos. Para los cálculos finales se toman los valores parciales sin los
errores sistemáticos.
Definición de Errores Sistemáticos indeterminados
Si los errores sistemáticos no están determinados totalmente, pero se conoce el valor
admisible del error de indicación ∆i, entonces se toma el error de indicación, como el error
sistemático sumárico. El valor de ∆i entra como un componente en la ecuación del cálculo
de inexactitud de la medida.
Definición de los errores sistemáticos, definidos parcialmente
Cuando los errores sistemáticos están determinados parcialmente, y cuando es también
posible obtener un error admisible de indicación, se toma para los cálculos estos dos
valores. Es decir, que en los cálculos de la inexactitud de medida, se toma en consideración
y se utiliza el valor conocido de δN∑ y el valor del error de indicación ∆i conjuntamente.
Errores casuales
Todos los errores casuales ocurren de una manera incontrolada; es decir, que ellos son el
resultado de la sumatoria de todos los pequeños errores de medición. Solamente se pueden
determinar en base a una serie de mediciones; en las cuales es probable determinar unos
límites, dentro de los cuales se hallan estos errores.
Puesto que existe la hipótesis de que todas las mediciones de una serie deben tener la
misma exactitud. Esto implica, que dichas mediciones deban ser hechas con la misma
III. Tipos de los Errores de Medida. 96
magnitud, por el uso del mismo instrumento de medida, por el mismo operario y dentro de
unas condiciones de trabajo establecidas.
Cuando se hace una serie de mediciones de una pieza, en condiciones desconocidas y
fijas, se obtienen resultados diferentes, debido a la presencia de los errores casuales. Estos
resultados pueden ser tomados como la variable aleatoria, que depende de las reglas de la
estadística, por lo que se le pueden aplicar los métodos del cálculo de probabilidad, en el
caso de que queramos examinarlos.
Al obtener un número n de resultados de xi valores medidos, en igualdad de condiciones
(idénticas) del objeto medido; entonces, nos preguntamos, cómo obtener los resultados
como medidas parciales. Para hacer esto se pueden aplicar varios métodos diferentes; por
ejemplo se puede calcular el valor medido para el cual a menudo se aplica el valor de la
media aritmética. La media aritmética se determina en base a la fórmula siguiente:
n
i
ixn
x1
1
El postulado, en el cual se establece, que la suma de los cuadrados de las desviaciones
de los resultados de las mediciones según el cual, el valor medio aritmético alcanza un
mínimo, ha sido obtenido por Gauss, y es la base del método de los mínimos cuadráticos,
aplicados principalmente en la elaboración de los resultados de las mediciones. Este
método facilita la eliminación de los errores casuales de medida, con cual existe la
posibilidad de obtener un resultado de medición sin la presencia de una gran parte de estos
errores.
El objetivo de todas las medidas es halar el verdadero valor de la dimensión medida.
Con el objeto de evitar cometer errores de un valor considerable, las medidas deben hacerse
como mínimo dos veces, ya que los errores casuales hacen que todas las medidas realizadas
en un mismo lugar den resultados diferentes; por lo que el verdadero valor de la dimensión
N se obtiene de la media aritmética del número de medidas realizadas; es decir:
xN
si los resultados de una serie de mediciones x1,x2,x3,…,xn se consideran libres de los
errores sistemáticos; entonces, la media aritmética de estos resultados x es considerada
como la mejor magnitud buscada N.
Nn
x
n
xxxxx
n
i
i
n
1321 ...
La desviación media cuadrática de una medida de una serie de mediciones, como la
variable aleatoria, varia entre una serie de mediciones, y otra.
III. Tipos de los Errores de Medida. 97
Para la apreciación numérica de la exactitud de la medida real de la magnitud N, y de la
media aritmética x , se necesite la determinación de la función f(x), que caracteriza la gran
cantidad de medidas, la distribución resultante de ellos en forma gráfica, tiene un cuadro
con una curva parecida a una campana. Esta curva de distribución se denomina ―curva de
Gauss‖, o curva de la distribución normal de los errores.
La curva de Gauss (distribución normal) cumple con la ecuación siguiente:
22
12
2
1Nx
exfy
donde
n
i
i
n
xN
1
2
x: es la variable aleatoria, que presenta los resultados de las mediciones, de una
desconocida, pero fija medida de la magnitud medida N.
e: es la base del logaritmo natural.
en la práctica se acostumbra a utilizar la desviación media cuadrática:
n
i
i
n
xxS
1
2
1
Para aquellas series de mediciones, con n mediciones en cada una de las series, las
medias aritméticas x de ellas tienen también la dispersión normal, pero de forma más
estrecha, en comparación con la dispersión de los resultados de las respectivas series;
entonces se utiliza da desviación media cuadrática de la media aritmética:
n
SSr
y
x
f(x)
yi
N
xi
N-xi
III. Tipos de los Errores de Medida. 98
para obtener una alta exactitud de las mediciones, es necesario aumentar la cantidad de
mediciones, sin sobrepasar un valor crítico.
De una serie de mediciones se toma el valor x como la mayor aproximación medida
para un valor diferente. La probabilidad obtener un resultado de n mediciones con un valor
medido x , representa el intervalo:
xx ;
el cual deberá contener la medida real de la dimensión medida N; de la formula
siguiente:
xNxp
en la cual: : exactitud de igualdad aproximada.
Nx
esta probabilidad está representada por un campo rayado, sobre el dibujo siguiente:
Los límites x y x de los cálculos de probabilidad se denominan ―límites de
confianza‖.
Estos campos (con la distribución normal), tienen en los límites de su superficie los
siguientes valores:
Para S el campo de superficie vale 0.6326
y
x
x
- +
y
x
f(x)
yi
N N-xi
xi
III. Tipos de los Errores de Medida. 99
Para S2 el campo de superficie vale 0.9546
Para S3 el campo de superficie vale 0.9973
Se ha establecido experimentalmente, que de dos (2) hasta noventa (90) mediciones,
todos los posibles errores casuales de la misma serie no podrán tener un valor máximo de:
SS 3max
Donde maxS es igual al error límite de una serie de mediciones. Por lo tanto, la
probabilidad p=0.9973 se ha tomado como un factor de seguridad, ya que dentro de sus
límites (-3S hasta +3S) se encuentran la mayoría de los resultados de las mediciones. Por
eso, en el resultado corregido de una serie de mediciones se deben considerar las
influencias de todos los errores casuales, y para lo cual se tiene la siguiente inscripción:
Sxn 3
La descripción de esta inscripción se explica de la manera siguiente: el valor real
medido, pero desconocido N se obtiene de la probabilidad p=0.9973, en los intervalos
SxSx 3;3 .
El empleo de este principio, solamente se justifica cuando la cantidad de mediciones es
suficientemente grande. En la práctica se toma entre 25 y 30 el número de medidas. Cuando
la cantidad de medidas no es muy grande, entonces se debe introducir una corrección sobre
la probabilidad; o introducir una corrección, en la hipótesis de probabilidad, sobre el
intervalo de dispersión.
Este problema fue resuelto por un inglés, de nombre W. Gossez, quien es conocido por
el seudónimo de Student. Cuando la variable aleatoria x depende de la distribución normal
de Gauss, entonces la variable aleatoria es:
rS
Nxt
La curva imaginaria de esta distribución se parece a la curva de Gauss. La distribución t
de Student facilita la determinación de la probabilidad, en los casos donde el valor t este
dentro del intervalo
NN ttt
para cada un cualquier tN>0, junto a cualquiera n≥2, y cualquiera desviación media
cuadrática de la media aritmética Sr.
La probabilidad de que una dimensión efectiva N se encuentre dentro del intervalo
NN tt ; , es determinada por la ecuación:
III. Tipos de los Errores de Medida. 100
ap 1
la desigualdad
NN ttt
se puede inscribir de la manera siguiente
rNrN StxNStx
Luego, sustituyendo a tNSr por rN St , se tiene:
xNx
Que es lo que se denomina el intervalo de confianza.
Cuando se toman en cuenta todos los errores sistemáticos y todos los errores límites
casuales del resultado de una medida, se está considerando el término ―inexactitud de
medida‖. La inexactitud de medida representa al error máximo que puede estar presente en
el resultado de una medida.
Errores Sobrantes
Los errores sobrantes se definen como los errores causados por la mala ejecución de las
mediciones. Los causantes de este error pueden ser:
La lectura errónea de la indicación del instrumento de medición.
La inscripción equivocada del resultado de medida
El uso de un instrumento de medida con deterioro.
Error de los cálculos.
Los errores descritos se consideran realmente grandes comparados con los errores
casuales; por lo que es muy fácil determinarlos. Esta evaluación es muy subjetiva, y a veces
se presentan situaciones, en las cuales existen las dudas respecto a si es un error sobrante, o
es un error casual. En estos casos, se toma en consideración el principio de los errores
límites, en el interpolo de las ―tres sigma‖.
Se sabe, que cuando el error de una medida sobrepasa el error limite de las tres sigma;
entonces, es necesario eliminar este resultado de medida, y considerarlo como un resultado
con errores sobrantes.
Cuando se efectúa una serie de mediciones n; la media aritmética se calcula en base a la
fórmula siguiente:
III. Tipos de los Errores de Medida. 101
n
i
ibn
b1
1
después se determina el valor de la desviación de la media cuadrática (a menudo llamada
desviación estándar):
1
2
n
bbS i
se calcula el error límite por el principio de los tres sigma:
S3
todos los resultados, obtenidos durante las mediciones, deben ser comparados con la
desigualdad:
Sbbi 3
todos los valores que cumplen con esta desigualdad deben ser eliminados. Para realizar
los cálculos de la exactitud de medida, se toman solamente los valores que cumplen con la
siguiente desigualdad:
Sbbi 3
Inexactitud de las medidas
La inexactitud de las medidas se basa en todos los errores presentes durante el proceso
de medición. La inexactitud de las medidas señala por tanto, los límites sobre los que no
debe pasar el error sumárico. La definición de esta concepto se representa con siguiente
desigualdad:
mmáxf
en la cual:
máxf : es el mayor error sumárico.
m : es la inexactitud de la medida.
El error total de medida debe considerar, tanto la sumatoria de los errores sistemáticos,
como la de los errores casuales; es decir, que para determinar y calcular la inexactitud de
medida es necesario; primero determinar o calcular los componentes de ella.
Como componentes de la inexactitud de medida se pueden mencionar los siguientes:
Los errores sistemáticos, como por ejemplo, inexactitud de indicación,
inexactitud de lectura, influencia de la temperatura, influencia de presión,
III. Tipos de los Errores de Medida. 102
rugosidad, etc.
Los errores casuales.
No se debe olvidar el principio general; en el cual se establece, que el error sumárico de
medida no debe ser mayor pero si menor o igual a la inexactitud de la medida. Este
principio está representado en la fórmula siguiente:
mmáxf
Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos están determinados totalmente
Teniendo la corrección sumárica Nz y después el cálculo de la exactitud de la igualdad
aproximada S, se puede determinar el error sumárico máximo máxf en base al principio de
la sumatoria de los errores:
Nzfmáx
Después de determinar el error sumárico máximo, se deben comparar los valores
calculados con la inexactitud de medida admisible, según la dependencia establecida:
mmáxf
A partir de este momento no existen obstáculos para determinar el valor real de la
dimensión medida:
NzxN
En la práctica, cuando no se exige el análisis detallado de los errores; debido a que lo
importante en ella es la determinación de los límites de inexactitud de medida m (a el error
sumárico máximo máxf ); considerando que estos errores no sobrepasan los límites
establecidos, se tiene que:
Lim
en la cual:
i : es el error (o inexactitud) de indicación.
L : es el error (o inexactitud) de lectura.
El error de indicación i se obtiene dentro de las instrucciones de servicio, o catálogos
del aparato, o también en los libros de metrología. Con mucha frecuencia, el error de
indicación recibe el nombre de ―inexactitud de indicación‖.
El error de lectura L para las condiciones de laboratorio se toma igual a:
III. Tipos de los Errores de Medida. 103
atL 1.0
donde: a : es el valor de la división elemental (apreciación).
Para las condiciones de producción, el error de lectura tiene un valor diferente:
atL 5.0
Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos no están determinados
Se los errores sistemáticos no están totalmente determinados, pero se conoce el valor
admisible del error de indicación i , entonces se toma este error de indicación, como el
error sistemático sumárico.
Puesto que, todos los errores casuales se obtienen en base a la sumatoria geométrica
(principio de adición de los errores casuales):
22
3
2
2
2
1 ... n
con lo cual se podrá obtener el error máximo sumárico de la siguiente manera:
22
max sf l
tomando en consideración la dependencia
mmáxf
se puede determinar la inexactitud de la medida. Si se quiere determinar, también, el
valor real de la dimensión medida, se debe usar la dependencia siguiente:
22 ixN
Determinación de la inexactitud de medida cuando los errores sistemáticos están definidos parcialmente
Si los errores sistemáticos están determinados parcialmente, y es posible obtener un
error de indicación admisible, el error máximo sumárico máxf se podrá obtener de la
fórmula:
22 imáx Nf
Después de determinar el error máximo sumárico, se debe comparar los valores
calculados con la inexactitud admisible de medida, según la dependicia:
mmáxf
III. Tipos de los Errores de Medida. 104
Cuando se quiere determinar, también el valor real de la dimensión medida, se debe usar
las dependencias siguientes:
22 iNxN
IV. Incertidumbre en la Medición. 105
UNIDAD IV
INCERTIDUMBRE EN LA MEDICIÓN
1.- El Mensurando:
El propósito de una medida es determinar el valor de una magnitud, llamada el
mensurando, que de acuerdo al VIM (Vocabulario Internacional de Metrología, es el
atributo sujeto a medición de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido
cualitativa mente y determinado cuantitativamente.
Una definición completa del mensurando incluye especificaciones sobre las magnitudes
de la entrada relevante.
Los mensurandos son las magnitudes particulares objeto de una medición. En
calibración, es frecuente que sólo se disponga de un mensurando o magnitud de salida Y,
que depende de una serie de magnitudes de entrada Xi (i =1,2,...,N), de acuerdo con la
relación funcional.
nXXXXfY ,...,,, 321
La función modelo f representa el procedimiento de medición y el método de
evaluación. Describe cómo se obtienen los valores de magnitud de salida Y a partir de los
valores de las magnitudes de entrada.
En la mayoría de los casos, la función modelo corresponde a una sola expresión
analítica, pero en otros casos se necesitan varias expresiones de este tipo que incluyan
correcciones y factores de corrección de los efectos sistemáticos, en cuyo caso existe una
relación más complicada que no se expresa explícitamente como una función. Es más, f
puede determinarse experimentalmente, existir sólo como un algoritmo de cálculo que deba
ser numéricamente evaluado, o ser una combinación de todo ello.
El conjunto de magnitudes de entrada Xi puede agruparse en dos categorías, según la
forma en que se haya calculado el valor de la magnitud y la incertidumbre asociada al
mismo:
Magnitudes cuyo valor estimado y cuya incertidumbre asociada se determinan
directamente en la medición.
Estos valores pueden obtenerse, por ejemplo, a partir de una única observación,
observaciones reiteradas o juicios basados en la experiencia. Pueden exigir la
determinación de correcciones de las lecturas del instrumento y de las magnitudes de
influencia, como la temperatura ambiental, la presión barométrica o la humedad
relativa. La definición del mensurando usualmente alude, casi siempre de manera
implícita, a una estimación de la incertidumbre requerida.
IV. Incertidumbre en la Medición. 106
2.-Incertidumbre:
De acuerdo con el VIM, es un parámetro que caracteriza la dispersión de los valores que
pueden ser atribuidos razonablemente al mensurando.
El principio, el método y el procedimiento de medición son determinantes en el valor de
la incertidumbre de la medición. Un conocimiento insuficiente de ellos muy probablemente
conducirá a una estimación equivocada, o incompleta en el mejor de los casos, de la
incertidumbre de la medición.
El conocimiento del principio de medición permite al Metrólogo dominar la medición,
esto es, modificarla, diseñar otra, evaluar su convivencia, etc., además es indispensable para
estimar la incertidumbre de la medición.
En el caso de las variables aleatorias, la varianza de su distribución o la raíz cuadrada
positiva de la varianza, llamada desviación típica, se utiliza como medida de la dispersión
de los valores. La incertidumbre típica de medida asociada a la estimación de salida o al
resultado de la medición Y, expresada por u(y), es la desviación típica del mensurando Y.
Se determina a partir de los valores estimados Xi y sus incertidumbres típicas asociadas
U(Xi). La incertidumbre típica asociada a un estimado tiene la misma dimensión que éste.
En algunos casos, puede utilizarse la incertidumbre típica relativa de medida, que es la
incertidumbre típica de medida asociada a un estimado dividida por el módulo de dicho
estimado'), por consiguiente, es adimensional. Este concepto no es aplicable cuando el
estimado es igual a cero.
3.- Modelo Matemático:
El modelo matemático supone aproximaciones originadas por la representación
imperfecta o limitada de las relaciones entre las variables involucradas.
Considerando a la medición como un proceso, se identifican magnitudes de entrada
denotadas por el conjunto, {xi}, expresión en la cual el índice i toma valores entre 1 y el
número de magnitudes de entrada N.
La relación entre las magnitudes de entrada y el mensurando y como la magnitud de
salida se representa como una función, Y=f({X1})=f(X1,X2,...,Xn), representada por una
tabla de valores correspondientes, una gráfica o una ecuación.
Aunque para el propósito de este trabajo se considerará y como escalar, puede aplicarse
el mismo formalismo para elementos matemáticos más complejos como vectores o
matrices. En este trabajo se denota con xi, al mejor estimado de las magnitudes de entrada
Xi. Los valores de las magnitudes de entrada pueden ser resultados de mediciones recientes
realizadas por el usuario o tomados de fuentes como certificados, literatura, manuales, etc.
El mejor estimado del valor del mensurando es el resultado de calcular el valor de la
función f evaluada en el mejor estimado de cada magnitud de entrada. Y=f(Xi,X2,...,Xn).
4.-Identificación de las Fuentes de Incertidumbre
Una vez determinados el mensurando, el principio, el método y el procedimiento de la
medición, se identifican las posibles fuentes de incertidumbre.
Estas provienen de los diversos factores involucrados en la medición, por ejemplo:
IV. Incertidumbre en la Medición. 107
Los resultados de la calibración del instrumento.
La incertidumbre del patrón o del material de referencia.
La repetibilidad de las lecturas.
La reproducibilidad de las mediciones por cambio de observadores, instrumentos u
otros elementos.
Características del propio instrumento, como resolución, histéresis, deriva, etc.
Variaciones de las condiciones ambientales
La definición del propio mensurando
El modelo particular de la medición.
Variaciones en las magnitudes de influencia.
No es recomendable desechar alguna de las fuentes de incertidumbre por la suposición
de que es un poco significativa sin una cuantificación previa de su contribución, comparada
con las demás, apoyadas en mediciones. Es preferible la inclusión de un exceso de fuentes
que ignorar algunas entre las cuales pudiera descartarse alguna importante. No obstante,
siempre estarán presentes efectos que la experiencia, conocimientos y actitud crítica del
Metrólogo permitirán calificar como irrelevantes después de las debidas consideraciones.
4.1-¿Qué no son incertidumbres de medición?
Las tolerancias, no son incertidumbres. Ellas son los límites de aceptación que se
han elegido para un proceso o un producto.
Las especificaciones, no son incertidumbres. Una especificación indica a Usted lo
que se espera de un producto. Las especificaciones pueden tener un alcance
amplio, incluso cualidades no técnicas, como el aspecto.
La Exactitud o su antónimo la Inexactitud, no es lo mismo que incertidumbre.
Desafortunadamente, el uso de los dos términos es confuso. Hablando
correctamente, exactitud es un término cualitativo, o sea se puede decir que una
medición es exacta o inexacta. La incertidumbre es cuantitativa.
Los Errores, aunque en el pasado se tomaban como equivalentes, en frases tales
como "análisis de error‖.
El análisis estadístico no es el mismo que el análisis de la incertidumbre. La
estadística puede usarse para establecer un sinnúmero de conclusiones que no
tienen que ser acerca de incertidumbres. El análisis de la incertidumbre solamente
utiliza una parte de la estadística.
IV. Incertidumbre en la Medición. 108
5.- Métodos Principales para cuantificar las fuentes de la Incertidumbre.
5.1 Método de Evaluación Tipo A:
Está basado en un análisis estadística de una serie de mediciones.
Esta se utiliza cuando se han realizado n observaciones independientes de una de las
magnitudes de entrada xi bajo las mismas condiciones de medida. Si este proceso de
medida tiene suficientemente resolución, se podrá observar una dispersión o fluctuación de
los valores obtenidos.
Supóngase que la magnitud de entrada Xi, medida repetidas veces, es la magnitud Q.
Con n(n > 1) observaciones estadísticamente independientes, el valor estimado de la
magnitud
n
j
nj qqn
q1
1
Q es q. La media aritmética o el promedio de todos los valores de observados
qj(j=1,2,3,...,n).
La incertidumbre de medida asociada al estimado q, se evalúa de acuerdo con uno de los
métodos siguientes:
(a) El valor estimado de la varianza de la distribución de probabilidad es la varianza
experimental S2(q) de los valores qj' que viene dada por:
n
j
j qqn
qs1
22
1
1
Su raíz cuadra (positiva) se denomina desviación típica experimental. La mejor
estimación de la varianza de la media aritmética q es la varianza experimental de la media
aritmética, que viene dada por:
n
qsqsr
22
Su raíz cuadrada positiva se denomina desviación típica experimental de la media
aritmética. La incertidumbre típica u(q) asociada a la estimación de entrada q es la
desviación típica experimental de la medida.
qsqu r
Advertencia: Generalmente, cuando el número n de mediciones repetidas es pequeño
(n <10), la evaluación tipo A de la incertidumbre típica, expresada en la ecuación anterior
(IV) puede no ser fiable. Si resulta imposible aumentar el número de observaciones,
tendrán que considerarse otros métodos que serán descritos en este trabajo para evaluar la
incertidumbre típica.
(b) Cuando una medición está correctamente caracterizada y bajo control estadístico, es
posible que se disponga de una estimación combinada de la varianza Sr2 que caracteriza
IV. Incertidumbre en la Medición. 109
mejor la dispersión que la desviación típica estimada a partir de un número limitado de
observaciones. Si, en ese caso, el valor de la magnitud de entrada Q se calcula como la
media aritmética q de un pequeño número n de observaciones independientes, la varianza
de la media aritmética podrá estimarse como:
n
qsqsr
2
Así la incertidumbre estándar de Xi:
n
k
ki qqnn
xu1
2
1
11
5.2.- Método de Evaluación Tipo B:
La evaluación tipo B de la incertidumbre típica es la evaluación de la incertidumbre
asociada a un estimado Xi, por otros medios distintos al análisis estadístico de una serie de
observaciones. La incertidumbre típica u{xi} se evalúa aplicando un juicio científico
basado en toda la información disponible sobre la posible variabilidad de Xi, Los valores
que caigan dentro de esta categoría pueden derivarse:
Datos obtenidos de mediciones anteriores
Experiencia o conocimientos generales sobre el comportamiento y las propiedades
de los materiales e instrumentos relevantes.
Especificaciones de los fabricantes.
Datos obtenidos de calibraciones y de otros certificados.
Incertidumbres asignadas a los datos de referencia obtenidos de manuales.
El uso apropiado de la información disponible para una evaluación Tipo B de la
incertidumbre típica de medición exige un juicio basado en la experiencia y en
conocimientos generales. Es una destreza que pueda adquirirse con la práctica. Una
evaluación Tipo B de la incertidumbre típica que tenga una base sólida puede ser tan fiable
como una evaluación tipo A, especialmente cuando ésta se basa sólo en un número
comparativamente pequeño de observaciones estadísticamente independientes. Deben
distinguirse los siguientes casos:
Cuando sólo se conoce un valor único de la magnitud Xi, por ejemplo, el valor de
una única medición el valor resultante de una medición previa, un valor de
referencia obtenido de la literatura o el valor de una corrección, este valor debe
utilizarse como Xi, La incertidumbre típica U{Xi} asociada a Xi debe adoptarse
siempre que se conozca. En caso contrario, debe calcularse a partir de datos
inequívocos sobre la incertidumbre. Si no se dispone de este tipo de datos, la
incertidumbre tendrá que estimarse sobre la base de la experiencia.
Cuando se pueda suponer una distribución de probabilidad para la magnitud Xi, ya
sea basándose en la teoría o en la experiencia, la expectativa o el valor esperado y
IV. Incertidumbre en la Medición. 110
la raíz cuadrada de la varianza de su distribución deben tomarse como el estimado
Xi y la incertidumbre típica asociada U{Xi} respectivamente.
Si sólo pueden estimarse unos límites superior e inferior a+ y a- respectivamente
para el valor de la magnitud Xi (por ejemplo, especificaciones del fabricante de un
instrumento de medición, intervalo de temperaturas, error de redondeo o de
truncamiento resultante de la reducción automatizada de los datos). Puede
suponerse una distribución de probabilidad con densidad de probabilidad constante
entre dichos límites (distribución de probabilidad rectangular) para la variabilidad
de la magnitud de entrada Xi, Según el anterior caso, se obtiene:
aaxi2
1
para el valor estimado de y:
aaxu i12
12
Para el cuadrado de la incertidumbre típica. Si la diferencia entre los valores límites se
expresa como 2a, la ecuación anterior se convierte en:
22
3
1axu i
La distribución rectangular es una descripción razonable en términos de probabilidad del
conocimiento que se tenga sobre la magnitud de entrada Xi cuando no existe ninguna otra
información más que sus límites de variabilidad. Pero si se sabe que los valores de la
magnitud en cuestión son próximos a los extremos, un modelo más adecuado sería una
distribución triangular o normal. Por otro lado, cuando los valores cercanos a los extremos
son más probables que los valores cercanos al centro, es más apropiada una distribución
con forma U.
Por otro lado, cabe destacar que la clasificación (Tipo A y Tipo B), no exista alguna
diferencia en la naturaleza de los componentes que resultan de cada uno de los dos tipos de
evaluación, puesto que ambos tipos están basados en distribuciones de probabilidad. La
única diferencia es que en las evaluaciones tipo A se estima esta distribución basándose en
mediciones repetidas obtenidas del mismo proceso de medición mientras en el caso de tipo
B se supone una distribución con base en experiencia información externa al Metrólogo. En
la práctica esta clasificación no tiene consecuencia alguna en las etapas para obtener una
estimación de la incertidumbre combinada.
5.3.-Distribuciones de Probabilidad
a) Distribución Normal:
Los resultados de una medición repetida por una o más magnitudes de influencia que
varían aleatoriamente, generalmente siguen en buena aproximación una distribución
normal. También la incertidumbre indicada en certificados de calibración se refiere
generalmente a una distribución normal.
IV. Incertidumbre en la Medición. 111
b) Distribución Rectangular:
En una distribución rectangular cada valor en un intervalo dado tiene la misma
probabilidad, o sea la función de densidad de probabilidad es constante en este intervalo.
En general cuando exclusivamente hay conocimiento de los límites superior e inferior del
intervalo de variabilidad de la magnitud de entrada, lo más es suponer una distribución
rectangular.
c) Distribución Triangular:
Si además del conocimiento de los límites superior e inferior hay evidencia de que la
probabilidad es más alta para valores en el centro del intervalo y se reduce hacia los límites,
puede ser más adecuado basar la estimación de la incertidumbre en una distribución
triangular.
d) Otras Distribuciones:
Pueden encontrarse también distribuciones como la U, en la cual los extremos del
intervalo presentan los valores con probabilidad máxima, típicamente cuando hay
comportamientos oscilatorios subyacentes. También se encuentran distribuciones
triangulares con el valor máximo en un extremo como en las asociadas a "errores de
coseno".
6.- Combinación
El resultado de la combinación de las contribuciones de todas las fuentes es la
incertidumbre combinada uc(y), la cual contiene toda la información esencial sobre la
incertidumbre del mensurando Y.
La contribución ui{y} de cada fuente a la incertidumbre combinada depende de la
incertidumbre estándar u(Xi) de la propia fuente y del impacto de la fuente sobre el
mensurando. Es posible encontrar que una pequeña variación de alguna de las magnitudes
de influencia tenga un impacto importante en el mensurando, y viceversa.
Se determina ui(y) por el producto de u(Xi) y su coeficiente de sensibilidad Ci (o factor
de sensibilidad).
iii xucyu
6. l.-Coeficiente de Sensibilidad
El coeficiente de sensibilidad describe, qué tan sensible es el mensurando con respecto a
variaciones de la magnitud de entrada correspondiente. Para se determinación existen dos
métodos:
a) Determinación a partir de una relación funcional:
Si el modelo matemático para el mensurando y =f(X1,X2,X3,...,Xn) describe la
influencia de la magnitud de entrada Xi, suficientemente bien mediante una relación
funcional, el coeficiente de sensibilidad ci se calcula por la derivada parcial de f con
respecto a X1:
IV. Incertidumbre en la Medición. 112
nNi
i
ni xXXX
X
XXfc ,...,
,...,1
1
b) Otros métodos de determinación:
Si la influencia de la magnitud de entrada Xi, en el mensurando y no está representada
por una relación funcional, se determina el coeficiente de sensibilidad ci por una estimación
del impacto de una variación de xi en y según:
iX
Yc
Esto es, manteniendo constantes las demás magnitudes de entrada, se determina el
cambio de y producido por un cambio en xj por una medición o a partir de la información
disponible.
6.2.- Propagación de la incertidumbre para magnitudes de entrada no
correlacionadas.
En el caso de magnitudes de entrada no correlacionadas, la incertidumbre combinada
uc(v) se calcula por la suma geométrica de la contribuciones particulares:
N
i
ic yuu1
22
Considerando las ecuaciones al principio resulta finalmente:
2
1
2
1
,
N
i
i
i
N
i
iic xuX
fxucyu
La regla presentada es llamada ley de propagación de incertidumbre. Esta ecuación se
aplica cuando se dispone de la relación funcional entre X y {xi}
6.3.- Magnitudes de entrada relacionadas con más de una fuente de
incertidumbre.
En la mayoría de los casos una magnitud de entrada Xi es afectada por varias fuentes de
incertidumbre, que pueden ser por ejemplo la resolución del instrumento, la dispersión de
datos obtenidas por mediciones repetidas y la incertidumbre de la calibración del
instrumento. En este caso hay dos maneras (equivalentes) de calcular la incertidumbre
combinada.
a) Como primera alternativa, se calcula la incertidumbre total (combinada) relacionada
con cada magnitud de entrada Xi por la suma geométrica de las incertidumbres
individuales:
IV. Incertidumbre en la Medición. 113
iM
J
iji xuxu1
2
donde Uj(xi) es la incertidumbre estándar de la fuente de incertidumbre número j de las
fuentes relacionadas con la magnitud de entrada Xi. Después se introducen los valores de
u (xi) de la ecuanción uc(y)
b) Si uno está interesado en ver el efecto particular que tiene cada una de las fuentes en
la incertidumbre combinada uc(y), cada fuente puede entrar individualmente en la ecuación,
sustituyendo el número de magnitudes de entrada N en la suma por el número total de
fuentes de incertidumbre. Cabe mencionar que el coeficiente de sensibilidad Ci es igual
para todas las fuentes de incertidumbre relacionadas con la misma magnitud de entrada Xi.
Cuando el coeficiente de sensibilidad Ci es cero o cuando la función no admite una
representación lineal adecuada (únicamente con la primera derivada) en el intervalo ±U(Xi)
es conveniente y aun indispensable considerar términos de segundo orden (que dependen de
las segundas derivadas).
6.4. Cálculo con incertidumbres relativas
Si el modelo matemático se compone de productos de las magnitudes de entrada Xi:
N
i
p
iNiXconstXXf
1
1 .,...,
donde const. es una constante y los exponentes pi son constantes reales (positivas o
negativas), el cálculo (numérico) de la incertidumbre combinada se facilita utilizando
incertidumbres relativas. Los coeficientes de sensibilidad en este caso son pi, y la ley de
propagación de incertidumbre para calcular la incertidumbre combinada relativa U(y) se
simplifica:
2
11
2
,
N
i i
ii
N
i
irelirelcx
xupxupyu
Un caso particular muy común es que todos los exponentes pi son +1 o -1, o sea Y es un
producto o cociente de las magnitudes de entrada, puesto que en este caso las coeficientes
de sensibilidad son 1 y la incertidumbre combinada relativa uc,re (y) es la suma geométrica
de las incertidumbres relativas de las magnitudes de entrada:
2
1
,
N
i
irelrelc xuyu
6.5. Propagación de la incertidumbre para magnitudes de entrada
correlacionadas.
Si algunas de las magnitudes de entrada están correlacionadas, hay que considerar las
covarianzas entre las magnitudes correlacionadas y la ecuación se modifica a:
IV. Incertidumbre en la Medición. 114
N
jiji
jiji
ii
N
i
i
i
relc xxrxuxuX
f
X
fxu
X
fyu
1,
2
1
, ,
donde r(Xi,Xj) es el factor de correlación entre las magnitudes de entrada Xi Y Xj.
7. Correlación
A menudo los resultados de mediciones de dos magnitudes de entrada están ligados, ya
sea porque existe una tercera magnitud que influye sobre ambas, porque se usa el mismo
instrumento para medir o el mismo patrón para calibrar, o por alguna otra razón.
Desde el punto de vista estadístico, dos variables son independientes cuando la
probabilidad asociada a una de ellas no depende de la otra, esto es, si q y w son dos
variables aleatorias independientes, la probabilidad conjunta se expresa como el producto
de las probabilidades de las variables respectivas
wpqpwqp ,
8. Incertidumbre expandida
La forma de expresar la incertidumbre como parte de los resultados de la medición
depende de la conveniencia del usuario. A veces se comunica simplemente como la
incertidumbre estándar combinada, otras ocasiones como un cierto número de veces tal
incertidumbre, algunos casos requieren se exprese en términos de un nivel de confianza
dado, etc. En cualquier caso, es indispensable comunicar sin ambigüedades la manera en
que la incertidumbre está expresada.
8.1. Factor de cobertura y nivel de confianza
La incertidumbre estándar Uc representa un intervalo centrado en el mejor estimado del
mensurando que contiene el valor verdadero con una probabilidad p de 68%
aproximadamente, bajo la suposición de que los posibles valores del mensurando siguen
una distribución normal.
Generalmente se desea una probabilidad mayor, lo que se obtiene expandiendo el
intervalo de incertidumbre por un factor k, llamado factor de cobertura. El resultado se
llama incertidumbre expandida u.
cukU
La incertidumbre expandida U indica entonces un intervalo que representa una fracción
p de los valores que puede probablemente tomar el mensurando. El valor de p es llamado el
nivel de confianza y puede ser elegido a conveniencia.
En el medio industrial, a menudo se elige el nivel de confianza de manera tal que
corresponda a un factor de cobertura como un número entero de desviaciones estándar en
una distribución normal.
Cuando es necesaria una estimación más rigurosa de la incertidumbre expandida se
consideran las Secs. 8.2 hasta 8.4; cuando no son necesarias estimaciones muy rigurosas de
IV. Incertidumbre en la Medición. 115
la incertidumbre, como en mediciones de baja exactitud, entonces es suficiente seguir con
la Secc 8.4.
8.2. Distribución t de Student
Frecuentemente, los valores del mensurando siguen una distribución normal. Sin
embargo, el mejor estimado del mensurando, la media (obtenida por muestreos de n
mediciones repetidas) dividida entre su desviación estándar, sigue una distribución llamada
t de Student, la cual refleja las limitaciones de la información disponible debidas al número
finito de mediciones. Esta distribución coincide con la distribución normal en el límite
cuando n tiende a infinito, pero difiere considerablemente de ella cuando n es pequeño.
La distribución t de Student es caracterizada por un parámetro v llamado número de
grados de libertad.
Considerando lo anterior, es necesario ampliar el intervalo correspondiente al nivel de
confianza p, por lo que la ecuación de U se transforma en:
cp uvtU
El factor t p (v) indica los límites del intervalo correspondiente al nivel de confianza p
de la distribución y su valor siempre es mayor o igual que el factor k (tomado de la
distribución normal). Sus valores se encuentran en tablas. Cuando se combinan varias
fuentes de incertidumbre con sus respectivas distribuciones para obtener la incertidumbre
combinada Uc del mensurando, el Teorema del Límite Central permite aproximar la
distribución resultante por una distribución normal. La aproximación será mejor mientras
más grande sea el número de fuentes y sus contribuciones sean similares,
independientemente de la forma particular de sus distribuciones.
Nuevamente, la disponibilidad limitada de información hace necesario el uso de la
distribución t de Student para determinar la incertidumbre expandida de manera rigurosa.
(con la suposición de que los valores del mensurando obedecen una distribución normal).
El número efectivo de grados de libertad vef para esta situación se discute en esta sección.
Cuando sólo es relevante la contribución de una fuente cuya distribución no sea normal,
lo más conveniente es estimar la incertidumbre expandida directamente de los parámetros
de la distribución. Por ejemplo, cuando las lecturas obtenidas con un instrumento de baja
exactitud son idénticas debido a la resolución del instrumento y las otras fuentes de
incertidumbre son insignificantes, es plausible suponer que los valores razonables del
mensurando siguen una distribución rectangular cuyos límites están determinados por el
valor de la escala del instrumento, al que se le ha asignado una cierta incertidumbre,
entonces puede estimarse directamente el ancho del intervalo que contiene la fracción p de
los valores que pueden atribuirse razonablemente al mensurando.
Por ejemplo, sí se considera una medición tomada con un instrumento analógico con
resolución de 2 unidades, con incertidumbre del 10% en la resolución, el 95% de los
valores está contenido en un intervalo de ancho 2(1+0.1)O.95~2.1 unidades.
IV. Incertidumbre en la Medición. 116
8.3. Grados de libertad
De cierta manera el número v de grados de libertad asociado a una distribución de una
magnitud (Xi, Y) puede considerarse una medida de incertidumbre de la incertidumbre de
esa magnitud. Entre mayor sea v la estimación de la incertidumbre será más confiable.
El número efectivo de grados de libertad vef del mensurando considera el número de
grados de libertad vi de cada fuente de incertidumbre.
En las incertidumbres tipo A, vi; depende directamente del número de datos
considerados y disminuye conforme el número de parámetros estimados a partir de los
mismos datos. La repetibilidad de una medición, estimada por la desviación estándar
experimental de n lecturas tiene n-l grados de libertad. Una regresión lineal de M puntos
mediante una ecuación de m parámetros tiene M-m grados de libertad.
La determinación del número de grados de libertad de una incertidumbre tipo B implica
el criterio del Metrólogo soportado por su experiencia, aun cuando sea subjetiva, para
determinar la incertidumbre relativa de la propia incertidumbre, y calcular el número de
grados de libertad para esa fuente específica i con la ecuación.
22
12
1
2
1
i
i
i
i
xu
xu
xu
xuv
La cantidad Δu(xi) es una estimación de la incertidumbre de la incertidumbre u(Xi) de la
fuente; cuantificada por el Metrólogo. Es recomendable aproximar el resultado del cálculo
con la ecuación anterior al entero cercano más bajo.
Por ejemplo, si ΔU(Xi) es cero, es decir, el i nefrólogo está completamente seguro del
valor de u(xi), el número de grados de libertad asociado a esa fuente es infinito. Si el
Metrólogo considera que u(xi) tiene una incertidumbre del 50%, el número de grados de
libertad es de sólo 2, y si la considera del 20% el número de grados de libertad asciende a
12.
9. Algoritmo para el cálculo de incertidumbre
Aquí vamos a presentar un algoritmo para calcular la incertidumbre asociada a un
proceso de calibración, usando el estudio de incertidumbre estándar tipo A
Paso 1: Fenómeno de Calibración:
1. El valor nominal d cada patrón, X0j es dado
2. La incertidumbre asociada a cada patrón, Uoi es dada.
3. Se toma una serie de mediciones: Xcj1, Xcj2,..., Xcji,..., Xcjn
4. Se calcula la media de dichas mediciones: cj
n
i
cji
cjn
x
x
1
IV. Incertidumbre en la Medición. 117
5. Se calcula la desviación estándar muestral:
1
1
2
cj
n
i
cjcji
cjn
xx
S
Si la serie es pequeña (20<nc) se calcula la desviación estándar de la media
aritmética, que no es otra cosa que: cj
cj
rjn
SS
6. Se calcula la corrección de calibración: cjjcj xxx 0
7. Cálculo de la incertidumbre de calibración: cj
cj
jcjn
SUU
2
2
0
Paso 2: Fenómeno de medición:
1. Se tiene una serie de medidas realizadas con el instrumento: (nm): x1’, x2’,..., xm’
2. Se calcula la media de dichas medidas m
n
i
mi
n
x
x
1'
3. Cálculo del valor del mesurando corregido: cm xxx '
4. Se calcula la desviación estándar de muestra:
1
'1
2
m
n
k
mk
mn
xx
S
m
5. Cálculo de la incertidumbre de medición: m
m
cjmn
SUU
2
2
Paso 3: Fenómeno de correlación residual: aquí se considera el efecto residual debido al
uso de una considerable cantidad de patrones diferentes en la calibración
1. Cálculo de la correlación Global:
N
j
cjc xN
x1
1
2. Cálculo del factor de correlación residual: ccjcj xx
3. Cálculo de la incertidumbre residual: 3
cj
RU
Paso 4: Cálculo de la incertidumbre de medición, considerando el efecto residual
222
Rmcjj UUUU
Recordemos que cuando se calcula la desviación media muestral, se calcula sobre la
base de que el número de medidas se encuentra entre 20 y 90, es decir, una serie
IV. Incertidumbre en la Medición. 118
intermedia, ya que es lo más común en estos estudios. Si la serie es pequeña, es decir
menos de 20 mediciones, calculamos la desviación estándar de la media aritmética, la cual
se define como: n
SS c
r
Ejemplo
He aquí un ejemplo de cómo calcular la incertidumbre asociada a un proceso de
calibración.
Se tienen los siguiente patrones con sus respectivas incertidumbres asociadas. Las
medidas están dadas en milímetros.
Patrón
Medida
nominal
(X0i)
Incertidumbre
asociada (Uoi)
P1 18 0.002
P2 19 0.001
P3 20 0.002
P4 21 0.001
Durante el proceso de calibración de un micrómetro, de apreciación 0.01mm, se
arrojaron los siguientes resultados por cada patrón.
Patrón P1 Patrón P2 Patrón P3 Patrón P4
Medida 1
18.10 19.05 20.10 21.10
Medida 2 17.95 19.20 20.03 20.90
Medida 3 18.08 18.97 20.10 20.95
Medida 4 17.96 19.10 20.08 21.07
Medida 5 17.90 18.90 19.98 21.10
Hallar la incertidumbre asociada a la calibración del instrumento, utilizando el criterio
de incertidumbre estándar tipo A. Se recomienda en los cálculos utilizar a lo sumo 6 cifras
decimales de exactitud (usando truncamiento) y al presentar el valor de la incertidumbre
usar tantas cifras decimales como tenga la incertidumbre asociada al patrón.
Solución: para la resolución de estos problemas es recomendable analizar uno a uno los
patrones, ya que así se evita el desorden y los cálculos se realizan de una forma más rápida.
Análisis del patrón 1:
Cálculo de la media de las mediciones realizadas
998000.175
5
1
1
1
1
1
1
i
ic
c
n
i
ic
c
x
n
x
x
Cálculo de la desviación media cuadrática o desviación estándar muestral
IV. Incertidumbre en la Medición. 119
087292.0
11
5
1
2
11
1
c
i
cic
cn
xx
S
Como es una serie pequeña, utilizamos la desviación estándar de la media aritmética
039038.05
087292.0
1
1
1 c
cr
n
SS
Cálculo del factor de corrección de calibración
002000.0988000.1718 11011 ccc xxxx
Cálculo de la incertidumbre de calibración para el patrón 1:
017572.05
039038.0002.0
22
1
2
12
011 c
rc
n
SUU
Análisis del patrón 2:
Cálculo de la media de las mediciones realizadas
044000.195
5
1
2
2
1
2
2
i
ic
c
n
i
ic
c
x
n
x
x
Cálculo de la desviación media cuadrática o desviación estándar muestral
115887.0
12
5
1
2
22
2
c
i
cic
cn
xx
S
Como es una serie pequeña, utilizamos la desviación estándar de la media aritmética
051826.05
115887.0
2
2
2 c
cr
n
SS
Cálculo del factor de corrección de calibración
044000.0044000.1919 22022 ccc xxxx
Cálculo de la incertidumbre de calibración para el patrón 1:
023198.05
051826.0001.0
22
2
2
22
022 c
rc
n
SUU
Análisis del patrón 3:
IV. Incertidumbre en la Medición. 120
Cálculo de la media de las mediciones realizadas
058000.205
5
1
3
3
1
3
3
i
ic
c
n
i
ic
c
x
n
x
x
Cálculo de la desviación media cuadrática o desviación estándar muestral
052153.0
13
5
1
2
33
3
c
i
cic
cn
xx
S
Como es una serie pequeña, utilizamos la desviación estándar de la media aritmética
023323.05
052153.0
3
3
3 c
cr
n
SS
Cálculo del factor de corrección de calibración
058000.0058000.2020 13033 ccc xxxx
Cálculo de la incertidumbre de calibración para el patrón 1:
010620.05
023323.0002.0
22
3
2
32
033 c
r
cn
SUU
Análisis del patrón 4:
Cálculo de la media de las mediciones realizadas
024000.215
5
1
4
4
1
4
4
i
ic
c
n
i
ic
c
x
n
x
x
Cálculo de la desviación media cuadrática o desviación estándar muestral
092897.0
14
5
1
2
44
4
c
i
cic
cn
xx
S
Como es una serie pequeña, utilizamos la desviación estándar de la media aritmética
041544.05
092897.0
4
4
4 c
cr
n
SS
Cálculo del factor de corrección de calibración
024000.0024000.2121 44044 ccc xxxx
IV. Incertidumbre en la Medición. 121
Cálculo de la incertidumbre de calibración para el patrón 1:
018605.05
041544.0001.0
22
4
2
42
044 c
rc
n
SUU
Una vez analizados cada uno de los patrones, se debe proceder a analizar la
incertidumbre asociada al fenómeno de medición, pero como no se realizaron mediciones a
otros elementos distintos a los patrones no se considera este análisis en nuestro ejemplo.
Ahora, analizamos paso a paso el fenómeno de correlación residual.
Cálculo del factor de correlación global
031000.04
11 4
1
4
1
j
c
N
j
cjc xxN
x
Cálculo del factor de correlación residual para cada patrón
4007000.0031000.0024000.0
3027000.0031000.0058000.0
2013000.0031000.0044000.0
1033000.0031000.0002000.0
44
33
22
11
patrónelParaxx
patrónelParaxx
patrónelParaxx
patrónelParaxx
ccc
ccc
ccc
ccc
Cálculo de la incertidumbre residual para cada patrón
002333.03
009000.03
004300.03
011000.03
4
4
3
3
2
2
1
1
c
R
c
R
c
R
c
R
U
U
U
U
Una vez analizado el proceso de medición, procedemos al paso final al calcular la
incertidumbre de medición corregida para cada patrón
019.0018751.0
014.0013920.0
024.0023600.0
021.0020731.0
4
2
4
4
2
42
044
3
2
3
3
2
32
033
2
2
2
2
2
22
022
1
2
1
1
2
12
011
UUn
SUU
UUn
SUU
UUn
SUU
UUn
SUU
R
c
r
R
c
r
R
c
r
R
c
r
V. Ajustes y Tolerancias. 122
UNIDAD V
AJUSTES Y TOLERANCIAS
Las tolerancias
Se da el nombre de tolerancia, o campo de tolerancia a la inexactitud admisible en una
determinada dimensión de una pieza al fabricar ésta. Se designa con las letras IT, y es igual
a la diferencia entre las medidas máxima y mínima admitidas para la dimensión de la pieza.
a) Limite Superior (B); es la medida máxima que puede tener la dimensión.
b) Limite Inferior (A); es la medida mínima que puede tener la dimensión.
Según la definición de tolerancia tenemos que:
IT = B – A
El campo de tolerancia es el espacio admisible de la variabilidad del valor real contenido
entre las dimensiones limitadas.
Objeto de las tolerancias
El objeto de las tolerancias consiste en:
a) Permitir las producciones de pieza en serie, en la cual se obtiene una reducción en el
costo unitario de éstas y un abastecimiento adecuado de las mismas.
b) Facilidad de intercambiar piezas en un conjunto dado, siempre y cuando las
dimensiones de las piezas que han de sustituir a las originales estén dentro de los
limites de tolerancias establecidos para la pieza a sustituir, además, de que adopten la
forma y se coloquen en la posición de la pieza sustituida.
Dimensión nominal:
Se llama dimensión nominal a la medida que teóricamente tendría que tener la
dimensión de la pieza, o sea a la indicada por la cota de aquella dimensión, y esta medida se
toma como referencia de valor cero para tomar las tolerancias por encima o por debajo de
ella, dándosele el nombre de línea de 0 (cero).
Es evidente que, en la practica, al fabricar una pieza no se obtendrá nuca la medida
nominal exacta, debido a las inevitables inexactitudes de fabricación (maquinas
herramientas, instrumentos de medida, operarios).
Dimensión efectiva:
Se llama dimensión efectiva a la medida de una dimensión real de una pieza ya
fabricada; es decir, es la medida que se aprecia con un instrumento de medida sobre una
pieza ya elaborada.
V. Ajustes y Tolerancias. 123
La intercambiabilidad:
Esta estrechamente ligada a la producción en serie (producción de un gran numero de
piezas iguales en forma y dimensiones, que pueden intercambiarse entre si sin necesidad de
retoque alguno), la cual permite grandes producciones con reducción de coste unitario; esta
la fabricación de piezas de recambio, o sea de piezas que deberán sustituir en un conjunto
dado a los elementos originales rotos o desgastados. Teóricamente, para alcanzar la
intercambiabilidad seria necesario que los elementos homólogos tuvieran exactamente las
mismas dimensiones; en la practica esto no es posible, ya sea porque las elaboraciones no
alcanzan nunca una precisión absoluta, o ya porque las dimensiones de control varían entre
los limites de aproximación de los aparatos de medida.
Por lo tanto, para lograr la intercambiabilidad se busca otro camino, que es el de fijar
unos limites a las dimensiones reales que pueden tener las piezas que forman un
acoplamiento, y mediante adecuada elección de estos limites lograr que los ajustes entre
cualquier par de piezas respondan a las exigencias requeridas.
La intercambiabilidad puede realizarse si:
a) Las dimensiones de la pieza están dentro de los limites prefijados
b) Las formas de la pieza son semejantes
c) La situación de la pieza respecto a la superficie es la misma
Tipos de intercambiabilidad:
Existen dos tipos de intercambiabilidad:
a) Total: Es decir, cuando el número de piezas o elementos que forman el conjunto
dentro de una maquinaria puede ser sustituido totalmente.
b) Parcial: Es decir, cuando el número de piezas o elementos que forman el conjunto
dentro de una maquinaria puede ser sustituido totalmente. Al porcentaje con que
puede realizarse la intercambiabilidad parcial, se le llama grado de
intercambiabilidad.
Las desviaciones de las dimensiones
Las desviaciones de las dimensiones se estudiaran tomando como referencia la línea de
base 0-0, que es una recta auxiliar denominada ―línea de valor nominal D‖; la cual se
considera limitada por el campo de tolerancia:
a) La Desviación Superior (G); que es la diferencia entre la dimensión máxima
admisible (B) y la dimensión nominal (D):
G = B – D
b) La Desviación Inferior (F); que es la diferencia entre la dimensión nominal (D) y la
dimensión mínima admisible (A):
F = D – A
V. Ajustes y Tolerancias. 124
Por lo tanto la tolerancia (IT) se puede expresar como la diferencia entre la desviación
superior y la desviación inferior.
IT = G – F
Valor de la desviación
El valor de la desviación puede ser:
c) POSITIVO: cuando la cota nominal es menor que la dimensión limite.
d) NEGATIVO: cuando la cota nominal es mayor que la dimensión limite.
e) NEUTRO: cuando la cota nominal es igual que la dimensión limite.
En la figura a continuación se muestra la colocación de la zona de tolerancia en
dependencia de la desviación superior G, desviación inferior F y la línea de base 0-0
0 0
A
B
D
IT
F G
Cuando la desviación superior e inferior de una dimensión se da acompañado del índice
―e‖; se está refiriendo a la desviación de la dimensión en los ejes:
Ge ; Fe
Cuando la desviación superior e inferior de una dimensión se da acompañado del índice
―a‖; se está refiriendo a la desviación de la dimensión en los agujeros:
Ga ; Fa
Cada una de las dimensiones anteriores (G ó F) puede ser escrita en dos versiones a
saber:
a) La versión directa, por ejemplo: - 0,013
Ø10 – 0,023
b) La versión indirecta, por ejemplo: Ø10f7
Generalmente, para referirse al eje, se emplean las letras minúsculas, como h, m, p, etc.;
y para referirse al agujero se usan las letras mayúsculas, como H, M, P, etc. Estas letras
aparecen en una dimensión, ya sea del eje o del agujero.
Nota
Se debe tener en presente, que todas las dimensiones de un material están toleranciadas.
V. Ajustes y Tolerancias. 125
Normalización de las dimensiones lineales nominales y de las tolerancias
(ISO – Internacional Standard Organization)
A fin de unificar las normas de tolerancias existentes en los distintos países, se ha creado
un sistema internacional, llamado Sistema de Tolerancias ISO Nº R-286-1962. este sistema
ha establecido el símbolo IT, el cual significa tolerancia internacional.
El sistema de tolerancia ISO comprende 18 clases de exactitudes de fabricación, tanto
para ejes como para agujeros. En el sistema de tolerancias ISO, tenemos tres elementos
característicos:
1) Una serie de grupos de diámetros de 1 a 500 mm.
2) Una serie, tolerancias fundamentales o simplemente tolerancias, que determinan
precisión: existen 18 que nos definen, por lo tanto, 18 calidades distintas de los
ajustes.
3) Una serie de posiciones de la tolerancia; es decir, en que punto las tolerancias
tenemos colocadas con relación a la línea de referencia, determinado, por lo tanto, el
juego o apriete del ajuste.
Posiciones de las tolerancias. Representación gráfica
Generalizamos y llamamos: D, la cota nominal del árbol o del eje; Dmáx, la cota limite
máxima; Dmín, la cota limite mínima; IT, la tolerancia; ds, la diferencia superior; di, la
diferencia inferior. Según los ejemplos precedentes elegidos, pueden presentarse los cincos
casos siguientes, ilustrados mediante las figuras 1 y 2, donde hemos exagerado, ex profeso,
las diferencias de los diámetros para aumentar la claridad.
a) Dmín < D y Dmáx < D con di < 0 y ds < 0
b) Dmín < D y Dmáx = D con di < 0 y ds = 0
c) Dmín < D y Dmáx > D con di < 0 y ds > 0
d) Dmín = D y Dmáx > D con di = 0 y ds > 0
e) Dmín > D y Dmáx > D con di > 0 y ds > 0
El examen de las figuras y los ejemplos de los párrafos precedentes, permiten escribir las
igualdades y dar las definiciones siguientes:
ds = Dmax – D y = Dmax = D + ds. La diferencia superior es la diferencia entre la cota
limite máxima y la cota nominal. Es positiva, negativa o nula, según que Dmin es superior,
inferior o igual a D.
IT = Dmax – Dmín. = ds – di. La tolerancia es la diferencia entre la cota limite máxima
y la cota limite mínima o entre la diferencia superior y la diferencia inferior. Es siempre
positiva
V. Ajustes y Tolerancias. 126
NORMALIZACIÓN DE LAS DIFERENCIAS Y DE LAS POSICIONES DE LAS TOLERANCIAS
Ya indicamos precedentemente en el párrafo anterior que se habían normalizado las
tolerancias y las diferencias. Esto significa que se han normalizado las posiciones de las
tolerancias por relación a la cota nominal, dando cada posición, evidentemente, cotas
limites diferentes, inferiores, superiores o iguales a la cota nominal. En las figuras 3 y 4
indican como están situadas en el sistema ISO, las tolerancias en relación a la línea 0. como
en estas ultimas figuras, hemos materializado las tolerancias por rectángulos situados en las
diversas posiciones determinadas por la magnitud y el signo de las diferencias. En la figura
3 hemos representado, para ayudarnos la explicación, el cilindro de diámetro nominal D, así
como los correspondientes a los diámetros límites menores D´min y D´max y a los
diámetros mayores. Para los agujeros hemos dibujado una semicorona de diámetro nominal
interior D, acompañada de rectángulos que representan las diversas posiciones de la
tolerancia.
Figura 3. minúsculas para los ejes y en general para todos los salientes.
Posiciones a, b, c, d, e, f, g. Corresponden al caso a. Figura 1 las dos diferencias ds y di
son negativas, y los dos diámetros limites Dmax y Dmin son inferiores al diámetro nominal
D.
Posición h. Es el caso b de la figura 1. la diferencia superior ds es nula; la diferencia
inferior di negativa e igual, en valor absoluto, a la tolerancia IT(di = IT).
Se tiene Dmax = D; Dmin = D – IT (Dmin<D).
Posición i. Tolerancia a caballo sobre la línea cero, c, figura 1. se tiene di<0, Dmin < D
ds > 0; Dmax > D.
Posición k. Existen dos posiciones:
k1 para las calidades 8 a 16; nos encontramos en el caso d de la figura 1, es decir, di = 0
Dmin = D ds = IT > 0, Dmax = D + IT > D.
k2 para las calidades 5, 6, y 7; estamos en el caso c de la figura 1 con di> 0 Dmin > ds >
Dmax > D.
Posiciones. m, n, p, s, t, u, v, x, y, z. Caso e figura 1
di> 0 Dmin > D ds > 0 Dmax. < D
Figura 4. Posiciones A, B, C, D, E, F, G. Caso e de la figura 2
Ds>0 Dmax>D di>0 Dmin>D
Posición H. caso d, de la figura 2.
ds= IT>0 Dmax = D + It> D di = 0 Dmin=D
Posición J. K.Caso e de la figura 2.
ds > 0 Dmax > D di < 0 Dmin < D
V. Ajustes y Tolerancias. 127
Posición M. se encuentra en un número de tres y no se relacionan más que con las
calidades 6, 7, y 8
M8. esta a caballo, pero no se aplica más que a los diámetros nominales de la calidad 8,
como es lógico, superiores a 6 mm. El valor absoluto de ds es muy inferior al de di. Se tiene
siempre
ds>0 Dmax > D di < 0 Dmin < D
M7. corresponde al caso b de la figura 2 y se aplica a todos lo diámetros de calidad 7, así
como a los de la calidad 6 que tienen diámetros comprendidos entre 1,6 y 3 mm. Se tiene:
ds = 0 Dmax = D di = - IT < 0 Dmin = D – IT < D
M6. corresponde al caso a de la figura 2 para la cual se tiene
ds < 0 Dmax < D ds < 0 dmin < 0
y se aplica en la calidad 6, a todos los diámetros nominales superiores a 3 mm.
Posición N. Se tienen dos casos:
N1 para las calidades 9 y 16, es aquella para la que:
ds = 0 Dmax = D di = - IT < 0 Dmin = D – IT < D.
N2 para las calidades 6, 7, 8 y se tiene:
ds < 0 Dmax < D di < 0 Dmin < D
Posiciones P, R, S, T, U, V, X, Y, Z. Es todavía el caso a de las figuras 2, con las dos
diferencias negativas y los dos diámetros limites inferiores al diámetro nominal.
CALIDAD DE TOLERANCIA
Para dimensiones de hasta 500 mm
Las dimensiones nominales comprendidas entre 1 y 500 mm se subdividen en 13 grupos
principales y 22 intermedios tal como puede verse en la siguiente tabla.
VER PAGINA SIGUIENTE
V. Ajustes y Tolerancias. 128
Los valores que delimitan los distintos grupos son números nominales.
Grupos principales Grupos intermedios
desde hasta Desde hasta
1
3
6
10 18 10
14
14
18
18 30 18
24
24
30
30 50 30
40
40
50
50 80 50
65
65
80
80 120 80
100
100
120
120 180 120
140
160
140
160
180
180 250 180
200
225
200
225
250
250 315 250
280
280
315
315 400 315
355
355
400
400 500 400
450
450
500
V. Ajustes y Tolerancias. 129
Unidad de tolerancia
El sistema ISO adopta para la medición de tolerancia en dimensiones comprendidas
entre 1 y 500 mm la unidad de tolerancia.
i = 0,45 D + 0,001 D3
La unidad i queda expresada en micras si d esta en milímetros. La ley de variación de
la unidad i en función del diámetro nominal d esta representada aproximadamente por
una parábola cúbica.
El termino 0,001 D se introduce para tener en cuenta la incertidumbre de la medición,
que aumenta proporcionalmente al diámetro. Este sumando adquiere un valor
apreciable únicamente para diámetros mayores de 80 mm.
Calidad de elaboración
Para cada grupo de dimensiones, el sistema ISO establece 19 calidades de elaboración,
designadas por los símbolos:
IT 01, IT 0, IT 1 ... IT 17.
El símbolo IT 01 indica la calidad más precisa.
El símbolo IT 17 indica la calidad mas basta.
Las calidades 14, 15, 16, y 17 están previstas para dimensiones superiores a 1 mm.
Elección de la calidad
La calidad de elaboración se elige según los siguientes criterios:
De 01 a 1, para pequeña mecánica de precisión, óptica, relojería;
De 1 a 5 para calibres;
De 5 a 11 para piezas que deban acoplarse;
De 12 a 17 para piezas sueltas.
Amplitud de las tolerancias
La amplitud de la tolerancia para las calidades desde 5 a 17 se calcula en función de
la unidad de tolerancia i = 0,45 D + 0,001 D3
, asignando a D el valor de la media
geométrica de los valores extremos del grupo, redondeando a µ m.
A cada calidad se le atribuye un cierto número de unidades de tolerancia i, en la
forma indicada a continuación:
V. Ajustes y Tolerancias. 130
IT5 IT6 IT7 IT8 IT9 IT10 IT11 IT12 IT13 IT14 IT15 IT16 IT17
7 i 10 i 16 i 25 i 40 i 64 i 100 i 160 i 250 i 400 i 640 i 1000 i 1600 i
Ejemplo:
Para dimensiones comprendidas entre 10 y 18, con calidad IT 10 tendremos:
Media geométrica D = √10.18 = 13,4164 mm
Unidad de tolerancia i = 0,45 13,4164 + 0,001.13,4164 = 1,082242 µm.
Amplitud IT = 64 i = 64 . 1,08242 = 69,27 µm 70 µm.
Para las calidades 01, 0 y 1, la amplitud de la tolerancia se calcula con las formulas
abajo indicadas, tomando para D la media geométrica de los valores extremos del
grupo.
IT 01 IT 0 IT 1
0,3+0,008 D 0,5+0,012 D 0,8+0,020 D
Las tolerancias de las calidades 2, 3 y 4 están escalonadas
aproximadamente en progresión geométrica entre los valores IT 1 y IT 5.
Para dimensiones superiores a 500 mm
Grupos dimensiónales
De acuerdo con las recomendaciones ISO R 286, las dimensiones superiores a 500 mm y
hasta los 3150 mm se subdividen en 8 grupos principales y 16 grupos intermedios, tal como
se indica en la siguiente tabla. Los grupos intermedios se utilizan para las posiciones desde
la r hasta la u en los ejes, y desde la R hasta la U en los taladros.
Grupos principales Grupos intermedios
más de hasta más de hasta
500 630 500
560
500
630
630 800 630
710
710
800
800 1000 800
900
900
1000
1000 1250 1000
1120
1120
1250
1250 1600 1250 1400
V. Ajustes y Tolerancias. 131
1400 1600
1600 2000 1600
1800
1800
2000
2000 2500 2000
2240
2240
2500
2500 3150 2500
2800
2800
3150
Calidad de elaboración
Para estas dimensiones se prevén 11 calidades, desde 6 hasta 16 que se identifican
por los símbolos: IT6, IT7, IT8... IT16.
Amplitud de las tolerancias
Los valores de la amplitud se calculan en función de la unidad de la tolerancia.
I = 0,004 D + 2,1 en µm.
En la que D es la dimensión nominal expresada en milímetros.
Para cada calidad de elaboración se ha fijado un cierto numero de unidades I, tal
como se indica en la siguiente tabla.
IT6 IT7 IT8 IT9 IT10 IT11 IT12 IT13 IT14 IT15 IT16
10 I 16 I 25 I 40 I 64 I 100 I 160 I 250 I 400 I 640 I 1000 I
Ejemplo:
Calcular la tolerancia para las dimensiones comprendidas entre 500 y 630 mm, y calidad
6
Media geométrica: D = √500.630 = 561,2 mm
Unidad de tolerancia: I = (0,004.561,2) + 2,1 = 4,344 µm.
Amplitud según su calidad IT6: 10.4,344 µm = 43,44 44 µm.
LAS DESVIACIONES Y LOS AJUSTES
Las desviaciones
Es la máxima o mínima dimensión admitida respecto a la línea del cero; es decir, son los
valores posibles, fijados por encima y/o por debajo de esta línea, la cual esta determinada
por el valor nominal de la dimensión de la pieza. Ver las siguientes figuras:
V. Ajustes y Tolerancias. 132
0 0
Fa Ga
Desviación del agujero
Las desviaciones del agujero se pueden calcular de la manera siguiente:
a) Desviación Superior del agujero
Ga = Fa + IT
b) Desviación Inferior del agujero
Fa = Ga – IT
0 0
Fa Ga
Desviación del eje
La desviación del eje se puede calcular de la manera siguiente:
c) Desviación Superior del eje
Ge = Fe + IT
d) Desviación Inferior del eje
Fe = Ge – IT
MÉTODOS DE APLICACIÓN DE LOS AJUSTES
Método Directo
este método se aplica generalmente en la construcción de piezas por arranque de virutas,
también asegura un mínimo de errores que se pueden cometer en una construcción.
Método Indirecto
es un método experimental, el cual se realiza considerando el tipo de ajuste. Para aplicar
este método es necesario determinar el grupo de tolerancia; es decir, eje o agujero base.
V. Ajustes y Tolerancias. 133
Método Analítico
existe gran posibilidad de obtener los tipos o clases de ajustes, que no corresponden con
los tipos y clases recomendados. Este procedimiento es muy difícil y casi siempre conduce
a resultados erróneos. Para usarlo, se necesita mucha experiencia
TOLERANCIAS DE ENGRANAJES
Generalidades
El engranaje como elemento en cierta forma compleja, en cuanto respecta a los ajustes,
pues ya en sí su funcionamiento exige intercambiabilidad múltiple, no puede comenzarse a
estudiar en sus tolerancias sin antes conocer toda la terminología, tipos de engranajes,
formación, mecanización, etc.
Nuestro estudio lo basaremos en las normas ISO de tolerancias de engranajes, referidas a
engranajes rectos.
La primera parte la dedicaremos a familiarizarnos con la terminología y tipos de errores
de los engranajes. Posteriormente, pasaremos a estudiar las fijaciones de tolerancia,
magnitudes de las mismas, etc.
Errores en los engranajes
Fundamentalmente, para controlar los errores en la fabricación de engranajes, es preciso
seguir su proceso de formación y funcionamiento.
Este proceso de formación al que nos referimos, transcurre fundamentalmente por las
siguientes fases:
a) Fabricación de la rueda como cuerpo del engranaje. En definitiva, hasta el momento
de proceder a su tallado o dentado.
b) Ejecución del tallado o dentado.
c) Montaje de los grupos de ruedas en disposición de funcionamiento.
La forma, pues, más racional de observar los errores de fabricación, será aquella que
sigue el proceso de enumerado. El orden de controles a que nos referimos, será:
a) Control de la rueda en sí como cuerpo del engranaje.
b) Control del dentado o tallado.
c) Control del montaje en disposición de funcionamiento.
CONTROL DE LA RUEDA EN SI COMO CUERPO DEL LENGUAJE
En todo proceso de fabricación es primordial fijar las que podemos denominar
referencias básicas, que son aquellos puntos fundamentales en el funcionamiento o en las
referencias de cogida, en torno a los cuales se establecen todas las acotaciones. Al proceder
a disponer la fabricación e inspección, todo el utillaje ha de tender a fijar sus referencias a
estos puntos básicos.
V. Ajustes y Tolerancias. 134
El eje de referencia básico para la medición del cuerpo de engranaje es el propio eje de
giro. Este eje de giro, como referencia de montaje en maquinas mediante el utillaje
oportuno, puede ser definido según los casos por un eje común con el engranaje(Fig. 1) o
por el agujero si es montado posteriormente en un eje (Figs. 2, 3). En ambos casos ha de
cuidarse de dar referencias precisas a aquellas partes que, posteriormente han de definir su
posicionamiento en la máquina de tallar, comúnmente, con aquellas otras referencias que
integran sus ajustes de montaje, pues de lo contrario se obtendrán grandes errores en el
tallado.
Ejemplos:
a) Si el eje (Fig. 1) es tomado en la talladora por una pinza hidráulica o mecánica, será
preciso que aquella parte del eje por la que se ha de coger presente gran calidad,
para que las desviaciones en la colocación sean mínimas y, por supuesto, esta parte
de cogida habrá de solicitarse completamente concéntrica con el diámetro exterior
del engranaje y con los cuellos de apoyo del eje sobre los cojinetes de giro. Por otra
parte, si la longitud de la pieza lo aconseja, ha de fijarse unas estrechas tolerancias
de enderezado, para contrarrestar las deformaciones que pueden sobrevenir de la
elevaciones de temperatura debidas a la mecanización en tornos rápidos.
b) Si el engranaje presenta la forma de las figuras 2 y 3, también el agujero habrá de
tener una calidad acorde con el empleo, pues las oscilaciones de este agujero en la
pinza o en el mandril de tallado y el tipo de ajuste que presenta este agujero con el
eje, en su montaje definitivo, serán fundamentales para la bondad del mecanismo.
Diámetro exterior (en las Fig. D3)
El diámetro exterior o diámetro de cabeza de los dientes, no presenta una importancia
decisiva en el funcionamiento del engranaje. Sin embargo, es preciso tener en cuenta que en
su montaje ha de preverse juego entre los fondos de los dientes de una rueda y las cabezas
de dientes de la otra. Las tolerancias de este diámetro han de tender, por tanto a favorecer
este juego.
Las variantes que surjan en torno al diámetro exterior, se tendrán en cuenta como
fundamentales si los aparatos de medida de espesor del diente de que se dispone hacen
referencia en la cabeza del mismo.
Es de gran interés fijar en el diseño de engranajes superficies auxiliares de inspección y
referencias axiales y radiales, que permiten efectuar los controles de errores que en el
apartado ―Control del dentado‖ enumerados (en las Figs. 1, 2 y 3, diámetros D1 y D2 y
superficies a, b, c, d).
CONTROL DEL DENTADO
Los engranajes, como ya hemos dicho, han de asegurar, aparte de la intercambiabilidad
de la pieza en sí, otra intercambiabilidad múltiple en su funcionamiento. Por tanto, los
controles necesarios en el dentado y los errores han de ser en gran parte correlacionados
entre dientes para asegurar un buen funcionamiento que mantenga: marcha suave, buena
V. Ajustes y Tolerancias. 135
relación de transmisión, ausencia de razonamiento globales o localizados, facilidad de
lubricación, etc.
División del dentado
Para poder definir correctamente las relaciones o dimensiones que ligan entre sí los
dientes, es preciso enumerarlos. Esta operación no real, sino imaginaria, se realiza
observando la rueda por una superficie de referencia lateral, o sea, viendo el perfil de los
dientes por uno de los costados.
Los nombres o numeración correspondiente a cada uno de los dientes, son:
0, 1, 2, 3, ............... (K – 2), K, ...... (Z –1)
asignados a partir de uno cualquiera de los dientes y correlacionados en el sentido de
giro de las agujas del reloj, ya sean dientes exteriores o interiores.
Como puede observarse, hemos designado (Z – 1) a la numeración del ultimo diente
para, en adelante, estimar como designación del numero de dientes Z (Fig. 4).
Origen
M
0
1
2 3 4
5
6
Circulo de control
DesplazamientosPositivos. -3. 4. 6.Negativos. -1. 2. 5.
Figura 4
Error in
dividual
Flanco derecho
En el flanco o superficie lateral derecha de un diente cuando es observado con la cabeza
sobre el pie, desde la superficie de referencia o de numeración (Fig. 5). Puede denominarse,
en algunos casos, línea de flanco derecho la intersección del mencionado flanco con la
superficie de referencia.
Flanco izquierdo
Es el flanco o superficie lateral izquierda de un diente, cuando es observado con la
cabeza sobre el pie desde la superficie de referencia o de numeración (Fig. 5). Puede
denominarse, en algunos casos, línea de flanco izquierdo la intersección del mencionado
flanco con la superficie de referencia.
V. Ajustes y Tolerancias. 136
Paso de número K
Es el paso comprendido entre el perfil del diente (K –1) y el perfil homólogo del diente
K. Este paso es circunferencial y se denomina paso derecho o paso izquierdo, según se
mida entre dos flancos derechos o dos izquierdos, respectivamente (Fig. 5).
Paso primitivo
Es el valor nominal del paso circunferencial del dentado sobre la circunferencia
primitiva (Fig. 5).
Flanco Izquierdo
Flanco derecho
Paso de base Circulo de base
Circulo primitivo
Circulo de control
Figura 5
( de paso circular )
Sentido de la numeración
Paso circular
Es el valor del paso circunferencial sobre un circulo próximo a la circunferencia
primitiva (Fig. 5).
Paso base
Es la distancia entre los flancos homólogos consecutivos, medida sobre una tangente del
círculo base (Fig. 5).
Error individual de paso circular
Es la diferencia algébrica entre el paso circular efectivo o real y el paso circular teórico o
nominal. El paso circular teórico o nominal tiene como valor aproximado la media
aritmética de todos los pasos circulares efectivos.
Las figuras 4 y 6 dan la exposición de los errores de paso circular y la representación
grafica o curva de errores individuales de paso circular.
La curva se ha obtenido dividiendo el eje de abscisas en tantas partes (arbitrariamente
elegidas), a partir del origen, como número de diente tiene el engranaje, anotándose sobre
cada división el error individual del paso circular correspondiente a cada uno de los dientes.
V. Ajustes y Tolerancias. 137
Figura 6
0 1 2 3 4 5 6 Z
De la curva de errores podemos deducir el error individual máximo y mínimo, así como
el eje de abscisas del grafico, respecto al paso teórico. Este error individual máximo o
mínimo puede deducirse simplemente midiendo la máxima y mínima ordenada,
respectivamente, independientemente del signo, puesto que la desviación tendrá valor
absoluto.
El eje de abscisas del gráfico de los errores individuales respecto del paso teórico,
coincidirá con la suma algebraica A de los errores individuales de los Z pasos, dividida por
el número de dientes Z.
Error individual de paso base
Es la diferencia algebraica entre el paso efectivo real y el paso base teórico o nominal.
Error acumulado sobre un sector
En la figura 4 se ha anotado un punto M de origen y se ha definido, en trazo
interrumpido, el perfil teórico y en trazo continuo el perfil real.
El desplazamiento o decalaje circular K, como esta referido a un mismo origen M, pues
en la figura 4 en M coinciden el perfil teórico y real, es la suma algébrica de los errores
individuales desde el perfil de origen.
El desplazamiento o decalaje será positivo o negativo, según que el perfil real este en
avance o retroceso respecto del perfil teórico, según el giro de las agujas del reloj. En la
figura 7 se ha representado gráficamente los errores acumulados sobre un determinado
sector o, más concretamente, los desplazamientos o decalajes circulares en una rueda de Z
dientes.
La composición del grafico representativo de los desplazamientos o decalajes circulares
ya mencionados, se ha realizado sobre dos ejes de coordenados. El eje de abscisas se ha
dividido en tantas partes iguales de longitud arbitraria, como número de dientes tiene el
engranaje cuya representación se efectúa, coincidiendo la división Z con la cero. Sobre
estas divisiones del eje de abscisas se han llevado los valores algebraicos de los
V. Ajustes y Tolerancias. 138
desplazamientos o decalajes circulares, obteniéndose así el grafico representado a
continuación. Cualquiera de los valores referidos al eje de abscisas del citado grafico es el
error acumulado sobre el sector abarcado desde el diente cero al diente correspondiente a la
lectura.
0 1 2 3 4 5 6 Z
Figura 7
Si se deseara terminar el error acumulado entre dos dientes cualquiera, bastaría con
medir la diferencia de cota en vertical entre los puntos representativos de los
desplazamientos o decalajes circulares de los dientes elegidos.
Error de concentridad o excentridad
Es la distancia entre el eje de referencia y el eje geométrico del dentado. Este error da
origen a una curva de desplazamientos circulares de forma sinusoidal, cuya amplitud es
igual sensiblemente al doble del error de concentridad.
El mencionado error de concentridad o excentridad, afecta a la perfecta regularidad de la
transmisión.
Figura 6
V. Ajustes y Tolerancias. 139
La medición de este error, denominado también de redondez, se determina midiendo la
oscilación total radial que da un elemento de medida (Figura 8) convenientemente
posicionado en los dientes, durante una revolución completa, según se esquematiza. De la
amplitud de oscilación así medida, se deduce el error de concentridad, puesto que este error
es la mitad de la amplitud de la oscilación, sin cortar con la influencia de los flancos del
diente.
Error total de perfil
Para la determinación del error de perfil real, hay que encerrar o limitar el perfil real
obtenido mediante una máquina especial que lo amplía, entre dos perfiles de referencia
paralelos, que limitan con su posicionamiento tangencial las oscilaciones del perfil real
(Fig. 9).
La distancia entre los dos perfiles de referencia, medida sobre su normal común, se
denomina error total de perfil.
Chaflán
Círculo de fondo
Figura 9
Círculo activode pie
Error totalde perfil
Zona deexámen
La zona de observación será comprendida entre el chaflán de cabeza y la circunferencia
activa de fondo, o sea, la zona de contacto real del diente. En esta observación el perfil de
referencia será aquel que se desee obtener, pudiendo coincidir con el perfil teórico del
diente o contener variantes impuestas en el diseño.
Error total de distorsión
El error de distorsión se debe a la falta de correcta alineación relativa entre los ejes de
los engranajes y los flancos de los dientes. En los engranajes rectos, la alineación a que nos
referimos a de ser completamente paralela, y en los engranajes helicoidales deben tener los
flancos unas determinadas relaciones angulares con los ejes.
El error de distorsión es suma de dos errores combinados, pudiendo ser uno de ellos
nulo. Estos errores son: error de inclinación del trazo del flanco sobre un cilindro coaxial al
primitivo y error de forma longitudinal del diente.
El error de distorsión será determinado sobre la longitud total del dentado, siendo la
distancia entre los dos trazos de referencia.
V. Ajustes y Tolerancias. 140
Error compuesto radial
La determinación de los errores globales de un dentado, puede ser determinado sobre un
símil de funcionamiento en el cual se monta una rueda patrón de ejecución perfecta, y gran
dureza superficial, engranada con la rueda a controlar. Uno de los ejes va montando
solidario con la bancada de la máquina, mientras el otro sobre un carro deslizante.
Un resorte obliga al carro deslizante a mantener a los dos engranajes con presión radial
entre sí. Al ponerse en marcha el sistema, las variantes (errores) del engranaje a
inspeccionar se exteriorizan mediante oscilaciones del carro móvil, que pueden ser
recogidas en gráficos polares o cartesianos.
Error compuesto tangencial
En el símil descrito se podría obtener la desviación debida a los errores de dentado, que
producirán en las posiciones de la rueda controlada ciertas desviaciones respecto de aquella
otra posición que en teoría debería ocupar, es decir dimensionar las variaciones de
regularidad de marcha respecto de la teórica.
El registro de estos errores puede representarse gráficamente, y el error compuesto
tangencial será la amplitud total del diagrama, en el que el mayor de los errores parciales
acusados recibe el nombre de salto tangencial.
Control de montaje en disposición de funcionamiento
Error de distancia entre centros
Es la diferencia entre la distancia real o efectiva y la teórica o nominal.
Paralelismo de ejes
El error de paralelismo de ejes puede ser:
a) De inclinación o perdida de paralelismo, cuando los dos ejes definen un plano.
b) Desviación del plano de situación, o sea aquellos casos en que los ejes pueden estar
contenidos en dos planos no paralelos y no en uno común.
c) Desviación e inclinación, o sea, la combinación de los dos casos anteriores. Este
último caso combinado es el más generalizado.
Juego entre dientes
Es la mínima distancia entre los flancos que no toman contacto en la marcha real
(Fig. 10).
V. Ajustes y Tolerancias. 141
TOLERANCIAS ISA PARA ROSCAS MECANIZADAS
DE AJUSTES DESLIZANTES
CONCEPTOS BÁSICOS
Generalidades
El sistema de tolerancias ISA para roscas, ha sido estudiado para ser aplicado en usos
corrientes sin que se le exijan un ejemplar ajuste, salvo en lo que respecta a la
intercambiabilidad y buen comportamiento mecánico, o sea, que no se ha previsto en el
actual estado de normas ISA, el empleo en aparatos de grandes exigencias a los sistemas
roscados, tales como, por ejemplo, tornillos micrométricos, etc.
Nos limitaremos a exponer lo concerniente a roscas métricas por ser éste el
dimensionamiento más universal.
Los elementos susceptibles de mediad en una rosca, son:
Diámetro externo.
Diámetro medio.
Diámetro de núcleo.
Paso.
Angulo de filete.
Dimensiones afectadas por las tolerancias de roscas
Los dimensionamientos que afectan a las tolerancias de roscas, son:
Diámetro exterior.
Diámetro medio.
Diámetro de núcleo.
Controlados estos dimensionamientos, ya que se tiene en cuenta los errores de paso y
ángulo de los filetes, pues estos resultan ligados al diámetro medio. Las tolerancias de
roscas se dan en función de las medidas que contribuyen a que con una ligera variante se
produzcan interferencias, siendo estas dimensiones:
Paso
Diámetro de rosca (exterior)
Longitud del ajuste o de acoplamiento.
Pasos. Los pasos normales en las roscas métricas son en milímetros:
V. Ajustes y Tolerancias. 142
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,6
0,7
0,75
0,8
1
1,25
1,5
1,75
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
Diámetro de roscas
Los diámetros en rosca métrica normales son prácticamente todos. Las normas examinan
los diámetros nominales desde 0,8 mm hasta 500 mm siguiendo los valores de la serie R10
de los números normales.
Para las tolerancias de roscas se han establecido como para las tolerancias dimensiónales
de pieza lisas, los criterios de que para establecer la tolerancias es preciso fijar una posición
de tolerancia y una de ambas en función de unas dimensiones.
Los grupos de dimensiones de diámetros establecidos, son:
Más de 0,8 hasta 2
Más de 2 hasta 5
Más de 5 hasta 12,5
Más de 12,5 hasta 31,5
Más de 31,5 hasta 80
Más de 80 hasta 200
Más de 200 hasta 500
Media geométrica 1,25
Media geométrica 3,15
Media geométrica 8
Media geométrica 20
Media geométrica 50
Media geométrica 125
Media geométrica 315
Longitudinales de ajustes o acoplamientos
Las magnitudes de los ajustes al igual que los diámetros se dividen en grupos, que van
desde 0,25 hasta 2500 mm.
V. Ajustes y Tolerancias. 143
A efectos de cálculo se ha considerado, como para los diámetros, la media geométrica de
los valores extremos así:
Más de 0,25 hasta 0,63
Más de 0,63 hasta1,6
Más de 1,6 hasta 4
Más de 4 hasta 10
Más de 10 hasta 25
Más de 25 hasta 63
Más de 63 hasta 160
Más de 160 hasta 400
Más de 400 hasta 1000
Más de 1000 hasta 2500
Media geométrica 0,4
Media geométrica 1
Media geométrica 2,5
Media geométrica 6,3
Media geométrica 16
Media geométrica 40
Media geométrica 100
Media geométrica 250
Media geométrica 630
Media geométrica 1600
Calidades
Las calidades establecidas son:
Precisa.
Media.
Basta.
Las tolerancias de:
Diámetro exterior del tornillo.
Diámetro del fondo de roscas de tuerca o de núcleo.
Diámetro de crestas de la tuerca o exteriores.
Son comunes por considerarse que grandes juegos en las crestas no afectan a las roscas.
Las tolerancias de:
Diámetros medios del tornillo.
Diámetros medios de la tuerca.
Diámetros de núcleo del tornillo.
Varían con las calidades.
La zona de tolerancias resulta de la adicción de tres sumandos resultantes cada uno de
ellos, de los dimensionamientos que influyen sobre el ajuste a efectos de la tolerancia. Paso,
ángulo de filete y diámetro medio.
V. Ajustes y Tolerancias. 144
t = tp + ta + td
Siendo:
t = Tolerancia absoluta.
tp = Tolerancia del paso
ta = Tolerancia del ángulo del filete.
td = Tolerancia del diámetro medio.
Los valores de estas tolerancias son:
t = 12. 1
t =39 P
t = 40 (0,45 d + 0,001 d)
Ñp
p
a
d
3
1
0,6
Siendo:
l = Longitud del acoplamiento
p = Paso
d = Diámetro medio
Al sustituir en las formulas los valores medios geométricos de los diámetros y de las
longitudes manteniendo constante la relación longitud a diámetro:
Se obtienen para cada valor del paso de las tolerancias.
Si se estudia para cada diámetro los pasos de frecuente empleo, se forma una serie de
valores de tolerancia denominada serie S. Se han estudiado nueve valores de la relación l/d
que dan las nueve series S principales y se han intercalado por interpolación una serie
anterior y dos posteriores, con lo que las series S son 12, asignándole a cada una los
números: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, cuyos valores anotados (tabla LXIX).
V. Ajustes y Tolerancias. 145
Tabla LXIX – VALORES DE LAS SERIES FUNDAMENTALES
Grupos de
Diámetros
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
De 0,8 a 1,7 18 22 28 36 45 56 71 90 112 140 180 224
De 2 a 5,5 25 32 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315
De 6 a 11 36 45 56 71 90 112 140 180 224 280 355 450
De 11,5 a 33 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630
De 34 a 80 71 90 112 140 180 224 280 355 450 560 710 900
De 82 a 200 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1000 1250
De 202 a 500 140 180 224 280 355 450 500 710 900 1120 1400 1800
Posiciones de la tolerancia y diferencias
Las posiciones de tolerancias para roscas vienen expresadas en función del diámetro
medio y designados por una letra minúscula para ejes y una letra mayúscula para agujeros o
tuercas. Las diferencias fundamentales o diferencias de referencia para el diámetro medio,
se establecen en cero, es decir, que las tolerancias se corresponden por analogía con las
posiciones H y h de las piezas lisas.
Posiciones y tolerancias para los diámetros exteriores de tornillos
Las tolerancias de los diámetros exteriores de los tornillos resultan, a efectos de
agujeros, análogas en su elección a cuanto se ha indicado en ajustes de piezas lisas,
teniendo en cuenta que la zona de contacto entre tuerca y tornillo no debe ser inferior al
60% de su valor teórico en pasos de 1,5 mm y mayores. Es igualmente admisible para
pasos menores hasta un 50%, siempre teniendo en cuenta la tolerancia del diámetro medio,
pues una tolerancia se liga a la otra por el proceso empleado en la fabricación. Así, cuando
la mecanización de la rosca se efectúa con una herramienta completa, o sea, con peines de
roscar, la tolerancia del diámetro medio no deberá ser superior que la del diámetro exterior.
En el caso de herramientas generadoras o múltiples, como una fresa madre, la tolerancia
del diámetro medio se vincula a la del diámetro extremo por la relación:
t = 2r
Siendo:
t = Tolerancia del diámetro medio.
r = radio del redondeado del fondo de la herramienta.
Tolerancias de los diámetros de núcleo de tornillo y tuercas.
La tolerancia de núcleo es 1,6, la tolerancia del diámetro medio.
Las diferencias de referencias son:
V. Ajustes y Tolerancias. 146
Para el tornillo: 0
Para la tuerca: un valor sobre la línea cero que se establece de tal forma que el
diámetro mínimo no disminuye la zona de contacto.
La diferencia superior es: +1,4 veces la tolerancia del diámetro exterior del tornillo para
pasos menores o iguales a 1,5 mm y 1,12 para pasos mayores de 1,5 mm.
TOLERANCIAS DE CONOS
Los conos, como elementos de unión, empleados generalmente como embragues fijos de
arrastre, necesitan de una gran precisión de ejecución, máxime cuando por su especial
constitución de no quedar perfectamente ajustados, sufren una rápida degradación durante
su funcionamiento que los inutiliza completamente.
Las tolerancias de los conos no tienen una especificación especial y están sujetas, en
general, a las dimensiones externas solicitadas.
En calderería las tolerancias dimensiónales suelen fijarse en calidades ₤s 14 a ₤s 16,
estando ligadas a ellas, por supuesto, las conicidades.
En los ajustes mecanizados o de precisión, cabe distinguir dos tipos: ajuste con precisión
de contacto o aquellos en los que no importa el desplazamiento en el ajuste de las piezas
entre sí, pero, sin embargo, se exige una precisión en este; y aquellos otros ajustes de gran
precisión de posicionamiento y de ajuste.
En el primer grupo o conos de gran precisión de contacto, la variable fundamental a
mantener con rigurosidad es la conicidad, no importando que la tolerancia diametral tenga
mayor o menor amplitud.
En el segundo grupo de ajuste cónicos han de reunir, aparte de un perfecto ajuste en la
conicidad, una gran coincidencia de posición de piezas unas respecto de otras, o sea, una
gran rigurosidad en los diámetros.
Las tolerancias de los diámetros van ligadas a la rigurosidad del proyecto en sí, mientras
que las conicidas varían según el grado de precisión entre el 0,01% al 0,04%, para producir
ajustes de buena calidad y gran facilidad de arrastre.
TOLERANCIAS EN LOS MONTAJES DE RODAMIENTOS
Tolerancias de ejes
Los ejes para montajes de rodamiento presentan tolerancias muy variadas según el
empleo. Por ello damos reseña de las normales, ajustándonos a los siguientes apartados:
Cojinetes radiales con agujero cilíndrico.
Cojinetes radiales con agujero cónico y manguito.
Cojinetes de empuje axial.
V. Ajustes y Tolerancias. 147
Cojinetes radiales con agujero cilíndrico
En este tipo de cojinetes pueden distinguirse tres grandes grupos de empleo:
Cojinetes cargados en el anillo interior.
Cojinetes con carga giratoria o indeterminada en el anillo interior.
Cojinetes radiales empleados para soportar cargas axiales puras.
Cojinetes radiales cargados en el anillo interior
Este tipo de trabajo es aquel que se presenta en los rodamientos cuando la pista interna
permanece fija en su sujeción al eje sin giro, mientras la pista externa es la que tiene
movimiento. Este tipo de cojinetes recibe continuamente en una misma zona de su pista
interna la tensión de trabajo por el paso interrumpido de los elementos rodantes, mientras
que en la pista externa se homogeniza el trabajo. Los empleos clásicos en estas condiciones
son: ruedas locas, poleas tensoras, poleas intermedias de cable, ejes intermedios de cajas de
cambio, bujes de vehículos, ejes de vagones, etc.
Tolerancias:
Según los acoplamientos el anillo interior puede ser fácilmente desplazable sobre el eje
impuesto por una necesidad, y entonces para cualquier diámetro suelen adoptarse
tolerancias:
Rodamientos de bolas en general { g6
Montajes Fáciles ........... g6
Rodamientos de agujas Montajes normales ......... h6
Montajes de precisión .... h5
Si el anillo interior no tiene necesidad de desplazarse fácilmente sobre el eje, suele
emplearse tolerancia:
Rodamientos de bolas en general { h6
Rodamientos de agujas { h5
Cojinetes radiales con carga giratoria o indeterminada en el anillo interior
Este tipo de trabajo es aquel que se presenta en los rodamientos cuando la pista externa
permanece fija en su sujeción al alojamiento sin giro, mientras que la pista interna es la que
tiene movimiento.
En este tipo de trabajo la pista externa recibe en una misma zona y de forma continuada
la tensión de trabajo por el paso ininterrumpido de los elementos rodantes, mientras que en
la pista interna se homogeniza el trabajo.
Puede distinguirse tres tipos de carga sobre estos rodamientos: cargas ligeras y variables,
cargas normales y pesadas, cargas muy pesadas o con condiciones duras de choque.
V. Ajustes y Tolerancias. 148
Cargas ligeras y variables: se sobre entienden por cargas ligeras las inferiores al 6 o 7%
de la capacidad de carga. Tal sucede en el caso de aparatos electrodomésticos, bombas,
algunos empleos de máquinas herramientas, etc.
Tolerancias:
Diámetros hasta 18 mm
Cojinetes de bolas Diámetros de 18 a 100 mm empleos corrientes.. j6
empleos precisos.. j5
empleos corrientes ..k6
Diámetros de 100 a 200 mm empleos precisos...k5
Diámetros hasta 40 mm empleos corrientes ..j6
empleos precisos... j5
Cojinetes de rodillo Diámetros de 40 a 140 mm empleos corrientes..k6
Cilíndricos y cónicos empleos precisos ..k5
Diámetros de 140 a 200 mm empleos corrientes..m6
empleos precisos ..m5
Diámetros hasta 40 mm empleos corrientes ..k6
empleos precisos... k5
Cojinetes de rodillos Diámetros de 40 a 140 mm empleos corrientes..k6
Oscilantes empleos precisos ..k5
Diámetros de 140 a 200 mm empleos corrientes..m6
empleos precisos ..m5
Diámetros hasta 50 mm ........ j5
Cojinetes de agujas Diámetros de 50 a 150 mm ...... m5
Diámetros de 150 mm en adelante
Cargas normales y pesadas. Las cargas normales y pesadas se presentan en reductores de
engranajes de gran potencia, grandes motores eléctricos, maquinaria pesada de
mecanización, etc.
V. Ajustes y Tolerancias. 149
Tolerancias:
Diámetros hasta 18 mm ....................... j5
Diámetros de 18 a 100 mm .................. k5
Cojinetes de bolas Diámetros de 100 a 140 mm .................. m5
Diámetros de 140 a 200 mm .................. m6
Diámetros de 200 a 280 mm .................. n6
Diámetros hasta 40 mm ....................k5
Diámetros de 40 a 140 mm .............. m5
Cojinetes de rodillos (Rodamientos de rodillos cónicos pueden ir en m6)
Cilíndricos y cónicos Diámetros de 140 a 200 mm ........... n6
Diámetros de 200 a 400 mm ............ p6
Diámetros hasta 40 mm ...................... k5
Cojinetes de rodillo Diámetros de 40 a 65 mm ................... m5
Oscilantes Diámetros de 65 a 100 mm .................. m6
Diámetros de 100 a 140 mm ................. n6
Diámetros de 140 a 280 mm ................. p6
Diámetros de 280 a 500 mm ................ r6
Diámetros superiores a 500 mm ............ r7
Diámetros hasta 50 mm ....................... k5
Cojinetes de agujas Diámetros de 50 a 150 mm ................. m5
Con pista interior Diámetros superiores a 150 mm ... m6 o m5
Cargas muy pesadas o con condiciones duras de choque. El empleo más generalizado
con este tipo d carga, se obtiene en: apisonadoras, tractores, rodados de ferrocarriles, etc.
Tolerancias:
V. Ajustes y Tolerancias. 150
No damos tolerancias de los rodamientos de bolas por no ser aconsejable su empleo en
este tipo de carga.
Cojinetes de rodillo Diámetros de 50 a 140 mm ................ n6
Cilíndricos y cónicos Diámetros de 140 a 200 mm .............. p6
Diámetros de 50 a 100 mm ................. n6
Cojinetes de rodillos Diámetros de 100 a 140 mm ................ p6
Oscilantes Diámetros de 140 a 200 mm ................r6
Diámetros de 200 a 500 mm .............. r7
Cojinetes de agujas Diámetros hasta 160 mm .................. n6
con pista interior Diámetros superiores a 160 mm ..........p6
Cojinetes radiales empleados para soportar cargas axiales puras
Este tipo de empleo es conveniente realizarlo siempre con cojinetes axiales, pues si bien
existen algunas clases que los soportan bien, como, por ejemplo, los cojinetes rígidos u
oscilantes de bolas y los cojinetes cónicos, no dan nunca un resultado óptimo en un empleo
axial puro. Quedan totalmente descartados, por supuesto, los cojinetes radiales de agujas.
Tolerancias
Las tolerancias aconsejables para cualquier diámetro son:
Cojinetes de bolas Todos los Diámetros ................................ j6
rígidos y oscilantes
Cojinetes de rodillos
Cilíndricos, cónicos y Todos los Diámetros ................................. j6
Oscilantes
V. Ajustes y Tolerancias. 151
COJINETES RADIALES CON AGUJERO CÓNICO Y MANGUITO
Este tipo de rodamientos se emplea para cualquier maquinaria y permite la fijación del
rodamiento en cualquier lugar del eje, sin precisar para ello resaltos, y bastando
simplemente el empleo de ejes calibrados.
Tolerancias:
Todos los diámetros h9
No debe sobrepasar el valor máximo de las
diferencias de forma, excentridad,
Maquinaria en general poligonalidad, conicidad, etc., el valor IT5
Todos los diámetros h10
No debe sobrepasar el valor máximo de las
diferencias de forma, excentridad,
poligonalidad, conicidad, etc., el valor IT7
COJINETES CON EMPUJE AXIAL
Los cojinetes de empuje axial suelen montarse con los siguientes ajustes:
Cojinetes con carga axial pura.
Cojinetes con carga axial, radial y rodillos oscilantes.
Cojinetes con carga axial pura
Tolerancias:
Todos los tipos de
Rodamientos (excepto Todos los diámetros .............. j6
agujas)
Rodamientos de agujas { Todos los diámetros ............... h10
Cojinetes con carga axial, radial y rodillos oscilantes
Tolerancias:
Todos los tipos de Diámetros hasta 200 mm ...................k6
rodamientos (salvo Diámetros de 200 a 400 mm ............. m6
los de agujas) Diámetros superiores a 400 mm ........ n6
V. Ajustes y Tolerancias. 152
TOLERANCIAS DE ALOJAMIENTOS
Los alojamientos para rodamientos pueden ser diseñados de muy diversas formas y en
sus tolerancias no influyen las asociaciones que se realicen de piezas en sentido axial, tales
como, por ejemplo retenes, tapas, anillos elásticos, etc. Más lo que si presenta interés es que
el alojamiento en si quede partido en dos mitades abrochadas en algunos casos. La
influencia en este tipo de diseño, consiste fundamentalmente en una mayor deformabilidad
del conjunto.
En los montajes de alta precisión o grandes esfuerzos, no son interesante alojamientos en
dos mitades, recurriendo a ellos solamente en el caso que no se puedan eludir.
Las tolerancias que vamos a enumerar son las aconsejables para alojamientos en
materiales férreos, siendo interesantes mayores aprietos para aleaciones ligeras y plásticos.
Para la exposición de las tolerancias estableceremos fundamentalmente las divisiones:
Alojamientos para rodamientos radiales.
Alojamientos para rodamientos axiales.
ALOJAMIENTOS PARA RODAMIENTOS RADIALES
Dentro de los cojinetes radiales y atendiendo a las condiciones de aplicación de carga,
cabe distinguir:
Cojinetes con carga giratoria sobre la pista externa.
Cojinetes con carga de dirección indeterminada.
Cojinetes con carga fija sobre la pista externa.
Cojinetes con carga giratoria sobre la pista externa. Empleos clásicos de este tipo de
carga son: piñones locos de cajas de cambio, bujes de rueda, cojinetes de pie de biela,
poleas locas, poleas de cable, poleas tensoras, etc.
Tolerancias:
Para su exposición atenderemos a los siguientes apartados:
Cojinetes para fuertes cargas y grandes brusquedades con alojamientos de pared delgada
y pista externa fija.
Todos los diámetros de rodamientos Todos lo diámetros ............. P7
(incluidos los de aguja)
Cojinetes para cargas normales y pesadas con pista externa fija.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. N7
V. Ajustes y Tolerancias. 153
(incluidos los de aguja)
Cojinetes para cargas ligeras y variables con pista externa fija.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. M7
(incluidos los de aguja)
Cojinetes con carga indeterminada. Empleos clásicos de este tipo de carga son:
excéntricas de bombas, motores eléctricos, compresores, cojinetes de bancada de cigüeñal,
etc.
Tolerancias:
Para su exposición atenderemos a los siguientes apartados:
Cojinetes para cargas fuertes con choque.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. M7
(incluidos los de aguja)
Cojinetes para cargas fuertes y normales con desplazamiento de la pista externa.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. K7
(incluidos los de aguja)
Cojinetes para cargas normales y ligeras con desplazamientos de la pista externa.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. λ7
(incluidos los de aguja)
Cojinetes con carga fija sobre la pista externa. Empleo clásicos de este tipo de carga son:
transmisores, molinos de bolas, gran parte de la maquinaria en general, cajas de cambio,
etc.
Tolerancias:
Para su exposición atenderemos a los siguientes apartados:
V. Ajustes y Tolerancias. 154
Cojinetes para cualquier tipo de carga o aplicaciones en general, con pista externa
fácilmente desplazable.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. H7
(incluidos los de aguja)
Cojinetes para cargas con choque sufriendo alteraciones y descargas ocasionales, con
pista externa generalmente desplazable.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. λ7
(incluidos los de aguja)
Cojinetes para cargas normales y bajas, sin grandes exigencias y con pista externa
fácilmente desplazable.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. H8
(incluidos los de aguja)
Cojinetes con paso de calor a través del eje, con pista externa fácilmente desplazable.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. G7
(incluidos los de aguja)
Montaje de cojinetes radiales con gran precisión.
Estos montajes de gran precisión, como sucede por ejemplo en el caso de los ejes
principales de máquinas herramientas, utillaje de control, etc., han de forzarse en su diseño
para ser realizados en el tipo de alojamientos de una sola pieza.
Tolerancias:
Para su exposición atenderemos a los siguientes apartados:
Cojinetes con exigencias de precisión en el giro, pequeñas flexiones bajo carga variable
y pista externa no desplazable.
Todos los tipos de rodamientos Diámetros hasta 125 mm ............. M6
(excepto agujas) Diámetros hasta 125 mm ............. N6
V. Ajustes y Tolerancias. 155
Cojinetes con exigencias de precisión, cargas pequeñas con dirección indeterminada y
pista externa generalmente no desplazable.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. K6
(incluidos los de aguja)
Cojinetes con exigencias de precisión de giro y pista externa generalmente desplazable.
Todos los tipos de rodamientos Todos lo diámetros ............. λ7
(exceptuando los de aguja)
ALOJAMIENTOS PARA RODAMIENTOS CON EMPUJE AXIAL
Tolerancias:
Cojinetes axiales de bolas con Todos los diámetros ............ H8
Carga axial pura sin que se Observación: Se montará el aro fijo
Requiera gran exactitud de giro. o la contraplaca con juego radial.
Cojinetes axiales de agujas con Todos los diámetros .............H10
Carga axial pura
Cojinetes axiales de rodillos a Observación: Se montara el aro fijo
Rótula con ejes perfectamente con radial, todos los diámetros ... G6
Guiados por otros cojinetes.
V. Ajustes y Tolerancias. 156
Observación: Carga fija en el aro exterior
o dirección de carga indeterminada
Todos los diámetros ................... λ7
Cojinetes axiales de rodillos a Observación: Carga rotativa sobre
Rótula u oscilantes con carga aro exterior
Compuesta axial y radial Todos los diámetros .................. K7
Observación: Carga rotativa sobre
el aro exterior con carga radial
relativamente grande
Todos los diámetros ................. M7
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 157
APÉNDICE
REPASO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
¿Qué es la estadística?
En nuestro trabajo, por conversaciones con otras personas y por los medios
masivos de comunicación de diversos tipos (libros, periódicos, televisión, Internet,
etc.) nos enfrentamos a una gran cantidad de datos o información. El campo de la
estadística tiene que ver con la recopilación, presentación, análisis y uso de datos
para tomar decisiones y resolver problemas.
Puesto que los ingenieros y los científicos obtienen y analizan datos de manera
rutinaria, el conocimiento de la estadística tiene una importancia especial en estos
campos.
El papel de la estadística en la ciencia y la ingeniería
La importancia de la estadística en la ingeniería y la ciencia ha sido subrayada por
la participación de la industria en el aumento de la calidad. Muchas compañías se han
dado cuenta que la baja calidad de un producto (ya sea en la forma de defectos de
fabricación, en una baja confiabilidad en su rendimiento o en ambos) tiene un efecto
muy pronunciado en la productividad global de la compañía, en el mercado y la
posición competitiva y finalmente, en la rentabilidad de la empresa. Mejorar estos
aspectos de la calidad puede eliminar desperdicio, disminuir la cantidad de material
de desecho, la necesidad de volver a maquinar piezas, los requerimientos para
inspección y prueba y las perdidas por garantía, además de mejorar la satisfacción del
consumidor y permitir que la empresa se convierta en un productor de alta calidad y
bajo costo en el mercado. La estadística es un elemento decisivo en el incremento de
la calidad, ya que las técnicas estadísticas pueden emplearse para describir y
comprender la variabilidad.
Virtualmente todos los procesos y sistemas de la vida real exhiben variabilidad.
Por ejemplo, considere la situación donde, de un proceso de maquinado, se
seleccionan varios componentes del motor de una aeronave y se mide la altura de la
turbina del propulsor de cada parte. Si el instrumento de medición tiene una
resolución suficiente, la altura de cada turbina será diferente; esto es, habrá
variabilidad en la dimensión.
¿Por qué se presenta la variabilidad? En general, la variabilidad es el resultado de
cambios en las condiciones bajo las que se hacen las observaciones. En el contexto de
la manufactura, estos cambios pueden ser diferencias en las propiedades de los
materiales utilizados, en la forma en que trabajan los obreros, en las variables del
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 158
proceso (tales como la temperatura, la presión o el tiempo de ocupación) y en factores
ambientales (como la humedad relativa). La variabilidad también se presenta debido
al sistema de medición utilizado. Por ejemplo, la medición obtenida a partir de una
escala puede depender del lugar del panel en que se coloque el objeto a medir.
El campo de la estadística y la probabilidad consiste en métodos tanto para
describir y modelar la variabilidad, como para tomar decisiones en presencia de ésta.
En la estadística inferencial lo que se desea hacer es tomar una decisión acerca de una
población en particular. El término población se refiere a la recolección de
mediciones de todos los elementos del universo con respecto al cual se quieren
obtener conclusiones o tomar decisiones.
En la mayoría de las aplicaciones de la estadística, los datos disponibles consisten
de una muestra de la población de interés. Ésta muestra es solo un subconjunto de
observaciones seleccionadas de una población.
El campo de la estadística inferencial se ha desarrollado principalmente desde
comienzos de este siglo. Es resultado de los métodos para organizar y resumir datos,
cuyos orígenes se remontan a varios siglos atrás. Estos métodos para resumir y
organizar datos se denominan estadística descriptiva. La mayor parte del uso
moderno de la estadística, particularmente en la ciencia y la ingeniería, se dirige más
hacia la inferencia que a la descripción. Por ejemplo, un ingeniero que diseña una
nueva máquina agrícola fabricará una muestra (prototipo) de varias de ellas, y
entonces querrá obtener conclusiones sobre la forma en que estos dispositivos
funcionaran una vez que se produzcan a gran escala.
El enfoque de este apéndice se encuentra en la presentación de los conceptos
básicos de la probabilidad. El conocimiento de este tema constituye la base que
permite comprender la forma en que se desarrollan las técnicas de la inferencia
estadística y la toma de decisiones, por qué funcionan y cómo pueden presentarse e
interpretarse de manera correcta las conclusiones obtenidas con estos procedimientos.
Es de suma importancia para el objetivo del libro tener referencias rápidas sobre
conceptos de probabilidad, ya que es lo más usado en los capítulos 3, 4 y 5 de nuestro
libro. Sin embargo no abordaremos los temas de estadística inferencial, ya que van
más allá de nuestro objetivo y extenderían demasiado el contenido de este apéndice.
En la bibliografía consultada se recomendaran ciertas publicaciones de interés para
ahondar más en este tema.
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 159
Probabilidad
El término probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre.
En cualquier situación en la que pueda ocurrir uno de varios resultados, la teoría de la
probabilidad proporciona métodos para cuantificar las oportunidades, o
probabilidades, que están asociadas con los diversos resultados. En ésta sección se
introducirán algunos conceptos elementales de probabilidad, indicamos cómo es que
se pueden interpretar las probabilidades y demostramos la forma en que las reglas de
las probabilidades pueden aplicar para calcular las probabilidades de muchos eventos
de interés.
1. Espacios muestrales y eventos
Un experimento es cualquier acción o proceso que genere observaciones. Los
experimentos que pueden ser de interés incluyen lanzar al aire una moneda una o
varias veces, medir el diámetro de n ejes fabricados en un mismo proceso, seleccionar
una o varias barajas de una mano, etc.
El espacio muestral de un experimento, denotado por S, es el conjunto de todos los
posibles resultados de ese experimento.
El experimento más sencillo en el cual se aplica la probabilidad es aquel que tiene
dos posibles resultados, por ejemplo, el examinar un fusible para ver si está
defectuoso. El espacio muestral para este experimento se puede abreviar como
DNS , , donde N representa no defectuoso, D representa defectuoso y las llaves
se utilizan para encerrar los elementos de un conjunto. Si examinamos tres fusibles en
secuencia y observamos el resultado de cada examen, entonces un resultado para todo
el experimento es cualquier secuencia de letras N y D de largo 3, asÍ que:
DDDDDNDNDDNNNDDNDNNNDNNNS ,,,,,,, .
Un evento es cualquier conjunto (subconjunto) de resultados contenido en el
espacio muestral S. Se dice que un evento es simple si está formado exactamente por
un resultado y compuesto si consta de más de un resultado.
Cuando se realiza un experimento, se dice que ocurre un evento particular A si el
resultado experimental está contenido en A. En general, exactamente ocurrirá un
evento simple, pero ocurrirán muchos eventos compuestos de forma simultanea.
En nuestro ejemplo anterior podemos considerar que ocurren, al menos, los
siguientes tres eventos:
NNDNDNDNNA ,, El evento en que exactamente uno de los tres fusibles
está defectuoso.
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 160
NNDNDNDNNNNNB ,,, El evento en que a lo sumo uno de los tres
fusibles está defectuoso.
DDDNNNC , El evento en que tres fusibles están defectuosos y tres no lo
están.
2. Algunas relaciones de teoría de conjuntos
Se puede decir que un evento es un conjunto, de modo que se pueden emplear las
relaciones y resultados de la teoría básica de conjuntos para estudiar eventos. Los
siguientes conceptos de teoría de conjuntos se emplearán para construir nuevos
eventos a partir de eventos dados.
a) La unión de dos eventos A y B, denotada por AB y que se lee ―A o B‖, es
el evento formado por todos los resultados que están, ya sea en A o en B o
en ambos eventos, por lo que la unión incluye resultados que ocurren A y
B, así como resultado para los que ocurre exactamente uno.
b) La intersección de dos eventos A y B, denotada por AB y que se lee ―K y
B‖ es el evento formado por todos los resultados que están en A y en B.
c) El complemento de un evento A, denotado por A’, es el conjunto de todos
lo resultados en S que no están contenidos en A.
A veces A y B no tienen resultados en común, de modo que la intersección de A y
B no tiene resultados. Cuando esto sucede, se dicen que son eventos mutuamente
excluyentes o disjuntos.
3. Axiomas, interpretaciones y propiedades de probabilidad
Dado un experimento y un espacio muestral S, el objetivo de la probabilidad es
asignar a cada evento A un número P(A), que recibe el nombre de probabilidad del
evento A, que darse una medida precisa de la probabilidad de que A ocurra. Para
asegurarse de que las asignaciones de probabilidad sean consistentes con nuestras
nociones intuitivas de probabilidad, todas las asignaciones deberían satisfacer los
siguientes axiomas (propiedades básicas) de probabilidad.
Axioma 1: Para cualquier evento A, 0AP
Axioma 2: 1SP
Axioma 3:
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 161
a) Si nAAA ,...,, 21 es un conjunto finito de eventos mutuamente excluyentes,
entonces
n
i
in APAAAP1
21 ...
b) Si ,...,,, 321 AAA es un conjunto infinito de eventos mutuamente
excluyentes, entonces
1
321 ...i
iAPAAAP
Propiedades de probabilidad: Aquí enumeramos algunas propiedades básicas de la
probabilidad.
Para cualquier evento A, '1 APAP
Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces 0BAP
Para dos eventos A y B cualesquiera:
BAPBPAPBAP . Esto se denomina
probabilidad de la unión.
La probabilidad de una unión de más de dos eventos se puede calcular de manera
análoga. Para tres eventos A, B, y C, el resultado es:
CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP
4. Técnicas de conteo
Los experimentos a veces tienen tantos eventos simples que no resulta practico
enumerarlos todos. Sin embargo, muchos de estos experimentos pueden ser
analizados usando técnicas o reglas generales de conteo, sin necesidad de crear una
lista de todos los resultados posibles. Éstas reglas son útiles también en problemas en
donde los resultados no son igualmente probables y muchas de estas técnicas se usan
para estudiar las distribuciones de probabilidad, que son la base de este apéndice.
La regla del producto para pares ordenados
Esta se define de la manera siguiente: si el primer elemento u objeto de un par
ordenado se puede usar en n1 formas y por cada una de estas n1 formas se puede
seleccionar el segundo elemento del par en n2 formas, entonces el número de pares es
n1n2.
5. Una regla del producto más general
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 162
Si se tira un dado de seis caras en cinco ocasiones sucesivas en lugar de solo dos,
entonces cada posible resultado es un conjunto ordenado de cinco números tales
como (1, 3, 1, 2, 4)o (6, 5, 2, 2, 2). A un conjunto ordenado de K objetos le daremos
el nombre de k-ada (un par es 2-ada, y un triple es 3-ada, etc.). Cada resultado del
experimento de lanzar dados es entonces una 5-ada.
Entonces, la regla del producto sería la siguiente: suponiendo que cada grupo está
formado por grupos ordenados de K-elementos (k-adas) y que hay n1 posibles
opciones para el primer elemento; por cada opción del primer elemento hay n2
posibles opciones del segundo elemento; ..., por cada posible opción de los primeros
k-1 elementos hay nk opciones del k-ésimo. Hay entonces n1, n2,..., nk posibles k-adas.
6. Permutaciones
Hasta los momentos, los sucesivos elementos de una k-ada se seleccionaron de
conjuntos por completo diferentes. En varios tiros de un dado, el conjunto del cual se
seleccionan sucesivos elementos es siempre {1, 2, 3, 4, 5, 6}, pero las opciones se
hacen con ―reemplazo‖ para que el mismo elemento pueda aparecer más de una vez.
Ahora consideramos un conjunto fijo formado de n distintos elementos y suponemos
que se forma una k-ada al seleccionar sucesivamente de este conjunto sin reemplazo
para que un elemento pueda aparecer en a lo sumo k posiciones.
Dicho lo anterior se llamará Permutación de tamaño k de los objetos, a cualquier
secuencia ordenada de k-objetos tomados de un conjunto de n objetos distintos. El
número de permutaciones de tamaño k que puede construirse de los n objetos se
denota por Pk,n y se define matemáticamente como:
!!
,kn
nP nk
7. Combinaciones
Dado un conjunto de n objetos distintos, cualquier subconjunto no ordenado de
tamaño k de los objetos se llama Combinación. El número de combinaciones de
tamaño K que se puede formar de n objetos distintos se denotará por
k
n y
matemáticamente se define por:
!!
!
!
,
knk
n
k
P
k
n nk
Y se lee combinatorio de n en k.
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 163
Observemos que 1
n
n y 1
0
n y puesto que hay sólo una forma de
seleccionar un conjunto de (todos) los n elementos o de no elementos, y nn
1
puesto que hay n subconjuntos de tamaño 1.
8. Probabilidad condicional
Aquí analizaremos la forma en que la información, ―ha ocurrido un evento B‖,
afecta la probabilidad asignada a A. Por ejemplo, A pudiera referirse a un individuo
que tiene una enfermedad en particular en la presencia de ciertos síntomas. Si se
realiza una prueba sanguínea en el individuo y el resultado es negativo (B = prueba
sanguínea negativa), entonces la probabilidad de tener la enfermedad cambiará (debe
disminuir, pero por lo general no es cero porque las pruebas sanguíneas no son
infalibles). Utilizaremos la notación P(A|B) para representar la probabilidad
condicional de A dado que el evento B ha ocurrido.
La probabilidad condicional de A dado que B ha ocurrido, para dos eventos A y B
cualesquiera con P(B)>0, se define como: BP
BAPBAP
|
Por ejemplo: supongamos que de todos los individuos que compran cierta
computadora personal, 60% incluye un programa procesador de palabras en su
compra, 40% incluye un programa de hoja de cálculo y 30% incluye ambos tipos de
programas. Consideremos que se selecciona al azar un comprador y sea
A={programa procesador de palabras incluido} y B={programa de hoja de cálculo
incluido}. Entonces P(A)=0.60, P(B)=0.40 y P(ambos incluidos)= P(AB)=0.30
dado que el individuo seleccionado incluyó un programa de hoja de cálculo, la
probabilidad de que un programa procesador de palabras esté incluido es:
75.040.0
30.0|
BP
BAPBAP
Esto es, de los que compran un programa de hoja e cálculo, 75% compraron un
programa procesador de palabras. Análogamente,
50.060.0
30.0|||
AP
BAPBAPpalabrasdeprocesadorcálculodehojaP
Observemos que: BPABPyAPBAP ||
9. La regla de multiplicación para P(AB)
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 164
La definición anterior produce el siguiente resultado, obtenido al multiplicar
ambos lados por P(B).
BPBAPBAP |
Esta regla es importante porque con frecuencia es el caso en el que se desea
P(AB) mientras que P(B) y P(A|B) se puede especificar de la descripción del
problema. Una consideración de P(B|A) dará P(AB)=P(B|A)P(A)
10. Teorema de Bayes
El cálculo de una probabilidad posterior P(Ak|B) de probabilidades anteriores
dadas P(Ai) y probabilidades condicionales P(B|Ai) ocupa una posición central en la
probabilidad elemental.
Para expresar la regla general para tales cálculos, que es realmente sólo una
aplicación simple de la regla de la multiplicación, necesitamos primero otro resultado.
Recordemos que los eventos nAA ,...,1 son mutuamente excluyentes si no hay dos que
tengan algún resultado en común. Los eventos son exhaustivos si debe ocurrir una Ai,
de modo que SAA n ...1
La ley de probabilidad total, entonces viene expresada por lo siguiente: sean
nAA ,...,1 eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos. Luego, para cualquier otro
evento B,
n
I
iinn APABPAPABPAPABPBP1
11 ||...|
El teorema de Bayes, se basa en el resultado anterior: sea nAA ,...,1 un conjunto de
n eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos con 0iAP para ni ,...,1 .
Entonces para cualquier otro evento B para el que P(B)>0:
n
i
ii
kkkk
APABP
APABP
BP
BAPBAP
1
|
||
11. Independencia
Hay situaciones en que la probabilidad de que A ocurrirá o ha ocurrido no es
afectada al saber que B ha ocurrido, de modo que P(A|B) = P(A). Entonces es natural
que consideremos a A y B como eventos independientes, lo que quiere decir que la
ocurrencia o no de un evento no tiene relación con la probabilidad de que ocurra otro.
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 165
Se dice entonces que dos eventos A y B son independientes si P(A|B)=P(A) y son
dependientes de otro modo.
También se puede decir que A y B son eventos independientes si y sólo si la
probabilidad de que ambos ocurran (AB) es el producto de las dos probabilidades
individuales, es decir:
BPAPBAP
La definición anterior puede aplicarse a conjuntos de más de dos eventos, al
entenderse que los eventos son mutuamente excluyentes si la probabilidad de la
intersección de cualquier subconjunto de los n eventos es igual al producto de las
probabilidades individuales. Matemáticamente se define: los eventos nAA ,...,1 son
mutuamente independientes si para toda k(k = 2, 3,..., n) y todo subconjunto de
índices i1, i2,..., ik,
kk iiiiii APAPAPAAAP ......
2121
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 166
Variables aleatorias y discretas y distribuciones de probabilidad
En cualquier experimento hay numerosas características que se pueden observar o
medir, pero, en la mayoría de los casos, un espectador se concentrará en algún
aspecto o aspectos específicos de una muestra.
En general, el resultado de cada experimento se puede relacionar con un número si
se especifica una regla de asociación (por ejemplo, el número dentro de una muestra
de diez componentes que fallaron durante 1000 horas de servicio, o el peso total del
equipaje para una muestra e 25 pasajeros de una línea aérea). Esta regla de asociación
recibe el nombre de variable aleatoria: es variable porque son posibles valores
numéricos, y aleatoria porque el valor observado depende de cuál de los posibles
resultados experimentales aparezca.
Se define entonces: para un espacio muestral S dado algún experimento, una
variable aleatoria (va) es cualquier regla que asocia un número con cada resultado
de S.
De ahora en adelante denotaremos a una variable aleatoria con una letra mayúscula
como X o Y. La notación X(s)=x quiere decir que x es el número asociado con el
resultado s por la va X, por lo cual x recibe el nombre de valor de la variable
asociada con s.
Por ejemplo, cuando un estudiante intenta utilizar una computadora conectada a un
sistema de tiempo compartido, todos los puertos podrían estar ocupados (F), en cuyo
caso el estudiante no tendría acceso, o habrá por lo menos un puerto libre (S), en cuyo
caso el estudiante tendrá éxito en tener acceso al sistema. Con S = {S, F}, definimos
una va X mediante: X(S) = 1, X(F) = 0. La va X indica si el estudiante puede (1), o no
puede (0) tener acceso.
Cualquier variable aleatoria cuyos únicos valores posibles son 0 y 1 recibe el
nombre de variable aleatoria de Bernoulli.
Se dice que un conjunto es discreto, si está formado por un número finito de
elementos, o si sus elementos se pueden enumerar en secuencia de modo que haya un
primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento, y así sucesivamente, en la
lista. Un conjunto discreto que es infinito recibe a veces el nombre de infinito
numéricamente, ya que de acuerdo con la definición podemos contar (1, 2, 3,...) sus
elementos.
Además se puede afirmar que una variable aleatoria es discreta si su conjunto de
valores posibles es un conjunto discreto.
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 167
1. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas
Cuando se asignan probabilidades a varios resultados en S, éstos, a su vez,
determinan las probabilidades asociadas con los valores de cualquier va X en
particular. La distribución de probabilidad de X dice cómo es que la probabilidad total
de 1 está distribuida entre (asignada a) los diversos valores posibles de X.
En esta parte analizaremos el comportamiento de varias distribuciones de
probabilidad usadas para el estudio de variables aleatorias discretas.
Distribución de probabilidad de masa
La distribución de probabilidad o función de probabilidad de masa (pmf:
probability mass function) de una va discreta está definida para todo número x por
xsXSstodaPxXPxp ; . P(X = x) se lee ―la probabilidad de que la
va X tome el valor x‖. Por ejemplo, P(x = 2) denota la probabilidad de que el valor X
resultante sea 2.
En otras palabras, para todo valor posible de x de la variable aleatoria, la pmf
especifica la probabilidad de observar ese valor cuando el experimento se realiza. Las
condiciones 0xp y 1 posiblextodaxp se requieren para cualquier pmf.
Por ejemplo: supongamos que vamos a una tienda de electrónica, y observamos si
la siguiente persona que compra una calculadora la adquiere del tipo RPN o del tipo
algebraico, y sea:
algebraica compra cliente el si0
RPN compra cliente el si1X
Si 20% de todos los compradores durante esa semana selecciona una del tipo RPN,
la pmf para X es:
10 para 00
2.0RPN compra cliente siguiente11
8.0algebraica compra cliente siguiente00
oxxXPp
PXPp
PXPp
Una descripción equivalente es:
1 o 0 si 0
1 si 2.0
0 si 8.0
x
x
x
xp
Supongamos que p(x) depende de una cantidad que se puede asignar a un número
cualquiera de varios valores posibles, con cada valor diferente determinando una
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 168
distribución diferente. Tal cantidad se llama parámetro de la distribución. El conjunto
de todas las distribuciones de probabilidad para diferentes valores del parámetro se
llama familia de distribuciones de probabilidad.
Por ejemplo, en el caso anterior se puede formar una familia de distribuciones si se
estudiasen ―varias tiendas‖, quedando, por dar algunos valores, de la siguiente forma:
1 o 0 si 0
1 si
0 si 1
;
1 o 0 si 0
1 si 6.0
0 si 4.0
6.0;
1 o 0 si 0
1 si 2.0
0 si 8.0
2.0;
x
x
x
xp
x
x
x
xp
x
x
x
xp
Cada distribución de probabilidad para una va de Bernoulli tiene la forma anterior,
así que dicha forma se denomina familia de distribuciones de Bernoulli.
La distribución acumulativa
La función acumulativa de distribución (cdf: cumulative distribution function)
F(x) de una variable X de va discreta con pmf p(x), está definida para todo número x
mediante:
xyy
ypxXPxF:
Para cualquier número x, F(x) es la probabilidad de que el valor observado de X
sea a lo sumo x.
Valores esperados de variables aleatorias discretas
Vamos a analizar el siguiente ejemplo, consideremos una universidad con 15000
estudiantes, haciendo X = número de cursos en los que está registrado un estudiante
seleccionado al azar. La pmf de X aparece a continuación. Como p(1) = 0.01,
sabemos que (0.01)(15000) = 150 de los estudiantes están inscritos por curso, para el
resto de los valores de x, se construye la siguiente tabla:
X 1 2 3 4 5 6 7
p(x) 0.01 0.03 0.13 0.25 0.39 0.17 0.02
Número registrado 150 450 1950 3750 5850 2550 300
Entonces, el número promedio de cursos por estudiante, o el valor promedio de X
de la población, se calcula el número total de cursos se divide entre el número total de
estudiantes. El valor promedio es, así:
57.4
15000
30072550658505375041950345021501
Una expresión equivalente para lo anterior será:
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 169
57.47.07...3.021.0177...2211 ppp
Definimos entonces: sea X una va discreta con un conjunto de posibles valores D y
pmf p(x). El valor esperado o la media de X, denotado por E(X) o X, es:
Dx
X xpxXE
En el caso anterior, = 4.57¸ es la media poblacional considerando que la
población está formada por los valores X de 1, 2,..., 7.
El valor esperados de una función
Con frecuencia estaremos interesados en el valor esperado de alguna función h(X)
y no en la X misma.
Si la va X tiene un conjunto de posibles valores D y pmf p(x), entonces el valor
esperado de cualquier función h(X), denotado por E[h(X)] o h(X), se calcula
mediante:
D
xpxhXhE
Según esta proposición, E[h(X)] se calcula en la misma forma que E(X) misma,
excepto que h(x) se sustituye en lugar de x.
La varianza de X
El valor esperado de X mide dónde la distribución de probabilidad está centrada.
Si se utiliza la analogía física de poner una masa puntual p(x) en el valor x en un eje
de una dimensión, si el eje estuviera entonces apoyado en un fulcro colocado en no
habría tendencia del eje a inclinarse. Lo anterior se puede ilustrar en las figuras
siguientes:
Aun cuando ambas distribuciones ilustradas en la
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 170
anterior tienen el mismo centro la distribución de la figura b) tiene mayor
dispersión o variabilidad que la de la figura a). Utilizaremos la varianza de X para
medir la cantidad de variabilidad (la distribución) en X.
Hagamos que X tenga una pmf p(x) y valor esperado . Entonces la varianza de X,
denotada por V(X) o X2, o simplemente 2
, es:
22 XExpxXV
D
La desviación estándar (DE) de X es:
2
XX
La cantidad 2 XXh es el cuadrado de la desviación de X desde su media,
y 2 es el cuadrado de la desviación esperada. Si la mayor parte de la distribución de
probabilidad está cerca de , entonces 2 será relativamente pequeña, en tanto que si
hay valores de x lejanos de que tengan p(x) grandes, entonces 2 será muy grande.
El número de operaciones aritméticas para calcular 2 se puede reducir mediante
una fórmula opcional de cálculo:
22222 XEXExpxXVD
Al utilizar esta fórmula, E(X2) se calcula primeramente sin ninguna sustracción,
luego se calcula E(X), se eleva al cuadrado y se resta (una vez) de E(X2)
La distribución de probabilidad binomial
Un experimento que satisfaga las siguientes condiciones se llama experimento
binomial.
El experimento consiste en una secuencia de n intentos, donde n se fija
desde el principio
Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede resultar en uno de dos
posibles resultados, que denotamos por éxito (S) o fracaso (F).
Los intentos son independientes, por lo que el resultado de cualquier
intento particular no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.
La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro, denotamos esa
probabilidad por p.
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 171
Un ejemplo sería el lanzamiento de una moneda, si ésta se lanza n veces de forma
sucesiva e independientemente. Si se utiliza S para denotar H (caras) y F para denotar
el resultado T (cruces). Entonces este experimento satisface las condiciones
anteriores.
Supongamos que cada intento de un experimento puede resultar en S o F, pero el
muestreo es sin devolución de una población de tamaño N. Si el tamaño muestral
(número de intentos) n es a lo sumo 5% del tamaño de la población, el experimento se
puede analizar como si fuera exactamente un experimento binomial.
Dado un experimento binomial formado por n intentos, la variable X aleatoria
binomial asociada con este experimento está definida como:
X = el número de S entre los n intentos
Debido a que la pmf de una va binomial X depende de los parámetros n y p,
denotamos la pmf por b(x; n, p). Y matemáticamente se define como:
modo otro de0
,...,2,1,01,;
nxppk
n
pnxbxnx
En adelante escribiremos X~Bin(n, p) para indicar que X es una va binomial con
probabilidad p de éxitos
Veamos el siguiente ejemplo, a cada una de las seis personas que toman refresco
de cola, seleccionadas al azar, se les da un vaso que contiene refresco de cola S y uno
que contiene refresco de cola F. Los vasos son idénticos en apariencia pero realmente
pertenecen a marcas diferentes. Supongamos que en realidad no hay preferencia entre
las personas que beben refresco de cola para preferir entre una marca y otra. Entonces
p = P(un individuo seleccionado prefiere S) = 5, así que con X = el número entre los
seis que prefieren S, X~Bin(6,0.5).
Dicho lo anterior se puede calcular lo siguiente:
La probabilidad de que exactamente 3 prefieran S:
313.05.05.03
65.0,6;33
33
bXP
La probabilidad de que al menos tres prefieran S
656.05.05.06
5.0,6;36
3
66
3
x
xx
x xxbXP
La probabilidad de que al menos uno prefiera S
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 172
109.05.05.06
5.0,6;11
0
61
0
x
xx
x xxbXP
Al final del apéndice, en la tabla 1 se tabula la cdf F(x) = P(X < x) para n = 5, 10,
15, 20, 25 en combinación con valores seleccionados de p.
El valor esperado de una distribución binomial, la varianza y la desviación
estándar se definen, respectivamente, como:
pnppnpXVnpXE X 1;1;
La distribución hipergeométrica
Las suposiciones que llevan a la distribución hipergeométrica son:
La población o conjunto donde deba hacerse muestreo consta de N
individuos, objetos o elementos (una población finita)
Cada individuo puede ser caracterizado como un éxito (S) o un fracaso (F),
y hay M éxitos en la población.
Se saca una muestra de N individuos en forma tal que sea igualmente
probable que se seleccione cada conjunto de tamaño n.
La variable aleatoria de interés es X = número de las S de la muestra. La
distribución de probabilidad de X depende de los parámetros n, M y N, así que
deseamos obtener P(X = x) = h(x; n, M, N).
Si X es el número de las S de una muestra completamente aleatoria de tamaño n
sacada de una población formada por M S y (N – M) F entonces la distribución de
probabilidad de X, llamada distribución hipergeométrica, está dada por:
n
N
xn
MN
x
M
NMnxhxXP ,,;
Para un x entero que satisfaga máx.(0, n – N + M) < x < mín.(n, M).
Veamos el siguiente ejemplo: cinco ejemplares de una población animal han sido
atrapados, marcados y puestos en libertad para que se mezclen en la población.
Después de que habían tenido una oportunidad de mezclarse, se seleccionó una
muestra aleatoria de 10 de estos animales. Sea X = número de animales marcados de
la segunda muestra. Si hay en realidad 25 animales de este tipo en la región, ¿cuál es
la probabilidad de que a) X = 2, b) X < 2?
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 173
Los valores de parámetro son n = 10, M = 5 (5 animales marcados en la
población), y N = 25, por lo que:
5,4,3,2,1,0
10
25
10
205
25,5,10;
xxx
xh
Para (a),
385.0
10
25
8
20
2
5
25,5,10;22
hXP
Para (b),
699.0385.0257.057.025,5,10;2,1,022
0
x
xhoXPxP
Como en el caso binomial, hay expresiones sencillas para E(X) y V(X) para va
hipergeométricas. Estas se definen matemáticamente como:
N
M
N
Mn
N
nNXV
N
MnXE 1
1
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 174
2. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas
Una variable aleatoria discreta es aquella cuyos posibles valores constituyen un
conjunto finito o se pueden enumerar en una secuencia infinita (una lista en la que
hay un primer elemento, un segundo elemento, etc.). Una variable aleatoria cuyo
conjunto de posibles valores es todo un intervalo de números no es discreta.
Se dice entonces que una va es continua si su conjunto de posibles valores es todo
un intervalo de números, esto es, si para algún A < B, cualquier número x entre A y B
es posible.
Función de densidad de probabilidad para variables aleatorias
continuas
Sea X una va continua. Entonces una distribución de probabilidad o función de
densidad de probabilidad (pdf: probability density function) de X es una función
f(x) tal que para cualesquiera dos números a y b siendo a < b,
b
adxxfbxaP
Esto es, la probabilidad e que X tome un valor en el intervalo [a, b] es el área bajo
la gráfica de la función de densidad. La gráfica de f(x) se conoce a veces como curva
de densidad.
Para que f(x) sea una pdf legítima, debe satisface las siguientes dos condiciones:
1. f(x) > 0 para toda x
2.
dxxf área bajo toda la curva de f(x) = 1
La función acumulativa de distribución (cdf: cumulative distribution function)
F(x) para una va X continua está definida para todo número x por:
x
dyyfxXPxF
Para cada x, F(x) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x.
La importancia de la cdf aquí, al igual que para va discretas, es que se pueden
calcular probabilidades de varios intervalos a partir de una formula o tabla para F(x).
Sea X una va continua con pdf f(x) y cdf F(x), entonces para cualesquier dos
números a, b con a < b,
aFbFbXaP
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 175
Percentiles de una distribución continua
Cuando decimos que la calificación de prueba de un individuo estuvo en el 85avo
percentil de la población, queremos decir que 85% de las calificaciones de toda la
población estuvieron debajo de esa calificación y 15% estuvieron arriba.
Entonces, si p es un número entre 0 y 1, el (100p)avo percentil de la distribución
de una va X continua, denotado por (p), está definido por:
p
dyyfpFp
Según la expresión anterior, (p) es el valor en el eje de medición, tal que 100p%
del área bajo la gráfica de f(x) está a la izquierda de (p) y 100(1 – p)% está a la
derecha.
La mediana de una distribución continua, denotada por , es el50avo percentil,
así que satisface 0.5 = F( ). Esto es, la mitad del área bajo la curva de densidad
está a la izquierda de y la mitad está a la derecha de .
Valores esperados para variables aleatoria continuas
Para una va X, E(X) se obtuvo al sumar xp(x) sobre los posibles valores de X. En
este caso sustituiremos la sumatoria por integración y la pmf por la pdf para obtener
un promedio ponderado continuo.
El valor esperado o valor medio de una va X continua con pdf f(x) es:
dxxfxXEX
Si X es una va continua con pdf f(x) y h(X) es cualquier función de X, entonces
dxxfxhXhE Xh
La varianza de una variable aleatoria continua
La varianza de una va X continua con pdf f(x) y valor medio es:
222
xEdxxfxXVX
La desviación estándar (DE) de X es XVX
Como en el caso discreto, X2 es el cuadrado de la desviación esperada o promedio
alrededor de la media y da una medida de cuánta dispersión hay en la distribución o
población de x valores. La forma más fácil de calcular 2 es usar otra vez una fórmula
abreviada como la usada en el caso de las va continuas.
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 176
La distribución normal
La distribución normal es lo más importante en probabilidad y estadística. Muchas
poblaciones numéricas tienen distribuciones que se pueden ajustar muy cercanamente
mediante una curva normal apropiada. Como ejemplos pueden citarse las estaturas,
pesos y otras características físicas, errores de medición en experimentos científicos,
mediciones antropométricas efectuadas en fósiles, tiempos de reacción en
experimentos psicológicos, mediciones de inteligencia y aptitud, calificaciones en
diversas pruebas y numerosas medidas e indicadores económicos. Aun cuando la
distribución fundamental sea discreta, la curva normal da con frecuencia una
aproximación excelente. Además, una cuando las variables individuales mismas no
están normalmente distribuidas, en condiciones apropiadas las sumas y promedios de
las variables tendrán aproximadamente una distribución normal.
Se dice que una va X continua tiene una distribución normal con parámetros y
(o y 2), donde –<< y 0<, si la pdf de X es:
xexf x 222
2
1,;
Es claro que f(x; , ) > 0 para cualquier número x, pero deben emplearse técnicas
de cálculo multivariado para demostrar que
1,; dxxf . Se puede demostrar
que E(X) = y V(X) = 2, así que los parámetros son la media y la desviación
estándar de X. La figura muestra gráficas de f(x; , ) para diversos pares de (, )
diferentes. Cada gráfica es simétrica alrededor de y tiene forma de campana, por lo
cual el centro de la campana (punto de simetría) es tanto la media como la mediana
de la distribución. El valor de es igual a la distancia desde hasta los puntos de
inflexión e la curva. Valores grandes de dan gráficas que están bastante dispersas
alrededor de , en tanto que valores pequeños de producen gráficas con un pico alto
arriba de y la mayor parte del área bajo la gráfica estará muy cerca de . Por lo
tanto, una grande implica que puede observarse bien un valor de X lejos de ,
mientras que tal valor es muy poco probable cuando es pequeña.
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 177
La distribución estándar normal
Para calcular P(a < X < b) cuando X es una va normal con parámetros y
debemos evaluar:
b
a
x dxe22
2
2
1
Ninguna de las técnicas de integración estándar se puede emplear para evaluar la
expresión anterior. En lugar de esto, para = 0 y = 1, la expresión anterior ha
evaluado y tabulado numéricamente para ciertos valores de a y b. Ésta tabla también
se puede utilizar para el cálculo de probabilidades para cualesquier otros valores de
y bajo consideración.
La distribución normal con valores de parámetros = 0 y = 1 recibe el nombre
de distribución normal estándar. Una variable aleatoria que tiene una distribución
normal estándar se llama variable aleatoria normal estándar y se denota por Z. La
pdf de Z es:
zezf z 22
2
11,0;
La cdf de Z es
z
dyyfzZP 1,0; que se denota por (z).
Distribuciones normales no estándar
Cuando XN(, 2), las probabilidades donde aparezca X se calculan por
―estandarización‖. La variable estandarizada es X . Al estar se desplaza
la media de a 0, y luego al dividir entre se gradúa la variable para que la
desviación estándar sea 1 en lugar de .
Matemáticamente se define lo siguiente: si X tiene una distribución normal con
media y desviación estándar , entonces:
xZ
Es una va normal estándar.
Veamos un ejemplo: el tiempo que tarda un automovilista en reaccionar a las luces
de freno traseras de otro vehículo que desacelera es crítico para evitar una colisión. Se
sugiere que este tiempo se puede modelar con una distribución normal que tenga un
valor medio de 1.25seg y desviación estándar de 0.46seg. ¿Cuál es la probabilidad de
que el tiempo de reacción se encuentre entre 1.00seg y 1.75seg?.
Si denotamos por X el tiempo de reacción, entonces la estandarización da:
APÉNDICE. Repaso de Estadística. 178
75.100.1 x
Sí y solo sí:
46.0
25.175.1
46.0
25.1
46.0
25.100.1
X
De esta forma:
46.0
25.175.1
46.0
25.100.175.100.1 ZPXP
5675.02954.08621.054.009.109.154.0 ZP
Hay algunas características que son necesarias recordar sobre la distribución
normal.
Alrededor de 68% (68.26%) de los valores están dentro de 1 de la media
Alrededor de 95% (95.44%) de los valores están dentro de 2 de la media
Alrededor de 99.7% (99.74%) de los valores están dentro de 3 de la media
Estas características se usan mucho en los cálculos de tolerancias Que se muestran
en el capítulo 5 de nuestro libro, y además son características que permiten medir la
calidad de ciertas muestras, ya que indican dentro de que rango de error se puede
encontrar una muestra de una población.
Bibliografía 179
BIBLIOGRAFÍA
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