280
LIBRO DE TEXTO DE LA MATERIA: H I D R A U L I C A I En cumplimiento del periodo sabático concedido a partir del 25 de Agosto del 2008 al 24 de agosto del 2009. P R E S E N T A ARTURO JIMENEZ DORIA Docente del Dpto. de Ingeniería Civil SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICA INSTITUTO TECNOLÓGICO DE NOGALES

Libro de Texto Hidraulica i

Embed Size (px)

DESCRIPTION

sig

Citation preview

Page 1: Libro de Texto Hidraulica i

LIBRO DE TEXTO DE LA MATERIA:

H I D R A U L I C A I

En cumplimiento del periodo sabático concedido a partir del 25 de Agosto del 2008 al 24 de agosto del 2009.

P R E S E N T A

ARTURO JIMENEZ DORIADocente del Dpto. de Ingeniería Civil

H. Nogales, Sonora, México Agosto del 2009

SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIORDIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICAINSTITUTO TECNOLÓGICO DE NOGALES

Page 2: Libro de Texto Hidraulica i

INDICE Página

PROLOGO ……………………………………………………………………….. 4INTRODUCCION …………………………………………………………………………….. 5

UNIDAD I. HIDROSTATICA . . …………………………………………………… 6 I.1 Propiedades de los fluidos (densidad, peso específico, tensión superficial, viscosidad, módulo de elasticidad volumétrica, presión de vaporización, capilaridad). ……………………………………………………………………… 61.2 Presión hidrostática ……………………………………………………………… 25

1.2.1 Ecuaciones básicas de la estática de los fluidos …………………………… 29 1.2.2 Distribución de presión hidrostática ……………………………………… 33 1.2.3 Dispositivos de medición ……………………………………………………….37

1.3 Empujes hidrostáticos ……………………………………………………………. 42

1.3.1 Resultante de la cuña de presiones ………………………………………… 42 1.3.2 Centro de presiones ………………………………………………………….43 1.3.3 Empuje en superficies planas ………………………………………………. 44 1.3.4 Empuje en superficies curvas ………………………………………………. 51

1.4 Flotación ………………………………………………………………………… 53 1.4.1 Principio de Arquímedes …………………………………………………… 53 1.4.2 Condiciones de equilibrio de cuerpos en flotación ………………………… 53

UNIDAD II. HIDRODINAMICA ………………………………………………… 58

2.1 Cinemática de fluidos ………………………………………………………… 58

2.1.1 Campos vectoriales ………………………………………………………… 58 2.1.2 Velocidad, aceleración y rotación ………………………………………… 59 2.1.3 Definición y clasificación de flujos………………………………………. 63 2.1.4 Línea de corriente, trayectoria y vena líquida…………………………… 66

2.2 Conservación de la masa …………………………………………………… 70

2.2.1 Ecuación de continuidad ………………………………………………… 70 2.2.2 Ecuación de gasto …………………………………………………. 73

2.3 Conservación de la energía ………………………………………………… 76

2.3.1 Ecuación de energía ……………………………………………………….. 76 2.3.2 Solución para una vena líquida …………………………………………… 76 2.3.3 Línea de energía y líneas de cargas piezométricas………………………… 81 2.3.4 Ecuaciones de potencia en bombas y turbinas …………………………… 83 2.3.5 Aplicaciones ……………………………………………………………… 83

2

Page 3: Libro de Texto Hidraulica i

Pág.

2.4 Conservación de la cantidad de movimiento ……………………………………… 86

2.4.1 Impulso y cantidad de movimiento …………………………………………… 86 2.4.2 Fuerza hidrodinámica …………………………………………………………. 87 2.4.3 Aplicaciones ………………………………………………………………….. 89

UNIDAD III. FUNDAMENTOS DE HIDRAULICA EXPERIMENTAL ……………93

3.1 Modelos hidráulicos ……………………………………………………………… 93 3.1.1 Similitud geométrica, cinemática y dinámica ……………………………… 95 3.1.2 Leyes de similitud ………………………………………………………… 105 3.1.3 Planeación y construcción de modelos …………………………………… 107

3.2 Orificios, compuertas y vertedores …………………………………………… 115

3.2.1 Coeficientes de velocidad, contracción y gasto …………………………… 119 3.2.2 Aplicaciones ……………………………………………………………… 131

UNIDAD IV. FLUJO EN CONDUCTOS A PRESION ………………………….. 138

4.1 Resistencia al flujo en conductos a presión …………………………………… 138

4.1.1 Pérdidas de energía por fricción ……………………………………………. 140 4.1.2 Pérdidas de energía por accesorios ………………………………………… 150

4.2 Cálculo del flujo en tuberías …………………………………………………… 159

4.2.1 Conductos sencillos ………………………………………………………… 160 4.2.2 Tuberías en paralelo…………………………………………………… 1644.3 Redes de Tuberías ……………………………………………………………… 169

4.3.1 Redes abiertas ……………………………………………………………… 169 4.3.2 Redes cerradas ……………………………………………………………. 171 4.3.3 Golpe de ariete …………………………………………………………… 177

BIBLIOGRAFIA . ……………………………………………………………………………………. 189

3

Page 4: Libro de Texto Hidraulica i

P r o l o g o

Este libro de texto ha sido concebido con la única finalidad de apoyar la enseñanza de Mecánica de Fluidos e Hidráulica, de los estudiantes de Ingeniería Civil del Instituto Tecnológico de Nogales y siguiendo los planes de estudio de la retícula actualizados. Y que comprendan mejor los conceptos y leyes fundamentales de la Hidráulica.

Hoy es fundamental que el Ingeniero Civil pueda construir y diseñar Obras Hidráulicas, ya que representan una fuente necesaria para controlar los líquidos. De esta manera las Obras Hidráulicas contribuirán para lograr un desarrollo económico y social de la comunidad.

El libro de texto consta de cuatro unidades. En la primera unidad, se estudia la Hidrostática, es decir el estudio de los líquidos en reposo o en equilibrio. En la segunda unidad se analiza los líquidos en movimiento es decir la Hidrodinámica. En la tercera unidad, se trata de comprender los fundamentos de la hidráulica experimental, para que el alumno pueda realizar algún modelo hidráulico en el de laboratorio de Hidráulica de Ingeniería Civil. Y en la última unidad el objetivo es que el alumno adquiera conocimientos fundamentales de una Red de Abastecimiento de agua, y así pueda aplicar los conocimientos teóricos más adelante en materias que requieren algún proyecto de Abastecimiento de Agua Potable. Cada unidad consta de un desarrollo teórico y problemas resueltos. También al final de cada capítulo se dan una serie de problemas propuestos y la solución para que el alumno trate de resolverlos.

Deseando que encuentren interesante la lectura de este texto y que les sirva en sus estudios de Mecánica de Fluidos e Hidráulica. Agradeciendo con sumo gusto sus comentarios, sugerencias y críticas.

Arturo Jiménez Doria

4

Page 5: Libro de Texto Hidraulica i

INTRODUCCION:

HIDRÁULICA.- Aplicación de la Mecánica de fluidos en Ingeniería, para construir y diseñar dispositivos y estructuras que funcionan con fluidos, por lo general agua. La hidráulica resuelve problemas como el flujo de fluidos por conductos o canales abiertos y el diseño de presas de embalse, vertedores, bombas y turbinas. En otros dispositivos como boquillas, válvulas, medidores se encarga del control y utilización de líquidos.

MECANICA DE FLUIDOS.- Parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento. La mecánica de los fluidos puede dividirse en dos campos fundamentales: la estática de fluidos, o hidrostática que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de los fluidos o hidrodinámica que estudia los fluidos en movimiento.

FLUIDO.- Es una sustancia (líquido o gas ), que se deforma continuamente cuando se le sujeta a un esfuerzo cortante, y se adapta a la forma del recipiente que lo contiene.

DISTINCION ENTRE UN SOLIDO Y UN FLUIDO.- Las moléculas de un sólido tienen entre sí mayor cohesión que las de un fluido. En un sólido las fuerzas de atracción entre sus moléculas, son tan grandes que éste tiende a mantener su forma, mientras que en un fluido las fuerzas de atracción molecular son más pequeñas, por lo que se adaptan al recipiente que los contiene.

DISTINCION ENTRE UN GAS, UN VAPOR Y UN LIQUIDO.- Se considera fluido a un gas o un líquido indistintamente. En un gas, sus moléculas se encuentran muy separadas entre si, por lo tanto, es un fluido muy compresible y además, cuando la presión externa desaparece tiende a expandirse indefinidamente. Así pues, un gas está en equilibrio sólo cuando se encuentra confinado. Un líquido es relativamente incompresible. Un vapor es un gas cuyas condiciones de presión y temperatura son tales que se encuentra cercano a la fase líquida. Dado que el volumen de un gas –o vapor- es más afectado por las variaciones en la presión y la temperatura, al tratar con un gas, es necesario tomar en cuenta estos factores.En resumen, las diferencias esenciales entre un líquido y un gas son: los líquidos son prácticamente incompresibles en tanto que los gases son compresibles y un líquido ocupa un volumen definido y tiene una superficie libre, mientras que una masa dada de gas se expande hasta ocupar todas las partes del recipiente que las contiene.

5

Page 6: Libro de Texto Hidraulica i

UNIDAD I

TEMA: HIDROSTATICA

1.1 Propiedades de los fluidos (densidad, peso específico, tensión superficial, viscosidad, módulo de elasticidad volumétrica, presión de vaporización, capilaridad).

DENSIDAD ( ρ )

La densidad de una sustancia o de un material homogéneo, se define como la masa contenida en la unidad de volumen y se designa con la letra griega ( ρ ):

ρ = m a s a / volumen = m/v (I.1)

Cuando el material es no homogéneo la densidad varía de un punto a otro, quedando definida en un determinado punto por:

lím = Δ m/ ΔV = d m/ d V (I.2) ΔV → 0

La densidad de los líquidos generalmente se expresa en : gm / cm3 y en lb/ pie3.

La densidad del agua es: ρ = 1 gm / cm3 = 62.4 lb/ pie3

PESO ESPECIFICO (ω )

El peso específico de un material homogéneo sujeto a la acción de la gravedad, se define como la relación entre su peso por unidad de volumen, y se designará con la letra griega (ω ) :

ω = p e s o / volumen = W / V (I.3)

sus unidades serán: N /m3 o kN/ m3

Por otra parte, la densidad y el peso específico, se relacionan de la siguiente manera;sabemos que el peso de un cuerpo o liquido está dado por.

W = masa x aceleración de la gravedad = m g (I.4)

Donde sustituyendo el valor de la masa (m) de la expresión (I.4), en la expresión (I.1):

Page 7: Libro de Texto Hidraulica i

ρ = W/g V = ω / g (I. 5 )

por lo tanto obtenemos una expresión final que nos da la densidad en función del peso específico de la sustancia o líquido y el valor de la gravedad.

En el caso del agua su densidad será, según ( I.5 ):

ρ = ω / g = 9.7982 kN / m3 / 9.81 m/seg2 = 998.80 kg/ m3 ( I.6 )

considerando que 1 kN = 102.0592 kg (I.7 )

DENSIDAD RELATIVA (Dr)

La densidad relativa de un cuerpo (sólido o líquido), es un número adimensional que está dado por la relación del peso del cuerpo al peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia; en este caso casi siempre se refiere al agua en condiciones normales, al nivel del mar y a una temperatura de 4 0 C.

Dr = peso especifico de la sustancia/ peso especifico del agua

= densidad de la sustancia / densidad del agua

por lo tanto para el agua en condiciones normales y al nivel del mar la densidad relativa vale, Dr = 1

para sustancias o líquidos con Dr > 1 serán más pesados que el agua

para sustancias o líquidos con Dr < 1 serán menos pesados que el agua

Page 8: Libro de Texto Hidraulica i

TABLA NO. I.1 DENSIDAD RELATIVA DE ALGUNOS MATERIALES.

ALUMINIO 2.7 MERCURIO 13.6

COBRE 8.9 ALCOHOL ETILICO 0.81ORO 19.3 BENCENO 0.90

PLATA 10.5 GLICERINA 1.26ACERO 7.8 HIELO 0.96

TABLA NO. I.2 DENSIDAD RELATIVA DEL AGUA A DIFERENTES TEMPERATURAS.

Temperatura en 0

CDENSIDAD RELATIVA

5 1.00010 1.00015 0.99920 0.99825 0.99730 0.99535 0.99340 0.99150 0.99065 0.980

Page 9: Libro de Texto Hidraulica i

TENSION SUPERFICIAL (γ )

La tensión superficial hace que la superficie de un líquido se comporte como una

finísima membrana elástica. Este fenómeno se presenta debido a la atracción entre las

moléculas del líquido. Cuando se coloca un líquido en un recipiente, las moléculas

interiores se atraen entre sí en todas direcciones por fuerzas iguales que se contrarrestan

unas con otras; pero las moléculas de la superficie libre del líquido sólo son atraídas por

las inferiores y laterales más cercanas. Por lo tanto la resultante de las fuerzas de

atracción ejercidas por las moléculas próximas a una de la superficie, se dirige hacia el

interior del líquido, lo cual da origen a la tensión superficial (ver Fig. No.I.1).

Ahora bien, la formación o aumento de una superficie de frontera exige el paso de un

determinado número de moléculas interiores a la superficie, realizándose un trabajo en

contra de las fuerzas que se oponen al ascenso de las moléculas. De donde se deduce

que en la superficie libre existe una energía superficial que dio origen al concepto de

tensión superficial, la cual se define como el trabajo que realizan las moléculas por

unidad de superficie y que evidentemente conduce a una fuerza por unidad de longitud.

La tensión superficial se designará con la letra griega ( γ ).En el sistema c.g.s. de

unidades absolutas la tensión superficial se mide en dinas/cm.

Page 10: Libro de Texto Hidraulica i

FIG. No. I.1 Tensión Superficial

Una molécula (A) en el interior de un líquido está sujeta a fuerzas de atracción en todas direcciones y por lo tanto se encuentra en equilibrio. Y otra molécula superficial (B), debido a la asimetría de las fuerzas de atracción, existe una fuerza resultante normal a la superficie como se muestra en la Figura No.I.1.

A continuación se da una tabla con algunos valores de la tensión superficial en dinas/cm a la temperatura de 20 0 C aproximadamente.

TABLA No. I.3 TENSION SUPERFICIAL

LIQUIDOS AIRE AGUA MERCURIO

AGUA 72.8 0.00 392

PETROLEO 29.7 28.90 271

MERCURIO 513.0 392.0 0

Page 11: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS RESUELTOS

I.1 Si 8 m3 de un aceite pesan 620.52 N, calcular su peso específico ω,

densidad ρ y densidad relativa Dr .

Solución:

Peso específico: ω = W/V= 620.52 N / 8 m3 = 77.565 N /m3 = 0.077565 kN/m3

Densidad: ρ = ω / g = 77.565 N/m3 / 9.81 m/seg2 = 7.9067 kg/ m3

Densidad relativa = ωace / ωagu = 7.9067 / 9.7982 = 0.807

I.2 Un tubo de vidrio cuyos diámetros exterior e interior son 3 cm. y 2.5 cm.,

respectivamente se introduce verticalmente en agua. Determinar la fuerza debida a

la Tensión superficial.

Solución: De la definición de tensión superficial , se tiene:

Fuerza debida a la tensión superficial = γ x Longitud total de contacto

en donde la tensión superficial según la Tabla No. I.3 , tiene un valor de:

72.8 dinas / cm , y la longitud total de contacto en este caso será:

π d1 + π d2 = ( d1 + d2 ) π = ( 3.0 + 2.5 ) x 3.1416 = 17.28 cm.

Fuerza debida a la tensión superficial = 1258 dinas / cm.

Page 12: Libro de Texto Hidraulica i

I.3 Si 10 m3 de un aceite pesan 52 kN, calcular su peso específico ( ω ), densidad (ρ ) y densidad relativa (Dr ).

Solución: Según la expresión (I.3), tenemos: ω = W/V,

ωaceite = W/V = 52 kN / 10 m3 = 5.2 kN / m3

Según la expresión (I.5), tenemos que la densidad es : ρ = ω/gy como sabemos que : 1kN=1000 N y también que por definición 1N = 1Kg . 1m/seg2

ρaceite = ωaceite/g = (5 200 N/m3 ) / (9.81 m/seg2 ) = 530.07 kg/ m3

Dr = ωaceite / ωagua = 5.20 kN/m3 /9.79 kN/m3 = 0.531

VISCOSIDAD ( μ )

Page 13: Libro de Texto Hidraulica i

En los líquidos reales la fluidez se manifiesta en mayor o menor grado. Así algunos

fluyen con mucha facilidad como es el caso del agua, mientras que otros lo hacen con

gran dificultad como son los aceites pesados.

Se puede definir un fluido ideal como aquel en el cual no existe fricción entre sus

partículas, o sea sin viscosidad ( μ = 0 ). Un fluido como éste solamente es una

idealización, puesto que todos los fluidos, de una forma u otra, son viscosos y

compresibles. En un fluido real, siempre actúan fuerzas tangenciales o cortantes cuando

existe movimiento, dando lugar a las fuerzas de fricción y que se deben a la propiedad

de los fluidos llamada viscosidad.

El hecho que unos líquidos sean más o menos fluidos se debe a la viscosidad y es la

propiedad en virtud de la cual el líquido se opone a las fuerzas deformantes y mide la

resistencia del líquido al esfuerzo tangencial.

Ahora imaginemos un líquido alojado entre dos grandes placas paralelas, cuya área es

“A”, y separadas por una distancia muy pequeña “y”, ver Fig. No.I.2. Suponiendo que

el sistema está inicialmente en reposo, en el tiempo t=0, a la placa superior se le aplica

una fuerza constante “F” y se pone en movimiento en la dirección del eje x, con una

velocidad constante U, conforme transcurre el tiempo, el fluido adquiere cantidad de

movimiento y, finalmente el fluido en contacto con la placa móvil se adhiere a ella

moviéndose a la misma velocidad U, mientras que la placa fija permanecerá en reposo.

Si la separación “ y “ y la velocidad U no son muy grandes, la variación de las

velocidades (gradiente) estará representada por una línea recta.

Page 14: Libro de Texto Hidraulica i

Experimentalmente se a demostrado que esta fuerza “F”, es proporcional al área “A” y

a la velocidad U, e inversamente proporcional a la distancia de separación “y” entre las

placas paralelas.

F ~ AU/y es decir F ~ A dv/dy por lo tanto, para establecer una igualdad

de esta expresión anterior es necesario introducir una constante de proporcionalidad

llamada viscosidad absoluta o dinámica del fluido y se representa por la letra griega μ,

por lo que queda:

F = μ A dv /dy ( I.8 )

El esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x, sobre la superficie del fluido-fuerza

por unidad de área- situada a una distancia constante “y,” por el fluido existente en la

región donde “y” es menor, se designa por τxy = F / A (I.9)

Entonces: τxy = μ dv/dy (I.10)

µ = viscosidad absoluta o dinámica

Las unidades de µ son kg seg/ m2

Los fluidos que siguen la relación ( I.10 ) se denominan FLUIDOS NEWTONIANOS.

Page 15: Libro de Texto Hidraulica i

VISCOSIDAD CINEMATICA ( υ )

En muchos problemas de hidráulica, en los que interviene la viscosidad absoluta,

frecuentemente aparece la viscosidad dividida por la densidad; este cociente se define

como la viscosidad cinemática, y se representa por la letra griega ( υ ). Por lo que queda

la viscosidad cinemática: υ = μ / ρ ( I.11 )

Las unidades más utilizadas de la viscosidad cinemática ( υ ), son m2 / seg .

TABLA No. I.4 VISCOSIDAD CINEMATICA DEL AGUA.

* viscosidad cinemática valor de la tabla x 10-6

TEMPERATURA

0 C

VISCOSIDAD CINEMATICA

( m2 / seg. ) *

5 1.520

10 1.308

15 1.142

20 1.007

25 0.897

30 0.804

35 0.727

40 0.661

50 0.556

65 0.442

Page 16: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA No. I.2 GRADIENTE DE VELOCIDAD ENTRE DOS PLACAS PARALELAS

PRESION DE VAPORIZACION

La presión de vapor se define como la menor presión a la que un líquido se evapora.

Todos los líquidos tienden a evaporarse o volatizarse, efecto que se lleva a cabo por la

expulsión de sus moléculas hacia el espacio sobre la superficie. Si es un espacio

confinado, la presión parcial ejercida por sus moléculas aumenta hasta que la

proporción de moléculas que salen del líquido es igual a las que vuelven a entrar. Para

esta condición de equilibrio, la presión de vapor se conoce como presión de saturación.

La actividad molecular aumenta con la temperatura y por lo tanto, la presión de

saturación aumenta también con la misma. A un temperatura dada, la presión en la

superficie de un líquido puede ser mayor o igual que este valor, pero no puede ser --

Page 17: Libro de Texto Hidraulica i

menor , ya que, con una pequeña disminución en la presión se crea una rápida

evaporización, conocida como ebullición . Por esto, la presión de saturación se conoce

también como presión de ebullición para una temperatura dada. Ya que el mercurio

tiene una baja presión de saturación, se hace adecuado su uso en hidráulica de

dispositivos denominados barómetros. En la Tabla No. I.5 se dan valores para el agua

de la presión de vapor para diferentes temperaturas.

CAPILARIDAD

La capilaridad se representa cuando existe contacto entre un líquido y una pared sólida,

especialmente si son tubos muy delgados (casi del diámetro de un cabello) llamados

capilares. Al introducir un tubo de diámetro muy pequeño en un recipiente con agua se

observa que el líquido asciende por el tubo alcanzando una altura mayor que la de la

superficie libre del líquido. La superficie del líquido contenido en el tubo no es plana,

sino que forma un menisco cóncavo, ver Figura No. I.3 a. Si se introduce un tubo

capilar en un recipiente con mercurio, se observa que el líquido desciende debido a una

depresión. En este caso se forma un menisco convexo ( Fig. I.3 b).

Page 18: Libro de Texto Hidraulica i

Figura No.I.3 a Figura No. I.3 b

MODULO VOLUMETRICO DE ELASTICIDAD ( E )

El módulo volumétrico de elasticidad expresa la compresibilidad de un fluido. Es la

relación de la variación de presión a la variación de volumen por unidad de volumen.

Ver Tabla No. I.5.

E = d p / -dv/v = kg / cm2 / m3 / m3 = kg / cm2 ( I.12 )

Cuando se tiene un incremento en la presión dp, se producirá una disminución de la

variación de volumen por unidad, dV/V, por lo que se le antepone un signo negativo,

( ver problema I.8).

Page 19: Libro de Texto Hidraulica i

TABLA No. I.5 PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA A LA PRESION ATMOSFERICA.

Temperatura0 C

DensidadUTM/ m3

ViscosidadDinámicaKg seg/m2

Tensión SuperficialKg/m

Presiónde vaporkg/cm2

Módulo de elasticidadVolumétricoKg / cm2

0 101.96 18.27x10-5 0.00771 0.0056 20 2005 101.97 15.50 0.00764 0.0088 20 90010 101.95 13.34 0.00756 0.0120 21 50015 101.88 11.63 0.00751 0.0176 22 00020 101.79 10.25 0.00738 0.0239 22 40025 101.67 9.12 0.00735 0.0327 22 80030 101.53 8.17 0.00728 0.0439 23 10035 101.37 7.37 0.00718 0.0401 23 20040 101.18 6.69 0.00711 0.0780 23 30050 100.76 5.60x10-5 0.00693 0.1249 23 400

Page 20: Libro de Texto Hidraulica i
Page 21: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS RESUELTOS

I.4 Hallar la viscosidad cinemática de un líquido cuya densidad relativa es 0.850 y su

viscosidad absoluta es μ = 4.9970 x 10-2 N. seg/ m2 .

Solución: Sabemos que su densidad relativa del líquido vale:

Dr = ωliq / ωagu = 0.850 ; ωliq = 0.850 x 9.7982 kN/ m3 = 8.328 kN/ m3

y sabemos que la relación: µ g = ω υ

por lo que la viscosidad cinemática vale: υ = µ g / ω

υ = 4.9970 x 10-2 N. seg/ m2 x 9.81 m/seg2 / 8 328 N/ m3

υ = 5.886 x 10-5 m2 / seg

I.5 De las Internatacional Critical Tables (ver Tabla No. I.4 ), la viscosidad del agua a

25 0 C es de 0.00894672 poises. Calcular (a) la viscosidad absoluta en N. seg/m 2

(b) Si la densidad relativa a 25 0 C es de 0.997, obtener el valor de la viscosidad

cinemática en m2 / seg.

Solución: Sabemos que el poise está medido en dinas seg /cm2

Page 22: Libro de Texto Hidraulica i

Como 1 kg = 9.81 x 105 dinas y 1 m= 100 cm, obtenemos:

1 kg seg/m2 = 9.81 x 105 dinas seg/104 cm2 = 98.1 poises

1N= 0.1020592 Kg 1 poise= 0. 09988 N.seg /m2

(a) µ = 0.00894672 poises x 0.09988 = 8.936 x 10-4 N. seg / m2

(b) υ = µ g / ω = 8.936 x 10-4 x 9.81 / (0.997x9798.2) = 0. 897 x 10-6 m2/ seg

I.6 Con referencia a la Figura No. I.6, el fluido tiene una viscosidad absoluta de 5.546 x

10-2 N. seg /m2 y una densidad relativa de 0.858. Calcular el gradiente de velocidades y

el módulo de la tensión cortante en el contorno y en los puntos situados a 20 mm. 40

mm y 60 mm del contorno, suponiendo (a) una distribución de velocidades lineal.

FIGURA No. I.4 VISCOSIDAD ENTRE DOS PLACAS PARALELAS

Page 23: Libro de Texto Hidraulica i

Solución:

(a) Para la hipótesis de distribución lineal, la relación entre la velocidad V, y la distancia

“ y” es : d V=16 dy , y el gradiente de velocidades es dV/dy = 16. Para y = 0, V = 0,

dV/ dy = 16 seg-1 , τ = μ ( dv / dy ) = 5.546 x 10-2 N. seg /m2 x 16 seg-1 y la tensión

cortante es: τ = 0.8874 N/m2

Análogamente, para los otros valores de “y”, también se obtiene el mismo valor de τ.,

ya que el valor del gradiente de velocidades se mantiene constante.

I.7 Dos placas paralelas de 80 cm x 20 cm están separadas por una capa de aceite

de 0.1 cm de espesor e inclinadas 30 0 con respecto a la horizontal como se

muestra en la Figura No. I.5 .Calcular la viscosidad del aceite, suponiendo que la

placa inferior permanece fija mientras que la superior que pesa W= 39.20 N se

mueve con una velocidad de 10 cm/seg.

FIGURA No. I.5 VISCOSIDAD DE ACEITE EN PLACAS PARALELAS

Page 24: Libro de Texto Hidraulica i

Solución:

De la expresión ya conocida, τ = F/A = μ dv/ dy

se tiene μ = F dy / A dv

en donde:

F = W sen 300 = 39.20 N x 0.5 = 19.60 N

y = 0.01 cm

A = 80 X20 = 1 600 cm2= 0.16 m2

v = 10 cm/seg = 0.10 m/seg

sustituyendo valores se obtiene:

µ = (19.60 N / 0.16 m2 ) / ( 0.10 m/seg/0.0001 m )= 0.1225 N .seg/m2 = 1.23 poises

Page 25: Libro de Texto Hidraulica i

I.8 a) Determinar la variación de volumen de 1.5 m3 de agua a 25 o C al aumentar la presión en 26.5 kg/ cm2. b) A partir de los siguiente datos experimentales calcular el modulo de elasticidad volumétrico del agua a 30 kg/cm2 el volumen era de 30 dm3 y a 280 kg/ cm2 , de 29.68 dm3 .

Solución:

a) De la tabla No. I.5 , a una temperatura de 25 o C el E= 22800 kg/cm2 . Mediante la expresión (I.12):

dV = ( - 1.5 x 26.5 x 104 ) / 22.8x 108 = - 1.74 x 10-4 m3

b) E = dp’ / (dV/ V) = - (280 – 30 ) x 104 / (29.68-30)x10-3 /30x10-3

E= 23.44 X 107 Kg/ m2

Page 26: Libro de Texto Hidraulica i

1.2 PRESION HIDROSTATICA.

Concepto de Presión.- La intensidad de la presión media se define como la fuerza

normal que actúa sobre una superficie, es decir indica la relación entre una fuerza

aplicada y el área sobre la cual actúa.

Si “F” representa la fuerza total en un área finita “A”, entonces, dF representa la fuerza

sobre un área infinitesimal dA y por lo anterior, la expresión en ese punto será:

P = dF / dA (I.13)

Si la presión está uniformemente distribuida sobre el área total, se tiene:

P = F / A (I.14)

Por lo tanto las unidades de la presión pueden ser: lb /plg.2 , y también se utiliza:

p = Newton/ m2 = N / m2 = 1 pascal

Debido a la posibilidad de que existan esfuerzos tangenciales entre las partículas

adyacentes en un sólido, el esfuerzo en un punto dado puede ser diferente en direcciones

distintas; pero en un fluido en reposo no existe el esfuerzo tangencial y las únicas

fuerzas, entre superficies adyacentes, son fuerzas normales a las superficies. Por

consiguiente, la presión en un fluido en reposo es la misma en todas direcciones,

principio que se conoce en Hidráulica como “Principio de Pascal”.

Page 27: Libro de Texto Hidraulica i

PRESION HIDROSTATICA ( P ).

Para definir este concepto de presión hidrostática vamos a suponer que tenemos un

prisma rectangular lleno de un líquido (agua), ver Figura No. I.6.

El cual tiene de dimensiones una base cuadrada de 1.0m x 1.0 m ; y tiene una altura:

h=10m.

FIGURA No. I.6 PRISMA RECTANGULAR LLENO DE AGUA

Por lo tanto el volumen líquido contenido en este prisma será:

Volumen líquido = V = Area de Base del prisma x altura del prisma = A x h

V = 1.00m x1.00m x 10.00 m = 10.00 m3

Page 28: Libro de Texto Hidraulica i

Y ahora obtenemos el peso del líquido contenido en el prisma, aplicando la expresión

vista anteriormente ( I.3 ):

W = ω V = 9.7982 kN / m3 x 10.00 m3 = 97982 N , por lo tanto este valor es

el peso total o la fuerza total ejercida por el agua sobre el fondo del recipiente

rectangular.

Como la presión está aplicada uniformemente sobre el área del fondo de prisma,

aplicamos la expresión (I.14):

P = F / A = 97982 N / 1.0 m2 = 97982 N / m2 , este valor de la presión también se

puede representar como: P = 9.7982 N / cm2

Si ahora aumentamos las dimensiones de la base del prisma rectangular a un valor de

10.m x 10.0 m , y la altura la mantenemos constante es decir h= 10.0 m. y procedemos

de la misma forma, tenemos:

V = 10.0m x 10.0m x 10.0m = 1000 m3 ; W = 9798.2 N/m3 x 1000 m3 = 9798200 N

Y la presión será: P = F / A = 9798200 N /100 m2 = 97982 N /m2 = 9.7982 N /cm2

CONCLUSION: No damos cuenta que la presión fue la misma aunque se

aumentó el valor del área del prisma, pero se mantuvo la altura constante. Es decir

que la presión hidrostática es función únicamente de la altura “h” o profundidad

del líquido y nunca de la forma del recipiente.

Page 29: Libro de Texto Hidraulica i

PRESION HIDROSTATICA ( P )

Haciendo un resumen de lo visto anteriormente tenemos: P = F / A =

peso del agua / area del fondo prisma = W / A

Pero sabemos que: W = ω V ; P = ω V / A ; Y el volumen de un prisma es: V =

Area de la base x altura = A h

Y por lo tanto finalmente la presión hidrostática queda: P = ω A h / A = ω h

P = ω h ( I.15 )

La expresión (II.15), es una ecuación fundamental en Hidráulica, pues es muy utilizada

en Ingeniería. Podemos de la expresión (II.4), despejar el valor de la altura “h”, y

queda: h = P / ω ( I.16 )

La expresión ( I.16 ), nos indica que las presiones hidrostáticas las podemos

representar también en metros columnas de agua ( m.c.a.).

Para el ejemplo anterior tenemos: h = 97982 N /m2 / 9798.2 N/m3 = 10.0 m

es decir que una presión : p = 97982 N /m2 = 9.7982 N / cm2 , equivale a una

presión denominada ATMOSFERA METRICA, ingenieril, y se define como el peso de

una columna de agua de 10.00m actuando sobre un área de 1 cm2, es decir que la

atmósfera métrica al nivel del mar vale: 1 Atmósfera= 9.7982 N / cm2 . Es común

expresar la presión como una altura de columna de fluido y se le conoce como “carga de

presión” .

Page 30: Libro de Texto Hidraulica i

1.2.1 Ecuaciones básicas de la estática de los fluidos.

Ecuación fundamental de la hidrostática.

En la figura No. I.7, se muestra un recipiente donde consideramos una porción de

líquido AB, como un cuerpo libre de sección transversal dA y longitud “L”, y con un

ángulo con respecto a la horizontal de θ.

Ahora bien, considerando que el líquido está en equilibrio, tratemos de establecer las

condiciones de equilibrio de la sección líquida A B, suponiendo además que el peso

específico del líquido es ω. Por otra parte, observando el diagrama de cuerpo libre del

elemento (ver Figura No. I.7 ), observamos que las únicas presiones que actúan sobre la

sección líquida A B, corresponden a sus extremos.

En estas condiciones, considerando el equilibrio según el eje X se obtiene:

Σ FX = P2 dA – P1 d A – ω L dA Sen Ө = 0 ( I.17 )

Simplificando: P2 – P1 = ω L Sen Ө ( I.18 )

Obsérvese que según la Fig. No. II.2 , se tiene:

L Sen θ = ( h2 - h1) = h (I.19 )

que es la diferencia de elevaciones entre las dos secciones en los puntos A y B,

Por lo que queda: P2 - P1 = ω (h2 - h1 ) = ω h ( I.20 )

Page 31: Libro de Texto Hidraulica i

La expresión (I.20), ES LA ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA,

y lo que indica es que la diferencia de presión entre dos puntos en el seno de un fluido

es igual al producto entre su peso especifico y el desnivel existente entre estos dos

puntos.

FIGURA No. I.7 ECUACION FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA

Page 32: Libro de Texto Hidraulica i

PRESION ATMOSFERICA (Patm )

La tierra está rodeada por una capa de aire llamada atmósfera. El aire, que es una

mezcla de 20 % de oxígeno, 79 % de nitrógeno y 1 % de gases raros, debido a su peso

ejerce una presión sobre todos los cuerpos que están en contacto con él, la cual es

llamada presión atmosférica.

La presión atmosférica varía con respecto a la altitud con respecto al nivel del mar, por

lo que al nivel del mar tiene su máximo valor o presión normal equivalente a:

1 atmósfera = 760 mm de Hg = 1.01 x 105 N/ m2

A medida que es mayor la altura sobre el nivel del mar, la presión atmosférica

disminuye. En la ciudad de México su valor es de 586 mm de Hg equivalente a:

0.78 x 105 N/m2.

Barómetro de mercurio, experimento de Torricelli.

La presión atmosférica se puede obtener experimentalmente utilizando un barómetro de

mercurio, instrumento ideado primeramente por Toricelli. Para ello, llenó de mercurio

un tubo de vidrio de casi un metro de longitud cerrado por un extremo, tapó con su dedo

el extremo abierto, invirtió el tubo y lo introdujo en la superficie de mercurio contenido

en un recipiente. Al retirar su dedo observó que el líquido descendía del tubo hasta

alcanzar un equilibrio a una altura de 760 mm sobre la superficie libre del mercurio. Es

decir, que la fuerza que equilibra e impide, el descenso de la columna de mercurio en el

tubo, es la que ejerce la presión atmosférica sobre la superficie libre del mercurio, y es

la misma que recibe el tubo por su extremo abierto.

Page 33: Libro de Texto Hidraulica i

Por lo expuesto anteriormente, se tiene:

h = P / ω ( I.16 )

P = ω h = ( 13.6 x 9.7982 kN/ m3 ) x 0.760 m = 101.274 kN/ m2 = 1.013 x 105 N/m2

el valor P= 1.013 x 105 N/m2 (I.21), se denomina atmósfera estándar.

FIGURA No. I.8 EXPERIMENTO DE TORRICELLI

Page 34: Libro de Texto Hidraulica i

1.2.2 DISTRIBUCION DE PRESION HIDROSTATICA

Considerando dos puntos cualesquiera, uno coincidiendo con la superficie libre del líquido

h1 y otro a cualquier elevación h2 ( Fig. No. I.9), resulta:

Patm / ω + h1 = p/ ω + h2 (I.22)

La presión absoluta en el punto considerado es:

Pabs= Patm + ω ( h1 – h2 ) (I.23)

donde Patm representa la presión atmosférica sobre la superficie libre del líquido y

( h1 – h2 ) la profundidad del punto considerado. En la expresión (I.23), Pabs corresponde a la

presión absoluta del punto de que se trata y se mide a partir del cero absoluto de presiones. La

presión atmosférica local depende de la elevación sobre el nivel del mar del lugar en que se

encuentra el líquido. Es más común medir la presión hidrostática utilizando como valor cero

de referencia a la atmosférica local. La presión así medida se llama manométrica o

simplemente presión y las unidades más usuales son kg/cm2 , kg/m2., o bien en N/m2.

Page 35: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. I.9 DISTRIBUCION DE PRESIONES HIDROSTATICAS EN UN LIQUIDO

PRESION ABSOLUTA Y MANOMETRICA.

Cuando la presión se expresa como una diferencia entre su valor real y el vacío completo, se

le llama presión absoluta, esto es, si se mide con respecto al cero absoluto de presión. Cuando

se mide tomando como base la presión atmosférica local, se le denomina presión

manométrica. Lo anterior se debe a que prácticamente todos los medidores de presión marcan

cero cuando están abiertos a la atmósfera, y al medir la presión en un fluido, lo que hacen es

registrar la diferencia que tiene la presión en un punto, por encima de la atmosférica.

Si la presión está por debajo de la atmosférica se le designa como un vacío y su valor

manométrico es a partir de la atmosférica. Un vacío perfecto corresponde al cero absoluto de

presión. La presión manométrica es positiva cuando está por encima de la atmosférica y

negativa si es un vacío, Figura No. I.44., y según esta figura se puede ver que:

Page 36: Libro de Texto Hidraulica i

Pabs = Pman + Patm ( I.24 )

FIGURA NO. I.10 RELACION ENTRE PRESIONES

PROBLEMAS RESUELTOS

I.9. Determinar la presión en N/m2 , sobre una superficie sumergida a 11 m de profundidad en

una masa de agua.

Solución:

Utilizando el valor medio para el agua de 9.7982 kN/m3 para ω, se obtiene lo siguiente:

P = ω h = 9.7982 kN/m3 x 11 m = 107780.2 N /m2 = 10.78 N/ cm2

I.10. Determinar la presión en N/m2 a una profundidad de 20 m en un aceite de densidad

relativa de 0.850.

Solución:

Dr = ωaceite/ ωagua = 0.850 ωaceite = 0.850 x 9.7982 kN/m3 = 8328.47 N/m3

Page 37: Libro de Texto Hidraulica i

Pman = ω h = 8328.47 N/m3 x 20 m = 166569.4 N/ m2 = 16.66 N / cm2

I.11. Determinar la presión absoluta en N/m2 del problema I.9 si la lectura barométrica es de

76.10 cm de mercurio ( densidad relativa 13.57 ).

Solución:

Presión absoluta = presión atmosférica + presión manométrica debida a los 11 m de agua

Patm = ωmercurio x h = ( 13.570 x 9798.2 N/m3 ) x 0.7610 m = 101183.76 N/m2

Pman = 107780.2 N /m2 (ver problema No.I.9)

Pabsoluta = 101183.76 N/m2 + 107780.2 N /m2 = 208963.96 N/m2

I.12. ¿A qué profundidad de un aceite, de densidad relativa de 0.840, se producirá una presión

de 66.63 N / cm2 ? ¿ A cuál si el liquido es agua ?

Solución: ωaceite = 0.840 x 9798.2 N/ m3 = 8230.49 N/m3

haceite = p/ωaceite = ( 666300 N / m2 ) / 8230.49 N/m3 = 80.95 m

hagua = p/ ωagua = 666300 N / m2 / 9798.2 N/ m3 = 68.00 m

I.13 (a) convertir una altura de presión de 6.5 m de agua en una altura de aceite (densidad

relativa de 0.845), (b) convertir una altura de presión de 65 cm de mercurio en una de aceite

(densidad relativa de 0.800).

Solución:

Page 38: Libro de Texto Hidraulica i

(a) haceite = ( 6.5 m x 9.7982 kN/ m3 ) / (0.845 x 9.7982 kN/ m3 ) = 7.69 m

(b) haceite = (13.57 x 9.7982 kN/ m3 ) x0.65 m / (0.800 x 9.7982 kN/ m3 ) = 11.025 m

1.2.3 Dispositivos de medición

Se han utilizado varios dispositivos para la medición de las presiones producidas por un

líquido en reposo, llamados comúnmente manómetros. Los manómetros que se usan con más

frecuencia en hidráulica son los denominados de líquidos, con los cuales la medición de

presiones se reduce, en último análisis, a medir la carga de presión equivalente que produce

una columna líquida contenida en un tubo.

Los manómetros de líquidos se pueden clasificar en:

Tubos piezométricos

Manómetros abiertos propiamente dichos

Manómetros diferenciales

Page 39: Libro de Texto Hidraulica i

Tubos piezométricos.- Entre los manómetros de líquidos el más elemental recibe el nombre

de tubo piezométrico. El piezómetro está constituido por un simple tubo graduado vertical,

con un diámetro mayor de 13 milímetros para evitar los efectos de la tensión superficial. El

extremo superior ordinariamente está abierto y el inferior conectado en el punto donde se

quiere conocer la carga de presión, la cual se lee directamente en el tubo. Los tubos

piezométricos se emplean en la medición de presiones moderadas, para las cuales las cargas

de presión no rebasan los límites que se indican en los piezómetros. Los piezómetros también

se utilizan para medir presiones en los tubos por los que circulan líquidos. En este caso la

dirección del tubo piezométrico debe ser normal a la dirección de la corriente y además que el

extremo conectado quede al ras con la superficie interior de la superficie interior de la tubería.

a).- Para presiones mayores que la atmosférica.

El piezómetro se coloca como se muestra en la Figura No. I.11, de manera que el líquido del

recipiente llena parcialmente el tubo hasta alcanzar cierto nivel ( M-M ). La presión total en A

se obtiene aplicando la expresión:

PA = Patm + ω h ( I. 24 )

Page 40: Libro de Texto Hidraulica i

Figura No. I.11 PIEZOMETRO (para presiones mayores que la atmosférica)

La altura “ h” recibe el nombre de altura piezométrica y su valor se obtiene de la expresión:

h = PA / ω ( I. 25)

b).- Para presiones menores que la atmosférica.

El tubo piezométrico debe tener la forma como se indica en la Figura No. I.14, y por lo tanto

la presión en N será:

PN = Patm = PA + ω h ( I.26)

y la presión en A será:

PA = Patm - ω h (I.27)

Page 41: Libro de Texto Hidraulica i

Figura No. I.12 PRESIONES MENORES QUE LA ATMOSFERICA

Manómetros abiertos propiamente dichos.- Estos manómetros se utilizan para medir

presiones comparativamente grandes que rebasan los límites que pueden indicar un

piezómetro, empleándose para tal fin un tubo en forma de U con mercurio.

a).- Para presiones mayores que la atmosférica.- Suponemos que la columna mercurial por

el extremo abierto alcanza el nivel B sobre la que actúa la presión atmosférica, ver Figura No.

I.13. El problema se reduce a determinar la presión en el punto A, la cual se obtiene

estableciendo las presiones en C y D que deberán ser iguales por estar a un mismo nivel.

En efecto, la presión en D tiene el valor de:

PD = Patm + ωm hm ( I.28)

Page 42: Libro de Texto Hidraulica i

en donde ωm es el peso específico del mercurio. Por otra parte, la presión en C tiene el valor:

PC = PA + ω h (I.29)

siendo ω el peso específico del líquido cuya presión se trata de determinar.

Figura No. I.13 MANOMETRO PARA PRESIONES MAYORES A LA ATMOSFERICA

PA + ω h = Patm + ωm hm

De donde: Pa = Patm + ωm hm – ω h (I.30)

b).-Para presiones menores que la atmosférica.

Siguiendo un razonamiento análogo se establecen las presiones:

PB = Patm

PD = PA + ωh + ωm hm

las cuales deben ser iguales, resultando:

PA + ω h + ωm hm = Patm

PA = Patm - ωm hm - ω h (I.31)

Page 43: Libro de Texto Hidraulica i

Figura No. I.14 PARA PRESIONES MENORES QUE LA ATMOSFERICA

1.3 EMPUJES HIDROSTATICOS

1.3.1 RESULTANTE DE LA CUÑA DE PRESIONES.

Una manera de determinar la fuerza hidrostática o empuje hidrostático sobre un área plana es

usando el concepto del prisma de presiones, ver Figura No. I.24.

Supongamos que queremos determinar el empuje hidrostático, sobre un muro vertical, cuya

altura del agua es H. Consideremos a una profundidad h, un área elemental dA = L dh

sobre la cual actúa una fuerza total cuyo valor es:

Page 44: Libro de Texto Hidraulica i

dE = p dA = ω h L dh ( I.32)

Integrando de 0 hasta H, el empuje o fuerza total del líquido será.

E = ∫ d E = ω L ∫ h dh = ω L H2 / 2 ( I.33)

Es decir que la expresión (I.33), nos representa el volumen total del prisma o cuña de

presiones. Y donde el valor de ω es constante por tratarse de un solo líquido. Por otra parte, el

momento de la fuerza dE alrededor de un eje que pasa a través de un punto P, es:

d Mp = dE (H-h ) = ω L ( H-h ) h dh ( I.34)

y el par total será :

Mp = ∫ dMp = ω L ∫ ( H-h) h dh = ω L H3 / 6 (I.35)

Page 45: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. I.15 PRISMA O CUÑA DE PRESIONES

1.3.2 CENTRO DE PRESIONES

Para determinar la línea de acción del empuje se considera que el momento producido por E,

debe ser igual al momento dado por la expresión ( I.35) ,es decir:

(ω L H2 / 2 ) y = ω L H3 / 6

de donde: y = 1/3 H

es decir que la fuerza resultante estará aplicada a 1/3 H , o bien esta fuerza estará aplicada a

2/3 H, a partir desde la superficie libre del líquido.

Page 46: Libro de Texto Hidraulica i

1.3.3 EMPUJE EN SUPERFICIES PLANAS

Como se mencionó anteriormente, cuando un fluido está en reposo no existen esfuerzos

tangenciales dentro del mismo; entonces, las fuerzas son normales a la superficie en cuestión.

El ingeniero debe calcular las fuerzas ejercidas por los fluidos con el fin de poder diseñar las

estructuras que los contienen.

La fuerza “P” ejercida por un líquido sobre un área plana “ A” es igual al producto del peso

específico ω del líquido por la profundidad hcg del centro de gravedad de la superficie y por

el área de la misma. La expresión es:

P = ω h A

(I.36)

y esta fuerza estará aplicada en un punto denominado “ centro de presiones”, como se verá a

continuación.

Desarrollar (a) la ecuación (I.36) que da la fuerza hidrostática que actúa sobre un área plana y

(b) localizar dicha fuerza.

a) Vamos a suponer una superficie plana “AB” sumergida en el seno de un líquido cualquiera

(puede tratarse de una compuerta sumergida), y que forma un ángulo de inclinación θ con la

horizontal, como se muestra en la Figura No. I.16 , y también se puede ver la proyección de

esta superficie.

Page 47: Libro de Texto Hidraulica i

Considerando una franja diferencial de área dA. Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre esa

área elemental es igual al producto de la presión por el área dA:

dP = p dA = ω h dA (I.37)

Sumando todas las fuerzas elementales que actúan sobre la superficie, y según la figura:

h= y Sen θ , se tiene:

P = ∫ ω h dA = ∫ ω ( y Sen θ ) dA = (ω Senθ ) ∫ y d A = ( ω Sen θ ) y A

donde ω y θ son constantes y, por estática sabemos que ∫ y dA= y A. , y según la

figura: h = y Sen θ

P = ω h A ( I.38

)

Y obtenemos la expresión fundamental para obtener el empuje hidrostático sobre una

superficie plana sumergida.

Page 48: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. I.16 FUERZA HIDROSTATICA SOBRE UN AREA PLANA

(b) Para situar la fuerza P se procede a tomar momentos. El eje “OX” se escoge como la

intersección del plano que contiene la superficie libre del agua. Todas las distancias “y” se

miden a partir de este eje, y la distancia a la fuerza resultante se representa por yc.p., que mide

la distancia al centro de presión. Como la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto

del eje OX = al momento de la resultante, se obtiene: ∫ (dp x y ) = P x yc.p.

Page 49: Libro de Texto Hidraulica i

Pero dP = ω h dA = ω ( y senθ ) dA y P= (ω sen θ ) y A

(ω sen θ ) ∫ y2 dA = ( ω sen θ ) (y A) yc.p.

Pero sabemos que ∫ y2 dA = al momento de inercia del área plana respecto del eje OX,

Io / y A = yc.p.

A partir del teorema de Steiner,

Yc.p. = Ic.p. + A y2 / y A = I / (y A) + y (

I.39)

Se observa que la posición del centro de presión estará siempre por debajo del centro de

gravedad de la superficie o bien ( yc.p. - y ) es siempre positivo. Y este punto ( Yc.p. ), es muy

importante ya que representa el punto donde está aplicada la fuerza o empuje total

hidrostático.

Page 50: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMA RESUELTO:

I.14 Una presa de mampostería de gravedad de sección trapezoidal con una cara vertical,

tiene un espesor de 0.80 m en la corona y 4.00 m en la base. La cara vertical está sujeta a la

presión hidrostática del agua almacenada, la cual llega a 5.40 m arriba de la base; la altura del

muro es de 6.00m y su peso volumétrico de la mampostería es de: 21556.04 N/m 3 .

Determinar:

a) La fuerza hidrostática total actuando sobre la presa, b) el punto de aplicación de esta fuerza,

c) el momento total de volteo, d) el momento total resistente,e) el coeficiente de seguridad

contra el volteamiento.

FIGURA NO. I.17 De problema I.14

Page 51: Libro de Texto Hidraulica i

Solución:

a) Aplicando la I.36, se tiene:

P = ω h A = 9.7982 kN/ m3 x 2.7m x (5.40m x 1.00m) = 142.8577 kN = 142857.756

N

b) Para obtener su punto de aplicación, aplicamos la I.39: Yc.p. = I / ( y x A)

+ y

I = b h3 /12 = 1.00 x (5.40)3 / 12 = 13.122 m4 ( en este caso se está considerando un 1 m

de ancho de presa).

y = h = 5.40 / 2 = 2.70m (por ser un muro vertical, en este caso, estas dos alturas serán

iguales).

A= 5.40 X 1.00 = 5.40 m2

Yc.p.= 3.60 m es decir que la fuerza hidrostática estará actuando a 1/3 del fondo de la

presa., o a 2/3 desde la superficie libre del agua.

c) el momento de volteo es aquel que trata de producir un volteo a la presa, y se obtiene con

el momento producido al pie de la presa por la fuerza hidrostática, punto D.(Fig. I.17).

Mvolteo = 142857.756 N x 1.80 m = 257143.96 N.m

Page 52: Libro de Texto Hidraulica i

d) El momento resistente es el que produce el peso propio de la presa para que resista la

fuerza hidrostática y no exista volteo. Para lo cual se divide la sección trapecial en dos áreas

una rectangular y otra triangular, y se obtiene los momentos que producen sus pesos, con

respecto al pie de la presa, también en el punto D.

W1 = ( 0.80 x 6.00 x 1.00 ) x 21556.04 N/m3 = 103468.992 N

M1 = 103468.992 N x 3.60 m = - 372488.37 N.m

W2 = ( 3.20 x 6.00)/2 x 21556.04 N/m3 = 206937.984 N

M2 = 206937.984 N x 2/3 ( 3.20) = - 441467.70 N.m

MR = M1 + M2 = - 813956.07 N.m ( el signo menos es por que se está considerando que

producen un giro contrario a las manecillas del reloj).

e) finalmente el coeficiente de seguridad contra el volteo será:

C.S. = MR / Mvolteo = 3.17 , este resultado quiere decir que la presa no tiene problemas con

respecto a su estabilidad por volteo, ya que el valor es mayor de uno. En este caso se tendría

que reducir el valor de la base de la presa.

Page 53: Libro de Texto Hidraulica i

I.3.4 EMPUJE EN SUPERFICIES CURVAS.

Para explicar el empuje hidrostático que actúa sobre una superficie curva, se analiza el

siguiente problema:

I.15 Determinar y situar las componentes de la fuerza hidrostática sobre la compuerta de

sector circular AB (ver Figura No. I.18) por metro de longitud de la compuerta.

FIGURA NO. I.18 EMPUJE HIDROSTATICO SOBRE UNA SUPERFICIE CURVA

Page 54: Libro de Texto Hidraulica i

Solución: Aplicando la expresión I.36:

PH = fuerza sobre la proyección vertical de CB = ω h ACB = 9.79 kN/ m3 x (6 m ) (2 mx1m)= 117.48 kN,

que actúan a : Yc.p. = Ic.p. + A y2 / y A = I / (y A) + y según la (

I.39)

I = b h3 /12 = 1 x 23 /12 = 0.66667 m4 (considerando un ancho unitario de compuerta de 1 m )

I / (y A) + y = 0.66667/ ( 6x 2 ) + 6 = 6.05555 m ( distancia desde la superficie libre del

agua )

PV = peso del agua sobre sector circular AB = 9.79 kN/ m3 ( π 22 /4 x 1 ) m3 + 9.79 kN/ m3 (5x2x1 ) m3

( que viene siendo el empuje vertical del agua sobre el sector circular AB).

PV = 128.66 kN ( nota: ω = 9.79 kN/ m3 peso específico del agua en el Sistema Internacional SI )

Que pasa por el centro de gravedad del volumen del líquido, en este caso se trata de una área compuesta. El

centro de gravedad del volumen líquido del cuadrante de un círculo está situado a una distancia de 4/3 x r/π de

cada uno de los radios perpendiculares que lo limitan. Por tanto se tiene: Xc.p. = 4/3 x 2/π = 0.8488 m a la

derecha del radio BC. Y el centro de gravedad del volumen líquido rectangular, estará situado a la mitad del

lado del rectangulo. Por lo que es necesario encontrar el centro de gravedad de la sección compuesta ( rectángulo

y sector circular)., por lo que se tiene:

97.9 kN x 1m + 30.76 kN x 0.8488 m = ( 128.66 kN ) X → X = 0.96385 m , a partir del radio

CB hacia la derecha ( ver Fig. No. III.18 )

Por lo tanto la Fuerza Resultante Total que está actuando sobre la superficie curva sumergida será la suma

vectorial de las dos fuerzas obtenidas.

Ftotal = ( PH2 + PV2 ) = 174.23 kN

Nota: Cada una de las fuerzas elementales (dF ) estarán actuando normal a la compuerta AB, y por lo tanto,

su línea de acción pasa por el eje C. Y la fuerza resultante también pasará por C. Todo esto se puede comprobar,

si se toman momentos respecto a C:

MC = - 117.48 kN ( 1.0555 m ) + 128.66 kN ( 0.96385 ) ≈ 0

Page 55: Libro de Texto Hidraulica i

1.4 FLOTACION

1.4. 1 PRINCIPIO DE ARQUIMIDES

“ Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido, sufre un empuje vertical de

abajo hacia arriba, y cuyo valor es igual al peso del volumen de líquido desalojado”. Y el

punto de aplicación de dicho empuje coincide con el centro de gravedad del volumen

desalojado y se conoce con el nombre de centro de flotación o de carena.

1.4.2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE CUERPOS EN FLOTACION. Pueden

existir 3 casos:

a) Si W= peso del cuerpo, E= empuje, si W= E existe equilibrio, y el cuerpo puede

estar flotando con una parte sumergida y otra fuera de la superficie.

Vcuerpo ωcuerpo = V’ ωliquido (I.40 )

b) Si W> E , es decir que cuando el peso del cuerpo es mayor que el empuje ejercido por el

líquido, el cuerpo se sumergirá.

c) Si W < E , es decir que cuando el empuje es mayor que el peso de dicho cuerpo, este

flotará y no se sumergirá.

Para obtener el valor del empuje E, sabemos que es igual al peso del volumen líquido

desalojado: E= ωliq V’ (I.41)

donde : ωlíq = peso específico del líquido (N /m3)

V’ = volumen del líquido desalojado o desplazado (m3 )

Page 56: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS RESUELTOS.

I.16 Una piedra pesa 529.10 N en el aire y 235.16 N, cuando está sumergida en el agua.

Calcular el volumen y la densidad relativa de la piedra.

Solución:

En este caso se tiene que el empuje que recibe la piedra será: E = 529.10 N – 235.16 N =

293.94 N

Pero sabemos que el empuje es igual al peso del líquido desalojado:

E = ωlíq V’ = 293.94 N ωagua = 9798.2 N /m3

V’ = 293.94 N / 9798.2 m3 = 0.030 m3 (en este caso equivale al volumen de la piedra)

Densidad Relativa (Dr ) = ωcuerpo / ωagua , ωcuerpo = 529.10 N / 0.030 m3 = 17636.67 N/ m3

Dr = 17636.67 N/ m3 / 9798.2 N/ m3 = 1.80

Esto nos indica que como la densidad relativa de la piedra en este caso es un valor mayor que

1, Dr > 1 , por lo tanto el cuerpo es 1.80 veces más pesado que el agua y el cuerpo se

sumergirá en el agua.

Page 57: Libro de Texto Hidraulica i

I.17 Un objeto prismático de 20 cm de espesor por 20 cm de ancho y 40 cm de longitud se

pesa en el agua a una profundidad de 50 cm, dando un peso de 49.0 N. ¿ Cuánto pesa en el

aire y cuál es su densidad relativa ?

E = Waire - Wagua = peso del volumen desalojado = ωlíquido V’ = 9798.2 N /m3 x

( 0.20 mx 0.20 m x 0.40 m) = 156.77 N

por lo tanto: 156.77 N = Waire – 49.0 N → Waire = 205.77 N.

Dr = 205.77 N / 0.016 m3 / 9798.2 N /m3 = 1.31 , Dr > 1 → es más pesado que el

agua y se sumergirá en el líquido.

Page 58: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS PROPUESTOS

I.1 Un determinado líquido tiene un volumen de 0.50 m3 , y tiene un peso de 6.0 kN. Determinar a) peso específico en kN/m3, b) densidad en kg/ m3 , c) densidad relativa.

Solución: 12 kN/m3 , 1223.24 kg/ m3 , 1.22

I.2 Hallar la viscosidad cinemática de un líquido cuya viscosidad absoluta es de 20.60 poises y su densidad relativa es de 0.875, dando el resultado en m2 /seg.

Solución: 2.35 x 10-3 m2 /seg

I.3 Obtener la presión manométrica (N/m2 ), de una columna de agua de h= 42.50 m. ¿ Qué altura se deberá tener para obtener la misma presión, si el líquido en cuestión tiene una densidad relativa de 0.675?.

Solución: 416423.5 N /m2 , 62.96 m

I.4 Obtener la presión absoluta en ( N / m2 ) del problema I.3. Si la lectura barométrica es de 75.8 cm de mercurio (densidad relativa del mercurio 13.57).

Solución: 517208.37 N / m2

I.5 Un barómetro registró una columna mercurio de 752.60 mm. Obtener la presión en, a) kg/m 2 , b) kg/ cm2

Solución: 100066.88 N /m2 , 10.01 N /m2 .

I.6 ¿A qué profundidad de un aceite de densidad relativa de 0.890, se producirá una presión de 69.57 N/cm2 ? ¿A cuál si el líquido es agua?.

Solución: 79.76m, 71.0 m.

I.7 Un recipiente contiene agua y posee un manómetro, (ver Fig. I.11, pag.38 ). Si la presión atmosférica de la región es de 10.102 N /cm2 . Determinar la presión absoluta en el punto A, si sabemos que h= 60 cm.

Solución: 10.69 N /cm2

Page 59: Libro de Texto Hidraulica i

I.8 Si el mismo recipiente del problema I.7, contiene glicerina. Determinar la presión absoluta en A. (densidad relativa de la glicerina es de 1.26).

Solución. 10.844 N/ cm2

I.9 Determinar la presión absoluta en A, debido a la columna de mercurio (densidad relativa 13.57) en el manómetro en U, mostrado en la Fig. No. I.13 (pag.40). Sabiendo que la presión atmosférica es de 10.1215 N./cm2 y h= 60 cm de agua y la columna de mercurio es hm = 80 cm

Solución: 21.346 N / cm2

I.10 Determinar la presión manométrica en A, con los mismos datos del problema I.9.

Solución: 10.050 N /cm2

I.11 Un depósito tiene una longitud de 10 m, y la sección recta mostrada según figura , el agua llega hasta el nivel AE. Determinar: a) la fuerza total que actúa sobre el lado BC y b) el módulo y la posición de la fuerza total sobre el extremo ABCDE.

Solución: 1940 kN, 607.488 kN, 3.845m

Figura del Problema I.11

I.12 Una compuerta vertical rectangular AB de 5.0 m de altura y 1.90 m de ancho, puede girar alrededor de un eje situado a 21 cm., por debajo de su centro de gravedad de la compuerta. La

Page 60: Libro de Texto Hidraulica i

profundidad total del agua es de 9.0 m. ¿Qué fuerza “P” horizontal deberá aplicarse en el fondo de la compuerta para mantenerla en equilibrio?

Solución: 29.063 kN

Figura del Problema I.12

I.13 Un cuerpo pesa 298.845 N. en aire y 193.22 N sumergido en un aceite de densidad relativa de 0.785. Determinar su volumen y su densidad relativa.

Solución: 0.01373 m3 , 2.22

I.14 Un cubo de aluminio de 16.30 cm de arista pesa 59.083 N sumergido en agua. ¿Qué peso aparente tendrá al sumergirlo en un líquido de densidad relativa de 1.18?

Solución: 51.636 N

I.15 Una pieza de oro y plata, aleados con cierta ley, pesa 54.65 gr. fuera del agua y 51.35 gr. dentro de ella. Si el peso específico del oro puro es 19.25 gr/cm3 y el de la plata es de 10.3 gr/cm3. Determinar los porcentajes a que se han ligado dichos metales.

Solución: 70% oro, 30 % plata

UNIDAD II

Page 61: Libro de Texto Hidraulica i

TEMA: HIDRODINAMICA

2.1 CINEMATICA DE FLUIDOS

Page 62: Libro de Texto Hidraulica i

La cinemática de los fluidos estudia el movimiento y trayectoria de las partículas en

un determinado fluido, sin tener en cuenta las fuerzas que producen este movimiento.

Y únicamente en base al conocimiento de las magnitudes cinemáticas: velocidad,

aceleración y rotación.

2.1.1 CAMPOS VECTORIALES

Se denomina campo de flujo a una región en el espacio donde se localiza un fluido en

movimiento. En un campo de flujo existen una infinidad de puntos donde es posible

determinar una serie de magnitudes físicas, ya sea escalares, vectoriales o tensoriales y

que éstos pueden formar campos independientes o dependientes dentro del flujo.

Un campo escalar queda definido únicamente en función de la magnitud de la cantidad

física a la cual corresponde; ejemplos: peso específico, presión, densidad y viscosidad,

etc.

En cambio para una magnitud vectorial, además de la magnitud, se necesita definir una

dirección y un sentido para el vector al que corresponde; esto es, tres valores

escalares. La velocidad, la aceleración y la rotación son ejemplos de campos vectoriales.

2.1.2 VELOCIDAD, ACELERACION Y ROTACION

El campo de velocidades.-

Según la Cinemática, el análisis del movimiento y la trayectoria de una partícula del

fluido que sigue una trayectoria curva en el espacio se puede analizar de la siguiente

forma:

Page 63: Libro de Texto Hidraulica i

a) si conocemos el vector de posición r, de un punto “ P” sobre una curva, como una

función vectorial del tiempo t (ver Figura No. II.1).Cualquier punto en el espacio

quedará definido por: r = r ( t) = x i + y j + z k ( II.1)

donde i, j, k representan los vectores unitarios respecto a los tres ejes de coordenadas

ortogonales cualesquiera; y (x,y,z) las proyecciones de r según dichos ejes. Estas

proyecciones son cantidades escalares y funciones del tiempo: x = x(t ) ; y = y (t) ;

z = z (t)

b) Como sabemos que la partícula líquida sigue una trayectoria curva y esto en función

del camino recorrido-tiempo. Es decir en este caso la posición de la partícula se

determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la trayectoria curva (a partir

de un punto origen O’), como una función escalar del tiempo (Figura No. II.2); esto es:

s = s ( t ) ( I.2)

El vector velocidad de una partícula fluida se puede definir como la variación de rapidez

temporal del cambio en su posición con respecto al tiempo. Si la partícula P de la Fig.

No. II.3 se desplaza siguiendo la trayectoria C, descrita en cada instante por el vector

de posición de la partícula (según la expresión II.1), por lo tanto la velocidad será la

variación de dicho vector de posición con respecto al tiempo.

v = d r/dt = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k (II.3)

donde dr representa el vector diferencial del arco sobre la curva C, que recorre la

partícula en el tiempo dt. La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un

flujo y, al desplazarse la partícula según la curva S, es un vector tangente en cada punto

a la misma que, en general, depende de la posición de la partícula y del tiempo:

Page 64: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. II.1 Movimiento de una partícula, según la curva r = r (t)

FIGURA NO. II.2 Movimiento de una partícula según la curva s = s (t)

Page 65: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. II.3 Posición y componentes de la velocidad de una partícula.

El campo de aceleraciones.

La aceleración es una magnitud vectorial derivado del de velocidades pues el vector aceleración de una partícula en un punto se define como la variación de la velocidad en ese punto con respecto al tiempo; esto es:

a = dv / dt = d2 r / d t2 ( II.4)

Así, pues, el vector velocidad v es tangente a la trayectoria del punto P.El vector

aceleración a es la variación con el tiempo de v, es decir,

a = d v/dt = d2 r / d t2 = d2 x / dt2 i + d2 y/dt2 j + d2 z/dt2 (II.5)

Por lo tanto la aceleración tendrá también componentes según los tres ejes de coordenadas cartesianas, son:

Page 66: Libro de Texto Hidraulica i

ax = d vx /dt ; ay = d vy / dt ; az = d vz / dt (II.6)

Es necesario conocer también la magnitud de las componentes de la aceleración en cualquier punto de la trayectoria. La distancia S medida desde un punto de origen O’ (ver Fig. II.4) , siguiendo la trayectoria curvilínea, a lo largo de la cual se pueden determinar las propiedades del flujo. En cada punto de la trayectoria hay una dirección n, normal a la tangente local.

a = as + an = ( dv/dt) et + ( v2 /ρ ) en (II.7)

Si la trayectoria es curvilínea el vector unitario e t gira conforme P se mueve. Donde en

es un vector unitario normal a et , y ρ= radio de curvatura

FIGURA NO. II.4 Trayectoria de una partícula y vectores unitarios.

El campo rotacional.

Page 67: Libro de Texto Hidraulica i

Además del campo de aceleraciones existe otro campo vectorial derivado del de

velocidades: el rotacional que evalúa la rotación local de una partícula y se define por el

determinante:

rot v = i j k

∂ /∂x ∂/∂y ∂/∂z

Vx Vy Vz

cuyo desarrollo es:

rot v = ( ∂ Vz /∂y - ∂ Vy/ ∂z ) i + (∂Vx / ∂z - ∂Vz /∂x ) j + ( ∂ Vy/ ∂x - ∂ Vx/ ∂y ) k ( II.8 )

que también es función, tanto de punto como de tiempo y es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo.

2.1.3 DEFINICION Y CLASIFICACION DE FLUJOS.

En Mecánica de los Fluidos existen diferentes criterios para clasificar un

flujo. Este puede ser permanente o no permanente; uniforme o no uniforme;

tridimensional, bidimensional o unidimensional; laminar o turbulento; incompresible o

compresible; rotacional o irrotacional; etcétera. Estos son los flujos más importantes que

clasifica la ingeniería.

El flujo permanente, se refiere a la condición según la cual las características del flujo

en un punto (velocidad, tirante, gasto, ect.) no varían con respecto al tiempo, es decir:

Page 68: Libro de Texto Hidraulica i

∂ v / ∂ t = 0, ∂ d / ∂ t = 0 , ∂ Q / ∂ t = 0, y en caso contrario si el flujo es no permanente

no se cumplen las ecuaciones anteriores.

Se dice que el flujo es uniforme cuando el flujo se efectúa de de tal manera

que el gasto, la profundidad del agua, la velocidad, ect.,serán constantes de una sección

a otra con respecto a una longitud, esto se puede representar como: ∂ Q / ∂ x = 0 ,

∂ V / ∂ x = 0 , en caso contrario, el flujo es no uniforme. El flujo puede también

clasificarse en tridimensional, bidimensional y unidimensional. Es tridimensional

cuando sus características varían en el espacio, o sea que los gradientes del flujo existen

en las tres dimensiones; éste es el caso más general de flujo. Es bidimensional cuando

sus características son idénticas sobre una familia de planos paralelos, no habiendo

componentes en dirección, perpendicular a dichos planos.

Es unidimensional cuando sus características varían como funciones del tiempo y de

una coordenada curvilínea en el espacio, usualmente la distancia medida a lo largo del

eje de la conducción.

La clasificación de los flujos en laminar y turbulento está en función de la velocidad

que lleva el fluido por una determinada conducción, así como también de la viscosidad

de fluido (esto se verá más adelante en la Unidad IV).

En el movimiento laminar se observan velocidades pequeñas y que las partículas

líquidas siguen trayectorias uniformes y paralelas. Si se inyecta colorante ( de la misma

densidad que el líquido) dentro de un flujo laminar, en este caso se observa como un

Page 69: Libro de Texto Hidraulica i

filamento delgado que sigue las trayectorias del flujo. En el flujo turbulento, se

caracteriza por velocidades más grandes, y las partículas se mueven siguiendo

trayectorias no paralelas, sin orden.

Un flujo se considera incompresible si los cambios de densidad de un punto a otro son

despreciables; en caso contrario, el flujo es compresible.

Cuando en un flujo el campo rot v adquiere en alguno de sus puntos valores distintos de

cero, para cualquier instante el flujo se denomina rotacional. Por el contrario, si dentro

de un campo de flujo el vector rot v es igual a cero para cualquier punto e instante, el

flujo es irrotacional.

PROBLEMA II.1

Demostrar que el flujo, cuyo campo de velocidades se indica en seguida, es irrotacional.

Vx = ( 2x + y + z ) t

Vy = ( x - 2y + z ) t

Vz = ( x + y ) t

Solución. Para que el flujo sea irrotacional se debe satisfacer que: rot v = 0

rot v = ( ∂ Vz /∂y - ∂ Vy/ ∂z ) i + (∂Vx / ∂z - ∂Vz /∂x ) j + ( ∂ Vy/ ∂x - ∂ Vx/ ∂y ) k

rot v = ( t – t ) i + ( t – t ) j + ( t – t ) k = o

Page 70: Libro de Texto Hidraulica i

lo cual demuestra que el flujo es, irrotacional.

2.1.4 Línea de corriente, trayectoria, y vena líquida.

Se supone que en un instante to se conoce el campo de velocidades v, de un flujo.

Figura. No. II.5 Concepto de línea de corriente.

Se define como línea de corriente o de flujo toda línea trazada idealmente en el

interior de un campo de flujo, de manera que la tangente en cada uno de sus puntos

Page 71: Libro de Texto Hidraulica i

proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente al mismo punto. Por lo

que no existe posibilidad de que dos líneas de corriente se intersequen, pues ello

significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores v distintos. Se

observa que esta definición se refiere a las condiciones de un flujo no permanente en un

instante particular. Al cambiar de un instante a otro la configuración de las líneas de

corriente será, por supuesto, distinta.

De la definición de línea de corriente, el vector diferencial de arco ds y el vector

velocidad son paralelos, de manera que se puede escribir:

d s = v dt ; que representa la ecuación diferencial de la línea de corriente. Esta

ecuación, en términos de sus componentes, es

d x = Vx d t

d y = Vy d t

d z = Vz d t

O bien, para un instante to considerado, se pueden escribir de la siguiente forma:

d x = d y = d z

Page 72: Libro de Texto Hidraulica i

Vx (x,y,z,to) Vy(x,y,z,to) Vz(x,y,z,to)

( II.9 )

que forman un sistema de tres ecuaciones diferenciales.

FIGURA NO. II.6 Concepto de tubo de flujo.

Se considera ahora, dentro del flujo, la curva C cualquiera de la Fig. II.6 (que no sea

línea de corriente) y las líneas de corriente que pasan por cada punto de esa curva. La

Page 73: Libro de Texto Hidraulica i

totalidad de éstas líneas están contenidas en una superficie que se denomina superficie

de flujo o de corriente. Si la curva C es cerrada, la superficie de corriente formada

adquiere el nombre de tubo de flujo y, el volumen encerrado por esta superficie, el de

vena líquida o fluida. La trayectoria de una partícula es la línea que une los puntos de

posición sucesivamente ocupados por dicha partícula en el transcurrir del tiempo (Fig.

II.5).

PROBLEMA II.2. – Determinar la ecuación de las líneas de corriente de un flujo

permanente, bidimensional, simétrico respecto del eje y, ver Fig.II.6, que choca contra

una placa horizontal contenida en el plano x-z, cuyo campo de velocidades está definido

por las componentes:

Vx = 5 x

Vy = - 5 y

Vz = 0

Solución. De acuerdo con las Ecs. (II.9), la ecuación diferencial de las líneas de

corriente es:

d x = d y

5 x -5 y

Page 74: Libro de Texto Hidraulica i

Cuya integración conduce a la ecuación:

l n x = - l n y + l n c o bien x y = c

que es la ecuación de las líneas de corriente y corresponde a una familia de hipérbolas

rectangulares, asintóticas a los ejes x y y

2.2 Conservación de la masa

2.2.1 Ecuación de Continuidad.

Imaginemos una corriente líquida de sección variable como se muestra en la Fig. II.7 y

tracemos una sección S normal a la dirección del movimiento.

Suponiendo que por la sección S pasa un volumen líquido ∆V en un intervalo de

tiempo ∆ t, el “Gasto” o “Caudal” queda definido por:

Q = lim∆t →o ∆ V/ ∆ t

Por lo tanto queda: Q = d V / d t ( II.10 )

Por lo tanto, según la expresión II.10, se denomina en Hidráulica “GASTO” o “

CAUDAL” de una corriente al volumen líquido que está pasando por una sección

determinada en un coducto en la unidad de tiempo.

Page 75: Libro de Texto Hidraulica i

Q = Volumen líquido ( II.11)

tiempo

Ahora bien, el elemento d V de una corriente líquida que atraviesa a la sección S

recorrerá una distancia :

d x = v dt ( II.12)

FIGURA II.7 CORRIENTE LIQUIDA DE SECCION VARIABLE

Y el volumen líquido, recorrido por una partícula será igual al volumen del prisma.

Volumen del prisma = Área x Longitud

por lo cual dicho volumen dV, se puede escribir.

d V = As dx = As v dt ( II.13 )

Page 76: Libro de Texto Hidraulica i

Y sustituyendo (II.13) en ( II.10) se obtiene:

Q = As v dt / dt = As v ( II.14 )

esta expresión es una de las expresiones más utilizadas en Hidráulica denominada

Ecuación de Continuidad, y se puede expresar de una manera más práctica como:

Q = A V ( II. 15 )

y que nos indica que el Gasto o Caudal en una sección determinada es igual al producto

del Área normal al movimiento en la sección ( m2 ) por la velocidad media en esa

sección en ( m/ seg).

Es decir las unidades del GASTO serán : m3 / seg o también en lts / seg, el caudal en

peso en kN/seg, y el caudal másico en Kg/seg. (es decir kilogramos de agua, que están

pasando en una sección por segundo).

2.2.2 ECUACION DEL GASTO

PRINCIPIO DE CONTINUIDAD.

Page 77: Libro de Texto Hidraulica i

Consideremos una corriente líquida, de sección A, en general variable, como se indica

en la Fig. II.8, con régimen permanente entre las secciones sucesivas I-I y II-II

normales a dicha corriente.

El volumen líquido que pasa por la sección I-I tendrá que ser igual al que pasa por II-II

en el mismo tiempo dt, ya que el líquido es incompresible, esto es: d V1 = d V2

pues de lo contrario se contradice la hipótesis de régimen permanente. Ahora bien,

dividiendo ambos miembros de esta igualdad entre dt, se obtiene:

d V1 / dt = d V2 / dt

FIGURA NO. II.8 PRINCIPIO DE CONTINUIDAD

Pero por definición de GASTO,

Q1 = d V1 / dt y Q2 = d V2 / dt

y queda Q1 = Q2 , es decir :

Page 78: Libro de Texto Hidraulica i

Q = A1 V1 = A2 V2 = constante ( II.16 )

Este resultado denominado principio de continuidad expresa que, “ en un líquido

perfecto con escurrimiento permanente, el gasto es constante a través de cualquier

sección, o bien que el producto del área por la velocidad media es constante”

PROBLEMAS RESUELTOS

II.3.- ¿ Que diámetro debe tener una tubería para transportar 2 m3 /seg a una

velocidad media de 3 m/ seg ?

Solución.

Según la ecuación II.15, Q = V A

y despejamos el área de la sección, A = Q / V

A= 2 m3 /seg = 0.6666 m2

3 m/seg

y el área es A = = π D2/4 = 0.6666 m2

por lo que el diámetro queda: D2 = 4 x 0.6666 /π = 0.848741

D = 0.92 m

Page 79: Libro de Texto Hidraulica i

II.4 Si la velocidad media en una tubería de 30 cm. de diámetro es de 0.55 m/seg.

¿ Cuál será la velocidad en el chorro de 7.5 cm de diámetro que sale por una boquilla

unida al extremo de la tubería?

Solución.

Por el principio de Continuidad, según (II.16).

Q = A30 V30 = A7.5 V7.5= Constante

Obteniendo las áreas correspondiente en las dos secciones.

(0.706869) x (0.55) = 0.004418 V7.5

V7.5 = 8.80 m/seg

II.5 A través de una tubería de 200 mm. de diámetro está circulando agua a una

velocidad media de 1.80 m/seg. Determinar a) el caudal en volumen, b) el caudal

másico y c) el caudal en peso.

Solución:

Según la expresión de Continuidad (II.15).

a) Q = A V = 1.80 m/seg x π ( 0.20)2 /4 = 0.0565 m3 /seg

b) Q = 0.565 m3 x 1000 kg/ m3 = 56.5 kg/seg

c) Q = 0.554 kN/seg ( ya que 1 kN = 224.81 lb = 102.0592 kg )*

* Según libro: Mecánica de los Fluidos e Hidráulica ( Ranald V. Giles, Jack B.

Evett, Cheng Liu), Tercera Edición.

2.3 CONSERVACION DE LA ENERGIA

2.3.1 ECUACION DE ENERGIA

Page 80: Libro de Texto Hidraulica i

2.3.2 SOLUCION PARA UNA VENA LIQUIDA

Consideremos un tubo a través del cual fluye un líquido perfecto con escurrimiento

permanente y precisemos las características del líquido en las secciones I-I y II-II ,

como se muestra en la Fig. II.9, en la cual se ha elegido un plano horizontal de

comparación ( PHC ).

FIGURA NO. II.9 ECUACION DE ENERGIA

En efecto, consideremos que en un instante dt, se ha trasladado un volumen:

Page 81: Libro de Texto Hidraulica i

d V = Q dt ; desde I-I hasta II-II de acuerdo con el principio de continuidad. Si ω es

el peso específico del líquido, entonces el peso :

ω Q dt del volumen dV, será la única fuerza vertical que habrá ejecutado trabajo

mecánico:

τ1= ωQ dt ( z1 – z2 ) a través del desnivel ( z 1 – z2 ), produciendo también un

cambio total de energía cinética:

m/2 ( v22 - v1

2 ) = ω Q dt ( v22 - v1

2 ) (II.17)

2 g

Además, supongamos que las presiones hidrostáticas que están actuando en las

secciones I-I y II-II se desplazaron magnitudes ds1 y ds2 según el eje del conducto

durante el intervalo de tiempo dt, efectuándose un trabajo total igual a:

τ2 = p1 A1 ds1 - p2 A2 ds2 (II.18)

Obsérvese que mientras la presión en I-I favorece al movimiento, la presión en II-II se

opone a el y de aquí los signos considerados.

Finalmente de acuerdo con el principio de trabajo y energía, el cambio de energía

cinética del cuerpo en movimiento será igual a la suma de los trabajos ejecutados por las

fuerzas exteriores, esto es:

ω Q dt / 2g ( v22 - v1

2 ) = ω Q dt (z1 – z2 ) +p1 A1 ds1 – p2 A2 ds2

Dividiendo ambos miembros entre ω Q dt , se tiene

lo siguiente: v22/2g - v1

2/2g = z1- z2 + p1A1 ds1/ ωQdt – p2 A2 ds2/ωQdt

Por definición de volumen y aplicando el principio de continuidad,

Page 82: Libro de Texto Hidraulica i

queda: v22 /2g - v1

2/ 2g = z1 - z2 + p1/ω - p2/ω

ordenando se obtiene para un flujo ideal:

z1 + p1/ω + v12 /2g = z2 + p2/ω + v2

2 / 2g (II.19)

Esta ecuación (II.19), recibe el nombre de ECUACION DE ENERGIA O TEOREMA

DE BERNOULLI., y es de fundamental importancia en Ingeniería Hidráulica.

Es decir que este Teorema de Bernoulli, consta de tres términos denominados cargas o

energías, es decir:

z1 = carga o energía de posición en la sección ( 1 )

p1 / ω = carga o energía de presión en la sección ( 1 )

v12 / 2g = carga o energía de velocidad en la sección ( 1 )

Cuando se trata de un flujo real, se introduce otro término denominado pérdida de carga

( Hf ) y tiene su origen debido al rozamiento del fluido sobre las paredes del conducto y

el Teorema de Bernoulli queda:

z1 + p1/ω + v12 /2g = z2 + p2/ω + v2

2 /2g + Hf ( II.20 )

Hf = Pérdida de carga (debido a la fricción en las paredes del conducto)

PROBLEMAS RESUELTOS:

II.6 El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 20 cm en A a 40 cm en B.

Page 83: Libro de Texto Hidraulica i

(Fig. II.10 ). Si la presión en A es de 0.70 kg/cm2 , y en B de 0.60 kg/cm2 , cuando

está circulando un gasto de 105 lts/seg, determinar: a) el sentido de la circulación del

flujo, b) la pérdida de carga entre las dos secciones.

Solución:

Resumiendo los datos y convirtiendo todo en metros:

PA = 0.70 kg/ cm2 = 7000 kg/m2 , PB = 0.60 kg/ cm2 = 6000 kg/m2

Q = 105 lts/ seg = 0.105 m3 / seg AA = π ( D20 )2 = 0.031416 m2

AB = π ( D40 )2 = 0.125664 m2

Figura II.10 del problema II.6

El sentido de la circulación del flujo quedará definido por la suma de las energías en

cada sección. Por lo que la circulación irá del punto de mayor energía al de menor

energía.

Page 84: Libro de Texto Hidraulica i

Obteniendo las velocidades en ambas secciones:

VA = Q/AA = 0.105 / 0.031416 = 3.34 m/seg

VB = Q/AB = 0.105/ 0.125664 = 0.835 m/seg

Calculando cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli y sumando las

energías:

Punto B: Punto A:

V 2B / 2g = 0.035 m V2

A / 2g = 0.568 m

PB/ω = 6.00 m PA/ω = 7.00 m

ZB = 4.5 m ZA = 0.000

ΣB = 10.535 m ΣA = 7.568 m

Siendo 10.535m › 7.568 m por lo tanto como la suma de energías en el punto B es

mayor que en A, el flujo irá de B → A

b) La pérdida de carga o energía entre las dos secciones será la diferencia entre la suma

de las cargas, obtenidas anteriormente:

Hf = 10.535m – 7.568m = 2.967 m

Este resultado indica que por cada kilogramo de agua que pasa de B → A, se pierden

2.965 kg.m.

2.3.3 LINEA DE ENERGIA Y LINEAS DE CARGAS

PIEZOMETRICAS.

Page 85: Libro de Texto Hidraulica i

Para explicar este concepto del trazo de las líneas piezométrica y de energía, se

resolverá el siguiente problema.

PROBLEMA II.7.- En la Figura No.II.11, están circulando 0.370 m3/seg, de

agua de A → B, existiendo en A una altura de presión de 6.6 m. Suponiendo que no

existen pérdidas de carga o de energía entre A y B, determinar la altura de presión en B.

Dibujar la línea de alturas totales y la línea de alturas piezométricas.

FIGURA NO. II.11 DEL PROBLEMA II.7

Solución:

Si se aplica la ecuación de Bernoulli ( II.19 ), entre las secciones A y B, y tomando

como plano horizontal de comparación (P.H.C.), el que pasa por D, según la figura

(II.10), por lo tanto queda:

Page 86: Libro de Texto Hidraulica i

pA/ω + vA2/2g + zA = pB /ω + vB

2/2g + zB (II.21)

donde VA = Q/AA = 0.370 m3 / seg/ π 0.32/ 4 m2 = 5.24 m/seg

VB = Q/AB = 0.370 m3/ seg/ π 0.62 / 4 m2 = 1.31 m/seg

Sustituyendo valores en la (II.21):

6.60 + (5.24)2 / 2g + 3.0 = pB /ω + (1.31 )2 / 2g + 7.5

10.9995 = pB /ω + 0.0875 + 7.5

y la altura de presión en B, → pB /ω = 3.412 m de agua.

A continuación se hace el trazo de la línea piezométrica. La cual es una línea que une

puntos con su altura de presión (ver Fig. II.10), y la línea de alturas totales, representa

gráficamente la suma de las tres energías consideradas en el Teorema de Bernolli.

2.3.4 ECUACIONES DE POTENCIA EN BOMBAS Y TURBINAS.

La potencia en bombas se obtiene por la siguiente expresión:

P = ω Q Hm / 75η ( II.22 )

Page 87: Libro de Texto Hidraulica i

en donde:

P = Potencia en H.P. (horse power)

sabiendo que: 1 horse power(H.P.) = 0.746 kilovatios= 1.014 caballos de vapor

(CV) = 76 kgm/seg., 1 caballo de vapor ( CV) = 75 kgm/seg= 0.986(HP ).

Q = Gasto o Caudal ( m3 /seg )

Hm = energía total comunicada al agua por la bomba (carga dinámica total).

η = eficiencia del equipo de bombeo (está en función del tipo de bomba)

3.5 APLICACIONES

( PA/ω + V 2A/2g + ZA ) + Hm - Hf = ( PB/ω + V 2

B/2g + ZB )

II.8 En el sistema mostrado en la Fig. II.12, la bomba MN debe conducir un caudal de

180 lts/ seg de un aceite, (Dr = 0.850 ), hacia un recipiente B. Suponiendo que la pérdida

de carga entre A y M es de 3.50 kgm/kg y entre N y B es de 8.25 kgm/kg, ( a ) ¿qué

potencia en CV debe tener la bomba para poder elevar el líquido hasta esa altura?, (b)

¿ cuál sería el valor en HP ?, (c) Dibujar la lía de alturas totales.

Solución:

(a) La velocidad de las partículas en A y B es tan pequeña que pueden despreciarse las

cárgas o alturas de velocidad. Por lo tanto se debe aplicar la ecuación de Bernoulli

(II.19) entre los puntos A y B, y además tomando como plano horizontal de

comparación, el que pasa por MN, queda:

Page 88: Libro de Texto Hidraulica i

( PA/ω + V 2A/2g + ZA ) + Hm - Hf = ( PB/ω + V 2

B/2g + ZB ),

en este caso Hf = suma de pérdidas de carga o energía entre AN y NB, debidas a la

fricción en los conductos.

( 0 + 0 + 15 ) + Hm - ( 3.5 + 8.25 ) = ( 0 + 0 + 65 )

Hm = 61.75 m ( o kgm/kg).

P = ω Q Hm / 75η = (850 x 0.180 x 61.75)/ 75(0.80)=157.46 CV

suponer que el equipo de bombeo tiene una eficiencia de: η =0.80

b) 1 caballo de vapor = 0.986 HP , P= 155 HP

c) La línea de alturas totales en A tiene una elevación de 25.0 m sobre el plano

horizontal de comparación (cota cero). De A → M la pérdida de carga es de 3.5 m y la

línea de alturas totales bajará esta misma altura, lo que tenemos en M una elevación de

21.5 m. La bomba comunica al fluido una carga de 61.75 m y la elevación en N será de

83.25 m. Y la pérdida de carga entre N y B es de 8.25m, y la elevación en B será de

75 m.,(ver Fig. II.12).

Page 89: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. II.12 Del Problema II. 8

2.4 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

2.4.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

El movimiento del agua está regido por las leyes de Newton, estas servirán de base en la

deducción.

De acuerdo a la segunda ley de Newton: F = m a ( II.22 )

En donde: F = fuerza que trata de mover el cuerpo ( N )

m = masa del cuerpo (kg masa ),

a = aceleración que adquiere el cuerpo (m/seg2 )

Multiplicando los dos miembros de la ecuación ( II.22 ) por el tiempo ( t ).

Page 90: Libro de Texto Hidraulica i

F t = m a t ( II.23 )

Y también se conoce que la aceleración es la variación de la velocidad ( V ) con

respecto al tiempo ( t ).

a = ( Vf - Vo ) / t = ∆ V / t ( II.24 ) en donde :

Vf = velocidad final Vo = velocidad inicial ∆V = incremento de la velocidad

a producto de la fuerza por el tiempo se le llama CANTIDAD DE MOVIMIENTO o

IMPULSO.

2.4.2 FUERZA HIDRODINAMICA

Si consideramos una masa líquida en movimiento, por ejemplo en una corriente natural

o en un río, de tal manera que en un periodo de tiempo la masa de agua se desplazará de

una sección ( 1 ) a → otra sección ( 2 ).

Si se considera que de la posición en la sección ( 1 ) a la posición en la sección ( 2), la

masa de agua pierde mucha de su cantidad de movimiento y, en consecuencia, existe

una reducción de la velocidad. Esta reducción de la velocidad de V1 → V2 es

producto de una pérdida de impulso o cantidad de movimiento.

Page 91: Libro de Texto Hidraulica i

La fuerza externa que produce este cambio de impuso en un tiempo ( t ), de acuerdo a la

expresión ( II.23 ).

También se sabe que el peso de la masa líquida es: W = m g ( II.25 )

ω = W/ V’ → m = ω V’/ g ( II.26 )

en donde: m = masa del volumen de agua

ω = peso específico del agua

V’ = volumen de líquido

g = aceleración de la gravedad

W = peso de la masa líquida.

Pero sabemos según la ( II.11 ), que el volumen líquido vale:

V’ = Q t (II. 27 ) V’ = volumen líquido

Q = gasto o caudal

t = tiempo

Sustituyendo la expresión ( II.27 ) en la ( II. 26 ), obtenemos el valor de la masa

líquida → m = ( Q ω t ) / g ( II.27)

Sustituyendo la (II.24 ) y la ( II.27 ) en ( II.23 ):

F = ( Q ω t )/ g ( Vf - Vi ) /t

F = ( Q ω )/ g (Vf - Vi ) ( II.28)

Page 92: Libro de Texto Hidraulica i

Ecuación que se conoce con el nombre de « Ley del Impulso » , e indica que una masa

líquida en movimiento, cuando se produce un cambio de velocidades debido a un

cambio en la cantidad de movimiento o del impulso, actuando sobre dicha masa líquida

una fuerza dada por esta expresión.

2.4.3 APLICACIONES.

II.8 Un chorro de agua de 10 cm de diámetro que se mueve hacia la derecha incide

sobre una placa plana situada normalmente al eje del chorro.( a) Para una velocidad de

20.0 m/ seg, ¿ qué fuerza se requerirá para mantener la placa en equilibrio ?

Solución:

Se toma el eje X en la dirección del eje del chorro. Así la placa anula toda la cantidad de

movimiento inicial en la dirección X.

( a ) Cantidad de movimiento inicial - impulso = cantidad de movimiento final

Obtenemos primeramente el gasto: Q = V A = 20.0 m/seg * ( π 0.102 )/4

Q = 0.157080 m3 / seg

Aplicando la expresión (II.28 ), se tiene:

F = ( 0.157080 m3/seg x 1000 kg/ m3 ) / 9.81 m/seg2 x ( 20.0 m/seg )

F = 319.50 kg ← ( hacia la izquierda para mantener el equilibrio)

Page 93: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS PROPUESTOS

II.1 ¿ Cúal es la velocidad media en una tubería de 20.32 cm de diámetro, si el caudal de agua

transportado es de 4 100 m3/día ?

Solución: 1.46 m/seg

II.2 ¿Qué diámetro comercial debe tener una tubería de agua potable para poder transportar un caudal de

78.0 lts/seg, a una velocidad media de 2.4m/seg ?.

Solución: 8 pulgadas

II.3 Una tubería de 305 mmm de diámetro, que conduce un gasto de 90.5 lts/seg, está conectada a una

tubería de 152 mm. Determinar la altura de velocidad en la tubería de 152 mm.

Solución: 1.27 m

II.4 Una tubería de 15 cm de diámetro transporta 95.0 lts/seg. La tubería se ramifica en otras dos, una de

5 cm y la otra de 10 cm. Si la velocidad en la tubería de 5 cm es de 10.5 m/seg. ¿ cúal es la velocidad

en la tubería de 10 cm ?.

Solución: 7.735 m/seg

II.5 Por una tubería de 30 cm de diámetro circulan 1600 lts/min; reduciéndose después el diámetro de la

tubería a 15 cm. Calcular las velocidades medias en ambas tuberías.

Solución: 0.38 m/seg , 1.51 m/seg

II.6 A través de una tubería de 15 cm de diámetro fluye agua a una presión de 427 kP a , suponiendo que

no hay pérdidas de carga. ¿ Cúal es el caudal si en una reducción de 7.5 cm de diámetro la presión es de

142 kPa ?.

Solución: 0.109 m3 /seg ( 109 lts/seg )

Page 94: Libro de Texto Hidraulica i
Page 95: Libro de Texto Hidraulica i

II.7 Una tubería que está conduciendo un aceite cuya densidad relativa es de 0.865, pasa de 15 cm de diámetro

en la sección “E”, a 45 cm en la sección “R”. La sección “E” está a 4.10 m por debajo de “R” y las presiones son

respectivamente 89.5 kPa y 61.0 kPa. Si el caudal es de 0.160 m3/seg; determinar la pérdida de carga en la

dirección del flujo.

Solución: 3.382 m

II.8 Por una tubería están circulando 0.450 m3/ seg de agua de la sección A → B, existiendo en A una altura

de presión de 7.10 m.,y un diámetro de 30 cm. La sección B está 4.5 m arriba de A y el diámetro en la sección

B es de 60 cm. Suponiendo que no existen pérdidas de energía entre A y B, determinar la altura de presión en B.

Dibujar la línea piezométrica y la línea de alturas totales.

Solución: 4.539 m

II.9 El diámetro de un conducto cambia gradualmente de 0.20 m en “A” a 0.40 m en “B”. La sección “A” esta

situada 4.50 m debajo de “B”. ¿ Cúal debe ser la diferencia de presiones registrada por dos manómetros

colocados en A y B cuando hay un gasto de 200 lts/seg, considerando que no existen pérdidas de carga?.

Solución: 2.56 m

II.10 Si en el problema II.6 fluye un aceite de densidad relativa de 0.810, calcular el caudal.

Solución: 0.121 m3/seg ( 121 lts/seg)

II.11 El diámetro en el conducto de la (figura II.10 Pag. 80), cambia gradualmente de 0.20 m en “A” a 0.40 m

en la sección “B”; la sección “A” está 4.50 m debajo de “B”. Si la presión en “A” es de, 0.70 kg/cm 2 y en

“B” de 0.60 kg/cm2. Obtener el gasto despreciando el rozamiento.

Solución: 269 lts/seg

Page 96: Libro de Texto Hidraulica i

II.12 Un gasto de agua de 100 lts/seg, están circulando por una tubería, y se mide que la velocidad cambia de

2.5 m/seg a 3.5 m/seg. ¿ Qué fuerza estará actuando sobre dicha masa líquida para producir este cambio de

cantidad de movimiento?

Solución: 10.20 kg

II.13 Si en el problema II.12 está circulando un aceite de densidad relativa 0.760, calcular la fuerza actuante.

Solución: 7.75 kg

II.14 A través de una tubería vertical de 30 cm de diámetro fluyen hacia arriba 0.350 m 3 /seg de agua. En el

punto A la presión es de 230 kPa. En el punto B, 5.10 m por encima de A, el diámetro es de 60 cm y la pérdida

de carga entre A y B es igual a 1.92 m. Determinar la presión en B.

Solución: 192.6 kPa

II.15 Por una tubería en la que circula agua, de la sección 1 → 2 , la sección 1 tiene un diámetro de

100 mm, y la velocidad en esta sección es: V1 =1.5 m/seg , y la presión es P1 = 250 kPa. La

sección 2 se localiza a 2.10 m debajo de la sección 1, y tiene un diámetro de sección de 50 mm. Suponer que

la pérdida de carga total entre las secciones 1 y 2 es de 2.80 m. Determinar la velocidad del fluido y la presión

del mismo en la sección 2.

Solución: 6m/seg , 226 kPa

UNIDAD III

Page 97: Libro de Texto Hidraulica i

TEMA: FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA EXPERIMENTAL

3.1 MODELOS HIDRAULICOS

En diversas ramas importantes de la ingeniería se recurre a la ayuda de modelos para la

resolución de problemas de diseño. En la actualidad los modelos hidráulicos son de

fundamental importancia para proyectar y construir estructuras hidráulicas. Y han encontrado

creciente aplicación para controlar y modificar diseños analíticos.

Las investigaciones hidráulicas requieren un cierto costo, pero éste es solo una fracción de lo

que supondría hacer las pruebas a tamaño natural; o sea que las economías y

perfeccionamientos logrados en la obra real, justifican plenamente la utilización de los

modelos.

Un modelo hidráulico es una representación generalmente más pequeña de una obra ,

denominada PROTOTIPO. El modelo, para serlo debe poseer cualidades tales que permitan

transferir las observaciones, resultados y conclusiones obtenidas de él a la escala y magnitud

del prototipo que pretende representar.

El empleo de los modelos es de gran utilidad debido a que existen problemas que no son

accesibles para resolverse total o satisfactoriamente por la vía analítica, teniéndose entonces la

necesidad de recurrir a la investigación experimental.

Page 98: Libro de Texto Hidraulica i

El modelo hidráulico podemos compararlo a una ecuación, en cuyo planteamiento es

necesario primero conocer las variables que intervienen en el fenómeno, establecer las

condiciones de frontera y, finalmente, resolverla. Análogamente, en el modelo se determinan

las variables que intervienen en el fenómeno en forma predominante y cuáles se pueden

despreciar sin perjuicio de los resultados. La resolución de la ecuación, la podemos comparar

a la operación del modelo y a la interpretación de sus resultados. Todos los estudios llevados a

cabo sobre modelos tienen sus limitaciones derivadas de las simplificaciones realizadas al

construirlos y operarlos, o bien de los factores que no es posible tomar en consideración por

su complejidad.

Por lo tanto, en un fenómeno real en el cual intervienen determinado número de fuerzas, sólo

una, la fundamental, es tomada en cuenta.

Por lo anterior, existen ciertas discrepancias entre lo observado en el modelo y lo que

realmente pasa en el prototipo, que se conoce con el nombre de EFECTO DE ESCALA.

Dentro de los problemas de la hidráulica práctica, existen algunos que pueden tratarse

satisfactoriamente por la vía analítica, otros que además del análisis requieren para su

solución de una confirmación y una afinación por medio de la experimentación, y finalmente

aquellos que deban tratarse experimentalmente.

3.1.1 SIMILITUD GEOMÉTRICA, CINEMÁTICA Y DINÁMICA.

Page 99: Libro de Texto Hidraulica i

Para que los resultados obtenidos con el modelo hidráulico sean confiables y por lo tanto

aplicables al prototipo, es necesario que los sistemas de flujo sean “hidráulicamente

semejantes”, lo cual implica que entre modelo y prototipo exista:

Similitud Geométrica

Similitud Cinemática

Similitud Dinámica

Similitud Geométrica.- Para la comprensión del significado anterior, consideremos dos

flujos en una estructura hidráulica ( vertedor ), ver Figura No. III.1.

La similitud geométrica implica, de un modo estricto, que sea igual la relación de todas las

longitudes homólogas en los dos sistemas. Esto es, si ciertas dimensiones lineales dentro de

los flujos se seleccionan y se designan por los subíndices.

p = dimensiones lineales del prototipo

m = dimensiones lineales del modelo

La similitud geométrica significaría, por ejemplo, que:

Le = Hp / Hm = Bp/ Bm = Sp/Sm = cte. ( III.1 )

Page 100: Libro de Texto Hidraulica i

Donde:

Le = ESCALA DE LINEAS que cuantifica el tamaño real de los dos sistemas.

FIGURA NO. III.1 SIMILITUD GEMETRICA ENTRE DOS FLUJOS

( Estructura Hidráulica Vertedor ).

Page 101: Libro de Texto Hidraulica i

En general, podemos decir que “ESCALA”, es la relación que existe entre una magnitud del

prototipo y su correspondiente en el modelo.

ESCALA = Magnitud del prototipo / Magnitud del modelo (III.2)

Dependiendo del tipo de magnitud de que se trate, la escala puede ser de líneas, de

velocidades, de fuerzas, tiempo, densidades, etc., que se designarán con el símbolo hasta

ahora utilizado, pero añadiendo el subíndice “e” ( escala ).

La escala de gasto, por ejemplo será: Qe = Gasto en el prototipo / Gasto en el modelo

Qe = Qp / Qm (III.3)

Una consecuencia de la similitud geométrica exacta, es que la relación de áreas y volúmenes

en ambos sistemas se pueden expresar en términos del cuadrado y el cubo de Le :

Ae = Ap / Am = Le2 (III.4)

Ve = Vp/ Vm = Ae Le = Le

3 ( III.5)

Page 102: Libro de Texto Hidraulica i

En algunos casos, es factible que la similitud geométrica exista sólo en lo que se refiere a las

dimensiones sobre planos horizontales y las dimensiones verticales pueden quedar

distorsionadas con otra escala de líneas (como es el caso de modelos de ríos o de puertos).

La relación entre la escala de líneas horizontales y las líneas verticales, se denomina

distorsión.

Similitud Cinemática.- Es semejanza de movimiento, por lo que hay que tener en cuenta una

magnitud vectorial y el factor tiempo.

Se considera que entre modelo y prototipo, existe similitud cinemática si se cumple lo

siguiente:

Los desplazamientos de las partículas móviles homólogas son

geométricamente semejantes.

Las relaciones entre las velocidades de las partículas en puntos y para

tiempos homólogos en los dos sistemas, guardan la misma relación. De

igual forma, las correspondientes direcciones del movimiento son

iguales.

Las relaciones entre las aceleraciones de las partículas en puntos y para

tiempos homólogos en los dos sistemas son también son constantes.

Page 103: Libro de Texto Hidraulica i

Para la mejor comprensión de lo anterior, considérese dos flujos, como los que se muestran en

la estructura hidráulica de la Figura No. III.2.

Entonces, existe similitud cinemática sí:

( V1 )p / ( V1 )m = ( V2 )p / ( V2 )m ( III.5 )

( a1 )p / ( a1 )m = ( a2 )p / ( a2 )m

FIGURA NO. III.2 SIMILITUD CINEMATICA ENTRE DOS FLUJOS

(en una compuerta radial)

Tiempo:

Page 104: Libro de Texto Hidraulica i

Te = Tp / Tm = ( Lp Vp-1 )/ ( Lm Vm

-1 ) = Lp Vm / Lm Vp = Le Ve-1 (III.7)

Similitud Dinámica.- La similitud dinámica entre modelo y prototipo, implica lo siguiente:

Deberá existir similitud geométrica y cinemática.

Las fuerzas que actúan en puntos homólogos en cualquiera de los dos

sistemas han de guardar siempre la misma relación y actuar en la misma

dirección.

En la Figura No. III.2, de la compuerta radial, considerando dos flujos, entonces, existe

similitud dinámica si se cumple:

( F1 )p / ( F1 )m = ( F2 )p / ( F2 )m (III.8)

expresión que también puede escribirse:

( F1 )p / ( F2 )p = ( F1 )m / ( F2 )m (III.9)

Page 105: Libro de Texto Hidraulica i

Es decir que la condición de similitud dinámica significa también que el cociente de dos

fuerzas cualquiera del prototipo de ser igual al cociente de las dos fuerzas correspondientes

del modelo. Obsérvese de la expresión (III.9 ) que el primer miembro de la igualdad contiene

sólo características del prototipo, y el segundo, sólo del modelo. De manera que si

designamos:

( F1 )p / ( F2 )p = Np ( III.10 )

El valor de Np estará en función únicamente de las características del prototipo. Lo mismo

sucede para Nm , cuyo valor estará determinado por el modelo.

Por otro lado, puesto que Np y Nm son cocientes de magnitudes de la misma naturaleza no

tienen dimensiones. Reciben por esto el nombre de NUMEROS ADIMENSIONALES y,

como veremos, su importancia en hidrodinámica, es básica.

La expresión (III.8 ),puede expresarse así, Np = Nm (III.11)

Por lo tanto, la condición de similitud dinámica puede expresarse como la igualdad de dos

números adimensionales, uno del prototipo y otro del modelo.

Las componentes que actúan sobre cualquier elemento de de fluido incomprensible en

movimiento pueden deberse a la fuerza de presión (Fp ), a la acción de la gravedad (Fg), a la

viscosidad (Fυ ), a la tensión superficial (Ft).

Si se conoce la magnitud y dirección de las fuerzas componentes, se puede determinar la

resultante mediante la construcción del polígono vectorial., la resultante es de hecho la fuerza

de inercia (FI).

Page 106: Libro de Texto Hidraulica i

Entonces, se verificará vectorialmente:

Fp + Fg + Fυ + Ft = FI (III.12 )

Dividiendo por FI , obtenemos:

Fp / FI + Fg / FI + Fυ / FI + Ft / FI = 1 (III.13)

Se observará que cada uno de estas relaciones de fuerzas es el inverso de un número

adimensional.

FI / Fp = Np III. 14 a

FI / Fg = Ng III. 14 b

FI / Fυ = Nυ III. 14 c

FI / Ft = Nt III.14 d

Donde Np, Ng , Nυ , Nt son números adimensionales a partir de los cuales se deducirán los

números de Euler, Froude, Reynolds y Weber, respectivamente, como se verá

posteriormente.

De acuerdo a la expresión (III.11 ), se tiene:

( Np)p = ( Np)m ( III. 15 a )

( Ng ) p = ( Ng )m (III. 15 b )

( Nυ)p = ( Nυ)m ( III.15c )

(Nt )p = (Nt )m ( III.15d )

Page 107: Libro de Texto Hidraulica i

Existirá similitud DINAMICA completa si se cumplen las expresiones anteriores. Sin

embargo, la similitud rara vez es perfecta debido a que comúnmente es imposible satisfacer

todas las condiciones requeridas para lograrla. Esto produce, como se vio anteriormente, el

EFECTO DE ESCALA.

Por lo tanto, se deberá utilizar la ecuación que tome en cuenta la fuerza predominante en el

fenómeno. En el caso de que se quiera estudiar, por ejemplo, el movimiento de agua en un

canal o en un vertedor, la fuerza predominante es la acción de la gravedad, teniendo poca o

ninguna influencia la presión y la tensión superficial.

La fuerza de viscosidad es despreciable en este caso porque el régimen es turbulento. La

fuerza de elasticidad es prácticamente nula, puesto que en este caso el agua se considera

incompresible (inelástica). Entonces lo importante es que se cumpla con la condición que

establece la expresión (III 15 b), para que la similitud sea aceptable.

PROBLEMAS RESUELTOS

III.1 Obtener por medio del análisis dimensional la expresión del número adimensional

( FROUDE ).

Solución: El número adimensional ( Ng ), a partir del cual se obtiene el número de Froude

(NF) es la relación que existe entre las fuerzas de inercia y las gravitatorias. Según la

expresión vista anteriormente:

FI / Fg = Ng III. 14 b

Page 108: Libro de Texto Hidraulica i

Se obtendrá a partir del Análisis dimensional.

En el análisis dimensional el problema se refiere fundamentalmente a las relaciones algebraicas de las

magnitudes físicas. En toda expresión donde se exprese una relación física entre magnitudes, debe verificarse la

igualdad al sustituir las magnitudes por sus valores numéricos y también por sus dimensiones. En mecánica,

todas las relaciones físicas, pueden reducirse a una relación entre las magnitudes fundamentales, fuerza F,

longitud L y tiempo T; o bien, la masa M, la longitud y el tiempo.

Puede escribirse la aceleración en forma dimensional : a = L T -2

el espacio o distancia se puede expresar dimensionalmente: L = V/ T = Velocidad / Tiempo

recordando que ρ= densidad = Masa / Volumen → M = densidad * volumen= ρ V

y en forma dimensional → M = ρ V = ρ L3

Ng = (M a) / ( Mg) = ( ρ L2 V2 ) / ( ρ L3 g ) = V2 / ( g L )

A la raíz cuadrada, de esta relación, es el denominado Número de Froude.

NF = V/ ( g L ) ( III.16 )

Este número de Froude es muy importante en Hidráulica, ya que se utiliza para la clasificación de los flujos y el

proyecto de estructuras hidráulicas.

Page 109: Libro de Texto Hidraulica i

3.1.2 LEYES DE SIMILITUD

LEY DE SIMILITUD DE FROUDE.

A la siguiente igualdad se le conoce con el nombre de LEY DE SIMILITUD DE FROUDE:

NF p = NF m ( III.17 )

Por lo tanto, con la expresión (III.17 ), estamos indicando que existe similitud dinámica entre

prototipo y modelo y que la fuerza predominante es la de la gravedad, puesto que “NF” es la

relación de las fuerzas de inercia y las de gravedad.

VP / ( ( gp LP ) = Vm / ( ( gm Lm ) ( III.18)

Aplicando el concepto de escala:

Ve = Vp/ Vm = ( g e L e ) = ( g e )1/2 (L e ) 1/2 ( III.19)

y generalmente: gp = gm → g e = 1

Ve = Le1/2 ( III.20)

que es la ECUACION FUNDAMENTAL DE LA LEY DE SIMILITUD DE FROUDE, y liga

las características geométricas del prototipo y del modelo con las cinemáticas. A partir de ésta

se pueden deducir otras relaciones útiles, como a continuación se muestra.

Page 110: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS RESUELTOS

III.2 Obtener la ESCALA DE GASTOS.

Se sabe que : Q= A V ( II.15)

( ecuación de continuidad para flujo unidimensional )

QP = VP AP ( III.21 a )

Q m = Vm Am ( III.21 b)

QP / Qm = VP AP / Vm Am ( III.22.a )

QP / Qm = ( VP / Vm ) ( LP / Lm )2 ( III.22.b )

Finalmente introduciendo el concepto de escala:

Q e = L e5/2

( III.23 )

III.3 Obtener la ESCALA DE TIEMPOS

Considerando la ecuación de movimiento uniforme vista anteriormente:

Te = Le ( Ve )-1 y sabemos que: Ve = Le1/2 ( III.20 )

Te = Le1/2 (III.24 )

III.4 Obtener la ESCALA DE FUERZAS

Page 111: Libro de Texto Hidraulica i

Se sabe que: F = m a = ρ V a (III.25 )

F= fuerza m= masa ρ = densidad V= volumen a= aceleración

y aplicando el concepto de escala:

Fe = ρe Ve ae = ρe Le3 ae (III.26 )

La escala de aceleraciones ae tiene que ser igual a la unidad, ya que gp = gm.

Fe = ρe Le3 (III.27 )

Si se utiliza el mismo líquido en el prototipo y en el modelo → ρp = ρm

ρe = 1

3.1.3 PLANEACION Y CONSTRUCCION DE MODELOS

Para construir un modelo hidráulico es necesario contar con el espacio suficiente, además de

tener las instalaciones necesarias para su ensayo; estas condiciones son obtenidas

generalmente en todo laboratorio hidráulico.

Al construir y ensayar un modelo hidráulico se deberán tomar en cuenta las siguientes

normas:

1. Contar con todos los planos necesarios de Proyecto del prototipo, como son:

levantamientos topográficos, aerofotografías, planos de cálculo teórico, etc.

2. Buscar una escala para construir el modelo, de acuerdo al espacio que se tenga

disponible y al tipo de modelo a experimentarse, ver Tabla III.1.(Pag. 109).

3. El modelo será una réplica lo más exacta posible a escala del prototipo.

Page 112: Libro de Texto Hidraulica i

4. En la construcción del modelo se deberá tener cuidado, de dar las mediciones

correctas a escala, ya que una falla, implicaría errores en el prototipo.

5. Unos de los aspectos más importantes es la selección de escalas; debe decidirse si se

utiliza o no la distorsión.

6. Deberá contarse con los instrumentos de medición lo más exactos posibles.

El problema de operación debe ser planeado cuidadosamente para evitar pérdidas de tiempo y

obtener buenos resultados.

La operación del modelo podemos dividirla en dos partes:

CALIBRACION Y EXPERIMENTACION.

La Calibración de un modelo consiste en tratar de reproducir en el modelo fenómenos cuyo

comportamiento en el prototipo es conocido, haciéndole al modelo los ajustes necesarios para

lograrlo.

La experimentación consiste en la operación sistemática de las pruebas programadas.

La interpretación de los resultados del modelo en términos del prototipo, dentro de las

limitaciones del tipo de similitud que rige al fenómeno, es la fase crítica de la

experimentación.

Page 113: Libro de Texto Hidraulica i

* Son aquellos en los que el material que forma el fondo del modelo no es susceptible de ser

movido por la acción de las fuerzas dinámicas del fluido.

Page 114: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS RESUELTOS.

III.5 Se va construir en el laboratorio el modelo hidráulico de una compuerta radial. El

prototipo según la Fig. III. 3 , tiene las siguientes características geométricas y cinemáticas.

FIGURA III.3 Del problema III.5

Page 115: Libro de Texto Hidraulica i

Datos del prototipo:

R = radio de la compuerta = 4.5 m

h = altura del perno = 3.0 m

y1 = 3.80 m = tirante del agua (aguas arriba de la compuerta)

a = abertura en la compuerta = 0.75 m

b= ancho de la compuerta = 1 m

Se pregunta lo siguiente:

a) ¿Que escala deberá utilizarse en el modelo ?

b) ¿Cuales deberán ser las características del modelo para que exista similitud

geométrica?

c) ¿ Si el Gasto esperado en el prototipo es de 2.60 m3/seg, ¿ qué caudal deberá emplearse

en el laboratorio para el modelo?

d) Si el modelo observamos un tirante o profundidad del agua ( y1 )m = 0.20 m.

¿qué profundidad del agua y1 puede esperarse en el prototipo?

e) Si en prototipo aparece una velocidad ( V2 )p = 3.20 m/seg (ver Fig.III.3), ¿Cuál será la

velocidad en el modelo?.

f) Si en modelo se observa una fuerza hidrostática sobre la compuerta radial de: (F1)m =

0.162 N ¿qué fuerza ( kN) se presentará en el prototipo?

Page 116: Libro de Texto Hidraulica i

Solución:

a) Según la Tabla III.1 ( Pag. 109 ), la escala recomendable para este tipo de estructuras es

de 10-50, para nuestro ejemplo podemos utilizar: 1: 10.

b) Según la expresión (III.2) vista anteriormente :

ESCALA = Magnitud del prototipo / Magnitud del modelo

ESCALA = 10 → Rm = 4.5/ 10 = 0.45 m ; hm = 3.0/10 = 0.30 m

(y1)m = 3.80/ 10 = 0.38 m ; am = 0.75 / 10 = 0.075 m ; bm = 1.0/10= 0.01m

c) Como en este caso la fuerzas predominantes son las gravitacionales:

Q e = L e5/2

( III.23 )

Q e = L e5/2

= ( 10 )5/2 = 316.23 → Qm = Qp / Qe = 2.60/ 316.23 = 0.00822 m3/seg

Qm = 8.22 Lt / seg

d) Como: longitudes en prototipo = 10 x longitudes en modelo

( y1 )m = 0.20 m → ( y1 )p = 10 x 0.20 = 2.0 m

Page 117: Libro de Texto Hidraulica i

e) Como en este caso las fuerzas que predominan son las debidas a la gravedad:

Ve = Le1/2 ( III.20 )

Ve = Le1/2 = ( 10 )1/2 = 10 = 3.162

( V2 )p = 3.20 m/seg

Vm= Vp / Ve = 3.20 / 3.162 = 1.012 m/seg → ( V2 )m = 1.012 m/seg

f) Por predominar las fuerzas gravitacionales, se aplicará la:

Fe = ρe Le3 (III.27 )

Si además se utiliza el mismo líquido en el prototipo y en el modelo: ρp = ρm

ρe = 1 → Fe = Le3 = ( 10 )3 = 1000

(F1)m = 0.162 N

( F1 )p = Fe ( F1 )m = 1000 x 0.162 N = 162 N = 0.162 k N

PROBLEMAS RESUELTOS

III.6 A través de una tubería de 25 cm de diámetro está fluyendo agua a 10o C a una

velocidad de 2.60 m/seg. ¿ A qué velocidad debe fluir un aceite fuel-oil medio a 30 o C, por el

interior de una tubería de 15 cm de diámetro para que los dos flujos sean dinámicamente

semejantes?

Page 118: Libro de Texto Hidraulica i

Solución:

Se puede observan que en este caso las fuerzas predominantes serían las de viscosidad y las de inercia, por lo

que la semejanza se cumplirá al igualar los números de Reynolds de ambos flujos. Las otras propiedades del

fluido , como son la tensión superficial y las fuerzas gravitatorias, no se deberán tomar en cuenta en este

problema, pues no influyen tanto en el fenómeno.

En la sección anterior ( 3.1.1 ) se vio que: FI / Fυ = Nυ III. 14 c

por medio de este número adimensional (Nυ ) se obtiene el número de Reynold: Re = ( V D ) / υ

donde: V= Velocidad del fluido ( m/seg) D= Diámetro del conducto ( m )

υ = Viscosidad cinemática del flujo ( m2 / seg) ( consultar TABLA NO. I. 4 Pag. 15 )

( para la viscosidad cinemática del aceite, consultar Tabla 2 Pag. 393, MECANICA DE LOS FLUIDOS E

HIDRAULICA Ranald V. Giles, Jack B. Evett. Tercera Edición ).

Por lo tanto, para la semejanza dinámica, ( Re )AGUA = ( Re )ACEITE

Para el agua se tiene: ( V25 D25 )/ υagua = ( 2.60 m/seg ) ( 0.25 m) / ( 1.308 x 10-6 m2/seg)

Para el aceite se tiene: ( V15 D15 )/ υaceite = ( V15 ) ( 0.15 m) / ( 3.11 x 10-6 m2/seg)

Igualando las expresiones anteriores,

( 2.60m/seg ) ( 0.25 m ) / 1.308 x 10-6 m2 /seg = V15 ( 0.15 m ) / ( 3.11 x 10-6 )

Por lo que para el aceite fluyendo en la tubería de 15 cm, se tiene: V15 = 10.30 m/seg

Page 119: Libro de Texto Hidraulica i

3.2 ORIFICIOS, COMPUERTAS Y VERTEDORES.

De acuerdo con la forma de su perímetro los orificios se clasifican en: circulares, cuadrados,

rectangulares, triangulares, ect.

De acuerdo a la posición que guarde el plano del orificio con respecto a la superficie libre del

líquido en verticales, horizontales o inclinados (ver Fig. III.4 ). Además si la vena líquida

descarga a la atmósfera esta recibe el nombre de orificio de descarga libre y en caso contrario

se denomina de descarga sumergida, ( Fig. No. III. 5 ).

FIGURA No. III.4 CLASIFICACION DE ORIFICIOS CON RESPECTO A SU POSICION

Page 120: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA III.5 CLASIFICACION ORIFICIOS CON RESPECTO A SU DESCARGA

Orificios de pared delgada.- Se ha dicho que este tipo de estructuras se obtiene cuando la

vena líquida fluyente toca únicamente a una arista ( ver Fig. No. III. 6 )

Esta estructura haya su explicación en el fenómeno hidráulico denominado contracción. En

efecto, la vena líquida fluyente que sale por el orificio se contrae gradualmente hasta una zona

límite llamada contracta. Este fenómeno se explica porque las trayectorias de las partículas

líquidas son convergentes hacia el centro del orificio produciéndose aguas debajo de la

estructura una disminución en el área hidráulica hasta alcanzar la zona contracta en donde

las trayectorias de dichas partículas se tornan sensiblemente paralelas entre sí. A partir de la

sección contracta sobreviene una ampliación gradual y despreciable dentro de los límites de la

práctica, con la cual continua la vena líquida su trayectoria.

Page 121: Libro de Texto Hidraulica i

Por otra parte la presión en la sección contracta prácticamente es la misma a la presión

exterior ( atmosférica ), donde se produce la descarga. Este fenómeno se produce si el espesor

de las paredes del recipiente es menor dos veces la dimensión vertical D ( diámetro

del orificio ) , esto es, debe cumplirse que: e < 2 D para que la vena líquida solo toque a la

arista interior del orificio. El fenómeno antes descrito, se denomina contracción total, y al

orificio en el cual se produce, orificio con contracción total.

FIGURA NO. III.6 DESCARGA POR UN ORIFICIO DE PARED DELGADA

Page 122: Libro de Texto Hidraulica i

Formula de Torricelli.- Considerando un líquido ideal que descarga por un orificio de pared

delgada. Aplicando el Teorema de Bernoulli entre el interior del recipiente y la sección

contracta como se indica en la Fig. III.7, se obtiene:

0 + h + 0 = 0 + 0 + Vt2 /2 g ( III.28 )

Las cargas de posición son cero debido a que el PHC (plano horizontal de comparación ), se

escogió de manera que coincidiera con la elevación del centro de gravedad del orificio.

La carga de velocidad es cero, aceptando que la sección I-I’ está a una distancia tal del

orificio que la velocidad es nula y finalmente la carga de presión hidrostática en II-II’,

también es cero pues se supone que ya está fuera del orificio en contacto únicamente con la

atmósfera, y que no existe ya líquido que produzcan alguna presión.

Por tanto, despejando a la velocidad teórica V t , en la expresión III.28, se tiene:

Vt = (III.29 )

Esta expresión, se conoce comúnmente como fórmula de Torricelli y da la velocidad teórica

de descarga que coincide con la adquirida por un cuerpo que cae en el vacío desde una altura

h.

Page 123: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. III.7 PRINCIPIO DE TORRICELLI

3.2.1 COEFICIENTES DE VELOCIDAD, CONTRACCIÓN Y GASTO

Velocidad real o práctica .- La velocidad real o práctica obtenida en el laboratorio de

hidráulica, tiene un valor desde luego diferente al de la velocidad teórica, ya que es necesario

considerar las pérdidas de carga, por lo tanto que esta velocidad real determinada

experimentalmente en un laboratorio hidráulico, resultará menor que la velocidad teórica

(III.29 ).

Luego la velocidad real queda determinada por:

Vr = Cv Vt (III.30 )

Page 124: Libro de Texto Hidraulica i

Siendo Cv un coeficiente experimental sin unidades llamado coeficiente de velocidad.

Por otra parte, de (III.30 ) se puede definir el coeficiente de velocidad como la relación de la

velocidad real media en la sección contracta de la vena líquida a la velocidad teórica calculada

con la carga efectiva al centro del orificio, esto es,

Cv = velocidad real / velocidad teórica = V r /

(III.31 )

Por tratarse de orificios de pared delgada, experimentalmente se ha obtenido que el

coeficiente Cv está comprendido entre 0.9 y 1.

Coeficiente de contracción.- Puesto que el área contracta Ac de la vena líquida es menor que

el área Ao del orificio, entonces la relación:

Cc = Area de la sección contracta / Area del orificio = Ac / Ao (III.32 )

Recibe el nombre de coeficiente de contracción. Este segundo coeficiente adimensional para

el caso de pared delgada, con contracción completa, tiene un valor que tiene un rango entre

0.55 a 0.70, variando según la carga y la forma del orificio.

Coeficiente de gasto o de descarga ( Cd ).- El gasto en un orificio, por definición, queda

determinado por: Q = Ac Vr (III.33 )

En el que Ac es el área de la sección contracta . Según las expresiones (III.30 ) y (III.32 ),

se tiene:

Q = Ao Cc Cv Vt = Ao Cc Cv (III.34 )

El producto de los dos coeficientes se designa por Cd , y recibe el nombre de coeficiente de

gasto o de descarga, quedando la ecuación anterior:

Page 125: Libro de Texto Hidraulica i

Cd = Cc Cv ( III.35 )

Q = Cd Ao ( III.36 )

El coeficiente Cd varía con la forma del orificio, con el líquido fluyente y con la carga

efectiva. Un valor medio aproximado recomendable obtenido en el laboratorio de Hidráulica

para un orificio de pared delgada es de 0.62.

PROBLEMAS RESUELTOS

III.7 En un recipiente de pared delgada se ha practicado un orificio en la sección B de 50 cm

de diámetro y evacua agua bajo una altura carga de 6.25 m. Si el coeficiente de descarga Cd =

0.62 . Obtener el Gasto.

FIGURA NO. III.8 Del problema III.7

Page 126: Libro de Texto Hidraulica i

Solución:

En efecto, por tratarse de un orificio de pared delgada, se tiene:

Q = Cd Ao ( III.35 )

Ao = π D2 / 4 = 0.19635 m2 ( area del orificio )

Q = 0.62 x 0.19635 x 2 x 9.81 x 6.25 = 1.348 m3 /seg = 1 348 lts/ seg

III.8 Si en el problema ( III.7 ), la velocidad real en la sección sección contraída del chorro

de agua es Vr = 10.90 m/seg, a) ¿Cuál es el valor del coeficiente de velocidad? b) ¿

cual es el valor del coeficiente de contracción ?.

Solución:

a) Cv = velocidad real / velocidad teórica = Vr /

(III.31 )

Cv = 10.90 / 2 x 9.81 x 6.25 = 0.984

b) Cd = Cc Cv ( III.35 )

Finalmente el coeficiente de contracción queda,

Cd = Cc Cv → Cc = 0.62 / 0.984 = 0.63

Page 127: Libro de Texto Hidraulica i

COMPUERTAS.- Las compuertas son estructuras destinadas fundamentalmente a la

regularización y control de gastos en orificios, represas, vertedores, etc. En general consisten

en una pantalla que detiene el agua (ver Fig. No. III.9 ), convenientemente reforzada, las

cuales están provistas de vástagos, cadenas o cables, que establecen la liga con los

mecanismos elevadores que permiten regular las aberturas necesarias. Para claros pequeños se

emplean compuertas deslizantes, las cuales como su nombre lo indica, están constituidas por

una pantalla que se desliza verticalmente en forma paralela, ordinariamente guiadas en

ranuras.

Page 128: Libro de Texto Hidraulica i

2

FIGURA NO. III.9 COMPUERTA DESLIZANTE

Para determinar el gasto que está circulando por una compuerta, Ippen propuso la siguiente

expresión:

Q = Cd A 2g y1

( III.37 )

En donde :

Page 129: Libro de Texto Hidraulica i

Q= Gasto o caudal circulando por la compuerta (m3 /seg )

Cd = Coeficiente de gasto o de descarga ( ver grafica Fig. No. III.14 Pag. 133 )

A= Area de la abertura de la compuerta ( m2 ) ( ver Fig. No. III.9 )

y1 = desnivel entre la superficie libre del agua y la plantilla del canal ( m)

( ver Fig. No. III.9 ). A = Area de la abertura de la compuerta ( m2 )

en este caso: A = B b, B = corresponde al ancho de la plantilla del canal

b= abertura de la compuerta.

PROBLEMAS RESUELTOS

III.9 En un canal rectangular de 2m de plantilla se ha instalado una compuerta deslizante,

como se muestra en la Fig. No. III.10 , considerando que se tiene una abertura de 0.50 m.

Calcular el gasto que está circulando por la compuerta, si el tirante aguas arriba es de 4.00m.

Page 130: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. III.10 del Problema III.9

Solución:

Se vio anteriormente,

Q = Cd A (2g y1) ( III.37 )

Q = Cd B b ( 2g y1)

en donde: B = 2.00 m b= 0.50 m y1= 4.00 m

El coeficiente Cd se determina por medio de la gráfica de Ippen ( ver Fig. No. III.14 ), entrando en la escala

horizontal con el argumento,

y1 / b = 4.00 / 0.50 = 8

En la escala vertical se lee el valor de Cd , que corresponde a la proyección del punto que determina este valor

referido a la curva denominada descarga libre. Para nuestro caso, Cd = 0.575

Sustituyendo valores se obtiene

Q =0.575 x 2 x 0.50 x (2 x 9.81 x 4.00) = 5.094 m3 /seg

Page 131: Libro de Texto Hidraulica i

VERTEDORES

Un vertedor en último análisis, es un orificio en el cual se ha suprimido la pared superior

adyacente al chorro. Así como en un orificio la corriente líquida recibe el nombre de chorro,

en un vertedor se designa con el nombre de lámina de agua o lámina vertiente. En la abertura

resultante o escotadura se distinguen dos aristas laterales y una horizontal. La arista inferior o

superficie inferior de la escotadura recibe el nombre de cresta o umbral y su longitud L, se

denomina longitud del vertedor o de cresta., ver Fig. No.III.11. Si la descarga de un líquido

se efectúa por encima de un muro o placa y a superficie libre, la estructura hidráulica en la

que ocurre se denomina vertedor.

Cuando la descarga se efectúa sobre una placa con perfil de cualquier forma, pero con arista

aguda, el vertedor se denomina de pared delgada. Por el contrario, si el contacto entre la pared

y la lámina vertiente es toda una superficie, el vertedor es de pared gruesa. Ambos tipos se

utilizan como dispositivos de aforo en los laboratorios de hidráulica o en canales de pequeñas

dimensiones. Sin embargo, el uso más frecuente de un vertedor de pared gruesa es como obra

de control en causes naturales o como obras de excedencias en las presas.

Page 132: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. III.11 VERTEDOR DE SECCION RECTANGULAR

Page 133: Libro de Texto Hidraulica i

El desnivel entre la plantilla y la cresta recibe el nombre de altura del vertedor ( Ho ).

La depresión gradual que experimenta la superficie libre del líquido en las cercanías del

vertedor, recibe el nombre de remanso de depresión. Este fenómeno encuentra su explicación

en la transformación de la energía potencial en energía cinética.

Se llama carga ( h ) al desnivel que existe entre la cresta y la superficie libre del remanso de

depresión.

FIGURA NO. III.12 VERTEDOR DE SECCION TRIANGULAR

Page 134: Libro de Texto Hidraulica i

VERTEDOR RECTANGULAR. - Para esta forma de vertedor la expresión para obtener el

gasto que está circulando es:

Q = 2/3 μ b h3/2 (III.38 )

en la tabla 7.1 ( Hidráulica General volumen I, Gilberto Sotelo), se presentas las fórmulas

experimentales más conocidas para obtener los valores del coeficiente μ.

Otros autores para la obtención del Gasto teórico a través de un vertedor de sección

rectangular de pared delgada. Para una longitud de cresta L, se tiene:

Q = 2/3 L H2/3 ( III.39 )

y la ( III.39 ), algunos autores la representan,

Q = C L H2/3 ( III.40 )

donde C es un coeficiente que varía según el tipo y características del vertedor y que se

obtiene experimentalmente.

Page 135: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS RESUELTOS

III.10 Obtener el gasto en un vertedor de sección rectangular de pared delgada ( ver Fig.

III.11 ), en un canal del mismo ancho de la cresta b = 2.60 m, que trabaja con una carga h=

0.53 m, cuya cresta vertedora se localiza a a una distancia w = 1.20 m del piso del canal.

Solución: Se puede utilizar la expresión Hamilton-Smith, (Tabla 7.1, Hidráulica General Tomo I Gilberto

Sotelo Avila ).

μ = 0.616 ( 1 - b/ 10B ) = 0.616 ( 1 - 2.60/2.60 ) = 0.5544

Sustituyendo en la Ec. III.38

Q = 2/3 μ b h3/2 (III.38 )

Q = 2/3 (0.5544) 2.60 ( 0.53 )3/2 = 1.64 m3 /seg

VERTEDOR TRIANGULAR.- Cuando el vertedor es triangular, la expresión del gasto es:

Q = 8/15 tan ( θ/2 ) μ h5/2 (III.41 )

Page 136: Libro de Texto Hidraulica i

la cual se puede expresar también: Q = C h5/2 ( III.42 )

donde C es un coeficiente que depende de θ, μ, y g. Así por ejemplo, con θ = 90o

vemos que: C = 8/15 μ = 2.36 μ (III.43 )

En la tabla No. 7.2 (Hidráulica General Vol. I, Gilberto Sotelo), se dan las fórmulas más

conocidas de varios autores, para obtener los valores de μ ó C.

Un vertedero en forma de V es el que tiene una abertura de 90o. En este caso, la expresión (

III.42) se transforma en : Q = 2.36 C H5/2 ( III.44 )

en donde para alturas de cargas superiores a 0.3 m, se ha experimentado que un valor medio

de C es 0.60 aproximadamente.

En el Instituto Tecnológico de Nogales, en el Laboratorio de Hidráulica hemos obtenido

experimentalmente para vertedores de pared delgada de sección triangular con: Ө = 90 0,

valores de: C= 0.58 para cargas h ≤ 0.025 m.

3.2.2 APLICACIONES

Los vertedores de sección rectangular, triangular, trapecial o de cualquier otra sección se

utilizan como dispositivos de aforo en los laboratorios de hidráulica, o en algunas plantas

potabilizadoras de agua potable, para medición de los diferentes gastos o caudales que están

circulando.

Page 137: Libro de Texto Hidraulica i

³

FIGURA NO. III.13 VERTEDOR TRIANGULAR CON TANQUE DE AFORO

Page 138: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. III.14 GRAFICA DE IPPEN

Page 139: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS PROPUESTOS

III.1 Obtener por medio del análisis dimensional la expresión del Número de Reynolds, consultar las expresiones, I.9, I.10, I.11, III.14 c.

Solución: No. Reynolds= Re = V L / υ = (Velocidad x longitud) / viscosidad cinemática

III.2 Si la velocidad en el prototipo del problema III.5 (pag. 110 ), ver Fig. III.3, es de:

( V2 )p = 2.5 m/seg. ¿ Qué velocidad se obtendrá en el modelo?

Solución: ( V2 )m = 0.79 m/seg

III.3 Si en el modelo del problema III.5 (pag. 110 ), ver Fig. III.3, aparece una velocidad en la abertura de la compuerta radial de: ( V2 )m =0.90 m/seg. ¿ Qué velocidad se obtendrá en el prototipo?

Solución: ( V2 ) p = 2.85 m/seg.

III.4 Si en el prototipo del problema III.5 (pag. 110 ), ver Fig. III.3, se mide una fuerza hidrostática sobre la compuerta radial de: ( F1 )p = 185.5 kN ¿ Cúal será la fuerza que se presentará en el modelo ?

Solución: (F1)m = 0.1855 kN = 185.5 N

III.5 Si sabemos que tenemos un prototipo de un canal de sección rectangular y que conduce un gasto o caudal

de Qp =20.5 m3 / seg , (se debe considerar que las fuerzas predominantes son las debidas a la gravedad), ¿ Cúal

debe ser el caudal que se deba utilizar en un modelo en el laboratorio de hidráulica; si se piensa utilizar una

escala de 1: 50 ?.

Solución: Qm = 0.00116 m3 /seg = 1.16 lts /seg

III.6 El modelo de un vertedor en el laboratorio (ver Fig. III.15 ), está construido a escala 1:20. Cuando la

carga sobre la cresta vertedora es de Hm = 0.02 m, el gasto es de 5.65 lts/ seg. Determinar la garga sobre la cresta

y el gasto correspondiente en el prototipo.

Solución: H p= 0.40 m , QP = 10.107 m3 /seg

Page 140: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. III.15 Del problema III.6

III.7 A través de una tubería de 25 cm de diámetro está fluyendo agua a 20 0 C a una velocidad de 2.50 m/seg

. ¿ Cual debe ser la velocidad de un aceite fuel-oil- medio a 15 0 C circulando a través de una tubería de 20 cm

de diámetro para que se cumpla que los dos flujos exista la similitud dinámica ?

(consultar Tabla 2 Mecánica de los fluidos e hidráulica, Ranald V. Giles, Pag. 393).

Solución: 13.87 m/seg

Page 141: Libro de Texto Hidraulica i

III.8 A través de una tubería de 20 cm de diámetro fluye un aceite ( υ = 5.16 x 10 -6 m2 /seg), a una velocidad de

2.80 m/seg ¿ A qué velocidad de circular agua a 15 o C a través de una tubería de 30 cm de diámetro para que los

números de Reynods sean iguales ?

Solución: 0.413 m/seg

III.9 La velocidad real o práctica medida en el laboratorio de hidráulica en la sección contracta de un chorro de

un líquido circulando por un orificio de 4cm de diámetro es de 8.26 m/seg bajo una carga de 4.20 m. a) ¿ Cúal es

el valor del coeficiente de velocidad ? b) Si el caudal práctico o real se midió en

0.00707 m3 /seg , determinar los coeficientes de contracción y de descarga.

Solución: CV = 0.91, CC = 0.68 , Cd = 0.62

III.10 Un orificio normal de 5 cm de diámetro evacua agua bajo una altura de carga 7.50 m. Si el coeficiente de

descarga es Cd = 0.594 a) ¿ Cúal es el valor del Gasto real o práctico ?

Solución: 0.01415 m3 /seg.

III.11 En un canal rectangular de B= 2.5 m de plantilla se ha instalado una compuerta deslizante, como se

muestra en la (FIG III.10 del Problema III.9 Pag. 125 ), considerando una abertura en la compuerta de b=0.35

m. Obtener el gasto, si el tirante del agua arriba es y1 = 3.50 m.

Solución: 4.205 m3 / seg

III.12 El caudal de agua a través de un vertedero triangular de 45 0 es de 0.0315 m3 /seg. Determinar la altura

de carga sobre el vertedero para C= 0.575.

Solución: 0.316 m

Page 142: Libro de Texto Hidraulica i

III.13 Calcular el gasto en un vertedor de sección rectangular de pared delgada con un ancho B= 3.00 m,

b= 2.00m, ( ver Fig. III.11), y que trabaja con una carga hidráulica de h= 0.32 m y cuya cresta vertedora se

encuentra a w= 1.20 m del piso del canal. (utilizar la expresión de Hegly, Tabla 7.1, Mecánica de los fluidos e

Hidráulica)

Solución: 0.654 m3 /seg

III.14 En las pruebas de aforo, efectuadas en un vertedor de sección triangular en el laboratorio de hidráulica

con vértice en V (Ө =90 0 ), se obtuvo un gasto real o práctico de Qreal = 0.124 lts/seg, y se midió

experimentalmente una carga H = 0.024 m. Obtener el coeficiente C. ( utilizar la III.44 ).

Solución: C= 0.59

III.15 Obtener la carga necesaria en el vertedor del problema anterior ( III.13 ), si es necesario un gasto de

1.2 m3 /seg, en las mismas condiciones de descarga libre. ( utilizar III.40 ).

Solución: H= 0.462 m

Page 143: Libro de Texto Hidraulica i

UNIDAD IV

TEMA: FLUJOS EN CONDUCTOS A PRESION

4.1 RESISTENCIA AL FLUJO EN CONDUCTOS A PRESIÓN.

Para realizar el análisis de la resistencia al flujo en conductos a presión, es necesario

considerar la clasificación de los flujos, en Flujo Laminar y Flujo Turbulento. Esta

clasificación tan importante en Hidráulica va a definir su comportamiento al fluir en los

conductos.

El primero en estudiar ambos tipos de flujo fue Osborne Reynolds (1883), realizando

experimentos en su aparato que lleva su nombre, pudo definir y observar físicamente los dos

tipos de flujos que son el laminar y el turbulento.

En el flujo laminar las partículas fluidas se mueven según trayectorias paralelas, formando el

conjunto de ellas capas o láminas. Y en el flujo turbulento las partículas fluidas se mueven de

forma desordenada en todas direcciones produciendo turbulencias y para determinar por

cálculo cuando se trata de flujo laminar o turbulento, se utilizará el denominado No. de

Reynolds.

El número de Reynolds, es un número adimensional que relaciona las fuerzas de inercia y las

fuerzas debidas a la viscosidad. La viscosidad del fluido juega un papel muy importante para

definir su comportamiento a través de un conducto. El flujo laminar y el turbulento se pueden

observar físicamente, pero si queremos determinarlo por cálculo, se utiliza la siguiente

expresión, en caso de tener un conducto a presión, de sección circular, el No. de Reynolds, se

explica a continuación.

Page 144: Libro de Texto Hidraulica i

En la sección anterior ( 3.1.1 ) se vio que: FI / Fυ = Nυ ( III. 14 c )

por medio de este número adimensional (Nυ ) se obtiene el número de Reynold:

Re = ( V D ) / υ

donde: V= Velocidad del fluido ( m/seg) D= Diámetro del conducto ( m )

υ = Viscosidad cinemática del flujo ( m2 / seg) ( consultar TABLA NO. I. 4 Pag. 15 )

( para la viscosidad cinemática de algunos aceites, consultar Tabla 2 del Apéndice Pag. 393, MECANICA

DE LOS FLUIDOS E HIDRAULICA Ranald V. Giles, Jack B. Evett. Tercera Edición ).

También en la Unidad I, se vió que: υ = μ / ρ ( I.11 )

Por lo que el No. de Reynolds queda también,

Re = ( V D ρ )/ μ

en donde: ρ = densidad del fluido en UTM/ m3 o Kp seg2 /m4 , Kg/m3 , N seg2 /m4

μ = viscosidad absoluta en Kg seg/m2 o N seg / m2

Para algunos autores el flujo laminar ocurre cuando el Re ≤ 2000, y el flujo turbulento cuando

Re > 2000., pero para otros investigadores existe una zona de transición para pasar de flujo

laminar a flujo turbulento, entre un valor de 2300≤ R e ≤ 4000 ( ver Fig. No. IV.2 gráfica

Diagrama A-1 Pág. 145 )

Page 145: Libro de Texto Hidraulica i

4.1.1 PERDIDAS DE ENERGIA POR FRICCION

Las tuberías de conducción que se utilizan en las instalaciones hidráulicas están compuestas

por tramos rectos y una serie de accesorios que permiten el buen funcionamiento, como lo son

cambios de dirección, cambios de sección, control de descargas, protección de entrada de

sólidos, etc. Cuando el líquido circula por tramos rectos se producen las pérdidas de carga

por fricción o longitudinales hf ( es decir se deben a la fricción existente entre el líquido y

las paredes del conducto), pero también existen las pérdidas denominadas secundarias o

locales hS , debidas a los accesorios de las instalaciones hidráulicas: las válvulas, codos de 90o

, ampliaciones, reducciones,

medidores, etc.

Las pérdidas de carga o por fricción hf , se deben a la fricción longitudinal entre las paredes

del conducto (debido a su rugosidad) y el fluido que circula a través de dicho conducto.

Existen en Hidráulica una gran cantidad de fórmulas, obtenidas experimentalmente por

varios investigadores. Una de la expresiones más utilizada para calcular la pérdida de carga

por fricción , a lo largo de una conducción es la fórmula experimental de Darcy-Weisbach:

hf = ƒ ( L/ D) ( V2/2g ) ( IV.2 )

Page 146: Libro de Texto Hidraulica i

En donde:

ƒ = coeficiente de rugosidad del conducto ( número adimensional)

L = longitud de la tubería, en m.

V = velocidad media, m/seg

D = diámetro del conducto, m

g = 9.81 m/seg2 ( aceleración de la gravedad )

Es decir que la expresión (IV.2), se puede aplicar tanto a flujos laminares como turbulentos.

Únicamente lo que cambia es la obtención del coeficiente de rugosidad “ƒ.” Poiseuille

encontró que dentro de un intervalo Re ≤ 2400, el flujo es laminar, y el valor de ƒ está en

función únicamente del número de Reynolds y no de la rugosidad de la conducción, y obtuvo

que únicamente para flujo laminar se cumple la siguiente expresión.

ƒ = 64 / Re (IV.3 )

A partir de Re > 2400 se inicia una zona de transición de flujo laminar a turbulento, sin poder

establecer una ley general de variación. Para obtener el coeficiente de rugosidad “ƒ ”, cuando

estamos en flujo turbulento, se observa que: ƒ = = f ( Re , ε /d )

Es decir valor de “ƒ ” está en función , tanto de Re como de la relación ε /d (denominada

rugosidad relativa).

Page 147: Libro de Texto Hidraulica i

En donde ε = tamaño de las imperfecciones superficiales en cm.( en función del tipo de

material de la conducción )

d = diámetro de la tubería en cm.

ε /d = rugosidad relativa (ver diagrama A-1, Fig.No. IV.2 Pág.145)

y la expresión mas aceptada para obtener el valor de ƒ , para flujo turbulento, es la de

Colebrook y White.

1 / ƒ = - 2 log ( ε/ ( 3.71 D) + 2.51 / ( Re ) (IV.4)

De acuerdo con la rugosidad relativa ε /d , la zona turbulenta se inicia con diferentes valores

de Re, es decir, que el número de Reynolds, como límite superior para la zona de transición,

depende de la rugosidad relativa del tubo. De la expresión (IV.4) se observa que cuando Re

es suficientemente grande ya no es significativo en el cálculo del factor de fricción. D entro de

la zona turbulenta, ƒ es independiente de Re y varía exclusivamente con la rugosidad relativa.,

ver diagrama de Moody o diagrama A-1, (Mecánica de los fluidos e hidráulica, )

En flujo laminar la pérdida de carga también está dada por la expresión de Hagen-

Poiseuille, hf = ( 32 μ L V ) / ω D2 ( IV.5 )

μ = viscosidad absoluta en : N seg / m2

V= velocidad media, m/seg D= diámetro, m

L= longitud, m ω= peso especifico ( kg/m3, kN/ m3)

Page 148: Libro de Texto Hidraulica i

CONCEPTO DE PERDIDA DE CARGA

Suponemos que tenemos un tubo horizontal, con un diámetro constante “D ”, y una longitud “

L ”, por el cual está circulando un gasto “Q”, ver (Fig. No. IV. 1 ).En el cual se han instalado

una serie de tubos piezométricos. También se puede observar que el tubo es horizontal y por

lo tanto no hay pérdida de energía de posición.

Ahora bién, si instalamos un tubo piezométrico en el punto “G”, podemos observar que el

agua subirá por este tubo piezométrico hasta una altura: hG = PG / ω , debido a la energía o

carga de presión que se tiene en ese punto. De la misma manera podemos seguir colocando

una serie de tubos piezométricos a lo largo de toda su longitud, hasta llegar por ejemplo al

punto R, donde la altura o carga de presión será: hR = PR /ω .

En el diagrama de la Fig. IV.1 Se puede observar que : hG › hR , es decir que la energía de

presión en “R ” es menor que en el punto “G”, todo esto debido a que si no ha habido

variación en la carga de velocidad y de posición, en cambio la carga o energía de presión si ha

disminuido, o sea que ha habido una pérdida de carga y todo esto debido a la fricción que

existe con las paredes del conducto. Si en la Fig. No.IV. 1, unimos con una línea recta todas

las alturas piezométricas de los diferentes puntos, se obtiene lo que se conoce en Hidráulica

como “Línea piezométrica” o también denominado “ Gradiente Hidráulico”.

A la relación: S= Hf /L es la pendiente de la línea piezométrica o del gradiente hidráulico, y también se

denomina “pendiente hidráulica”, y en la figura se puede observar que es la tangente del angulo θ es:

S= tang θ = Hf /L

Page 149: Libro de Texto Hidraulica i

Se observa en la figura ( IV.1) que después del punto “R”, la línea piezométrica si se continua prolongando va a

llegar a tocar a la tubería en un punto y entonces la presión será cero en este punto. Quiere decir que toda la

energía de presión que tenía el agua en “G” se ha empleado en producir circulación de G hasta este punto y

que si queremos que la circulación continúe más allá ( a la derecha del punto R ) donde la línea piezométrica

toque a la tubería, tendremos que insertar una bomba.

FIG. NO. IV.1 GRADIENTE HIDRAULICO (LINEA PIEZOMETRICA)

Page 150: Libro de Texto Hidraulica i

FIG. NO. IV.2 DIAGRAMA DE MOODY ( A-1 ) *

* Diagrama del Apéndice de: “Mecánica de Fluidos e Hidráulica”, Ranald V. Giles, Jack B. Evett.

PROBLEMAS RESUELTOS

Page 151: Libro de Texto Hidraulica i

VI.1 Determinar el tipo de flujo que tiene lugar en una tubería de 25 cm. de diámetro, cuando

a) fluye agua a 20 o C a una velocidad de 1.10 m /seg., y b) fluye un fuel-oil pesado a 20 0 C

y a la misma velocidad.

Solución:

a) Primero obtenemos el número de Reynolds, para saber el tipo de flujo de que se trata.

Re = ( V D ) / υ

υ = 1.007 x10-6 m2/seg. ( consultar Tabla I.4 Pag. )

Re = (1.10 m/seg x 0.25 m ) / 1.007 x10-6 m2/seg = 273 088 >2000 Flujo Turbulento

b) υ = 156 x10-6 m2/seg. ( ver Tabla 2 Apéndice, “Mecánica de Fluidos e Hidráulica” )

( Ranald V. Giles, Jack B. Evett )

Re = (1.10 m/seg x 0.25 m ) / 156 x10-6 m2/seg = 1763 ‹ 2000 Flujo Laminar

IV.2 Para un flujo laminar, ¿ Qué diámetro de tubería será necesario para transportar un gasto

de 0.0010 m3 /seg de un aceite fuel-oil medio a 30 o C (υ = 3.11 x 10-6 m2/seg ).

SOLUCIÓN:

Page 152: Libro de Texto Hidraulica i

Aplicando la Ecuación de Continuidad ( II.15 ):

V= Q / A = ( 0.0010 m3 /seg ) / ( π D2 /4 ) = 0.004/ π D2

y el No. de Reynolds por ser laminar es: Re = ( V D ) / υ = 2000

Re = ( 0.004/ π D2 ) D / υ = 2000 D = 0.20 m

IV.3 Un caudal de 50 lts/seg de un aceite con una viscosidad absoluta de 0.142 N.s/m 2 y una

densidad relativa de 0.760, está circulando por una tubería de hierro galvanizado de 25 cm de

diámetro y 2500 m de longitud. ¿ Cúal es la pérdida de carga en la tubería?

Solución:

Podemos encontrar primeramente la velocidad media:

V= Q/ A = ( 50 x 10-3 m3 /seg ) / ( π (0.25)2 /4 ) = 1.018 m/seg

y el No. de Reynolds se obtiene por la expresión vista anteriormente:

Re = ( V D ρ )/ μ

en donde: ρ = densidad del fluido en: Kg/m3 , N seg2 /m4

μ = viscosidad absoluta en: Kg seg/m2 o N seg / m2

pero sabemos que la densidad del fluido ρ = ω / g = peso específico / gravedad

Re = ( V D ρ )/ μ = ( V D ω ) / ( g μ )

Recordando que la densidad relativa del aceite es: Dr = ωaceite / ωagua = 0.760 , ωagua = 9.79 kN/m3

ωaceite = ωagua Dr = 9.79 kN/m3 x 0.760 = 7.4404 kN/m3 = 7440.4 N /m3

Re = ( 1.018 m/seg x 0.25 m x 7440.4 N /m3 )/ ( 9.81m/seg2 x 0.142 N.s/m2

Re = 1360 ‹ 2000 Flujo Laminar

Como el flujo es laminar se aplica la expresión ya vista: ƒ = 64 / Re (IV.3 )

Page 153: Libro de Texto Hidraulica i

y el coeficiente de fricción vale: ƒ = 64 / 1360 = 0.047

y la pérdida de carga según Darcy-Weisbach será: hf = ƒ ( L/ D) ( V2/2g ) ( IV.2 )

hf = 0.047 x ( 2500 / 0.25 ) ( 1.018 )2/( 2x9.81) = 24.82 m

IV.4 Calcular el diámetro de una tubería de fundición sin revestimiento, necesario para

transportar 300 lts/ seg de agua a 25 o C, a un km de longitud y con una pérdida de carga de

1.20 m.

Solución :

Para el agua a 25 o C , υ = 0.897 x10-6 m2/seg. ( consultar Tabla I.4 Pag.15 )

La velocidad será : V= Q/A = 0.300 / (π D2/4 ) = 0.381972 / D2

y la pérdida de carga es, : hf = ƒ ( L/ D) ( V2/2g )

1.20 = f ( 1000/ D ) ( 0.381972 / D2 )2 /2g D5 = 6.197035 f

como tenemos dos incógnitas se puede suponer el diámetro., en este caso se puede suponer:

D= 0.635 m y por lo tanto el coeficiente de fricción será: f = 0.017

también podemos obtener: Re = ( V D ) / υ = 0.9473 x 0.635 / ( 0.897 x10-6 m2/seg ) = 6.71 x 105

la rugosidad de la tubería de fundición desnuda tomaremos según tablas, el valor de diseño es

ε = 0.024 cm (ver diagrama A-1, Fig.No. IV.2 Pág.145)

ε /d = rugosidad relativa = 0.024/63.5 = 0.0004

Con los valores del No. de Reynolds y el valor de la rugosidad relativa ya obtenidos, entramos al Diagrama A-1

Fig. No.IV.2, y encontramos el valor del coeficiente de rugosidad: ƒ = 0.017.

Este valor de f coincide con el valor de f obtenido anteriormente. De aquí el valor supuesto de D es correcto, es

de 63.5 cm.

Page 154: Libro de Texto Hidraulica i

IV.5 Desde un punto B que tiene una cota de 120.50 m se está descargando gasolina a

través de una tubería de acero con una rugosidad ε = 0.600 mm. Otro punto A, que está

situado en la cota 140.60 m y a una distancia L= 1200 m en la tubería a partir del punto B.

También se conoce que la presión en el punto A es de 3.10 kPa. ¿ Qué diámetro de tubería es

necesario para descargar un gasto de gasolina de Q= 0.120 m3 /seg ?

Solución:

Para la gasolina se tienen los siguientes datos: ω = 7.18 kN/m3 μ = 5.2 x 10-4 N.s/ m2

ρ = 731.91 kg/m3 hf = ƒ ( L/ D) ( V2/2g ) = ƒ (1200/D ) V2 / (2 x 9.81) = 61.162 ƒ V2 / D

Q= A V = 0.120 = ( π D2 /4 ) V → V= 0.1528 / D2

A continuación es necesario aplicar la expresión de Bernoulli, desde el punto A → B y considerando que el

plano de referencia pasa por el punto B.

pA/ω + vA2/2g + zA = pB /ω + vB

2/2g + zB + hf

3.10/7.18 + vA2/2g + 20.10 = 0 + vB

2/2g + 0 + 1.428 ƒ /D5

Se supone un valor de ƒ= 0.020 y se sustituye en la ecuación de Bernoulli. Se puede ver que como:

vA = vB , ( ya que el diámetro es el mismo en las dos secciones ).

0. 432 + 20.10 = 0.02856 / D5 D=0.268 m

Por lo que se tiene lo siguiente: V= 0.1528 / D2 = 2.13 m/seg

Re = ( V D ρ )/ μ = ( V D ω ) / ( g μ ) = ( 2.13 x 0.268 x 7180 )/ ( 9.81 x 5.2 x 10-4 ) = 8.03 x 105

Se observa que en Diagrama A-1, ƒ = 0.025 , por lo que el valor supuesto no es el correcto. Se supone

nuevamente ƒ = 0.024 y se repiten los mismos cálculos anteriores.

20.532 = 0.034272 / D5 D= 0.278 m V= 1.98 m/seg Re = 7.75 x 105

ε /d = 0.000600/ 0.278 = 0.00216 ƒ = 0.024 se observa que este valor ya coincide con el valor supuesto.

4.1.2 PERDIDAS DE ENERGIA POR ACCESORIOS.

Page 155: Libro de Texto Hidraulica i

En la práctica, en las líneas de conducción de agua potable o en las redes de distribución,

además de que los conductos no son siempre rectilíneos, usualmente se emplean piezas

especiales y conexiones para el buen funcionamiento hidráulico de los sistemas, que en virtud

de su forma y disposición, provocan pérdidas locales o secundarias; normalmente dichas

piezas son válvulas de compuerta, medidores de gasto, codos a 90o, codos a 45o, reducciones y

ampliaciones graduales o bruscas, ect.

Su magnitud se expresa como una fracción de la carga de velocidad, inmediatamente aguas

abajo del sitio donde se produjo la pérdida.

hS = K ( V2/ 2g ) (IV.5 )

hS = Pérdida de carga local o secundaria, m

K= coeficiente adimensional, que depende del tipo de accesorio de que se trate, ver (

Tabla IV.1). Para determinar K se ha obtenido en base a los resultados experimentales en

laboratorios hidráulicos.

V= velocidad media, m/seg

A continuación se exponen los valores de K para la piezas más comúnmente empleadas.

Page 156: Libro de Texto Hidraulica i

TABLA NO. IV.1 VALORES DE “K” (Pérdidas locales o secundarias )

Pieza K Pieza K

Ampliación gradual 0.30* Válvula de retención 2.75

Boquillas 2.75 Medidor venturi 2.50**

Compuerta abierta 1.00 Reducción gradual 0.15*

Codo de 90o 0.90 Válvula de ángulo abierto 5.00

Codo de 45o 0.40 Válvula de compuerta abierta 0.20

Colador 0.75 Válvula de globo abierta 10.00

Curva de 90o 0.40 Salida de canalización 1.00

Curva de 45o 0.20 Te, de paso directo 0.60

Entrada normal 0.50 Te, salida de lado 1.30

Entrada de Borda 1.00 Te, salida bilateral 1.80

Velocidad 1.00 Válvula de pie 1.75

Unión 0.40 Entrada en un depósito 1.00

* Con base en la velocidad mayor

** Con base en la velocidad en la canalización

Page 157: Libro de Texto Hidraulica i

PERDIDA DE CARGA POR ENTRADA DE UN CONDUCTO

Cuando el agua contenida en un depósito penetra en un conducto, hay cierta perdida de carga

cuya proporción depende de las características de la entrada, ver Fig. No. IV. 3.

FIGURA NO.IV.3 PERDIDA DE CARGA POR ENTRADA A UN CONDUCTO

PERDIDA DE CARGA EN UN DEPOSITO

La entrada del agua en un depósito se puede efectuar de diferentes maneras: chorro libre ( Fig

No. IV.4 a ) y chorro ahogado ( Fig. No. IV.4 b).En ambos casos, se puede suponer que el

valor de K= 1.0

Page 158: Libro de Texto Hidraulica i

FIG. NO.IV.4 PERDIDA POR ENTRADA A DEPOSITO

PERDIDA DE CARGA EN REDUCCIONES BRUSCAS DE SECCION

FIGURA NO. IV. 5 PERDIDA DE CARGA POR REDUCCION BRUSCA

Page 159: Libro de Texto Hidraulica i

PERDIDA DE CARGA POR AUMENTOS BRUSCOS DE SECCION

FIGURA NO. IV.6 PERDIDA DE CARGA POR AUMENTO BRUSCO DE SECCION

PERDIDAS DE CARGA EN LAS VALVULAS DE COMPUERTA

Unos de los accesorios más utilizados en las líneas de distribución de agua potable, son las

válvulas de compuerta, para la distribución más eficiente del agua a los usuarios de una

población. Y las pérdidas de carga se pueden evaluar consultando la tabla de la figura No.

IV.7.

Page 160: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. IV.7 PERDIDA DE CARGA EN VALVULA DE COMPUERTA

PROBLEMAS RESUELTOS

1V.6 De un lago artificial parte una tubería con 800 m de longitud y 30cm de diámetro para

alimentar un depósito con un gasto 60 lts/seg.( ver Fig. IV.8 ). a) ¿ cúal será la diferencia de

nivel entre la S. L. A.(superficie libre del agua) del lago y del depósito?

b) ¿cuánto representan las pérdidas locales en porcentaje de las pérdidas de carga

continuas o de fricción?

Page 161: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. IV.8 DEL PROBLEMA IV.6

Solución:

a) Como se muestra en la figura, en la línea de conducción existe una rejilla o colador, dos válvulas de

compuerta ( abiertas ) y dos codos de 90 0 .

Primeramente se obtiene la velocidad: V= Q/A = 0.060 / ( π (0.30 )2/4 ) = 0.85 m/seg

y la carga de velocidad: V2/ 2g = ( 0.85 )2 / 2x9.81 = 0.0368 m

A continuación se calculan las pérdidas de carga en los diferentes accesorios:

PIEZA O ACCESORIO No. de Piezas Valores de “ K”

(Consultar valores Tabla

IV.1)

Pérdida de carga

(Local o secundaria)

hS = K ( V2/ 2g )

Rejilla o colador 1 0.75 0.0276

Válvula de compuerta 2 0.20 0.0147

Codo 90 0 2 0.90 0.0662

Entrada a un depósito 1 1.00 0.0368

Σ hS = 0.1453 m

Page 162: Libro de Texto Hidraulica i

Pérdida de carga continua o por fricción. Se supone que la tubería es de hierro galvanizado (ε =0.015 )

ε /d = 0.015/30= 0.0005 , y se supone que circula agua a 10 0 C.

Re = ( V D ) / υ = 0.85 x 0.30 / (1.308 x10-6 m2/seg ) =1.95 x 105 Flujo turbulento → ƒ = 0.0195

hf = ƒ ( L/ D) ( V2/2g ) = 0.0195 ( 800/0.30) ( 0.0368 ) = 1.92 m

Por lo tanto la pérdida de carga total será de: hf + Σ hS = 1.92 m + 0.1453 m = 2.0653 m

b) Para la pérdida de carga por fricción o continua, las locales representarán:

Σ hS / hf x 100 = ( 0.1453 x100 )/ 1.92= 7.56 %

NOTA: En problemas como el que se acaba de analizar, o sea en tuberías relativamente largas y un pequeño

número de piezas especiales, las pérdidas locales o secundarias, pueden despreciarse, considerando únicamente

las pérdidas de carga por fricción o continuas.

IV.7 Calcular la pérdida de carga en el subramal que abastece una regadera y una instalación

predial ( ver Fig. No. IV.9 ). Verificar cuál es el porcentaje de las pérdidas de carga locales o

secundarias en relación con la pérdida de carga continua.

Solución:

Pédida de carga por fricción o continua:

Como el gasto normal aproximado en una regadera se considera de: Q= 0.20 lts/seg, se puede emplear la

fórmula de Fair-Whipple-Hsiao, para tubos de acero galvanizado conduciendo agua fria:

hf = 0.002021 Q1.88 L / D4.88 ( IV.5.a )

hf = 0.002021 ( 0.0002)1.88 ( 5.30 ) / ( 0.019 )4.88 = 0.30 m

La carga de velocidad: V= Q/A = 0.0002/ ( π (0.019 )2/4)= 0.71 m/seg ; V2/2g = 026 m

Page 163: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. IV.9 del problema IV.7

PIEZA O ACCESORIO No. de Piezas Valores de “ K”

(Consultar valores Tabla

IV.1)

Pérdida de carga

(Local o secundaria)

hS = K ( V2/ 2g )

Te, salida de lado 1 1.30 0.0338

Válvula de compuerta 2 0.20 0.0104

Codo 90 0 5 0.90 0.1170

Σ hS = 0.1612 m

Por lo tanto la pérdida de carga total será de: hf + Σ hS = 0.30 m + 0.1612 m = 0.4612 m

Page 164: Libro de Texto Hidraulica i

b) Para la pérdida de carga por fricción o continua, las locales representarán:

Σ hS / hf x 100 = ( 0.1612 x100 )/ 0.30= 53.7 %

NOTA: En problemas como el que se acaba de analizar, o sea en tuberías relativamente cortas, las pérdidas

locales o secundarias, a pesar del pequeño número de piezas especiales, representan más de la mitad de la

pérdida continua.

IV.8 Calcular la pérdida de carga o energía, para un flujo de 2.65 m3/seg, a través de una

contracción brusca, en una tubería que cambia de 150 mm a 100 mm de diámetro.

Solución: Se conoce el caudal: Q= 2.65 m3 / min= 0.0442 m3 /seg

Primeramente se obtiene la velocidad: V= Q/A =0.0442 / ( π (0.100 )2/4 ) = 5.63 m/seg

(se debe tomar en este caso el diámetro menor, según la Fig. No. IV.5 Pág. 154 )

y la carga de velocidad: V2/ 2g = ( 5.63 )2 / 2x9.81 = 1.6155 m

(para obtener el valor del coeficiente “K ”, tenemos que consultar la tabla de la Fig. No. IV.5.)

Y se debe entrar con la relación de: D/d = 1.5, pero este valor no existe en la tabla por lo que se deberá

interpolar entre los valores de D /d=1.4 y D/d=1.6 , y se obtiene: K=0.46

Finalmente la pérdida de carga local será: hS= K ( V2/ 2g ) = 0.46 ( 1.6155 ) = 0.74 m

4.2 CALCULO DEL FLUJO EN TUBERIAS.

En este capítulo se hace un análisis de sistema de conductos a presión, que van desde el tubo

único hasta el de redes de agua potable. El análisis se realiza utilizando las ecuaciones de

continuidad y de energía, tomando en consideración las pérdidas de carga por fricción y

locales, cuya forma de cuantificación ha sido presentada en los capítulos anteriores.

Page 165: Libro de Texto Hidraulica i

4.2.1 CONDUCTOS SENCILLOS.

Es el más sencillo de los sistemas. Consiste de un conducto único alimentado en el extremo,

aguas arriba, por un recipiente o una bomba y con descarga libre o a otro

recipiente. El conducto puede tener cambios geométricos u obstrucciones que producen

pérdidas locales o secundarias de energía, además de la propia de fricción.

En la Fig. No. IV.10, se tiene un conducto que conecta dos recipientes, situados cada uno a

diferente cota. Para el análisis del conducto sencillo se utiliza la ecuación de energía y las

pérdidas de carga por fricción o locales.

Un tubo, hidráulicamente puede funcionar de tres maneras distintas. En efecto, aplicando

Bernoulli entre las secciones I-I y II-II se obtiene.

Page 166: Libro de Texto Hidraulica i

²/2g

²

FIGURA NO.IV.10 CONDUCTO QUE CONECTA DOS RECIPIENTES.

z1 + d1 + v12/2g = z2 + d2 + v2

2/2g + Σ hf ( IV.6 )

La cual se puede escribir en la forma siguiente:

( z1 - z2 ) + ( d1 - d2 ) + v12/2g = v2

2/2g + Σ hf ( IV.7 )

Representando los paréntesis por ∆z y ∆d respectivamente se tiene:

∆z + ∆d + v12/2g = v2

2/2g + Σ hf ( IV.8 )

Y si hacemos ∆z + ∆d = ∆H, entonces la ecuación ( IV.6 ), se puede escribir.

∆ H + v12/2g = v2

2/2g + Σ hf ( IV.9 )

Page 167: Libro de Texto Hidraulica i

Esta ecuación desde el punto vista del funcionamiento corresponde al problema general que se

muestra en la figura anterior. En particular se obtiene:

a) Cuando la tubería comunica a dos recipientes de gran volumen, entonces las velocidades de

acceso y de descarga se consideran prácticamente nulas, esto es,

v1 = v2 ≈ 0

Por lo tanto se pude observar en la Fig. No. IV.11, que si las velocidades son prácticamente

nulas entonces la ecuación IV.11, se convierte en:

∆ H = Σ hf → este resultado significa que la energía disponible debida a la diferencia de

niveles entre las superficies libres, se emplea totalmente para vencer a las pérdidas de carga.

Page 168: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA IV.11 TUBERIA QUE COMUNICA A DOS RECIPIENTES DE GRAN VOLUMEN

b) Cuando las características en el acceso y descarga son idénticamente iguales, se tiene

d1= d2 ( los tirantes o profundidades del líquido son iguales en las dos secciones)

v1 = v2 ( ver Fig. No. IV.12 ).

y por lo tanto, la expresión ( IV.8 ) quedará: ∆z = Σ hf

Esto es, el desnivel debido a la diferencia de cotas de plantilla a la entrada y salida de la

tubería se compensa con las pérdidas.

Page 169: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. IV.12 CUANDO LAS CARACTERISTICAS SON IGUALES EN EL ACCESO Y DESCARGA.

c) Cuando la descarga se produce al exterior, la expresión (IV.6) toma la forma,

z1 + d1 = zs + vs2/2g + Σ hf ( IV.10 )

aceptando que en el recipiente se tiene un gran volumen. Finalmente, eligiendo

adecuadamente el PHC (plano horizontal de comparación) se tiene:

(z1 + d1 ) – zs = vs2/2g + Σ hf ( IV.11 )

H = vs2/2g + Σ hf ( IV.12 )

lo que significa que la carga disponible se utiliza en producir carga de velocidad y en vencer

las pérdidas de carga ( ver Fig. No. IV.13 )

Page 170: Libro de Texto Hidraulica i

²

FIGURA NO. IV.13 CUANDO LA DESCARGA SE PRODUCE AL EXTERIOR

4.2.2 TUBERIAS EN PARALELO

Se dice que los conductos o tuberías estarán conectadas en paralelo cuando un cierto caudal o

gasto, se ramifica en dos o más tuberías, y que se pueden volver a unir en un punto

determinado aguas abajo, ( ver Figura No. IV. 14 ).

En la Fig. No.( IV.14 ), se puede observar que el caudal “ Q ” cuando llega al punto A, se

ramifica en varios conductos. Una parte del gasto se va hacia la tubería “ABCD”, otra parte

del caudal va a circular por el ramal “AFED”, y por último el resto del gasto por el ramal

“AGHD”. Y en el punto “D”, en la intersección , las tres tuberías y el fluido vuelve a circular

por una sola tubería.

Page 171: Libro de Texto Hidraulica i

Para resolver problemas de tuberías en paralelo, se debe considerar lo siguiente:

El caudal “Q” que está entrando por el nudo “A” ( ver Fig. No. IV.14 ), deberá ser

igual al caudal que está saliendo por el nudo “D”.

En un sistema de tuberías en paralelo, la magnitud hidráulica que es el común

denominador es la pérdida de carga. Es decir que en el caso de la Fig. IV.14, se debe

suponer que la pérdida de carga es igual en todos los ramales entre los nodos “A” y

“D”.

El caudal que está circulando en cada ramal del circuito, por ejemplo por “ABCD” o

por “AFED”, será un porcentaje constante del caudal total.

Para calcular las pérdidas de carga por fricción y la pendiente hidráulica se puede

utilizar la expresión de Hazen-Williams ( que a continuación se explica).

FIGURA NO. IV.14 TUBERIA EN PARALELO

Page 172: Libro de Texto Hidraulica i

CALCULO HIDRAULICO ( Tuberías en paralelo )

Es común utilizar la fórmula de HAZEN-WILLIAMS, para obtener las pérdidas de carga por

fricción en los ramales de un circuito; la velocidad será:

V = 0.8494 C1 R0.63 S0.54 (IV.13 )

V = velocidad media, m/seg

R = radio hidráulico, m

C1 = coeficiente de rugosidad relativa de Hazen- Williams ( ver Tabla IV.2 )

S = pendiente de la línea de alturas piezométrica ( ver Fig. No.IV.1 )

El radio hidráulico de un conducto, con un diámetro “D” es por definición:

R = Area hidráulica/ perímetro mojado = Ah / Pm ( IV.14 )

para el caso de un conducto circular trabajando a presión y a tubo lleno, el radio

hidráulico será: R = ( π D2/4 ) / ( π D ) = D/4 ( IV.15 )

por lo tanto para obtener la pendiente hidráulica ( S ),despejando de la IV.13, tenemos:

S = V / (0.8494 C1 R0.63 1 / 0.54 ( IV.16 )

y la pérdida de carga será: Hf = S * L ( IV.17 )

TABLA NO. IV.2* ALGUNOS VALORES DEL COEFICIENTE C1 ( HAZEN – WILLIAMS)

Tuberías rectas y muy lisas 140

Tuberías de fundición lisas y nuevas 130

Tuberías de fundición usadas y de acero roblonado nuevas 110

Tuberías de alcantarillado vitrificadas 110

Tuberías de fundición con algunos años de servicio 100

Tuberías de fundición en malas condiciones 80

* Tabla obtenida del Apéndice de ( “Mecánica de Fluidos e Hidráulica, Ranald V. Giles, Jack B. Evett )

Page 173: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMA RESUELTO

IV.9 En el sistema mostrado en la Figura No. IV.15, en paralelo, la altura de presión en “M”

es de 39.50 m.c.a. y la altura de presión en “N” es de 24.00 m.c.a. Suponiendo que las

tuberías están en un plano horizontal. Obtener: a ) ¿Cúal es el gasto que entra en “M” ? b)

¿ Cúal es el caudal que está circulando por cada uno de los ramales del circuito ? c) ¿ Cúal es

el porcentaje del caudal en cada una de las ramas del circuito con respecto al caudal total ?

FIGURA NO.IV.15 del Problema IV.9

Solución:

La pérdida de carga total ( la caida de la línea de las alturas piezométricas ) entre los puntos M y N, es la

misma para todos los ramales ( por estar en paralelo) y es igual a: hf = 39.50 m – 24.00 m = 15.50 m

A continuación se deben obtener las pendientes hidráulicas “S” ( pendiente de la línea de alturas

piezométricas ), en cada uno de los ramales del circuito:

SMPN= S30 = 15.50 m/ 4000 m = 0.003875 = 3.875 m/ 1000 m

SMRN= S20 = 15.50 m/ 1350 m =0.01148 m=11.48 m/ 1000m

SMSN= S25 = 15.50 m/ 2700 m= 0.00574 m= 5.74 m/ 1000 m

Page 174: Libro de Texto Hidraulica i

Los gastos en cada uno de los ramales se pueden obtener utilizando utilizando la ecuación de Hazen-Williams

( IV.13 ), vista anteriormente.

V = 0.8494 C1 R0.63 S0.54 (IV.13 )

V = velocidad media, m/seg

R = radio hidráulico, m ( en este caso aplicar la expresión IV.15 )

C1 = coeficiente de rugosidad relativa de Hazen- Williams (ver Tabla IV.2 )

en este caso es un dato del problema: C1 = 100

S = pendiente de la línea de alturas piezométrica ( ver Fig. No.IV.1 )

Para el ramal “M P N”, de 30 cm de diámetro, se tiene:

V30 = ( 0.8494 ) (100 ) ( 0.30 /4 )0.63 ( 0.003875 )0.54 = 0.83 m/seg

Para el ramal “M R N”, de 20 cm de diámetro, se tiene:

V20 = ( 0.8494 ) (100 ) ( 0.20 /4 )0.63 ( 0.01148 )0.54 = 1.15 m/seg

Para el ramal “M S N”, de 25 cm de diámetro, se tiene:

V25 = ( 0.8494 ) (100 ) ( 0.25 /4 )0.63 ( 0.00574 )0.54 = 0.91 m/seg

Finalmente el caudal en cada uno de los ramales del circuito:

Q30= V30 A30 = ( 0.83 ) ( π ( 0.30 )2 /4 ) = 0.05867 m3 /seg = 58.67 lts /seg ( 42.07 % )

Q20= V20 A20 = ( 1.15 ) ( π ( 0.20 )2 /4 ) = 0.03613m3 /seg = 36.13 lts /seg ( 25.90 % )

Q25= V25 A25 = ( 0.91 ) ( π ( 0.25 )2 /4 ) = 0.04467m3 /seg = 44.67 lts /seg ( 32.03 % )

QTOTAL = 58.67 + 36.13 + 44.67 = 139.47 lts/seg ( Gasto total que entra por M) ( 100 % )

Page 175: Libro de Texto Hidraulica i

4.3 REDES DE TUBERIAS

Es el conjunto de tuberías de diferentes diámetros que se instalan subterráneamente en las

calles de una población y cuyo objetivo fundamental es entregar el agua potable a cada uno de

los lotes de una población y que forman la red. Por medio de éstos conductos se distribuye y

se entrega el agua potable hasta las casas de cada uno de los usuarios. La primera clasificación

de las redes de distribución es en función del tipo de distribución. Fundamentalmente existen

dos tipos de redes de conductos a presión: Redes Abiertas y Redes Cerradas, clasificadas de

acuerdo con la disposición de los conductos principales.

Están formadas por tuberías principales, llamadas también de circuito, troncales o maestras y

por tuberías secundarias (llamas también de relleno), y que son las que se derivan de las

primeras.

4.3.1 REDES ABIERTAS

La red abierta o ramificada consiste en una tubería principal o arteria maestra que parte del

depósito o tanque de almacenamiento y se va dividiendo o ramificando en tuberías

secundarias, que abastecen de agua potable a todos los usuarios de una población, colonia o

fraccionamiento ( ver Fig. No.IV. 16 ).

Page 176: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. IV.16 RED ABIERTA O RAMIFICADA ( EN UN PLANO HORIZONTAL )

Aunque estos sistemas son simples de diseñar y construir, no se recomiendan en la actualidad

por las siguientes razones: 1) en los extremos finales de las ramas se pueden presenta

crecimientos bacterianos y sedimentación debido a estancamiento, ya que quedan extremos

muertos sin comunicar; 2 ) cuando tienen que hacerse reparaciones a una línea individual en

algún punto, deben quedar sin servicio las conexiones que se encuentran más allá del punto de

reparación hasta que ésta sea efectuada; 3 ) la presión en los puntos terminales de las ramas

puede llegar a ser demasiado baja conforme se hacen ampliaciones a la red de distribución.

El sistema ramificado se recomienda generalmente cuando la topografía y el alineamiento de

las calles de la población en estudio, no es muy uniforme y por lo tanto no permite formar

circuitos cerrados. No es aconsejable este sistema más que en casos de localidades urbanas

pequeñas y rurales.

Page 177: Libro de Texto Hidraulica i

4.3.2 REDES CERRADAS

El rasgo distintivo del sistema de circuitos o en malla, como el mostrado en la Fig. No. IV.17,

es que todas las tuberías están interconectadas y por lo tanto no existen terminales o extremos

muertos. En estos sistemas, el agua puede alcanzar un punto dado desde varias direcciones,

superando todas las dificultades del sistema ramificado, discutido anteriormente, la desventaja

es que el diseño de estos sistemas es algo más complicado. Y se recomienda utilizar en

aquellas poblaciones en que la topografía es más uniforme y permite formar circuitos

cerrados. En este sistema de red cerrada la tubería principal que parte del depósito o tanque de

almacenamiento ( ver Fig. No. IV.17 ), se va ramificando o dividiendo en uno o varios

circuitos cerrados, pero en este caso todas las tuberías están interconectadas y no hay

terminales o extremos muertos.

Este tipo de red está formada por un polígono de tubería principal que encierra una malla de

tuberías secundarias de tal manera que cualquier punto de la misma que puede recibir el agua

por varios caminos; superando todas las dificultades del sistema ramificado, discutido

anteriormente. La desventaja es que el diseño de éstos sistemas es algo más complicado según

el número de circuitos.

En general es el tipo de red más recomendable para localidades urbanas grandes, por su gran

flexibilidad de operación, el sentido del escurrimiento se controla fácilmente por medio de

válvulas de seccionamiento; se obtiene una mejor distribución de las presiones disponibles,

etc.

Page 178: Libro de Texto Hidraulica i

CALCULO HIDRAULICO.

El procedimiento para resolver redes cerradas o de circuitos se realiza por el método de

Hardy Cross, de aproximaciones sucesivas, el cual consiste en suponer unos caudales en

todas las ramas de la red y a continuación hacer un balance de las pérdidas de carga

calculadas; para corregir los gastos supuestos inicialmente. En el lazo o circuito único,

mostrado en la Fig.No. IV.18, para que los caudales en cada rama del lazo sean los correctos

se habrá de verificar que:

( HL )EFG = ( HL )EHG o (HL )EFG - ( HL )EHG = 0 ( IV.18 )

Hardy Cross, aconseja hacer correcciones sucesivas modificando los gastos en uno y otro

sentido según lo indique el signo de corrección ( Q1 + ∆ ; Q2 - ∆ ) hasta tener una diferencia

aceptable de cargas. Esta corrección se hace mediante la aplicación de la fórmula IV.19.

FIGURA IV.17 REDES CERRADAS O DE CIRCUITOS

Page 179: Libro de Texto Hidraulica i

∆ = − Σ H / ( n Σ H/Q) ( IV.19 )

en donde:

∆ = coeficiente de corrección de caudales.

Σ H = Suma algebraica de pérdidas de carga en los dos sentidos.

Q = Gasto que está circulando por el circuito.

n = Coeficiente, que tiene un valor de n= 2, cuando

estamos utilizando la expresión de Manning, y toma un valor de n= 1.85

cuando estamos utilizando la expresión de Hazen-Williams.

FIGURA NO.IV.18 METODO DE CROSS ( concepto de pérdida de carga positiva y negativa)

Page 180: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS RESUELTOS

IV.10 El sistema de tuberías en paralelo mostrado en la Fig. No. IV. 19, el gasto de entrada

proveniente de un depósito es de Q= 100 lts/seg. Equilibrar el circuito, utilizando el método

de Hardy Cross.

FIGURA NO. IV.19 del Problema No. IV.10

Solución:

Como no se conocen los gastos en los diferente ramales del circuito, primeramente se deben suponer los gastos

a través del circuito, tomando en cuenta también las tomas de agua que se encuentran en B, F, y E.

El cálculo se puede iniciar al suponer que el gasto inicial proveniente del tanque de almacenamiento

( Q= 100 lts/seg ), al llegar al punto “A”, se va a dividir, una parte hacia el ramal AB, Q AB = 40 lts/seg y y otra

parte hacia el ramal AF, QAF = 60 lts/seg ( ver Fig. No. IV. 20 )

Los cálculos se realizan en la Tabla No.IV.3, (obsérvese que se ha puesto un valor negativo del gasto y de la

pérdida de carga para el ramal EF ), QEF = - 60 lts/seg , debido al sentido de las pérdidas de carga

( antihorario), ver Fig. No. IV.18 ). También el ramal EF, el gasto y la pérdida son negativos.

Page 181: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. IV.20 del Problema No. IV.10

En seguida se calculan los valores de “ S” mediante la ecuación IV.18, luego sabemos que la pérdida de carga

total en toda la longitud es HL = S x L , y a continuación se obtiene el valor de HL / Qo ( se hace notar que esta

relación siempre es un valor positivo ). Se notará que cuanto mayor sea el valor de Σ H L, mas alejados de los

correctos estarán los caudales Q supuestos inicialmente. Se calculará únicamente como ejemplo el ramal “AB”:

Se obtiene la velocidad: VAB= QAB /AAB = 0.040 /(π (0.25)2 /4 )) = 0.815 m/seg

El radio hidraulico, según la IV.15: R= 0.25/4 = 0.0625 m

La pendiente hidráulica según la (IV.16 ):

S = V / (0.8494 C1 R0.63 1 / 0.54 = ( 0.815 )/ ( (0.8494) ( 100 ) ( 0.0625 )0.63 )1/0.54= 0.004654

S = 4.65 m/ 1000m ( pérdida de carga unitaria por kilómetro)

y la pérdida de carga para el ramal AB, de 2000m de longitud, será: HL = S L = 4.65 x 2= 9.30 m

el valor del coeficiente de corrección se obtiene por la expresión ( IV.19):

∆ = − Σ H / ( n Σ H/Q) = - 3.61/ ( 1.85 x 0.6737 ) = - 2.90

Finalmente los gastos corregidos se obtienen sumando algebraicamente el gasto supuesto y el valor del

coeficiente de corrección ∆.

Page 182: Libro de Texto Hidraulica i

TABLA NO.IV.3 DEL PROBLE3MA IV.10

Tramo

o

ramal

Diámetro

( cm )

Longitud

( m )

Gasto

(supuesto)

Qo

(Lts/seg )

Pendiente

“S”

m/1000m

Pérdida de

Carga

HL = S* L

HL/Qo

Factor

de

corrección

Gasto

Corregido

Q1

A-B 25 2000 40 4.65 9.30 0.2325 -2.90 37.10

B-E 20 1000 20 3.83 3.83 0.1915 -2.90 17.10

E-F 25 2000 -30 -2.73 -5.46 0.1820 -2.90 -32.90

F-A 30 1000 -60 -4.06 -4.06 0.0677 -2.90 -62.90

Σ= 3.63 0.6737

NOTA.- Como el valor de la sumatoria algebraica de las pérdidas de carga en el circuito según Tabla No.3; Σ

=3.63 , es todavía un valor un poco elevado. Se procede a repetir el calculo de la Tabla IV.3, solo que ahora

poniendo ahora los gastos obtenidos (corregidos Q1 ), como los supuestos y repitiendo el procedimiento, hasta

que el valor sea más pequeño, es decir que tienda a cero: Σ HL → 0

Finalmente los gastos corregidos, con una primera aproximación sucesiva queda:

FIGURA NO.IV.21 GASTOS CORREGIDOS (del Problema IV.10)

Page 183: Libro de Texto Hidraulica i

4.3.3 GOLPE DE ARIETE

Hasta ahora que se han estudiado las tuberías en las cuales el escurrimiento del agua se

produce en movimiento permanente o también uniforme. Pero cuando no es permanente o

uniforme, esto, es cuando las características del flujo varían con respecto al tiempo o con

respecto a una longitud, en cada sección transversal, ya no es aplicable el Teorema

de Bernoulli, debido a la ocurrencia debido a un fenómeno muy complejo en Hidráulica

denominado Golpe de Ariete.

Se denomina GOLPE DE ARIETE a la variación de presión en una tubería, por encima o por

debajo de la presión normal de operación, ocasionada por rápidas fluctuaciones en las

velocidades del agua y del gasto producidas por la apertura o cierre repentino de una válvula o

por el paro o arranque de las bombas, ya sea en condiciones de operación normales o por una

interrupción de la energía eléctrica, cuando ésta se utiliza en los motores que impulsan a las

bombas. Normalmente el fenómeno viene acompañado de un sonido que recuerda los

martillazos, hecho que justifica su nombre. Además del ruido desagradable, el golpe de ariete

puede romper tuberías, por lo tanto para la protección del equipo de bombeo y de la tubería de

conducción, se deben considerar los efectos producidos por el fenómeno denominado Golpe

de Ariete.

Para estudiar este fenómeno del Golpe de Ariete, supóngase un conducto a presión (una línea

de conducción ), para llevar agua desde una fuente de abastecimiento situada en una cota

superior hasta un deposito o tanque de almacenamiento (ver Fig. No. IV.22 ).

Obsérvese que, cuando la válvula opera, el cambio de régimen de escurrimiento no es

instantáneo ni continuo. Entre dos estados sucesivos de régimen constante, ocurren

variaciones de presión y de velocidad del agua circulante con la aparición de deformaciones

elásticas en los tubos y el volumen líquido en movimiento.

Page 184: Libro de Texto Hidraulica i

Las variaciones de presión y de velocidad, así como las deformaciones elásticas referidas, se

pueden relacionar por medio de ecuaciones obtenidas de la aplicación de las leyes generales

de la Hidrodinámica y de las propiedades físicas de los materiales de las tuberías.

En el extremo “J”, hay una válvula que permite variar a voluntad el régimen de

escurrimiento. Al cerrar la admisión del volumen líquido con la válvula “J”, se va a producir

un golpe de ariete positivo, como lo indica la línea piezométrica “FG” (ver Fig. No. IV. 19 ).

Al cesar el movimiento de cierre termina la sobrepresión positiva “FG” y varia hasta

adquirir una posición negativa “FI” con respecto a la línea de carga estática ( FH ). Si por lo

contrario abrimos repentinamente la válvula “J“, se va a producir un Golpe de Ariete

negativo, es decir que la línea piezométrica estaría representada por una línea situada debajo

de la línea estática “FH”.

Una línea de conducción de agua potable como la mostrada en la Fig. No. IV.22, deberá

diseñarse para resistir en cada punto no solo la “carga normal de operación”, sino también la

eventualidad de la sobrepresión producida por el golpe de ariete positivo “FG”. También la

línea piezométrica que representa la presión negativa “FI”, no debe quedar nunca por debajo,

en ningún punto, de la arista superior del tubo. Existen métodos analíticos y gráficos para el

cálculo de la sobrepresión por “golpe de ariete” pero un estudio escrupuloso de este

fenómeno, generalmente es complicado y laborioso. Por lo tanto para calcular la sobrepresión

en líneas de conducción de agua potable los ingenieros utilizan un método más práctico y

rápido y que pueden dar resultados bastante aceptables, por lo que para el cálculo de la

sobrepresión por el golpe de ariete, se ha adoptado la fórmula debida a Allievi.

Page 185: Libro de Texto Hidraulica i

Y con esta expresión obtenemos el valor máximo que puede adquirir esta sobrepresión. Ya

que se obtuvo considerando las condiciones más desfavorables cuando se cierra una válvula.

FIGURA NO. IV.22 GOLPE DE ARIETE EN UNA LINEA DE CONDUCCION

Periodo de la tubería.- El tiempo necesario para que la onda de presión vaya y vuelva al

depósito se denomina periodo de la tubería, y se representa por:

T= 2 L /a donde: L= longitud de la tubería en m

a = celeridad de la onda de presión en m/seg

Page 186: Libro de Texto Hidraulica i

²

³

²

²

TABLA No. IV. 4 Módulo de Elasticidad ( materiales de tuberías )

MATERIAL Modulo de Elasticidad ( kg/ cm2 )

Acero 2 100 000

Hierro fundido 930 000

Concreto simple 125 000

Asbesto Cemento 328 000

Cobre 1 300 000

PVC 31 400

Cierres y Grados de abertura de la válvula.-El cierre total brusco se define como el que se

efectúa en un tiempo inferior al periodo de la tubería. El cierre lento es aquel que se produce

en un tiempo mayor que: T= 2 L/a

Page 187: Libro de Texto Hidraulica i

²

²

PROBLEMA RESUELTO

IV.11 Un depósito con la superficie libre del agua ( S.L.A.) constante alimenta un conducto a

presión con L= 3400 m de longitud, D= 2.00m de diámetro, fabricado con planchas de acero

de espesor e= 5 mmm. En la extremidad de la tubería está instalada una boquilla de turbina

Pelton que se cierra completamente en 7 segundos. Siendo el gasto con régimen constante Q=

5.10 m3/seg y la carga total sobre la boquilla es de H= 170 m. Obtener: a) celeridad de la

onda de presión, b) periodo de la tubería, c) la sobrepresión máxima debida al golpe de ariete

en la sección inmediatamente aguas arriba de la boquilla, cuando sufra la operación de cierre,

c) la presión total.

Page 188: Libro de Texto Hidraulica i

Solucion:

a) Celeridad:

a = ( g/ ω ) / ( ( 1/Ea ) + ( D/ (Et e )) ( IV.20 )

g = (9.81 m/seg2 ) ω = 1000 kg/m3= peso específico del agua

Ea = 2.0670 x108 kg/m2 (módulo de elasticidad del agua ver Tabla No.IV. 6 )

Et = 2.10 x 1010 kg/m2 (módulo de elasticidad del material de la tubería )

Haciendo operaciones queda:

a= ( 9.81/1000) / ( (1/ (2.0670 x 108 ) + ( 2.00/ (2.10 x 1010 x 0.005 ))

a= 640.86 m/seg

b) Periodo de la tubería: T= 2 L/ a = ( 2 x 3400)/ 640.86 = 10.61 seg

c) Cálculo de la sobrepresión. Como el tiempo de cierre T= 7 segundos es menor que el

periodo de la tubería, se trata de una operación rápida y se aplica la expresión ( IV.21):

h = 145 V / 1 + ( ( Ea D )/ (Et e) ) 1/2

La velocidad del agua con régimen constante:

V= Q/ A = 5.10/ ( π (2.00)2/4 ) = 1.62 m/seg

h = 145 ( 1.62 ) / 1 + ( ( 20670x 200 )/ ( 2100000 x 0.5 ) ) 1/2 = 105 72 m

c) por lo tanto, la presión total será : HTOTAL = 170 m + 105.72 m = 275.72 m

Page 189: Libro de Texto Hidraulica i

PROBLEMAS PROPUESTOS

IV.1 Por una tubería de 20 cm. De diámetro, está circulando un gasto Q= 0.050 m3/seg, de un aceite Fuel-oil pesado a 10 0C, ( υ= 290 x 10-6 m2/seg ). Determinar el tipo de flujo que se presenta.

Solución: Flujo Laminar

IV.2 Determinar el tipo de flujo que se presenta por una tubería de 25 cm de diámetro, cuando circula agua a 15 0C a una velocidad v= 2.50 m/seg ( consultar Tabla No. I.4 )

Solución: Flujo Turbulento

IV.3 Un caudal de 65.5 lts/seg de un aceite de viscosidad absoluta μ = 0.160 N.s /m2 , peso específico de ω= 8000 N/m3, está circulando por una tubería de acero ( ε= 0.005 cm ), de 25 de diámetro y 800 m de longitud. Obtener: a) El número de Reynolds , b) El tipo de flujo, c) el coeficiente de fricción, c) Pérdida de carga.

Solución: a) 1700 b) Laminar c) 0.0376 d) 10.913

IV.4 Obtener la pérdida de carga en un tramo de tubería nueva de fundición sin recubrimiento, de 30 cm de diámetro interior y 1300 m de longitud, por el que está circulando un gasto de 116.50 lts/seg. a) fluye agua a 20 0C ( consultar Tabla No. I.4 ), b) cuando circula un fuel-oil medio a 20 0C , ( υ= 290 x 10-6

m2/seg ).

Solución: a) 11.70 m b) 13.20 m

IV.5 Calcular el diámetro de una tubería de hierro galvanizado, necesario para transportar 200 lts/seg de agua a 15 0C, a 2000 m de longitud y con una pérdida de carga de 3.40 m.

Solución: 50.8 cm

IV.6 Una tubería como la mostrada en la figura ( IV.5 Pág. 154 ), cambia bruscamente de un diámetro de D= 300 mm a otro de d= 200 mm, y transporta un gasto de agua Q= 50 lts / seg. Obtener la pérdida de carga por cambio brusco de sección.

Solución: 0.059 m

IV.7 Entre dos secciones, A y B, de una tubería de hierro galvanizado, con un diámetro D= 6.30 cm, se instalaron 9 codos de 900 , 5 codos de 450 , y una válvula de retención. De “A” para “B” circulan 30.24 m3/hr de agua, y las dos secciones están distantes 180 m. Siendo la presión “A” de: P A= 5.60 kp/cm2. ¿ Cuál será la presión en “B” ?

NOTA. consultar Diagram A-1; considerar las pérdidas de carga por fricción y secundarias; considerar el agua a a 15 0C.

Solución: 3.23 kp/cm2

Page 190: Libro de Texto Hidraulica i

IV.8 Un fuel-oil medio a 10 0C, ( υ= 5.16 x 10-6 m2/seg ; Dr= 0.861 ) se bombea al depósito “C” ( ver Fig. No.IV.23 ) a través de 850 m de una tubería de acero (ε =0.18 cm ), de 35 cm de diámetro interior. La presión en “A” es de 0.20 kp/cm2, cuando el caudal es de 200 lts/seg. Se desea obtener:

a) ¿ qué potencia debe suministrar la bomba en C.V. ?, b) ¿ qué presión debe mantenerse en “B”?,

c) dibujar la línea de alturas piezométricas.

Solución: a) 100.40 C.V. b) 3.96 kp/cm2 c) En cota “A”, ( 37.82 m ), en cota “B”, ( 81.55 m), en cota “C”, ( 65.50 m ).

FIGURA NO. IV. 23 del Problema No.IV.8

IV.9 Un depósito de almacenamiento está distribuyendo agua potable a una vivienda como se muestra en la FIG. No. IV.24., con un caudal Q= 2.50 lts/seg. La tubería de distribución es de acero galvanizado que parte del tanque es de 2” de diámetro. Obtener: a) la pérdida de carga secundaria o local, producida por todos los accesorios, b) ¿cúal es el % de las pérdidas locales con respecto a las pérdidas por fricción?

Nota.- Utilizar la expresión (IV.5.a, Pág. 160 ), para tuberías de acero galvanizado

Solución: a) hS = 1.064 m b) 50 %

Page 191: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. IV.24 del Problema No.IV.9

IV.10. Una tubería nueva de fundición ( C1 = 130 ), tiene una longitud de 1200 m y un

diámetro de 30 cm, y se presenta una pérdida de carga de 1.60 m. Determinar la capacidad de

descarga de la tubería según la expresión de Hazen- Williams.

Solución: 0.0427 m3 /seg

Page 192: Libro de Texto Hidraulica i

IV.11 Si en problema resuelto ( IV.9, Pág. 170 ), el caudal total “Q” fuera : 300 lts/seg

a) ¿ Qué pérdida de carga tiene lugar entre M y N ?; b) ¿ cómo se reparte el caudal en las

ramas del circuito?

Solución: a) ( Hf )MPN= 64.31 m ( Hf )MRN= 63.68 m ( Hf )MSN= 63.67 m

b) Q30 = 126.21 lts/seg , Q20 = 77.70 lts/seg , Q25 = 96.09 lts/seg

IV.12 En el sistema en paralelo que se observa en la ( Fig. No. IV.25 ), el caudal en las

tuberías “FG” y “JK” es de 0.650 m3/seg. Si todas las tuberías son de PVC con C1=140

Determinar los gastos a través de los ramales “GHJ” y “GIJ”.

Solución: Q30 = 18.65 lts/seg Q40 = 50.14 lts/seg

IV.13 El circuito en paralelo mostrado en la ( Fig.No. IV.26 ), para C1= 110. Determinar para

el caudal Q= 300 lts/seg, los gastos en las dos ramas del circuito utilizando el método de

Hardy Cross.

Solución: Q30= 80.073 lts/seg Q40= 219.927 lts/seg

³ ³

FIGURA NO. IV.25 del Problema IV.12

Page 193: Libro de Texto Hidraulica i

FIGURA NO. IV.26 del Problema No. IV.13

IV.14 Obtener los caudales en las ramas de la red cerrada de dos circuitos mostrada en la

Figura No.IV.27, (utilizar el Método de Hardy Cross ).

Solución: Circuito I: QAB= 68.18 lts/seg; QBE= 22.55 ; QFE= 21.82; QFA=41.82

Circuito II: QBC=45.63 lts/seg; QCD= 35.63 ; QED= 44.37; QBE= 22.55

FIGURA NO.IV.27 del Problema No.IV.14

Page 194: Libro de Texto Hidraulica i

IV.15 La línea de conducción de acero conduce un gasto con régimen constante:

Q= 0.324 m3 /seg y tiene las siguientes características: L= 3500 m, e= 4.8 mm.

En la extremidad de la tubería está instalada una válvula que se cierra completamente en 5

seg. Determinar: a) la celeridad de la onda de presión, b) periodo de la tubería, c)

indicar si se trata de un cierre lento o rápido, d) la sobrepresión por golpe de ariete.

Solución: a) 996.57 m/seg b) T= 7.02 seg c) Operación rápida d) h= 162.36 m

TABLA NO. IV. 5 Valores del módulo de elasticidad Et para algunos materiales.

MATERIAL Módulo de Elasticidad (Et ) kg/ m2

Bronce 1.05 x 1010

Zinc 3.70 x 109

Concreto simple 1.25 x 109

Aluminio 7.20 x 109

TABLA NO. IV.6 Valores Módulo de Elasticidad algunos líquidos

LIQUIDO Módulo de Elasticidad ( kg/ m2 )

Agua dulce 2.24 x 108

Agua salada 2.38 x 108

Gasolina 1.42 x 108

Page 195: Libro de Texto Hidraulica i

BLIBLIOGRAFIA

1. MECANICA DE LOS FLUIDOS E HIDRAULICA.

Ranald V. Giles Jack B. Evett Cheng Liu Tercera Edicion Ed. McGraw-Hill

2. HIDRAULICA GENERAL ( Volumen I )

Gilberto Sotelo Avila Ed. Limusa

3. ABASTECIIENTO DE AGUA POTABLE ( Volumen I )

Enrique César Valdez UNAM Facultad de Ingeniería, Dpto. de Ingeniería Sanitaria.

4. TEORIA DEL GOLPE DE ARIETE y sus aplicaciones en Ingeniería Hidráulica

Uriel Mancebo del Castillo Ed. LIMUSA Grupo Noriega Editores

5. AUTOCAD 2008 PASO A PASO

Rafael Abalos Bergillos Ed. Alfaomega

6. DINAMICA (Mecánica para Ingeniería )

Bedford Fowler Ed. ADDISON WESLEY IBEROAMERICANA

7. HIDRAULICA de TUBERIAS

Juan Saldarriaga Ed. Alfaomega