1D I N M I C ADE LA

P A R T C U L A

Ing. Juan Manuel Len EstradaEDICIN 2016.

2DINMICA DE LA PARTCULACONTENIDO:CAPTULO I INTRODUCCIN.I.1. Las fuerzas y el movimientoI.2. Definicin de conceptosI.3. Cuadro sinpticoI.4. Principios generalesI.5. FormularioI.6. Sistemas de UnidadesI.7. Mtodo AnalticoI.8. Mtodo Grfico.

CAPTULO II CINEMTICA DE LA PARTCULA.II.1. Movimiento Rectilneo UniformeII.2. Movimiento Uniformemente AceleradoII.3. Movimientos relativosII.4. Movimientos dependientesII.5. Tiro ParablicoII.6. Aceleraciones Normal y TangencialCAPTULO III CINTICA DE LA PARTCULA.III.1. Segunda Ley de NewtonCAPTULO IV OTROS MTODOS.IV.1. Mtodo de Trabajo y EnergaIV.2. Impulso y cantidad de movimientoIV.3. ChoquesSOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS.NDICE

3No puedes disfrutar un juego si no conocessus reglas. Ya sea que se trate de un juegode pelota, de uno para computadora osimplemente de un juego en una fiesta, si noconoces las reglas te aburrir. No entiendeslo que los dems disfrutan. As como unmsico escucha lo que los odos nocapacitados no consiguen percibir, y delmismo modo como un cocinero saborea enun platillo lo que otros no identifican, lapersona que conoce las reglas de laNaturaleza la aprecia mejor.Cuando sabes que los satlites siguen lasmismas reglas que una pelota de bisbollanzada por un jugador, ves de manera muydistinta a los astronautas en la rbita cuandoaparecen en la televisin. El conocimientode las reglas que rigen el comportamientode la luz cambia tu manera de ver el cieloazul, las nubes blancas y el arco iris.La riqueza de la vida no se halla slo en verel mundo con los ojos bien abiertos, sino ensaber qu debemos buscar.

4Paul G. HewittCAPTULO I INTRODUCCIN

El objetivo principal de esta obra es facilitar el aprendizaje de la materiaque lleva el ttulo de la misma.Los ndices de reprobacin en las materias de Mecnica (Esttica yDinmica) son los ms altos, no solamente en la Escuela Superior deIngeniera Mecnica y Elctrica (ESIME), sino en la mayora de lasinstituciones de enseanza superior en nuestro Pas. Una de las mltiplesrazones es que con mucha frecuencia, cuando algunos alumnos noscuestionan sobre los usos en la prctica del tema que estamos viendo, nosabemos qu responder y esto ocasiona poco inters en ellos.Desgraciadamente, en la actualidad, la prioridad de la inmensa mayoradel estudiantado no es aprender, sino acreditar la materia. Si a lo anteriorle agregamos que los conocimientos adquiridos en la secundaria ybachillerato son prcticamente nulos en lgebra y Trigonometra, es deesperarse que fracasen al estudiar Mecnica en cualquiera de sus partes; yno es que no la aprendan, lo que sucede es que cuando pretendenaplicar los conocimientos adquiridos, se dan cuenta que no puedendespejar alguna variable de las ecuaciones ya conocidas o, algo peor, esque no saben distinguir entre cantidades escalares y vectoriales, lo cual esprimordial en esta materia.La inmensa mayora de los libros de texto que usamos en nuestro Pastienen su origen en el extranjero y vienen de pases tecnolgicamente muydesarrollados como Estados Unidos de Norteamrica, Japn, Alemania ymuchos ms en los cuales el perfil de los ingenieros requeridos es muydiferente al perfil de los que se buscan en Hait, Costa Rica, Marruecos,Per o Mxico.En los pases del Primer Mundo, ya ni siquiera se imparte la carrera deIngeniera Mecnica pura, sino que ahora existe la Ingeniera Robtica,Ciberntica, de Manufactura, de Diseo, etc. En esos pases los nuevosingenieros se dedican al diseo y fabricacin de nuevos sistemas decomunicacin y transporte como nuevos aviones, naves espaciales, trenesbala o, al menos, sistemas de transporte colectivo o metrobuses; si acaso,las compaas diseadoras y fabricantes de estos sistemas decomunicacin, nos capacitan para dar mantenimiento a los mismos ya nodigamos de reactores nucleares, plantas termoelctricas generadoras deenerga elctrica, plantas petroqumicas y para la refinacin del petrleo.

5Anteriormente, en nuestro Mxico, cuyos recursos petrolerosaparentemente eran inagotables, se diseaban y construan plantasrefinadoras, de destilacin, petroqumicas y de almacenamiento. Estasplantas, si bien eran diseadas con tecnologa importada, fueronmontadas, calculadas y ejecutadas por firmas de ingeniera nacionales,como Bufete Industrial, Industrias del Hierro, Ingeniera y FabricacionesMecnicas, AINSA, Conjunto Manufacturero, Consorcio Industrial, etc. Sinembargo, a principios de los aos setenta, alguien muy importante dentrodel gobierno de nuestro Pas, orden que se contratara a empresasExtranjeras para realizar este tipo de trabajos como el diseo, clculo ymontaje de las nuevas plantas petroqumicas en Mxico, pues los preciosde los equipos conseguidos en el continente asitico, en pases comoCorea, China y Tailandia, eran ms bajos que los nacionales. Con estamedida se asest un fuerte golpe a la economa nacional, ya que casitodas las empresas que durante muchsimos aos se dedicaron a estasactividades, poco a poco se fueron a la ruina. Obviamente, la experienciade los buenos ingenieros MEXICANOS dedicados a este tipo de industriasfue tirada a la basura, pues no pudieron transmitir sus conocimientos yexperiencias a las nuevas generaciones y, como consecuencia de loanterior, Mxico cuenta hoy con muy pocos ingenieros experimentados,ya que muchos de ellos estn jubilados o han fallecido, y los pocosingenieros activos que cuentan con estas caractersticas estn emigrandoa los pases petroleros.Por lo antes mencionado, este libro est estructurado de manera que losconocimientos elementales de lgebra y Trigonometra sean suficientespara resolver los problemas tpicos de la Mecnica; no se requierenconocimientos de ninguna otra disciplina matemtica.Recordemos que desde la primaria hasta la educacin profesional decualquier carrera, el coco de la gran mayora de los estudiantes sonprecisamente las Matemticas. En el caso particular de las carreras deIngeniera Mecnica e Ingeniera en Sistemas Automotrices, para elaprendizaje de la Mecnica necesaria, el conocimiento matemtico nova ms all del lgebra y Trigonometra. En mi caso y despus de 50 aosde experiencia profesional en industrias como la metalmecnica,azucarera, papelera, petroqumica, alimenticia, refresquera, minera o lafarmacutica, entre otras, dejara el manejo de clculo diferencial eintegral y superiores para uso de los ingenieros que pretendan dedicarse ala investigacin o a aquellos que quisieran ampliar su preparacinacadmica mediante maestras o doctorados. Por ello, he solicitado a lasautoridades de la ESIME Azcapotzalco que estas materias (desde el

6clculo diferencial hacia arriba, incluyendo la geometra analtica), seanprogramadas en los ltimos dos semestres como materias optativas.

Cuando somos nios y nos llevan a estudiar catecismo, nos ensean que elsexto mandamiento de la Ley de Dios es No Fornicars. Por supuesto quea esa edad muchos no sabemos lo que decimos y simplemente lorepetimos. A cierta edad, hay cosas que son entendibles, pero es muytriste que en la actualidad nuestros alumnos de tercer o cuarto semestre denivel profesional simplemente repitan sin saber el significado de algunostrminos como: radin, mecnica, aceleracin, tangente, coseno, fsica,trabajo, apotema, cintica etc. No me creen? Pregntenle sobre estasdefiniciones a cualquier alumno de cualquier grado. Se asombrarn con elresultado.Por todo lo anterior, he decidido iniciar este libro enunciando los trminosms comnmente usados en nuestra carrera para que, cuando losalumnos los mencionen, sepan de qu estn hablando. Posteriormente, alinicio de cada captulo, expondr de la manera ms precisa y concisaposible los principios en los que se basa la materia, a continuacin amanera de ejemplo, resolveremos algunos problemas.Por ltimo, presentar suficientes ejercicios con el fin de que el alumnopractique la aplicacin de los conocimientos adquiridos. La experiencianos indica que para dominar cualquier actividad es indispensable laprctica. Nuestras mximas figuras deportivas como Hugo SnchezMrquez, Fernando Valenzuela, Joaqun Capilla, Javier El ChicharitoHernndez, al igual que nuestro astronauta de ascendencia piedadense,Jos Hernndez Moreno, han sobresalido en sus respectivas actividadesgracias al empeo extraordinario que han puesto en la prctica de susprofesiones; consecuentemente, si nuestro objetivo es dominar estamateria, es indispensable practicar, practicar y seguir practicando en laresolucin de problemas relativos a la misma.Tambin enuncio al inicio de este libro un formulario que es indispensableMEMORIZAR para tener xito en el aprendizaje de la Mecnica en general.

7I.1. L A S F U E R Z A S Y E L M O V I M I E N T O.Las cosas se mueven; se mueve el agua de un ro, la piedra lanzada por laresortera del nio, el pjaro que cruza veloz ante nuestra vista; las casas ylos edificios, que aunque nos parecen fijos, se mueven junto con la tierraalrededor del Sol. Y tambin ste se mueve. Y las estrellas. Y las galaxias.Las cosas se mueven. Pero, cmo se mueven?El corredor se mueve en lnea recta, la trayectoria de la piedra que serlanzada por una honda describe una circunferencia, la lenteja de unpndulo en un continuo y montono vaivn oscilatorio. El caracol semueve lentamente, el avin con rapidez, la rueda de la noria de maneramontona y uniforme, siempre igual. La piedra cae vertical yaceleradamente al suelo, cada vez ms aprisa, con ms deseos de llegara la tierra; el proyectil lanzado por un can describe una trayectoriaparablica, y as con todo. Movimientos rectos, curvos, lentos, rpidos,combinados, uniformes y apresurados.Los cuerpos, al moverse, describen un camino, una trayectoria a lo largode la cual recorren una cierta distancia en un tiempo dado. Y as,podemos hablar de la velocidad de un cuerpo, la cual puede ser siemprela misma o variar progresivamente en el transcurso del tiempo, dando lugara una aceleracin, un cambio de la velocidad. Distancia recorrida,velocidad, aceleracin Conocer la trayectoria y posicin de unapartcula en cualquier instante es saber cmo se mueven los cuerpos; estoes saber Dinmica.Pero hay otra pregunta: Por qu se mueven los cuerpos? Porque losempujamos, los jalamos, los impulsamos de alguna manera. El puntapidel nio mueve la pelota; el empujn del obrero a la carretilla; el viento alas ramas de los rboles, la accin de la gravedad, etc.etcObservando el movimiento de los objetos que nos rodean, podemosencontrar siempre una causa del movimiento. Y a esta causa, a estaaccin, la llamamos fuerza. La fuerza del puntapi, del empujn, delviento, es la causa del movimiento, la accin de la gravedad, y la relacinde estos dos conceptos (fuerza y movimiento) es el tema de este estudio yes el objeto de la Cintica.Fue el fsico Ingls Isaac Newton quien encontr que, cualesquiera quefuesen las fuerzas y el movimiento, existan unas relaciones nicas entreambos conceptos y pudo as expresar el movimiento, todos losmovimientos en un grupo de leyes!: Las leyes de la Dinmica, que son las

8mismas para todos los cuerpos, para todas las fuerzas, para todos losmovimientos. Y se lleg as a la simplificacin, a la sntesis; es decir, alconocimiento.

I.2. DEFINICIN DE CONCEPTOS

Definiciones que todo estudiante de INGENERA MECNICA debe conocer:1. ACELERACIN: es el cambio de la velocidad a travs del

tiempo.2. APOTEMA: es la distancia del centro de un polgono regular al

centro de uno de sus lados.3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO: se le llama as al producto de la

masa por la velocidad.4. CANTIDAD ESCALAR: es aqulla que tiene nmero y especie.5. CANTIDAD VECTORIAL: tiene nmero, signo, especie, direccin y

sentido.6. CIENCIA: es un conjunto de conocimientos razonados y

sistematizados opuestos al conocimiento vulgar, los cuales soncomprobables y perfectibles.

7. CINEMTICA: es la parte de la Dinmica que estudia elmovimiento sin importar las causas que lo producen.

8. CINTICA: es la parte de la Dinmica que, adems de analizarel movimiento, analiza las causas que lo producen.

9. CRCULO: se le llama as a el rea contenida dentro de unacircunferencia.

10.COEFICIENTE DE RESTITUCIN: es la rapidez con la que vuelve asu forma original un cuerpo elstico que ha sido deformado.

11.CUERPO RGIDO: es aqul que, al analizarlo, influyen susdimensiones y su forma no cambia, es decir, no es deformable.

12.DESPLAZAMIENTO: es el cambio de posicin de un cuerporespecto al tiempo.

913.DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE: es la representacin grfica delas fuerzas que actan en un cuerpo.

14.DERIVADA: es el lmite de la relacin del incremento de lafuncin entre el incremento de la variable independientecuando sta tiende a cero y la podemos representar como:dy/dx = lm Delta y/Delta x cuando (Delta x tiende a cero).

15.DINMICA: es la parte de la Mecnica que estudia elmovimiento.

16.ENERGA: se dice que un cuerpo tiene energa cuando escapaz de producir trabajo.

17.ENERGA CINTICA: es la energa que tiene un cuerpo enfuncin de su velocidad. T = mu2 .

18.ENERGA POTENCIAL: es la energa que tiene un cuerpo enfuncin de su posicin. U = Wh U = kx2. .

19.ESTTICA: es la parte de la Mecnica que estudia los cuerposen reposo.

20.FUERZA: es la interaccin entre dos cuerpos.21.FUNCIN COSENO: se le llama coseno de un ngulo en un

tringulo rectngulo a la relacin que existe entre el catetoadyacente y la hipotenusa.

22.FUNCIN SENO: se le llama seno de un ngulo en un tringulorectngulo a la relacin que existe entre el cateto opuesto y lahipotenusa.

23.FUNCIN TANGENTE: se le llama tangente de un ngulo en untringulo rectngulo a la relacin que existe entre el catetoopuesto y el cateto adyacente.

24.H.P.: significa horse power y es una unidad de potencia en elsistema Ingls equivalente a 550 lb-pie/seg., = 746 Watts.

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25.IMPULSO: cuando se le aplica una fuerza a un cuerpo duranteun determinado tiempo, se dice que se le est dando unimpulso.

26. INGENIERA: es la utilizacin de la naturaleza en beneficio delhombre.

27.INGENIERO: un ingeniero es un profesional que utiliza susconocimientos cientficos, su habilidad creadora y suexperiencia, para desarrollar proyectos, en forma de mtodos yprocedimientos a fin de transformar los recursos naturales enartculos tiles, considerando su factibilidad econmica yambiental.

27.JOULE: es una unidad de trabajo equivalente a un Newton mtro.28.KILOGRAMO FUERZA: es la unidad de fuerza en el sistema mks.29.KILOGRAMO MASA: es la unidad de masa en el sistemainternacional.30.LEY DE NEWTON 1a.: si un cuerpo se encuentra en estado dereposo o movimiento rectilneo uniforme, permanecer en dichoestado mientras no haya una fuerza exterior no balanceada quelo obligue a salir de l.31.LEY DE NEWTON 2a: si a un cuerpo que se encuentre en estadode reposo o con movimiento rectilneo uniforme le aplicamos unafuerza exterior no balanceada, adquirir una aceleracinproporcional a dicha fuerza con la misma direccin y sentido. ( F= ma ).32.LEY DE NEWTON 3a: a toda accin corresponde una reaccin

de la misma magnitud y de sentido contrario.33.LIBRA: unidad de fuerza utilizada como patrn en el sistema

ingls.34.MASA: segn algunos autores es la resistencia que pone un

cuerpo al movimiento, pudindose definir tambin como lacantidad de materia que tiene un cuerpo.

35.MECNICA: es la parte de la fsica que estudia el movimiento ypredice los efectos ocasionados por las fuerzas.

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36.MOMENTO: es el producto de una fuerza por una distancia,debiendo ser stas perpendiculares entre s.

37.MOMENTO DE INERCIA: es la resistencia que pone un cuerpo agirar.

38.NEWTON: unidad de fuerza en el sistema internacional.39.PARTCULA: si las dimensiones que tiene un cuerpo son

despreciables, lo consideraremos como partcula.40.PASCAL: unidad de presin en el sistema internacional que

equivale a un N/m2.41.PI: es el nmero de veces que cabe el dimetro en el

permetro.42.POTENCIA: es la rapidez con la que se lleva a cabo un trabajo.43.RADIN: es un ngulo, cuya longitud de arco es igual al radio.44.RADIO DE GIRO: es el lugar geomtrico donde se considera que

est concentrada la masa de un cuerpo.45.RAPIDEZ: cantidad Escalar que indica la magnitud de la

velocidad.46.SLUG: la unidad de masa en el sistema ingls.47.TIEMPO: lo que separa dos eventos.48.TRABAJO: cuando por medio de una fuerza se desplaza un

cuerpo, se realiza un trabajo, tanto la fuerza como la distanciadeben se paralelas entre s.

49.VELOCIDAD: cambio de posicin con respecto al tiempo.Cantidad Vectorial que adems de magnitud, especie y signo,tiene direccin y sentido.

50.WATT: unidad de potencia equivalente a un N-m/s.

Si consideras importante incluir otras definiciones, sugirelas al correoelectrnico: jmleon@inglesa.com.mx

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Con el fin de tener una referencia ms clara de lo que es la Dinmica de laPartcula, a continuacin presentamos un cuadro sinptico donde laubicamos:

I.3. CUADRO SINPTICO.

La definicin de los conceptos enunciados en el cuadro sinptico anteriorestn contenidas en el tema de Definiciones.

Ciencias NaturalesElectricidad

Magnetismo Esttica de la PartculaCinemtica

Fsica Mecnica del Cuerpo Rgido

Sonido Dinmica

Ciencias Ciencias Exactas ptica de la PartculaCintica

_

Matemticas del cuerpo Rgido

Ciencias Sociales

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As como el estudio de la Esttica se remonta a la poca de los filsofosgriegos, los primeros antecedentes relacionados con la Dinmica fueronemitidos por Galileo Galilei (1564-1642). Los experimentos realizados por SirIsaac Newton (1642-1727) relacionados con el movimiento uniformementeacelerado fueron la base para formular y fundamentar las leyes delmovimiento.Como podemos observar en el cuadro sinptico, la Dinmica se divide enCinemtica y Cintica. La primera estudia el movimiento puro, sin importar lascausas que lo producen, y la Cintica, adems de estudiar el movimiento,tambin analiza las causas que lo producen. Cuando analizamos la relacinque existe entre las fuerzas que actan en un cuerpo y la masa del mismo,estamos usando la Cintica para predecir el movimiento ocasionado por lasfuerzas aplicadas o podemos predecir cules fuerzas nos producen unmovimiento determinado.Cuando en nuestro curso hablamos de una partcula, no nos estamosrefiriendo a un cuerpo minsculo, pequeo, sino que hacemos referencia a uncuerpo cuyas dimensiones son despreciables. Si estudiamos el movimiento detraslacin de nuestro planeta Tierra, lo estamos tratando como una partcula;pero si del mismo planeta analizamos su movimiento de rotacin, que generala aparicin del da y la noche, estamos ahora tratando no con una partcula,sino con un cuerpo rgido. Recuerda, LAS PARTCULAS NO TIENEN MOVIMIENTODE ROTACIN, SOLAMENTE TRASLACIN.

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I.4. P R I N C I P I O S G E N E R A L E S.Como ya se mencion en el curso de Esttica, la Mecnica se basa en seisprincipios fundamentales a saber:

1. Ley del Paralelogramo2. Principio de Transmisibilidad3. Primera ley de Newton4. Segunda ley de Newton5. Tercera ley de Newton6. Ley de Gravitacin Universal

1. La Ley del Paralelogramo indica que cuando dos fuerzas actan sobreuna partcula, stas pueden ser sustituidas por su resultante, ocasionando elmismo efecto.2. El Principio de Transmisibilidad nos indica que una fuerza puede deslizarsesobre su lnea de accin produciendo el mismo efecto. Ojo! Este principioslo es aplicable en Mecnica, ya que en Resistencia de Materiales cambianlos efectos producidos.3. Las tres leyes de Newton estn contenidas en las definiciones anteriores.6. La Ley de Gravitacin Universal, enunciada tambin por Sir. Isaac Newton,establece que la fuerza de atraccin entre dos partculas m y M, es igual alproducto de sus masas entre la distancia que los separa al cuadrado,multiplicando este cociente por la Constante de Gravitacin Universalrepresentada por la letra G.

F = (Mm/r2)G.Es tan importante este concepto que de l se obtiene el valor de g que es lamagnitud de la aceleracin que produce el planeta Tierra en los cuerpos quese encuentran sobre su superficie. Un cuerpo, al ser atrado por la Tierra,genera una fuerza igual a su peso, el cual podemos cuantificar con laecuacin W = mg, y de la misma manera podemos cuantificar la masa de uncuerpo, dividiendo su peso, entre el valor de la gravedad.Finalmente, si en la ecuacin anterior tomamos como M igual a la masa de latierra, damos a m un valor unitario y dado que el radio de la Tierra no esconstante, lo representaremos por la letra R,

g = GM/R2

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Para fines prcticos, tomaremos los valores de la aceleracin debida a lagravedad como 9.81 m/s2 en el sistema internacional, y 32.2 pies/seg2 en elsistema Ingls.

A continuacin, deduciremos de una manera sencilla el origen de las cuatroecuaciones principales utilizadas en la solucin de problemas de cinemtica:

Ecuaciones de cinemtica.

Los dos tipos de movimiento mas comnmente usados en la cinemtica, son: avelocidad constante y con aceleracin constante. Por definicin, la velocidades el cociente del cambio de posicin en funcin del tiempo, que puedeconsiderarse como la velocidad promedio. Un caso similar es para el cambiode velocidad respecto al tiempo, mejor conocido como aceleracin promedio,como se observa en la tabla 1.

Sin embargo, cuando se trata de velocidades y aceleraciones instantneas elincremento de tiempo considerado es muy pequeo y se aproxima a cero sinllegar a l. A este fenmeno que considera incrementos de tiempo muypequeos o instantes se le conoce como derivada y matemticamente seexpresa como el lmite cuando el tiempo tiende a cero, del cociente entre elcambio de posicin y el incremento del tiempo.

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Tabla 1 Interpretacin matemtica de la velocidad y aceleracin promedio einstantnea.

La velocidad instantnea es la primera derivada del desplazamiento respecto al tiempo. Laaceleracin es la derivada de la velocidad tambin respecto al tiempo, sta ltima se puedeexpresar tambin como la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo o comoel producto de la velocidad por el cambio de sta respecto al tiempo.

Al resolver las ecuaciones diferenciales mostradas en la tabla 1 para velocidades yaceleraciones instantneas se obtienen ecuaciones algebraicas que son de uso ms prcticoa nivel de ingeniera y son tiles para una amplia gama de problemas en Ingenieramecnica. (ver tabla 3).

La caracterstica del movimiento uniforme, es que la velocidad es constante, y por tanto laaceleracin es cero. Para el caso del movimiento uniformemente acelerado, es decir, conaceleracin constante, se consideran tres casos: El primero, relaciona el cambio develocidad, la aceleracin y el tiempo. El segundo, es una relacin entre el cambio de

Anlisis Promedio Instantnea

Velocidad

Aceleracin

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posicin, la velocidad inicial, la aceleracin y el tiempo. Por ltimo, el cambio develocidad, el cambio de posicin y del tiempo.

Tabla 2 Variables anlogas de translacin y rotacin.Translacin Rotacin

En funcin de los datos conocidos del problema se pueden utilizar las siguientes ecuacionesde movimiento, las cuales son vlidas para translacin y rotacin.

Tabla 3: Deduccin algebraica de las ecuaciones del MRU, MRUA en traslacin y rotacin.Movimiento Uniforme UniformementeAcelerado

UniformementeAcelerado

UniformementeAcelerado

Ecuacincaracterstica.

Separandovariables.

Integracin.

Ecuacinalgebraica

ParaTranslacin.

Ecuacinalgebraica

para rotacin.

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Las ecuaciones se resumen en la tabla 3, donde se muestra la deduccin de las ecuacionesalgebraicas del movimiento uniforme y uniformemente acelerado, para translacin yrotacin.Por ahora, haremos un resumen de las ecuaciones ms utilizadas en estecurso, donde incluimos tambin algunas frmulas e identidadestrigonomtricas que, espero, sern suficientes para resolver CUALQUIERPROBLEMA DE DINMICA en este nivel de Licenciatura.

1.5.- FORMULARIO

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1. s = s0 +ut2. u = u0 + at3. s = s0 +u0 t + at24. u2 = u02 + 2as

FRMULA GENERAL PARA RESOLVERECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

- b b2 4 acX =

2 a

LEY DE SENOSA B C

= =Sen Sen Sen

LEY DE COSENOS

c2 = a2 + b2 2ab cos

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS

2(sen cos ) = sen (2)1

= 1 + tg2 Cos2

Cos ( + ) =cos cos sen sen

VELOCIDADES RELATIVAS

s A/B = sA-sBuA/B =uA-uBa A/B =aA-a B

T1 + U1-2 = T2 = Principio de conservacin de la Energa.T = Energa Cintica = mu2

V = Energa Potencial = kx2 = WhFt = Impulso

mu = Cantidad de movimientoU = Trabajo = Wh = Fs

CONVERSIONES1 milla = 5280 pies = 1760 yardas.

1 ton = 2,200 lb1 HP = 0.7457 KW

1 HP = 550 Lb-pie/seg = 33,000 Lb-pie/min, = 746 Watts.1 WATT = 1 JOULE/seg = 1 Nm/seg1 onza = 1/16 de libra= 0.0625 libras.

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I.6. S I S T E M A s D E U N I D A D E S

Cada vez que hablamos de algo medible, debemos de mencionar susunidades. Si hablamos de tiempo, debemos mencionar si son milenios, siglos,lustros, aos, meses das horas minutos o segundos; si hablamos de volmenes,debemos precisar si son litros, metros cbicos, galones, barriles, etc.Tratndose de dinero, se debe especificar si son pesos, dlares, euros,quetzales o cualquier otro tipo de moneda. Cuando hablamos de Mecnica,las unidades a cuantificar son distancia, tiempo, masa, fuerza y sus derivados.Existen tres sistemas bsicos para cualquier tipo de medicin:

1. Sistema Internacional2. Sistema Ingls3. Sistema mks (para nuestro Pas, Espaa, y la mayora de los pases

latinoamericanos)La inmensa mayora de los pueblos latinoamericanos fuimos conquistados porlos espaoles y, consecuentemente, nos impusieron el Sistema mks. Sinembargo, los Estados Unidos de Norteamrica fueron conquistados poralgunos pases sajones, quienes impusieron como unidad de medicin elSistema Ingls; pero al efectuar transacciones internacionales, haba muchaconfusin para buscar, por ejemplo, el equivalente a una unidad de longitudde 8 millas, 7 yardas, 5 pies, 11 pulgadas y 7/16 de pulgada a metros.Deberamos ser especialistas en unidades de medicin para remediar esteproblema. A mediados del siglo pasado, despus de algunas convencionesinternacionales, todos los pases adoptaron el Sistema Internacional demedidas y se acord que sera de uso mundial. Pero, a pesar del acuerdo, esprcticamente imposible para nosotros acudir a la tortillera y pedir nossuministren diez Newtons de tortillas y 4 Newtons de masa; pensar eldependiente que no estamos cuerdos.A pesar que hace ms de 50 aos que se aprob y acord utilizar el SistemaInternacional, a la fecha (2015), en nuestro Pas, todava no se vendenbsculas que midan el peso en Newtons y hay muy pocos manmetros quecuantifican la presin en Pascales.

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U N I D A D E S D E M E D I D A M S C O M U N M E N T E U S A D A S

SISTEMA INTERNACIONAL Mks INGLSMASA Kilogramo Unidad Tcnica de

Masa (UTM)Slug

LONGITUD Metro Metro Pulgada, pie, yarda,milla

TIEMPO Segundo Segundo SegundoFUERZA Newton Kilogramo Libra

Existen dos mtodos para la solucin de los problemas de dinmica: el grficoy el analtico.La inmensa mayora de los problemas de Dinmica se pueden resolver por elmtodo analtico; sin embargo, existe tambin el mtodo grfico.

I.7. MTODO ANALTICOPara resolver los problemas por el mtodo analtico, el fsico italiano GalileoGalilei (1564-1642) enunci este mtodo que consiste bsicamente en lossiguientes pasos:

1. Comprensin del problema.2. Anlisis del mismo, es decir, crear una hiptesis acerca de la respuesta.3. Predecir las consecuencias del anlisis.

La inmensa mayora de los problemas de Mecnica en general y de Dinmicade la partcula en particular, los resolveremos aplicando estos tres pasos:Primeramente debemos comprender el problema, analizando con tododetenimiento su contenido e imaginando cules son los datos y cules lasincgnitas a resolver.Una vez que hayamos analizado el problema, recordaremos las ecuacionesaplicables al tema y de ellas elegiremos la que contenga varios de los datoscon los que contamos y solamente una incgnita; la despejaremos y haremoslos clculos necesarios para llegar al resultado que estemos buscando.Finalmente, si tenemos alguna duda al respecto, podemos utilizar lasecuaciones dimensionales con el fin de corroborar que el resultado escorrecto.

I.8. MTODOS GRFICOS

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Al igual que en la trigonometra, no se recomienda resolver problemas por estemtodo; sin embargo s es de utilidad saber qu tipo de grfica me generaalgn movimiento.PARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME TENEMOS LAS SIGUIENTESGRFICAS:

V S

Grfica Velocidad-Tiempo Grfica Desplazamiento-TiempoPARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO, USAREMOSLAS SIGUIENTES GRFICAS:

u = at S = u0t + (at2)

Grfica Velocidad-Tiempo Grfica Desplazamiento-Tiempo

Velocidad constante

V

t0

Pendienteconstante

t0

t0

SV

t0

Pendienteconstante

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Este libro est diseado de tal manera que al principio de cada captulo otema se da la teora relacionada con el mismo. Posteriormente, se enunciandiez problemas relacionados con l y al final del libro se encuentra unsolucionario, donde, a manera de ejemplo, se resuelven paso a paso,absolutamente todos los problemas enunciados. Si el estudiante consideraque son pocos los ejemplos, puede recurrir a cualquier libro de dinmica de lapartcula y en ellos encontrar gran variedad de problemas; pero todos,absolutamente todos los problemas de temas tratados en este libro, se podrnresolver con los conocimientos adquiridos aqu.Cualquier comentario al respecto ser bienvenido en el correo electrnico:

jmleon@inglesa.com.mx

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C A P T U L O II. C I N E M T I C A D E L A P A R T C U L AII.1. MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME

Este tipo de movimiento se caracteriza por tener desplazamientos iguales entiempos iguales, es decir, la velocidad permanece constante, ni decrece ni seincrementa.Como se menciona en las definiciones, la Cinemtica estudia el movimientopuro sin importar las causas que lo producen. Para resolver los problemasrelacionados con el movimiento rectilneo uniforme, existe una, y solamenteuna ecuacin que dice: S = S0 +ut. sta es la ecuacin marcada con elnmero uno del formulario que se muestra en la pgina 17.

De esta ecuacin, despejando, se puede obtener: u = S/t y t = S/uDebemos recordar que tanto las velocidades como las aceleraciones soncantidades vectoriales, y como tales las debemos tratar al sumarlas y restarlas.Algunas veces se confunde el significado de rapidez y velocidad y,equivocadamente, creemos que son sinnimos. Si un automvil se desplazaen una pista circular y su velocmetro marca siempre el mismo valor, tendruna rapidez constante porque su valor nunca cambia, su velocidad tendr lamisma magnitud, pero su direccin cambia a cada instante, por lo tanto no esconstante. Por lo anterior podemos deducir que la rapidez es una cantidadescalar y representa el valor numrico de la velocidad, la cual s es unacantidad vectorial.Velocidad media: Esta velocidad se obtiene efectuando la relacin de lasuma de los desplazamientos parciales entre la suma de los tiempos parcialesde acuerdo con la ecuacin.Velocidad media = suma de desplazamientos parciales / suma de tiempos.Velocidad promedio: Se calcula sumando las velocidades parciales entre elnmero de sumandos.

Velocidad promedio = (u1+u2+u3+..un)/n.

PROBLEMAS PROPUESTOS:

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R = 40m

100 m

II.1.1. Un automvil pretende efectuar un viaje de la Ciudad de Mxico alpuerto de Acapulco. Considerando que entre el origen y el destino hay unadistancia de 400 Kilmetros y que de ida viajar con una velocidad constantede 120 Km/h y de regreso sostendr una velocidad tambin constante de 80Km/h, determinar la velocidad MEDIA del viaje y la velocidad PROMEDIO yestablzcase por qu la diferencia. R: Vm = 96 Km/h, Vp =100 km/h.II.1.2. Sabiendo que de la ciudad de Mrida en el estado de Yucatn a laciudad de Tijuana en Baja California hay aproximadamente 4180 kilmetros,calcular en horas, minutos y segundos el tiempo necesario para efectuar esteviaje a una velocidad promedio de 90 Km/h. R: tT =46 hs, 26, 40.II.1.3. Suponiendo que un corredor de ftbol americano corre en diagonalentre 2 vrtices opuestos una cancha profesional que mide 100 yardas delargo por 60 de ancho en 50 segundos a velocidad constante, calcule el valorde esta velocidad en pies por segundo, millas por hora y yardas por segundo.R: V = 4.7707 M/h = 2.3324 Yd/seg. = 7 Pies/seg.II.1.4. Un corredor de pista da 10 vueltas en la pista mostrada en la figura II.1.4,sabiendo que su velocidad es constante y su magnitud es de 3 m/seg;calcular el tiempo requerido para dar las 10 vueltas en horas, minutos ysegundos. R: tT = 0 hs, 25, 4.44 seg..

PROBLEMA No. II.1.4II.1.5. Un automovilista viaja a una velocidad constante de 50 millas por horacuando observa que el siguiente semforo localizado a 1200 pies cambia acolor rojo, si l sabe que la luz de la seal de trfico permanecer con esecolor durante 15 segundos y no aplica los frenos ni acelera, determinar si sehar acreedor a una infraccin. R:16.3636s>15s. s se hace acreedor a sancin.II.1.6. Un corredor compite en un circuito circular de radio igual a 30 metros auna velocidad constante de 4 m/s. Calcule la distancia recorrida durante una

26

Cx

500 m

Av = 80 Km/h v = 120 Km/hBA B

Cx

BABv = 30 Yd/hv = 20 Yd/hA

5 millas

hora en: a) metros, b) radianes, c) vueltas. R: S =14, 400 m. = 480 Radianes, =76.3944 vueltas.II.1.7. Dos automviles circulan sobre carriles adyacentes de una mismacarretera pero en sentidos contrarios. El automvil A viaja hacia el norte conuna velocidad de 80 Km/h y el automvil B se desplaza hacia el sur con unavelocidad de 120 Km/h, ambos con velocidades constantes. Sabiendo quepara t=0 la distancia entre los dos automviles es de 500 metros, calcularcundo y dnde se cruzarn los automviles. R: t = 9 segundos, S = 200 metros.

Problema II.1.7II.1.8.- Dos automviles A y B circulan por carriles adyacentes de una mismacarretera pero en sentidos contrarios. Sus velocidades respectivas sonconstantes de 20 y 30 yardas por hora. Si la distancia entre ellos en t=0 es de 5millas, calcular cundo y dnde se cruzarn los automviles. R: t = 176 horas, S= 10,560.

Problema II.1.8II.1.9.- Un automvil circula con velocidad constante de 25 kilmetros porhora, calcular con aproximacin de centmetros el desplazamiento quetendr en 35 minutos. R: S =14 kilometros, 583 metros, 33 centmetros.II.1.10.- Un automvil circula con velocidad constante de 25 millas/hora.Calcular en millas, yardas, pies y pulgadas la distancia recorrida en 35 minutos.R: 14 Millas, 1,026 yardas, 2, 13/16.

II.2. MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

27

Este tipo de movimiento se caracteriza porque su velocidad no es constante:o se incrementa (aceleracin positiva) o decrece (aceleracin negativa).Para resolver este tipo de movimiento, existen tres ecuaciones:

S = S0 +u0t + at2. u =u0 + at. u2= u02+ 2as.Como podemos observar, las tres ecuaciones son funcin de la aceleracin,es decir, dependen del valor de la aceleracin y sta deber ser CONSTANTE.Los problemas que tengan ACELERACIONES VARIABLES, solamente podrnresolverse haciendo uso del clculo diferencial o integral, segn sea el caso.Como ya lo justificamos anteriormente, este tipo de problemas no serntratados en este curso.Dependiendo de los datos con los que contemos, utilizaremos una de las tresecuaciones anteriores.II.2.1. Deseamos conocer la altura de un edificio localizado en cualquier playa(al nivel del mar) donde el valor de la aceleracin de la gravedad es de 9.81m/seg2. Para ello, dejamos caer una piedra sin velocidad inicial y observamosque la piedra toca el suelo 6.385 segundos despus de haberla liberado.Cul es la altura del edificio? R: S = 200 m.II.2.2. Un automvil parte del reposo y acelera con un valor constante de 5m/seg2 hasta alcanzar una velocidad de 120 Km/h, la cual permanecetambin constante. Determine la distancia recorrida por el automvil durantelos primeros 15 segundos de movimiento. R: S = 388.8589 m.

II.-2.3. Un automvil se desplaza 200 metros en un tiempo de 25 segundos. Si sesabe que durante el desplazamiento acelera con una magnitud de 0.5m/seg2,determine: a) Su velocidad inicial, b) Su velocidad final y c) La distanciarecorrida durante los primeros 10 segundos. R: u0 = 1.75 m. = 14.25 m/s, S = 42.5m.II.2.4. Un automvil viaja con una velocidad constante de 50 Km/h cuando suconductor decide aplicar una aceleracin constante de 4 m/seg2. Determineel tiempo que necesita para recorrer los siguientes 200 metros y la velocidadque tendr en ese instante. R: t = 7.1135 seg., u0 = 42.3427 m/s, = 152.4 Km/h.II.2.5. Se lanza un cohete desde el piso en direccin vertical. Sabiendo quedurante los primeros 5 segundos de movimiento uniformemente acelerado elproyectil alcanza una altura de 200 metros, calcular: a) La aceleracin con laque fue lanzado, b) La altura mxima alcanzada por el cohete y c) El tiempototal que permaneci en el aire. R: a = 16m/s2, h max =562.6m., tT =23.51 = seg.

28

o(v ) = 36 M/h= 24 M/ho

75 pies

A(v ) BA B

II.2.6. La plataforma de un elevador abierto est descendiendo con velocidadconstante u cuando la plataforma del elevador golpea una piedra y sta sedesprende. Suponiendo que la piedra cae sin velocidad inicial, demuestreque la piedra golpear a la plataforma con una velocidad relativa ue.Si ue=15 pies por segundo, determine cundo y dnde golpear la piedra a laplataforma. R: t = 0.9317 s., Sp = 13.975.II.2.7. Los automviles A y B viajan en carriles adyacentes. Para t=0, tienenrespectivamente velocidades de 24 y 36 millas por hora. Si el automvil Atiene una aceleracin constante de 1.8 pies/seg2 y B tiene unadesaceleracin constante de 1.2 pies/seg2, determine cundo y dnde Aalcanzar a B y las correspondientes velocidades en ese instante. R: t = 15 S.,SB = 657. uA = 62.2 p/s, uB = 34.8 p/s.

Problema II.2.7

II.2.8. Dos automviles, A y B, viajan en la misma direccin en carrilesadyacentes y estn detenidos en un semforo en rojo. Cuando ste cambiaa verde, el automvil A acelera con un valor constante de 3 pies/seg2 dossegundos despus el automvil B arranca con una aceleracin de 4 pies/seg2.Determinar a) cundo y dnde B alcanzar a A, b) la velocidad de cadaautomvil en ese instante. R: tB = 12.93 s., uA =44.8 uB = 51.7p/sII.2.9. Desde un elevador que sube con una velocidad de 5 m/s se deja caeruna piedra que llega al suelo en 3 segundos. a) A qu altura estaba elelevador cuando se dej caer la piedra? b) Con qu velocidad choc lapiedra contra el suelo? R: V = 24.43 m/s.=II.2.10. Una llave de agua deja caer gotas a intervalos iguales de tiempo.Cuando una determinada gota B empieza a caer libremente, la gotaprecedente A ha descendido ya 0.3 metros. Determinar el espacio que habrdescendido la gota A durante el tiempo en que la distancia entre A y B hayaaumentado a 0.9 metros. R: SA = 1.2 m.

29

B AB/AS = S - SSA

BS

BA

II.3.- MOVIMIENTOS RELATIVOS:Les llamamos as a los movimientos de un cuerpo o partcula vistos desde otro.

En la siguiente grfica se muestra la relacin que existe entre losdesplazamientos de un cuerpo o partcula respecto a otro, los cuales sonaplicables tambin a las velocidades y aceleraciones.

Movimientos relativosDe la misma manera podemos enunciar las siguientes ecuaciones:

SB/A= SB-SA; uB/A =uB-uA; aB/A =aB-aA.Las cuales se leen: El desplazamiento del punto B con respecto al punto A(visto desde el punto A) es igual al desplazamiento del punto B menos eldesplazamiento del punto A. No olvidemos que estamos tratando concantidades vectoriales; consecuentemente, las sumas y restas deben servectoriales.Utilizando estas ecuaciones con sus variables podemos resolver cualquier tipode problemas relacionados con movimientos relativos.

30

TOMAR CON LA MANO UNA BALA DISPARADA

Con el fin de facilitar la comprensin de este tema, a manera de ancdota,transcribir un prrafo del libro Fsica Recreativa de Yakov Perelman,editado en 1980.Durante la Primera Guerra Mundial, segn informacin de prensa, a unaviador francs le ocurri un caso extraordinario. Cuando iba volando a doskilmetros de altura, este aviador se dio cuenta de que junto a su cara semova una cosa pequea. Pens que sera algn insecto y, haciendo un gilmovimiento con la mano, lo cogi. Cul sera su sorpresa cuandocomprendi que lo que acababa de cazar era una bala de fusil Alemana!No obstante, esta noticia sobre el piloto que cogi la bala no tiene nada deimposible.Las balas no se mueven durante todo el tiempo con la velocidad inicial de800-900 metros por segundo, sino que, debido a la resistencia del aire, vancada vez ms despacio y, al final de su trayectoria, pero antes de empezar acaer, recorren solamente 40 metros por segundo. sta era la velocidadfactible para los aeroplanos de entonces. Por consiguiente, la bala y elaeroplano podan volar a la misma velocidad en un momento dado y en esascondiciones, la bala resultara inmvil o casi inmvil con relacin al piloto. Esdecir, ste podra cogerla fcilmente con la mano, sobre todo con un guante(porque las balas se calientan mucho al rozar con el aire).Recordemos que para sumar dos o ms vectores, grficamente debemosdibujar el primer sumando; en el extremo de l, debemos colocar el segundosumando; en el extremo del segundo, colocaremos el principio del tercero yas sucesivamente. Aunque es recomendable sumar los vectores siempre dedos en dos, tambin podemos sumar tres o cuatro vectores de manerasimultnea o efectuando sumatorias de fuerzas sobre cada uno de los ejes y,finalmente, obteniendo la resultante.

31

BA

380 pies

B(v )00(v )A

II.3.1. El automvil A, viaja por una autopista con una velocidad constante de60 M/h y se encuentra a 380 pies de la entrada de una rampa de acceso,cuando el automvil B entra a la misma carretera con una velocidad de 15M/h y acelera de manera uniforme para incorporarse al carril de bajavelocidad despus de recorrer 200 pies en 5 segundos y contina acelerandocon la misma magnitud hasta alcanzar una velocidad de 60 M/h, la cualmantiene constante. Determine la distancia final entre los dos automviles.R: S B/A = 77.5

Problema II.3.1II.3.2. Se observa que desde una estalactita se desprenden gotas de agua demanera intermitente y espaciada a tiempos iguales. Cuando la gota Bempieza a caer, la gota A que le antecedi ha recorrido un pie. Determine ladistancia que ha recorrido la gota A cuando la distancia entre A y B se hayaincrementado a 3 pies. R: SA = 4.II.3.3. Desde un punto alejado seobserva una locomotora de vapor,en reposo y se ve que el humo quesale de su chimenea forma unngulo de 30 grados con lahorizontal. Sabiendo que lavelocidad del humo es de 3 m/shacia arriba y suponiendo que elviento tiene una velocidadhorizontal constante, determine lavelocidad del mismo en eseinstante.: R Vv = 5.2 m/s.

Problema II.3.3II.3.4. Mientras un estudiante viaja en un tren aerodinmico con una velocidadde 300 Km/h, observa que las gotas de la lluvia caen con una inclinacin de10 grados respecto a la horizontal. Calcular la magnitud de la velocidad delagua, suponiendo que sta es vertical y constante. R: VLL= 14.6939m/s.

32

400 m

350 m45

v = 40 m/sT

E

Av = 45

m/sA

40 pies50 pies16 pies 40 pies

A B

II.3.5. Un automvil y un camin de carga viajan por una misma carretera ycon la misma velocidad constante de 35 M/h. Inicialmente, el automvil seencuentra localizado 40 pies detrs del camin, pero el conductor delautomvil desea rebasar al camin y ubicarse a 40 pies del mismo delante del y continuar su camino con la misma velocidad de 35 M/h. Sabiendo que laslongitudes de los vehculos son respectivamente 16 y 50 pies para el automvily el camin y que las mximas aceleracin y deceleracin del automvil sonrespectivamente 5 y 20 pies/seg2, determinar el mnimo tiempo requeridopara efectuar la maniobra si nunca debe exceder la velocidad de 50 M/h.R: TT = 9.3864 s.

Problema II.3.5II.3.6. Un tren de 350 metros de longitud viaja con una velocidad constante de40 m/seg. y cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si un automvilA, que se desplaza con una velocidad de 45 m/seg. se encuentra a 400metros del cruce en el instante en el que el frente del tren alcanza el cruce,determine: a) la velocidad relativa del tren con respecto al automvil, b) ladistancia entre el automvil y el extremo del ltimo vagn del tren en esteinstante. R: EA = 290.7m.

Problema II.3.6

33

vBAv BA

120

0.6 m0.4 m

A

B

30v = 45 M/hA

Bv = 60 M

/h

II.3.7.- Dos bolas de billar A y B se estn moviendo con velocidades constantesuA = 0.5 m/seg y uB = 1.5 m/seg. Determine la velocidad relativa de A conrespecto a B en el instante indicado y la distancia entre las dos bolas cuandot=1.25 seg. R: VA/B = 1.8028 m/s., SAB = 1.4 m.

Problema II.3.7II.3.8. Se observa desde un barco en movimiento que tiene una velocidad de8 M/h hacia el este, que el viento, aparentemente sopla del sureste a 12 M/h;Determine la magnitud y direccin real de la velocidad del viento. R: V =20.7295 p/s.II.3.9. El camin A y el automvil B viajan con las velocidades constantesmostradas. 5 segundos despus que el automvil cruza el puente, el caminpasa por debajo del mismo. Determine a) la velocidad del automvilrespecto al camin, b) el cambio de posicin del automvil respecto alcamin despus de 10 segundos, c) la distancia entre el automvil y elcamin 10 segundos despus que ste ha cruzado el puente. R: SA/C= 616.7

Problema II.3.9

II.3.10. Cuando va a pasar junto a un poste localizado a 20 pies de la carretera, unhombre que viaja en la plataforma de un camin, que se desplaza en lnea recta conuna velocidad de 30 M/h, trata de golpear al poste lanzndole una pequea roca, a laque le aplica una velocidad horizontal y perpendicular de 75 pies por segundorespecto al camin; Determine: la velocidad real de la piedra respecto al poste. R: VP/P= 78.16 p/s.

34

A B

S A S B

II.4. M O V I M I E N T O S D E P E N D I E N T E SSe les llaman movimientos dependientes cuando el movimiento de un cuerpoDEPENDE del movimiento de otro u otros cuerpos.Para cada uno de los casos que se nos presenten existe una y slo unaecuacin particular para ese problema especfico y no puede ser usada paracualquier problema.Dado que la longitud de las cuerdas usadas en este tipo de problemas soninextensibles, su longitud no cambia, y consecuentemente la suma vectorialde sus desplazamientos, velocidades y aceleraciones son constantes deacuerdo a las siguientes ecuaciones:SA + SB = constante consecuentemente uA +uB = 0 y aA +aB = 0

FIGURA No. 1

Analizando la figura No. 1, tenemos que la suma de las longitudes de loscables SA y SB es constante, por lo tanto podemos escribir:

SA + SB = constante, obteniendo la primera derivada tenemos que: uA +uB = 0

Consecuentemente: uA =-uBY obteniendo la segunda derivada:aA +aB = 0Y finalmente:aA = -aBPor lo anterior, las frmulas subrayadas son LAS ECUACIONES DE ESTE SISTEMA.

35

C

B

A

S ABS

CS

B

A

S A

BS

FIGURA No. 2

En la figura anterior podemos deducir que: 2SA + SB = constante

Obteniendo la primera derivada tenemos que: 2uA + uB = 0; 2uA = -uB

Y de la segunda derivada obtenemos: 2aA +aB =0; 2aA = -aBLas cuales son LAS ECUACIONES DE ESTE SISTEMA.

FIGURA No. 3

36

A

S A

B

C

CSS B

En la figura No. 3, la longitud del cable es: SA + 2SB + SC = constante

Por lo tanto, las ecuaciones del sistema son: uA + 2uB +uC= 0Y aA + 2aB +aC = 0Dado que la suma de tres cantidades positivas nunca nos dar cero, al menosuno de los tres trminos deber ser negativo.RESUMIENDO: Para obtener la ecuacin de cualquier sistema:

1. Observamos de cuntos cables depende el movimiento de un cuerpo.2. Colocamos como factor el nmero de cables.3. Si al desplazarse un cuerpo cede cable, le asignamos el signo positivo;

en caso de absorber cable, le asignaremos signo negativo y si notuviese movimiento lo ignoramos y lo tratamos como polea.

A continuacin y a manera de ejemplo, deduciremos la ecuacin que rige elsiguiente sistema:

FIGURA No 4Sabiendo que los cuerpos A y C descienden con los siguientes valores:

uA= 8 m/seg y uC= 3 m/seg,calcular la magnitud y sentido de la velocidad del cuerpo B.

37

CS

BCA

Se observa la cantidad de cables de los cuales depende el movimiento decada cuerpo y anotamos que ya que el movimiento de los cuerpos A y Bdependen de dos cables, les corresponde el nmero 2 y como el cuerpo Cdepende de un solo cable, su factor ser el nmero uno, el cual est implcitoen la ecuacin.

2SA + 2SB + SC = constante. Derivando tenemos: 2uA + 2uB + uC = 0Y obteniendo la segunda derivada tenemos que: 2aA + 2aB + aC = 0

A continuacin, dependiendo si el cuerpo cede o absorbe cable, asignamoslos signos: dado que al descender los cuerpos A y C absorben cable, se lesasignar el signo negativo. Como la suma deber ser cero, al cuerpo B lecorresponder el signo positivo, por lo tanto, ceder cable.

- 2uA +2uB - uC = 0 y -2aA + 2aB + aC = 0Las cuales son las ecuaciones del sistema.Finalmente, por este mismo mtodo, deduciremos las ecuaciones que rigen elsiguiente sistema:

FIGURA No. 5Siguiendo las instrucciones del ejemplo anterior, deduciremos las ecuacionesque rigen el sistema mostrado en la figura No. 5.3SA + 2SB + 4SC = constante; 3uA + 2uB + 4uC = 0; y 3aA + 2aB + 4a = 0Podemos observar en la figura que al moverse el bloque C hacia la derechaabsorber cable, por ello a este bloque le corresponde el signo negativo; alrealizar este movimiento, jalar los bloques A y B hacia la derecha, y, con ello,ambos bloques cedern cable, correspondindoles por esta razn el signopositivo. Por lo anterior, las ecuaciones de este sistema sern:+ 3SA + 2SB - 4SC= constante. + 3uA + 2uB - 4uC = 0; + 3aA + 2aB - 4aC = 0

38

A

S A

B

C

CSS B

10 Kg100 Kg

A

B

B

A

MOVIMIENTOS DEPENDIENTES:II.4.1. El bloque B inicia su movimiento desde elreposo y desciende con una aceleracinconstante. Si se sabe que despus de que elbloque A se ha desplazado 0.4 m su velocidad esde 4 m/seg, determine a) las aceleraciones de Ay B, b) la velocidad y el desplazamiento delbloque B despus de 2 segundos.

Problema No. II.4.1

II.4.2. Sabiendo que el bloque A asciende con unavelocidad constante de 3 yardas por minuto y elbloque C desciende con una velocidad tambinconstante de 27 pies por segundo, determine lamagnitud y el sentido de la velocidad del cuerpoB.

Problema II.4.2

II.4.3. El sistema mostrado parte del reposo. Sabiendo que elbloque B se desplaza 32 metros en 3 minutos, determinar laaceleracin del bloque A.

Problema II.4.3

39

A

B

100 Kg

WE

C

M

B

CA

B

A

II.4.4. En la figura mostrada, para t=0 el cuerpo A sedesplaza hacia arriba con una velocidad constante de 8m/seg, el cuerpo B parte del reposo con una aceleracinconstante de 2 m/seg2 hacia abajo. Calcular la velocidady aceleracin del cuerpo C para t=10 seg.

Problema II.4.4II.4.5. El bloque A parte del reposo con unaaceleracin constante. Sabiendo que el bloque Brecorre 18 metros en 4 segundos, calcular laaceleracin del bloque A.

Problema II.4.5

II.4.6. En el instante mostrado, el bloque A tiene unavelocidad inicial de 4 m/seg y una aceleracin de 2m/seg2. Ambas dirigidas hacia la derecha. Calcularel desplazamiento del bloque B al cabo de losprimeros 5 segundos.

Problema II.4.6

II.4.7. Sabiendo que el sistema mostrado parte del reposo yque el contrapeso W tiene una aceleracin constante de 4metros/seg2 hacia abajo, calcular la velocidad yaceleracin del punto C del cable despus que hayantranscurrido 5 segundos.

40

CS

BCA

ED

CBA

Problema II.4.7

II.4.8. Si los bloques A y C se desplazan hacia la derecha con una velocidadde 4 y 9 pies/seg, respectivamente, determinar la velocidad del bloque B.

Problema II.4.8

II.4.9. El bloque A se desliza a la izquierda con velocidad constante de 0.3m/seg. Determinar a) la velocidad del bloque B, b) las velocidades de lasporciones C y D del cable, c) la velocidad de A con respecto a B, d) lavelocidad relativa de la porcin C del cable con respecto a D.

Problemas II.4.9 y II.4.10

II.4.10.- El bloque B parte del reposo y se desliza hacia la derecha conaceleracin constante. Despus de 4 segundos, la velocidad relativa de Acon respecto a B es de 0,06 m/s. Encontrar a) las aceleraciones de A y B,b) la velocidad y posicin de B despus de 3 segundos.

41

II.5. TIRO PARABLICO

Este tipo de movimiento no es ms que la combinacin del movimientorectilneo uniforme (en el eje horizontal) y el movimiento rectilneouniformemente acelerado (en el eje vertical) que se llevan a cabo de manerasimultnea.Para hacer ms comprensible lo anterior, nos permitiremos recordar quecuando limitamos nuestra visin con un solo ojo perdemos la nocin de laprofundidad - o como se dice comnmente, la tercera dimensin - y vemossolamente en un plano. Para confirmar lo anterior, invitamos a los estudiantesa cerrar un ojo, estirar por completo nuestros brazos al frente y tratar de unir laspuntas de nuestros dedos ndices. Con este experimento confirmamos la nulavisin en tercera dimensin y organizaremos un partido de bisbol dondetodos los que intervienen son tuertos.En este partido de bisbol intervienen San Pedro, quien est ubicado en elcielo y desde all arriba observa el partido; al rbitro del bisbol le llamanampyer principal e invariablemente est localizado detrs del ctcher y,finalmente, haremos intervenir en este juego a un fantico cmodamentesentado detrs de la primera base. Recordemos que todos nuestrospersonajes estn tuertos, es decir, slo aprecian el juego en dos dimensiones.Despus que el lanzador arroja la pelota, el bateador la golpea y, con eseimpulso, la pelota se eleva y cae detrs de la segunda base, en terreno dehit, dentro del rea asignada al jardinero central.Se les cuestiona a nuestros personajes tuertos a fin de que nos digan el tipo demovimiento que tuvo la pelota luego de ser conectada por el bateador. Paranuestra sorpresa, las respuestas son las siguientes:

San Pedro dice: Ya que la pelota viaj en lnea recta, teniendodesplazamientos iguales en tiempos iguales, su movimiento fueRECTILINEO UNIFORME!

El rbitro principal dice: Ya que la pelota solamente ascendi, sedetuvo y descendi, se trata de un movimiento UNIFORMEMENTEACELERADO!

La respuesta del fantico ubicado detrs de la primera base es: Lo viperfectamente, la trayectoria que describi la pelota durante sutrayectoria fue una parbola perfecta, por lo tanto, fue un TIROPARABLICO!

42

0v = 40 m/s1.5 m

60 30 m

h

0

C B

A

y0B

x

d

Los tres tenan razn porque en el movimiento horizontal (plano X-Z) elmovimiento observado por San Pedro siempre es rectilneo uniforme; sobre eleje vertical, el movimiento que apreci el ampyer, siempre es rectilneouniformemente acelerado. Y, finalmente, la trayectoria que describe lapelota, vista por el aficionado, siempre es una PARBOLA, por ser la suma delos dos movimientos anteriores.

II.5.1. Encontrar el valor del ngulo requerido para obtener el mximo alcancehorizontal al efectuar un tiro parablico.

II.5.2. En un encuentro de ftbolamericano, el pateador intentar ungol de campo. Sabiendo que laportera contraria se encuentra a 30pies de distancia y a una altura de 10pies, determinar el ngulo con el cualdeber patearse el baln, si elpateador es capaz de imprimir almismo una velocidad de 30 M/h.

Problemas II.5.2 y II.5.3.II.5.3. En un encuentro de ftbol americano, el pateador intentar un gol decampo. Sabiendo que la portera contraria se encuentra a 50 pies dedistancia y a una altura de 10 pies, y sabiendo adems que el pateadorimpulsar el baln con un ngulo de 30, determinar la velocidad con la cualdeber ser pateado.II.5.4. Se arroja una pelota desdeun punto situado a 1.5 m del pisoy alejado una distancia x desdela pared en un edificio de 30metros de altura, con unavelocidad inicial de 40 m/s. y unadireccin de 600 con lahorizontal. Calcular la mximaaltura h obtenida y b) Ladistancia horizontal d desde elpunto donde se arroj la pelota

43

3 m

0.5 m

15A

sv 8

m

B AC

10 m

t

1v = 12 m/s

30

1 mR

= 2 m/svC

BA

3 m

hasta el punto donde choca conel techo. Problema II.5.4II.5.5.- Calcular la magnitud de la velocidad inicial que deber tener unapelota de golf si al lanzarse con un ngulo de 30 grados con la horizontaldeber caer a una distancia de 75 metros y a la misma altura de la que fuelanzada.

II.5.6- Determine la mnima velocidad VAque debe tener el trineo en el tobogncuando se aproxima al salto en el puntoA, de modo que alcance el otro lado dela fosa, cuyo ancho es de 3m.

II.5.7. Un muchacho arroja una bola denieve de un modo horizontal con unavelocidad inicial de 12 m/seg desde unpuente peatonal con el objeto dehacerla caer en la superficie AB de uncamin que va viajando directamenteabajo del muchacho. Si el caminmantiene una velocidad constante de15 m/s y la bola de nieve se lanza en elinstante en que el punto B est sobre elpunto C, determine la distancia Sdonde la bola de nieve choca con laparte superior del camin (no serecomienda la verificacinexperimental).

Problema II.5.8II.5.8 Pequeos paquetes que viajan sobre una banda transportadora caendentro de un carro de carga de 1 m de longitud. Si la banda transportadorase est moviendo con una velocidad constante de 2 m/seg, determine elrango de valores de la distancia R a la cual debe colocarse el carro a partir

Problema II.5.6

Problema II.5.7

44

A

CB3.7

m1 m

de la banda transportadora, de manera que los paquetes caigan dentro delcarro.

II.5.9 Un jugador de frontenis lanza una pelota con una velocidad inicial u0 de15 m/seg desde un punto A localizado a 1.5 metros arriba del piso. Si el techodel gimnasio tiene una altura de 6 metros, determine el punto B ms alto al quepuede pegar la pelota en la pared a 18 metros de distancia.

II.5.10. En una mina se descarga arenasobre la tolva mostrada. Calcular elrango de valores de la velocidad paraque la arena siempre caiga dentro dela tolva.

Problema II.5.10

45

II.6. ACELERACIONES NORMAL Y TANGENCIAL

Figura II.6a Figura II.6bSi obligamos a girar una piedra por medio de una cuerda sobre un punto fijo,a velocidad constante, el valor de la tensin de la cuerda permanecerconstante; sin embargo, si incrementamos la velocidad tangencial,automticamente se incrementar la tensin en la cuerda ya que:1.- La aceleracin normal = an = u2/r = 2r Donde = velocidad angularen radianes por segundo.2.- Debido a la aceleracin normal manifestada en la tensin de la cuerda, ladireccin de la velocidad tangencial cambia a cada instante.

3.- La aceleracin tangencial se obtiene con la ecuacin: at = r4.- La aceleracin total que experimenta la piedra es:aT =an +at5.- Dado que estamos hablando de cantidades vectoriales y que SIEMPRE lasaceleraciones normal y tangencial son perpendiculares entre s, utilizaremos elteorema de Pitgoras para obtener la aceleracin total:

(aT)2 = (an)2 + (at)2

rat

rVtan =

r

v2

46

B

A25 m/s 3

4

R

r

0.9 pulg

1.5 pulg

v0

0

B

A

A

25 pies

PROBLEMAS RELACIONADOS CON ESTE CAPTULO:II.6.1. La boquilla de una mangueradescarga un chorro de agua con unarapidez inicial de 25 m/seg y con un ngulode 36.870 con la horizontal. Encontrar elradio de curvatura del chorro a) cuandosale de la boquilla y b) cuando alance sualtura mxima.

Problema II.6.1II.6.2. Un satlite girar indefinidamente enrbita circular alrededor de la Tierra. Si lacomponente normal de su aceleracin esigual a: g(R/r)2, donde g=32.2 pies/seg2, R =radio de la Tierra = 3960 Millas, y r=distanciadel centro de la tierra al satlite, calcular laaltura sobre la superficie de la Tierra de unsatlite que gire indefinidamente alrededorde sta con una rapidez cuyo valor sea16,000,M/hr.

Problema II.6.2II.6.3. Cul es el radio mnimo que puede usarse en una curva de unacarretera para que la componente normal de la aceleracin de un carro quese mueve a 45 M/hr no exceda de 2.4 pies/seg2?II.6.4. Determine la velocidad perifrica de la cabinade pruebas centrfuga A para la cual la componentenormal de la aceleracin es de 10 g.

Problema II.6.4II.6.5. Un automovilista parte del reposo sobre una curva de 400 pies de radioy acelera uniformemente con un valor constante de 3 pies/seg2. Determinarla distancia que viajar el automvil antes de que la magnitud de suaceleracin total sea de 6 pies/seg2.

II.6.6. Una cinta de computadora se mueve sobre 2tambores con una velocidad constante Vo. Si lacomponente normal de la aceleracin de la porcin dela cinta en contacto con el tambor B es de 480 pies/seg2,determnense: a) la rapidez Vo, b) la componente normal

47

A

Bv = 40 Km/h30 B

150 m

Av = 75 Km/h

90 M/h

3000 pies

de la aceleracin de la porcin de la cinta en contactocon el tambor A.

Problema II.6.6

II.6.7. Un autobs parte del reposo sobre una curva de 300 m de radio yacelera uniformemente a 0.75 m/seg2. Determine la distancia y el tiempo queel autobs viajar antes de que la magnitud de su aceleracin total sea de0.9 m/seg2.

II.6.8. Sabiendo que la piedra de esmerilmostrada tiene una velocidad constante de1800 r.p.m. y un radio de 5 pulgadas, calcular laaceleracin normal de un punto localizado en laperiferia de la piedra.

Problema II.6.8

II.6.9. El automvil A est viajando por unacarretera recta mientras que el automvil B semueve a lo largo de una rampa de salidacircular de 150 metros de radio. La velocidadde A est aumentando a razn de 1.5 m/seg2 yla rapidez de B est disminuyendo a una tasa de0.9 m/seg2. Para la posicin que aqu semuestra, determnese a) la velocidad de Arelativa a B y b) la aceleracin de A relativa a B.

Problema II.6.9

II.6.10. Un tren se mueve en una curva de 3,000pies de radio, con una rapidez de 90 M/hr. Seaplican repentinamente los frenos ocasionandoque el tren disminuya su rapidez de maneraconstante, de tal forma que al cabo de 6segundos su rapidez se ha reducido a 60 M/hr.Calcular la aceleracin de uno de los vagonesinmediatamente despus de aplicar los frenos.

Problema II.6.10

48

CA P T U L O III. CINTICA DE LA PARTCULA.En este captulo, adems de estudiar el movimiento, involucraremos las

causas que lo producen.Hay mucha fsica en el simple hecho de sostener una manzana. No slo laTierra jala a la manzana hacia abajo, sino tambin la manzana jala a laTierra en sentido contrario, es decir, hacia arriba. Exactamente con la mismafuerza! Tanto la Tierra como la manzana tiran una de la otra con fuerzasiguales, pero de sentidos opuestos. El par de fuerzas llamadas accin yreaccin constituyen una sola interaccin gravitacional. Contina leyendo,descubre las reglas de la Mecnica y hars mucho ms que aprobar un cursode Dinmica: agudizars tu intuicin de la naturaleza.Recuerda que tanto las fuerzas, velocidades y aceleraciones son CANTIDADESVECTORIALES; consecuentemente, al sumarlas, restarlas, etc. se les debe tratarcomo vectores.

SEGUNDA LEY DE NEWTONEn este captulo trataremos los fenmenos producidos por las fuerzas,recordando la segunda ley de Newton que nos dice: Si a un cuerpo que seencuentra en estado de reposo o movimiento rectilneo uniforme le aplicamosuna fuerza exterior no balanceada, adquirir una aceleracin proporcional adicha fuerza con la misma direccin y sentido. Entre nosotros, simplemente larepresentamos como la sumatoria de fuerzas en cada uno de los ejes. Si nohay una fuerza resultante, la sumatoria de fuerzas ser igual a cero y, comoconsecuencia, estaremos dentro del campo de la esttica. Sin embargo,cuando existe una fuerza resultante, sta producir en el cuerpo o partculadonde se aplique, una aceleracin y la representaremos por la ecuacin:

Fx = maAlgunos autores la representan como:

Fx ma = 0Y le llaman la ecuacin del equilibrio dinmico, pero no se confundan: esexactamente la misma.

49

Al referirnos a la sumatoria de fuerzas, implcitamente nos estamos refiriendo ala resultante y para obtenerla, lo podemos hacer construyendo un tringulo uobteniendo la resultante en cada uno de los ejes. Si hemos elegido construirun tringulo - lo cual es muy conveniente cuando sumemos nicamente dosfuerzas - debemos usar la ley de cosenos o la ley de senos (ver formulario en lapgina 15), o simplemente haremos sumatoria de fuerzas en cada uno de losejes a fin de obtener la aceleracin en ese eje.Suponiendo que la aceleracin gravitacional en la luna es de 2.42 m/seg2,determinar el peso en Newtons y la masa en kilogramos de una barra deacero, cuya masa se ha designado de manera oficial igual a 2 kg.Sea cual fuere el mtodo seleccionado para hacer la sumatoria de fuerzas, esindispensable dibujar un diagrama de cuerpo libre (es la representacingrfica de las fuerzas que actan en un cuerpo) ya que de l se obtendrntodas las ecuaciones para la solucin del problema; sin l, no es posibleresolver ningn cuestionamiento.Por lo anterior, para resolver cualquier problema de Cintica es indispensableseguir los tres pasos siguientes:

1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre.2. Establecer un procedimiento.3. Efectuar los clculos.

Todos los cuerpos tienen un peso, el cual siempre debemos considerar,a menos que se indique lo contrario. El peso de cualquier cuerpo est dadopor el producto de su masa multiplicada por la atraccin gravitacional.Todos los problemas enunciados a continuacin debern ser resueltosutilizando el mtodo de la segunda ley de Newton.III.1.1. Calcular la masa y el peso de un cuerpo localizado en la luna,(g= 2.42m/seg2) sabiendo que en la tierra su masa es de 2 Kilogramos.III.1.2. Si la distancia de frenado de un automvil desde 60 M/hr es de 150 piessobre un pavimento plano, determine la distancia de frenado del mismoautomvil a la misma velocidad cuando est: a) subiendo una pendiente de5, b) bajando un plano inclinado al 5%, Suponga que la fuerza de frenado esindependiente del grado de inclinacin.

50

30 M/h

30 Ton40 Ton30 Ton

CBA

( 3 )( 2 )( 1 )

2200 libras

2300 librasA

B

A300 libras

200 libras200 libras

300 librasA

B

III.1.3. Un camin se desplaza sobre una carreteraque tiene una pendiente del 3 % con unavelocidad constante de 35 M/hr. Si el conductorno cambia de velocidad en la palanca, ni deposicin el acelerador, determinar la aceleracindel camin cuando llegue a una parte de lacarretera que sea horizontal.

Problema III.1.3

III.1.4. El tren suburbano mostrado en la figuraviaja a una velocidad de 30 M/hr cuandorepentinamente se aplican los frenos hastadetenerse. Sabiendo que la fuerza de frenadoen cada vagn es de 5,000 lb, calcular lafuerza ejercida en cada acoplamiento,indicando si es tensin o compresin.

Problema III.1.4

III.1.5. Cada uno de los sistemas mostrados est inicialmente en reposo.Suponiendo que las poleas son de peso despreciable y despreciandotambin las fuerzas de rozamiento, determine en cada caso: a) laaceleracin del bloque A, b) la velocidad del bloque A despus de 4segundos, c) la velocidad del bloque A despus de haberse desplazado10 pies.

Problema III.1.5

51

100 libras

BB

100 libras

( 3 )( 2 )( 1 )

2200 libras

2300 librasA

B

A300 libras

200 libras200 libras

300 librasA

B

III.1.6. Cunto peso se deber agregar o restar al bloque A de cadasistema para que su aceleracin sea g/4 hacia abajo?

Problema III.1.6III.1.7. Al bloque deslizante A de 100 lb de peso se le suspende un bloque Bde 40 lb como se muestra en la figura. Sabiendo que el sistema parte delreposo y despreciando el rozamiento, determine: a) la velocidad delbloque A despus de 5 segundos y b) la distancia recorrida por A cuandosu velocidad sea de 8 pies/seg.

Problema III.1.7 Problema III.1.8III.1.8. a) Determinar el peso del bloque B sabiendo que la aceleracin delbloque A es de 4 pies/seg2 hacia arriba y b) trate de resolver la parte a de

52

100 libras

200 librasP

15 pies

CB

A

12 pu

lg

18 pu

lg

este mismo problema, suponiendo que la aceleracin de A es de 18pies/seg2 hacia arriba. Explique la dificultad encontrada.III.1.9. La carga del camin mostrado est localizada a 15 pies de lacabina. El coeficiente de rozamiento entre la carga y la plataforma es de0.3. Sabiendo que la velocidad del camin es de 30 M/hr, determine lamnima distancia en la que se puede detener el camin sin que la carga sedeslice.

Problema III.1.9 y III.1.10III.1.10. El coeficiente de friccin entre la carga y la plataforma del triler esde 0.3. Cuando el camin viaja a 60 M/hr, el conductor aplica los frenossbitamente y se detiene despus de haberse desplazado 250 pies.Determine la velocidad de la carga respecto a la plataforma cuandogolpea la parte delantera de la misma.III.1.11. Una caja de 200 libras descansa sobre un carrito de 100 libras. Elcoeficiente de rozamiento esttico entre la caja y el carrito es de 0.25. Si lacaja no desliza respecto al carrito, a) determinar el mximo valor de P yb) la correspondiente aceleracin del carrito.

Problema III.1.11

III.1.12. Sabiendo que los bloques B y C llegan al pisosimultneamente y exactamente un segundodespus de que el sistema parte del reposo,determinar los pesos WB y WC en funcin de WA.

53

m

L

C

B

A

4 pies

60

60

Problema III.1.12

III.1.13. Sabiendo que el coeficiente derozamiento es 0.3 y WC=10 lb, determine WA yWB si la aceleracin de ambos (A y B) debeser g/5 dirigida hacia abajo.

Problema III.1.13

III.1.14. Una pequea esfera de peso W=5lb, se ata a un cable de longitud L=6 pies yse desplaza sobre un crculo con velocidadconstante uo. Sabiendo que la cuerdaforma un ngulo de 30 con la vertical,determine a) la tensin en la cuerda, b) lavelocidad uo de la esfera.

Problema III.1.14

III.1.15. Dos cables AC y BC estn atados a unaesfera en C. El sistema est diseado para que laesfera se desplace a velocidad constante V.Determinar el rango de valores de la velocidadpara que los dos cables permanezcan tensos.

54

L

AB

0

C

30 DA 30

300 pies

C

Problema III.1.15III.1.16. Una esfera de 3 lb se encuentra oscilando enun plano vertical y suspendida de una cuerda de 18pulgadas de longitud. Calcular la tensin en lacuerda cuando = 60 sabiendo que la velocidaden ese instante es de 6 pies/seg.

Problema III.1.16

III.1.17. Una pequea esfera de peso W est suspendida del techo pormedio de los cables AB y CD. Cuando el cable AB es cortado, determinea) la tensin en el cable CD antes de que AB sea cortado, b) la tensin enel cable CD y c) la aceleracin de la esfera inmediatamente despus deque el cable AB haya sido cortado.

Problema III.1.17III.1.18. Un piloto cuyo peso es de 175 lb, al pilotear un pequeo avin haceun rizo de 300 pies de radio. Determine la velocidad del avin en lospuntos A y C, sabiendo que en el punto A el piloto experimenta un pesomenor al real y en el punto C su peso aparente es de 600 lb.

Problema III.1.18

55

RectaP = 500 pies

P = 500 pies

0vB

Ad

20

III.1.19.- Tres automviles circulan a una velocidad de 50 M/h a lo largo dela carretera mostrada. Sabiendo que el coeficiente de friccin entre lasllantas y la carretera es de 0.6, determine la aceleracin tangencial encada uno de los casos si los frenos se aplican sbitamente en las cuatroruedas.

Problema III.1.19

III.1.20. Desde el punto A se lanza un paquete hacia arriba sobre un planoinclinado 20 con una velocidad inicial de 25 pies/seg. El paquete llega alreposo en el punto B y empieza a deslizar hacia abajo dirigindosenuevamente al punto A. Sabiendo que la distancia entre los puntos A y Bes de 20 pies, determine a).- el valor del coeficiente de rozamiento entre elpaquete y el plano inclinado. B).- la velocidad del mismo al retornar alpunto A.

Problema III.1.20

56

Captulo III.2. MTODO DE TRABAJO Y ENERGAComo vimos en las definiciones, hemos denominado como trabajo alproducto de una fuerza por una distancia, con la nica condicin de queambas sean paralelas entre s.. El producto puede ser positivo o negativosiguiendo la regla de los signos El producto de dos cantidades con signosiguales nos dan un producto positivo y el producto de dos cantidades consignos diferentes me darn un producto negativo.Por definicin, sabemos que un cuerpo tiene energa cuando es capaz deproducir trabajo.Tal como lo estudiamos en la secundaria, recordemos que el cientfico francsAntonio Lorenzo Lavoisier enunci la Ley de Conservacin de la Materia lacual nos indica que: LA MATERIA NI SE CREA NI SE PIERDE, SOLO SETRANSFORMA. De la misma manera, la Primera Ley de la Termodinmica diceque: LA ENERGA NO SE CREA NI SE PIERDE, SOLO SE TRANSFORMA.Basndonos en este principio, veremos cmo se pueden transformar lasenergas.Existen infinidad de tipos de energas; a manera de ejemplo solamentecitaremos algunas de ellas a saber: energa solar, qumica, elica, nuclear,trmica, etc. En particular, a nosotros nos interesa nica y exclusivamente laENERGA MECNICA, de la cual nos ocuparemos a continuacin.Como Energa Mecnica tenemos nicamente dos tipos: la potencial y lacintica; el valor de la primera depende nica y exclusivamente de suposicin con respecto a un nivel de referencia, y puede ser positiva onegativa, y la representamos por la ecuacin:DEBEMOS TENER PRESENTE QUE, POR SUS CARACTERSTICAS Y UNIDADES, TANTOEL TRABAJO COMO LA ENERGA SON CANTIDADES ESCALARES, YCONSECUENTEMENTE, LAS DEBEMOS TRATAR COMO TALES.

V= WhDonde: V = energa potencial

W = peso de cualquier cuerpoh = altura o posicin del cuerpo.

57

La energa cintica siempre es positiva, ya que aunque la velocidad seanegativa, al elevarla al cuadrado se vuelve positiva.Y la representaremos por la siguiente ecuacin:

T = 1/2mu2Donde: T = energa cintica

m = masa del cuerpou = velocidad del cuerpo.

Generalmente la Energa Potencial se puede convertir en Cintica yviceversa.Este espacio lo destinaremos a explicar este mtodo y realizaremos algunosejemplos relacionados con el mismo.Por definicin, recordemos que Trabajo es el producto de una fuerza por unadistancia, con la condicin que ambas sean paralelas entre s.

TRABAJO = U = F SEl Trabajo puede ser positivo o negativo; la ley de signos nos dar elcorrespondiente en cada caso.

Recordemos el principio de la conservacin de la energa. Este principio nosindica que la energa no se crea ni se pierde, solamente se transforma. Porejemplo, al consumir energa qumica a travs de un combustible cualquiera,un automvil no quema la gasolina, sino que la energa qumica contenidaen ella la transforma en energa trmica y energa mecnica.Aparentemente, la primera se pierde, pero no es as; con este calorprecalentamos el mismo combustible que quema el automvil, pero lamayor cantidad de energa contenida en el combustible, se transforma enenerga mecnica y es esta energa la que propicia el movimiento delvehculo para transportarnos a donde queramos. Si bien es cierto queindeseablemente se genera calor, gran porcentaje de ste es aprovechable.Lo ideal sera que su rendimiento fuera al 100%; sin embargo, hasta ahora nohemos podido lograr un rendimiento tan alto.

58

Recordemos que el rendimiento en porcentaje est dado por la ecuacin:

Energa de salidaRENDIMIENTO =

Energa de entradaLas energas en general, adems de transformarse, se pueden almacenar. Porejemplo, la batera de un automvil guarda energa elctrica para de estamanera sustituir el antiguo crank con el que se arrancaban los vehculos afines del siglo XIX y principios del XX. Las presas acumulan energa potencialen sus aguas; las balas, energa qumica, la cual, al ser liberada, produceenerga cintica en el proyectil. De la misma manera, los resortes soncapaces de almacenar energa mecnica, la cual podemos usar al liberarla.Aunque anteriormente nos referimos a los diferentes tipos de energaexistentes, en este espacio nos ocuparemos nica y exclusivamente de laenerga mecnica.

Energa Cintica

Energa Mecnica:Energa Potencial

La energa mecnica, que es la que nos interesa, puede ser cintica opotencial:

ENERGA CINTICA = T = 1/2 mu2

Esta energa siempre es positiva, ya que aunque la velocidad puede sernegativa, al elevarla al cuadrado, se vuelve positiva.

ENERGA POTENCIAL = V = WhEsta energa puede ser positiva o negativa. Para definir su signo, simplementeaplicamos la ley de los signos: signos iguales dan positivo y signos desigualesdan negativo.En el caso de los resortes, por definicin la constante de un resorte se definecomo la fuerza necesaria para deformar un resorte una unidad de longitud,de tal manera que:

59

30 M/h

30 Ton40 Ton30 Ton

CBA

= 0.20

B

A

10 pies

100 librasd

100 libras

CONSTANTE DE UN RESORTE = k = F / xPor definicin, Trabajo = Fx pero de la ecuacin anterior F = kx (x/2) por lotanto:

TRABAJO = ENERGA POTENCIAL = U = kx2Y la energa que puede acumular un resorte est dada

por la ecuacin anterior.ESTA MISMA FRMULA LA LLAMAMOS TAMBIN COMO LA ECUACIN DE LA CONSERVACIN DE LA ENERGA,Y SEPUEDE REPRESENTAR DE LA SIGUIENTE MANERA:

T1 +V1 = T2 +V2Los problemas enunciados en este espacio debern ser resueltos nica yexclusivamente por el mtodo de TRABAJO Y ENERGA.III.2.1. El tren suburbano mostrado en la figura viaja a una velocidad de 30M/hr. Sabiendo que la fuerza de frenado en cada uno de los carros es de5,000 lb. determine la distancia mnima requerida para detener el tren. Y lafuerza entre los acoplamientos AB y BC indicando si estn sometidos a tensino a compresin. (una tonelada = 2, 200 lb.)

Problema III.2.1

III.2.2. El sistema mostrado inicialmente est enreposo. Determine la velocidad del bloque Adespus de haberse movido 6 pies.

Problema III.2.2

60

4321B

A

6.5 pies6.5 pies6.5 pies12 pies

B

A

C1 pie

2 pies

5 pies

Wh

III.2.3. Cuatro paquetes, cuyo peso individual es de 125 lb, estn localizadossobre una banda transportadora, la cual es controlada con un motoreductor.El paquete 1 est justamente a la izquierda de la parte horizontal de la banda.Si el sistema parte del reposo, determine la velocidad del paquete 1 cuandoabandona la banda en el punto A. Suponga que el peso de la banda y losrodillos es despreciable.

Problema III.2.3III.2.4. Los bloques A y B pesan 9 y 10 libras,respectivamente, y estn conectados a travs de uncordn que pasa por las poleas mostradas. El collar Cest localizado sobre el bloque A y el sistema se sueltadesde el reposo. Despus de que los bloques se hanmovido 3 pies, el collar C es removido y los bloquescontinan su movimiento. Sabiendo que el collar Cpesa 5 libras, determine la velocidad del bloque A,justamente antes de golpear el piso.

Problema III.2.4

III.2.5. Se deja caer un bloque de10 libras desde unadistancia h con un resorte no deformado cuyaconstante es de 5 lb/pulg. Determine la distancia hque recorrer el cuerpo si la mxima fuerza aplicadaal mismo por el resorte es a) 40 lb, b) 20 lb y c) 15 lb.

Problema III.2.5

61

B

A

R = 50

pies

r

C

B

A

(2)0vv0

(1)

A

B

C

r r

C

B

A

(2)0vv0

(1)

A

B

C

r

30 pu

lg

24 pu

lg

6 libras

2 librasA

B

III.2.6. El carrito mostrado se deja sin velocidad en el punto A permitiendo quese deslice hacia la parte baja de la pista mostrada. Al pasar por el punto B, seaplican los frenos ocasionando que las ruedas se deslicen. Si sabemos que elcoeficiente de rozamiento es 1/3, suponiendo que no hay prdida de energaentre los puntos A y B y sabiendo que el radio de curvatura es de 50 pies,determine las componentes normal y tangencial del carro justamente despusde que los frenos hayan sido aplicados.

Problema III.2.6III.2.7. Un pequeo paquete de peso W es lanzado por la parte interior de unretorno en el punto A - como se muestra en la figura - con una velocidadinicial uo. El paquete viaja sin rozamiento a lo largo de un crculo de radio r yes depositado en una superficie horizontal en el punto C. Para cada uno delos dos retornos mostrados, determine a) la mnima velocidad Vo necesariapara que el paquete arribe al punto C, b) la correspondiente fuerza aplicadapor el retorno al paquete al pasar por el punto B.

Problema III.2.7

III.2.8. Dos bloques A y B estnconectados por una cuerda y dejadosen reposo en la posicin mostrada.Despreciando el efecto de rozamiento,determine la mxima velocidadadquirida por el bloque B.

Problema III.2.8

62

BA6 pulg

k = 18 libras/pulg k = 12 libras/pulg

16 pulg

A

D

C

B

012 pulg

5 pulg

W

d0

B

A

III.2.9. Un collarn C de 8 lb se desliza sobre una varilla horizontal entre losresortes A y B. Si se empuja el collarn hacia la derecha hasta que el resorte Bse comprime 2 pulgadas y se suelta, determine la distancia que recorre elcollarn, suponiendo a) ninguna friccin entre el collarn y la varilla, b) uncoeficiente de friccin de 0.35.

Problema III.2.9III.2.10. Un collar de peso W=2 lb est unido a un resorte y se desliza a lo largode una barra circular y est ubicado en un plano horizontal, el resorte tieneuna constante k=3 lb/pulg y se encuentra sin deformacin cuando est en elpunto B. Si el collar se suelta desde el reposo en el punto C, determine suvelocidad al pasar por el punto B.

Problema III.2.10III.2.11. Se coloca una partcula en la parte superior de una superficie cilndricacon r=3 pies y =90. Determine a) el valor de que ubica el punto B dondela partcula abandona la superficie cilndrica, b) la distancia del centro delcilindro O, al punto donde la partcula golpea el piso.

Problema III.2.11

63

Contrapeso3000 libras

4000 librasElevador

15 pi

es

30

v

A

B

2 millas

180 pies

Problema III.2.12. Determine la potencia requerida cuandoel elevador mostrado a) se mueve hacia arriba con unavelocidad constante de 20 pies por segundo y b) tieneuna velocidad instantnea de 20 pies/seg hacia arriba yuna aceleracin de 3 pies/seg2 hacia arriba.

Problema III.2.12Problema III.2.13. La escalera elctrica mostrada est diseada paratransportar 8,000 personas por hora a una velocidad de 90 pies/min.Suponiendo un peso promedio de 150 libras por persona, determine a) lapotencia promedio requerida, b) la potencia promedio requerida en el motorsi la eficiencia es de 85 % y se permite una sobrecarga del 300 %.

Problema III.2.13Problema III.2.14. Se transporta grava pormedio de una banda transportadora delpunto A al punto B con una velocidad de400 toneladas en un turno de 8 horas. Seconecta un generador elctrico alsistema con el objeto de mantener unavelocidad constante. Sabiendo que laeficiencia del sistema banda-generadores de 0.65, determine la potenciapromedio proporcionada por elgenerador a) si la velocidad de la bandaes de 5 pies por segundo, y b) si lavelocidad de la banda es de 8 pies/seg.

Problema III.2.14

64

0v

C

BA

6 pulg

B

CA

10 pulgk = 8 libras/pulg

Problema III.2.15. El cuerpo C y el bloque A se mueven juntos hacia la izquierdacon una velocidad Vo. Cuando el bloque choca repentinamente con unmuro, determine el valor de la velocidad mnima Vo para la cual el cuerpo Crecorrer un crculo completo alrededor del punto B a) si BC es una barra depeso despreciable, b) si BC es una cuerda.

Problema III.2.15

Problema III.2.16. Cuando la escuadra ABC est girando, lentamente elbloque empieza a deslizarse hacia un resorte cuando =15. Sabiendo que ladeformacin mxima del resorte es de 2, determine el valor del coeficientede rozamiento dinmico ().

Problema III.2.16

65

3 pulg

1 pulg

CA

B 12 pi

es

h

B

A 1.5 m

etros

Problema III.2.17. Dos bloques A y B cuyas masas sonde 8 y 12 Kg. respectivamente, cuelgan de un cableque pasa por un tubo, como se muestra en la figura.

Problema III.2.18. Si los bloques se sueltan desde elreposo y la energa disipada por causa delrozamiento es de 40 Joules, determnese a) lavelocidad del bloque B cuando pega en el suelo y b)la fuerza ejercida por el cable en cada uno de losbloques.

Problema III.2.17 y 18Problema III.2.18. Se usa el resorte de una pistolade juguete para impulsar una bala de una onzaverticalmente hacia arriba. La longitud delresorte sin deformar es de 5 y se comprimehasta una longitud de 1. Cuando la pistola sedispara, la longitud del resorte es de 3 una vezque la bala sale del can. Si se requiere unafuerza de 8 libras para mantener el resorte enposicin de disparo, determine: a) la velocidadde la bala al salir del can y b) la alturamxima alcanzada por la bala.

Problema III.2.18Problema III.2.19. Se ata un cuerpo de pesoW al extremo de una cuerda de 12 delongitud y se deja en reposo en el punto Asin velocidad inicial para que gire alrededordel punto C en un plano vertical. Lacuerda se rompe cuando la tensin de lacuerda es igual al doble del peso delcuerpo. Determine a) la distancia vertical ha la cual se rompe la cuerda y b) ladistancia a la que el cuerpo golpear elpiso medido desde el muro vertical.

Problema III.2.19

Problema III.2.20. Un hombre, cuyo peso es de 175 lb, sube corriendo unaescalera cuya altura es de 12 pies en 4 segundos. Determine la potenciapromedio requerida por el hombre para subir la escalera.

66

50 libras

T

CAPTULO IV. OTROS MTODOS.IV.1. IMPULSOEl impulso es el producto de una fuerza aplicada a un cuerpo durante untiempo determinado. Cuando un lanzador de pelota en un partido de bisbolcoloca su brazo de lanzamiento detrs de su cabeza, lo hace para quedurante un mayor tiempo le imprima la misma fuerza a la pelota (impulso) y,consecuentemente, sta adquirir mayor velocidad (cantidad demovimiento).La cantidad de movimiento es el producto de una masa por su velocidad.Dado que los enunciados anteriores tienen las mismas unidades, podemosigualarlos por medio de la ecuacin:

(Impulso) Ft = mu (cantidad de movimiento)

m2u1 + Imp 1-2 = mu2Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son cantidades vectoriales,a diferencia del trabajo y la energa que vimos en el captulo anterior, lascuales son cantidades escalares.Cuando usamos unidades del Sistema Internacional (SI), la magnitud delimpulso de una fuerza se expresa en N.S = (kg.m/seg2)s = Kg.m/s

Todos los problemas siguientes debern ser resueltos por el mtodo de impulsoy cantidad de movimiento.

Problema IV.1.1. En la figura mostrada, el carrito A y sucontenido tienen un peso de 100 libras y el contrapesotiene un peso de 50 libras. En t=0, el sistema tiene unavelocidad de 10 pies/seg hacia abajo y se aplica unafuerza T=80 lb, como se muestra. Determine el tiempo tpara el cual el sistema a) no tiene velocidad y b) suvelocidad es de 10 pies/seg. hacia arriba.

Problema IV.1.1

67

B

100 libras

B60 pies/seg

120 pies/seg

30

60

6 libras2 libras

0v BA

12 pulg

Problema IV.1.2. Al bloque