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D I N Á M I C ADE LA

P A R T Í C U L A

Ing. Juan Manuel León EstradaEnero 2012.

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C O N T E N I D O

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

CONTENIDO:

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN

I.1. Las fuerzas y el movimientoI.2. Definición de conceptosI.3. Cuadro sinópticoI.4. Principios generalesI.5. FormularioI.6. Sistemas de UnidadesI.7. Método AnalíticoI.8. Métodos Gráficos

CAPÍTULO II CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

II.1. Movimiento Rectilíneo UniformeII.2. Movimiento Uniformemente AceleradoII.3. Movimientos relativosII.4. Movimientos dependientesII.5. Tiro ParabólicoII.6. Aceleraciones Normal y Tangencial

CAPÍTULO III CINÉTICA DE LA PARTÍCULA

III.1. Segunda Ley de NewtonIII.2. Método de Trabajo y Energía

CAPÍTULO IV OTROS MÉTODOS

IV.1. Impulso y cantidad de movimiento

IV.2. Choques

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

ÍNDICE

OFICIO DE AUTORIZACIÓN

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“No puedes disfrutar un juego si no conoceslas reglas. Ya sea que se trate de un juegode pelota, de uno para computadora osimplemente de un juego en una fiesta, si noconoces las reglas te aburrirá. No entiendeslo que los demás disfrutan. Así como unmúsico escucha lo que los oídos nocapacitados no consiguen percibir, y delmismo modo como un cocinero saborea enun platillo lo que otros no identifican, lapersona que conoce las reglas de laNaturaleza la aprecia mejor.

Cuando sabes que los satélites siguen lasmismas reglas que una pelota de béisbollanzada por un jugador, ves de manera muydistinta a los astronautas en la órbita cuandoaparecen en la televisión. El conocimientode las reglas que rigen el comportamientode la luz cambia tu manera de ver el cieloazul, las nubes blancas y el arco iris.

La riqueza de la vida no se halla sólo en verel mundo con los ojos bien abiertos, sino ensaber qué debemos buscar”.

Paul G. Hewitt

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CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN

El objetivo principal de esta obra es facilitar el aprendizaje de la materiaque lleva el título de la misma.

Los índices de reprobación en las materias de Mecánica (Estática yDinámica) son los más altos, no solamente en la Escuela Superior deIngeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME), sino en la mayoría de lasinstituciones de enseñanza superior en nuestro País. Una de las múltiplesrazones es que con mucha frecuencia, cuando algunos alumnos noscuestionan sobre los usos en la práctica del tema que estamos viendo, nosabemos qué responder y esto ocasiona poco interés en ellos.Desgraciadamente, en la actualidad, la prioridad de la inmensa mayoríadel estudiantado no es aprender, sino acreditar la materia. Si a lo anteriorle agregamos que los conocimientos adquiridos en la secundaria ybachillerato son prácticamente nulos en Álgebra y Trigonometría, es deesperarse que fracasen al estudiar Mecánica en cualquiera de sus partes; yno es que no la aprendan, lo que sucede es que cuando pretendenaplicar los conocimientos adquiridos, se dan cuenta que no puedendespejar alguna variable de las ecuaciones ya conocidas o, algo peor, esque no saben distinguir entre cantidades escalares y vectoriales, lo cual esprimordial en esta materia.

La inmensa mayoría de los libros de texto que usamos en nuestro País tienesu origen en el extranjero y viene de países tecnológicamente muydesarrollados como Estados Unidos de Norteamérica, Japón, Alemania ymuchísimos más en los cuales el perfil de los ingenieros requeridos es muydiferente al perfil de los que se buscan en Haití, Costa Rica, Marruecos,Perú o México.

En los países del Primer Mundo, ya ni siquiera se imparte la carrera deIngeniería Mecánica pura, sino que ahora existe la Ingeniería Robótica,Cibernética, de Manufactura, de Diseño, etc. En esos países los nuevosingenieros se dedican al diseño y fabricación de nuevos sistemas decomunicación y transporte como nuevos aviones, naves espaciales, trenesbala o, al menos, sistemas de transporte colectivo o metrobuses; si acaso,las compañías diseñadoras y fabricantes de estos sistemas decomunicación, nos capacitan para dar mantenimiento a los mismos ya nodigamos de reactores nucleares, plantas termoeléctricas generadoras deenergía eléctrica, plantas petroquímicas y para la refinación del petróleo.

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Anteriormente, en nuestro México, cuyos recursos petrolerosaparentemente eran inagotables, se diseñaban y construían plantasrefinadoras, de destilación, petroquímicas y de almacenamiento. Estasplantas, si bien eran diseñadas con tecnología importada, fueronmontadas, calculadas y ejecutadas por firmas de ingeniería nacionales,como Bufete Industrial, Industrias del Hierro, Ingeniería y FabricacionesMecánicas, AINSA, Conjunto Manufacturero, Consorcio Industrial, etc. Sinembargo, a principios de los años setenta, alguien muy importante dentrodel gobierno de nuestro País, ordenó que se contratara a empresasExtranjeras para realizar este tipo de trabajos como el diseño, cálculo ymontaje de las nuevas plantas petroquímicas en México, pues los preciosde los equipos conseguidos en el continente asiático, en países comoCorea, China y Tailandia, eran más bajos que los nacionales. Con estamedida se asestó un fuerte golpe a la economía nacional, ya que casitodas las empresas que durante muchísimos años se dedicaron a estasactividades, poco a poco se fueron a la ruina. Obviamente, la experienciade los buenos ingenieros MEXICANOS dedicados a este tipo de industriasfue tirada a la basura, pues no pudieron transmitir sus conocimientos a lasnuevas generaciones y, como consecuencia de lo anterior, México cuentahoy con muy pocos ingenieros experimentados, ya que muchos de ellosestán jubilados o han fallecido, y los pocos ingenieros activos que cuentancon estas características están emigrando a los países petroleros.

Por lo antes mencionado, este libro está estructurado de manera que losconocimientos elementales de Álgebra y Trigonometría sean suficientespara resolver los problemas típicos de la Mecánica; no se requierenconocimientos de ninguna otra disciplina matemática.

Recordemos que desde la primaria hasta la educación profesional decualquier carrera, el “coco” de la gran mayoría de los estudiantes sonprecisamente las Matemáticas. En el caso particular de las carreras deIngeniería Mecánica e Ingeniería en Sistemas Automotrices, para elaprendizaje de la Mecánica necesaria, el conocimiento matemático nova más allá del Álgebra y Trigonometría. En mi caso y después de 46 añosde experiencia profesional en industrias como la metalmecánica,azucarera, papelera, petroquímica, alimenticia, refresquera, minera o lafarmacéutica, entre otras, dejaría el manejo de cálculo diferencial eintegral y superiores para uso de los ingenieros que pretendan dedicarse ala investigación o a aquellos que quisieran ampliar su preparaciónacadémica mediante maestrías o doctorados. Por ello, he solicitado a lasautoridades de la ESIME Azcapotzalco que estas materias (el cálculodiferencial hacia arriba) sean programadas en los últimos dos semestrescomo materias optativas.

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Cuando somos niños y nos llevan a estudiar catecismo, nos enseñan que elsexto mandamiento de la Ley de Dios es “No Fornicarás”. Por supuesto quea esa edad muchos no sabemos lo que decimos y simplemente lorepetimos. A cierta edad, hay cosas que son entendibles, pero es muytriste que en la actualidad nuestros alumnos de tercer o cuarto semestre denivel profesional simplemente repitan sin saber el significado de algunostérminos como: radián, mecánica, aceleración, tangente, coseno, física,trabajo, apotema, cinética etc. ¿No me creen? Pregúntenle sobre estasdefiniciones a cualquier alumno de cualquier grado. Se asombrarán con elresultado.

Por todo lo anterior, he decidido iniciar este libro enunciando los términosmás comúnmente usados en nuestra carrera para que, cuando losalumnos los mencionen, sepan de qué están hablando. Posteriormente, alinicio de cada capítulo, expondré de la manera más precisa y concisaposible los principios en los que se basa la materia, a continuación amanera de ejemplo, resolveremos algunos problemas.

Por último, presentaré suficientes ejercicios con el fin de que el alumnopractique la aplicación de los conocimientos adquiridos. La experiencianos indica que para dominar cualquier actividad es indispensable lapráctica. Nuestras máximas figuras deportivas como Hugo SánchezMárquez, Fernando Valenzuela, Joaquín Capilla, Javier “El Chicharito”Hernández, al igual que nuestro astronauta de ascendencia piedadense,José Hernández Moreno, han sobresalido en sus respectivas actividadesgracias al empeño extraordinario que han puesto en la práctica de susprofesiones; consecuentemente, si nuestro objetivo es dominar estamateria, es indispensable practicar, practicar y seguir practicando en laresolución de problemas relativos a la misma.

También enuncio al inicio de este libro un formulario que es indispensableMEMORIZAR para tener éxito en el aprendizaje de la Mecánica en general.

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I.1. L A S F U E R Z A S Y E L M O V I M I E N T O

Las cosas se mueven; se mueve el agua de un río, la piedra lanzada por laresortera del niño, el pájaro que cruza veloz ante nuestra vista; las casas ylos edificios, que aunque nos parecen fijos, se mueven junto con la tierraalrededor del Sol. Y también éste se mueve. Y las estrellas. Y las galaxias.Las cosas se mueven. Pero, ¿cómo se mueven?

El corredor se mueve en línea recta, la piedra de una honda en un círculo,la lenteja de un péndulo en un continuo y monótono vaivén oscilatorio. Elcaracol se mueve lentamente, el avión con rapidez, la rueda de la noriade manera monótona y uniforme, siempre igual. La piedra cae vertical yaceleradamente al suelo, cada vez más aprisa, con más deseos de llegara la tierra; el proyectil lanzado por un cañón describe una trayectoriaparabólica, y así con todo. Movimientos rectos, curvos, lentos, rápidos,combinados, uniformes y apresurados.

Los cuerpos, al moverse, describen un camino, una trayectoria a lo largode la cual recorren una cierta distancia en un tiempo dado. Y así,podemos hablar de la velocidad de un cuerpo, la cual puede ser siemprela misma o variar progresivamente en el transcurso del tiempo, dando lugara una aceleración, un cambio de la velocidad. Distancia recorrida,velocidad, aceleración… Conocer la trayectoria y posición de unapartícula en cualquier instante es saber cómo se mueven los cuerpos; estoes saber Dinámica.

Pero hay otra pregunta: ¿Por qué se mueven los cuerpos? Porque losempujamos, los jalamos, los impulsamos de alguna manera. El puntapiédel niño mueve la pelota; el empujón del obrero a la carretilla; el viento alas ramas de los árboles…

Observando el movimiento de los objetos que nos rodean, podemosencontrar siempre una causa del movimiento. Y a esta causa, a estaacción, la llamamos fuerza. La fuerza del puntapié, del empujón, delviento, es la causa del movimiento y la relación de estos dos conceptos(fuerza y movimiento) es el tema de este estudio y es el objeto de laCinética.

Fue el físico inglés Isaac Newton quien encontró que, cualesquiera quefuesen las fuerzas y el movimiento, existían unas relaciones únicas entreambos conceptos y pudo así expresar el movimiento, ¡todos losmovimientos en un grupo de leyes!: las leyes de la Dinámica, que son lasmismas para todos los cuerpos, para todas las fuerzas, para todos losmovimientos. Y se llegó así a la simplificación, a la síntesis; es decir, alconocimiento.

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I.2. DEFINICIÓN DE CONCEPTOS

Definiciones que todo estudiante de INGENERÍA MECÁNICA debe conocer:

1. ACELERACIÓN: es el cambio de la velocidad a través del tiempo.

2. APOTEMA: es la distancia del centro de un polígono regular alcentro de uno de sus lados.

3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO: se le llama así al producto de lamasa por la velocidad.

4. CANTIDAD ESCALAR: es aquélla que tiene número y especie.

5. CANTIDAD VECTORIAL: tiene número, signo, especie, dirección ysentido.

6. CIENCIA: es un conjunto de conocimientos razonados ysistematizados opuestos al conocimiento vulgar, los cuales soncomprobables y perfectibles.

7. CINEMÁTICA: es una parte de la Dinámica que estudia elmovimiento sin importar las causas que lo producen.

8. CINÉTICA: es una parte de la Dinámica que, además deanalizar el movimiento, estudia las causas que lo producen.

9. COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN: es la rapidez con la que vuelve asu forma original un cuerpo elástico.

10.CUERPO RÍGIDO: es aquél que, al analizarlo, influyen susdimensiones y su forma no cambia, es decir, no es deformable.

11.DESPLAZAMIENTO: es el cambio de posición de un cuerpo.

12.DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE: es la representación gráfica delas fuerzas que actúan en un cuerpo.

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13.DERIVADA: es el límite de la relación del incremento de lafunción entre el incremento de la variable independientecuando ésta tiende a cero y la podemos representar como:dy/dx = lím Delta y/Delta x cuando (Delta x tiende a cero).

14.DINÁMICA: es la parte de la Mecánica que estudia elmovimiento.

15.ENERGÍA: se dice que un cuerpo tiene energía cuando escapaz de producir trabajo.

16.ENERGÍA CINÉTICA: es la energía que tiene un cuerpo enfunción de su velocidad. T = ½ mv2 .

17.ENERGÍA POTENCIAL: es la energía que tiene un cuerpo enfunción de su posición. V = Wh ó V = ½ kx2. .

18.ESTÁTICA: es la parte de la Mecánica que estudia los cuerposen reposo.

19.FUERZA: es la interacción entre dos cuerpos.

20.FUNCIÓN COSENO: se le llama coseno de un ángulo en untriángulo rectángulo a la relación que existe entre el catetoadyacente y la hipotenusa.

21.FUNCIÓN SENO: se le llama seno de un ángulo en un triángulorectángulo a la relación que existe entre el cateto opuesto y lahipotenusa.

22.FUNCIÓN TANGENTE: se le llama tangente de un ángulo en untriángulo rectángulo a la relación que existe entre el catetoopuesto y el cateto adyacente.

23.H.P.: significa “horse power” y es una unidad de potencia en elsistema Inglés equivalente a 760 lb-pie/seg.

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24.IMPULSO: cuando se le aplica una fuerza a un cuerpo duranteun determinado tiempo, se dice que se le está dando unimpulso.

25.INGENIERÍA: es la utilización de la naturaleza en beneficio delhombre.

26.INGENIERO: un ingeniero es un profesional que utiliza susconocimientos científicos, su habilidad creadora y suexperiencia, para desarrollar proyectos, en forma de métodos yprocedimientos a fin de transformar los recursos naturales enartículos útiles, considerando su factibilidad económica yambiental.

27.JOULE: es una unidad de trabajo equivalente a un Newtonmetro.

28.KILOGRAMO FUERZA: Es la unidad de fuerza en el sistema MKS.

29.KILOGRAMO MASA: Es la unidad de masa en el sistemainternacional.

30.LEY DE NEWTON 1a.: Si un cuerpo se encuentra en estado dereposo o movimiento rectilíneo uniforme, permanecerá endicho estado mientras no haya una fuerza exterior nobalanceada que lo obligue a salir de él.

31.LEY DE NEWTON 2a: Si a un cuerpo que se encuentre en estadode reposo o con movimiento rectilíneo uniforme le aplicamosuna fuerza exterior no balanceada, adquirirá una aceleraciónproporcional a dicha fuerza con la misma dirección y sentido. (f = ma ).

32.LEY DE NEWTON 3a: A toda acción corresponde una reacciónde la misma magnitud y de sentido contrario.

33.LIBRA: Unidad de fuerza utilizada como patrón en el sistemainglés.

34.MASA: Según algunos autores es la resistencia que pone uncuerpo al movimiento, pudiéndose definir también como lacantidad de materia que tiene un cuerpo.

35.MECÁNICA: Es la parte de la física que estudia el movimiento ypredice los efectos ocasionados por las fuerzas.

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36.MOMENTO: Es el producto de una fuerza por una distancia,debiendo ser éstas perpendiculares entre sí.

37.MOMENTO DE INERCIA: Es la resistencia que pone un cuerpo agirar.

38.NEWTON: Unidad de fuerza en el sistema internacional.

39.PARTÍCULA: Si las dimensiones que tiene un cuerpo sondespreciables, lo consideraremos como partícula.

40.PASCAL: Unidad de presión en el sistema internacional queequivale a un N/m2.

41.PI: Es el número de veces que cabe el diámetro en elperímetro.

42.POTENCIA: Es la rapidez con la que se lleva a cabo un trabajo.

43.RADIÁN: Es un ángulo, cuya longitud de arco es igual al radio.

44.RADIO DE GIRO: Es el lugar geométrico donde se considera queestá concentrada la masa de un cuerpo.

45.RAPIDEZ: Cantidad Escalar que indica la magnitud de lavelocidad.

46.SLUG: La unidad de masa en el sistema inglés.

47.TIEMPO: Lo que separa dos eventos.

48.TRABAJO: Cuando por medio de una fuerza se desplaza uncuerpo, se realiza un trabajo, tanto la fuerza como la distanciadeben se paralelas entre sí.

49.VELOCIDAD: Cambio de posición con respecto al tiempo.Cantidad Vectorial que además de magnitud, especie y signo,tiene dirección y sentido.

50.WATT: Unidad de potencia equivalente a un N-m/s.

Si consideras importante incluir otras definiciones, sugiérelas al correoelectrónico: jmleon@inglesa.com.mx

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Con el fin de tener una referencia más clara de lo que es la Dinámica de laPartícula, a continuación presentamos un cuadro sinóptico donde laubicamos:

I.3. CUADRO SINÓPTICO.

La definición de los conceptos enunciados en el cuadro sinóptico anteriorestán contenidas en el tema de Definiciones.

Ciencias NaturalesElectricidad

Magnetismo Estática de la PartículaCinemática

Física Mecánica del Cuerpo Rígido

Sonido Dinámica

Ciencias Ciencias Exactas Óptica de la Partícula

Cinética_

Matemáticas del cuerpo Rígido

Ciencias Sociales

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Así como el estudio de la Estática se remonta a la época de los filósofosgriegos, los primeros antecedentes relacionados con la Dinámica fueronemitidos por Galileo Galilei (1564-1642). Los experimentos realizados por SirIsaac Newton (1642-1727) relacionados con el movimiento uniformementeacelerado fueron la base para formular y fundamentar las leyes delmovimiento.

Como podemos observar en el cuadro sinóptico, la Dinámica se divide enCinemática y Cinética. La primera estudia el movimiento puro, sin importar lascausas que lo producen, y la Cinética, además de estudiar el movimiento,también analiza las causas que lo producen. Cuando analizamos la relaciónque existe entre las fuerzas que actúan en un cuerpo y la masa del mismo,estamos usando la Cinética para predecir el movimiento ocasionado por lasfuerzas aplicadas o podemos predecir cuáles fuerzas nos producen unmovimiento determinado.

Cuando en nuestro curso hablamos de una partícula, no nos estamosrefiriendo a un cuerpo minúsculo, pequeño, sino que hacemos referencia a uncuerpo cuyas dimensiones son despreciables. Si estudiamos el movimiento detraslación de nuestro planeta Tierra, lo estamos tratando como una partícula;pero si del mismo planeta analizamos su movimiento de rotación, que generala aparición del día y la noche, estamos ahora tratando no con una partícula,sino con un cuerpo rígido. Recuerda, LAS PARTÍCULAS NO TIENEN MOVIMIENTODE ROTACIÓN, SOLAMENTE TRASLACIÓN.

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I.4. P R I N C I P I O S G E N E R A L E S

Como ya se mencionó en el curso de Estática, la Mecánica se basa en seisprincipios fundamentales a saber:

1. Ley del Paralelogramo2. Principio de Transmisibilidad3. Primera ley de Newton4. Segunda ley de Newton5. Tercera ley de Newton6. Ley de Gravitación Universal

1. La “Ley del Paralelogramo” indica que cuando dos fuerzas actúan sobreuna partícula, éstas pueden ser sustituidas por su resultante, ocasionando elmismo efecto.

2. El “Principio de Transmisibilidad” nos indica que una fuerza puede deslizarsesobre su línea de acción produciendo el mismo efecto. ¡Ojo! Este principiosólo es aplicable en Mecánica, ya que en Resistencia de Materiales cambianlos efectos producidos.

3. Las tres leyes de Newton están contenidas en las definiciones anteriores.

6. La “Ley de Gravitación Universal”, enunciada también por Sir. Isaac Newton,establece que la fuerza de atracción entre dos partículas m y M, es igual alproducto de sus masas entre la distancia que los separa al cuadrado,multiplicando este cociente por la Constante de Gravitación Universalrepresentada por la letra “G”.

F = (Mm/r2)G.

Es tan importante este concepto que de él se obtiene el valor de “g” que es lamagnitud de la aceleración que produce el planeta Tierra en los cuerpos quese encuentran sobre su superficie. Un cuerpo, al ser atraído por la Tierra,genera una fuerza igual a su peso, el cual podemos cuantificar con laecuación W = mg, y de la misma manera podemos cuantificar la masa de uncuerpo dividiendo su peso entre el valor de la gravedad.

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Finalmente, si en la ecuación anterior tomamos como M igual a la masa de latierra, damos a “m” un valor unitario y dado que el radio de la Tierra no esconstante, lo representaremos por la letra “R”,

g = GM/R2

Para fines prácticos, tomaremos los valores de la aceleración debida a lagravedad como 9.81 m/s2 en el sistema internacional, y 32.2 pies/seg2 en elsistema Inglés.

A continuación, deduciremos de una manera sencilla el origen de las cuatroecuaciones principales utilizadas en la solución de problemas de cinemática:

Ecuaciones de cinemática.

Los dos tipos de movimiento mas comúnmente usados en la cinemática, son: a velocidadconstante y con aceleración constante. Por definición, la velocidad es el cociente delcambio de posición en función del tiempo, que puede considerarse como la velocidadpromedio. Un caso similar es para el cambio de velocidad respecto al tiempo, mejorconocido como aceleración promedio, como se observa en la tabla 1.

Sin embargo, cuando se trata de velocidades y aceleraciones instantáneas el incremento detiempo considerado es muy pequeño y se aproxima a cero sin llegar a él. A este fenómenoque considera incrementos de tiempo muy pequeños o instantes se le conoce como derivaday matemáticamente se expresa como el límite cuando el tiempo tiende a cero, del cocienteentre el cambio de posición y el incremento del tiempo.

Tabla 1 Interpretación matemática de la velocidad y aceleración promedio e instantánea.

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Análisis Promedio Instantánea

Velocidad

Aceleración

La velocidad instantánea es la primera derivada del desplazamiento respecto al tiempo. Laaceleración es la derivada de la velocidad también respecto al tiempo, ésta última se puedeexpresar también como la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo o comoel producto de la velocidad por el cambio de ésta respecto al tiempo.

Al resolver las ecuaciones diferenciales mostradas en la tabla 1 para velocidades yaceleraciones instantáneas se obtienen ecuaciones algebraicas que son de uso más prácticoa nivel de ingeniería y son útiles para una amplia gama de problemas en Ingenieríamecánica. (ver tabla 3).

La característica del movimiento uniforme, es que la velocidad es constante, y por tanto laaceleración es cero. Para el caso del movimiento uniformemente acelerado, es decir, conaceleración constante, se consideran tres casos: El primero, relaciona el cambio develocidad, la aceleración y el tiempo. El segundo, es una relación entre el cambio deposición, la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo. Por último, el cambio develocidad, el cambio de posición y del tiempo.

Tabla 2 Variables análogas de translación y rotación.

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Translación Rotación

En función de los datos conocidos del problema se pueden utilizar las siguientes ecuacionesde movimiento, las cuales son válidas para translación y rotación.

Tabla 3: Deducción algebraica de las ecuaciones del MRU, MRUA en traslación y rotación.

Movimiento Uniforme UniformementeAcelerado

UniformementeAcelerado

UniformementeAcelerado

Ecuacióncaracterística.

Separandovariables.

Integración.

Ecuaciónalgebraica

ParaTranslación.

Ecuaciónalgebraica

para rotación.

Las ecuaciones se resumen en la tabla 3, donde se muestra la deducción de las ecuacionesalgebraicas del movimiento uniforme y uniformemente acelerado, para translación yrotación.

Por ahora, haremos un resumen de las ecuaciones más utilizadas en estecurso, donde de incluimos también algunas fórmulas e identidadestrigonométricas que, espero, serán suficientes para resolver CUALQUIERPROBLEMA DE DINÁMICA a este nivel de Licenciatura.

I.5. FORMULARIO

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1. s = s0 + vt2. v = v0 + at3. s = s0 + v0 t + ½at2

4. v2 = v02 + 2as

FÓRMULA GENERAL PARA RESOLVERECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

- b ± b2 – 4 acX =

2 a

LEY DE SENOSA B C

= =Sen Sen β Sen

LEY DE COSENOS

c2 = a2 + b2 – 2ab cos

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

2(sen cos ) = sen (2)1

= 1 + tg2 Cos2

Cos ( + β) =cos cos β – sen sen β

VELOCIDADES RELATIVAS

s A/B = sA-sB

v A/B = va-vB

a A/B = aA-aB

T1 + U1-2 = T2 = Principio de conservación de la Energía.T = Energía Cinética = ½ mv2

V = Energía Potencial = ½ kx2 = WhFt = Impulso

mv = Cantidad de movimientoU = Trabajo = Wh = Fs

CONVERSIONES1 milla = 5280 pies

1 ton = 2,000 lb1 HP = 0.7457 KW

1 HP = 550 Lb-ft/seg = 33,000 Lb-ft/min1 WATT = 1 JOULE/seg = 1 Nm/seg

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I.6. S I S T E M A S D E U N I D A D E S

Cada vez que hablamos de algo medible, debemos de mencionar susunidades. Si hablamos de tiempo, debemos mencionar si son milenios, siglos,lustros, años, meses días horas minutos o segundos; si hablamos de volúmenes,debemos precisar si son litros, metros cúbicos, galones, barriles, etc.Tratándose de dinero, se debe especificar si son pesos, dólares, euros,quetzales o cualquier otro tipo de moneda. Cuando hablamos de Mecánica,las unidades a cuantificar son distancia, tiempo, masa, fuerza y sus derivados.

Existen tres sistemas básicos para cualquier tipo de medición:

1. Sistema Internacional2. Sistema Inglés3. Sistema MKS (para nuestro País y la mayoría de los países

latinoamericanos)

La inmensa mayoría de los pueblos latinoamericanos fuimos conquistados porlos españoles y, consecuentemente, nos impusieron el Sistema MKS. Sinembargo, los Estados Unidos de Norteamérica fueron conquistados poralgunos países sajones, quienes impusieron como unidad de medición elSistema Inglés; pero al efectuar transacciones internacionales, había muchaconfusión para buscar, por ejemplo, el equivalente a una unidad de longitudde 8 millas, 7 yardas, 5 pies, 11 pulgadas y 7/16 de pulgada a metros.Deberíamos ser especialistas en unidades de medición para remediar esteproblema. A mediados del siglo pasado, después de algunas convencionesinternacionales, todos los países adoptaron el Sistema Internacional demedidas y se acordó que sería de uso mundial. Pero, a pesar del acuerdo, esprácticamente imposible para nosotros acudir a la tortillería y pedir nossuministren diez Newtons de tortillas y 4 Newtons de masa; pensará eldependiente que no estamos cuerdos.

A pesar que hace más de 50 años que se aprobó y acordó utilizar el SistemaInternacional, a la fecha (2012), en nuestro País, todavía no se vendenbásculas que midan el peso en Newtons y hay muy pocos manómetros quecuantifican la presión en Pascales.

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U N I D A D E S D E M E D I D A M Á S U S A D A S

SISTEMA INTERNACIONAL MKS INGLÉSMASA Kilogramo Unidad Técnica de

Masa (UTM)Slug

LONGITUD Metro Metro Pulgada, pie, yarda,milla

TIEMPO Segundo Segundo SegundoFUERZA Newton Kilogramo Libra

Existen dos métodos para la solución de los problemas de dinámica: gráfico yanalítico.

La inmensa mayoría de los problemas de Dinámica se pueden resolver por elmétodo analítico; sin embargo, existe también el método gráfico.

I.7. MÉTODO ANALÍTICO

Para resolver los problemas por el método analítico, el físico italiano GalileoGalilei (1564-1642) enunció este método que consiste básicamente en lossiguientes pasos:

1. Comprensión del problema.2. Análisis del mismo, es decir, crear una hipótesis acerca de la respuesta.3. Predecir las consecuencias del análisis.

La inmensa mayoría de los problemas de Mecánica en general y de Dinámicade la partícula en particular, los resolveremos aplicando estos tres pasos:

Primeramente debemos comprender el problema, analizando con tododetenimiento su contenido e imaginando cuáles son los datos y cuáles lasincógnitas a resolver.

Una vez que hayamos analizado el problema, recordaremos las ecuacionesaplicables al tema y de ellas elegiremos la que contenga varios de los datoscon los que contamos y solamente una incógnita; la despejaremos y haremoslos cálculos necesarios para llegar al resultado que estemos buscando.

Finalmente, si tenemos alguna duda al respecto, podemos utilizar lasecuaciones dimensionales con el fin de corroborar que el resultado escorrecto.

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I.8. MÉTODOS GRÁFICOS

Al igual que en la trigonometría, no se recomienda resolver problemas por estemétodo; sin embargo sí es de utilidad saber qué tipo de gráfica me generaalgún movimiento.

PARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME TENEMOS LAS SIGUIENTESGRÁFICAS:

V S

Gráfica Velocidad-Tiempo Gráfica Desplazamiento-Tiempo

PARA EL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO, USAREMOSLAS SIGUIENTES GRÁFICAS:

V = at S = Vot + ½ (at2)

Gráfica Velocidad-Tiempo Gráfica Desplazamiento-Tiempo

Velocidad constante

V

t0

Pendienteconstante

t0

t0

SV

t0

Pendienteconstante

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Este libro está diseñado de tal manera que al principio de cada capítulo otema se da la teoría relacionada con el mismo. Posteriormente, se enunciandiez problemas relacionados con él y al final del libro se encuentra unsolucionario, donde, a manera de ejemplo, se resuelven paso a paso,absolutamente todos los problemas enunciados. Si el estudiante consideraque son pocos los ejemplos, puede recurrir a cualquier libro de dinámica de lapartícula y en ellos encontrará gran variedad de problemas; pero todos,absolutamente todos los problemas de temas tratados en este libro, se podránresolver con los conocimientos adquiridos aquí.

Cualquier comentario al respecto será bienvenido en el correo electrónico:

jmleon@inglesa.com.mx

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C A P Í T U L O II. C I N E M Á T I C A D E L A P A R T Í C U L A

II.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Este tipo de movimiento se caracteriza por tener desplazamientos iguales entiempos iguales, es decir, la velocidad permanece constante, ni decrece ni seincrementa.

Como se menciona en las definiciones, la Cinemática estudia el movimientopuro sin importar las causas que lo producen. Para resolver los problemasrelacionados con el movimiento rectilíneo uniforme, existe una, y solamenteuna ecuación que dice: S = S0 + vt. Ésta es la ecuación marcada con elnúmero uno del formulario que más adelante se muestra.

De esta ecuación, despejando, se puede obtener: v = S/t y t = S/v.

Debemos recordar que tanto las velocidades como las aceleraciones soncantidades vectoriales, y como tales las debemos tratar al sumarlas y restarlas.

Algunas veces se confunde el significado de rapidez y velocidad y,equivocadamente, creemos que son sinónimos. Si un automóvil se desplazaen una pista circular y su velocímetro marca siempre el mismo valor, tendráuna rapidez constante porque su valor nunca cambia, su velocidad tendrá lamisma magnitud, pero su dirección cambia a cada instante, por lo tanto no esconstante. Por lo anterior podemos deducir que la rapidez es una cantidadescalar y representa el valor numérico de la velocidad, la cual sí es unacantidad vectorial.

Velocidad media: Esta velocidad se obtiene efectuando la relación de lasuma de los desplazamientos parciales entre la suma de los tiempos parcialesde acuerdo con la ecuación.

Velocidad media = suma de desplazamientos parciales / suma de tiempos.

Velocidad promedio: Se calcula sumando las velocidades parciales entre elnúmero de sumandos.

Velocidad promedio =( V1+V2+V3+Vn)/n.

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R = 40m

100 m

II.1.1. Un automóvil pretende efectuar un viaje de la Ciudad de México alpuerto de Acapulco. Considerando que entre el origen y el destino hay unadistancia de 400 Kilómetros y que de ida viajará con una velocidad constantede 120 Km/h y de regreso sostendrá una velocidad también constante de 80Km/h, determinar la velocidad MEDIA del viaje y la velocidad PROMEDIO yestablézcase por qué la diferencia.

II.1.2. Sabiendo que de la ciudad de Mérida en el estado de Yucatán a laciudad de Tijuana en Baja California hay aproximadamente 4180 kilómetros,calcular en horas, minutos y segundos el tiempo necesario para efectuar esteviaje a una velocidad promedio de 90 Km/h.

II.1.3. Suponiendo que un corredor de fútbol americano corre en diagonalentre 2 vértices opuestos una cancha profesional que mide 100 yardas delargo por 60 de ancho en 50 segundos a velocidad constante, calcule el valorde esta velocidad en pies por segundo, millas por hora y yardas por segundo.

II.1.4. Un corredor de pista da 10 vueltas en la pista mostrada en la figura II.1.4,sabiendo que su velocidad es constante y su magnitud es de 3 m/seg;calcular el tiempo requerido para dar las 10 vueltas en horas, minutos ysegundos.

F I G U R A No. II.1.4

II.1.5. Un automovilista viaja a una velocidad constante de 50 millas por horacuando observa que el siguiente semáforo localizado a 1200 pies cambia a

25

C

x500 m

Av = 80 Km/h v = 120 Km/hB

A B

C

x

BABv = 30 Yd/hv = 20 Yd/hA

5 millas

color verde, si él sabe que la luz de la señal de tráfico permanecerá con esecolor durante 15 segundos y no aplica los frenos ni acelera, determinar si sehará acreedor a una infracción.

II.1.6. Un corredor corre en un circuito circular de radio igual a 30 metros a unavelocidad constante de 4 m/s. Calcule la distancia recorrida durante unahora en: a) metros, b) radianes, c) vueltas.

II.1.7. Dos automóviles circulan sobre carriles adyacentes de una mismacarretera pero en sentidos contrarios. El automóvil A viaja hacia el norte conuna velocidad de 80 Km/h y el automóvil B se desplaza hacia el sur con unavelocidad de 120 Km/h, ambos con velocidades constantes. Sabiendo quepara t=0 la distancia entre los dos automóviles es de 500 metros, calcularcuándo y dónde se cruzarán los automóviles.

Problema II.1.7

II.1.8.- Dos automóviles A y B circulan por carriles adyacentes de una mismacarretera pero en sentidos contrarios. Sus velocidades respectivas sonconstantes de 20 y 30 yardas por hora. Si la distancia entre ellos en t=0 es de 5millas, calcular cuándo y dónde se cruzarán los automóviles.

Problema II.1.8

II.1.9.- Un automóvil circula con velocidad constante de 25 kilómetros porhora, calcular con aproximación de centímetros el desplazamiento quetendrá en 35 minutos.

26

II.1.10.- Un automóvil circula con velocidad constante de 25 millas/hora.Calcular en millas, yardas, pies y pulgadas la distancia recorrida en 35 minutos.

II.2. MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Este tipo de movimiento se caracteriza porque su velocidad no es constante:o se incrementa (aceleración positiva) o decrece (aceleración negativa).Para resolver este tipo de movimiento, existen tres ecuaciones:

S = S0 +V0t + ½ at2. V = V0 + at. V2= V02 + 2as.

Como podemos observar, las tres ecuaciones son en función de laaceleración, es decir, dependen del valor de la aceleración y ésta deberáser CONSTANTE. Los problemas que tengan ACELERACIONES VARIABLES,solamente podrán resolverse haciendo uso del cálculo diferencial o integral,según sea el caso. Como ya lo justificamos anteriormente, este tipo deproblemas no serán tratados en este curso.

Dependiendo de los datos con los que contemos, utilizaremos una de las tresecuaciones anteriores.

II.2.1. Deseamos conocer la altura de un edificio localizado en cualquier playa(al nivel del mar) donde el valor de la aceleración de la gravedad es de 9.81m/seg2. Para ello, dejamos caer una piedra sin velocidad inicial y observamosque la piedra toca el suelo 6.385 segundos después de haberla liberado.¿Cuál es la altura del edificio?

II.2.2. Un automóvil parte del reposo y acelera con un valor constante de 5m/seg2 hasta alcanzar una velocidad de 120 Km/h, la cual permanecetambién constante. Determine la distancia recorrida por el automóvil durantelos primeros 15 segundos de movimiento.

II.-2.3. Un automóvil se desplaza 200 metros en un tiempo de 25 segundos. Si sesabe que durante el desplazamiento acelera con una magnitud de 0.5m/seg2,determine: a) Su velocidad inicial, b) Su velocidad final y c) La distanciarecorrida durante los primeros 10 segundos.

II.2.4. Un automóvil viaja con una velocidad constante de 50 Km/h cuando suconductor decide aplicar una aceleración constante de 4 m/seg2. Determineel tiempo que necesita para recorrer los siguientes 200 metros y la velocidadque tendrá en ese instante.

27

o(v ) = 36 M/h= 24 M/ho

75 pies

A(v ) B

A B

II.2.5. Se lanza un cohete desde el piso en dirección vertical. Sabiendo quedurante los primeros 5 segundos de movimiento uniformemente acelerado elproyectil alcanza una altura de 200 metros, calcular: a) La aceleración con laque fue lanzado, b) La altura máxima alcanzada por el cohete y c) El tiempototal que permaneció en el aire.

II.2.6. La plataforma de un elevador abierto está descendiendo con velocidadconstante V cuando la plataforma del elevador golpea una piedra y ésta sedesprende. Suponiendo que la piedra cae sin velocidad inicial, demuestreque la piedra golpeará a la plataforma con una velocidad relativa Ve. SiVe=15 pies por segundo, determine cuándo y dónde golpeará la piedra a laplataforma.

II.2.7. Los automóviles A y B viajan en carriles adyacentes. Para t=0, tienenrespectivamente velocidades de 24 y 36 millas por hora. Si el automóvil Atiene una aceleración constante de 1.8 pies/seg2 y B tiene unadesaceleración constante de 1.2 pies/seg2, determine cuándo y dónde Aalcanzará a B y las correspondientes velocidades en ese instante.

Problema II.2.7

II.2.8. Dos automóviles, A y B, viajan en la misma dirección en carrilesadyacentes y están detenidos en un semáforo en rojo. Cuando éste cambiaa verde, el automóvil A acelera con un valor constante de 3 pies/seg2 dossegundos después el automóvil B arranca con una aceleración de 4 pies/seg2.Determinar a) cuándo y dónde B alcanzará a A, b) la velocidad de cadaautomóvil en ese instante.

II.2.9. Desde un elevador que sube con una velocidad de 5 m/s se deja caeruna piedra que llega al suelo en 3 segundos. a) ¿A qué altura estaba elelevador cuando se dejó caer la piedra? b) ¿Con qué velocidad chocó lapiedra contra el suelo?

II.2.10. Una llave de agua deja caer gotas a intervalos iguales de tiempo.Cuando una determinada gota B empieza a caer libremente, la gota

28

B AB/AS = S - SSA

BS

BA

precedente A ha descendido ya 0.3 metros. Determinar el espacio que habrádescendido la gota A durante el tiempo en que la distancia entre A y B hayaaumentado a 0.9 metros.

II.3.- MOVIMIENTOS RELATIVOS:

Les llamamos así a los movimientos de un cuerpo o partícula vistos desde otro.

En la siguiente gráfica se muestra la relación que existe entre losdesplazamientos de un cuerpo o partícula respecto a otro, los cuales sonaplicables también a las velocidades y aceleraciones.

Movimientos relativos

De la misma manera podemos enunciar las siguientes ecuaciones:

SB/A = SB-SA; VB/A = VB-VA; aB/A =aB-aA.

Las cuales se leen: “El desplazamiento del punto B con respecto al punto A(visto desde el punto A) es igual al desplazamiento del punto B menos eldesplazamiento del punto A”. No olvidemos que estamos tratando concantidades vectoriales; consecuentemente, las sumas y restas deben servectoriales.

Utilizando estas ecuaciones con sus variables podemos resolver cualquier tipode problemas relacionados con movimientos relativos.

¡ TOMAR CON LA MANO UNA BALA DISPARADA ¡

29

Con el fin de facilitar la comprensión de este tema, a manera de anécdota,transcribiré un párrafo del libro “Física Recreativa” de Yakov Perelman,editado en 1980.

“Durante la Primera Guerra Mundial, según información de prensa, a unaviador francés le ocurrió un caso extraordinario. Cuando iba volando a doskilómetros de altura, este aviador se dio cuenta de que junto a su cara semovía una cosa pequeña. Pensó que sería algún insecto y, haciendo un ágilmovimiento con la mano, lo cogió. Cuál sería su sorpresa cuandocomprendió que lo que acababa de cazar era… ¡una bala de fusil Alemana!”

No obstante, esta noticia sobre el piloto que cogió la bala no tiene nada deimposible.

Las balas no se mueven durante todo el tiempo con la velocidad inicial de800-900 metros por segundo, sino que, debido a la resistencia del aire, vancada vez más despacio y, al final de su trayectoria, pero antes de empezar acaer, recorren solamente 40 metros por segundo. Ésta era la velocidadfactible para los aeroplanos de entonces. Por consiguiente, la bala y elaeroplano podían volar a la misma velocidad en un momento dado y en esascondiciones, la bala resultaría inmóvil o casi inmóvil con relación al piloto. Esdecir, éste podría cogerla fácilmente con la mano, sobre todo con un guante(porque las balas se calientan mucho al rozar con el aire).

Recordemos que para sumar dos o más vectores, gráficamente debemosdibujar el primer sumando; en el extremo de él, debemos colocar el segundosumando; en el extremo del segundo, colocaremos el principio del tercero yasí sucesivamente. Aunque es recomendable sumar los vectores siempre dedos en dos, también podemos sumar tres o cuatro vectores de manerasimultánea o efectuando sumatorias de fuerzas sobre cada uno de los ejes y,finalmente, obteniendo la resultante.

II.3.1. Un automóvil A viaja por una autopista con una velocidad constante de

30

B

A

380 pies

B(v )0

0(v )A

60 M/h y se encuentra a 380 pies de la entrada de una rampa de acceso,cuando el automóvil B entra a la misma carretera con una velocidad de 15M/h y acelera de manera uniforme para incorporarse al carril de bajavelocidad después de recorrer 200 pies en 5 segundos y continúa acelerandocon la misma magnitud hasta alcanzar una velocidad de 60 M/h, la cualmantiene constante. Determine la distancia final entre los dos automóviles.

Problema II.3.1

II.3.2. Se observa que desde una estalactita se desprenden gotas de agua demanera intermitente y espaciada a tiempos iguales. Cuando la gota Bempieza a caer, la gota A que le antecedió ha recorrido un pie. Determine ladistancia que ha recorrido la gota A cuando la distancia entre A y B se hayaincrementado a 3 pies.

II.3.3. Desde un punto alejado seobserva una locomotora de vapor,la cual está en reposo y se ve queel humo que sale de su chimeneaforma un ángulo de 30 grados conla horizontal. Suponiendo que elviento tiene una velocidadhorizontal constante, determine lavelocidad del viento en eseinstante.

Problema II.3.3

II.3.4. Mientras un estudiante viaja en un tren aerodinámico con una velocidadde 300 Km/h, observa que las gotas de la lluvia caen con una inclinación de10 grados respecto a la horizontal. Calcular la magnitud de la velocidad delagua, suponiendo que ésta es vertical y constante.

II.3.5. Un automóvil y un camión de carga viajan por una misma carretera ycon la misma velocidad constante de 35 M/h. Inicialmente, el automóvil seencuentra localizado 40 pies detrás del camión, pero el conductor del

31

400 m

350 m

45°

v = 40 m/sT

E

Av = 45

m/s

A

vBAv BA

120°

0.6 m0.4 m

automóvil desea rebasar al camión y ubicarse a 40 pies del mismo delante deél y continuar su camino con la misma velocidad de 35 M/h. Sabiendo que laslongitudes de los vehículos son respectivamente 16 y 50 pies para el automóvily el camión y que las máximas aceleración y deceleración del automóvil sonrespectivamente 5 y 20 pies/seg2, determinar el mínimo tiempo requeridopara efectuar la maniobra si nunca debe exceder la velocidad de 50 M/h.

Problema II.3.5

II.3.6. Un tren de 350 metros de longitud viaja con una velocidad constante de40 m/seg y cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si un automóvilA que se desplaza con una velocidad de 45 m/seg se encuentra a 400 metrosdel cruce en el instante en el que el frente del tren alcanza el cruce,determine: a) la velocidad relativa del tren con respecto al automóvil, b) ladistancia entre el automóvil y el extremo del último vagón del tren en esteinstante.

Problema II.3.6

II.3.7.- Dos bolas de billar A y B se están moviendo con velocidades constantesVA = 0.5 m/seg y VB = 1.5 m/seg. Determine la velocidad relativa de A con

32

AB

5 p

ies

15°

Bv

= 6 pies/segvA

A

B

30°v = 45 M/hA

Bv = 60 M/h

respecto a B en el instante indicado y la distancia entre las dos bolas cuandot=1.25 seg.

Problema II.3.7

II.3.8. Determine la velocidad requerida enla banda B si la velocidad relativa con lacual la arena golpea a la banda Bdeberá ser a) vertical, b) mínima.

Problema II.3.8

II.3.9. Con el fin de golpear un poste, un hombre que viaja en un camión lanzauna piedra con una velocidad horizontal relativa al camión de 75 pies/seg.Sabiendo que la velocidad del camión es de 30 M/h, determine a) ladirección a la cual debe lanzar la piedra b) La velocidad horizontal de lapiedra respecto al piso.

II.3.10. El camión A y el automóvil B viajan con las velocidades constantesmostradas. 5 segundos después que el automóvil cruza el puente, el camiónpasa por debajo del mismo. Determine a) la velocidad del automóvilrespecto al camión, b) el cambio de posición del automóvil respecto alcamión después de 10 segundos, c) la distancia entre el automóvil y elcamión 10 segundos después que éste ha cruzado el puente.

Problema II.3.10

II.4. M O V I M I E N T O S D E P E N D I E N T E S

33

A B

S A S B

B

A

S A

BS

Se les llaman movimientos dependientes cuando el movimiento de un cuerpoDEPENDE del movimiento de otro u otros cuerpos.

Para cada uno de los casos que se nos presenten existe una y sólo unaecuación particular para ese problema específico y no puede ser usada paracualquier problema.

Dado que la longitud de las cuerdas usadas en este tipo de problemas soninextensibles, su longitud no cambia, y consecuentemente la suma vectorialde sus desplazamientos, velocidades y aceleraciones son constantes deacuerdo a las siguientes ecuaciones:

SA + SB = constante consecuentemente VA + VB = 0 y aA + aB = 0

FIGURA No. 1

Analizando la figura No. 1, tenemos que la suma de las longitudes de loscables SA y SB es constante, por lo tanto podemos escribir:

SA + SB = constante, obteniendo la primera derivada tenemos que: VA + VB = 0

Consecuentemente: VA = -VB

Y obteniendo la segunda derivada: aA + aB = 0

Y finalmente: aA = -aB

Por lo anterior, las fórmulas subrayadas son LAS ECUACIONES DE ESTE SISTEMA.

34

C

B

A

S A

BS

CS

FIGURA No. 2

En la figura anterior podemos deducir que: 2SA + SB = constante

Obteniendo la primera derivada tenemos que: 2VA + VB = 0; 2VA = -VB

Y de la segunda derivada obtenemos: 2aA + aB =0; 2aA = -aB

Las cuales son LAS ECUACIONES DE ESTE SISTEMA.

FIGURA No. 3

En la figura No. 3, la longitud del cable es: SA + 2SB + SC = constante

35

A

S A

B

C

CS

S B

Por lo tanto, las ecuaciones del sistema son: VA + 2VB +VC = 0

Y aA + 2aB + aC = 0

Dado que la suma de tres cantidades positivas nunca nos dará cero, al menosuno de los tres términos deberá ser negativo.

RESUMIENDO: Para obtener la ecuación de cualquier sistema:

1. Observamos de cuántos cables depende el movimiento de un cuerpo.

2. Colocamos como factor el número de cables.

3. Si al desplazarse un cuerpo cede cable, le asignamos el signo positivo;en caso de absorber cable, le asignaremos signo negativo y si notuviese movimiento lo ignoramos y lo tratamos como polea.

A continuación y a manera de ejemplo, deduciremos la ecuación que rige elsiguiente sistema:

FIGURA No 4

Sabiendo que los cuerpos A y C descienden con los siguientes valores:

VA = 8 m/seg y VC = 3 m/seg,

calcular la magnitud y sentido de la velocidad del cuerpo B.

Se observa la cantidad de cables de los cuales depende el movimiento decada cuerpo y anotamos que ya que el movimiento de los cuerpos A y Bdependen de dos cables, les corresponde el número 2 y como el cuerpo Cdepende de un solo cable, su factor será el número uno, el cual está implícitoen la ecuación.

2SA 2SB SC = constante. Derivando tenemos: 2VA 2VB VC = 0

36

CS

B

CA

B

A

Y obteniendo la segunda derivada tenemos que: 2aA 2aB aC = 0

A continuación, dependiendo si el cuerpo cede o absorbe cable, asignamoslos signos: dado que al descender los cuerpos A y C absorben cable, se lesasignará el signo negativo. Como la suma deberá ser cero, al cuerpo B lecorresponderá el signo positivo, por lo tanto, cederá cable.

- 2VA +2VB - VC = 0 y -2aA + 2aB + aC = 0

Las cuales son las ecuaciones del sistema.

Finalmente, por este mismo método, deduciremos las ecuaciones que rigen elsiguiente sistema:

FIGURA No. 5

Siguiendo las instrucciones del ejemplo anterior, deduciremos las ecuacionesque rigen el sistema mostrado en la figura No. 5.

3SA 2SB 4SC = constante; 3VA 2VB 4VC = 0; y 3aA 2aB 4aC = 0

Podemos observar en la figura que al moverse el bloque C hacia la derechaabsorberá cable, por ello a este bloque le corresponde el signo negativo; alrealizar este movimiento, jalará los bloques A y B hacia la derecha, y, con ello,ambos bloques cederán cable, correspondiéndoles por esta razón el signopositivo. Por lo anterior, las ecuaciones de este sistema serán:

+ 3SA + 2SB - 4SC = constante. + 3VA + 2VB - 4VC = 0; + 3aA + 2aB - 4aC = 0

37

A

S AB

C

CS

S B

10 Kg

100 Kg

A

B

II.4.1. El bloque B inicia su movimiento desde elreposo y desciende con una aceleraciónconstante. Si se sabe que después de que elbloque A se ha desplazado 0.4 m su velocidad esde 4 m/seg, determine a) las aceleraciones de Ay B, b) la velocidad y el desplazamiento delbloque B después de 2 segundos.

Problema No. II.4.1

II.4.2. Sabiendo que el bloque A asciende con unavelocidad de 3 yardas por minuto y el bloque Cdesciende con una velocidad de 27 pies porsegundo, determine la magnitud y el sentido de lavelocidad del cuerpo B.

Problema II.4.2

II.4.3. El sistema mostrado parte del reposo. Sabiendo que elbloque B se desplaza 32 metros en 3 minutos, determinar laaceleración del bloque A.

Problema II.4.3

38

A

B

100 Kg

WE

C

M

B

CA

B

A

II.4.4. En la figura mostrada, para t=0 el cuerpo A sedesplaza hacia arriba con una velocidad constante de 8m/seg, el cuerpo B parte del reposo con una aceleraciónconstante de 2 m/seg2 hacia abajo. Calcular la velocidady aceleración del cuerpo C para t=10 seg.

Problema II.4.4

II.4.5. El bloque A parte del reposo con unaaceleración constante. Sabiendo que el bloque Brecorre 18 metros en 4 segundos, calcular laaceleración del bloque B.

Problema II.4.5

II.4.6. En el instante mostrado, el bloque A tiene unavelocidad inicial de 4 m/seg y una aceleración de 2m/seg2. Calcular el desplazamiento del bloque B alcabo de los primeros 5 segundos.

Problema II.4.6

II.4.7. Sabiendo que el sistema mostrado parte del reposo yque el bloque W tiene una aceleración constante de 4pies/seg2 hacia abajo, calcular la velocidad y aceleracióndel punto C del cable después que hayan transcurrido 5segundos.

Problema II.4.7

39

CS

B

CA

ED

CBA

II.4.8. Si los bloques A y C se desplazan hacia la derecha con una velocidadde 4 y 9 pies/seg, respectivamente, determinar la velocidad del bloque B.

Problema II.4.8

II.4.9. El bloque A se desliza a la izquierda con velocidad constante de 0.3m/seg. Determinar a) la velocidad del bloque B, b) las velocidades de lasporciones C y D del cable, c) la velocidad de A con respecto a B, d) lavelocidad relativa de la porción C del cable con respecto a D.

Problemas II.4.9 y II.4.10

II.4.10.- El bloque B parte del reposo y se desliza hacia la derecha conaceleración constante. Después de 4 segundos, la velocidad relativa de Acon respecto a B es de 0,06 m/s. Encontrar a) las aceleraciones de A y B,b) la velocidad y posición de B después de 3 segundos.

40

II.5. TIRO PARABÓLICO

Este tipo de movimiento no es más que la combinación del movimientorectilíneo uniforme (en el eje horizontal) y el movimiento rectilíneouniformemente acelerado (en el eje vertical) que se llevan a cabo de manerasimultánea.

Para hacer más comprensible lo anterior, nos permitiremos recordar quecuando limitamos nuestra visión con un solo ojo perdemos la noción de laprofundidad - o como se dice comúnmente, la tercera dimensión - y vemossolamente en un plano. Para confirmar lo anterior, invitamos a los estudiantesa cerrar un ojo, estirar por completo nuestros brazos al frente y tratar de unir laspuntas de nuestros dedos índices. Con este experimento confirmamos la nulavisión en tercera dimensión y organizaremos un partido de béisbol dondetodos los que intervienen son tuertos.

En este partido de béisbol intervienen San Pedro, quien está ubicado en elcielo y desde allá arriba observa el partido; al árbitro del béisbol le llamanampáyer principal e invariablemente está localizado detrás del cátcher y,finalmente, haremos intervenir en este juego a un fanático cómodamentesentado detrás de la primera base. Recordemos que todos nuestrospersonajes están tuertos, es decir, sólo aprecian el juego en dos dimensiones.

Después que el lanzador arroja la pelota, el bateador la golpea y, con eseimpulso, la pelota se eleva y cae detrás de la segunda base, en terreno de“hit”, dentro del área asignada al jardinero central.

Se les cuestiona a nuestros personajes tuertos a fin de que nos digan el tipo demovimiento que tuvo la pelota luego de ser conectada por el bateador. Paranuestra sorpresa, las respuestas son las siguientes:

San Pedro dice: “Ya que la pelota viajó en línea recta, teniendodesplazamientos iguales en tiempos iguales, su movimiento fue¡RECTILINEO UNIFORME!”

El árbitro principal dice: “Ya que la pelota solamente ascendió, sedetuvo y descendió, se trata de un movimiento ¡UNIFORMEMENTEACELERADO!”

La respuesta del fanático ubicado detrás de la primera base es: “Lo viperfectamente, la trayectoria que describió la pelota durante sutrayectoria fue una parábola perfecta, por lo tanto, fue un ¡TIROPARABÓLICO!”

41

0v = 40 m/s1.5

m

60° 30 m

h

0

C B

A

y0B

x

d

Los tres tenían razón porque en el movimiento horizontal (plano X-Z) elmovimiento observado por San Pedro siempre es rectilíneo uniforme; sobre eleje vertical, el movimiento que apreció el ampáyer, siempre es rectilíneouniforme. Y, finalmente, la trayectoria que describe la trayectoria de lapelota, vista por el aficionado, siempre es una PARÁBOLA, por ser la suma delos dos movimientos anteriores.

II.5.1. Encontrar el valor del ángulo requerido para obtener el máximo alcancehorizontal al efectuar un tiro parabólico.

II.5.2. En un encuentro de fútbolamericano, el pateador intentará ungol de campo desde medio campo.Sabiendo que la portería contraria seencuentra a 50 yardas de distancia y a10 pies de altura, determinar lavelocidad mínima que deberá tener lapelota al ser pateada.

Problema II.5.2

II.5.3. Se arroja una pelotadesde un punto situado a 1.5m del piso y una distancia Xdesde la pared de un edificiode 30 metros de altura, conuna velocidad inicial de 40m/seg y una dirección de 600

con la horizontal. Calculara) la máxima altura hobtenida y b) ¿A quédistancia horizontal d desdeel punto donde se arrojóhasta el punto donde chocacon el techo. Problema II.5.3

42

3 m

0.5

m

15°A

s

v

8 m

B AC

10 m

t

1v = 12 m/s

30°

1 mR

= 2 m/s

vC

BA

3 m

II.5.4.- Calcular la magnitud de la velocidad inicial que deberá tener unapelota de golf si al lanzarse con un ángulo de 30 grados con la horizontaldeberá caer a una distancia de 75 metros y a la misma altura de la que fuelanzada.

II.5.5.- Determine la mínima velocidad VA

que debe tener el trineo en el tobogáncuando se aproxima al salto en el puntoA, de modo que alcance el otro lado dela fosa.

II.5.6. Un muchacho arroja una bolade nieve de un modo horizontal conuna velocidad inicial de 12 m/segdesde un puente peatonal con elobjeto de hacerla caer en lasuperficie AB de un camión que vaviajando directamente abajo delmuchacho. Si el camión mantieneuna velocidad constante de 15m/seg y la bola de nieve se lanza enel instante en que el punto B estásobre el punto C, determine elpunto donde la bola de nievechoca con la parte superior delcamión (no se recomienda laverificación experimental).

II.5.7. Pequeños paquetes queviajan sobre una bandatransportadora caen dentro de uncarro de carga de 1 m de longitud.Si la banda transportadora se estámoviendo con una velocidadconstante de 2 m/seg, determine elrango de valores de la distancia R ala cual debe colocarse el carro apartir de la banda transportadora,de manera que los paquetescaigan dentro del carro.

Problema II.5.7

Problema II.5.5

Problema II.5.6

43

A

CB

3.7

m1 m

5 m

BvB

A

10 m/s

II.5.8. Un jugador lanza una pelota con una velocidad inicial V0 de 15 m/segdesde un punto A localizado a 1.5 metros arriba del piso. Si el techo delgimnasio tiene una altura de 6 metros, determine el punto B más alto al quepuede pegar la pelota en la pared a 18 metros de distancia.

II.5.9. En una mina se descarga arenasobre la tolva mostrada. Calcular elrango de valores de la velocidad paraque la arena siempre caiga dentro dela tolva.

Problema II.5.9

II.5.10. Se descarga agua desde el orificio A, como se indica en la figura, conuna velocidad inicial de 10 m/seg y hace impacto sobre una serie de aletasen B. Sabiendo que las aletas se mueven hacia abajo con una velocidadconstante de 3 m/seg, determinar la velocidad y aceleración del aguarelativa a las aletas en B.

Problema II.5.10

44

II.6. ACELERACIONES NORMAL Y TANGENCIAL

Figura II.6a Figura II.6b

Si obligamos a girar una piedra por medio de una cuerda sobre un punto fijo,a velocidad constante, el valor de la tensión de la cuerda permaneceráconstante; sin embargo, si incrementamos la velocidad tangencial,automáticamente se incrementará la tensión en la cuerda ya que:

1.- La aceleración normal = an = v2/r = Ω2r Donde Ω = velocidad angular =v2/r en radianes por segundo.

2.- Debido a la aceleración normal manifestada en la tensión de la cuerda, ladirección de la velocidad tangencial cambia a cada instante.

3.- La aceleración total que experimenta la piedra es: aT = an + at

4.- Dado que estamos hablando de cantidades vectoriales y que SIEMPRE lasaceleraciones normal y tangencial son perpendiculares entre sí, utilizaremos elteorema de Pitágoras para obtener la aceleración total:

(aT)2 = (an)2 + (at)2

rat

rVtan =

rv2

45

B

A

25 m/s 3

4

R

r

A

25 pies

II.6.1. La boquilla de una mangueradescarga un chorro de agua con unarapidez inicial de 25 m/seg y con un ángulode 36.870 con la horizontal. Encontrar elradio de curvatura del chorro a) cuandosale de la boquilla y b) cuando alance sualtura máxima.

Problema II.6.1

II.6.2. Un satélite girará indefinidamente enórbita circular alrededor de la Tierra. Si lacomponente normal de su aceleración esigual a: g(R/r)2, donde g=32.2 pies/seg2, R =radio de la Tierra = 3960 Millas, y r=distanciadel centro de la tierra al satélite, calcular laaltura sobre la superficie de la Tierra de unsatélite que gire indefinidamente alrededorde ésta con una rapidez cuyo valor sea16,000 M/hr.

Problema II.6.2

II.6.3. ¿Cuál es el radio mínimo que puede usarse en una curva de unacarretera para que la componente normal de la aceleración de un carro quese mueve a 45 M/hr no exceda de 2.4 pies/seg2?

II.6.4. Determine la velocidad periférica de la cabinade pruebas centrífuga A para la cual la componentenormal de la aceleración es de 10 g.

Problema II.6.4

II.6.5. Un automovilista parte del reposo sobre una curva de 400 pies de radioy acelera uniformemente con un valor constante de 3 pies/seg2. Determinarla distancia que viajará el automóvil antes de que la magnitud de suaceleración total sea de 6 pies/seg2.

46

A

Bv = 40 Km/h30°B

150

m

Av = 75 Km/h

0.9 pulg

1.5 pulg

v0

0

B

A

II.6.6. Una cinta de computadora se mueve sobre 2tambores con una velocidad constante Vo. Si lacomponente normal de la aceleración de la porción dela cinta en con tacto con el tambor B es de 480pies/seg2, determínense: a) la rapidez Vo, b) lacomponente normal de la aceleración de la porción dela cinta en contacto con el tambor A.

Problema II.6.6

II.6.7. Un autobús parte del reposo sobre una curva de 300 m de radio yacelera uniformemente a 0.75 m/seg2. Determine la distancia y el tiempo queel autobús viajará antes de que la magnitud de su aceleración total sea de0.9 m/seg2.

II.6.8. Sabiendo que la piedra de esmerilmostrada tiene una velocidad constante de1800 r.p.m. y un radio de 5 pulgadas, calcular laaceleración normal de un punto localizado en laperiferia de la piedra.

Problema II.6.8

II.6.9. El automóvil A está viajando por unacarretera recta mientras que el automóvil B semueve a lo largo de una rampa de salidacircular de 150 metros de radio. La velocidadde A está aumentando a razón de 1.5 m/seg2 yla rapidez de B está disminuyendo a una tasa de0.9 m/seg2. Para la posición que aquí semuestra, determínese a) la velocidad de Arelativa a B y b) la aceleración de A relativa a B.

Problema II.6.9

47

90 M/h

3000 pies

II.6.10. Un tren se mueve en una curva de 3,000pies de radio, con una rapidez de 90 M/hr. Seaplican repentinamente los frenos ocasionandoque el tren disminuya su rapidez de maneraconstante, de tal manera que al cabo de 6segundos su rapidez se ha reducido a 60 M/hr.Calcular la aceleración de uno de los vagonesinmediatamente después de aplicar los frenos.

Problema II.6.10

48

C A P Í T U L O III.1. CINÉTICA DE LA PARTÍCULA.

En este capítulo, además de estudiar el movimiento, involucraremos lascausas que lo producen.

Hay mucha física en el simple hecho de sostener una manzana. No sólo laTierra “jala“ a la manzana hacia abajo, sino también la manzana “jala” a laTierra en sentido contrario, es decir, hacia arriba. ¡Exactamente con la mismafuerza! Tanto la Tierra como la manzana tiran una de la otra con fuerzasiguales, pero de sentidos opuestos. El par de fuerzas llamadas acción yreacción constituyen una sola interacción gravitacional. Continúa leyendo,descubre las reglas de la Mecánica y harás mucho más que aprobar un cursode Dinámica: agudizarás tu intuición de la naturaleza.

Recuerda que tanto las fuerzas, velocidades y aceleraciones son CANTIDADESVECTORIALES; consecuentemente, al sumarlas, restarlas, etc. se les debe tratarcomo vectores.

SEGUNDA LEY DE NEWTON

En este capítulo trataremos los fenómenos producidos por las fuerzas,recordando la segunda ley de Newton que nos dice: “Si a un cuerpo que seencuentra en estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme le aplicamosuna fuerza exterior no balanceada, adquirirá una aceleración proporcional adicha fuerza con la misma dirección y sentido”. Entre nosotros, simplemente larepresentamos como la sumatoria de fuerzas en cada uno de los ejes. Si nohay una fuerza resultante, la sumatoria de fuerzas será igual a cero y, comoconsecuencia, estaremos dentro del campo de la estática. Sin embargo,cuando existe una fuerza resultante, ésta producirá en el cuerpo o partículadonde se aplique, una aceleración y la representaremos por la ecuación:

Fx = maAlgunos autores la representan como:

Fx – ma = 0Y le llaman la ecuación del equilibrio dinámico, pero no se confundan: esexactamente la misma.

Al referirnos a la sumatoria de fuerzas, implícitamente nos estamos refiriendo ala resultante y para obtenerla, lo podemos hacer construyendo un triángulo uobteniendo la resultante en cada uno de los ejes. Si hemos elegido construir

49

un triángulo - lo cual es muy conveniente cuando sumemos únicamente dosfuerzas - debemos usar la ley de cosenos o la ley de senos (ver formulario en lapágina 15), o simplemente haremos sumatoria de fuerzas en cada uno de losejes a fin de obtener la aceleración en ese eje.

Suponiendo que la aceleración gravitacional en la luna es de 2.42 m/seg2,determinar el peso en Newtons y la masa en kilogramos de una barra deacero, cuya masa se ha designada de manera oficial igual a 2 kg.Sea cual fuere el método seleccionado para hacer la sumatoria de fuerzas, esindispensable dibujar un diagrama de cuerpo libre (es la representacióngráfica de las fuerzas que actúan en un cuerpo) ya que de él se obtendrántodas las ecuaciones para la solución del problema; sin él, no es posibleresolver ningún cuestionamiento.

Por lo anterior, para resolver cualquier problema de Cinética es indispensableseguir los tres pasos siguientes:

1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre.

2. Establecer un procedimiento.

3. Efectuar los cálculos.

Todos los cuerpos tienen un peso, el cual siempre debemos considerar,a menos que se indique lo contrario. El peso de cualquier cuerpo está dadopor el producto de su masa multiplicada por la atracción gravitacional.

Todos los problemas enunciados a continuación deberán ser resueltosutilizando el método de la segunda ley de Newton.

III.1.1.III.1.2. Si la distancia de frenado de un automóvil desde 60 M/hr es de 150 piessobre un pavimento plano, determine la distancia de frenado del mismoautomóvil a la misma velocidad cuando está: a) subiendo una pendiente de5°, b) bajando un plano inclinado a 5º. Suponga que la fuerza de frenado esindependiente del grado de inclinación.

III.1.3. Un camión se desplaza sobre una carreteraque tiene una pendiente del 3º con unavelocidad constante de 35 M/hr. Si el conductorno cambia de velocidad en la palanca, ni deposición el acelerador, determinar la aceleracióndel camión cuando llegue a una parte de lacarretera que sea horizontal.

Problema III.1.3

50

30 M/h

30 Ton40 Ton30 Ton

CBA

( 3 )( 2 )( 1 )

2200 libras

2300 libras

A

B

A

300 libras

200 libras200 libras

300 libras

A

B

III.1.4. El tren suburbano mostrado en la figuraviaja a una velocidad de 30 M/hr cuandorepentinamente se aplican los frenos hastadetenerse. Sabiendo que la fuerza de frenadoen cada vagón es de 5,000 lb, calcular lafuerza ejercida en cada acoplamiento,indicando si es tensión o compresión.

Problema III.1.4

III.1.5. Cada uno de los sistemas mostrados está inicialmente en reposo.Suponiendo que las poleas son de peso despreciable y despreciandotambién las fuerzas de rozamiento, determine en cada caso: a) laaceleración del bloque A, b) la velocidad del bloque A después de 4segundos, c) la velocidad del bloque A después de haberse desplazado10 pies.

Problema III.1.5

51

100 libras

BB

100 libras

( 3 )( 2 )( 1 )

2200 libras

2300 libras

A

B

A

300 libras

200 libras200 libras

300 libras

A

B

III.1.6. ¿Cuánto peso se deberá agregar o restar al bloque A de cadasistema para que su aceleración sea g/4 hacia abajo?

Problema III.1.6

III.1.7. Al bloque deslizante A de 100 lb de peso se le suspende un bloque Bde 40 lb como se muestra en la figura. Sabiendo que el sistema parte delreposo y despreciando el rozamiento, determine: a) la velocidad delbloque A después de 5 segundos y b) la distancia recorrida por A cuandosu velocidad sea de 8 pies/seg.

Problema III.1.7 Problema III.1.8

III.1.8. a) Determinar el peso del bloque B sabiendo que la aceleración delbloque A es de 4 pies/seg2 hacia arriba y b) trate de resolver la parte a del

52

100 libras

200 libras

P

15 pies

C

B

A

12 p

ulg

18 p

ulg

problema anterior, suponiendo que la aceleración de A es de 18 pies/seg2

hacia arriba. Explique la dificultad encontrada.

III.1.9. La carga del camión mostrado está localizada a 15 pies de lacabina. El coeficiente de rozamiento entre la carga y la plataforma es de0.3. Sabiendo que la velocidad del camión es de 30 M/hr, determine lamínima distancia en la que se puede detener el camión sin que la carga sedeslice.

Problema III.1.9 y III.1.10

III.1.10. El coeficiente de fricción entre la carga y la plataforma del tráiler esde 0.3. Cuando el camión viaja a 60 M/hr, el conductor aplica los frenossúbitamente y se detiene después de haberse desplazado 250 pies.Determine la velocidad de la carga respecto a la plataforma cuandogolpea la parte delantera de la misma.

III.1.11. Una caja de 200 libras descansa sobre un carrito de 100 libras. Elcoeficiente de rozamiento estático entre la caja y el carrito es de 0.25. Si lacaja no desliza respecto al carrito, a) determinar el máximo valor de P yb) la correspondiente aceleración del carrito.

Problema III.1.11

III.1.12. Sabiendo que los bloques B y C llegan al pisosimultáneamente y exactamente un segundodespués de que el sistema parte del reposo,determinar los pesos WB y WC en función de WA.

53

m

L

C

B

A

4 pi

es

60°

60°

Problema III.1.12

III.1.13. Sabiendo que el coeficiente derozamiento es 0.3 y WC=10 lb, determineWA y WB si la aceleración de ambos (A yB) debe ser g/5 dirigida hacia abajo.

Problema III.1.13

III.1.14. Una pequeña esfera de peso W=5lb, se ata a un cable de longitud L=6 pies yse desplaza sobre un círculo con velocidadconstante Vo. Sabiendo que la cuerdaforma un ángulo de 30° con la vertical,determine a) la tensión en la cuerda, b) lavelocidad Vo de la esfera.

Problema III.1.14

III.1.15. Dos cables AC y BC están atados a unaesfera en C. El sistema está diseñado para que laesfera se desplace a velocidad constante V.Determinar el rango de valores de la velocidadpara que los dos cables permanezcan tensos.

54

L

AB

0

C

30° DA 30°

300 pies

C

Problema III.1.15

III.1.16. Una esfera de 3 lb se encuentra oscilando enun plano vertical y suspendida de una cuerda de 18pulgadas de longitud. Calcular la tensión en lacuerda cuando θ = 60º sabiendo que la velocidaden ese instante es de 6 pies/seg.

Problema III.1.16

III.1.17. Una pequeña esfera de peso W está suspendida del techo pormedio de los cables AB y CD. Cuando el cable AB es cortado, determinea) la tensión en el cable CD antes de que AB sea cortado, b) la tensión enel cable CD y c) la aceleración de la esfera inmediatamente después deque el cable AB haya sido cortado.

Problema III.1.17

III.1.18. Un piloto cuyo peso es de 175 lb, al pilotear un pequeño avión haceun rizo de 300 pies de radio. Determine la velocidad del avión en lospuntos A y C, sabiendo que en el punto A el piloto experimenta un pesomenor al real y en el punto C su peso aparente es de 600 lb.

55

Recta

P = 500 pies

P = 500 pies

0v

B

Ad

20°

Problema III.1.18III.1.19.- Tres automóviles circulan a una velocidad de 50 M/h a lo largo dela carretera mostrada. Sabiendo que el coeficiente de fricción entre lasllantas y la carretera es de 0.6, determine la aceleración tangencial encada uno de los casos si los frenos se aplican súbitamente en las cuatroruedas.

Problema III.1.19

III.1.20. Desde el punto A se lanza un paquete hacia arriba sobre un planoinclinado 20º con una velocidad inicial Vo. El paquete llega al reposo en elpunto B y empieza a deslizar hacia abajo hacia el punto A. Sabiendo queel paquete alcanza el punto B en 2.4 segundos y regresa al punto A en untiempo adicional de 4.5 seg, determinar a) el coeficiente de rozamientoentre el paquete y el plano inclinado, b) la distancia entre los puntos A y By c) los valores de las velocidades inicial y final del paquete en el punto A.

Problema III.1.20

56

Capítulo III.2. MÉTODO DE TRABAJO Y ENERGÍA

Como vimos en las definiciones, hemos denominado como trabajo alproducto de una fuerza por una distancia, con la única condición de queambas sean paralelas entre sí.. El producto puede ser positivo o negativosiguiendo la regla de los signos El producto de dos cantidades con signosiguales nos dan un producto positivo y el producto de dos cantidades consignos diferentes me darán un producto negativo.

Por definición, sabemos que un cuerpo tiene energía cuando es capaz deproducir trabajo.

Tal como lo estudiamos en la secundaria, recordemos que el científico francésAntonio Lorenzo Lavoisier enunció la Ley de Conservación de la Materia lacual nos indica que: “LA MATERIA NI SE CREA NI SE PIERDE, SOLO SETRANSFORMA.” De la misma manera, la Primera Ley de la Termodinámica diceque: “LA ENERGÍA NO SE CREA NI SE PIERDE, SOLO SE TRANSFORMA”.Basándonos en este principio, veremos cómo se pueden transformar lasenergías.

Existen infinidad de tipos de energías; a manera de ejemplo solamentecitaremos algunas de ellas a saber: energía solar, química, eólica, nuclear,térmica, etc. En particular, a nosotros nos interesa única y exclusivamente laENERGÍA MECÁNICA, de la cual nos ocuparemos a continuación.

Como Energía Mecánica tenemos únicamente dos tipos: la potencial y lacinética; el valor de la primera depende única y exclusivamente de suposición con respecto a un nivel de referencia, y puede ser positiva onegativa, y la representamos por la ecuación:

DEBEMOS TENER PRESENTE QUE, POR SUS CARACTERÍSTICAS Y UNIDADES, TANTOEL TRABAJO COMO LA ENERGÍA SON CANTIDADES ESCALARES, YCONSECUENTEMENTE, LAS DEBEMOS TRATAR COMO TALES.

V = WhDonde: V = energía potencial

W = peso de cualquier cuerpoh = altura o posición del cuerpo.

57

La energía cinética siempre es positiva, ya que aunque la velocidad seanegativa, al elevarla al cuadrado se vuelve positiva.

Y la representaremos por la siguiente ecuación:

T = 1/2mv2

Donde: T = energía cinéticam = masa del cuerpoV = velocidad del cuerpo.

Generalmente la Energía Potencial se puede convertir en Cinética yviceversa.

Este espacio lo destinaremos a explicar este método y realizaremos algunosejemplos relacionados con el mismo.

Por definición, recordemos que Trabajo es el producto de una fuerza por unadistancia, con la condición que ambas sean paralelas entre sí.

TRABAJO = U = F S

El Trabajo puede ser positivo o negativo; la ley de signos nos dará elcorrespondiente en cada caso.

Recordemos el principio de la conservación de la energía. Este principio nosindica que la energía no se crea ni se pierde, solamente se transforma. Porejemplo, al consumir energía química a través de un combustible cualquiera,un automóvil no “quema” la gasolina, sino que la energía química contenidaen ella la transforma en energía térmica y energía mecánica.Aparentemente, la primera se pierde, pero no es así; con este calorprecalentamos el mismo combustible que “quema” el automóvil, pero lamayor cantidad de energía contenida en el combustible, se transforma enenergía mecánica y es esta energía la que propicia el movimiento delvehículo para transportarnos a donde queramos. Si bien es cierto queindeseablemente se genera calor, gran porcentaje de éste es aprovechable.Lo ideal sería que su rendimiento fuera al 100%; sin embargo, hasta ahora nohemos podido lograr un rendimiento tan alto.

Recordemos que el rendimiento en porcentaje está dado por la ecuación:

Energía de salidaRENDIMIENTO =

58

Energía de entrada

Las energías en general, además de transformarse, se pueden almacenar. Porejemplo, la batería de un automóvil guarda energía eléctrica para de estamanera sustituir el antiguo “crank” con el que se arrancaban los vehículos afines del siglo XIX y principios del XX. Las presas acumulan energía potencialen sus aguas; las balas, energía química, la cual, al ser liberada, produceenergía cinética en el proyectil. De la misma manera, los resortes soncapaces de almacenar energía mecánica, la cual podemos usar al liberarla.

Aunque anteriormente nos referimos a los diferentes tipos de energíaexistentes, en este espacio nos ocuparemos única y exclusivamente de laenergía mecánica.

Energía Cinética

Energía Mecánica:

Energía Potencial

La energía mecánica, que es la que nos interesa, puede ser cinética opotencial:

ENERGÍA CINÉTICA = T = 1/2 mV2

Esta energía siempre es positiva, ya que aunque la velocidad puede sernegativa, al elevarla al cuadrado, se vuelve positiva.

ENERGÍA POTENCIAL = V = Wh

Esta energía puede ser positiva o negativa. Para definir su signo, simplementeaplicamos la ley de los signos: signos iguales dan positivo y signos desigualesdan negativo.

En el caso de los resortes, por definición la constante de un resorte se definecomo la fuerza necesaria para deformar un resorte una unidad de longitud,de tal manera que:

CONSTANTE DE UN RESORTE = k = F / x

Por definición, Trabajo = Fx pero de la ecuación anterior F = kx (x/2) por lotanto:

TRABAJO = ENERGÍA POTENCIAL = U = ½ kx2

59

30 M/h

30 Ton40 Ton30 Ton

CBA

= 0.20

B

A

10 pies

100 libras

d

100 libras

4321B

A

6.5 pies6.5 pies6.5 pies12 pies

Y la energía que puede acumular un resorte está dada por la ecuaciónanterior.

Los problemas enunciados en este espacio deberán ser resueltos única yexclusivamente por el método de TRABAJO Y ENERGÍA.

III.2.1. El tren suburbano mostrado en la figura viaja a una velocidad de 30M/hr. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre las vías y las ruedas esde 0.3, determine la distancia requerida para detener el tren y la fuerza encada acoplamiento si aplican los frenos a fondo únicamente en el carro A(una tonelada = 2, 000 lb.)

Problema III.2.2

III.2.2. El sistema mostrado inicialmente está enreposo. Determine la velocidad del bloque Adespués de haberse movido 6 pies.

Problema III.2.2

III.2.3. Cuatro paquetes, cuyo peso individual es de 125 lb, están localizadossobre una banda transportadora, la cual es controlada con un motoreductor.El paquete 1 está justamente a la izquierda de la parte horizontal de la banda.Si el sistema parte del reposo, determine la velocidad del paquete 1 cuandoabandona la banda en el punto A. Suponga que el peso de la banda y losrodillos es despreciable.

60

W

h

B

A

R =

50 p

ies

B

A

C1 pi

e2

pies

5 pi

es

Problema III.2.3

III.2.4. Los bloques A y B pesan 9 y 10 libras,respectivamente, y están conectados a través de uncordón que pasa por las poleas mostradas. El collar Cestá localizado sobre el bloque A y el sistema se sueltadesde el reposo. Después de que los bloques se hanmovido 3 pies, el collar C es removido y los bloquescontinúan su movimiento. Sabiendo que el collar Cpesa 5 libras, determine la velocidad del bloque A,justamente antes de golpear el piso.

Problema III.2.4

III.2.5. Se deja caer un bloque de10 libras desde unadistancia h con un resorte no deformado cuyaconstante es de 5 lb/pulg. Determine la altura h si lamáxima fuerza aplicada al cuerpo por el resorte es a)40 lb, b) 20 lb y c) 15 lb.

Problema III.2.5

III.2.6. El carrito mostrado se deja sin velocidad en el punto A permitiendo quese deslice hacia la parte baja de la pista mostrada. Al pasar por el punto B, seaplican los frenos ocasionando que las ruedas se deslicen. Si sabemos que elcoeficiente de rozamiento es 1/3, suponiendo que no hay pérdida de energíaentre los puntos A y B y sabiendo que el radio de curvatura es de 50 pies,determine las componentes normal y tangencial del carro justamente despuésde que los frenos hayan sido aplicados.

61

r

C

B

A

(2)0vv0

(1)

A

B

C

r r

C

B

A

(2)0vv0

(1)

A

B

C

r

30 p

ulg

24 p

ulg

6 libras

2 libras

A

B

BA

6 pulg

k = 18 libras/pulg k = 12 libras/pulg

16 pulg

Problema III.2.6

III.2.7. Un pequeño paquete de peso W es lanzado por la parte interior de unretorno en el punto A - como se muestra en la figura - con una velocidadinicial Vo. El paquete viaja sin rozamiento a lo largo de un círculo de radio r yes depositado en una superficie horizontal en el punto C. Para cada uno delos dos retornos mostrados, determine a) la mínima velocidad Vo necesariapara que el paquete arribe al punto C, b) la correspondiente fuerza aplicadapor el retorno al paquete al pasar por el punto B.

Problema III.2.7

III.2.8. Dos bloques A y B estánconectados por una cuerda y dejadosen reposo en la posición mostrada.Despreciando el efecto de rozamiento,determine la máxima velocidadadquirida por el bloque B.

Problema III.2.8

III.2.9. Un collarín C de 8 lb se desliza sobre una varilla horizontal entre losresortes A y B. Si se empuja el collarín hacia la derecha hasta que el resorte Bse comprime 2 pulgadas y se suelta, determine la distancia que recorre elcollarín, suponiendo a) ninguna fricción entre el collarín y la varilla, b) uncoeficiente de fricción de 0.35.

62

A

D

C

B

012 pulg

5 pu

lg

W

d

0

B

A

Contrapeso3000 libras

4000 librasElevador

Problema III.2.9

III.2.10. Un collar de peso W=2 lb está unido aun resorte y se desliza a lo largo de una barracircular y está ubicado en un planohorizontal, el resorte tiene una constante k=3lb/pulg y se encuentra sin deformacióncuando está en el punto B. Si el collar sesuelta desde el reposo en el punto C,determine su velocidad al pasar por el puntoB.

Problema III.2.10

III.2.11. Se coloca una partícula en la parte superior de una superficie cilíndricacon r=3 pies y θ=0°. Determine a) el valor de θ que ubica el punto B donde lapartícula abandona la superficie cilíndrica, b) la distancia del centro delcilindro O, al punto donde la partícula golpea el piso.

Problema III.2.11

Problema III.2.12. Determine la potencia requerida cuandoel elevador mostrado a) se mueve hacia arriba con unavelocidad constante de 20 pies por segundo y b) tieneuna velocidad instantánea de 20 pies/seg hacia arriba yuna aceleración de 3 pies/seg2 hacia arriba.

63

15 p

ies

30°

v

A

B

2 millas

180

pies

Problema III.2.12

Problema III.2.13. La escalera eléctrica mostrada está diseñada paratransportar 8,000 personas por hora a una velocidad de 90 pies/min.Suponiendo un peso promedio de 150 libras por persona, determine a) lapotencia promedio requerida, b) la potencia promedio requerida en el motorsi la eficiencia es de 85 % y se permite una sobrecarga del 300 %.

Problema III.2.13

Problema III.2.14. Se transporta grava por medio de una banda transportadoradel punto A al punto B con una velocidad de 4,000 toneladas en un turno de 8horas. Se conecta un generador eléctrico al sistema con el objeto demantener una velocidad constante. Sabiendo que la eficiencia del sistemabanda-generador es de 0.65, determine la potencia promedio proporcionadapor el generador a) si la velocidad de la banda es de 5 pies por segundo, y b)si la velocidad de la banda es de 8 pies/seg.

64

0v

C

B

A

6 pulg

B

CA

10 pulgk = 8 libras/pulg

Problema III.2.14

Problema III.2.15. El cuerpo C y el bloque A se mueven juntos hacia la izquierdacon una velocidad Vo. Cuando el bloque choca repentinamente con unmuro, determine el valor de la velocidad mínima Vo para la cual el cuerpo Crecorrerá un círculo completo alrededor del punto B a) si BC es una barra depeso despreciable, b) si BC es una cuerda.

Problema III.2.15

Problema III.2.16. Cuando la escuadra ABC está girando, lentamente elbloque empieza a deslizarse hacia un resorte cuando θ=15º. Sabiendo que ladeformación máxima del resorte es de 2”, determine el valor del coeficientede rozamiento dinámico ().

Problema III.2.16

65

3 pu

lg

1 pu

lg

CA

B 12 p

ies

h

B

A 1.5

met

ros

Problema III.2.17. Dos bloques A y B de 8 y 12 Kg.respectivamente, cuelgan de un cable que pasa porun tubo, como se muestra en la figura. Si los bloquesse sueltan desde el reposo y la energía disipada porcausa del rozamiento es de 40 Joules, determínese a)la velocidad del bloque B cuando pega en el suelo yb) la fuerza ejercida por el cable en cada uno de losbloques.

Problema III.2.17Problema III.2.18. Se usa el resorte de una pistolade juguete para impulsar una bala de una onzaverticalmente hacia arriba. La longitud delresorte sin deformar es de 5” y se comprimehasta una longitud de 1”. Cuando la pistola sedispara, la longitud del resorte es de 3” una vezque la bala sale del cañón. Si se requiere unafuerza de 8 libras para mantener el resorte enposición de disparo, determine: a) la velocidadde la bala al salir del cañón y b) la alturamáxima alcanzada por la bala.

Problema III.2.18

Problema III.2.19. Se ata un cuerpo de pesoW al extremo de una cuerda de 12” delongitud y se deja en reposo en el punto Asin velocidad inicial para que gire alrededordel punto C en un plano vertical. Lacuerda se rompe cuando la tensión de lacuerda es igual al doble del peso delcuerpo. Determine a) la distancia vertical ha la cual se rompe la cuerda y b) ladistancia a la que el cuerpo golpeará elpiso medido desde el muro vertical.

Problema III.2.19

66

50 libras

T

Problema III.2.20. Un hombre, cuyo peso es de 175 lb, sube corriendo unaescalera cuya altura es de 12 pies en 4 segundos. Determine la potenciapromedio requerida por el hombre para subir la escalera.

CAPÍTULO IV. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

IV.1. IMPULSO

El impulso es el producto de una fuerza aplicada a un cuerpo durante untiempo determinado. Cuando un lanzador de pelota en un partido de béisbolcoloca su brazo de lanzamiento detrás de su cabeza, lo hace para quedurante un mayor tiempo le imprima la misma fuerza a la pelota (impulso) y,consecuentemente, ésta adquirirá mayor velocidad (cantidad demovimiento).

La cantidad de movimiento es el producto de una masa por su velocidad.

Dado que los enunciados anteriores tienen las mismas unidades, podemosigualarlos por medio de la ecuación:

(Impulso) Ft = mv (cantidad de movimiento)

Mv1 + Imp 1-2 = mv2

Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son cantidades vectoriales,a diferencia del trabajo y la energía que vimos en el capítulo anterior, lascuales son cantidades escalares.

Cuando usamos unidades del Sistema Internacional (SI), la magnitud delimpulso de una fuerza se expresa en N.S = (kg.m/seg2)s = Kg.m/s

Todos los problemas siguientes deberán ser resueltos por el método de impulsoy cantidad de movimiento.

Problema IV.1.1. En la figura mostrada, el carrito A y sucontenido tienen un peso de 100 libras y el contrapesotiene un peso de 50 libras. En t=0, el sistema tiene unavelocidad de 10 pies/seg hacia abajo y se aplica unafuerza T=80 lb, como se muestra. Determine el tiempo tpara el cual el sistema a) no tiene velocidad y b) suvelocidad es de 10 pies/seg hacia arriba.

Problema IV.1.1

67

B

100 libras

B

60 pies/seg

120 pies/seg

30°

60°

Problema IV.1.2. Al bloque deslizante A de 100 lb se lecoloca un contrapeso B de 40 libras, como se muestraen la figura. Sabiendo que el sistema parte del reposo ydespreciando el rozamiento, determine la velocidaddel bloque deslizante después de 5 segundos.

Problema IV.1.2

Problema IV.1.3. Una pelota de béisbol, cuyo peso esde 4 onzas, es lanzada con una velocidad de 60pies/seg para ser bateada. Después de ser bateada,tiene una velocidad de 120 pies por segundo en ladirección mostrada. Si el bat y la pelota están encontacto durante un tiempo de 0.03 segundos,determine la fuerza impulsiva promedio aplicada a lapelota durante el contacto.

Problema IV.1.3

Problema IV.1.4. Un clavadista de peso de 175 lb se lanza desde el extremo deun embarcadero con una velocidad de 8 pies por segundo en la direcciónmostrada en la figura. Determine las componentes horizontal y vertical de lafuerza aplicada por el clavadista sobre el embarcadero durante los 0.75segundos que tarda en impulsarse.

68

6 libras2 libras

0v BA

12 pulg

AB

10 pies/seg

BA

130 Ton 50 Ton20 Ton

4 Millas/hr

Problema IV.1.4

Problema IV.1.5. Se dispara una bala cuyopeso es de 0.75 onzas en direcciónhorizontal y atraviesa los bloques A y Bmostrados, ocasionando que se muevancon velocidades de 15 y 12 pies/seg,respectivamente. Determine a) la velocidadinicial de la bala y b) la velocidad de la balacuando está viajando entre los bloques A yB.

Problema IV.1.5

Problema IV.1.6. Un empleado lanza unamaleta de 30 libras con una velocidadhorizontal de 10 pies/seg sobre unaplataforma cuyo peso es de 70 libras.Sabiendo que ésta se puede deslizarlibremente e inicialmente está en reposo,determine la velocidad final de laplataforma a) si la maleta se deslizo sobre laplataforma, b) si la maleta choca contra elbarandal del extremo A.

Problema IV.1.6

Problema IV.1.7. Una máquina de 130 toneladas que viaja a 4 M/hr choca y,automáticamente, se acopla con una plataforma cuyo peso es de 20toneladas y lleva fija una carga de 50 toneladas. Sabiendo que la plataformaestaba inicialmente en reposo, determine a) la velocidad de la máquinainmediatamente después de haberse acoplado y b) la fuerza promedio queactúa durante el acoplamiento suponiendo que se lleva a cabo en unperiodo de 0.4 segundos.

69

Problema IV.1.7

Problema IV.1.8. Un tren ligero formado por dos vagones viaja a 45 M/hr. Elpeso del vagón A es de 18 toneladas y el del vagón B es de 13 toneladas.Cuando se aplican repentinamente los frenos, se ejerce una fuerza defrenado constante de 4,300 libras en cada vagón. Determine a) el tiemporequerido para que el tren se detenga después de que se aplican los frenos yb) la fuerza en el acoplamiento entre los vagones mientras el tren estádesacelerando.

Problema IV.1.9. En un crucero, el automóvil B viajaba hacia el sur y elautomóvil A en dirección 30° al noreste cuando chocaron entre sí. Luego dela investigación, se determinó que, después del choque, los dos automóvilesquedaron trabados y patinaron a un ángulo de 10° al noreste. Cadaconductor afirmó que viajaba al límite de velocidad de 50 Km/h y quetrataron de frenar, pero que no pudieron evitar el choque debido a que elotro conductor iba bastante más rápido. Si se sabe que los pesos de losautomóviles A y B eran, respectivamente, 1500 y 1200 Kg, determine a) cuálde los dos automóviles viajaba más rápido y b) la rapidez del automóvil queiba a mayor velocidad si el vehículo más lento viajaba al límite de velocidad.

Problema IV.1.10. Un hombre de 180 libras y una mujer de 120 libras están depie uno al lado del otro en el mismo extremo de un bote de 300 libras, listospara lanzarse al agua, cada uno con una velocidad de 16 pies por segundocon respecto al bote. Determine la velocidad del bote después que se hayanlanzado ambos al agua, si a) la mujer se lanza primero y b) el hombre se lanzaprimero.

70

b) Impacto central oblicuo

A

B

Línea de

impacto

a) Impacto central directo

Línea de

impacto

B

B

A

v

v

A

Bv

Av

CAPITULO IV.2.- CHOQUES

En este capítulo nos concretaremos a analizar únicamente el impacto centraltanto directo como oblicuo, dado que en el impacto excéntrico los elementosa estudiar se consideran como cuerpos rígidos.

Se dice que ocurre un choque o colisión entre dos cuerpos cuando en untiempo muy corto, casi instantáneo, dos cuerpos se impactan entre síaplicándose fuerzas relativamente grandes entre ellos. Cuando lasvelocidades de los dos cuerpos que se colisionan están antes y después delchoque sobre la misma línea de acción, le llamaremos choque central directo;en caso contrario, se le llamará impacto central oblicuo. A esta línea en lacual se lleva a cabo el fenómeno le llamaremos línea de impacto y leasignaremos la letra “n”; a su perpendicular que a la vez es tangente a lasesferas, le llamaremos el eje “t”.

FIGURA IV.2.1

DirectoCentral

OblicuoChoques

Excéntrico

71

c) Después del impacto

b) En la deformación máxima

B

BA

v vA

BA

u

A

A B

B

a) Antes del impactoEn el choque central directo todos losfenómenos efectuados durante lacolisión se llevan a cabo en la direcciónde la línea de impacto, la cualidentificamos como el eje “n”.

FIGURA IV.2.2

La siguiente ecuación representa la conservación de la energíacinética y es conocida con ese nombre; nos indica que en este tipo dechoques, la energía cinética se conserva:

½ mA V2A + ½ mBV2B = ½ mA(V’A)2 + ½ mB(V’B)2

Esta ecuación, ya simplificada quedará como:

mA VA + mBVB = mA(V’A) + mB(V’B)Y ya modificada la identificaremos como la ecuación representativa de lacantidad de movimiento.

IV.2.3. Considerando dos esferas que se mueven sobre la misma línea deacción y si la velocidad de A es mayor que la velocidad de B, A golpeará a By durante el impacto las dos esferas se deformarán; dependiendo de larapidez con que retornen a su forma original (coeficiente de restitución = e), seconservará o no la cantidad de movimiento.

72

a) Periodo de deformación

AAm vA +A P = A

Am u

A=R+A A

b) Periodo de restitución

AAm v'm uA

Antes del choque: VA/B = VA – VB

Después del choque: V’A/B = V’A--V’B

Para resolver problemas de impacto en general, cuando el valor de “e” seencuentra entre 0 y 1 quiere decir que la energía cinética no se conserva; y yaque el objetivo de esta materia es predecir las velocidades de cada una delas esferas, utilizaremos la siguiente ecuación para lograr nuestro propósito.

V’B – V’A = e( VA – VB )

Esta ecuación nos expresa que: LA VELOCIDAD RELATIVA DE DOS PARTÍCULASDESPUÉS, SE OBTIENE AL MULTIPLICAR SU VELOCIDAD RELATIVA ANTES DELIMPACTO POR EL COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN.

El Coeficiente de restitución es la rapidez con que un cuerpo elástico recuperasu forma original DEL IMPACTO.

FIGURA IV.2.3

Cuando e = 0, mA VA + mBVB = (mA+mB) V’

Cuando e = 1, se conserva la energía total: VA –VB = V’B- V’A

Cuando 0 ≤ e ≤ 1, NO SE CONSERVA LA ENERGÍA TOTAL.

73

tLín

ea de

impacto

BB

A

v

v

A

v

v

'B

'A

BBm v

m vA A

n

AB

t

'

'

- F t =+n

t

B

A

m vA A

F t

m vB B

AAm v

A

Bt

n

CAPITULO IV .2.3

En el choque central oblicuo se cumplen las siguientes condiciones:

FIGURA IV.2.4

1.- La cantidad de movimiento de cada partícula sobre el eje “t” se conserva.

(VA)t = (V’A)t (VB)t = (V’B)t

2.- La cantidad de movimiento total sobre el eje “n” de las dos partículas seconserva.

mA(VA)n + mB(VB)n = mA(VA)n + mB(V’B )n

3.- Se obtiene la componente en “n” de la velocidad relativa de las dospartículas después del choque, multiplicando la componente “n” de lavelocidad relativa antes del choque por el coeficiente de restitución “e”. (verproblema IV.2.1.)

(V’B)n - (V’A)n = e[(VA)n – (VB)n]

74

5 m/s3 m/s

BA

2 Kg 3 Kg

A B6 libras

8 pies/s

2 libras

12 pies/s

FIGURA IV.2.5

Problema IV.2.1. Las velocidades de los dos collarines son las mostradas. Sidespués del impacto se observa que la velocidad del collar A es de 5.4 m/seghacia la izquierda, determínese: a) la velocidad del collar B después delchoque, y b) el coeficiente de restitución entre los dos collares.

Problemas IV.2.1 Y IV.2.2

Problema IV.2.2. Resuélvase el problema anterior suponiendo que se observaque la velocidad del collar A después del impacto es de 3 m/seg hacia laizquierda.

Problema IV.2.3. Dos esferas pequeñas, A y B, están hechas de materialesdiferentes y tienen los pesos indicados en la figura. Se están moviendo sobreuna superficie horizontal sin rozamiento con las velocidades mostradascuando chocan una con otra. Si el coeficiente de restitución entre las esferases e=0.8, determínense: a) la velocidad de cada esfera después del choque yb) la energía perdida por causa del impacto.

Problemas IV.2.3 Y IV.2.4

Problema IV.2.4. Resuélvase el problema anterior suponiendo que la esfera Ase está moviendo a la izquierda con una velocidad de 8 pies/seg.

75

CBA

1.6 m/s

40°VB = 5 pies/s

= 8 pies/sAV

B

A

d

d

d

h

h

h

Problema IV.2.5. Dos automóviles idénticos B y C están en reposo sobre unpuentecillo de acceso (pasarela de embarcar) con sus frenos sin aplicar. Elautomóvil A del mismo modelo que ha sido empujado por los trabajadores delmuelle pega en el automóvil B con una velocidad de 1.6 m/seg provocandouna serie de choques entre los tres automóviles. Suponiendo un coeficientede restitución e=0.7 entre las defensas, determínese la velocidad de cadaautomóvil después de que han tenido lugar todos los choques.

Problema IV.2.5

Problema IV.2.6. Una pelota cuyo, peso es de 2.5libras, cae verticalmente con una velocidad demagnitud VA=8 pies/seg cuando es golpeada en laforma indicada por una pelota B de 1.5 libras quetiene una velocidad de magnitud VB=5 pies/seg. Siel coeficiente de restitución entre las dos pelotas ese=0.75 y si se supone que el rozamiento es nulo,determínense la velocidad de cada pelotainmediatamente después del impacto.

Problema IV.2.6

Problema IV.2.7. Una pelota cae desde una altura hsobre la huella de los escalones mostrados,rebotando las escaleras como se muestra en lafigura. Indicando como “e” el coeficiente derestitución, obténgase el valor de h para el cual lapelota rebota hasta la misma altura sobre cadaescalón.

76

B

A

25 libras6 pies

A B

3 Libras 5 Libras

12 pies/seg 20 pies/seg

20 pies/seg12 pies/seg

5 Libras3 Libras

A

8 onzas

5 onzas

3 pi

es

A

r = 2 pies

B

A

mmX

y

A

v = 40 pies/seg

30°

v = 30 pies/seg

A B

B

60°

Problema IV.2.7

Problema IV.2.8. La magnitud y dirección de lasvelocidades de dos esferas lisas antes de chocarentre sí son las mostradas en la figura.Suponiendo que e = 0.9, determine la magnitudy dirección de la velocidad de cada esferadespués del impacto.

Problema IV.2.8

Problema IV.2.9. Se deja caer un bloque de 50 librasdesde una altura de 6 pies sobre una placa de 25libras, la cual es usada como plataforma de unabáscula y suponiendo que el impacto esperfectamente plástico. Sabiendo que la constantedel resorte es k=100 lb/pulg, determine el máximodesplazamiento de la plataforma.

Problema IV.2.9

Problema IV.2.10. El coeficiente de restitución entre los dos collarinesmostrados es 0.75. Determine a) sus velocidades después del impacto y b) laenergía perdida durante el impacto.

Problema IV.2.10

Problema IV.2.11. Resuelva el problema anterior si la velocidad del collar Afuera de 12 pies/seg hacia la izquierda.

Problema IV.2.12. El bloque mostrado se suelta cuandoθ=90º y desliza sin rozamiento hasta que golpea a la esferaB. Sabiendo que e=0.9, determinar a) la velocidad de laesfera inmediatamente después del impacto, b) el valorde la máxima tensión alcanzada por el cable que lasostiene y c) la altura máxima alcanzada por la esfera.Problema 14.61 1ª.

77

x

y

a

A

B

v

WBAWDC

k = 12 libras/pulgk = 12 libras/pulg

BA

Problema IV.2.12

Problema IV.2.13. Determinar el valor del ángulo θ del problema anteriorcuando el máximo ángulo entre la cuerda soporte de la esfera y la verticalsea de 45º.

Problema V.2.14. El bloque A está en reposo cuando el resorte C se comprimeuna distancia X y se desliza sin rozamiento hasta golpear al collar B. Elcoeficiente de restitución entre los collares está determinado por e. ¿Cuáldeberá ser el peso del collar A si la velocidad del collar B inmediatamentedespués del impacto deberá ser tan grande como sea posible? Problema14.68

Problema IV.2.14

Problema IV.2.15. Dos bolas de billar idénticas A y B de radio r se puedendesplazar libremente sobre una mesa horizontal. Si la bola B está inicialmenteen reposo y A tiene una velocidad inicial Vx=V y Vy=0, determine la distancia“a” de tal manera que la componente de la velocidad de la bola B en el ejeY después del impacto sea máxima. También determine la correspondienteresultante de la velocidad de B y la dirección en que B se moverá supongaque e = 1. Prob. 14.50

Problema IV.2.15

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Í N D I C E

DINÁMICA DE LA PARTÍCULA Página

CONTENIDO: 2

CAPÍTULO I.- INTRODUCCIÓN 3

I.1.- Las fuerzas y el movimiento 7I.2.- Definición de conceptos 81.3.- Cuadro sinóptico 11I.4.- Principios generales 13I.5.- Formulario 15I.6.- Sistemas de Unidades 16I.7.- Método Analítico 17I.8.- Métodos Gráficos 18

CAPÍTULO II.- CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

II.1.- Movimiento Rectilíneo Uniforme 23II.2.- Movimiento Uniformemente Acelerado 26II.3.- Movimientos relativos 28II.4.- Movimientos dependientes 33II.5.- Tiro Parabólico 40II.6.- Aceleraciones Normal y Tangencial 43

CAPÍTULO III.- CINÉTICA DE LA PARTÍCULA 49

III.1.- SEGUNDA LEY DE NEWTON 49

III.2.- MÉTODO DE TRABAJO Y ENERGÍA 57

CAPÍTULO IV.- IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 62

IV.1.- IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

IV.2.- CHOQUES 71

Solución de los problemas 79

Índice 117

Oficio de autorización 118

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92º1

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