Libro Est M6-2005

Probabilidad y Estadística Libro para el estudiante

Nivel Medio Superior del

Instituto Politécnico Nacional

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional

‘Probabilidad y Estadística’ Libro para el Estudiante Hoja 1

Libro para el estudiante

Introducción

1. Secuencia de Aprendizaje (Contenido y referencia de su ubicación)

Unidad 1. Estadística Descriptiva Unidad 2. Elementos Básicos de Probabilidad Unidad 3. Probabilidad Condicional Unidad 4. Distribución de ProbabilidadUnidad 5. Inferencia Estadística

2. Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje MAPOA

3. Problemas I. Problemas

II. Problemas con guía III. Proyectos

4. Ejercicios

5. Lecturas

6. Autoevaluaciones

7. Bibliografía


IntroducciónEl marco institucionalEn el Simposio ‘La Prospectiva del IPN y los Desafíos para el Siglo XXI’, que tuvo lugar a fines del siglo pasado, se destacó que el quehacer institucional se debe orientar hacia la creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. En particular, al IPN le corresponde atender a las necesidades del país para sustentar su desarrollo científico y tecnológico, por lo que deberá convertirse en un espacio de socialización que integre en sus propuestas formativas la ciencia, la tecnología y el conocimiento con una ética de responsabilidad profesional, en donde el currículo, la pedagogía, la organización, el diseño y la aplicación de las políticas institucionales, tengan la capacidad para actuar consistentemente frente a los escenarios del siglo que comienza.Para lograr estas metas, el IPN debe mantener un esquema dinámico de acción que lo haga un espacio de formación, aprendizaje, actualización e investigación de alta calidad; un espacio y una comunidad en los que la permanencia y el apoyo se hagan posibles en función del mérito intelectual, la competencia demostrada y el potencial de contribución social, a donde la sociedad y sus instituciones puedan dirigirse para obtener respuestas confiables a sus cuestionamientos.Las nuevas exigencias de acreditación de carreras y de certificación de egresados, imponen una sistematización del desarrollo curricular que obliga a que la reforma académica se constituya en un ejercicio permanente que garantice a los egresados el perfil profesional requerido para los tiempos por venir.Así, la educación que el IPN ofrezca tendrá que superar la imagen tradicional de la adquisición de conocimientos como un fin en sí, para insistir en el desarrollo de aptitudes en el nivel de métodos, de procedimientos y de estrategias de intervención; por lo que habrá que mejorar los programas educativos y de investigación, adecuar las instalaciones, los recursos humanos y la infraestructura, y fomentar el desarrollo tecnológico.En atención a las demandas que la sociedad le plantea, el IPN tiene como eje de su transformación un nuevo perfil profesional que orienta el diseño y la instrumentación de nuevos modelos educativos que proponen una relación adecuada entre los conocimientos, las habilidades práctico-productivas y las actitudes que dotarán a los estudiantes de capacidad emprendedora, responsabilidad, creatividad y flexibilidad en su desempeño profesional.En su prospectiva 2000-2015 hacia el nuevo Modelo Educativo Politécnico se señala que el reto no considera cambios radicales pero sí contundentes en: la reorientación del enfoque y los contenidos de tal manera que el IPN eduque para

o vivir, o aprender, o emprender, o crear o y saber ser;

la presencia de un esquema cultural que amplíe los horizontes de la ciencia y la tecnología nacionales;


dar un valor social, económico y ético a los conocimientos resultantes, para estar presente en los circuitos de la distribución mundial de los saberes;

proveer de servicios y haberes a la población del país; y de contribuir a mantener la equidad, la unidad y el bienestar nacionales.Estos son los desafíos que, en palabras de la propia institución, el IPN reconoce para el presente y el futuro inmediatos.

¿Qué entendemos por enseñar y aprender en el área de matemáticas?Cuando una persona adopta el papel de estudiante y se encuentra con sus profesores y con sus compañeras en el salón de clases hay un acuerdo implícito, el estudiante está ahí para aprender y el profesor para enseñar. Tu experiencia en la escuela te ha formado una noción intuitiva de lo que estas dos ideas y prácticas significan y de lo que puedes esperar de una clase. Sin embargo, el sistema educativo que hemos heredado no se diseñó para que aprendieras a actuar en forma adaptativa en un ambiente complejo inundado por la tecnología. Sus objetivos no consideraron que fuera necesario, o siquiera posible, que pudieras aprender a interpretar textos no familiares con propósitos variables, construir argumentos convincentes atendiendo varios niveles, comprender sistemas complejos, desarrollar diversos enfoques a los problemas o llevar a buen fin la solución de un problema trabajando en grupo. Pero la sociedad requiere cada vez más una educación que se centre en las llamadas habilidades intelectuales de orden superior. Estas habilidades, de nombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas, organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos y actividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte a verdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir las consecuencias. . . Todo esto es complicado, pero es lo que haces, y vas a seguir haciendo cada vez más, dentro y, sobre todo, fuera de la escuela. Resnick, conocida investigadora en educación matemática, quien ha estudiado este pensamiento de orden superior, lo caracteriza señalando que

no es algorítmico, porque las vías por las que circula no están bien definidas previamente,

es complejo, porque no basta una perspectiva, da lugar a soluciones diversas, cada una con sus costos y beneficios, requiere de la aplicación de criterios múltiples, en ocasiones contradictorios, que

al aplicarse producen juicios matizados, va acompañado de una fuerte carga de incertidumbre, no se suele conocer todo

lo que se necesita, debe auto-regularse, comprende la asignación de un significado, encontrando la estructura que

subyace al desorden aparente y exige un esfuerzo considerable, un trabajo intelectual con propósitos definidos

en diversos niveles.De la Prospectiva del IPN podemos retomar la orientación que se debe dar al quehacer institucional hacia la creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. Esto es una invitación para contribuir a una reforma educativa imaginativa y muy exigente, que requiere una reconceptualización de lo que significa «tener clase». Para nosotros, tus profesoras, «enseñar matemáticas» significará


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crear las condiciones que, con tu indispensable participación protagónica, producirán la apropiación del conocimiento, el desarrollo de las habilidades y la formación de las actitudes. «Aprender matemáticas» significará involucrarse en una actividad intelectual exigente, cuya consecuencia final será la disponibilidad de un conocimiento dual: como instrumento y como objeto. Así, «saber matemáticas» significará el desarrollo de estos dos aspectos del conocimiento: Como instrumento, el conocimiento matemático está inscrito en un contexto. En este

caso es necesario usar las nociones y teoremas matemáticos que considera el programa de la materia para resolver problemas e interpretar situaciones nuevas.

Como objeto, el conocimiento está descontextualizado y es atemporal. Debes ser capaz de formular definiciones, enunciar y demostrar teoremas e identificarlos como elementos de una disciplina: la matemática.

Los tres pensamientos siguientes nos señalan aspectos que debemos considerar en nuestro aprendizaje:

Oigo y olvido,veo y recuerdo,

hago y comprendo.(Un viejo proverbio chino)

Hacer . . . y reflexionar acerca de lo que se hace.(Seymour Papert)

No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo(Así decían los griegos)

Es decir, oyendo, viendo, haciendo... pero además reflexionando y comunicando.

Así nuestro modelo se puede sintetizar, de manera esquemática, en la tríada

El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que debe contar con una nueva actitud del estudiante, que también se responsabiliza y se compromete con su aprendizaje. Juntos podrán discutir y definir las distintas maneras de desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y sus riesgos. Las Competencias Básicas y su dimensión matemáticaNuestro marco de referencia lo establece la SEP en sus competencias básicas del estudiante de bachillerato. Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante,


Hacer

Reflexionar

Comunicar

de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para su aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo que se considera que deben ser comunes a todos los bachilleratos del país.

Se considera que las competencias básicas que se deben desarrollar durante el paso del educando por el bachillerato son:

Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita, así como interpretar los mensajes en ambas formas.

Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos, matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.).

Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicos para la resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitud creativa y trabajando individualmente o en grupos.

Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de los conocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos y políticos de su comunidad, región y del país.

Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual.

Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que se refiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, salud física y formación cultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo social.

Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana.

Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global del medio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad.

En cada una de las competencias anteriores hay una componente matemática, por lo que en el área de matemáticas se trata de lograr los conocimientos, las habilidades y las actitudes que al articularse con los de las otras áreas te permitan desarrollar significativamente estas competencias. Estos objetivos, que sin duda quieres lograr tanto como nosotros, exigen nuevas modalidades de trabajo, a las que quizás no estás acostumbrado, y pueden causarte conflictos, cierta desesperación, algo de presión, pero, según afirman los expertos como Resnick, los aprendizajes complejos no se logran aislando las componentes visibles, desarrollándolas e integrándolas posteriormente, sino mediante experiencias que ponen en juego, simultáneamente, tanto las habilidades de índole general, como los conocimientos específicos, junto con tu disposición para embarcarte en situaciones con una fuerte carga de riesgo e incertidumbre. Estos ‘buenos propósitos’ son más complejos, lograrlos es una tarea más difícil pero también, creemos, más atractiva e interesante. La experiencia básica en nuestras clases se definirá por nuestra relación con los problemas. La resolución de un problema en la clase es un proceso muy complejo cuando los problemas que enfrentas son verdaderos problemas. Debido a esta complejidad, los factores que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema, y comprender algo significativo como resultado de la interacción con el problema, son muchos y de distintos niveles. La desatención de uno, o varios, de estos factores puede entorpecer y a veces hacer


imposible la solución de un problema o la comprensión que se deriva de la interacción fecunda con el problema. Una componente que influye de manera determinante corresponde a la forma en que las personas interactúan durante la resolución de un problema. Piensa en un laboratorio en el que se realizan algunos procesos complejos, los factores que intervienen en los procesos se administran, se registran continuamente y algunos de ellos se controlan. Así, si queremos crear un ambiente propicio para el desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior es necesario que aprendamos a participar en cada modalidad de trabajo: individual, equipo y grupo completo. El desarrollo de la tecnología, verdaderamente impresionante en la actualidad, ha perfilado el mundo en que vivimos. Nuestra cultura cuenta ya con una componente matemática que no sólo atañe al especialista sino al ciudadano. Las matemáticas están tan inevitablemente incorporadas a nuestra vida cotidiana que, si hemos sobrevivido, es porque, de alguna manera, hacemos un buen uso de las pocas o muchas matemáticas que sabemos.La herramienta tecnológica por excelencia es la matemática, pero la matemática es una herramienta dinámica porque para cada problema nuevo hay que diseñar una herramienta nueva; basta revisar la gran cantidad de matemáticas nuevas que se han hecho, especialmente en la segunda mitad del siglo pasado, y el papel que han desempeñado en la solución de los problemas importantes de todas las áreas.Anteriormente, los objetivos que perseguía una sociedad, o una institución, cambiaban cada dos o tres generaciones. Actualmente, los objetivos se revisan constantemente y el cambio forma parte de nuestra realidad cotidiana. Los conocimientos que hace veinte años estaban vigentes en la electrónica, por poner un ejemplo, hoy son casi totalmente obsoletos. Más que conocimientos específicos, que, por supuesto, en cierta medida siguen siendo necesarios, lo que se trata de lograr en la educación de hoy es la capacidad para ser autosuficiente cuando se organiza el aprendizaje que nos exige la profesión. Para organizar uno mismo su aprendizaje es necesario desarrollar: las habilidades para usar el conocimiento y articular los conocimientos en pos de un

propósito más complejo; las actitudes que nos permiten enfrentar situaciones con una componente importante de

incertidumbre; la capacidad para transferir, es decir, aplicar en una situación distinta a aquélla en la que

aprendimos, los conocimientos que adquirimos. El conocimiento debe ser uno de los principales elementos que determinen la relación entre un profesor y sus alumnos. Pero la clase también es un sitio de interacción de costumbres y creencias de cada uno de sus participantes, es conveniente contar con un lenguaje común que nos permita tener un ambiente que propicie la enseñanza y el aprendizaje desde la perspectiva descrita. Así, cada una de nuestras experiencias de aprendizaje dentro del salón de clases tendrá un doble propósito: aprender a crear un ambiente de trabajo y aprender matemáticas.El ambiente estará dirigido a promover la independencia del estudiante y la responsabilidad que debe tener en su aprendizaje, a través de:

El trabajo individual y en equipo. La resolución de actividades matemáticas. La discusión matemática. La evaluación de tu trabajo y del trabajo de tus compañeros en el equipo y en el

grupo.


Cuando se lee sobre el pensamiento de orden superior, sobre tener una actitud participativa, crítica y creativa, se suele decir, “sí, parece deseable y necesario, quiero lograrlo, pero ¿cómo lo hago?”. En la Academia de Matemáticas hemos reconocido la gran dificultad que hay para lograr estos objetivos y, junto con los Clubes de Matemáticas de varias escuelas, hemos diseñado y adaptado una serie de materiales auxiliares para la organización del aprendizaje, que te servirán para traducir en acciones cotidianas este importante propósito. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se usan y comentan constantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que, tanto el profesor como los alumnos, se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En una sección de este Libro se tiene un comentario un poco más amplio de estos ‘Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA)’. En términos generales, estos auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse de su aprendizaje» y contribuyen al logro de la autonomía de los alumnos en la organización de sus propios aprendizajes.

El curso de Probabilidad y EstadísticaEl IPN tiene fama de ser uno de los mejores bachilleratos en matemáticas de México. La gran mayoría de ustedes seguramente se enorgullece de tener cierta facilidad para las matemáticas. El último curso del área de matemáticas se llama Probabilidad y Estadística. Al escuchar el título, lo que viene a nuestra mente es, quizás, el melate y otros concursos de la Lotería Nacional, las tablas y gráficas que presentan los noticiarios y las encuestas que se hacen para cualquier cosa. Sin embargo, conforme realices las actividades que te propondremos te darás cuenta de la clase de conocimiento que queremos que logres, un conocimiento que se asocia con la calidad de su uso. Esto quiere decir que no se trata de padecer cursos, para aprobarlos, que nos exigen realizar operaciones para las que no tenemos ningún significado inmediato, con la promesa de que en un futuro indeterminado acabaremos por aplicarlas. No se trata entonces de que ingenieros titulados no sean capaces de resolver los problemas que se les presenten si no tienen una receta, o alguien que los dirija, para hacerlo. Nadie contrata hoy a un profesional para que resuelva un problema que ya está resuelto. Queremos que el criterio básico para juzgar la calidad de nuestro aprendizaje, sea la medida en que somos capaces de darle sentido a las conclusiones que obtenemos al aplicar nuestros conocimientos a la resolución de un problema, ya sea familiar o nuevo; que seamos capaces de descubrir los patrones que relacionan las características de un proceso, de imponer un modelo matemático, si es necesario; y de evaluar los resultados de su aplicación en función de criterios propios de la situación en la que se originó nuestro problema.Por supuesto que este tipo de aprendizaje es más difícil. Así como el espacio de nuestra experiencia básica tiene varias dimensiones, una longitud, una anchura, una profundidad y un tiempo, el aprendizaje que queremos lograr tiene varias dimensiones: los conocimientos, las habilidades, las actitudes y la transferencia. Necesitamos aprender a identificar y lograr objetivos en varias dimensiones, a vivir este aprendizaje multidimensional en la escuela, particularmente en nuestras clases de matemáticas.Según lo estipula el objetivo general de tu programa, “El curso permitirá al alumno introducirse

al estudio de fenómenos aleatorios, su interpretación, importancia, tratamiento y aplicación;


al uso de técnicas de muestreo; al conocimiento y la aplicación, en diversos problemas, de diferentes técnicas de

recopilación y presentación, análisis e interpretación de datos numéricos; en el uso y la apropiación de las reglas para el cálculo de probabilidades y de las

distribuciones de probabilidad; en la importancia y el uso del método estadístico en la toma de decisiones;

en el desarrollo de habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento en la resolución de problemas a partir del uso de la simulación y del modelo de urnas, propiciando la asimilación de aprendizajes más complejos para la resolución de problemas en su cotidianidad, área tecnológica y vida profesional.”

El método de trabajo se basa en la problematización continua, la formulación de conjeturas y la revisión sistemática de los conocimientos adquiridos, utilizando técnicas grupales para el análisis y la discusión, así como técnicas expositivas y de indagación, apoyadas con recursos audiovisuales y tecnológicos (computadora, calculadora, etc.), procurando que la relación entre el alumno y el objeto sea constructiva.Durante todo el desarrollo del curso, se promoverán el análisis, la solución y la discusión de problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciación de su propio trabajo personal, el de sus compañeros y el de su docente.Deberá tenerse presente que la resolución de problemas es la que permite generar e integrar conocimiento, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. En este proceso el docente es el organizador de las experiencias de aprendizaje que problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, de manera que sus alumnos puedan interactuar con los problemas planteados y, mediante esta interacción, avanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, a lo largo de las actividades, los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólico y gráfico, así como al uso de tablas y diagramas. En términos generales, la enseñanza de los temas no debe seguir la exposición magistral, sino fomentar el trabajo en equipos y la exposición de las experiencias logradas por parte de sus integrantes a través de una adecuada planeación de las actividades de aprendizaje.Las matemáticas que aquí estudiaremos deben ser algo más que la manipulación de expresiones simbólicas y la realización de operaciones desvinculadas de un contexto que les dé sentido a las preguntas que debemos responder. Se deben convertir en una herramienta de modelación en el estudio de situaciones reales, generalmente con el objeto de predecir y de controlar, cuando es éticamente aceptable, algunas de sus características pero, primordialmente, con el objeto de contribuir a explicarnos mejor los fenómenos del mundo en que vivimos.

La organización del ‘Libro para el Estudiante’En este Libro se incluyen varios tipos de actividades de aprendizaje. Cada actividad tiene un objetivo dentro de toda la red de experiencias consideradas en el curso y se presenta como un apartado en este Libro: Problemas

o Problemaso Problemas con guíao Proyectos


Lecturas Ejercicios Tareas Evaluaciones y Autoevaluaciones

El libro va acompañado de un disco compacto que incluye algunos paquetes y actividades que contribuirán a tu aprendizaje de las Matemáticas. Las actividades se desarrollan en un ambiente que favorece el autoaprendizaje, la autoevaluación, el trabajo en equipo, el manejo de la incertidumbre, la apropiación de estrategias personales para el manejo de situaciones no familiares, el empleo de formas de pensamiento lógico y el uso de tecnología como una herramienta.Las actividades están planeadas para que estudiantes y profesores interactúen con diferentes elementos (los problemas, los problemas con guía, los algoritmos, los ejercicios, las lecturas y las exposiciones) que brindan las experiencias complementarias que son necesarias para el logro de los objetivos del programa.La cátedra, o exposición magistral del profesor, merece un comentario aparte. El profesor sólo hará matemáticas frente a ti en ocasiones bien planeadas, cuando estás preparado para beneficiarte de sus explicaciones y participar con preguntas y comentarios, pero en general serás tú quien haga matemáticas con tus compañeros al realizar las actividades de aprendizaje. Las explicaciones del profesor, en general, tendrán como punto de partida el trabajo del grupo. En algunos casos resolverás completamente un problema (es un decir, un problema nunca termina, siempre engendra otros) pero en otras, quizás lo que obtengas de tus afanes sean preguntas bien formuladas, que no es algo desdeñable, sino, por el contrario, algo indispensable para lograr un aprendizaje profundo y duradero, porque le da un sentido personal a una situación que, en principio, nos puede resultar ajena.En el cuadro siguiente se encuentra una descripción del tipo de actividades que se desarrollarán durante este curso:

Actividad de aprendizaje

¿En qué consiste?

Resolución de problemas

Una actividad e la que se vinculan las herramientas matemáticas con algunos conceptos utilizando un contexto. Se trata de propiciar la interacción del estudiante con una situación, familiar o no, en la que se usan las matemáticas y se formulan o responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos.En la clase, se propone a los estudiantes un problema, que puede contener un cuestionario guía o no, para resolverlo, generalmente, en equipo. El profesor orienta a los estudiantes en la solución del problema. Los alumnos presentan y validan la solución.

Desarrollo de Proyectos

Es una tarea extraclase de varias etapas que requiere de un esfuerzo coordinado durante varios días o semanas, de la consulta a fuentes de información actualizada como periódicos, revistas o entrevistas a personas vinculadas con alguna situación problemática propicia para un análisis matemático.Los estudiantes investigan, buscan y organizan su trabajo. Consultan con su profesor, quien los orienta y retroalimenta en cada una de las etapas del proyecto. Se produce un informe que se


presenta y discute en el grupo.Resolución de ejercicios

Se trata de profundizar en el conocimiento de los algoritmos, de comprender por qué funcionan y practicarlos, de ser posible con el auxilio de herramientas tecnológicas, de ser capaces de generarlos, a partir de la solución de los problemas, de explorarlos y generalizarlos.Los estudiantes trabajan, generalmente, en forma individual exponen y validan la solución. El profesor dirige y orienta, reformula e introduce las convenciones de la disciplina.

Lecturas Se trata de que el alumno interactúe con un texto con el objeto de generar una interpretación global, de identificar la estructura del texto, de reformular sus ideas principales, de comentarlo y conectarlo con el curso, de formular y resolver dudas, todo desde la perspectiva del desarrollo de una cultura matemática.Se realiza generalmente fuera de la clase, dejando sólo la discusión para la clase y, de ser posible, su prolongación en un foro de discusión en la red.

Cátedra Consiste en retomar o conducir el trabajo de los estudiantes mediante anotaciones pertinentes. Formula nuevos problemas, comenta definiciones, teoremas o demostraciones y su papel en la organización del conocimiento matemático.El profesor retoma las soluciones de sus estudiantes para presentar y discutir nuevos temas así como para formalizar el conocimiento.

Autoevaluación Es un cuestionario diseñado para que el alumno pueda evaluar sus avances con respecto a un objetivo bien definido. Aquí se encuentran organizadas por unidad. El alumno mismo puede contrastar sus respuestas con las que se incluyen para medir sus logros.

Las secciones están organizadas según el tipo de actividad de aprendizaje. En la primera sección encontrarás la secuencia que corresponde a cada unidad del programa de la asignatura. La organización de las actividades que aquí se presenta constituye una propuesta flexible y fundamentada que puede ser modificada por el profesor.En cuanto al uso de las herramientas tecnológicas en las actividades de aprendizaje, hay que destacar que, en el área de Matemáticas, se reconoce como un aspecto natural de nuestra sociedad y, por consiguiente, debe estar presente cotidianamente en nuestras clases, en la medida de lo posible, con el doble propósito de contribuir a fortalecer la comprensión de los alumnos y de permitir que se familiaricen con la interacción mediada por estos dispositivos que caracteriza el ejercicio de las profesiones en la actualidad. Así, en particular, se considera el uso responsable, pero continuo, de las calculadoras con poder de graficación y con sistemas de cálculo algebraico, las hojas de cálculo y los programas de computadora diseñados para el aprendizaje y el uso de la Probabilidad y la Estadística.Los programas vigentes de matemáticas en el IPN reconocen que un examen escrito no permite evaluar todos los tipos de aprendizajes señalados antes, por ello incorpora la llamada “evaluación continua”, en la cual se ponderan habilidades y actitudes que se van desarrollando paulatinamente.


Programa de Probabilidad y EstadísticaVersión del alumno

Objetivo generalEl curso permitirá al alumno introducirse

al estudio de fenómenos aleatorios, su interpretación, importancia, tratamiento y aplicación;

al uso de técnicas de muestreo; al conocimiento y la aplicación, en diversos problemas, de diferentes técnicas de

recopilación y presentación, análisis e interpretación de datos numéricos; en el uso y la apropiación de las reglas para el cálculo de probabilidades y de las

distribuciones de probabilidad; en la importancia y el uso del método estadístico en la toma de decisiones;

en el desarrollo de habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento en la resolución de problemas a partir del uso de la simulación y del modelo de urnas, propiciando la asimilación de aprendizajes más complejos para la resolución de problemas en su cotidianidad, área tecnológica y vida profesional.

Lineamientos Generales.Durante todo el desarrollo del curso, se promoverá el análisis, la solución y la discusión de problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciación de su propio trabajo personal, el de sus compañeros y el de su profesor.Deberá tenerse presente que la solución de problemas es la que permite generar conocimiento, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. En este proceso el profesor es un facilitador del aprendizaje que problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, al mismo tiempo que organiza el trabajo en clase de manera que sus alumnos puedan resolver los problemas planteados y avanzar hacia nuevos conocimientos. A lo largo de la actividad es importante que los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: el lenguaje natural, el simbólico y el gráfico, así como el uso de tablas y diagramas.

Líneas a desarrollar en el curso de Probabilidad y Estadística

Este programa de Probabilidad y Estadística contempla las siguientes líneas de desarrollo que se irán desplegando a lo largo de todo el curso:1. Educación de la intuición sobre fenómenos al azar.2. Apropiación gradual de la simulación como una estrategia para enfrentar situaciones

diversas de estadística y probabilidad.3. Apropiación gradual de las ideas fundamentales de la estadística, así como de ciertas

técnicas que las ilustran.4. Apropiación gradual de las ideas fundamentales de la probabilidad, así como ciertas

técnicas que las ilustran.5. Aplicación de procedimientos estadísticos y probabilísticos a la solución de problemas

diversos.


Unidad 1.-ESTADÍSTICA DESCRIPTIVAObjetivo.

Que el estudiante amplíe y enriquezca sus conocimientos sobre la noción de muestra y la distinga de una población, así como de la importancia de la forma en que se realiza una

recolección de datos, la presentación de éstos y su interpretación. Asimismo, que sea capaz de hacer afirmaciones y sacar conclusiones sustentadas en los datos de que se disponen, a partir de una muestra representativa y que aprecie la diferencia entre ésta y una muestra

aleatoria.

1.1 Revisión de las nociones de muestreo y recolección de datos a partir de discusiones sobre:

- la distinción entre muestra y población, y de la necesidad de tratar con muestras;- la importancia de la obtención de datos de una muestra representativa;- la importancia de la forma de obtener los datos de una muestra.

1.2 Reflexión acerca de la importancia de la Presentación e Interpretación de Datos, a partir de discusiones sobre:

- el significado de los datos recabados y su forma de presentarlos;- las formas de resumir los datos recabados sin perder los aspectos relevantes de los

mismos;- la interpretación de la información publicada en diversos medios: revistas,

periódicos, radio, televisión.

1.3 Reconocimiento de la necesidad y pertinencia de hacer un Análisis de los Datos a partir de discusiones sobre

- la importancia de fundamentar decisiones con base en datos recabados;- el uso de la interpretación de ciertas presentaciones de datos para una mejor

comprensión del fenómeno tratado.

Unidad 2.-ELEMENTOS BÁSICOS DE PROBABILIDADObjetivo

Que el estudiante amplíe y enriquezca gradualmente sus conocimientos sobre la noción de probabilidad: como el cociente del número de resultados favorables entre el número de

resultados posibles (noción clásica de probabilidad) y como el valor al que tiende, al repetir varias veces un experimento, el cociente del número de veces en que se presentó el

resultado buscado entre el número de ocasiones en que se repitió el experimento (noción frecuentista de probabilidad), así como que desarrolle habilidades para el cálculo de

probabilidades al resolver problemas, mediante el uso de simulaciones.

2.1 Tratamiento de la noción clásica de Probabilidad a partir de discusiones sobre:- las distintas fuentes que generan los procesos aleatorios.- generadores de números aleatorios, calculadoras, computadoras, tablas.- los resultados igualmente probables para medir la incertidumbre;- el cálculo de probabilidades en diversas situaciones.

2.2 Tratamiento de la noción de Probabilidad Frecuencial a partir de discusiones sobre:‘Probabilidad y Estadística’ Libro para el Estudiante Hoja 13

- estimación de la probabilidad de fenómenos aleatorios en términos de la frecuencia relativa,

- la probabilidad frecuencial como límite de una razón,- la asociación del concepto de frecuencia relativa a la idea intuitiva de la

probabilidad,- la regularidad estadística.

2.3 Tratamiento de la adición de Probabilidades a partir de discusiones sobre:- situaciones donde aparecen eventos mutuamente exclusivos, para dos o más

eventos,- situaciones para eventos que no son mutuamente exclusivos para dos o más

eventos,- la aplicación en el cálculo de probabilidades donde aparezca el uso de las técnicas

de conteo.

Unidad 3.-PROBABILIDAD CONDICIONALObjetivo

Que el estudiante amplíe y enriquezca gradualmente sus conocimientos sobre las nociones de probabilidad condicional e independencia de eventos, así como que haga uso del modelo

de urnas y de diagramas de árbol como técnicas para el cálculo de probabilidades en situaciones reales. Que distinga la diferencia entre eventos independientes y experimentos

independientes.

3.1 Tratamiento del teorema de la multiplicación a partir de la discusión de las situaciones sobre:

- lo ventajoso que resulta calcular la probabilidad mediante el teorema de la multiplicación,

- el uso de diagramas de árbol para el cálculo de probabilidades.

3.2 Tratamiento de la probabilidad condicional y la independencia de eventos a partir de la discusión de las situaciones sobre:

- el significado en probabilidad de eventos independientes.- la distinción de eventos independientes.

3.3 Tratamiento del Teorema de Bayes a partir de la discusión de las situaciones que den lugar al uso de este teorema.

Unidad 4.-DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.Objetivo

Que el estudiante amplíe y enriquezca gradualmente sus conocimientos sobre las nociones de variable aleatoria y su distribución de probabilidad asociada.

Que sea capaz de reconocer la diferencia entre una distribución discreta y una continua, así como fenómenos asociados a una y otra.

Que sea capaz de establecer la relación entre distribución de probabilidad y representación gráfica de datos.

4.1 Tratamiento de la distribución de Probabilidad a partir de discusiones sobre:‘Probabilidad y Estadística’ Libro para el Estudiante Hoja 14

- el significado de la variable aleatoria y de la desviación estándar de la misma.- la interpretación de la gráfica de la función densidad de probabilidad.- la relación entre una distribución de probabilidad y un histograma (entre la

probabilidad y la estadística).

4.2 Tratamiento de la distribución discreta (distribución binomial y de Poisson) a partir de discusiones de situaciones sobre:

- la distribución de probabilidad que corresponde a una distribución binomial.- el uso de la distribución binomial.- la distribución de probabilidad que corresponde a una distribución de Poisson.

4.3 Tratamiento de la distribución continua (distribución normal) a partir de discusiones de situaciones sobre:

- las características de una distribución normal.- el uso de la distribución normal.- la distribución de probabilidad que corresponde a una distribución normal.

Unidad 5.-INFERENCIA ESTADÍSTICAObjetivo

El propósito de esta unidad es proporcionarle elementos teóricos al estudiante para que pueda hacer inferencias acerca del valor y la confiabilidad de un parámetro poblacional con

base en los resultados obtenidos de una o más muestras. Esto se logra mediante la contrastación de hipótesis, la cual se puede realizar desde un enfoque clásico, llamado

prueba de hipótesis, o bajo un enfoque basado en un valor de probabilidad.

5.1 Tratamiento de la estimación puntual y por intervalos. Discusiones de situaciones sobre intervalos de confianza.

5.2 Tratamiento de las situaciones sobre el nivel de confianza.

5.3 Tratamiento de las situaciones de intervalos de confianza para la media y para la diferencia entre las medias.

5.4 Tratamiento de situaciones sobre pruebas de hipótesis, errores de tipos I y II y reglas de decisión.

5.5 Tratamiento de situaciones sobre pruebas de hipótesis para la media y para la diferencia entre las medias.

Bibliografía- Johnson, Robert y Kuby, Patricia. Estadística Elemental. Lo esencial. International

Thomson Editores.- Hoel, Paul G. Estadística Elemental. Editorial LIMUSA.- Wonnacott, Ronald B. Estadística Básica Práctica. Editorial LIMUSA.- Chao, Lincoln L. Introducción a la estadística. McGraw-Hill.


ASPECTO A EVALUAR

DEFINICIÓN OPERATIVA FORMA DE EVALUACIÓNEVALUACIÓN

INDIRECTA DIRECTA

Potenciamatemática

Habilidad y capacidad de usar la matemática para resolver problemas en diferentes áreas de estudio

Exámenes escritos Exposición y resolución

de problemas Trabajos extraclases

XX

X

X

Resolución de Problemas

Capacidad para resolver problemas y plantearlos, considerando diversas alternativas para resolver problemas, un plan para resolver el problema, interpretar y comprobar resultados, y generalizar soluciones.

Exámenes escritos Exposición y resolución

de problemas Trabajos extraclases

XX

X

X

Razonamiento Capacidad de reconocer patrones, estructuras comunes y formular conjeturas

Exámenes escritos Exposición Interrogatorios Entrevistas

XXXX

X

Comunicación Capacidad del alumno para expresar ideas matemáticas en diversas formas: hablada, escrita y gráfica.

Exámenes escritos Interrogatorios Trabajos extraclases

XXX

X

Actitud Matemática

Confianza en el uso de las matemáticas para resolver problemas; comunicar ideas y razonar, probar métodos alternativos para la resolución de problemas; la perseverancia de llegar hasta el fin de la tarea matemática; el interés, la curiosidad, la inventiva de los alumnos para hacer matemáticas; el reconocer el valor que tienen las matemáticas en nuestra cultura, como herramienta y como lenguaje.

Exámenes escritos Observación Entrevistas Interrogatorios Trabajo en equipo

XXXXX

X

X

PERIODO UNIDADES TEMÁTICAS

PLAN DE EVALUACIÓN

1 1 y 2Examen departamental 60%Evaluación continua 40%

El examen departamental estará conformado por problemas que se evaluarán tomando en cuenta:1. la comprensión del problema2. la planeación de una solución

2 3 y 4 Examen departamental 60%Evaluación continua 40%


3. la obtención de una respuestaEn la evaluación continua se tomará en cuenta el modelo PER para propiciar que los alumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje

3 5Examen departamental 60%Evaluación continua 40%


Secuencias de Actividades de Aprendizaje del Curso de Probabilidad y

Estadística

Unidad 1. Estadística DescriptivaQue el estudiante amplíe y enriquezca sus conocimientos sobre la noción de muestra y la distinga de una población, así como de la importancia de la forma en que se realiza una recolección de datos, la presentación de éstos y su interpretación. Asimismo, que sea capaz de hacer afirmaciones y sacar conclusiones sustentadas en los datos de que se disponen, a partir de una muestra representativa y que aprecie la diferencia entre ésta y una muestra aleatoria.

Horas Problemas Problemas con guía

Actividades Internet

Ejercicios Lecturas Proyectos

1-3 El basquetbolista

El varoncito

De la vida de los acumuladores

Fracciones, decimales y porcentajes

Capítulo 1, pp 1 a 24.Ejercicios de la forma 4n+1 desde 1.1 hasta

1.48

El método de simulación de Montecarlo

4-5 Pregúntate y Responde

Las personas de las tarjetas

Porcentajes e índices

5-7 Las medias sedosas y transparentes

La negociación salarial

Variables estadísticas

bidimensionales. Regresión y correlación


2.90

Necesidad de datos (video)

8-10 Estampitas Las transformaciones

de los datos

Estadística descriptiva

Media, mediana y moda


http://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Estadistica_descriptiva/Estadistica.htm


http://bscw.gmd.de/bscw/bscw.cgi/d23412872/'Estampitas'

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Variables_estadisticas_bidimensionales_regresion_correlacion/Indice.htm



http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Porcentajes_e_indices/index.htm


http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Fracciones_decimales_porcentajes/index.htm



Unidad 2. Elementos básicos de ProbabilidadQue el estudiante amplíe y enriquezca gradualmente sus conocimientos sobre la noción de probabilidad: como el cociente del número de resultados favorables entre el número de resultados posibles (noción clásica de probabilidad) y como el valor al que tiende, al repetir varias veces un experimento, el cociente del número de veces en que se presentó el resultado buscado entre el número de ocasiones en que se repitió el experimento (noción frecuentista de probabilidad), así como que desarrolle habilidades para el cálculo de probabilidades al resolver problemas, mediante el uso de simulaciones.




11-13 Y el hermoso Nireo, el más hermoso ...

Colas: Una simulación exitosa

El azar y la probabilidad

Incertidumbre

14-16 Emergencias

El dilema de Monty Hall

¿Misión posible? Capítulo 2, pp 72 a 100.Ejercicios de la forma 4n+3 desde 2.91 hasta

2.15717-19 Los amantes del

metro Pino Suárez

Mujeres y Variables

La familia atribulada

Conjuntos de números

Sucesos aleatorios


3.67

¡Qué suerte! (video)

20-21 Preferencias Electorales

Odisea, fecundo en artimañas

Variable aleatoria y beisbol

Ley d'Hont Capítulo 4, pp 145 a 165.Ejercicios de la forma 3n+1 desde 4.1 hasta

4.46

¿Qué se puede esperar? (video)


http://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Ley_dhont/index.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Sucesos_aleatorios/sucesos_aleatorios_1.htm


http://descartes.cnice.mecd.es/4a_eso/Azar_y_probabilidad/index.htm


Unidad 3. Probabilidad condicionalQue el estudiante amplíe y enriquezca gradualmente sus conocimientos sobre las nociones de probabilidad condicional e independencia de eventos, así como que haga uso del modelo de urnas y de diagramas de árbol como técnicas para el cálculo de probabilidades en situaciones reales. Que distinga la diferencia entre eventos independientes y experimentos independientes.




22-23 Las afortunadas plantas de sus reales pies …

Si mueres, ganas

¿De qué tamaño debe ser la muestra?

Capítulo 4, pp 165 a 172.Ejercicios desde 4.47

hasta 4.59

Lily elige novio

24-26 Clemencia

Control de calidad

El dilema de Monty Hall


4.80

Un mesurado estilo de vida

(video)

27-29 La cola del banco

Ordenaciones y Comparaciones

Capítulo 4, pp 180 a 187.Ejercicios desde 4.81

hasta 4.92

El vicio del juego y la virtud

de asegurarseHermana rata,

decía Francisco, el santo

Condiciones electorales

Diagramas de árbol

El juego de vida Capítulo 4, pp 187 a 192.Ejercicios de la forma 2n+1 desde 4.93 hasta

4.115


http://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/juego_vida/index.htm

http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml


Unidad 4. Distribución de probabilidadQue el estudiante amplíe y enriquezca gradualmente sus conocimientos sobre las nociones de variable aleatoria y su distribución de probabilidad asociada.Que sea capaz de reconocer la diferencia entre una distribución discreta y una continua, así como fenómenos asociados a una y otra.Que sea capaz de establecer la relación entre distribución de probabilidad y representación gráfica de datos.




30-31 De Tepetitla a Ayeca

Un problema bonito

Distribución de probabilidad

continua

Capítulo 5, pp 193 a 206.Ejercicios de la forma

2n+1 desde 5.1 hasta 5.32

Correlación, intervalos y

tests32-33 Presunto

inocente

Coincidencias natales

Las medusas Capítulo 5, pp 206 a 224.Ejercicios de la forma 4n+3 desde 5.33 hasta

5.83

Altas esperanzas

(video)

34-35 El cumpleaños Probabilidad. Distribuciones


6n+1 desde 6.1 hasta 6.8236-37 Estas baterías sí

son de fiar

Atención inmediata

Perseverancia Capítulos 5 y 6, pp 193 a 256.

Ejercicios de la forma 2n+1 desde 5.84 hasta

5.100Ejercicios de la forma 3n+1 desde 6.83 hasta

6.104

Sistemas de Votación


http://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Probabilidad/uni_indice.htm


http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_2/distribuciones_probabilidad/index_discont.htm



Esperanza falaz, azar fecundo

Totoles y Escamoles


Unidad 5. Inferencia estadísticaEl propósito de esta unidad es proporcionarle elementos teóricos al estudiante para que pueda hacer inferencias acerca del valor y la confiabilidad de un parámetro poblacional con base en los resultados obtenidos de una o más muestras. Esto se logra mediante la contrastación de hipótesis, la cual se puede realizar desde un enfoque clásico, llamado prueba de hipótesis, o bajo un enfoque basado en un valor de probabilidad.




38-39 Tuercas, tornillos y

varillas

Distribución normal e inferencia estadística

Capítulo7, pp 257 a 279.Ejercicios de la forma


Las matemáticas de una catadora de

té40-42 El límite del

malacateLas medusas y el

TLCCapítulo 8, pp 281 a 307.

Ejercicios de la forma 5n+2 desde 8.1 hasta 8.54

43-45 La decisión de Maya

Los volcanes y las islas

TLC Capítulo 8, pp 307 a 340.Ejercicios de la forma 6n+5 desde 8.55 hasta

8.139

Encuesta aparte (video)

46-48 El teleférico

La serie mundial

Muestreo e inferencia estadística



Estadística: Dos teoremas


10.60


http://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Muestreo_Inferencia_Estadistica/index.htm



http://www.cead-laspalmas.net/inferencia/aguiad.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_2/inferencia_estadistica/index_inferencia.htm



Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje


Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje

Introducción

Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA)

Para lograr el aprendizaje integral y multidimensional que aquí proponemos es necesario que todos nos hagamos corresponsables. Esta responsabilidad compartida apunta al fortalecimiento de nuestra autonomía. A lo largo de las sesiones discutiremos explícitamente algunos de los materiales para la organización del aprendizaje y procuraremos convencernos de la importancia de su uso cotidiano.Estos materiales se encuentran en la Academia de Matemáticas de tu CECyT, además de en el disco compacto que acompaña a esta Guía, y sirven como un marco de referencia compartido al que recurriremos constantemente durante el curso. En la medida en que nos familiaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, con el que podemos hablar acerca de algunos aspectos importantes de tu aprendizaje. En términos generales, estos materiales auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse de su aprendizaje» y contribuyen al logro de nuestra autonomía en la organización de nuestros propios aprendizajes.

Los auxiliares para la organización del aprendizaje son los siguientes:

En este breve texto se discute el aprendizaje de la resolución de problemas en el contexto de las habilidades intelectuales de alto nivel y se propone un modelo de aprendizaje esquemático, «hacer, reflexionar y comunicar», que contrasta con el tradicional «oír, ver y reproducir».Aquí se presenta por primera vez la idea del problema como el mejor medio de establecer una relación fecunda con una disciplina. Esta idea se discute más detalladamente en «La Heurística».


Para entrar en materia.Para entrar en materia.

En el modelo de organización del aprendizaje PER (Propósito, Estrategia, Resultado) de Selmes, investigador especializado en las habilidades de estudio, se presenta un marco de referencia para

estructurar las actividades de aprendizaje. Se invita a administrar los dos enfoques que se proponen, el superficial y el profundo, con el objeto de formarse un estilo independiente.

En este documento de Schoenfeld, investigador especializado en la resolución de problemas matemáticos, se presenta una estrategia de resolución de problemas, acompañada de un diagrama de flujo y de una tabla que incluye las heurísticas de uso más frecuente.El material consta de tres partes:

«La estrategia».«Algunas heurísticas de uso frecuente».«Una síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas».

El portafolios, que es un recipiente en el que se acumula, organiza y reorganiza todo lo que se produce en las actividades, en forma individual o en equipo, así como los comentarios y extensiones de estos productos.

El portafolios aporta información sobre:el pensamiento del alumno,su crecimiento en el tiempo,las conexiones que establece,el punto de vista del alumno acerca de su quehacer matemático,el proceso de resolución de problemas.

La mejor manera de convencernos de la utilidad del portafolios, de conocer su potencial y advertir sus limitaciones, es usarlo para recopilar todos los reportes de resolución de problemas, los planes, los reportes de las experiencias, los comentarios de las lecturas, etcétera.

Algunos comentarios y sugerencias sobre la elaboración del reporte, el trabajo en equipo, la discusión matemática, el control durante la resolución de problemas en el salón de clases y la elaboración de controles de lectura se presentan en forma de fichas.A partir de los resultados de las investigaciones de algunos educadores se proponen una serie de comentarios, para su discusión, sobre diversos aspectos de las sesiones de resolución de problemas.


El modelo PER.El modelo PER.La Heurística.La Heurística.

El portafoliosEl portafolios

Las fichasLas fichas

La evaluación de nuestro aprendizaje debe estar basada en las objetivos educativos a corto, mediano y largo plazos y, por supuesto, en los objetivos de nuestro curso, así mismo debe apuntar a mejorar nuestro método de aprendizaje y a reforzar nuestro conocimiento de nosotros mismos. Estos formatos establecen criterios que nos

permitirán evaluar de una forma más integral nuestro propio trabajo y el de nuestros compañeros.

Algunos materiales auxiliares para la organización del aprendizaje que puedes consultar con provecho son:

Propósitos y Competencias Básicas del Estudiante de BachilleratoPara entrar en materia El Modelo PER

El enfoque profundo y sus característicasEl enfoque superficial y sus característicasCuestionario de autoevaluaciónAlgunos enunciados sobre la organización

La HeurísticaHeurísticas de uso frecuente.Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas

El PortafoliosUn diagrama del portafolioEspecificaciones adicionales sobre el contenido del portafolio como escaparate

Las FichasRecomendaciones para el trabajo individualRecomendaciones para la discusión generalRecomendaciones para el trabajo en equipoRecomendaciones para la elaboración del reporte de la actividad¿Qué es un problema?¿Qué es un ejercicio?Antes de entregar tu reporte, ¡revísalo!Cómo se construye un mapa conceptualLas actividades de comprensión de PerkinsGuía para la elaboración de informes de lectura

Los Formatos de EvaluaciónEvaluación de presentacionesAutoevaluación de reportesLas tres preguntas reveladoras de MostellerAutoevaluación del cursoAutoevaluación de habilidades, actitudes y valores

La propuesta siguiente es un plan que te permitirá revisar e incorporar estos materiales en tus actividades de aprendizaje de matemáticas (y otras materias). En este plan se incluyen algunas cápsulas que puedes discutir con tus compañeros y profesores. Además te hacemos


Los formatos de Los formatos de evaluaciónevaluación

algunos comentarios adicionales y te sugerimos algunas formas para trabajarlos con provecho.

Unidad MAPOA

1Introducción.Las Matemáticas en mi vida.

2Las secciones del Portafolio.Mapas conceptuales.Las fichas del Modelo PER.

3Autoexamen sobre tu manera de pensar.Profesor ¿estoy bien?

4Las fichas.La Heurística.

5Autoevaluación de actividades, actitudes y valores.Portafolios como escaparate.

Las Matemáticas en mi vida(Una autobiografía matemática)Escribe un texto titulado "Las matemáticas en mi vida". Toma en cuenta los puntos siguientes:

1. Relato escrito en un mínimo de dos cuartillas.2. Usa el esquema de las dimensiones del aprendizaje (conocimientos, habilidades,

actitudes y transferencia) para la descripción de los que sabes de matemáticas y trata explícitamente lo relativo a la forma en que lo usas fuera de tu clase de matemáticas.

3. Haz una evaluación de tu último curso de matemáticas, evalúa a tu profesor y autoevalúate.

4. Describe lo que consideras buenas y malas clases, explica por qué las calificas así.5. Incluye el aspecto emocional.6. Describe la actitud de tus familiares con respecto a las matemáticas.7. Trata lo que han sido las matemáticas en tu pasado, lo que son en tu presente y lo

que esperas que sean en tu futuro.8. ¿Qué espero de mi profesor?9. ¿Qué estoy dispuesto a hacer para aprender? Especifica.10. ¿Qué son las matemáticas?11. ¿Cómo aprendo matemáticas?12. ¿De dónde salieron las matemáticas?13. Incluye tus opiniones y en caso de que consultes algún libro, específica la fuente.

¿Qué es el portafolio?, ¿Qué debes tener en tu portafolio?


El portafolio es un instrumento en el que se pretende evaluar una diversidad de registros que reflejan aspectos distintos del aprendizaje de los alumnos, que parece muy adecuado para hacer una evaluación continua y además para hacer cortes de evaluaciones acumulativas e integradoras tantas veces como se requiera, recuperando el propósito original de la evaluación que es partir de elementos confiables para mejorar tanto el aprendizaje del alumno como la enseñanza del profesor. (Consulta el diagrama de tus materiales auxiliares para la organización del aprendizaje)


Problemas


Problemas

Introducción

La habilidad para resolver problemas constituye un excelente indicador del nivel de desarrollo matemático que has alcanzado. En esta guía la actividad de resolución de problemas es la parte más importante, ya que te permitirá vincular las herramientas matemáticas con una dimensión de uso, se introducen conceptos matemáticos utilizando contextos, y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos.

¿Qué es un problema?Por problema se entiende una situación matemática o extramatemática que no tiene solución inmediata, admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones, puede consumir mucho tiempo, quizás varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental, imaginación y creatividad. Un problema no se trabaja una vez y ya nos olvidamos de él, tanto profesor como alumnos, sino que puede retomarse en distintos momentos para mejorar su solución o profundizar en alguna cuestión que haya suscitado. A través de la actividad de resolución de problemas queremos que tú:

hagas uso de las matemáticas con las que cuentas para dar respuesta a las preguntas planteadas en el contexto de la situación,

busques conexiones entre diferentes representaciones, logres diferentes vías de acceso trabajando varios enfoques, generalices tus soluciones y reformules, ampliándolo, el problema en otros

campos, generes criterios para validar las interpretaciones y los modelos

matemáticos, construyas y hagas evolucionar los conceptos matemáticos como respuesta

a tus propias preguntas, y desarrolles actitudes que te permitan enfrentar y manejar situaciones

complejas con un alto grado de incertidumbre.

La resolución de problemas es un proceso que no se puede encerrar en una receta paso a paso, es en esencia un viaje, una aventura, no un destino, que a ratos sufrimos y a ratos disfrutamos, para el que no tenemos un mapa de antemano, necesitamos aprender a descubrir o construir caminos. Sin embargo, se pueden destacar algunas etapas de esta aventura: hay un deseo de acercarse al problema, de aceptar el desafío, de correr un riesgo, de encontrar la respuesta, de comprender una pregunta, de descubrir nuevos conocimientos o de crear una solución. Alguien ha dicho que en la resolución de un problema, como en la vida, lo que importa es el camino. Si tomas esto en cuenta, podrás aprender a adoptar una actitud que te permita disfrutar y aprovechar la resolución de un problema. No pongas la mira en el éxito o en el fracaso, sino en el proceso. Es el proceso el que te enseña. Un


problema resuelto es un problema muerto, mientras no está resuelto vive en ti como problema.

En esta guía se habla de problemas, problemas con guía y proyectos. Todos ellos comparten la misma idea de problema que acabamos de mencionar en los párrafos anteriores. Expliquemos la diferencia que hay entre ellos.

I. Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo que se quiere que hagas y respondas. El tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado.

II. Problema con guía: Además del enunciado contiene un cuestionario o una

secuencia de pasos que te permiten seguir avanzar en el problema usualmente de situaciones sencillas a otras más complejas. También el tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una a dos horas de haberlo trabajado.

III. Proyecto: Es un problema, o problema con guía, que requiere más de dos horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que tengas que generar tú mismo los datos y una parte importante del trabajo la tengas que hacer fuera del salón de clases.

Sobre los proyectos:Los proyectos te permitirán, más que cualquier otra actividad, profundizar en el aprendizaje de la modelación matemática. Para que tengas una perspectiva más amplia sobre el papel de la modelación matemática en los distintos ámbitos del quehacer humano puedes leer ‘Aspectos externos’ de Reuben y Hersh que se incluye en la sección ‘Lecturas’ de tu disco. Seguramente te suscitará muchas preguntas que puedes discutir provechosamente con tus compañeros y con tu profesora.Un proyecto es una tarea extraescolar de varias etapas que requiere un trabajo coordinado durante varias semanas, o meses, para llegar a darle una conclusión satisfactoria. Es decir que se logre dar respuesta a las preguntas que se plantearon y una evaluación, que puede incluir preguntas nuevas, de la calidad de la respuesta. En cada proyecto hay algunas partes en las que es muy probable que te atores. En ocasiones te podrás desatorar solo, gracias a que logres una mejor comprensión de alguna idea y así puedas desatar el nudo y avanzar. Pero, más a menudo, requerirás de la asesoría de tus profesores, quienes te ayudarán por medio de preguntas, sugerencias, ejercicios complementarios o lecturas.La evaluación del proyecto se hará mientras realizas el proyecto, no sólo al presentar el trabajo concluido. Por lo tanto, debes hacer un plan desde el principio y fijar un calendario que especifique las fechas de entrega de los informes parciales y del informe final. Además, deberás considerar la presentación ante el grupo y preparar un guión para la discusión que se realizará durante, o después de, la presentación. Entre mejor entiendas lo que se trata de lograr con los proyectos, más fácil te será hacer el esfuerzo considerable que exigen. Con la evaluación, tanto la continua como la final, queremos obtener información sobre el desarrollo de tus habilidades matemáticas, como, por ejemplo, la capacidad para:

Formular los problemas que resultan de una situación.


Identificar los procedimientos matemáticos que te permiten obtener la información necesaria.

Recopilar y organizar los datos obtenidos. Formular conjeturas razonables al considerar los patrones que observas en, o

impones a, los datos. Poner aprueba tus hipótesis. Hacer los cambios necesarios y obtener otras informaciones a partir de las

reformulaciones de los problemas. Explicar tus métodos de indagación. Producir un informe del desarrollo y conclusiones del proyecto sucinto y

articulado.También se considerarán algunas actitudes como:

La creatividad y la iniciativa. La participación en el equipo. El liderazgo y la cooperación efectivos. La perseverancia y la minuciosidad. La flexibilidad y la amplitud de criterio. La disposición para ir más allá de las soluciones inmediatas.

Es muy recomendable que uses los paquetes que se incluyen en el disco compacto mientras resuelves los problemas. Algunas muy buenas herramientas para la comprensión son los paquetes de estadística dinámica. Si tienes dudas en su manejo tu profesor te puede orientar.


Problemas

1. El basquetbolista

A partir de la lectura de ‘El método de simulación de Montecarlo’ escribe un enunciado basado en la situación del basquetbolista que precise tres preguntas, incluyendo la que se plantea en el texto (Sabemos que un determinado jugador de basquetbol encesta el 40 % de sus tiros. Si en un partido hace 20 tiros ¿cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 11 veces?). Para cada pregunta planteada formula una conjetura, escríbela y entrega tus

conjeturas al profesor antes de comenzar la solución del problema. Establece el modelo para la simulación de un tiro, primero, y de un juego,

después, utilizando los números aleatorios de la calculadora. Realiza la simulación de 100 juegos con 20 tiros en cada juego, registra los

resultados en una tabla y responde las preguntas con los resultados que obtuviste de la simulación.

Relaciona las preguntas con las gráficas: histograma, polígono de frecuencias y curva suavizada.

Destaca la relación entre área y frecuencia. Escribe un enunciado que haga referencia a una situación distinta de la del

basquetbolista pero que tenga el mismo modelo que se generó.

2. Pregúntate y Responde

Recibirás varios documentos (impresos, fragmentos de audio o video) que contienen información estadística. Puedes llevar tus propios documentos con información estadística sobre temas que te interese analizar y compartir.Formula 10 preguntas que se puedan responder con la información contenida en las hojas y, por supuesto, respóndelas.Elabora un reporte por pareja.Presenta tus preguntas y respuestas al grupo, procura incluya actividades de comprensión como:

La explicación.La ejemplificación.La aplicación.La justificación.La comparación y el contraste.La contextualización.La generalización.

Entrega como anexo 5 preguntas mejores que las que originalmente llevaste.Los aspectos que se consideran en la evaluación son:Comprensión de la necesidad de basarse en los datos para responder las preguntas.


Planeación y ejecución de los planes que relacionen el análisis de los datos con los supuestos que se introducen explícitamente.Conclusiones que se sustenten en un argumento que use la información proveniente de los datos y los requerimientos de la pregunta que se quiere responder.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

3. Estampitas

Cada paquete de chicle incluye una estampa de un beisbolista célebre con su retrato e información acerca de su carrera y logros principales. Hay una plana con marcos para pegar cada una de las estampas. La plana completa comprende seis estampas. ¿Cuántos paquetes de chicle tienes que comprar para completar la plana?Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

4. Y el hermoso Nireo, el más hermoso ...

En una fábrica de envases para vino hay dos máquinas que producen la totalidad de botellas. La máquina «Ayax» produce el 70% de las botellas, en tanto que la máquina «Nireo» produce el resto de las botellas. El 5% de las botellas que produce la máquina «Ayax» y el 8% de las de la máquina «Nireo» resultan defectuosas.a) ¿Qué porcentaje de las botellas que produce la fábrica resulta defectuoso?b) ¿Qué porcentaje de las botellas defectuosas proviene de la máquina «Nireo»?Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

5. Emergencias

Una ciudad cuenta con dos compañías de ambulancias. En los registros de la ciudad se anotan la fecha, la hora de la llamada, la compañía y el tiempo de respuesta para cada llamada al 911, como se muestra en la tabla siguiente. Analiza estos datos y escribe un reporte para el Consejo de la Ciudad (con gráficas y cuadros que lo sustenten) con una recomendación acerca de cuál es la compañía que se debe escoger para atender las llamadas al 911 en esta región.

Registro del envío de ambulancias, 1 a 30 de mayoFecha de la

llamada

Hora de la llamada

Compañía Tiempo de

respuesta en

minutos

Fecha de la

llamada

Hora de la llamada

Compañía Tiempo de

respuesta en

minutos

1 7:12 am Metrópolis 11 12 8:30 pm Saeta 81 7:43 pm Metrópolis 11 15 1:03 am Metrópolis 122 10:02 pm Saeta 7 15 6:40 am Saeta 172 12:22 pm Metrópolis 12 15 3:25 pm Metrópolis 153 5:30 am Saeta 17 16 4:15 am Metrópolis 73 6:18 pm Saeta 6 16 8:41 am Saeta 19


http://bscw.gmd.de/bscw/bscw.cgi/d23412872/'Estampitas'

4 6:25 am Saeta 16 18 2:39 pm Saeta 105 8:56 pm Metrópolis 10 18 3:44 pm Metrópolis 146 4:59 pm Metrópolis 14 19 6:33 am Metrópolis 67 2:20 am Saeta 11 22 7:25 am Saeta 177 12:41 pm Saeta 8 22 4:20 pm Metrópolis 197 2:29 pm Metrópolis 11 24 4:21 pm Saeta 98 8:14 am Metrópolis 8 25 8:07 am Saeta 158 6:23 pm Metrópolis 16 25 5:02 pm Saeta 79 6:47 am Metrópolis 9 26 10:51 am Metrópolis 99 7:15 am Saeta 16 26 5:11 pm Metrópolis 189 6:10 pm Saeta 8 27 4:16 am Saeta 1010 5:37 pm Metrópolis 16 29 8:59 am Metrópolis 1110 9:37 pm Metrópolis 11 30 11:09 am Saeta 711 10:11 am Metrópolis 8 30 9:15 pm Saeta 811 11:45 am Metrópolis 10 30 11:15 pm Metrópolis 8

Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

6. El dilema de Monty Hall

Monty Hall conduce un programa de televisión de concursos. Monty ha colocado un automóvil de lujo detrás de una de las tres puertas del escenario de 'Coche o Cabra', su concurso más popular. La dinámica del concurso es la siguiente, dice Monty:En primer lugar, usted señala una puerta. Luego yo abriré una de las dos restantes para mostrarle la cabra que hay detrás. Después usted decide cuál será su elección definitiva y ganará lo que haya detrás de la puerta escogida.Por ejemplo, usted elige primero la puerta 1. Monty abre la puerta 3 y detrás hay una cabra. ¿Cuál será su elección definitiva? ¿Mantener su primera elección, la puerta 1, o cambiarla por la puerta 2?¿Cuál debe ser la decisión del concursante? Sustenta tu respuesta en un argumento explícito.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

7. Los amantes del metro Pino Suárez

Un par de amantes furtivos se citan, para estar solos, en la estación «Pino Suárez» del metro. Como a ninguno de ellos le gusta esperar, acuerdan que si uno de ellos llega y no está el otro, permanecerá 15 minutos y, si entretanto no llega el esperado, se irá, de mala gana, pero se irá. Se citan diariamente entre las 2:00 y las 3:00 pm, ¿cuál es la probabilidad de que tenga lugar su encuentro?¿Cuántas veces esperan encontrarse durante el próximo año, si mantienen su acuerdo?Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.


8. Mujeres y Variables

En un estudio sobre la noción de variable en 337 estudiantes de primer año de licenciatura, 160 de ellos eran mujeres, se obtuvo la información siguiente: En total 247 personas eran solventes en el uso de la variable como número general, 95 mujeres eran solventes en el uso de la variable como incógnita, 85 de las personas solventes en el uso de la variable como número general también lo eran en el uso de la variable como incógnita, 20 de las mujeres solventes en el uso de la variable como número general también lo eran en el uso de la variable como incógnita y todos los hombres eran solventes en el uso de la variable como número general.Si de este grupo se escoge una persona al azar calcula la probabilidad de que:a) Sea un hombre solvente en el uso de la variable como número general.b) Sea una mujer solvente en el uso de la variable como incógnita pero no solvente

en el uso de la variable como número general.c) Sea un hombre solvente tanto en el uso de la variable como incógnita como en el

uso de la variable como incógnita.d) No sea solvente en el uso de la variable como incógnita.

9. Preferencias Electorales

En una encuesta sobre preferencias electorales participaron 600 personas: 355 hombres y 245 mujeres, cuyas opiniones se distribuyeron de la siguiente manera:- Entre los hombres: 213 prefirieron al candidato A y 142 al candidato B.- Entre las mujeres: 98 prefirieron al candidato A y 147 al candidato B.a) Presenta los datos anteriores por medio de una tabla de doble entrada.b) De entre las personas que participaron en la encuesta:

b1) ¿Qué proporción fue de hombres? ¿qué proporción fue de mujeres?b2) ¿Qué proporción prefiere al candidato A? ¿qué proporción prefiere al candidato B?b3) ¿Qué proporción de las mujeres prefiere al candidato A? ¿qué proporción de los que prefieren al candidato B son mujeres?

c) En el padrón electoral están registrados 4185 hombres y 5069 mujeres. Votan el 23% de los hombres y el 44% de las mujeres, ¿cuántos votos obtendrá cada candidato?

10. Odiseo, fecundo en artimañas, Odiseo, fecundo en artimañas, tiene dos novias, Penélope y Circe, la primera vive cerca del metro Taxqueña y la segunda, cerca del metro Pino Suárez. Para ir a visitar a cualquiera de las dos, todos los días toma el metro en la estación Portales. Como Odiseo es imparcial, pues cada una ocupa una parte igual de su corazón, ha decidido que el azar le indique a quien visitará cada día. Así que tomará el primer metro que llegue al andén, en cualquier dirección. Luego de mucho tiempo, Odiseo se dio cuenta de que, a pesar de tomar el metro a diferentes horas, por la mañana, por la tarde y por la noche, y de que la frecuencia del metro en ambas direcciones es la misma, cada minuto, nueve de cada diez veces iba a dar a los brazos de Circe. ¿Puedes explicarle a Penélope esta rareza?


11. Las afortunadas plantas de sus reales pies …

En el legendario reino de «La Loma», hasta hace poco una región feraz, ha aparecido una plaga de ratas que lo devastan con el rigor de una demostración geométrica. El adivino de palacio, el prudente Tiresias, ha interrogado a los dioses, quienes, ofendidos por el olvido de las prácticas piadosas que la abundancia trajo consigo, exigen para que la plaga cese que una de las cuatro princesas, Criseida, Políxena, Laódice o Graciela, reciba 5656 azotes con vara de ahué en las plantas de sus reales pies.Su anciano padre, Protesilao el estafermo, manda que cada princesa extraiga, sin regresarla, una piedra de una urna que contiene cinco piedras rojas y tres negras, indistinguibles al tacto. La primera piedra roja que salga señalará la mano de la princesa que recibirá los 5656 azotes y el agradecimiento de su afligido pueblo..Calcula tú, desprevenido lector, la esperanza matemática de cada princesa. Las afortunadas doncellas, pues podrán servir a su pueblo, extraerán su piedra en el orden en que fueron paridas, y anotadas en este manuscrito.

12. Si mueres, ganas

La probabilidad de que un hombre de 30 años siga con vida dentro de un año es de 0.9962. Una compañía de seguros ofrece a un hombre de 30 años una póliza de seguro de vida de $100 000 por una prima de $1100. ¿Cuál es la esperanza matemática de la aseguradora?La probabilidad de que un hombre de 50 años viva otro año es de 0.9637. ¿Cuál es la prima que debe cobrar una aseguradora por una póliza de seguro de vida de $100000, con un año de vigencia, si la prima debe incluir los costos administrativos por $150 y un beneficio de $300?Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

13. Clemencia

Un condenado a muerte pide clemencia a su rey y éste le responde:Voy a darte una oportunidad de salvación. Te voy a entregar tres bolas blancas y tres bolas negras y tú tienes derecho a distribuirlas, como quieras, dentro de dos cajas. Pero luego tendrás que tomar una caja al azar y, sin mirar dentro, extraer una bola:

- Si sale blanca, estás salvado y además te regalo mil monedas de oro y te caso con mi hija, que tiene mal carácter pero no es nada fea.- Si sale negra, por el contrario, le digo al verdugo que te dé mil azotes y luego te decapite.

¿Cómo debe llenar el condenado las cajas para tener las mayores posibilidades de salvarse?

14. Control de calidad


Del gran total de artículos producido por una máquina, un cierto porcentaje resulta defectuoso. El encargado del control de calidad toma una muestra aleatoria de diez artículos de la producción del día y, si ninguno de éstos sale defectuoso, ordena que la máquina siga trabajando durante el día siguiente. a) Calcula la probabilidad de que la regla de decisión del encargado del control de

calidad permita que la máquina funcione un día cualquiera, cuando en realidad está produciendo un 10% de piezas defectuosas.

b) Calcula el número de piezas que el encargado debería someter a revisión para asegurarse de que si el 10% de los artículos producidos por la máquina son defectuosos, la probabilidad de que la máquina continúe trabajando el día siguiente sea de 1%.


15. La cola del banco

El tiempo de espera en un cierto banco se distribuye normalmente con una media de 3.7 minutos y una desviación estándar de 1.4 minutos. El banco quiere incluir en su campaña de publicidad un lema que afirme que el 95% de los clientes son atendidos antes de c minutos. ¿Cuál es el valor de c que hace esta afirmación verdadera?Formula dos preguntas más acerca de esta situación y respóndelas.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

16. Hermana rata, decía Francisco, el santo

En una manzana de la colonia, el Departamento de Salud de la delegación captura 100 ratas, las marca y luego las libera. Un mes después captura, en la misma manzana, 80 ratas y encuentra que sólo 3 de ellas están marcadas.¿Cuántas ratas hay en la manzana? ¿Cuántas hay en la colonia?Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

17. Cuestiones electorales

En una encuesta sobre preferencias electorales participaron 2,000 personas: 755 hombres y 1245 mujeres, cuyas opiniones se distribuyeron de la siguiente manera:- Entre los hombres: 353 prefirieron al candidato A y el resto al candidato B.- Entre las mujeres: 876 prefirieron al candidato A y el resto al candidato B.Si se escoge al azar una encuesta, calcula la probabilidad de que la encuesta corresponda a:a) Una mujer partidaria de Ab) Un partidario de Bc) Un partidario de A, si se sabe que es mujerEn el padrón electoral están registrados 21,873,214 hombres y 25,092,377 mujeres. Votan el 43% de los hombres y el 54% de las mujeres, ¿cuántos votos esperas que obtenga cada candidato?


En una encuesta sobre preferencias electorales participaron 2,000 personas: 755 hombres y 1245 mujeres, cuyas opiniones se distribuyeron de la siguiente manera:- Entre los hombres: 353 prefirieron al candidato A y el resto al candidato B.- Entre las mujeres: 876 prefirieron al candidato A y el resto al candidato B.Si se escoge al azar una encuesta, calcula la probabilidad de que la encuesta corresponda a:a) Una mujer partidaria de Ab) Un partidario de Bc) Un partidario de A, si se sabe que es mujerEn el padrón electoral están registrados 27,873,214 hombres y 25,092,377 mujeres. Votan el 43% de los hombres y el 54% de las mujeres, ¿cuántos votos esperas que obtenga cada candidato?

18. De Tepetitla a Ayeca

En la supercarretera que va de Tepetitla a Ayeca, en Tlaxcala, se ha instalado un radar para registrar la velocidad de los automóviles. Esta velocidad se distribuye normalmente con una media de 93 km/h y una desviación típica (o estándar) de 8 km/h, el grado de precisión con que se registraron las velocidades es 1 km/h.Calcula:a) El porcentaje de automóviles que circulan a menos de 80 km/h.b) El porcentaje de automóviles que viajan con una velocidad comprendida entre

90 y 110 km/h.c) Si el límite de velocidad permitido es de 110 km/h y en un período determinado

han pasado 5000 automóviles, ¿cuál es el número aproximado de infractores?Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

19. Presunto inocente

En una compañía se detectaron faltantes y, tras contratar a un detective, se estimó que aproximadamente el 5% de los empleados robaba ocasionalmente. Los directivos decidieron desalentar esta tendencia sometiendo a todos sus trabajadores a una prueba para detectar mentiras, que funciona correctamente 90% de las veces para detectar culpables y el mismo porcentaje para detectar inocentes. La compañía despedirá a todos los que la prueba señale como culpables.a) Si un empleado es despedido, ¿cuál es la probabilidad de que sea inocente? b) Si un empleado no es despedido, ¿cuál es la probabilidad de que sea culpable?

20. Coincidencias natales

Se eligen tres niños al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres hayan nacido el mismo día de la semana? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres hayan nacido el mismo mes del año?Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.


21. El cumpleaños

¿Cuál es la probabilidad de que, en un grupo de 40 personas, por lo menos dos de ellas cumplan años el mismo día?¿De qué tamaño debe ser un grupo para que al apostar a ‘que por lo menos dos personas del grupo cumplen años el mismo día’ favorezca al apostador?Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

22. Estas baterías sí son de fiar

Supongamos que la duración en horas de un cierto tipo de baterías es una variable aleatoria continua con una función de probabilidad dada por:

Calcula la probabilidad de que una batería dure menos de 200 horas si se sabe que la batería todavía funciona después de 150 horas de servicio.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

23. Esperanza falaz, azar fecundo

Fortunata y Jacinta apuestan $1000 en el juego siguiente: se lanza una moneda tantas veces como sea necesario hasta que salga alguna de las secuencias AAS o SAA, en ese orden precisamente; si sale la primera gana Fortunata, si sale la segunda gana Jacinta. ¿Quién tiene más posibilidades de ganar el juego? Escribe tus conjeturas antes de realizar los cálculos. ¿Cuál es la esperanza matemática de cada una en este juego?Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

24. Totales y Escamoles

En un cierto juego se requiere que alguno de los dos equipos que participan acumule seis puntos para ganar. La apuesta es de 30 centenarios por equipo. El juego se interrumpe, porque lo quiso el que monopoliza la voluntad, cuando los totoles de Tlaxcalaltongo tienen cuatro puntos y los escamoles de Teocaltiche, tres puntos. ¿Cómo se debe dividir la apuesta?

25. Atención inmediata

Una computadora tiene reservadas 100k palabras de su memoria principal para atender consultas de 16 terminales remotas conectadas a la máquina. Cada consulta utiliza 20k palabras de la memoria reservada. Si en un lapso de una hora se reciben en promedio 2.5 consultas por minuto, calcula la probabilidad de que un usuario remoto de la computadora:


a) Tenga respuesta inmediata a su consulta.b) Tenga que esperar para recibir comunicación de la computadora.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

26. Tuercas, tornillos y varillas

En una fábrica se producen tuercas, tornillos y unas varillas que llevan los tornillos y las tuercas. Se sabe que el 5% de las tuercas, el 4% de los tornillos y el 1% de las varillas resultan defectuosos. Una unidad armada se considera defectuosa sólo si la tuerca o el tornillo salen defectuosos.a) Calcula la probabilidad de que una unidad armada no resulte defectuosa.b) Calcula la probabilidad de que por lo menos dos de una muestra de siete unidades

armadas, tomadas al azar, resulten defectuosas.c) Calcula las probabilidades anteriores si una unidad sólo se considera defectuosa

si tanto la tuerca como el tornillo resultan defectuosos.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

27. El límite del malacate

Los tabiques que se usan en una construcción tienen un peso medio de 5.5 kg y una desviación estándar de 0.85 kg. Los tabiques se elevan en lotes mediante un malacate cuyo límite de seguridad es de 200 kg. Calcula el tamaño máximo de los lotes de manera que la probabilidad de exceder el límite de seguridad sea menor de 5%.Formula dos preguntas más acerca de esta situación y respóndelas.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

28. La decisión de Maya

El verano pasado Maya abrió un negocio, por concesión, en el Parque de Diversión "Días Silvestres". Sus vendedores llevaron palomitas de maíz y bebidas por el parque, vendiendo en todas partes donde encontraban consumidores. Maya necesita tu ayuda para decidir a qué trabajadores volverá a emplear el próximo verano.El año pasado Maya tuvo nueve vendedores. Para este verano, puede contratar únicamente seis: tres de tiempo completo y tres de medio tiempo. Maya quiere contratar a los que tuvieron mejores ventas. Pero no sabe cómo hacer las comparaciones porque los vendedores trabajaron números de horas diferentes. Además el horario de ventas produjo grandes diferencias. Es más fácil vender más en un animado viernes en la noche que en una tarde lluviosa.Maya revisó los registros del año pasado. Para cada vendedor, sumó el número de horas trabajadas y el dinero recolectado en los casos en que el parque estaba concurrido, tranquilo y con poca actividad (ver la tabla). Evalúa qué tan buenos para el negocio fueron los vendedores el último año y decide a quiénes deberá recontratar de tiempo completo y a quienes de medio tiempo.


Escribe una carta a Maya dándole tus resultados. En tu carta escribe cómo evaluaste a los vendedores. Da detalles para que Maya pueda decidir si tu método es bueno para que ella pueda usarlo.

Horas Trabajadas el Último VeranoJUNIO JULIO AGOSTO

Concurrido

Tranquilo

Poca actividad

Concurrido

Tranquilo

Poca actividad

Concurrido

Tranquilo

Poca actividad

MARIA 12.5 15 9 10 14 17.5 12.5 33.5 35

JULIA 5.5 22 15.5 53.5 40 15.5 50 14 23.5

TERE 12 17 14.5 20 25 21.5 19.5 20.5 24.5

JOSÉ 19.5 30.5 34 20 31 14 22 19.5 36

PACO 19.5 26 0 36 15.5 27 30 24 4.5

CECI 13 4.5 12 33.5 37.5 6.5 16 24 16.5

ROLO 26.5 42.5 27 67 26 3 41.5 58 5.5

TOÑO 7.5 16 25 16 45.5 51 7.5 42 84

MEMO 0 3 4.5 38 17.5 39 37 22 12

Dinero Ganado el Ultimo Verano (en pesos)JUNIO JULIO AGOSTO

Concurrido

Tranquilo

Poca actividad

Concurrido

Tranquilo

Poca actividad

Concurrido

Tranquilo

Poca actividad

MARIA 6 900 7 800 4 520 6 990 7 580 8 350 7 880 17 320 14 620

JULIA 4 740 8 740 4 060 46 120 20 320 4 770 45 000 8 340 7 120

TERE 10 470 6 670 2 840 13 890 8 040 4 500 10 620 8 060 4 910

JOSÉ 12 630 11 880 7 650 15 840 16 680 4 490 18 220 12 760 13 580

PACO 12 640 11 720 0 24 770 6 810 5 480 19 230 11 300 890

CECI 11 150 2 780 5 740 29 720 23 990 2 310 13 220 15 940 5 770

ROLO 22 530 17 020 6 100 44 700 9 930 750 27 540 23 270 870

TOÑO 5 500 9 030 9 280 12 960 23 600 26 100 61 50 21 840 25 180

29. Los volcanes y las islas

Hubo una vez un terremoto en el fondo del océano. Podía surgir un volcán, con probabilidad 1/3, o dos volcanes, con probabilidad 2/3. En caso de que surgiera un volcán, había una probabilidad de 3/4 de que expeliera suficiente lava para formar una isla y una probabilidad de 1/4 de que no se formara ninguna. En caso de que fueran dos los volcanes, la lava que expelen entre ambos daría lugar a la formación de i islas, con probabilidad (3-i)/6, para i = 0, 1, 2. Determina si los eventos ‘se forma un solo volcán’ y ‘se forma una sola isla’ son independientes. Escribe una justificación para tu respuesta. Calcula la función de probabilidad de la variable aleatoria: N = número de islas que se forman.


30. El teleférico

Un teleférico está diseñado para soportar una carga máxima de 4500 kg. El límite establecido para el público es de 50 personas. Según los registros, los pesos de los usuarios del teleférico tienen una media de 86 kg., con una desviación estándar de 11 kg.¿Cuál es la probabilidad de que un grupo cualquiera de 50 personas rebase la carga máxima del teleférico?Formula un problema en el que a partir de la media de una muestra de 50 personas, con la desviación estándar de la población conocida, pidas obtener una estimación por intervalo de la media de la población con un cierto nivel de confianza. Resuélvelo.

31. La serie mundial

La serie mundial la gana el equipo que acumula primero cuatro triunfos.Calcula la probabilidad de que un cierto equipo gane la seriea) Si los equipos tienen diferentes probabilidades de ganar en cada juego.b) Si los equipos tienen diferentes probabilidades de ganar en diferentes juegos.Calcula el número esperado de juegos.c) Si los dos equipos tienen la misma probabilidad de ganar en un juego.d) Si los equipos tienen diferentes probabilidades de ganar en cada juego.e) Si los equipos tienen diferentes probabilidades de ganar en diferentes juegos.


II. Problemas con guía

1. El varoncito

Para valorar la utilidad de la simulación es bueno realizar una por uno mismo. (No te preocupes si no tienes computadora, no hace falta, basta con una moneda) Imagina que un gobierno sexista de un cierto país te contrata como asesor. Acaba de adoptar una política que obliga a las parejas a tener hijos hasta que les nazca el primer varón, momento en el que habrán de cesar de procrear. Lo que quieren saber los gobernantes de ese país es: ¿cuántos hijos tendrá la familia media como resultado de esta política? y ¿cuál será la distribución de los sexos? En vez de hacer una recopilación de datos estadísticos, para lo cual tendrían que transcurrir años, uno puede lanzar una moneda un número suficientemente grande veces para tener una muestra que nos permita hacer una estimación. Si interpretamos el sol como hombre (H) y el águila como mujer (M), uno lanza la moneda hasta que sale el primer sol y apunta el número de lanzamientos, esto es el número de hijos de la familia. La sucesión MMH corresponde a dos mujeres seguidas de un hombre, H corresponde a un hijo único hombre, etc. Se repite este procedimiento 100 ó 1000 veces para producir 100 ó 1000 «familias» y se calcula el número medio de hijos de cada familia y la distribución de los sexos. Puede que tú, y también los funcionarios del país, encuentren sorprendente la respuesta.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

2. De la vida de los acumuladores

Los datos siguientes corresponden a la duración real de 40 acumuladores (baterías eléctricas) para automóvil. La garantía que ofrece el fabricante es de tres años. La notación que utilizaron para registrar la duración especifica los años y los meses, así 3;02 quiere decir que la batería duró 3 años y 2 meses:

3;02 3;01 2;11 3;02 3;11 2;02 3;04 3;05 2;06 4;083;08 3;01 3;04 4;01 3;00 4;01 1;07 4;04 3;01 3;093;00 4;08 2;11 1;11 4;02 3;06 3;01 3;05 3;08 3;022;07 3;08 3;01 3;05 3;06 4;06 3;04 3;07 4;05 2;07

a) Construye una tabla que agrupe los datos en intervalos de 6 meses.b) Traza el histograma, el polígono de frecuencias y la ojiva. Especifica las

coordenadas de cada gráfica.c) Calcula una medida de tendencia central que represente el conjunto de datos y

una medida de dispersión que indique cómo se agrupan los datos alrededor del valor central, o, dicho de otro modo, qué tan representativo es el valor central escogido del conjunto de datos.

d) ¿Qué proporción de los acumuladores duró menos que la garantía ofrecida por el fabricante? ¿Qué proporción duró más?

e) En un lote de 500 acumuladores que provienen del mismo proceso de fabricación, ¿cuántos acumuladores crees que durarán menos que la garantía ofrecida por el fabricante?

f) ¿Qué proporción duró menos que el promedio? ¿Qué proporción duró más?


g) ¿Por qué crees que el fabricante ofrece una garantía menor que la duración promedio de los acumuladores?

h) ¿Qué relación hay entre la medida de tendencia central, la medida de dispersión y la garantía? ¿O entre la garantía y el porcentaje de datos? Establece una regla y justifícala.

i) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

3. Las personas de las tarjetas

Esta actividad trata de la definición de categorías y la formulación de conjeturas. A la pasadita te familiarizarás con algunas otras herramientas estadísticas, como el cálculo de promedios o proporciones y presentarás de diversas maneras sus resultados. Los datos provendrán de los núcleos familiares de los estudiantes de la escuela.

Qué es lo importante en esta actividad Tienes que establecer criterios para dividir tus datos en dos grupos. Más

importante aún, tienes que ser explícito y convencionalmente matemático con respecto a estos criterios.

Esta actividad te brinda una oportunidad de formular conjeturas. Al evaluar tus conjeturas distinguirás las preguntas que no se pueden responder

de las que se pueden responder con los datos disponibles y de aquellas preguntas que requieren de información adicional para poder responderlas.

Algunos estereotipos sociales se basan en datos, algunos otros no. Pero siempre es posible elaborar una explicación alternativa de los datos.

Preparación Reúne los datos de tu grupo en hojas que contengan los datos de 30 personas

cada una. Por lo menos habrá cuatro hojas diferentes. Copia los materiales. Hay cuatro originales. Se requiere de una hoja por

estudiante. El trabajo se realizará en parejas con hojas distintas. Puedes usar hojas de colores para facilitar la organización.

Se requieren además: papel de estraza, cinta adhesiva, tijeras y marcadores.

Paso a pasitoLo único que recibes es una hoja de datos. Esta secuencia representa una vía posible, puedes seguirla o, si ya tienes una panorámica del terreno, seguir otra para cumplir los objetivos.1. Familiarización. Cada pareja debe tener hojas distintas. Cada uno tendrá que

encontrar la persona más exótica de su hoja y la describirá a su pareja.


TemasCategorizaciónConjeturasRepresentación de datos

2. Comenta a tu pareja y al grupo sobre las hojas y lo que significan los atributos.3. Primeras categorías. Recorta las tarjetas. Cada pareja tendrá 60 tarjetas.4. Separa las tarjetas en dos grupos (no tiene que ser del mismo tamaño) según

algún criterio que escojas. El criterio tiene que permitir colocar con seguridad a una persona en un grupo o en el otro. Puede ser acerca de la edad, el lugar de origen, o de cualquier otra cosa, pero la pareja tiene que estar de acuerdo.

5. Comenta tus criterios con otras parejas.6. Escribe, junto con tu pareja, una expresión matemática que describa la regla que

aplicaron para separar las tarjetas en dos grupos. La regla debe formularse como una expresión booleana, que sea verdadera o falsa. Por ejemplo, “Los separamos por sus ingresos”, requiere que la hagan realmente explícita: “Si el ingreso > 36000, la persona está en el grupo de los ricos, de cualquier otra forma está en el grupo de los pobres”.

7. A la pesca de relaciones. Busca con tu pareja aspectos parecidos dentro de cada grupo aparte del criterio que los agrupó. Por ejemplo, en el caso de los ingresos, podrías advertir que los ricos son, en general, más viejos.

8. Formular la conjetura. Escribe, con tu pareja, un enunciado que exprese la relación sólo como una generalización que puede ser verdadera o falsa. Es una afirmación acerca de los datos, no acerca de las causas de la relación. En el mismo ejemplo, podrían escribir “Los más ricos tienen mayor edad”. Otros enunciados “de principiante” serían “Los más _______ tienen más ______” y “La persona que ________también ______”. Las palabras porque o debido a están prohibidas.

9. Segundas categorías. Formula un criterio nuevo (y su expresión matemática) que separará por segunda vez los mazos de tarjetas. Este segundo criterio puede captar lo que encontraron parecido acerca de los grupos en el paso 7. Podría ser, “la edad >25”.

10. Hacer la presentación. Escribe, con tu pareja, la conjetura como título en la hoja de papel grande. Luego hagan una presentación que ilustre su conjetura utilizando los materiales. Por último, la presentación debe incluir la conclusión de la pareja: si consideran que su conjetura es verdadera y por qué.

Características de una buena presentaciónPuedes usar estos criterios para que sepas lo que se espera del trabajo de la pareja: Una conjetura clara y concisa. Criterios claros para las categorías (ejemplo, viejo significa edad > 25) Resulta claro cómo se relaciona la forma del arreglo en la presentación (en la

hoja grande) con la conjetura. La conclusión tiene un sustento matemático. Los datos y el análisis sustentan lógicamente la conclusión.Un buen “sustento matemático” en noveno grado es “Noventa por ciento de los ricos son viejos, pero sólo 55% de los pobres son viejos. Esto apoya nuestra conjetura de que las personas ricas son mas viejas”.

Preguntas para la discusión ¿Qué otras conjeturas se te ocurren para estos datos? (¡Escríbelas!)


Al considerar la lista completa de las conjeturas, ¿en cuáles de ellas podemos realmente usar datos para investigarlas? ¿Cuáles de ellas podemos investigar usando los datos que tenemos? ¿Se requieren más datos? ¿Qué datos?

Al considerar las presentaciones, ¿hay algunas conclusiones que pienses que parecen verdaderas sólo debido a que tenemos una muestra poco común de personas?

(Si tienes diferencias en las proporciones) ¿Cuán grande piensas que debe ser la diferencia en las proporciones para sustentar una conjetura?

¿Hay presentaciones que muestren que algunos estereotipos sociales son verdaderos? ¿Algunas muestran que son falsos?

(Escoge una presentación con una conjetura plausible) ¿Por qué piensas que esta conjetura es verdadera? Ahora piensa en otra razón para que los datos hayan sido de esta manera.

¿Por qué podría ser importante que los censos sean anónimos?

Otros objetivos Esta actividad también te puede servir para reforzar o evaluar muchas habilidades estadísticas que, idealmente, aprendiste en la secundaria, pero que pueden requerir un repaso. Puedes pensar fácilmente en preguntas que requieran: La identificación de un caso (aquí una persona) y sus atributos (o variables,

aquí, edad, sexo, lugar de origen, etc.) La distinción entre un atributo categórico y sus valores (ejemplo, sexo, de

masculino y femenino). Esto parece simple y pedante pero causa un sinfín de dificultades cuando tratas de expresar ideas con la precisión que exigen las computadoras.

El cálculo de medias o medianas. La elaboración de tablas de dos por dos. El cálculo de proporciones. La elaboración de gráficas de cajas y bigotes (puedes tomar muestras de 15 y

hacer gráficas de caja de edad o ingresos). La elaboración de histogramas (puedes hacer histogramas de edad, con edades

agrupadas por décadas, 0-9, 10-19, 20-29, etc.).

A continuación se presenta un formato de tarjeta pero puedes incluir más atributos si lo consideras pertinente. Si realizas la actividad en aula de cómputo puedes usar una base de datos-e o una hoja de cálculo-e para preparar tu presentación.

Las tarjetas

Estado civilSexoEdadGrado máximo de estudiosOcupaciónIngresos anualesCorreo electrónico


Tiempo de transporte diarioGasto de transporte diarioVehículoComputadoraTeléfonoLugar de origen

4. Las medias sedosas y transparentes

Una escuela compra cada año 150 borradores. Si los precios por pieza en tres años consecutivos fueron: $2.40, $6.00 y $12.50.¿Cuál es el precio promedio que ha pagado la escuela por borrador en este trienio?Otra escuela dispone de una partida fija de $300.00 anuales para la compra de borradores. ¿Cuál es el precio promedio que ha pagado la escuela por borrador en los mismos tres años?Una empresa tuvo ganancias de $3221000 en 1994 y de $9663000 en 1999.¿Cuál fue su promedio anual de incremento en sus ganancias?En la tabla se muestran los millones de habitantes de la República Mexicana entre 1930 y 1990.

Censo Población1930 16.51940 19.71950 25.81960 34.91970 48.21980 67.41990 86.2

Calcula el crecimiento promedio anual en cada década.Calcula el crecimiento promedio anual entre 1930 y 1990.¿Cuál es la población estimada para 2000 si el crecimiento de la década 1980-1990 se mantiene en la década 1990-2000?Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

5. La negociación salarial

El Sr. Valdepeñas dirigente del sindicato de la Compañía Productora y Comercializadora Gonzaga negociaba con el presidente de la compañía, «El costo de la vida sube. Necesitamos más dinero, ninguno de los miembros del sindicato gana más de $54,000 al año.», decía preocupado el Sr. Valdepeñas. El Sr. Gonzaga replicó «Es cierto que los costos suben. Nosotros también lo resentimos—tenemos que pagar más por las materias primas, así que nuestras ganacias disminuyen. Además el salario promedio en nuestra compañía es más de $66,000 al año. No creo que podamos afrontar un aumento en este momento.»


Esa noche, en la reunión del sindicato, uno de los vendedores dijo «Nosotros los vendedores ganamos sólo $30,000 al año, en cambio la mayoría de los trabajadores ganan $45,000, queremos que nuestra paga aumente por lo menos a ese nivel.»El Sr. Valdepeñas escuchó a sus compañeros quienes le sugirieron que consiguiera más información sobre los salarios que se pagaban en la compañía. En el departamento de nóminas le entregaron una tabla que contenía la información solicitada.

Tipo de trabajo Número de empleados Salario anual(en pesos)

Miembro del sindicato

Presidente 1 750000 NoVicepresidente 2 390000 NoAdministrador 3 165000 No

Supervisor 12 54000 SíTrabajador 30 45000 SíOficinista 3 40500 SíSecretario 6 36000 SíVendedor 10 30000 SíGuardia 5 24000 SíTOTAL 72 4780500

«Así que lo que dice el Sr. Gonzaga es cierto, pero los salarios de los ejecutivos pesan mucho y ellos son muy pocos. Este salario promedio no es representativo de lo que gana la mayoría.», pensó el Sr. Valdepeñas.a) ¿Cuál salario es una buena medida representativa de lo que ganan en esta

compañía?b) Si a todos los trabajadores que ganan menos de $45,000 se les nivelara a $45,000

anuales, ¿cuáles serían la media aritmética, la mediana y la moda de los salarios? c) Si fueras el asesor del Sr. Gonzaga, ¿qué postura le sugerirías y con qué

argumentos la sustentarías? d) Si fueras asesor del sindicato, ¿qué postura le sugerirías y con qué argumentos la

sustentarías?e) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de

aprendizaje.

6. Las transformaciones de los datos

La directora de una franquicia de comida rápida ha solicitado al contador que prepare un perfil financiero para usarlo en la comparación de su restaurante con otros que operan con la misma franquicia. Como parte del estudio, los salarios de todos los empleados se han introducido en una base de datos y se han calculado la media y la desviación estándar. Unos días después, la jefa informa al contador que

todos los empleados recibirán un aumento de 3.8% según lo establece el nuevo contrato. ¿Cómo afecta esto la media y la desviación estándar de los salarios?


Un estudiante tiene las calificaciones siguientes en nueve pruebas (cada prueba tenía un total posible de 20 puntos)

13 13 13 14 14 16 16 17 19

1) Introduce los datos en tu calculadora y encuentra la media y la desviación estándar.

2) El profesor decide ajustar las calificaciones sobre una base de 25 puntos. Una forma de hacerlo es modificar la escala multiplicando cada calificación por 5/4 (datos reescalados).a) Escribe las nueve calificaciones después de modificar la escala.b) Encuentra la media y la desviación estándar del nuevo conjunto de

puntuaciones.c) ¿Qué relación hay entre las puntuaciones nuevas y las originales?

3) Otra forma de ajustar sobre una base de 25 puntos consiste en modificarlas sumando 5 puntos a cada calificación (datos trasladados).

4) Construye (o haz que tu calculadora o computadora lo haga) tres gráficas de caja que correspondan a estos tres conjuntos de datos: datos originales, datos reescalados y datos trasladados.

Discusión en el equipo:5) Discute los resultados de la primera actividad. Repite el experimento con

diferentes conjuntos de datos, factores de escala y constantes de suma. Discute las ventajas y desventajas relativas de las dos transformaciones en la situación de las calificaciones y en otras que propongas en tu equipo.

6) Haz una tabla que resuma los resultados de los diversos datos y formula una generalización para las dos transformaciones: el cambio de escala y la traslación.

7) Responde la pregunta del contador de la franquicia de comida rápida.

8) Calcula la media y la desviación estándar del conjunto de datos siguiente, somételos a dos traslaciones y a dos cambios de escala y calcula sus medias y desviaciones correspondientes. Se trata de calificaciones en una escala de 0 a 10.

3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 45 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 56 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 77 7 7 7 7 7 7 8 8 9 9 9 9

9) Construye un conjunto de calificaciones que tenga las mismas media y desviación estándar del conjunto anterior en un grupo de 25 alumnos y en otro de 75 alumnos.

10) En un dibujo a escala de una casa 5 cm representan 30 cm. Las longitudes de los cuartos en el dibujo a escala tienen una media de 50 cm y una desviación estándar de 14.5 cma) ¿Cuál es la longitud media de los cuartos reales?b) ¿Cuál es la desviación estándar de las longitudes de los cuartos reales?

11) Haz una distribución de frecuencia del conjunto original de datos de la primera actividad.


a) Suma 5 puntos a cada calificación. Sobre la misma gráfica pero con un color diferente, traza la distribución de frecuencia de las nuevas calificaciones. Describe la relación entre las dos gráficas.

b) Multiplica cada calificación de la primera actividad por 5/4. Con un tercer color, traza la distribución de frecuencia de estas calificaciones. Describe la relación que hay entre la distribución de frecuencias original y la tercera.

12) Para calcular su promedio de boliche mentalmente, Kyle observa su registro y le resta 100 a cada puntuación:

Puntuaciones de bolos 125 109 112 97 127Puntuaciones transformadas 25 9 12 -3 27

Calcula el promedio de las puntuaciones transformadas 70/5 = 14.Luego vuelve a sumar los 100 para encontrar su promedio: 114.a) Verifica que el promedio de Kyle es 114.b) ¿Qué transformación usó cuando restó 100?c) ¿Qué propiedad usó en este procedimiento?d) Encuentra el promedio de Lynette usando el método de Kyle en sus

puntuaciones:118 127 109 121 115

13) El hermano de Kyle, Kurtis, aplicó otro método. Primero, estimó que el promedio de Kyle era de 120. Luego vio cuánto se apartaba su estimación de cada puntuación: 5, -11, -8, -23, 7. Luego promedió estos “errores”: -30/5 = -6. Por último, sumó este promedio a su estimación para obtener el verdadero promedio de Kyle: 120 + (-6) = 114.a) Ensaya el método de Kurtis a partir de otra estimación sobre las mismas

puntuaciones para obtener el promedio.b) ¿Piensas que este método de la estimación funciona siempre? Explica.

14) Un grupo de estudiantes averiguó sus pesos y sus alturas:Altura (cm) 162 155 172 163 163 166 168 170Peso (kg) 50 49 68 49 50 49 58 61

a) Llena la tabla siguiente:

Media Desviación Estándar

AlturaPeso

b) Supón que los estudiantes colocan plantillas de 3 cm en sus zapatos. Encuentra la media y la desviación estándar de sus alturas.

c) Supón que cada estudiante carga pesas de ejercicio de 1 kg. Encuentra la media y la desviación estándar de sus pesos.

d) Supón que cada estudiante agrega el 10% de su peso. Encuentra la media y la desviación estándar de sus pesos.

e) Llena la tabla siguiente:Altura Peso Altura con Peso con Peso con


original original plantillas pesas de ejercicio

incremento de 10%

RangoMedianaModa

f) Considera el rango, la mediana y la moda de un conjunto de datos sometido a transformaciones de cambio de escala y traslación. ¿Qué afirmaciones generales puedes hacer sobre cómo cambian estas medidas estadísticas debido a las transformaciones?

15) Considera la situación del ejercicio 12 otra vez. Supón que los estudiantes aumentan su peso corporal y se colocan pesas de ejercicio. Encuentra los nuevos rango, mediana, moda, media y desviación estándar en las condiciones siguientes:a) Primero ganan 10% de peso y luego se colocan pesas de ejercicio de 1 kg.b) Se colocan pesas de ejercicios de 1 kg y luego aumenta su peso total en

10%.c) Explica la diferencia entre los resultados de los incisos a y b.d) Supón que los estudiantes tienen un peso medio m con una desviación

estándar s. Aumentan su peso en r % y luego se colocan pesas de ejercicio de k kg. ¿Cuáles son el nuevo peso medio y la nueva desviación estándar?

16) La fórmula de la media de un conjunto de datos con n valores es

a) Supón que cada valor se incrementa en k. Prueba que la nueva media es m+k.

b) Supón que cada valor se multiplica por a. Prueba que la nueva media es am.17) La fórmula de la varianza de un conjunto de datos con n valores y media m es

a) Supón que cada valor se incrementa en k. Prueba que la varianza no se modifica con una traslación.

b) Prueba que con un cambio de escala de a la nueva varianza es a2 por la varianza original s2.

c) Prueba que con un cambio de escala a la nueva desviación estándar es a por la desviación estándar original s.

18) Calcula las puntuaciones z correspondientes al conjunto de datos del punto 8. a) ¿Qué transformaciones se realizan para definir la puntuación z?b) Construye una distribución con las puntuaciones z y descríbela en términos

de la situación que representa.19) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de

aprendizaje.

7. Colas: Una simulación exitosa


Ya encontré un local perfecto, arreglé los créditos necesarios e hice los contactos para proveer y resurtir el almacén. Todo pinta bien. Sólo queda pendiente una cuestión: las cajas registradoras.

¿Cuántas cajas habrá que poner? Si hay demasiadas, algunos de los empleados estarán ociosos la mayoría del tiempo. Si hay pocas, se formarán colas largas a menudo y los clientes se molestarán y acabarán cambiando de tienda. Puedo decidirme por un cierto número de cajas, pero si me equivoco me puede resultar muy caro. Una alternativa sería simular la situación—hacer un experimento de probabilidad basado en suposiciones acerca de cómo operarían las cajas. Esto es mucho menos caro que hacer la prueba en la realidad y me permite ensayar combinaciones distintas para ver cuál funciona mejor.

Supongamos que en promedio cada tres minutos llega a la caja un cliente. Supongamos que el cajero tarda tres minutos en atender a cada cliente. Vamos a simular un período de treinta minutos. Podemos lanzar un dado para simular la llegada de los clientes a la caja: 1 ó 2 significa que un cliente llega a la caja, 3, 4, 5 ó 6 significa que ningún cliente llega. Si no tienes un dado a la mano, puedes usar los números aleatorios que generan las calculadoras (RAN#), ¿cómo lo harías? Los clientes los representamos con letras mayúsculas. Aquí tenemos los resultados de los treinta lanzamientos del dado:

Números del dado 2,3,2,1,2 2,5,6,1,1 3,5,1,5,3 2,4,6,6,5 6,2,5,1,3 4,4,4,1,5Cliente A,-,B,C,D E,-,-,F,G -,-,H,-,- I,-,-,-,- -,J,-K,- -,-,-,L,-

Analicemos los resultados, como sólo 1 ó 2 significa que llega un cliente, en los treinta minutos llegaron doce. Hagamos una descripción minuto a minuto de los primeros siete minutos, considerando el final de cada minuto:

1. Llega el cliente A a la caja. El empleado estuvo desocupado durante un minuto.2. Se atiende al cliente A. No llega otro cliente.3. Llega B. Se sigue atendiendo a A.4. C llega y B espera. Terminan de atender a A.5. D llega y C espera. Atienden a B.6. E llega y C y D esperan. Se sigue atendiendo a B.7. No llega otro cliente. C, D y E esperan. Terminan de atender a B.

Sigamos haciendo la descripción hasta terminar los treinta minutos. Supongamos que no llegan clientes después de los treinta minutos, pero que el empleado atiende a todos los clientes que ya están en la cola. Resumamos los resultados en la tabla siguiente:

Final del minuto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Llega el cliente A B C D E F G

Se atiende a A A A B B B C C CEsperan B C CD CDE DE DE DEF


Final del minuto 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Llega el cliente

Se atiende aEsperan

Ahora organicemos la información de otra manera. Incluiremos el minuto de llegada y el minuto en que terminan de atenderlo, junto con el número de minutos que espero antes de que lo atendieran.

Cliente A B C D E E F G H I J K LMinuto de llegada a la cola

1 3 4 5 6 9 10

Minuto en que terminan de atenderlo

4 7 10 13 16 19 22

Minutos que espero antes de que lo empezaran a atender

0 1 3 5 7 7 9

Calcula los valores siguientes1. Número de clientes esperado:2. Número de clientes que realmente llegaron:3. Tiempo total de espera de los clientes:4. Tiempo promedio de espera por cliente:5. Tiempo total que permaneció desocupado el cajero:6. Tiempo adicional requerido por el cajero para terminar de atender a los

clientes:

Habrá que realizar la simulación un buen número de veces para tener rangos, identificar los valores extremos, calcular los promedios y las desviaciones. Si los resultados no parecen ser buenos y hay mucho tiempo de espera. ¿Cómo podemos mejorar la situación? Podemos simular con dos cajas, o más si es necesario, hasta que los resultados sean más o menos razonables desde la perspectiva de los clientes. Además hay que estudiar lo que ocurre en distintos períodos del día, con más o menos frecuencia de clientes, para decidir cuántas cajas conviene colocar para que haya una buena atención con el mínimo costo.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

8. ¿Misión posible?

El futuro de los eventos de pista en los juegos olímpicos.Algunas personas piensan que las mujeres atletas están empezando a “alcanzar” a los hombres en los eventos de pista en los Juegos Olímpicos. De hecho, investigadores de la UCLA publicaron en 1992 datos que parecían indicar que dentro de 65 años los mejores corredores hombres y mujeres podrían competir


en igualdad de condiciones. Otros investigadores no coinciden con esto. A continuación están los datos de la carrera de 200 metros con los tiempos ganadores en los Juegos Olímpicos de diferentes años.

Año tiempo en segundos para hombres

tiempo en segundos para mujeres

1948 21.1 24.41952 20.7 23.71956 20.6 23.41960 20.5 24.01964 20.3 23.01968 19.83 22.51972 20.00 22.401976 20.23 22.371980 20.19 22.031984 19.80 21.811988 19.75 21.341992 19.73 21.72

(Advierte que la introducción de mejores dispositivos de cronometraje significa medidas más precisas, a partir de 1968 para los hombres y de 1972 para las mujeres.)a) Comienza tu investigación acerca de la conjetura de la UCLA haciendo una

gráfica de estos datos. Para obtener el orden de precisión que necesitas debes utilizar papel milimétrico. Trabajarás sólo en el primer cuadrante. En tu eje X coloca el año de las Olimpiadas desde 1948 hasta 2048, de cuatro en cuatro. En tu eje Y pon los números desde 15 hasta 25, que representa el tiempo en segundos; si utilizas papel milimétrico toma cuatro cuadros para cada segundo. Utiliza cruces (X) para representar los tiempos de los hombres y circulitos (O) para los de las mujeres. Esto formará lo que llamamos una gráfica de dispersión, no es una línea o curva bien definida.

b) Con una regla traza una recta que represente aproximadamente la pendiente y dirección indicadas por las marcas de los hombres. Haz lo mismo con las marcas de las mujeres. Escribe una o dos frases explicando por qué piensas que tu recta es una buena representación de la gráfica de dispersión.

c) Ahora encuentra la ecuación de cada recta utilizando tu gráfica para estimar la pendiente y la intersección-y (ordenada al origen) de cada una. Trata de ser lo más preciso posible, recordando sus unidades y usando los puntos en donde la recta cruza intersecciones de la cuadrícula. La pendiente estará en segundos por cada año.

d) ¿Parece que las dos rectas se cruzan? ¿En qué años se cruzan? Si resuelves las dos ecuaciones algebraicamente, ¿obtienes la misma respuesta?

e) Usa una hoja de cálculo para encontrar una regresión lineal de cada conjunto de datos (mujeres, hombres). Algunas calculadoras científicas también te permiten hacer este problema en el modo de estadística, marcando los puntos individuales que teclees y encontrando una regresión lineal que represente los


datos. De cualquier manera que lo hayas hecho, comprueba si las ecuaciones de la hoja de cálculo o de la calculadora coinciden con las tuyas.

f) Toma una decisión con tu equipo acerca de si piensas que los tiempos de las mujeres alcanzarán a los de los hombres. Escribe dos o tres frases explicando por qué sí o por qué no crees que lo harán.

g) Investiga las marcas en otra competencia, que también se realice para hombres y mujeres, analiza los datos y escribe tus conclusiones.

h) Aplica el Modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).

9. La familia atribulada

Una familia sale de vacaciones de semana santa en su casacoche. Si M representa el suceso “tienen fallas mecánicas”, I, el suceso “les levantan una infracción” y L, el suceso “no hay lugar en el campamento de cochescasas”.Describe los sucesos que representan:a) R5. b) R3. c) R1 o R4.d) R2 o R6.e) R3 o R6 o R7 o R8.Describe, con las regiones, los sucesos:f) La familia no tiene problemas por fallas mecánicas y no comete infracciones pero no encuentra lugar en el campamento.g) La familia tiene problemas por fallas mecánicas y no halla lugar en el campamento pero no recibe ninguna multa.h) La familia encuentra lugar en el campamento.

L

IM

R8

R7

R6R5

R4 R3

R2

R1


10. Conjuntos de números


Parte IIdentifica empleando las regiones numeradas

B

C

A

R8

R7 R6

R5

R4

R3

R2

R1

Parte IIDados

Calcula la cardinalidad de cada uno de los conjuntos siguientes y descríbelo verbalmente


11. Variable aleatoria y beisbol

Sea la variable aleatoria X que representa el número de partidos jugados en una serie mundial de beisbol. Escribe la función de probabilidad, si ambos equipos tienen la misma probabilidad de ganar cada juego. Calcula también el número esperado de juegos. La serie mundial la gana el equipo que acumula primero cuatro triunfos.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

12. ¿De qué tamaño debe ser la muestra?

Se ofrece un lote de 460 receptores, 70 de ellos defectuosos.Establece el riesgo que corre el comprador del lote según el tamaño de su muestra y la regla que define para decidir si lo adquiere.Comienza con una muestra de 8 artículos. Define la variable aleatoria X, para el número de artículos defectuosos en la muestra. Calcula los valores de la probabilidad correspondiente a cada valor posible de la variable. Calcula también la función de probabilidad acumulada.Explora otros tamaños de la muestra, precisando el riesgo que corre el comprador en cada caso.¿Cuál sería un riesgo aceptable? ¿Qué factores influyen en el riesgo que puede correr el comprador?


Resume en una tabla los resultados que obtuviste de tu exploración y escribe un párrafo con tus conclusiones.Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

13. Ordenaciones y Comparaciones

Parte 1En una escuela, el Colegio ‘Alfonso Reyes’, con el propósito de mejorar la participación organizada de los estudiantes, se ha establecido una jerarquía para el uso de los recursos tecnológicos y de la elección de los profesores por parte de los grupos. De tal manera que los grupos tendrán oportunidad de escoger los horarios y los profesores según el lugar que ocupan en una ordenación. Se ha acordado con los alumnos que los criterios de esta ordenación se basarán sólo en el conjunto de calificaciones de Matemáticas de los grupos.En la escuela hay 16 grupos que han cursado ‘Matemáticas 1’. La calificación aprobatoria mínima es 6, en una escala de 0 a 10. Las listas con las calificaciones finales de cada grupo se encuentran en el archivo de Excel ‘Listas E1’.Compara dos grupos utilizando por lo menos dos criterios diferentes, que definas y justifiques explícitamente, para decidir cuál de ellos tuvo un mejor desempeño. Hazlo de la manera más exhaustiva posible.Ordena los grupos, según sus calificaciones, de dos maneras diferentes. Escribe un párrafo en el que definas los criterios que guían tus ordenaciones, escoge la que consideres mejor y da una justificación.

Gru

po

01M

02M

03M

04M

05M

06M

07M

08M

09M

10M

11M

12M

13M

14M

15M

16M

Gru

po

0 0 0 5 6 3 6 0 1 0 10 0 0 0 0 7 0 01 0 0 2 4 2 0 0 2 0 8 8 8 0 0 0 0 12 3 10 1 2 3 0 0 5 0 9 3 5 0 0 8 0 23 4 3 1 0 1 2 15 4 7 2 6 6 0 0 1 2 34 6 2 3 4 1 7 7 7 9 5 3 7 1 0 5 3 45 2 1 3 7 4 2 6 0 8 3 4 2 4 10 4 3 56 13 7 9 15 10 13 3 3 12 2 7 5 23 17 6 11 67 10 11 3 5 9 4 9 6 3 3 2 5 7 11 7 6 78 6 5 4 1 8 4 4 4 3 0 4 5 2 2 5 5 89 2 3 1 0 2 4 4 2 1 0 5 0 0 3 0 3 910 3 2 4 2 0 3 1 0 0 0 3 4 2 0 0 3 10

Parte 2.Con el objeto de mantener como un reto la capacidad de los grupos de organizarse, sin dejar de premiar los logros de los mejores grupos, se acordó con los alumnos que, después de escoger sus horarios y profesores los mejores seis


grupos, se recompondrían los grupos restantes de tal manera que todos tuvieran, en principio, las mismas oportunidades para el curso siguiente.Define claramente en qué criterios traducirías el enunciado anterior y realiza la redistribución de los alumnos en los grupos.

Parte 3.Una fundación ha escogido dos escuelas para destinar un apoyo en equipo y paquetes computacionales para el aprendizaje de las matemáticas, cuyo valor en dinero es de 500000 pesos. Los colegios seleccionados son ‘Alfonso Reyes’ y ‘Julio Torri’. Los encargados de la fundación han decidido asignar los recursos según los resultados de una comparación basada exclusivamente en el número de alumnos y en las calificaciones de Matemáticas de los alumnos de ambas escuelas.En el colegio ‘Julio Torri’ hay 12 grupos que han cursado ‘Matemáticas 1’. La calificación aprobatoria mínima es 70, en una escala de 0 a 100. Las listas con las calificaciones finales de cada grupo se encuentran en el archivo de Excel ‘Listas E2’. Haz una comparación de las calificaciones de las dos escuelas. Escribe un párrafo en el que definas los criterios que utilizas en la comparación y da una justificación. ¿Qué cantidad corresponde a cada escuela?

Gru

po 0

1

Gru

po 0

2

Gru

po 0

3

Gru

po 0

4

Gru

po 0

5

Gru

po 0

6

Gru

po 0

7

Gru

po 0

8

Gru

po 0

9

Gru

po 1

0

Gru

po 1

1

Gru

po 1

2

36 38 47 62 41 38 37 38 12 30 19 3946 49 49 65 45 40 41 44 19 36 21 4946 52 49 65 55 43 51 46 23 53 22 5247 55 49 71 58 52 51 49 25 58 24 5551 63 50 71 58 53 57 51 25 61 25 6452 64 53 71 60 53 60 52 25 65 28 6453 65 54 71 62 54 63 54 26 70 31 6554 66 54 74 63 56 65 54 30 70 31 6660 66 55 77 65 59 68 59 31 70 31 6663 66 57 78 66 59 70 61 32 73 32 6663 70 57 84 67 63 71 63 34 76 32 7065 70 61 86 68 66 73 65 35 76 33 7066 70 63 90 70 68 74 66 35 76 34 7166 70 70 93 71 70 75 66 36 77 39 7168 72 70 96 75 71 77 68 40 77 39 7269 72 72 99 75 75 77 69 40 79 39 7270 73 74 75 77 78 69 41 79 41 7372 73 78 76 78 79 72 41 79 42 7373 73 79 76 79 81 73 42 85 45 7374 77 83 79 80 82 73 46 88 55 7776 78 86 80 80 86 73 47 56 7977 78 93 81 81 87 77 58 63 79


78 80 82 82 91 78 66 64 8079 85 84 84 79 68 64 8380 88 84 85 80 68 67 9282 92 84 89 85 68 68 9388 93 87 90 87 75 68 9388 93 88 94 88 75 69 9793 95 88 95 92 76 75 9994 99 89 96 93 77 76 9996 100 90 100 95 77 77 9999 100 94 100 99 77 77 9999 97 99 80 79 100100 85 81 100100 86 83100 88 83

90 8391 8891 8991 9691 96

98100


14. Diagramas de árbol

En una fábrica hay dos máquinas que producen un artículo, la máquina M produce una fracción p de los artículos y la máquina M produce la fracción (1-p) restante. Una fracción q de los artículos producidos por la primera máquina y una fracción r de los producidos por la segunda, resultan defectuosos y tienen que desecharse.a) Haz un diagrama de árbol para representar la situación descrita en el enunciado.b) En la fábrica se producen A artículos semanalmente:

b1) ¿Cuántos serán producidos por la M? ¿Cuántos por la M?b2) ¿Cuántos resultarán con algún defecto? ¿Cuántos sin defecto?b3) ¿Cuántos de los artículos defectuosos habrán sido producidos por la M?

¿Cuántos por la M?c) Auxíliate de los resultados obtenidos en el inciso anterior para responder a las

preguntas siguientes.c1) ¿Cuál es la proporción de envases defectuosos producidos en la fábrica?c2) ¿Qué proporción de los envases defectuosos proviene de la M? ¿Qué

proporción de los envases defectuosos proviene de la M?d) Escoge unos valores para probar las fórmulas que obtuviste.


En una fábrica hay N máquinas, que llamaremos M, M,..., hasta M. Cada una produce una fracción p1, p2,…, pN. Respecto al total de los artículos producidos por cada máquina, la proporción de defectuosos es d, d,..., d respectivamente.e) Dibuja un diagrama de árbol para representar la situación descrita en el

enunciado.f) ¿Qué proporción de los artículos producidos en la fábrica resulta defectuosa?

¿Qué proporción de ellos proviene de la primera, segunda, ..., n-ésima, máquinas?

g) Escoge unos valores para probar las fórmulas que obtuviste.h) ¿Cómo se relaciona la información que proporciona el diagrama de árbol con

el de una tabla?

15. Un problema bonito

La probabilidad está llena de problemas que no se plantean en otras partes de las matemáticas. Aun personas con una sólida cultura matemática, pero que no son expertas en esta disciplina, recelan cuando se les plantea un problema de probabilidad, porque saben que detrás de enunciados aparentemente sencillos se encuentran soluciones que parecen desafiar el sentido común, o requieren de un ingenio al que no están acostumbrados. Considera, por ejemplo, el problema siguiente:

Una bolsa contiene un número desconocido de canicas blancas. Si se permite extraer una canica a la vez y luego devolverla a la bolsa, ¿cuántas canicas hay en la bolsa?

Problemas como este pueden desconcertarnos momentáneamente, ya que el extraer canicas de la bolsa sólo nos sirve para confirmar lo que ya sabemos: que las canicas son blancas. Pero no se puede saber cuántas canicas hay, porque no se puede estar seguro de que la canica extraída no sea la misma que se devolvió en alguna de las ocasiones anteriores. Sin embargo, hay una solución, aunque quizás parezca un poco tramposa. Consiste en introducir canicas de otro color, por ejemplo negras, en la bolsa y realizar después numerosas extracciones. De esta manera podemos estimar la proporción de canicas blancas y negras contenidas en la bolsa y, como conocemos el número de canicas negras que introdujimos, podremos calcular el número de canicas blancas.

El problema anterior puede parecer una curiosidad matemática de poco interés práctico, pero tiene aplicaciones importantes para contar poblaciones inaccesibles, como se ilustra en el problema siguiente:

Para saber si una población de osos está en peligro de extinción es necesario contar el número de osos que habitan un paraje en distintos momentos. Para hacer una primera cuenta se capturaron 15 y se marcaron. Luego se estableció un procedimiento de observación y se registró que de 115 observaciones en 23 se trataba de un oso marcado. ¿Cuál es el número de osos que podemos estimar que hay en el paraje?


16. Las medusas



3

26

1

42

7

6

8

5

14 16

18

1513

9

11

12

21

17

38 39

30

51

40

41

32

47

3533

24

27

20

28

23

36

34

77

25

37

52

79

50

5856

65

70

5961

49

53

62

54 55

63

74

64

60

72

66

68

69

73

76

80

9978

67

8375

71

4342

46

4448

94

92

939596

90

88

89

84

91

8281

8687

97

98100

85

10

29

57

19

22

31

45

Coloca la hoja que te entregó tu profesor bocabajo. No mires la hoja hasta que reciban las instrucciones.Nuestra tarea es tratar de determinar la longitud promedio (medida horizontalmente) de una medusa.Observa la colonia durante cinco segundos y estima la longitud promedio de una medusa del conjunto. (Estimación A)Ahora escoge una muestra representativa de 10 medusas. Una vez que hayas hecho tu selección, mide la longitud de cada medusa y calcula la longitud promedio. (Estimación B)Toma una muestra aleatoria simple (MAS) de 10 medusas, de la manera siguiente. Cada medusa está numerada de 1 a 100. Con los números aleatorios, usando un rango de 1 a 100, con la tecla RAN# de la calculadora, genera 10 números aleatorios. Luego calcula la longitud promedio de estas diez medusas. (Estimación C)Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) a esta actividad de aprendizaje.

17. Perseverancia

Una persona participa cada semana en una rifa de 100 boletos de 10 pesos por cada boleto, con un solo premio de 800 pesos. ¿Cuál es su esperanza matemática al participar en esta rifa?Supone que la perseverancia le hará ganar alguna vez. Piensa que si participa en 100 rifas tendrá altas posibilidades de ganar por lo menos una vez.Calcula la probabilidad de que nunca gane.Calcula la probabilidad de que gane por lo menos dos veces.Si juega durante 100 años, ¿cuál es la probabilidad de que gane por lo menos 50 veces?

18. Las medusas y el TLC

Considera la población de las 100 medusas que se incluyen en la tabla.1. Construye la distribución de frecuencias relativas considerando entre 6 y 8

clases, incluye el histograma, el polígono y la ojiva, calcula la media y la desviación. Describe la distribución usando

a. La terna (media, desviación, forma) y el polígono suavizado.b. Los cinco valores y la gráfica de caja y bigotes.c. Formula dos preguntas que puedas responder con la información de

cada uno de los incisos a y b.2. Extrae 100 muestras aleatorias de tamaño 5 de la población dada. Enumera

cada muestra y calcula su media.3. Elabora una distribución de frecuencias para las 100 medias muestrales,

construye el histograma y el polígono, calcula la media y la desviación estándar.

4. Compara los valores correspondientes de los parámetros de la población y las estadísticas de la distribución de las medias muestrales.


5. Escribe un enunciado para cada una de las tres afirmaciones que establece el TLC. Argumenta en cada caso, con los valores que tienes, si se cumple, o no, el TLC.

6. Selecciona una muestra aleatoria de 10 medusas y sigue el modelo de los cuatro pasos para hacer una estimación por intervalo de la media de la población con un nivel de confianza de 95%.

a. Escribe un enunciado que describa los resultados que obtuviste. ¿Cae la media poblacional verdadera en el intervalo que obtuviste?

b. Con la misma muestra haz la estimación pero ahora con niveles de confianza de 90% y 99%. Escribe un párrafo con tus conclusiones relativas a la relación que hay entre el tamaño del intervalo y el nivel de confianza para un mismo tamaño de muestra.

7. Repite el punto 6 pero con muestras de tamaño 5, 15 y 20 y 25. Escribe un párrafo con tus conclusiones.


III. Proyectos


Ejercicios


Ejercicios

Introducción

En matemáticas es usual que se hable de ejercicio y problema y de que en muchos momentos se tomen como sinónimos. En esta Guía son cosas diferentes. En otra parte se trata lo de problema, aquí comentamos la idea que en esta Guía utilizamos para ejercicio. Una característica del ejercicio es que con él se pretende que adquieras soltura en el manejo de ciertos procedimientos o en el tratamiento de ciertas situaciones que son útiles cuando te enfrentes a problemas. Cuando te enfrentas a un ejercicio ya sabes lo que tienes qué hacer y hay que hacerlo. Puede tratarse, por ejemplo, de un algoritmo, como la aplicación de la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado. Si ya dominas la aplicación de este algoritmo, cada vez que te encuentres una ecuación que tú reconoces de segundo grado, ya sabes que puedes resolverla y lo harás. En cambio, si tienes dificultades para aplicar la fórmula general, cada vez que necesites resolver una ecuación de segundo grado tendrás un problema.También puede ser algo más laborioso como la aplicación del método de diferencias finitas para la obtención de la ecuación de una función polinomial a partir del conocimiento de ciertos valores que se conocen de la función.Incluso puede tratarse de modelos algebraicos de problemas como la altura en función del tiempo que adquiere un cuerpo que es lanzado de alguna forma.Cuando se te pide hacer un ejercicio, es porque cuentas con la información necesaria para ello. Usualmente consiste en una explicación de los pasos que tienes que seguir y estos son ejemplificados con un ejercicio resuelto, en el que se explican los pasos que se siguen. Esta explicación se puede realizar en el salón de clases (en este caso no sólo debes anotar lo que se te presenta en el pizarrón o algún otro medio, sino tomar las notas adicionales necesarias para que no se te olviden detalles) o puede estar escrita en un libro. No debes preocuparte sólo por reconocer los pasos que tienes que seguir para resolver el ejercicio, sino también busca entender el porqué de estos pasos. De esta forma estás en condiciones de darte cuenta si puedes aplicar algunos de los pasos del ejercicio en una situación parecida al ejercicio que ya sabes resolver.Hay algo más. Dominas por completo un ejercicio cuando eres capaz de resolverlo sin consultar tus apuntes o la información que tienes del mismo. Por ejemplo, sabes resolver una ecuación de segundo grado por la fórmula general cuando, sin necesidad de consultar en tus apuntes, aplicas la fórmula general. Desde luego, para esto es necesario que tengas aprendida la fórmula de memoria. Pero la memorización se logra al aplicar varias veces la fórmula en ecuaciones de segundo grado.En cambio, dominas a secas un ejercicio cuando puedes resolverlo consultando parte de la información de la que dispones (usualmente algunas fórmulas). Si necesitas preguntar algo a un compañero o un profesor para resolver un ejercicio, entonces todavía no dominas el ejercicio y te hace falta más práctica.


Lo ideal es que domines por completo los ejercicios; de esta manera dispondrás de más tiempo para dedicarte a trabajar en los aspectos nuevos o desconocidos del problema al que te enfrentes.En esta Guía se te señalan ejercicios para que los trabajes y en dónde puedes obtener la información que necesitas. En algunos casos los ejercicios señalados son suficientes para que llegues a dominarlos, pero en otros no y tú debes buscar o crear otros ejercicios para que sigas practicando. Hacerlo es parte de tu responsabilidad como estudiante.Por cierto, tú mismo eres capaz de crear ejercicios cuando resuelves un problema y luego detallas los pasos que deben seguirse para resolver la situación del problema. Es decir, cuando elaboras una información similar a la que tu consultaste para resolver los ejercicios propuestos.

Aquí hay algo más sobre las características de un ejercicio:

¿Qué es un ejercicio?

Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo o rutina, no necesariamente sencillos. Los más complejos pueden requerir la combinación de varios procedimientos con destrezas específicas. En un ejercicio puede requerirse una articulación de registros de representación, pero esta articulación suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina o en el esquema. La administración de los conocimientos y procedimientos no es compleja, se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmente hace poco tiempo. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino la frecuentación de una vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Su esquema metafórico es la suma no la integración. Puede ser laborioso, raramente difícil.


Tareas del libro-e DescartesRealiza las actividades siguientes del Proyecto Descartes:

Unidad 1Estadística DescriptivaFracciones, decimales y porcentajeshttp://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Fracciones_decimales_porcentajes/index.htm Porcentajes e índiceshttp://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Porcentajes_e_indices/index.htm Variables estadísticas bidimensionales. Regresión y correlación http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Variables_estadisticas_bidimensionales_regresion_correlacion/Indice.htm Estadística descriptivahttp://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Estadistica_descriptiva/Estadistica.htm

Unidad 2 Elementos Básicos de ProbabilidadEl azar y la probabilidad http://descartes.cnice.mecd.es/4a_eso/Azar_y_probabilidad/index.htm Sucesos aleatorioshttp://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Sucesos_aleatorios/sucesos_aleatorios_1.htm Ley d'Honthttp://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Ley_dhont/index.htm

Unidad 3Probabilidad CondicionalEl dilema de Monty Hall

El juego de vidahttp://descartes.cnice.mecd.es/taller_de_matematicas/juego_vida/index.htm

Unidad 4Distribución de Probabilidad Distribución de probabilidad continuahttp://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_2/distribuciones_probabilidad/index_discont.htm Probabilidad. Distribucioneshttp://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Probabilidad/uni_indice.htm

Unidad 5


























Inferencia EstadísticaDistribución normal e inferencia estadísticahttp://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_2/inferencia_estadistica/index_inferencia.htm TLChttp://www.cead-laspalmas.net/inferencia/aguiad.htm Muestreo e inferencia estadísticahttp://descartes.cnice.mecd.es/Estadistica/Muestreo_Inferencia_Estadistica/index.htm









Tareas de los libros

Unidad Tareas del libro ‘Estadística elemental. Lo esencial’ de Robert Johnson y Patricia Kuby. Thomson

1.1 Capítulo 1, pp 1 a 24.Ejercicios de la forma 4n+1 desde 1.1 hasta 1.48




2.1 y 2.2 Capítulo 4, pp 145 a 165.Ejercicios de la forma 3n+1 desde 4.1 hasta 4.46

2.3 Capítulo 4, pp 165 a 172.Ejercicios desde 4.47 hasta 4.59


3.2 y 3.3 Capítulo 4, pp 180 a 187.Ejercicios desde 4.81 hasta 4.92

3.3 Ejercicios proporcionados por el profesor2 y 3 Capítulo 4, pp 187 a 192.

Ejercicios de la forma 2n+1 desde 4.93 hasta 4.1154.1 Capítulo 5, pp 193 a 206.



Ejercicios de la forma 6n+1 desde 6.1 hasta 6.824 Capítulos 5 y 6, pp 193 a 256.

Ejercicios de la forma 2n+1 desde 5.84 hasta 5.100Ejercicios de la forma 3n+1 desde 6.83 hasta 6.104Capítulo7, pp 257 a 279.Ejercicios de la forma 4n+3 desde 7.1 hasta 7.50






Ejercicios Complementarios

Unidad 1. Estadística Descriptiva

1. Para investigar la preferencia por un producto A o un producto B se encuestó a 30 personas, entre hombres y mujeres. A cada persona se le asignó un número como identificación: a la primera persona encuestada se le asignó el 1, a la segunda se le asignó el 2, y así sucesivamente.

A los hombres les correspondieron los números:2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 15, 16, 19, 21, 24, 25, 27, 28, 29A las mujeres los números:1, 3, 7, 8, 12, 13, 14, 17, 18, 20, 22, 23, 26, 30Las personas que prefirieron el producto A fueron:2, 5, 6, 10, 12, 18, 19, 21, 23, 27, 28, 29Y las que prefirieron el producto B fueron:1, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, 25, 26, 30

a) Vacía la información anterior en la tabla siguiente:

PREFERENCIAProducto A Producto B Total

HombreSEXO Mujer

Total

b)b1) ¿Qué proporción de los encuestados fueron hombres?

b2) ¿Qué proporción de los encuestados prefirió el producto A?

b3) ¿Que proporción de los encuestados fueron hombres que prefirieron el producto A?

b4) ¿Qué proporción de los hombres prefirió el producto A?

b5) ¿Qué proporción de los que prefirieron el producto A fueron hombres?

c) Conviene comparar la tabla anterior con la que se obtendría si la preferencia por uno u otro producto fuera exactamente la misma entre los hombres y las mujeres, e igual a la observada entre todas las personas encuestadas. Construye esta tabla y compárala con la anterior; en tu opinión ¿lo que observas indicaría una relación entre el sexo de una persona y su preferencia por alguno de los dos productos?


PREFERENCIAProducto A Producto B Total

HombreSEXO Mujer

Total

2. Una baraja, francesa consta de 52 cartas (as, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho nueve, diez, sota, reina y rey de cada uno de sus cuatro palos: espadas, corazones, diamantes y tréboles). Calcula la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes, si se extrae una carta al azar.

a) Sacar un as.b) Sacar una carta que no sea de tréboles.c) Sacar una figura (sota, reina o rey).d) Sacar una figura de diamantes e) Sacar una carta de tréboles menor que seis.f) Sacar una carta de espadas de número par.g) Sacar un as de espadas o un rey.h) Sacar una reina o una carta par.

3. Se lanzan simultáneamente tres monedas de un peso.

a) Describe el espacio muestral.

Calcula la probabilidad de obtener:

b) Exactamente un águila.c) Exactamente dos águilas.d) Exactamente tres águilas.e) Por lo menos un águila.f) Por lo menos dos águilas.g) A lo sumo dos águilas.

4. Si se tiran dos dados simultáneamente:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos muestre un número mayor que tres?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos muestre un número mayor que dos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos muestre un cinco?d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un dado muestre un número par?e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea siete?


f) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea divisible por dos o por tres?

5. Después de lanzar un dado 10 000 veces se encontró que las frecuencias relativas de

las caras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 fueron, respectivamente .

Si se usa la definición estadística de probabilidad, calcula la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes:

a) Obtener un número impar.b) Obtener un número par.c) Obtener un número menor que cuatro.d) Obtener un número mayor que tres.

6. Tres estudiantes, Ayax, Laertes, y Pirro, intervienen en una competencia de natación Ayax y Laertes tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de Pirro.¿Cuál es la probabilidad de que gane Laertes o gane Pirro?

7. En una fiesta se van a rifar dos premios entre los presentes. Se numeran papelitos del 1 al 20 y se introducen en una caja. Una mano inocente extrae un papelito para el primer premio y otro, después para el segundo. Terpsícore tiene el número trece y Euterpe el siete.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Terpsícore obtenga el primer premio y Euterpe el segundo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ellas obtengan los premios sin importar el orden de los mismos?


Unidad 2. Elementos Básicos de Probabilidad

1. En una urna hay 1200 fichas, 50 son rojas, 285 son blancas, 349 son azules, 68 son verdes, 117 son cafés y el resto son negras. Calcula la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes, si se extrae una ficha al azar.

a) La ficha es azul.b) La ficha es negra.c) La ficha no es negra.d) La ficha es blanca o negra.e) La ficha no es café.f) La ficha es café, negra o roja.

2. Una baraja, francesa consta de 52 cartas (as, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho nueve, diez, sota, reina y rey de cada uno de sus cuatro palos: espadas, corazones, diamantes y tréboles). Calcula la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes, si se extrae una carta al azar.

a) Sacar un as.b) Sacar una carta que no sea de tréboles.c) Sacar una figura (sota, reina o rey).d) Sacar una figura de diamantes e) Sacar una carta de tréboles menor que seis.f) Sacar una carta de espadas de número par.g) Sacar un as de espadas o un rey.h) Sacar una reina o una carta par.

3. En un proceso de control de calidad, 50 artículos fueron sometidos a dos pruebas distintas, para ver si tenían algún defecto. Los datos obtenidos aparecen en la siguiente tabla:

Resultado 1era. Prueba

Satisfactorio Insatisfactorio TotalResultado 2°

pruebaSatisfactorio 37 5 42

Insatisfactorio 2 6 8Total 39 11 50

Calcula la probabilidad, si se toma un artículo de este grupo al azar de que:a) Aprobara ambas pruebas.b) Aprobara la primera prueba pero no la segunda.c) Aprobara sólo una prueba. d) Aprobara al menos una prueba.e) No aprobara ninguna de las dos pruebas.


4. Se lanzan simultáneamente tres monedas de un peso.

a) Describe el espacio muestral.

Calcula la probabilidad de obtener:

b) Exactamente un águila.c) Exactamente dos águilas.d) Exactamente tres águilas.e) Por lo menos un águila.f) Por lo menos dos águilas.g) A lo sumo dos águilas.

5. Si se tiran dos dados simultáneamente:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos muestre un número mayor que tres?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos muestre un número mayor que dos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos muestre un cinco?d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos un dado muestre un número par?e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea siete?f) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea divisible por dos o por tres?

6. Después de lanzar un dado 10 000 veces se encontró que las frecuencias relativas de

las caras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 fueron, respectivamente .

Si se usa la definición estadística de probabilidad, calcula la probabilidad de cada uno de los eventos siguientes:

a) Obtener un número impar.b) Obtener un número par.c) Obtener un número menor que cuatro.d) Obtener un número mayor que tres.

7. Tres estudiantes, Ayax, Laertes, y Pirro, intervienen en una competencia de natación Ayax y Laertes tienen la misma probabilidad de ganar y el doble de la de Pirro.¿Cuál es la probabilidad de que gane Laertes o gane Pirro?

8. En una fiesta se van a rifar dos premios entre los presentes. Se numeran papelitos del 1 al 20 y se introducen en una caja. Una mano inocente extrae un papelito para


el primer premio y otro, después, para el segundo. Terpsícore tiene el número trece y Euterpe el siete.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Terpsícore obtenga el primer premio y Euterpe el segundo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ellas obtengan los premios sin importar el orden de los mismos?

9. En una escuela hay 700 alumnos inscritos en tercer año. 300 están reprobados en matemáticas, 175 en contabilidad y 132 en ambas. Si se escoge un alumno al azar calcula la probabilidad de que:

a) Esté reprobado en matemáticas pero no es contabilidad.b) Esté reprobado en contabilidad pero no en matemáticas.c) No esté reprobado en ninguna de las dos materias.

10. En una encuesta aplicada a 1000 personas de un distrito electoral se incluyeron dos preguntas:

a) ¿Conoce el nombre del actual diputado del distrito?b) ¿Conoce los nombres de los candidatos a diputados para este distrito electoral?

Siete personas contestaron afirmativamente la primera pregunta.868 personas contestaron afirmativamente la segunda pregunta.Seis personas contestaron afirmativamente ambas preguntas. Si se elige una encuesta al azar Calcula la probabilidad de que:

c) Ambas respuestas sean negativas.d) La primera sea afirmativa y la segunda negativa.

11. Para estimar la población de comadrejas en una zona, se capturaron y marcaron 25 de ellas. Un mes más tarde se recapturaron 50 comadrejas y se encontró que 18 de ellas estaban marcadas, ¿cuál es la población estimada de comadrejas en esa zona? Explica el razonamiento que te llevó a la respuesta.

12. En una fábrica de Toluca trabajan 767 empleado. De estos 185 tienen automóvil. De 179 empleados que no residen en Toluca 165 tienen automóvil. Calcula la probabilidad, si se elige un empleado al azar, de que:

a) Resida en Toluca y no posea automóvil.b) Resida en Toluca y posea automóvil.


13. Para transportarse de Nueva Rosita a Piedras Negras, Coahuila, se puede tomar un autobús verde o un azul:- El primer autobús azul sale a las 6:00 a. m. y después hay uno cada veinte minutos hasta las 9:00 p. m.- El primer autobús verde sale a las 6:10 a. m. y después hay uno cada cuarto de hora hasta las 8:40 p. m.¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero que llega a la central camionera entre las 8:00 y las 9:00 A. M. aborde un autobús verde?

Autobús Azul (A) Autobús Verde (V)6:006:206:407:007:207:408:008:208:409:00

6:106:256:406:557:107:257:407:558:108:258:40

14. De 2000 jóvenes entrevistados, con edades comprendidas entre 15 y 20 años, 360 no trabajan ni estudian, 817 sólo trabajan y 220 trabajan y estudian.Si se escoge un joven al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Estudie pero no trabaje.b) Estudie.

15. En una escuela, la Academia de Matemáticas está compuesta por 16 Profesores. Tres de ellos son gordos y feos, seis no son feos y ocho no son gordos. Entre ellos se rifa una computadora. Calcula la probabilidad de que el premio corresponda:

a) A un profesor feo.b) A un profesor gordo.c) A un profesor que no sea gordo ni feo.

16. De un total de 89 muchachos, 26 usan por lo menos barba, 34 por lo menos bigote y

32 por lo menos patillas. 6 sólo bigote y patillas, 12 sólo barba, 15 sólo bigote y 25 no llevan barba, bigote ni patillas.Se escoge uno de ellos al azar, calcula la probabilidad de que:


a) No tenga barba ni bigote pero si patillas.b) No lleve patillas pero si barba y bigote.c) Use barba y patillas pero no bigote.

17. En una encuesta aplicada a 180 empleados se obtuvo la siguiente información: 48 tienen por lo menos casa propia87 tienen por lo menos automóvil120 tienen por lo menos televisión52 tienen sólo automóvil y televisión1 tiene sólo casa propia3 tienen sólo automóvil44 no tienen ninguna de las tres cosas Si se escoge un empleado al azar calcula la probabilidad de que:

a) Tenga automóvil, casa propia y televisión.b) Tenga casa propia y televisión pero no automóvil.c) Tenga televisión pero no casa propia y automóvil.d) Tenga automóvil o televisión.

18. En un estudio sobre la noción de variable en 102 estudiantes de primer año de licenciatura, 52 de ellos eran mujeres, se obtuvo la información siguiente: todos los hombres eran solventes en el uso de la variable como número general. En total 62 personas eran solventes en el uso de la variable como número general, 25 mujeres eran solventes en el uso de la variable como incógnita, 15 de las personas solventes en el uso de la variable como número general también lo eran en el uso de la variable como incógnita y 10 de las mujeres solventes en el uso de la variable como número general también lo eran en el uso de la variable como incógnita.

Si de este grupo se escoge una persona al azar calcula la probabilidad de que:

a) Sea solvente en el uso de la variable como incógnita.b) Sea una mujer solvente en el uso de la variable como número general pero no

solvente en el uso de la variable como incógnita.c) Sea un hombre solvente en el uso de la variable como incógnita.d) No sea solvente en el uso de la variable como número general.


Unidad 3. Probabilidad Condicional

1. Se extraen dos naipes de una baraja francesa de 52 cartas.

a) Si se vuelve a colocar la carta extraída antes de tomar la segunda, ¿cuál es la probabilidad de que salga un as seguido de la reina de corazones?

b) Si no se regresa la carta antes de tomar la segunda, ¿cuál es la probabilidad, de que salga un as seguido de la reina de corazones?

2. Un fabricante recibe un lote de 30 tubos aislantes, 5 de éstos están defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad, si se cogen dos de ellos para revisarlos, de que el primero esté defectuoso y el segundo en buen estado?

3. La probabilidad de que una familia tenga automóvil es 0.25, la probabilidad de que una familia tenga tanto casa propia como automóvil es 0.10, ¿cuál es la probabilidad de que una familia cualquiera tenga casa propia si sabemos que tiene automóvil?

4. Considera el enunciado siguiente:En un grupo escolar hay 27 mujeres y 23 hombres. Entre las mujeres hay 19 obesas y 8 que no lo son. Entre los hombres, hay 17 obesos y 6 que no lo son.Presenta la información contenida en el enunciado anterior mediante:a) Un diagrama de árbol; b) Una tabla de doble entrada; c) Un diagrama de Venn.Formula dos preguntas de probabilidad condicional y respóndelas.

5. Hay dos tarjetas en un cajón, una de ellas es roja por ambas caras otra es negra por una cara y roja por la otras, si se toma, el azar una tarjeta del cajón y se coloca sobre una mesilla (también la cara que está hacia arriba se ha escogido al zar),si se nos dice que la cara que esta a la vista sobre la mesilla es roja, ¿Cuál es la probabilidad de que la cara que está hacia abajo sea roja?

6. En una escuela todos los alumnos toman clase de contabilidad y de matemáticas, la probabilidad de que un alumno escogido al azar, repruebe en Matemáticas es 0.4, la probabilidad de que repruebe en contabilidad es 0.11 y la probabilidad de que repruebe en ambas materias es 0.08.

a) ¿Son independientes los eventos “reprobar en matemáticas”; y “reprobar en contabilidad”?

b) Sí se sabe que un alumno está reprobado en matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que repruebe en contabilidad?

c) Si se sabe que un alumno está reprobado en contabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que repruebe en matemáticas?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no repruebe en matemáticas?e) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no repruebe en contabilidad?


f) ¿Cuál es la probabilidad de que repruebe en matemáticas pero no en contabilidad?g) ¿Cuál es la probabilidad de que repruebe en contabilidad pero no en matemáticas?h) ¿Cuál es la probabilidad de que no repruebe en ninguna de las dos materias?i) ¿Cuál es la probabilidad de que repruebe en contabilidad si se sabe que aprobó en

matemáticas?j) ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe en matemáticas si se sabe que aprobó en

contabilidad?k) ¡Cuál es la probabilidad de que apruebe en contabilidad si se sabe que aprobó en

matemáticas?

7. La probabilidad de que Orfeo reciba una llamada de sus amigos en el lapso de una hora es de 0.25, ¿cuál es la probabilidad de que se pase 3, 4,…, n horas sin recibir una llamada?

8. Una fábrica tiene dos máquinas. La máquina A produjo el 60% de las piezas y la B el resto. El 2% de las piezas producidas por la máquina A y el 5% de las producidas por la máquina b tenían defectos.

a) Si se toma una pieza al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que resulte defectuosa?b) Si se toma una pieza al azar y resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que

haya sido producida por la máquina A?

9. Un examen clínico presenta las siguientes características:- Cuando se aplica una persona enferma, detecta la enfermedad en el 98% de los casos y no la detecta en el 2% restante;- Cuando se aplica a una persona sana, indica que la persona está sana en el 95% de los casos, pero atribuye erróneamente la enfermedad al 5% de los casos restantes.Se sabe además que la enfermedad la padecen aproximadamente el 7% de las personas.Al aplicar masivamente el examen, ¿qué confianza podemos tener en que una persona que aparece como sana en el examen está realmente sana? ¿qué confianza podemos tener en que una persona detectada como enferma está realmente enferma?

10. Se tienen dos lotes de piezas idénticas. Del primer lote se sabe que 1% son defectuosas y del segundo lote que 5% también lo son. Se escoge al azar uno de los dos lotes y, del lote escogido, se toma una pieza también al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la pieza así escogida sea defectuosa?b) Si se sabe que la pieza escogida resultó defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de

que se haya tomado del primer lote?


11. En un lote de 5 focos hay dos defectuosos para localizarlos se prueban los focos de uno en uno.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los focos defectuosos se localicen al probar los dos primeros?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que necesiten probarse los cinco focos?

12. En un almacén se encuentran 100 cajas con 100 fusibles cada una, 20 cajas contienen fusibles producidos por la máquina A, 30 cajas por la máquina B y 50 cajas por la máquina C. Las cajas están almacenadas al azar sin importar la máquina de procedencia. La máquina A produce en promedio 5% de fusibles defectuosos, la máquina B, 3% y la máquina C, 2%. Si se toma una de estas cajas al azar, se extrae uno de los fusibles y se encuentran que es defectuoso, calcula la probabilidad de que haya sido producido por:

a) La máquina Ab) La máquina Bc) La máquina C.

13. Cástor y Pólux disponen de $2 y $3, respectivamente, para jugar a los volados. Se apuesta $1 en cada volado y el juego se termina a los cinco volados o cuando algún jugador se haya arruinado, es decir haya perdido su capital.

a) ¿Cuáles son las probabilidades de Cástor y de Pólux de arruinarse? b) ¿Cuáles son las probabilidades de que el juego termine sin que ninguno de los dos

se arruine? c) ¿Es parejo el juego?

14. Una compañía de seguros de automóviles ha asegurado a 60 000 conductores de clase A (riesgo pequeño), a 80 000 de clase B (riesgo mediano) y a 10 000 de clase C (riesgo grande). La probabilidad de que un conductor de la clase A, B y C tenga uno o más accidentes durante un año es 0.02; 0.05 y 0.15, respectivamente. La compañía vende al Sr. José K. Una póliza de seguro y en un año tiene un accidente. Calcula la probabilidad de que el Sr. José K. Sea un conductor:

a) De clase A.b) De clase B.c) De clase C.

15. La probabilidad de que un día llueva es 60% si llovió el día anterior y de 40% si no llovió. Hoy llovió, ¿cuál es la probabilidad de que llueva dentro de 3, 4, 5,..., n días?


16. Se supone que una cierta prueba detecta el cáncer con probabilidad de 0.8 entre gente que padece cáncer y no detecta el 20% restante. Si una persona no padece cáncer la prueba indicará esta hecho un 95% de las veces e indicará que tiene cáncer un 5% de ellas. Supondremos que el 3% de la población de prueba padece cáncer y la prueba de una persona determinada, seleccionada al azar, indica que tiene cáncer. ¿Cuál es la probabilidad de que efectivamente padezca dicha enfermedad?


Unidad 4. Distribución de Probabilidad

1. El

2. Imagina que un gobierno sexista de un cierto país te contrata como asesor. Acaba de adoptar una política que obliga a las parejas a procrear hasta que les nazca la primera niña, momento en el que habrán de cesar sus afanes reproductivos. Lo que quieren saber los gobernantes de este país es ¿cuántos hijos tendrá la familia media como resultado de esta política? y ¿cuál será la distribución de los sexos?

3. Compara la probabilidad de que en los próximos 10 partos en una clínica haya 60% o más de mujeres con la probabilidad de que en los próximos 100 partos en una clínica haya 60% o más de mujeres. ¿Qué suceso es más probable? Justifica tu respuesta.


Unidad 5. Inferencia Estadística

1. El


Lecturas


5. Lecturas

Introducción

En este material se cuenta con algunas lecturas sobre temas de matemáticas. No se trata de un material de relleno, simplemente para introducir o motivar el estudio de ciertos temas. La comprensión de la matemática no se limita al conocimiento y adquisición de soltura en el uso de ciertos procedimientos, principalmente algebraicos. También incluye la discusión de ideas y conceptos.

La lectura te exige un esfuerzo que debes realizar si quieres lograr comprender su significado. Por ejemplo, la expresión “yo sólo sé que no sé nada” es atribuida a Sócrates. Sin embargo, en la Apología de Sócrates lo que se dice es “yo sólo sé que lo que sé es nada”. ¿Son equivalentes ambas expresiones? ¿Puedes explicar sus diferencias de significado?

Es posible que tengas compañeros que digan que ya entendieron algún tema de matemáticas, digamos ecuaciones de segundo grado, de manera que si les dan una ecuación no tienen dificultad para resolverla, pero que si de lo que se trata es leer un texto y a partir de él plantear una ecuación que deben resolver para responder lo que se les pregunta, entonces no pueden hacerlo, pues no entienden cómo se puede saber la ecuación que sirve para lo que dice el texto. Aquí se tiene un problema de comprensión de lectura y no porque el alumno no pueda darse una idea de lo que dice el texto, sino porque él mismo se bloquea y no sabe leer. En este Libro un problema se inicia con un texto y lo primero que debes hacer cuando te enfrentes a uno es leer el enunciado y buscar darle un sentido y significado coherente a la situación planteada.

No se trata de hacer complicada una lectura. Pero es que la comprensión de la lectura no es una actividad sencilla. Cuando decimos que una lectura nos permite descansar, hacer una pausa de nuestras actividades o deberes cotidianos, relajarnos, no es porque la lectura sea una actividad sin chiste y que aprende cualquier niño en los primeros años de primaria al reconocer las letras del alfabeto y cómo deben pronunciarse. Si nos sentimos bien luego de leer es porque nos interesa el tema que estamos leyendo y ya sabes que cuando realizamos alguna actividad que nos gusta, no nos pesa tanto el trabajo que debemos hacer para ello.

Para leer un libro de matemáticas necesitas al menos de lápiz y papel a un lado para realizar anotaciones, cálculos, dibujar figuras, o representaciones de lo que se está estudiando en el libro. Para leer un artículo o ensayo, es recomendable tener a la mano un diccionario para consultar con facilidad las palabras de las que se desconoce su significado. Ser un buen lector es una habilidad que desarrollamos poco a poco.


Cuando has leído un artículo y dices que lo has comprendido, es porque eres capaz de señalar sus ideas principales sin recurrir a la simple cita textual y cuando puedes identificar tus acuerdos y desacuerdos con el autor del texto.

Discutir una lectura también permite desarrollar nuestra capacidad de comunicación y argumentación. No basta decir que ya entendimos algo; si no somos capaces de expresar y comunicar a otros esta comprensión no logramos el principio básico de una discusión: se logra convencer a los otros a partir de la elaboración y exposición de argumentos coherentes y no por hablar más tiempo, más fuerte o por ocupar un puesto más alto que los otros.

Debemos saber comunicar nuestras ideas, pero también escuchar cuidadosamente los argumentos de otros, tratando de entender lo que nos están diciendo, reflexionar en los argumentos que nos presentan y aceptarlos si nos parecen convincentes.

La lectura de un artículo y luego la discusión del mismo nos permite reflexionar el tema tratado y enriquecer la comprensión del mismo. La lectura es una actividad que realizamos constantemente, en los periódicos, en el cine, en la televisión, en internet y en los mensajes que recibimos de estos medios tan diversos siempre hay una dimensión matemática que no podemos ignorar. Si algo de lo que lees llama tu atención por la importancia que las matemáticas tienen en su interpretación, ya sea un fragmento de película o de novela, una noticia o un reportaje, puedes elaborar un guión y organizar y conducir una discusión en la clase.


Lecturas

1. El método de simulación de Montecarlo

por John Allen Paulos

Artículo publicado en Más allá de los números de John Allen Paulos Traducción de Joseph Llosa, Editorial Tusquets, 1993.

Sabemos que un determinado jugador de basquetbol encesta el 40 % de sus tiros. Si en un partido hace 20 tiros ¿cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 11 veces? Hay unos cálculos estándar que se pueden efectuar para saber la respuesta. También hay otro método que, aunque en este caso es opcional, a veces es el único modo de abordar el problema. En el caso planteado, supondría pedir al jugador que jugara rápidamente unos 10000 partidos para que pudiéramos determinar el porcentaje de veces en las que mete exactamente 11 canastas.Aunque resulta evidentemente impracticable para un jugador humano de basquetbol, este método, llamado de Montecarlo, se puede realizar fácilmente en una computadora. Basta con pedir a la computadora que genere aleatoriamente un número comprendido entre 1 y 5, y que mire si dicho número es 1 ó 2. Como 2 es el 40% de 5, si sale 1 ó 2 lo interpretaremos como un acierto en la simulación de los tiros del jugador, mientras que si sale 3, 4 ó 5 lo interpretaremos como un fallo. Luego pediremos a la computadora que genere aleatoriamente 20 de tales números entre 1 y 5, y que mire si exactamente 11 de ellos son 1 ó 2. Si es así, lo interpretaremos como si el jugador simulado hubiera metido exactamente 11 canastas de 20 intentos cuando su porcentaje de aciertos es del 40%. Por último, pediremos a la computadora que realice este ejercicio 10000 veces y que cuente el número de veces en que exactamente 11 de los 20 intentos del jugador simulado en el partido se convierten en canastas. Si dividimos este número entre 10000 tendremos una muy buena aproximación de la probabilidad teórica en cuestión.Para valorar la utilidad de la simulación es bueno realizar una por uno mismo. (No te preocupes si no tienes computadora, no hace falta, basta con una moneda) Imagina que un gobierno sexista de un cierto país te contrata como asesor. Acaba de adoptar una política que obliga a las parejas a tener hijos hasta que les nazca el primer varón, momento en el que habrán de cesar de procrear. Lo que quieren saber los gobernantes de ese país es: ¿cuántos hijos tendrá la familia media como resultado de esta política? y ¿cuál será la distribución de los sexos? En vez de hacer una recopilación de datos estadísticos, para lo cual tendrían que transcurrir años, uno puede lanzar una moneda un número suficientemente grande veces para tener una muestra que nos permita hacer una estimación. Si interpretamos el sol como hombre (H) y el águila como mujer


(M), uno lanza la moneda hasta que sale el primer sol y apunta el número de lanzamientos, esto es el número de hijos de la familia. La sucesión MMH corresponde a dos mujeres seguidas de un hombre, H corresponde a un hijo único hombre, etc. Se repite este procedimiento 100 ó 1000 veces para producir 100 ó 1000 «familias» y se calcula el número medio de hijos de cada familia y la distribución de los sexos. Puede que tú, y también los funcionarios del país, encuentren sorprendente la respuesta.La aplicación de los métodos de Montecarlo facilita mucho los estudios de los sistemas grandes, las situaciones que se dan en problemas de colas y planificación de horarios, y en fenómenos físicos, tecnológicos y matemáticos. Desde las rebajas de los grandes almacenes hasta los laboratorios de turbulencia en aeronáutica, todo el mundo hace simulaciones. Generar números aleatorios en una computadora y manejar luego las simulaciones probabilísticas basadas en ellos es más fácil y barato que tratar con los fenómenos aleatorios reales. La única advertencia es que no hay que olvidar que existe una clara diferencia entre el modelo y la simulación de un fenómeno y el fenómeno real propiamente dicho. No es lo mismo tener un hijo que lanzar una moneda.En relación con esto es útil la siguiente representación esquemática de la simulación—y, hasta cierto punto, de la matemática aplicada en general—. El proceso puede dividirse en cinco estadios:

El primero es la identificación del fenómeno real que nos interesa, a continuación, la creación de una versión idealizada de dicho fenómeno, en tercer lugar, la construcción de un modelo matemático basado en

dicha versión simplificada, luego, la realización de una serie de operaciones matemáticas con el

modelo para obtener predicciones y por último, la comparación de estas predicciones con el fenómeno

original para ver si concuerda. (Véase el artículo sobre La filosofía de la matemática.)

Muchas aplicaciones de la matemática son inmediatas, pero lamentablemente es muy fácil, especialmente en las ciencias sociales, confundir el modelo propio con la «realidad» y atribuir a esta última alguna propiedad que sólo existe en el modelo. He aquí un ejemplo simple tomado del álgebra elemental: Jorge puede realizar una tarea en 2 horas y Marta emplea 3 horas en realizar la misma tarea. ¿Cuánto tardarán trabajando los dos a la vez? La respuesta «correcta» de 1 hora y 12 minutos supone que, trabajando juntos, la presencia de uno no estorba ni estimula el trabajo del otro. En este caso, y en muchísimos otros, la certeza de las conclusiones matemáticas derivadas del modelo no siempre es extensiva a las suposiciones, simplificaciones y datos que uno ha empleado en la construcción del modelo. Éstos no se dejan manejar bien, son nebulosos y totalmente falibles, a pesar de las afirmaciones, fastidiosamente autosuficientes a veces, de sociólogos, psicólogos y economistas. Al igual que la señora Brown, la mujer perfectamente ordinaria de Virginia Woolf, la realidad es infinitamente compleja e imposible de captar por completo en ningún modelo matemático.


2. Incertidumbre

Por David Moore

INTRODUCCIÓNEl vocablo "incertidumbre" se usa con la intención de evocar dos temas relacionados: datos y azar. Ninguno de ellos es un campo separado dentro de las matemáticas; sin embargo, ambos fenómenos constituyen objetos de estudio de la matemática. En términos generales, la estadística y la probabilidad son las disciplinas matemáticas que tratan de los datos y el azar, respectivamente. Todas las recomendaciones recientes relativas a planes de estudio escolares coinciden en sugerir que la estadística y la probabilidad deberían ocupar un sitio

mucho más prominente que en el pasado14,12

. Sin embargo, debido al énfasis en el análisis de datos que se hace en dichas recomendaciones, es fácil contemplar a la estadística en particular como una colección de habilidades específicas (o incluso, como un saco de trucos). La tarea de este ensayo no es llamar la atención hacia los datos y el azar, como temas en los planes de estudio escolares, la están atrayendo ya, sino desarrollar este entramado de ideas matemáticas en una forma que esclarezca los temas y las estrategias globales, en cuyo interior los temas individuales encuentran su lugar natural. Cualquier análisis que pretenda influir en la enseñanza deberá reflejar la experiencia de profesores y estudiantes. Las propuestas para reformar los planes de estudio desligadas de esa experiencia ofrecen esperanzas utópicas que resultan decepcionantes en la práctica. La estadística en las escuelas no es utópica; el nuevo material que se prueba actualmente tiene utilidad práctica y más bien contribuye que desplaza al desarrollo de los conceptos y las capacidades numéricas. No obstante, es fácil que en nuestro entusiasmo pasemos por alto problemas prácticos y que impulsemos la enseñanza de una materia irreal en cantidad o nivel. Es importante llamar la atención hacia las dificultades y los potenciales pasos en falso, así como hacia las ventajas, en el uso de datos y el azar en la enseñanza de la matemática. Al escribir este ensayo he intentado errar en la dirección práctica y no en la utópica.

DatosEl interés en la enseñanza de la estadística sin lugar a dudas se debe, en parte al reconocimiento del sitio que el trabajo con datos ocupa en la vida cotidiana y otras en muchas ocupaciones. Se está haciendo cada vez más común la enseñanza de temas matemáticos que tienen una aplicación directa, en lugar de seleccionarlos tan sólo porque conducen a temas posteriores en la matemática. La estadística es uno de estos temas. En notas periodísticas se presentan estadísticas económicas y sociales, así como encuestas de opinión a nivel nacional, datos médicos tanto de estudios epidemiológicos como de pruebas clínicas; datos comerciales y financieros. Muchos ciudadanos deben tratar con datos en mayor detalle dentro de sus trabajos. Agricultores y agroindustriales usan pronósticos de cosechas y


resultados de pruebas de campo agrícolas. Los ingenieros se ocupan de datos sobre el rendimiento, la calidad y la confiabilidad de productos. Es cada vez más frecuente pedir a los obreros industriales que registren y actúen sobre los datos de control de los procesos. Las ciencias de la salud se las ven con datos sobre el costo y la efectividad así como con resultados de investigaciones médicas. El mundo de los negocios se maneja con base en datos de todo tipo: costos, utilidades, proyecciones de ventas, investigaciones de mercado y muchos más. Hay apremiantes razones prácticas para aprender estadística. Como sugieren estos ejemplos, los datos no son simples números, sino números con un contexto. El número 4.6 en ausencia de un contexto no transmite información alguna; el hecho de que el peso al nacer un niño fue de 4.6 kg nos permite comentar el saludable tamaño del pequeño. Es decir, los datos participan a nuestros conocimientos de su contexto para que podamos ejercer la comprensión y la interpretación, en vez de limitarnos a efectuar operaciones aritméticas. Por lo tanto, hay razones de peso tanto pedagógicas como prácticas para enseñar estadística en las escuelas. En la estadística se combinan la ejecución de cálculos en un ambiente con sentido y el ejercicio del criterio en la selección de los métodos y en la interpretación de los resultados. En los grados iniciales la estadística no se enseña por su valor intrínseco, sino porque constituye un medio eficaz para desarrollar la comprensión cuantitativa y para aplicar la aritmética y las técnicas de graficación en la solución de problemas. Los profesores que entienden que los datos son números en un contexto, proporcionarán siempre el contexto adecuado al plantear problemas a los estudiantes. Calcular la media de cinco números es un ejercicio de aritmética, no de estadística. Calcular el precio promedio de una cinta de música popular en cinco establecimientos detallistas es estadística; en particular cuando se combina con la consideración del grado de dispersión de los precios y con una combinación con los precios de otros géneros musicales. Es esencial que las ventajas prácticas y pedagógicas de trabajar con datos no sucumban ante el énfasis exclusivo en la enseñanza de las operaciones. Los profesores y los encargados de elaborar los materiales para los planes de estudio deberán ser imaginativos al proporcionar datos que tengan sentido para los estudiantes. En los grados superiores es posible utilizar datos de otras materias académicas (como las ciencias naturales), aunque los estudiantes rara vez relacionan esos datos con su vida diaria. En los grados inferiores los datos producidos por los propios estudiantes son los mejores. Los estudiantes pueden producir datos en muchas formas, por ejemplo, si se formulan preguntas a la clase ("¿Cuántos niños viven en tu casa?") o se pide que cada estudiante mida, cuente o estime cierta cantidad. El esfuerzo adicional requerido para proporcionar datos en lugar de simples números deberá tomarse en cuenta al planear la instrucción. Los datos adecuados no sólo constituyen un aspecto atractivo para motivar a los estudiantes; son esenciales para el carácter de la estadística. Sin embargo, es importante que el esfuerzo requerido para producir los datos no oscurezca las ideas matemáticas que se enseñan y se aprenden.


En particular, los intentos por producir datos adecuados sobre cuestiones que revisten importancia fuera del ámbito escolar resultan siempre mucho más difíciles de lo que podría parecer a primera vista. Las experiencias desagradables con intentos tardados y confusos para producir datos bien podrían desalentar a los profesores de enseñar estadística. Las dificultades asociadas con las actividades de producción de datos constituyen la primera de varias barreras potenciales de una reforma efectiva. Los materiales de los planes de estudio deberán proporcionar tanto datos interesantes como sugerencias prácticas comprobadas para que los propios estudiantes produzcan los datos. Con el tiempo, los profesores pueden recopilar y compartir series de datos referentes a su comunidad y su escuela. Las computadoras son un medio ideal para almacenar y compartir datos.

AzarAlgunos fenómenos tienen resultados predecibles: cuando se deja caer una moneda desde una altura conocida, el tiempo que tarda en llegar al suelo puede predecirse con la física elemental. Salvo por un error de medición muy pequeño, el resultado es cierto. Si, por otra parte, la moneda se lanza al aire, no podemos predecir si caerá cara o cruz. El resultado es incierto. Sin embargo, el lanzamiento de una moneda no es un hecho fortuito. Si se hace un gran número de lanzamientos, la proporción de caras se acercará mucho a la mitad. Esta regularidad en el largo plazo no es sólo una construcción teórica sino un hecho observado: El naturalista francés Buffon (1707-1788) lanzó una moneda 4040 veces.

Resultado: 2048 caras, una proporción de de caras.

Alrededor de 1900, el estadístico inglés Karl Pearson en un acto sin precedentes lanzó una moneda 24000 veces. Resultado: 12012 caras, una proporción de 0.5005.

El matemático inglés John Kerrich, mientras fue prisionero de los alemanes durante la Segunda Guerra Mundial, lanzó una moneda 10 000 veces. Resultado: 5067 caras, una proporción de 0.5067.

Los fenómenos cuyos resultados individuales son inciertos pero que cuentan con un patrón regular de los mismos en muchas repeticiones se llaman aleatorios. "Aleatorio" no es sinónimo de "fortuito", sino la descripción de un tipo de orden diferente del determinista que suele asociarse con la ciencia y las matemáticas. La probabilidad es la rama de la matemática que describe la aleatoriedad. Las experiencias infantiles dentro y fuera de la escuela proporcionan menos contacto con la aleatoriedad que con los datos. Por ejemplo, los estudiantes no incursionan en las áreas de la ciencia en las que aparece el comportamiento aleatorio (como la genética o la teoría cuántica) sino hasta el bachillerato, y eso sólo si eligieron cursos de ciencias exactas. La incertidumbre es, desde luego, un aspecto siempre presente en toda experiencia humana; es el orden en la incertidumbre lo que resulta difícil de observar en situaciones circunstanciales. Incluso las loterías estatales, aunque familiares para muchos estudiantes, ofrecen una experiencia limitada en el aspecto ordenado de la aleatoriedad debido al énfasis que hacen en los cuantiosos premios en extremo improbables. En estos


juegos de azar que tanta publicidad reciben, se utiliza la aleatorización física real, pero dan la impresión de hacer rica a la gente de manera fortuita. Los psicólogos han demostrado que nuestra intuición del azar contradice de manera profunda las leyes de la probabilidad que describen el comportamiento aleatorio real. Este entendimiento incorrecto es muy difícil de corregir por medio de la instrucción formal. Los intentos por enseñar probabilidad e inferencia estadística sin la preparación intuitiva adecuada, constituyen un segundo escollo principal al introducir los datos y el azar como temas de los planes de estudio escolares. Incluso a nivel de educación superior muchos estudiantes no pueden entender la probabilidad y la inferencia debido a los conceptos errados que no son eliminados por el estudio de las reglas formales. El conflicto entre la teoría de la probabilidad y la manera como los estudiantes ven al mundo se debe, al menos en parte, al limitado contacto de los estudiantes con la aleatoriedad. Por lo tanto, debemos preparar el camino para el estudio del azar al proporcionar experiencia temprana con el comportamiento aleatorio en los planes de estudio de matemáticas. Afortunadamente, el estudio de datos provee un ambiente natural para tales experiencias. La prioridad del análisis de datos sobre la probabilidad y la inferencia formal es un principio importante en la enseñanza de la incertidumbre. Pueden usarse dispositivos de azar artificiales (monedas, dados, perinolas) para producir datos en el salón de clases con el objetivo de aplicar las habilidades del análisis de datos y descubrir la naturaleza ordenada de estos dispositivos. La incertidumbre también aparece en datos de fuentes diferentes de los dispositivos de azar. Las mediciones repetidas de la misma cantidad (hechas por varios estudiantes, por ejemplo) producen resultados variables. La variación natural surge en las alturas, las calificaciones en lectura o en los ingresos de un grupo de personas. Quizás resulte sorprendente que los patrones de variación que ocurren en mediciones cuidadosas o en datos sobre muchos individuos puedan describirse por las mismas matemáticas que describen los resultados de los dispositivos de azar. La experiencia con la variación en datos es un primer paso hacia el reconocimiento de la conexión entre estadística y probabilidad. En una etapa posterior, el papel de la aleatorización deliberada en los diseños estadísticos para producir datos refuerza esta conexión. Por último, la inferencia estadística formal usa el lenguaje y los hechos de la probabilidad, para expresar el grado de confianza que podemos tener en las conclusiones sacadas de los datos. Aunque la utilidad en la vida cotidiana de comprender la aleatoriedad es menos obvia que la necesidad de tratar con datos, los argumentos prácticos para enseñar el azar no están ausentes. Una meta de la instrucción en probabilidad es contribuir a que los estudiantes entiendan que la variación aleatoria, más que la causalidad determinista, explica muchos aspectos del mundo. Supóngase que un basquetbolista ha encestado el 70% de sus tiros libres a lo largo de la temporada. Al final de un juego de campeonato intenta cinco tiros libres y sólo consigue encestar uno. "Nerviosismo", dicen los aficionados. Pero esta explicación fortuita no es necesariamente correcta. Un jugador cuya probabilidad de encestar cada tiro es de 0.7 tiene una probabilidad de cerca de


0.16 de fallar al menos tres de cinco tiros. Una actuación como la descrita fácilmente podría deberse a simple variación aleatoria. Cierta comprensión de la probabilidad nos permite tomar en cuenta el papel del azar en lugar de buscar una causa específica, con frecuencia espuria, de cada suceso particular.

Calculadoras y computadorasSi bien el advenimiento de equipo de cómputo rápido y de fácil acceso ha incidido en la matemática en general, en el caso de la estadística ha revolucionado su práctica. Un efecto obvio de esta revolución es que ahora se facilitan los análisis más complejos sobre conjuntos con un número mayor de datos. Pero la revolución de la computación también ha dado lugar a cambios en la naturaleza de la práctica estadística. En el pasado, los estadísticos realizaban análisis integrales pero con cálculos laboriosos basados en un modelo matemático específico a fin de sacar conclusiones de los datos. La enseñanza de la estadística se caracterizaba por el énfasis correspondiente en la realización de cálculos extensos. Ahora el paradigma del análisis estadístico es un diálogo entre modelos y datos. Se permite que los datos critiquen o incluso refuten el modelo original, Los métodos de diagnóstico que participan en este proceso constituyen un campo importante de la investigación estadística. En todos se realizan muchos cálculos, y los que se han adoptado de manera más generalizada hacen un uso considerable de las gráficas. Además, la cancelación de los límites antes impuestos por los cálculos manuales ha llevado a nuevos métodos de inferencia

inclusive a partir de conjuntos de datos muy pequeños3. Esta naturaleza

cambiante de la estadística tiene reflejos inmediatos en los estilos didácticos, particularmente en el énfasis creciente en los métodos gráficos y en el análisis informal de los datos. La influencia de las computadoras ha motivado el examen de conciencia entre los matemáticos, algunos de los cuales cuestionan la naturaleza de una demostración basada en una búsqueda por computadora de los casos posibles que resultan demasiado numerosos para el escrutinio humano. En un nivel más elemental, tanto profesores como padres de familia se preguntan si el uso temprano de calculadoras no obstaculizará la comprensión de los números y de las operaciones aritméticas. Los estadísticos, por otra parte, han dado la bienvenida a calculadoras y computadoras como una fuerza liberadora. Calcular sumas de cuadrados manualmente no aumenta la comprensión; tan sólo entorpece la mente. En estas circunstancias, es natural que el estadístico impulse el uso de calculadoras y computadoras en la enseñanza de datos en todos los niveles. La enseñanza universitaria de la estadística incluye ya un uso universal de las calculadoras así como una amplia utilización de software de estadística para computadoras. (Existe, desde luego, más una continuidad que una disyunción entre calculadoras y computadoras a medida que la tecnología continúa su avance.) He aquí un ejercicio típico de estadística elemental, reconsiderado a la luz de la facilidad para realizar cálculos.


En la figura 1 se presenta el diagrama de dispersión de los datos sobre la edad a la que cada grupo de niños pronunció su primera palabra y los resultados de una prueba de capacidad mental que se les aplicó posteriormente. ¿La edad a la que se aprende a hablar ayuda a predecir el resultado de la prueba posterior? En otra época se hubiera pedido a un estudiante que graficara los datos y luego calculara la recta de regresión de mínimos cuadrados (la recta continua de la figura 1) junto con el coeficiente de correlación 640.0r . Quizás el diagrama se hubiera omitido para ahorrar tiempo. La mayoría de los estudiantes habría necesitado al menos 15 minutos para este ejercicio con una calculadora básica. Sólo un sádico hubiera pedido algo más de ellos.

FIGURA 1. Datos de la edad a la que cada uno de 21 niños aprendió a hablar (escala horizontal) y sus Calificaciones de Adaptación Gesell, el resultado de una prueba de aptitudes aplicada a una edad posterior. El caso 18 ejerce una influencia especial en el sentido de que al omitir este punto la recta de regresión sufre un cambio de posición sustancial y modifica el valor de las mediciones numéricas como la correlación.

Pero es evidente que los datos incluyen dos casos extremos, marcados como el caso 18 y el 19 en el diagrama. ¿Cómo influyen estos casos en el análisis de regresión? Un paquete de software interactivo de tipo que se encuentra ampliamente disponible en todas las variedades de computadoras ofrece respuestas inmediatas, las cuales pueden presentarse visualmente si la computadora cuenta con capacidades gráficas. El caso 19, aunque está alejado de la recta de regresión, no ejerce una influencia muy grande sobre la posición de la recta o el valor de la correlación r. El caso 18, por otra parte, tiene una influencia considerable. Al omitir este punto, la recta de regresión se mueve hasta la posición de la recta punteada que se muestra en la figura y reduce la correlación a r = -0.335, casi la mitad de su valor original. Por tanto, la evidencia de que la edad en que se adquiere el habla predice los resultados de una prueba de capacidad posterior es mucho más débil si se omite el caso 18.


(Estos datos se analizan en detalle en los ejemplos 3.10 y 3.14 de Moore13

la mayor parte de las cifras de este ensayo se tomaron de ese texto.)La automatización de los cálculos reserva nuestras energías para el análisis de los datos. Es natural que el análisis adopte la forma de la solución de un problema en grupo: "¿Hay algo inusual? Los puntos alejados. ¿Qué tan importantes son? Intentemos hacer el análisis de nuevo sin ellos." De esta manera se estimula la búsqueda de información adicional acerca de contexto de los datos, preguntar, por ejemplo, si el niño del caso 18 se tardó tanto para empezar a hablar como para no considerarlo en un estudio de desarrollo de niños normales. El ejemplo también nos lleva a preguntar qué hace que una observación tenga influencia, pregunta que conduce a nuevos e importantes temas de la estadística. La automatización de los cálculos permite que los estudiantes se concentren en otros aspectos de la solución de problemas: planear un análisis adecuado, interpretar los resultados en su contexto y hacer nuevas preguntas matemáticas sugeridas por un ejercicio. Pero también es cierto que los cálculos automatizados pueden ocultar la naturaleza del trabajo que se lleva a cabo e impedir juzgar si el trabajo fue adecuado para el problema en cuestión. Con demasiada frecuencia los estudiantes creen que las computadoras únicamente nos informan acerca de la verdad, como en las películas de la Guerra de las Galaxias.

En un ejercicio de muestreo realizado en un salón de clases18

, se pidió a los estudiantes que anotaran los colores de una muestra grande de dulces M&M y que compararan los resultados con las muestras producidas por computadora a partir de una distribución uniforme de los mismos colores. La distribución de los colores de los dulces estaba lejos de ser uniforme. La finalidad del ejercicio era mostrar a partir de la comparación que los colores de los dulces no estaban, de hecho, distribuidos de manera uniforme. Sin embargo, "...algunos estudiantes simplemente pensaron que el modelo de computadora era correcto por el simple hecho de estar en la computadora, aun cuando ellos mismos habían metido el modelo de la población." El exceso de optimismo en cuanto a la efectividad de las computadoras es un importante escollo potencial en la enseñanza de la estadística, ya que no basta planear la integración de calculadoras y computadoras en los planes de estudio. El uso dosificado de calculadoras y computadoras es esencial si los estudiantes deben conquistar sus ventajas sin llegar a creer en una "caja mágica". Las capacidades aritméticas básicas se necesitan para realizar operaciones y estimaciones mentales, las cuales son importantes para verificar los cálculos automatizados. Las calculadoras con las cuatro operaciones básicas mantienen el control sobre el orden de las operaciones, las cuales deben solicitarse de una en una, en tanto que las únicas partes automatizados del proceso son los algoritmos. Un niño debe entender, por ejemplo, la distinción entre dividendo y divisor a fin de usar una calculadora para hacer una división larga. Un niño debe saber que el promedio se encuentra al sumar las observaciones y dividirlas entre el número de las mismas con la finalidad de encontrar x usando una calculadora básica. Por lo tanto, los niños pueden empezar a usar calculadoras en el estudio de datos


tan pronto como comprendan las operaciones. Después se puede usar una calculadora que calcule la media y la desviación estándar muestral directamente a partir de los datos anotados con las teclas, para saltarse los algoritmos rutinarios ya dominados. En un nivel más avanzado, deberán hacerse manualmente algunos histogramas antes de pasar al atractivo software que elige los grupos y crea los histogramas directamente a partir de los datos originales. Acaso más importante, la experiencia con dispositivos de azar físicos y con simulaciones físicas, como sacar cuentas coloreadas de una caja, deberán preceder a las simulaciones de computadora. Los "micromundos" no tienen necesariamente una conexión con la realidad, a pesar de que los estudiantes tienden a creer que la computadora presenta la realidad. Una transición cuidadosamente graduada de lo físico a lo digital es de suma importancia. La práctica de un uso dosificado se facilita cuando calculadoras y computadoras forman parte de ambiente normal del salón de clases para usarse cuando se necesiten, no reservadas para proyectos especiales o grados superiores.

De los datos a la inferenciaExisten varios principios de organización que nos ayudan a ver el estudio matemático de datos y el azar como un todo coherente. Uno de estos principios es la progresión de las ideas del análisis de datos a la producción de datos a la probabilidad a la inferencia. El análisis de este ensayo se organiza con base en estas etapas. Análisis de datos, que incluye las tareas de organizar, describir y resumir

datos. Producción de datos, generalmente para responder a preguntas específicas

acerca de una población más grande. Probabilidad, la descripción matemática de la aleatoriedad. Inferencia, el hecho de sacar conclusiones a partir de los datos. Esta progresión de temas es representativa tanto del desarrollo lógico del campo como del grado de dificultad de los conceptos. Por lo tanto, proporciona el orden general en que deberán aparecer los temas de estadística en los planes de estudio escolares. Desde luego, las tres etapas finales se presentarán de manera informal desde el principio en el contexto del análisis de datos. La experiencia con la producción de datos, en particular, la experiencia con los resultados aleatorios, puede empezar en los primeros grados. De manera similar, deberán estimularse las conclusiones informales desde las etapas iniciales. El principal inconveniente de este perfil es que no hace énfasis en que la probabilidad es importante por derecho propio, no por ser simplemente una parte de la estadística. Tanto el concepto de probabilidad como los hechos matemáticos básicos acerca de la probabilidad pueden introducirse en la escuela elemental tan pronto como se aprendan las fracciones. Sin embargo, hay un sitio natural para la probabilidad en la progresión de los conceptos estadísticos. Los diseños estadísticos para producir datos se caracterizan por el uso deliberado de azar en experimentos de comparación aleatorizados y de muestreo aleatorio. He aquí una oportunidad para proporcionar mayor experiencia con la aleatoriedad y para avanzar a un estudio de la variación aleatoria con resúmenes numéricos


(como la media de varias observaciones). Es posible usar tanto la selección física aleatorio como la simulación. Por otra parte, la inferencia estadística formal requiere cierto grado de comprensión de la probabilidad. Por lo tanto, tiene sentido que la sección sobre probabilidad esté entre la producción de datos y la inferencia. Debido a las enormes dificultades conceptuales que encuentran los estudiantes en la probabilidad y en la inferencia basada en la probabilidad, el tratamiento matemático formal de estos temas quizás deba ser una materia optativa en lugar de un curso obligatorio a nivel de bachillerato.

ANÁLISIS DE DATOS El análisis de datos es un renacimiento de la estadística descriptiva, con nuevos métodos, mayor énfasis en las gráficas y una filosofía consistente debido a John Tukey. (Los volúmenes 3 y 4 de Collected Works de Tukey contienen sus

escritos sobre el tema8." Un estudioso recomienda el ensayo 12 del volumen 4

como un buen punto de partida.) La esencia de análisis de datos es "dejar que los datos hablen" mediante la búsqueda de patrones en los datos sin considerar en un principio si los datos son representativos de un universo mayor. La inspección de los datos a menudo revela características inesperadas. Si los datos se produjeron para responder a una pregunta específica (estas son las circunstancias en que los métodos tradicionales como los intervalos de confianza y las pruebas de significación se justifican mejor), las características inusuales pueden llevar a reconsiderar el análisis que se había planeado. Por lo tanto, un análisis de datos cuidadoso precede a la inferencia formal en una práctica adecuada de la estadística. En otros casos, no se tienen preguntas específicas en mente y tan sólo se pretende dejar que los datos sugieran conclusiones cuya confirmación podría buscarse con estudios adicionales. Se habla entonces del "análisis exploratorio de datos" por la analogía de un explorador que penetra en tierras desconocidas. Las contribuciones más conocidas del análisis de datos son los nuevos métodos para presentar datos, como los diagramas de tallo y los de caja (o diagramas de tallo y hojas y diagramas de caja y bigotes, si se prefieren términos más largos). A partir de estos ejemplos es fácil ver el análisis de datos como una colección de inteligentes herramientas y pasar por alto los principios de organización. Tanto el análisis de conjuntos de datos complejos como el orden de la enseñanza de datos por lo general pueden guiarse mediante tres principios simples: 1. Proceder de lo simple a lo complejo, del examen de una sola variable a las

relaciones entre dos variables y las conexiones entre varias variables. 2. Al examinar datos, buscar primero un patrón global y luego las desviaciones

significativas de dicho patrón. 3. Pasar de la presentación gráfica a las mediciones numéricas de aspectos

específicos de los datos para consolidar los modelos matemáticos del patrón global.

Presentación de datos


El primer principio y el tercero sugieren que el aprendizaje sobre datos se inicie con la presentación de la distribución de una sola variable. La mayoría de tales datos son conteos, es así como variables cualitativas como el color se vuelven numéricas, o bien mediciones con unidades. Los métodos específicos para presentar datos pueden correr paralelamente con la evolución de los conceptos cuantitativos iniciales. La pregunta "¿Cuántos dulces de cada color hay en una bolsa de M&M?" puede determinarse mediante un conteo y puede representarse con pilas de bloques de colores. Posteriormente, un diagrama de tallo con números de dos dígitos puede reforzar la distinción entre el lugar de las decenas y las unidades en los números enteros. En un diagrama de tallo con datos de dos dígitos se lista cada dígito correspondiente a las decenas como un "tallo" y las observaciones se registran al colocar los dígitos correspondientes a las unidades como "hojas" en el tallo adecuado. Como ejemplo se presenta un diagrama de tallo del número de home runs que bateó Babe Ruth en cada uno de los años que jugó en los Yankees.

2 253 454 11666795 4496 0

Más tarde aún se llega a los histogramas. Para construir histogramas de datos que incluyan más que pocos valores se requiere una comprensión del concepto de interpelación y la capacidad para agrupar números, así como destreza para hacer y usar escalas en el trazo de gráficas. La elección entre las variantes disponibles en los diagramas de tallo y los histogramas requiere mayor reflexión cuando los números que componen los datos se hacen menos simples. Los diagramas de tallo de números con varios dígitos suelen requerir redondeo o truncación. La agrupación en clases de números con varias cifras decimales para hacer un histograma necesita una clara comprensión del orden en los números decimales. La planeación cuidadosa es importante a fin de evitar presentar de manera inadvertida a los estudiantes tareas que rebasen sus capacidades numéricas. Pero también es evidente, que el análisis de datos en los grados elementales puede reforzar importantes conceptos y capacidades de los planes de estudio existentes mediante su aplicación en situaciones interesantes. Cuando se ha construido una presentación, es necesario interpretar y comunicar lo que entiende a otros. Los niños no tienen mayor capacidad natural para "leer" datos que capacidad innata para leer palabras. Debe enseñárseles tanto la estrategia para analizar datos como las características específicas de las que deben estar conscientes. La estrategia se expresa en el segundo principio: buscar el patrón, luego las desviaciones. Las características específicas cambian conforme se avanza por las etapas mencionadas en el primer principio. Un ejemplo ilustrará el proceso en el caso de datos con una sola variable. En 1961 el jardinero de los Yankees Roger Maris rompió la marca de 60 home runs en una sola temporada impuesta por Babe Ruth. He aquí una comparación


pormenorizado de los home runs realizados cada año por Ruth (a la izquierda) y por Maris durante los años que jugaron con los Yankees:

RUTH MARIS0 81 346

25 2 36854 3 399766611 4944 50 6 1

La forma general de la distribución de Ruth es aproximadamente simétrica. El centro se encuentra cerca de los 46 home runs, en el sentido de que hizo más de 46 la mitad de las veces y menos de esta cantidad la mitad de las veces. No hay desviaciones marcadas del patrón global. En particular, los famosos 60 home runs de Ruth en 1927 no sobresalen de los demás valores, se trata del mejor esfuerzo de Ruth pero sin ser un hecho excepcional en el contexto de su carrera. En contraste, la marca de 61 home runs de Maris en 1961 es un caso extremo que se sale claramente de su patrón global. Ese patrón global (excluyendo el caso extremo) es de nueva cuenta aproximadamente simétrico y tiene su centro en cerca de 23. Las diferentes posiciones de las dos distribuciones muestran la superioridad general de Ruth como bateador de home runs. Para ver el patrón global de la distribución de una sola variable se aprende a buscar la simetría o los sesgos, los picos individuales o múltiples, el centro y el grado de dispersión respecto del centro. Las desviaciones importantes de un patrón regular incluyen los vacíos y los casos extremos. Obsérvese que aunque la construcción de la presentación de los datos es una operación que debe de aprenderse, la interpretación requiere criterio. Ninguna distribución de datos reales tiene la simetría perfecta de algunas formas matemáticas. No todas las distribuciones pueden describirse correctamente como simétricas o sesgadas. Hacer demasiado énfasis en la clasificación de lo que vemos frustrará tanto a profesores como a estudiantes. Es necesario aprender a observar características notables, no a polemizar sobre características imprecisas. Obsérvese asimismo que analizar los datos de manera natural lleva a intentos por interpretar lo que se ve, como cuando se observó que los 60 home runs de Ruth no fueron una actuación extraordinaria en él, en tanto que los 61 home runs de Maris constituyeron un logro sobresaliente mucho más allá de su nivel usual. Interpretar la forma global de una distribución es una parte importante en el aprendizaje de estrategias para abordar los datos. El histograma de la figura 2 muestra los datos colectados por estudiantes sobre la longitud de las palabras en la revista Popular Science. La distribución tiene un sesgo a la derecha porque hay muchas palabras que tienen entre dos y cinco letras y el número de palabras largas es menor. (En la terminología estadística usual se toma la dirección del sesgo como la dirección del extremo más largo, no como la dirección en que se concentran la mayoría de los datos.)


FIGURA 2. Los datos sobre la longitud de las palabras en la revista Popular Science colectados por estudiantes revelan una distribución sesgada ya que las palabras cortas son más comunes que las largas.

FIGURA 3. Los datos sobre la calificación media del SAT verbal por entidad federativo revelan un doble pico que refleja dos tradiciones diferentes en los estudiantes que realizan exámenes: en algunos estados la mayoría de los estudiantes que aspiran llegar a la universidad realizan el SAT, en tanto que en otros estados sólo lo hacen unos cuantos, ya que la mayoría hace el examen ACT.

El histograma de la figura 3 muestra la calificación media por entidad federativo del aspecto verbal de la prueba Scholastic Aptitude Test (SAT). Esta distribución tiene dos picos. El pico próximo al valor 425 representa las entidades federativas en que la mayoría de los estudiantes que aspiran llegar a la universidad hacen la prueba; el pico más alto representa los estados en los que la mayoría de los estudiantes toman el examen American College Testing (ACT) y sólo los estudiantes que hacen solicitudes de ingreso a universidades que exigen exámenes de admisión realizan el SAT.

Descripción numéricaAl examinar los datos sobre los home runs de Ruth y Maris se vio que los cálculos pueden ayudar a describir los datos. Por un conteo simple ("más de la mitad y menos de la mitad") pueden darse números que hacen más precisa la diferencia entre los centros que se observan en los diagramas de tallo. La progresión natural de las herramientas matemáticas se expresa en el tercer principio de organización: de las gráficas a las mediciones numéricas a los modelos matemáticos.


En el caso de la distribución de los valores de una sola variable, los aspectos básicos que deben describirse numéricamente son el centro (o localización) y la dispersión (o diseminación) de la distribución. (El término más antiguo "tendencia central", que es a la vez más largo y menos claro que "centro" o "localización", es usado ocasionalmente por los estadísticos y deberá abandonarse.) Hay dos conjuntos comunes de medidas descriptivas para la localización y la dispersión: la mediana con los cuartiles (o quizás otros percentiles) y la media con la desviación estándar. Los percentiles sólo requieren el conteo y saber fracciones simples (1/4, 1/2, 3/4 para la mediana y los cuartiles). La media es el promedio aritmético. En consecuencia, la media, la mediana, los cuartiles y los valores menor y mayor pueden introducirse una vez que los estudiantes hayan adquirido las capacidades aritméticas básicas. Estas mediciones simples forman un útil vocabulario descriptivo. La experiencia con la conexión entre la forma de los datos mostrados y las mediciones numéricas refuerza el sentido de número. Aunque tanto las representaciones como las mediciones parecen elementales, no deberá subestimarse el grado de comprensión matemática requerido para usarlas de manera eficaz (por oposición a limitarse a calcular las mediciones). Por ejemplo, en una prueba de campo de nuevo material didáctico, ni los estudiantes ni el profesor pudieron convencerse de que al agregarse observaciones al extremo derecho de una distribución particular con muchas observaciones repetidas en el

centro, la mediana no resultaba afectada19

. La experiencia práctica con muchos conjuntos de datos, incluyendo tentativas para estimar las mediciones al observar la presentación gráfica y analizar los resultados, contribuye a que los estudiantes construyan su comprensión particular de operaciones en apariencia simples como contar de la mitad para arriba en la lista ordenada (la mediana) y promediar todos los valores (la media). La descripción numérica de una distribución por medio de la mediana, de cuartiles y de las observaciones de los extremos lleva a una nueva presentación gráfica, el diagrama de caja. Un ejemplo muestra lo útil que puede resultar este recurso. En las regulaciones del Departamento de Agricultura de Estados Unidos los hot dogs se agrupan en tres tipos: de carne de res, de carne y de aves de corral. ¿Estos tipos difieren en el número de calorías que contienen? En la figura 4 tres diagramas de caja presentan la distribución de las calorías por hot dog entre las diferentes marcas de fábrica de los tres tipos. Los extremos de las cajas marcan los cuartiles, la línea del interior de la caja es la mediana y los bigotes se extienden a las observaciones individuales menor y mayor. Se ve que los hot dogs de carne de res y de carne son comparables pero que los de ave de corral como grupo muestran un contenido considerablemente menor de calorías por hot dog.


Figura 4. Tres diagramas de caja muestran la representación gráfica de la mediana, los cuartiles y los valores extremos de las calorías proporcionadas por varias marcas de hot dogs que pertenecen a tres tipos estándares de carne de res, de carne, de ave de corral. Es fácil ver que los hot dogs de ave de corral como grupo contienen menos calorías por hot dog.

Modelos matemáticosEn este breve análisis acerca de los datos con una sola variable aún no se menciona la desviación estándar ni la etapa final en la progresión que va de la representación gráfica a la descripción numérica al modelo matemático. La desviación estándar presenta varias desventajas para la descripción de datos. No resulta práctico calcularla una calculadora básica, es muy sensible a pocos valores extremos y difícilmente motiva (la media, o la mediana, de las desviaciones absolutas de las observaciones respecto de su media es preferible en los tres casos).Sin embargo, la desviación estándar es de suma importancia en la estadística, debido principalmente a que es la medida natural de la dispersión en las distribuciones normales. Las curvas normales ofrecen un ejemplo de una descripción matemática concisa del patrón global de una distribución de datos. Son idealizaciones matemáticas que no capturan la irregularidad de los datos reales ni las desviaciones tales como los casos extremos. Por ejemplo, las curvas normales tienen una simetría perfecta.La mayoría de los materiales de los planes de estudio destinados al estudiante general se detienen bruscamente al presentar las distribuciones normales. Esto es cierto, por ejemplo, para la serie Quantitative Literacy (cultura cuantitativa) (7, 10, 11, 15) desarrollada conjuntamente por la American Concil of Teachers of Mathematics (Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas). Esto puede deberse a la tendencia tradicional que considera las distribuciones normales y otras como distribuciones de probabilidad, las cuales deben desarrollarse sólo después de un estudio profundo de la probabilidad. Pero no es necesario introducir la probabilidad formal para sugerir que las alturas de un grupo numeroso de personas de edad y sexo semejantes son aproximadamente normales o que el punto donde se detiene la perinola es aproximadamente uniforme sobre un círculo.En la figura 5 se presenta un histograma de las calificaciones en vocabulario del examen lowa Test correspondientes a los 947 estudiantes del séptimo grado de


Gary, Indiana, con la curva normal que describe aproximadamente la distribución de las calificaciones. Muestra con bastante claridad la manera en que una curva normal proporciona un modelo matemático idealizado para ciertas distribuciones de datos.

Figura 5. Un histograma de las calificaciones en vocabulario de cerca de 1000 estudiantes del séptimo grado muestra una estrecha adhesión a ala distribución idealizada de la curva normal con forma de campana.

El paso de las observaciones particulares a una distribución idealizada de "todas las observaciones" es una abstracción sustancial. El uso de un modelo matemático tal como una distribución normal o uniforme para formular esta abstracción constituye un paso sustancial hacia la comprensión del poder de las matemáticas. La simulación con computadora resulta muy útil en este punto. Los estudiantes pueden formular un "modelo de la población" en base a su experiencia con datos, meter su modelo en la computadora y simular observaciones de la población. Comparar datos simulados con el modelo enriquece la experiencia con la probabilidad y la aleatoriedad. En el contexto de los modelos para patrones regulares en los datos pueden desarrollarse las propiedades básicas de las curvas normales, la idea de normalizar las observaciones con la escala de las unidades de la desviación estándar alrededor de la media, y el uso de la tabla normal estándar para calcular las frecuencias relativas. Aunque las distribuciones en el sentido matemático completan la progresión de los métodos descriptivos para datos con una sola variable, deben aparecer en fases muy posteriores, aun cuando se sobreentiende que las distribuciones pueden aparecer antes de una introducción completa a la probabilidad. Entre tanto, la experiencia con datos de varias variables deberá irse cultivando a medida que los estudiantes avanzan en los conceptos y las capacidades matemáticas necesarias. El estudio inicial de datos con dos variables viene después del examen de una sola variable, de conformidad con nuestro primer


principio, pero los modelos matemáticos de aplicación práctica son más accesibles en el caso de dos variables. La gráfica básica para datos con dos variables es el diagrama de dispersión, el cual proporciona un medio para la comprensión de las coordenadas en el plano. La concentración de puntos en ciertos sitios (¿estudiantes hombres y mujeres?) y los puntos alejados de un diagrama de dispersión motivan el análisis. El patrón global más simple es una tendencia lineal. El modelo matemático que produce una distribución simple de un patrón lineal es una línea recta con su ecuación. Las mediciones numéricas incluyen las medidas del centro y de la desviación de cada variable por separado, la pendiente de la recta ajustada como distribución de la relación lineal y, quizás, el coeficiente de correlación como medida de la fuerza de la asociación lineal. El coeficiente de correlación, al igual que la desviación estándar, está vinculado a los modelos y métodos de la estadística tradicional, cuyas ventajas, si bien reales, no son claras sino hasta una etapa bastante avanzada del estudio. El coeficiente de correlación se relaciona estrechamente con la regresión de mínimos cuadrados; es decir, la correlación mide la fuerza de un tipo específico de asociación establecida por una línea recta. Así como la desviación estándar deberá posponerse hasta que las distribuciones normales le den un contexto, por tanto, la correlación y la regresión de mínimos cuadrados no necesitan hacer su aparición hasta que los estudiantes de bachillerato emprendan un estudio sustancial de la estadística per se. Gran parte del análisis de datos, si bien útil por derecho propio, puede enseñarse desde el principio de la escuela elemental hasta los primeros años del bachillerato como parte del esfuerzo general para desarrollar las capacidades y el razonamiento cuantitativo. En este escenario, las rectas pueden ajustarse a simple vista o por métodos simples que incluyan cálculos más sencillos que el de mínimos cuadrados y que sean menos sensibles a las observaciones extremas.

El material “Quantitative Literacy1" ofrece una explicación clara de estos

métodos para su utilización en los grados intermedios. Otros aspectos de los datos con varias variables merecen prioridad sobre la correlación y la regresión de mínimos cuadrados. Estos incluyen la distinción entre variables explicatorias y de respuesta, la relación de la asociación con la causación, y los efectos de las "variables ocultas" que no se hayan medido en una asociación observada. Estas ideas son sutiles pero no en lo que a los cálculos se refiere; se captan mejor por experiencias dirigidas con datos reales y mediante análisis de las mismas, usando varios métodos de representación y de cálculo; y guardan una estrecha relación con la comprensión del tipo de explicaciones que ofrecen las ciencias naturales y sociales. En la enseñanza del análisis de datos en un plan de estudio escolar general, los temas deberán elegirse no por su importancia dentro del campo de la estadística sino por su relevancia inmediata para los estudiantes, por su utilidad en el reforzamiento de la comprensión cuantitativa general, y por su contribución al desarrollo del razonamiento sobre datos inciertos. La estadística es importante por derecho propio, más importante que el cálculo diferencial e integral en la mayoría de las ocupaciones, y esa importancia deberá reflejarse en un curso


optativo sustancial en los años finales del bachillerato que incluya un análisis de datos más avanzado así como producción de datos, probabilidad e inferencia.

PRODUCCIÓN DE DATOSLos datos convenientes son un producto del esfuerzo humano inteligente así como lo son los reproductores de discos compactos y el maíz híbrido. Existen varias razones por las que la producción de datos es una parte importante en la enseñanza de datos y el azar. El análisis de datos se lleva a cabo de manera más eficaz sobre datos con los que uno se encuentra íntimamente familiarizado, ya que la familiaridad sugiere tanto las características esperadas que es necesario buscar como la explicación de las características que no se esperan. Los diseños estadísticos para producir datos que dan respuesta a preguntas específicas constituyen el puente conceptual que enlaza el análisis de datos con la inferencia clásica basada en la probabilidad. Y no hay mejor remedio para las actitudes extremistas, sea el pesimismo insostenible o la confianza trasnochada, con las que suele recibirse la evidencia estadística que la experiencia que se inicia con una pregunta y termina con respuestas basadas en datos producidos por nosotros mismos. Los datos utilizados en la enseñanza de la estadística provienen de varias fuentes. Gran parte de ellos son datos dados, números que el profesor o el libro de texto se limitan a presentar. Mediante esfuerzos concertados para elegir datos sobre temas incluidos en la experiencia o intereses de los estudiantes y para proporcionar la información contextual pertinente, los datos dados pueden ofrecer un marco adecuado para la interpretación y el análisis, así como para la adquisición de habilidades. Los datos dados son más útiles con los niños de mayor edad, quienes cuentan con los conocimientos y la experiencia más amplios para entender el contexto de los datos. Es posible exponer a la clase la información de interés que los estudiantes no puedan producir por sí mismos, para así poder emplear con mayor provecho el tiempo y esfuerzo ahorrados. Los datos gubernamentales sobre poblados o vecindarios próximos, por ejemplo, suelen mostrar patrones de la población, la vivienda, el ingreso y la salud que resultan informativos y sorprendentes. Una segunda categoría, los datos de clase, se colectan en el salón de clases y son relevantes principalmente para los estudiantes de la clase, sin plantear la pregunta de si las conclusiones respecto a alguna población más grande se encuentran garantizadas. Los datos de clase proporcionan un ambiente natural para la enseñanza del análisis de datos, que tiene una restricción similar sobre el alcance de sus conclusiones. Puede iniciarse con preguntas simples: "¿Cuántos niños viven en tu casa?" "¿Cuánto dinero traes en la bolsa?" La primera pregunta produce datos con números enteros, la segunda números con dos cifras decimales. Planear la producción de datos requiere la anticipación del análisis que se necesitará, un recordatorio tan relevante para el profesional armado con software como para el profesor atento a si sus estudiantes deberán enfrentar un conteo o decimales. Las mediciones también pueden producir datos de clase: usando una cinta métrica, encontrar la anchura de hombros y la distancia entre ambos brazos de todos los estudiantes de la clase, trazar después un diagrama de dispersión y estudiar la relación revelada.


Los experimentos son una tercera fuente de datos. La observación, sea experimentación es la producción activa de datos. La observación, sea motivada por preguntas o por mediciones, busca colectar datos sin modificar a las personas o a las cosas observadas. En un experimento se aplica un estímulo real a fin de observar la respuesta al mismo. La distinción entre variables explicatorias y de respuesta, parte esencial de las explicaciones causales, es más transparente en el ambiente de un experimento. Los experimentos más conocidos de las ciencias básicas, a diferencia de las preguntas o las mediciones que producen datos de clase, dan lugar a conclusiones que se aplican al mundo en general. Cuando los estudiantes calientan un volumen cerrado de aire y miran cómo se expande un globo, se les está pidiendo que entiendan no sólo el comportamiento de ese globo en particular sino también el efecto del calor sobre los gases en general. Este enorme salto conceptual suele dejarse implícito. El paso de los datos de clase a las muestras diseñadas estadísticamente tiene la gran ventaja de hacer explícita la transición de los datos acerca de una clase en particular a los datos que representan una población mayor. Cómo realizar muestreos es un tema propio de la estadística, con implicaciones mucho más amplias que la simple generación de datos atractivos para el análisis. La estadística también tiene mucho que decir acerca de cómo experimentar, aunque sus pautas no son relevantes para la mayoría de los experimentos de las ciencias básicas. El diseño de muestras y de experimentos es un tema central en el estudio sistemático de la producción de datos. Pero hay un tema que lo precede, tanto lógicamente como en la experiencia del salón de clases: contestar preguntas y hacer mediciones para producir datos de clase plantean la cuestión de la medición.

MediciónMedir una característica significa representarla por medio de un número. Esta noción básica introduce en sí misma una abstracción. La reflexión acerca de la medición lleva en última instancia a un entendimiento completo de por qué algunos números son informativos y otros son irrelevantes o absurdos. En primer término, ¿cuál es una manera válida (adecuada o con sentido) de medir una característica particular? Empecemos por considerar características físicas tangibles. La longitud es fácil, acordamos que una regla lo hará. El área es más difícil, porque no contamos con un dispositivo que podamos “colocar junto a" las múltiples formas bidimensionales posibles del mismo modo en que colocamos una regla junto a cualquier longitud. Debemos preocuparnos por comprender la característica que va a medirse, por pensar en un instrumento satisfactorio y por las unidades que resultarán y sus relaciones con otras unidades. Incluso para las mediciones físicas, el estudio de estas cuestiones se extiende a lo largo de los años escolares tanto en matemáticas como en ciencias. Pero la validez de las mediciones físicas es simple en comparación con los problemas de medición de las ciencias sociales y de la conducta. ¿Cuál es una buena manera de medir la riqueza material de una familia o el carácter amigable de un compañero estudiante? ¿Qué miden en realidad el examen lowa Test o las pruebas de admisión universitarias ACT y SAT? Un examen detallado de tales preguntas llevaría demasiado lejos en el campo. Pero deberá estimularse


siempre a los estudiantes a preguntarse si los datos son en realidad válidos para el uso propuesto. Los conductores de más de 65 años de edad se ven envueltos en más accidentes fatales que los conductores cuyas edades oscilan entre los 16 y los 17 años. ¿Así es que después de todos los quinceañeros no son tan imprudentes al volante? No, el número de conductores con más de 65 años es muy superior. La proporción en vez de conteo de los accidentes es la medición adecuada en este caso, y la proporción de accidentes fatales de los quinceañeros triplica aproximadamente al de las personas de edad avanzada. El segundo aspecto principal de la calidad de las mediciones, después de la validez, es la precisión. Un proceso de medición puede mostrar un error sistemático, o sesgo, como cuando la lectura de una báscula tiene siempre 1.5 Kg. de menos. El sesgo es un concepto preciso sólo cuando se conoce con claridad el "valor verdadero" que debería producir la medición. El posible sesgo de las calificaciones SAT es una fuente continua de acalorados debates, pues no se cuenta con ningún valor "correcto" de comparación. Como siempre, las mediciones físicas son mucho más precisas que las mediciones conductuales o sociales. Un proceso de medición también muestra variación; es decir, mediciones repetidas de la misma cantidad no producen resultados idénticos. Las variaciones en los instrumentos comunes como básculas de baño y cintas de medir son pequeñas respecto de grado de precisión deseado, por lo que acostumbramos ignorar la variación en las mediciones. Las actividades que presentan variación en las mediciones son necesarias. Pedir que los estudiantes hagan interpolaciones entre las divisiones de una escala cuando se miden longitudes o pesos, o que estimen una longitud o un conteo por simple inspección, proporciona una serie de mediciones variables cuya distribución puede presentarse gráficamente y estudiarse con las herramientas de análisis de datos. El centro de la distribución de las mediciones describe el sesgo y la dispersión describe la variación. Las actividades de medición que son seguidas por el análisis de los datos que producen aumenta la sensibilidad de los estudiantes hacia el tema de la calidad de las mediciones. He aquí un ejemplo de una clase universitaria. El instructor pidió que los estudiantes se tomaran el pulso (latidos por minuto) y lo anotaran en un trozo de papel. Un diagrama de tallo de los datos recabados mostró un caso particular que casi seguramente fue un error grave, aunque nadie admitió haber registrado un pulso en reposo de 180. El diagrama de tallo también puso de manifiesto una sospechosa concentración de pulsos que terminaban en cero. El cuestionamiento de los estudiantes reveló que varios de ellos habían aprendido a contar los latidos durante 6 segundos y a multiplicarlos por 10 en clases de aerobics. Esto llevó al análisis de los métodos de medición usados. La mayoría de los estudiantes contó los latidos durante 60 segundos. El grupo decidió que esto era más preciso que el método de las clases de aerobics, pero que resulta afectado por los latidos parciales al principio y al final del periodo de 60 segundos. Alguien sugirió cronometrar el tiempo de 50 latidos exactos y calcular los latidos por minuto a partir de este tiempo. Esto fue aceptado como un método de medición práctica más preciso.


Diseños estadísticosEl diseño de encuestas y experimentos muestrales es un tema central en la estadística a la vez que una transición importante en los conceptos. El análisis de datos enfatiza la comprensión de los datos específicos a la mano. Ahora se considera que los datos representan una población mayor. Es la población la que se busca entender. Los estudiantes no encuentran muy fácil de asimilar esta abstracción agregada. Por ejemplo, cuando varios estudiantes llevan a cabo una tarea experimental, persisten en tratar de explicar los resultados variables en términos de las características individuales de Sarah, Matthew y Ruth. Desde el punto de vista del "muestreo" estos estudiantes se consideran como representativos de una población estudiantil mayor. Ya no estamos interesados en las características individuales que pueden explicar el desempeño de Sarah, Matthew y Ruth. La transición del análisis de datos a la inferencia sigue una trayectoria paralela en la abstracción matemática. La media muestral x deja de ser un número individual, una medida de localización para esos datos. Es una comprensión de una variable aleatoria que se considerará contra el fundamento de la distribución de la variable aleatoria; debe considerarse contra lo que ocurriría si se repitiera varias veces el proceso de producción de datos. La dificultad de estas nuevas ideas no puede ocultarse. Por fortuna, no es necesario que aparezca de inmediato la íntima conexión de la producción de datos diseñada con base en las ideas de la probabilidad y en la lógica de la inferencia. Antes habrá que conseguir un valioso conocimiento de los datos. Es muy importante, por ejemplo, identificar los datos que no son representativos. La evidencia anecdótica basada en un reducido número de casos individuales por nosotros conocidos, influye nuestro pensamiento en formas que no pueden resistir el análisis y que, por lo tanto, deben revisarse. Los casos individuales atrapan nuestra atención porque son inusuales en cierta forma o porque ocurren en nuestro medio ambiente inmediato. Ejemplos y análisis mostrarán que no hay razón para esperar que estos casos sean, en forma alguna, típicos. Los métodos de muestreo incorrectos, en especial las muestras de respuestas voluntarias en las que las personas que participan se eligen a sí mismas, también son comunes. He aquí un ejemplo. La columnista que ofrece consejos, Ann Landers lleva a cabo una encuesta de respuestas voluntarias una vez cada varios años al pedir a sus lectores que respondan a una pregunta candente. Los resultados son siempre buenos para las notas periodísticas y las entrevistas radiofónicas que hacen publicidad a su columna. La primera encuesta que realizó es la más reveladora, ya que se cuenta con una comparación. En 1975 Ann Landers preguntó "Si tuviera que hacerlo de nuevo, ¿tendría usted hijos?" La respuesta de cerca de 70% de las aproximadamente 10,000 personas que contestaron fue "no". Muchas de ellas acompañaron sus respuestas con desgarradoras historias de las crueldades a las que fueron sometidas por sus hijos. Está en la naturaleza de la respuesta voluntaria atraer gente con fuertes sentimientos, en especial de índole negativa, acerca de tema en cuestión. Una muestra aleatoria a nivel nacional encargada en


reacción a la atención prestada a los resultados de Ann Landers encontró que el 91% de los padres tendrían niños de nuevo. La participación voluntaria puede producir fácilmente 70% de respuestas negativas, cuando la verdad es 90% de respuestas afirmativas. Tales datos no transmiten información útil acerca de nadie excepto de las personas que dieron un paso al frente. Sin embargo, los medios informativos no sólo difunden datos de respuestas voluntarias como si estuvieran describiendo una población general, sino que también manejan encuestas telefónicas y por correo que producen más datos como éstos. Los estudiantes atentos encontrarán ejemplos con facilidad. El estudio de la evidencia anecdótica y de las respuestas voluntarias deja clara la necesidad de un método sistemático para seleccionar las muestras. El método recomendado por el estadístico es dejar que el azar impersonal seleccione la muestra. El muestreo aleatorio elimina los prejuicios de la elección personal, sea del encargado de hacer el muestreo o de quienes son encuestados. El uso deliberado del azar es el principio estadístico más importante para la producción de datos. A primera vista parecería un hecho contra natura abandonar el juicio humano, pero el azar se muestra menos atroz cuando se compara con la evidencia anecdótica y de las respuestas voluntarias. El uso del azar se ilustra por medio de muestras aleatorias simples, que dan a todas las muestras posibles del tamaño establecido la misma oportunidad de ser la muestra que realmente se elija. Las muestras aleatorias simples son fáciles de tratar en el salón de clases, empezando por sacar nombres de un sombrero o cuentas de varios colores de un recipiente. Sigue el uso de una tabla de números aleatorios y, por último, la simulación en computadora. Recuérdese la advertencia de que una introducción demasiado rápida de la computadora oscurecerá la naturaleza de la selección aleatoria. No es necesario incluir en la instrucción introductoria los diseños de muestreos aleatorios más elaborados como los usados en encuestas muestrales a nivel nacional. Los experimentos comparativos aleatorizados más simples guardan una estrecha relación con las muestras aleatorias simples. Una vez más puede ponerse de manifiesto la necesidad de un buen diseño al analizar algunos experimentos no controlados o no aleatorizados. He aquí un ejemplo: Un científico político interesado en la efectividad de la propaganda para modificar opiniones llevó a cabo un experimento con estudiantes. Los estudiantes fueron sometidos a una prueba para determinar su actitud hacia Alemania, luego leyeron regularmente propaganda alemana durante varios meses, después de lo cual volvió a medirse su actitud. El año era 1940. Entre la primera y la segunda prueba, Alemania invadió y ocupó Holanda y Francia. La actitud de los estudiantes hacia Alemania cambió de manera radical, pero nunca sabremos en qué medida este cambio fue resultado de la lectura de la propaganda alemana. El diseño de este experimento adoptó una forma común en los experimentos de laboratorio de las ciencias naturales:

nObservacióoTratamientnObservació


Fuera del ambiente controlado del laboratorio, los experimentos con tales diseños simples no producen datos útiles. El efecto del tratamiento no puede distinguirse del efecto de las variables externas, si bien no en todos los casos son de tal magnitud como la caída de Francia. Los experimentos diseñados estadísticamente incluyen dos principios básicos: comparación (o control) y aleatorización. El diseño comparativo aleatorizado más simple compara dos tratamientos, uno de los cuales puede ser simplemente un tratamiento de control tal como no leer propaganda. He aquí el bosquejo del diseño:

La asignación aleatoria adjudica una muestra aleatoria simple de los sujetos al Tratamiento 1; los sujetos restantes reciben el Tratamiento 2. La aleatorización asegura que no haya sesgo en la asignación de los sujetos a los tratamientos. Por lo tanto, los grupos son semejantes (en promedio) antes de que se apliquen los tratamientos. La comparación asegura que las fuerzas exteriores actuarán por igual en ambos grupos. Si se tiene cuidado de tratar a todos los sujetos de manera similar excepto por los tratamientos experimentales, cualquier diferencia sistemática en las respuestas debe reflejar el efecto de los tratamientos. La lógica de los experimentos comparativos aleatorizados permite llegar a conclusiones acerca de las causas, la respuesta no sólo está asociada con el tratamiento sino que de hecho es causada por el mismo. Como en el caso de muestreo, en la práctica son frecuentes los diseños más elaborados pero no necesitan aparecer al principio de la instrucción. La experiencia con la aleatorización en el salón de clases es sencilla y valiosa. Considérese, por ejemplo, el uso de objetos de referencia como las figuras de plástico para representar a los sujetos que van a asignarse a dos tratamientos diferentes para cefaleas intensas. Los estudiantes pueden llevar a cabo la asignación aleatoria. Algunas de las figuras de plástico tendrán una marca en el fondo, la cual no se verá cuando se haga la aleatorización. Estos sujetos, desconocidos para los experimentadores, tienen un tumor cerebral que hará ineficaz cualquier tratamiento. ¿Qué tan imparcialmente distribuyó la aleatorización a estos sujetos entre ambos grupos? Hacer varias veces la aleatorización y presentar la distribución de los conteos. La aleatorización repetida enriquece la experiencia con la variación aleatoria que conduce a la probabilidad y a la inferencia. Algunas precaucionesCon los fundamentos tanto de análisis de datos como de la producción de los mismos a la mano, los estudiantes de mayor edad pueden emprender estudios estadísticos serios. Ejemplos recientes de proyectos para planes de estudios incluyen una muestra de las opiniones de los estudiantes acerca de las opciones de los menúes en las cafeterías escolares; una muestra de vehículos en un crucero local, clasificados por tipo y lugar de procedencia según lo revelaban las


placas de circulación, y un experimento sobre el efecto de la distancia y el ángulo sobre el éxito para encestar un tiro de basquetbol. El diseño de tales estudios proporciona valiosa experiencia para la aplicación de las ideas estadísticas. El análisis de datos reales que lleven a conclusiones firmes es fuente de satisfacciones personales. Pero deben anticiparse y mantenerse en límites aceptables los problemas prácticos presentes en la producción de datos.

He aquí un extracto de informe de un cuidadoso estudio1 de nuevo material de

estadística en la enseñanza a nivel de bachillerato. Algunas de las actividades de producción de datos fueron bastante elaboradas, incluyendo tanto el estudio de tráfico vehicular como el experimento de enceste en el básquetbol. Su experiencia resulta admonitoria. Nuestras experiencias de prueba en campo nos han convencido de que la recolección de datos es un componente importante de la educación estadística al menos por dos razones. Primera, aprender a diseñar y llevar a cabo actividades de recolección de datos (e.g., determinar las variables independiente y dependiente y el tamaño muestras) es fundamental para la estadística. Segunda, la recolección de datos es una experiencia motivante que hace que el análisis estadístico sea más interesante y tenga más sentido para los estudiantes. Sin embargo, nuestras experiencias nos han convencido asimismo de que la recolección de datos plantea algunos retos formidables en el salón de clases. Por ejemplo, los profesores que realizaron las pruebas de campo informan que ocuparon una cantidad excesiva de tiempo de clase en la recolección de datos en comparación con el que dedicaron a la exploración y el análisis de los datos, tan sólo para encontrar que los datos de los estudiantes eran incompletos o imprecisos. Estos retos quebrantaron a tal punto el ritmo del avance académico que aumentó la renuencia de los profesores para llevar a cabo investigaciones estadísticas que dependieran de la recolección de datos.

PROBABILIDAD La variación aleatoria puede investigarse empíricamente aplicando las herramientas del análisis de datos para poner de manifiesto la regularidad presente en los resultados aleatorios. La probabilidad proporciona los recursos matemáticos que describen el azar con mucho mayor detalle del que la observación podría descubrir. La teoría de la probabilidad es una impresionante demostración del poder de las matemáticas para deducir resultados de gran alcance e inesperados a partir de premisas simples. El lanzamiento de una moneda, por ejemplo, se describe simplemente como una secuencia de intentos independientes que producen una cara con una probabilidad de 1/2. De este modesto punto de partida se obtienen resultados tan bellos como la ley del logaritmo iterado, que da un límite preciso para las fluctuaciones en el conteo de las caras conforme se repiten los lanzamientos. La distribución del conteo de las caras después de lanzamientos de una moneda legal (no cargada) tiene una media de , que al graficarse contra aparece como una línea recta (véase la figura 6). La desviación estándar del conteo de las caras en lanzamientos es . La ley del logaritmo iterado establece que las fluctuaciones en el conteo de las caras se extienden


desviaciones estándar a ambos lados de la media. El conteo de las caras graficado contra se aproximará dentro de cualquier distancia dada de este intervalo un número infinito de veces a medida que continúen los lanzamientos, pero sólo lo cortará un número finito de veces. El análisis de datos, incluso con la ayuda de la simulación de computadora, jamás podría descubrir la ley del logaritmo iterado.

Figura 6. La ley del logaritmo iterado describe la región de las fluctuaciones en el lanzamiento de una moneda: la recta del centro es la media , acotada a ambos lados por curvas cuya distancia respecto a la recta del centro es

1

2n 2log(log n)

.

Como otras áreas bellas y útiles de las matemáticas, la probabilidad sólo tiene un sitio limitado en la enseñanza práctica, inclusivo a nivel de bachillerato. Debido a la sencillez de los fundamentos de la probabilidad desde el punto de vista matemático, es fácil pasar por alto la medida en que los conceptos de la probabilidad entran en conflicto con las ideas intuitivas que se encuentran firmemente enraizadas y que son difíciles de eliminar para el momento en que los estudiantes llegan al bachillerato. Los conceptos errados a menudo persisten incluso cuando los estudiantes pueden responder correctamente preguntas de pruebas típicas. La dificultad conceptual de las ideas de la probabilidad se

confirma tanto en la experiencia docente como en las investigaciones21,5

.La experiencia dirigida con la aleatoriedad en los primeros años es un prerrequisito importante para la enseñanza exitosa de la probabilidad formal. No es casual que la probabilidad matemática se originara en el estudio de los juegos de azar, uno de los pocos ambientes en los que los fenómenos aleatorios simples se observan con la suficiente frecuencia para manifestar patrones claros en el


largo plazo. La enseñanza puede intentar recapitular este desarrollo histórico al registrar datos de dispositivos de azar y, más tarde, de muestreos aleatorios y simulaciones de computadora. Pero sin importar si tal experiencia ocurre temprano o tarde en la formación de estudiante, toma un tiempo significativo conseguir la comprensión adecuada de comportamiento de los eventos aleatorios.

FundamentosLos primeros pasos hacia la probabilidad matemática tienen lugar en el contexto de datos de dispositivos de azar en los grados iniciales. Aprender a encontrar el patrón global pero sin intentar una explicación causal de cada resultado ("Ella no giró la perinola fuerte"). Esta abstracción se hace más sencilla porque buscar el patrón global de los datos es una de las estrategias centrales de análisis de datos. Después, reconocer que, aun cuando el conteo de los resultados aumenta con cada nuevo intento, las proporciones (o frecuencias relativas) de los intentos en los que ocurre cada resultado se estabilizan en el largo plazo. Las probabilidades son la idealización matemática de estas frecuencias relativas estables en el largo plazo. Una vez que los estudiantes hayan aprendido las matemáticas de las proporciones, es posible iniciar el estudio de la probabilidad mediante la asignación de probabilidades a conjuntos finitos de resultados y la comparación de las proporciones observadas con estas probabilidades. La comparación de los resultados con las probabilidades puede resultar frustrante si no se planea con cuidado. La simulación con computadora es muy útil para proporcionar el gran número de intentos requeridos para que las frecuencias relativas observadas estén razonablemente cerca de las probabilidades. En secuencias cortas de intentos, las desviaciones de los resultados observados de las probabilidades a menudo les parecerán grandes a los estudiantes. Los psicólogos han observado nuestra tendencia a creer que la regularidad descrita por la probabilidad se aplica incluso en secuencias cortas de resultados aleatorios. Esta creencia en una incorrecta "ley de los pequeños números" explica el comportamiento de los apostadores que ven una racha de tiros ganadores con un par de dados como evidencia de que el jugador esta "caliente", una explicación causal ofrecida porque subestimamos en gran medida la probabilidad de las rachas en las secuencias aleatorias. Pídase a varias personas que anoten una secuencia de caras y cruces que imite 10 lanzamientos de una moneda normal. ¿Qué tan larga fue la racha más grande de caras o cruces consecutivas? La mayoría de las personas anotarán una secuencia con rachas de no más de dos caras o cruces consecutivas. Pero de hecho la probabilidad de una racha de tres o más caras en 10 lanzamientos independientes de una moneda legal es de 0.508, y la probabilidad de una racha de al menos tres caras o de una racha de al menos tres cruces es mayor que 0.8. Los cálculos de probabilidades que incluyen rachas son muy complicados, esta es un área adecuada para la simulación en computadora. Las rachas de caras o cruces consecutivas que aparecen en el lanzamiento real de una moneda (y que predice la teoría de la probabilidad) nos parecen sorprendentes. Puesto que no esperamos observar rachas largas, podemos concluir que los lanzamientos de la


moneda no son independientes o que alguna influencia está afectando el comportamiento aleatorio de la moneda. El mismo concepto erróneo aparece en las canchas de básquetbol. Si un jugador consigue encestar varios tiros consecutivos, tanto los aficionados como sus compañeros de equipo pensarán que "trae la mano caliente" y que es más probable que enceste el siguiente tiro. Sin embargo, el examen de los datos

sobre los tiros lanzados22

indica que las rachas de canastas conseguidas o falladas no son más frecuentes de lo que se esperaría en una secuencia de intentos aleatorios independientes. Tirar una pelota de básquetbol es como lanzar un par de dados, aunque, desde luego, la probabilidad de encestar varía de un jugador a otro. Como lo sugieren estos ejemplos, hasta la idea de probabilidad como una frecuencia relativa a largo plazo es bastante compleja y necesita un cuidadoso respaldo empírico. Un poco más adelante, una comprensión completa de las proporciones motiva el modelo matemático de la probabilidad: un espacio muestra (el conjunto de todos los resultados posibles) y una asignación de probabilidad que satisfaga un reducido número de leyes o axiomas básicos que incluyan la regla de adición

para eventos disjuntos. Las demás leyes aditivas para combinaciones simples de eventos pueden deducirse de éstos o, usando un camino más simple, pueden motivarse directamente de comportamiento de las proporciones. Estas leyes aditivas constituyen el contenido matemático de la probabilidad elemental. En este punto de avance de la probabilidad matemática, sería conveniente hacer una pausa para algunos ejercicios no numéricos en los que se apliquen las leyes de la probabilidad, así como para tratar otro aspecto de pensamiento matemático que no es natural en los estudiantes: la lectura atenta y literal de los enunciados lógicos. Los psicólogos que han estudiado los conceptos de la probabilidad ofrecen muchos ejercicios que ponen de manifiesto los conceptos equivocados y

que pueden ayudar a corregirlos. Por ejemplo, Tversky y Kahneman21

presentaron el perfil de la personalidad de una joven a estudiantes universitarios y luego preguntaron que cuál de los siguientes enunciados era más probable: Linda es cajera de un banco. Linda es cajera de un banco y participa en el movimiento feminista.

Cerca del 85% de los estudiantes escogieron el segundo enunciado, aun cuando este evento es un subconjunto del primero. Este error persistió a pesar de varios intentos con enunciados opcionales que pudieran hacer más transparente la cuestión. Los sujetos no habían estudiado probabilidad. "Sólo" el 36% de los estudiantes recibidos de ciencias sociales con varios cursos de estadística en sus créditos dieron la respuesta incorrecta en una prueba similar. Existe por tanto cierta esperanza de que el estudio nos ayude a reconocer la relevancia en el pensamiento cotidiano de los hechos matemáticos acerca de la probabilidad. Nisbett et al. dieron a conocer comparaciones antes y después que proporcionan evidencia firme del efecto del estudio formal. El énfasis en el aspecto conceptual y cualitativo del pensamiento probabilistico, tanto previo como paralelo al estudio de las matemáticas de la probabilidad, resulta de gran valor.


Estudio adicionalLa adquisición de capacidades sólidas que tengan aplicaciones prácticas, por oposición a la comprensión conceptual básica de la probabilidad, requiere un estudio más detallado. En este punto abandonamos el dominio central de los conceptos matemáticos que deben enseñarse a todos los estudiantes. Hay varias trayectorias lógicas para abordar la probabilidad intermedia. La elección del material dependerá, por ejemplo, de si la probabilidad se estudiará como un tema importante por derecho propio o si se contempla principalmente como una vía para llegar a la inferencia estadística. Primero, una recomendación negativa: evitar el uso de métodos combinatorios para calcular probabilidades en espacios muestrales finitos. La combinatoria es un tema diferente. y de mayor dificultad que la probabilidad. Los estudiantes de todos los niveles encuentran confusos y difíciles los problemas combinatorios. El estudio de la combinatoria no contribuye a la comprensión conceptual del azar y produce menos frutos que otros temas en cuanto a la obtención de la capacidad para establecer modelos probabilísticos. En la mayoría de los casos deberán evitarse los problemas de conteo salvo los más sencillos. Un paso hacia adelante más provechoso a partir de los fundamentos de la probabilidad es considerar las reglas de la probabilidad condicional, de independencia y de multiplicación. El conocimiento de la ocurrencia de un evento

A a menudo modifica la probabilidad asignada a otro evento

B. Por ejemplo, saber que un profesor universitario seleccionado al azar es mujer reduce la probabilidad de que su campo sean las matemáticas. La probabilidad condicional de dado , denotada por , no es necesariamente ; si ambas son iguales, los eventos son independientes. Estas nociones implican a la vez nuevas ideas y capacidades básicas que son invaluables en la construcción de modelos probabilísticos en las ciencias naturales y sociales. Es bastante factible presentar la idea de independencia y la regla de multiplicación para eventos independientes prestando escasa atención, si acaso, a la probabilidad condicional en general. Esta trayectoria es atractiva si la meta es llegar a la inferencia estadística de la manera más efectiva y evita asimismo las considerables dificultades conceptuales asociadas con la probabilidad condicional. Las distribuciones binomiales para el conteo de sucesos en un número determinado de intentos independientes se encuentran al alcance inmediato, como lo están otras aplicaciones interesantes como la contabilidad de los sistemas complejos. Si se decide omitir el tema de la probabilidad condicional, deberá hacerse hincapié en el significado cualitativo de la independencia y en el riesgo de

suponer informalmente que la independencia es válida. El ensayo de Kruskal9

contiene ejemplos y reflexiones acerca de la suposición informal de la independencia, con énfasis en testimonios "independientes" de supuestos milagros. Temas relacionados con la independencia, con las distribuciones binomiales y con la regla de multiplicación para eventos independientes deberán tratarse en los últimos años en las matemáticas de bachillerato. El estudio atento de la probabilidad condicional es atractivo cuando el objetivo consiste en capacitar a los estudiantes en la construcción y el uso de


descripciones matemáticas de procesos con un nivel moderadamente avanzado. La construcción de modelos de procesos con varias etapas que no sean deterministas requiere probabilidades condicionales. Para citar sólo un ejemplo, en el caso de los positivos falsos al investigar condiciones de excepción se aplica la probabilidad condicional a cuestionarios tan comunes como los de las pruebas de consumo de drogas, el uso de detectores de mentiras y para determinar la presencia de anticuerpos de SIDA. He aquí un ejemplo basado en un informe reciente en el que puede encontrarse un análisis estadístico detallado:La prueba ELISA se introdujo a mediados de los ochenta para detectar la presencia de anticuerpos de SIDA en la sangre donada. Cuando los anticuerpos están presentes, ELISA es positiva con una probabilidad aproximada de 0.98; cuando la sangre probada no está contaminada con antícuerpos, la prueba da un resultado positivo con una probabilidad aproximada de 0.07. Estos números son probabilidades condicionales. Si una en mil de las unidades de sangre examinadas por ELISA contiene anticuerpos de SIDA, entonces el 98.6% del total de las respuestas positivas serán positivos falsos. El cálculo del predominio de los positivos falsos en las pruebas de sangre ELISA para detectar anticuerpos de SIDA puede llevarse a cabo con un diagrama de árbol sencillo como el que se muestra en la figura 7. Los estudiantes provistos de la comprensión de la probabilidad condicional y los diagramas de árbol pueden programar con facilidad una simulación de computadora de procesos cuyo estudio analítico resulte demasiado complejo.


FIGURA 7. El cálculo de los positivos falsos en la prueba ELISA para detectar anticuerpos de SIDA puede llevarse a cabo en un diagrama de árbol en el cual las probabilidades condicionales adecuadas se multiplican en cada rama. La probabilidad condicional lleva consigo una nueva serie de dificultades conceptuales que, como las de estudio temprano de la probabilidad, pueden pasarse por alto de manera fácil e inteligente si la instrucción está dirigida principalmente a la enseñanza de definiciones y reglas. Los estudiantes encuentran difícil de entender la distinción entre y

. Mostrar la fotografía de una mujer atractiva y bien vestida y preguntar la probabilidad de que sea modelo de modas. Las respuestas indican que la pregunta se interpreta como si se pidiera la probabilidad condicional de que una mujer conocida como modelo de modas sea atractiva y esté bien vestida. Es decir, los individuos que responden confunden y . Los ejercicios cualitativos con la identificación de la información que se conoce y el evento cuya probabilidad quiere conocerse son un aspecto preliminar esencial para el trabajo formal con .

Transición a la inferencia


El muestreo aleatorio y la aleatorización experimental proporcionan experiencia con la aleatoriedad que no sólo motiva el estudio de la probabilidad sino también el tipo de razonamiento que se emplea en la inferencia basada en la probabilidad. El muestreo repetido o la aleatorización experimental repetida producen, evidentemente, resultados variables. Esta variación es aleatorio en el sentido técnico, en lugar de fortuita, porque el diseño emplea un mecanismo de azar explícito. De este modo, la conclusión de una encuesta de opinión de que el 61% de los adultos estadounidenses aprueban un sistema nacional de seguro médico requiere un margen de error que refleje el grado probable de variación aleatorio en encuestas muestrales similares. Asimismo, la conclusión de que un nuevo tratamiento médico supera a un tratamiento común sólo puede sustentarse si el margen de superioridad excede la variación aleatorio probable en experimentos similares. Los resultados aleatorios observados en la producción de datos son estadísticas como proporciones o medias muestrales. Las estadísticas muestrales son variables aleatorias (fenómenos aleatorios que tienen valores numéricos). El comportamiento regular en el largo plazo de dichas estadísticas en muestreos repetidos o en aleatorizaciones experimentales repetidas se describe por una distribución de muestreo. Es común considerar las distribuciones de muestreo como distribuciones de probabilidad de variables aleatorias. Las variables aleatorias, sus distribuciones y sus momentos constituyen otro bloque de material en la probabilidad intermedia. En las proporciones, interviene la distribución de un conteo, que es binomial bajo hipótesis ligeramente idealizadas. Las medias muestrales tienen una distribución normal si la distribución de la población es normal. Las reglas generales para manipular medias y varianzas de variables aleatorias se aplican tanto a las proporciones muestrales como a las medias muestrales. En particular, las desviaciones estándar de las proporciones y de las medias muéstrales decrecen a razón de a medida que el tamaño de la muestra aumenta, un hecho que permite entender las ventajas de las muestras grandes. ¿Qué ocurre cuando el número de observaciones crece sin restricción? Los teoremas de límites más importantes de la probabilidad abordan esta cuestión. La ley de los grandes números establece que las proporciones y las medias muestrales se aproximan o tienden (en varios sentidos) a las proporciones y medias correspondientes de la población subyacente. El teorema del límite central establece que tanto las proporciones como las medías se distribuyen de manera aproximadamente normal cuando el tamaño de la muestra se incrementa. En la figura 8 se ilustra el teorema del límite central en forma gráfica. Empieza con la distribución de una sola observación que tiene un sesgo a la derecha y está lejos de ser normal. Las distribuciones de esta forma suelen usarse para describir la vida útil de las piezas que no sufren desgaste. La media de esta distribución particular es 1. Las otras curvas de la figura muestran la distribución de la media

x de muestras de tamaño 2 y de tamaño 10 sacadas de la distribución original. La forma normal típica empieza a dibujarse ya cuando sólo se promedian 10 observaciones. Una simulación con computadora podría mostrar el efecto en una manera aún más marcada.


Figura 8. El teorema del límite central en acción: la distribución de las medias muestrales sacadas de una distribución sesgada a) muestra una progresión hacia la distribución normal cuando el tamaño de la muestra se incrementa de 2 b) a 10 c).

Se trata de un conjunto sustancial de material cuya presentación formal resulta bastante inaccesible. La instrucción estadística tradicional en la educación superior insiste en que una dosis sustancial de probabilidad, al menos los temas sobre independencia y variables aleatorias, debe preceder al estudio de la inferencia. Sin lugar a dudas se necesita cierta comprensión de la independencia así como de las distribuciones con sus medias y desviaciones estándar. Pero el grado de formalismo matemático con el que se enseñan tradicionalmente estos temas suele ser innecesario a nivel universitario y fuera de cuestión a nivel de bachillerato. Tanto la longitud como la dificultad de la trayectoria que desemboca en la estadística vía la probabilidad formal ofrecen argumentos en

contra de este enfoque tradicional. Como Garfield y Ahlgren concluyen5

. Enseñar el entendimiento conceptual de la probabilidad parece ser todavía una tarea muy difícil, llena de ambigüedades y espejismos. En consecuencia, hacemos la recomendación pragmática para realizar dos esfuerzos de investigación que precederían en paralelo: uno que continúe la exploración de los medios para inducir las concepciones válidas de la probabilidad y otro que explore la forma en que las ideas útiles de la inferencia estadística pueden enseñarse sin depender de la probabilidad técnicamente correcta. Por fortuna, el énfasis empírico del análisis de datos, adquirido de manera gradual empezando en los primeros grados, ofrece un marco para enseñar tanto la probabilidad básica como la inferencia elemental. La simulación, primero física y después con software, puede poner de manifiesto los conceptos esenciales de la probabilidad y es particularmente adecuada para revelar las distribuciones de los muestreos. Sólo se requieren conocimientos de probabilidad bastante informales para hacer reflexiones sobre distribuciones de muestreo. Como indicó el estudio anterior de las distribuciones normales, la descripción de datos proporciona el contexto adecuado para las distribuciones en


calidad de modelos matemáticos idealizados de la variación. El plan de estudios general de matemáticas que se enseña a todos los estudiantes deberá incluir el análisis de datos y una introducción empírica tan sólo para los conceptos y las leyes básicas de la probabilidad a un nivel equivalente al del material

Quantitative Literacy15

.

INFERENCIA La estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos y de las inferencias que se hacen a partir de los datos respecto de la realidad subyacente. "La inferencia de los datos a la realidad" es un tema realmente intrincado, con mucho espacio para las discrepancias de carácter filosófico. No es sorprendente pues que los estadísticos estén en desacuerdo con el enfoque

más provechoso de la inferencia. Barnett2

ofrece un panorama comparativo de las posiciones encontradas. ¿Bayesiana o clásica?La divisoria filosófica más importante separa la inferencia bayesiana de la inferencia clásica. Cierta comprensión de esta distinción es esencial para tomar decisiones atinadas en los planes de estudios. La cuestión de la inferencia en la forma más simple es cómo sacar conclusiones acerca del parámetro de una población con base en los valores estadísticos calculados a partir de la muestra. Un parámetro es un número que describe a la población, tal como la altura media de todas las mujeres estadounidenses con edades entre los 18 y los 22 años. Un valor estadístico relevante en este caso es la altura media muestral

x de una muestra aleatoria de mujeres jóvenes. Para fines de inferencia, nos imaginamos la forma en que variaría

x en muestras repetidas de la misma población. La distribución del muestreo refleja el parámetro subyacente, en este caso es la media de la distribución de

x Es debido a que la distribución del muestreo depende de parámetro desconocido de que el valor estadístico contiene información acerca de parámetro. La inferencia clásica se encuentra enraizada en el concepto de probabilidad como regularidad en el largo plazo y en la idea correspondiente de que las conclusiones de la inferencia se expresan en términos de lo que ocurriría en la producción repetida de datos. Decir "Estamos "95% seguros de que está entre 1.636 y 1.643 m" es una forma abreviada de decir "Obtuvimos este intervalo por un método que es correcto en el 95% de todas las muestras posibles." Los enunciados probabilísticos de la inferencia clásica se aplican al método y no a la conclusión específica a la mano, de hecho, los enunciados probabilísticos acerca de una conclusión específica no tienen sentido porque el parámetro poblacional es fijo, aunque no se conozca su valor. El método bayesiano pide información previa acerca de valor de parámetro en juego. Esto se hace al considerar el parámetro como una cantidad aleatoria con una distribución de probabilidad conocida que expresa nuestra información imprecisa acerca de su valor. La altura media de todas las jóvenes estadounidenses no es aleatoria en el sentido tradicional. Pero es incierta. Tengo la plena seguridad de que está entre 1.372 m y 1.829 m, y pienso que lo más probable es que esté cerca del centro de este intervalo. Mi estimación


subjetiva de la incertidumbre puede expresarse en una distribución de probabilidad de . En la perspectiva bayesiana el concepto de probabilidad se amplía para incluir estas probabilidades subjetivas o personales. Lo que es nuevo aquí no son las matemáticas., que permanecen iguales, sino la interpretación de la probabilidad como la representación de una estimación subjetiva de la incertidumbre en vez de como una frecuencia relativa en el largo plazo. Se entiende ahora que la distribución de muestreo de la estadística expresa las probabilidades condicionales de los valores de para un valor dado de . Un cálculo posterior combina la información previa con los datos observados para obtener la distribución condicional de dados los datos. (La forma discreta de este cálculo emplea un resultado simple acerca de las probabilidades condicionales conocido como el teorema de Bayes, de cual la escuela bayesiana toma su nombre.) Las conclusiones de la inferencia se expresan en términos de enunciados probabilísticos acerca de parámetro desconocido en sí mismo: es del 95% la probabilidad de que la verdadera media esté entre 1.636 m y 1.643 m. La conclusión bayesiana es sin lugar a dudas más sencilla de entender que el enunciado clásico. Además, la información previa es importante en muchos problemas. Los estadísticos por lo general concuerdan en que los métodos bayesianos deberían usarse cuando se conoce la distribución de probabilidad previa del parámetro. Lo que se cuestiona es si siempre se cuenta con distribuciones previas convenientes, como sostienen los bayesianos. Los estadísticos no bayesianos no piensan que mi estimación subjetiva sea siempre información útil y, por consiguiente, no están dispuestos a hacer un uso general de distribuciones previas subjetivas. La conclusión aparentemente clara de un análisis bayesiano puede depender en gran medida de supuestos acerca de la distribución previa que no pueden comprobarse a partir de los datos. Para la instrucción introductoria de la inferencia, los métodos bayesianos presentan varios inconvenientes. Requieren de una sólida comprensión de la probabilidad condicional. De hecho, los estudiantes deben entender la distinción entre la distribución condicional de valor estadístico dado el parámetro y la distribución condicional del parámetro dado el valor estadístico observado en realidad. Esto resulta fatalmente sutil. La interpretación subjetiva de la probabilidad es bastante natural, pero desvía la atención de la aleatoriedad y el azar en calidad de fenómenos observados en el mundo cuyos patrones pueden describirse matemáticamente. La comprensión del comportamiento de los fenómenos aleatorios es una meta importante de la enseñanza de datos y el azar; la probabilidad entendida como estimación personal de la incertidumbre es, en el mejor de los casos, irrelevante para conseguir esta meta. La línea que va del análisis de datos por diseños aleatorizados para la producción de datos y la probabilidad hacia la inferencia es más clara cuando la inferencia clásica es la meta. Dos tipos de inferencia, intervalos de confianza y criterios de significación figuran en la instrucción introductoria de la inferencia estadística clásica. El razonamiento subyacente en ambos tipos de inferencia puede introducirse de manera informal en las descripciones de datos. El tratamiento formal y los métodos específicos deberán reservarse para los cursos de probabilidad y


estadística de los años finales del bachillerato y no deberá hacerse ningún intento por presentar más que unos cuantos procedimientos específicos. Particularmente en el caso de las pruebas de significación, un método formal oscurece el razonamiento a tal grado que quizás sea mejor evitar al mismo tiempo las hipótesis y las estadísticas de comprobación.

Intervalos de confianzaEl razonamiento en que se apoyan los enunciados de confianza es relativamente directo. Más aún, las notas periodísticas de encuestas de opinión y sus márgenes de error proporcionan una fuente constante de ejemplos para análisis ¿Cómo es posible que una muestra de tan sólo 1 500 personas pueda representar de manera precisa la opinión de 185 millones de adultos estadounidenses? El muestreo aleatorio ofrece parte de la explicación; las distribuciones de muestreo proporcionan el resto, y los intervalos de confianza explican el significado del margen de error. Los enunciados de confianza pueden introducirse una vez que los estudiantes tengan cierta experiencia con la simulación de distribuciones de muestreo. La distinción entre población y muestra, la idea de muestreo aleatorio y la noción de distribución de muestreo son fundamentales para la inferencia. La simulación permite la introducción gradual de los intervalos de confianza durante la exploración de muestreo y de las distribuciones de muestreo. Las ideas de los intervalos de confianza pueden enseñarse por medio de representaciones

gráficas de muestras simuladas10

. Un enfoque más formal requiere estar familiarizado con las distribuciones normales. Supóngase que el 30% de los estudiantes de bachillerato de un condado grande llegan a la escuela en su automóvil. Al preguntar a una muestra aleatoria simple de 250 estudiantes si llegaron a la escuela en su automóvil el día de hoy produce 250 observaciones independientes, cada una con una probabilidad de 0.3 de ser "sí". La proporción de respuestas "sí" de la muestra varía de una muestra a otra. Simular, digamos, 1,000 muestras y presentar la distribución del muestreo de . Es aproximadamente normal, con media 0.3 y desviación estándar 0.029. Simulaciones repetidas de muestras de varios tamaños tomadas de esta población indican que el centro de la distribución del muestreo se mantiene en el valor 0.3 y que la dispersión está controlada por el tamaño de la muestra. En muestras grandes (alrededor de las 1,000 observaciones), los valores de la estadística muestral se concentran de manera acusada alrededor del parámetro poblacional . Los estudiantes pueden ver empíricamente que las muestras de este tamaño permiten hacer conjeturas adecuadas acerca de la población completa. Pero, ¿Qué tan adecuadas son las conjeturas basadas en una muestra? Podemos cuantificar la respuesta al describir la forma en que varía la estadística en muestreos repetidos. Es un hecho básico de las distribuciones normales que cerca del 95% de las observaciones se encuentran dentro de dos desviaciones estándar a ambos lados de la media. Por tanto, en muestreos repetidos, el 95% de todas las muestras de 250 estudiantes producen una proporción muestral que está aproximadamente 0.06 de la verdadera proporción 0.3 de los


estudiantes que llegan en su automóvil a la escuela. La simulación indica que este es el caso. Supóngase ahora que una muestra de 250 estudiantes de otro condado grande revela que 105 de ellos llegan en su automóvil a la escuela. Se conjetura que la verdadera proporción de todos los estudiantes de este condado que llegan en su automóvil a la escuela está cerca de . Si (como es cierto) la variabilidad es casi la misma que en el condado simulado. está entre ±0.06 de en el 95% de todas las muestras. Se dice que hay una confianza del 95% de que la proporción desconocida de la población se encuentra en el intervalo

. En términos más generales, el intervalo es un intervalo de confianza del 95% para la desconocida. En la figura 9 se ilustra el comportamiento de un intervalo de confianza en muestras repetidas. Cuando se sacan muestras repetidas de tamaño 250 algunos de los intervalos cubren la proporción verdadera de , en tanto que otros no lo hacen. Pero en el largo plazo, 95% de todas las muestras producirán un intervalo que cubre la verdadera . Es decir, la probabilidad de que el intervalo aleatorio contenga a es 0.95. Como ocurre en general en la inferencia clásica, esta probabilidad se refiere al funcionamiento del método en un número indefinidamente grande de muestras repetidas.

FIGURA 9. Comportamiento de un intervalo de confianza en muestras repetidas de la misma población, La curva normal es la distribución muestral de la proporción muestral cuyo centro está en la proporción de la población . Los puntos son los valores de de 25 muestras, con el intervalo de confianza indicado por flechas a ambos lados. En el largo plazo el 95% de estos intervalos contendrán a .


La primera parte de la argumentación anterior pertenece al estudio del muestreo y la simulación y es en esencia una demostración empírica de la sorprendente confiabilidad de las muestras que parecen pequeñas en comparación con el tamaño de la población. Los hechos que surgen de tales demostraciones de muestreo son mucho más importantes que la vestimenta formal que se les dé en la segunda etapa de la argumentación. La segunda etapa pertenece a un estudio más avanzado de la inferencia. La conclusión cualitativa de que la mayoría de los resultados muestrales están cerca de la verdad se hace cuantitativa al establecer un intervalo y un nivel de confianza. Es necesario hacer énfasis tanto en la naturaleza de esta conclusión como en sus limitaciones. ¿Cuáles son las bases de nuestro enunciado de confianza? Sólo existen dos posibilidades. 1. El intervalo contiene la proporción verdadera de la población

. 2. Nuestra muestra aleatoria simple fue una de las pocas muestras en las que

no está dentro de 0.06 puntos de la verdadera. Sólo el 5% del total de las muestras producen tales resultados incorrectos.

No podemos saber si nuestra muestra es una del 95% para el cual el intervalo incluye a o una del desafortunado 5%. La afirmación de que se tiene una confianza del 95% de que la desconocida está en es una forma abreviada de decir que "Obtuvimos estos números por un método que da resultados correctos el 95% de las veces." En cuanto a las limitaciones de este razonamiento, recuérdese que el margen de error en un intervalo de confianza sólo incluye el error del muestreo aleatorio. En la práctica hay otras fuentes de error que no se toman en consideración. Por ejemplo, las encuestas de opinión nacionales suelen realizarse por vía telefónica usando equipo que marca números telefónicos residenciales al azar. En las encuestas telefónicas se omiten los hogares sin teléfono. Además, los encuestadores suelen encontrar que hasta el 70% de las personas que contestan el teléfono son mujeres. Los hombres estarían subrepresentados en la muestra a menos que se tomaran las medidas necesarias para contactarlos. Estos hechos de la vida estadística real introducen cierto sesgo en las encuestas de opinión y otros estudios muestrales.

Pruebas de significaciónEl objeto de un intervalo de confianza es estimar el parámetro de una población y, acompañar la estimación con una indicación de la incertidumbre resultante de la variación debida al azar de los datos. Las pruebas de significación no proporcionan la estimación de un parámetro desconocido, sino sólo una evaluación de si en la población está presente algún efecto o diferencia. El mero reconocimiento de que es necesaria una evaluación como esta. de que no todos los resaltados observados representan una causa subyacente real, muestra ya una complejidad estadística. Los jueces de las representaciones científicas que hablan a los estudiantes capaces que las han elaborado encuentran que cualquier efecto en la dirección deseada, por pequeño que sea, se considera convincente. El papel de la variación debida al azar no se reconoce.


La significación estadística es una forma de responder a la pregunta "¿El efecto observado es mayor que el que sería razonable atribuir al azar solo?" He aquí el razonamiento de las pruebas de significación presentado informalmente en el marco de un importante ejemplo: Durante la era de Vietnam, el Congreso decidió que los jóvenes deberían elegirse al azar para el servicio militar. El primer sorteo de reclutamiento se llevó a cabo en 1970. Se sacaron las fechas de nacimiento en orden aleatorio y los hombres fueron reclutados en el orden en que sus fechas de nacimiento fueron seleccionadas. Después del sorteo, los medios periodísticos afirmaron que los hombres que habían nacido en los meses finales del año tenían más posibilidades de obtener números de reclutamiento bajos y, por consiguiente, de ser alistados. El análisis de datos (figura 10) sugiere una asociación entre la fecha de nacimiento y el número de reclutamiento. Un valor estadístico que mide la fuerza de la asociación entre el número de reclutamiento (1 al 366) y la fecha de nacimiento (1 a 366 empezando con el 1 de enero) es el coeficiente de correlación. De hecho, para el sorteo de 1970. ¿Es éste evidencia sólida de que el sorteo no fue realmente aleatorio?

Una prueba de significación aborda la cuestión haciendo una pregunta de probabilidad: Supóngase en aras de la argumentación que el sorteo haya sido realmente aleatorio; ¿cuál es la probabilidad de que un sorteo aleatorio produzca un valor de al menos tan distante de 0 como la observada? Respuesta: La probabilidad de que un sorteo aleatorio produzca un valor de

r a esta distancia de 0 es menor que 0.001. Conclusión: Puesto que un valor de r distante de 0 como el observado en 1970 prácticamente nunca ocurriría en un sorteo aleatorio, se tiene evidencia sólida de que el sorteo de 1970 no fue aleatorio. En la figura 10 se muestra el diagrama de dispersión de los números de reclutamiento asignados a cada fecha de nacimiento por el sorteo de reclutamiento de 1970. Es difícil distinguir alguna asociación sistemática entre la fecha de nacimiento y el número de reclutamiento en este diagrama de dispersión. Las gráficas inteligentes pueden poner de relieve la asociación, como en la figura. Pero se requiere un cálculo de probabilidad para saber si la asociación observada es mayor de lo que sería razonable atribuir al azar solo. En una asignación aleatoria de números de reclutamiento a fechas de nacimiento se esperarla que la correlación estuviera cerca de 0. La correlación observada en el sorteo de 1970 fue , indicando que los hombres nacidos en los últimos meses del año tendieron a obtener números de reclutamiento más bajos. El sentido común por sí solo no permite decidir si significa que el sorteo no fue aleatorio. Después de todo, la correlación en un sorteo aleatorio casi nunca será exactamente 0. Quizás esté dentro del intervalo de valores plausibles que podrían ocurrir como resultado de la variación debida al azar sola.


Figura 10. Los datos del sorteo de reclutamiento de 1970 revelan una ligera correlación negativa donde las fechas de nacimiento próximas al final de año tienen mayores posibilidades de obtener números de reclutamiento bajos. La tendencia puede verse de manera más inmediata localizando los números de reclutamiento de la mediana para cada mes. El trazo de las medianos mensuales unidas por segmentos de recta para poner de manifiesto la tendencia, llamada traza de la mediana, es una herramienta común usada para resaltar los patrones en diagramas de dispersión de una variable de respuesta contra una variable explicatoria.

Para resolver esta incertidumbre se compara el valor -0.226 observado con una distribución de referencia. la distribución de muestreo de en un sorteo realmente aleatorio. Se encuentra que un sorteo realmente aleatorio prácticamente nunca produciría un valor de tan distante de cero como la correlación observada en 1970. El cálculo de probabilidad nos dice lo que el sentido común no pudo que es un efecto considerable, un efecto inesperado en un sorteo aleatorio. Esto nos convence de que el sorteo de 1970 fue sesgado. La investigación correspondiente reveló que las cápsulas que contenían las fechas de nacimiento se habían llenado mes por mes y que no se revolvieron adecuadamente. Las fechas de los últimos meses permanecieron

cerca de la parte superior y tendieron a sacarse primero. (Fienberg4

ofrece más detalles acerca del sorteo de reclutamiento de 1970, incluyendo extensos análisis estadísticos del resultado.) Preguntas como "¿Es éste un resultado grande?" o "¿Es éste un resultado inesperado?" surgen con frecuencia al realizar análisis de datos. Es bastante natural dar una respuesta después de comparar el resultado individual con una distribución de referencia, tal como comparamos informalmente el peso al nacer de un niño con la distribución de los pesos al nacer de todos los niños. Sin lugar a dudas, debería estimularse a los estudiantes para que reconozcan el papel de la variación debida al azar y para que realicen la evaluación informal de la


"significación" al comparar un resultado individual con una distribución de referencia adecuada. Si se está estudiando probabilidad y simulación de computadora, la comparación puede expresarse en términos de probabilidad y distribuciones de muestreo. Pero no es necesario incluir las "pruebas de hipótesis" formales en los planes de estudios escolares. Existen varias razones para ello. La mecánica de enunciar hipótesis, calcular una estadística de prueba y hacer la comparación con valores consultados en tablas oculta el razonamiento de las pruebas de significación. El razonamiento en sí es un tanto difícil y abunda en sutilezas. Ejemplos eficaces del uso de las pruebas de significación se encuentran más apartados de la experiencia cotidiana que las encuestas de opinión y ejemplos similares de enunciados de confianza. La comprensión de los temas relacionados con datos y el azar, así como el desarrollo del razonamiento cuantitativo en general, se beneficiaría más concluyendo el estudio escolar de la estadística con la probabilidad, las distribuciones de muestreo, los intervalos de confianza y un énfasis continuo en el uso de estas herramientas en el razonamiento acerca de datos inciertos.

PENSAMIENTO ESTADÍSTICO La estadística y la probabilidad son las ciencias que se ocupan de la incertidumbre, de la variación presente en todo género de procesos naturales y creados por el hombre. Como tales, son más que una parte de los planes de estudios de matemáticas, aunque encajan bien en este marco. La probabilidad es un campo dentro de las matemáticas. La estadística, como la física o la economía, es una disciplina independiente que hace un uso intenso y esencial de las matemáticas. La estadística reclama, en cierta medida el ser un método fundamental de indagación, una forma general de pensamiento que es más importante que cualquiera de los hechos o técnicas específicas que conforman la disciplina. Si la finalidad de la educación es desarrollar capacidades intelectuales generales, la estadística merece un sitio esencial en la enseñanza y el aprendizaje. La educación debería introducir a los estudiantes en los métodos de la literatura y la historia, en el análisis político y social de las sociedades humana,. en la investigación de la naturaleza por la ciencia experimental, y en el poder de abstracción y deducción de las matemáticas. El razonamiento a parir de datos empíricos de carácter incierto es un método intelectual igualmente poderoso y penetrante. Esto no quiere decir que la enseñanza detallada de los métodos estadísticos específicos deba ocupar por sí misma un sitio prominente en los planes de estudios escolares. De hecho no deberá ocuparlo. Pero el pensamiento estadístico, entendido en su sentido amplio, deberá ser parte del aparato mental de toda persona educada. Los elementos centrales del pensamiento estadístico pueden resumiese de la siguiente manera: 1. La omnipresencia de la variación en los procesos. Los individuos son

variables, las mediciones repetidas del mismo individuo son variables. Los dominios del determinismo estricto en la naturaleza y en los asuntos humanos son bastante restringidos.


2. La necesidad de datos acerca de los procesos. La estadística es resueltamente empírica, no especulativa. La atención a los datos tiene prioridad máxima.

3. El diseño de la producción de datos con la variación en mente. Conscientes de las fuentes de variación no controlada, evitarnos muestras autoseleccionadas e insistimos en la realización de comparaciones en los estudios experimentales. Y la variación planeada en la producción de datos se introduce mediante el uso de la aleatorización.

4. La cuantificación de la variación. La variación aleatoria se describe matemáticamente por la probabilidad

5. La explicación de la variación. El análisis estadístico busca los efectos sistemáticos subyacentes en la variabilidad aleatoria de individuos y mediciones.

El pensamiento estadístico no es un hecho recóndito ni ajeno a la experiencia cotidiana. Pero no se desarrollará en los niños si no está presente en los planes de estudios. Los estudiantes que empiezan su educación con ortografía y multiplicaciones esperan que el mundo sea determinista; aprenden con rapidez a esperar que una sola respuesta sea la correcta y las demás incorrectas, al menos cuando éstas adoptan la forma numérica. La variación es un hecho inesperado e

incómodo. Escuchen a Arthur Nielsen16

describir la experiencia que tuvo su empresa de investigación de mercado con sofisticados administradores de comercialización: ... Demasiadas personas de mundo de los negocios asignan igual validez a todos los títulos impresos en papel. Aceptan los números como representantes de la Verdad y encuentran difícil trabajar con el concepto de probabilidad. No ven a un número como una especie de abreviada de un intervalo que describe nuestro conocimiento real de la condición subyacente. Por ejemplo. Nielsen Company proporciona a los fabricantes las estimaciones de las ventas a través de establecimientos detallistas... Una vez decidí que incluiríamos diagramas para mostrar un intervalo probable alrededor del número reportado; por ejemplo las ventas están arriba del 3 por ciento o abajo del 3 por ciento o en algún valor intermedio. Esta resultó ser una de mis ideas más estúpidas. Nuestros clientes sencillamente no pudieron trabajar con este tipo de incertidumbre. Actúan como si los números reportados fueran el evangelio.

La capacidad para abordar de manera inteligente la variación y la incertidumbre es la meta de la instrucción en datos y el azar. Existe cierta evidencia de que la

instrucción mejora en realidad esta capacidad. Nisbett et al17

describen las investigaciones sobre la enseñanza de varias clases de razonamiento. Hacen notar que la instrucción en probabilidad y estadística aumenta la buena disposición para tomar en consideración la variación debida al azar, aun cuando la instrucción sea del tipo tradicional que no hace el menor intento por aplicar el razonamiento probabilístico en circunstancias no estructuradas. He aquí un ejemplo típico:

[Se pidió a los sujetos] que explicaran por qué una agente viajera casi siempre queda decepcionada cuando vuelve a ir a un restaurante donde disfrutó de una


comida excepcional en su primera visita. Los sujetos que no habían estudiado estadística por lo general resolvieron este problema con respuestas fortuitas, exclusivamente no estadística, tales como "quizás los chefs cambiaron mucho" o "sus expectativas eran tan altas que la comida no podía satisfacerlas". Los sujetos que habían llevado cursos de estadística dieron respuestas que incluían consideraciones estadísticas, tales como "muy pocos restaurantes tienen puras comidas excelentes, lo más seguro es que simplemente haya tenido suerte la primera vez", cerca del 20 por ciento de las veces. Nisbett y sus colegas se muestran sorprendidos por el hecho de que una instrucción de carácter bastante abstracto tenga un efecto en la reflexión sobre sucesos cotidianos. El efecto es más acusado cuando la instrucción señala la aplicabilidad de las ideas estadísticas en la vida diaria, como sin lugar a dudas debería hacerse en la instrucción escolar. Esta es evidencia de que estamos tratando en realidad con una capacidad intelectual fundamental de aplicación general. Nisbett informa asimismo de investigaciones que indican que el entrenamiento en disciplinas deterministas, incluso a nivel de licenciatura, no mejora de manera similar el razonamiento estadístico cotidiano. Esta es evidencia de que estamos tratando con un método intelectual independiente. ¿Por qué enseñar acerca de los datos y el azar? La estadística y la probabilidad tienen una utilidad práctica. El análisis de datos en particular contribuye al aprendizaje de las matemáticas básicas. Pero, aún más importante, debido a que el pensamiento estadístico es un método intelectual independiente y fundamental que merece atención en los planes de estudios escolares.

BIBLIOGRAFÍA Y LECTURAS RECOMENDADAS1. BBN Laboratories. ELASTIC and Reasoning Under Uncertainty. Final Report, p. 30. 2. Barnett, Vic. Comparative Statistical Inference, Second Ed. Nueva York, NY: John Wiley & Sons. 3. Elton. Bradley. "Computers and the Theory of Statistics: Thinking the unthinkable." SIAM Review, 21, 419-437. 4. Fienberg, Stephen E. "Randomization and social affairs: The 1970 draft lottery." Science, 171, 255-261. 5. Garfield, Joan y Ahlgren, Andrew. "Difficulties in learning basic concepts in probability and statistics: Implications for research." Journal for Research in Mathematics Education, 19, 44-63. 6. Gastwirth, Joseph. "The statistical precision of medical screening procedures: Application to polygraph and AIDS antibodies test data." Statistical Science, 2, 213-238. 7. Gnanadesikan, Mrudulla, Richard Schaeffer; James Swift. The Art and Techniques of Simulation. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publishers. S. Jones, L.V. (Ed.). The Collected Works of John W. Tukey. Vol 3: Philosophy and Principles of Data Analysis, 1949-1964; Vol. 4: Philosophy and Principles of Data Analysis, 1965-1986. Monterey, CA: Wadsworth & Brooks/Cole. 9. Kruskal, William. "Miracles and statistics: The casual assumption of independence." Journal of late American Statistical Association, 83, 929-940.


10. Landwehr, James y Watkins, Ann. Exploring Data. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publishers. 11. Landwehr, James; Ann Watkins, James Swift. Exploring Surveys and Information from Samples. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publishers. 12. Mathematical Sciences Education Board. Reshaping School Mathematics: A Philosophy and Framework for Curriculum. National Research Council. Washington. DC: National Academy Press. 13. Moore, David y G. McCabe. Introduction to the Practice of Statistics. Nueva York, NY: W.H. Freeman. 14. National Council of Teachers of Mathematics. Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. 15. Newman, Claire, Obrenski, Thomas; Schaeffer, Richard. Exploring Probability. Palo Alto, CA: Dale Seymour Publishers. 16. Nielsen. Arthur C., Jr. "Statistics in marketing." En Easton, G.; Roberts, Harry V.; Tiao, George C. (Eds.): Making Statistics More Effective in Schools of Business. Chicago. Il,: University of Chicago Graduate School of Business. 17. Nisbett, Richard E.; Fong, Geoffrey T., Lehman, Darrin R.; Cheng, Patricia W. Teaching reasoning." Science, 238, 625-631. 18. Rubin, Andee; Bertram Bruce; Ann Rosebery William DuMouchel. "Getting an early start: Using interactive graphics to teach statistical concepts in high school." Proccedings of the Statistical Education Section. American Statistical Association. 6-15. 19. Rubin, Andee y Rosebery, Ann. "Teachers' misunderstandings in statistical reasoning: Evidence from a field test of innovative materials." En Hawkings, Ann (Ed.): Training Teachers lo Teach Statistics. Proceedings of an International Statistics Institute Roundtable. 20. Tversky, Amos y Kahneman, Daniel. "Belief in the law of small numbers." Psychological Bulletin, 76, 105-110.21. Tversky, Amos y Kahneman, Daniel, "Extensional versus intuitive reasoning: The conjunction fallacy in probability judgment." Psychological Review, 90. 293-315. 22. Vallone, Richard y Tversky, Amos. "The hot hand in basketball: On the misperception of random sequences." Cognitive Psychology, 17, 295-314.


3. Media, mediana y moda



El estudiante de cuarto grado observa que la mitad de los adultos del mundo son hombres y la otra mitad son mujeres y saca de ello la conclusión de que el adulto promedio tiene un pecho y un testículo. Un agente inmobiliario le informa de que el precio medio de una casa en cierto barrio es de 40,000,000 ptas. y de ello deduce que en dicha vecindad hay muchas casas sobre este precio. Un vendedor dice que la mediana de las comisiones de sus de sus nueve ventas de hoy es de 8,000 ptas. y sugiere que ganó 72,000 ptas. con esas ventas. El dueño del restaurante dice que la moda, o lo más corriente, de las cuchipandas en sus fiestas es 120,000 ptas. e insinúa que la mitad de sus clientes gastan más. Un agente de bolsa afirma que su inversión valdrá millones pero, por los cálculos que usted hace, piensa que cientos es más ajustado.

De la única de las cinco afirmaciones de la que podemos estar seguros es la del estuiante de cuarto grado. La media, la mediana y la moda son «indicadores medios» o medidas de la tendencia central, unos números que pretenden dar una idea de lo que es típico y corriente en una situación dada, pero no siempre es así. Como sus valores relativos pueden variar considerablemente, es importante conocer sus definiciones. (Véase también la entrada sobre Estadística: dos teoremas). La media de un conjunto de números es lo que normalmente se conoce como promedio (o media aritmética) de dichos números. Para encontrar la media de N números vasta con hallar su suma y dividirla por N. La definición es fácil y conocida, pero muchas de las inferencias que la gente saca de ella carecen de fundamento. Por ejemplo, el barrio referido anteriormente puede tener muy pocas casas de más de 40 000 000 ptas.; quizás hay en él unas pocas grandes mansiones carísimas rodeadas de un enjambre de casas modestas.

Por contra, la mediana de un conjunto de números es el número situado en el centro del conjunto. Para hallarla basta con alinear los números en orden creciente; la mediana es el número del medio (o la semisuma de los dos números centrales, si el conjunto de números es par). Así, la mediana del conjunto 8, 23, 9, 23, 3, 57, 19, 34, 12, 11, 18, 95 y 48 se determina ordenándolos como 3, 8, 9, 11, 12, 18, 19, 23, 23, 34, 48, 57 y 95 y observando que 19 es el que ocupa el lugar central de la lista, por lo cual es la mediana de este pequeño conjunto de números, cuya media es, por cierto, 27, 7. (En grandes colecciones de números la mediana se llama a veces 50-ésimo percentil, indicando con ello que es mayor que el 50% de los números de la colección. Análogamente, cuando se dice que un número está en el 93-ésimo percentil se está diciendo que es mayor que el 93% de los números).


El vendedor del ejemplo anterior podría haber ganado millones de pesetas en comisiones por sus nueve ventas de hoy, con una mediana de 8 000 ptas.; quizá seis de las ventas les supusieron una comisión de 8 000 ptas. cada una, mientras que ganó 500 000 ptas. por cada una de las tres restantes. La mediana de las comisiones seria, tal como dijo, 8 000 ptas. pero el total de sus comisiones sería mucho más que las 72 000 ptas. que él sugería haber ganado. La comisión media en este caso sería de 172 000 ptas.

Otro número, que a veces conduce a más equívocos, es la moda de un conjunto de datos. No es más que el dato que aparece con más frecuencia y no tiene por qué estar cerca de la media ni de la mediana del conjunto. El dueño del restaurante que decía que 120 000 ptas. era la moda de las cuchipandas quizás había tenido los siguientes pedidos en aquel mes: 40 000 ptas., 80 000 ptas., 80 000 ptas., 120 000 ptas., 80 000 ptas., 120 000 ptas., 20 000 ptas., 120 000 ptas., 20 000 ptas., 40 000 ptas., 20 000 ptas., 120 000 ptas., 40 000 ptas. La moda es efectivamente 120 000 ptas., pero la mediana es 80 000 ptas. y la media sólo 69 200 ptas.

Un ejemplo algo más sofisticado y truculento de la diferencia entre la media y la moda de una cantidad lo tenemos en el hombre que invierte 10 000 ptas. en un valor volátil que cada año sube un 60% o baja un 40% con la misma probabilidad. Estipula que el valor ha de pasar en herencia a su nieta, quien no ha de venderlo hasta dentro de 100 años, y se pregunta cuánto le darán por él. Esta cantidad depende del número de años en que el valor haya experimentado un alza, y la media matemática, que en contextos probabilísticos se llama también su esperanza matemática, es la friolera de 1 378 000 000 ptas. Sin embargo, la moda o valor más probable de la herencia es sólo la miseria de 13 000 ptas.

La explicación de esta gran diferencia es que las rentas astronómicas correspondientes a muchos años de alza del 60% sesgan la media hacia arriba, mientras que las pérdidas correspondientes a muchos años de un 40% de baja están acotadas inferiormente por 0 ptas. El problema es una versión contemporánea de la llamada paradoja de San Petersburgo. [Para los interesados en más detalles: el valor aumenta una media del 10% anual (el promedio entre + 60% y -40%). Así, al cabo de 100 años, la media o esperanza matemática de la inversión es 100 000 ptas. x (1,10)100, que es 1 378 000 000 ptas. Pero por otra parte, el resultado más probable es que el valor experimente un alza exactamente 50 de los 100 años. Por tanto la moda es 100 000 ptas. x (1,6) 50 x (0,6) 50, que es 13 000 ptas. La esperanza matemática no siempre coincide con el valor que se espera.] Corrientemente la esperanza matemática de una cantidad se calcula multiplicando sus posibles valores por las probabilidades correspondientes a los mismos y sumando estos productos. Consideremos a modo de ilustración una compañía de seguros domésticos que tiene sus buenas razones para creer que en promedio, cada año, por cada 10 000 de sus pólizas recibirá una reclamación de 40 000 000 ptas.; una de cada 1000 reclamará una indemnización de 5 000 000 ptas.; una de cada 50 reclamará 200 000 ptas.; y el resto no dará ningún problema. La compañía de seguros quiere saber cuál es su desembolso medio por póliza (para saber qué primas ha de cobrar) y la respuesta es la esperanza


matemática. En este caso: (40 000 000 ptas. * 1/ 10 000) + (5 000 000 ptas. * 1/ 1000 ) + (200 000 ptas. * 1/ 50) + (0 ptas. * 9 789/ 10 000) = 4 000 + 5 000 + 4 000 + 0 = 13 000 ptas.

La comprensión de estas distintas medidas de la tendencia central hará un 36,17% menos probable que la persona media sea víctima de los usos engañosos de estas cantidades por parte de los agentes de la propiedad inmobiliaria, vendedores, agentes de bolsa y dueños de restaurantes. Naturalmente, esta misma persona ya habrá sido víctima de un caso grave de hermafroditismo y, por tanto, el o ella tendrá probablemente otras preocupaciones.


4. Lily elige novio

por Y. Jurguin

Lily Renier es una criatura encantadora con ojos expresivos y una naricita chata muy provocativa. Es iracunda, alegre, curiosa e, incluso, ha leído algunos libros (de amor, principalmente) por lo que se siente muy orgullosa. La muchacha está muy cansada de la mezquina tutela de sus respetables padres y piensa en casarse. Su naturalidad y energía la hacen cometer, a veces, actos muy inesperados.

Así, pues Lily elige novio. Tiene cinco pretendientes: Juan, Paul, Miguel, Jacobo y el señor Richar, con el que los padres son benevolentes, y ... uno más, del que, según parece, está enamorada.

El primer pretendiente, Juan, es un funcionario joven, agradable, con ojos bonitos, nariz aguileña y atractiva, pero con seis dedos en el pie izquierdo. A los padres, este dedo les causa extrañeza y se convierte en un gran obstáculo. Pero para Lily, este dedo es, tal vez, lo más atractivo que tiene Juan: a ella le gusta todo lo original, y en cuanto a lo demás, Juan es deslucido, como un gorrión. Paul es un joven amable, dispone de un automóvil caro y un tío rico, además, el tío puede fallecer de un momento en otro. El joven pintor Miguel de profundos ojos brillantes, siempre manchado de pintura, despeinado parece que siempre anda hambriento, mas, por lo visto, es talentoso. Lily le posó una vez, sin intención alguna, por curiosidad, y después de dos sesiones quedó claro que sus relaciones podrían ser mucho más íntimas, si ella lo consintiera. Jacobo es un matemático joven y, como suele decirse, promete mucho. Formula los cumplidos como teoremas. Una vez, contándole a Lily que vio a una conocida de ella abrazándose con su amigo Carlos, advirtió: «Su conjunción me llevó a la idea de que en nuestra situación no hay ya entropía: ella eligió a Carlos». A Lily todo el tiempo le parecía que Jacobo deseaba descomponerla en factores o simplificarla como una fórmula sofisticada. El señor Richar es un hombre de negocios, dueño de una gran mercería, de dos casas grandes y de algo más. Es un gordinflón de unos cincuenta años con cara lisa y colorada y cabeza pelada. Le cuelgan arrugas de la barbilla, la nuca y detrás de las orejas; su dentadura, probablemente, es postiza y parece que todo él, desde la cabeza hasta los talones, está tejido de numerosos globos de distinto diámetro. Es muy galante con los clientes ricos, atento con Lily y muy respetado por los cónyuges Renier. Lily casi se muere de risa cuando le observa durante la comida. Se desconoce el nombre del sexto pretendiente. Es el limpiachimeneas de Montmartre, siempre despeinado, alegre y provocativo, de quien Lily está enamorada a escondidas desde hace tiempo. Desde luego, ella comprende que la hija de los respetables Renier, a la que tantos le ofrecen su mano, aceptables para una muchacha de su


círculo, debería superar una pasión secreta: los padres no darán su consentimiento a ese matrimonio. ¡Dios mío! Cuántos sermones hubo cuando una vez el padre notó que Lily esta guiñándose con el limpiachimeneas de dientes blancos desde una de las ventanas... Pero las vías del amor son inescrutables.

Así, pues, la pobre Lily se encuentra en una encrucijada, sufre y está agitada, pues no sabe qué decisión tomar. Las indirectas de los padres la irritan, las conversaciones francas con sus amigas solteras no pueden tranquilizarla. Entonces Lily se va a ver su íntima amiga María, la cual se ha casado hace poco y parece estar satisfecha de la vida. Después de besos, lágrimas, risas y recuerdos, Lily pasó a tratar el asunto. María, excepto ayes, no puede proponerle nada, pero... invitó a su marido, que es cibernético, a examinar el problema. Éste no quiso orientarse en todas las variantes, en los arrebatos espirituales ni en los estímulos mercantiles; besó a Lily para tranquilizarla, cogió una hoja de papel y dibujó la tabla siguiente: en las columnas estaban enumerados los novios y en los renglones se indicaban las distintas características contradictorias.

La tabla la llenaba por renglones, valorando a cada novio por el sistema de 10 puntos. Este resultó ser una ocupación mucho más fácil y hasta más divertida, que la discusión de la situación en conjunto. Juzgue usted mismo.

1. Apariencia2. Jovialidad3. Posición material4. Sociabilidad5. Actitud hacia Lily6. Actitud de los padres hacia el novio7. Familiares del novio8. Edad9. Probabilidad de ser amado por Lily

SumaCriterio K-suma ponderal

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

837353796

51548

7788679

107

69736

8102

1084598

64761

5153

105

1095

53585

1101065

10611

50508

10101

10811

1010

61780

812101220558

10

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

*

Por su aspecto exterior el más atractivo, desde luego, es el deshollinador. A éste lo valoraron con la mayor cantidad de puntos: 10. Juan también es guapo, aunque de baja estatura: 8 puntos. Paul es de estatura normal, ancho de espaldas y con buena estampa, aunque su cara es poco atrayente: 7 puntos. Miguel tiene ojos muy bonitos (Lily dijo incluso que podría estar mirándolos sin parar) mas tiene una figura algo incomprensible; es muy expansivo, siempre está


moviéndose. Por lo demás, Lily no considera esto como un defecto: 8 puntos. Jacobo, el matemático, aunque es alto de estatura, se encorva, mira de reojo a través de las gruesas gafas y es desaseado: 5 puntos. Por fin, el aspecto del Sr. Richar provoca en Lily, como hemos dicho ya, risa: 1 punto. Así que ya hemos rellenado el primer renglón de la tabla.

Los más alegres de todos son el pintor Miguel y el deshollinador: 10 puntos cada uno. El funcionario Juan es discreto, latoso, no está satisfecho con su cargo, considera que todo el tiempo le están chasqueando, mas le gustan las carreras de caballos: 3 puntos. Paul es un hombre liviano, sonriente y, por lo general, siempre está contento de todos, pero es poco activo: 7 puntos. Jacobo siempre está gimiendo y a las distintas proposiciones de pasar el tiempo de alguna manera alegre, responde que está cansado y que no tiene tiempo:1 punto. El Sr. Richar es bondadoso y alegre, capaz de lograrlo todo; la felicidad le sonríe: 10 puntos.

El más acomodado es el Sr. Richar: 10 puntos. Aunque Juan está descontento de su posición, mas recibe buen sueldo: 7 puntos. Paul, por lo visto, no dice la verdad referente a su situación material, pero alquila un apartamento magnífico, el mobiliario causó gran impresión a Lily y visita los mejores restaurantes. Sin embargo, todo ese esplendor no infunde plena confianza: 8 puntos. Miguel, por lo visto, es pobre, pero, de todos los modos, alquila un buen estudio: 2 puntos. Jacobo es hijo de un profesor y da clases en el liceo: 5 puntos. La situación material del deshollinador es evidente: 1 punto.

Los padres de Lily preferirían ver a su hija esposa del Sr. Richar: 10 puntos. No obstante, tampoco excluyen a otros pretendientes. Paul tiene la perspectiva de enriquecerse pronto, mas su línea de conducta no inspira a los padres gran confianza: 7 puntos. Aunque a los padres les impone respeto el cargo que ocupa Juan no obstante, su sexto dedo...: 3 puntos. La señora Renier se considera gran conocedora del arte y visita los barnizados, en cambio, no quisiera tener en su familia un pintor: Miguel recibe 4 puntos. Jacobo es de familia respetada, pero el señor Renier desprecia la ciencia: 5 puntos. La actitud de los padres de Lily hacia el deshollinador ya la hemos comentado: 1 punto.

Para Lily, que tiene 18 años, la edad más aceptable del novio es la de 22 años. La desviación hacia ambos lados es indeseable: se tomó la decisión de reducir en un punto por cada tres años de desvío desde los 22 años. Así es como en el renglón “Edad” aparecieron cifras. De manera análoga, Lily y sus amigos valoraron los familiares del novio, la actitud de los pretendientes hacia Lily y sus probabilidades de ser amados en el futuro.

Ahora podemos sumar las cifras de las columnas y obtener la cantidad de puntos de cada novio. Resulta que Paul, Miguel y el deshollinador tienen notables ventajas ante los demás (véase renglón “suma”). En este caso, Paul le lleva 5 puntos a Miguel y habría que casarse con Paul.


Pero hay que tomar en consideración una razón muy importante. No todos los nueve puntos de la tabla tiene para Lily la misma importancia. Por ejemplo, para la alegre y sociable novia supone muchísimo más importancia la sociabilidad y la lozanía del futuro esposo, que la actitud de sus padres hacia él. Por eso, para distintos puntos de la tabla es menester introducir ciertos coeficientes, que los denominaremos coeficientes ponderales. Estos coeficientes podrían valorarse también por el sistema de 10 puntos, mas la importancia de cada índice puede indicarse también en tantos por ciento. En nuestra tabla así hemos hecho. Para no tener que operar con quebrados, los tantos por cientos, escritos en la última columna, se cogieron de la centena: son, precisamente, los que desempeñan la función de coeficientes ponderales. Su elección tiene un carácter subjetivo y es bastante evidente. Por ejemplo, son comprensibles las causas, por las que Lily apreció más que nada la actitud hacia ella y la probabilidad de que el novio sea amado. Al mismo tiempo, la actitud de los padres hacia el novio, Lily la considera como un obstáculo de pequeña importancia: la aman con locura y, por eso, en resumidas cuentas, no se opondrán a su elección.

De esta modo, el criterio de apreciación de los novios examinados -en otros problemas se denomina criterio de calidad- no se representa simplemente en forma de la suma x1+x2+x3+. . . +x9 sino en forma de suma ponderal: K= a1x1+a2x2+...+a9x9. En particular, para los coeficientes designados por Lily -y éstos reflejan el grado de su interés en índices correspondientes- este criterio tiene el aspecto siguiente: K=8x1+12x2+10x3+12x4+20x5+5x6+5x7+8x8+20x9

Los resultados de las cálculos están expuestos en el último renglón de la tabla. Aquí, al igual que antes, podemos ver que, según el criterio escogido, Paul, Miguel y el limpiachimeneas tiene considerable ventaja en comparación con los demás. Pero ahora resulta que el deshollinador está delante de todos... A pesar de que en la primera discusión a Lily le parecía que esta ilusión secreta era irrealizable... Después de tantas lágrimas de alegría y de abrazos, se tomó la decisión de casarse con el deshollinador. Mas, primero habrá que conocerle más de cerca, y las amigas examinan ya los pasos correspondientes que habrá que dar. Desde luego, es posible que después de conocerse mejor, varíen los índices en su columna, así que no vamos a decir aún que Paul haya perdido la batalla...

Es posible, lector, que nuestra tabla le haya parecido demasiado primitiva y que en ella no se reflejan otras características importantísimas de los novios. Estoy de acuerdo con Ud., y si recurre a este método cuando elija al novio, a la novia, el nuevo sitio de trabajo o el lugar de veraneo, confeccione un cuadro mucho más detallado. Esto sólo aliviará su suerte y le quitará la penosa carga de responsabilidad al tomar una decisión desafortunada. El método de razonar para la construcción del criterio de calidad puede ser análogo en muchos problemas. Si algunos índices cualitativos pueden ser medidos objetivamente, como, por ejemplo, el salario, es menester utilizarlos. Si la apreciación de los índices es subjetiva, entonces puede aprovecharse el consejo de un experto a la valoración de la persona interesada.


5. El vicio del juego y la virtud de asegurarse

Por George Bernard Shaw

Ensayo que aparece en el Tomo 3 de Sigma: El Mundo de las Matemáticas. Selección y comentarios de J.R. Newman. Traducción de Regina Tayá. Ediciones Grijalbo. 1968.

La aptitud científica de George Bernard ShawPor James R. Newman

Lo mejor de Bernard Shaw no es, precisamente, su pensamiento científico. La ciencia le interesaba, pero tenía una cierta inclinación a equivocarse. Aunque la ciencia le ofrecía un fértil campo para el ejercicio de su talento como polemista y satírico, fue a menudo incapaz de distinguir entre el científico honrado y el impostor, entre teorías que merecían la atención y teorías estériles. Además apoyó las cosas más absurdas. Estaba contra la vivisección y la vacunación; tenía muy mala opinión de la medicina y aún peor de sus practicantes; tenía asombrosas teorías propias sobre biología, fisiología, bacteriología e higiene, y nada podía persuadirle de que el Sol se estaba consumiendo (ya que como esperaba vivir más que Matusalén sentía que esta catástrofe era cuestión personal); despreciaba los experimentos de laboratorio, considerándolos trucos preparados para probar teorías preconcebidas sin tener en cuenta el peso de la evidencia.Pero a pesar de sus prejuicios y nociones excéntricas, Shaw no cerraba su mente a las obras importantes de la ciencia. Seguía los adelantos de la investigación en campos tan variados como el estudio de Pavlov sobre los perros y los experimentos de Michelson-Morley con el interferómetro sobre el desplazamiento del éter. Le gustaba visitar laboratorios y espiar las bacterias 1. Le interesaba el funcionamiento de las cosas: coches, radios, máquinas, motocicletas, tocadiscos. Era un entusiasta de la fotografía. Cada invento que ahorraba trabajo ganó su admiración, pero "su desprecio por la maquinaria anticuada no tenía límites: decía que los podría haber inventado una pulga si hubiera estado interesada en los beneficios”2

Las actitudes de Shaw y Jonathan Swift hacia la ciencia eran muy parecidas. Ambos vivieron en períodos de gran avance científico; ambos respetaban la ciencia; ninguno tenía especial aptitud para ella. Los dos la trataron desde el punto de vista de reformadores sociales y satíricos; ambos despreciaron la pretensión; ninguno usó la ciencia como actividad puramente especulativa. Swift dirigió su ingenio a las matemáticas, que en su forma avanzada le parecían completamente triviales; Shaw declaró la guerra a las prácticas biológicas, que

1 Hesketh Pearson, G. B. S. A Full Length Portrait, Nueva York, 1942, p. 270. Existe traducción castellana: “Bernard Shaw”, Montaner y Simón. He utilizado esta biografía para muchos de los detalles de este apunte; sobre Bernard Shaw ver también Sixteen Self-Sketches, Nueva Cork, 1949.2 Pearson op. cit., p. 270.


consideraba crueles y estúpidas. Es comprensible que exagerara. Le gustaba la exageración y la consideraba una herramienta esencial de reforma. "Si no dices una cosa de manera irritante, más vale que no la digas, ya que nadie se preocupará de una cosa que no les preocupa." (La gramática es extraña, aun para G. B. S.)Sin embargo, había una rama de la ciencia que Shaw ni satirizó, ni enriqueció con teorías propias. La materia que perdonó era la matemática. No minimizaba su importancia y admitía, abandonando por lo menos esta vez su pose de omnisciencia, que sabía muy poco sobre ella. Culpaba de su ignorancia a la desastrosa instrucción que recibió en la Wesleyan Connexional School. "No nos dijeron ni una palabra sobre el significado o utilidad de las matemáticas: sólo nos pedían que explicáramos cómo se podía construir una triángulo equilátero o la intersección de dos círculos, y a sumar a, b y x, en vez de peniques y chelines, dejándonos tan ignorantes que concluí que a y b debían significar huevos y queso, y x, nada, con el resultado de que rechacé el álgebra como cosa absurda, y no cambié mi opinión hasta que ya hacia los treinta, Graham Wallas y Karl Pearson me convencieron de que en vez de enseñarme matemáticas me habían tomado el pelo."La influencia de estos distinguidos señores fue muy beneficiosa. Desde luego, Shaw no fue nunca un gran calculador: "No he usado un logaritmo en mi vida y no podría intentar extraer la raíz cuadrada de cuatro sin equivocarme," Pero aprendió a apreciar la importancia de una rama de la matemática superior, la teoría de las probabilidades y la estadística. La selección siguiente presenta una versión de Shaw del desarrollo y aplicación práctica del cálculo de probabilidades. Es un estudio delicioso y muy sensible. "En la medida de mis conocimientos ninguno ha tratado de este modo la historia de las matemáticas. Sospecho que si hubiera más Shaw enseñándolas llegarían a hacerse populares. Pero la probabilidad matemática de esta circunstancia compuesta es evidentemente pequeña."


El vicio del juego y la virtud de asegurarsepor George Bernard Shaw

Dejad que el rey prohíba el juego y las apuestas en su reino,porque éstos son los vicios que destruyen los reinos de los príncipes.

El Código de Marnu (C-100)En el juego puedes escoger dos placeres:Uno es ganar, el otro es perder.

Byron

Los seguros, aunque se basan en hechos que son inexplicables y riesgos sólo calculables por matemáticos profesionales llamados actuarios, son sin embargo más agradables de estudiar que materias más simples, como la banca y el capital. Esto ocurre porque, por cada político competente que hay en nuestro país, debe haber por lo menos 100,000 jugadores que apuestan cada semana a las carreras de caballos. Estos apostadores apuestan contra cualquier caballo que participe en una carrera con cualquiera que piense que ganará y esté dispuesto a apostar por ello. Como solamente puede ganar un caballo, y los demás deben perder, esto sería un negocio enormemente lucrativo si todas las apuestas se hicieran por la misma cantidad. Pero la competencia entre los apostadores profesionales les hace atraer a los clientes ofreciéndoles "ventajas", tentadoramente "grandes", contra los caballos que parecen no poder ganar. Mientras que no dan ninguna ventaja cuando se trata del caballo más idóneo, llamado el favorito. El conocido grito, que intriga a los novatos, de "dos a uno raya uno", significa que el apostador apostará dos contra uno contra cualquier caballo de la carrera excepto el favorito. Sin embargo, en general, apostará diez contra uno, o más, contra un "outsider". En este caso, si, como ocurre a veces, gana el "outsider", el apostador profesional puede perder todo lo que había ganado en sus apuestas contra los favoritos. En la escala entre los posibles extremos de ganancia y pérdida puede quedar en cualquier parte, según el número de caballos en la carrera, el número de apuestas hechas por cada uno y la exactitud de su apreciación de la ventaja que podía ofrecer. Generalmente, gana cuando vence un "outsider", porque siempre hay más dinero jugado en los favoritos que en los “outsiders”, pero es posible lo contrario; porque puede haber varios "outsiders" y también varios favoritos; y, como los "outsiders" ganan bastante a menudo, tentar a los clientes ofreciéndoles demasiadas ventajas sería jugar, y un apostador profesional no debe nunca jugar aunque é1 viva del juego. Prácticamente, siempre hay bastantes factores variables en el juego para probar hasta el límite la habilidad financiera del apostador profesional. Éste debe presupuestar de manera que, en el peor de los casos, resulte aún solvente. Un apostador profesional que juegue se arruinará con igual seguridad que un vendedor de comestibles con licencia (publicano) que beba, o un tratante de arte que no pueda desprenderse de una buena pintura.En seguida se plantea la cuestión, ¿cómo es posible planear, para conservar la solvencia, en negocios basados en el azar? La respuesta es que cuando se abordan en número suficiente, los asuntos del azar se convierten en asuntos de


certeza, lo cual es una de las razones de por qué un millón de personas organizadas como estado pueden hacer cosas que no intentan los individuos privados. Sin embargo, el descubrimiento de este hecho ocurrió en el curso de los negocios privados ordinarios.En el pasado, cuando era peligroso viajar y la gente que partía hacia ultramar hacía testamento solemne y rezaba como si fuese a morir, el comercio con los países extranjeros era un negocio arriesgado, especialmente cuando el comerciante en vez de quedarse en casa y consignar sus productos a una casa extranjera, tenía que acompañarlos hasta su destino y venderlos allí. Para ello tenía que hacer un trato con el propietario de un barco o un capitán.Los capitanes de barco, que viven en el mar, no padecen los terrores que éste inspira a los hombres de tierra. Para ellos el mar es más seguro que la tierra, porque los naufragios son menos frecuentes que las pestes y desastres en tierra. Y los capitanes de barco ganan dinero llevando pasajeros además de la carga. Imaginad entonces una conversación de negocios entre un comerciante codicioso por el comercio extranjero, pero desesperadamente atemorizado ante la perspectiva de un naufragio o de ser comido por salvajes, y un capitán ávido de carga y pasajeros. El capitán asegura al comerciante que sus productos estarán completamente a salvo y é1 también si los acompaña. Pero el comerciante, imbuido por las aventuras de Jonás, San Pablo, Ulises y Robinsón Crusoe, no se atreve a la aventura. Su conversación será así:CAPITÁN: ¡Venga! Le apuesto bastantes libras a que si usted viaja conmigo estará sano y salvo dentro de un año.COMERCIANTE: Pero si acepto la apuesta estaré apostando esa cantidad a que dentro de un año estaré muerto.CAPITÁN: Desde luego que no, si usted pierde la apuesta, como es lógico.COMERCIANTE: Pero si yo me ahogo, usted también se ahogará y entonces, ¿qué pasa con nuestra apuesta?CAPITÁN: Es verdad. Pero encontraré a alguien de tierra que haga la apuesta con su esposa y familia.COMERCIANTE: Desde luego, la cosa cambia; pero, ¿qué pasa con mi carga?CAPITÁN: ¡Puaf! También podemos apostar por la carga. O dos apuestas una por su vida y otra por la carga. Ambas estarán a salvo, se lo aseguro. No sucederá nada, y usted verá todas las maravillas del extranjero.COMERCIANTE: Pero si yo y mis productos salimos sanos y salvos, le tendré que pagar el valor de mi vida y de los productos. Si no me ahogo me arruinaré.CAPITÁN: Esto también es verdad. Pero no crea que llevo las de ganar. Si usted se ahoga yo me ahogaré también; porque debo ser el último en abandonar el barco si se hunde. Sin embargo, déjeme todavía persuadirle a arriesgarse. Le apuesto diez contra uno. ¿Le tienta esto?COMERCIANTE: ¡Oh! en ese caso...El capitán ha descubierto los seguros igual que los orfebres descubrieron la banca.Es un negocio lucrativo; y, si la información y la intuición del asegurador son sólidas, un negocio sin riesgo. Pero no es tan simple como apostar en los caballos, porque en una carrera todos los caballos excepto uno deben perder y el apostador profesional ganar, en cambio en un naufragio todos los pasajeros


pueden ganar y el asegurador arruinarse. Evidentemente, deberá poseer, no un solo barco, sino varios, de forma que, como muchos más barcos terminarán felizmente el viaje que los que se hundirán, ganará en media docena de barcos y perderá solamente en uno. Pero, de hecho, el asegurador naviero necesita tan poco el poseer los barcos como el apostador profesional poseer los caballos. Puede asegurar las cargas y las vidas en un millar de barcos propiedad de otra gente sin que é1 haya poseído o ni siquiera visto una canoa. Cuantos más barcos asegure, más seguros están sus beneficios; porque en un mismo tifón pueden zozobrar seis barcos, pero entre mil barcos la mayor parte sobrevivirán. Cuando por la guerra aumenten los riesgos, puede reducirse la ventaja concedida en las apuestas.Cuando el comercio internacional se desarrolla hasta el punto de que un asegurador naviero pueda utilizar más capital de lo que los jugadores individuales pueden ofrecer, se forman las sociedades como la "British Lloyds" para cubrir la demanda. Estas corporaciones pronto se dan cuenta de que existen muchos más riesgos además del naufragio. Gente que nunca viaja ni envía paquetes por mar pueden perder la vida o quedar tullidos en un accidente; sus casas pueden arder o ser desvalijadas. Las Compañías de Seguros surgen por todas partes, el negocio se desarrolla, y se extiende, hasta que no queda un riesgo que no pueda ser asegurado. Los Lloyds aseguran, no sólo contra el naufragio, sino contra cualquier riesgo que no sea específicamente cubierto por las Compañías por acciones, supuesto que se trate de un riesgo asegurable, es decir, provechoso.Esta previsión es una contradicción en los términos. ¿Por qué? ¿Cómo puede una transacción segura implicar un riesgo?, y, ¿cómo puede correrse un riesgo con seguridad?La respuesta nos lleva a una región de misterio en la que resulta imposible razonar los hechos por cualquiera de los métodos conocidos hasta el presente. El ejemplo más típico lo constituye el más sencillo de los juegos de azar, que consiste en arrojar una moneda y apostar a qué saldrá. En Inglaterra se le llama cara o cruz, en Irlanda, cabeza o arpa. Cada vez que se arroja la moneda, cada uno de los jugadores tiene la misma probabilidad de ganar. Si sale cara, puede volver a salir cara la próxima vez, y la próxima, y así hasta mil; por consiguiente es razonable suponer que puedan salir mil caras seguidas o mil cruces. Porque el hecho de que salga cara una vez no aumenta en lo más mínimo la probabilidad de que salga cruz en la siguiente. A pesar de todo, los hechos ponen en duda este razonamiento. Cualquiera que tenga medio penique y se entretenga en arrojarlo cien veces, puede sacar cara varias veces seguidas, pero el resultado final será de cincuenta y cincuenta, o tan cerca que la diferencia no importa. Tengo ahora diez peniques en mi bolsillo y acabo de arrojarlos al suelo diez veces cada uno. Resultado: cuarenta y nueve caras y cincuenta y una cruces; aunque sólo dos veces de las diez salieron cinco y cinco, y al principio las caras ganaron tres veces seguidas. Así, aunque en dos tiradas el resultado es completamente incierto, en diez tiradas puede ser de seis y cuatro o siete y tres, con una frecuencia que permita apostar con cierta seguridad; pero en un centenar, el resultado se aproximará lo bastante a cincuenta y cincuenta como para que dos jugadores, uno que apueste a cara y otro que apueste a cruz cada vez, queden


exactamente o casi exactamente como estaban al principio, ni más ricos ni más pobres, excepto si las apuestas son tan elevadas que sólo las harían jugadores que estuvieran locos.Una compañía de seguros, bien dirigida, y que efectúa docenas de millares de apuestas, no está jugando un juego de azar en absoluto; sabe con precisión suficiente a qué edad morirán sus clientes, cuántas de sus casas arderán cada año, con cuánta frecuencia serán desvalijadas, a qué cuantía se elevarán los desfalcos de sus cajeros, cuántas compensaciones habrán de pagar a sus empleados accidentados, cuántos accidentes sufrirán sus coches y ellos mismos, hasta qué punto padecerán de enfermedad y falta de trabajo, cuánto les costarán los nacimientos y las defunciones: en suma, saben qué le pasará a cada grupo de mil, diez mil o un millón de personas incluso cuando la compañía no pueda decir qué le va a pasar a cada uno de los individuos del grupo.En mi juventud fui educado para una vida de ocio aprendiendo a jugar al whist, porque había gente rica que, no teniendo nada mejor que hacer, evitaban la maldición del aburrimiento (llamado entonces ennui) jugando al whist todos los días. Más tarde, en cambio, se pusieron a jugar al bezique. Ahora juegan al bridge. Todo club de caballeros tiene su salón de juego. Los juegos de cartas son juegos de suerte porque, aunque los jugadores parezcan hacer uso de alguna experiencia y razonamiento al escoger la carta que van a jugar, la práctica pronto establece reglas que permiten al jugador más estúpido elegir correctamente: esto es, no elegir, sino obedecer las reglas. De acuerdo con esto la gente que juega cada día con apuestas de un chelín o seis peniques se encuentran, al final del año, con que no han ganado ni perdido cantidades de importancia, y que han matado el tiempo de una forma agradable en vez de aburrirse mortalmente. En realidad no han jugado más de lo que juegan las compañías de seguros. Por fin se descubre que los aseguradores no sólo no necesitan tener barcos, caballos, casas o cosa alguna de las que aseguran, sino que tampoco necesitan existir. Su lugar puede ser ocupado por una máquina. En el hipódromo el corredor de apuestas, con su traje resplandeciente y su deslumbradora elocuencia, se ve sustituido por el Totalizador (Tote para abreviar) en el que los jugadores depositan las cantidades que están dispuestos a arriesgar sobre sus caballos favoritos. Después de la carrera se divide todo el dinero apostado sobre el ganador entre los que apostaron por é1. La máquina se queda el resto. En un buque de placer, señoritas con tanto dinero que no saben en qué gastarlo arrojan chelines en una máquina construida de tal forma que devuelve de vez en cuando el chelín multiplicado por diez o por veinte. Éstos son los últimos sucesores de la ruleta, de los "caballitos", el juego de cara o cruz, y todas aquellas combinaciones que venden probabilidades de ganar dinero gratis. Como el Tote, ellos no juegan: no arriesgan absolutamente nada aunque sus usuarios no tienen más certeza que la de que, en conjunto, han de salir perdiendo, ya que cada ganancia de Jack y Jill es una pérdida para Tom y Susan.¿En qué afecta esto al hombre de Estado? Del modo siguiente: el juego o el intento de hacer dinero sin ganárselo, es un vicio económicamente (es decir, fundamentalmente) ruinoso. En casos extremos constituye una locura que personas de la más elevada inteligencia son incapaces de resistir: apostarán todo


lo que tienen aunque sepan que las probabilidades están en contra. Cuando, en media hora o en medio minuto se hayan convertido en unos mendigos, se pondrán a reflexionar sobre la locura de la gente que está haciendo lo mismo, y en su propia locura por haberlo hecho.Ahora bien, un Estado, al poder efectuar un millón de apuestas, mientras que un ciudadano sólo puede permitirse una, puede incitar a cualquiera a apostar sin correr é1 el más mínimo riesgo de pérdida financiera; porque, como ya dijimos, lo que va a suceder en un millón de casos es seguro, aunque nadie puede prever qué va a pasar en cualquier caso concreto. Por consiguiente, los Gobiernos, al hallarse siempre necesitados de dinero por la magnitud de sus gastos y la impopularidad de los impuestos, se hallan muy tentados de llenar sus arcas animando a los ciudadanos a apostar con é1.Es éste el peor de los crímenes contra la sociedad. El más imperativo de los deberes del Estado es el crear un fuerte estado de opinión contra este delito, considerando como una cuestión de pura honradez cívica el no gastar sin ganar, ni consumir sin producir; y una cuestión de honor cívico el ganar más de lo que se gasta y producir más de lo que se consume, para dejar así el mundo mejor de lo que estaba. No se puede concebir otro título de nobleza hoy en día. Por desgracia nuestro sistema de propiedad privada de la tierra y del capital no sólo impide que el Estado o la Iglesia puedan inculcar estos preceptos fundamentales, sino que les obliga verdaderamente a predicar lo opuesto. El sistema puede incitar al empresario enérgico a trabajar duro y desarrollar su negocio al máximo; pero su objetivo final es llegar a ser miembro de la aristocracia terrateniente o de la plutocracia, vivir del trabajo de los demás y permitir a sus hijos hacer lo mismo sin haber trabajado siquiera. El premio del éxito en la vida es el convertirse en un parásito y fundar una raza de parásitos. El parasitismo es el aguijón del carro capitalista: el incentivo principal sin el cual, según se nos enseña, la sociedad humana se desharía en pedazos. El más atrevido de nuestros arzobispos, el más democrático de nuestros ministros de Hacienda, no osa clamar que el parasitismo, tanto para los Pares del Reino como para los braceros, es un virus que acabará con la civilización más poderosa, y que la doctrina contraria es diabólica. Nuestros hombres de Iglesia más eminentes no predican, con gran sencillez y vigor, contra la tendencia a hacer del egoísmo el motor de la civilización; tampoco llegan a seguir a Ruskin y a Proudhon, declarando sin rodeos que un ciudadano que no produce bienes ni presta servicios es, o un mendigo, o un ladrón. A lo más que se ha llegado hoy en Inglaterra es a la creación de loterías del Estado y a la prohibición legal de las apuestas a la irlandesa. Pero, una vez más, el problema no es lo bastante sencillo como para que los abogados de la perfección socialista puedan resolverlo en abstracto. Hay épocas de la vida en que uno ha de consumir sin producir. Todo niño de teta es un parásito descaradamente voraz. Y, para convertir al niño en un productor altamente capaz, o en un funcionario competente, haciendo que su vida de adulto sea digna de ser vivida, es necesario prolongar su parasitismo durante más de diez años. Asimismo, los ancianos no pueden producir. Algunas tribus, que insisten excesivamente en la teoría económica de la escuela de Manchester, superan esta dificultad fácilmente suprimiendo a los ancianos o dejándolos


morir de hambre. Esto no es necesario en la civilización moderna. Resulta posible organizar la sociedad de tal forma que cada persona normalmente capacitada pueda producir lo bastante, no sólo para pagar lo que va consumiendo, sino también para reintegrar el coste de veinte años de educación, haciendo que ésta sea una magnífica inversión para la sociedad, además de proveer para el intervalo más largo que pueda mediar entre la incapacidad por vejez y la muerte natural. Constituye uno de los primeros deberes del político moderno el arreglar esto.Pero la infancia y la vejez son cosa cierta. ¿Qué hay que hacer con los accidentes y las enfermedades, que, para el ciudadano individual, no son certezas, sino probabilidades? Bien; hemos visto que la incertidumbre del individuo es certeza para el Estado. El ciudadano individual sólo puede hacer compartir su incertidumbre apostando sobre ella. Para asegurarme contra los accidentes o las enfermedades he de apostar con el Estado a que me sucederán esas desgracias; y el Estado debe aceptar la apuesta, estando las cantidades jugadas y recibidas fijadas matemáticamente por los actuarios del Estado. Se me preguntará: ¿Por qué con el Estado? ¿Por qué no con una compañía privada? Evidentemente, porque el Estado puede hacer algo que está fuera del alcance de cualquier compañía privada. Puede obligar a cada ciudadano a asegurarse, por poco previsor que sea, y por mucho que se fíe de su buena estrella; así, haciendo un gran número de apuestas, puede combinar el máximo beneficio con la máxima certeza, y depositar el beneficio en el tesoro público para el bienestar general. Así puede realizar un inmenso ahorro de trabajo sustituyendo docenas de organizaciones rivales por una sola. Finalmente, puede asegurar a precio de coste, e incluyendo el precio en la tasa general de impuestos, pagar accidentes y enfermedades directamente, y evitar el ingente trabajo de recaudar impuestos específicos o de tener que tratar en una o en otra forma con la gran masa de ciudadanos que, por no haber sufrido accidentes ni enfermedades, han perdido sus apuestas.Lo curioso de la situación es que el Estado, para dar certeza a la actividad aseguradora y abolir el juego de azar, ha de obligar a todo el mundo a jugar, convirtiéndose en un Supertote y corredor de apuestas de la población entera. Del mismo modo que el seguro marítimo llevó al seguro de vida, el seguro de vida al seguro de incendios, y así sucesivamente, hasta el seguro contra las infidelidades de los empleados, indemnizaciones en caso de muerte y seguro de paro, la lista de riesgos asegurables irá aumentando, y las pólizas de seguros irán cubriendo más y más riesgos a la vez, hasta que no exista un riesgo capaz de preocupar a un ciudadano normalmente inquieto que no pueda ser cubierto. Y cuando la actividad aseguradora sea tomada en manos por el Estado e incluida en la contabilidad general de impuestos, todo ciudadano nacerá con una póliza en blanco contra todos los riesgos corrientes, ahorrándose la práctica de virtudes tan penosas como la previsión, la prudencia y la abnegación, que resultan hoy tan opresivas y desmoralizadoras; con ello se aligerará considerablemente la carga de moralidad de las clases medias. Los ciudadanos serán protegidos tanto si quieren como si no, incluso si no tienen hijos que hayan de recibir educación ni casas que guardar. El aumento de libertad resultante de la liberación de los pequeños cuidados será inmenso. Nuestra mente ya no estará roída, ni nuestro


tiempo perdido, por la incertidumbre acerca de si vendrá gente a comer la semana siguiente o si quedará dinero para pagar nuestros funerales cuando muramos. No hay nada imposible, ni siquiera desmesuradamente difícil, en todo esto. Y, no obstante, mientras escribo, un plan de seguro a escala nacional, modesto y bien pensado, debido a Sir William Beveridge, cuya autoridad en materia de ciencia política nadie discute, está siendo objeto de feroz oposición, no sólo por las compañías privadas, que se verían arrinconadas, sino por la gente que se beneficiaría con é1; y los que abogan en favor del plan, en su mayor parte, no lo entienden, y no saben cómo defenderlo. Si en la formación profesional de nuestros legisladores se hubiera incluido un conocimiento básico de los principios del seguro, el proyecto Beveridge pasaría a ser ley y entraría en vigor antes de un mes. Tal como están las cosas, mucho será si quedan algunos restos de é1 tras años de balbuceos ignorantes, a menos que un pánico de guerra lo haga aprobar por el Parlamento en pocas horas y sin discusiones ni enmiendas. De todas formas, está claro que nadie que no entienda lo que es el seguro y abarque en cierto modo el campo inmenso de sus posibilidades puede meterse en los asuntos de la nación. Y nadie puede llegar a este nivel sin, por lo menos, saber algo de cálculo de probabilidades; no tanto como para hacer sus cálculos y llenar hojas de examen de ecuaciones típicas, pero sí lo bastante para saber cuándo puede uno contar en esos cálculos, y cuándo están trucados. Porque cuando los números imaginarios corresponden a cantidades exactas de monedas acuñadas para siempre con caras y cruces, pisan sobre seguro, dentro de ciertos límites; puesto que se dispone entonces de una sólida certeza y de dos posibilidades que pueden transformarse en certezas prácticas por medio de una prueba de una hora (o sea, de una constante y de una variable que, en realidad, no varía); pero, cuando el cálculo se refiere a una magnitud no constante y a varias variables muy caprichosas, entonces la intuición, el sesgo personal y los intereses pecuniarios intervienen con tal fuerza, que aquellos que empezaron imaginando neciamente que las estadísticas no pueden mentir acaban pensando, no menos neciamente, que nunca hacen otra cosa.


6. Correlacion, intervalos y tests



Los niños con pies más grandes tienen mejor ortografía. En zonas del sur de Estados Unidos, los condados con mayores tasas de divorcio generalmente tienen menores tasas de mortalidad. Los países que añaden flúor al agua tienen tasas de cáncer más altas que aquellos que no lo hacen. ¿Hemos de estirar los pies de nuestros hijos? ¿Conviene que haya más artículos invitando a la «dolce vita» en Penthouse y Cosmopolitan? ¿Es una conjura la fluoración?

Aunque existan estudios que establecen todos estos resultados, las anteriores interpretaciones de los mismos sólo son posibles si uno no distingue entre correlación y causalidad. (Resulta interesante notar que el filósofo David Hume sostenía que, en principio, no hay diferencia entre ambos conceptos. Sin embargo, a pesar de algunas semejanzas superficiales, los temas que él consideraba eran completamente distintos a éstos.) Aunque hay varias clases y medidas distintas de correlación estadística, todas ellas indican que dos a más cantidades están relacionadas de algún modo y en cierto grado, pero no necesariamente que una sea causa de la otra. A menudo, las variaciones en las dos cantidades correlacionadas son el resultado de un tercer factor.

Los extraños resultados anteriores se explican fácilmente del modo siguiente. Los niños que tienen los pies más grandes tienen mejor ortografía porque son mayores, siendo su mayor edad la causa de que tengan los pies más grandes y de que su ortografía sea mejor, aunque esto ultimo no sea tan seguro. La edad es también un factor importante en el segundo ejemplo, pues las parejas mayores se divorciarán probablemente menos y se morirán con mayor probabilidad que las de condados con perfiles demográficos más jóvenes. Y las naciones que añaden flúor al agua son en general más sanas y se preocupan más por su salud, con lo que un gran porcentaje de sus ciudadanos viven lo bastante para enfermar de cáncer que es en buena medida una enfermedad de gente mayor.

Para la mayoría, son menos importantes las definiciones de las medidas efectivas de correlación y causa. Pero demasiado a menudo la gente se queda hipnotizada con los detalles técnicos de los coeficientes de correlación, las rectas de regresión y las curvas de máximo ajuste, y olvida echar una mirada atrás y meditar acerca de la lógica de la situación. El fenómeno me recuerda a las personas (yo soy una de ellas: véase el final de la entrada sobre Teoría de juegos) que se compran un nuevo ordenador o un nuevo procesador de textos para trabajar más aprisa y luego pierden una cantidad exorbitante de tiempo obsesionadas con los detalles del software e inventando programas “atajo”, que


tardan algunas horas en componer y cuya invocación sólo ahorra presionar tres o cuatro teclas.

“Parece como si todo el mundo los comprara. Todo el país se ha vuelto loco con estas cosas”. “¿Cómo lo saben, si sólo hablaron con 1000 personas?” Como podrían sugerir estas dos citas contradictorias, la idea de muestra aleatoria es otro concepto estadístico simple cuya importancia no siempre se aprecia plenamente. Sin una de tales muestras, una multitud de testimonios personales y de frases “lo dice todo el mundo” quizá signifique muy poco, mientras que con una de ellas, un número sorprendentemente pequeño de encuestados puede ser concluyente. Basándose en observaciones realizadas con esa muestra, un intervalo de confianza es una banda numérica (que varia ligeramente de una muestra a otra) escogida de modo que contenga el verdadero valor desconocido de alguna característica de la población considerada, con una probabilidad especificada de antemano (normalmente el 95%). Así, si encuestamos una muestra aleatoria de 1 000 personas y el 43% están a favor de las ideas expuestas en la Constitución, entonces hay una probabilidad de aproximadamente el 95% de que el porcentaje de toda la población que está a favor de dichas ideas esté comprendido entre el 40% y el 46%, 43% ± 3%.

Aunque hay una serie de cuestiones técnicas relativas de cálculo e interpretación de los intervalos de confianza, no hace falta conocerlas para comprender las ideas fundamentales, igual que ocurre en el caso de la correlación. De hecho, si uno estudia a fondo los detalles de la estimación de los intervalos de confianza puede pasarle por alto el alcance limitado del método. No se trata de que 1 000 personas no basten para darnos este intervalo de confianza de ± 3%. Antes bien lo que ocurre es que esa estimación es muy sensible al planteamiento dado al problema o a la formulación de la pregunta. Si en el ejemplo anterior las ideas se hubieran identificado como procedentes de la Constitución, las respuestas probablemente hubieran sido completamente distintas. Las creencias, actitudes e intenciones de los encuestados no permiten cambiar a la ligera la formulación de una pregunta por otra extensionalmente equivalente.

La comprobación de hipótesis estadística es otro concepto estadístico cuya comprensión no precisa conocer previamente el aparato técnico. Se hace una suposición, se diseña y se realiza un experimento para comprobarla, luego se hacen algunos cálculos para ver si los resultados del experimento son suficientemente probables atendiendo a la suposición. Si no lo son se descarta la suposición y, a veces, se acepta provisionalmente una hipótesis alternativa. Así pues, la estadística sirve más para descartar proposiciones que para confirmarlas.

Al aplicar este procedimiento se pueden cometer dos tipos de errores: el error del tipo I consiste en rechazar una hipótesis verdadera y el de tipo II se produce cuando se acepta una hipótesis falsa. Esta es una distinción útil en contextos menos cuantitativos. Por ejemplo, cuando se tratan de desembolsos de fondos gubernamentales, el estereotipo de liberal procura evitar los errores del tipo I (que quien lo merece no reciba lo que le toca), mientras que el estereotipo de conservador está más preocupado por evitar los errores del tipo II (que quien no lo merece reciba más de lo que le toca). Si se trata ahora de castigar los


delitos, el conservador de caricatura está más interesado en evitar los errores del tipo I (que el culpable no reciba su merecido), mientras que el liberal se apura en evitar los errores tipo II (que el inocente reciba un castigo inmerecido).

La FDA (Food and Drug Administration) debe evaluar las posibilidades relativas de caer en errores del tipo I (no dar visto bueno a un buen fármaco) o del tipo II (aceptar un mal fármaco). Los empresarios preocupados por el control de calidad han de contrapesar los errores del tipo I (rechazar una muestra con muy pocos artículos defectuosos). Y los errores del tipo II (dar por buena una muestra con demasiados artículos defectuosos). En estas situaciones y en otras parecidas, la lógica de la comprobación estadística nos será de mucho provecho, aun cuando no dé cifras concretas como resultado.

Más que la mayoría de las demás ramas de la matemática, la estadística es puro sentido común formalizado y pensamiento sencillo cuantificado. Las actitudes escépticas para con la estadística (como la de Benjamin Disraeli “Mentiras, malditas mentiras y estadística”, o mi favorita, “Verdades, verdades a medias y estadística”) están plenamente justificadas pero no deberían hacernos perder de vista que se trata de una materia imprescindible. Renunciar a usarla sería cometer un error del tipo I (o, si uno tiene los pies pequeños, un herror del tipo I).


7. Sistemas de Votación



¿Cómo toman las decisiones las sociedades democráticas? La respuesta es «votando», pero, ¿qué significa esto?, si, como suele ocurrir, hay más de dos opciones posibles. Como pasa a menudo un buen ejemplo ilustrativo vale más que páginas y páginas de explicación rigurosa, supongamos, a modo de ilustración, que hay cinco candidatos a la presidencia de una pequeña organización. Aunque todos los miembros de la organización ordenan a los cinco candidatos según sus preferencias, el ganador depende de manera crucial del sistema de votación empleado.Ahora hay que concretar los números. Supongamos pues que hay 55 electores y que ordenan a los candidatos según sus preferencias con el resultado siguiente:

18 electores ordenan a los candidatos así: A, D, E, C, B.12 electores ordenan a los candidatos así: B, E, D, C, A.10 electores ordenan a los candidatos así: C, B, E, D, A.9 electores ordenan a los candidatos así: D, C, E, B, A.4 electores ordenan a los candidatos así: E, B, D, C, A.2 electores ordenan a los candidatos así: E, C, D, B, A.

Los partidarios del candidato A quizás digan que habría que usar el método de pluralidad, por el que gana el candidato que recibe más votos en primer lugar. Con este método gana A fácilmente.Los partidarios de B quizá digan que debería hacerse una segunda vuelta entre los dos candidatos más votados. En la segunda vuelta B gana con facilidad a A (18 electores prefieren A a B, pero 37 prefieren B antes que A).Los seguidores del candidato C han de pensar un poco más para encontrar un método que le dé como vencedor. Sugerirán que eliminemos primero al candidato con menos primeros lugares (en este caso E) y que luego reajustemos los votos para el primer lugar de los que quedan (A tiene todavía 18, B tiene ahora 16, C tiene 12 y D sigue con 9). De los cuatro candidatos que quedan eliminamos el que tenga menos primeros lugares y reajustamos la lista de los candidatos restantes (C queda ahora con 21 votos para el primer lugar). Seguimos con este procedimiento de eliminar el candidato con menos votos de primer lugar. Con este método, C se proclama vencedor.Ahora el jefe de campaña del candidato D objeta que habría que prestar más atención a la preferencia media, y no sólo a los primeros. Y razona que si se dan 5 puntos a las primeras preferencias, 4 a las segundas, 3 a las terceras, 2 a las cuartas y 1 punto a las quintas, cada candidato tendrá una puntuación, el llamado escrutinio de Borda, que reflejará su popularidad. Como el escrutinio de Borda de D, 191 puntos, es mayor que el de cualquier otro, D gana con este método.


El candidato E es de un temperamento más viril y responde que sólo deberían tenerse en cuenta las luchas hombre a hombre (o mujer a hombre) y que enfrentado a cualquiera de los otros cuatro candidatos en contiendas de dos personas, siempre sale vencedor. Y sostiene por tanto que merece ser el vencedor global. (Alguien que, como E, gana a todos los demás candidatos de este modo se llama el vencedor de Condorcet. Pero a menudo las votaciones son tan embrolladas que no hay ningún vencedor de Condorcet.)¿Quién ha de ser declarado ganador y cuál es la ordenación de los cinco candidatos según las preferencias del grupo en su conjunto? Los electores podrían salir del impasse votando el método que van a utilizar, pero ¿qué sistema de votación emplearían para decidirlo? No es inverosímil que reapareciera el mismo problema en este nivel superior, pues quizá los electores votaran por el método que más favoreciera a su candidato preferido.(Esta tendencia natural a adaptar el enfoque de un problema a los propios intereses me recuerda el consejo del viejo abogado a su defendido: «Cuando la ley esté de su parte, golpee con la ley. Cuando los hechos estén de su parte, golpee con los hechos. Y cuando ni la ley ni los hechos estén de su parte, golpee la mesa». Debería señalar también que el problema de decidir quién vota es aún más espinoso que el de decidir el sistema de votación. En general, la gente quiere que la ley dé derecho al sufragio al máximo número posible de partidarios y que se lo niegue –o que al menos los desanime- al máximo número posible de adversarios. Ejemplos de esto último son la oposición al sufragio femenino y el apartheid, mientras que la vieja costumbre de rellenar la urna electoral ilustra el primer caso. Y no se limita a sucios fraudes en elecciones municipales, sino que con distintas variantes puede tentar incluso a las personas más altruistas, independientemente de su orientación política. Los antiabortistas contabilizan los «votos» de los no nacidos y, a menudo, los ecologistas van más allá y apelan al apoyo «electoral» de generaciones futuras no concebidas todavía.)Por lo que respecta a los sistemas de votación, la situación no es siempre tan confusa como sugiere el ejemplo anterior. Los números del ejemplo (debido a William F. Lucas por vía de los filósofos del siglo XVIII Jean-Charles de Borda y el marqués de Condorcet, así como de otros teóricos posteriores) fueron preparados para mostrar que el método de votación empleado puede determinar a veces el ganador. Pero aunque esas anomalías no se presenten siempre, cualquier método de votación está sujeto a ellas.De hecho, el economista matemático Kenneth J. Arrow ha demostrado que no hay un procedimiento infalible para determinar las preferencias de un grupo a partir de las preferencias individuales que garantice el cumplimiento simultáneo de estas cuatro condiciones mínimas: Si el grupo prefiere X a Y y prefiere Y a Z, entonces prefiere X a Z. Las preferencias (tanto individuales como colectivas) han de limitarse a las

alternativas disponibles. Si todos los individuos prefieren X a Y entonces también el grupo prefiere X

a Y. No hay ningún individuo cuyas preferencias determinen dictatorialmente las

preferencias del grupo.


Aunque todo sistema de votación tiene consecuencias indeseables y aspectos defectuosos, algunos sistemas son mejores que otros. Uno que quizá sea especialmente apropiado para unas primarias presidenciales, en las que se presentan varios candidatos, se llama votación de aprobación. En este sistema, cada elector puede votar por, o aprobar, tantos candidatos como quiera. El principio de «una persona, un voto» se sustituye por «un candidato, un voto» y se proclama vencedor el candidato que recibe la máxima aprobación. No se producirían así situaciones como la de dos candidatos liberales que dividen el voto liberal y permiten que gane un candidato conservador con sólo el 40% de los votos.El mandato moral de ser demócrata es formal y esquemático. La cuestión de fondo es cómo deberíamos ser demócratas y el enfocar esta cuestión con una actitud experimental abierta es perfectamente compatible con un firme compromiso con la democracia. A los políticos que, beneficiándose de un sistema electoral particular y limitado, se envuelven con el manto de la democracia, hay que recordarles de vez en cuando que este manto se puede presentar en varios estilos, todos ellos con remiendos.


8. Estadística: dos teoremas



En su libro Suicide, el sociólogo francés Emile Durkheim demostró que la incidencia del suicidio en una zona se puede predecir razonablemente sólo con base en los datos demográficos. Análogamente, la tasa de desempleo se puede estimar basándose en muestreos (y otros varios índices económicos). En realidad muchas predicciones sociológicas y económicas son independientes de las ideas y principios psicológicos y se basan en buena medida en razones probabilísticas. Aunque los sucesos concretos sean difícilmente pronosticables (quién se va a suicidar o quién se quedará sin empleo), los conjuntos grandes de sucesos son en general fáciles de describir de antemano. Muy en líneas generales, esto es lo que sugieren dos de los resultados teóricos más importantes de la teoría de la probabilidad y la estadística. (Véanse también las entradas sobre Media, Correlación y Probabilidad.)

Concretando un poco más, la ley de los grandes números dice que la diferencia entre la probabilidad de un cierto suceso y la frecuencia relativa con que se produce tiende necesariamente a cero. En el caso de una moneda no cargada, por ejemplo, la ley, descubierta por el matemático suizo Jakob Bernouilli en un trabajo póstumo que fue publicado en 1713, nos dice que se puede demostrar que la diferencia entre 1/2 y el cociente del número de caras entre el total de lanzamientos se hace arbitrariamente pequeña si aumentamos indefinidamente el número de éstos.

No hay que entender esto como que la diferencia entre los números totales de caras y de cruces irá disminuyendo cada vez más a medida que aumente el número de lanzamientos; normalmente ocurre precisamente todo lo contrario. Si se lanza una moneda 1,000 veces y otra 1,000,000 de veces, probablemente el cociente del número de caras entre el de lanzamientos sea más próximo a 1/2 en el segundo caso, a pesar de que la diferencia entre los números de caras y cruces sea también mayor. Las monedas no trucadas se comportan bien en el sentido relativo de los cocientes, pero no en sentido absoluto. Y, contra lo que suponen muchos sabios de salón, la ley de los grandes números no implica la falacia del jugador: que es más fácil que salga cara después de una tira ininterrumpida de cruces. No lo es.

Entre otras creencias justificadas por esta ley tenemos la confianza del experimentador en que la media de un conjunto de medidas de una cierta cantidad se aproximará más al valor real de ésta cuanto mayor sea el número de mediciones. También es la base de la observación razonable de que si se tira un dado N veces, la probabilidad de que la frecuencia con que aparece el 5 sea distinta de 1/6 disminuye al aumentar N. Al igual que el dado, nosotros,


considerados individualmente, tampoco somos predecibles, pero tomados colectivamente sí. La ley de los grandes números sirve de base teórica a la idea intuitiva de que la probabilidad es la guía del mundo. Las clasificaciones de Nielsen en televisión, las encuestas de Gallup, las tarifas de seguros y un sinfín de estudios sociológicos y económicos ponen de manifiesto una realidad probabilística más confusa que la de las monedas y los dados, pero no menos auténtica.

La otra ley que quiero esbozar aquí se llama teorema del límite central, y dice que la “media o la suma de una gran colección de medidas de una magnitud dada cualquiera es descrita por una distribución o curva normal en forma de campana (también llamada a veces curva gaussiana en honor del gran matemático del siglo XIX Karl Friedrich Gauss). Esto ocurre aunque la propia distribución de las medidas individuales no sea normal.Para ilustrar esto último, imaginemos una fábrica que produce disqueteras para ordenador, y supongamos que el director es un chapucero subversivo que garantiza que aproximadamente el 30% de las disqueteras se estropeen en tan solo 5 días y que el 70% restante tarden unos 100 meses en fallar. Está claro que la distribución de las vidas de estas disqueteras no obedece a una curva normal, sino a una curva en forma de U con dos picos, uno a los 5 días y otro mayor a los 100 meses.

Distribución en forma de U de las vidas medias de las disqueteras de una caja de 36 típica.

Distribución gaussiana normal de las vidas medias de las disqueteras de muchas de esas cajas


Supongamos ahora que las disqueteras salen de la línea de montaje en un orden aleatorio en cajas de 36. Si nos entretuviéramos en calcular la vida media de las disqueteras de una caja, encontraríamos que es de unos 70 meses, quizá 70.7. ¿Por qué? Si determinamos la vida media de las disqueteras de otra caja de 36, encontraremos de nuevo una vida media de aproximadamente 70 meses, quizá 68.9. De hecho, si examinamos muchas cajas, la media de las medias será muy próxima a 70, y lo que es más importante aún, la distribución de estas medias será aproximadamente normal (en forma de campana), con el porcentaje adecuado de cajas, con vidas medias entre 68 y 70, entre 70 y 72, etc.

El teorema del límite central dice que en una gran mayoría de casos esta situación es la que cabe esperar: que las medias y las sumas de cantidades que no tienen que estar normalmente distribuidas, siguen una distribución normal.

La distribución normal aparece también en el proceso de medida porque las medidas de una magnitud o una característica cualquiera tienden a tener una «curva de error», con forma de campana normal centrada en torno al verdadero valor de dicha magnitud. Otras cantidades que suelen tener una distribución normal podrían ser las alturas y los pesos para una edad específica, el consumo de gas natural de una ciudad en cualquier día dado de invierno, los grosores de piezas, los CI (independientemente de lo que puedan indicar), el número de ingresos en un gran hospital en un día determinado, las distancias de los dardos a la diana, los tamaños de las hojas, de las narices o el numero de pasas contenidas en una caja de cereales para el desayuno. Todas estas cantidades se pueden considerar como medias o sumas de muchos factores (genéticos, físicos o sociales) y, por tanto, su distribución normal se basa en el teorema del límite central. Repito, las medias o sumas de una cantidad tienden a estar normalmente distribuidas, aun cuando las cantidades que se promedian (o suman) no lo estén.


Lecturas en video

Nota: Los videos que a continuación se mencionan pueden consultarse en la sección de lecturas en video del disco compacto.

Necesidad de datos

¡Qué suerte!

¿Qué se puede esperar?

Un mesurado estilo de vida

Altas esperanzas

Encuesta aparte


Autoevaluaciones


6. Autoevaluaciones

Introducción

Ya sabemos de qué se trata la autoevaluación: Comprobar uno mismo su avance en la adquisición de conocimiento y habilidades. Y esto de la evaluación no podía faltar en este material.

La autoevaluación no es algo que desconozcamos. Cuando aprendimos a andar en bicicleta o en patines no fue necesario que alguien nos dijera que ya lo habíamos logrado. Cuando todavía nos caíamos y sufríamos uno que otro raspón, sabíamos dos cosas: una, todavía no lográbamos dominar el arte de andar sobre ruedas y, la segunda, para lograrlo debíamos seguir practicando.

Hay ocasiones en que nuestra autoevaluación es complaciente. Encontramos motivos para justificar nuestras deficiencias y en lugar de trabajar para superarlas, nos paralizamos con la justificación que damos.

También llega a ocurrir que en la escuela la autoevaluación queda casi olvidada. Tal vez el saber que periódicamente debemos ser evaluados por nuestros profesores nos lleva a olvidarnos de la evaluación propia. Pero si lo que aprendemos en la escuela nos va a ser útil para nuestras diversas actividades dentro y fuera de ella, la autoevaluación es necesaria, pues de otra forma siempre estaremos esperando hasta que alguien nos diga que ya somos competentes en algo para atrevernos a usarlo. Lamentablemente esto pasa con cierta frecuencia en matemáticas. Esperamos que el profesor nos diga no sólo que ya dominamos un tema sino además cuándo podemos usarlo. En este material te proporcionamos por cada unidad un cuestionario para que te sirva como autoevaluación. No es, desde luego, la única forma de autoevaluarte, tú mismo puedes diseñar otras. De este cuestionario se dan las respuestas para que las compares con las tuyas.

Unas observaciones finales sobre estos cuestionarios: No los desperdicies intentando trabajarlos antes de que hayas concluido el estudio de

una unidad. No resuelvas por partes cada cuestionario. Cuando decidas resolver uno de ellos es

porque dispones del tiempo y condiciones necesarias para resolverlo completo. No consultes la respuesta una por una, justo cuando acabas de resolver o responder lo

que se te pide, termina el cuestionario y luego compara los resultados. Trata de no ser complaciente cuando encuentras errores en tus respuestas. No basta que

digas que ya te diste cuenta de tus errores. Es necesario que sigas trabajando y confirmar al hacerlo o practicarlo que ya lograste adquirir los conocimientos o habilidades requeridas.


Además de una evaluación por cada unidad, incluimos una muestra de exámenes ordinarios y extraordinario de algunos CECyT para que tengas una idea del tipo de preguntas que suelen aparecer en el examen ordinario que representa el 60% de cada calificación ordinaria. El examen extraordinario representa la calificación del curso y sustituye el promedio de las calificaciones de los períodos ordinarios si es mayor que este promedio.


Autoevaluación de la Unidad 1

1. Escribe un ensayo breve sobre el papel que desempeña la estadística en tu vida. Incluye por lo menos un mapa conceptual.

2. ¿Cómo se distribuye el uso de las vocales en el idioma español? 3. Una escuela compra cada año 150 borradores. Los precios por pieza en tres años

sucesivos fueron, 24, 60 y 125 pesos. ¿Cuál es el precio promedio que ha pagado la escuela por borrador en este período? Otra escuela dispone de una partida fija de 3,000 pesos para la compra de borradores. ¿Cuál es el precio promedio que ha pagado la escuela por borrador en este período?

4. En números redondos, la población urbana de México fue de 11 millones en 1950, de 18 millones en 1960 y de 29 millones en 1970.

a. Estima la población urbana de México en 1952, 1957, 1963 y 1968.b. Si el crecimiento poblacional de 1960 a 1970 se hubiera mantenido, ¿cuál

sería la población actual?5. Escribe un ensayo breve sobre la pertinencia de usar la media, la mediana o la moda

como valores representativos de un conjunto de datos. Incluye por lo menos un mapa conceptual.

6.7. Escribe un ensayo breve sobre la pertinencia de usar la terna media, desviación

estándar, forma, versus los cinco valores (P0, Q1, Q2, Q3, P100) y sus respectivas representaciones gráficas para describir un conjunto de datos.



1. Escribe un ensayo breve sobre los tipos de Probabilidad. Incluye por lo menos un mapa conceptual.

2. Es común escuchar a comentaristas y jugadores de futbol decir que cuando se enfrentan dos equipos ambos tienen las mismas oportunidades de ganar. “La Copa Tolteca” es un torneo de reciente creación en la cual participan 12 equipos, cada uno de los cuales juega cinco partidos Supongamos que se juega un torneo corto en el cual cada equipo juega cinco partidos en los que no hay empates (es decir, siempre un equipo gana y otro pierde). Luego, los dos mejores, juegan la final. Supón que cada uno de los equipos participantes tiene la misma oportunidad de ganar o perder.

a) Imagínate que un equipo participa 100 veces en este torneo, haz una estimación de en cuantas ocasiones ganará 0, 1, 2, 3, 4 y 5 de esos partidos.b) Haz una simulación de esas 100 participaciones en el torneo y compara lo que obtienes con la estimación que hiciste.

3.



1. Escribe un ensayo breve sobre el azar en los juegos. Incluye por lo menos un mapa conceptual.



1. Escribe un ensayo breve sobre la variable aleatoria y la distribución. Incluye por lo menos un mapa conceptual.

2. El 0.4% de los focos que produce una fábrica tiene algún defecto. Calcula la probabilidad de que en una caja con 1000 focos, haya a lo sumo cinco defectuosos.

a. Responde primero la pregunta usando el modelo binomial.b. Verifica si es aplicable el modelo de Poisson; si es así, úsalo y compara

ambas respuestas.c. Construye las dos distribuciones (binomial y Poisson) para el mismo

experimento, formula dos preguntas y respóndelas3. Una empresa recibe en su conmutador general en las horas de trabajo más intenso, entre

las 11 y las 14, en promedio, cuatro llamadas por minuto. En el resto de la jornada laboral, de 9 a 11 y de 16 a 19, la empresa recibe, en promedio, dos llamadas por minuto. El conmutador puede recibir tres llamadas simultáneamente.

a. Calcula la probabilidad de que una llamada a la empresa entre 11 y 14 obtenga una señal de ocupado.

b. Calcula la probabilidad de que una llamada a la empresa entre las 9 y 11 obtenga una señal de ocupado.

c. ¿Cuántas llamadas debe ser capaz de recibir simultáneamente el conmutador, a cualquier hora, para que la probabilidad de obtener una señal de ocupado sea menor a 0.01?

4.



1. Escribe un ensayo breve sobre el Teorema del Límite Central. Incluye por lo menos un mapa conceptual.

2.


Bibliografía


7. Bibliografía

Los materiales que se utilizaron en la elaboración de este trabajo son:

Alarcón, J., Bonilla, E. Nava, R., Rojano, T. y Quintero, R., Libro para el maestro.

Matemáticas. SEP, 1994.

Alvarado, D., Las Creencias y Concepciones en un Ambiente de Resolución de

Problemas. Tesis de Maestría del Departamento de Matemática Educativa del

Cinvestav-IPN, 1998

Antón, J.L., González, F., González, C., Llorente, J., Montamarta, G., Rodríguez, J.A., y

Ruiz, M.J., Taller de Matemáticas. Narcea Ediciones y MEC de España. Madrid,

1994.

Batanero, C. Didáctica de la Estadística. Departamento de Didáctica de las Matemáticas,

Universidad de Granada, 2001.

Bednarz, N.; Kieran, C. y Lee, L. Approaches to Algebra. Perspectives for Research and

Teaching. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, The Netherlands, 1996.

Chevallard, Y.; Bosch, M y Gascón, J., Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre

la enseñanza y el aprendizaje. ICE-Horsori, 1997.

Coxford, A., Geometry from multiple perspectivas. NCTM, 1991.

De Prada, D., Martínez, I. Y Alcalde, J., El comentario de textos matemáticos. Editorial

Ágora, 1991.

Erickson, T. Data in Depth. Key Curriculum Press, 2000.

Ernest, P. The Problem-Solving Approach to Mathematics Teaching. Teaching

Mathematics and its Applications, Volume 7, No. 2, 1988.

Grupo Editorial Iberoamérica. Revista Educación Matemática

Johnson R. y Kuby, P., Estadística elemental. Lo esencial. Thomson Editores, 1999.

López de Medrano, S., Modelos matemáticos. ANUIES, 1972.


Kasner, E. & Newman, J., Matemáticas e imaginación. Biblioteca personal Jorge Luis

Borges. Hyspamérica, 1985.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), Revista Mathematics Teacher.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), Principles and Standards for

School Mathematics. (http://standards.nctm.org/ ), 2000.

Newman, J.R. Sigma: El mundo de las Matemáticas. Editorial Grijalbo, 1968.

Nickerson, R.S. & Zodhiates, P.P., Technology in Education: Looking toward 2020. New

Jersey: LEA., 1988.

Novak, J. y Gowin D., Aprendiendo a aprender. Martínez Roca, 1984.

Novak, J., Conocimiento y aprendizaje. Alianza Editorial, 1998.

Olivera, A. y Zúñiga, S. Serie de Probabilidad y Estadística (6 volúmenes). Editorial

LIMUSA, 1987.

Paulos, J., El hombre anumérico. Tusquets Editores, 1990.

Paulos, J., Más allá de los números. Tusquets Editores, 1993.

Perkins, D., Smart Schools. From Training Memories to Educating Minds. New York:

The Free Press. (Hay traducción al español de Gabriela Ventureira en Gedisa

Editorial, 1995, con el título de La escuela inteligente.), 1992.

Polya, G., Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas, 1965.

Rico, Luis, Complejidad del currículo de matemáticas como herramienta profesional

RELIME: Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa:

Num 1, CLAME, México: Thompson Editores, 1998.

Rojano, T. & Ursini, S., Álgebra con hojas electrónicas de cálculo. Grupo Editorial

Iberoamérica, 1997.

Ruiz, B., Curso rediseñado de matemáticas remediales. México: ITESM Campus Estado

de México. En la plataforma LearningSpace: RZSRZSH1/RZS/ITESM, LSPACE\

VA\curmod\cemma801\, 1999.

Selmes, I., La mejora de las habilidades de estudio. Paidós. 1992.


http://standards.nctm.org/

Seymour, D. & Shedd, M., Diferencias finitas. CECSA, 1981.

Steen, L., On the shoulders of giants. The National Academy of Sciences, 1990.

Stenmark, Jean K., La evaluación de las matemáticas. Mitos, modelos, buenas preguntas

y sugerencias prácticas. NCTM, Reston, VA, 1992. (Selección y traducción del

Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu).

Suárez, L., El trabajo en equipo y la elaboración de reportes en un ambiente de

resolución de problemas. Tesis de Maestría del Departamento de Matemática

Educativa del Cinvestav-IPN, 2000.

Sullivan, Michael. Precálculo. Prentice-Hall, 1997.

Szymborska, Wislawa. Poesía no completa. FCE, 2002.

Torres, J., La Metodología de Estudio en un Ambiente de Resolución de Problemas. Tesis

de Maestría del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, 1997.


Documents

Libro Est M6-2005