libro matematica.docx

8/17/2019 libro matematica.docx

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Universidadnacional del

Economíamatemátic

a IFacultad de ingeniería económicaU.N.A.P.

Autor: Fernandez chino guido

Ing. freddy carrasco


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DEDICATORIA: ESTE LIBRO DEDICO AMIS PADRESPOR SU ESFUERZO INDESMAYABLE POR TODO EL

APOYO QUE ME DAN PARA SALIR ADELANTE TAMBIENDEDICO AL DOCENTE DEL CURSO POR GRANESFUERZO PARA EL APRENDISAJE DE LA JUVENTUDESTUDIANTIL GRACIAS


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Representación grafica

Recta real

Recta real

Operación con números reales

Adici ! "ea# a$ %$ R # a +¿ %

Suma

S&"tracci ! "ea# a, %$ ∈ R : a +(− b )→ inversoaditivode b

Pr'd&ct' "ea# a$ %$ ∈ R : a × b

Multiplicación

Di(i"i ! "ea# a$ %$

∈ R: a × (1b)→inverso multiplicativode b


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Propiedades de operaciones Sea# a$ %$ ∈ R :

Suma:

I) a"'ciati(a# (a

+b

)+c=

a+(

b+

c)

II) c'!*&tati(a# a +b= b+a

III) *&lti+licati(a# a +0= a

IV) i!(er"' aditi('# a +(− a )≠ 0

multiplicación:

I) a"'ciati(a# a . b (c )= (a )b . c

II) c'!*&tati(a# a . b = b . a

III) i!(er"' *&lti+licati('# a .1a

= 1

IV) *'d&lati('# a .1= a

a) a (b+c)= a . b +a . c

Propiedades de los números reales

Sea: a, b, c, ∈ R

igualdad:

a +c= b+c a . b= b . c

a ¿b a = b

propiedad cero #• a (0)= 0

• a . b= 0

• ∀ a= 0∨ b= o

Propiedades de los números negativos:• (− 1) (a )=− a

• −(a .b )=− a (b)=− b (a )

• (− a ) (− b )= a . b


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Propiedad de los cocientes:

•

ab

= cd

→ ad = bc

•

a

b× d

d= a

b

•

ab

+ cb

= a +cb

•

ab

+ cd

= a . d +b . cbd

•

b¿

− ab

= a− b =− a¿

•

ab

× cd

= acbd

Propiedad de signos:+¿¿

−¿¿¿

−¿¿

+¿¿¿

+¿¿

+¿¿¿

−¿¿

−¿¿¿

Propiedad de las desigualdades:• a>b

• aa

• a= b


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Propiedad de valor absoluto:

as i a≥ 0

|a|

asia


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Expresiones Algebraicas

Exponente

5 x2 Variable o baseCoeficiente

Operaciones con expresiones algebraicas

Suma: 7 y4+5 y4+3 z= 12 y4+3 z

Condici n: buscar t!rminos seme"antes

#ultiplicaci n:

4 x(¿¿2)(3 y5)= 12 x2 y5

¿

(4 x2) (3 x5)= 12 x7 N' .a/ c'!dici !

Potencias y Radicales

Potenciación:

a n= a.a.a.a……………a.setiene“n”veces“a”

a ∧ n∈ R , n∈ Z

$ropiedades:

a2= a ×a (ab )n= a n . bn

(ab)n

= an

b n

a−n= 1a n

(a n)m= a n .m


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an . a m= a n +m

a n

am= a n− m

anm = m√ a n

Radica les : tiene la forman√ a $ropiedades:

a . b = ¿ n√ a + n√ bn√ ¿

m√ab =m√ am√ b

m√ a n % amn

E"emplo: &

2 r 3

s ( sr 3)3

%

2 r 3

s (s3

r 9) % 2 r− 6 s2= 2 s2

r 6

E"emplo: '

(2 x23

412 )(2 x

−56

y13 )

2

= 2 x23

y12

× 2 x− 53

y23

%

4 x23

+− 53

y

1

2+23

= 4 x− 33

y− 7

6 %

4 x− 1

y76

3

√515 × 5

35= 3√5

15 × 3√5

35 % 5

1

53 × 5

3

53 % 5

115 × 5

15= 5

415

$olinomio:

a n xn

+¿ a n− 1 xn−1+a n− 2 xn− 2+………+a 0

• 5 x5 y3⟹ monomio

• x2

y+ x3

y4

⟹

binomio


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• xy+ x2 y3+5 x3 y4⟹ trinomio

Operaciones:

Suma: 4 x4+3 x5− 3 x4+7 x5

⟹ x4

+10 x5

$roducto: (4 x2 +3 x2)2 x= 8 x3+6 x4

i ( i s i n de po l inomios :

&) i(isi n exacto:dividendo

divisor = cociente

') i(isi n inexacta:dividendo

divisor = cociente +residuodivisor

Rac iona l i*ac i n

Casos de racionali*aci n:

&) N n√ a m

⟹ r= n√ a n− m⟹ racionalizacionsimple

') N

√ a ! √ b⟹ r= √ a! √ b⟹ racionalizacioncompuesta

+) N

3√ a ! 3√ b⟹ r= 3√ a 2 ! 2√ a .b +3√ b2⟹ racionalizacioncompuesta

N N " irracional

× rr= N r

N " racional

E"emplo:

a)2√ 2

= 2√ 2×

√ 2√ 2

= 2√ 2

(√ 2)2= 2

√ 22 % √ 2

b)7

√ 2 x= 7√ 2 x

× √ 2 x√ 2 x

= 7 √ 2 x(√ 2 x)2

= 7 √ 2 x2 x


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c)1

3√ 3= 1√ 2 x

×3√ 323√ 32

=3√ 93√ 3 3

=3√ 93

d)2

3 √ 2= 2

3 √ 2×

√ 2√ 2

= 2√ 2

3 (√ 2)2= 2

√ 26

=√ 23

e 2

3 5√ 4= 2

3 5√ 4×

5√ 445√ 44

= 25√ 4 4

35√ 4 4

= 25√ 44

3.4 = 2

5√ 25 . 2312

= 45√ 8

12 =

5√ 83

$roduc tos no tab les

&) inomio al cuadrado:(a +b )2= a 2+2 ab +b2

(a − b)2= a 2− 2 ab +b 2

') iferencia de cuadrados:(a +b ) (a− b )= a 2− b2

+) Identidad de legendre:(a +b )2+(a− b)2= 2 (a 2 +b 2)

(a +b )2− (a − b)2= 4 ab

-) Trinomio al cuadrado:(a +b +c )2= a 2 +b 2+c 2+2 ab +2bc +2 ac

(ab +bc +ac )2= a 2 b2+b2 c 2+c2 a 2+abc (a +b+c )

.) inomio al cubo:(a +b )3= a 3+3 a 2 b+3 a b 2 +b3

(a − b)3= a 3− 3 a 2 b+3 a b 2− b 3

/) Suma 0 diferencia de cubos:

a3

+b3

= (a +b) (a2

− ab +b2

)a 3− b3= (a− b ) (a 2+ab +b 2)

1) (a2+b 2)( x2 + y2)= (ax+by )2+(ay − bx )2

(a +b )4= a 4+4 a 3 b+6 a 2 b2+4 a b 3 +b 4

2actor i*aci n 2actor com3n general:

2 x+4 x2= 2 x (1+2 x)


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25 x7− 10 x5+15 x3− 5 x2= 5 x2 (5 x5− 2 x3 +3 x− 1) 2actor com3n por agrupaci n:

ax +bx +ax +by= x(a +b )+ y(a +b)= (a +b) ( x+ y)

2 x2

− 3 xy− 4 x+6 y= 2 x2

− 4 x− 3 xy+6 y= ¿2 x ( x− 2)− 3 y ( x− 2 )= ( x− 2 ) (2 x− 3 y)

E"emplos:

• a2 n− 9 b4 m= (a n− 3 b2 m) (a n+3 b2 m)

• 1

16− 4 x

2

49 =(14 − 2 x7 )(14 + 2 x7 )

• &/ x2− 25 y4= (4 x− 5 y2) (4 x+5 y2)

• 8 x3+125 = (2 x)3+(5)3= (2 x+5) ((2 x)2− (2 x) (5 )+(5)2)= (2 x+5) (4 x2− 10 x+25 )

2actori*aci n:+

+¿¿

−¿¿

d'" !0*er'" *&lti+licad'" e!

−¿¿

+¿¿

1c2 / re"tad'" e! 1%2

x2 !bx!c = ¿

+¿¿

+¿¿

d'" !0*er'" *&lti+licad'" e!

1c2 / "&*ad'" e! 1%2


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ax 2 !bx!c

x2+2 x− 15 = ( x+5 ) ( x− 3 )

x2

+5 x+6= ( x+2 ) ( x+3)

2 x2+10 x+12 = 2 ( x+3) ( x+2)

6 x2− 7 x− 3= (3 x+1) (2 x− 3 )

2racc iones a lgebra icas1 x

, 1 x+ y ,

x+ y x2+ y2

y2− 25 y3− 125 =

y2− 52

y3− 53 = ( y− 5 ) ( y+5)

( y− 5) ( y2+5 y+5 2)= y+5

y2+5 y+52

Compuesta

2

x

+3 x+1

x2 −

( x− 2)

x3 =

2 x2 +3 x2+ x− ( x− 2)

x3 =

5 x2 +2

x3

x x+2 ×

x+3 x− 5 =

x2+3 x x2+2 x− 10

= x( x+3)( x+2) ( x− 5)

x2− 4 x+4 x2+2 x− 3

× 6 x2− 6

x2+3 x− 8= 6 ( x+1) ( x− 2 )( x+4 ) ( x+3)


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( x− 2) ( x− 2)6 [ ( x+1 ) ( x− 1) ]( x+3) ( x− 1) ( x+4 ) ( x− 2)

= 6 ( x− 2) ( x− 1)( x+3) ( x+4 )

ab

# cd

= adcd

=abcd

x x+2 #

x+3 x− 5

= x x+2 ×

x− 5 x+3

= x2− 5

( x+2) ( x+3 )

x2− 1− ¿¿(2 x2+8 x)

¿4 x

x2− 12 x2+8 x

x− 1

= (4 x) ( x− 1 )¿

2 x2+6 x− 88− 4 x− 4 x2

= 4− x2 ( x+2 )

p2− 5 p− 2 −

3 p+2 p− 2 =

p2+3 p− 3 p− 2

4$− 1 +3=

3 $− 1$− 1

2racciones compuestas

&4 N n√ a n

= r= n√ a n −m

' 4 N

√ a ! √ b = r= √ a! √ b


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+4 N

3√ a ! 3√ b= r= 3√ a 2 ! 3√ ab ! 3√ b 2

N irracional

× rr= N r

irracional

3− √ 21+√ 2

= 3−√ 2

1+√ 2× 1−

√ 21− √ 2

= (3− √ 2) (1− √ 2)− 1 = (√ 2− 3 )(− √ 2+1)= (√ 2− 3 )(1− √ 2)

√ 7+5√ 7− √ 5 = √ 7+5√ 7− √ 5

× √ 7+√ 5√ 7+√ 5 = (√ 7+5) (√ 7+√ 5 )7− 5 = √ 7 (5+√ 5)2

13√ x+3√ y

= 13√ x+3√ y×

(( 3√ x)2− 3√ xy+( 3√ y)2)( 3√ x)2− 3√ xy+( 3√ y)2

=3√ x

2− 3√ xy+3√ y2

x+ y

x2

3√ x− 1 = x[(2 3√ x)2+2 3√ x+1]

8 x− 1

a 3 +b 3= (a +b) (a 2− ab +b2)

a 3 − b3= (a− b ) (a 2+ab +b 2)

EcuacionesE3+re"a 4&e d'" ca!tidade" "'! i5&ale"#

1. cuaciones lineales:

ax +b= 0 % x= − ba

% a y b son constantesa ≠ 0

• 5 x+2= 0⟺ x=− 25


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• 5 x− 6= 3 x⟹ x= 3

• 2 ( p+4 )= 7 p+2⟹ p=65

•

7 x+32

− 9 x− 84

= 6

•

(28 x+12 )− (18 x− 16 )8

= 6

• 10 x+28 = 48

5allar: 6x7

x= 3 xa− 3 ya z

+27

x= 3 a ( x− y)+27 z z

z( x− 27 )= 3 a ( x− y)

zx− 27 z= 3 ax − 3 ay zx− 3 ax = 27 z− 3 ay

x( z− 3 a )= 27 z− 3 ay

x= 27 z− 3 ay z− 3 a

E,e*+l'" de ec&aci'!e" li!eale" re"&elta"

• Resolver y verificar las siguientes ecuaciones de primer grado

6)7 89 : ;3 < =3 : =


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8 )7 ;3>8?

@)7 =3 ?< 3>8

)7 3 > > 3 > 6 < 68 3>8

?)7

• Soluciones

1.!89 : ;3 < =3 : =

7=3 : ;3 < 789 7=

: 6@ 3 < 78=

3 < 78= 76@

" # $

$.!

;3>8 < 693>?

;37693 < ?7 8

7@ 3 < @

3 < @ 7@

" # !1

@)7

=3 ? < 3>8


17/104

=3 3 < ?>8

78 3 < ;

" # % & '$

(.!

3 > > 3 > 6 < 68 3>8

3 > > 3 > 6 < 68 3> 8

3 > 3 : 68 3 < 7 76 > 8

6@ 3 : 68 3 < 788 > 8

"# $

?)7

!


18/104

"

#


19/104

$


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%&

•

&esly tieneun recibo por la cantidad R , latazadelimpuesto sobre lasrentas es ' ,

lesly deseasaber la cantidad$ue ue pa(ado por impuesto sobre larenta.

R= precio +impuestos ⟹ impuesto = R− precio

R= ) +'

R= p+ ' 100

p

R= ) (1+ ' 100 )

R

1+ ' 100

= ) ⟹ R1000 +'

100

= ) ⟹ 100 R100 +' = )

R= ) +' ⟹ ' = R− )

' = R− 100 R100 +'

⟹ ' = R(1− 100100 +' )


21/104

' = R(100 +' − 100100 +' )⟹ ' = R( ' 100 + ' )

&4 Ecuaciones fraccionarios:

3 x+4 x+2 −

3 x− 5 x− 4 =

12 x2− 2 x− 8

)iterales :

5allar: “u ”

s= uau +v

⟹ s (au +v)= u

sau +sv= u⟹ sau − u= sv

u (sa − 1 )= − svsa − 1

u= − sv1− sa

Radicales :

√ y− 3− √ y=− 3

√ y− 3= √ y− 3⟹ (√ y− 3)2= (√ y− 3 )2

y− 3= y− 6 √ y+9⟹ 6 √ y= 12

√ y= 126

⟹ √ y= 2⟹ y= 22

y <

'4 cuaciones cuadraticas :

cuaciones de Segundo grado :


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a x 2+bx+c= 0 %a ,b ,c ,constantes a≠ o

Para e!te!der la "'l&ci'!#a* +actori ación:b* +ormula cuadraticas:

y= − b!√ b2− 4 ac2a

-omprovando formulaa x 2+bx+c= 0

x2+ bxa

+ ca

= 0

x2+bxa

=− ca

x2+bxa

+( b2 a)2

= − ca

+( b2 a )2

( x+ b

2 a )2

= − ca

+ b2

4 a2

( x+ b2 a )2

= − 4 a2 c +b2

4 a 2

x+ b2 a % √− 4 a 2 c+b24 a 2

x= − b2 a

+√ b2− 4 ac

2 a

x= − b! √ b2− 4 ac

2 a

&) Ecuaciones lineales:

ax +b= 0

') Ecuaciones de segundo grado:

ax 2+bx+c= 0


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• actorizacion

• ormula cuadratica

+) Ecuaci n de (alor absoluto:

as ia≥ 0

2+3| x− 4|= 11,|a|

8 as ia


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7− x= x2 − 10 x+25

x2− 9 x+18= 0

x− 6= 0 x− 3= 0 x= 6 y x= 3

• y32= 5 y

2√ y3= 5 y

y3= 25 y2

y3

y2 = 25⟹

y= 25

E"ercicios resueltos

E"ercicios n9 &

* = p × $ − (+ ++- )

* = ' − +'

E"ercicios n9 '

1000 reces ⟶150 cu

= 150000

150 x

# 10025

= 37,5 × 400 = 15000

15000 +600 ( x− 150 )= 45000

15000 +600 x− 90000 = 45000

600 x= 120000 x= 200 ⟹ venderaa / 200 paralo(rar una (anancia del 10

E"ercicio n9 +

70000 %x= bonosdel (obierno


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70000 − x= bonos0ipotecacion

6100

( x)+ 8.5100

(70000 − x)= 5000

6 x100 +5950 −

8.5 x100 = 5000

6 x− 8.5 x100

= 5000 − 5950

x= − 950 (100 )− 2.5 ⟹ x= 38000

;a se +? en bonos delgobierno 0

>+' en bonos @ipotecarios4

E"ercicios n9 - 1erez10000 2 = brandy

(1000 − x)= vinoblanco

35 x100

+10 (10000 − x)= 15 (10000 )100

35 x

100+1000 − x

10= 15000

x= 2000

' litros de brand0, ? litros de (ino blancoE"ercicios n9 .

& B

x +2000 ?B

8 ( x+2000 )100

+10 ( x)100

= 700

x= 3000

I!(ierte @999 al 69H$ i!(ierte ?999 al H

E"ercicios n9 /


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6?999 ( 8100 )+22000 ( 9100 )+12000 ( x100 )= 45001200 +1980 +120 x= 4500

120 x= 1320

x= 11 ⟹ L'" 69999 re"ta!te" de%er i!(ertirl'" a &!a ta"adel 66H a!&al

E"ercicios n9 1

8 (2 x)100 +

5 x100 = 840

16 x100

+ 5 x100

= 840

21 x= 84000

x= 4000 ⟹ invierte / 4000 al 5 % invierte /8000 al 8 .

E"ercicios n9 ?

x= precioori(inal

x− 20 x100

= 2 → preciode li$uidacion

100 x− 20 x= 200

80 x= 200

x= 52

Aplicaci n de ecuaciones cuadraticas:

&) * = ' − +'

+- = 80000


27/104

) = 10

60000 = 10 $− (6 $ +80000 )

60000 = 10 $− 6 $− 80000

60000 = 4 $− 80000140000 = 4 $

4 $= 140000

$= 35000

Deben (enderse +. articulos para obtener una utilidadde /

') * = ' − +'

' = +' +*

) − 0,2 ) = 33 +(3 , 15 ) (33 )

0,8 ) = 37,95

) = 37,953 , 8

) = 47,43

+) (180 +5 n)= renta por apartamento

(60− n)= apartamento rentados

11475 = (180 +5 n) (60− n )

n1= 9

n2= 15

$odr a rentar .& apartamento a un precio de >''. B opodr a rentar -.Apartamento a un precio de >'.. B

-) p= 2− x

r = xp= x (2− x)

c= 0,25 +0,5 x

* = 0,25 millones

* = ' − +'

0,25 = x (2− x)− (0,25 +0,5 x)


28/104

0,25 = 2 x− x2− 0,25 − 0,5 x

0,25 =− x2+1,5 x− 0,25

0= x2− 1,5 x+0,5

x− 0,5

x− 1

x= 0,5 p= 2+0,5 = 2,5 vende 0,5 millones

x= 1 p= 2− 1= 1 vendeunmillon

Axiomas o orden∀ a , b , c , ∈ R

Orden de tricotom a:

I4 ab∨ a= b

a = b ∨ a b

II4 Si a


29/104

I4 Si a >0⟹ a−1 >0

II4 Si a 0 o a x 2+bx +c


30/104

a x 2+bx+c= 0

De acuerdo a la naturale*a de sus ra ces, se presentan +casos

&) Sia x 2+bx+c= 0 %tiene2 raices di erentesr

10%cona>0

Sol: x∈ %(− 2 , r 1)∪ (r 2 , 2 )

II4 Si: a x2+bx+c0

') Si: a x2+bx+c= 0, tieneuna raiz

&) Si: a x2+bx+c>0, con a >0

Sol: todos los (alores4 x%∈,(− 2 , r )∪ (r , 2 ), x ≠ r

') Si: a x2+bx+c0

Sol: ∅ noveri ica

+) Si a x2+bx+c= 0, tiene 2raices noreales

I4 Si a x2+bx+c>0, con a >0

Sol: todos los (alores realesII4 Si a x

2+bx+c


31/104

a x 2+bx+c>0, a >0

Ra ces diferentesr 10 mediante la propiedad de los n3meros

reales

a , b >0⟺ (a >0∧b>0 )∨ (a 0⇒ ( x+2>0∧2 x− 5>0 )∨ ( x+2 52)∨( x


32/104

') Fsando propiedad de numero realesa 20⟺ − √ b


33/104

Se resuel(e de acuerdo a la naturale*a de sus ra ces

p( x)= 0 , a n>0

(radon ⟹ nraices

&9 caso: cuando las ra ces de p( x)= 0 , son reales 0

diferentesr 10

') 2 x3− 3 x2− 11 x+6


34/104

6 C&a!d' el 'rde! de la *&lti+licidad de la" ra ce" de p x= 0 e" +ar ⟹ la ra K !' "e le c'!"idera +ara la deter*i!aci ! de l'" i!ter(al'" /

+ara la "'l&ci'! e" i5&al al 6 ca"'

8 C&a!d' el 'rde! de la *&lti+licidad de la ra ce" de p

x= 0

e" i*+ar⟹ la ra K "i "e le c'!"idera +ara la deter*i!aci ! i!ter(al'" / +ara la

"'l&ci'! e" i5&al 4&e el 6 ca"'

5allar::

( x− 1)2( x+2) ( x+4 )>0

r 1=− 4 , r 2=− 2, r 3= 1

Sol: x ∈%(− 6 , 6 − 4 )∪ (− 2. 6 )

5alla:

(2 x+1) (3 x− 2)3(2 x− 5)


35/104

( x2− 7) ( x2+16 ) ( x2− 16 ) ( x2 +1)0 o

p x7 x 0 ) x7 x

0 ≅ ) ( x)7 ( x)0

Si ) x7 x

>0⟹ ) x72 x

7 x>0>⟹ ) x7 x>0


36/104

Si ) x7 x


37/104

Si a x( x

Inecuaciones irracionales

Tiene la forma: ( x ,√ p2( x),3√ p3 ( x), … … ,

n√ pn ( x))>0

( x√ p2( x),3√ p3 ( x), … … . ,

n√ pn ( x))0

II4 √ p x= 0

$ara resol(er tenemos en cuenta las siguientes

propiedades

&) 0 4 x 4 y ⟺ 0 4 √ x 4√ y

') 0< x< y⟺ 0


38/104

a4 ∀ p x≥ 0,n√ p x≥ 0 p x≥ 0

b4n√ pn= 0 p x= 0

c4n√ pn 4 n√ 7 x 04 p x4 7 x

II) si n es entero positi(o impar:

a4n√ p x≥ 0 p x≥ 0

b4n√ p x7 x

b) √ p x≥ 7 x

') a) √ p x0

b) √ p x+√ 7 x≥ 0

Inecuaciones con (alor absolutodefinici n:

x, si x≥ 0

| x|


39/104

Gx, si x0

I4 |a|o , a ≠ 1

∄log− a x ,∄ log a − x

&) log 2 4= 2


40/104

') log 2 1= 0

+)log 1

2

0.25 = y

(12)

y

= 0.25 ⇒ y= 2

-) log √ 5 125 = y

(√ 5) y= 125 ⇒ 5 y2 = 53

y= 6

'9lugar propiedadesa4 log a xy= log a x+log a y

b4 log a x y

= log a x− log a y

c4 log a xn= n log a x

d4 log a (n√ x)= 1

n log a x

e4 Cambios de base:

x= ¿ log b xlog b a

log a ¿

a >csib >0

log a b>log b c⟺

a c⟺

a


41/104

RE;ACIODES 2FDCIODES

a) $ar ordenado:

(a %b)

⟹ a= 1 "+oe iciente

⟹ b= 2 " +oe iciente

⟹ (a ,b )= )ar 3rdenado

E"emplo:

( J+ .) JG' 1) Jetc)

b) Igualdad de para ordenados :

(a %b)= (c ,d )⇔ a= c ∧b= d

(a %b)≠ (c %d)⇔ a≠ c yo

b ≠ d

( 5allar el (alor de x , 0

(

(5 x− 2 y %− 4 ) (− 1 %2 x− y )

5 x− 2 y=− 1⇔ x=− 1

2 x− y=− 4 ⇔ y= 2


42/104

c) $roducto Cartesiano :

( Sea dos con"untos A 0

• Pr'd&ct' carte"ia!' e" el c'!,&!t' -'r*ad' +'r t'd'" l'" +are"'rde!ad'"

(a %b)

a ∈ ;

b∈ <

( ; × < = {(a %b)/a∈ ; ∧ b∈< }

( ; = {1 %3 %5}

( < = {2 %4 }

Respuesta:

( {(1 %2 )%(1 %4 )%(3 %2)%(3 %4 )%(5 %2)%(5 %4) }

$roducto Cartesiano Infinito

( n ( ; × < )= n ( ; )× n (< )

( n JA) % elementos del con"unto A

( n J ) % elementos del con"unto ( n JA ) % J+) J') % /

; ×


43/104

+) ; × ∅= ∅× ; = ∅

-) ; × (


44/104

( ; = {2%4}

( < = {1 %3 %5 }

( ; × < = {(2 %1 )%(1%3)%(2 %5 )%(4 %1 )%(4 %3)%(4 %5 ) }

R1= {(2 %1)%(2 %5 ) }=i

R2= {(2 %3)%(4 %1)%(4 %5 ) }=i

R3= {(2 %1)%(4 %3)%(2 %3) }=i

R4 = {(1 %2 )%(4 %1)%(4 %5) } No

R5= {(2 %1)%(4 %1)%(3 %4 ) } No

Dominio 0 Rango de Relaciones inarias:

• Sea la relaci n R en A de A en es decir R ⊂ ; × <

• El dominio de la relaci n R esta definido por :

> R= {a ∈ ; /∃ b∈ < ∧ (a %b)∈ R}

• El rango de la relaci n R esta definido por :

R R= {b∈ < /∃ a ∈ ; ∧ (a% b)∈ R}

E"emplo:

( R= {(2%1)%(2%3 )%(2 %1)%(4 %1)%(4 %3)%(1 %5 ) }


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> R= {2 %4 }

R R= {1 %3 %5 }

ELERCICIOS $RO$FESTOS

&) Determinar los (alores de x e 0

(4 %2 x− 10 )= (( x− 1)% y+2)

4= x− 1∧ 2 x− 10 = y+2

5= x∧2 (5)− 10 = y+2

10− 10 = y+2

y= 2

') Dado los con"untos:

( ; = { x∈ Z /− 1 4 x 4 3 }

(


46/104

b) < × + ={(1%1) (1%2 ) (1 %3) (1 %4 ) (2 %1) (2%2) (2%3 ) (2 %4 )(3 %1) (3%2) (3 %3 ) (3%4) (4 %1) (4 %2) (4 %3) (4 %4 )}

2F CIO ES

•

Re5la de a"i5!aci ! d'!de a cada ele*e!t' del c'!,&!t' de +artida lec'rre"+'!de &! ele*e!t' del c'!,&!t' de lle5ada)

( x)= x2⟺ Re(la ∧ ( x)= x+2⟺ Re(la


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-ariabledependiente ⟹ > = ( p)⟸ -ariableindependiente

2F CIO :

( x)= x2

⟹ x= +on1untode elementos $ue pertenecenaldominio

⟹ ( x)= +on1unto deelementos $ue pertenecenal ran(o

⟹ x2= Re(la deasi(nacion

E"emplo:

• (a)= √ 5 x− 2

(a)= √ 5 a − 2

(1a )= √5a − 2

1 (a )

= 1√ 5 a − 2

√ (4)= 4√ 18

• ( x)= 3 x+25

( S&+'!5a 4&e "e .a c'!tratad' &! (e!ded'r / "& "alari' de+e!der dela" &!idade" (e!dida"$ d'!de 3 < 699 &!idade" C& !t' e" "& "alari'

Ree*+laKa*'"#

( x)= 3 (100 )+25


48/104

( x)= 325

( Si el (e!ded'r l'5ra (e!der la" 699 &!idade" te!dr &! "alari' de @8?)

#ETODO $ARA 5A;;AR E; DO#I IO DE ;A 2F CIO

&) Analitico:2√ ⟹ ?l dominio esta restrin(ido ya $ue dentro de la

base delaraiz , setienennumeros≥ 0

racciones ;l(ebraicas ⟹ ?xcluir del dominio a$uellosvalores

$ue0acen aldenominador i(uala cero

> = R⟹ 'odos losreales

ELERCICIOS $RO$FESTOS

&) 5allar el dominio:

¿− 72

%6¿

( x)= √ 2 x+7⟹ >om = ¿

− {2}34

% 6¿

( x)=√ 4 x− 3

x2

− 4⟹ >om = ¿

( x)= x+1 x− 3

⟹ >om = R− {3}

( x)= x+1

x3− 4 x⟹ >om = R− {− 2 %2 %0}

( x)= x

√ x− 1⟹ >om = (1%6)


49/104

2F CIO ES

• Definici n:

2 con1untos ; y <

( Relaci n binaria f de A en :

⊂ ; × <

(a %b)∈ ∧ (a %c)∈ ⟹ b= c

( S'! +are" 'rde!ad'" di"ti!t'" !' +&ede! te!er el *i"*' +ri*erc'*+'!e!te#

&) : ; ⟶


50/104

• B e" la i*a5e! de A e! F

• B e" el (al'r de la -&!ci ! e! el +&!t' A

• Y e" la i*a5e! de e! F

• Y e" la -&!ci ! de

NOTA#

( De la de-i!ici ! A 1T'da -&!ci ! e" &!a relaci ! $ +er' t'da relaci ! !'e" &!a -&!ci'!2

R= {(1 %2 ) (2%3 ) (3 %4 ) (2 %5 ) }⟹ Noes uncion

(2%3 ) (2 :5 )⟺ ?stos dos elementos contradicen lade inicion .

( es una uncion⟺ cuan$uier recta perpendicular al e1e x corta la (ra icaenunsolo punto :

@ (0)∧ &= {*n punto }

y= ( x)⟹ Re(la de correspondencia

⟹ Re(la de asi(nacion


51/104

=i es uncion Noes uncion

+ortaenunsolo punto+ortaendos puntos

2F CIO ES ES$ECIA;ES

&) 2uncion Constante: ={( x % y)∈ R/ y= a%constates}

> = R

R = a


52/104

') 2uncion Identidad:

( x)= y

={( x % y)∈

R/ y= x} > = R

R = R

+) 2uncion ;ineal

a % b % son constantes

a ≠ 0

={( x % y)∈ R/ y= ax +b }

> = R

R = R


53/104

-) 2uncion Cuadrada:

= {( x % y)∈ R/ y= √ x}

> = R

¿0 %6¿ R = ¿

.) 2uncion Valor Absoluto:

( x)=| x|⟹ x %=i x ≥0

⟹ − x %=i x = R


54/104

¿0 %6¿ R = ¿

/) 2uncion

Cuadratica:

( x)= ax2+bx+c

1) 2uncion $ar:


55/104

?) 2uncion Impar:

TRA S2OR#ACIO ES:

( Sea ( x) una funcion de (ariable real c∈ R cortante4

&) ( x)+c : >esplazamiento 0aciaarribaen c unidades.

( x)− c : >esplazamiento 0acia aba1oen c unidades


56/104

') ( x+c): >esplazamiento 0aciala iz$uierda.

( x− c ): >es plazamiento 0acia laderec0a

+) + ( A ): c >1% ;lar(amiento vertical en actor c ( x)= 2 × 2

0


57/104

b) 0( x)= x2− 2

c) y= x3− 9 x


58/104

d) ( (0 )= ( x+4 )2


59/104

e) 0( x)= ( x− 2 )2

f) y=− 2 ( x+5 )2 − 3


60/104

g) y= 1− 2( x− 3 )2


61/104

@) ( x)= 2 √ x+3


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RECTAS $ARA;E;AS $ER$E DICF;ARES

( Sea! &1 y &2 d'" recta" c'! +e!die!te" m1 y m2 re"+ecti(a*e!te)

E"emplo:&) Encontrar la ecuaci n de la recta Hue pasa por un punto

$J. G+) 0 Hue es:

Paralela a la recta # =3 > @/ <

Per+e!dic&lar a la l !ea recta # =3 > @/ <

Solucion:

a) 3 y= 4− 6 x

3 y= 4− 6 x

y= 43

− 6 x3

y=− 2 x+ 43

m1=− 2 y m2=− 2

(B − B 0)= m ( A − A 0)

y− (− 7)=− 2 ( x− 5 )

y+7=− 2 x+10

y=− 2 x+3

b) m1 × m 2=− 1

m1 × m 2=− 1


63/104

m1=−1m2

m= − 1

− 2⟺ m= 1

2

(B − B 0)= m ( A − A 0)

y− (− 7)= 12

( x− 5 )

y+7= 12

x− 52

y= 12

x− 52

− 7

y= 12

x− 192

') ;< ⊥ +>

m ;< . m+> =− 1

(− 4− 2a − 1 ).(a− 23− 7 )=− 1

a = 85

ELERCICIOS 2F CIO ES ;I EA;ES

&4G M'del' de c'"t' li!eal El c'"t' (aria%le de +r'ce"ar &! il' de5ra!'" de ca- e" de ?9c / l'" c'"t'" -i,'" +'r d a "'! de @99)

B = mx +b


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+' = +- ++

a) De la ecuaci n de costo lineal 0 dibu"e su gr=fico4

+' = 0.5 x+300

b) Deter*i!e el c'"t' de +r'ce"ar 6999 il'" de 5ra!'" de ca- e! &! d a)

+' = 0.5 (1000 )+300

+' = 800

'4G M'del' de c'"t' El c'"t' de - %rica 69 * 4&i!a" de e"cri%ir al d a e" de@?9$ *ie!tra" 4&e c&e"ta =99 +r'd&cir 89 * 4&i!a" del *i"*' ti+' al d a)

S&+'!ie!d' &! *'del' de c'"t' li!eal$ deter*i!e la relaci ! e!tre el c'"t' t'tal/c de +r'd&cir 3 *a4&i!a" de e"cri%ir al dia / di%&,e "& 5ra-ica)

G os dan dos puntos:

M J& +. )

M J' / )

B − B 1 =B 2− B 1 A 2− A 1

( A − A 1)

m= 600 − 35020− 10 = 25010 = 25


65/104

y− y1= m( x− x1)

y− 350 = 25 ( x− 10 )

y= 25 x− 250 +350

y= 25 x+100

DE$RECIACIO ;I EA;

C&a!d' &!a c'*+a a c'*+ra +arte de &! e4&i+' ' *a4&i!aria$ re+'rtar el(al'r de e"e e4&i+' c'*' &!' de l'" acti('" e! "i .',a de %ala!ce) E! a '""&%"ec&e!te"$ e"te (al'r de%e di"*i!&ir de%id' al le!t' de"5a"te del e4&i+'$'%ie!$ a 4&e "e (&el(e '%"'let') E"ta red&cci ! 5rad&al del (al'r de &! acti(' "ede!'*i!a de+reci'!)

U! * t'd' c'*0! de calc&lar el *'!t' de la de +reciaci'! e" red&cir el (al'rcada a ' e! &!a ca!tidad c'!"ta!te$ de -'r*a tal 4&e el (al'r "e red&Kca a &!

(al'r de de"ec.' al -i!al del tie*+' de (ida 0til e"ti*ad' del e4&i+') E"t' "ede!'*i!a de+reciaci ! li!eal) Te!e*'"#

Ta"a de de+reci'! a!&al < Val'r i!icial : Val'r de de"ec.' > Tie*+' de(ida e! a '"

@)7 De+reciaci ! U!a e*+re"a c'*+r' *a4&i!aria +'r 6?9)999) Se e"+era4&e el tie*+' de (ida 0til de la *a4&i!aria "ea de 68 a '" c'! &! (al'r dede"ec.' de cer') Deter*i!e el *'!t' de de+reciaci ! a!&al / &!a - r*&la +arael (al'r de+reciad' de"+& " de 3 a '")


66/104

>epreciacion por dia = )recio de ;d$uision nicial-ida*tilcon ;Cos

150 000

12

= 12500

>epreciacion par aCos = (-alor nicial )− ( >epreciacion por aCo )× ('iempo )

>epreciacion por aCo = 150 000 − 12500 t

150000 − 12500 (t )

150000 − 150 000

0

-4G De*a!da U! c'*ercia!te +&ede (e!der 89 ra"&rad'ra" el ctrica" al d aal +reci' de 8? cada &!a$ +er' +&ede (e!der @9 "i le" -i,a &! +reci' de 89 acada ra"&rad'ra el ctrica) Deter*i!e la ec&aci ! de de*a!da "&+'!ie!d' 4&ee" li!eal)

M J' '.)

M J+ ' )

B = mx+b⟹ >emandalineal

m= 20− 2520− 20 =

− 510

=− 0.5

y− y1= m( x− x1)

y− 25 =− 0.5 ( x− 20 )

y=− 0.5 x+35


67/104

.4G Deci"i ! de tra!"it' El 5'%ier!' de &!a ci&dad tie!e &! +re"&+&e"t' de899 *ill'!e" de ca+ital +ara 5a"t' "'%re tra!"+'rte$ e i!te!ta &tiliKarl' +ara

c'!"tr&ir *etr'" "&%terr !e'") O carretera") C&e"ta 8)? *ill'!e" +'r *illac'!"tr&ir carretera" / *ill'!e" +'r *illa +ara *etr'" "&%terr !e'")

E!c&e!tre la relaci ! e!tre el !0*er' de *illa" de carretera / de "&%terr !e'4&e +&ede c'!"tr&ir"e +ara &tiliKar +'r c'*+let' el +re"&+&e"t' di"+'!i%le)I!ter+rete la +e!die!te de la relaci ! li!eal 4&e "e '%tie!e)

" # millas de carretera ⟹ $,/ millones por milla

y # millas por subterraneo ⟹ ( millones por milla

2.5 x= millas

4 y= millas

2.5 x+4 y= 200

4 y= 200− 2.5 x

y= − 25 x4

− 2004

y= −5 x8

+50

RES$FESTA:

-ada milla adicional de carretera tiene un costo de /'0 de milla desubterraneo.

)

/4GU! e*+re"ari' (e!de Ka+at'" a @?9 cada +ar$ "i e! &! *e" (e!di 699+are" C& !t'" e" "& i!5re"' *e!"&al Ade* "$ el e*+re"ari' !ece"itac'!'cer "& c'"t' *e!"&al al -a%ricar Ka+at'"$ +ara l' c&al c'!"idera l'""i5&ie!te" c'"t'") E! la re!ta 8999$ e! "&" "&eld'" a "&" e*+lead'" 6899$e! 5ra"a +ara Ka+at'" 69$ +ar de "&ela" +ara Ka+at'" ?$ e! &! %'te de+e5a*e!t' =?) O%te!er el c'"t' de +r'd&cci ! de 699 Ka+at'") Ta*%i !


68/104

c'*' l'" dat'" a!teri're" '%te!er la &tilidad de !&e"tr' e*+re"ari' e! la+r'd&cci ! de Ka+at'"

= )× 7

= 350 × 100

= 35000

MRenta del )ocal : $ 222

Sueldos : 1 $22

3rasa para apato : 12

Suelas para apato : 4/

Pegamento : 5/

6nidades de producir : " # 122

+' = + ++- (7 )

+' = 3200 +170 x

100+' = 3200 +170 ¿ )

+' = 20200

Entonces:

* = ' − +'

* = 35000 − 20200

* = 14 800

;)7 Deter*i!ar la +r'd&cci ! de &!a c'*+a a 4&e (e!de e! 899 &!are-acci ! a&t'*'triK$ "i al +r'd&cirla +re"e!ta c'"t'" -i,'" +'r ? @8999$c'"t'" (aria%le" &!itari'" +'r ==$ c'! la c&al "e +rete!de &!a &tilidad de

?99999)


69/104

CF < ? ?8 999

CV < ==

PRECIO < 899

UTILIDAD < ?99 999

A = * ++ ) − +-

A = 500000 +5952000200 − 66

A = 6 452000134

A = 48149

)7 U! -a%rica!te de art c&l'" electr !ic'" (e!de &! +r'd&ct' e! @? +'r+r'd&ct' -a%ricad' C& l "er le &tilidad$ "i "e +r'd&ce! 6=6 &!idade"

P < ;? CF < ? 9

CV < @?

* = 161 (75− 35 )− 5440

* = 161 (40 )− 5440

* = 6440 − 5 440

* = 1000

)7 Al (e!der 6999 cel&lare" "& c'"t' (aria%le &!itari' e" de ?= / "& c'"t' -i,'e" de 99999 "i "e '%tie!e &!a &tilidad de ? 9999 C& l e" el +reci' delcel&lar

CV < ?=9

CF < 99 999


70/104

) = * ++ A

++-

) = 540000 − 900000

1000

+560

) = 200

69)7 Deter*i!aci ! de &!a ec&aci ! de la de*a!da) I*a5i!e 4&e la de*a!da+'r "e*a!a de &! +r'd&ct' e" de 699 &!idade"$ c&a!d' el +reci' e" de ?+'r &!idad$ / de 899 &!idade" a &! +reci' de ?6 cada &!a) Deter*i!ar la

ec&aci ! de la de*a!da P < ? Q < 699

P < ?6 Q < 899

m= 51− 58200− 100 =

− 7100

) − ) 1= m(7 − 7 1)

) − 58 = − 7100

(7 − 100 )

) = −7 7100

+65

OTA:

• +' > ' : )erdida

• +' < ' : *tilidad

• ' = +' : ?$uilibrio (no(ana ∋ pierde )

A! li"i" del +&!t' de e4&ili%ri'

Si el c'"t' t'tal CT /c de +r'd&cci ! e3ce"' al de l'" i!5re"'" IT '%te!id'"+'r la" (e!ta"$ e!t'!ce" el !e5'ci' "&-re &!a +erdida) P'r 'tra" +arte"$ "i l'"


71/104

i!5re"'" "'%re+a"a! l'" c'"t'"$ e3i"te &!a &tilidad) Si el c'"t' de +r'd&cci !e" i5&al a l'" i!5re"'" '%te!id'" +'r la" (e!ta"$ !' .a/ &tilidad !i +erdida$ de*'d' 4&e el !e5'ci' e"t e! el +&!t' de e4&ili%ri') El !0*er' de &!idade"+r'd&cida" / (e!dida" e! e"te ca"' "e de!'*i!a +&!t' de e4&ili%ri')

6)7 A! li"i" de e4&ili%ri' &! e*+re"ari' re+'rta @=999 de i!5re"'" +'r la(e!ta de &! +r'd&ct' !'(ed'"'$ "& c'!tad'r le i!-'r*a 4&e +ara !' 5a!ar !ita*+'c' +erder "e de%e ela%'rar 9 +ieKa"$ c'! ell' c&%re l'" "i5&ie!te"c'"t'" Ct < 6=999 > ?99 3 ) C'*+r&e%a 4&e la i!-'r*aci ! +r'+'rci'!ada +'rel c'!tad'r e" c'rrect' ' i!c'rrect')

M C2 % &/

M CV % .

M % - $ie*as

) = n(reso )iezas

= 3600040

= 900

Ftilidad:

* = ' − +'

* = 900 (40 )− (16000 − 500 (40 ) )

* = 36 000 − 36000

* = ∅

8)7 A! li"i" de e4&ili%ri' Para &! -a%rica!te de rel',e"$ el c'"t' de *a!' de'%ra / de l'" *ateriale" +'r rel', e" de 6? / l'" c'"t'" -i,'" "'! de 8999 aldia) Si (e!de cada rel', a. 89 C& !t'" rel',e" de%er +r'd&cir / (e!dercada dia c'! '%,et' de 5ara!tiKar 4&e el !e5'ci' "e *a!te!5a e! el +&!t' dee4&ili%ri'

CV < 6?3

CF < 8 999

P < 89


72/104

< N&*er' de rel',e"

+' = + ++-

+' = 15 x+200

' = +'

20 x= 15 x+2000

5 x= 2000

x= 400

PUNTO DE EQUILIBRIO DEL MERCADO

Si el +reci' de ciert' artic&l' e" de*a"iad' alt'$ l'" c'!"&*id're" !' l'ad4&irir !$ *ie!tra" 4&e$ "i e" de*a"iad' %a,'$ l'" +r'(eed're" !' l'(e!dera!) E! &! *ercad' c'*+etiti('$ c&a!d' el +reci' +'r &!idad de+e!de"'l' de la ca!tidad de*a!dada / la '-erta$ "ie*+re e3i"te &!a te!de!cia del+reci' a a,&"tar"e +'r "i *i"*'$ de *'d' 4&e la ca!tidad de*a!dada +'r l'"c'!"&*id're" i5&ale la ca!tidad 4&e l'" +r'd&ct're" e"t ! di"+&e"t'" a'-recer) Se dice 4&e el +&!t' de e4&ili%ri' del *ercad' 'c&rre e! &! +reci'c&a!d' la ca!tidad de*a!dada e" i5&al a la ca!tidad '-recida) E"t'c'rre"+'!de al +&!t' de i!ter"ecci ! de la" c&r(a" de la '-erta / de*a!dada)

6)7 E! el *ercad' de .a*%&r5&e"a" l'" c'!"&*id're" e"t ! di"+&e"t'" ac'*+rar 899 .a*%&r5&e"a" a 6 d lar "i el +reci' "e i!cre*e!ta a 8de*a!da! 6?9 .a*%&r5&e"a") allar la ec&aci ! de la de*a!da P


73/104

'4 2ormas de (ectores:

a) Vector en forma general: Ja &,a ', a +N4a n)

b) Vector 2ila: a 1, a 2 , … a n

c) Vector Columna:

+4 Reprentaci n Krafica:


74/104

orma de un (ector:

%

-) E;E#E TOS DE F VECTOR :

a) orma de un (ector Jdistancia Glongitud)


75/104

‖⃗u‖ %2√ 22+42 = √ 20 considere el siguiente (ector ⃗v J',-)

Sea: b % Jb&, b ' , b +, N ,b n )

⟹ ‖⃗b‖ % √ b1

2+b22+b 3

2+…+b n2

b) Direccion de un (ector

Es el angulo Hue forma un (ector

En R2

4


76/104

En R3

4

G5allar la magnitud 0 direcci n del (ector J',+)

GEncunetrela magnitud0 direcciondel (ector )7 cu0o puntoinical $ esta en J',+) 0 punto final J.,?)

RECORDAR:

• Sen 2 %catetoopuesto

0ipotenusa


77/104

• Cos 2 %catetoadyacente

0 ipotenusa

•

Tan2

%

catetoopuesto

catetoadyacente

• Cot 2 %catetoadyacentecatetoopuesto

• Sec 2 %0ipotenusa

catetoadyacente

• Csc 2 %0ipotenusa

catetoopuesto

#agnitudes del (ector

‖⃗v‖ % √ 22+3 2 % √ 13

O$CIO ES:

Sen 2 %3

√ 13

% 4?+' 2 = ;rco=eno % =en− 1

4?+' % ./4+ 9

Cos 2 %2

√ 13 % 4..-12 % cos

−14..-1 % ./4+ 9


78/104

Tan 2 %32 % &4. 2 % tan

−1&4. % ./4+

#agnitud del (ector:

‖m‖ % √ (5− 2)2+(8− 3)2

‖m‖ % √ 32+52

‖m‖ % √ 34

Tg2

%⇒

2

% arcTg

Direccion4 .+4 + *

Cu=l es la magnitud de la direcci n del (ector ⃗v J',+,.) P

2 , D , E = F

Recordar: Coseno directores


79/104

cos 2

%

→ +3G)3N?N'? >? A → G;@N '*>

⃗

-

cos D %

→+3G)3N?N'? >? B →G;@N '*>

⃗

-

cos E

%

→ +3G)3N?N'? >? Z → G;@N '*>

⃗

-

Operaciones con (ectores:

Suma: ;os (ectores tienen Hue estar representados en elmismo espacio (ectorial4

Sea:


80/104

ELE#$;O:

J',&)

JG&,G&)

#ultiplicaci n:

&) Escala Q (ector

') $roducto punto

+) $roducto Cru*

Escalar (ector

Sea: ⃗a % Ja&,a ' , a +, N, a n) 0 C∈ R Jescalar) ⇒ C ⃗a %

JCa&, Ca', Ca+, N, Can )

⃗a % J',&)

' a⃗ %J'J'), 'J&))

' a⃗ %J-,')


81/104

$roducto punto : Tienen Hue estar representados en el mismoespacio (ectorial

Sea ⃗a % Ja&,a ', N, a n)

b % Jb&,b ', N, b n)

⃗a 4 b %Ja&b& a ' b ' N a nb n) ⇒ es unescalar

⇒ 2 % escalar 2 a⃗ % J 2 a & 2 a ' N 2 a n) ≠ ;4 s4linealmente dependiente

⇒ 2 % escalar 2 a⃗ % J 2 a & 2 a ' N 2 a n) ¿ ;4 s4

linealmente independiente


82/104

$ropiedad de la suma de (ectores

Vectores unitarios

Sea ⃗a =( 4,2 )

5allar:

Sea: b %J+,1,G&)

5allar:


83/104

+J&, , ) 1J , &, )GJ , ,&)

J+, , ) J , 1, )GJ , ,&)

J+, 1,&)

#ATRICES:

U!a *atriK * × ! e" &!ta%la ' arre5l' recta!5&lar de !0*er'" reale" c'*

* re5l'!e" ' -ila" / ! c'l&*!a" re5l'!e" "'! .'riK'!tale" / c'l&*!a" "'!(erticale" l'" !0*er'" * / ! "'! la" di*e!"i'!e" de A)

L'" !0*er'" reale" e! la *atriK "e lla*a "&" e!trada"$ la e!trada e! re5l'! i /c'l&*!a , "e lla*a c'l&*!a )

Para de"i5!ar &!a *atriK "e e*+lea! letra" *a/0"c&la") Cada &!' de l'"

ele*e!t'" de la *atriK (a i1) tie!e d'" "&% !dice") El +ri*er' i i!dica la -ila ala 4&e +erte!ece / el "e5&!d' , la c'l&*!a)


84/104

6m7 filas por 6n

columnas, m × n

Pri*er' "e lee la"-ila" / l&e5' la"c'l&*!a") A ij

e"emplo

A% ' '

% ' +

#atri* columna:

a4&ella *atriK 4&e tie!e &!a "'la c'l&*!a$ "ie!d' "& 'rde! 1× m

C% + &

#atr* fila:

a4&ella *atriK 4&e tie!e &!a "'la -ila$ "ie!d' "& 'rde! 1× n


85/104

D% & +

IKFA;DAD E TRE #ATRICES: "'! d'" *atrice" 4&e tie!e! *i"*a"

di*e!"i'!e" * 3 ! < * 3 !

A mxn % mxn ⇒

a i" %b i"

Donde a i"∈ ;

∧

b i"∈

#atrices cuadradas: a4&ella *atriK 4&e tie!e i5&al !&*er' de -ila" 4&ede c'l&*!a" *

A mxm 0 nxn

#atri* 0 sim!trica:

A % At

A % C % D

AT %

%

Si, Solo si: d % b

g % c


86/104

@ % f

A % A %

#atri* Triangular:

A %

%

A mxm⇒

At nxm

a i"⇒

a "i

A% mxn


87/104

A%

a ++ % /

a +- % -

#atri* nula: SI TODOS SUS ELEMENTOS SON CERO) TAMBIEN SE

DENOMINA MATRIZ CEROY SE DENOTA POR 3G×N

Trasnpuesto de una matri*:


88/104

$ropiedades:

#atri* Cuadrada: a4&ella *atriK 4&e tie!e i5&al !&*er' de -ila" 4&e dec'l&*!a"$ *


89/104

Triangulo Superior: Triangulo Inferior:

#atri* Escalar # t'd' "&" ele*e!t'" "'! !&la" e3ce+t' la dia5'!al +ri!ci+al$ la dia5'!al +ri!ci+al "'! i5&ale"

#atri* diagonal e" &!a *atriK c&adrada 4&e tie!e t'd'" "&" ele*e!t'"!&l'" e3ce+t' l'" de la dia5'!al +ri!ci+al

#atri* Identidad

#atri* sim!trica


90/104

O$ERACIO ES:

SF#A DE #ATRICES:

$RO$IEDADES4 La "&*a de d'" *atrice" de 'rde! * 3 ! e" 'tra *atriK dedi*e!"i ! * 3 !

#F;TI$;ICACI

El !0*er' de c'l&*!a" de la +ri*era *atriK i5&al al !0*er' de -ila" de la"e5&!da *atriK 4


91/104

< = ¿3 x2¿

> = ¿2 x 3¿

xD%

xD%

6Unxn 7 ⇒

#atri* cuadrada # MatriK ide!tidad


92/104

A es in(ertible ⇔ ∃ , tal Hue : A % A%I

A ∈ H nxn

0 ∈ H n +n

&) Toda matri* in(ersa cuadrada tiene in(ersaP DO

A%

I

JA)% + no tiene in(ersa

C'*' +&ede "a%er 4&e &!a *atriK tie!e i!(er"a

6)7 U!a *atriK c&adrada H nxn

tie!e i!(er"a ⇔ $ el deter*i!a!te de la

*atriK e" di-ere!te de cer')

8)7 U!a *atriK c&adrada H nxn

tie!e i!(er"a ⇔ $ el ra!5' de la *atriK e"

i5&al a 1!2

! < W de -ila / W de c'l&*!a"

A4 ;− 1

% ;− 1

4A % I


93/104

( ; −1)−1 %A

( ; . < )− 1= ; −1 . < −1

@)7 U!a *atriK c&adrada H nxn

tie!e i!(er"a ⇔ $ l'" ! (ect're" -ila$ "'!

li!eal*e!te i!de+e!die!te"

Si A tie!e i!(er"a) C'*' "e .alla dic.a i!(er"a *atriK

7Met'd' de ec&aci !)7 Si el +r'd&ct' e!tre d'" *atrice" re"&lta la *atriKide!tidad$ e!t'!ce" deci*'" 4&e la" *atrice" "'! 1i!(er"a"2 /a 4&e al*&lti+licarla" "e '%tie!e el ele*e!t' !e&tr' +ara el +r'd&ct')

7Met'd' Ga&""7J'rda!)7

Pri*er'# e"cri%i*'" la *atriK ,&!t' a la *atriK ide!tidad)

Se5&!d'# tria!5&la*'" i!-eri'r*e!te la *atriK$ e" decir de%e*'" tratar de4&e l'" ele*e!t'" &%icad'" e! l'" e3tre*'" i!-eri're" iK4&ierd'" "ea! cer'")Lla*e*'" E6 a la +ri*era ec&aci ! / E8 a la "e5&!da) E!t'!ce" +r'+'!e*'"*&lti+licar la +ri*era ec&aci ! +'r 1?2$ la "e5&!da +'r 1=2 / l&e5' re"tarla"$ talc'*' l' .ac a" e! el * t'd' de "&*a" / re"ta") Sie*+re 1cr&Ka*'"1 l'"c'e-icie!te" ' !0*er'" de la +ri*era c'l&*!a / l&e5' "&*a*'" ' re"ta*'"$l' 4&e "ea !ece"ari' +ara '%te!er &! 192 e! la e"4&i!a i!-eri'r iK4&ierda)

7 Met'd' de dete*i!a!te"

A+lica!d' e"te * t'd' deci*'" 4&e A76< det A ad, A t $ d'!de ad, A t e"la *atriK de l'" ad,&!t'"$ 4&e e3+licare*'" e! la" +r 3i*a" + 5i!a" / det Ae" el deter*i!a!te de la *atriK A) Te c'!ta*'" al5&!'" detalle" del1deter*i!a!te2) El 'ri5e! del deter*i!a!te ' de ('l&*e! 'rie!tad' -&ei!tr'd&cid' +ara e"t&diar el !0*er' de "'l&ci'!e" de l'" "i"te*a" li!eale" deec&aci'!e") Para el c lc&l' de deter*i!a!te" de *atrice" de c&al4&ier 'rde!$e3i"te &!a re5la rec&r"i(a te're*a de La+lace 4&e red&ce el c lc&l' a "&*a"

/ re"ta" de (ari'" deter*i!a!te" de &! 'rde! i!-eri'r)

G#atri* sim!trica4G


94/104

A% AT% A % AT

G#atri* antisim!trica4G

% G T% % GT

• An % ∅ #atri* nilponente• A' % A #atri* independiente• A' % I #atri* in(oluti(a• AG&% AT #atri* ortogonal

JA4AT)T ⇒ El +r'd&ct' de t'da *atriK +'r "& tra!"+&e"ta$ e" &!a *atirK"i* trica

• A4AT % JA4AT)T• A4AT % JAT)T4AT• A4AT % A4AT

JA AT)T ⇒ La "&*a de t'da *atriK c&adrada / "& tra!"+&e"ta e" "i* trica

• A AT % Es sim!trica• JA AT)T % A4AT•

JA AT

)T

%AT

4JAT

)T

JAGAT) ⇒ La di-ere!cia e" "i* trica de &!a *atriK / "& tra!"+&e"ta e"a!ti"i*etrica

• GJAGAT )T% GJAGJAT)T)


95/104

• GJAGAT )T% GJATGA)• GJA4AT)T % GAT A• GJA4AT)T % AGAT

#atri* comple"a

A%

Con"ugado

´ ; %

A % J ; )T

Sea A % Calcular AxA % A '

A' % 4

A' %


96/104

% Calcular '

' % 4

' %

A % Calcular A '

A' % 4

A' %

Sea A % %

5allar A . 4 1


97/104

A. %

1%

A4 %

C % 5allar C '

C' % 4

C' %

ELERCICIOS

&)4


98/104

Industrias

.1 x & % .1

Costo

4 % ' &/ % &?

Ftilidad: .1 Q &? % +

Consumidores4G

D&% D' % D+ %

D& D' D+ %

Industrias4G

DC% DE% DS%

DC DE DS%

Demanda global4G

%

Industria de acero


99/104

$%

+ x - % &' Ingreso Total

Costo % 4 %

F% IT Q CT

Kanancia: &' Q - % ? 6utilidad para industrias

de acero7')4

% %

' Q A% G %

-)4

JA Q )T % AT G T

JA Q )T % JA JG ))T

JA Q )T % AT JG )T

JA Q )T % AT G T


100/104

.)4

WR % 4

Total %

RC % 4 %

> 1.?. de *ateriale" +ara r&"tica

> ?&.. de *ateriale" +ara *'der!a

> 1&/. de *ateriale" +ara c'l'!ial

WJRC) % 4 % &? C'"t' t'tal

1)

+, - 4 %


101/104

/+, - 4

WJRC) %[costo totalde compracostototal detransporte ]

JWRC)X % 4 % + &?/?

KAFSSGLORDA

#ETODO DE CO2ACTORES


102/104

#ETODO CRA#ER

La re5la +ara &! "i"te*a de @3@$ c'! &!a di(i"i ! de deter*i!a!te" :

https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1ticas)


103/104

Q&e re+re"e!tada" e! -'r*a de *atriK e"#

$ $ +&ede! "er e!c'!trada" c'*' "i5&e#

E"emplo

Dado el sistema de ecuaciones lineales :

Expresado en forma matricial :

https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_linealeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_linealeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)


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;os (alores de ser an:

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