Versin PreliminarTallerdeMatematicasVersionPreliminarComisiondeseguimientoLino Feliciano Resndis OcampoDigitally signed by Lino Feliciano Resndis Ocampo DN: cn=Lino Feliciano Resndis Ocampo, c=MX, ou=UAM-Azcapotzalco, email=lfro@correo.azc.uam.mx Date: 2010.09.14 15:22:58 -05'00'Versin Preliminar2INTRODUCCIONLa motivacion de este libro, es el deseo de apoyar a los estudiantes de primeringreso, denuestrauniversidad, conunaherramienta util paramejorarsuaprovechamiento enloscursosdematematicas. Loserrorespuedensernoti-cadosaladireccion electronicalfro@correo.azc.uam.mxSepresentandemanerasucinta,peroamplia,losconceptosnecesariosparaabordar los ejemplos yejercicios del libro. Engeneral es material que elalumnoyaconocedesuscursosdesecundariaybachilleratoyelpropositoesqueenelcursodenominadoTallerdeMatematicastengalaoportunidadderesolver sucientes ejercicios quele ayudenafortalecerlo bienaprendidoyacorregirloserroresdeoperatividadquetenga.Esdeseablequeel estudianteleael material teoricoconanticipacionparaqueenclaselaexplicaciondel profesorsereduzcaquizaaaclarardudasypasardirectamente alaresoluciondeejercicios.Enmuchasocasiones, entenderbienlosejemplos, puedesersucientepararesolver los ejercicios y el alumno puede omitir la teora, que en general ya havisto en alg unmomento de su formacion escolar. Sin embargo se recomiendaleerextraclaselateora, puespodraentenderunpocolaprofundidaddeloquehaaprendidodeformaoperativa.Versin PreliminarIndicegeneral1. Aritmetica 71.1. Aritmetica den umerosracionales M. SalazarA. . . . . . . . . . . . . 71.1.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Propiedadesdelosn umerosreales. . . . . . . . . . . . 81.1.3. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4. Productoden umerosracionales . . . . . . . . . . . . . 131.1.5. Fraccionesequivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.6. Fraccionesirreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.7. Divisionden umerosracionales . . . . . . . . . . . . . 171.1.8. Sumaden umerosracionales . . . . . . . . . . . . . . . 202.Algebra 292.1. Notacionalgebraica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Exponentes D. ElizarrarazM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1. ExponentesEnteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.2. ExponentesFraccionariosyRadicales . . . . . . . . . . 392.3. OperacionesAlgebraicas D. ElizarrarazM. . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.1. SumayResta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.2. Multiplicacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.3. Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4. ProductosnotablesyfactorizacionC.A. UlnJ. . . . . . . . . . . . . 732.4.1. Productodebinomiosconjugados . . . . . . . . . . . . 732.4.2. Productodedosbinomiosconunterminocom un . . . 762.4.3. Cuadradodeunbinomio. . . . . . . . . . . . . . . . . 792.4.4. Cubodeunbinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.4.5. Potencian-esimadeunbinomio.TriangulodePascal . 872.5. FactorizacionC.A. UlnJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.5.1. Factorcom un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923Versin Preliminar4INDICEGENERAL2.5.2. Factorizacionporagrupacion . . . . . . . . . . . . . . . 952.5.3. Diferencia decuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.5.4. Trinomiocuadradoperfecto . . . . . . . . . . . . . . . 992.5.5. Trinomiocuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.5.6. Completaciondecuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 1032.5.7. Sumaydiferencia decubos . . . . . . . . . . . . . . . 1112.5.8. Miscelanea deejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.6. Ecuacionesdeprimer gradoconunaydosincognitas J. Ventura . . 1192.6.1. Ecuacionesdeprimer gradoconunaincognita . . . . . 1192.6.2. Ecuacionesdeprimer gradocondosincognitas. . . . . 1282.6.3. MetododeSustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.6.4. Metododesumaoresta . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.6.5. Aplicaciones delasecuacionesdeprimer grado. . . . . 1392.7. EcuacionesdesegundogradoR. PerezF. . . . . . . . . . . . . . . . 1492.7.1. Elmetododefactorizacion. . . . . . . . . . . . . . . . 1492.7.2. Diferencia decuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 1522.7.3. Completaciondel trinomiocuadradoperfecto . . . . . 1542.7.4. Laformulageneral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562.8. Operacionesconfraccionesalgebraicas R. Herrera . . . . . . . . . . 1602.8.1. Productodefraccionesalgebraicasracionales. . . . . . 1602.8.2. Sumadefuncionesracionales . . . . . . . . . . . . . . 1662.8.3. Fracciones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712.9. Operacionesconradicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812.10. Racionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823. Geometra 1853.1. ElPlanoZubieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.2. Rectasparalelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.3. Polgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1933.3.1. Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943.3.2.Areasdepolgonoselementales . . . . . . . . . . . . . 1993.3.3. Elpermetro deuncrculo . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.3.4. Lalongituddearco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043.3.5. Elareadeunpolgonoregular . . . . . . . . . . . . . . 2053.3.6. Elareadeuncrculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053.4. Solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073.4.1. Vol umenesysupercies . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Versin PreliminarINDICEGENERAL 54. GeometraanalticaJ.V. Becerril 2214.1. Elplanocartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214.2. Lalnearecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234.2.1. Inclinacion ypendiente deunarecta . . . . . . . . . . 2234.2.2. Ecuaciondelarecta quepasapordospuntos . . . . . 2264.2.3. Ecuaciondelarecta punto-pendiente . . . . . . . . . . 2294.2.4. Ecuaciondelarecta dependiente-ordenada . . . . . . 2304.2.5. Rectashorizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.2.6. Rectasverticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.2.7. Ecuaciongeneraldelarecta . . . . . . . . . . . . . . . 2334.2.8. Interseccion derectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2364.2.9. Rectasparalelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.2.10. Rectasperpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2414.3. LacircunferenciaJ.V. Becerril . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.3.1. Ecuaciongeneraldelacircunferencia . . . . . . . . . . 2464.4. Laparabolavertical R. PerezF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2535. TrigonometraL.F. ResendisO. 2595.1. Lasfuncionestrigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2595.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2655.3. Elcrculo trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2675.4. Losangulosescuadra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2725.5. Identidades trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2765.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Versin Preliminar6INDICEGENERALVersin PreliminarCaptulo1Aritmetica1.1. Aritmeticaden umerosracionales M. SalazarA.1.1.1. IntroduccionEl conjuntode n umeros reales sedenotapor R. Nose daunadenicionrigurosa de este conjunto de n umeros, solo se recuerdan algunos subconjuntosque sehanintroducidoyestudiadoencursosanteriores.El primero de ellos es el conjunto de losn umerosnaturales, denotadoporN,que constadelosn umerosqueseusanparacontaryesN = 1, 2, 3, . . . dondelospuntossuspensivosindican quelalistacontinua dandolugaraunconjuntoinnito.La necesidad de resolver ecuaciones de la forma x+1 = 0, o mas generalmentex + a=0, paraa N, propiciolaintroducciondelosn umerosenteros Z,masprecisamenteZ = . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . .Unafraccionesunn umerodelaformaabendondeaesunn umeroenterollamadoel numerador delafraccionybesotron umeroentero, conb ,=0yllamadodenominador delafraccion. El conjuntodetodaslasfraccionesformaelconjuntodelos n umerosracionalesQ, sedenotancomoQ = q=ab, a, b Z, b ,= 0 .7Versin Preliminar8 CAPITULO1. ARITMETICASeobservaqueN Z Q R.Existenn umeros reales quenopuedenexpresarseenformadefraccion, atales n umeros seles llamairracionales yel conjuntodeestos n umeros sedenotaporI.Finalmentesetieneel conjuntodelosn umerosreales comolaunionajenadeestosdosconjuntos,esdecir:R = Q I,conQ I = .1.1.2. Propiedadesdelosn umerosrealesLosn umerosreales,juntoconlasoperacionesdesumayproductosatis-facen ciertas propiedades que se aplican cuandose opera con ellos, las cualessonconocidas. Acontinuacionseenunciandemaneraexplcitaalgunas deestaspropiedades.Paracadaa, b R:Cerradura. Se tiene a +b yab R, es decir, la sumay el productode dosn umerosreales esnuevamente unn umeroreal.Conmutativa. Setienea + b =b + ayab =ba,estoes,elordendelosterminosenlasumaoel delosfactoresenel producto, noalteraelresultado.Asociativa. Se tiene (a + b) +c = a +(b + c) y (ab)c = a(bc), es decirelordendeasociacionalhacerunasumaounproductonoimporta.Distributiva. Setienea(b + c) = ab +acy(b + c)a = ba + ca. Esdecirel productodistribuye conrespectoalasuma.Existencia deelementos neutros. Existendoselementosdistintos, 0 Ry1 Rtal quea + 0 = 0 + a = a, a1 = 1a = a. El 0sellama neutroaditivoyel 1neutromultiplicativo.Existencia deinversos. Paracada a Rexisteel elemento a R, elinversoaditivodea, talquea + (a) = 0.Sia ,= 0,existea1 R,elinversomultiplicativodea, talqueaa1= a1 a = 1.Versin Preliminar1.1. ARITMETICADENUMEROSRACIONALESM. SALAZARA. 9Estas propiedades se ense nan y aprenden de manera intuitiva desde losprimeros cursos de matematicas. De igual forma, enel material expuestoeneste textoseaplicaranestaspropiedadessinmayorjusticacion.1.1.3. DivisibilidadSeana, b dosn umerosenteros. Se dice queb divide al n umeroa si existec Ztalquea = bc.Seobservaentonces queaesdivisible porbyporc.Setiene lossiguientescriterios dedivisibilidad.Un n umeroesdivisible por2sitermina enn umeropar.Un n umero es divisible por 3 si al sumar sus cifras se obtiene un n umerom ultiplode3.Un n umeroes divisible por4 si el n umeroformado porsus dos ultimascifras esm ultiplode4.Un n umeroesdivisible por5sitermina en0obien en5.Un n umeroesdivisible por10siterminaencero.Para saber si un n umero es divisible por n umeros diferentes a los mencionadosanteriormente esnecesariorealizarladivision.Ejemplo1.1.1El n umero875160esdivisiblepor2porqueterminaen0queesunn umeropar. Esdivisiblepor3porquelasumadesuscifras8 +7 + 5 + 1 + 6 + 0 = 27 = 39esunm ultiplode3.Esdivisible por4porque60 = 4 15,queesm ultiplode4.Esdivisible por5ypor10,puesterminaen0.Comolasdivisiones87516011= 79560,87516013= 67320,87516017= 51480sonexactastambien esdivisible por11, 13y17. Ejercicio1.1.1Dados los siguiente n umeros determine cuales son divisiblespor2,3,4,5,7,11y13.1. 1000 2. 4800 3. 28800 4. 2400 5. 660 6. 277207. 49140 8. 5824.Versin Preliminar10 CAPITULO1. ARITMETICASoluciones.1. 2, 4y5 2. 2, 3, 4y5 3. 2, 3, 4y54. 2, 3, 4y5 5. 2, 3, 4, 5y11 6. 2, 3, 4, 5, 7y117. 2, 3, 4, 5, 7y13 8. 2, 4, 7y13.Unn umeronatural,diferentede1,sellamaprimosisoloesdivisible porsimismoylaunidad.Losprimerosn umerosprimosson2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .yhayunainnidaddeellos.Serecuerdaquean=(nfactores) .. aaaa,esdeciranabreviaelproductodearealizadonveces.Teorema1.1.1Todon umeronatural asepuedeescribirdemanera unicacomo el producto de sus diferentesfactores primos, contando multiplicidades.Asa = p11p22 pnnconp1, . . . , pnn umerosprimosdistintos,y1, . . . , n N.Ejemplo1.1.2Escribacomoproductodesus factores primos al n umero257400.Solucion.Paraello seconsiderael siguiente arregloy seusanloscriterios dedivisibilidad257400 2 setomamitad128700 2 setomamitad64350 2 setomamitad32175 3 setomatercera10725 3 setomatercera3575 5 setomaquinta715 5 setomaquinta143 11 setomaonceava13 13 setomatreceava1Versin Preliminar1.1. ARITMETICADENUMEROSRACIONALESM. SALAZARA. 11Losfactoresprimosaparecenen lasegundacolumna ysusrepeticiones indi-cansumultiplicidad. As, setiene 257400= 23 32 52 1113. Ejercicio1.1.2Dadoslossiguiente n umeros,escriba sudescomposicionenn umerosprimos.1. 42 2. 5400 3. 1848 4. 31500 5. 15210 6. 133107. 28875 8. 139425.Soluciones.1. 237 2. 23 33 523. 23 3711 4. 22 32 53 75. 232 51326. 251137. 353 711 8. 352 11132.El mnimocom unm ultiplo(m.c.m)dedosn umerosa, b Nesel n umeromaspeque noqueesm ultiplotantodeacomodeb.Dosn umeros naturales aybsedicenprimosrelativos si sum.c.m. es ab;equivalentemente los n umeros primos que aparecen en la descomposicion pri-madeasontodosdiferentes alosqueaparecenenladescomposicionprimadeb.Ejemplo1.1.3Determinar elmnimo com unm ultiplode36y15.Solucion. El mnimocom unm ultiplode36y15es180, pueslosm ultiplosde15son15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, . . .ylosde36son36, 72, 108, 144, 180, 216, . . ..De las listas anteriores se observa que el primer m ultiplocom un, ymaspeque no,de36y15es180. Unamanerasistematicadeobtenerelmnimocom unm ultiploesrecurrirasudescomposicionenfactoresprimos.Elsiguiente ejemplo loilustra.Ejemplo1.1.4Obtenerelm.c.m. de194040y136500. Seobtieneprimeroladescomposiciondelosn umerosensusfactoresprimos:Versin Preliminar12 CAPITULO1. ARITMETICA194040 2 136500 297020 2 68250 248510 2 34125 324255 3 11375 58085 3 2275 52695 5 455 5539 7 91 777 7 13 1311 11 11As194040= 23 32 72 11y136500= 22 353 713.Elmnimocom unm ultiploseobtienealconsiderarelproductodetodoslosprimosdiferentesque aparecenen ambosn umerosy escribirlos con lapotencia maxima con laqueaparecenenlosn umeros.As elm.c.m. buscadoes:23 32 53 72 1113 = 69063000.

Ejercicio1.1.3Dados los siguiente n umeros escriba su mnimo com un m ulti-plocomoproductoden umerosprimos.1. 300, 120 2. 300, 24 3. 600, 30004. 6300, 2940 5. 25200, 73500 6. 29400, 18900,7. 76230, 33000 8. 105105, 13013 9. 600, 90, 75610. 66150, 156, 1260 11. 25200, 1500, 3780 12. 31500, 3900, 7560.Versin Preliminar1.1. ARITMETICADENUMEROSRACIONALESM. SALAZARA. 13Soluciones.1. 600 = 23 3522. 600 = 23 3523. 3000 = 23 3534. 44100= 22 32 52 725. 882000= 24 32 53 726. 264600= 23 33 52 727. 7623000= 23 32 53 71128. 1366365= 3572 111329. 37800= 23 33 52 7 10. 1719900= 22 33 52 72 1311. 378000= 24 33 53 7 12. 2457000= 23 33 53 7131.1.4. Productoden umerosracionalesElproductodelosn umerosracionalesabycdsedenotaporab

cd,_ab__cd_oab

cdyestadenidocomo_ab__cd_=acbd.Seobservaqueel numeradordel productoanteriordefraccionesseob-tiene multiplicando los numeradoresa ycy el denominador del productodefracciones seobtiene multiplicando losrespectivosdenominadoresbyd.Ejemplo1.1.5Calcularlossiguientesproductos:1._34__15_2._27__35__67_Soluciones.1._34__15_=(3)(1)(4)(5)=320.Versin Preliminar14 CAPITULO1. ARITMETICA2._27__35__67_=(2)(3)(6)(7)(5)(7)= 36245= 36245. Yaqueatodon umeroenteroa, estambienunn umeroracional, esdecir,a=a1, lasmultiplicacionesdefraccionesporn umerosenterosseresuelvencomoseindicaenel siguiente ejemplo.Ejemplo1.1.6Calcular_25_(3).Solucion._25_(3) =_25__31_=2351=65.

1.1.5. FraccionesequivalentesSe diceque dos fracciones sonequivalentes cuandorepresentanel mismon umeroracional, porejemplo12y24. Engeneral dosfraccionesabycdsonequivalentes siysolosiad = bc.Ejemplo1.1.7Vericar que sonfraccionesequivalentes:1.86y432.914y4570Soluciones.1.86=43yaque 8 3 = 4 624 = 24.2.914=4570yaque 9 70 = 45 14630 = 630.

Si sequiere obtener fracciones equivalentes aab, bastacon multiplicarabporel n umero1representadoenunade sus fracciones equivalentes, ejemplo:1 =22=1010= 33=.Ejemplo1.1.8Encontrartresfraccionesequivalentes a54.Versin Preliminar1.1. ARITMETICADENUMEROSRACIONALESM. SALAZARA. 15Solucion.Seeligenalgunasfraccionesequivalentes aln umero1,as54=_54__22_=108.54=_54__77_=3528.54=_54__33_= 1512=1512.Luego54,108,3528,1512representanel mismon umeroracional. 1.1.6. FraccionesirreduciblesDadalafraccionabcona, b Z, b ,=0, sediceirreduciblesi aybsonprimos relativos. Seobservaque unafraccion irreducible estasimplicada almaximo.Ejemplo1.1.9Determinar la fraccion irreducible que representa al n umeroracional3042. Mostrarqueesequivalente alaoriginal.Solucion.Recurriendoaladescomposicionenfactoresprimos3042=235237=_22__33__57_= (1)(1)_57_=57.Severica que3042esequivalente a57:3042=57(30)(7) = (5)(42)210 = 210.As3042y57representanel mismon umeroracional conladiferenciadeque3042pudosimplicarse a57y este ultimonopuedesimplicarse mas. Versin Preliminar16 CAPITULO1. ARITMETICAEjemplo1.1.10Encontrarlaformairreducible de2481.Solucion.Alobtenerladescomposicionenfactoresprimossetiene2481=23 334=_33__2333_=827.

Otramaneradeobtenerla formairreducible esaplicar loscriterios dedivis-ibilidad.Ejemplo1.1.11Simplicar el n umero1940400693000. Se observa que ambos n umerossondivisiblespor100, puesambosal menosterminanendoblecero.Asloprimeroescancelarlosceros.1940400693000=194046930=97023465=32341155=1078385=15455=145.Enla primera igualdadse dividio entre 100cancelando losdos ultimos cerosdeambos n umeros, enlasegundaigualdadsesacomitad, enlaterceraycuartaigualdadessesacotercera, enlaquintaigualdadsesacoseptimaynalmente setomoonceava. Ejercicio1.1.4Efectuarlaoperacionindicadayexpresarel resultadoensuformairreducible.1._25__45_2._34_(7) 3. (2)_1110_4. (3)_45__34_5._74__05__45_6._16__34__95_7. (0)_12_8._56_(3)_38_Obtenertresfraccionesequivalentes paralassiguientes fracciones.9. 1210.5411. 73Versin Preliminar1.1. ARITMETICADENUMEROSRACIONALESM. SALAZARA. 17Soluciones.1.8252.2143. 1154.955. 0 6.9407. 0 8. 1516Para los ejercicios 9, 10 y 11 no se presenta su solucion ya que existen innidaddefracciones equivalentes paracadan umeroracional.Ejercicio1.1.5Encontrar laformairreducibledelos siguientes n umerosracionales1.3902102.60022003.3759754.63072455.12936215606.169884653407.50050136508.300300392700.Soluciones1.1372.3113.5134.2235.356.1357.1138.13171.1.7. Divisionden umerosracionalesLadivision delosn umerosracionalesabycd,conc ,= 0,sedenotacomoab cdobienabcd.Ensuprimera representacionsetiene ladenicionabcd=adbc.Si ladivisionestaexpresadaenlasegundaforma, laaplicacionde ladenici on seconocecomolaregladel emparedado:Versin Preliminar18 CAPITULO1. ARITMETICAabcd=adbc.Ejemplo1.1.12Calcularlassiguientes divisiones:1._34_ _25_2._56_ 4 3.23544.7485.25_310__125_ 6._13__54__27__65_ 7._47_811Soluciones.1._34_ _25_=(3)(5)(4)(2)= 158.2._56_ 4 =_56_ _41_=(5)(1)(6)(4)=524.3.2354=(2)(4)(3)(5)= 815.4.748=7481=732.5.25_310__125_Versin Preliminar1.1. ARITMETICADENUMEROSRACIONALESM. SALAZARA. 19Seresuelve primerolamultiplicacion indicadaenel denominador_310__125_=(3)(12)(10)(5)=22 32252=1825.Ahoraserealizaladivision251825=(2)(25)(5)(18)=(2)(5)(5)(5)(9)(2)= 59.6._13__54__27__65_=5121235=(5)(35)(12)(12)= 175144.7._47_811=_47__81_111=327111= 3277. Ejercicio1.1.6Efectuarlaoperacionindicadasimplicandoelresultado.1. 34122.94 4 3. 7 144.25345._25__16__49_ 6._27_(8)677._29__35__43__106_ 8.2_76__14_ 9._23____1426___10._3486__45_Versin Preliminar20 CAPITULO1. ARITMETICASoluciones.1. 322.9163. 28 4. 8155.3206.837.3508. 4879. 1210. 9201.1.8. Sumaden umerosracionalesLasumadefraccionespresentadoscasos.Elprimeroescuandolasfrac-ciones tienen el mismo denominador, el segundo es cuando los denominadoressondiferentes.Caso 1. Si los n umeros racionales tiene el mismo denominador la sumaestadenidacomo:ac+bc=a + bc.Caso2.Silosdenominadoressondiferentes, lasumasereescribepormediodefraccionesequivalentesquetenganelmismodenominador, reduciendolasumaalcaso1.ab+cd=adbd+cbdb=ad + bcbd.Una manera alternativa de conseguir fracciones equivalentes es por medio delm.c.m.delosdenominadores. Porejemplosi mesel m.c.m.deb, dyfsetieneab+cd +ef=mba +mdc +mf em.Lossiguientes ejemplosilustranel proceso.Versin Preliminar1.1. ARITMETICADENUMEROSRACIONALESM. SALAZARA. 21Ejemplo1.1.13Calcularlassiguientesoperaciones.1.34+542.43 23Soluciones.Al teneridenticos denominadoreslasumaesdirecta.1.34+54=3 + 54=84= 2. 2.43 23=4 23=23. Ejemplo1.1.14Calcularlassiguientesoperaciones.1.14+532.23 583.25+ 3 4. 3_25+37_5.23 566.34 567.516 74Soluciones.1. Primeroseobtienenfraccionesequivalentesdecadasumandoconelmismo denominador14 33=312,53 44=2012.Porlotanto14+53=312+2012=2312.Alternativamente, comoel m.c.m. de3y4es12setiene14+53=124 1 +123 512=31 + 4512=2312.2. Seobtienen fraccionesequivalentes paracadasumando23 88=1624,58 33=1524.Porlotanto23 58=1624 1524=124.Alternativamente, comoel m.c.m. de3y8es24setiene23 58==243 2 248 524=82 3524=124.Versin Preliminar22 CAPITULO1. ARITMETICA3. Enesteejercicio seconsidera3 =31.Entonces,25+ 3 =25+31=(2)(1) + (5)(3)5=175.4. Paraesteejerciciosesugiere calcular primerolaoperacionindicadaentreparentesis, esdecir25+37=14 + 1535=2935,yluego_31__2935_=8735.Obienalaplicarlapropiedaddistributivasetiene3_25+37_= 3_25_+ 3_37_=65+97=42 + 4535=8735comoeradeesperarse.5. Primeroseobtienelafraccionequivalente conveniente23 22=46,23 56=46 56= 16.6.34 56=(3)(6) (4)(5)24=18 2024= 224= 112.Yaqueelm.c.m de4y6es12setiene34 56=124 3 126 512=33 2524=9 1012= 112.Versin Preliminar1.1. ARITMETICADENUMEROSRACIONALESM. SALAZARA. 237. Unafraccionequivalente alsegundosumandoes74 44=2816.As516 74=516 2816= 2316= 2316.

El siguienteejemplomuestranuevamenteel algoritmodecomocalcularlasumaden umerosracionalestomandocomodenominadorcom unel m.c.m.delosdenominadoresdelasfraccionesinvolucradas.Ejemplo1.1.15Realizar lasumasiguiente237360+48784525396.Solucion.Ladescomposicionenn umerosprimosdecadaunadelosdenom-inadoreses360 = 23 32 5 84 = 22 37, 396 = 22 32 11.Elm.c.m. delostresn umeroses23 32 5711 = 27720. As setiene237360+48784 525396=27720360 273 +2772084 487 27720396 (525)27720=77(237) + 330(487) 70(525)27720=18249 + 160710 3675027720=14220927720=158013080.Elnumeradordelafraccion77(237) + 330(487) 70(525)27720puedeserobtenidodirectamentedelasiguientemanerayqueestansolodescribir laoperaciondespuesdelprimer signodeigualdad.Paraobtenerelprimersumando, seconsideralaprimerafracciondelasuma,esdecir237360.Se pregunta Cuantasveces cabe el denominador 360de la primera fraccion,enel denominadorcom un27720?Esdecir sehaceladivision27720360=23 32 571123 32 5= 711 = 77,Versin Preliminar24 CAPITULO1. ARITMETICAy despues el numerador 77 de la fraccion, se multiplica por el numerador 237delafraccionconsiderada. Enconcretoloquesehahechoesreescribirlafraccionoriginal237360porunaequivalente, pues237360= 1 237360=7777 237360=77(327)77(360)=1824927720.Elprocesoserepite paralasotrasdosfracciones.Siserecurreafraccionesequivalentes directamente setiene237360=237360 8484 396396=78835681197504048784=48784

360360 396396=6942672011975040525396=525396 360360 8484=1587600011975040Porlotanto237360+48784525396=788356811975040+6942672011975040 1587600011975040=6143428811975040.Porsupuestoalsimplicar estafraccionseobtiene elmismoresultado. Ejercicio1.1.7Calcularlassiguientesoperaciones.1.12 452.34+ 8 3.12 25+1104._47__12+34_5. 3_26 13_6._47 37+17 1__38_7. (3)_25 45+15_8.25+ 7Soluciones.1. 3102.2943.154.575. 0 6.15567.358.375Versin Preliminar1.1. ARITMETICADENUMEROSRACIONALESM. SALAZARA. 25Ejercicio1.1.8Ejercicios propuestos.1._45__23_(3)_25_ 2._35__14__87_23 153.23 _15_73+254._34__78_54 15. 3_27+47 17_6. 2_68 24_7. 4_56__89__115_8.25_46 38_9. 54 8710.65_4 +_37 14__11._49__02_(4) 12.32 52213.85 3415+2514.53+4624 1315._35 14__25 34_16._32 14_217._45 23__12+34_18. 12 1519._35__94+34 114_20._15__25_521.35+14 2322._32__4323_+ 323. 254Versin Preliminar26 CAPITULO1. ARITMETICASoluciones.1.492. 18493.50294.2185. 1576.127. 7 8.7609. 353210.223511. 0 12. 1213.171214. 14 15. 1 16.5817. 242518. 6019.32020. 1232521.116022. 0 23. 110Enlohechoanteriormentesehanusadolosparentesis( )comounsmbolopara indicar el producto de dos n umeros racionales. Pero los () no solo indicanun producto, tambien se utilizan como un smbolo de agrupamiento e indicanqueloqueestacontenido dentrodeellos sepuedeconsiderarcomounasolaunidad. Otrossmbolosdeagrupamientosonlos corchetes [ ] y lasllaves . Lossiguientes ejemplos yejercicios abundansobreel usode smbolosdeagrupamiento.Ejemplo1.1.16Calcularlassiguientes operaciones.1.25 _12+34_2.__32+25 34_45__3 12_+ 73. 500 [(6 1)8 4]3 + [16 (10 2)] 5Soluciones.1. Primerosecalculalaoperaciondentrodel parentesis,as:25 _12+34_=25 2 + 34=25 54=8 2520= 1720.2. Seprocedeaeliminar losparentesisdesdeelinterior alexterior__32+25 34_45__3 12_+ 7 =Versin Preliminar1.1. ARITMETICADENUMEROSRACIONALESM. SALAZARA. 27=_30 + 8 1520 45__62 72_+ 7=_2320 45__12_+ 7=11580+12 7=2316+12 71=23 + 8 11216= 8116.3. 500 [(6 1)8 4]3 + [16 (10 2)] 5 == 500 [(5)8 4]3 + [16 8] 5= 500 [40 4]3 + 2 5= 500 [10]3 + 2 5= 500 30 + 2 5= 500 32 5= 463.

Ejercicio1.1.9Calcularlassiguientes operaciones:1._35 3__7 34_2. 5 35_(24 + 3) _55__3.___35 53_3_9 __72 27__449__2_+ 34. (40 5)5 + (6 2)3 + 4 [(5 2) 10]5. 800 20 3 4 + 5[18 (6 1)3 + (5 2)4]6.__32 74_32_+_38 83_73Versin Preliminar28 CAPITULO1. ARITMETICA7._12_34+29 12____34 35_2_Soluciones.1. 481252. 17 3. 4 4. 525. 717 6.49127.463260Versin PreliminarCaptulo2Algebra2.1. NotacionalgebraicaSeiniciaestaseccionrecordandolanotacionalgebraica. Expresionesdelaforma:3x24x + 10, 6xy3xy 5y2+ 1 + y, 9x 17yse denominan expresionesalgebraicas, esdecir, sonexpresiones constitudasporn umeros, literalesysignosdeoperaciones. Lasexpresionesalgebraicasse construyen a partir de susterminos, loscuales aparecen separadospor lossignos (+) o (). Por ejemplo, la expresion 6xy3xy 5y2+1 tiene cuatroterminos,6xy3, xy, 5y2y1;mientrasquelaexpresion9x 17ytienedosterminos, 9xy17y.Unterminoconstadeun coeciente yunaparteliteral. Escostumbreconsiderarsolocoecientesnumericosexplcitos,porejemploenel termino3x2, 3 es el coeciente y x2es la parte literal. En el termino17y, el coecientees17ylaparteliterales1y. El termino10notieneparteliteral ysellamaterminoconstante. Laparteliteraldeunterminopuedeestarelevadaaunexponente,porejemplo, en5a3,5esel coeciente y3esel exponente.Unaexpresionalgebraicaquecontieneunsoloterminosellama monomio.Lasumaorestadedosmonomiosoriginaun binomio, ladetresun tri-nomio, y, engeneral, ladedosomasterminossellama multinomio. Una29Versin Preliminar30 CAPITULO2.ALGEBRAexpresionalgebraicadondelasliteralesestan unicamenteafectadasporex-ponentesenterospositivosrecibe elnombrede polinomio.Porejemplo3x24x + 10 y 2x5y 4x3xy2sonpolinomios;noas6xy3xy 5y2+ 1 y 9x 17y.Se llaman terminossemejantesa aquellos que solodieren en sucoecientenumerico. Porejemplo9x3y4, 13x3y4,23x3y4,5x3y4sontodosterminossemejantes.El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las literalesqueloconforman.As el gradode 3x2es2,el de2x5yes 6yel de 4x es1.El grado de un polinomioes el correspondiente al termino de mayor gradocuyo coeciente sea distinto de cero. Las constantes se consideran polinomiosdegradocero.Ejemplo2.1.1Determinar el gradodecadaunodelospolinomiosdados.1. 6x2y4+3xy211xy 2. 2xy3+5x2y28x3y+x4Solucion1. Losgradosdelosterminosomonomios6x2y4, 3xy2y11xyson6, 3y2respectivamente. Porconsiguiente el gradodel polinomioes6.2. Enel polinomio 2xy3+ 5x2y28x3y + x4,todoslosterminos tienengrado4,demodoqueel gradodel polinomioestambien 4.Nuevamente, seusanlossmbolosdeagrupamientoyamencionados: elparentesis( ), loscorchetes[ ] ylasllaves , paraindicarqueel grupodeterminoscontenidosdentrodeellosdebeserconsideradocomounasolaunidad y recordando que estos smbolos tambien indican una multiplicaci on.Versin Preliminar2.2. EXPONENTESD. ELIZARRARAZM. 312.2. Exponentes D. ElizarrarazM.El uso de exponentes es frecuente en el manejo de expresiones algebraicas. Enestaseccionseenuncianlasleyesdelosexponentesysepresentandiversosejemplos. Inicialmente sepresentanlosexponentesenterosyposteriormentelosexponentesfraccionariosoradicales.2.2.1. ExponentesEnterosEl area de uncrculo de radioresta dadaporA = r2, de modoque el areadeuncrculo deradio5esA = 52= 25.Por otroladoel volumendeuncubo, dearistal, estadadopor V =l3.As queel volumendeuncubocuyaaristaesiguala4esV= 43= 64.En estos doscasos se hahecho usode los exponentesde la siguiente manera52= 55 = 25 y 43= 444.Seanacualquiern umeroreal ynunenteropositivo. Sedenelan-esimapotenciadeln umeroacomoan=(nfactores) .. aaaa . (2.2.1)El n umeroa se llama basey el n umeron exponente. Se extiende la denicionprevia delasiguienteformaa0= 1, an=1ancona ,= 0.Ejemplo2.2.1Calcularlassiguientespotencias:1. 342. 253. 604._12_45. 536. (2)57._12_4Versin Preliminar32 CAPITULO2.ALGEBRASolucion.1. 34= 3333 = 81. 2. 25= 22222 = 32.3. 60= 1. 4._12_4=12 12 12 12=116.5. 53=153=1125.6. (2)5=1(2)5=132= 132.7._12_4=1_12_4=1116= 16. Apartir deladeniciondeexponente, se puedenestablecer unaseriedepropiedades, denominadasleyesdelosexponentes, lascualesseenuncianacontinuacion.Seanaybn umerosrealesym, nn umerosenteros.I.Elproductodedospotenciasconlamisma baseesaman= am+n.II. Elcociente dedospotenciasconbaseigualesaman= amn(a ,= 0).III. Lapotenciadeotrapotenciaes(am)n= amn(a ,= 0).IV.LapotenciadeunproductoesVersin Preliminar2.2. EXPONENTESD. ELIZARRARAZM. 33(ab)m= ambmconab ,= 0sim < 0.V.Lapotenciadeuncociente es_ab_m=ambmconb ,= 0,ya ,= 0sim 0 .Ejemplo2.2.2Simplicar las expresiones siguientes, escribiendo el resulta-donalsinexponentesnegativos.1. 63 642. z2 z63. x2 x11 x94.2425.85836.x3 x5x77. y3(y10 y6) 8. (53)79. 85 (83)210.(x3)3(x4)211. (x2)2(x5)5Soluciones. Enlossiguientesejerciciosseaplicalaprimeraleydelosexpo-nentes.1. 63 64= 63+4= 67.2. z2 z6= z2+(6)= z4=1z4.3. x2 x11 x9= x2+11 x9= x9 x9= x0= 1.Enlossiguientesejerciciosseaplicanlaprimeraysegundaleydelosexponentes.4.242= 241= 25=125.5.8583= 85(3)= 88.6.x3 x5x7=x35x7=x2x7= x2(7)= x5.Versin Preliminar34 CAPITULO2.ALGEBRA7. y3(y10 y6) = y3(y10+6) = y3(y4) =y3y4= y3+4= y.Enlossiguientes ejercicios se aplican laprimera, segundaytercera leydelosexponentes.8. (53)7= 5(3)(7)= 521.9. 85 (83)2= 85 86= 856= 81=18.10.(x3)3(x4)2=x(3)(3)x(4)(2)=x9x8= x9(8)= x17.11. (x2)2(x5)5=x2(2)x(5)(5)=x4x25= x425= x21=1x21. Ejemplo2.2.3Simplicar las expresiones siguientes, eliminando parentesisyexponentesnegativos.1. (2x2y4)32.(ab2)3(a2b)53._4x5y_34. y4_xy3_55._x59_2(3x2)26.(3x4)2(x3y2)47. (a1b1)18.a2+ b2(ab)2SolucionSeaplicanlasleyes delosexponentes1. (2x2y4)3= 23(x2)3(y4)3= 8x6y12=8x6y12.2.(ab2)3(a2b)5=a3(b2)3(a2)5b5=a3b6a10b5=a3a10 b6b5= a3(10)b6(5)= a7b1=a7b.3._4x5y_3=64x3125y3.Versin Preliminar2.2. EXPONENTESD. ELIZARRARAZM. 354. y4_xy3_5= y4x5(y3)5= y4 x5y15= x5y4(15)= x5y19=y19x5.5._x59_2(3x2)2=(x5)2921(3x2)2=x1092132x(2)(2)=x109219x4=(x10)(9x4)92 1=x104921=19x66.(3x4)2(x3y2)4=32x(4)(2)(x3)4(y2)4=9x8x12y8=9x20y8.7. Enprimerlugarsesimplicalaexpresionqueseencuentradentrodelparentesis yseobtiene(a1b1)1=_1a 1b_1=_b aab_1=(b a)1(ab)1=abb a.8. Comoa0= b0= 1setienea2+ b2(ab)2=a2(ab)2+b2(ab)2= a2+2b2+ a2b2+2= b2+ a2. Ejercicio2.2.1Simplicar las siguientes expresiones. Expresar el resultadosinparentesisysinexponentesnegativos.Versin Preliminar36 CAPITULO2.ALGEBRA1. (94)32. (52)83. (z5)24. (x7)65. (x2)56. (x3)47. x7 x68. b2 b49. y6 y1110. z3 z1011. z2 z412. (2x)3x513. (3x)4x714. (2x)2(2x1)415.x44(5x1)316. (x3y2z)2(xz2)517. (2xy3)4(x5z)318. (y3w2)519. (ab3)120. (x2yw4)2(xyw)621. (pq5r)2(q1r)222.(42)316323.(54)25724._19_29525._16_46326.x3x427.z2z1328.(y3)2y429.x12(x2)630.(c2)9(c6)331.(r7)2(r3)332.(y4)2(y)333.(z2)3(z2)434.(a3b2)3(ab)435.(xy3)2(x2y)336.(2xy)5x5y37.(xy2z)2x3y2z138.(6x)26x239.(2a2b)2(4ab3)240. 7x3(x2+ 7x2) 41. 5x4(x39x)Versin Preliminar2.2. EXPONENTESD. ELIZARRARAZM. 3742. x6(4x2+ 2x 5x3) 43. 3x6(4x84x6+ x2)44. (53+ x3)145. [(5x)2+ (5y)2]146. x1(x + x1)147. (xy)1(x1+ y1)148. (x1+ y1)149._6y__512y__52y_250. x4_93x_1_14x_251.6x20y3 313xy52.715y4+420y353.32y3+34y354.15y5 12y555._x2y46__5y 9x4_56.a24a2 a2a557. x7_3xy y34x4_58._4x+ x2__x34+16x3_Soluciones.1. 9122. 5163. z104. x425. x106. x127. x138. b69. y510. z711. z212.8x213.x38114.64x215.125x4Versin Preliminar38 CAPITULO2.ALGEBRA16. x11y4z1217. 16x19y12z318.y15w1019.b3a20.x2y4w221. p2q1222. 1 23. 5 24. 9725.1626. x727. z1128. y229.1x2430. 131.1r2332. y1133. z1434.1a13b1035.y3x836. 32y437.xy6z38. 6 39.164a6b840. 7x5+ 49x 41. 5x 45x542. 4x8+ 2x75x343. 12x212 +3x444.125x3x3+ 12545.x2+ y225x2y246.x2+ 1x247.1y + x48.xyy + xVersin Preliminar2.2. EXPONENTESD. ELIZARRARAZM. 3949. 154y250.16 3x48x351.39x230y2130xy352.7y4+ 3y31553.9y3454. 3y51055.3y510x256. 14a457.12x2y258.12(4x + 1)5x52.2.2. ExponentesFraccionariosyRadicalesEn la seccion anterior se estudiaron solo exponentes enteros sin embargo,las leyes de los exponentes tambien son validas para exponentes fraccionarios.Paraelloesnecesariotomarencuentalassiguientesdenicionesyconside-raciones.Sean n un n umero natural par y a 0 un n umero real. Se dice que el n umerobeslarazn-esimaprincipal deasibn= ayb 0.Seescribeb = a1n.Sines un entero positivo impar ya es un n umeroreal arbitrario, entoncesbeslarazn-esimadeasibn= a. Sesiguedenotandob = a1n.Notese que las races impares estan denidas para todos los n umeros reales a,mientras que lasraces pares unicamente se denencuandoaes nonegativoyeneste caso a1ntambienesunarazn-esimadea.Ejemplo2.2.4Calcularlassiguientesraces.1. 64132. 81143. (32)154. (15625)165. (100)146. 11n, nunenteropositivo 7. (1)1n, nunentero positivoimparSolucion.Aplicandoladenicionderazn-esima.1. 6413= 4,yaque43= 64.2. 8114= 3,porque34= 81.3. (32)15= 2,yaque(2)5= 32.Versin Preliminar40 CAPITULO2.ALGEBRA4. (15625)16= 5,porque56= 15625.5. (100)14no existe puesto que las races n-esimas con n par unicamentesestandenidasparan umerosnonegativos.6. 11n= 1,yaque1n= 1paratodoenteropositivo.7. (1)1n= 1,porque(1)n= 1paratodoentero positivoimpar. Tambiensedenotaa1ncomona. El smbolo nsedenomina razn-esima. Si n=2, a12serepresentasimplementepor ayselellamalarazcuadradadea. Analogamente3a=a13eslarazc ubicadea;4a=a14eslarazcuartadeayas sucesivamente.Losresultadosdel ejemploanterior(2.2.4), puedenreescribirse utilizandoestanotacion:1.364 = 4. 2.481 = 3. 3532 = 2. 4.615625= 5.5.4100 noexiste.6.n1 = 1, connunentero positivo.7.n1 = 1, paranunenteropositivoimpar.Lapotenciafraccionariadeunn umerorealasedeneacontinuacion.Sea n un entero positivo y m un entero diferente de cero. Entonces la potenciafraccionariamndeaesamn= (a1n)m.Enladenicionanteriorseobservaquesi nespar, adebesermayoroigualque cero,yquesimesnegativo,adebeserdistinto decero.Ejemplo2.2.5Utilizando ladenicion calcular:1. 4522. 9123. 25634Versin Preliminar2.2. EXPONENTESD. ELIZARRARAZM. 41Solucion.1. 452= (412)5= 25= 32. 2. 912= (912)1= 31=13.3. 25634= (25614)3= 43=164.Sepuedegeneralizar elresultadode2del ejemplo anteriorcomosigue:a1n= (a1n)1=1a1n,estoesa1n=1na.Existe un procedimiento alternativo para calcular una potencia fraccionar-ia. Seenunciaesteresultadoenelsiguiente teorema:Teorema2.2.1Si amnexiste, entonces:amn= (am)1n.Ejemplo2.2.6Calculardedosmanerasdistintas:1. 25322. 8134Solucion.1. Unaprimera maneraes2532= (2512)3= 53= 125yotraformaes2532= (253)12= ((52)3)12= (56)12= 53= 125.2. Ahorabien8134= (8114)3= 33= 27yporotrolado8134= (813)14= ((34)3)14= (312)14= 33= 27.

Versin Preliminar42 CAPITULO2.ALGEBRADeesteejemploseconcluyequeesmasfacil calcularamnutilizandoladenicionamn= (a1n)m,queutilizandolaformaamn= (am)1n.Seobservaahorael hechodequeconestasdeniciones, sesiguequeleyesdelosexponentesvistasenlaseccionanteriortambiensonvalidasparaex-ponentesfraccionarios.Esdecir,sip, qsonn umerosracionalesya, bsonunn umerosreales diferentes decero,entonces:I.Elproductodedospotenciasconbaseigualesapaq=ap+q.II.Elcociente dedospotenciasconbaseigualesapaq= apq.III. Lapotenciadeotrapotenciaes(ap)q= apq.IV.Lapotenciadeunproductoes(ab)p= apbp.V.Lapotenciadeuncociente es_ab_p=apbp.Al emplearestasleyessedebetenerpresentequeencualquierpotencia, siel exponentees negativo, labase nodebeser cero; yquesi el exponentecontiene unarazpar,entonceslabasenodebesernegativa.Trescasosparticularesdelasleyesdelosexponentessonutilizadasconfre-cuenciautilizandolanotacionderadicalesyselesconocecomolasleyesdelosradicales.III. Elmesimo radicaldeunnesimoradicalesVersin Preliminar2.2. EXPONENTESD. ELIZARRARAZM. 43m_na =mna.IV. Elnesimoradicaldeunproductoesnab =nanb .V. Elnesimoradicaldeuncociente esn_ab=nanb.Ejemplo2.2.7Simplicar.1. 74 7232. 652 623.1013410544.3323325.x215x36. (45)1177. (829)838.3a2b9.a5b310. (7x47y6)1211._4a9b12.5a103b513.3_789 14.3__64x12y30Solucion.1. 74 723= 74+23= 71432. 652 62= 652+2= 612=163.101341054= 10134 54= 102= 1004.332332=1332(32)=133=127Versin Preliminar44 CAPITULO2.ALGEBRA5.x215x3= x215 3= x65=5x66. (45)117= 45117= 45577. (829)83= 8(29)(83)= 816278.3a2b =3a23b9.a5b3=a5b310. (7x47y6)12= 712x(47)(12)y(6)(12)= 712x27y3=y377x211._4a9b=4a9b=4a9b=2a3b12.5a103b5=5_a1035b5=(a103 )15(b5)15=a23b=3a2b13.3_789 =218914.3__64x12y30=6_64x12y30=6646x126_y30= 2x2y5

Ejemplo2.2.8Determinarrtalque64516= 4r.Solucion.Seexpresaelnumeradoryeldenominadorcomopotenciade4,esdecir64516=431615=43(42)15=43425= 4325= 4135.Porconsiguienter =135. Ejemplo2.2.9Evaluar:1._1 +48121_122._125y68_43Versin Preliminar2.2. EXPONENTESD. ELIZARRARAZM. 45Solucion.1. Serealiza lasumaindicada_1 +48121_12=_169121_12=_132112_12seusa laleyV=__1311_2_12seaplica laleyIII=_1311_(2)12=_1311_1=13112._125y68_43=_53y623_43seaplica laleyV=__5y22_3_43seemplealaleyIII=_5y22_4=_25y2_4seusalaleyV=24(5y2)4seaplica laleyIV=16625y8Ejemplo2.2.10Simplicar laexpresionsiguiente.4k 9k 5k 6k8k 93k/2 10kVersin Preliminar46 CAPITULO2.ALGEBRASolucion. Enestecasoesconvenienteexpresartodaslasbasesenterminosdesusfactoresprimos.4k 9k 5k 6k8k 93k/2 10k=(22)k (32)k 5k (23)k(23)k (32)3k/2 (25)k=22k 32k 5k 2k 3k23k 33k 2k 5kpor lasleyesIIIyIV=22k33k23k33ksimplicando factores comunes= 22k3k= 2k=12kEjemplo2.2.11Simplicar laexpresion siguiente128 1838Solucion.Primero se observaque los n umerosdentro de los radicales puedenexpresarse como el producto de dos n umeros, tales que uno de ellos tiene razcuadradaexacta.128 =642 =642 = 82.18 =92 =92 = 32.8 =42 =42 = 22.Luego128 1838=82 323(22)=5262=56

Ejemplo2.2.12Simplicar1.4x7_416x _x_2.3x(9x5+3x2) 3.x 10x27xVersin Preliminar2.2. EXPONENTESD. ELIZARRARAZM. 47Solucion.1.4x7_416x _x_=4x7(4164x 4x)= x74(2x14x14)= x74 x14= x22.3x(9x5+3x2) = x13(9x52+ x23)= 9x13 x52+ x13 x23= 9x176+ x= 96x17+ x3.x 10x27x=x12 10x2x17= (x1210x2)(x17)= x12(x17) 10x2(x17)= x51410x137

Seconcluye estaseccionconlassiguientes observaciones:(i)a2+ b2,= a + b ya + b ,= a +b(ii) (na)n= a, dondea 0sinesparVersin Preliminar48 CAPITULO2.ALGEBRAEjercicio2.2.2Enlosejercicios 1a6determinar elvalordekparaque secumplalaigualdad.1. 273 = 3k2.381= 3k3.3_927= 3k4. 4832 = 2k5._3 = 9k6.4_3_3 = 3kEnlosejercicios 7a19evaluarlaexpresion dada.7.100 8.381 9._1 +133610.3_2 +102711.5243 12.30. 06413._(2)214. (16)5415. (0. 09)1216. (165 8152)11017. 2729 93718. 3614_16_5819. 8138134Enlosejercicios 20a42simplicar cadaexpresion.20. (32x10)4521._64x327_4322. (16x4y20)3423.3_125w68z324.4x5/338x1/325. (x2/7 x4/3)426. (x1/3 x1/2)327. (64x6)1/2(27x6)2/328.x2/5y7/3x8/5y4/329.a10/7b5/6x2/7y1/330._w11/6z7/6w1/6z1/12_12Versin Preliminar2.2. EXPONENTESD. ELIZARRARAZM. 4931.(ab3)1/2(a2b)1/3(a5b4)1/2032. (3a3b4)1/7(92ab1)8/733.4x4/3y1/5 2x5/9y3/2534. 350 103235. 563 + 928 36. 745 + 22037.627 531238. 6324 2312839. z4/5 z2/3 (z3)1/8

1(z2/15)440. x1/2 y3/4

_yx_5/9

x73/18y79/3641.8k 9k/3 25k 63k4k/2 9k/2 103k42.202k 28k 30k 12k63k 85k/3 15k43. Determinarsilassiguientesigualdadessonverdaderasofalsas.(a)12 =7 +5 (b)12 =6 2 (c)36 = 6(d)16 + 9 = 4 + 3 = 7 (e) xm xn= xmn(f)xmxn= xm/n(g)4x3x =7x(h)x2= x, paratodon umerorealxSolucionesVersin Preliminar50 CAPITULO2.ALGEBRA1. k=722. k= 723. k= 134. k=2365. k=186. k=1247. 10 8. 3339.7610.4311. 3 12. 2513. 2 14.13215.10316.3417.134/2118. 69/819. 54 20. 16x821.256x48122.8x3y1523.5w22z24. 2x19/3625. x88/2126.1x1/227.172x28.x2y11/329.a10/7b5/6x2/7y1/330.w24z1331.1a1/12b29/3032.3337b12/7a5/733.2x7/9y2/2534. 252 35. 337 36. 55/237.13238. 1233 + 832 39.1z31/4040. x4y441.22k38k/35k42.52k24k3k43.(a) Falsa (b) Verdadera (c) Falsa (d) Falsa(e) Falsa (f) Falsa (g) Falsa (h) FalsaVersin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 512.3. OperacionesAlgebraicas D. ElizarrarazM.2.3.1. SumayRestaLasumaorestadeexpresionesalgebraicasserealizaesencialmentere-duciendoterminossemejantes.Lassiguientespautasresultan utilesal efec-tuarsimplicaciones.1. Eliminarsmbolosdeagrupamientodelasiguiente manera:a) Si alsmbolole antecede unsignopositivo,equivale amultiplicarpor+1todos losterminosdel interior, por locual losterminospermanecen iguales,enparticularconservansusigno.b) Si el smbolo es antecedido por un signo negativo, equivale a multi-picar por 1 todoslos terminos del interior y as al quitarlo todoslosterminoscambiarandesigno.c) Si existen varios smbolos de agrupamiento anidados, es decir, unodentrodel otro, sevaneliminandoapartirdelmasinterno,con-formealasdosreglasantesdescritas. Tambienesvalidohacerloapartirdel masexterno.2. Reducirterminossemejantes. Esdecir,sumarorestarloscoecientesde terminos semejantes. Amenudose reagrupanlos terminos de laexpresion de tal manera que losterminos semejantes aparezcanjuntos.Ejemplo2.3.1Efectuarlasoperacionesindicadasysimplicar.1. (7x2+ 6x 7) + (8x22x) (4x2+ 10x 11)2. 10x3[6x3(2x 4) + (4x3+ x29x 7)]Solucion1. Se observaque el signo()que antecede al tercer parentesis afectanosoloal primerterminodelaexpresiondentrodeel, sinoatodos losterminos ensuinterior.(7x2+6x 7) + (8x22x) (4x2+ 10x 11) seeliminanlosparentesis= 7x2+ 6x 7 + 8x22x 4x210x + 11 seagrupan terminos= 7x2+ 8x24x2+ 6x 2x 10x 7 + 11 sereducen terminossemejantes= 11x26x + 4Versin Preliminar52 CAPITULO2.ALGEBRA2. Esteejemplo presentaanidamientoenlaagrupacion. Seobservacomoseelimina primeroel smbolomasinterior10x3[6x3(2x 4) + (4x3+ x29x 7)] seeliminanlosparentesis= 10x3[6x32x + 4 4x3+ x29x 7] seelimina elcorchete= 10x36x3+ 2x 4 + 4x3x2+ 9x + 7 seagrupan terminos= 10x36x3+ 4x3x2+ 2x + 9x 4 + 7 sereducen terminossemejantes= 8x3x2+ 11x + 3

Ejemplo2.3.2Realizar lassiguientesoperaciones1. Sumar7x3y2+ 3x2y 8y + 1 y 11 + 4y 10x2y 9x3y2.2. Restar6 2x 8xy 10xy2+ 7x2y4de 15x2y4+ 3xy28xy + x.3. Restar23x + 8xy 6_3y de13x 7xy + 4_3y.Soluciones1. Lasumarequerida es7x3y2+ 3x2y 8y + 1 + (11 + 4y 10x2y 9x3y2) seeliminaelparentesis= 7x3y2+ 3x2y 8y + 1 + 11 + 4y 10x2y 9x3y2seagrupanterminossemejantes= 7x3y29x3y2+ 3x2y 10x2y 8y + 4y + 1 + 11 sereducenterminossemejantes= 2x3y27x2y 4y + 12Versin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 532. Larestaes15x2y4+ 3xy28xy + x (6 2x 8xy 10xy2+ 7x2y4) seeliminaelparentesis=15x2y4+ 3xy28xy + x 6 + 2x + 8xy seagrupanterminos+ 10xy27x2y4semejantes=15x2y47x2y4+ 3xy2sereducenterminos+ 10xy28xy + 8xy + x + 2x 6 semejantes= 8x2y4+ 13xy2+ 3x 63. Ahorasecalcula13x7xy + 4_3y (23x + 8xy 6_3y) seelimina elparentesis=13x 7xy + 4_3y +23x 8xy + 6_3y seagrupan terminossemejantes=13x +23x 7xy 8xy + 4_3y + 6_3y sereducen terminossemejantes=x 15xy + 10_3y2.3.2. MultiplicacionLamultiplicacion deexpresiones algebraicasseestudiaporcasos.MultiplicaciondemonomiosEl casomas simple corresponde ala multiplicacion de monomios. El pro-cedimiento usalossiguientespasos.1. Semultiplican loscoecientes, aplicandolasreglasdelossignos:(+)(+) = +, (+)() = , ()(+) = , ()() = +.2. Seescribeacontinuacionel productodetodaslasvariablesdistintasque se encuentren en los monomios a multiplicar aplicando las reglas delosexponentes.Serecuerdaquesiunavariablenopresentaexponenteesteesiguala1.Versin Preliminar54 CAPITULO2.ALGEBRAEjemplo2.3.3Efectuarlasmultiplicaciones1. 12(7x3y4z) 2. (4a5b2)(8ab6c3)3. (9xy3)(2x2y4)(4x3/2y)Solucion.1. 12(7x3y4z) = 12(7)(x3y4z) = 84x3y4z2. (4a5b2)(8ab6c3) = (4)(8)a5b2ab6c3= 32a6b8c33.(9xy3)(2x2y4)(4x3/2y) = 72(x1/2y3)(x2y4)(x3/2y1/2)= 72x4y15/2

MultiplicaciondeunmonomioporunmultinomioEn este caso se aplica la propiedad distributiva. Se multiplica el monomiopor todos ycadaunode los terminos que constituyenel multinomio, enlaformadescritapreviamenteytodos los resultados obtenidos se sumanalgebraicamente.Ejemplo2.3.4Efectuarlamultiplicacion indicadaysimplicar.1. 2x2y(x3+ 7xy y3)2. 8ab2c(6ab 9a3bc4+ 5)3._xy__3x2y45yx_4. 2wz2(3w + 7wz 4z)Soluciones.1.2x2y(x3+ 7xy y3) = (2x2y)x3+ (2x2y)(7xy) (2x2y)(y3)= 2x5y 14x3y2+ 2x2y4Versin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 552.8ab2c(6ab 9a3bc4+ 5) = (8ab2c)(6ab) (8ab2c)(9a3bc4) + (8ab2c)(5)= 48a2b3c 72a4b3c5+ 40ab2c3._xy__3x2y45yx_=_xy__3x2y41__xy__5yx_=(x)(3x2y4)(y)(1)(x)(5y)(y)(x)= 3x3y354.2wz2(3w + 7wz 4z)= (2wz2)(3w) + (2wz2)(7wz) (2wz2)(4z)= 6wz214w3/2z3+ 8wz5/2

MultiplicaciondedosmultinomiosConsistede aplicarnuevamente lapropiedaddistributiva. Semultiplicantodosycadaunodelosterminosdel primermultinomioportodosycadaunodelosterminosdelsegundoysesumanalgebraicamentelosproductosobtenidos.Ejemplo2.3.5Multiplicar lospolinomiosysimplicar.1. (3x 5)(x24x + 7) 2. (6x y + 4z)(x 2y + z)Solucion.1. Se indica en cada pasola operacion a realizar o la propiedad a utilizar.Versin Preliminar56 CAPITULO2.ALGEBRA(3x5)(x24x + 7) propiedad distributiva= 3x(x24x + 7) 5(x24x + 7) monomiospor unmultinomio= (3x)(x2) (3x)(4x) + (3x)(7) propiedad distributiva+ (5)(x2) (5)(4x) + (5)(7)= 3x312x2+ 21x 5x2+ 20x 35 seagrupan terminossemejantes= 3x312x25x2+ 21x + 20x 35 sereducenterminos semejantes= 3x317x2+ 41x 352.(6x y + 4z)(x 2y + z) propiedaddistributiva= 6x(x 2y + z) y(x 2y + z) + 4z(x 2y + z) monomios porunmultinomio= (6x)(x) (6x)(2y) + (6x)(z) + (y)(x) propiedad(y)(2y) + (y)(z) + (4z)(x) (4z)(2y) + 4z(z) distributiva= 6x212xy + 6xz xy + 2y2yz + 4xz 8yz + 4z2seagrupanterminossemejantes= 6x2+ 2y2+ 4z212xy xy + 6xz + 4xz yz 8yz sereducenterminossemejantes= 6x2+ 2y2+ 4z213xy + 10xz 9yzEjemplo2.3.6Efectuarlasoperacionesindicadasysimplicar.1. (2x 3y)(4x 5y)2. ab2[a4(2ab + a3b2)] + 7a2b[a3b (3b2a2b3)]3. 3aa32a[4a 6(a24)] + (2a 3)(4 a)4._3x22x_(4x36x)5._8xy xy__2xy2+4yx_Versin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 57Soluciones.1.(2x 3y)(4x 5y) propiedad distributiva= 8x 10xy 12xy + 15y sereducen terminos semejantes= 8x 22xy + 15y2.ab2[a4(2ab + a3b2)] + 7a2b[a3b (3b2a2b3)] seeliminanlosparentesis= ab2[a42ab a3b2] + 7a2b[a3b 3b2+ a2b3] monomiospor multinomios= a5b22a2b3a4b4+ 7a5b221a2b3+ 7a4b4seagrupan terminossemejantes= a5b2+ 7a5b22a2b321a2b3a4b4+ 7a4b4sereducen terminossemejantes= 8a5b223a2b3+ 6a4b43.3aa32a[4a 6(a24)] + (2a 3)(4 a) semultiplica yeliminanlosparentesis= 3aa32a[4a 6a2+ 24] + 8a 2a2semultipica yse12 + 3a eliminancorchetes= 3aa38a2+ 12a348a 2a2+ 11a 12 sereducen terminossemejantes= 3a13a38a248a 2a2+ 11a 12 semultiplica yagrupanterminos semejantes= 39a424a3144a22a2+ 11a 12 sereducen terminossemejantes= 39a424a3146a2+ 11a 124. Semultiplican losmultinomios paraobtener_3x22x_(4x36x) = (3x22x1)(4x36x)= 12x518x3+ 8x2+ 12Versin Preliminar58 CAPITULO2.ALGEBRA5. Semultiplican losmultinomios entre s_8xy xy__2xy2+4yx_= (8xy xy1)(2xy2+ 4x1y)= 16x2y3+ 32y22x2y 4MultiplicaciondepolinomiosUncasoparticularderelevanciaenlamultiplicaciondemultinomiosescuandolosfactoressonpolinomios,enelcualsepuedeaplicarelalgoritmousado enlamultiplicacionde n umeros reales donde el sistemaposicionalahorasereere alasposicionesdelasdiferentes potenciasinvolucradas.Ejemplo2.3.7Multiplicar lospolinomios2x3x2+ 5x 1yx23x + 2.Seescribeunarreglovertical pararealizarlamultiplicacion, as2x3x2+5x 1x23x +22x5x4+5x3x26x4+3x315x2+3x4x32x2+10x 22x57x4+12x318x2+13x 2portanto(2x3x2+ 5x 1)(x23x + 2) = 2x57x4+ 12x318x2+ 13x 2. Seusaralanotacionf(x) = anxn+ an1xn1+ + a2x2+ a1x + a0cona0, a1, . . . , ann umerosreales, paradenotarpolinomiosenx.2.3.3. DivisionLa division, al igual que la multiplicacion, tambien se abordaporcasosyseenfatiza elcasodelospolinomios.Versin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 59DivisiondemonomiosEstecasohasidoyailustradoenpartecuandosehablodelasreglasdeexponentes. Elprocedimiento sugeridoesel siguiente.1. Sedividen loscoecientes, recordandolasreglasdelossignos:++= +,+= ,+= ,= +.2. Se aplican las leyes de los exponentes alas literales iguales que aparez-can enel numeradory enel denominador.Si el exponente obtenidoenalgunaliteral aesigual acero, serecuerdaquea0=1. Lasliteralesque soloaparecenunavez permaneceninvariantes.Ejemplo2.3.8Realizar lasdivisiones indicadas.1.32x4y3z28x2y62.3a2b5z27a7b5z33.9p8q4r105p7q2r10Soluciones1.32x4y3z28x2y6= 4x2z2y32.3a2b5z27a7b5z3=19a5z23.9p8q4r105p7q2r10=9pq25=95pq2DivisiondeunpolinomioentreunmonomioSe divide cada uno de los terminos del polinomio entre el monomio divisor,deacuerdoconelprocedimientoantesdescritoysesumanalgebraicamentelosresultadosobtenidosdecadadivision.Versin Preliminar60 CAPITULO2.ALGEBRAEjemplo2.3.9Efectuarladivision dada.1.15x67x35x2.9x3+ 6x23x + 123x33.8a410a2b2+ 14b 62ab2Soluciones1.15x67x35x=15x65x7x35x= 3x575x22.9x3+ 6x23x + 123x3=9x3(3x3)+6x2(3x3) 3x(3x3)+12(3x3)= 3 2x+1x2 4x33.8a410a2b2+ 14b 62ab2=8a42ab2 10a2b22ab2+14b2ab2 62ab2=4a3b25a +7ab 3ab2

Ejemplo2.3.10Realizar lasdivisiones.1.3z24z + 52z2.y3+ 6y212y 84yySolucion. Enambosejemploseldenominadortiene potenciafraccionaria,elprocedimiento descrito se aplica nuevamente, ya que, estajusticadoporlasreglasdelosexponentes.Versin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 611.3z24z + 52z=3z24z + 52z1/2=3z22z1/2 4z2z1/2+52z1/2=3z3/222z1/2+52z1/2=3z3/222z +52z2.y3+ 6y212y 84yy=y3+ 6y212y 84y3/2=y34y3/2+6y24y3/2 12y4y3/2 84y3/2=14y3/2+64y1/23y1/2 2y3/2=14y3/2+32y 3y 2y3/2

DivisiondeunpolinomioentreotropolinomioEnuncocientedepolinomios, al polinomiodel numerador selellamadividendoy al polinomiodel denominador, divisor. El siguiente ejemplo des-cribeel procedimientopararealizarladivisiondeunpolinomioentreotropolinomioyesconocidocomodivisionlarga.Ejemplo2.3.11Dividir 14x2+ 17 + 4x3entre 1 + 2x.Solucion.En este caso 14x2+17+4x3es el dividendo y 2x1 es el divisoryladivision es14x2+ 17 + 4x31 + 2x.Antesderealizarladivisionlosterminosdel dividendoydel divisorsees-cribenenordendecrecientedelaspotencias dexyseescribeceroenlaspotenciasfaltantes.As, ladivisionseescribe ahoracomo14x2+ 17 + 4x31 + 2x=4x314x2+ 0x + 172x 1.Versin Preliminar62 CAPITULO2.ALGEBRAEl arreglo pararealizar la division es semejante a la division numerica dondelanotacionposicionalsesustituyeporel ordendelosexponentes.2x2 6x 3 CocienteDivisor 2x 1 4x3 14x2+ 0x + 17 Dividendo 4x3+ 2x2 1rala 12x2+ 0x + 17 2dala+ 12x2 6x 3rala 6x + 17 4tala+ 6x 3 5tala14 ResiduoLos detalles de la division que aparecen en el arreglo anterior, se explicanacontinuacion.a) Primerosedividen laspotenciasmaximasdeldividendoydeldivisor,esdecir,4x32x=4x32x= 2x2yasseobtieneel primer terminodel cociente.b) Se multiplica el cociente 2x2por el divisor 2x1 y se sustrae este resul-tadodeldividendo. Estoestaindicadoenlaprimerala.Elresultadodeestarestaestaenlasegundala.c) Ahorael nuevodividendoesel resultadodelasegundala 12x2+0x + 17.d) Se repiten los pasosanteriores hastaobtenerun residuoigual de gradomenoraldivisor.Sedescribe acontinuacion comosetermina ladivision.Elsegundotermino delcociente seobtienealdividir12x22x= 6x.Semultiplica el segundoterminodel cociente 6xporel divisor2x 1y sesustraedeldividendoobtenidoanteriormente, estoestaeslatercerala.ElVersin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 63resultadodeestasustraccioneselnuevo dividendo yestaenlacuartalayes 6x + 17.Eltercer termino delcociente seobtienealdividir6x + 172x= 3.Se multiplica el tercer termino del cociente 3 porel divisor y se sustrae del ultimo dividendo y aparece en la quinta la. El resultado de esta sustraccioneselresiduoconunvalorconstantede14. Comoesunpolinomiodegradocero es menor que el grado uno del divisor, as el procedimiento de la divisionconcluye. El cociente de la division es 2x26x3 con residuo 14. La respuestapuede escribirse enlaforma4x314x2+ 172x 1= 2x26x 3 +142x 1.Ladivision largajusticalasiguienteigualdadDividendoDivisor= Cociente +ResiduoDivisor,oequivalentementeDividendo = (Cociente)(Divisor) +Residuo,dondeelresiduotiene gradomenorque elgradodeldivisor.La ultima igualdad permite comprobar la respuesta de una division entrepolinomios.Enelejemplo anteriorseverica laigualdad4x314x2+ 17 = (2x26x 3)(2x 1) + 14= 4x32x212x2+ 6x 6x + 3 + 14= 4x314x2+ 17Demaneraformalel procedimiento utilizadoen ladivision largaesdenomi-nadoalgoritmodeladivision,elcualseexpresaenel siguiente resultado.Teorema2.3.1[Algoritmodeladivision]. Seanf(x) y d(x) ,=0dospolinomios,conel gradodef(x)mayoroigual al gradoded(x).Entonces,existendospolinomios unicos, q(x)yr(x)talesquef(x) = d(x)q(x) + r(x),Versin Preliminar64 CAPITULO2.ALGEBRAoequivalentementef(x)d(x)= q(x) +r(x)d(x)donder(x)tienegradomenorqueel gradoded(x).Si el divisord(x) es unpolinomio de gradounode la formad(x) = x c,entoncesdeacuerdoconel algoritmodeladivision,el gradodel residuoescero, esdecir, esunaconstanter(x)=k. As quelaprimeraexpresiondelTeoremadel Residuosetransformaenf(x) = (x c)q(x) + ky al sustituirx = c, en la igualdadanterior, se obtiene el valor del polinomioenx = c,asaberf(c) = (c c)q(c) + k= k.Esteresultadoseescribe delasiguiente formaTeorema2.3.2[TeoremadelResiduo]. Si unpolinomiof(x)sedivideentreunpolinomiolineal x c,el residuoresel valordef(x)enx = c,esdecir,f(c) = r.Ejemplo2.3.12Aplicarelteoremadel residuoparaobtenerelresiduodeladivision4x3+ 5x210x 2.Solucion.Seaf(x) = 4x3+5x210.De acuerdocon el teorema del residuo,el residuoresel valordel polinomiof(x)enx=2. As quer=f(2) =4(23) + 5(22) 10 = 42. En realidad el problema inverso es de mas utilidad, es decir calcular el va-lor en el puntox = c del polinomiof(x), obteniendo el residuo de la divisiondef(x)entrex c.Elmetododedivisionsinteticasimplicaconsiderable-menteel trabajoparaefectuar dichadivision. Acontinuacionse presentael algoritmopararealizarestadivisionsinteticaylosejemplosposterioresilustranelmetodo.Algoritmodeladivisionsinteticaparacalcular:anxn+ an1xn1+ + a1x + a0entrex c.Versin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 65a) Se escribe el siguiente arreglo y se pone cero en el coeciente de cualquierpotenciafaltantedel polinomioc| anan1an2 a1a0anb) Se multiplica an porc y el productocany se anota abajo de an1, justoencima de la lnea horizontal. Luegose calcula la sumab1 = an1 +canysecolocadebajodelalnea.c| anan1an2an3 a1a0cancb1cb2 cbn2cbn1anb1b2b3 bn1rc) Se multiplica b1 por c y el producto cb1 se escribe abajo de an2. Despuesseobtiene lasumab2= an2 + cb1yseanotaabajodelalnea.d) Secontin uaesteprocesohastaobtenerlasumanal r=a0 + cbn1.Losn umerosan, b1, b2, bn2, bn1sonloscoecientes del cocienteq(x); esdecirq(x) = anxn1+ b1xn2+ + bn2x + bn1yreselresiduo.Ejemplo2.3.13Aplicar el teorema del residuoparadeterminar f(2) y elcociente def(x) = x5+ 2x38x 12 entre x + 2.Solucion.Enestecasoseaplicaladivision sintetica.2| 1 0 2 0 8 122 4 12 24 321 2 6 12 16 44Versin Preliminar66 CAPITULO2.ALGEBRAEnla ultimalalosprimeroscincon umeroscorrespondenaloscoecientesdelasdiversaspotenciasdelcocienteq(x) yel dgitonaleselresiduo,queseobtiene aldividirf(x)entrex (2) = x + 2.Porconsiguientef(2) = 44 y q(x) = x42x3+ 6x212x + 16.

Ejemplo2.3.14Aplicar el teoremadelresiduoparadeterminarf(c)si1. f(x) = 2x6+ 21x410x230x y c = 3.2. f(x) = x3x26x 24 y c = 4.Solucion.1. Seusadivisionsintetica.3| 2 0 21 0 10 30 06 18 9 27 51 632 6 3 9 17 21 63Luegof(3) = 63.2. Nuevamente pordivisionsintetica setiene4| 1 1 6 244 12 241 3 6 0Porlotantof(4) = 0yx = 4esunaraz delaecuacionx3x26x 24 = 0,esdecir, alsustituirx = 4enlaanterior igualdadsetiene43426(4) 24 = 0.Comoelresiduoescero,setiene enparticularlafactorizacionx3x26x 24 = (x 4)(x2+ 3x + 6).

Versin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 67Ejercicio2.3.1Efectuar laoperacionindicaday simplicar surespuestaala mnima expre-sion.1. (20x 11y + 13) + (9y 4x 2)2. (5x24x 7) (9 6x 8x2)3. (2b39b2+ 6b 18) (23 + 11b 15b28b3)4. (7z 2w) + (9z + 3w)5. (6b +16a) (64a 9b)6. (10xy23xy + 9y3) + (4x311xy 5x2y + 21y3+ 6xy2)7. (7ab + 12) (3 9ab)8. (x33)(2x2+ 7)9. (5x3+ 8y)(4y32y2+ 3)10._7x 5x2_(9x 2x4)11._4x2y 6yx__12xy x3y_12. 3x2+ 4(y26z) 3(5x 8y + 11z)13. 3x 2 4[9 7(6x 4y)]14. 6a24[a + 7(11 9a)] (1 3a)15. 6x23x27[2y 5(2x24y)] + 416. (x + 2)(x26x + 5)17. (x + 1)(x + 3)(x 1)18. (4x2y3)(3xy52x2y3)19. (6a2b)(3ac + 2ab2)(3b2+ 7)Versin Preliminar68 CAPITULO2.ALGEBRA20. (x + 2y)(x25xy + y2) (x + y)2(x 3y)21. 2a2b[a3(6ab 3b3)] 3ab[a4(4a2b + 9ab3) 1]22.3x6y2z512x4y2z23.24p3q2r2p5q24.4ab35ab2c + 10a3b22a3bc25.7x49x33x526.8x56x3+ 12x2+ 102x227.w213w + 1w28.t4+ 16t38t + 44t2t29.9xy227x2y3xy+x2y3+ 4x3y22x2y230.8y44x2y22xy324y316x2y4xy2Enlosejercicios 31a40simplicar pormedio deladivisionlarga.31. (x26x + 8) (x 4)32. (16x214x + 3) (2x 1)33. (x2+ 4) (x 2)34. (t3+ 1) (t + 1)35. (2z3+ z53z 2) (z23z + 1)36. (2t33t2+ 4t + 6) (2t + 1)Versin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 6937. (6x3+ 11x219x + 5) (3x 2)38. (27x3+ x 2) (3x2x)39. (6x5+ 4x4+ x3) (x32)40. (5x6x5+ 10x4+ 3x22x + 4) (x2+ x 1)Enlosproblemas41a45,utilizarladivision sinteticaparacalcularelcocienteyel residuodeladivisiondef(x)entreel polinomiolinealindicado.41. f(x) = 16x2+ 12x + 2; x 1442. f(x) = x32x2+ 5; x + 143. f(x) = x4+ 81; x 344. f(x) = x5+ 56x24; x + 445. f(x) = x664; x 2Enlos ejercicios46a49usar ladivisionsinteticayel teoremadelresiduoparacalcularf(c),parael valordecdado.46. f(x) = 3x27x + 6; c = 447. f(x) = 2x45x2+ 19; c =1248. f(x) = x6+ 2x53x44x + 6; c = 349. f(x) = 2x74x5+ 2x3x 12; c = 6Soluciones1. 16x 2y + 112. 13x2+ 2x 163. 10b3+ 6b25b 414. 16z +wVersin Preliminar70 CAPITULO2.ALGEBRA5. 4a + 15b6. 16xy214xy + 30y3+ 4x35x2y7. 10ab + 98. 2x5+ 7x36x2219. 20x3y310x3y2+ 15x3+ 32y416y3+ 24y10. 63 59x3+ 10x611. 48x3y243x372y2+ 212. 3x2+ 4y215x + 24y 57z13. 171x 112y 3814. 6a2+ 1491a 184915. 67x2+ 154y 416. x34x27x + 1017. x3+ 3x2x 318. 12x3y88x4y619. 54a3b3c + 84a3b3126a3bc + 36a3b520. 4xy2+ 5y32x2y21. a5b + 33a2b4+ 3ab22. x2z4423. 12qrp224. 2_b2a2c_ 52_ba2_+ 5_bc_25.73x 3x2Versin Preliminar2.3. OPERACIONESALGEBRAICASD. ELIZARRARAZM. 7126. 4x33x + 6 +5x227.w313w +1w28.t34+ 4t 2t31t2t29. 7x +7y230.2xy 2yx31. x 232. 8x 333. x + 2 +8x 234. t2t + 135. z3+ 3z2+ 10z + 27 +68z 29z23z + 136. t22t + 3 +32t + 137. 2x2+ 5x 3 13x 238. 9x + 3 +4x 23x2x39. 6x2+ 4x + 1 +12x2+ 8x + 2x3240. 5x46x3+ 21x227x + 51 +51 80xx2+ x 141. f(x) = 16x + 16 +6x 14Versin Preliminar72 CAPITULO2.ALGEBRA42. f(x) = x23x + 3 +2x + 143. f(x) = x3+ 3x2+ 9x + 27 +162x 344. f(x) = x44x3+ 16x28x + 32 132x 445. f(x) = x5+ 2x4+ 4x3+ 8x2+ 16x + 32Versin Preliminar2.4. PRODUCTOSNOTABLESYFACTORIZACIONC.A. ULINJ. 732.4. ProductosnotablesyfactorizacionC.A. UlnJ.Enlamultiplicaciondeexpresionesalgebraicashayalgunasqueporsuusofrecuente sedenominanproductosnotables.Estos productos sonimportantes, tantoal desarrollar unaexpresionalge-braicacomoenelsentidoopuesto, esdecir,expresarmedianteunproductodefactoresaunaexpresion algebraicadada.Losproductosnotablesatratarson:productodebinomiosconjugados,pro-ducto de dos binomios con un termino com un, cuadrado de un binomio, cubode unbinomio ylan-esimapotenciade unbinomio pormediodel triangulodePascal.2.4.1. ProductodebinomiosconjugadosDosbinomiosdelaforma(a + b)y(a b)sellamanbinomiosconjugados.Porejemplo, sonbinomiosconjugados:(2x + 3m)y(2x 3m); (5u24w3)y(5u2+ 4w3); (p + 6q)y(6q + p).Al multiplicar losbinomiosconjugados(a + b)y(a b) seobtiene:(a + b)(a b) = a(a b) + b(a b) = a2ab + ba b2= a2ab + ab b2= a2b2.Estoes:(a + b)(a b) = (a b)(a + b) = a2b2.Luego, el productodedosbinomiosconjugados esigual aladiferenciadecuadradosdesusterminos.Ejemplo2.4.1Aplicar la formula del producto de binomios conjugadosVersin Preliminar74 CAPITULO2.ALGEBRAparacalcularcadaproductoysimplicar elresultado.1. (a + 3)(a 3) 2. (5 x2)(5 + x2)3. (2x + 3y)(2x 3y) 4. (x35x)(x3+ 5x)5._2x +x2__x2+2x_6. (xnym)(xn+ ym)7. (p2q3+ p3q2)(p2q3+ p3q2) 8. (2 x 3)(2 +x 3)9. (x + h x)(x + h +x) 10. (a + b + c)(a + b c)Soluciones1. (a + 3)(a 3) = a232= a29.2. (5 x2)(5 + x2) = 52(x2)2= 25 x4.3. (2x + 3y)(2x 3y) = (2x)2(3y)2= 4x29y2.4. (x35x)(x3+5x) = (x3)2(5x)2= x625x2.5. Reescribiendo elprimer factor_2x+x2__x2+2x_=_x2 2x__x2+2x_=_x2_2_2x_2=x244x2.6. (xnym)(xn+ ym) = (xn)2(ym)2= x2ny2m.7. Reescribiendo elprimer factor(p2q3+ p3q2)(p2q3+ p3q2) = (p3q2p2q3)(p3q2+ p2q3)= (p3q2)2(p2q3)2= p6q4p4q6.8.(2 x 3)(2 +x 3) = 22(x 3)2= 4 (x 3)= 4 x + 3 = 7 x.Versin Preliminar2.4. PRODUCTOSNOTABLESYFACTORIZACIONC.A. ULINJ. 759. (x + hx)(x + h+x) = (x + h)2(x)2= (x+h) x = h .10. Seagrupaconvenientemente(a + b + c)(a + b c) = [(a + b) + c][(a + b) c] = (a + b)2c2= (a2+ 2ab + b2) c2= a2+ b2c2+ 2ab.

Ejercicio2.4.1Aplicar laformuladel producto de binomios conjugadosparacalcular cadamultiplicacion ysimplicar el resultado.1. (a + 1)(a 1) 2. (8 b)(8 + b)3. (3x + 4)(3x 4) 4. (x + 1 x)(x + 1 +x)5. (x2+ 1 + x)(x2+ 1 x) 6. (3x22y3)(3x2+ 2y3)7. (1 p2)(1 + p2) 8. (2x + 3y)(2x 3y)9. (x22x 3)(x2+ 2x + 3) 10. (5x3y46x4y3)(5x3y4+ 6x4y3)11. (3x2+ 2x 1)(3x22x + 1) 12._2x3332x3__2x33+32x3_13. (xn/2yn+ xnyn/2)(xn/2yn+ xnyn/2)14. (x22x + 6 x2+ 2x 6)(x22x + 6 +x2+ 2x 6)15. (9x + 19 6x 1)(9x + 19 + 6x + 1)Soluciones.1. a21 2. 64 b23. 9x216 4. 15. 1 6. 9x44y67. 1 p48. 4x 9y9. x44x212x 9 10. 25x6y836x8y6Versin Preliminar76 CAPITULO2.ALGEBRA11. 9x44x2+ 4x 1 12.4x6994x613. x2nynxny2n14. 12 4x15. 18 3x 36x22.4.2. Producto de dos binomios con un termino com unDosbinomiosdelaforma(x + m)y(x + n)tienenelterminocom unx.Seconsidera aqu el caso m diferente de n y el caso de igualdad, que correspondealcuadradodeunbinomio,enlaseccionsiguiente.Porejemplo, sonbinomiosdeestaforma:(x + 5)y(x 3); (p28)y(p23); (3a + 1)y(3a 2).Almultiplicar losbinomios(x + m)y(x + n)seobtiene:(x + m)(x + n) = x(x + n) + m(x + n) = x2+ xn + mx + mn= x2+ mx + nx + mn = x2+ (m+ n)x + mn.Estoes:(x + m)(x + n) = x2+ (m + n)x + mn.As, el productode dosbinomios que tienen untermino com unes iguala:elcuadradodel terminocom un, maslasumadelosterminosdiferentesporelterminocom un,masel productodelosterminosdiferentes.Ejemplo2.4.2Aplicar la formula del producto de binomios con un terminocom unparacalcular cadamultiplicacion ysimplicar el resultado.1. (x + 5)(x + 3) 2. (x + 2)(x 4) 3. (x 6)(x + 10)4. (x 2)(x 1) 5. (a2+ 8)(a25) 6. (p31)(p33)7. (2m5)(2m + 3) 8. (9 + xn)(xn8)9. (3y + x)(2y + x) 10. (xn3ym)(2ym+ xn)Versin Preliminar2.4. PRODUCTOSNOTABLESYFACTORIZACIONC.A. ULINJ. 77Soluciones1. (x + 5)(x + 3) = x2+ (5 + 3)x + (5)(3) = x2+ 8x + 15.2. (x+2)(x4) = x2+(24)x+(2)(4)= x2+(2)x+(8) = x22x8 .3.(x 6)(x + 10) = x2+ (6 + 10)x + (6)(10) = x2+ (4)x + (60)= x2+ 4x 60.4.(x 2)(x 1) = x2+ (2 1)x + (2)(1) = x2+ (3)x + (2)= x23x + 2.5.(a2+ 8)(a25) = (a2)2+ (8 5)a2+ (8)(5) = a4+ (3)a2+ (40)= a4+ 3a240.6.(p31)(p33) = (p3)2+ (1 3)p3+ (1)(3)= p6+ (4)p3+ (3) = p64p3+ 3.7.(2m5)(2m + 3) = (2m)2+ (5 + 3)(2m) + (5)(3)= 4m2+ (2)(2m) + (15) = 4m24m15.8. Reordenandoel primer factorsetiene(9 + xn)(xn8) = (xn+ 9)(xn8) = (xn)2+ (9 8)xn+ (9)(8)= x2n+ (1)xn+ (72) = x2n+ xn72.9. SereacomodanlosdosfactoresVersin Preliminar78 CAPITULO2.ALGEBRA10.(3y + x)(2y + x) = (x 3y)(x + 2y)= x2+ (3y + 2y)x + (3y)(2y)= x2+ (y)x + (6y2) = x2xy 6y2.11. Serescribeel segundofactor12.(xn3ym)(2ym+ xn) = (xn3ym)(xn2ym)= (xn)2+ (3ym2ym)xn+ (3ym)(2ym)= x2n+ (5ym)xn+ (6y2m)= x2n5xnym+ 6y2m. Ejercicio2.4.2Usandolaformulaparael productodebinomios conunterminoencom uncalcularcadaproducto.Simplicar elresultado.1. (x + 8)(x 2) 2. (x 5)(x + 4) 3. (x 9)(x 7)4. (a + 1)(a 6) 5. (m + 10)(m + 9) 6. (x23)(x2+ 1)7. (c3+ 2)(c35) 8. (am6)(am+ 7) 9. (x 3y)(x 5y)10. (x + 2y)(9y + x) 11. (a21)(a22)12. (a2b2)(a22b2) 13. (xn+ 11)(xn+ 1)14. (3x 4)(5 + 3x)15. (xn+ 7yn)(5yn+ xn)Versin Preliminar2.4. PRODUCTOSNOTABLESYFACTORIZACIONC.A. ULINJ. 79Soluciones1. x2+ 6x 16 2. x2x 20 3. x216x + 634. a25a 6 5. m2+ 19m + 90 6. x42x237. c63c310 8. a2m+ am42 9. x28xy + 15y210. x2+ 11xy + 18y211. a43a2+ 2 12. a43a2b2+ 2b413. x2n+ 12xn+ 11 14. 9x2+ 3x 20 15. x2n+ 2xnyn35y2n2.4.3. CuadradodeunbinomioCuandose eleva al cuadradola suma odiferencia de dosterminos se tiene elcuadradodeunbinomio.Al desarrollarelcuadradodeunasumadeterminos seobtiene:(a + b)2= (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2+ ab + ba + b2= a2+ ab + ab + b2= a2+ 2ab + b2.Estoes:(a + b)2= a2+ 2ab + b2.es decir, el cuadrado de una suma de dos terminos, es igual al cuadradodel primertermino,masel dobleproductodelosdosterminos,maselcuadradodel segundoterminoAl desarrollar el cuadrado de una diferencia de dos terminos se obtiene:(a b)2= (a b)(a b) = a(a b) b(a b) = a2ab ba + b2= a2ab ab + b2= a22ab + b2.Porlotanto:(a b)2= a22ab + b2.Versin Preliminar80 CAPITULO2.ALGEBRAAs, el cuadrado de una diferencia de dos terminos, es igual al cuadradodel primertermino,menosel dobleproductodelosdosterminos,m asel cuadradodel segundotermino.Cadaunodelostrinomiosobtenidosa2+ 2ab + b2obiena2 2ab + b2esdenominadotrinomiocuadradoperfecto.Ejemplo2.4.3Utilizando las formulas del cuadrado de un binomio, obtenereldesarrollodecadaexpresion.1. (a + 5)22. (3 b)23. (2x 3y)24._x3+y2_25. (x21)26. (x3+ 2)27. (a2b2)28. (p2+ 2p)29. (xnym)210. (3x4y32x3y4)211. (axn+1+ bxn)212. [x + (y z)]213. (x y z)214. [(a b) (x y)]215. (a + b c + d)2Soluciones1. (a + 5)2= a2+ 2a(5) + (5)2= a2+ 10a + 25.2. (3 b)2= 322(3)b + b2= 9 6b + b2.3. (2x 3y)2= (2x)22(2x)(3y) + (3y)2= 4x212xy + 9y2.4._x3+y2_2=_x3_2+ 2_x3__y2_+_y2_2=x29+xy3+y24=19x2+ 13xy +14y2.5. (x21)2= (x2)22(x2)(1) + (1)2= x42x2+ 1.6. (x3+ 2)2= (x3)2+ 2(x3)(2) + 22= x6+ 4x3+ 4.Versin Preliminar2.4. PRODUCTOSNOTABLESYFACTORIZACIONC.A. ULINJ. 817. (a2b2)2= (a2)22a2b2+ (b2)2= a42a2b2+ b4.8. (p2+ 2p)2= (p2)2+ 2p2(2p) + (2p)2= p4+ 4p3+ 4p2.9. (xnym)2= (xn)22xnym+ (ym)2= x2n2xnym+ y2m.10.(3x4y32x3y4)2= (3x4y3)22(3x4y3)(2x3y4) + (2x3y4)2= 9x8y612x7y7+ 4x6y8.11.(axn+1+ bxn)2= (axn+1)2+ 2(axn+1)(bxn) + (bxn)2= a2x2(n+1)+ 2abx(n+1)+n+ b2x2n= a2x2n+2+ 2abx2n+1+ b2x2n.12. No se elimina el parentesis interior y se desarrolla acorde al agrupamien-tosugerido[x + (y z)]2= x2+ 2x(y z) + (y z)2= x2+ 2xy 2xz + (y22yz + z2)= x2+ y2+ z2+ 2xy 2xz 2yz.13. Primero seasociaconvenientemente[x y z]2= [x (y + z)]2= x22x(y + z) + (y + z)2= x22xy 2xz + (y2+ 2yz + z2)= x2+ y2+ z22xy 2xz + 2yz.14. No se eliminan los parentesis interiores y se desarrolla convenientemente[(a + b)(x y)]2= (a + b)22(a + b)(x y) + (x y)2= (a2+ 2ab + b2) 2(ax ay + bx by) + (x22xy + y2)= a2+ 2ab + b22ax + 2ay 2bx + 2by + x22xy + y2= a2+ b2+ x2+ y2+ 2ab 2ax + 2ay 2bx + 2by 2xy.Enlosejemplos 12, 13y14 seobservaqueelcuadradodeunmulti-nomioes igual alasumadeloscuadrados decadatermino, mas lasumadetodoslosdoblesproductos,cuidandolossignos.Versin Preliminar82 CAPITULO2.ALGEBRA15. Sereordenayseagrupaconvenientemente(a + bc + d)2= = a2+ b2+ c2+ d22ab + 2ac 2ad 2bc + 2bd 2cd.

Ejercicio2.4.3Utilizando el cuadrado de un binomio, obtener el desarrollodecadaexpresion.1. (a + 3)22._x 12_23. (3x 2y)24. (4x + 5y)25. (x2+ 1)26. (1 x3)27._x2+2x_28._3m2+2n3_29. (x43)210. (4 x2)211. (x +y)212. (2x 3y)213. (3x2+ 4x3)214. (5x36x5)215. (pn1)216. (1 + qr)217. (1 3x5y6z3)218. (5a4b2c3+ 1)219. (x3y5x2y4)220. (x6y8+ x9y7)221. (pnqm)222. (pn+ pm)223. (xn+1xn1)224. (y2m+ y2m1)225. (x + y + z)226. (a b + c)227. (x22x + 1)228. (1 + 2x x2)229. (xnymxmyn)230. (axn+1yn1+ bxn1yn+1)2SolucionesVersin Preliminar2.4. PRODUCTOSNOTABLESYFACTORIZACIONC.A. ULINJ. 831. a2+ 6a + 9 2. x2x +143. 9x212xy + 4y24. 16x2+ 40xy + 25y25. x4+ 2x2+ 1 6. x62x3+ 17.x24+ 2 +4x28.94m2+ 2mn +49n29. x86x4+ 9 10. x48x2+ 1611. x + 2xy + y 12. 4x 12xy + 9y13. 9x4+ 24x5+ 16x614. 25x660x8+ 36x1015. p2n2pn+ 1 16. q2r+ 2qr+ 117. 1 6x5y6z3+ 9x10y12z618. 25a8b4c6+ 10a4b2c3+ 119. x6y102x5y9+ x4y820. x12y16+ 2x15y15+ x18y1421. p2n2pnqm+ q2m22. p2n+ 2pn+m+ p2m23. x2n+22x2n+ x2n224. y4m+ 2y4m1+ y4m225. x2+ y2+ z2+ 2xy + 2xz + 2yz 26. a2+ b2+ c22ab + 2ac 2bc27. x44x3+ 6x24x + 1 28. x44x3+ 2x2+ 4x + 129. x2ny2m2xn+myn+m+ x2my2n30. a2x2n+2y2n2+ 2abx2ny2n+ b2x2n2y2n+2.Versin Preliminar84 CAPITULO2.ALGEBRA2.4.4. CubodeunbinomioCuandoseelevaal cubolasumaodiferenciadedos terminos, setieneelcubodeunbinomio.Aldesarrollarelcubodeunasumaseobtiene:(a + b)3= (a + b)(a + b)2= a(a + b)2+ b(a + b)2= a(a2+ 2ab + b2) + b(a2+ 2ab + b2)= a3+ 2a2b + ab2+ a2b + 2ab2+ b3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3.Estoes:(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3.Es decir, el cubodeunasumadedos terminos, esigual a: el cubodel primer termino, mas el triple productodel cuadradodel primerterminoporel segundo,masel tripleproductodel primerterminoporel cuadradodel segundo,masel cubodel segundotermino.Alcalcular elcubodeunadiferencia seobtiene:(a b)3= (a b)(a b)2= a(a b)2b(a b)2= a(a22ab + b2) b(a22ab + b2)= a32a2b + ab2a2b + 2ab2b3= a33a2b + 3ab2b3.Luego:(a b)3= a33a2b + 3ab2b3.Esdecir, el cubode unadiferencia de dosterminos, esiguala: el cubodel primertermino, menosel tripleproductodel cuadradodel primerterminoporel segundo,masel tripleproductodel primerterminoporel cuadradodel segundo,menosel cubodel segundotermino.Versin Preliminar2.4. PRODUCTOSNOTABLESYFACTORIZACIONC.A. ULINJ. 85Ejemplo2.4.4Mediantelasformulasdelcubodeunbinomio,desarrollarlasexpresionessiguientes.1. (a + 2)32. (5 b)33. (2x + 3y)34._3x22y3_35. (x21)36._x +1x_37. (x2y3x3y2)38. (an+ bn)39. (3x 3y)310. (x2+ 2x)3Soluciones1. (a + 2)3= a3+ 3a2(2) + 3a(2)2+ (2)3= a3+ 6a2+ 12a + 8.2. (5 b)3= 533(5)2b + 3(5)b2b3= 125 75b + 15b2b3.3.(2x + 3y)3= (2x)3+ 3(2x)2(3y) + 3(2x)(3y)2+ (3y)3= 8x3+ 3(4x2)(3y) + 3(2x)(9y2) + 27y3= 8x3+ 36x2y + 54xy2+ 27y3.4._3x22y3_3=_3x2_33_3x2_2_2y3_+ 3_3x2__2y3_2_2y3_3=27x383_9x24__2y3_+ 3_3x2__4y29_8y327=278x392x2y + 2xy2827y3.5. (x21)3= (x2)33(x2)2(1) + 3(x2)(1)2(1)3= x63x4+ 3x21.6._x +1x_3= x3+ 3x2_1x_+ 3x_1x_2+_1x_3= x3+ 3x +3x +1x3.Versin Preliminar86 CAPITULO2.ALGEBRA7.(x2y3x3y2)3= (x2y3)33(x2y3)2(x3y2) + 3(x2y3)(x3y2)2(x3y2)3= x6y93(x4y6)(x3y2) + 3(x2y3)(x6y4) x9y6= x6y93x7y8+ 3x8y7x9y6.8.(an+ bn)3= (an)3+ 3(an)2(bn) + 3(an)(bn)2+ (bn)3= a3n+ 3a2nbn+ 3anb2n+ b3n.9.(3x 3y)3= (3x)33(3x)2(3y) + 3(3x)(3y)2(3y)3= x 33x2 3y + 33x3_y2y= x 33_x2y + 33_xy2y.10.(x2+ 2x)3= (x2)3+ 3(x2)2(2x) + 3(x2)(2x)2+ (2x)3= x6+ 6x5+ 12x4+ 8x3. Ejercicio2.4.4Mediantelasformulasdelcubodeunbinomio,desarrollarlasexpresiones siguientes.1. (a 1)32. (x + 2)33._x3 3x_34. (1 b)35. (x2+ 3)36. (4 x3)37. (3x22x)38. (xn1)39. (an+ xn)310. (xn/3+ yn/3)3Versin Preliminar2.4. PRODUCTOSNOTABLESYFACTORIZACIONC.A. ULINJ. 87Soluciones1. a33a2+ 3a 1 2. x3+ 6x2+ 12x + 83.x327 x +9x 27x34. 1 3b + 3b2b35. x6+ 9x4+ 27x2+ 27 6. 64 48x3+ 12x6x97. 27x654x5+ 36x48x38. x3n3x2n+ 3xn19. a3n+ 3a2nxn+ 3anx2n+ x3n10. xn+ 33_x2nyn+ 33_xny2n+ yn2.4.5. Potencian-esimadeunbinomio. TriangulodePascalAunque este no es un producto notable .... Rehacer el triangulo en isosce-les ylaformulageneral.Al calcular (a b)nparan = 0, 1, 2, 3y4seobservaque(a b)0= 1(a b)1= a b(a b)2= a22ab + b2(a b)3= a33a2b + 3ab2b3(a b)4= a44a3b + 6a2b24ab3+ b4.Estosdesarrollossepuedenexpresardelasiguiente manera(a b)0= 1(a b)1= 1a1b01a0b1(a b)2= 1a2b02a1b1+ 1a0b2(a b)3= 1a3b03a2b1+ 3a1b21a0b3(a b)4= 1a4b04a3b1+ 6a2b24a1b3+ 1a0b4Observandoestosdesarrollospodemosinferirparael desarrollode(a b)nlosiguiente:el n umerodeterminosesn + 1ytodosdegradon;Versin Preliminar88 CAPITULO2.ALGEBRAelprimer terminoesanb0yel ultimoa0bn,ambosconcoecientes 1;de terminoa termino, el exponente de a se reduce en1; mientrasqueel exponentedebaumentaen1, seg unlareglaankbkparak=0, 1, 2, . . . , n.Paraloscoecientesdelosterminosintermedios,observamospara(a + b)nelsiguiente arreglotriangularden umeros.(a + b)0: 1(a + b)1: 1+ 1(a + b)2: 1+ 2+ 1 (a + b)3: 1+ 3+ 3+ 1 (a + b)4: 1+ 4+ 6+ 4+ 1 (a + b)5: 1+ 5+ 10+ 10+ 5+ 1 (a + b)6: 1 6 15 20 15 6 1Se observaen el arreglo, como el renglonsiguiente se obtiene del renglonan-terior,siguiendolaoperatividadindicadaporlasechasentredosterminoshorizontales consecutivos. A este arreglo triangularde n umerosse le denom-inatriangulodePascal.Para(a b)n, el triangulo dePascal inicia siempre con el coeciente +1y elsigno se vaalternandoconel signo+ hastanalizar. Sines parel ultimocoecientees1ysi esimpares 1. Serecomiendaemplearel triangulodePascalcuandoel exponenten noes grande.Incluir en sulugarel calculo delcoeiciente engeneral.Ejemplo2.4.5Mediante el triangulodePascal,obtenerel desarrollode:1. (2x + y)52. (x 3y)53. (x2+ y2)64. (a3b3)65. (3x + 2y)46. (2x 3y)4SolucionesVersin Preliminar2.4. PRODUCTOSNOTABLESYFACTORIZACIONC.A. ULINJ. 891.(2x + y)5= 1(2x)5y0+ 5(2x)4y + 10(2x)3y2+ 10(2x)2y3+ 5(2x)y4+1(2x)0y5= (25x5) + 5(24x4)y + 10(23x3)y2+ 10(22x2)y3+ 5(2x)y4+ y5= 32x5+ 80x4y + 80x3y2+ 40x2y3+ 10xy4+ y5.2.(x 3y)5= 1(x)5(3y)05x4(3y) + 10x3(3y)210x2(3y)3+ 5x(3y)41x0(3y)5= x55x4(3y) + 10x3(9y2) 10x2(27y3) + 5x(81y4)243y5= x515x4y + 90x3y2270x2y3+ 405xy4243y5.3.(x2+ y2)6= 1(x2)6(y2)0+ 6(x2)5(y2) + 15(x2)4(y2)2+ 20(x2)3(y2)3+ 15(x2)2(y2)4+ 6(x2)(y2)5+ 1(x2)0(y2)6= x12+ 6x10y2+ 15x8y4+ 20x6y6+ 15x4y8+ 6x2y10+ y12.4.(a3b3)6= 1(a3)6(b3)06(a3)5(b3) + 15(a3)4(b3)220(a3)3(b3)3+ 15(a3)2(b3)46(a3)(b3)5+ 1(a3)0(b3)6= a186a15b3+ 15a12b620a9b9+ 15a6b126a3b15+ b18.5.(3x + 2y)4= 1(3x)4(2y)0+ 4(3x)3(2y) + 6(3x)2(2y)2+ 4(3x)(2y)3+ 1(3x)0(2y)4= 34x4+ 4(27x3)(2y) + 6(9x2)(4y2) + 4(3x)(8y3) + 24y4= 81x4+ 216x3y + 216x2y2+ 96xy3+ 16y4.Versin Preliminar90 CAPITULO2.ALGEBRA6.(2x 3y)4= 1(2x)4(3y)04(2x)3(3y) + 6(2x)2(3y)24(2x)(3y)3+ 1(2x)0(3y)4= 24x44(8x3)(3y) + 6(4x2)(9y2) 4(2x)(27y3) + 34y4= 16x496x3y + 216x2y2216xy3+ 81y4

Ejercicio2.4.5Mediante el triangulodePascal,obtenereldesarrollode:1. (3x y)52. (x + 2y)53. (xnyn)44. (x5+ y5)45. (a2b)76. (a + b2)77._x2+ 2_58. (xnyn)69._2x +y2_610. (a2b2)8Soluciones1. 243x5405x4y + 270x3y290x2y3+ 15xy4y52. x5+ 10x4y + 40x3y2+ 80x2y3+ 80xy4+ 32y53. x4n4x3nyn+ 6x2ny2n4xny3n+ y4n4. x20+ 4x15y5+ 6x10y10+ 4x5y15+ y205. a147a12b + 21a10b235a8b3+ 35a6b421a4b5+ 7a2b6b76. a7+ 7a6b2+ 21a5b4+ 35a4b6+ 35a3b8+ 21a2b10+ 7ab12+ b147.132x5+58x4+ 5x3+ 20x2+ 40x + 328. x6n6x5nyn+ 15x4ny2n20x3ny3n+ 15x2ny4n6xny5n+ y6n9. 64x6+ 96x5y + 60x4y2+ 20x3y3+154x2y4+38xy5+164y610. a168a14b2+28a12b456a10b6+70a8b856a6b10+28a4b128a2b14+b16Versin Preliminar2.5. FACTORIZACIONC.A. ULINJ. 912.5. FactorizacionC.A. UlnJ.Enel temaanterior, seestudiocomoobtenerel desarrollodeciertospro-ductos, sinefectuarexplcitamentelamultiplicacionindicada. Separtiodeunproductodefactoresconocidosyseviocomoobtenerunaexpresional-gebraicaequivalente,medianteundesarrollosencillo.Estoes,setransitoelcaminoFactoresconocidos Expresionalgebraica.Enestaseccion semuestracomorecorrer larutaopuesta,ExpresionalgebraicaconocidaDescomposicionenfactores,ysolosehaceparaalgunasexpresionesalgebraicas.A este proceso se le llama factorizaciony se trata en casos, como ocurrio conel temadeproductosnotables.Esimportanterecordar:(i) Sia = bentoncesb = a.(ii) Simn = pentoncesmynsonfactoresdep.Seejemplican estepardearmaciones.1. En la igualdadx(x2) = x22x, seg un(ii) esa partir de los factoresconocidosx y x2que se obtiene la expresion equivalente x22x. Lamisma igualdadx22x = x(x 2),escritaseg un(i), permitever quela expresion algebraica x22x puede ser escrita como x(x2) donde xy (x2) son factores de la expresion algebraica x22x. Es importanteobservar quebastaconleerdeizquierdaaderechaoviceversaparaobtenerambasinterpretaciones.2. Ya que (x+3)(x5) = x22x15, se tiene x22x15= (x+3)(x5),y (x + 3), (x 5)sonfactoresde laexpresionalgebraicax22x 15.A continuacionseestudianloscasosmascomunes defactorizacion.Versin Preliminar92 CAPITULO2.ALGEBRA2.5.1. Factorcom unDebidoalapropiedaddistributivasetiene laidentidadx(a + b c) = xa + xb xc,al desarrollar el producto del factor x por la suma algebraica indicada. As seobtieneunasumaalgebraicadeproductos, dondecadaterminocontieneelfactor x. Enconsecuencia, se dice que xes unfactor com un atodos losterminosdelaexpresionalgebraicaxa + xb xc.Ademas,por(i)setiene lafactorizacionxa + xb xc = x(a + b c).conlocual sefactorizaalaexpresionalgebraicaxa + xb xc, yaqueseexpresacomo unproductode factores, asaber:el factorcom unx y el factor(a + b c).Notesequeesteotrofactor(a + b c)seobtienedividiendo acadaterminodelasumaalgebraicaxa + xb xc,entre sufactorcom unx,esdecirxa + xb xcx=xax+xbx xcx= a + b c.Senotatambienqueelfactor(a + b c)esunmultinomio queyanotieneunfactorcom unexplcito.Unaexpresionalgebraicapuedetenerunfactorcom un, variosfactoresco-munes o carecer de factores comunes, por ejemplo 6x2y 10x3z +14x4t tieneporfactorescomunesa:2, x, x2, 2xy2x2.Enel procesode factorizar, cuandohayvarios factores comunes, sedebeconsideraral factorcom unmayor, el cual seobtienemedianteel productodel factor com unnumericomas grande, multiplicadopor cadaunadelasliterales comunes y elevada al mnimo exponente con el que aparece en todoslosterminosdelaexpresionalgebraicadada.Enlaexpresion6x2y 10x3z + 14x4tsetieneque:6x2y = 23x2 y; 10x3z= 25x3 z y 14x4t = 27x4 tporlocualelfactorcom unmayores2x2.Porestoseconsideraa2x2comoelfactorcom undelaexpresion6x2y 10x3z + 14x4t. ElotrofactordeesteVersin Preliminar2.5. FACTORIZACIONC.A. ULINJ. 93polinomioes6x2y 10x3z + 14x4t2x2=6x2y2x210x3z2x2+14x4t2x2= 3y 5xz + 7x2t.Luego,lafactorizacion delpolinomiopropuestoes6x2y 10x3z + 14x4t = 2x2(3y 5xz + 7x2t).Tambien es importante tener presente que un factor com unpuede tener masdeuntermino. Porejemplo (x + y) esunfactordelasumaalgebraicaa(x + y) b(x + y) + c(x + y)as,sepuedearmarquea(x + y) b(x + y) + c(x + y) = (x + y)(a b + c)Ejemplo2.5.1Factorizarlasexpresionesalgebraicassiguientes.1. ax2y 2axy + 3axy22. 4x3y2+ 8x4y312x5y43. x2(a 2) + 5(a 2) 4. 108a3b3x 90a3b3x2+ 36a2b4x35. m2(x2+ 2x + 3) + m(x2+ 2x + 3) (x2+ 2x + 3)Solucion1. ax2y 2axy +3axy2= (axy)x(axy)2+(axy)3y = (axy)(x2+3y) .2.4x3y2+ 8x4y312x5y4= 22x3y2+ 23x4y3223x5y4= (22x3y2)1 + (22x3y2)2xy (22x3y2)3x2y2= (22x3y2)(1 + 2xy 3x2y2)= 4x3y2(1 + 2xy 3x2y2).3. x2(a 2) + 5(a 2) = (a 2)(x2+ 5).Versin Preliminar94 CAPITULO2.ALGEBRA4.108a3b3x 90a3b3x2+ 36a2b4x3= 2233a3b3x 2(3)25a3b3x2+ 2232a2b4x3= (322a2b3x)2a3 (322a2b3x)5ax + (322a2b3x)2bx2= (18a2b3x)6a (18a2b3x)5ax + (18a2b3x)2bx2= (18a2b3x)(6a 5ax + 2bx2).5.m2(x2+ 2x + 3) + m(x2+ 2x + 3) (x2+ 2x + 3)= (x2+ 2x + 3)(m2+ m1). Ejercicio2.5.1Factorizarlasexpresionesalgebraicassiguientes.1. ax22axy + 3ay22. 4x212x 203. ax2y3+ 2abx2y33acx2y34. x(x + 1) 2(x + 1)5. 36x3y260x4y3+ 84x5y46. a(x 1)2b(x 1)2+ (x 1)27. 24a3b2+ 48a3b3120a4b372a5b48. (x 2)(x + 5) (x 2)(x 3) + (2x 5)(x 2)9. 600m5n3+ 450m4n4300m3n510. x2(a2a + 1) (a2a + 1)x + 2(a2a + 1)Soluciones1. a(x22xy + 3y2) 2. 4(x2+ 3x + 5)3. ax2y3(1 + 2b 3c) 4. (x + 1)(x 2)5. 12x3y2(3 5xy + 7x2y2) 6. (x 1)2(a b + 1)7. 24a3b2(1 + 2b 5ab 3a2b2) 8. (x 2)(2x + 3)9. 150m3n3(4m2+ 3mn 2n2) 10. (x2x + 2)(a2a + 1)Versin Preliminar2.5. FACTORIZACIONC.A. ULINJ. 952.5.2. FactorizacionporagrupacionExistenexpresiones algebraicas quenotienenunfactor com un, peroquepuedenserfactorizadasdespuesdellevaracabounaadecuadaagrupaciondeterminos.Seagrupanoasocianparcialmentelosterminosquecontienenunfactorcom un, paraas obtenerunaexpresionalgebraicaque, ahoras,tenga un factor com un. La forma de agruparo asociar los terminos puede noser unica.Ejemplo2.5.2Factorizarlasexpresionesalgebraicassiguientes:1. a2x + b2x + a2y + b2y 2. 10x215xy + 8x 12y3. ax2+ ay2+ bz2bx2az2by2Soluciones1. a2x+b2x+a2y +b2yes una expresion algebraica que no tiene un factorcom un. Seobservaquelosdosprimerosterminosa2xyb2xtienenelfactor com unx, mientras que los dos ultimos terminos a2yy b2y tienenel factor com un y. Agrupando a los terminos mencionados se tiene que:a2x + b2x + a2y + b2y = (a2x + b2x) + (a2y + b2y)= x(a2+ b2) + y(a2+ b2)dondesetiene el factorcom un(a2+ b2),porloquea2x + b2x + a2y + b2y = (a2+ b2)(x + y).Otramanerade factorizar estaexpresionse tiene si agrupamos losterminosprimeroyterceroa2xya2yquetienenel factorcom una2,as comolosterminossegundoycuartob2xyb2yquetienenelfactorcom unb2.Deestaformasetieneque:a2x + b2x + a2y + b2y = (a2x + a2y) + (b2x + b2y)= a2(x + y) + b2(x + y)dondesetiene el factorcom un(x + y), porloquea2x + b2x + a2y + b2y = (x + y)(a2+ b2) = (a2+ b2)(x + y).Versin Preliminar96 CAPITULO2.ALGEBRA2. La expresion algebraica 10x215xy+8x12y no tiene un factor com un.Pero los dos primeros terminos si tienen factor com un, as como los dos ultimos.Seagrupadeestamanera10x215xy + 8x 12y= (10x215xy) + (8x 12y)= 5x(2x 3y) + 4(2x 3y)= (2x 3y)(5x + 4).Tambien se puede factorizar agrupandolos terminos primero y tercero,ascomolosterminos segundoycuartoparaobtener10x215xy + 8x 12y= (10x2+ 8x) + (15xy 12y)= 2x(5x + 4) 3y(5x + 4)= (5x + 4)(2x 3y).3. Laexpresionalgebraicaax2+ ay2+ bz2bx2az2by2notieneunfactorcom un, peroasociandolosterminosprimero,segundoyquinto,ascomolosterminos tercero, cuartoysextoseobtieneax2+ ay2+ bz2bx2az2by2= (ax2+ ay2az2) + (bz2bx2by2)= (ax2+ ay2az2) + (bx2by2+ bz2)= a(x2+ y2z2) b(x2+ y2z2)= (x2+ y2z2)(a b).Otramaneraesagrupandoporseparadolosterminosquecontienenax2,losquecontienen ay2,ascomolosquecontienen az2.Asaber,ax2+ ay2+ bz2bx2az2by2= (ax2bx2) + (ay2by2) + (bz2az2)= (ax2bx2) + (ay2by2) + (az2+ bz2)= x2(a b) + y2(a b) z2(a b)= (a b)(x2+ y2z2). Ejercicio2.5.2Factorizarlasexpresionesalgebraicassiguientes:1. ax2+ bx2+ ay2+ by22. a3m + b2n b2ma3n3. 6x2y x 2y + 3x34. 15x2y212y3+ 4xy 5x35. 6x3y34xy2+ 6 9x2y 6. x2(a + 1)2a2x2+ y2(a + 1)2a2y2Versin Preliminar2.5. FACTORIZACIONC.A. ULINJ. 977. ax2mbx2may2mby2m8. y3(a 2)24ax2x2(a 2)2+ 4ay39. a2x2b2y2c2x2+ a2y2b2x2c2y210. x3+ 3x + 2xy 2x2x2y 3ySoluciones1. (x2+ y2)(a + b) 2. (mn)(a3b2)3. (3x21)(x + 2y) 4. (5x24y)(3y2x)5. (3x2y 2)(2xy23) 6. (2a + 1)(x2+ y2)7. m(a + b)(x2+ y2) 8. (a2+ 4)(y3x2)9. (a2b2c2)(x2+ y2) 10. (x y)(x22x + 3)2.5.3. DiferenciadecuadradosEnproductosnotablessevioque:(a + b)(a b) = a2b2.Ahoraenfactorizacionsedestacaque:a2b2= (a + b)(a b),o sea,unadiferenciadecuadradosesigual alproducto dedosbinomioscon-jugados.Se hace notar que en la diferencia a2b2, el minuendo es a2y una de sus racescuadradasesa2= a,queesel terminocom undelosbinomiosconjugados(a + b)y(a b);ademas,elsustraendoesb2yunadesusracescuadradasesb2= b,queesel terminodelosbinomiosque diereensigno.Sonestasobservacioneslasqueseaplicanparafactorizarunadiferenciadecuadrados.Ejemplo2.5.3Factorizarlasexpresionesalgebraicassiguientes:1. 4x29y22. 16x2y425 3. 1 + a2n4. x275. x41Versin Preliminar98 CAPITULO2.ALGEBRASolucion1. 4x29y2= (2x)2(3y)2= (2x + 3y)(2x 3y).2. 16x2y425 = (4xy2)2(5)2= (4xy25)(4xy2+ 5).3. 1 + a2n= a2n1 = (an)2(1)2= (an+ 1)(an1).4. x27 = (x)2(7)2= (x 7)(x +7).5. Eneste ejemplo seobservaque enlaprimera factorizacion,el segundofactor,(x21)tambiensefactorizapordiferencia decuadrados.x41 = (x2)2(1)2= (x2+ 1)(x21) = (x2+ 1)(x212)= (x2+ 1)[(x + 1)(x 1)] = (x2+ 1)(x + 1)(x 1). Ejercicio2.5.3Factorizarlasexpresionesalgebraicassiguientes:1. x216t22.x24y293. x2ny2n4. 100a481b25. 49+ 25t2x46. 4x25 7. x416 8. 9x2y4z6+ 19. (a + 3)236 10. x81Soluciones1. (x + 4t)(x 4t) 2._x2+y3__x2 y3_3. (xn+ yn)(xnyn) 4. (10a2+ 9b)(10a29b)5._5tx2+23__5tx223_6. (2x +5)(2x 5)7. (x2+ 4)(x + 2)(x 2) 8. (1 + 3xy2z3)(1 3xy2z3)9. (a + 9)(a 3) 10. (x4+ 1)(x2+ 1)(x + 1)(x 1)Versin Preliminar2.5. FACTORIZACIONC.A. ULINJ. 992.5.4. TrinomiocuadradoperfectoSerecuerda queelcuadradodeunbinomio es:(a + b)2= a2+ 2ab + b2y (a b)2= a22ab + b2.Ahora,parael procesodefactorizacionsetieneque:a22ab + b2= (a b)2,esdecir,untrinomiocuadradoperfectoesigual alcuadradodeunbinomio.Seobservaenesta ultimaigualdadque:El trinomio esta ordenadocon respecto a la literala de mayor a menorexponente yconrespectoalaliteralbdemenoramayorexponente.lasraces cuadradaspositivasdel primer terminoy del ultimogeneranalosterminosaybdelbinomio;El signodelsegundoterminodel binomioesel deldobleproducto.Sonestas observaciones las que se aplicanpara factorizar a untrinomiocuadradoperfecto.Ejemplo2.5.4Factorizarlasexpresionesalgebraicassiguientes.1. 4x2+ 12xy + 9y22. x44x2+ 4 3. 40anbm+ 25a2n+ 16b2mSolucion1. El trinomio 4x2+12xy+9y2esta ordenado de exponente mayor a menorconrespectoalaliteral x, yconrespectoalaliteral y,deexponentemenoraexponentemayor.Lasracescuadradaspositivasdelprimer y ultimoterminoson:4x2= 2x y_9y2= 3y.Eldobleproductodelasracesobtenidases2(2x)(3y)=12xy,queesprecisamente el termino intermedio del trinomiodado.Porlotanto,eltrinomio dadoesuntrinomiocuadradoperfectoyademas:4x2+ 12xy + 9y2= (2x)2+ 2(2x)(3y) + (3y)2= (2x + 3y)2eslafactorizacionpedida.Versin Preliminar100 CAPITULO2.ALGEBRA2. Eltrinomiox44x2+ 4estaordenado,deexponentemayor amenor,conrespectoala unicaliteralx.Lasraces cuadradaspositivasdelprimer y ultimoterminoson:x4= x2y4 = 2.El doble productode lasraces es: 2(x2)(2) = 4x2, que es precisamentemenoselterminointermediodeltrinomiodado. Porlotanto, setieneuntrinomiocuadradoperfectoysufactorizaciones:x44x2+ 4 = (x2)22(x2)(2) + (2)2= (x22)2.3. El trinomio40anbm+ 25a2n+ 16b2mnoestaordenadoconrespectoaningunade las literales. Se ordena conrespecto a laliteral a, reescribi-endodelasiguiente manera:25a2n+ 40anbm+ 16b2m.Las races cuadradas positivas del primer y ultimo termino del trinomioyaordenadoson:25a2n= 5any16b2m= 4bm.El dobleproductodelasraceses:2(5an)(4bm)=40anbm,queespre-cisamente eltermino intermedio del trinomiodado.Porlotanto:25a2n+40anbm+16b2m= (5an)2+2(5an)(4bm)+(4bm)2= (5an+4bm)2. Ejercicio2.5.4Factorizarlasexpresionesalgebraicassiguientes.1. 25x230x + 9 2. 12a + 4 + 9a23. 25y2+ 9x630x3y4. 1 + x42x25. y6+ 9 + 6y36.9x246x + 47. x2n4xn+ 4 8. 1 + 2x5+ x109.1a2+ a2210. yn+ xn+ 2xnynVersin Preliminar2.5. FACTORIZACIONC.A. ULINJ. 101Solucion1. (5x 3)22. (3a + 2)23. (5y 3x3)24. (x21)25. (y3+ 3)26._32x 2_27. (xn2)28. (1 + x5)29._1a a_210. (xn/2+ yn/2)22.5.5. TrinomiocuadraticoSetrataahoradefactorizareltrinomio cuadraticoax2+ bx + c,dondea, bycsonn umerosrealesconocidosya ,=0. El n umerob2 4acsellamadiscriminante. Enlasiguienteseccionsemuestraqueel trinomiocuadraticoax2+ bx + csepuedefactorizar,usandon umerosreales,cuandoel discriminante espositivoocero.Sieldiscriminante esmenorqueceronosepuedefactorizarusandon umerosreales.Antesdeverel casogeneral, seabordalafactorizaciondeuncasoparti-culardel trinomio.Enestecasoseprocedeportanteoyserestringeaunafactorizacionqueinvolucran umeros enteros. El casogeneral justicaesteprocedimiento.Seaa ,=0ysupongasequelaexpresionax2+ bx + cssepuedefactorizar,esdecirsudiscriminanteesmayoroigualquecero.Sebuscandosn umerosenteros m y n tales que mn = ac y m+n = b. Existiendo este par de n umeros,sesustituyenm + nenlugardebymnaenlugardec:ax2+ bx + c = ax2+ (m + n)x +mna= ax2+ mx + nx +mna= x(ax + m) + n_x +ma_= x(ax + m) + n_ax + ma_= (ax + m)_x +na_=_x +ma_(ax + n),dondesefactorizoporagrupamiento.Seobservaquesia = 1entoncesx2+ bx + c = (x + m)(x + n).Versin Preliminar102 CAPITULO2.ALGEBRAAl emplear el metodo aqu expuesto se recomienda factorizar por agrupacion,comolomuestranlosejemplossiguientes.Ejemplo2.5.5Factorizarlostrinomioscuadraticos1. x2+ 5x + 6 2. x27x + 12 3. x22x 8 4. 2x2+ 7x 155. 6x2x 2 6. x2+ 2x + 2Solucion1. Comparandox2+ 5x + 6conax2+ bx + csetiene: a=1, b=5 yc = 6.Sudiscriminanteesb2 4ac=52 4(1)(6)=25 24=1>0,luegosisepuedefactorizar.Masa undosn umerosmyntalesque:mn = 6ym + n = 5,sonm = 2yn = 3.Porlotanto,x2+ 5x + 6 = (x + m)(x + n) = (x + 2)(x + 3).2. Comparandox27x + 12conax2+ bx + csetiene:a = 1, b = 7 yc = 12.Sudiscriminanteesb24ac=(7)2 4(1)(12)=49 48=1>0ysepuedefactorizar.Ademasdosn umerosmyntalesque:mn = 12ym + n = 7,sonm = 4yn = 3.Porlotanto,x27x+12 = (x+m)(x+n) = [x+(4)][x+(3)] = (x4)(x3) .3. Comparandox22x 8conax2+ bx + csetiene:a = 1, b = 2, yc = 8.Ademasdosn umerostalesque:mn = 8ym + n = 2,sonm = 4yn = 2.Porlotanto,x22x 8 = (x + m)(x + n) = [x + (4)](x + 2) = (x 4)(x + 2).4. Comparando2x2+7x 15conax2+bx +c se tiene que:a = 2, b = 7y c = 15.Sudiscriminante esb24ac= 72 4(2)(15)= 49 + 120=169> 0,luegosepuedefactorizar. Setieneac = (2)(15) = 30.Versin Preliminar2.5. FACTORIZACIONC.A. ULINJ. 103Dosn umerosmyntalesque: mn=ac= 30ym + n=b=7, sonm = 10yn = 3. Porlotanto,2x2+ 7x 15 = 2x2+ (10 3)x 15 = 2x2+ 10x 3x 15 == (2x2+ 10x) (3x + 15) = 2x(x + 5) 3(x + 5) == (x + 5)(2x 3)5. Comparando6x2x 2conax2+bx +cse tiene que:a = 6, b = 1y c = 2.Sudiscriminanteesb2 4ac=(1)2 4(6)(2)=1 + 48=49>0,entonces sepuedefactorizar.Setieneac = (6)(2) = 12.Dosn umeros myntalesque: mn=ac= 12ym + n= 1, sonm = 4yn = 3.Porlotanto,6x2x 2 = 6x2+ (4 + 3)x 2 = 6x24x + 3x 2 == (6x24x) + (3x 2) = 2x(3x 2) + 1(3x 2) == (3x 2)(2x + 1).6. Comparandox2+ 2x + 2 conax2+bx +c setiene que:a = 1, b = 2 yc = 2.Sudiscriminanteesb2 4ac=22 4(1)(2)=4 8= 40,entoncesb24ac4a2> 0.Sisedenotaporr2aln umeropositivob24ac4a2setiene entoncesqueax2+ bx + c = a__x +b2a_2b24ac4a2_= a__x +b2a_2r2_.Esto muestra que la expresion original es el producto de a por una difer-enciadecuadrados, lacualsepuedefactorizarmedianteunproductodebinomiosconjugados.Setiene enestecasoque:ax2+ bx + c = a__x +b2a_r_ __x +b2a_+ r_.Sib24ac < 0,entoncesb24ac4a2< 0y b24ac4a2> 0.Sisedenotapord2aln umeropositivo b24ac4a2setiene entoncesqueax2+ bx + c = a__x +b2a_2b24ac4a2_= a__x +b2a_2+ d2_.Estomuestraquelaexpresionoriginaleselproductodeaporunasumadecuadrados,la cual no puede ser factorizadacon n umerosreales. En este casoel trinomio cuadratico ax2+bx+c no puede ser factorizado mediante factoresreales. Lossiguientes ejemplosaplicanel metodomostrado.Ejemplo2.5.7Factorizarlostrinomioscuadraticossiguientes.1. x24x + 1 2. x2+ 3x + 5 3. 6x217x + 124. 9x2+ 42x + 49 5. 3x24x + 5 6. 4x24x 11Soluciones.Versin Preliminar2.5. FACTORIZACIONC.A. ULINJ. 1071. Identicandox24x + 1conax2+ bx + csetienequea = 1, b = 4yc = 1.Eldiscriminanteesb2 4ac=(4)2 4 (1) (1)=16 4=12>0yportantox2 4x + 1puedeserfactorizadomediantefactoresreales.Completandocuadrados:x24x + 1 =x24x +_42_2+ 1 _42_2=x24x + (2)2+ 1 (2)2=(x 2)2+ 1 4=(x 2)23=(x 2)2_3_2=_x 2 3__x 2 +3_.Estoes:x24x + 1 =_x 2 3_ _x 2 +3_.2. Identicando x2+3x+5 con ax2+bx +c se tiene a = 1,b = 3y c = 5.Eldiscriminanteesb2 4ac=(3)2 4 (1) (5)=9 20= 11 0 ypor tanto 6x217x+12 puede ser factorizado mediante factores reales.Completandocuadrados:6x217x + 12 =6_x2176x +126_=6_x2176x +_12_176__2+ 2 _12_176__2_=6_x2 176x +_1712_2+ 2 _1712_2_=6__x 1712_2+ 2 289144_=6__x 1712_2+288 289144_=6__x 1712_21144_= 6__x 1712_2_112_2_=6__x 1712_112___x 1712_+112_=6_x 1812__x 1612_= 3 (2)_x 32__x 43_=2_x 32_3_x 43_= (2x 3) (3x 4) .Estoes:6x217x + 12 = (2x 3) (3x 4) .4. Comparando9x2+ 42x + 49conax2+ bx + csetienea = 9, b = 42yc = 49.El discriminante esb24ac=(42)2 4 (9) (49)=1764 1764=0ypor tanto 9x2+42x+49puede ser factorizado mediante factores realesyademasesuntrinomiocuadradoperfecto,asaber9x2+ 42x + 49 =(3x + 7)2. Porsupuestoseobtieneel mismoresultadoconel metodoexpuesto.5. Comparando3x2 4x + 5conax2+ bx + csetienea=3, b= 4yc = 5.Versin Preliminar2.5. FACTORIZACIONC.A. ULINJ. 109Eldiscriminante esb24ac = (4)24 (3) (5) = 16 60= 44< 0,yportanto3x2 4x + 5nopuedeserfactorizadomediantefactoresreales. Completandocuadrados:3x24x + 5 =3_x2 43+53_=3_x243x +_12_43__2+53 _12_43__2_=3_x243x +_23_2+53 _23_2_=3__x 23_2+53 49_= 3__x 23_2+15 49_=3__x 23_2+119_.Loque nosindicaque3