Libro básico Mat Fin

Segunda Edición

—

Alfredo Díaz Mata x

Víctor Manuel Aguilera G

MATEMÁTICASFINANCIERAS

Autores

Alfredo Díaz MataLicenciado en Administración de Empresas

Facultad de Contaduría y Administración U.N.A.M.Coordinador de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Administración

Universidad Nacional Autónoma de México

Víctor Manuel Aguilera GómezLicenciado en Administración de Empresas

Universidad Iberoamericana-Licenciado en Contaduría

Facultad de Contaduría y Administración, U.N.A.M.Profesor Definitivo de Matemáticas Financieras

en la Facultad de Contaduría y Administración U.N.A.M.

McGRAW-HILL

MÉXICO • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MADRID • NUEVA YORKPANAMÁ • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SAO PAULO

AUCKLAN • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍSSAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS » SIDNEY • TOKIO • TORONTO

Contenido

Capítulo 1. Fundamentos 1

1.1 Exponentes 11.2 Leyes de los exponentes 21.3 Exponente cero, negativo y fraccionario 51.4 Logaritmos 121.5 Cálculos con logaritmos 181.6 Redondeo 241.7 Progresiones aritméticas 241.8 Progresiones geométricas 281.9 Progresiones geométricas infinitas 341.10 Resumen 36

Capítulo 2. Interés simple 45

2.1 Introducción y conceptos básicos 462.2 Monto 482.3 Valor actual o presente 492.4 Interés 502.5 Tasa y tipo de interés 522.6 Plazo o tiempo 532.7 Tiempo real y tiempo aproximado 542.8 Descuento 572.9 Gráficas de interés simple 612.10 Ecuaciones de valores equivalentes 642.11 Aplicaciones 682.12 Resumen 76

Capítulo 3. Interés compuesto 81

3.1 Introducción 823.2 Conceptos básicos 823.3 Monto compuesto 863.4 Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes 90

Contenido

3.5 Valor actual o presente 953.6 Tiempo 1043.7 Tasa de interés 1083.8 Ecuaciones de valores equivalentes 1113.9 Tiempo equivalente 1163.10 Resumen 120

Capítulo 4. Actualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas 127

4.1 Introducción y terminología 1274.2 Tipos de anualidades 1284.3 Monto 1304.4 Valor actual 1344.5 Renta 1384.6 Plazo 1394.7 Tasa de interés 1434.8 Resumen 152

Capitulo 5. Anualidades anticipadas 157

5.1 Introducción 1575.2 Monto y valor actual 1585.3 Renta, plazo e interés 1635.4 Resumen 170

Capitulo 6. Anualidades diferidas 173

6.1 Introducción 1736.2 Monto y valor actual 1746.3 Renta, plazo e interés 1776.4 Resumen 185

Capitulo 7. El caso general de anualidades 189

7.1 Introducción 1907.2 Monto Y valor actual 1907.3 Renta 1977.4 Tasa de interés y plazo 2007.5 Anualidades generales anticipadas 2067.6 Anualidades generales diferidas 2097.7 Resumen 211

Conten ido

Capítulo 8. Amortización y fondos de amortización 215

8.1 Introducción 2168.2 Tablas de amortización 2178.3 Importe de los pagos en una amortización 2198.4 Derechos adquiridos por el deudor y saldo a favor del acreedor 2208.5 Número de pagos en una amortización 2238.6 Tasa de interés en una amortización 2258.7 Otros casos de amortización 2288.8 Depósitos a un fondo de amortización 2328.9 Total acumulado en un fondo de amortización y saldo insoluto 2348.10 Número de depósitos en un fondo de amortización 2368.11 Tasa de interés en un fondo de amortización 2378.12 Comparación entre amortización y fondo de amortización 2408.13 Aplicaciones 2428.14 Resumen 248

Capítulo 9. Inversión en bolsa de valores 253

9.1 Introducción 2549.2 Rendimiento de valores bursátiles 2549.3 Los valores bursátiles 2549.4 Rendimiento de valores que ofrecen ganancias de capital 2589.5 Valores que pagan intereses 2829.6 Resumen 300

Capítulo 10. Depreciación 307

10.1 Introducción 30710.2 Concepto 30810.3 Método de línea recta 30910.4 Método de porcentaje fi jo 31210.5 Método de suma de dígitos 31810.6 Método por unidad de producción o servicio 32410.7 Método del fondo de amortización 32910.8 La depreciación en épocas inflacionarias 33610.9 Resumen 339

Capítulo 11. Probabilidades y tablas de mortalidad 343

11.1 Concepto de probabilidad 34411.2 Probabilidad matemática 34411.3 Probabilidad estadística 34811.4 Esperanza matemática 35111.5 Valor actual de un pago contingente 354

Contenido

11.6 Tablas de mortalidad 35811.7 Resumen 363

Capítulo 12. Anualidades contingentes 369

12.1 Introducción 36912.2 Valor actual de un dotal puro 37012.3 Anualidades vitalicias vencidas 37312.4 Anualidades vitalicias anticipadas 37512.5 Anualidades vitalicias diferidas 37712.6 Anualidades contingentes temporales 38012.7 Resumen 382

Respuestas a los ejercicios de sección impares 387

Apéndice. Manejo de tablas 401

Tabla I. Mantisas 412Tabla II. Factor de monto a interés compuesto (1 + /)"432Tabla III. Factor de valor actual a interés compuesto (1 + /') ~" 441

(1 -j- /•) n _ iTabla IV. Factor de monto de una anualidad - - - - 450

/

Tabla V. Factor de valor actual de una anualidad

Tabla VI. Tabla de mortalidad de la experiencia mexicana de 1962-1967 468

índice analítico 471

Fundamentos

OBJETIVOS:

AI finalizar el estudio del presente capítulo, el lector será capaz de;

• Explicar qué son los exponentes, los logaritmos y los antilogaritmos• Plantear y resolver problemas que impliquen su uso• Explicar qué es una progresión aritmética y una progresión geométrica• Plantear y resolver problemas que involucren progresiones

TEMARIO:

1.1 EXPONENTES

1.2 LEYES DE LOS EXPONENTES

1.3 EXPONENTE CERO, NEGATIVO Y FRACCIONARIO

1.4 LOGARITMOS

1.5 CÁLCULO CON LOGARITMOS

1.6 REDONDEO

1.7 PROGRESIONES ARITMÉTICAS

1.8 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

1.9 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS INFINITAS

1.10 RESUMEN

1.1 EXPONENTES

Exponentes enteros positivos

El producto de un número real que se multiplica por sí mismo se denota por a X a o aa. Si elmismo número vuelve a multiplicarse por sí mismo se denota a X a x a o aaa. Para simplifi-car este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada tal que:

a x a = a 2

a x a x a = a 3

Matemáticas financieras

Donde el símbolo a es llamado base y el número escrito arriba y a la derecha del mismoes llamado exponente. El exponente indica el número de veces que la base a se toma comofactor.Por lo tanto podemos decir que si n es un entero positivo y a es cualquier número real,

an = a x a x a x . . an factores

El término a" se expresa como "a elevado a la n-ésima potencia", donde a es la base y nes el exponente o potencia.

Ejemplo 1.1.1

a ) a x a x a x a = a4

b) b x b x b = b3

c ) a x a x a x b x b = a 3 b 2

d) (-4) (-4) (-4) (-4) = (-4)4 = 256e) (-2) (-2) (-2] (6) (6) (6) = (_2)3(6)3 = -1728n n + o.os) n + o.osjn + O.OSMI + o.os) = o + o.os)4 = 1.21550025g) (1 + ;)(1 +0(1 + /) = (1 + / ) 3

M H - cí) (1 - d) . . . (1 - d) = (1 - t/)n

1.2 LEYES DE LOS EXPONENTES

Si a y b son números reales distintos de cero, y m y n son enteros positivos, entonces se pue-den aplicar las siguientes leyes de los exponentes.

1.2.1 Producto de dos potencias de la misma base

Para encontrar el producto de dos potencias de la misma base, elévese la base a una poten-cia igual a la suma de los exponentes.

am x an = am + n (1.1)

Ejemplo 1.2.1

a) a 3 x a 5 = a 3 + 5 = a 8

d) (-2)2 X (-2)3 - (-2)2 + 3 = (-2)5 = -32e) (5)15)2(5)3 = 51 + 2 + 3 = 56 = 15625f ) (1 + i)2 O + O15 = d + i)2 + 15 = (1 + í)17

Fundamentos 3

1.2.2 Cociente de dos potencias de la misma base

Para encontrar el cociente de dos potencias de la misma base, elévese la base a una potenciaigual al exponente del numerador menos el exponente del denominador.

a - - " (1.2)an

Ejemplo 1.2.2

a}

b}

rtt-J

d)

«i

~a2

.10x

X 4

y 2

y 5

24

2 3

0 3~

- a

= X 1

= 2

1.2.3 Potencia de una potencia

Para elevar la m-és¡ma potencia de a a la n-ésima potencia elévese la base a a una potenciaigual al producto de los dos exponentes.

(am)n = amn ( 1 3 )

Ejemplo 1.2.3

a) (a2)3 = a2 x 3 = a6

b) ( x 3 ) 5 = x 3 x 5 = x15

c) (2 Y = 2 3 x 4 - 21 2 = 4096

d) (-32)3 = -32 x 3 = -36 = 729

e) (-13)3 = -I3 x -5 = -19 - -1

1.2.4 Potencia del producto de dos factores

Para determinar la n-ésima potencia del producto de dos factores, encuéntrese el productode cada factor elevado a la n-ésima potencia.

4 Matemáticas financieras

(afa)" = a"b" (1.4)

Ejemplo 1.2.4

a) (a b}2 = a 2 b 2i

b) (x y)3 = x j y 3

c) ( 3 x ) 4 = 3 4 x 4 - 81 x 4

d) ( 3 x 2 ) 3 = 3 3 x 2 x 3 = 2 7 x 6

e) (2 X 5)2 - 2¿ X 5 2 - 4 X 25 - 100

1.2.5 Potencia del cociente de dos factores

Para determinar la n-ésima potencia del cociente de dos factores, encuéntrese el cociente decada factor elevado a la n-ésima potencia.

/ a _ \ a" (1.5)

U/ bn

Ejemplo 1.2.5

, , ^ 2 ,2

b)

rl

UJ b2

x 4 4(JL\^L

• 4\ / y/ 2 ^ _ 23 8

1 5 ^ 53 125

d) / 2a2 \ 23a2 x 3 8 a*

' ' \ j b3 b3

Ejemplo 1.2.6

a) b 3x b4 = b3 + 4 = b7

b) x 2 x x6 = x2 + 6 = x8

= x5"3 = x2

. X 3 V 2 3-2 2-1e) —-1— — x y = xyx 2 y

Fundamentos

0\Y 415 — Y 4 x 5 — V 20JSJ V* J n ~ A

/)) (y 2)6 - y2 x 6 — yl2

/} (2a3)4 = 2 4 a 3 x 4 = 16a1 2

/] & L _íl2 ' y4

2'1 3"1 2xy

= 2 x x ' x y " 1 - 2xy

(,T ..,,, . . . ^ -V.. .

x y)2 x 2 y 2

1.3 EXPONENTE CERO, NEGATIVO Y FRACCIONARIO

1.3.1 Exponente cero

Si a es un número real diferente de cero, a° — 1Esta aseveración puede demostrarse aplicando la regla del cociente de dos potencias de lamisma base. Considérese el siguiente cociente:

Puesto que todo número dividido por sí mismo es igual a la unidad. Ahora, si se aplica laregla del cociente de dos potencias se tiene:

. ao

Ejemplo 1.3.1

a) (5)° = 1

b) (3a)° = 1

c) -4x° = -4(1) = -4 si x

d) 0° = No es aplicable.


1.3.2 Exponente negativo

Si n es un entero positivo y a ?* O

a -" = —— (1.6)a n

Para comprobar esto, obsérvese que, como se vio antes

y 2 = 2 _5 _3

y 5 Y ' Y

y, también

y 2 y x y 1y 5 y X y X y X y X y y 3

Por lo tanto

v2 1y — i,—i — '

Numéricamente puede demostrarse utilizando el siguiente ejemplo:

2 3¿ — 2 3 - 4 — 2 ~1

2 4

2 J 8 124 16 2

Así,

3 'j i iy

Ejemplo 1.3.2

3dt

_1 — — ~

35 32 9

1b) ^- = m4 '7 - mm3

1.3.3 Exponentes fraccionarios

Sea a la base de una potencia y m/n el exponente al cual se encuentra elevada dicha base, en-tonces:

»m/nam/n = (nâ )m = n^f^T (-| 7)

Fundamentos 7

Ejemplo 1.3.3

a) a 173

6 ) x 1 / 2 = V

C) y 1/n

(64)22/3 ~ 2

6 4 2 = ( 6 4 ) 2 = ( 4 ) = 16

e) (27)1/1~1/3

(27)1

O ^T1/2 _ .—3 _ ,- a -1/2 1 J

'—a

1'2

5/2

1/21/2 _ Y4/2 _ V2

h) (y1/2)2/3 = y1'2 >< 2/3 _ y2/6 = yl/3

El uso de calculadoras electrónicas ha simplificado la resolución de problemas aritméti-cos complejos. En la concepción y manejo de este libro se ha considerado que el estudiantedispone de una calculadora que posea la función y x y que permita obtener logaritmos y anti-logaritmos, ya sean naturales o de base 10.

Ejemplo 1.3.4 Resuelva las siguientes operaciones con el auxilio de una calculadora electrónica.

a) VTT - 15 I /2 = 3.87298335

b) VTIcT - 1201/5 = 2.60517109

125.846 x (0.357)'

(15.6)4 (0.674650)5

125.846 X 0.127449(59 224.0896) (0.13976313)

16.03894685

8 277.344134= 0.12466990


d} 5000(1 + 0.05)"12 = 5000(1.79585633) = 8979.281632

e) 1 000 000 = 1 000 000 (1.60) ~5 - 1 000 000 (0.09536743) = 95 367.43164(1 + 0.60)5

.(1 +0.15)20-! 16.36653739 -1 ,m ,A ,ro9 í-f l — — I u¿ .^r^r 3 jo/o0.15 0.15

i _ M -u n 32S1-10 1 — 0 05995718, ' u T- U.J /DJ _ i v . v j y y j / 10 _ 2 892439440.325 0.325

Ejemplo 1.3.5 Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando las leyes de los exponentes y conauxilio de una calculadora electrónica.

a) 150000(1 + / }2 4 = 450000

(1 + /)24 = 450 000150 000

(1 + /)2 4 = 3

1 + / = 2VT = 31/24

/ = 31''24-1/ = 0.04683938

b] 2 (1 + /)-4 = 1

( 1 + , ) - 4 = 1

(1 + / ) =

/ = 0.18920712

c) 5000(1 - d)~4 = 1 000

1 000(1 - }— 4

5000

1 - d = (0.20) -1/4

- d = (1.49534878) - 1

d = -0.49534878

Fundamentos 9

(1 4- / )1 2 = [1 + 0.15)4

(1 + / ) = (1.15)4'12

/ = 0.04768955

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 1 A 3

1. Simplifique

a) a 2 x a 5

6) a 3 x a 8

c) a 2 x a 4 x a 5

d) 6 x 6 3 x 6 2

e) (36) X (562) x (663)

n -sL

a 3 x a 4

/) x 2 X (x5)3

(2y)2 X (4/3)4k )

i )

(2y)'

m] (a2 b3)4

n)

n)

o)

3x2 x x3

y x y

3x2 y3

10 Matemáí/cas financieras

p) (1.05)4(1.05)10

} [1.30)2(1.30)10n.30]2°'" 1.30

2. Simplifique

a) x°

b) a ° b 3

c) a1/3 x a1/2

bm

d) *W

e)a 1/2

O (a-2) (a-3)

gj (b-2)5

h] (9x~2)-5

/) (y 1/2) -3

x~ 2

/ ) (27-1/3) (256)"1/4

m) (1.05)-4(1.05)-l/;

3. Simplifique, usando exponentes

a)

c) b2 x

Fundamentos 11

d)

e)

(ab3)-2

4. Resuelva las siguientes operaciones utilizando una calculadora electrónica

a) VTT

6) 3V25T

c) V0.485 3VO36~

27 V97

4V38~

(1 + 0.18)4 - 1

0.18

O 8 500 (1 + 0.15)

g)1 - (1 + 0.60)

0.6Ó~~

V0.25 3VO64 4VO82

(128.35)^(25.12) -1/3

5. Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando una calculadora electrónica

a) 100(1 + i ) 2 = 2006) 5000(1 + / ) 3 = 1 500c) 1 250(1 + i)60 = 25000d) 50000(1 + i)-20 = 3000e) 10000(1 + / ) - 4 = 6000O (1 + / ) 4 = 1.60g) (1 + / ) i / 4 = -i 18

Fundamentos 13

Es necesario destacar que N debe ser un número positivo, en tanto que el log N puedeser cualquier número real positivo, negativo, o cero.

1.4.2 Leyes de los logaritmos

Dado que los logaritmos son exponentes de base b, las leyes de éstos les son aplicables ynos dan como consecuencia tres leyes fundamentales de los logaritmos,*

1. El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logarit-mos de los números.

log. (A x B) - log A + log B (1.8)

2. El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numera-dor menos el logaritmo del denominador

log (A\ log A -log e (1.9)

3. El logaritmo de un número elevado a la potencia n es n veces el logaritmo del número.

logA" = n loga (1.10)

Donde n puede ser cualquier número real.

* Para demostrar estas leyes considérese que:

A = 10a, B = 10b y C = 10C

Por lo tanto log A = a, log 6 = b y log C = c

De esto se sigue que A x fí x C = 10a x 10fa x 10C = I0a+b+c

A ._ 10a _ in,-¿B * 10* ' IÜ

A" = (ioa)n = 10an

Con lo que se comprueba que•

log A x B x C = a + b + c = log A + log 6 + log C.

log -~- = a - b = log A - log 6B

log A" — na = n log A


Ejemplo 1.4.2 Utilizando calculadora electrónica o tablas se determina que:

log 2 - 0.301030 log 3 = 0.477121; entonces:

a) log 6 = log ( 2 X 3 ) = log 2 + log 3 = 0.301030 + 0.477121 = 0.778151

b) log 1.5 = log— = log 3 - log 2 = 0.477121 - 0.301030 = 0.176091

c) log 9 = 32 = 2 log 3 = 2 (0.477121) = 0.954242

d) log 30 = log (3 X 10) = log 3 + log 10 = 0.477121 + 1 = 1.477121

e) log 0.02 = log (2 X 10 ~2) = log 2 + log 10 ~2 = 0.301030 + (-2) =7.301030 =-1.698970

= log 31/2 = 1/2 log 3 = 1/2 (0.477121) = 0,238561

1.4.3 Característica y mantisa

Todo número positivo puede ser escrito en la forma de número básico B (1 < B < 10)multiplicado por una potencia entera de 10.Por ejemplo:

4 354 = 4.354 X 103

65 = 6.5 X 101

3.2 = 3.2 X 10°

0.25 = 2.5 X 10-1

0.078 = 7.8 X 10 ~2

0.00358 = 3.58 X 10~3

Para calcular el logaritmo de un número de estos se procede como sigue:

Si N = 4354 = 4.354 X 103

log (4.354 X 103) = log 4. 354 + |Og10 3= 0.638888 + 3

Si N = 0.00358 = 3.58 X 10~3

log (3. 58 X 10 ~3) = log 3. 58 + log 10 ~3 = 0.553883 - 3

.Fundamentos 15

Ejemplo 1.4.3 Determine el número básico de los siguientes números:

a) 20000 f) 0.26) 2000 g) 0.02c) 200 /)) 0.002d) 20 /) 0.0002e) 2 /) 0.00002

Solución:

Puesto que el número básico es un número 8 tal que 1 < 8 < 10 multiplicado por una potenciaentera de 10, se tiene

a) 20000 = 2 X 104 f) 0.2 - 2 X 10-1

b) 2000 = 2 X 10J g) 0.02 = 2 X 10~2

c) 200 = 2 X 102 /)) 0.002 - 2 X 10-J

d) 20 - 2 X 101 / ) 0.0002 = 2 X 10~4

e) 2 = 2 X 10° /} 0.00002 = 2 X 10 ~5

Ejemplo 1.4.4

Dado log 2 — 0.301030 determine el logaritmo de los números del ejemplo anterior.

Solución: Puesto que log 2 = 0.301030 se tiene

a) log 20000 = log (2 X 104) = log 2 + log 104 = 0.301030 + 4 = 4.301030

b) log 2000 = log (2 X 103) = log 2 + Iog103 = 0.301030 + 3 = 3.301030

c) log 200 = log (2 X 102) = log + log 102 = 0.301030 + 2 = 2.301030

d) log 20 = log (2 X 101) = log 2 + loglO1 = 0.301030 + 1 - 1.301030

e) log 2 = log (2 X 10°) = log 2 + log 10° = 0.301030 + O = 0.301030

f) log 0.2 = log (2 X 10 ~1) = log 2 + log 10-1 = 0.301030 - 1 = T .301030

g) log 0.02 = log (2 X 10-2) = log 2 + log 10 ~2 - 0.301030 - 2 ~ 2 .301030

h) log 0.002 - log (2 X 10 ~3} = log 2 + log 10 ~* = 0.301030 - 3 = 3.301030

/ ) log 0.0002 = log {2 X 10-4) = log 2 + log 10 ~4 = 0.301030 - 4 = 4.301030

;) log 0.00002 = log (2 X 10~5)= log 2 + log1Q- 5= 0.0301030 - 5 = 5.301030


Como puede observarse en el ejemplo anterior, el logaritmo de un número básico es unafracción decimal no negativa (ya que log 10 = 1 y log 1 = 0) y el logaritmo de una potenciaentera de 10 es, por definición, un entero. Por tanto, el logaritmo de un número positivo esta-rá constituido por dos partes:

a] Una parte entera llamada característica. La característica es el logaritmo de la poten-cia entera de 10 y está determinada por la posición del punto decimal en el número.La característica puede ser cualquier número entero, positivo, negativo o cero. ParaN < 1 la característica es igual al número de dígitos a la izquierda del punto decimalmenos una unidad. (Véanse los casos a) a ej del ejemplo anterior). Para O < N < 1 lacaracterística se determina por el lugar que ocupa la primera cifra significativa a la de-recha del punto decimal. (Véanse los casos f) a /') del ejemplo anterior).

b) Una parte decimal llamada mantisa. La mantisa es el logaritmo del número básico yestá determinada por la secuencia de los dígitos del número sin importar la posicióndel punto decimal. La mantisa es una decimal positiva (o cero, si el número es una po-tencia entera de 10).*

Ejemplo 1.4.5 Determine la característica y la mantisa de los logaritmos de los siguientes números.

a) 959.84b) 27.35c) 0.026d) 0.004321e) 6.478

* Debe destacarse que el logaritmo de un número N tal que O < N < 1 será mostrado en la calculadoracomo un solo número negativo que es el resultado de la suma algebraica de la mantisa positiva y la ca-racterística negativa. En estos casos, el resultado desplegado representa el logaritmo del inverso del nú-mero que está calculándose y por tanto la parte decimal del número negativo que se muestra no repre-senta la mantisa. Por ejemplo, si

N - 0.02 - 2 x (10~2)

log N = log 2 x log 10~2) = 0.301030 - 2.

La calculadora mostrará —1.698970 que es el resultado de la suma algebraica de 0.301030 — 2.El logaritmo desplegado es el correspondiente al inverso del número que se está buscando.

-1 (,98970 _101 698970 5 X

yaque 0.698970 = log 5 y log 1 = log 10.

Fundamentos 17

Solución:

Determinando la notación científica de un número se tiene

Número Notación científ ica Característica Mantisa

959.84 9.5984 X 102 2 0.98219927.35 2.735 X 101 1 0.4369570,026 2.600 x 10 ~2 -2 0.4149730,004321 4.321 X 10 ~J -3 0.6355846,478 6.478 X 10° O 0.811441

1.4.4 Antilogaritmos

Si L = log N, N es llamado el antilogaritmo de L y se denota como N = antilog L cuando L —!og N.Por ejemplo.

200 = antilog 2.301030 ya que log 200 = 2.3010300.5 = antilog 0.698970 - 1 ya que log 0.5 = 0.698970 — 1

El antiiogaritmo de un logaritmo dado puede ser determinado utilizando una calculado-ra electrónica o por medio de tablas.

Ejemplo 1.4.6 Dado log 8.37 = 0.922725 determine el antilogaritmo de los siguientes logaritmos.

a) 2.922725b) 1.922725c) 0.922725 - 3d) 3.922725e) 0.922725 - 1

Solución:

.00.70

a) antilog 2.922725 = 837.b) antilog 1.922725 = 83.7c) antilog 0.922725 - 3 = .008370d} antilog 3.922725 = 8370.00ej antilog 0.922725 - 1 = 0.8370

Ejemplo 1.4.7 Utilizando una calculadora electrónica determine el antilogaritmo de los siguien-tes logaritmos. j

L = log N N = antilog L


a) antilog 4.25 = 17782.796) antilog 1.8 = 63.0957c) antilog -2.356547 = 0.0044

d) antilog -1.277366 = 0.0528e) antilog -0.132460 = 0.737123f) antiiog 0.132460 = 1.35662

1.5 CÁLCULOS CON LOGARITMOS

Como se estableció al principio del capítulo, los logaritmos han perdido importancia ante eladvenimiento de las calculadoras electrónicas que permiten la realización de complejas ope-raciones aritméticas con rapidez y precisión. Sin embargo, para la solución de una ecuaciónexponencial donde se desconoce el valor del exponente, los logaritmos deben aún utilizarse.

En esta sección se presenta una serie de problemas resueltos con la utilización de loga-ritmos.

Ejemplo 1.5.1 Resuelva las siguientes operaciones por medio de logaritmos.

85347 X 15274

125386

b) (0.03768)2(6.354428)6

A , , (5.36)2(67.48):

(356.27)'

Solución:

a) |0g f85 347 X 15 274\ |0g85 347 + log 1 5 274 - log 125 386\5 386 /

= 4.931188 + 4.183953 - 5.098249= 4.016892

antilog 4.016892 = 10396.62

b) log [(0.03768)2 (6.354428J6] = 2 log 0.03768 + 6 log 6.354428

= 2 (-1.423889) + 6 (0.803076)= -2.847778 + 4.818456= 1.970678

antilog 1.970678 = 93.471239

4 / f(5.36)2 (67.48)^3 r(5.36)M67.48)J!3M*"J

(3S6.72)2 ! | Í356.72)2

Fundamentos 19

I [(536) (67.48? 1 3/4 = J_{2 Iog 5.36 + 3 log 67.48 - 2 log 356.72)L 056.72)2 J

= —[2(0.729165) + 3(1.829175) - 2(2.552327)]4

= —(1.45833 + 5.487525 - 5.104654)4

= —(1.841201)

= 1.380901

antilog 1.380901 = 24.038147

Ejemplo 1.5.2 Determine el valor de la incógnita / (que representa tasa de interés por periodo) si

1 000(1 + i } 3 = 3000

Solución;

a) Empleando logaritmos:

log 1 000 + 3 log (1 + / ) = log 3 0003 log (1 + /') - iog 3 000 - log 1 000

log(1 + /) =

log(1 + / ) -

3

3.477121 - 3

3

log(1 + / ) = 0.159040(1 + / ) = antilog (0.159040)

1 + i' = 1.442249

/ = 1.442249 - 1/ = 0.442249 = 44.22%

¿)) Por solución directa:

1 000(1 + / ) 3 = 3000

30001 000

(1 + / ) 3 = 31 + / = (3)1/<J

/ - 1.442249571 - 1/ = 0.442249 = 44.22%


Ejemplo 1.5.3 Determine d (tasa compuesta anual de depreciación) si

900000(1 - </}3 = 200000

Solución:

a) Empleando logaritmos:

íog 900 + 3 log (1 - d) = log 2003 log (1 - d) = log 200 - log 900

2.301030 - 2.954243log (1 - d} =

log(1 - d) = -0.217737(1 _ d} = antiiog (-0.217737)

- d = 0.605708 - 1d = 0.394292d * 39.43%

b] por solución directa:

900000(1 - c/)3 = 200000(1 - c/)3 = 200/900(1 _ c/)3 - 0.222222

(1 _ d} = v 0.222222(1 - d} = (0.222222)1-'3(1 - d} - 0.605706

- d = 0.605706 - 1d - 0.394293 %

d * 39.43%

Ejemplo 1.5.4 Determine el valor de n (número de periodo de conversión) si n son meses y

1 000(1 + .05}n = 5000

Solución:

a) por logaritmos:

log 1 000 + n log (1 4- .05) = log 5 000n log (1.05) = log 5 000 - log 1 000

n (0.021189) = 3.698970 - 3.000000

0.6980700.021189

n = 32.9874n » 33 meses

Fundamentos 21

El tiempo en que un capital quintuplicará suva lordadauna tasa de interés del 5% mensuales de aproximadamente 33 meses.

Este tipo de problemas sólo puede resolverse mediante el uso de logaritmos.

Ejemplo 1.5.5 Determine el valor de n (número de periodos de conversión (si n representa semes-tres V

3500000(1 + 0.25) ~n) = 500000log 3 500 + [- n log (1.25)] = log 500

- n log 1.25 = log 500 - log 3 500- n (0.096910) = 2.698970 - 3.544068

-0.845098-0.096910

n = 8.72044n K, 8.72 semestres

Ejemplo 1.5.6 Determine el valor de n (número de pagos periódicos) si n son trimestres y

(1 + 0.18)"-1 =

0.18

Solución:

a) por logaritmos:

(1 + 0.18)n - 1 = 10(0.18)(1 + 0.18)" - 1 B 1.8

(1 + 0.18)n = 1.8 + 1(1.18)n = 2.8

n log 1.18 = log 2.8

log 2.8

n =

log 1.18

0.4471580.07188

n - 6.220723n w 6.22 pagos trimestrales

Ejemplo 1.5.7 Determine el valor de n (número de pagos periódicos) si n son años y

1 - (1 + 0.50)-" _0.50 - - 25


Solución:

a) por logaritmos:

1 - (1 + 0.50)-" = 25(0.50)- (1.50)-" = 12.5 - 1- (1.50)-" =11.5n log 1.50 = log 11.5

log 11log 1.50

1 .0606980.176091

n = 6.023569n = 6.02 pagos anuales


6. Determine el logaritmo L.

a) L = Iog3(27)b) L - Iog5 (0.008)c) L = Iog8 V64d) L = Iog10 =

e) L = Iog2 -

7. Determine el número N

a) log2N - 3b) log 5 N = 3c) l og 4 N - 1/2d} l o g 6 N - 5e) Iog1 0N - 2

8. Determine la característica de:

a) 8

b) 5210c) 85900d} 3.25e) 0.018f) 45.60

Fundamentos 23

9. Determine la mantisa de:

a) 2b) 0.20c) 0.020d) 0.040e) 0.080f) 8000

10. Determine el logaritmo común de:

a) 24b) 82.320c) 0.0035d) 7.489e) 158f) 0.0001g) 10000/>) 1/ ) 0.03720/) 10.25

11. Dado log 40 — 1.602060 determine el antilogaritmo de:

a) 2.602060b} 0.602060c) 0.602060 - 3

12. Determine el antilogaritmo de:

a) 2.5b} 0.80c) 3.3640d) -3.0000e) -0.03785f} 1.9777

13. Resuelva utilizando logaritmos, las operaciones del ejercicio 4.14. Resuelva utilizando logaritmos, las ecuaciones del ejercicio 5.15. Resuelva utilizando logaritmos, las siguientes ecuaciones exponenciales.

a) 100(1 + 0.50)n - 500b) (1.05)" = 3c) 3000(1 + 0.20}n = 10000d) 10000(1 + 0.20)-n = 3000e) (1.60)-" = 0.100


f) (1 + 0.18)n - 1 = 0.35g] 1- (1 + 0.04)-" - 0.285

1.6 REDONDEO

En este libro se utilizarán las siguientes reglas para redondeo:

1. El dígito retenido permanece sin cambio si los dígitos despreciados son menores de5 000. Ejemplo: 0.13783 se redondea como 0.1378 si se desean 4 cifras significativas.

2. El dígito retenido se incrementa en 1 si los dígitos despreciados son mayores de 5 000.Ejemplo: 0.68917 se redondea como 0.69 si se desean sólo 2 decimales.

3. El dígito retenido se convierte en par (incrementándolo en 1 cuando sea necesario) silos dígitos despreciados son exactamente iguales a 5000. Ejemplo: 0.235 se redon-deará como 0.24 si se desean 2 decimales, en tanto que 0.14325 se redondeará como0.1432 si se desean 4 decimales.

Ejemplo 1.6.1 Redondee las siguientes cifras a 2 y a 4 decimales:

Dos decimales Cuatro decimalesa) 30.82207 30.82 30.8221b) 5.5517627 5.55 5.5518c) 2.3562178 2.36 2.3562d) 14.5349976 14.53 14.5350e) 1.238902 1.24 1.2390

f) 1.1130500 1.11 1.1130

1.7 PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos, tales que dosnúmeros cualesquiera consecutivos de la sucesión están separados por una misma cantidadllamada diferencia común.

1, 4, 7, 10. . . es una progresión aritmética cuya diferencia común es 3.30, 25, 20, 15. . . es una progresión aritmética cuya diferencia común es —5.

Si se considera t, como el primer término de una'progresión, d como la diferencia comúny n el número de términos de la misma, se genera una progresión de la forma.

t1( t-, + d, ÍT + 2d, t-, + 3d *! + (n - 2) d, t-, + (n - 1]c/

El último término de una progresión será igual al primer término de la misma adicionadode (n — 1) diferencias

u = t, + (n - 1)d (1.11)

Fundamentos 25

Es una serie de 3 términos puede verse claramente esto:

ílf í, + d, ÍT + 2d

El último término (^ + 2d) es igual al primer término (t,), adicionado de (n — 1) veces ladiferencia común, ya que n — 3, n — 1 = 2.

La suma de una progresión aritmética puede escribirse como sigue:

S = tl + (t, + d) + (t, + 2d) + . . . + (u - 2d) + (u - d) + u * !

pero también puede escribirse en forma inversa

S - u + (u - d) + (u - 2d) 4- . . . + (Í! + 2d) + (t, + d) + t,

Si se suman las dos expresiones término a término se tiene:

2 S = (t-, + u) + (t, + u) + (Í! + u) + . . . + (t, + u) 4- (t, + u)2 S = (t! + u)

S = n!2(t, + u) (1.12)*

Así, la suma de una progresión aritmética de n términos es igual a la suma del primero yel último término multiplicado por n y dividido entre dos.

Ejemplo 1.7.1 Determine el 10o. término y la suma de la siguiente progresión aritmética: 3, 7',11,. . .

Solución:

a) Se determina el último término aplicando (1.9) y considerando t-\ 3, n = 10 y d = 4:

u = tl + (n _ i)cfu = 3 + (10 - 1)4u = 3 + 36u = 39

b] para determinar la suma se aplica la fórmula 1.12

S - n/2 (^ + u)S - 10/2(39 + 3)S = 5 (42)S - 210

* Substituyendo (1.11) en (1.12) se tiene:

S = y U +[(, +01-1) di] (1.13)

Simplificando: S « n/2 [2 t, + (n - 1) d]


Una alternativa de cálculo es la fórmula (1.13):

S = n/2[2 t, + (n - 1)d]5 = 10/2 [2(3) + (10 - 1)4]5 = 5 [6 + (9) (4)3S = 5 (42)S = 210

Ejemplo 1.7.2 Determine el último término y la suma de la progresión aritmética. 48, 45, 42. .. sicuenta con 15 términos.

5o/uc/ón:

a) Se determina el último término api ¡cando (1.11) considerando que t-| = 48 n = 1 5 y c / = — 3

u = í! + (n - 1)c/u = 48 + (15 - 1)(-3)u = 48 + (14X-3)u = 48 -42 = 6

b) la suma se determina aplicando (1.12):

S = n/2 (ÍT + u)S = 15/2 (48 + 6)S = 7.5 (54)S = 405

Ejemplo 1.7.3 El primer término de una progresión aritmética es: í-i = —2, el último término esu = 48. S = 253. Determine n y d

Solución:

Substituyendo en (1.10) se tiene:

5 - n/2 (t! + u]253 = n/2 (-2 + 48)506 = n(46)

n = 506/46 = 11

fn (1.11) se substituyen los datos conocidos y se determina d

u = t! + (n - 1}d48 = -2 + (11 - 1)d50 = 10 dd = 50/10 = 5

Fundamentos 27

Ejemplo 1.7.4 Conocidos Í5 = 27, t7 = 35

Determine í-j y S7

Solución:

t7 = ti + 6 d = 35í5 = t! + 4d = 27

Restando la ecuación í5 de í7 se tiene que:

(ti + 6o1) - (t-, + 4d) = 3 5 - 2 7

2d = 8d = 8/2 = 4

Para determinar t-j se substituye en cualquier ecuación y se tiene:

tl + 6d = 35t, + 6 (4) = 35tl = 35 -24ÍT = 11

La suma se determina substituyendo los valores conocidos en (1.12)

S7 = 7/2(11 + 35)S7 = 3.5 (46)S7 = 161

Ejemplo 1.7.5 Se recibe un préstamo bancario de $12 000 000 el cual se acuerda pagar mediante12 pagos mensuales de $1 000 000 más intereses sobre saldos insolutos a razón del 5% mensual.¿Qué cantidad de intereses se paga en total?

Solución:

El primer pago que debe hacerse será de $1 000 OOQ de capital más $600 000 de intereses (5%

de 12000000). El segundo será de $1 000000 más $550000; (5% de 11 000000) el tercero de$1 000000 más 500000 (5% de 10000000) y así sucesivamente.

ti = 600000 d = -50000 n = 12

Aplicando la fórmula (1.13) se tiene:

S = n/2[2í-, + (n - 1)d]S = 12/2 [2(600) + (12 - 1H-50)]S = 6 [1 200 + - 550]


5 = 6 (650)S - = 3 900

Deberá pagar $3 900 000 de intereses

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 7

16. Determine el último término y la suma de las progresiones siguientes.

a) 11, 23, 35 12 términosb) 5, —3, —11. . . 10 términosc) 1/2, 5/8, 3/4. . . 7 términosd 1/4, 1/12, -1/12. . . 20 términose) 1.00,1.05,1.10... 12 términos

17. Determine la suma de:

a) Los números pares de 1 a 100b) Los números nones de 9 a 100cj Los números enteros múltiplos de 5, de 100 a 500

18. En una progresión aritmética se tiene:

a) í-, = 8 í5 = 36; determine d, Í10 Y $10b} í5 - 60 í10 = 5; determine d, t-, y S10

c) í3 = 8 tn = 9 n = 8; determine d, í-, y S8

d} tn = -5 d = -1/4 n = 12; determine t-, y Sn

19. Una empresa recibe un préstamo bancario de $30 000 000 que acuerda liquidar en 10 pagossemestrales más intereses sobre saldos insolutos a razón de 30% semestral. ¿Qué cantidadtotal de intereses debe pagar?

1.8 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados términos, tales que dos nú-meros consecutivos cualesquiera, de la misma, guardan un cociente o razón común. En otraspalabras, esto quiere decir que cualquier término posterior puede ser obtenido del anteriormultiplicándolo por un número constante llamado cociente o razón común.

3( 6, 12, 24, 48 ... es una progresión geométrica cuya razón común es 2.

— 2, 8 —32, 128 . . . es una progresión geométrica cuya razón común es —4.

í, tr, tr2, ir3, tr4 . . . es una progresión geométrica cuya razón común es r.

Fundamentos 29

Tomando el último ejemplo se puede generar una progresión geométrica con 6 términos;

Í1( t,r, t./2, r/3, í-,r4, í^5

De ella se desprende que el último término es igual a:

u = f^-i (1.14)

y que una progresión con n términos adoptará la forma

t-,, t,r, t/2, . . . , t/"-3, t-,/-"-2, t^ n~1

La suma de esta progresión es igual a:

5 = ÍT + t,f + t/2 + . . . V n~3 + t^n-2 + V""1

multiplicando ambos lados de la ecuación por r, se tiene:

Restando la segunda expresión se tiene:

S - rS = t-, + (í^ - í-,r) -I- (t^2 - f^2)

S — rS = tn — t/"

Por lo que

5(1 - r) - tn - V

1 - r ' 1 - r

S = "^ (1.15)

Es conveniente utilizar la fórmula anterior cuando r < 1 y la expresión

cuando r > 1Una progresión geométrica será creciente si la razón común r es positiva mayor que 1.


Ejemplo 1.8.1 Genere una progresión de 5 términos si ^ = 3 y r — 4

Solución:

3, 12, 48, 192, 768

Una progresión geométrica será decreciente si la razón común r es positiva menor que 1.

Ejemplo 1.8.2 Genere una progresión geométrica de 5 términos considerando t-\ 80 y r — 1/4

Solución:

80, 20, 5, 1.25,0.3125

Ejemplo 1.8.3 Encuentre el 10o. término y la suma de los primeros 10 términos de las siguientesprogresiones:

a) 1, 2, 4, 8 ... b) (1 + 0.04) -1, (1 + 0.04) ~2, (1 + 0.04) ~3. . .

Solución:

a) para determinar el 10o. término se aplica la fórmula (1.14) considerando que ÍT = 1 r = 2

u = ÍT ru = 1 (2)10-1

u = 1 (2)9

u = 1 (512) = 512

La suma de la progresión se obtiene por:

S = 1

S = 1

r - 1

(210- 1)2 - 1

1024 - 11

S = 1023

¿>) En la segunda progresión se tiene que:

tl = (1.04)-1 r = (1.04)-1yn = 10

Para calcular el 10o. término se aplica (1.14)

u = ttf"~1

u. = (1.04)-1[(1.04)-1]10-1

Fundamentos 31

u = (1 .04) -1 O .04) ~9

.u = (1.04)-10

u = 0.675564

la suma se determina aplicando la fórmula (1.15) pues r < 1.

1 — rn—

s .1 -n.04)-1

-^04 r°41 - (1.04)-1 1.04

5 =

1.04 -(1.04)0

= 1 - (1.04)-10 = 1 - (1.04)-10""1.04-1 0.04

-0.6755540.04

Ejemplo 1.8.4 Una progresión geométrica tiene como primero y último término ^ = 80, t,,1 1/4; r = 1/2

Determine n y S

Solución:

Substituyendo los valores conocidos en (1.14)

u - t<¡rn ~ 1

1 1/4 = 80(1/2)n-1

5/320 = (1/2)n-1

1/64 = (1/2)n -1

Poniendo 1/64 en función de 1/2 se tiene:

1/64 = (1/2)6 (yaque26 = 64)

por lo tanto

(1/2)"-1 = (1/2)6

n - 1 = 6n = 6 + 1n = 7


Se aplica (1.15) para determinar la suma

1 - r n

1 - r

1 - (1/2) .5

S = 158.75

Ejemplo 1.8.5 Una progresión geométrica cuenta entre sus términos a í3 = 8 y í6 — 512. Deter-mine íg y S8

Solución:

Se tiene que tn = t1 rn ~ 1:

Í3 = íi r2 ~ 8 y í6 = t-, r 5 = 512O O

De la primera ecuación se despeja t-, = y se substituye en la segunda ecuación r5 = 512

8r 3 = 512r3 - 512/8r3 - 64

r = (64) !/3

r - 4

Substituyendo:

tnr2 = 8

t-,(4)2 - 8

t! (16) - 8

t 8 - 1ti — — —16 2

Para determinar t8 se aplica (1.14)

u = t-!/"1 -1

u = 1/2 (4)8-1

u = 1/2 (4)7

Fundamentos 33

u = 1/2 (16384)u =.8192

La suma se calcula utilizando (1.15')

S = t-, r" ~ 1r - 1

1 48 — 1s = 4-2 4 - 1

S = 10922.50

Ejemplo 1.8.6 La inflación de un país se ha incrementado en un 40% en promedio durante los úl-timos 5 años. ¿Cuál es el precio actual de un bien que tenía un precio de $10000 hace 5 años?

.Solución:

n = 6 ín = 100 í6 = ? r = (1 + 0.40)

Aplicando (1.14) se tiene:

u = í-, r'u = 100(1.40)6-1

u = 100(1.40)5

u = 100(5.37824)u = 537.82

Puede esperarse que el precio del bien se haya más que quintuplicado en ese periodo dadauna inflación promedio del 40%, puesto que dicha inflación se va calculando sobre la del añoanterior, que a su vez lo fue sobre la del anterior y así sucesivamente.


20. Determine el último término y la suma de las siguientes progresiones:

a) 7, 35, 175 ... 10 términosb) 5, -20, 80 ... 8 términosc) 2/3, 2/15, 2/75 . . . 15 términosd) 3/4, -1/4, 1/12 . . . 12 términos

21. En una progresión geométrica se tiene:

a) t-! = 4 í6 = 972; determine r, í8 y S8

b) t3 = 20 t7 = 1 620; determine r, t-, y S7


c) r5 = 8 tn « 0.5 n = 9; determine r, ÍT y 5n

• d] tn - — 1/8 r = -1/4 n = 8; determine t j y S8

e) t, = 1.04 r = 1.04; determine t12 y S12

22. Un jugador de ajedrez solicitó al rey después de haberle enseñado este juego, que en pagole diese 1 grano de trigo por el primer cuadro, 2 por el segundo, 4 por el tercero, 8 por elcuarto y así sucesivamente. ¿Cuántos granos debía darle por el cuadro número 32? ¿Cuán-tos granos debía darle por los cuadros 1 al 32? Imagine usted la cantidad si el tablero deajedrez tiene 64 cuadros.

23. Un equipo de cómputo con valor de $10000000 es depreciado cada mes un 10% de su va-lor al comienzo del mes. ¿Cuál será la depreciación en el 12o. mes?

24. Una persona deposita en un banco $5 000 000. El banco le paga un interés mensual del 3%sobre el saldo que tenga acumulado al principio del mes. Si dicho interés se reinvierte mesa mes en la misma cuenta, ¿qué cantidad habrá reunido al cabo de un año?

1.9 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS INFINITAS

Considérese la progresión geométrica

1, 1/2, 1/4, 1/8, . . .

Cuyo primer término es 1 y cuya razón es r = 1/2

La suma de los primeros n términos es

, 1 -(1/2)"1 - 1/2

(1/2)"1-1/2 1 - 1/2

5n = 2 -

Para cualquier n, la diferencia 2 — Sn = (1/2)n - 1 es positiva, y se vuelve más pequeña a me-dida que crece n. Si n crece sin límite (tiende al infinito) se dice que S se aproxima a 2 comolímite.

lim Sn = 2n —oo

Para una progresión geométrica

t,f t¿ t^ dr». .

Fundamentos 35

La suma de los primeros n términos puede escribirse como

1 - r 1 - r 1 - r

Cuando — 1 < r < 1, si n crece infinitamente, el término en r" tiende a O y S n tiende a —1 — r

Así, se dice que

S = — — - - cuando — 1 < r < 1 (1.16)

Y se le considera la suma de una progresión geométrica infinita.

Ejemplo 1.9.1 Determine la suma de la progresión geométrica infinita.

1, 1/3, 1/9, 1/27 . . .

Solución:

Aplicando (1.16) se tiene t-\ 1 y r — 1/3

1 - 1/3

S = 2/3

S = 1.5

Ejemplo 1.9.2 Determine la suma de la progresión geométrica infinita:

J 1 1_ 1' 4 ' 16 ' 64 ' 256

Solución:

t-i - 1 r = 1/4 yaque (-1<r<1)

S ~ 1 - 1/4


S =. 3/4

S = 4/3

t Ejemplo 1.9.3 Determine la suma de la progresión geométrica infinita.

(1 + / ) - \ (1 + /)-2,(1 + i)"3, (1 + ¡)'4, • . .

Solución:

t, = (1 + i)~\ r = (1 + í)-1, 1

1-0 + ¿)-i(

. n + o-1 x n + /) _ i 13 ~ - — X -- - — -i-o + f)-s n + /) n + /) - 1 /


25. Determine la suma de las progresiones geométricas infinitas siguientes:

a) 0.2,0.02,0.002,0.0002.. .b) 0.4,0.04,0.004,0.0004.. .c) 1, 1/5, 1/25. . .d) 1, -1/4, 1/16, -1/64

e) (1.05)-1,(1.05)-2, (1.05)-3. . .

26. Transforme en fracción propia los siguientes valores:

a) 1.111111. . .b) 2.055555. . .c) 3.0681818. . .

27. Se deja caer una pelota de hule de una altura de 30 metros. Si cada rebote es de 2/3 de la al-tura de la cual cae, ¿cuántos metros habrá recorrido hasta alcanzar el reposo?

1.10 RESUMEN

En este capítulo se han estudiado 3 temas que resultan básicos para la comprensión y mane-jo de las matemáticas financieras.

a) Los exponentes y sus leyes,b} Logaritmos y anti logaritmos.c) Progresiones: aritméticas y geométricas.

Fundamentos 37

Un exponente nos indica el número de veces que un valor llamado base debe multiplicar-se por sí mismo, y se expresa en su forma general como a "donde a es la base y n el exponente.

Las operaciones en que se involucran exponentes están regidas por las siguientes leyes:

2. - = am-n

an

3. (amjn — amn

4. (ab)n = a n b n

r / a \_ an3.

b

6. a° = 1

8. am/n = ( n a )m = " a "

Un logaritmo es el exponente al cual debe elevarse una base para obtener un número de-terminado.

bL = N

Como exponentes que son, los logaritmos se sujetan a las leyes que los rigen y, en virtudde ello, van a ser de gran utilidad para simplificar cálculos aritméticos.

Tres leyes fundamentales de los logaritmos se derivan de la aplicación de las leyes de losexponentes:

1. log (A X B) = log A + logB

A2. log —- = log A — log B

o

3. log A n — n log A

Así, aplicando logaritmos la multiplicación de dos números se convierte en la*suma desus logaritmos, un cociente en una resta y una potencia en una multiplicación.

Una progresión aritmética es una sucesión de números llamados términos tales que cua-lesquiera dos números consecutivos de la sucesión están separados por una misma cantidadllamada diferencia común.

Las progresiones aritméticas son la base teórica del interés y del descuento simples.


Las progresiones geométricas son, a su vez, la base del interés compuesto y las anualida-des, y se definen como una sucesión de números llamados términos, tales que cualesquierados números consecutivos de la misma guarden un cociente o razón común.

En una progresión geométrica cualquier número posterior puede ser obtenido del ante-rior multiplicándolo por un número constante llamado cociente o razón común.

Comprobación de capítulo

Si se ha leído el capítulo completo se debe:

• Comprender el concepto de exponente.• Conocer y aplicar las leyes de los exponentes.• Comprender el concepto de logaritmos.• Determinar el logaritmo común de un número.• Comprender el concepto de característica.• Comprender el concepto de mantisa.• Conocer y aplicar las leyes de los exponentes.• Determinar el antilogaritmo de un logaritmo.• Efectuar cálculos utilizando logaritmos.• Comprender el concepto de progresión aritmética.• Comprender el concepto de progresión geométrica.• Comprender el concepto de progresión geométrica infinita.

Términos y conceptos importantes

• Base• Exponente• Exponente cero• Exponente negativo• Exponente fraccionario• Logaritmo• Característica• Mantisa• Antilogaritmo• Progresión aritmética• Diferencia común• Progresión geométrica• Cociente o razón común• Progresión geométrica infinita

Fundamentos 39

(1.1)

(1.2)a n

(am)n = amn (1.3)

(ab)n= anbn (1.4)

(1.5)

(1.6)

Logaritmos

log(A X fi) = log/\ iogB (1.8)

|0g (—} = logA -IogB (1.9)

log/\= n logA (1.10)I

Progresiones aritméticas

u = ÍT + (n -1)d (1.11)

S = — (tn + u) (1-12)

S = y[2t1 + (n - 1)d] (1.13)

Progresiones geométricas

u = í^"-1 (1.14)

5 = t1 (1 ~ fn) parar <1 (1.15)

5 = tl (r" J 1) para r > 1 (1.15')


Progresiones geométricas infinitas

S = —^—cuando(- 1 < r < 1) (1.16)

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1. Simplifique

a) ax4 x a 3 x 5

b) a 2 y 5 X b2y5

c) a 3 x 4 X a 2 y 3 X x 2 y 6

d) (3x5 ) (5x2 ) (2x6 )

y

g) -1y 4 X y3

h] (d2)5

/ ) C / 3 ) 3 X ( / 2 )3

(3x2)4 (x3)5

(9x4 ) (9x4 )2

5 x

( x 3 y 5 ) 2

y3 x x 2 y4

y5 x y2

x y3

o) (1 + 0.06)3 X (1 + 0.06)12

[1.80]5 X (1.80)3 X (1.80)2

" " (1.80)

Fundamentos 41

2. Simplifique

a) 1°b) (5a)° x (3a2 )0

c) b1/5 x b1'4

.1/4

e),3/4 u K&/8x 6 É

.1/41/4

{x-2)(x~5)(x3)

g)h)i)nk}

(y2)

(y-4/7Xy-4/7)7

y

1} (125-1'5)(125}-2'5m) (1 + 0.075)-5 X (1 + 0.075)

n)(1.60] ~4 X (1 + .60) ~1

3. Simplifique usando exponentes

a) Vx2~y3

a3 x

d]

Vi™

Ab~3~ x Va2 bs -3

,4Va3~b^

4. Determine el logaritmo L

a) L = Iog2

b) L = Iog4

(512)

1

64

c) L = Iog5 V3 125c/) L = Iog10 VIO 000


5. Determine el número N

a) Iog2 N = Ob) log3N = -3c) log5N - -1d) log9/V = 1/2e) iogioN = Of) log10N = 3/2

6. Determine la característica de:

a) 125b) 347250c) 0.0000578cí) 4.75862475e) 0.3O 35.4g) 1 348h] 40/) 172.35/) 1.0005

7. Determine la mantisa de:

a) 3b) 30c) 300d) 3000e) 0.0003O 0.50g) 4h) 1.60/ ) 9/ ) 2700

8. Determine el logaritmo común de:

a) 318b} 600c) 8524d) 0.375e) 7.32f) 1 000000g) 45372000h] 0.0000045/ } 35.5/ ) 40

Fundamentos 43

9. Determine el antilogaritmo de:

a) T. 301030b) 1.301030c) -1.301030d) Oe) 4.25O 2. 602060g) -0.901090h] 3.275/') 2.2335/ ) 0.901090

10. Resuelva utilizando logaritmos las siguientes ecuaciones exponenciales:

a) 1(1 + 0.80)n = 106) (1 + 0.75)n = 5C) 1 000000(1 + 0.075)" = 10000000d) 1(1 + 0.50)-n = 0.10e) 1(1 + 0.75)-n = 0.10f) 100(1 + 1.00)-1 = 1g) (1 + 0.20)n = 2h) 1 - (1 + 0.05} ~n = 0.5

11. Determine la suma de las siguientes progresiones:

a) 50, 60, 70, 80, 90, 1006) 32, 24, 16, 8

JL _1 J_ A 2.4 ' 8' 2 ' 8' 4

d] JL J_' '6' 4 ' 3 ' 12 ' 2 ' 12

12. ¿Qué cantidad de intereses pagará un tarjetahabiente bancario si adeuda $ 8 800 000 y losliquidará en 11 pagos mensuales más intereses sobre saldos insolutos a razón del 5% men-sual?¿Cuál será el importe del último pago?

13. Determine el último término y la suma de las siguientes progresiones:

a) 5, 40, 320. . . 5 términosb) — 3, 12, — 48. .. 8 términos

1 1 1c) — , - , - . . . 7 términos

7 49 343


2 2 2d) —, , . . 10 términos

3 9 27

14. Un padre de familia decide formar un fondo de ahorro que paga 3% de interés mensual,con el fin de costear los estudios profesionales de su hijo de 8 años. Inicia el fondo con5500 000 y determina depositar en el mismo el doble de lo que éste tenga en cada cumple-años de su hijo, y hasta que éste cumpla dieciocho años. ¿Qué cantidad deberá depositar enel 15° aniversario? ¿Qué cantidad deberá depositar en el 18° año? ¿Cuánto dinero habrá de-positado el padre al cabo del 18° año?

15. La moneda de un país se ha devaluado a razón de un 2% mensual durante el último año.Suponiendo que este factor de devaluación se mantuviera constante durante el próximoaño, ¿cuál será la paridad de dicha moneda al cabo de 12 meses si actualmente es de 100unidades por 1 dólar?

16. Suponiendo una tasa de inflación de un 2% mensual constante, ¿cuál será el poder adquisi-tivo de $1.00 al cabo de 12 meses?

17. Determine la suma de las progresiones geométricas siguientes.

a) 5, 0.5, 0.05, 0.005

1 1b) 1,

c) -1,

10 ' 100

1 110 100

d) (1 + 0.50)°, (1 + 0.50}-1, (1 + 0.50) ~2,. .

Interés simple

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio del presente capítulo, el alumno será capaz de:

• Explicar los conceptos de interés simple, tiempo, capital, monto, valor actual, interés, des-cuento y ecuaciones de valores equivalentes

• Distinguir y explicar la diferencia entre descuento real y descuento comercial, y tiempo real ytiempo aproximado

• Plantear y resolver ejemplos de cálculos de tasa, tiempo, capital, monto, valor actual y des-cuento a interés simple

• Plantear y resolver ejemplos de ecuaciones de valores equivalentes a interés simple

TEMARIO

2.1 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

2.2 MONTO

2.3 VALOR ACTUAL O PRESENTE

2.4 INTERÉS

2.5 TASA Y TIPO DE INTERÉS

2.6 PLAZO O TIEMPO

2.7 TIEMPO REAL Y TIEMPO APROXIMADO

2.8 DESCUENTO

2.9 GRÁFICAS DE INTERÉS SIMPLE

2.10 ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES

2.11 APLICACIONES

2.12 RESUMEN

45


2.1 INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS

Supóngase la siguiente situación:El señor López solicita a un banco un préstamo por $20 000 000 que obtiene y acuerda

pagar después de dos meses entregándole al banco $21 400 000. Este caso permite ejemplifi-car una operación en la que interviene el interés simple. El supuesto fundamental de que separte es que el dinero aumenta su valor con el tiempo: el señor López obtuvo inicialmente$20000000 y pagó, dos meses después, $21 400000; los $20000000 que obtuvo inicial-mente más $1 400000 de intereses que, de acuerdo con el supuesto básico, es la cantidadque aumentó el valor del préstamo original en dos meses. Desde el punto de vista del banco,esos intereses son su ganancia al haber invertido su dinero en el préstamo, y desde el puntode vista del señor López, son el costo de haber utilizado los $20 000 000 durante dos meses.

Los elementos que intervienen en una operación de interés simple son, de acuerdo con elmismo ejemplo:

C = El capital que se invierte = $20000000t = El tiempo o plazo = dos meses/ = El interés simple = $1 400000

M = El monto = capital más intereses = $21 400000/' = La tasa de interés

La tasa de interés refleja la relación que existe entre los intereses y el capital; en elejemplo

1 400 000 = o 0720 000 000

Este cociente indica, si se le multiplica por 100, que el capital ganó 7% de interés en dosmeses; $1 400000 es 7% de $20000000. Luego, para convertir a la misma base, se acos-tumbra expresar tanto la tasa de interés ; como el tiempo í en unidades de año, por lo que se-gún el ejemplo í = 2 meses, y si el año tiene 12 meses, el tiempo expresado en unidades deaño es

t = 2/12 = 1/6

Y la tasa de interés, si es de 0.07 por bimestre, en 6 bimestres será:

/ — 0.07 (6) = 0.42 ó, expresado en porcentaje:0.42 X 100 = 42% anual.

También se hace la diferenciación entre

a) la tasa de interés 0.42 (expresada en decimales) yb) el tipo de interés 42% (expresado en porcentaje).

Interés simple 47

Es importante observar que ambas son sólo expresiones distintas de lo mismo, sólo quela primera es la forma algebraica de plantearlo, mientras que su expresión porcentual es laque más se utiliza cuando se le maneja verbalmente y también es de uso común hablar de ta-sas porcentuales de interés (por ejemplo: "con una tasa del 50% anual").

Resumiendo y abundando sobre el ejemplo:

C = $20000000/ = $1 400 000í = 1/6/ = 0.42

M - $21 400 000

y se puede observar que,en general:

M - C + / (2.1)21 400 000 = 20 000 000 + 1 400 000

El monto es igual al capital más los intereses

/ = C / t (2.2)1 400 000 = 20 000 000 (0.42) (1/6)

El interés es igual al capital multiplicado por la tasa y luego por el tiempo. Combinandolas dos expresiones anteriores:

M - C + C / t (2.3)

M = C (/ + / í) = 20 000 000 [1 + 0.42(1/6)] = 20000000(1.07)= 21 400 000

Al factor (1 + /' í) se le conoce como factor de acumulación con Ínteres simple. Otra rela-ción que se puede observar es:

M = C(l + / í ) (2.4)

C = —. = M (I + / í)-1 = 21 400000(1.07)-1 = 21 400000 (0.934579)(I + / t)

C = 20000000

Este caso podría pensarse, con las mismas cantidades, en los siguientes términos: El se-ñor Chávez tiene una deuda de $21 400 000 que debe pagar dentro de dos meses. Si la opera-ción está pactada a 42 por ciento anual de interés simple, ¿cuánto debería pagar para saldarsu deuda?


La respuesta es, desde luego, $20 000 000. En este caso se comprenderá por qué se acos-tumbra llamar a esta cantidad valor actual de la deuda o, lo que es lo mismo, valor actual dela operación. Es necesario observar que el capital y el valor actual representan lo mismo, só-lo que en contextos diferentes: el capital es una cantidad que se invierte ahora para obtenerdespués un monto superior, y el valor actual es, precisamente, el que tiene en este momentouna cantidad cuyo valor se ha planteado en una fecha futura. En última instancia, ambosconceptos se pueden pensar y plantear uno en función del otro.

Enseguida se presentan otros ejemplos, para ilustrar más ampliamente los diversos con-ceptos introducidos hasta aquí.

2.2 MONTO

Ejemplo 2.2.1 Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $3500000 queacuerda liquidar haciendo un pago de inmediato por $1 500 000 y un pago final 4 meses después.Acepta pagar 60% de interés simple sobre su saldo. ¿Cuánto deberá pagar dentro de cuatro me-ses?

Solución:

C= 3 500 000 - 1 500 000 = 2 000 000/= 0.60t= 4/12 = 1/3

M= 2 000 000 [1 + (0.60X1/3)] = 2 000 000 (1.2)= $2 400 000.00

Deberá pagar $2 400 000, de los cuales $2 000 000 son el capital que adeuda, y $400 000, losintereses de 4 meses.

Ejemplo 2.2.2 Una persona deposita $15 000000 en un fondo de inversiones bursátiles que ga-rantiza un rendimiento de 2.8% mensual. Si la persona retira su depósito 24 días después ¿cuán-to recibe?

Solución:

C= 15000000;'= 2.8% mensualí= 24/30

M= 15000000(1 + 0.028) (4/5)= 15000000(1 + 0.0224)= 15336000

Obsérvese que en este caso se plantea tanto el tiempo como la tasa en meses.

Interés simple 49


Ejemplo 2.3.1 Una persona participa en una "tanda" y le toca el decimoctavo mes paracobrar. Si dentro de 18 meses recibirá $3 000 000, ¿cuál es el valor actual de su tanda, con un in-terés simple de 50% anual?

Solución:

M = $3 000 000 es un monto, pues se trata de una cantidad de la que se dispondrá en unafecha futura.

t= 18/12 = 1.5M = C (1 + /í)

M 3 000 000(1 + it) [1 + {0.5} (1.5)]

C = 3000000/1.75 = $1 714285.71

$1 714 285.71 es el valor actual de $3 000 000, realizables dentro de 18 meses con 50% anual deinterés simple.

Ejemplo 2.3.2 Un individuo compró un automóvil nuevo por el cual pagó $9 500 000 el primerode enero, y lo vende el primero de junio del año siguiente en $16 000 000. Aparte del uso que yale dio, del seguro que pagó, y otros gastos que hizo, considerando sólo los valores de compra yventa, ¿fue conveniente como inversión la operación realizada si la tasa de interés de mercadoera del 55%.

Solución:

En este caso, para evaluar la conveniencia puede calcularse el valor actual de $16 000 000, 17 me-ses atrás, a una tasa similar a las vigentes en ese lapso, para comparar esa cantidad con lo que sepagó.

Pagado el primero de Valor actual de $16 000 000, 77 meses aníes, a 55% anual simpleenero

o cnn nnn f 1 6 °°° °°° 1 & 000 000y 5uu uuu c =1 + (17/12) (0.55) 1.77916667

C = $8992974.24

Dejó de ganar 9500000 - 8992974 = $507026, aproximadamente, al haber invertido en elautomóvil en vez de haberlo hecho en una inversión bancaria o bursátil que habría tenido el mis-mo rendimiento del mercado.


2.4 INTERÉS

Ejemplo 2.4.1 Una persona obtiene un préstamo de $5 000 000 y acepta liquidarlo año y mediodespués. Acuerda que mientras exista el adeudo pagará un interés simple mensual de 6.5%.¿Cuánto deberá pagar de intereses cada mes?

f

Solución:

a)C = sooooooí = 1 mes/ = 0.065%/ = 5 000 000 (0.065) (1) = $325000

Tendrá que pagar $325000 mensuales.Puesto que la tasa de interés y el plazo están expresados en meses (la misma unidad para am-

bos conceptos), el cálculo del interés es directo.

¿>) Para resolver este mismo ejemplo, pero expresando las cantidades en periodos anuales (ya nomensuales):

Solución:

C = 5000000t = 1/12/ - (0.065) (12) = 0.78 anual/ - 5000000(1/12)(0.78) = $325000

Ejemplo 2.4.2 Si alguien deposita $7 500000 en una cuenta bancaria que ofrece pagar 2.35%mensual simple, ¿cuánto recibirá mensualmente de intereses?

Solución:

C - 7 500 000/' = 0.0235 mensual/ = 7 500 000 (0.0235) (1)/ = $176250 mensuales


1. Se obtiene un crédito por $1 800 000 a 160 días con 50% simple. ¿Qué cantidad debe pagaral vencerse su deuda?

2. ¿Qué cantidad por concepto de interés simple mensual produce un capital de $4 000 000 al33% anual simple?

3. Si una persona deposita hoy $5 000 000 a plazo fijo con 5.2% de interés mensual, y no retirasu depósito y reinvierte sus intereses, ¿cuánto tendrá en su cuenta 3 meses después si la ta-sa de interés no varía?

Interés simple 51

4. Una persona adquiere en esta fecha un automóvil que cuesta $22000000. Si suponemosque el vehículo aumenta su valor en forma constante y a razón del 2% mensual, ¿cuál serásu valor después de dos meses?

5. María Eugenia desea adquirir un inmueble dentro de dos años. Supone que el enganche quehabrá de pagar hacia esas fechas será de $35 000 000. Si desea tener esa cantidad dentro dedos años, ¿qué cantidad debe invertir ahora en su depósito de renta f i ja que rinde 2.9% deinterés mensual simple?

6. ¿Qué cantidad debe invertir hoy al 2.8% de interés simple mensual para tener $2 000 000dentro de dos meses?

7. ¿Cuál es el valor actual de un pagaré por $5 000 000 que vence el 15 de diciembre si se con-sidera un interés del 60% anual simple y hoy es 11 de julio?

8. Para terminar de saldar una deuda, una persona debe pagar $3 500 000 el 15 de mayo. ¿Conqué cantidad pagada hoy, 13 de enero, liquidaría su deuda si se considera un interés del36% anual?

9. Un mes después de haber obtenido un préstamo, José Luis debe pagar exactamente$850 000, ¿cuánto obtuvo en préstamo, si el pago que debe hacer incluye intereses al 40%anual?

10. ¿Cuál es el valor actual de una letra de cambio por $1 000 000 que vence dentro de 60 días,si la tasa de interés es del 50% anual?

11. Una persona que cobra $2 000 000 mensuales de sueldo es despedida por problemas finan-cieros de la empresa. Al despedir al trabajador se le paga su correspondiente indemniza-ción, que incluyendo tres meses de sueldo, días por antigüedad y descuentos por impues-tos, arroja un saldo neto de $18 000 000. ¿Qué ingreso f i jo mensual le representaría al ahoradesempleado depositar el monto de su liquidación en una inversión que paga 36.5% de in-terés simple anual?

12. ¿Qué cantidad de dinero colocada en una inversión de renta f i ja que paga 40% de interéssimple anual produce intereses mensuales por $450000?

13. ¿Cuánto debe pagar por concepto de intereses una persona que tiene una deuda por$1 200000 si la liquida 6 meses después y le cobran intereses a razón del 60% anualsimple?

14. ¿Cuánto tendría que pagar mensualmente por concepto de intereses una persona queadeuda $7 500 000, si le cobran 35% simple semestral?

15. Salomé tiene dos deudas:/

a) Le debe $8000000 a un banco que cobra 5.5% mensual.b) Compró a crédito un automóvil; pagó determinado enganche y le quedó un saldo de

$7 500 000 que comenzará a pagar dentro de ocho meses; mientras tanto, debe pagar64% de interés simple anual durante ese lapso.

¿Cuánto pagará en los próximos seis meses por concepto de intereses?

16. Los movimientos de la cuenta de crédito de un cliente en un almacén fueron:

Saldo registrado el 14 de febrero $ 450000Cargo el 27 de febrero $ 150000Abono el 31 de marzo $ 400000Cargo el 15 de abril $1 000000Cargo el 30 de abril $ 100000


Si el almacén cobra 54% anual de interés, ¿qué cantidad deberá pagar el cliente el 15 de,' mayo para saldar la cuota?

17. ¿Cuál es el saldo de una cuenta de crédito a la que se le carga 58% de interés simple anual,y que ha tenido los siguientes movimientos?

/"I de marzo. Saldo $850000l-15 de marzo. Abono ' $150000

31 de marzo. Cargo $450000(l5 de mayo. Abono $200000

31 de mayo. Abono $250000

18. Siendo 90% anual un tipo razonable de interés de rendimiento del dinero, ¿cuál de las tresofertas de venta siguientes es más conveniente para la compra de un terreno?

a) $5 000 000 de contadob) $3 000 000 de contado y el saldo en dos pagarés: uno por $1 050 000 a 30 días, y otro por$1 100000 a 60 días.c) $1 000 000 de contado y un pagaré de $4 200 000 a 30 días.

19. A las tasas vigentes actualmente, ¿cuánto rinde de intereses mensuales un millón de pesosen un depósito a plazo fijo de

a) 28 días?b) 91 días?c) 180 días?

20. A las tasas vigentes actualmente ¿qué cantidad se recibiría al final de la transacción por unpagaré con rendimiento liquidable al vencimiento por $10 000 000, a un plazo de tres meses?

2.5 TASA Y TIPO DE INTERÉS

Ejemplo 2.5.1 Una persona compra un radio que cuesta $1 500000. Paga un enganche de$800 000 y acuerda pagar otros $800 000 tres meses después. ¿Qué tipo de interés simple pagó?

Solución:

C = 1 500000 — 800000 = 700000, la cantidad que queda a deber,í = 3/12 = 0.25/ = $800000 - $700000 = $100000

y, con / = G't

$100000 - $700000 /(0.25)$100000 = i (700 000) (0.25) =',175000

/ = 100000/175000/ = 0.57142857

Pagó un interés de 57.14%, o 4.76% mensual.

Interés simple 53

Ejemplo 2.5.2 En el ejemplo de la persona que compró el automóvil el primero de enero en$9 500 000, y lo vendió 17 meses después en $16 000 000, ¿qué tasa de interés simple anual le rin-dió su inversión?

Solución:

C = 9 500 000M = 16000000

t =17/12 mese-/ = ?

de M = C(1 + /t)(.

$16000000 = $9 500 000 [1 + / (17/12)]U- •' !""

16000000 = 1+17/12) = r68421053

9 500 000

17 /12

12(0.68421053)

= 1.68421053 - 1 = 0.68421053

= 0.4829721417

tasa es de 0.4830 anual simple.:>tese que si se hubiera preguntado el tipo de interés la respuesta hubiera sido, convirtiendo

simplemente a porcentaje:

48.30% de interés anual simple.

Ejemplo 2.5.3 ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 54% anual?

°'54 = 0.045 ó 4.5% mensual12

2.6 PLAZO O TIEMPO

Ejemplo 2.6.1 ¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al 49% de interés anual simple?

De M = C[1 + /t) Suponiendo M = 2 y C = 12 = 1[1 + (0.49)t]1 + 0.49 í - 2

0.49 t = 2 — 1 = 1í - 1/0.49t = 2.04 años

.04 años = 365 (.040) dias = 14.84 díast = 2 años y 15 días, aproximadamente


Nótese que para calcular esto sólo se necesitó suponer un monto del doble de cualquier capital.• Utilizando M = 30 C = 15,«•

30 = 15 (1 + 0.49 f)30/15 = 1 + 0.49 t

2 = 1+ 0.49 í que es la misma expresión anterior.

Ejemplo 2.6.2 ¿En cuánto tiempo se acumularían $5 000 000 si se depositaran hoy $3 000 000 enun fondo que paga 4% simple mensual?

M= 5000000C- 3000000/= 0.04 mensual

5 000 000 = 3 000 000 (1 + 0.04 t)

50003000

= 1 + 0.04 í

1.666667 = 1 + 0.04 t1.666667 = 1 + 0.04 t

0.04 í = 0.666667t = 0.666667/0.04í = 16.67 meses

Como la tasa / estaba dada en meses, el resultado que se obtiene en í también está en meses y,

0.67 meses = 0.67 (30) días = 20.1 días;

entonces, se acumulan $5 000 000, si se depositan hoy $3 000 000 ai 4% mensual simple en:

16 meses y 20 días, aproximadamente.

n i

2.7 TIEMPO REAL Y TIEMPO APROXIMADO

Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas, en lu-gar de mencionar un número de meses o años.

Ejemplo 2.7.1 ¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de $10 000 000 depositadoel 15 de mayo del mismo año en una cuenta de ahorros que paga 49% anual simple?

C= 10000000í= 0.49t = ?

Interés simple 55

Para calcular el tiempo real es necesario determinar el número de días que transcurrenentre las dos fechas (obsérvese que el 15 de mayo no se incluye, ya que si se deposita y se retirauna cantidad el mismo día, no se ganan intereses).

16 días de mayo30 días de junio31 días de julio31 días de agosto30 días de septiembre31 días de octubre30 días de noviembre24 días de diciembre

223

y, t = 223/365

M - 10 000 000 [1 + [0.49) (223/365)]M =10000000(1.29936986)M - 12993698.60

b) En muchos casos se calcula el TIEMPO en forma APROXIMADA, contando meses enteros de30 días y años de 360 días:

del 16 de mayo al 15 de diciembre hay 7 meses, más 9 días del 16 de diciembre al 24 de di-ciembre:

7(30) + 9 = 219 días

t- 219/360M = $10 000 000 [1 + 0.49(219/360)] =

= 10000000(1.29808333)= 12980833.30

Aunque ocasiona diferencias en los valores que se obtienen, el cálculo aproximado del tiempose utiliza debido a que es más sencillo.

Ejemplo 2.7.2 El 11 de julio se firmó un pagaré por $1 700 000 con 38% de interés ¿en qué fechaserán $150000 los intereses?

a) con tiempo exacto

/ = 150000C = 1 700 000

/ = 0.38/ - Cit


150000 = $1 700 000(0. 38) t150000 - $646 000 í

— 0.23219814 años, pues la tasa está en años646 000

0.23219814 (365) = 84.75 o aproximando, 85 días

Al 31 de julio 20Al 31 de agosto 20 + 31 = 51Al 30 de septiembre 51 + 30 = 81

El 4 de octubre se acumulan $150000 de intereses.

b) Con tiempo aproximado:

í = 0.23219814 (igual que en a)0.23219814 (360) = 83.59 o, aproximando, 84 días

84 días son dos meses y 24 días, por lo que del 11 de julio más dos meses = 11 de septiembre.11 <Je septiembre más 24 días = 5 de octubre.


21. Encuéntrese el interés simple a) real y ¿>) aproximado u ordinario de un préstamo de$1 500 000, a 60 días, con el 45% de interés anual simple.

22. ¿Qué forma de calcular el tiempo, real u ordinario, produce una mayor cantidad de intere-ses?

23. De acuerdo con el tiempo ordinario, ¿cuántos días transcurren del 15 de marzo al 18 de di-ciembre?

24. De acuerdo con el criterio real, ¿cuánto tiempo transcurre del 14 de mayo al 15 de no-viembre?

25. ¿A qué tasa de interés simple anual $2 500 000 acumulan intereses por $500 000 en seis me-ses?

26. ¿A qué tasa de interés simple se duplica un capital en once meses?27. ¿En qué tiempo $2 000 000 se convierten en $2 500 000 ai 54% de interés simple anual?28. Una persona le prestó $400 000 a un amigo, y cuatro meses después le cobró $440 000. ¿Qué

tasa anual de interés pagó el amigo?29. El señor Martínez obtiene un préstamo por $2000000 y paga después de 8 meses

$2 400 000. ¿Qué tasa de interés mensual simple le cobraron?30. Una bicicleta cuesta $800 000. Un comprador paga $500 000 al contado y el resto a 60 días,

con un recargo de 5% sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés anual simple le apli-caron?

31. ¿Cuál es la tasa de interés simple proporcional bimestral equivalente a una tasa del 66%anual?

32. ¿Cuál es la tasa simple anual equivalente a una tasa trimestral simple de 12.5%?

Interés simple 57

33. ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un pagaré contratado el 15 de junio a un plazo de 120días?

34. Una señora reembolsa 205 085.71 por un pagaré de $185 000 firmado el 10 de mayo con 38%de interés simple anual. ¿Cuándo lo pagó?

35. Una persona adquiere una licuadora que cuesta $150 000 el 14 de agosto y la paga el 26 denoviembre con un abono de $170515. ¿Qué tasa de interés simple anual exacto pagó?

36. El 15 de febrero se firmó un pagaré por $1 500000 con 52% de interés simple anual. ¿Enqué fecha serán $400000 los intereses?

37. Investigúese qué tasa de interés simple mensual carga alguna tienda de departamentossobre cuentas de crédito corriente.

38. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual que pagan los Bonos del Ahorro Nacional si dupli-can la inversión en cinco años?

2.8 DESCUENTO

El descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en institucionesoancarias, y consiste en que éstas adquieren letras de cambio o pagarés, de cuyo valor nomi--al descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la•echa en que se recibe y la fecha del vencimiento. Con esto se anticipa el valor actual del do-cumento.

Existen básicamente dos formas de calcular el descuento:

• El descuento real o justo, y• El descuento comercial

Ahora será analizado el segundo tipo:

J

Descuento comercial

En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento,como se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.8.1 Obsérvese el siguiente pagaré

f11 Ao.

ii

V<e'x;«> 0.F. o te ,/e IV\«.MO df 19 *X S '85 OoQ i

Por este PAGARE promtto(emos) pagar incondicionalmentf a

df AiW¿* Oi*.i Sü!ÍA3fi5ÜfiÍ& f l día 13 de a_ôS-fo

rfí H xx, la cantidad rff cíe*AAo ocWv.V- •* tÁwwa WA. 1 tf?_^_o\5

t'díor recibido en HAtíe-ojAU^ a wii ("nupsíraí entero satis facción.

En caso de que no pague(mos) puntualmente, me(no>) obligo(amos) a cubrir elmensual por concepto de intereses moratorios. sin que por esto si entienda prorrogado el pdocumento forma parte de una serie de documentos, por !<• que la falta de pajfo de ufaculta aplicar el Articulo 79 en relación con el No. 17* de la Ley general de lilulos y ode crédito.

la orden i

izo. Este iro de elfos 1je raciones 1


Si el banco realiza operaciones de descuento al 50% anual, y si el señor Díaz desea descon-tar el documento el 15 de junio, los $185 000 (el valor nominal del pagaré) devengarán los si-guientes intereses (descuento) durante los dos meses en que se adelanta el valor actual del docu-mento:

descuento — DD = M/í = Mdt (2.5)

en donde d representa tasa de descuento185 000 (2/1 2) (0.50) = 185000(0.083333) = 15416.67

y esos $15 416.67 es el descuento que se aplica:

valor nominal 185000menos descuento 75476.67

valor anticipado 169 583.33

Y el señor Díaz recibe entonces $169 583.33, que es el valor comercia! del documento el 15 de ju-nio, ya que se aplicó el descuento comercial. Tal como se había señalado al principio el descuen-to se calculó con base en el valor nominal del pagaré.

Ejemplo 2.8.2 Una empresa descontó en un banco un pagaré. Recibió $166 666.67. Si el tipo dedescuento es de 60% y el vencimiento del pagaré era cuatro meses después de su descuento,¿cuál era el valor nominal del documento en la fecha de su vencimiento?

Solución:

Aquí C = 166666.67d = 0.60í - 4/12 = 1/3

Se sabe que el descuento (D) = Mdt y M = C + D

D - Ddt = CdtD (1 - di) - Cdí

rrf , ")D - L a r =<0.07/CV ,1 - dt

166 666.67 (.60) (1/3) 166 666.67 (.2) 33 333.33D = -

1 - (0.6) (1/3) , 1-0.2 0.8

D = $41 666.67

y el valor del pagaré en su fecha de vencimiento es:

166666.67 + 41 666.67 = $208333.34

Interés simple 59

Ejemplo 2.8.3 Una empresa descuenta un documento por el cual recibe $879 121. Si el tipo dedescuento es de 55% y el valor nominal del documento era de $1 000 000, ¿cuánto tiempo falta-ba para el vencimiento de su obligación?

Solución:

M = 1 000 000C = 879121d = 0.55D = 1 000000 - 879121D = 120879D = M i t

120879 = 1 000 000 (0.55) t

120t = 'û/7 = o.219780/años = .219780 (12) meses « 2.64 meses

55 000

.64 meses (30) — 19.20 o, aproximando, 19 días

El plazo es de 2 meses y 19 días.

Descuento real o justo

A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que seanticipa, y no sobre el valor nominal.

Ejemplo 2.8.4 Con los datos del ejemplo 2.8.1

M = $185000í = 2/12d = 0.50

Solución:

De acuerdo con el descuento real, sustituyendo en la fórmula del monto a interés simple (el inte-rés real),

185000 = C[1 + 0.50(2/12)]185000 = C (1.083333)

1850001.083333

Por lo que el descuento es de:

185000 - 170769.28 = $14230.72

que es un tanto inferior al descuento comercial.


Ejemplo 2.8.5 De los datos del ejemplo 2.8.2

C - 166666.67d = 0.60t = 1/3

Solución:

M - 166 666.67 [1 + 0.6(1/3)]= 166666.67 (1.2)= $200000

Si la operación se hubiera llevado a cabo bajo descuento real, el valor nominal del pagaré habríasido de $200000.

Obsérvese la diferencia con los resultados obtenidos en el ejemplo 2.8.2, bajo descuento co-mercial.

descuento justo = 200000 - 166666.67 = 33333.33descuento comercial — $41 666.67

Ejemplo 2.8.6 De los datos del ejemplo 2.8.3

M ^ 1 000 000C = 879121d = 0.55

Solución:

M = C (1 + d í)1 000000 = 879121 [1 + (0.55) í]1.1375 = 1 + 0.55 í0.1375 = 0.55 t

1000000 +(X55f879121

0.1375í =

0.55

í = 0.25 años0.25 años = 3 meses

Plazo con descuento comercial: 2 meses y 19 díasPlazo con descuento real: 3 meses

Interés simple 61

2.9 GRÁFICAS DE INTERÉS SIMPLE

Craficar / y M en un sistema de coordenadas rectangulares ayuda a observar lo que ocurre aldinero con el tiempo.

2.9.1 Gráfica de /

Ya se vio que / = C / tSi se supone que C = 1Entonces I = i t

Así, la gráfica de los valores de / en función del tiempo son líneas rectas que pasan por el:ngen y que tienen como pendiente /', como puede apreciarse en la siguiente gráfjca:

60%

40%

í (años)Gráfica A

Obsérvese que, como era de esperarse, la recta sube más rápidamente (el interés es ma-.or] cuando la pendiente (la tasa de interés) es mayor.

2.9.2 Gráfica de M

DeSi C = 1

M = C (1 + it)M = 1 + / t

\1 + / t) representa el monto de $1 para diferentes valores de /' y de t.En la gráfica:


M , 60%

2-

1.5-

$1-

0.50-

/ 40%

7^30,

^

1 1 1 >1 2 3 t (años)

Gráfica B

Al igual que en la gráfica del interés, la recta sube con mayor rapidez (el interés es mayor)cuando la pendiente (la tasa de interés) es mayor.

EJERCICIOS DE LA SECCIONES 2.8 Y 2.9

39. Hágase una gráfica del interés que se produce en un mes con un capital de $1 000 invertidosen depósitos a plazo fijo de:

a) 60 días b) 90 días c) 180 días d) 360 días

40. Háganse otras gráficas para las mismas alternativas anteriores, pero considerando el mon-to.

; 41; ¿Cuál es el descuento comercial de un documento que vence dentro de 5 meses, y que tieneun valor nominal de $3 850 000 si se le descuenta al 38% tres meses antes de su vencimien-to?

42. ¿Cuál es el descuento real del documento del ejercicio 41?43. Si se descuenta este documento al 53% el 29 de agosto,

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¿iVWai»u«ia •»«>. Hk o ío ,/,, u/

Por este PAGARE

¿f Alfoviô Mw^Wt Sâde W<* la cantidad de ^

t'o/or recibido en HS£fe£5!

UVIo de 19 ÍÍ-X, $ 55c» ooopromtto(emos) pagar incondicionalmente a la

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óc-^brí.

1 <»loi "T'"0

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a mi (nuestra) entera satisfacción.

En caso de que no paguefmas} puntualmente, me(nos) obligo(amos) a cubrir elmensual por concepto de intereses moratorios. sin que por esto se entienda prorrogado el plazodocumento icrrna parte de uní ceric de dcûir.cntas. por le que U taita <1¿ ,*£•-, •!•- u»u u

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faculta aplicar el Articulo 79 en relación con el No. 174 de la Ley general de Ututos y operacionesde crédito.

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Interés simple 63

a) ¿Cuál sería el descuento comercial?b] ¿Cuál seria el descuento justo?

44. ¿En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $3 000 000, si su fecha devencimiento era el 29 de diciembre, el tipo de descuento 45% y el descuento comercial$112500?

45. ¿En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $5 750000, si su fecha devencimiento era el 15 de octubre, el tipo de descuento comercial 32% y el descuento$531 555.56?

46. ¿En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $1 250000, si su fecha devencimiento era el 27 de junio, el tipo de descuento 42% y se recibieron $1 217 917 netos?

47. ¿Qué tasa de descuento real se aplicó a un documento con valor nominal de $700 000, si sedescontó 60 días antes de su vencimiento y se recibieron $666 667 netos?

48. ¿Qué tasa de descuento real se aplicó a un documento con valor nominal de $1 000 000, sise descontó 45 días antes de su vencimiento y el descuento fue de $80 460?

49. ¿Qué tasa de descuento comercial se aplicó a un documento con valor nominal de$1 750 000, si se descontó 90 días antes de su vencimiento y se recibieron $1 592 500 netos?

50. ¿Qué tasa de descuento comercial se aplicó a un documento con valor nominal de^ $385 000, si se descontó 15 días antes de su vencimiento y el descuento fue de $8 822.92?51. ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron $146 527, si se descontó co-

mercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?52. ¿Cuál era el valor nominal de un documento que se descontó comercialmente dos meses

antes de su vencimiento, si el tipo de descuento fue de 58% y el descuento importó$450 000?

53. ¿Con qué tiempo de anticipación se descontó un documento cuyo valor era de $4 270 000,si el tipo de descuento comercial fue de 27% y el descuento aplicado fue de $288 225?

54. ¿Con qué anticipación se descontó un documento cuyo valor nominal era de $1 300000,con tipo de descuento comercial del 35%, si la cantidad neta recibida fue de$1 154038.89?

55. ¿Cuál era la fecha de vencimiento de un pagaré con valor nominal de $350 000, por el cualse recibieron $307 125 netos el 14 de julio, si el tipo comercial de descuento aplicado fuedel 42%?

56. ¿Cuál era la fecha de vencimiento de un pagaré con valor nominal de $240 000, por el cualse recibieron $165 005.16 el 14 de diciembre, si el tipo real de descuento aplicado fue de42%?

57. ¿Cuál era la fecha de vencimiento de un pagaré nominal de $170 000, el cual se descontócomercialmente al 57% el 12 de enero, habiendo ascendido a $19 380 el descuento?

58. ¿Cuál era la fecha de vencimiento de un pagaré con valor nominal de $748 000, el cual fuedescontado a tasa real, el 17 de octubre, al 51.5%, y cuyo descuento ascendió a $72 478?

59. El señor López le debe al señor Montiel $5 000 000. Éste acepta como pago un documentoa 90 días; si el señor Montiel puede descontar éste de inmediato en un banco que aplica untipo de descuento del 50% anual simple, ¿cuál debe ser el valor nominal del documentopara que el señor Montiel reciba del banco $5 000 000?

60. Si un banco desea ganar 65% de interés simple en el descuento de documentos, ¿qué tasade descuento debe utilizar si el plazo es de a] 3 meses, y b) 9 meses?


61. El Banco del Norte descuenta a un cliente al 60% un pagaré con valor nominal de, $2 500 000 que vence en 60 días. Ese día el Banco del Norte descuenta en el Banco Agrícolaese mismo documento al 53%. ¿Cuál fue la utilidad del Banco del Norte?

62. ¿Cuál es el precio de colocación de un certificado de tesorería con valor nominal de$10 000 que se coloca con una tasa de descuento de 28.82%, y que tiene un vencimiento a28 días?


Es un caso muy frecuente, y por eso importante, que en las operaciones financieras hayandos o más transacciones diferentes que deban replantearse para expresarlas en una opera-ción única.

Este concepto de ecuaciones de valores equivalentes es uno de los más importantes enMatemáticas Financieras, por lo que es necesario asegurarse de que se comprenda cabal-mente. En todos los demás temas se encontrarán abundantes ejemplos de este concepto.

En su forma más simple podría considerarse, por ejemplo, que la fórmula del monto a in-terés simple es una ecuación de valores equivalentes, ya que

M = C (1 + / tj

El monto M es equivalente a un capital C, colocado a un tiempo í y a una tasa /'.Enseguida se presentan otros ejemplos:

Ejemplo 2.10.1 En cierta fecha una persona firma un pagaré por $120000 a 90 días, al 45%.Treinta días después contrae una deuda por $100 000 para pagarla dos meses después, sin intere-ses. Dos meses después de la primera fecha acuerda con un acreedor pagar $150 000 en ese mo-mento y, para saldar el resto de su deuda, hacer un pago final tres meses después de la últimafecha, con interés del 50%. Determínese el pago final convenido.

Solución:

En primer lugar, conviene identificar que son cuatro las operaciones implicadas, dos de contrata-ción de deuda y dos de pago. Por otro lado, obsérvese que el valor total de las operaciones deadeudo debe ser igual al valor total de las operaciones de pago:

Operaciones de contratación Operaciones dede deuda pago

I $120000 a 90 días a 45% A. $150000 2 meses despuésII 30 días después $100000 a dos meses, sin interés. B. Pago final (desconocido), 5 meses después

de la primera fecha

Con base en el cuadro anterior se puede plantear la equivalencia en este simple ejemplo, como:

I + II = A + B

Interés simple 65

De esta idea proviene el nombre de ecuaciones de valores equivalentes.Se acostumbra utilizar lo que se conoce como "diagramas de tiempo y valor" para represen-

tar la situación gráficamente:

Sobre la recta se representa el tiempo; en este caso, en meses.

• Sobre el tiempo O está marcada la operación I• Sobre el tiempo 1 está marcada la operación II• Sobre el tiempo 2 está marcada la operación A• Sobre el tiempo 5 está marcada la operación B

En esta última operación, la X representa la cantidad que se está buscando.Ahora bien, para determinar la equivalencia es necesario encontrar el valor de las diferentes

operaciones en una sola fecha para que sea posible compararlas. Esto es así porque, como se sa-be, el valor del dinero es diferente en tiempos diferentes, y las operaciones están planteadas entiempos distintos.

La fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las diferentes operaciones se conocecomo fecha focal, y en el ejemplo es fácil ver que resulta conveniente escoger como fecha focalel momento en que se debe realizar el pago final para saldar todas las operaciones (cinco mesesdespués de la primera fecha). Así,

I. El valor de la operación I dentro de 5 meses es:

120000 [1 + (0.45)(3/12)] - 120000 (1.1125) = 133 500 que es su valor a los 90 días (3 meses)

y luego de su valor a 90 días hasta el 5o. mes (dos meses más), al 50% que fue lo convenido parasaldar la operación,

133 500 [1 + (0.5) (2/12)] - 133500(1.083333) = 144625

La operación I (120 000 en el tiempo 0) equivale a $144 625 en cinco meses.

II. Para la operación II:

Dado que esta operación se contrató sin intereses, vale 100 000 dos meses antes de la fecha focaly en ésta su valor sera:

100 000 [1 + (0.5) (2/12)] = 100000(1.083333) - 108333.33


A. Para ésta, los $150000 que pagó a los dos meses, valen al quinto mes:

150 000 [1 + (0.5) (3/12)] = 150 000 [1.125) = $168750

B. Finalmente, X, dado que se realizará en la fecha focal, estará dado a su valor en ese momento.

Volviendo al planteamiento de la ecuación de valores equivalentes

Valor total de las deudas = valor total de los pagosI + II = A + B

144625 + 108333.33 = 168750 + XX = 144625 + 108333.33 - 168750X = $84208.33

Cantidad que habrá de pagar en el quinto mes para saldar todas las operaciones.Ahora conviene observar en forma resumida todo lo que se hizo para llegar a la solución

Valor total de las deudas = valor total de los pagosI + II = A + B

144625 + 108333.33 = 168750 + X

133500(1.083333) + 100000(1.083333) = 150000(1.125) + X120000(1-1125)(1.083333) + 100000(1.083333) = 150000(1.125) + X120000 [1 + (0.45X3/12)] [1 + (0.5X2/12)] + 100000 [1 + (0.5X2/12)] =150 000 [1 + (0.5) (3/12)] + X

Esta expresión representa el planteamiento completo, donde a cada cantidad se le aplicaránlos valores correspondientes de tiempos y tasas de interés para encontrar su valor en la fecha fo-cal.

En los casos de interés simple es muy importante identificar la fecha focal de acuerdo con lopactado en las operaciones, pues el cambio de fecha focal produce variaciones en las cantida-des. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.10.2 Resuélvase el ejemplo 2.10.1 utilizando como fecha focal e! cuarto mes, en vezdel quinto:

Solución:

120 000 [1 + (0.45X3/12)] [1 + (0.5X1/12)] + 100 000 [1 + (0.5X1/12)] =

X150 000 [1 + (0.5) (2/12)] +

1 + (0.5) (1/12)

120000(1.1125)(1.04166667) + 100000(1.04166667) =

X150000(1.0833333)

1.04166667

Interés simple 67

139062.5 + 104166.67 = 162500 +1.04166667

243299.17 - 162500 = X

1.04166667

X = 80729.17(1.04166667)X = 84092.89

Y esta cantidad es diferente a la que se encontró utilizando el quinto mes como fecha focal.Este ejemplo indica que en el caso de las ecuaciones de valores equivalentes a interés simple, lasfechas focales diferentes producen resultados diferentes.

Ejemplo 2.10.3 Una persona contrajo una deuda hace ocho meses por $200 000 con 40% de inte-rés simple, y que vence dentro de cuatro meses. Además debe pagar otra deuda de $150000contraída hace dos meses, con 35% de interés simple y que vence dentro de dos meses. Conside-rando un interés de 42%, ¿qué pago deberá hacer hoy para saldar sus deudas, si se comprometea pagar $100 000 dentro de seis meses?

Solución;

Las deudas son $200000 de ocho meses antes que vence dentro de cuatro meses al 40%.$150000 de dos meses antes que vence dentro de dos meses al 35%; los pagos son: X hoy$100 000 dentro de seis meses

La fecha focal es el día de hoyEl diagrama de tiempo y valor es:

- 7 - 6 5 - 4 3 - 2 - 1 0 ' 2 í -4 5 6

El valor de la primera deuda a su vencimiento es:

200 000 [1 + 0.40(1^-0]200 000 (1.4) = 280 000

y su valor en la fecha focal

280 0001 + (0.42) (4/12)

280 0001.14

= 245614.04


El valor de la segunda deuda a su vencimiento es:

150 000 [1 + 0.35 (4/12]] = 167 500

y su valor en la fecha focal

167500 1675001 + (0.42) (2/12) 1.07

El valor de $100000 en la fecha focal

100000 100000

= 156542.06

= 82 644.631 + (0.42) (6/12) 1.21

en donde

X = 245614.04 + 156542.06 - 82644.63X - 319511.47

2.11 APLICACIONES. Ventas a plazo. Tarjetas de crédito.Préstamos prendarios (empeño o pignoración).Pagos anticipados de facturas

Ejemplo 2.11.1 Supóngase que una persona tiene una cuenta de crédito en un almacén, sobre laque paga 58% de interés y que ha tenido los siguientes movimientos en los últimos meses:

Saldo al 1o. de junio $40000Abono el 16 de junio $20 000Cargo el 11 de julio $25000Cargo el 31 de julio $ 3000

' Abono el 15 de agosto $20000"S

Calcúlese el saldo al 15 de septiembre.

Solución:

Del 1o. al 16 de junio, el saldo de $40000 causa interés y llega a un monto de:

40 000 [1 + 0.58(15/360)] = 40000(1.02416667)

40966.67 monto al 16 de junio(20000.00) menos lo abonado el 16 de junio

20966.67 este saldo causa interés durante 25 días, por lo que se convierte en un monto de

20811.00 [1 + 0.58(25/360)] - 20966.67(1.04027778) = 21 811.16

Interés simple 69

21 811.16 Saldo al 11 de julio, antes del cargo, más25 000.00 el cargo causado el 11 de julio

46 811.16 Saldo al 11 de julio, incluyendo el cargo, que causa interés durante 20 días, y liegael 31 de julio a un monto de:

46811.16 [1 + 0.58(20/360)] = 46811.16(1.03222222)

48 319.52 Saldo al 31 de julio, antes del cargo, más3 000.00 el cargo causado el 31 de julio

51 319.52 Saldo al 31 de julio, que el 15 de agosto se convierte en un monto de:

51 319.52 [1 + 0.58(15/360)] = 51 319.52(1.02416667)

52 559.7420 000.00) menos el abono del 15 de agosto

32 559.74 saldo que crece al 1o. de septiembre a un monto de:

32559.74 [1 + 0.58(1/12)] = 32559.74(1.04833333)

34 133.45 que es el saldo al 15 de septiembre.

Ejemplo 2.11.2 Enseguida se va a analizar la forma en que se calculan los intereses que se car-gan a los cuentahabientes de tarjetas de crédito, y en este caso particular obsérvense los siguien-tes estados de cuenta de una tarjetahabiente bancario:

35216SU SALDO ANTERIOR

¿¿.¡899,181 '•3ÍSU NUMERO 06 CUENTA

010049840793

- SUS PACOS X ABONOS

1,230,449 ^

SALDO PROMEDIO SINCOMPRAS Y DISP. EN EL MES

ESTADO DE CUENTA DE TARJETA DE CRÉDITO

+ fl|y¡SÍ®8Aj|Y •*• iNWfteSES - su SALOO NUEVO ,

SALDO PHOMEOtO COMPRAS UMITE DE CRÉDITO CRÉDITO DISPONIBLEYKSP.MtSANtSllOfl — - < . .. • .

(4) 10,000,000 * 9,638,943 •'

MÍNIMO A PAGAR

. 36,100

FAVOR DEPA6AR ANTES DEL

oi/os/xx""LAS OredAOONESittCtBIDAS DESPUÉS 0& ("JT 05/04/XX APARECERANENEU'ROXIMO ESTADO DE CUENTA

FECHA

MAR

MAR

MAR

MAR

MAR

MAR

MAR

MAR

MAR

MAR

MAR

0807

07

07

1416

19

26

26

29

29

NUMEROOEMÜÜNCKk

58083

77

79383

8211743149

34602

1 ate21066

6199134601

' DETALLE DE SUS MOVIMIENTOS

REST LA TABLITA SA

BBSt 0 BST Sí BONCÍA MEX DE AVIACIÓN

CÍA MEX DE AVIACIOH { . /g\U PAGO. . . . GRACIAS. (v)

BgBfANDBE • -

SO PASO 6»ACSU PAGO. . . . GUACIAS.

POBLACIÓN

MÉXICO D F

MÉXICO DF .

MÉXICO D F

MÉXICO DF • ;-:">Jf

MÉXICO »F

SUS COMPRAS ¥ PAGOS! H

2741013743035570

117820

117820

275 427

39 595

21 4 1 80

639 476

31 5 546

2 500

* S6COÓN P*«*fl&€QRQ 86 SOS OA8TO6


ESTADO DE CUENTA DE TARJETA DE CRÉDITO

su SALDO ANTERIOR

88,108.79 ~_su SuHüo S CURTA

010049840793

LAS

f*61* oeSSaA

MAY

zz2os

Z!Z»IZ

- sus PAGOS v ABONOS

SALDO PSQMfOtO SINCOMPRAS Y DISP. EN H. MES

36,108.79 @

;*fi»«Híl»@

SAl<X>l>ft08CeK>C<>MH)A$Y TOP. MES ANTERIOR

51,986.80 (g)

'" + mTiRESES

4649.81

LIMITE DE CRÉDITO

300,000

OPERA0ONES RECWOAS QESPUES DEL (j)

DETALLE OE SUS MOVIMIENTOS

CABGQS POR OOBBAH2A

*^

« su SALDO muevo

4O.78B.10 _®

CRÉDITO DISPOMBtf

889.244.90

.MÍNIMO A PAGAR '

• 11,830.00

FAVOR OEPAOAfi ANTES Da

01/06/87APARECERÁN EN EL PRÓXIMO ESTADO OE CUENTA

POBLACIÓN

«...

SUS COMPRAS VPAGOSI-

100

««»,ZbZ14-

00

Solución:

Obsérvese que el primer estado de cuenta trae las operaciones recibidas hasta el 5 de abril. Estose observa en ©. El segundo incluye las operaciones recibidas hasta el 5 de mayo. Por esto, aaquél se le llamará "estado de cuenta de marzo", y a éste, "estado de cuenta de abril".

Independientemente de las diversas secciones que contienen los estados de cuenta, las queinteresan en esta cuenta son:(2). "Saldo promedio sin compras y disposiciones en el mes". En elestado de cuenta de abril,® es igual al® de marzo, es decir, es el "saldo nuevo" del estado decuenta anterior.

®. Es también el "saldo nuevo" del estado de cuenta anterior, que a su vez es igual al ®, co-mo puede verse en el estado de cuenta de abril.

(4). "Saldo promedio de compras y disposiciones en el mes anterior", es lo que en los bancosse conoce como "saldo promedio de compras y disposiciones" y que se refiere al saldo promediode compras del estado de cuenta anterior:

Los 519 568 del @del estado de cuenta de abril se calcularon con los gastos que aparecenanotados en el estado de cuenta de marzo, de la siguiente manera:

• El primer cargo que aparece en la sección © "detalle de movimientos" es de $27 410 corres-pondientes al 6 de marzo (Véase el primer renglón). Esta suma estuvo cargada al banco 31 días(del 6 de marzo al 5 de abril), que es la fecha de corte del estado de cuenta de marzo, segúnse puede apreciar en la sección®.

• El segundo cargo $137 430 del 7 de marzo estuvo 30 días, y así sucesivamente, se determinael tiempo de vigencia de todos los cargos:

Interés simple 71

(A)Fecha de!

cargo

Marzo 06Marzo 07Marzo 07Marzo 07Marzo 14Marzo 19Marzo 25Marzo 29

(6)

$ cargo

27410137430

35570117820117820

39595214180

2500

(ONúmero de

días de vigencia

313030302318128

8497104 122 9001 0671003 534 6002 709 860

7127102 570160

20000

15 587040

Enseguida, para calcular el saldo promedio de compras se multiplica cada cargo por el nú-mero de días de su vigencia. Esto se realiza aquí Y se anota en la columna D de la tabla anterior Yse suman los productos de esta última columna, lo cual da un total $1 558 704. Finalmente, estacantidad se divide entre 30 (días de un mes comercial) para obtener el saldo promedio.

15 587 04030

= $519568

que es la cantidad que aparece en la sección @. "Saldo promedio de compras y disposiciones enel mes anterior" del estado de cuenta de abril.

©El saldo nuevo, que en cualquier estado de cuenta es igual a:

Estado de cuenta

Concepto marzo abril

Saldo anterior—enos "sus pagos y abonos"más sus compras y disposiciones~ás intereses

Su nuevo saldo

899 1811 230 449

692 325

361 057

361 057

46493

407 550

©. "Detalle de movimientos". Se anotan los detalles de los gastos y/o pagos efectuados du-rante el mes Y recibidos hasta antes de la fecha de corte.

©. Pagos y abonos efectuados en el mes; en el estado de cuenta de marzo:

275427+ 639 476

315546

1 230 449

en abril no se pagó nada.


. Sus compras y disposiciones, En marzo:

27410

137430

35570

117820

11782039595

2141802500

692 325

en abril no se gastó nada.

(9). "Interés". En marzo no se causaron intereses, ya que, de acuerdo con el contrato que seestablece con el banco, si el cliente paga cuando menos el total de su "saldo anterior" (sección©$899181 en ese caso) no se le cargan intereses. Y en marzo este tarjetahabiente pagó$1 230 449.

En abril sí se causaron intereses ($46497), que se calcularon de la siguiente manera:

@. "Saldo promedio sin compras y disposiciones en el mes" $361 057

más

@. "Saldo promedio de compras y disposiciones en el mes anterior"519568

880 625

Y sobre este total se aplica la tasa de interés simple mensual, que suele variar cuando menosun poco de mes a mes, pero que en el ejemplo era de 5.28%. Así,

/ = C / 1= 880 625 (0.0528) (1) = 46 497

Ejemplo 2.11.3 Una persona acude al Nacional Monte de Piedad a empeñar un televisor, para locual presenta el aparato y la correspondiente factura, y el valuador que examina la prenda leofrece un préstamo por $150 000, el cual es aceptado por el solicitante. Si esta institución carga5.5% mensual sobre el préstamo, ¿cuánto deberá pagar el dueño del televisor para recuperar elaparato después de 50 días de otorgado el préstamo?

Solución:

Es un caso de monto, en donde

C = 150000/ = 0.055 mensual

Interés simple 73

t = 50/30 mesesM = 150 000 [1 -i- 0.055(50/30)] = 150000(1.091667)M = $163750

Ejemplo 2.11.4 Para tratar de lograr el pronto pago de sus facturas los proveedores ofrecen des-cuento por el pago anticipado. 5/10, n/30 podrían ser los términos impresos en una factura, loscuales indican que se otorga un descuento del 5% si se paga a más tardar en 10 días, y n/30 señalaque si se paga en un plazo de 10 a 30 días se debe cubrir el importe neto.

Si un comerciante recibe una factura por $120 000 en esos términos:

a) ¿Le conviene obtener un préstamo con intereses al 45% para pagar la factura al décimo día?6) ¿Cuál es la mayor tasa de interés simple con la que le convendría obtener crédito para apro-

vechar el descuento?

So/uc;ón:

a) Si paga en diez días obtiene un descuento de

120000(0.05) = $6000

v pagaría 120 000 - 6 000 = $114000

Si utiliza el dinero prestado, tendría que utilizarlo 20 días: de cuando paga a cuandovence el importe neto de la factura. Hacer esto le costaría:

/ = 114 000 (0.45) (20/360) = $2850

y como lo que le cuesta el préstamo es inferior a lo que se ahorra, sí le convendría pagar con elpréstamo a los 10 días, ya que ahorraría:

6000 - 2850 = $3150

¿>) Si lo que ahorra por el pronto pago son $6 000, la mayor tasa que podría aceptar sería la queprodujera intereses por esa cantidad de un capital de $ 114 000 en 20 días:

6000 = 114 000 (/) 20/3606000 = 114 000 (0.05555556) /6000 = 6333.33 /

/ = 0.9474 anual simple

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 10 Y n

62. Una persona debe pagar $2 500 000 en tres meses, y $8 500 000 en 6 meses. ¿Qué cantidaddeberá pagar hoy para saldar sus deudas si se considera una tasa de 62% simple?


63. La señora Moreno adeuda $5 000 000 con intereses, y debe pagarlos dentro de ocho meses.Si hace un pago de $3 000 000 dentro de dos meses, ¿cuánto deberá pagar al cabo de los

' ocho meses si se considera la operación al 30% anual, y se usa como fecha focal dentro de8 meses?

64. El señor Gómez presta el 14 de julio $3 500 000 a cinco meses y medio al 40% de interés-simple. También presta, cuatro meses después, otros $2 000 000 con 54% de interés y ven-

cimiento a tres meses. Si considerara para la equivalencia una tasa de 55%, ¿qué cantidadrecibida por el señor Gómez el 14 de diciembre liquidaría esos préstamos?

65. Suponiendo que el Nacional Monte de Piedad cobre 5.5% mensual por los préstamos quehace sobre prendas pignoradas, ¿cuánto tendría que pagar dentro de tres meses una perso-na que empeñó hace un mes un televisor por el que le prestaron $800 000, y que el día dehoy empeña un reloj por el que le prestan $750000?

66. El señor García firma tres pagarés:

• uno, por $400 000, para pagarlo en cuatro meses, con 45% de interés;• otro por $195 000, para pagarlo en nueve meses al 60%• un tercero por $350000, para pagarlo en cinco meses sin intereses.

Si al cabo de tres meses decide liquidar los tres documentos pagando $450 000 en ese mo-mento, y haciendo un pago final seis meses después, ¿cuál será el importe de este pago si laoperación de equivalencia se calcula con intereses del 61%?

^7. Una persona adeuda $500 000 que debe liquidar dentro de ocho meses, y que ya incluye losintereses, y $400 000 contratados hoy al 51 % para pagar dentro de seis meses. Si decide sal-

dar sus deudas con dos pagos iguales, uno dentro de 10 meses y el otro dentro de un año, yla operación se calcula al 55%, ¿cuál será el importe de esos dos pagos iguales si usa comofecha focal:

a] dentro de 10 meses?6) dentro de un año?

Coméntese la diferencia entre los resultados de a) y b).

68. Si una persona invierte hoy cierta cantidad en un proyecto que le reditúa $50 000 000 al ca-bo de cuatro meses, y $30 000 000 después de seis meses, ¿qué cantidad tendría que haberinvertido para lograr un rendimiento de 66% sobre su inversión.

69. Una pareja de recién casados adquiere un refrigerador que cuesta $2200000, y paga$800 000 al contado. El saldo acuerdan pagarlo con 3 pagos iguales a ios 30, 60 y 90 días. Siel interés que les cobran es de 65% anual simple, ¿a cuánto asciende cada uno de esospagos?

70. Una persona tiene dos opciones para pagar un préstamo:

• pagar $2 000 000 a los cinco meses y $3 000 000 a los 10 meses, o• pagar $X a los tres meses y $3X a los 8.

Si las opciones son equivalentes y el dinero vale 50% anual simple, encuéntrese X usandocomo fecha focal dentro de 8 meses.

71. Un usuario del Nacional Monte de Piedad empeñó una alhaja el 15 de diciembre y la resca-tó el 15 de febrero del año siguiente con un pago de $207 000. Si esa institución cobra 4.5%mensual, ¿cuánto le prestaron al cliente por su alhaja?

Interés simple 75

72. ¿Cuál sería el precio de contado de un automóvil que se pagó con

• un enganche de $10850000• un abono de $7000000 realizado seis meses después de la compra• un pago final de $9 000 000, ocho meses después de la compra

si el costo del préstamo fue de 5% mensual simple?

73. El 16 de junio una persona contrajo una deuda por $3 000 000 para pagarla el 16 de octubrecon intereses de 49% simple anual. La deuda se documenta mediante un pagaré en el quese especifica además de las condiciones de la operación, una cláusula que señala que encaso de moratoria en el pago el deudor deberá pagar un 15% de interés mensual. ¿Cuántodeberá cobrar el acreedor si el deudor le paga el 5 de noviembre?

74. El señor Rodríguez firma un pagaré por $675 000 a ocho meses de plazo e interés de 60%.Si efectúa dos pagos antes del vencimiento, uno por $150000 a los dos meses, y otro por$200000 a los cuatro meses, ¿cuál es el saldo que debe pagar al vencerse el pagaré?

75. En un almacén se vende un comedor en $4 850 000 de contado. A un plazo de tres meses sevende mediante tres pagos mensuales de $1 744 403. ¿Qué tasa de interés simple mensualse cobra en el plan a crédito?, utilícese como fecha focal el día de la compra.

76. Obsérvense los dos estados de cuenta de un usuario de tarjetas de crédito que correspon-den a dos meses sucesivos. ¿Cuál fue la tasa de interés cobrada en el estado de cuenta pos-terior?

37830 LÍMITE CRÉDITO 1 2 , 5 0 0 > 0 0 0 ESTADO DE CUENTA DE TARJETA DE CRÉDITO BANAMEXSU SALDO ANTERIOR

146,350SU NUMERO DE CUENTA

>90057125194

— SUS PAGOS Y ABONOS

100,000SALDO PROMEDIO SIN

COMPRAS Y DISP EN EL MES

85,150

+ SUS COMPRAS YDISPOStCKWES

40,000SALDO PROMEDIO COMPRAS

Y DISP MES ANTERIOR

+ INTERESES

5,024LIMITE DE CRÉDITO

=- SU SALDO NUEVO

91,374CREDtTO DISPONIBLE

12,408,626

MtNIMO APAGAR

5 0 , 0 0 0FAVOR DE PAGAR ANTES OEt

25/05/90LAS OPERACIONES RECIBIDAS DESPUÉS DEL 05/05/90 APARECERÁN EN EL PRÓXIMO ESTADO DE CUENTA

FECHA

A B R

M A Y

1803

NUMERODE REFERENCIA

90517907

DETALLE DE SUS MOVIMIENTOS

SU P A G O . . . . G R A C I A S .DSTIONERIA COSTA AZUL

POBLACIÓN

MÉXICO D F

SUS COMPRAS V PAGOS <— )

-10040

000000


3 7 6 5 2 LIMITE CRÉDITO 1 2 , 5 0 0 , 0 0 0 ESTADO DE CUENTA DE TARJETA DE CRÉDITO BANAMEXSU SALDO ANTERIOR

91,374SU NUMERO DE CUENTA

690057125194

-SUSPAGOSYABONOS

50 ,000SALDO PROMEDIO SIN

COMPRAS Y DISP. EN EL MES

71,056

+ SUS COMPRAS YDISPOSICIONES

SALDO PROMEDIO COMPRASY DISP. MES ANTERIOR

4 ,000

+ INTERESES

4 , 0 0 0LIMITE DE CRÉDITO

= SU SALDO NUEVO

45 ,374CRÉDITO DISPONIBLE

12 ,454 ,626

MÍNIMO A PAGAR

45 ,374FAVDH DE PAGAR ANTES DEL

2 5 / 0 6 / 9 0LAS OPERACIONES RECIBIDAS DESPUÉS DEL 05/06/9'0ARECÉRAN EN EL PRÓXIMO ESTADO DE CUENTA

FECHA

MAY 23

NUMERODE REFERENCIA

90517


SU P A G O . . . . G R A C I A S .

POBLACIÓN SUSCOMPRASYPAGOS(-)

-50 0 0 0

CONSERVE ESTA SECCIÓN PARA RECORD DE SUS GASTOS

2.12 RESUMEN

En este capítulo se revisó el importante concepto del interés simple y que se refiere, básica-mente, al aumento del valor del dinero con el tiempo.

Se revisaron e ilustraron los conceptos de capital o valor actual, monto, tasa y tipo de in-terés y tiempo o plazo, y se expresó su interrelación en lo que podríamos llamar la fórmulaelemental del interés simple,

M = C (1 + it)

que, como también se vio, conociendo tres de sus incógnitas y despejando la restante, sepuede determinar su valor.

Se mencionó, por otro lado, la diferencia que se presenta en los resultados al hacer loscálculos con tiempo real y con tiempo aproximado o comercial.

Se habló del descuento, que es una operación que consiste en anticipar el cobro de undocumento.

Por su enorme importancia en las matemáticas financieras, se ilustró cuidadosamente elconcepto de las ecuaciones de valores equivalentes, a través de las cuales se plantea, en unafecha focal determinada, la equivalencia de un conjunto de operaciones de contratación dedeudas por un lado y, por el otro, un conjunto de operaciones de pago.

Finalmente, se vieron algunas aplicaciones del interés simple a operaciones comocompras a crédito, manejo de tarjetas de crédito, pignoración de artículos varios, etcétera.

Interés simple 77

COMPROBACIÓN DE CAPÍTULO


• Comprender el concepto de interés simple.• Identificar situaciones en las que se trate de encontrar el valor de un

montovalor actualtasa de interéstiempo o plazo

• Explicar la diferencia entre tiempo real y tiempo aproximado.• Comprender el concepto de descuento.• Plantear y resolver ejemplos en los que se aplique la operación de descuento.• Explicar la diferencia entre descuento rea! o justo y descuento comercial.• Plantear y resolver ecuaciones de valores equivalentes.

• Explicar qué es una fecha focal.

TÉRMINOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES

• Capital• Monto• Tasa de interés• Tipo de interés• Valor actual• Tiempo o plazo• Tiempo real y tiempo aproximado• Descuento• Descuento real o justo y descuento comercial• Fecha focal• Ecuaciones de valores equivalentes

FÓRMULAS IMPORTANTES

M = C + / (2.1]/ =C / t (2.2)

M = C + C / í (2.3)M = C[1 + it) (2.4)

D = Mdt (2.5)



1. ¿Qué es el interés simple?2. Expliqúense los siguientes conceptos:

Monto, capital, interés, valor actual, tasa de interés, tipo de interés, ecuaciones de valoresequivalentes.

3. ¿Cuál es el monto a los 10 meses de un capital de $185 000 colocado al 58% simple anual?4. ¿A qué tasa de interés se invirtió un capital de $475 000 que se convirtió en un monto de

$700 625 al cabo de nueve meses y medio?5. ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $850000 que se convirtió en un

monto de $983000.50 al 57% anual simple?6. ¿Cuál es el valor actual de $1 350000 cobrables dentro de cuatro meses con 65% anual

simple de interés?7. ¿Cuál es el monto real de $1 000 000 invertidos a una tasa de 0.65 simple anual del 14 de

agosto al 29 de noviembre?8. ¿Cuál es el valor actual aproximado o comercial de $1 800 000 cobrables el 29 de agosto, si

la tasa es de 0.78 anual simple y hoy es 2 de febrero?9. ¿Cuánto produce de interés simple al mes un capital de $2 500 000 invertido en valores de

renta fi ja que rinde 35.8% anual?10. ¿Qué tasa de descuento real se aplicó a un pagaré que vencía el 7 de junio con valor nomi-

nal de $175 000, y que al descontarlo el 7 de marzo produjo un valor neto de $149 572.65?11. ¿Cuánto recibiría una persona al descontar comercialmente un pagaré que vence dentro de

cuatro meses y que fue contratado hace dos meses en $1 500000 con interés al 31.5%anual, si la tasa de descuento que se aplica es de 50% anual?

12. ¿Cuándo vence un pagaré que se descuenta hoy a una tasa del 56.5% anual simple, quetiene valor de $749 000 a su vencimiento y produce un descuento comercial de$126955.50?

13. Una persona compra en un almacén:

• una lavadora de $1 750 000, paga un enganche de $800 000 y conviene en pagar el saldodos meses después;• una estufa de $920 000, sin enganche, para pagarla con un solo abono a los tres meses, y• una licuadora de $163 000, sin enganche, para pagarla en dos abonos iguales a los cuatroy cinco meses.

Si el almacén cobra 57% simple anual sobre esta clase de operaciones, ¿cuál sería el pagoúnico, realizado un mes después, que saldaría todas las deudas?

14. Cuando una prenda que ha sido pignorada no se desempeña antes de cinco meses, la insti-tución la saca a remate público para su venta, con el fin de recuperar el préstamo otorgadoy los intereses. Del dinero obtenido de la venta descuenta estos dos conceptos y el resto loentrega al cliente que empeñó la prenda. Si una persona empeña un anillo de brillantes yrecibe $1 950 000 por concepto de préstamo y no desempeña su joya, y si la institución lavende en remate cinco meses después en $3 000 000, ¿cuánto le devuelve al cliente si el in-terés que cobra es del 7% mensual?

15. Enseguida aparece el estado de cuenta correspondiente a un ejercicio mensual de unusuario de tarjeta de crédito. Si el cliente no ha realizado otras compras aparte de las queaparecen en el estado de cuenta, y si no realiza ningún pago, ¿cuánto le cobrará el banco deintereses en el próximo ejercicio si carga 4.5% sobre el saldo promedio?

Interés simple 79


1352,411 .00í- NUMERO DE CUENTA

¿75339296085


2 0 0 * 0 0 0 . 0 0SALDO PROMEDIO SINCOMPRAS EN EL MES

1,717,078

ESTADO DI+ SUS COMPRAS

4 4 6 , 5 7 9 . 0 0SALDO PROMEDIO COMPRAS

MES ANTERIOR

22 ,502

CUENTA DE+ INTERESES

79,455LIMITE DE CRÉDITO

2750000

FAR|ETA DE CRÉDITO KA

= SU SALDO NUEVO

2178 ,445 .00CRÉDITO DISPONIBLE

571,555.00

NAMEX-SUBURBIACANTIDAD A PAGAR

350 ,000FAVOR DE PAGAR ANTES DEL

30/07/90LAS OPERACIONES RECIBIDAS DESPUÉS DEL 1 0/07/90 APARECERÁN EN EL PRÓXIMO ESTADO DE CUENTA

=ECHA

.UN

. JNftJNJUNJUNJUNJUNJUNJUNJUNJJL

11U111515171830303001

NUMERODE REFERENCIA

63266 3 2 6

853451762317624175171585885319180411804918037


SUBURBIASUBURBIA5U P A G O . . . . G R A C I A S .5UBURBIASUBURBIASUBURBIASUBURBIASU P A G O , . . . G R A C I A S .5UBURBIA5UBURBIASUBURBIA

POBLACIÓN

MÉXICO D FLÉXICO D F

MÉXICO D FMÉXICO D FM É X I C O D FM É X I C O D F

1EXICO D F-IEXICO D FM É X I C O D F

SUS COMPRAS V PAGOS l-l

-

-

3639

100105

81559

1002350

5

665770000280440520900000984580100

CONSERVE ESTA SECCIÓN PARA RECORD DE SUS GASTOS


SU NUMERO DE CUENTA


SALDO PROMEDIO SINCOMPRAS EN EL MES

ESTADO DI+ SUS COMPRAS

SALDO PROMEDIO COMPRASMES ANTERIOR

CUENTA DE '

+ INTERESES

LIMITE DE CRÉDITO

fAR)ETA DE CRÉDITO Bft=- SU SALDO NUE\'O

CRÉDITO DISPONIBLE

NAMEX-SUBURBIA

CANTIDAD A PAGAR

FAVOR DE PAGAR ANTES DEL

LAS OPERACIONES RECIBIDAS DESPUÉS DEL APARECERÁN EN EL PRÓXIMO ESTADO DE CUENTA

FECHA

JULJULJULJULJUL

0101020210

NUMERODE REFERENCIA

18078180781286112861


5UBURBIASUBURBIASUBURBIASUBURBIACARGOS POR COBRANZA

POBLACIÓN

MtXICJ U hMÉXICO D FM É X I C O D FMÉXICO D F

SUS COMPRAS V PAGOS l-l

1 /

72463

<*!?U

980120790000

¿-T 162-R 8-85 CONSERVE ESTA SECCIÓN PARA RECORO DE SUS GASTOS

Interés compuesto

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio del presente capítulo, el lector será capaz de:

• Explicar los conceptos del valor del dinero en el tiempo.• Distinguir y explicar la diferencia entre monto simple y monto compuesto, entre tasa de inte-

rés nominal y tasa de interés efectiva.• Comprender y explicar los conceptos de: periodo de capitalización, frecuencia de conversión

y tiempo equivalente.• Plantear y resolver ejemplos de cálculo de monto compuesto, valor actual, tasas de interés

nominal, efectiva y equivalentes.• Plantear y resolver ejemplos de cálculo de monto compuesto, valor actual, tasa de interés no-

minal, efectiva y equivalentes.• Plantear y resolver ejemplos de ecuaciones de valores equivalentes a interés compuesto.

TEMARIO:

3.1 INTRODUCCIÓN

3.2 CONCEPTOS BÁSICOS

3.3 MONTO COMPUESTO

3.4 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES


3.6 TIEMPO

3.7 TASA DE INTERÉS


3.9 TIEMPO EQUIVALENTE

3.10 RESUMEN

81


3.1 INTRODUCCIÓN

El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con la vidade las personas y de los negocios. Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorran du-rante un periodo determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original dispo-nible; en otras ocasiones, en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante untiempo y se debe pagar un interés por su uso.

En periodos cortos se utiliza generalmente, como ya se vio, el interés simple. En periodoslargos, sin embargo, se utilizará casi exclusivamente el interés compuesto.

3.2 CONCEPTOS BÁSICOS

En el interés simple el capital original sobre el cual se calculan los intereses permanece sinvariación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto, encambio, los intereses que se van generando se van incrementando al capital original en perio-dos establecidos y, a su vez, van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso.

Se dice entonces que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una operaciónde interés compuesto.

En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al fi-nal de cada periodo por la adición de los intereses ganados de acuerdo a la tasa convenida.

Esta diferencia puede captarse claramente a través del ejemplo siguiente:

Ejemplo 3.2.1 Supóngase que se depositan $100 000 en una cuenta de ahorros que paga el 10%de interés semestral (20% de interés anual):

¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses?

/ = C / t/= 100 000 (.10) (1)/= 10000

Supóngase que se depositan otros $100 000 en una cuenta de valores que paga el 20% de in-terés convertible trimestralmente. ¿Cuál será e! interés ganado al cabo de 6 meses? {Nota: la tasade interés nominal es la misma en ambos casos: 5% trimestral = 20% anual).

. . . . . 20% anual _0 ./ trimestral — = 5%

4 trimestres

1er. trimestre / — C i ti = 100 000 (0.05) (1)/ = 5000

2o. trimestre / — (C + /) / t/ = (100000 + 5 000) (0.05) (1)/ = 105 000 (.05)/ = 5 250

Interés compuesto 83

/ total = / 1er. trimestre + / 2o. trimestre/ total = 5 000 + 5250

/ = 10 250

El interés en el segundo caso es superior al ganado en el primero pues, al acumular al fin del1er. trimestre al capital original el interés ganado, el producto del segundo trimestre será supe-rior al del primero.

El capital en este caso se incrementa por la adición de los intereses al final de cada periodo yéstos, a su vez, se incrementan al ser calculados sobre una base cada vez mayor. La cantidadacumulada al final de la operación es conocida como monto compuesto. La diferencia entre elmonto compuesto y el capital original es el interés compuesto.

Periodo de capitalización

El interés puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral y mensualmente,etcétera. Dicho periodo es denominado "periodo de capitalización". Al número de veces^je el interés se capitaliza durante un año se ¡e denomina frecuencia de conversión.

Ejemplo 3.2.2 ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que paga el 5% deinterés capitalizable trimestralmente?

un año 12 meses— = 4-n trimestre 3 meses

La frecuencia de conversión es igual a 4. El periodo de capitalización es trimestral.

Tasa de interés compuesto

La tasa de interés se expresa comúnmente en forma anual indicando, si es necesario, sureriodo de capitalización.

48% anual capitalizable mensualmente20% anual capitalizable semestraimente54% anual capitalizable trimestralmente

Si el interés se expresa sin mención alguna respecto a su capitalización, se entiende queesta ocurre anualmente.

Es muy importante que, para la solución de cualquier problema de interés compuesto, el-nterés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo al periodo de capitaliza-ción que se establezca; si el interés se capitaliza mensualmente debe transformarse el interésanual a interés mensual; si es trimestralmente, a interés trimestral, etcétera.

El periodo de capitalización y la tasa de interés compuesto siempre deberán ser equiva-entes. Así, en el ejemplo inicial, el interés de 20% anual fue transformado en interés trimes-

tral de 5% para hacerlo equivalente al periodo de capitalización que se estaba manejando.


Dos conclusiones pueden establecerse en este momento:á) El interés compuesto es mayor que el interés simple. Esto resulta así, pues el pri-

mero gana intereses por sí mismo, en tanto que el segundo no.b) A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés que se obtenga siendo

f igual la tasa anual nominal; así, un depósito bancario que obtenga intereses enforma mensual tendrá mayor rendimiento que uno que los obtenga trimestral-mente y, éste a su vez, será mayor que otro que los obtenga cada semestre.

En forma más clara se observa el comportamiento del interés simple y el interés com-puesto en una gráfica. Considérese el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.2.3 Un depósito de $100000 a 5 años. La tasa de interés es la misma en ambos casos:20% anual. En el interés simple éste no se capitaliza, en tanto que el interés compuesto lo hacecada año.

Año

O12345

Monto

250000

200 000 • -

Monto a interés simpleM - C (1 + / í)

100000120000140000160000180000200 000

Monto a interés compuestoM = C (1 + /)"

100000120000144000172800207 360248 832

100000

. Simple5

Tiempo

ñ


El monto a interés simple crece en forma aritmética y su gráfica es una línea recta. Sus incre-mentos son constantes y el interés del quinto año es igual al del primero. Su ecuación es la deuna línea recta cuya pendiente o razón de incremento está dada por la tasa de interés.

y = b + m xM = C + / t; / í = (C /) íM = 100000 + 20 000 (í)

El monto a interés compuesto, en cambio, crece en forma geométrica y su gráfica correspon-de a la de una función exponencial:

M - C (1 + /}"M = 100000(1 + 0.20)n

Sus incrementos son variables. Como se puede apreciar en la gráfica, cada periodo presentaun incremento mayor al del periodo anterior. Su ecuación es la de una línea curva que asciendea velocidad cada vez mayor.

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 1 Y 2

1. ¿Cuál es la tasa de interés por período de:

a) 60% anual capitalizable mensualmente?b) 36% semestral capitalizable trimestralmente?c) 12% trimestral?d) 85% anual?e) 48% anual capitalizable semestralmente?O 48% anual capitalizable mensualmente?g) 6.5% mensual?

2. ¿Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos del problema anterior?3. Elabore la gráfica que muestre el crecimiento de una inversión de $1 000 000 en un

año si se deposita en una cuenta de valores que paga:

a) 10% anual convertible semestralmenteb) 20% anual convertible semestralmentec) 30% anual convertible trimestralmented) 40% anual convertible trimestralmentee) 50% anual convertible trimestralmentef) 50% anual convertible mensualmenteg) 60% anual convertible mensualmenteh) 70% anual convertible mensualmente/') 80% anual convertible mensualmente

86 Matemát/cas financieras

3.3 MONTO COMPUESTO

El monto compuesto, como ya se había establecido, es el resultado que se obtiene al incre-mentar al capital original el interés compuesto. Si se dispone de un capital C y se invierte enun banco y se desea conocer el monto M del cual se dispondrá al final del periodo, sólo de-berá agregársele el interés / ganado.

M = C + / (3.1)

pero / = C / tcuando í = 1, / = C /

así M = C + C / que factorizando

M - C (1 + /) (3.2)

Como puede verse, el monto de un capital al final de un periodo se obtiene multipli-cando dicho capital por el factor (1 + /'). De esta manera, al final del segundo periodo setiene que:

M = C{1 + /} {1 + /)

capital aliniciar el

2o. periodo

M = C(1 + i)2

Al final del tercer periodo se tiene:

M = C (1 + i)2 (1 + /)

y así sucesivamente. Esta sucesión de montos forma una progresión geométrica cuyo n-ésimo término es igual a:

M = C(1 + /)" (3.3)

Esta ecuación es conocida como la fórmula del monto a interés compuesto.

Ejemplo 3.3.1 Se depositan $500 000 en un banco a una tasa de interés de 48% anual capitali-zable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en dos años?

Solución:

Como se estableció previamente con la fórmula (3.3), el monto a interés compuesto se calculamediante la ecuación:

M = C (1 + /)"


Se destaca nuevamente que la definición de periodo debe ser la misma para / y para n.Así, para calcular la tasa de interés mensual, se divide la tasa anual entre la frecuencia de

conversión:

. _ tasa de interés anual ,-, .,frecuencia de conversión

12

Para determinar n, se multiplica el lapso en años por la frecuencia de conversión:

n = 2(12)n = 24

así, M = 500000(1 + 0.04)24

En este momento surge la pregunta de cómo evaluar (1 4- 0.04)24

Existen 4 alternativas:

a) Utilizar papel y lápiz y realizar la operación 24 veces. Resulta lenta y poco práctica.b) Resolver la ecuación utilizando logaritmos.c) Utilizar las tablas que se encuentran al final de libro; en ellas se encuentra el factor del monto

a interés compuesto (1 + /')", para una / y una n determinadas. Esta opción es sencilla, pero enuna época de tasas altas y variables como la que se vive, puede darse el caso de que dichastablas no incluyan la que interesa.

d) Emplear una calculadora electrónica. Este es el medio más práctico y preciso y, como semencionó anteriormente, será el que se utilice en los cálculos de este libro.

Factor de monto a interés compuesto - (1 + 0.04)24 - 2.563304

M = 500000(2.563304)M = 1 281 652.08

En dos años, la inversión de $500000 se transformará en un monto de $1 281 652.08 por lageneración de un interés compuesto de $781 652.08.

Ejemplo 3.3.2 Se obtiene un préstamo bancario de $15 000 000 a plazo de un año y con interésdel 52% convertible trimestralmente. ¿Cuál es el monto que deberá liquidarse?

Solución:

Se determina primero la tasa de interés por periodo de conversión:


El número de periodos de capitalización n es igual a: 1 año X 4 = 4i

M= C(1 + /)"M= 15 000 000 [1 + 0.13)4

M= 15000000(1.630474)M= 24457104.20

Deberá liquidarse al banco la cantidad de $24 457 104.

Monto compuesto con periodo de interés fraccionario

La fórmula (3.3) se deriva de la suposición de que n es entero. En teoría puede aplicarsetambién en el caso de que n sea fraccionario, pero para resolverlo sólo puede recurrirse aluso de logaritmos o de la calculadora.

Ejemplo 3.3.3 Se decide liquidar el préstamo del ejemplo anterior en forma anticipada habiendotranscurrido 7 meses y medio ¿Cuál es la cantidad que debe pagarse?

Solución:

7.5/3 meses = 2.5 trimestresM = 15000000(1 + 0.13) z-sM = 15000000(1.357363)M = 20360443.80

Una forma práctica de resolverlo es determinar el monto compuesto correspondiente a losperiodos completos de conversión y aumentar el interés simple por el periodo fraccionario deconversión a la tasa estipulada.

I comp. I simple

M = C(1 + /)n(1 + it)M - 15000000(1 + 0.13)2[1 + (0.13) (0.5)]M = 15 000 000 (1.2769) (1.065)M = 20398477.50

La diferencia resultante, dependiendo de la tasa de interés y del tiempo, puede llegar a sersignificativa, por lo que siempre que sea posible se recomienda el empleo de la fórmula (3.3).

Ejemplo 3.3.4 Se contrata un préstamo bancario de habilitación y avío por 50 millones de pesos.El plazo de pago es de 3 años. La tasa de interés es del 60% anual convertible semestralmente.

¿Cuál es la cantidad que deberá liquidarse si se decide cancelarlo en forma anticipada a los15 meses?


Solución;

Por el método exacto:

periodo de pago 15 meses— 2.5 semestres

periodo de capitalización 6 meses

M = C(1 + /)"*

M = 50(1 + 0.30)25

M = 50(1.926896)M = 96 344 823.43

Deben liquidarse $96 344 823.43

Por el método aproximado.

M = C(1 + /)"(1 + / í)M = 50000(1 + 0.30)2[1 + 0.30(3/6)M = 50 000 (1.69) [1 + 0.30(0.50)]M = 50 000 (1.69) (1.15)M = 97175000

En este caso la diferencia entre un método y otro importa $830176.57


4 . Determine el interés que gana en un año un depósito de $1 000000 en:

a) Una cuenta de ahorros que paga el 20% de interés anual simple.b) Una cuenta de ahorros que paga el 10% de interés semestral simple.c) Una cuenta de ahorros que paga el 20% de interés anual compuesto semestralmente.d) Una cuenta de valores que paga el 20% de interés anual convertible trimestralmente.e) Una cuenta de valores que paga el 20% de interés anual pagadero mensualmente.f) Una cuenta de valores que paga el 20% de interés anual convertible diariamente.

5. Determine el monto acumulado de $5 000 000 que se depositan en una cuenta de valoresque paga el 24% anual convertible mensualmente:

a) Al cabo de un añob) Al cabo de dos años

* Nota: La magnitud de las cifras provoca en ocasiones confusiones y errores por el manejo de los ceros. Por esta•azón se recomienda, siempre que esto sea posible, eliminar ceros y manejar cifras en miles o millones de pesosen los procesos de solución de los problemas. Esta práctica se ha adoptado en la escritura del presente texto y seencontrará a lo iargo del mismo en varios ejemplos.Cabe señalar que si bien se utilizan cifras simplificadas en los procesos de solución, el resultado final se expresaen su magnitud original.


c) Al cabo de tres añosd) Al cabo de cinco años

6. Determine el interés simple y el interés compuesto que ganaría un depósito de $10 000 000 siel tipo de interés fuese del 60% y el plazo del depósito 5 años. ¿Qué conclusiones puedendarse?

7. Tabule el crecimiento de $1 a 1, 5, 10,15 y 20 años si los tipos de interés compuesto anualson: 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100%.

8. Considere que las tasas de interés del ejemplo anterior son tasas anuales de inflación. ¿Quésucedería con los precios? ¿Qué conclusiones pueden expresarse?

9. ¿Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $30 000 000 si se reem-bolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es del 0.44 anual convertible trimestralmen-te?

10. ¿Qué cantidad debería liquidarse en caso de que el préstamo del ejemplo anterior se paga-ra al cabo de 10 meses?

11. Una persona deposita su dinero en el banco a plazo de dos años y a una tasa de 0.35 con-vertible semestralmente. Debido a una emergencia, debe retirar su dinero al cabo de 15 me-ses. ¿Cuál será el monto acumulado que se le entregue si depositó $12 000 000?

12. ¿Cuál será el monto acumulado en una cuenta de valores que paga el 2.5% de interés men-sual si se hicieran los siguientes movimientos durante el año y se desea conocer su saldo al31 de diciembre?

Fecha Importe Tipo de movimiento

15-02 15000000 Apertura15-05 3 000 000 Depósito15-07 1500000 Retiro15-09 2000000 Retiro15-12 2 500000 Depósito

13. La población de un estado ha crecido a una tasa anual de 2.8% durante los últimos 5 años.Si el número actual de habitantes es de 3 825 000, ¿cuál sería su población en 5, 10 y 20años considerando:

a) Que la tasa de crecimiento poblacional no cambia?b] Que la población crece al 2.8% los primeros 5 años, 2.5% los siguientes 5 años y 2.0%

los últimos años?14. El ingreso anual por habitante en el estado anterior es de $3 000 US. ¿Cuál será su ingreso

anual en 5, 10,15 y 20 años si se considera que el PIB crece a un ritmo de 3.5% anual pro-medio, y la población crece al 2.8%?

3.4 TASA NOMINAL, TASA EFECTIVA Y TASAS EQUIVALENTES

Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige du-rante el lapso que dure la operación. Esta es denominada tasa nominal de interés.

Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la canti-dad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando es-to sucede, se puede determinar una tasa efectiva anual.


Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalen-tes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.

Ejemplo 3.4.1 ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe dé un depósito bancario de$1 000000 pactado al 48% de interés anual convertible mensualmente?

Solución:

M = 1 000 000 [1 + 0.04)12

M = 1 000000(1.601032)M = 1 601 032.22

/ - M- C/ = 1 601 032.22 - 1 000000/ = 601 032.22

C

601032.221 000 000

La tasa efectiva de interés ganada es de 60.10%.La tasa equivalente a una tasa anual de 48% convertible mensualmente es de 60.10% con-

vertible anualmente.La relación entre ambas tasas puede verse como sigue: sea / la tasa anual efectiva de interés, /

la tasa de interés anual nominal y m el número de periodos de capitalización al año.Se ha establecido que ambas tasas son equivalentes si producen el mismo interés al cabo de

un año.Por tanto C (1 + /) = C (1 + //m)m

Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre C, tenemos:

(1 + O = (1 + i/m)m

i = (1 + j/m}m -1 (3.5)

Retornando al ejemplo anterior:

; = (1 + 0.48/12)12 - 1/ = (1 + 0.04)12 - 1/ = (1.601032) - 1/ = .601032/ = 60.10%

Ejemplo 3.4.2 ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $5 000 000 quese pactó al 55% de interés anual convertible trimestralmente?


Solución:

Aplicando directamente la fórmula (3.5) se tiene:

/ - (1 + //m)m - 1i = (1 + 0.55/4)4 - 1/ = {1 + 0.1375)4 - 1/ = (1.674193) - 1/ = 0.6742/ = 67.42%

Ejemplo 3.4.3 Determinar la tasa nominal / convertible trimestralmente, que produce un rendi-miento del 40,% anual.

Solución:

En este caso la tasa de interés efectiva es ya conocida (puede ser la tasa de inflación esperada ene! año), y se desea conocer la tasa nomina! / convertible trimestralmente que producirá dichorendimiento. Aplicando nuevamente la ecuación (3.4.1) se despeja en ella /:

/ = (1 + /7m)m — 1(1 + i) - (1 + ¡/m)m

(m[(1

"Vfnr

(i + /)i + /)i/m _+ 01/m -

0

1/m

- 1

1]

/

/

- .0. + i/m-

" f 0 t //m)* i/m= /= 4 [(1 + 0.= 4 [(1.08771

0.40)1/4 - 1]757) - 1]

¡ = 4 (0.087757)/ = 0.3510/ = 35.10%

La tasa nominal \e trimestralmente que produce un 40% efectivo es de 35.10%

Ejemplo 3.4.4 ¿Cuál es la tasa nominal / convertible mensualmente equivalente a una tasa del48% convertible trimestralmente?

Solución:

Puesto que ambas tasas son convertibles en periodos distintos deben igualarse a su plazo anual,

a) Una tasa nominal / convertible mensualmente, es igual a una tasa efectiva.

i = (1 + //12)"


b) Una tasa nominal de 48% convertible trimestralmente, es igual a una tasa anual efectiva

/ = (1 + 0.48/4)4

Igualando ambas tasas efectivas se tiene:

(1 + //12)12 = (1 + 0.48/4)4

(1 + //12)12/12 = (1 + 0.48/4}4'12

(1 + //12) = (1 + 0.12)1/3

/ = 12 [(1 + 0.12)1/3 - 1]/ = 12 (1.038499 — 1)y - 46.20%

Así, una tasa nominal de 46.20% convertible mensualmente es equivalente a una tasa nomi-nal de 48% convertible trimestralmente.

Nuevamente puede verse que a mayor frecuencia de conversión se obtiene un rendimientomayor.

Ejemplo 3.4.5 ¿A qué tasa nominal convertible trimestralmente, un capital de $3 000 000 creceráhasta $10 000 000 en 3 años?

Solución:

Se aplica la fórmula (3.3) y se tiene:

M = C {1 + /)"

10000= d + ¡Y

3000

Perod + /)" = (1 + //m)mn

donde n = 3 años y m = 4

,, 10000

Así '(1+ ' /4) • -^¿(1 + //4) = (3.333333)1/12

/ = 4 [(3.333333)1/12 — 1]

/ = 4 (1.105537 — 1)

/ - 42.21%

Se requiere una tasa nominal de 42.21 % convertible trimestralmente para que un capital de$3 000 000 se convierta en un monto de $10 000 en un plazo de 3 años.



15. Determine la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario si la tasa nomi-nal es del 30% y se convierte:

f a) Anualmente6) Semestralmentec) Trimestralmented) Mensualmentee) Diariamente

16. Determine la tasa nominal que produce un rendimiento del 30% anual efectivo si el interésse convierte:

a) Anualmenteb) Semestralmentec) Trimestralmented) Mensualmentee) Diariamente

17. Determine la tasa nominal / convertible trimestralmente que resulte equivalente a una tasadel 25% convertible Semestralmente.

18. ¿Qué tasa nominal / convertible mensualmente resulta equivalente a una tasa del 44% con-vertible trimestralmente?

19. ¿Qué tasa de interés mensual resulta equivalente a una tasa del 25% semestral?20. ¿Qué tasa de interés trimestral resulta equivalente a una tasa mensual del 2%?21. ¿Qué tasa de interés anual resulta equivalente a una tasa del 8% trimestral?22. ¿Qué tasa de interés simple mensual es equivalente a una tasa / = 40% si se invierte el di-

nero durante:

a) un año?b) dos años?c) tres años?

23. ¿Qué tasa de interés simple anual correspondería a los incisos del problema anterior?24. Un banco ofrece los siguientes depósitos y tasas de interés:

a) }U = 34,30b) i4 = 37.50c) ;2 = 38.50

¿Cuál es la mejor alternativa?25. ¿A qué tasa de inflación anual compuesta mensualmente se quintuplicarían los precios en:

a) 3 años?b) 5 años?c) 10 años?



un ocasiones se conoce cuál es el monto que debe pagarse o que se desea reunir, y se quiereDeterminar el capital que es necesario invertir en el momento presente a una tasa de interésdeterminada, para llegar a tener dicho monto; se está entonces en presencia de un problemadenominado de valor actual o valor presente.

El valor actual muestra, como su nombre lo indica, cuál es el valor en un momento de-terminado de una cantidad que se recibirá o pagará en un tiempo posterior.

Para calcularlo se retorna a la fórmula (3.3)

M = C(1 + />

en ella se despeja el capital C,

C = —(1 + /)"

(3.6)

Generalizando puede decirse que conociendo 3 de las cuatro variables involucradas:lonto (M), Capital (C), tiempo (n) y tasa de interés (/'), puede calcularse la cuarta.

Ejemplo 3.5.1 ¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $5 000 000dentro de 3 años, y la tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente?

Solución:

Aplicando la fórmula (3.6)

C - M

M = 5000000/ = 10% semestral

n = 6 semestres

C = 5 000 000(1 + 0.10)6

5 000 0001.771561

C = 2 822 369.65

Deben depositarse $2 822 369.65 a fin de contar con $5 000 000 en un plazo de tres años, si latasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente.

Ejemplo 3.5.2 Juan Pérez desea adquirir un casa con valor de $150 000 000. Le pidieron que en-tregue 50% de anticipo y 50% en un plazo de año y medio, al término de la construcción y entregadel inmueble. ¿Cuánto dinero debe depositar en el banco en este momento para poder garantizarla liquidación de su adeudo, si la tasa de interés vigente es del 30% anual capitalizable mensual-mente?


Solución:

Juan Pérez paga en este momento $75 000 000 (50% de la operación), y debe pagar otro tanto enun plazo de año y medio. Esto se ve en la siguiente gráfica:

75000 75°°°

Gráfica 3.2

Para calcular la cantidad que debe depositar se utiliza la fórmula (3.6) considerando que:

; = = 2.50/012

n =12 x 1.5 años = 18 meses

C = 75 000(1.025) ~18

C = 75000(0.641166)C = 48 087 443

A fin de garantizar el pago de su adeudo, Juan debe depositar $48 087 443, los cuales, con la rein-versión de los intereses se incrementarán hasta formar el monto de $75 000 000 en un plazo deaño y medio.

Como se ve en estos ejemplos, C es el valor presente o valor actual de M. Esto es, puede con-siderarse que el capital C y el monto M son dos valores equivalentes dada una determinada tasade interés y un periodo también determinado. En el ejemplo anterior resultaría equivalente paraJuan Pérez el pagar $48087 443 en este momento o $75 000000 dentro de un año y medio, dadauna tasa de interés del 30% anual capitalizable mensualmente. A Juan Pérez cualquiera de lasdos operaciones de pago le resultaría exactamente igual.

Este hecho nos remite al valor del dinero en el tiempo: no es lo mismo tener $100 hoy que te-ner $100 dentro de un año, pues su valor adquisitivo no es equivalente. Este fenómeno es particu-larmente claro en países en los que la inflación se ha acelerado sustancialmente, y en los cualesla desvalorización del dinero ocurre casi día a día.

Como consumidor prefiero tener mi dinero hoy y no mañana, mucho menos dentro de unaño.

En el campo de los negocios es indispensable considerar los efectos, pues muchas veces serealizan inversiones en el momento presente, que generan flujos de efectivo que se recibirándentro de uno o más años. El valor presente de dichos flujos deberá compararse con la inversión


que se está realizando (también a valor presente) y, para lograrlo, se deben descontar ambos, in-versión e ingresos, a fin de poderlos comparar en forma equivalente en el momento presente.

Ejemplo 3.5.3 La Compañía de Novedades Actuales, planea realizar una inversión de$50000000 para producir un artículo de moda que espera le genere ingresos de $80000000dentro de 2 años. Si se considera una inflación promedio de 25% anual. ¿Conviene la inversión?

Solución:

Se comparan los $50 000 000 que se deben invertir en el momento presente con los $80 000 000que se espera recibir en 2 años. Para hacerlo es necesario que ambas cantidades sean equivalen-tes. Se traen a valor presente los $80 000 000 y así se tiene una misma base de comparación. Latasa de inflación se acumula de la misma forma que el interés. Aplicando la fórmula (3.6)

C = M(1 + /)-"C = 80000000(1 + 0.25) ~2

C = 80000000(0.64)C = 51 200 000

Los $80 000 000 que la empresa recibirá en dos años equivalen a $51 200 000 descontados dela inflación. Este valor presente de los ingresos se compara con el valor presente de la inversiónque es de $50 000 000 y muestra que efectivamente se está teniendo una utilidad de $1 200 000 yque por lo tanto conviene invertir.

Ejemplo 3.5.4 Una compañía minera ha descubierto una veta de manganeso y debe decidir laconveniencia o inconveniencia de su explotación. A fin de poder beneficiar el mineral es necesa-rio realizar una inversión de $350 000 000. Sus analistas financieros estiman que la veta produci-rá durante tres años solamente y, de acuerdo al precio vigente del metal, los ingresos serían lossiguientes

1er. año 100000000

2o. año 2000000003er. año 300 000 000

Si la tasa de inflación promedio para los próximos tres años es del 40% ¿resulta rentable lainversión?

Solución:

Para tener una idea más clara de la operación se puede elaborar una gráfica de tiempo y valor.


3 A,ños300 000

Gráfica 3.3

Se traen a valor presente los ingresos que se espera recibir en el futuro, utilizando la tasa deinflación, y se comparan con la inversión inicial.

1er. año = $100000C= M(1 + í)-1

C= 100000 (1 + 0.40) ~1

C= 100000(0.71428571)C= 71 428571

2o. año = $200000C= M(1 + i)-2

C= 200000(1 + 0.40} ~2

C= 200000(0.51020408}C= 102040816

3er. año = $300000C= M (1 + O"3

C= 300000(1 + 0.40) ~3

C= 300000(0.36443149)C= 109329446

La suma del valor presente de los ingresos esperados en los próximos años es:

71 428571 + 102040816 + 109329446 = $282 798833

El valor presente de los ingresos ($282 798 833) es menor al de la inversión necesaria para suexplotación ($350 000 000). Por lo tanto, a la compañía no le conviene explotar la veta a menosque el precio del metal se incremente, y con él, se eleven sus ingresos esperados.


Valor actual de deudas que devengan interés

En determinadas ocasiones se pueden encontrar deudas que devengan interés y de las cuales?e quiere conocer su valor en un momento anterior a su liquidación.

Para solucionar estos problemas se debe determinar en primer lugar el monto original de¡a deuda y, a partir de él, calcular el valor actual.

Ejemplo 3.5.5 Se otorga un préstamo de $20 000 000 para liquidar una maquinaria y se firma undocumento a plazo de un año con interés del 30%. A fin de recuperar el efectivo en forma inme-diata, se descuenta dicho documento en un banco a una tasa del*>% mensual, a] ¿Qué cantidades la que se recibe? 6) ¿Qué tasa de interés efectiva debe pagar la compañía para financiarse?

Solución:

MMMM

20000000(1 + 0.30)1

20000000(1.30)26000000

El monto origina! de la deuda es de $26000000.

a) Se calcula el valor actual:

C =C =C =C =

26000000(1 + 0.025) ~12

26 000 000 (0.743556)19332453

b) Tasa de interés efectiva:

/ = M - C/ = 26000000 - 19332453/ = 6 667 547

C

= 6 667 54720000000

/ = 0.3334 o 33.34%

La tasa de interés efectiva que debe pagar la compañía para financiarse a través de los docu-mentos es de 33.34% anual.

Ejemplo 3.5.6 Se descuenta en un banco un documento de $5 000 000 con vencimiento a tresmeses y que devenga el 4% de interés mensual. El banco lo descuenta a una tasa del 52% anual.¿Cuál es la cantidad que se recibe?


Solución:

a) Se calcula el monto original

M = C(1 + i)"M = 5000(1 + 0.04]3M = 5000(1.124864)M =5624 320

b) Se calcula el valor actual

c = M d + ¡rC = 5624320(1 + 0.52) ~3/12

C = 5 624 320(1.52)- °25

C = 5 624 320 (.90061485)C = 5065346.11

En este caso, a diferencia del anterior, la tasa de interés cobrada por el banco es menor a laque se cargó en el valor del documento. El acreedor tuvo un beneficio adicional.

Ejemplo 3.5.7 Un documento por $10 000 000 debe pagarse en 36 meses y durante ese lapso ge-nerará intereses al 30% convertible mensualmente. Se descuenta en el banco y éste carga un in-terés del 36% convertible trimestralmente. ¿Cuál es la cantidad que se recibe? ¿Cuál fue la utili-dad o pérdida en la operación?

Solución:

Esta situación involucra dos problemas que deben resolverse en forma separada; para visuali-zarlo más claramente se recurre a una gráfica de tiempo y valor.

10000

Gráfica 3.4

En primer lugar debe calcularse el monto total de la deuda, dados:

C = 10000000; ;12 = 30%; / = 2.5% mensual; n = 36M = (1 + /)"


M =10000(1 + 0.025)36

M = 10000(2.432535)M = 24325353

Acto seguido se procede a calcular el valor actual del monto obtenido, en función de la tasade descuento, dados:

M = 24 325 353; J4 = 36%; / = 9%; n = 12C = M(1 + /)-"C = 24325353(1 + 0.09) ~12

C = 24 325 353 (0.355534)C = 8648508

La cantidad neta que se recibe del banco es $8 648 508. Hay una pérdida de $1 351 492 en laoperación (10 000 000 - 8 648 508).

Ejemplo 3.5.8 En la compra de una maquinaria se firma un documento por $7 500 000 a pagar en3 años con una tasa de interés del 25% semestral. Habiendo transcurrido 10 meses de la firma sedecide descontarlo en el banco y éste carga un interés del 54% convertible trimestralmente.¿Cuál es la cantidad neta que se recibe?

Solución:

En este caso, al igual que en el anterior, se involucran dos problemas:a) uno de monto y, b) unode descuento. Utilizando una gráfica de tiempo y valor se tiene

M - (1 + 0.25)fa

7000h—l—I—I-0 2 4 6

•J ( 1 Meses34 35 36

Gráfica 3.5

a) Se determina en primer lugar el monto a pagar

C = 7 500000; / = 25%; n = 6M = C(1 + /)"M = 7500000(1 + 0.25)6

M =7500000(3.81469727)M = 28610229


6) A partir del monto obtenido se procede a descontar de acuerdo a la tasa fi jada por el banco.

M = 28610299; /4 - 54%; / = 13.5%n = 26 meses = 8.66666667 trimestres (26/3)

En este caso se nos presenta, además, el problema de periodos de interés fraccionario ypuede resolverse en forma exacta o en forma aproximada.

6.1. Exacta:

C = M(1 + i)-n

C - 28610 229 [1 + 0.135)C =28610229(0.33653914)

C = 9 628 462

6.2. Aproximada.

Cuando se tienen periodos de interés fraccionario en problemas de interés compuesto se des-cuenta hasta el periodo completo que incluya aquel que se está buscando y, posteriormente, seadiciona el tiempo fallante utilizando el interés simple. Utilizando una gráfica de tiempo y valor

M - C[1 í

.135)

Gráfica 3.6

C = M (1 + /) ~n

C = 28610229(1 + 0.135)~9

C -28610229(0.31991695)C = 9152897

El valor actual a 9 meses será de $9 152 897.A dicho valor se le acumula el interés simple por un mes para ubicarlo en el tiempo fijado

M = C (1 + it) .M = 9 152 897 [1 + (0.135X1/3)]M = 9152897(1.045)M = 9 564 778


Que es la cantidad que se obtiene con descuento aproximado y que, como puede verse, arro-ja una diferencia de

9 628 462 - 9 564 778 = 63 684

con respecto a la que se obtiene mediante el método exacto


26. ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular um monto de$25 000 000 en un plazo de dos años, y la tasa de interés es del 33% convertible mensual-mente?

27. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un docu-mento por $65 000 000 que incluye capital e intereses al 30% convertible trimestralmente, ytiene vencimiento en 18 meses?

28. ¿Cuál es el valor presente de $1 000 000 que se cobrarán al cabo de un año si la tasa de inte-rés compuesto trimestralmente es:

a) 10%?b) 20%?c) 30%?d) 50%?e) 100%?

29. ¿Cuál es el valor presente de $1 000 000 que se cobrará en un año si la tasa de interés es del40% convertible:

a) Mensuatmente?b) Trimestralmente?c) Semestralmente?d) Anualmente?

30. Una deuda por $50000000 se documenta mediante un pagaré que incluye intereses a ra-zón del 10% trimestral, y que será pagadero al cabo de un año. ¿Qué cantidad puede obte-nerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de interés del 42% convertiblemensualmente?

31. Una distribuidora automotriz ofrece a sus clientes un 10% de descuento en la compra decontado de un automóvil nuevo o bien, 50% del precio de contado y 50% a 6 meses sindescuento y sin intereses. ¿Qué alternativa debe escogerse si el dinero puede ser invertido auna tasa de interés mensual de:

a) 2%?b) 3%?c) 4%?

32. Una empresa dedicada al comercio internacional desea incrementar sus operaciones ytiene 2 proyectos alternativos. Los flujos netos de efectivo presupuestados son:


Proyecto Inversión Flujo neto de efectivo al fin derequerida Año 1 Año 2 Año 3

A 45 000 000 20 000 000 35 000 000 60 000 000B 50 000 000 45 000 000 30 000 000 25 000 000

¿Qué alternativa se debe escoger si la compañía puede obtener en otro tipo de inversiónrendimientos netos de:

a) 40%?b) 50%?

33. En una operación de exportación una empresa recibe un pagaré por US 285 000 a 180 díasde plazo y que devenga un interés mensual de 1 % mensual. A fin de contar con recursoslíquidos, la empresa descuenta el documento en su banco y éste lo acepta cargando un in-terés de 10% anual convertible trimestralmente. ¿Cuál es el importe neto que recibe laempresa?

34. Por la venta de una casa, una compañía inmobiliaria recibe un pagaré por $40 000 000 con

vencimiento en cinco años y que devenga intereses a razón del 20% anual convertible se-mestralmente. ¿Qué cantidad recibirá la empresa si al cabo de un año descuenta el docu-mento en su banco y éste le cobra un 26% de interés anual?

35. Una empresa obtiene un préstamo de habilitación por $15 000 000 el cual documenta conun pagaré con vencimiento a tres años y que estipula intereses trimestrales de 6% li-quidables al término de la operación. Al cabo de tres meses, el banco aceptante negocia eldocumento y es descontado con un interés del 28% anual convertible semestralmente.

¿Qué importe recibe el banco? Determínese utilizando el método exacto y el método apro-ximado. .

3.6 TIEMPO

Como ya se mencionó, la fórmula 3.3 puede utilizarse para la resolución de cualquier proble-ma de interés compuesto, pues en ella están involucradas todas las variables que lo determi-nan; monto, capital, tiempo y tasa de interés; conociendo tres de ellas se despeja y determi-na la cuarta.

Se verán enseguida dos ejemplos en los que se desconoce el tiempo y cómo se solu-cionan.

Ejemplo 3.6.1 ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1 000 000 si consideramos unatasa de interés a) del 36% anual convertible mensualmente, y b) del 48% anual también conver-tible mensualmen te?

Solución:

Para resolver este tipo de problemas es necesario recurrir al uso de los logaritmos. Partiendo dela fórmula 3.3 se tiene:

M = C(1 + ¡)n

\ compuesto 105

se despeja (1 + /')" y se obtiene:

M/C = (1 + i)n = factor de acumulación del monto a / compuesto. Aplicando logaritmos:

log factor - n log (1 + /')

log factorn (3.7)

log (1 + í)

a) Ahora, dado que ;12 = 0.36

el interés mensual es / = 0.03.

También, como se quiere encontrar el tiempo en el que se duplica un capital dado,

M

~c •(1 + i } n - 2

De donde

log 2n =

log (1.03)

El logaritmo base 10 del factor 2 es 0.301030 y el logaritmo base 10 de 1.03 es 0.012837

0.30103000n =

0.01283722

n - 23.45

Se necesitan 23.45 meses para que el capital invertido se duplique dada una tasa del 3%mensual.

b) Si la tasa de interés es del 48% anual se tiene:

M = C (1 + i)n

MIC = (1 + /)"

2 000 000- (1 + 0.04)n

1 000 000


2 = (1.04)"' log 2 - n log 1.04

Iog2= n

log 1.04

0.30103000n =

0.01703334n - 17.67

Si la tasa de interés es del 48% anual convertible mensualmente, se necesitarán 17.67 mesespara duplicar el capital.

Debe destacarse que la conclusión anterior es válida sin importar a cuánto ascienda el capi-tal invertido, pues lo que se está considerando es el factor de acumuíación del monto a interéscompuesto y no la cantidad invertida en sí.

Ejemplo 3.6.2 ¿En cuánto tiempo reduce $1.00 su valor adquisitivo al 50% a) ¿Dada una infla-ción del 50% anual? b) ¿Dada una inflación del 10%? c) ¿Dada una inflación del 30%? d) ¿Del100%?

Solución:

a) En forma apriorística hay quienes señalarán que la respuesta al problema anterior (inflacióndel 50%) es de un año, pero. . . ¡están equ/Vocados!

Aplicando la fórmula 3.3 se tiene:

M - C (1 + /)"

Se conoce que M = 1.00, pues es la cantidad absoluta de la que se dispondrá en el futuro. Seconoce también que C = .50, pues es el poder adquisitivo actual del peso que se recibirá en elfuturo. La tasa de inflación / = 0.50

MIC

1.00

0.502

log 2

log 2

- (1 + /)"

- (1 + 0.50)n

- (1.50)n

- n log 1.50

n

log 1.50

0.30103000n

0.17609126

n - 1.71


Este resultado indica que el valor adquisitivo de $1.00 se verá reducido a $0.50 en 1.71 añosdada una inflación del 50%.

b) Para determinarlo en el caso de un 10% de inflación se sigue el mismo procedimiento:

MIC = {1 + /)"2 = (1 + 0.10)71

= nlog 1.10

0.30103000n -

0.04139270

n = 7.27

Si la inflación disminuye a 10% tomará 7.27 años el que la moneda reduzca su valor real a lamitad.

c) Si sube al 30% se tiene:

2 - (1 + 0.30)"

log 2

log 1.30

0.30103COOn =

0.11394340

n = 2.64

Con la inflación del 3U% el lapso se reduce a 2.b4 años.

d) Si sube a 100% se tiene:

2 - (1 + 1.00)"

¡Qg2

log 20.30103000

n0.30103000

n - 1

Si la inflación es del 100%, en sólo un año la moneda reducirá su poder adquisitivo a la mi-tad.



Para determinar la tasa de interés conociendo las otras variables, se despeja en la fórmula(3.3) y se resuelve.

Ejemplo 3.7.1 ¿A qué tasa de interés se deben depositar $1 500 000 para disponer de $5 000 000en un plazo de cinco años? Considerar que los intereses se capitalizan: a) semestralmente; b) tri-mestralmente y, c) mensualmente.

Solución:

a) se despeja la fórmula (3.3)

M = C (1 + /)"M/C = (1 + ¡)n

— 1 - / . (3.8)

n - 5 años x 2 - 10 semestres

10 ' 5 000 000

1 500 000

10V3. 33333333 - 1 + 1

(3.33333333)1'10 - /

1.12794487 — 1 - /

0,12794487 - /

/ - 12.79%

Dada una tasa de 12.79% semestral (25.58% anual nominal), $1 500000 se convertirán en$5 000 000 en 5 años.

b] Si el interés se capitaliza en forma trimestral, se tiene:

3M/C - 1 = /

n = 5 años X 4 = 20 trimestres

20 | 5 0001 = /

1 500


20V3.33333333 — 1 = /

(3.33333333)1720 — 1 = /1.06204749— 1 = /

/ = 0.06204749/ - 6.20%

Si la frecuencia de conversión se incrementa, la tasa anual nominal requerida disminuye a24.8% {0.06204749 X 4 = 0.24818996).

c) Si el interés se capitaliza cada mes:

60 5 000

1 500— 1

60/ = V3.33333333 — 1

/ - 1.02026889 — 1

/ = 0.02026889

/ = 2.03%

Si la frecuencia de conversión es mensual, la tasa requerida es del 2.03% y, la tasa anual dis-minuye a 24.32%.

Con este ejemplo se demuestra una de las conclusiones que previamente se habían apunta-do: a mayor frecuencia de conversión corresponde un mayor interés compuesto. Por lo tanto, paragenerar una misma cantidad de intereses (3 500 000 en el caso anterior) se requiere una tasa deinterés menor cuando la frecuencia de conversión es mayor.

36. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés es de:

a) 10%? e) 50%?b) 20%? fl 70%?c) 30%? g) 100%?d) 40%?


37. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés es del 30% y se compone:

a) mensualmente?b] trimestralmente?c) semestralmente?d] anualmente?

38. ¿En qué tiempo se reduce a la mitad el valor adquisitivo de la moneda, si la inflación es de;

a) 25%?b) 35%?c) 45%?d) 50%?

39. Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de interés. ¿En cuántotiempo lo triplicará?

40. Se realiza una inversión por $3 000 000 en un banco el día 1o. de febrero. ¿En qué fecha val-drá $4000 000, si la tasa de interés es-de 35% compuesta mensualmente?

41. Si la tasa de interés es del 40% convertible mensualmente durante el primer semestre delaño, y asciende a 48% durante el segundo semestre, ¿en qué fecha valdrá $4 000 000 la in-versión del caso anterior?

Tasa de interés

42. ¿A qué tasa de interés un capital quintuplica su valor en 10 años?43. ¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de 2 000 000 que se ha incrementado a

$5 000 000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza:

a) mensualmente?b} trimestralmente?c) semestralmente?d) anualmente?

44. Pedro Pérez depositó $1 000000 en una cuenta bancaria hace 3 años y nueve meses. Ac-tualmente tiene $2 088 624, y desea saber cuál es la tasa de interés que ha ganado si la capi-talización es trimestral.

45. La población de una ciudad se ha duplicado en 10 años. ¿Cuál ha sido su tasa de crecimien-to poblacional?

46. ¿Cuál debe ser la tasa de natalidad de un país para que duplique su población:

a) cada 30 años?b) cada 40 años?c) cada 50 años?



Como se ha visto a lo largo del capítulo, el dinero tiene un valor distinto en el tiempo; no esc mismo tener $1.00 en este momento que tenerlo dentro de un año pues, dependiendo de larasa de inflación vigente, éste verá reducido su valor en mayor o menor grado.

Para compensar esa pérdida de valor, al capital original se le agregan intereses a fin de:-e el monto futuro sea equivalente en cuanto a poder adquisitivo al capital actual.

Esta relación de equivalencia se expresa como sigue:

C = M

C + I = M

M

t

Gráfica 3.7

Así, un capital C es equivalente a un monto M, a un plazo í y considerando una tasa de interés /'.Si se tiene un capital de $100 y una tasa de interés de 50% anual, el monto equivalente a

: :ho capital será de $150. Esto es, el poder adquisitivo de $100 será equivalente al de $150:-entro de un año.

M = C{1 + /')"M = 100(1 + 0.50)1

M = 100(1.50)M = 150

Así, puede decirse que un monto de $150 dentro de un año es equivalente a un capital Cx $100 el día de hoy, pues

Mv_ —

C -

C =

C =

0 + O"

150

(1 + 0.50)1

150

1.50

100

De la misma forma que se establece una relación de dos valores en el tiempo, puede es-¿blecerse una relación de equivalencia entre dos flujos de efectivo que deben pagarse o re--birse en distintos momentos. La operación que se conforma se llama ecuación de valores•uva/entes.


Una ecuación de valores equivalentes es la que se obtiene al igualar en una fecha decomparación o fecha focal dos flujos distintos de efectivo. Obsérvese que se habla de dosflujos de efectivo y no de dos cantidades, pues un flujo de efectivo puede estar constituidopor una o más cantidades que se pagan o se reciben en distintos momentos de tiempo.

Tómese el siguiente ejemplo: ¿Qué cantidad debe pagarse trimestralmente para saldarunatieuda de tres pagos mensuales de $100, dada una tasa de interés del 2% mensual?

En este caso, se tienen dos conjuntos de obligaciones:

a) la cantidad original constituida por los tres pagos mensuales y,b) el pago trimestral X con el que se desea sustituir aquélla.

Esto puede observarse en la siguiente gráfica de tiempo y valor.

1 2 3+100 +100 +100

Gráfica 3.8

El valor del pago X debe ser equivalente al valor de los tres pagos de $100, dada una tasade interés de 2% y una fecha determinada (fecha focal).

X = (100 + /,) + (100 + /2) + (100 +

flujo 1 flujo 2

Ecuación de valores equivalentes.

Para resolver este problema lo primero que debe hacerse es determinar la fecha focal enla cual se van a comparar los flujos de efectivo. En el capítulo anterior se señaló que cuandose trata de interés simple, dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una fechapueden no serlo en otra distinta. En el caso del interés compuesto, por el contrario, dos flujosde efectivo que son equivalentes en una fecha lo serán en cualquier otra y, por ello, puedeseleccionarse cualquier fecha para efectuar la comparación. A fin de simplificar, convienetomar el tercer mes.

Gráfica 3.9

interés compuesto 113

En esa fecha focal se igualan todos los valores.

X = 100(1.02)2 + IOOd.02)1 + 100X = 104.04 + 102 + 100X = 306.04

Por lo tanto, un pago de $306.04 al cabo de tres meses es equivalente a 3 pagos mensuales de$100 cada uno.

Se mencionó que puede tomarse cualquier otra fecha y el resultado será el mismo. Paracomprobarlo, tómese como fecha focal el mes O y efectúese la operación.

Gráfica 3.10

En este caso, todos los valores deben igualarse en la fecha focal O y, para ello, se calcula suvalor actual o presente: el pago X deberá descontarse por tres meses, en tanto que los pagos de$100 deberán descontarse por uno, dos y tres meses.

X(1 + 0.02)"3 = 100(1 + 0.02)-1 + 100(1 + 0.02)-2 + 100(1 + 0.02)~3

X(0.942322) = 100(0.980392) + 100(0.961169) + 100(0.942322)

X = 98.039220 + 96.116880 + 94.2322300.94232230

288.388330

0.94232230

X = 306.04

El resultado, como puede observarse, es exactamente el mismo.

Ejemplo 3.8.1 Se tiene una deuda bancaria de $5 000 000 pagadera en dos abonos de $2 500 000cada uno, a tres y seis meses. Se desea liquidarla en tres pagos bimestrales: si el primero es de$1 000 000 y el segundo es de $2 000 000, ¿cuánto importará el tercero considerando una tasa de36% anual convertible mensualmente?


Solución:

El primer paso para resolver una ecuación de valores equivalentes es realizar la gráficade tiempo y valor a fin de poder plantear el problema:

10

1 *•1 2

1 000

/•2500

3

^*~

42000

*•*<,

1

5

\ 500

6

Gráfica 3.11

Hecho esto, se procede a determinar la fecha focal (en este caso se seleccionó el mes 6) y aplantear la ecuación en función de tal fecha.

^2 500(1 + 0.03)3 + 2 500 „_ ,1 000(1 .+ 0.03]4 + 2 000(1 + Q.Q3)2 + X,-—-^ _ _ . . . ^flujo A flujo B

2 500(1.092727} + 2 500 = 1 000 (1.125509) + 2 000(1-0609) + X2731.82 + 2500 = 1 125.51 + 2121.80 + X5231.82 = 3247.31 + X

X = 5231.82 - 3247.31X = 1 984.51

El tercer pago deberá ser de $1 984 510.

Ejemplo 3.8.2 Al comprar un automóvil se suscriben tres documentos por $1 500000 a pagar a30, 60 y 90 días. Se decide liquidar la deuda con dos pagos iguales a 30 y 60 días considerandouna tasa de interés del 3.5% mensual. ¿Cuál es el importe de cada pago?

Solución.4

a) Se elabora la gráfica de tiempo y valor


1

0

1 500

1 FFX

1 500

2

X

1 500i

3

Gráfica 3.12

b) Se determina la fecha focal (para este caso se seleccionó el mes 1)c) Se plantea la ecuación de valor

X + X(1 + 0.035) -1 = 1 500 + 1 500(1 + 0.035)-1 + 1 500(1 + 0.035)~2

X + X(0.966184) = 1 500 + 1 500(0.966184) + 1 500(0.933511)1.966184 X = 1 500 + 1449.28 + 1 400.27

X = 4349.551.966184

X = 2212.1762

Se deben pagar dos abonos de $2 212 176 para saldar la deuda.

Ejemplo 3.8.3 Al adquirir una maquinaria con valor de $10 000 000 se decide pagarla con dos pa-gos de $5 000 000 a seis meses y un añot más intereses calculados al 40% de interés anual con-vertible semestralmente. Habiendo transcurrido un trimestre se renegocia la compra y se deter-mina pagarla con tres pagos trimestrales: el primero por $3 000 000, el segundo por $5 000 000 y,el tercero por la diferencia, considerando en este segundo flujo un interés del 44% convertibletrimestralmente. ¿Cuál es el importe del último pago?

Solución'.

a) En primer lugar, debe determinarse el importe de los dos primeros pagos, incluidos sus intereses.

5 000 + / 5 000 + /,

12

Gráfica 3.13


Pagol = 5000(1 + 0.20)n

Pago 1 = 5000(1.20)Pago 1 = 6 000

Pago 2 = 5000(1 + 0.20)2

Pago 2 = 5000(1.44)Pago 2 = 7 200

b) Se elabora la gráfica de tiempo y valor

7200

Gráfica 3.14

c) Se determina la fecha focal.d) Se plantea la ecuación de valores equivalentes:

X + 3000(1 + 0.11)2 + 5000(1 + 0.11)1 = 6000(1 + 0.11)1 + 7200(1 + 0.11)-1

X + 3000(1.2321) + 5000(1.11) = 6000(1.11) + 7200(0.900901)X + 3696.30 + 5550 = 6660 + 6486.49X + 9246.30 = 13146.49X = 13146.49 - 9246.30X = 3900.1865

La operación se liquida con el pago de $3 900 186

3.9 TIEMPO EQUIVALENTE

En ocasiones se desea liquidar un conjunto de obligaciones con un pago único igual a la su-ma de las distintas deudas. La fecha en la cual pueden ser liquidadas con dicho pago únicose conoce como fecha de vencimiento promedio de las deudas. Al tiempo por transcurrir has-ta la fecha de vencimiento promedio se le conoce como tiempo equivalente.


Ejemplo 3.9.1 Una compañía adeuda ai banco $15 000 000 con vencimiento a dos meses y$25 000 000 con vencimiento a 6 meses. Desea liquidar la deuda con un pago único. ¿Cuál es eltiempo equivalente suponiendo un interés de 4.5% mensual?

Solución:


40 000 (1 f 0.045) x

12 meses

Gráfica 3.15

b) Se plantea la ecuación de valor.

(15 000 + 25 000X1 + 0.045)" = 15 000(1 + 0.045) ~2 + 25 000(1 + 0.045)(40000)(1 + 0.045)" = 15000(0.91572995) + 25000(0.76789574)(40 000X1.045)x = 13735.94927 + 19197.39343640000(1.045) = 32933.34273

[1.045)* =32933.34273

40000

(1.045)" = 0.82333357X log 1.045 = log 0.82333357X (0.01911629) = - 0.08442418

X = -0.084424180.01911629

= -4.41634752^

X - 4.4163

El signo negativo no se toma, ya que se utilizó el cologaritmo de 0.82333357. El logaritmo de 0.82333357 es pro-lamente 1.9155758234 y 0.9155758234 - 1 = - 0.084422418


Este resultado indica que, para liquidar la deuda con un pago único, se deberán entregar$40000000 transcurridos 4.41 meses (4 meses y 12 días).

Ejemplo 3.9.2 El perfil de adeudos de un país latinoamericano con la Banca Internacional, es elsiguiente en millones de dólares, (MDD):

1er. año2o. año3er. año

5000 MDD7000 MDD8000 MDD

20000 MDD

Estos montos incluyen capital e intereses al 10% anual. Si se desease liquidar la deuda conun pago único, ¿cuál será el tiempo equivalente?

Solución:


20000 (1 + 0.10)x

Gráfica 3.16

b) Se plantea ¡a ecuación de valor:

(5000 + 7000 + 8000X1 + 0.10)" = 5000(1 + 0.10)-1 + 7000(1 + 0.10)~2 + 8000(1 + 0.10}-J

(20 000X1+0.10)x = 5000(0.90909091) + 7000(0.82644630) + 8000(0.75131480)

(20000X1.10)" = 4545.45 + 5785.12 + 6010.5220000(1.10)" = 16341.09

(1.10)" =16341.09

20000

(1.10)" = 0.8170548


c) Se resuelve por logaritmos naturales/

X In 1.10 = In 0.8170545X (0.09531018) = -0.20204948

X = °-202049 = - 2.119909960.09531018

X = 2.12

Este resultado indica que, para liquidar la deuda con un pago único, se deberán entregar$20000 MDD transcurridos 2.12 años (2 años y 43 días, aproximadamente).


Ecuaciones de valores equivalentes

47. En la compra de un televisor con valor de $3 000 000 se pagan $1 500 000 de contado y sefirma un documento por la diferencia a pagar en 6 meses considerando un interés de 4%mensual. ¿Cuál es el importe del documento?

48. El comprador del caso anterior decide pagar el saldo con 2 abonos iguales a 3 y 6 meses.¿Cuál es el importe de dichos pagos si se considera un interés de 12% trimestral.

49. Un documento con valor de $18 000 000 debe liquidarse en un plazo de 3 años y medio. De-termine los valores equivalentes si la deuda se liquida:

a) en un año.b) en 4 años.

4

Considere una tasa de interés de 42% capitalizable trimestralmente.

50. Se compra un terreno campestre. Se pagan $5 000 000 de enganche y se firman dos docu-mentos por igual cantidad a pagar en uno y dos años. ¿Qué suma debe entregarse para li-quidar la compra al cabo de un año si la tasa de interés es:

a) 20%?6) 30%?c) 40%?d) 50%?e) 60%?

51. Una persona contrae una deuda que debe liquidar mediante un pago de $300 000 a 6 mesesy otro de $500000 en un año y medio. ¿Qué cantidad debería de pagar para liquidar ladeuda en un sólo pago

a) en este momento?b) en un año?c) en un año y medio?

La tasa de interés vigente es de 20% convertible mensualmente.


52. Una empresa vende una maquinaria en $35 000000. Le pagan $15 000000 de contado y lefirman dos documentos por $10 000 000 cada uno, con vencimiento a 6 y 12 meses. ¿Quécantidad liquidará la deuda al cabo de 6 meses considerando un interés de 30% conver-tible mensualmente?

53. María debe $1 500 000 a pagar en un año. Abona $200 000 al cabo de tres meses y $300 000f- a los 6 meses. ¿Qué cantidad debe entregar a los nueve meses para liquidar la deuda si se

considera un interés de 3.5% mensual?54. Andrés solicita un préstamo de $58000000 para la compra de una casa. Ofrece pagar

$20 000 000 en un año, $30 000 000 en dos años y el saldo a tres años.¿Qué cantidad debe pagar para liquidar la deuda si la tasa de interés es de:

a) ;4 = 20%?b) ]4 = 30%?c) )4 = 40%?

3.10 RESUMEN

En este capítulo se introdujo el concepto de interés compuesto, fundamental para el manejode operaciones financieras a mediano y largo plazo.

En el interés compuesto los intereses generados por un capital se adicionan periódica-mente al mismo en lapsos previamente establecidos a los que se denomina periodos de ca-pitalización. El interés capitalizado va a su vez a generar un nuevo interés y así el crecimien-to que se produce es exponencial, a diferencia del interés simple, que guarda un comporta-miento lineal,

El monto compuesto será el que se obtenga al añadir al capital original el interés com-puesto generado, y se determinará utilizando la fórmula.

M = C(1 + i)n

donde / = tasa de interés por periodoy n = número de periodos de capitalización

Cuando se trabaja con interés compuesto, es de importancia fundamental que la tasa deinterés que se maneje sea exactamente la del periodo de capitalización establecido.

Las tasas de interés se expresan comúnmente en forma anual indicando, cuando es nece-sario, sus periodos de capitalización. La tasa así expresada recibe el nombre de íasa nomina!= }m, donde \s la tasa nominal anual y m es el número de veces que se capitaliza durante el año(frecuencia de conversión), y debe distinguirse de la íasa efectiva por periodo, /, que expresa el interésefectivo generado (puede ser mensual, semestral, anual, etcétera). Se dice que dos tasas son equiva-lentes cuando producen el mismo interés efectivo en un periodo determinado.

Las ecuaciones de valores equivalentes, presentadas en el capítulo 2, se aplicaron en éste a la re-solución de problemas en los que es necesario igualar dos flujos de efectivo (ingresos y egresos) utili-zando interés compuesto. A diferencia del interés simple, se demostró que el resultado será el mismosin importar la fecha focal que se seleccione para igualar los flujos.

Finalmente se estudió el concepto de tiempo equivalente y se indicó que especifica la fecha en lacual pueden ser liquidadas con un pago único dos o más deudas.




• Comprender el concepto de interés compuesto.• Diferenciar al interés compuesto del interés simple.• Comprender los conceptos de: periodo de capitalización, frecuencia

de conversión, tasa de interés compuesto y monto compuesto.• Calcular el monto compuesto de un capital." Comprender los conceptos de tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes.• Calcular las tasas anteriores.• Determinar el valor actual o presente de un monto compuesto.• Determinar la tasa de interés en problemas que involucren interés compuesto.• Calcular el tiempo en problemas de interés compuesto.• Comprender el concepto de ecuación de valor y resolver ejercicios

que impliquen su uso.• Resolver ejemplos de tiempo equivalente.


• Interés compuesto = /• Valor actual o capital — C• Monto compuesto = M• Tasa nominal = }m

• Tasa de interés por periodo = /• Tasa efectiva anual =e• Tasas equivalentes• Periodo de capitalización1 Frecuencia de conversión• Ecuaciones de valores equivalentes• Tiempo equivalente• Gráficas de tiempo y valor

FORMULAS IMPORTANTES

M = C"+ / (3.1)M = C(1 + /)" (3.3)

/ = (1 +;/m)m-1 (3.5)

C - — **— - M (1 + ,r (3'6)d + /rlog (factor monto a interés compuesto) (3-7)

log(1 + i)

/ = VM/C" - 1 t3-8)



1. Se invierten $2 000 000 en una cuenta bancaria. Determínese el monto compuesto al cabode 5 años, si la tasa promedio de interés convertible mensualmente es de:

a) 25% c) 48%b) 35% d) 54%

2. ¿Cuál es el monto de una inversión de $10 000 000 al cabo de un año, si se deposita en unacuenta bancaria que paga el 30% de interés convertible:

a) anualmente?b) semestralmente?c) trimestralmente?d) mensualmente?

3. Los precios de la canasta básica de alimentación se han incrementado a una tasa anual del25% durante 3 años. Si el precio actual es de $165 000, ¿cuál era su valor hace 3 años?

4. Se desea formar un fondo de $25 000 000 al cabo de 2 años. ¿Qué cantidad debe depositar-se hoy si el banco paga un interés de:

ta) 24% convertible mensualmente?b) 30% convertible semestralmente?c) 33% anual?

5. Los salarios mínimos se han incrementado a una tasa del 13% anual promedio durante losúltimos 4 años. Si continuara dicha tendencia, ¿en qué tiempo se triplicará su valor nominal?

6. El precio de las casas y terrenos se ha duplicado en 3 años. ¿Cuál es la tasa de interés anualque ha ganado? ,

7. Un país posee 5 refinerías para proveerse de combustibles. Su producción actual es de1 000 000 de barriles diarios y trabajan al 80% de su capacidad. Si el crecimiento promediodel consumo ha sido de 4% anual, ¿en qué tiempo requerirá dicho país poner en operaciónuna nueva refinería?

8. ¿Cuál es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a

a) una tasa de 21% anual?b) una tasa.de 28% anual convertible semestralmente?c) una tasa del 32% anual convertible trimestralmente?

9. Una deuda de $4 000 000 debe liquidarse con dos pagos iguales a 60 y 120 días. ¿Cuál es elimporte de dichos pagos si la tasa de interés anual es de 26% con capitalización bimestral?

10. ¿En qué tiempo puede ser liquidada con un pago único una deuda de $2 750 000 pagaderosen un año, y $3 845 000 pagaderos en dos años, si la tasa de interés es:

a) 20% anual?b) 30% anual?c) 40% anual?d) 50% anual?


11. Determine el periodo de capitalización y la frecuencia de conversión de:

a) una inversión en certificados de la Tesorería de la Federación con vencimiento cada 91dias.

¿>) una inversión en cuenta de ahorros que paga intereses del 2O% anual semestralmente.c) una inversión en pagarés liquidables cada 28 días.

12. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de capitalización de las siguientes inversiones:

a) 36% capitalizable mensualmente?b) 28% capitalizable trimestralmente?c) 42% capitalizable anualmente?d) 42% capitalizable semestralmente?

13. Un banco ofrece las siguientes alternativas de inversión:

a) Depósitos a plazo fi jo de un año 42%b) Depósitos a plazo f i jo capitalizable mensualmente 36%c) Depósitos a plazo fijo con intereses capitalizabas trimestralmente 36.5%d) Depósitos a plazo fijo con interés capitalizable semestralmente 38%

Si se desea invertir $5 000 000, ¿cuál es la mejor alternativa?¿Cuál será el monto de los $5 000 000 del ejercicio anterior, si se d

en:14. ¿Cuál será el monto de los $5 000000 del ejercicio anterior, si se depositan durante 10 años

en:

a) una cuenta de valores al 22.5% capitalizable mensualmente?¿>) una cuenta de valores ai 27.5% capitalizable mensualmente?c) una cuenta de valores al 30% capitalizable mensualmente?d) una cuenta de valores al 35% capitalizable mensualmente?e) una cuenta de valores al 40% capitalizable mensualmente?

15. ¿Cuál será el monto de una cuenta de ahorros en la que se depositan $5 000 000 durante 10años, si la tasa de interés es de 20% capitalizable semestralmente?

a) ¿cuál será el monto en 15 años?b) ¿en 20 años?

16. Una persona desea formar un fondo de ahorros para su vejez. Deposita $10 000 000 en unacuenta que paga el 32% anual convertible mensualmente. ¿Cuál será el monto de que dis-ponga al cabo de 25 años?

17. Las ventas al menudeo se han incrementado a razón de 3% anual. Si el número de unidadesvendidas fue de 100 000 en el año, ¿cuáles son las ventas estimadas para dentro de 5 años sise mantiene el ritmo de crecimiento?

18. En una ciudad el crecimiento del número de automóviles ha sido de 6% anual promediodurante los últimos 5 años. De continuar la tendencia, ¿cuál será el número de automóvilesque circularán dentro de 10 años, si actualmente existen 2 millones de vehículos?

19. Una persona deposita $5000000 en una cuenta de ahorros que paga el 20% de interésanual convertible semestralmente. ¿Cuál será el importe reunido después de 28 meses? Cal-cular por el método exacto y por el aproximado.


20. Determine la tasa efectiva de interés equivalente a:

a) 20% capitalizable semestralmente¿>) 20% capitalizable mensualmentec) 30% capitalizable mensualmente

fd) 40% capitalizable mensualmentee) 50% capitalizable trimestralmentei] 50% capitalizabie mensualmenteg) 60% capitalizable trimestralmenteh) 60% capitalizable mensualmente/') 60% capitalizable semanalmente

21. Determine la tasa nominal de interés )m equivalente a una tasa efectiva de

a) / = 25% m = 1b) i = 25% m = 2c) /' = 25% m = 4d) i = 25% m = 12e) / = 26% m = 12f) ¡ = 22% m = 4g) / = 35% m = 12h] i = 19% m = 4

*22. Determinar

a) la tasa nominal de interés \ equivalente a /12 = 38%b] la tasa nominal de interés / 4 equivalente a y1 2 = 29%c} la tasa nominal de interés ¡4 equivalente a } 2 ~ 25%

d] la tasa nominal de interés /6 equivalente a /4 = 22%e) la tasa nominal de interés )12 equivalente a / 4 = 28%O la tasa nominal de interés y1 2 equivalente a )4 = 40%g) la tasa nominal de interés /12 equivalente a ) 12 = 30%/)) la tasa nominal de interés /12 equivalente a / 4 = 10%

23. Determine la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal de 28% compuesta:

a) anualmenteb) semestralmentec) cuatrimestralmented) trimestralmentee) bimestralmenteO mensualmenteg) semanalmente

¿Cuál es la diferencia entre la tasa efectiva con capitalización anual, y la tasa efectiva se-manal?

24. Al comprar un automóvil se ofrecen dos planes de pago: De contado $35 000 000, a plazos:$10000000 de enganche y dos pagos de $15000000 a 3 y 6 meses.¿Qué alternativa es más conveniente si la tasa de interés de:


a) / 4 = 20%?6) /4 = 30%?

c ) / 4 = 40%?d})4 = 50%?

e) Indique el valor actual delos pagos a plazos.

25. Alejandra obtuvo un préstamo de $4 300 000 y acuerda liquidarla con 3 pagos a uno, dos ytres meses, con un interés del 5% mensual. Ei segundo pago será el doble del primero y, eltercero, el doble del segundo. ¿Cuál es el importe de los pagos?

26. Determine las tasas efectivas de interés equivalente a tasas nominales ) de 36% y 50%compuestas:

a) anualmenteb) semestralmentec) cuatrimestralmented) trimestralmentee) bimestralmenteO mensualmenteg) semanalmente

¿Cuál es la diferencia entre las tasas efectivas con capitalización anual, y las que se capitali-zan mensualmente?

27. ¿A qué tasa de interés nominal convertible mensualmente, debe invertirse un capital para

que éste se duplique en:

a) 5 años?fa) 4 años?c) 3 años?d) 2 años?e) 1 año?

28. ¿Qué alternativa de inversión es más rentable:

a) un depósito a 6 meses con tasa de interés de 37.05% convertible semestralmente, o unocon tasa de 30.05% convertible mensualmente?¿>) un depósito a 12 meses con tasa de interés de 30% convertible anualmente, o uno contasa de 28.10% convertible mensualmente?

29. ¿Cuál es la tasa de interés simple equivalente a una tasa de 36% convertible:

a) mensualmente?b) trimestralmente?c) semestralmente?d) anualmente?

Si se invierte un capital durante 3 años?

30. Encuentre el valor de $10 000 000 que se recibirán dentro de:

a) un año, b} dos años, c) 3 años, d) 5 años, e) 10 años, si la tasa de interés es de 30% anual.


31. Encuentre el valor actual de $10 000 000 que se recibirán dentro de 5 años, si la tasa de inte-rés anual es:

a) 10%, b] 20%, c) 30%, d) 40%, e) 50%, f) 75%, g) 100%

32. Encuentre el valor actual de $10 000 000 que se recibirán dentro de 3 años, si la tasa de inte-rés es de 30% compuesta:

a) anualmente, b) semestralmente, c) cuatrimestralmente, d) trimestralmente, e) bimestral-mente, f) mensualmente, g) diariamente.

33. Determine el valor actual de a) $10 000 000 pagaderos en 6 meses al 48% convertible men-sualmente; b} $5000000 pagaderos en 3 años al 30% convertible trimestralmente; c)$12000000 pagaderos en 18 meses al 22% convertible trimestralmente; d) $40 000 000 pa-gaderos en 2 años al 40% convertible trimestralmente.

34. ¿Cuánto dinero debe depositar una persona en un banco para reunir $5 000 000 dentro de 2años, si la tasa de interés vigente es de:

a) 26% convertible mensualmente?b) 32% convertible trimestralmente?c) 18% convertible semestralmente?d) 28% convertible anualmente?e) ¿Qué alternativa es la más conveniente?

35. ¿Qué cantidad se debe pagar hoy por una deuda a 36 meses, si la tasa de interés es del 27%anual capitalizable trimestralmente, y el monto es de 44 850 000?

36. Un documento por $8 000 000 a plazo de 24 meses es descontado en el banco a una tasa de42% convertible trimestralmente. ¿Cuál es la cantidad que se recibe?

37. Un banco descuenta un documento por $50 000 000 con vencimiento a 20 meses, aplicandouna tasa de interés del 33% convertible mensualmente. A su vez, el banco redescuenta eldocumento en una institución financiera que le carga el 30% de interés convertible tri-mestralmente. ¿Cuál es su utilidad en la operación? Aplique el método exacto para el pe-riodo fraccionario de interés.

38. Determine el valor actual de una deuda de $20 000 000 a pagar en tres años y cuatro meses,si la tasa de interés vigente es de 40% convertible trimestralmente. Utilice el método exac-to y el método aproximado.

39. Se desea descontar un pagaré con valor de $15 000 000 en 105 días. El banco carga una tasade 47% convertible mensualmente. Determine el capital utilizando el método exacto y elmétodo aproximado.

Anualidades simples,ciertas, vencidas e inmediatas

OBJETIVOS:


• Identificar, definir y explicar los diferentes tipos de anualidades. Con respecto a las anualida-des simples, ciertas, vencidas e inmediatas (A.S.C.V.I.)

• Plantear e identificar situaciones en las que se apliquen• Interpretar planteamientos de anualidades de este tipo• Plantear y resolver problemas con este tipo de anualidades y encontrar el monto, el valor ac-

tual, el plazo o el interés, según sea el caso

TEMARIO

4.1 INTRODUCCIÓN Y TERMINOLOGÍA

4.2 TIPOS DE ANUALIDADES

4.3 MONTO

4.4 VALOR ACTUAL

4.5 RENTA

4.6 PLAZO

4.7 INTERÉS

4.8 RESUMEN

;4.1 INTRODUCCIÓN Y TERMINOLOGÍA

n general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalosguales de tiempo. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado en el te-ma, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anuali-dades son:

127


• Los pagos mensuales por renta• El cobro quincenal o semanal de sueldos• Los abonos mensuales a una cuenta de crédito• Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida

fSe conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y

otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer pe-riodo de pago y el final del último. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se ha-ce. También hay ocasiones en las que se habla de anualidades que, o no tienen pagosiguales, o no se realizan todos los pagos en intervalos iguales. Estas aplicaciones se manejanen forma especial, como se verá más adelante.

4.2 TIPOS DE ANUALIDADES

La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentestipos de ellas. Conviene, por ello, clasificarlas de acuerdo con diversos criterios.

Criterio Tipos de anualidades

a) Tiempo ciertascontingentes

b) Intereses simplesgenerales

c) Pagos vencidasanticipadas

d] Iniciación inmediatasdiferidas

a) Este criterio de clasificación se refiere a las fechas de iniciación y de terminación de lasanualidades.

• Anualidad cierta. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo:Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el pri-

mer pago, como la fecha para efectuar el último.

Anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas 129

Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas,no se fijan de antemano; depende de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero nose sabe cuándo. Un caso común de este tipo de anualidad son las rentas vitalicias que seotorgan a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir elcónyuge y se sabe que éste morirá, pero no se sabe cuándo.

o] En este caso:

Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de losintereses. Es el tipo que será analizado en este capítulo. Un ejemplo muy simple se-ría: el pago de una renta mensual x con intereses al 48% anual capitalizable mensual-mente.

Anualidad general. A diferencia de la anterior, el periodo de pago no coincide con elperiodo de capitalización: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anualcapitaíizable trimestralmente.

c] De acuerdo con los pagos:

• Anualidad vencida. También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primernombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento,es decir, al final de cada periodo.

• Anualidad anticipada. Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cadaperiodo.

d] De acuerdo con el momento en que se inicia:

• Anualidad inmediata. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tienelugar en el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato: se compraa crédito hoy un artículo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cua-les habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía(anticipada o vencida).

• Anualidad diferida. Se pospone la realización de los cobros o pagos: se adquiere hoyun artículo a crédito, para pagar con abonos mensuales; el primer pago habrá de ha-cerse seis meses después de adquirida la mercancía.

De acuerdo con las anteriores clasificaciones se pueden distinguir diversos tipos deanualidades:


Anualidades <

simples

ciertas

vencidas

anticipadas

contingentes <

vencidas

anticipadas

generales

ciertas

vencidas

anticipadas

contingentes

vencidas

anticipadas

I inmediatas

I diferidas

inmediatas

diferidas

I inmediatas

I diferidas

1 inmediatas

diferidas

I inmediatas

I diferidas

í inmediatas

I diferidas

I inmediatas

I diferidas

J inmediatas

I diferidas

De estos 16 tipos de anualidades el más común es el de las simples, ciertas, vencidas e in-mediatas que, por esa razón, se analizará en primer lugar en la sección siguiente. En capítu-los posteriores se revisan los otros tipos.

4.3 MONTO

Dada su importancia, vale la pena destacar las características de este tipo de anualidades.

Simples: el periodo de pago coincide con el de capitalización.Ciertas: las fechas de los pagos son conocidas y fijadas con anticipación.


• Vencidas: los pagos se realizan al final de los correspondientes periodos.• Inmediatas: Los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en el que se rea-

liza la operación.

Los elementos que intervienen en este tipo de anualidades son:

R La renta o pago por periodo.C El valor actual o capital de la anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento

presente.M El valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagos al

final de la operación.

Para ilustrar la deducción de la fórmula del monto de una anualidad se utilizará unr;emplo (a partir de aquí, y en el resto del capítulo, al mencionar sólo el término anualidadse estará hablando de simples, ciertas, vencidas e inmediatas).

Ejemplo 4.3.1 ¿Qué cantidad se acumularía en un semestre si se depositarán $100 000 al finali-zar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente?

Solución:

Primero, se representa la situación en un diagrama de tiempo y valor;

100 000 100 000 100 000 100 000 100 000 100 000 M

Gráfica 4.1

El interés por periodo, /, es 0.36/12 = 0.03, y el monto de la anualidad sería igual a la sumade los montos de cada uno de los depósitos al final del semestre. Como se muestra mediante cur-vas en el diagrama, donde el último depósito no aumenta el valor, puesto que se deposita en elsexto mes.

En términos del monto a interés compuesto ya conocido, el planteamiento sería:

M = 100000(1.03)5 + 100000(1.03)4 + 100 000 (1.03)3 + 100 000 (1.03)2 + 100000(1.03) +100000 o, invirtiendo el orden,

M = 100000 + 100000(1.03) + 100 000 (1.03)2 + 100 000 (1.03)3 + 100 000 (1.03)4 + 100000(1.03)5


M = 100000 + 100000(1.03) + 100000(1.0609) + 100000(1.092727) + 100000(1.125509) +100000(1.159274)

M = 100000 + 103000 + 106090 + 109273 + 112 551 + 115927

M = $646841

En este planteamiento con el orden invertido se puede ver que el monto es una progresióngeométrica. Y de lo que se vio en el capítulo I:

ÍT = 100 000, el primer términor — 1 .03, la razónn = 6, el número de términos

Y de la fórmula 1.15 ya vista en el capítulo 1, de la suma de los términos de una progresión geo-métrica:

1- r 1 - r

Sustituyendo los términos de anualidades:

R - R (1 + i)nM -

1 - d + /)

R n - ti + on] R [i - d + /n i - d + /r= = R

Multiplicando la fracción por — 1,

que es la versión de esta fórmula que comúnmente se utiliza.Aplicándola para resolver el ejemplo anterior:

Í1 0316 — 1M = 100000 u J — = 100000(6.468409) = 646841

0.03

resultado que es igual al obtenido antes.

Ejemplo 4.3.2 ¿Cuál es el monto de $2 000000 semestrales depositados durante cuatro años ymedio en una cuenta bancaria que rinde 28% capitalizable semestralmente?


Solución:

R = 2000000/ = 0.28/2 = 0.14

n = 4.5 (2) = 9

(i 1419 — 1M = 2 000 000 l } = 2 000 000 (16.085348)

0.14

M = $32170693

Ejemplo 4.3.3 El doctor González deposita 100 000 al mes de haber nacido su hijo. Continúa ha-ciendo depósitos mensuales por esa cantidad hasta que el hijo cumple 18 años de edad para, enese día, entregarle lo acumulado como herencia. Si durante los primeros seis años de vida del hijola cuenta pagó 36% anual convertible mensualmente, y durante los doce años restantes pagó 2%mensual, ¿cuánto recibió el hijo a los 18 años?

Solución:

R = 100000n = 18(12)"= 216/ = 36/12 = 0,03 en los primeros 6 años/ = 0.02 en los últimos 12.

Primero se calcula lo que se acumuló durante los primeros seis años con un interés mensual de 3%:

f1 03)72 — 1M = 100000 L J = 100000(246.6672422) = 24666724

0.034

Esto es lo acumulado al final del sexto año. Para lo siguiente, representado en un diagramade tiempo:

100000 100000 10000024666724 100000 100000 100000

72 73 74 75 214 215 216i

Gráfica 4.2

El total acumulado al final sería igual al valor de $24 666 724 en el mes 216 más el monto delas anualidades 72 a 216:

f1 021144 — 124 666 724 (1.02)144 + 100 000 l ;

0.02


24666724(17.315089) + 100000(815.754444) =427 106 520 + 81 575 444 = $ 508 681 964

Una exorbitante cantidad de dinero.

4.4 VALOR ACTUALV"/

Ejemplo 4.4.1 ¿Cuál es el valor actual de una renta Bimestral de $450 000 depositados al final decada uno de 7 trimestres, si la tasa de interés es de 9% trimestral?

Solución:

C - ?R = 450000

/ = 0.09n = 7

2

C 450 000 450 000 450 000 450 000 450 000 450 000 450 000

Gráfica 4.3

Este es el caso inverso del monto. El va/or actual de la anualidad sería la suma de los valoresactuales de las siete rentas, o:

C = 450 000(1.09) ~1 + 450 000(1.09)-2 + 450 000 (1.09) ~3 + 450 000 (1.09) ~4 + 450000(1.09)-5 + 450 000(1.09) ~6 + 450 000 (1.09) ~7

C = 450000(0.91743119) + 450000(0.84167999) + 450000(0.77218348) + 450000(0.70842521)+ 450000(0.64993139) + 450000(0.59626733) + 450000(0.54703424)

C = 412844 + 378756 + 347483 + 318791 + 292469 + 268 320 + 246165C = 2 264 828

Y, al igual que antes, puede verse que esa suma de términos es una progresión geométrica con:

t, = 450 000(1.09)-1 = R(1 + /)-1

n = 7r = (1.09)-1 = (1 + í)-1

t1 - t^rn _ 450 000 (1.09) ~1 - 450 000 (1.09) -1 [1.09) ~7

1 - r

S = 2 264 828

1 - (1.09)-"1


Y la correspondiente fórmula:•

d + /r1 - RÍI + /r1 [d + /rVc

c =

i - ti + /r1

R{1 + i)"1 - R(1 + /r1 (1 + /)""

c

(1 + /)

+ /T1 [1 - (1 + *

C =

1 + /

{1 + i}R(\+ /)-' [1 - (1 + /Tn]

,4.2)

que es la fórmula más común del valor actual de las anualidades simples, ciertas, vencidas e in-mediatas.

Utilizando esta fórmula para resolver el mismo ejemplo 4.1.,

i — fl 09) ~7C = 450 000 ^^-— = 450 000 (5.03295284)

C = 2 264 828

Ejemplo 4.4.2 ¿Cuál es el valor en efectivo de una anualidad de $1 000 000 al final de cada tresmeses durante cinco años, suponiendo un interés anual de 26% convertible trimestralmente?

Solución:

R = 1 000 000n = 5 (4) = 20 (cinco por cuatro trimestres cada año)/ = 0.26/4 = 0.065

C = 1 000 000 •0.065

C = 1 000000(11.018507)C = $11 018507


Ejemplo 4.4.3 ¿Qué es más conveniente para comprar un automóvil;

a) pagar $26 000 000 de contado ob) $13 000 000 de enganche y $1 300000 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el in-

terés se calcula a razón de 42% convertible mensualmente?

Solución'.

Para resolver este problema debe compararse el precio de contado con la suma del enganche yel valor actual de los abonos mensuales en el plan de crédito:

Cb = 13 000 000 + 1 300 000 ( '

Cb = 13 000 000 + 1 300 000

0.42/12

1 - (1.035)-12

0.035

Cb = 13000000 + 1 300000(9.663334)

C6 = 13000000 + 12562335

C¿ = 25562335

que es el valor actual total de la operación a crédito. Como el valor de contado es mayor, con-viene más comprar a crédito.

Ejemplo 4.4.4 Encuéntrese el importe pagado, en valor actual, por un aparato electrónico por el cualse entregó un enganche de $1 400 000, se hicieron siete pagos mensuales vencidos por $160 000, y unúltimo pago al final del octavo mes por $230 000, si se considera un interés de 27% anual con capita-lización mensual.

Solución:

El importe es igual a:

a) enganche+

b) el valor actual de la anualidad con renta de 160 000+

c) el valor actual del pago final

Si / = 0.27/12 = 0.0225, entonces

i _ fi 02251 ~7C = 1 400000 + 160000- u }— + 230 000 (1.0225) ~8

0.0225

C = 1 400000 + 160000(6.410246) + 230000(0.836938)

*


C = 1 400000 + 1 025639 + 192496

C = $2618135

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 4.1. A 4.4

De los planteamientos 1 a 5, dígase a qué tipo de anualidad pertenecen y por qué:

1. Una mina en explotación tiene una producción anual de $600000000 y se calculaque se agotará en cinco años.¿Cuál es el valor actual de la producción si el rendimiento deldinero es de 31 %?

2. El pago de la renta de una casa habitación.3. Una persona adquiere en septiembre un televisor a crédito y acepta pagar mediante pagos

entregados al principio de cada uno de 12 bimestres, comenzando en enero del año siguien-te y con intereses del 50% anual efectivo.

4. Una pensión por jubilación que asigna cierta cantidad trimestral.5. Se vende un camión en mensualidades que deben liquidarse cada primer día de mes, a par-

tir del próximo mes, con intereses de 39% anual con capitalización quincenal.6. Calcúlense el monto y el valor actual de las siguientes anualidades simples, ciertas, venci-

das e inmediatas:

a) $2 000000 semestrales durante cuatro años y medio a 38% capitalizable semestralmente.b) $4 000000 anuales durante seis años a una tasa anual de 32%.c) $500 000 mensuales, durante siete años y cinco meses, a una tasa anual de 21 % capita-

lizable mensualmente.

7. El señor López deposita $1 500 000 cada fin de año en una cuenta de ahorros que abona38% de interés.¿Cuánto habrá ahorrado al hacer el cuarto depósito?

8. Calcúlese el valor actual de un terreno, utilizando un, interés de 40% con capitalizaciónmensual, si se vendió con las siguientes condiciones:

• $4 000 000 de enganche.• mensualidades vencidas por $350 000 durante 4.25 años.• un pago final de $2 500000 un mes después de la última mensualidad.

9. Si se calculan los intereses a una tasa de 22% convertible trimestralmente, ¿qué pago únicode inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $800 000, si el primero de ellos sehace dentro de tres meses?

10. En la compra de un automóvil nuevo que cuesta $45 000000 le reciben al licenciado Ugaldesu automóvil usado por $20000000. ¿Le convendría pagar el resto en 12 mensualidadesvencidas de $2 850 000 si lo más que desea pagar de interés es 4% mensual?

11. ¿Qué cantidad se debería depositar el 31 de enero del año 1 para poder hacer 15 retirosmensuales de $500 000, a partir del último día de febrero de ese año, si la cuenta en que sedeposita paga 33% de interés convertible cada mes?

12. Si un taxi rinde $850 000 mensuales vencidos y se considera que esa cantidad es constantepor tiempo indefinido, pues incluye gastos, depreciación, mantenimiento, etcétera, ¿quécantidad máxima deberá invertirse en el vehículo^sl se desea obtener un rendimiento de80% anual efectivo sobre la inversión por un período de 3 años?


4.5 RENTA

Se conoce como reñía al pago periódico que se realiza con intervalos iguales de tiempo.

Ejemplo 4.5.1 Una persona adquiere hoy a crédito una máquina de escribir. La máquina cuesta$975 000^ conviene en pagarla con cuatro mensualidades vencidas. ¿Cuánto tendrá que pagarcada mes si le cobran 3.5% mensual de interés?

Solución:

Se puede ver que los datos con que se cuenta son:

C = 975 000R = ?

/ - 0.035n = 4

y despejando en la fórmula (4.2) que se vio en la sección anterior:

A i 975 000 (0.035) ._ 34 1251 _ (1 + /)-" 1 - (1.035)- 0.128558

R = $265445

Ejemplo 4.5.2 ¿Cuánto debe invertir el señor Juárez'al final de cada mes durante los próximossiete años en un fondo que paga 33% convertible mensualmente con el objeto de acumular$100 000 000 al realizare! último depósito?

Solución:

R = ?M = 100000000/ = 0.33/12 = 0.0275n = 12 (7) = 84

Í1 027S)84 —1100000000 - R u ' — = R (318.728510)

1 nfr-Áan nnnR =

318.728510

Ejemplo 4.5.3 Una persona debe pagar $3000000 al final de cada año, durante varios años.¿Cuánto tendría que pagar a fines de cada mes para sustituir el pago anual, si se consideran inte-reses a razón de 25% anual convertible mensualmente?


Solución:

Se puede considerar que la renta de cada año es un monto y que el pago mensual es la renta decada anualidad:

R = ?/ = 0.25/12 = 0.020833M ^ 3 000 000n =12

3000000 = R n.020833)"-1 =R(13475137)0.020833

_ 3000000

13.475137

4.6 PLAZO

E plazo o tiempo de una anualidad se calcula por medio de! número de periodos de pago, n:

Ejemplo 4.6.1 ¿Cuántos pagos de $94 761 al final de mes tendría que hacer el comprador de unalavadora que cuesta $850 000, si da $350 000 de enganche y acuerda pagar 45.6 por ciento de in-terés capitalizable mensualmente sobre el saldo?

Solución:

n = ?R = 94 761C = 850 000 - 350 000 = 500 000

/ = 0.456/12 = 0.038

i _ (i 0381 ~n500000 = 94761 • l "U °J

0.038

500000(0.038)= 1 -(1.038)-"

94761

0.200504 - 1 = - (1.038)-°

(1.038)-" = 0.799496

1(1.038)"

= 0.799496

(1.038)" = = 1.2507880.799496


n log 1.038 = log 1.250788

log 1.250788 '_ 0.097184n —

log 1.038 0.016197

n = 6

Muchas veces, a diferencia del ejemplo anterior, el número de periodos no es entero:

Ejemplo 4.6.2 ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $145 000 se tendrían que hacer para sal-dar una deuda, pagadera hoy, de $800 000, si el primer pago se realiza dentro de dos meses y elinterés es de 11% bimestral?

Solución;

R = 145000C = 800000/ = 0.11

n = ?

800000 - 145 000- '0.11

800000(0.11}= 1 - (1.11)-" = 0.60689655

145000

- (1.11)~n - 0.60689655 - 1 - -0.39310345

(1.11)-" - 0.39310345

- n log. 1.11 - log 0.39310345

log 0.39310345

log 1.11

log 0.39310345 -0.40549314n = —

log 1.11 0.04532298

- - (-8.94674524)

n = 8.94674524

Antes de continuar con la solución, conviene observar las distintas formas en que se resolvieroneste ejemplo y el anterior, para evitar confusiones: En el ejemplo 4.6,1 se convirtió la expresión

1(1.038) ~n en = , que es equivalente.


En este ejemplo 4.6.2 se despeja la n directamente de (1.11)~n para obtener —n log (1.11).Estos dos procedimientos son válidos y arrojan los mismos resultados. Se invita al lector a re-

solver estos dos ejemplos con el otro método, para verificar esta afirmación.Volviendo al resultado aquí obtenido,

ñ = 8.94674524

al igual que en casos anteriores en los que se ha encontrado que el número de pagos o periodoses fraccionario, se pueden hacer dos cosas:

a) hacer ocho pagos de $145 000 y un noveno pago menor.b) realizar siete pagos de $145 000 y un pago final mayor.

A saber:

a) Al cabo del octavo pago, el valor de todos los abonos (a su valor futuro) sería:

n 11)8 _ -i145 000 u } — = 1 719 618

0.11

mientras que el valor del adeudo después de ocho bimestres sería:

800000(1.11)8 = 1 843630

Por lo que el valor del adeudo al final del octavo bimestre, inmediatamente después de efectuarel pago correspondiente sería:

1 843630 -,1 719617 = 124012

El valor de esta cantidad un mes después sería:

124012 (1.11) = $137654

cantidad que debería pagarse al cabo del noveno bimestre.

b] Si se hicieran siete pagos de $145 000, su monto en el momento de hacer el séptimo pagosería:

f-¡ 1117 -1145000 • • } =1 418575

0.11

y el valor del adeudo:

800 000(1.11 }7= 1 660928


El saldo al séptimo mes:

1 660928 - 1 418 575 = $242 353

Y al término del octavo bimestre sería necesario pagar:

242353(1.11) = 269012

para saldar completamente la deuda.

Ejemplo 4.6.3 Con referencia al ejemplo anterior, nótese que se encontró en a) y fa) el pago finalque es necesario hacer, determinando el valor futuro (monto) tanto de los pagos como deladeudo.

En este ejemplo se mostrará que se obtienen los mismos resultados calculando sus corres-pondientes valores actuales. Para ilustrar esto se utilizará el caso a) en el que se decide hacerocho pagos completos y un pago final menor:

El valor actual de los ocho pagos completos es:

i _ fi iii-a145000—• - - = 145000(5.14612276) = 746188

Y dado que el valor actual de la deuda es de $800 000, el saldo de la operación, a su valor ac-tual, es:

800000 - 746188 = 53812

Y este saldo, llevado a su valor después de nueve bimestres (que es cuando hay que hacer el últi-mo pago) es:

»

53812d.11)9 = 53812(2.55803692) = 137653

misma respuesta que se obtuvo en el ejemplo anterior.

Ejemplo 4.6.4 ¿Cuántos pagos mensuales de $45 000 serían necesarios para liquidar una deudade $2 000 000 contraída hoy con intereses de 45% anual convertible mensualmente?

Solución:

C = 2 000 000R = 45000/ = 0.45/12 = 0.0375n = ?

Los intereses que genera la deuda cada mes son:

/ = CiI = 2 000 000 (0.0375) = $75 000


La deuda no puede pagarse con mensualidades de $45 000 porque lo que la deuda generapor concepto de intereses es superior. Por esto, para ir disminuyendo el adeudo se tendrían quepagar mensualidades por cantidades superiores a $75 000.

Ejemplo 4.6.5 Una persona desea acumular $30 000 000. Para reunir esa cantidad decide hacerdepósitos trimestrales vencidos en un fondo de inversiones que rinde 32% anual convertible trimes-tralmente. Si deposita $500 000 cada fin de trimestre, ¿dentro de cuánto tiempo habrá acumula-do la cantidad que desea?

Solución:

Nótese que como se trata de una cantidad (30 000000) realizable a futuro, se está hablando demonto:

M = 30000000R = 500000/ = 0.32/4 = 0.08

n = ?

\ _|_ nftin 130000000 =500000 —

0.08

30000000(0.08) = f108 ln500 000

5.8 = (1.08)"n log 1.08 = log 5.8

log 5.8 0.763428log 1.08 0.033425

n = 22.84 trimestres, o sea22.84 (3) = 68,52 * 69 meses

Esa persona tendría los $30 000 000 aproximadamente dentro de cinco años y nueve meses.


3ara terminar este tema se verán algunos ejemplos en los que lo que interesa es determinar el"teres que se paga.

Ejemplo 4.7.1 Celia Granda debe pagar hoy $3 500 000. Como no tiene esa cantidad disponible,platica con su acreedor y acuerda pagarle mediante seis abonos mensuales de $680000; el pri-mero de ellos dentro de un mes. ¿Qué tasa de interés va a pagar?


Solución:

R = 680000C = 3 500 000n = 6

3 500 000 = 680 000 — Q-±-2

i - ( i + o- 3500000 =5_14705M2í 680 000

Como no es posible despejar la /, se tiene que seguir un procedimiento de aproximación paraencontrar su valor. Este procedimiento consta de dos pasos:

1. Ensayar valores en la expresión donde se encuentra la

1 - ti + /r6/'" I

para encontrar dos valores de ella que estén cercanos a 5.14705882, uno mayor y otro menor.

2. Interpolar entre los dos valores encontrados en

Entonces, en primer lugar se ensayan valores para

2. Interpolar entre los dos valores encontrados en 1 para determinar el valor de /

s, , . 0.05 - - - - 5.07569207i 0.05

que es bastante cercano al valor de 5.14705882 que se busca. Se continúa ensayando valorespara aproximar más:

Si,. 0.045 1 - ( 1 + Q -°4 5 i '6 - 5.! 57872480.045

Este es mayor que el valor que se busca; ahora uno un poco menor:

1 - (1 + 0.046) ~6Si / = 0.046 ! 5.14127181

0.046

1 - (1 + 0.0455) ~6Si í = 0.0455 5.14956176

0.0455


Ahora ya se tienen dos valores muy cercanos al valor deseado; uno mayor y otro menor. El segun-do paso es interpolar entre estos dos valores para determinar en forma más exacta la tasa de inte-rés que se necesita.

El razonamiento es el siguiente:

1 - (1 + i)-b• S* necesita encontrar el valor de / que haga que •—

sea igual a 5.14705882, porque esta i es la que hace que se cumplan las condiciones plan-teadas en el ejemplo y es, por lo tanto, la ;' que se busca.

• Ya se determinó en el paso anterior que

1 - (1.0455)~6si ; = 0.0455, entonces

y que

si / — 0.046, entonces

0.0455

1 - (1.046)

0.046

-6

= 5.14956176

5.14127181

De donde se concluye que la tasa / que se busca está entre 0.046 y 0.0455Para ¡lustrar el procedimiento se muestran las condiciones descritas en los párrafos ante-

riores meaiante un diagrama:

5.14127181 5.14705S82 5.14956176

0.046 0.0455

Gráfica 4.4

Lo que se va a hacer a partir de este diagrama para encontrar un valor más preciso de / es plan-tear una proporción y, para comprender mejor lo que se hace, se repasarán las relaciones exis-tentes entre las cantidades que aparecen en el esquema anterior:

Puede calcularse:

5.14956176 — 5.14127181 = 0.00828995 es la "distancia total" entre estas dos cantidades; 5,14705882- 5.14127181 = 0.00578701 es también la "distancia" que hay entre estas dos cantidades.

V,

y\ 5.14705882 - 5.14127181 0.00578701

5.14956176-5.14127181 " 0.00828995y¿ Vi

= 0.69807538


Lo que significa que 0.0578701 (el numerador) representa aproximadamente 69.8% de la distadatotal, y como esta proporción debe ser cierta también para la "distancia total" entre las tasas,entonces la tasa que se busca debe (véase el diagrama) ser igual a 0.046 menos 69.8% de la "dis-tancia total" entre las tasas.

0.046 - 0.69807538 (0.046 - 0.0455) = 0,04565096

Se puede verificar que esta tasa da una mejor aproximación del factor:

1-0.04565096)-' _ ? ^

0.04565096

que es prácticamente igual al vaíor que se busca.

Por ello, entonces, la respuesta del ejemplo es que ¡a persona pagará 4.57% mensual.

El procedimiento de interpolación se puede resumir de la siguiente manera:

* 5.14705882 - 5.14127181 i - 0.046

5.14956176 - 5.14127181 0.0455 - 0.046

0.00578701 / - 0.046

'* 0.00828995 ' -0.0005

En esta expresión 0.0005 es la "distancia total" entre las tasas, y lo que se hizo entonces fueigualar la proporción de distancias.

0.69807538 - ' " °'°46- 0.0005

/ - 0.046 0.0005 (0.69807538)

/ = 0.046 - 0.00034904

; = 0.04565096

Ejemplo 4.7.2 Dos almacenes, A y 8, venden el mismo modelo de lavadora, al mismo precio de$1 250 000.A la vende con $125000 mensuales durante 12 meses, y B, mediante un pago de $1 800 000 den-tro de un año. Determínese cuál es el plan más conveniente comparando las tasas anuales efecti-vas de las dos alternativas.


Solución.

a) Almacén A,

C - 1 250 000

n "*= 12; = ?R = 125 000

1 - (1 + í)-121 250 000 = 125 000 —

1 - (1 + O"12 = 1 250 000/ 125000

Ensayando valores:

Si / = 0.05 1 ~ ° 5 l ~ 1 2 = 8-86325161

0.06

/ = 0.04 ^ ~ Í1n°4) = 9.38507370

1 — (1 031 ~12/ = 0.03 ~^ = 9.95400390

/ = 0.025 1 ~ Í1rt°25) = 10.257764000.025

/ - 0.029 ~ ' 29} = 10.013686000.029

y.

1001368600 10 9.95400390

0029 í 0.03

Gráfica 4.5

10.01368600 - 10 0.029 - /

10.01368600 - 9.95400390 0.029 - 0.030


0.029 - /0.22931690 =

-0.001

- 0.00022931 = 0.029 - i

r= 0.029 4- 0.000229310

/ = 0.02922931

Esta es la tasa efectiva mensual. La tasa efectiva anual es:

(1.02922931)12 - 1 = 0.4130118 = 41.30%

b) Almacén B:

M - 1 800 000

C - 1 250 000

n = 1 año

M = C (1 + /)

1 800000 = 1 250000 (1 + /)

1800000 =

1 250 000

* / = 1.44 - 1 = 0.44 = 44%>

Por ello, es más conveniente el plan del almacén A.

Ejemplo 4.7.3 ¿A qué tasa nominal convertible semestralmente se acumulan $50 000 000 en el

momento de realizar el último de 15 depósitos semestrales de $1 000000?

Solución:

M = 50 000 000R = 1 000 000n = 15/ = ?

(1 + /)15 - 1500 000 = 10 000

(1 + i)15 - 1 500000

10 000


Ensayando valores de / {altos, ya que es semestral):

(1 15)15 - 1/ = 0.15 -— — - - = 47.58041086

0.15

• f 1 1 M ' ~" _ 1/ = 0.16 — — - - = 51.65950541

0.16

Afinando la aproximación:

( = 0.157 (1J57) — - = 50.398199150.157

/ = 0.1560 °'156) — - = 49.985043800.156

í 1 1 ^f\"\ _ 1/ = 0.1561 U - =50.02619735

0.1561

Para interpolar:

49.98504380 50 50.02619735

50.02619735 - 49.9850438 0.1561 - 0.1560

0.0149562 / - 0.1560

0.04115355 0.0001

0.36342430^(0.0001) - i - 0.1560

i ~ 0.1560 + 0.00003634; = 0.15603634

Comprobando el resultado anterior:

(1.15603634)15 - 1

0.1560 / 0.1561

Gráfica 4.6

50 - 49.9850438 / - 0.1560

0.1560363449.99999485 o, aproximando, 50


y, por tanto, se requiere una tasa de 0.15603634(2)— 0.312072, 31.21% aproximadamente (no-minal anual) para hacer que el monto de 15 pagos semestrales de $1 000 000 sea $50 000 000.

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 4.5 A 4.7

13. Una empresa contrata una deuda de $100 000 000 con un banco. Si éste carga a este tipode préstamos 40% anual convertible mensualmente, ¿cuánto tendría que pagar mensual-mente la empresa para saldar su deuda dentro de 15 meses?

14. El señor Luna adquirió una casa en condominio y acordó pagar, aparte de cierta cantidadmensual, anualidades por $800 000. Si acaba de realizar el trato hoy mismo, de manera quedebe liquidar la primera anualidad exactamente dentro de un año, y si decide hacer depósi-tos trimestrales en un fondo de inversión que paga 6% trimestral, ¿de cuánto tendrían queser sus depósitos para poder acumular a fin de año la cantidad que necesita?

15. Una persona contrató una deuda que le obliga a pagar $5 000 000 el primero de enero decada uno de varios años. Como ahora se da cuenta de que le sería más fácil pagar haciendoabonos trimestrales vencidos, ¿de cuánto tendrían que ser los pagos en el nuevo plan, si seconsidera el interés al 30% convertible trimestralmente?

16. ^ Hoy es 15 de marzo. Dentro de tres años, el 15 de noviembre, el primogénito del señor Mendozacumplirá la mayoría de edad y desea regalarle una motocicleta que calcula costará en esetiempo (dentro dp tres años) unos $18 000 000. Para adquirirla decide ahorrar una cantidadmensual en un instrumento bancario que rinde 2% mensual. Si la tasa de rendimiento nocambiara en ese tiempo, ¿cuánto tendría que ahorrar el padre cada mes para poder adquirir

la motocicleta?17. Para saldar un préstamo de $2 500 000 contratado hoy, el deudor acuerda hacer cinco pa-

gos semestrales iguales y vencidos y, finalmente, un pago único de $5 000 000 dos añosdespués de realizado el último pago semestral, ¿cúal-deberá ser el importe de cada uno delos pagos iguales, si el interés es de 25,% capitalizable semestralmente?

18. El 12 de abril de este año, la señorita Soto deposita $300 000 en una cuenta bancaria quepaga 5% bimestral de interés. Si comienza a hacer depósitos bimestrales iguales a partirdel 12 de junio y acumula $200 000 inmediatamente después de realizar el depósito del 12 dediciembre del año siguiente, ¿de cuánto fueron sus depósitos?

19. La señora Jiménez desea vender un comedor que posee y que considera vale $8 000 000.Hay dos compradores interesados que le hacen ciertas propuestas:

a) El comprador A ofrece pagarle 12 mensualidades vencidas de $850 000b) B ofrece pagarle 18 mensualidades vencidas de $600 000

Considerando los intereses a razón de 38% anual convertible mensualmente, ¿cuáloferta le conviene más?

20. ¿En cuánto tiempo se acumulan $20 000 000 mediante depósitos bimestrales vencidos de$1 615 000 si se invierten a una tasa de 28% anual convertible bimestralmente?

21. Una deuda de $850 000 contraída hoy se va a liquidar mediante pagos trimestrales iguales yvencidos de $185 000. Si el interés es de 6.5 trimestral, calcúlese el número de pagoscompletos y el valor del pago final menor que saldan el compromiso.

22. Para pagar una deuda de $3 000 000 contraída hoy, se van a abonar mensualidades de$250 000 comenzando dentro de un mes. SÍ el interés que se cobra es de 27% capitalizable

Anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas 151v

cada mes, determínese el número de pagos iguales y el valor del pago final mayor que sal-dan la deuda.

23. El 12 de septiembre la doctora Gudiño adquiere un automóvil usado en $10 000 000.Acuerda pagarle al vendedor mensualidades vencidas de $955 301. Si se considera el inte-rés a 26% anual convertible con la misma periodicidad que los pagos, ¿cuándo terminará

*de pagar?

24. Como beneficiario de un plan de jubilación, el señor Domínguez puede recibir $40 000 000de inmediato, o puede recibir $10000000 ahora y el resto con pagos de $2000000 cadatres meses. Si la compañía paga interés de 25% anual convertible cada tres meses,

a) ¿Cuántos pagos completos recibirá?b) ¿Con qué cantidad adicional al último pago completo le liquidarán el total de su benefi-

cio de jubilación? ,c) ¿Con qué pago final realizado tres meses después del último pago de $2000000 le

liquidarían el total?

25. Si un trabajador ahorra $100000 mensuales en una cuenta de ahorros que paga 18% anualconvertible mensualmente,a) ¿En qué tiempo reunirá $1 000 000?b) Si desea juntar esa cantidad en un periodo exacto de meses, ¿cuántos depósitos comple-

* tos de $100000 debe hacer, y de qué cantidad (mayor de $100000) debe ser el últimodepósito para que al realizarlo haya reunido la cantidad precisa de $1 000000?

26. El 8 de enero se pagó el último abono mensual vencido de $829 135. Con este abono se li-quidó totalmente una deuda que ascendía a $7 500 000. Si la operación se pactó a 22.4%anual de interés convertible mensualmente,

a) ¿Cuándo se hizo el primer pago mensual?b) ¿A qué plazo se pactó la operación?

27. ¿A qué interés se deben hacer depósitos semestrales de $1 000 000 para acumular $8 000 000en tres años?

28. Una deuda de $1 500 000, contraída hoy, se pagará mediante cinco abonos mensualesvencidos de $320 000. ¿A qué tasa nominal anual se debe pactar la operación?

29. Una persona adquirió, mediante seis abonos quincenales de $485 000, un aparato televisorque al contado costaba $2 750 000,

a) ¿Qué tasa nominal anual pagó?b) ¿Qué tasa efectiva quincenal pagó?c) ¿Qué tasa efectiva anual pagó?

30. Un automóvil cuesta $26 800 000. Se vende con 50% de enganche y seis mensualidades de$2 550 000. ¿Qué interés efectivo mensual se cobra?

31. En dos almacenes se vende el mismo modelo de cocina integral, con igual precio de con-tado: $5 995 000. Las condiciones del crédito son:

• El almacén "La Ganga" la vende mediante ocho mensualidades de $850 000.• El almacén "La Bagatela" la vende con doce mensualidades de $610 000

a) ¿En qué almacén conviene más comprar la cocina?b) ¿Qué diferencia existe entre las tasas mensuales efectivas que se aplican en los dos casos?


4.8 RESUMEN

En este capítulo se introdujo el concepto de anualidades: un conjunto de pagos ¡guales reali-zados a intervalos de tiempo ¡guales.

Se mencionó que resulta conveniente identificar los diferentes tipos de ellas, clasificán-dolas'de acuerdo a cuatro criterios.

• Tiempo: anualidades ciertas y anualidades contingentes• Intereses: simples y generales• Pagos: anualidades vencidas y anticipadas• Iniciación: inmediatas y diferidas

La combinación de estas características da lugar a los diversos tipos de anualidades.Se revisaron las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas. Se derivaron las fórmu-

las para calcular su monto y su valor actual o capital, y se ilustraron diversos casos en los quefue necesario calcular esos dos conceptos, así como también el plazo, la renta y la tasa de in-terés.

COMPROBACIÓN DEL CAPITULO

Habiendo estudiado el capítulo, el lector debe ser capaz de:

^ • Identificar y explicar las diversas características que definen a los distintos tipos de, anualidades* Identificar y plantear situaciones que puedan representarse mediante una anualidad

simple, cierta, vencida e inmediata• A • Plantear y resolver ejemplos de este^tipo de anualidadest


• Anualidad• Anualidades:

— ciertas— contingentes— simples— generales— vencidas— anticipadas— inmediatas— diferidas

Monto, valor actual, renta, plazo, tasa de interés de una anualidad simple, cierta, vencida einmediata.

Anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas 153X


(1 + f)n - 1v = R — (4.1)

1 - (1 + /)-": - A (4.2)


1. ¿Qué es una anualidad simple, contingente, vencida y diferida?2. ¿Qué es una anualidad general, cierta, anticipada e inmediata?3. ¿Cuál es el tipo más común de anualidad?

Óigase qué clase de anualidad representan los planteamientos 4 a 8:

4. Una pensión vitalicia otorgada por un seguro de invalidez total, y que asigna cierta canti-dackmensual.

5. Un depósito quincenal en una cuenta de ahorros que paga 25% capitalizable mensualmente.6. Una persona subarrienda un negocio. El subarrendatario acuerda pagarle cierta cantidad

diaria.7. La adquisición de un departamento en condominio cuyo enganche se paga mediante seis

.pagos bimestrales de $1 800 000. La entrega del inmueble tiene lugar al realizar el sextopago bimestral.

8. La compra a crédito de un automóvil. El interés que se carga es 2% mensual global, y lospagos se hacen cada mes.

4

Las preguntas restantes se refieren a anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas

9. ¿Cuál es el monto de 18 depósitos mensuales de $500 000 en una cuenta de inversión quepaga 1.5% mensual?

10. ¿Cuál es el valor actual de 18 pagos mensuales de $500 000 si se consideran intereses de1.5% mensual?

11. ¿Qué relación existe entre las respuestas a las preguntas 9 y 10? Exprésese en forma deecuación.

12. La profesora Vélez ha retirado de su cuenta de inversiones 40 mensualidades de $700 000.Si la cuenta de inversiones rinde 30% convertible mensualmente, ¿cuánto tenía en su cuen-ta de inversiones un mes antes de realizar el primer retiro?{Desde que empezó a hacer los retiros no hizo ningún depósito).

13. El día 1° se depositaron $700000 en una inversión que paga 50% convertible mensualmente.Además:

— se depositaron, comenzando un mes después, $50000 mensuales durante 1 año.— al final del mes 19 se depositaron $400000.

¿Cuál es el monto de todas estas inversiones al final del mes 24?


14. Si se calculan intereses a razón de 22% anual convertible cada dos meses, ¿qué pago únicorealizado dentro de 30 meses es equivalente a 15 pagos bimestrales de $185 000?

15. Si se desea obtener un rendimiento de 100% capitalizable mensualmente sobre una inver-sión riesgosa, ¿cuál es la cantidad máxima que debería invertirse en una operación que seespera pague $400 000 mensuales al final de cada uno de los ocho meses siguientes?

16. En una cuenta que rinde 3.25% mensual, se hicieron los siguientes depósitos:

— Cinco de $750 000 cada fin de mes; el primero al cabo de un mes.— Ocho de $450000 cada fin de mes; el primero de éstos al cabo de cuatro meses.

¿Cuál es la cantidad que se ha acumulado en la cuenta al final del decimosegundo mes?

17. ¿Qué renta pagada durante cada uno de 15 bimestres es equivalente a un valor actual de$30000000, si se consideran intereses a una tasa de 8.2% bimestral?

18. ¿Qué renta pagada al final de cada uno de 9 meses permite acumular $10 000 000 al cabodel décimo mes, si se consideran intereses a razón de 28% convertible cada mes?

19. Si se. vende un terreno en $14 500000 al contado, o mediante 12 pagos semestrales igualescon 33% anual convertible semestralmente, ¿de cuánto serían los pagos en el plan a crédito?

20 Si se calcula que el enganche de un inmueble del tipo del que le gustaría adquirir al señorLópez será de $42 500 000 dentro de un año, ¿qué cantidad debería depositar cada mes enuna inversión que rinde 25% convertible mensualmente?

21. El 12 de abril la señorita Pérez obtiene un préstamo de $3 000 000 que acuerda reembolsarmediante pagos iguales, cada mes, comenzando el 12 de mayo y haciendo el último el 12de diciembre del año siguiente. Si le cobran intereses de 1.8% mensual, ¿cuánto debe pagarcada mes?

* 22. Se deben pagar $15 000 000 el 23 de agosto del año próximo. Si hoy es 23 de febrero, ¿cuáldebe ser el importe de los depósitos bimestrales a una cuenta de inversión que rinde 7.4%bimestral para tener el 23 de agosto del año siguiente, en el momento de realizar el últimodepósito, la cantidad que se debe pagar, y si el primer depósito se hace el 23 de abril deeste año?El 2 de enero se obtiene un préstamo de $5 000 000. Se va a pagar con seis abonos men-suales iguales; el primero, el 2 de febrero, más $800000 adicionales al último abono mensual.Si el interés acordado es de 18% convertible mensualmente, ¿cuál debe ser el importe delos pagos mensuales?

24. Un televisor se vende en las siguientes condiciones en dos tiendas:

— En la tienda A cuesta $1 200 000 al contado y se puede pagar mediante 12 mensualida-des vencidas e iguales con intereses de 3.18% mensual;

— En la tienda B cuesta $1 250 000 de contado y se puede pagar mediante 12 mensualida-des vencidas e iguales con intereses de 2.75% mensual.Si se desea adquirir el aparato útil izando el crédito. ¿En qué tienda conviene adquirirlo?

25. ¿En cuánto tiempo se acumulan $8 000 000 mediante depósitos semestrales de $300 000 enuna inversión que rinde 2.1% mensual?

26. ¿En cuánto tiempo se acumulan $5 000 000, si se ahorran $200 000 mensuales y los ahorrosganan 2.14% mensual de interés?

27. ¿Cuántos pagos de $1 455585 sería necesario hacer cada fin de año para liquidar unadeuda de $4 500 000 si el interés es de 30%?


28. Rodolfo le vende a su hermana Silvia un departamento. El trato se formaliza hoy y se fi ja elvalor del inmueble en $70 000 000 para dentro de un año, que es cuando se va a hacer eltraslado de dominio. Para pagar, Silvia le va a dar a Rodolfo abonos iguales mensuales de$5 000 000 y un pago final mayor que liquide totalmente la operación. ¿Cuántas mensuali-dades iguales deberá pagar, y cuál debe ser el importe del pago fina! mayor si acordaron uninterés de 3.18% mensual? Silvia va a comenzar a hacer los pagos dentro de un mes.

29. Existen dos planes para la compra de un automóvil:

a) Precio de contado $28 500000 y mensualidades de $2 909 511 con una tasa de interés de3.27% mensual, hasta terminar de pagar.

b] Precio de contado $30 000 000 y mensualidades de $2 153 693 con una tasa de interés de2.85%, hasta terminar de pagar.

¿Cuál de los dos planes de crédito conviene más?

30. ¿A qué interés efectivo anual se tendría que colocar una serie de 15 depósitos bimestralesvencidos de $175 000 para que en el momento de hacer el último depósito se acumularan$3 850 000?

31. Para pagar una deuda de $2 350 000 se abonaron siete mensualidades vencidas de $375 000.¿Qu£ tasa nominal convertible mensualmente se cargó en la operación?

32. ¿A que tasa efectiva bimestral se cobró un crédito de $42 000 000 si se cubrió mediante 18pagos bimestrales vencidos de $3 756 300?

33. Un mueble fino se vende en $9 950 000 de contado o, a crédito, con un pago inicial de $3 000 000y seis abonos mensuales vencidos de $1 290 000. ¿Cuál es el interés nominal anual, conver-tible mensualmente, que se cobra en la venta a crédito?

5Anualidades anticipadas

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO: • —

Al terminar de estudiar este capítulo, el lector será capaz de:

• Definir y explicar qué son las anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas(A.S.C.A.I.)

• Plantear anualidades de este tipo• Identificar situaciones que pueden representarse mediante A.S.C.A.I.• Resolver problemas de anualidades anticipadas que impliquen el cálculo de:

— Monto— Valor actual- Renta— Plazo e— Interés

TEMARIO:

5.1 INTRODUCCIÓN

5.2 MONTO Y VALOR ACTUAL

5.3 RENTA, PLAZO E INTERÉS

5.4 RESUMEN

5.1 INTRODUCCIÓN

Como se vio en el capítulo anterior, las anualidades se clasifican de acuerdo con cuatrocriterios:

Criterio

a) interesesb) tiempoc) pagosd) iniciación

Tipo de anualidad

simples y generalesciertas y contingentesvencidas y anticipadasinmediatas y diferidas

157

158 Maíemáíícas financieras

A partir de estas cuatro características se pueden presentar 16 tipos distintos de anualida-des, de las cuales las más comunes son las simples, ciertas, vencidas e inmediatas (A.S.C.V.I),que se estudiaron en el capitulo anterior. Aunque hay varias maneras de resolver los otros 15tipos de anualidades, para simplificar el análisis se acostumbra abordarlas a partir de las fór-mulas ya vistas de las A.S.C.V.I.

^ Para analizar los tipos de anualidades que restan por revisarse aquí, se les dividirá encuatro grupos principales, que son el objeto de este capítulo y los siguientes:

• Anualidades anticipadas• Anualidades diferidas• Caso general de las anualidades• Anualidades contingentes

Asi, en este capítulo se hablará de las anualidades anticipadas, que serán vistas en su casosimple (cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización), ya que el caso generalse analiza en otro capítulo.

Además, dado que las anualidades contingentes se analizan también en otro capítulo,las anualidades anticipadas que se estudian en este capítulo son del caso cierto, es decir, sonaquellas en las que se conocen con certeza las fechas de los periodos.

Por ello, en este capítulo se verán:

• Anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas (A.S.C.A.I.).

Y, como se observará enseguida, se hará mediante las fórmulas ya conocidas de lasanualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas (A.S.C.V.I.):

M - K <1 + /> - 1 (4-1)

C = R - - (4.2)


Revisando las características de estas anualidades, puede decirse que son:

• Simples, porque el periodo de pago corresponde al de capitalización.• Ciertas, porque las fechas y los plazos son fijos y se conocen con anterioridad.• Anticipadas, porque el inicio de los pagos o depósitos se hace al principio de los pe-

riodos de pago y capitalización (por anticipado).• inmediatas, porque los pagos o depósitos se inician en el mismo periodo en el que se

formaliza la operación.

Resulta útil comparar mediante diagramas las anualidades vencidas y las anticipadas paracomprender mejor la diferencia.

Anualidades anticipadas 159

R R R

\- -\ -t~ -iO í 2 n-2 n-1 n periodos

Anualidad vencida

R R R R R

r-H—h -i~hHO 1 2 n-2 n-1 n periodos

Anualidad anticipada

Ejemplo 5.2.1 Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $ 50 000 al principio de cada mes. SÍla cuenta paga 2.3% mensual de interés, ¿cuánto habrá ahorrado durante el primer año?

Solución:

50 000 50 000 50 000 50 000

0 1 2 3

Gráfica 5.1

50 000 50 000

10 n , 12

Observando el diagrama puede apreciarse que si se consideran los 12 depósitos de $ 50 000 comosi fueran una anualidad vencida (como si el inicio de plazo hubiera sido en el periodo — 1), la apli-cación de la fórmula del monto hace que se obtenga el valor de la anualidad en el periodo 11

= R(1 + j]n _

= 50 000(1.Q23)12 - 1

0.023

50000(13.64063)

M = $ 682 032

que sería el monto el primero de diciembre del año, en el momento de hacer el último depósito.Pero como se busca el monto al final del plazo, es decir, un mes después, hay que calcular el va-lor de este monto al cabo de un mes, o

M - $ 682 032 (1.023) = $ 697 718

que es el monto que se busca.

Y la fórmula sería entonces:

(5.1)


Ejemplo 5.2.2 Otra manera de resolver el ejemplo anterior

n = 12 R = 50000 / = 0.023

De nueva cuenta, si se considera que el plazo comienza en el periodo —1 y se calcula el montofle 73 (trece) depósitos, se tendría el siguiente caso:

50000 50000 50000 50000 50000 50000

Gráfica 5.2 10 " 12

i 0.023»

nos da el factor de acumulación de 13 depósitos, pero como el último (que se realiza al final delplazo, fines de diciembre) no está incluido en una anualidad anticipada y, además, está a su va-lor real en esa fecha, simplemente se resta al factor de acumulación para encontrar el valor quese busca.

P (1 4. / ] n + 1 _ -i I\U - L_iL í J

M - R ^ ' " . '- - 1 (5.2)

[ tt 023113 — ' 11 J - - - 1 =50000(14.954365-1)

0.023

M = 50000(13.954365) = $697718

que es el mismo valor que se encontró antes.Este método es, pues, equivalente al anterior.

Ejemplo 5.2.3 Encuéntrese ei monto de seis pagos semestrales anticipados de $ 1 450 000 si el in-terés es de 27 por ciento convertible semestralmente.

Solución:

n = 6/ = 0.27/2 = 0.135

R = 1 450 000


Método 7:

(iM - f? U

•) / )_ -i} (1 + / ) = 1 450

— 1

0.135

.M = 1 450(8.428434)(1.135) = 1 450(9.566283)

M = 13871 111

Método 2:

(1.135)

-135)7-1 -ll0.135 J

M = 1 450(10.566283 - 1) = 1 450(9.566283)

M = 13871 111

Obsérvese entonces que:

(1 + /)" - 1 .i. n

Ejemplo 5.2.4 Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $750 000 de ren-ta, por anticipado. Como desearía librarse del compromiso mensual de la renta, decide proponeruña renta anual equivalente y también anticipada. Si se calculan los intereses a razón de 37.44por ciento convertible mensualmente, ¿de cuánto deberá ser la renta anual?

Solución:

Este es el caso del valor actual de una anualidad anticipada.

n = 12R = 750000

/ = 0.3744/12 = 0.0312

C = ?

«En un diagrama:

750 000 750 000 750 000 750 000 750 000

Gráfica 5.310 11


Obsérvese que este caso se puede resolver calculando el valor actual de 77 rentas vencidasde $750 000 (las onceúltimas rentas del año) y sumándole la primera renta, que ya está en su va-lor presente:

C = 750000 + (750000)

C = 750000 + (750000)

1 _ 12 +

0.0312

1 - (1.Q312)-11

0.0312

C = 750000 + (750000)(9.191428)C = 750000 + 6893 571C = 7 643 571

Obsérvese que

C = R + R

C = i

4- /iJ , factorizando R,

entonces,

= 750000 [1 + 1L 0-031 2

1J

(5.3)

C = 750000(1 + 9.191428)C = 750000(10.191428)C = 7 643 571 que es la misma respuesta obtenida antes.

Ejemplo 5.2.5 Calcúlese el valor actual de nueve pagos bimestrales de $500000 con interés de5.28 por ciento bimestral:

a) Si se hacen por anticipadob) Si se hacen vencidos *c) Determínese y expliqúese la diferencia entre a) y b).

Solución:

C - ?n = 9R = 500000

/ = 0.0528


[ 1 — (1 0528l~ 9 + n 11 + U'U J =

0.0528 !

C = 500 000 (1 + 6.390684)C = $ 3 695 342

i f-i nR7fti —9b) C = 500 000 l J— - 500000(7.020027)

0.0528

C - $3510014

c) 3 695 342 - 3 510 014 = $ 185 328

Es mayor el valor actual de los pagos anticipados por $185 328 y se debe a que, dado que los pa-gos se hacen antes, comienzan a generar intereses más pronto. Se puede ver que $185 328 son losintereses generados por $3 510 014 en un bimestre o,

185328 - 3510014(0.0528)


Cuando se desea conocer cualquiera de estos tres conceptos, se utilizan las fórmulas de lasanualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas, con las modificaciones vistas en la sec-ción» anterior.

Ejemplo 5.3.1 En una tienda se vende una bicicleta por $800 000 al contado o mediante cincoabonos mensuales anticipados. Si el interés es de 32.24 por ciento convertible mensualmente,calcúlese el valor del pago

Solución:

n = 5/ = 0.3224/12 = 0.0268

C = 800 000

( ' [ i _ n + n - " + 1lC=R [1 +^ ^_LU J (5.3)

, _ C 800000¡^ —

. 1-d + 0 - n + ¡ - . 1-(1.0562)I i I I

R =

0.0562

800 0004.745128

R = $ 168 594


Ejemplo 5.3.2 La señora Gavaldón debe pagar $9 000 000 dentro de dos años, y para reunir estacantidad decide hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2 porciento bimestral de interés. ¿De cuánto deben ser sus depósitos si hoy realiza el primero?

Solución:

n - 12/ - 0.042

R - ?

M = 9000000

-] + /)n+1-i -iM = R | '—— -1 (5.2)

i J

M 9 000 000R

(1 + i)n+] - 1 (1.042)13 - 1 _

/ 0.042

9 000 000^ 15.837716

i

R = $ 568 264

'Ejemplo 5.3.3 En un almacén se vende un mueble de comedor por $ 4 600 000 al contado, o me-diante pagos mensuales anticipados de $511 625. Si el interés es de 29.36% convertible mensual-mente, ¿cuántos pagos es necesario hacer?^

Solución:

C = 4600000n = ?/ = 0.2936/12 = 0.0245

R = 511 625

(5.3)


(C/R - 1) i = 1 - (1 + /rn+1 = O7R - i

- (1 + /)-n + 1 = Ci/R - / - 1

(1 + /)-n+1 = ] + / - . c//R

(-n + 1) log (1 + i) = log (1 + / - C//R)

, log(1 + i - Ci/R)-n + 1 -

log (1 + O

log (1 + i - Ci/R)log (1 + i)

1 - |080+/-C^/ (5.4)log (1 + O /

log i 1 + 0.0245 -4 600 000 (0.0245)511 625

n- 1 -log (1.0245)

log (1.0245 - 0.220278)n-1

n- 1 -

log 1.0245

log (0.804222)

log (1.0245)

(-0.905376)1 -

0.010512

n- 1 + 9 ,

n - 10, habría que hacer 10 pagos.

Ejemplo 5.3.4 La señora Ramírez piensa jubilarse al reunir $100000000 mediante depósitosmensuales de $500000 de las ganancias que obtiene de su negocio. Si invierte sus depósitos auna tasa de interés de 2.25 por ciento mensual e inicia a partir del día de hoy, ¿en cuánto tiemporeunirá la cantidad que desea?

Solución:

R = 500000M = 100000000f = 0.0225

166 Matemáí/cas financieras

M = R V- - - 1 (5.2)^-'][ f1 02251" + 1 — 1 1

^ J 10.0225 ¡

100000 , = (ro225)n +500 /

(1.0225)" + 1 - 5.5225

(n + 1) log (1.0225) = log 5.5225

- 1 = 17°8831 - 1 - 76.80 - 1Ln 1.0225 0.022251

n = 75.80

Entonces, en 75 meses y aproximadamente 24 días reuniría lo que desea.

Ejemplo 5.3.5 ¿A qué tasa de interés anual seis depósitos anuales anticipados de 2 500 000 equi-valen a un valor actual de $7 500 000

Solución:\ - 7 500 000

R = 2 500 000n — 6í'l

C = R h +

(1 - (17.500000 = 2 500000 1 +

7 500 000 _ 1 1 - (1 + /) 5

2 500 000

2 = 1 "° + °"'


Y, al igual que se ha hecho antes, se determina / mediante un proceso de interpolación cuyo pri-mer paso consiste en aproximarla mediante ensayos:

Si / = 0.50

1 - (1 + / )_ c

= 1.73662551

- 0.40- 0.410- 0.411= 0.4105

E interpolando

2.035163922.001380791.998056121.99971725

0.4100 0.4105

2.00138079 1.99971725

/ -0.4100

Gráfica 5.4

2 -2.00138079

0.4105 - 0.4100 = 1.99971725 -2.00138079

« ---0.4100. -°-°°138079= Q.830031 140.0005 - 0.00166354

; - 0.4100 - 0.83003114 (0.0005) = 0.000415024

i = 0.41041502

o aproximadamente 41.04 % anual

Ejemplo 5.3.6 ¿A qué tasa de interés anual 15 depósitos anuales anticipados de $800000 acumu-lan un monto de $200 000 000?

Solución:

M = 200000000n - 15R = 80000

M - Rr (1 + /)n + 1_i -i!__ , (5.2)

168 Matemáticas financieras -

200 000 000 = 800 000 d + 0 - 1

200 000 000

800 000+ 1 =

-1

251 =

Ensayando valores:

Si i = 0.30

161 + /) l b — 1218

si f = 0.30

i = 0.35/ = 0.32/ = 0.31i = 0.315/ = 0.3155/ = 0.3152/ - 0.31515/ = 0.31516i = 0.315161/ = 0.3151605/ = 0.3151608/ = 0.31516075

£, interpolando

ü.31516075I

250.9999498 251

Gráfica 5.5

344.8969512262.3556798

239.4234901

250.631167

251.7799928251.090076250.9752711250.998228251.0005238

250.9993759251.0000646

250.9999498

0.31516080

251 .0000646

i-0.31516075 _ 251 - 250.9999498

0.31 516080 - 0.31 516075 251.0000646 - 250.9999498

> - 0.31516075

0.00000005

0.0000502

0.0001148= 0.43728223


/ - 0.31516075 = 0.43728223 (0.00000005) = 000000002; - 0.31516075 - 0.00000002/ - 0.31516077

o 31.52%, aproximadamente.0

verificando:

T (1.31516077)16-! 1800 000 —' 1 =200 000 000

L 0.31516077 j

En este ejemplo fue tan prolongada la aproximación mediante los ensayos porque las cifras delmonto y el plazo eran grandes; si no se hubiera hecho la aproximación tan detallada, el error de-bido a la interpolación sería considerable.

EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 5

1. En las mismas condiciones, ¿qué tipo de anualidad produce un monto mayor, una vencidao una anticipada? ¿Por qué?

2. En las mismas condiciones, ¿qué tipo de anualidades genera un valor actual mayor, unavencida o una anticipada? ¿Por qué?

3. ¿Cuál es la renta semestral adelantada equivalente a una renta mensual adelantada de$660000, si el interés es de 22.52% anual convertible mensualmente?

4. Cada dos meses, el día 25, se deposita $1 000 000 en un fondo de inversión que paga 34%convertible bimestralmente. ¿Cuánto se habrá acumulado en el fondo un instante antes derealizar el vigesimocuarto depósito?

5. Un arquitecto desea ahorrar $400 000 mensuales durante cinco años. Si sus ahorros ganan25.4% convertible mensualmente, ¿cuánto habrá acumulado al mes siguiente del últimodepósito?

6. Una empresa debe cubrir el 23 de octubre un pagaré que emitió. Para cumplir con su obli-gación, se depositaron $850000 los días 23 de los meses de enero a septiembre en unacuenta que paga 2.6% mensual de interés. Si con lo acumulado en la cuenta se liquidó elpagaré, ¿cuál era su valor en su fecha de vencimiento?

v7. Para adquirir un automóvil a crédito se deben hacer 18 abonos mensuales de $900 000 co-menzando en el momento de la entrega del vehículo. Si los intereses que se cobran son a ra-zón de 30% convertible cada mes, ¿cuál es el valor de contado de los pagos?

8. ¿Qué conviene más para quien cobra:a) recibir 14 pagos mensuales vencidos de $1 026 438, ob) recibir 14 pagos mensuales anticipados de $1 000 000 si el interés es de 2.5% mensual?

9. Un profesional joven desea reunir $100 000 000 en 5 años para dedicarse a viajar un tiempo.Si puede depositar cierta cantidad al 33.3% capitalizable al mes, y suponiendo que en todoese tiempo no cambia la tasa de interés, ¿cuánto deberá depositar cada mes con el objetode reunir la cantidad que desea exactamente antes de realizar el último depósito?

10. ¿Qué renta anual anticipada es equivalente a una renta mensual anticipada de $680 000, auna tasa de 25% convertible mensualmente?


11. ¿El monto de una anualidad anticipada es igual al monto a interés compuesto de su valoractual? Ilústrese la respuesta con un ejemplo.

12. ¿A qué tasa de interés efectivo anual 10 pagos mensuales anticipados de $600000 se con-vierten en un monto de $7 000 000?

13. Una empresa de seguros hace préstamos a sus empleados con más de 10 años de antigüe-f dad y cierto nivel de sueldo en las siguientes condiciones:

Importe del préstamo: $10000000Plazo: 18 mesesPago: 18 abonos mensuales de $628 628 comenzando al momento

de entregar el préstamo.¿Qué interés anual convertible mensualmente les cobra?

14. Considérense las dos operaciones siguientes:A) Cinco pagos semestrales anticipados de $2 250000 para liquidar un monto de $16 000 000

que tenia este valor un semestre después del último pago.B) 30 pagos mensuales anticipados de $895 725 para liquidar un valor actual de $20 000 000.¿En qué operación se pagó más interés?

15. ¿Con cuántos pagos anticipados de $623 838, realizados cada principio de mes, se alcanzaun monto de $15 000 000, si el dinero rinde 2.97% mensual?

16. Para pagar la adquisición de una computadora con precio de $8 000000, una empresa hizopagos iguales de $1 462 350 al comienzo de cada uno de seis meses, a partir del momentoen que recibió el equipo, ¿qué tasa mensual de interés pago?

5tt RESUMEN

En este capítulo se revisaron las anualidades.i

, ' • Simples: el periodo de pago corresponde al de capitalización.• Ciertas: las fechas y los plazos son fijos y se conocen con anticipación.• Anticipadas: el inicio de los pagos o depósitos se hace al principio de los periodos.• inmediatas: Los pagos o depósitos se inician en el mismo periodo en el que se formali-

za la operación.

Se vio que este tipo de anualidades se pueden manejar con las ya conocidas fórmulas delas anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas, y sólo se requieren pequeñas modifi-caciones para tomar en cuenta que los pagos o depósitos se hacen por anticipado.

COMPROBACIÓN DEL CAPÍTULO

Al terminar de estudiar este capítulo, el lector debe ser capaz de:

• Explicar qué es una anualidad simple, cierta, anticipada e inmediata• Identificar situaciones que puedan representarse mediante este tipo de anualidades• Plantear problemas de este tipo

Anualidades.anticipadas 171

Resolver ejemplos que impliquen su uso y determinar el monto, el valor actual o capi-tal, la tasa de interés y el plazo, según sea necesario


Anualidad anticipada


M = R<1+l).B 1 (1+i) (5.1)

I j + — - | (5.3)

n m 1 logd + i-CUR) (5 4)log (1 + /)


'1. Expliqúese qué es una anualidad simple, cierta, anticipada e inmediata.2. Dése un ejemplo de este tipo de anualidad.3. Para una anualidad mensual anticipada de $1 000000 durante 15 meses al 2% mensual,

calcúlense monto y valor actual. ¿Qué relación existe entre ambos?4. ¿A qué renta anual anticipada equivale una renta trimestral anticipada de $995 000, si el in-

terés es de 10% convertible cada tres meses?5. Con su nuevo negocio, Julio obtiene utilidades mensuales superiores a los $3 000 000. Para

crear una reserva con el objeto de ampliar sus actividades decide hacer depósitos mensua-les de $500 000, en un fondo de inversión que paga 2.43% mensual. ¿Cuánto habrá acumu-lado exactamente antes de realizar el trigésimo abono?

6. Si se puede adquirir un articulo pagando $500 000 de inmediato, y haciendo 4 abonos bi-mestrales por la misma cantidad, ¿cuál es su valor de contado si se consideran intereses arazón de 3.2% convertible con la misma periodicidad que los pagos?

7. El costo de una póliza grupal de seguro para automóviles es de 120000 mensuales que sedeben pagar por adelantado. Si se consideran intereses a 3% anual convertible cada mes,¿cuál es el valor anual de la póliza, que también se debe pagar por adelantado?

8. Para saldar una deuda el doctor Domínguez acuerda pagar $675 000 al principio de cadauno de 36 meses. Si el interés es de 2.8% convertible mensualmente, ¿cuál es el valor de lospagos que faltan,


a) Exactamente antes de realizar el quinto pago?6) Exactamente antes de hacer el decimoquinto pago?c) Si después de hacer cinco pagos deja de hacer otros cuatro ¿cuánto tendría que pagar al

vencimiento del siguiente pago para ponerse al corriente?9. Se renta un terreno comercial por $5 650 000 anuales anticipados. A 2.7% convertible men-

sualmente, ¿cuál es la renta mensual anticipada equivalente?10. El tres de marzo se adquirió una máquina de escribir que tenia un precio de contado de

$2 350 000, y se acordó pagarla mediante abonos bimestrales comenzando en el momentode la adquisición, y para terminar el 3 de enero del año siguiente. Considerando intereses a23.6% convertible bimestralmente, ¿de cuánto fueron los pagos?

11. ¿Con qué depósito semestral anticipado se acumula un monto de $35 000000 justamenteantes de realizar el décimo, si se consideran intereses a 25% semestral?

12. El 14 de enero Montserrat contrató un préstamo por $5 000 000 que convino en liquidar me-diante abonos mensuales anticipados de $541 085, comenzando en el momento de realizar laoperación. Si el interés convenido fue de 1.8% mensual, ¿en qué fecha terminará de pagar?

13. Con un pago de 581 789, real izado el 27 de octubre, se termina de pagar una deuda que teniaun valor de $5 550 000 en su fecha-de vencimiento, el 27 de noviembre siguiente. Si la ope-ración se realizó al 3.9% mensual, y se hicieron pagos iguales mensuales anticipados, ¿en

*qué fecha se realizó el primero de ellos?14. Para comprar un abrigo que cuesta $7 995 000 de contado se ofrece el siguiente plan de

crédito: hacer siete pagos mensuales de $1 270000 a partir del momento de la compra.¿Qué interés se carga en la operación?

15. Se ofrecen en venta casas a crédito que se entregan un año después de hecha la solicitud.En el momento de la entrega se debe pagar un enganche de $22 500000. Si la compañíaacepta recibir a cambio del enganche 12 mensualidades anticipadas de $2 327 569, ¿qué ti-po de interés anual convertible mensualmente es el que paga la compañía?

6

Anualidades diferidas

OBJETIVOS:


• Definir y explicar qué es una anualidad diferida• Identificar y planear operaciones que puedan resolverse mediante los métodos de las anuali-

dades diferidas• Planear y resolver problemas de anualidades diferidas que impliquen el cálculo de

— Monto— Valor actual- Renta— Plazo e— Interés

• Planear y resolver problemas de anualidades diferidas que impliquen operaciones equiva-lentes.

TEMARIO:

6.1 INTRODUCCIÓN



6.4 RESUMEN

6.1 INTRODUCCIÓN

Ya se han revisado los casos de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas ylas anticipadas en los capítulos 4 y 5. En éste se analizan las anualidades diferidas.

Al igual que en el capitulo anterior, se reduce el análisis a las anualidades simples y ciertas,ya que sus contrapartes, los casos generales y contingentes, son materia de otros capítulos.

Tal como se vio al presentar la clasificación de las anualidades, las diferidas surgen delcriterio de clasificación referente al momento que se inician los pagos o abonos:

173


Las anualidades diferidas son aquellas en las que el inicio de los cobros o depósitos sepospone para un periodo posterior al de la formalización de la operación. Al igual que conlas anualidades anticipadas, tampoco se requieren nuevas fórmulas, ya que se manejan con lasmismas expresiones que se han venido utilizando y que se obtuvieron para las anualidadessimples, ciertas, vencidas e inmediatas. Sólo es necesario hacer las modificaciones pertinen-tes para tornar en consideración la posposición en el inicio de los pagos o depósitos.


Ilustremos estos conceptos a través de los siguientes ejemplos:

Ejemplo 6.2.1 En octubre, un almacén ofrece al público un plan de venta de "Compre ahora ypague después". Con este plan, el arquitecto Servín adquiere un escritorio, que recibe el 1o. denoviembre, y que debe pagar mediante 12 mensualidades de $180 000 a partir del primero de ene-ro del año siguiente. Si se considera el interés al 36% anual convertible mensualmente, ¿cuál esel valor de contado del mueble?

Solución:*

Nov 1 Dic 1 Ene 1 Feb 1 Nov 1 Dic 1

180000 180000 180000 180000

El pago se pospone durante un periodo. Si consideramos sólo los doce pagos (de enero a di- Áciembre del año siguiente). ¡

C = R 1-ti +0- = 180000 1-(1+0.36/12)-" = 1 -(1.03)-/ 0.36/12 0.03

C = 180000(9.954004) - $1 791 721

1 791 721 sería el valor al primero de diciembre ya que se calculó el valor actual de una anuaíi- !

dad vencida (la fórmula de siempre) durante doce periodos, y el inicio del primero de ellos es,precisamente, el primero de diciembre. Lo único que resta hacer es calcular el valor actual de1 791 721 en un mes atrás, que es cuando el comprador recibió el escritorio.

C - 1 791 721 (1.03)-1 = 1 791 721 (0.970874)C = 1 739 535 y, en resumen:

i fi rni ~12C = 180 000 ^^^ (1.03) ~1

C = 180 000 (9.954004) (0.970874)C - $1 739535

Anualidades diferidas 175

Como puede verse en este ejemplo y los restantes del capitulo, en el caso de las anualidadesdiferidas lo que se hace es encontrar el valor actual (o monto) de la anualidad vencida e inmedia-ta correspondiente (1 791 721 en este caso) y luego trasladarla tantos periodos hacia atrás comosea necesario. Y esto es, en otras palabras, el planeamiento de la ecuación de equivalencia apro-piada.

Ejemplo 6.2.2 Calcular el valor actual de una renta semestral de $6 000 000 durante 7 años, si elprimer pago semestral se realiza dentro de 3 años y el interés es del 17% semestral.

Solución;

Hoy 1 2 3 4 5 6 7 17 18 19

6 000 6 000 6 000 6 000 '6 000

Aunque ya hemos señalado y apreciado su importancia, conviene aquí enfatizar la utilidadde los diagramas de tiempo y valor para representar las características de las situaciones que seanalizan, ya que en este ejemplo hubiera sido fácil caer en la conclusión de que el último pagoseria en la fecha 20 y no la 19, como se ve en la gráfica: "Durante 7 años" equivale a "para 14 se-mestres" y 14 pagos semestrales que se inician al final del sexto periodo {"dentro de 3 años") termi-narán con el pago realizado al final del periodo 19 (para verif icar esto se sugiere contar los pagosuno por uno). Entonces,

1 _ (i 17i —14C - 6000- ^-^ (1.17)-5

0.17

C = 6000(5.229299) (0.456111)

C - 14310850

Obsérvese también que aun cuando se hacen 14 pagos de $6 000 000 su valor actual es sóloligeramente superior al de dos de ellos (14 310 850) por la elevada tasa de interés y el prolongadoplazo.

Ejemplo 6.2.3 ¿Cuál es el monto de la anualidad planteada en el ejemplo 6.2.2? En forma gráficade nuevo:

1 2 3 4 5 6 1 8 1 9

l i l i l í | |

b 000 6000 6 000


El monto se puede calcular como el de una anualidad vencida, y en este caso la posposiciónen realidad ya no tiene efecto sobre el comportamiento de la anualidad. Por ello, la considera-ción de si la anualidad es diferida o inmediata carece de interés cuando lo que se requiere deter-minar es el monto:

M

M = 6000(1.17)

0.17= 6000 (47.102672)

M = 282616030

y, ya que conocemos el valor actual de la operación, se puede también calcular el monto comoel valor a futuro del valor actual, o:

M = $14310850 (1.17)19 = 14310850(19.748375)M = $282614959

\a pequeña diferencia se debe al redondeo)

Ejemplo 6.2.4 El 12 de enero un deudor acuerda pagar su deuda mediante 8 pagos mensuales de$350 000, haciendo el primero el 12 de julio del mismo año. Si después de realizar el quinto pagodeja de hacer 2 pagos ¿qué pago único deberá hacer al vencer el último pago pactado original-mente para saldar completamente su deuda, si el interés se calcula al 43.96% con capitalizaciónmensual?

Solución: *

12 ení> 12 jul 12 ago 12 sep 12 oct 12 nov 12 dic 12 ene 12 feb

Lo pailado

350 000 350 000 350 000 350 000 350 000 350 000 350 000 350 000Lo sucedido

350000 350000 350000 350000 350000 - - ?

0.4396 nn,,,/ — — 0.0366

12

El monto de su deuda al 12 de febrero seria:

M = 3500000.0366

- 350000 (9.103349)

= $3186172


El valor de lo que en realidad pagó, también al 12 de febrero, seria:

M = 3500QO(1°366)3 1(1.0366}30.0366

= 350 000 (5. 379642) (1-113868)

M = $2097273

Por lo tanto, lo que debe pagar el 12 de febrero para saldar su deuda es:

3 1 86 1 72 - 2 097 273 = $1 088 899

y, resumiendo en la ecuación de valores equivalentes correspondiente, si denotamos por x el pagoque se debe hacer:

00366- .350 000

\6

(1 0366)' = 1088 899

El valor de la deuda menos el valor de lo pagado al 12 dea su vencimiento febrero, inmediatamente

{12 de febrero del antes de hacer elsegundo año) pago final

6.3 RENTA, PLAZO E INTERÉS* * f

Ejemplo 6.3.1 El 14 de mayo del año 1 se depositaron $10000000 en un fondo de inversionescon el objeto de retirar 10 mensualidades a partir del 14 de febrero del año 3. Si los intereses quegana la inversión son del 27.48% capitalizable cada mes, hallar el valor de las mensualidadesque se podrán retirar.

Solución:

i = 0.2748/12 - 0.0229

J-V-1 14-VI-lI 2

14-XII-2 14-1-3 14-11-3 14-111-38 9 10

14-IX-3 14-X-3 14-XI-3


La ecuación de equivalencia seria:

1 - (1.0229)-™10000000 * X

s.

En donde (1) nos daría el valor actual de una renta vencida al 14 de enero del año 3, y estacantidad multiplicada por (2) nos daría el valor actual al 14 de mayo del año 1, que es cuando sehizo el depósito. Obsérvese que esta expresión es equivalente a:

10 000(1.0229)30 = X\ /

1 - (1.Q229)-10

0.0229

En donde el primer término nos da el valor de la inversión al 14 de enero del año 3, y algebrai-camente esta última expresión se obtiene multiplicando ambos términos de la primera expresiónpor (1.0229)20. {Para el segundo término, (1.0229)-2Ü(1.0229)20 = (1.0229)° = 1)y,

I fl 099Q1 -1010 000(1.0229)¿ü = X -

0.0229

10000 (1.572764) = X (8.847804) y

X =10000 (1.572764)

8.847804- $1 777 576

Ejemplo 6.3.2 El valor de contado de una mesa de billar es de $12 000 000. Se puede adquirir acrédito mediante 6 pagos bimestrales, el primero de los cuales debe realizarse 6 meses despuésde la adquisición. Si el interés que se carga es de 8% bimestral, ¿de cuánto deben ser los pagos?* , *

Solución:

5 6 8 bimestres

12 000 ÜOO C

12000 = C (1.08)-2 - X1 - (1.08)

0.08


1 2 000 (1 .08)2 es el monto al término del segundo bimestre. Esta cantidad equivale al valor actualde los pagos bimestrales, planteados éstos como una anualidad vencida.

12000(1.1664) = X (4.622880)

12000(1.1664)

4.622880

Planteado de la otra manera

o 1

\0 = (1.08)1 - (1.08)

0.08

12000 = (0.857339)| X (4.622880)

X =12000 12 000

= $3 027 723(0.857339) (4.622880) ' 3.963375'

Ejemplo 6.3.3 Si se depositan hoy $8 000 000 en una cuenta de inversiones que paga el 26% ca-pitalizable mensualmente, ¿cuántos retiros mensuales de $500 000 se podrán hacer comenzandodentro de seis meses?

Solución:

i = 0,26/12 = 0.0217

8 000 000 500 000 500 000 500000


Primero se calcula el valor del depósito inicial al final del quinto mes,

8 000 000 (1.0217)5 = 8 906 498

y ahora podemos plantear una anualidad vencida:

8 906 498 = 500 000 1 ~ O-0217)0.0217

8906498(0-0217] _ 1 = _

500 000

- 0.613458 = - (1.0217)-"

(1.0217)-" = 0.613458

- n Ln (1.0217) = Ln (0.613458)

Ln (0.613458) - 0.488644n — — — — — ¿¿./o

Ln (1.0217) 0.021468

*

La respuesta matemática seria entonces 22.76 retiros, y en la práctica lo que se puede hacer

es, como se ha visto antes:

«) Retirar 22 mensualidades de $500 000 y una vigesimotercera de:

IÍ1 0717122 1

8 906 498 (1.0217)22 - 500 000 l ' \)

x = (14283072 - 13 909 417) (1.0217)

x = (373 655) (1.0217) = $381 763

b) Retirar 21 mensualidades de $500000 y una vigesimosegunda de:

(1.0217)21 - 18 906 498 (1.0217)21 - 500000

= 13979712 - 13124613 = $855099

0.0217

Ejemplo 6.3.4 Pedro Páramo contrae hoy una deuda por $10075 000, que debe pagar mediante unabono de $3 000 000 dentro de 3 meses y, después, tantos pagos mensuales de $725 000 comosean necesarios hasta saldar el total, y comenzando dentro de 6 meses. Si el interés al que se con-trató el préstamo es del 37.68% capitalizable mensualmente, ¿cuántos pagos mensuales debeharer?hacer?

Solución:

i = 0.3768/12 - 0.0314


hoy 1 2 3

3000 725 725 725

El valor de la deuda al momento de hacer el pago de $3 000 000:

10 075 000 (1.0314)3 - 3 000 000 =11 054178 - 3000000 = 8054178

El valor de este saldo de la deuda al quinto mes es, para considerarlo como el valor actual de lasn mensualidades de $725 000

$8 054 178 (1.0314)2 = $ 8 567 921

V para calcular el número de pagos:

8 567 921 = 725 0001 - (1.0314)-"

0.0314

8567921 (0.0314)725 000

- (1.0314}-"

(1.0314)-" = 0.628920

- n log (1.0314) = log 0.628920

n — —log 0.628920 _ _ - 0.201418

log 1.0314 0.013428

n - 15

Ejemplo 6.3.5 SÍ para pagar una deuda de $2 500 000 se hacen 5 pagos mensuales de $700 000comenzando ocho meses después de formalizar la operación ¿cuál fue la tasa de interés que secobró?


Solución:

O 1 7 8 9 10 11 12

2 500 000 700 000 700 000 700 000 700 000 700 000

2 500000(1 + i ) 7 = 7000001 + (1 + ir l -5

— 5~ (1 + /)

/(I + i)7 •

2 500 000700 000

= 3.571429

y, al igual que hicimos antes con las anualidades vencidas e inmediatas, debemos ensayar valores de

en — - -i ( 1 + / ) 7

para encontrar dos entre los cuales se encuentra 3.571429, y después aproxi-

mar /' mediante una interpolación lineal:

1 - (1 + /)-5: rj-— es igual a

Si / = 0.05/ = 0.04i = 0.03/ = 0.035í = 0.034

y para interpolar entre estos dos valores

0,034

3.583026 3.571429

= 3.076878= 3.383019- 3.723721= 3.548790= 3.583026

0.035

3.548790

/ - 0,034 = 3.571429 - 3.583026

0.035 - 0.034 3.548790 - 3.583026

0,034

0.001- 0.338737

/ - 0.034 + 0.338737(0.001)í = 0.034339


Comprobando:

2 500 000 (1.034339)7 = 700 0001 - (1.034339) -5

0.034339

3166500 3166464

Por ío tanto, el interés fue del 3.43% mensual, aproximadamente.

Ejemplo 6.3.6 El 3 de marzo, el Sr. Copoya adquirió un departamento en condominio por el cualdebía pagar, aparte de cierta cantidad semestral, un enganche de $45 000 000. Para pagar éste elvendedor le ofreció recibir $15 000000 en aquella fecha, al momento de entregar el inmueble, ydespués otros 3 pagos mensuales de $11 000 000, a partir del 3 de junio del mismo año. ¿cuál fueel interés anual capitalizable mensualmente que pagó el Sr. Copoya?

Solución:

3 mar

45000•15000

30000

3 abr 3 may 3 jun 3 jul 3 ago

11 000 11 000 11 000

30000

11 000

Ensayando valores,

i - (i +/r3

30000(1 + i ) 2 = 11 000

1 -(1 + i)-3

1 - (1 + O—3

/ (1 + O22.727272

1 — U.UJ

/ (1 + /)/ = 0.025/' = 0.020i = 0.024/ = 0.0245

2 - Z.DbG^J/

= 2.718404= 2.771898= 2.728996= 2.723693

Interpolando

0.024 0.0245

2.728996 2 727272 2.723693


i - 0.024 2.727272 - 2.728996

0.0245 - 0.024 2.723693 - 2.728996

/ - 0.0240.0005

= 0.325099

/ = 0.024 + 0.325099 (0.0005)

/ = 0.024163

Comprobando

30 000 000 (1.024163)2 = 11 0000002 - «««««« -O .024163)0.024163

31 467 265 * 31 466 593

Por lo tanto/el interés que se pagó fue del

0.024163 (12) = 0.289956

*29% ar-udl capitalizable cada mes, aproximadamente.


1. Explique qué es una mensualidad simple, cierta, vencida y diferida.2. Dé un ejemplo de una anualidad simple, cierta, vencida y diferida.3. Una persona que cumple hoy 33 años desea depositar en una inversión, que rinde el 18%

*" y anual capitalizable mensualmente, una cantidad que le permita recibir $1 000 000 mensua-les durante 20 años, a partir del día en que cumpla 40 años, ¿cuánto debe depositar?

4. ¿A qué cantidad anual pagada por anticipado equivalen 3 pagos bimestrales de $200 000 rea-lizados al principio de cada uno de los últimos tres bimestres del año si el interés es del34% anual capitalizable bimestralmente?

5. El 2 de mayo del año 1 se depositan $500 000, y a partir del 2 de noviembre del año 3 y hastael 2 de mayo del año 5 se depositan cada 6 meses $800 000, en una cuenta que abona el18% semestral, ¿cuánto se habrá acumulado al 2 de noviembre del año 10?

6. ¿Qué cantidad pagada durante cada uno de 5 trimestres es equivalente a $5 000 000 paga-dos 21 meses anfes de realizar el primer pago trimestral, si el interés es del 31.9% capitali-zable trimestralmente?

7. ¿Qué cantidad pagada durante cada uno de 5 trimestres es equivalente a $5 000 000 paga-dos 21 meses después de realizar el primer pago trimestral, si el interés es del 31.9% capita-lizable trimestralmente?

8. ¿Qué relación existe entre las respuestas a los dos problemas anteriores?9. Un comerciante va a invertir $10 000 000 en un lote de suéteres. La compra la va a hacer el

21 de abril y tiene un contrato para vender la mercancía el 21 de diciembre del mismo año,y cobrar mediante tres pagos bimestrales iguales, el primero el día de la venta. Si desea ga-nar un 7.5% bimestral sobre su inversión, ¿de qué cantidad deben ser los pagos?


10. Para el problema 9 encuentre el valor de la utilidad del comerciante al momento de hacerla venta,

11. Un automóvil que vale $29 500000 se vende mediante un enganche del 50% y el saldo me-diante abonos mensuales de $850000 comenzando seis meses después de la compra. Sí elinterés es del 40% capitalizable mensualmente, ¿cuántos abonos mensuales deben hacer-se? Señale la solución matemática y la solución práctica.

12. ¿Cuántos depósitos de $250 000 realizados al principio de cada semestre son equivalentes aun monto de $3 574 771 que se retira 3 semestres después de realizado el último depósito,si el interés es del 20% semestral?

13. Una persona debe pagar $1 1 000 000 dentro de 6 meses. ¿Con cuántos pagos bimestrales de$2 187 632 podría liquidar su adeudo si el interés es del 1976% convertible cada dos meses,y realiza el primer pago dentro de 12 meses?

14. Para pagar $6 000 000 que vencían el 14 de julio, el señor Martínez abona 5 mensualidadesde $1 349 431, realizando la última el 14 de enero del siguiente año. ¿Cuánto pagó de inte-rés mensual?

15. ¿Cuál de las dos siguientes operaciones fue contratada con una tasa efectiva anual más al-ta, si se trata de una deuda de $3 500 000 contraída hoy.a) Pagar 15 mensualidades de $295 000 comenzando dentro de 6 meses?b] Pagar 8 abonos bimestrales de $540 000, comenzando dentro de 6 meses?

16. Se obtiene un préstamo refaccionario por $50 millones para la adquisición de maquinaria.¿Cuál es el importe de cada uno de los pagos mensuales si el plazo de pago es de 3 años y elbanco concede 6 meses de gracia en el pago de interés y capital? La tasa de interés es de48.29% convertible mensualmente.

o.4 RESUMEN

En este capítulo se revisaron las anualidades diferijdas, que son aquellas en las que se posponeel inicio de los cobros o depósitos para un periodo posterior al de la formalización del trato.

Este tipo de anualidades pueden resolverse utilizando las mismas fórmulas ya conocidasde las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas, simplemente haciendo las modifi-caciones necesarias para considerar la posposición de los pagos. Esto da lugar al plantea-miento de una ecuación de equivalencia apropiada.

Se observó que en el cálculo del monto, la posposición o diferimiento de las rentas notiene efecto sobre el comportamiento de la anualidad, y que se puede determinar en formadirecta con la fórmula del monto de las anualidades simples, ciertas, ordinarias y vencidas.

COMPROBACIÓN DEL CAPÍTULO 6

Habiendo estudiado el capítulo, el lector debe ser capaz de:

• Identificar y explicar las características distintivas de las anualidades diferidas.• Identificar y plantear situaciones que puedan representarse mediante anualidades di-

feridas.


• Resolver ejemplos de aplicación de este tipo de anualidades y que impliquen elcálculo de:— Monto— Valor actual o capital— Renta

" — Plazo e— Interés


• Anualidades diferidas.


1. ¿En qué se diferencian las anualidades diferidas de las anticipadas?2.« Dé un ejemplo de una anualidad simple, cierta y

a) Vencida e inmediatab) Diferidac) Anticipada¿Por qué es posible utilizar las fórmulas de las anualidades simples, ciertas, vencidas e in-mediatas para resolver problemas de anualidades diferidas?¿Cuál es el valor actual de una serie de 12 pagos trimestrales de $500 000, el primero dentrode 9 meses, si el interés es del 48% convertible trimestralmente?Se hace hoy un depósito de $5 000 000, y dentro de 1 año se comienzan a hacer pagos men-suales de $1 000 000 durante un semestre, ¿cuál será el monto de lo invertido dos años des-pués de hecho el depósito inicial si se calculan los intereses al 3.33% mensual?Se adquiere un automóvil mediante un enganche de $15 000000, 10 pagos bimestrales de$1 326 323 comenzando dentro de ocho meses, y realizando un pago final de $7 016 984dentro de dos años y medio. ¿Cuál es el valor de contado del automóvil si se realiza la com-pra con intereses al 42% capitalizable mensualmente?La Comercial, S.A., contrae hoy una deuda que debe pagar mediante 4 pagos semestralesde $2 000000 comenzando dentro de un año, al 18% capitalizable semestralmente. Si desealiquidar su deuda mediante un solo pago realizado dentro de 4 años, ¿qué cantidad debepagar?¿Cuál de las dos siguientes operaciones arroja un valor actual más elevado?a] Una serie de 12 pagos mensuales de $1 000 000 comenzando dentro de 8 meses, al 3%

mensual.b) Un conjunto de 7 pagos bimestrales de $1 800 000 comenzando dentro de 4 meses, al

6% bimestral.El 4 de enero se depositan $3 000 000 en una cuenta de inversiones. A partir del 4 de marzodel mismo año se comienzan a hacer depósitos bimestrales de $650 000, realizando el últi-mo el 4 de noviembre del mismo año. Si la inversión rinde el 27% anual convertible men-sualmente, ¿cuánto se habrá acumulado el 4 de abril del año siguiente?


10. ¿Con qué cantidad pagada cada mes durante un año, comenzando dentro de seis meses, sepuede liquidar una deuda de $6 000 000 contraída el día de hoy, si el interés es del 3.83%

, -N mensual?11/ El licenciado Márquez debe pagar dentro de 12 meses la anualidad.de un inmueble que adqui-

rió a crédito. Su importe es de $8 500 000. Decide hacer 3 depósitos bimestrales, el primero* de ellos dentro de 2 meses, para pagar con lo que se acumule. Si puede colocar sus depósi-

tos al 22% semestral capitalizable bimestralmente, ¿de cuánto deben ser sus depósitos?12. Al jubilarse, un empleado puede optar por recibir $55 000 000 un año antes de su jubilación,

o recibir 24 mensualidades comenzando al momento de jubilarse. Sí se calcula el interés al/7 \ 28% convertible mensualmente, ¿de cuánto serían las mensualidades que recibiría?13. Si se comienzan a hacer depósitos de $750 000 trimestrales dentro de 6 meses y hasta acu-

mular $13 879 176 con interés al 30.30% con capitalización trimestral, ¿cuántos depósitosse realizaron?

14. La doctora Neri debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $4 000 000. Si acuerda con suacreedor pagar su deuda mediante abonos bimestrales de $700 000 comenzando dentro de10 meses, ¿cuántos pagos bimestrales de esa cantidad tendría que hacer, y qué pago finalmenor debe hacer para saldar su obligación, si el interés es del 19.6% capitalizable bi-mestralmente?

15. En la compra de un refrigerador que tiene un precio de contado de $2 250 000 se pagan750000 de enganche y el saldo con mensualidades de $120 543 comenzando dentro de 6meses. Si el interés es del 31.72% capitalizable cada mes, y se compra el aparato el 15 de

-, octubre del año 1, ¿en qué fecha se termina de pagar?16; Una persona invierte hoy $30 000 000 en un negocio que le pagará 8 abonos semestrales de

$13 500 000 comenzando dentro de 2 años, ¿qué rendimiento anual efectivo tuvo la inver-sión?

17. ¿A qué interés nominal anual convertible mensualmeníe tendrían que colocarse 10 abonosanticipados mensuales de $2 000 000 para que produzcan un monto de $30 000000, exacta-mente 12 meses después de colocar el yltimo abono?

18. Un agricultor solicita un préstamo de avío para la compra de fertilizantes. El banco le otor-ga $60 000 000 a pagar en doce meses con un período de tres meses de gracia. ¿Cuál será elimporte de las mensualidades si la tasa de interés es igual al C.P.P. (Costo Porcentual Pro-medio) más 6 puntos?

El caso general de anualidades

OBJETIVOS:


• Definir y explicar las anualidades— Generales, ciertas, vencidas e inmediatas— Generales y diferidas— Generales y anticipadas

• Plantear e identificar situaciones que se ajustan a esos tipos de anualidades• Resolver problemas que caigan en esas categorías, encontrando, según sea necesario:

— Monto— Valor actual— Plazo— Renta o

Tasa de interés»Mediante el método de la:

— Tasa equivalente o el de la— Renta equivalente

TEMARIO

7.1 INTRODUCCIÓN


7.3 RENTA

7.4 TASA DE INTERÉS Y PLAZO

7.5 ANUALIDADES GENERALES ANTICIPADAS

7.6 ANUALIDADES GENERALES DIFERIDAS

7.7 RESUMEN

189

.

190 Mafemát/cas financieras

7.1 INTRODUCCIÓN

Como se mencionó en un capítulo anterior, las anualidades generales son aquellas en las queel periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización.

Ejemplo 7.1.1 Al contraer una deuda de $100 000 una persona acuerda hacer 6 pagos bimestra-les vencidos de x cantidad, comenzando dos meses después y con intereses del 30% anual capi-talizable mensualmente.

Análisis:

En este caso, el periodo de pago tiene una duración de 2 meses, ya que se especifica que lospagos se harán bimestral mente.

Por otro lado, se anota que el interés es capitalizable mensualmente y, como resulta obvio,el periodo de capitalización es de un mes. Dado que los periodos de pago y de capitalización sondistintos, este ejemplo ilustra el caso de una anualidad general. Ya hemos visto en capítulos ante-riores todos los casos de las anualidades, exceptuando las generales y las contingentes. Como es-te tipo se analiza en un capitulo posterior, en éste se revisan entonces las anualidades generales,ciertas, vencidas e inmediatas, primordialmente.

Los casos diferido y anticipado de las anualidades generales se pueden resolver combinandolos métodos de los capítulos anteriores y los que se presentan aquí. Por ello, sólo para efectos deilustración se presentan algunos ejemplos de estos casos en la última sección de este capítulo.Dada su importancia, vale la pena señalar desde este momento que:

• La forma más sencilla de resolver las anualidades generales es modificarlas para que se ajus-ten al caso simple, y luego utilizar las fórmulas ya conocidas de éstas para encontrar los valo-res deseados.

• -Existen dos principales maneras de convertir anualidades generales en anualidades simples:

1. Encontrando la tasa de interés equivalente y2. Encontrando la renta, o pago periódico, equivalente

• Hay dos casos de anualidades generales:

1. El periodo de pago es más largo que el periodo de capitalización, o al revés,2. El periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago

Abundaremos sobre estos importantes señalamientos en las secciones restantes del capítulo.


Se utiliza un ejemplo sencillo para ilustrar los dos métodos más comunes para resolveranualidades generales.

Caso 1. El periodo de pago es más prolongado que el de capitalización.

Ejemplo 7.2.1 Encontrar el monto de un conjunto de 4 pagos trimestrales de $50 000, si el interéses del 36% anual convertible mensualmente.

El caso genera! de anualidades 191

Solución:

En primer lugar conviene auxiliarse de un diagrama para apreciar mejor las circunstancias:

$50 000 $50 000 $50 000 $50 000

1 2 3 4

M = ?

R = $50000n = 4 trimestres/ = 0.36/12 = 0.03 mensual

Nótese que las rentas se consideran vencidas (al final de cada periodo de pago) ya que, comose mencionó en la introducción, nos ocuparemos de anualidades vencidas.

También, como el periodo de pago es de tres meses y el de interés es de un mes, tenemos uncaso de anualidad general con periodo de pago más largo que el de capitalización y utilizaremoslos dos*métodos mencionados para resolverla:

a) Encontrando la tasa de interés equivalente

Como puede verse en la gráfica anterior, en cada uno de los trimestres hay tres periodos de capi-talización. Si consideramos un solo trimestre tendríamos que encontrar la tas_a trimestral efecti-va que es equivalente a una tasa mensual efectiva del 3.0%. Este procedimiento ya se vio en elcapítulo sobre interés compuesto, y sería:

* . 4

i' - d + Op-1 (7.1)

/ ' - (1.03)3 - 1.092727 - 1 = 0.092727

donde

/' = la tasa efectiva por periodo de la anualidad general; en este caso es la tasa efectiva trimes-tral (0.092727)

p = número de periodos de interés por periodo de pago; 3 en este caso.

Ahora, habiendo obtenido la tasa efectiva por trimestre, hemos convertido la anualidad gene-ral en una simple, con:

K - 50000n - 4M - ?

'' = 0.092727

\2 Matemáticas financieras

y se resuelve aplicando la fórmula conocida del monto para una anualidad simple:

M » R—í-í. — (7.2)

fl 09972714 —1M = 50000 l u^¿/¿/J L= 50000(4.591552)0.092727

M - $229 578

b) Encontrando ¡a renta equivalente

Haciendo referencia de nuevo al diagrama, ilustramos enseguida un solo trimestre;

$50 000I Il i l io i

R' R'

Como se planteó el interés capitalizable cada mes, tendríamos que encontrar la renta men-sual durante tres meses que fuera equivalente a una renta trimestral de $50 000 y, como puede\terse en la gráfica anterior, esto no es otra cosa que una anualidad simple con:

M — 50 000 (la renta de uno de los periodos de la anualidad general)/ - 0.03P - 3R' m ?

y, aplicando de nuevo la fórmula ya conocida:

(1 + /)" - 1M = R pero con la nueva simbología:

í

M = R' (7.3!i

donde

R' es la renta mensual equivalente a una renta trimestral de $50 000.Entonces:

50000 = R' (1'Q3) ~1 = R' (3.090900)0.03

El caso general de anualidades 193

R' =50000

= $16176.523.090900

Ahora, se determina el monto de estas rentas equivalentes para el plazo completo de la anualidad:

M *= ?R = 16176.52n — 4 trimestres por 3 meses cada uno — 12' = 0.03

M = 16176.520.03

- 16176.52 (14.192029)

M = $229578

Que es el mismo resultado que se obtuvo mediante el otro método.

Caso 2. El periodo de pago más corto que el de capitalización:

Ejentplo 2.2 Encontrar el monto de un conjunto de 10 depósitos mensuales de $250 000, si el inte-rés que se gana es del 30% convertible semestralmente. '

Solución:

Créticamente:

R - $250 0 0 0 R R R R K R R R R

O 1 10 11 12

VA

f = 0.30/2 = 0.15

Vi = 0.15

En la gráfica se aprecia más claramente que el periodo de capitalización (6 meses) es máslargo que el pago (1 mes). Ahora, para resolverlo mediante los dos métodos empleados antes:

a) Encontrando ¡a tasa de interés equivalente

Como las rentas son mensuales, es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente al15% semestral también efectivo:

(1 + i)b = 1.151 + ,= Lis1*


/ = 1.151'6- 1/= 0.023567

y, el monto de la anualidad:

M =- ?R - 250000

i — 0.023567 (mensual efectivo)n = 10

n n^sfi?!10 — 1M = 2 5 0 0 0 0 I J - -= 250000(11.129991)

0.023567

M = $2 782 498 y

b) Encontrando ¡a renta equivalente

En este caso se determina la renta que coincide con el periodo de capitalización de 6 meses;viendcvla gráfica, se puede apreciar que esa renta es el monto de las rentas mensuales por se-mestre:

R' = 250000 d.023567)6 -1 = 250000(6.364813)0.023567

R* = 1 591 203

y, para el plazo total de la operación:

R = 1 591 203n — 10 meses — 10/6 semestres — 1.666667i = 0.15 semestral

M -i c^l. 66666667 _ -iM - 1 591 203 - -^ - • - = (1-748676)

0.15

M = 2 782 499

que es prácticamente igual al resultado anterior.Ahora unos ejemplos de cálculo del valor actual.

Ejemplo 7.2.3 Calcular el valor actual de la anualidad del ejemplo 7.2.1.Reproducimos aquí el diagrama correspondiente:

$50 000 $50 000 $50 000 $50 000

£/ caso general de anualidades 195

Solución:f

C = ?R - $50000n — 4 trimestres/•= 0.36/12 = 0.03 mensual.

a) Encontrando la tasa equivalente por trimestre:

¡' = 0.092727

La fórmula correspondiente sería:

C1 -(1 + /')-"

. 1 - 0 + i')'*C = R = 50 000 1 —

0.092727

= 50000 (3.220423) - $161 021

Además, habiendo ya encontrado el monto en el ejemplo 7.2.1 se puede utilizar ese valorpara veri f icar el que acabamos de encontrar, ya que:

M= C(1 + /T= 161 021 (1.092727)4 - 161 021 (1.425761)

M= $229578

que es el mismo valor encontrado antes. Ademá's:

b) Encontrando la renta equivalente por mes:

ya se encontró en el ejemplo 7.2.1 que;

R' - 16176.52

y, el valor actual:

= 16176.521 (1.03)-" _

0.03= 16176.52 (9.954004)

= $161 021

que es el mismo valor encontrado antes.

En este punto, conviene enfatizar que para resolver anualidades generales lo importanteconsiste en:


a] Encontrar la tasa equivalente o,

b) Encontrar ¡a renta equivalente

y después utilizar este valor para plantear una anualidad simple, también equivalente. Sabiendoqué cualquiera de los dos métodos arroja el mismo resultado, la decisión de cuál de ellos seguirdepende sólo de cuál le resulte más cómodo al lector.

Ejemplo 7.2.4 ¿Cuál es el monto y el valor actual de un conjunto de 24 pagos bimestrales de$450000 si el interés es del 10% trimestral efectivo? Utilice la tasa equivalente.

Solución.

Se requiere encontrar qué tasa efectiva bimestral es equivalente a la tasa efectiva trimestral:

(1 + / ')3/2 = 1.10

/' = 1.102'3 —1 = 0.065602 efectivamente bimestral

M - 450 000 (1 Q65b02] 4~1 = 450000(54.799548)0.065602

= 24659796t

y el valor presente conociendo el monto:

/ ? C = 24 659 796 (1.065602)-24

= 24 659 796 (.217629)= $5 366 691

o, en forma de anualidad:

C = 450000 1 " t1-0656021 _ = 450000(11.925982)0.065602

- 5366692

que es prácticamente el mismo valor concentrado por el método del monto.

Ejemplo 7.2.5 ¿Qué pago quincenal es equivalente a uno trimestral de $250 000, si el interés esdel-22% capitalizable semestralmente?

Solución:

En primer lugar hay que observar que el 22% capitalizable semestralmente produce el 11%efectivo semestral.

El caso genera/ de anualidades 197

Luego encontrando la tasa quincenal equivalente y considerando que hay 12 quincenas porsemestre: f

(1 + í ')12 = 1.11/' = 1.111' -1 = 0.008735

fy planeando la anualidad simple equivalente

M = R

250000 - R _ =

0.008735

.- R= 25000°-=407666.132555

Enceste caso debe observarse que no sólo eran distintos los periodos de pago y de capitaliza-ción, sino que también se incluía otro periodo de pago diferente a esos dos.

".3 RENTA

*Como ya se había mencionado, también aquí se convierte la anualidad general en otrasimple equivalente, y dado que se busca la renta, entonces se utiliza la tasa equivalente:

Ejemplo 7.3,1 Un empleado adquiere un seguro para su automóvil a través de la póliza grupalde la empresa donde trabaja. Si el valor de contado del seguro es de $775 000, la vigencia de lapóliza es de 1 año, el interés es del 48% capitalizable mensualmente, y va a pagar mediante des-cuentos quincenales por nómina, ¿cuánto es lo que le descontarán cada quincena?

Solución:

Aquí hay que encontrar la tasa quincenal equivalente: El 48% convertible mensualmenteequivale a 48/12 = 4% mensual efectivo, y la tasa quincenal:

(1 + / ' ) 2 = 1.04,' = 1.041/2 -1 = 0.01980390

1-0C = R


Luego encontrando la tasa quincenal equivalente y considerando que hay 12 quincenas porsemestre:

(1 + /')13 - 1.11/ ' - 1.111'12 -1 = 0.008735

fy planeando la anualidad simple equivalente

( !+ / ' ) " -1M = R

250000 = R 0. 008735)* -1 = R (6.132555)0.008735

2 5 0 0 0 0 = 4 0 7 6 66.132555

En éSte caso debe observarse que no sólo eran distintos los periodos de pago y de capitaliza-ción, sino que también se incluía otro periodo de pago diferente a esos dos.

7.3 RENTAt

Como ya se había mencionado, también aquí se convierte la anualidad general en otra? mple equivalente, y dado que se busca la renta, entonces se utiliza la tasa equivalente:

Ejemplo 7.3.1 Un empleado adquiere un seguro para su automóvil a través de la póliza grupalde la empresa donde trabaja. Si el valor de contado del seguro es de $775 000, la vigencia de lapóliza es de 1 año, el interés es del 48% capitalizable mensualmente, y va a pagar mediante des-cuentos quincenales por nómina, ¿cuánto es lo que le descontarán cada quincena?

Solución:

Aqui hay que encontrar la tasa quincenal equivalente: El 48% convertible mensualmenteequivale a 48/12 = 4% mensual efectivo, y la tasa quincenal:

(I + ./')2 = 1.04

,' = 1.041/2 -1 = 0.01980390

y:

C = R

198 Maíemáíícas financieras

775 000 = R — - - - = R (18.9560092)0.01980390

77500018.9560092

Ejemplo 7.3.2 Un trabajador desea ahorrar $1 5 000 000 en los próximos dos años. Si puede hacer

depósitos semanales en una cuenta que paga el 3-5% mensual efectivo, ¿cuánto debe depositar

cada semana, si se consideran 48 (12 x 4) semanas al año?

Solución:

(1 + í')4 = 1-035¡' = 1.0351'4 -1 = 0.008637

Y,

M = 1 5 000 000R = ?

n = 96

/' = 0.008637

(1 008637196 —11 5 000 000 = R - l J - - - R (1 48.577300)

15000000148.577300

Ejemplo 7.3.3 Para la compra de un automóvil que cuesta $37250000 se ofrece el siguienteplan:

— Enganche del 45% del precio de compra— 36 meses de plazo— 9.65% efectivo trimestral de interés

¿De cuánto tendrían que ser los 36 pagos mensuales?

Solución:

La tasa efectiva mensual es:

( 1 +/)3 - 1.0965

/' = 1.09651'3 - 1 = 0.031184

E I caso general de anualidades 199

y el valor actual del adeudo es:

Saldo = precio - enganche = 37250000 - 37 250 000 [0.45)= 37 250 000-16 762 500 = 20 487 500

POF ello, para calcular la renta:

1 _n + /')-" 1 _n 031184)~36C - R— - - U . J - = R— - u •UJ"°^ - = R(21.451588)

/' 0.031184

20487 500 = R (21.451523)

2048750021 .451 588

Ejemplo 7.3.4 El ingeniero Martínez debe hacer 10 pagos bimestrales de $5 650 000, comenzan-do dentro de dos meses. SÍ desea cambiar ese plan de pagos por otro en el que haga 15 pagosmensuales a partir del próximo mes, y se pactan los intereses al 52% anual efectivo, ¿cuál debeser el importe de los pagos mensuales?

*Solución:

• Primero se encuentra el valor actual del antiguo plan de pagos y para hacerlo se calcula latasa equivalente bimestral:

(1 + i')6 = 1.52/ ' = 1.521/b-1 - 0.072277

1-0.072277)-"/' 0.072277

- 5650(6.950226)

C = 39 268 771

• En segundo lugar se determina el valor de los pagos mensuales, para lo cual se calcula la tasamensual equivalente:

(1 + /')" = T 52

/' = 1.521'12 -1 = 0.035508

y, para encontrar la renta:


39 268 771 - R — = K (11.475912)0.035508

7.4 TASA DE ÍNTERES Y PLAZO

Ejemplo 7.4.1 ¿A qué tasa de interés efectiva anual tendrían que hacerse 15 depósitos bimestra-les de 600000 para que arrojen un monto de $11 600000 al momento de hacer el último?

Solución:

M = 11 600 000R= $600000n= 15 bimestres/"= ? (efectiva anual)

Planteamos la anualidad bimestral:

M =

11 600 000 = 600 000

1 + i ) -1 ' 1 1 600000— = M_DUUUUU = 19 333333/ 600 000

y, al igual que en capítulos anteriores, se necesita encontrar el valor de / que haga que la expe-

lí + i ' )15-1sión — — sea igual a 19.33. Para ello, se ensayan valores de /':

/ '

n + •,') 15 _ -iSi /' = 0.050 LLJLU L = 21.578563

/'

/' = 0.045 = 20.784054

/' = 0.040 = 20.023587

/' - 0.035 = 19.295681

/' 0.036 = 19.438727

/' - 0.0355 - 19.367047

V ahora se interpola entre /' — 0.035 e / ' — 0.0355


0.035

19.295681 19.333333

0.0355

19.367047

/ - 0.035

0.0355 - 0.035

/' -0.035

0.0005

19.333333 - 19.295681

19.367047 - 19.295681

- 0.527588

= 0.527588

/' = 0.035 + 0.527588 (0.0005) = 0.035 + 0.0002638/' = 0.0352638

Entonces /' = 0.035264 es la tasa bimestral y para encontrar la tasa efectiva anual:

/ - (1.035264)6 -1 - 0.231136/ = 23.11%

Ejemplo 7.4.2 Se depositan hoy $32 000 000 y se hacen 24 retiros mensuales de $2 000 000 co-menzando al mes siguiente.¿Qué tasa anual capitalízatele semestralmente ganó el depósito?

Solución:

C= 32000000R= 2 000 000n — 24 meses

C = R1-0 + i')

32 000 000 - 2 000 0001-0 + / '

—24

1— (1 + / '-24

32 000 0002 000 000

= 16

Ensayando valores:

1 M _L ¡'1-24Si /' = 0.02 ^ J = 18.913925


/' = 0.025/' = 0.030f' = 0.035/•' - 0.036/' - 0.0355ir = 0.0354/' = 0.03535(' = 0.03530

Interpolando:

= 17.884986= 16.935542= 16.058368=s 15.891021= 15.974369= 15.991116= 15.999500= 16.007890

0.03530 0.03535

16007890 16 15 999500

;' -0.03530 16 - 16.007890

0.03535 - 0.03530

/' - 0.035300.00005

15.999500 - 16.007890

= 0.9404052

/' = 0.03530 + 0.9404052 (0.00005) = 0.0530 + 0.000047/' = 0.035347

Comprobando:

1- (1.Q35347)"24

0.035347= 16

Por lo tanto, la tasa mensual aproximada es 3.53%, y para encontrar la tasa anual capitali-zable semestralmente, encontramos la tasa efectiva semestral:

/ - (1.035347)6 -1 - 0.231730

y la tasa anual capitalizable semestral es:

0.231730(2) = 0.463446

= 46.34% capitalizable semestralmente.

Enseguida unos ejemplos de plazo:

Ejemplo 7.4.3 Si una persona desea acumular $8 500 000 mediante depósitos trimestrales de$595 472 en una cuenta que rinde el 2.5% mensual. ¿Cuántos depósitos debe hacer?


Solución:

En primer lugar encontramos la tasa trimestral equivalente al 4.8% mensual:

/' = 1.0253 -1 = 0.076891 y

8500000 = 595742-(1076891)"-10.076891

076891 ,„ = 3500000(0.076891) 1 =

595 742

n log (1.076891) = log 2.097075

_ log 2.097075 _ 0.321614lofc 1.076891 0.032172

Ejemplo 7.4.4 El arquitecto Méndez debe pagar un préstamo hipotecario que acaba de obtener paraconstruir un edificio de departamentos en condominio. El importe del préstamo es de $350 000 000y lo debe liquidar con pagos mensuales de $27 500 000 comenzando un mes después. Si el interéspactado es del 55% anual efectivo, a) ¿cuántos pagos completos debe hacer? y 6) ¿con qué pagofinal menor, realizado un mes después del último pago completo, liquida totalmente el préstamo?

Solución:* , j

a) Encontramos la tasa mensual equivalente a! 55% efectivo anual:

(1 + /)12 = 1.55

/ = 1.551'12 -1 = 0.0371963

1 -(1.0371963)-"350 000 = 27 5000.0371963

(1.037196)- - 1 - .350000(0.0371963] =

27500

= _ in 0.5265963 (-0.641328) =

Ln 1.0371963 0.0365209

Por lo tanto, debe hacer 17 pagos completos


b) Para encontrar e! valor del último pago:

[Último pago] =Valor (monto) del

préstamo aldecimoctavo mes

-

Valor de los 17pagos al

decimoctavo mes

350 000(1.0371963)18

27 500[1.Q371963]17 -1

0.0371963(1.0371963)

x = 350 000 (1.927344) - 636 206 569 (1.0371963)

675 407 036 - 659 871 090 - $15 535 946

Ejemplo 7.4.5 Para pagar la anualidad de un inmueble, que vence dentro de 9 meses y que es de$7 800 000, la señora Izquierdo decide hacer depósitos de $1 000 000 cada mes en una cuentaque abona el 40% efectivo anual. Si decide hacer depósitos completos y un depósito final mayorpara acumular lo que necesita, a) ¿cuándo debe comenzar a hacer los depósitos? y b) ¿cuál es elValor del último depósito mayor? ,

Solución:

a) La tasa mensual equivalente:

i' = 1.401''12 - 1 = 0.028436

y 7 800 = 1 000

(1.026436)" -

(1. 028436]" - 10.028436

8Q°

n =

1 000

log 1.221801log 1.028436

- 1.221801

0.0870000.012177

= 7.144617

Asi, tendría que hacer siete pagos iguales y uno mayor. Por ello, debe comenzar con el primerodentro de tres meses, como se muestra en la siguiente gráfica:


mes

pago, I

I

b) El valor del último pago: R + x

x = 7 800 000 - 1 000 000.028436)

0.028436

= 7 800 000 - 7 626 276 = 173 724

= 1 000 000 + 173 724 = $1 173 724

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 1 A 4i

1. ¿Cuál es el monto de una renta de $332 000 pagada durante 10 bimestres vencidos, si el inte-rés es del

a) 5.4% trimestral?b) 31% efectivo anual?c) 1.7% mensual?

2. El señor López tiene 2 empleos: en uno gana $570 000 quincenales y en el otro $1 350 000mensuales, ¿cuál es el monto mensual de su sueldo global si se considera el interés al 32%anual con capitalización trimestral?

3. ¿A qué cantidad pagada el día de hoy equivalen 25 pagos quincenales de $280 000 si el inte-rés es del 25% convertible semestralmente?

4. Al comprar una máquina, La Industrial, S.A., paga $10 000 000 de contado y se comprometea hacer 5 pagos de $2 700000 a los 30, 60, 90,120 y 150 días, respectivamente. Si el interéses del 52% convertible quincenalmente, ¿qué precio de contado pagó la empresa?

5. Para liquidar una deuda que contrae el día de hoy, Martín acuerda pagar 15 abonos men-suales de $214 000 y un pago final de $317 337, un mes después del último abono de $214000.Si e¡ interés convenido fue del 39% efectivo anual ¿cuál fue el importe de la deuda?

6. ¿Cuál es la mejor alternativa para adquirir un automóvil?

a) $18 500 000 de contadob) $1 803 512 mensuales durante 12 meses vencidos con interés del 30% efectivo anual.

Explique el porqué de su respuesta de acuerdo a las condiciones económicas actualesdel país.

7. ¿Qué inversión acumula un monto mayor a 2 años:

a) $188000 quincenales vencidos al 27% capitalizable bimestralmente?b) $950000 bimestrales vencidos al 1.125% efectivo quincenal?


8. ¿Qué renta mensual produce un monto de $9 750 000, en cuatro años al 5.1 % bimestral?9. ¿Qué renta bimestral durante 5 años tiene un valor actual de $8 250 000, si se considera el

interés al 1-89% mensual?10. Para pagar un préstamo de $40 000 000, José Luis ofrece hacer abonos quincenales venci-

dos durante 2 años. ¿Qué cantidad debe pagar cada quince días si el interés que le cobranf es del 44% convertible semestralmente?

11. Para comprar una casa en condominio con valor de $80 000 000 se debe pagar un enganchedel 28% mediante 6 pagos mensuales vencidos. ¿Cuál debe ser el importe de los pagos si elinterés es del 50% convertible semestralmente?

12. A un estudiante de maestría se le otorgó una beca-crédito de $900000 mensuales durantedos años. Debe pagar la beca mediante 24 abonos mensuales, comenzando un mes despuésde recibir la última mensualidad de la beca. Si se le cobra interés a razón del 20% anualefectivo, ¿cuánto debe pagar cada mes?

13. ¿Qué cantidad bimestral durante dos años es equivalente a 10 pagos trimestrales de $450000cada uno si el interés es del 38% convertible semestralmente?

14. ¿A qué tasa de interés anual con capitalización mensual, 20 depósitos trimestrales vencidosde $540 000 producen un monto de $20 000 000?

15. Se pagó una deuda de $13 700 000 mediante 6 abonos trimestrales vencidos de $3 202 000.¿Qué interés efectivo anual se pagó?

16. Un fondo de inversiones ofrece pagar $14 311 mensuales de interés por cada millón inverti-do, ¿Qué tasa anual efectiva paga?

17. ¿Cuál de las dos siguientes alternativas de inversión es mejor para un capital de $50000000?

a) Un flujo de 12 pagos trimestrales vencidos de $6 106 343b) Un flujo de 18 pagos bimestrales vencidos de $4 030 340

18. ¿Cuántos pagos de $267 433 quincenales vencidos tendrían que hacerse para amortizar unadeuda de $1 499 000 si el interés es del 4% efectivo mensual?

19. A un empleado le ofrecen liquidarlo en la empresa donde trabaja mediante un pago enefectivo de $35 000 000. Si en vez de aceptar esto desea recibir $1 000 000 mensuales ven-cidos ¿cuántos pagos de este valor debe recibir si se consideran intereses al 36% capitali-zable semestralmente? Calcule el número de pagos y el pago final menor que equivalen ala liquidación en efectivo.

20. ¿De qué manera se acumulan $5 000 000 con mayor rapidez, con interés al 5.3% bimestral?

a) Depositando $1 000 000 el día de hoy, o

b] Depositando $210000 al final de cada trimestre.

7.5 ANUALIDADES GENERALES ANTICIPADAS

Este caso, como se vio antes, se refiere a las operaciones en las que el pago o depósito sehace al principio del periodo de pago. El término "generales" señala que el periodo de pagoy el de capitalización no coinciden.

Al igual que hemos hecho en las secciones anteriores.de este capítulo, la solución se ob-tiene convirtiendo la anualidad general en una anualidad simple y vencida equivalente.

f / caso general de anualidades 207

Ejemplo 7.5.1 ¿Cuál es el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de$250000 si el interés es del 42% capitalizable cada cuatro meses?

Solución:

En primer lugar encontramos la tasa efectiva equivalente por semestre: El 42% capitalizablecada cuatro meses equivale al 14% efectivo cada cuatro meses y la tasa efectiva equivalentepor semestre es:

/ ' = 1.143'2 -1 = 0.21718690

Ahora una anualidad anticipada:

250000 250000 250000 250000 250000

23 24

El procedimiento para determinar el valor actual de esta anualidad, como vimos en el capítuloreferente a anualidades anticipadas es:

C = 250000 + 250000 1- (1.21718690)-24

0.21718690

= 250000(1 + 4.56315780)

C - $1 390 790

Ejemplo 7.5.2 ¿Qué depósito anticipado quincenal se debe hacer durante 5 bimestres para acumu-lar $3 900000 quince días después de real izar fe! último depósito, si el dinero produce el 24% ca-pitalizable cada mes?

Solución:

La tasa equivalente:

24/12 = 0.02 es la tasa efectiva mensual y

f = 1.021'2 — 1 = 0.00995050 es la tasa efectiva quincenal

luego

n — 5(4) = 20 quincenas (bimestral por número de quincenas en un bimestre), y como los depósi-tos son anticipados;

19 20


(1 0099505Q120 — 13900000 = R V'-UU^DUJUJ !_ (1.00995050)0.00995050

R =

monto a la 20a.quincena

= R (22.0083981) (1.00995050)

3 900 000

que multiplicado por estetactor da el monto quince días después

22.22739271= 175459

Ejemplo 7.5.3 Se puede comprar un artículo que cuesta $999000 mediante 9 pagos mensualesde $129 000, comenzando al momento de la compra ¿Qué interés efectivo anual se paga en laoperación?

Solución:

999000 = 129000 + 1290001 - (1 + /')

1 - (1 + i') 999000 - 129000129000

= 6.74418605

Ensayando valores:1-(1 + i':

/ ' = 0.04/' = 0.035/' = 0.037;' = 0.039/' = 0.395/' = 0.03955

interpolando:

/' - 0.03955

/ '

= 6.73274482= 6.87395551= 6.81693804- 6.76063340= 6.74666726= 6.74527307

6.74418605 - 6.745273070.040 - 0.03955 6.73274482 - 6.74527307

/' = 0.03955 + (0.00045) (0.0867655)i' = 0.03958904

= 0.0867655


y el interés efectivo anual es:

i = (1.03958904)12 -1 = 0.59345692

o 59.34% anual, aproximadamente.

*

'.6 ANUALIDADES GENERALES DIFERIDAS

Son aquellas en las que el periodo de pago y el interés no coinciden y en las que, además, seoospone el inicio de los pagos o depósitos para un periodo posterior al de la realización de laoperación.

Ejemplo 7.6.1 Al cumplir 21 años Juan deposita $5 000 000 en una cuenta de inversión que pro-duce el 33.5% capitalízatele mensualmente. Si desea comenzar a hacer retiros trimestralmentede $1 500 000 el dia de su cumpleaños número 25, ¿qué edad tendrá al realizar el último retiromenor de $500 000, 3 meses después de haber hecho el último retiro completo?

Solución:

La tasa equivalente:

0.335/12 = 0.02791667 mensual

(1.02791667)1 -1 = 0.08610977 trimestralt

El valor de su depósito un trimestre antes de cumplir 25 años

5 000 (1.08610977)15 = 17 261 393

la anualidad simple equivalente

1 -(1.08610977}-"17261 393 « 1 500000

1 08610977)-" = 1 -

0.08610977

(17261 393} (0.08610977) _

In Q.QQ9Q8353In 1.08610977

1 500 000

- 56.914785

- 0.00908353

Hará entonces 56 retiros completos y un retiro quincuagesimoséptimo de menor valor. Por ello, alhacer este último retiro tendrá 25:años más 56 trimestres, o sea 39 años. (Note que se suman 56trimestres y no 57, porque el primer retiro lo hace al cumplir los 25)


Ejemplo 7.6.2 El 2 de marzo del año 1, la Compañía Comercial, S.A., contrae una deuda con va-

lor de $1 7 000 000 al 2 de junio del año 2. Poco tiempo antes de que venza su adeudo, la Comer-cial ofrece a su acreedor cambiar ese pago único al 2 de junio por 5 pagos mensuales a realizar elprimero el 2 de octubre del mismo año 2. Si acuerdan un interés efectivo anual de 48%, ¿decuánto deben ser los pagos mensuales?

fSolución:

La tasa equivalente

(1 + ,-')12 = 1.48

/' - (1.48)1'12 -1 = 0.03320970

El valor del adeudo al 2 de septiembre del año 2

$1 7 000 000 (1 .03320970)3 - 18750 565

La anualidad simple equivalente:

18750565- R — — - = R (4. 53803674!0.03320970

R= 18750565 =$41318674.53803674


21. El señor Cárnica alquila una casa por $500 000 mensuales anticipados. Le quiere proponera su arrendador pagar la renta por trimestre adelantado. Si se considera el interés al 20%capitalizable semestralmente ¿de cuánto debería ser la renta trimestral?

22. El 15 de febrero se hace el primero de un conjunto de 25 depósitos bimestrales de $199 000Si el dinero rinde el 31 % capitalizable mensualmente, ¿cuál es el valor actual de los depósitos?

23. ¿Cuál es el monto de 1 5 pagos semestrales anticipados de $1 800 000 al momento de hacerel último, si el interés es del 3.02% mensual?

24. Un comerciante firmó un pagaré que vence dentro de 8 meses. Para liquidarlo, decide ha-cer depósitos mensuales anticipados de $1 456 142 para tener, al momento de vencer el pa-garé y hacer el último depósito, la cantidad que debe pagar. Si el depósito rinde el 37.5%anual efectivo, ¿cuál es el valor del pagaré a su vencimiento?

25. ¿Qué renta mensual anticipada es equivalente a una renta mensual vencida de $800 000 siel interés es del 7.8% bimestral?

26. Una empresa adquiere un terreno con valor de $45 000 000, y acuerda pagarlo haciendo 6pagos trimestrales comenzando al momento de formalizar la operación. Si se cobran inte-reses del 4.2% mensual, ¿de cuánto deben ser los pagos?

27. ¿Cuál es el valor de contado de un articulo que se vende mediante 12 pagos bimestrales an-

ticipados de $335 005, si el interés es del 28% capitalizable trimestralmente?28. Se debe pagar dentro de un año una anualidad de $7 500 000 ¿Qué renta mensual anticipa-

da, pagada desde hoy y hasta el vencimiento de la anualidad equivale a ésta si el interés esdel 38.2% efectivo anual?


29. ¿En cuánto tiempo una renta anticipada de $88703 quincenales produce un monto de$5 630000 al momento de hacer el último pago si el interés es de 8.8% bimestral efectivo?

30. Se va a pagar una deuda de $37 500000 contraída hoy mediante pagos semestrales antici-pados de $7 750 000. Si el interés es del 39% capitalizable mensualmente, ¿cuántos pagoscompletos se deben hacer y cuál es el valor del último pago menor de $7 750 000 que amor-

* tiza completamente la deuda?31. En la compra de un automóvil que cuesta $26 950 000, el plan a crédito consiste en hacer 6

pagos bimestrales anticipados de $5 267 650. ¿Cuál es la tasa anual con capitalización men-sual que se carga en la operación?

32. ¿A qué tasa efectiva anual se tendrían que colocar 25 rentas mensuales de $175 000 paraque arrojaran un monto de $5 200 000 al momento de hacer el último depósito?

33. Calcule el monto y el valor actual de una serie de depósitos trimestrales de $1 215 000, co-menzando dentro de 4 meses y durante 2 años si el interés es del 47.5% anual efectivo.

34. Calcule el monto y el valor actual de 3 pagos de $868000 con fechas 15 de octubre, no-viembre y diciembre, respectivamente, considerando que hoy es 30 de abril y la tasa de inte-rés es del 39.6% capitalizable semestralmente.

35. Un almacén ofrece un plan de "Compre ahora y pague después". Si un cliente compra el 15de septiembre una lavadora y acuerda pagarla mediante 12 abonos quincenales de $41 083comenzando el 1 5 de enero del año siguiente y el interés que cobra el almacén es del 23%efectivo anual, ¿cuál es el valor de contado de la máquina?

36. Una empresa debe redimir dentro de 18 meses una emisión de bonos. Para reunir la canti-dad necesaria se va a constituir un fondo haciendo depósitos mensuales de $7 246 863 comen-zando dentro de 7 meses y hasta la fecha de vencimiento de los documentos. Si el fondo ganael 32% capitalizable semestralmente, ¿cuál es el valor de los bonos a su vencimiento?

37. ¿Qué renta pagada los días primero de junio, julio, agosto y septiembre equivale a un pagode $3720000 realizado hoy primero de febrero si el interés es del 20.5% efectivo se-mestral?

38. ¿Con cuántos pagos bimestrales de $323^000 comenzando dentro de un año se amortizauna deuda de $2 000 000 que vence dentro de 6 meses si el interés es del 22% efectivo anual?

RESUMEN

caso general de las anualidades se refiere a aquellas en las cuales el periodo de pago y elcapitalización no coinciden. Para resol ver este tipo de anualidades, lo más fácil es modifi-

•• sus planteamientos para ajustarías al caso simple y luego resolverlas utilizando las fórmu-ts de éstas que ya se revisaron antes.

Los dos métodos que pueden utilizarse para convertir anualidades generales en simples

1. Encontrar la tasa de interés equivalente y2. Encontrar la renta equivalente y dado que ambos procedimientos arrojan los mismos

resultados, el lector deberá aplicar el que le resulte más accesible.

M revisar los planteamientos de las anualidades generales, conviene identificar en cuál-us dos casos posibles cae:


1. El periodo de pago es más largo que el de capitalización2. El periodo de pago es más corto que el de capitalización para determinar qué proce-

dimiento de solución es más sencillo.

Para los diferentes casos posibles de anualidades generales (vencidas, anticipadas, inme-diatas y diferidas) también son aplicables las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmedia-tas, y sus correspondientes adaptaciones como se vieron en los capítulos anteriores.


Habiendo terminado de estudiar el capitulo, el lector debe ser capaz de:

• Definir y explicar qué es una anualidad general• Identificar situaciones que se puedan representar mediante anualidades generales• Utilizar el método de

— la tasa equivalente y el de^ — la renta equivalente, para resolver problemas planteados en forma de anualidades gene-

rales, determinando

— el monto

— el valor actual— la renta— el plazo o— la tasa de interés según sea necesario


• Anualidad general• Tasa de interés equivalente• Renta equivalente


1. ¿Qué es una anualidad general?2. ¿Qué es una anualidad general anticipada?3. ¿Qué es una anualidad general diferida?4. Dé un ejemplo de anualidad general, cierta, vencida e inmediata5. Dé un ejemplo de una anualidad general anticipada6. Dé un ejemplo de una anualidad general diferida7. Encuentre el monto de un conjunto de 14 pagos vencidos e inmediatos de $816 000 cada

dos meses si el interés es del 36.6% capitalizable mensualmente.


8. ¿Cuál es el valor anual (al principio de cada uno) de pagos quincenales vencidos de $146 900 siel interés es del 14% efectivo semestral?

9. ¿Cuál es el valor anual (al principio de cada año) de pagos quincenales anticipados de $50 000si el interés es del 31% anual convertible semestralmente?

10. ¿Qué pago trimestral anticipado es equivalente a pagos quincenales vencidos de $100 000si £l interés es del 26% capitalízatele mensualmente?

11. ¿Qué pago bimestral vencido es equivalente a pagos semestrales anticipados de $1 470000,al 1.5% quincenal?

12. La señora Martínez compró un televisor con precio de $890000 dando el 15% de enganchey el saldo a pagar mediante 12 pagos mensuales vencidos con el 50% efectivo anual. ¿Cuáles el importe de los pagos?

13. ¿Cuánto se necesita ahorrar cada fin de año en una cuenta que paga el 31.55% capitali-zable mensualmente para acumular $10000000 al momento de realizar el quinto depósito?

14. Un estudiante tiene una calculadora que desea cambiar dentro de 6 meses. Considera quepuede vender su calculadora, dentro de 6 meses, en $50 000 y que el valor de la que deseacomprar en esa fecha será de $285 000. ¿Cuánto debe ahorrar cada quincena, comenzandodentro de quince días, para tener el dinero que necesita si puede invertir sus ahorros al 10%efectivo semestral?

15. Se hicieron depósitos trimestrales de $1 150000 vencidos al 26% capitalizable mensual-mente. ¿Cuántos depósitos se hicieron si un mes después de realizado el último se tenía unmonto de $15961 148?

16. Una empresa desea invertir $300 000000 en un proyecto que, según los planes, deberá pro-ducir un flujo de ingresos de $42 000 000 bimestrales vencidos durante dos años. ¿Qué tasade interés efectivo anual rendiría el proyecto?

17. Encuentre el monto y el valor actual de 12 pagos bimestrales de $100 000 al 3% capitali-zable mensualmente si el primero de ellos se hace hoy

18. A un estudiante se le asigna una beca que le otorga $850 000 mensuales y que comenzará afecibir dentro de 4 meses y medio. Calcule el valor actual de la beca si el interés es del 35%capitalizable bimestralmente y la beca tiene una duración de 2 años.

19. Una empresa debe $25 000 000 de impuestos. Para pagar se le ha concedido un plazo degracia de 6 meses sin intereses y puede pagar mediante 6 pagos mensuales realizando el pri-mero de ellos dentro de 6 meses. Si el interés que se le carga en el segundo semestre es del50% capitalizable quincenalmente, ¿de qué cantidad deben ser los pagos mensuales?

20. A qué tasa efectiva anual equivalen:

a) 48% capitalizable semestralmente6) 40% capitalizable mensualmentec) 35% mensual efectivod) 15% semestral capitalizable bimestralmente

21. ¿Qué tasa anual capitalizable mensualmente es equivalente a:

a) 2% efectivo mensual?b) 5% bimestral efectivo?c) 6% trimestral efectivo?

22. ¿A qué tasa efectiva anual creció una inversión de $604226 bimestrales anticipados durantedos años si su monto, 4 meses después del inicio del último periodo de pago, fue de $13 500 000?

8Amortización y fondos deamortización

OBJETIVOS:


• Explicar qué es amortización y fondo de amortización, así como también sus semejanzas ydiferencias.

• Identificar situaciones en las que se aplican estos conceptos.• Construir tablas de amortización y de fondos de amortización.• Determinar el saldo acreedor y el deudor en cualquier tiempo en una operación de amortiza-

ción.• Calcular el monto de los pagos o la tasa de interés o el plazo en operaciones de amortización.• Calcular el valor de los depósitos, la tasa de interés o el plazo en operaciones de fondo de

amortización.

TEMARIO

8.1 INTRODUCCIÓN

8.2 TABLAS DE AMORTIZACIÓN

8.3 IMPORTE DE LOS PAGOS EN UNA AMORTIZACIÓN

8.4 DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR Y SALDO A FAVOR DEL ACREEDOR

8.5 NÚMERO DE PAGOS EN UNA AMORTIZACIÓN

8.6 TASA DE INTERÉS EN UNA AMORTIZACIÓN

8.7 OTROS CASOS DE AMORTIZACIÓN

8.8 DEPÓSITOS A UN FONDO DE AMORTIZACIÓN

8.9 TOTAL ACUMULADO EN UN FONDO DE AMORTIZACIÓN Y SALDO INSOLUTO

8.10 NÚMERO DE DEPÓSITOS EN UN FONDO DE AMORTIZACIÓN

8.11 TASA DE INTERÉS EN UN FONDO DE AMORTIZACIÓN

8.12 COMPARACIÓN ENTRE AMORTIZACIÓN Y FONDO DE AMORTIZACIÓN

8.13 APLICACIONES

8.14 RESUMEN

215


8.1 INTRODUCCIÓN

En el área financiera, amortizar significa saldar gradualmente una deuda por medio de unaserie de pagos que, generalmente, son iguales y que se realizan también a intervalos de tiem-po iguales. Aunque esta igualdad de pagos y de periodicidad es lo más común, también seUevan a cabo operaciones con algunas variantes y, por ello, se analizan aquí algunas de estassituaciones.

Ejemplo 8.1.1 Plácido Sábado contrae hoy una deuda de $65000000 al 48% convertible se-mestralmente que amortizará mediante 6 pagos semestrales ¡guales, R, el primero de los cualesvence dentro de 6 meses.¿Cuál es el valor de R?

Solución:

Los pagos constituyen una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata con valor actual de

$65 000 000.

R = ?* C = 65000000

/ - 0.48/2 - 0.24

n = 6

1 - (1 + /)-"Si C = R

Ci 65000(0.24) 15600K =I _ (i + ,-)-" 1 - (1.24),-6 072491311

R = $21 519820

Seis pagos semestrales vencidos de $21 519820 amortizan una deuda con valor actual de

$65000000, con interés al 24% semestral.

Por otro lado, el concepto de fondo de amortización es el inverso del de amortización ya que

en el primero, la deuda a pagar es una cantidad en valor actual mientras que, en el caso de fondo

se habla de una cantidad o deuda a pagar a futuro, para lo cual se acumulan los pagos periódicos

en un fondo con el objeto de tener en esa fecha futura la cantidad necesaria.

Ejemplo 8.1.2 Una empresa obtiene un préstamo por TOO millones de pesos que debe liquidar al

cabo de 6 años. El Consejo de Administración decide que se hagan reservas anuales iguales con

el objeto de pagar la deuda al momento de su vencimiento. Si el dinero del fondo se puede inver-

tir de manera que produzca el 36% de interés, ¿cuánto se deberá depositar en el fondo para acu-mular $100000000 al cabo de 6 años?

Amortización y fondos de amortización 217

•o/uc/ón:

f•n este caso, la deuda es el monto de una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata:

R = ?M = 100000000

/ = 0.36n = 6

M -

100000000 (0.36) _ 36000000tl.36)6—1 5.32751889

R = $6 757 367

En forma breve y simplificada:

• La amortización se refiere a la extinción, mediante pagos periódicos, de una deudaactual.

• Los fondos de amortización son acumulación de pagos periódicos para liquidar una' deuda futura.

Este capítulo está dividido en dos partes principales; en las secciones 2 a 7 se analiza lo refe-•ente a la amortización, y las secciones 8 a 11,se ocupan de los fondos de amortización.

8.2 TABLAS DE AMORTIZACIÓN

Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican a cubrir los intereses y a reducire importe de la deuda. Para visualizar mejor este proceso conviene elaborar una tabla deamortización que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la amortiza-ción y el saldo.

Ejemplo 8.2.1 En el ejemplo 8.1.1 teníamos una deuda de $65000000 contratada al 48% con-vertible semestralmente, y que se iba a amortizar mediante pagos semestrales de $21 519820.Construir la tabla de amortización.


Solución:

Fecha

Al momento dela operación

fin del semestre 1fin del semestre 2fin del semestre 3fin del semestre 4fin del semestre 5fin del semestre 6

totales

pagosemestral

21 51982021 51982021 51982021 51982021 51982021 519824*

129118924

24% interéssobre saldo

1 5 600 0001417924312417 50510232949

75241004165127

64118920

amortización

,

59198207 340 5779102315

11 2868711399572017354697*

65 000 000

saldo

65 000 000

5908018051 739 60342 637 28831 350 41 717354697

Se ajustp esta ci fra para compensar las diferencias debidas el redondeo.

Lo que se puede observar en la tabla:

• La suma de los pagos anuales es igual a la suma de los intereses más la suma de las amortiza-ciones.

• El saldo, como ya se había visto antes, es igual al saldo anterior más los intereses menos el pago.Por ejemplo, el saldo $42 637 288 del fin del semestre 3 es igual al saldo anterior ($51 739 603)más los intereses del periodo ($12 417 505>menos el pago ($21 519 820): 42 637 288 = 51 739603+ 12417505 - 21 519820.

• La amortización es igual al pago menos los intereses. En cada periodo subsecuente, cada vezva siendo mayor la parte del pago que se aplica a la amortización ya que, al mismo tiempo,también van disminuyendo tanto el saldo como los intereses correspondientes.

• Se puede ver claramente cuánto es lo que resta por pagar al final de cada semestre: el saldo• El valor del último pago semestral se ajustó para que coincidiera exactamente al saldo de la

deuoâ: 4165127 + 17354697 = 21 519824.Aunque el ajuste en este caso fue de sólo cuatro pesos, en casi todas las operaciones es

necesario hacerlo debido a pequeñas diferencias ocasionadas por redondeo.• Ep la tabla se puede apreciar:

a) los pagos: la cantidad que se paga en cada periodo y que en parte sirve para pagar los inte-reses correspondientes y en parte para amortizar el saldo de la deuda.

6) las amortizaciones: la parte de cada pago (pago menos intereses) que se aplica a la reduc-ción del saldo deudor.

Como en las secciones siguientes se utilizarán las tablas de amortización baste de momentocon esta ilustración.


De lo que se ha visto aquí, se puede apreciar que las operaciones de amortización se re-suelven utilizando las fórmulas de anualidades de acuerdo a las condiciones de amortiza-ción planteadas. Como el tema de anualidades ya ha sido cubierto ampliamente, en las sec-ciones siguientes se hace hincapié en el análisis de las cuatro principales incógnitas que sepueden plantear en una operación de este tipo, a saber:

• El importe de los pagos.• El número de pagos.• La tasa de interés.• Los derechos adquiridos por el deudor y el saldo a favor del acreedor.

8.3 IMPORTE DE LOS PAGOS EN UNA AMORTIZACIÓN

Ejemplo 8.3.1 Calcule el valor de los pagos y elabore una tabla de amortización para saldar unadeudo de $4 000 000 contratado al 42% convertible bimestralmente, si la deuda ha de quedarsaldada al cabo de un año, haciendo pagos bimestrales comenzando dentro de dos meses.

Solución:

C = 4000000n = 6/ = 0.42/6 = 0.07

R =C i 4 000 000 (.07) 280 000

1 - (1

R = 839183

- H .07) 0.33365778

Fecha


fin del bimestre 1fin del bimestre 2fin del bimestre 3fin del bimestre 4fin de¡ bimestre 5fin del bimestre 6

totales

pagobimestral

839183839 1 83839183839183839 1 83839184*

5 035 099

7% ínteressobre saldo

280000240 857198 974154160106208

54900

1 035 099

amortización

559183598 326640 209685 023732 975784 284

4 000 000

saldo

4 000 000

34408172 842 4912 202 2821 517259

784284

Se ajustó para compensar las diferencias por redondeo.


Una situación en la que no todos los pagos son iguales:f

Ejemplo 8.3.2 Una deuda de $1 000000 se debe amortizar en 12 meses haciendo tres pagosde $350 000 al final de otros tantos periodos de tres meses y un pago que salde la deuda al cabo de12 meses. Si el tipo de interés es de 50% capitalizable trimestralmente, elabore una tablade amortización para la deuda.

Solución:

fecha


fin de 3 mesesfin de 6 mesesfin de 9 mesesfin«de 12 meses

totales

pago cada3 meses

350000350 000350 000266 748

1 316748

72.5% mteréssobre saldo

125000968756523429639

316748

amortización

225 000253125284 766237109

1 000000

saldo

1 000 000

775 000521 875237109

Nótese cómo sabiendo el importe de los primeros pagos se puede ir construyendo directamente la tabla para, al llegar exacta-mente al último periodo, calcular el valor del último pago sumando el saldo a los intereses (237 109 + 29 639 = 2b6 748).

8.4 DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR Y SALDO A FAVOR DEL ACREEDOR

Resulta fácil ver que, por ejemplo, en una operación de compra-venta a crédito, después deque el deudor ha realizado algunos pagos, ha adquirido parcialmente el bien, mientras queel acreedor, al haber recibido esos pagos, ya no es propietario de toe/os los derechos sobre elbien sino sólo de una parte (el saldo a su favor). En general, en cualquier operación de amor-tización de una deuda, y en cualquier momento:

derechos del deudor + derechos del acreedor = valor de la operación

Para ilustrar esto:

Ejemplo 8.4.1 En el ejemplo 8.1.1 se tenía una deuda de $65 000 000 contratada al 48% conver-tible semestralmente que se iba a liquidar con 6 pagos semestrales de $21 519 820. Por conve-niencia, se reproduce enseguida la correspondiente tabla de amortización:


Fecha


Fin del semestre 1Fin del semestre 2Fin del semestre 3Fin del semestre 4Fin del semestre 5Fin del semestre 6

totales

pagosemestral

21 51982021 51982021 51982021 51982021 51982021 519824

129118924

24% interéssobre saldo

1 5 600 000141792431241750510232949

75241004165127

64118920

amortización

59198207 340 5779102315

11 2868711399572017354697

65 000 000

saldo

65 000 000

59 080 1 8051 739 60342 637 28831 35041717354697

Resulta claro que, por ejemplo, los $51 739 603 que es el saldo al final del segundo semestreson los derechos aún en propiedad del acreedor y, al mismo tiempo, los derechos del deudorser'ran

65 000 000 - 51 739 603 - 13 260 397

Sin necesidad de elaborar la tabla se podrían calcular estas cantidades de la siguiente manera:«

Los derechos del acreedor (saldo);

65 GOO 000 (1.24)2 - 21 519 820 1_2iLÍJ ! =0.24

99 944 000 - 48 204 397 - 51 739 603

en donde

• Los $99 944 000 son el valor de la deuda al cabo de los dos semestres.• Los $48 204 397 son el valor de los dos pagos realizados al final del segundo semestre.

y, por otro lado, los derechos del deudor son;

21 519 820 t1-24j2 ~1 _ (65 000 000) (1 -24)2 - 65 000 000 =0.24 L J

48 204 397 - 34 944 000 =$13 260 397

en donde, otra vez, los $48 204 397 son el valor de los pagos realizados al final del segundo se-mestre y los $34 944 000 son los intereses ocasionados por el uso o disfrute (usufructo) de los$65 000 000 objeto del préstamo.


Ejemplo 8.4,2 La señora Guajardo compra un departamento en condominio valuado en $80000000pagando un enganche de $20000000. E] resto se financia con un préstamo bancario a 15 años,con interés al 36% convertible mensualmente. Hallar a) el valor de los pagos mensuales y b) elsaldo insoluto al final del décimo año.

fSolución:

a) R = ?n = 15(12) - 180¡ = 0.36/12 = 0.03

C = 80 000 - 20 000 = 60 000

C/ = 60 000 (0.03) =

- (1 + i)-" 1 - (1-03)-180

1 8000.99511010

= 1 808 845

El pago mensual sería de $1 808845

6) 60 600 000 (1.03)120 - 1 808 845(1.03)120 - 10.03

2 082 659 167 - 2 032 598 289 = $50 060 911

= 1 808845(1123.6996) =

Así, en 10 años se habrían liquidado menos de $10 millones del préstamo original.

*Ejemplo 8.4.3 Una persona adquiere un automóvil a crédito. El automóvil cuesta $18 750000. Sida un enganche de $7 500 000, y comienza a pagar mensualidades vencidas de $547 419, ¿quéproporción del saldo habrá amortizado exactamente al pagar la decimosegunda mensualidad sisé pactó un interés de 45% convertible mensiJalmente?

Solución:

Para determinar esa proporción primero es necesario calcular el monto de los derechosadquiridos por el deudor al momento del pago número 12:

C = 11 250000R = 547419n = 12/ = 0.45/12 = 0.0375

547 419 (1.0375)12 - 10.0375

11 250000(1.0375)12 - 11 250000

- 8108432 - 6248861 = 1 859571


Hasta el pago 12 ha amortizado (ha adquirido derechos por) $1 859 571 la proporción que haamortizado sobre el saldo de $11 250000 es aproximadamente del 16.53% [(1 859 571/11 250000)]

8.5 NUMERO DE PAGOS EN UNA AMORTIZACIÓN

Ejemplo 8.5.1 ¿Cuántos pagos mensuales de $119 000 son necesarios para saldar una deuda de$1 800000 contratada hoy al 32.4% convertible mensualmente?

Solución:

C - 1 800 000/ = 0.324/12 = 0.027

R = 119000

n = ?

De C = R 1 - 0 + 0 -

G

-n log (1 + /) = logl 1 -

l0g(1 ~—] logK

R

1 800 000 (0.027)1 -

19000

log(1 + i) log (1.027)

log [0.59159664) _ (- 0.22797430) _ 1970314897

log (1.027) 0.01157045

sería necesario:

a) Hacer 18 pagos de $119 000 y un pago final mayor o,b) Hacer 19 pagos de $119 000 y un pago final menor a saber:

a) Al final del pago 18 el saldo insoluto seria (derechos del acreedor)

1 800 000(1.027)^ - 119000 (1 027]18 ~ 10.027

= 2907639 - 2 712120 = 195519


Este saldo quedaría en manos del deudor otro mes, por lo que su valor al final de este últimomes sería:

195 519 (1.027) = 200798

* que sería lo que habría de pagar en el decimonoveno mes para liquidar totalmente la deuda.

b) Como otra alternativa de pago, si abona 19 mensualidades de $119 000 el saldo al cabo del vi-

gésimo pago seria:

n n?7i19 11 800 000(1.027)19- 119000 l ' 'u¿/J

0.027

= 2 986 145 - 2 904 348 = 81 798

Si realiza el último pago en el mes 20, el valor de este saldo en ese momento sería:

81 798 (1.027) = $84006

V con este pago se liquida también totalmente la deuda.Debe notarse que las dos maneras de liquidar el pago final son equivalentes; la adopción de

una u otra alternativa dependerá de lo que resulte más conveniente para acreedor y deudor.

Ejemplo 8.5.2 Una persona recibe una herencia de $64000000 y decide depositarla en unacuenta que paga el 30% convertible mensualmente con la intención de hacer retiros mensualesde $2 000 000. ¿Cuántos retiros completos de esa cantidad podrá hacer antes de que se agote suherencia?

i. iSolución:

C = 64000000R = 2 000 000

/ = 0.30/12 = 0.025n = ?

1 — (1 0251-"64 000 000 = 2 000 000 U '

0.025

0.025 (64 000 000)2 000 000

-0.2 =- (1.025)-"

(1.025)-" - 0.2

- n /n (1.025) = In 0.2

- 1 - - (1.025)-"


n = —/rt 0.2 (- 1.60943791)

/n 1.025 0.024669261

n = 65.178923

Podrá hacer 65 retiros mensuales de $2 000 000, después de lo cual sólo le sobraría otro pocode dinero (bastante menos de $2 000 000.)

En este ejemplo, resulta interesante observar que si el heredero retirara sólo los interesesque producen sus 64 millones, tendría a su disposición $1 600000 (64 000000 x 0.025) mensualesen forma indefinida, si la tasa de interés permanece constante.

8.6 TASA DE INTERÉS EN UNA AMORTIZACIÓN

En ocasiones es necesario determinar la tasa de interés que se carga en la operación.

Ejemplo 8.6.1 Una máquina de coser usada cuesta $820 000 al contado. El plan a crédito es de$270 000 de enganche y 10 pagos quincenales de $58 000. ¿Cuál es la tasa de interés que se cobraen 4a operación?

Solución:

C = 550000R K 58000n - 12

550 000 = 58 000 1 - (1 + /) -10

1 - (1 + í)w_= 9.48275862

Para determinar /', en primer lugar, se ensayan diferentes valores de i

1 — n + /)~10que arrojen el valor de - > - * lo más próximo posible a 9.48275862:

para / = 0.02 1 - (1.02)-10 _0.2

- 8.98258488

/ = 0.01 1 - (1.01)-10

.01= 9.47130456


1 (-i noQM ~1°/ = 0.0095 —• { ' = 9.49675754

.0095

/ = 0.0097 1 ~ t1QQ977] ~ = 9 4865643°

Interpolando (para revisar el procedimiento, véase el capítulo 4):

9.48656430 9.48275862 9.47130456

I 1 10.0097 / 0.01

/ - 0.0097 9.48275862 - 9.48656430

0.01 - 0.0097 9.47130456 - 9.48656430

í = 0.0097 + (0.0003) (0.24939383) = 0.0097 + 0.00007482 =

/ *= 0.00977482

para verificar que tenemos el valor correcto:

. — — 9.48277272 con sólo una diferencia pequeña y despreciable debida0.00977482

al redondeo.

Ejemplo 8.6.2 Si Cristina contrae una deuda por $6 000 000 y conviene en liquidarla con 5 pagosbimestrales de $1 380 000, el primero pagadero dentro de dos meses ¿cuál es la tasa nominal, ca-pitalizable bimestralmente, que se le carga?

Solución:

C = $6000000R = $1 380 000n = 5

/ = ?

1 - (i + ír56 000 = 1380 —

= 4.347826091380


ensayando valores de /':

i _ (i 051 ~5si / = 0.05 — - ^ - - 4.32947665

0.05

si / = 0.048 1 - (1 -048)0.048

d -040.049

si / - 0.049 T - d -049] - = 434147094

si / = 0.0485 1 - (1 -0485] - _ 34748764

0.0485

Entonces / se encuentra entre 0.0485 y 0.0480 interpolando:

4.35351764 4.34782609 4.34748764

0.048 ' 0.0485

4.34782609 - 4.35351764 / - 0.0484.34748764 - 4.35351764 0.0485 - 0.048

0.00569155 / - 0.048

- 9.43872305 -

0.00603000 0.0005

/ - 0.048- 0.0005

í - 0.048 = 0.00047194/ = 0.048 + 0.00047194/ - 0.04847194

Comprobando:

1 - (1.04847194] ~5= 4.34762888

0.04847194

Salvo, de nueva cuenta, una ligera y despreciable diferencia debida al redondeo.

Por lo tanto, se carga en la operación aproximadamente el 26.09% (0.04847194 X 6 X 100) anualconvertible bimestralmente.


8.7 OTROS CASOS DE AMORTIZACIÓN

Entre la amplia gama de condiciones en la que pueden presentarse casos de amortización se¡lustran enseguida algunas posibilidades:

Ejemplo 8.7.1 Se difiere (pospone) el inicio de los pagos. En septiembre, un almacén ofrece enventa un aparato de televisión en $1 499 000 a pagar en 6 abonos mensuales iguales con el 36%de interés convertible mensualmente. El primer pago se debe realizar el 31 de enero del año si-guiente. Si una persona adquiere uno de estos aparatos el 31 de octubre;

a) ¿Cuál es el valor de cada uno de los pagos?b) Construya una tabla de amortización que muestre el comportamiento de la operación.

Solución;

Para visualizar mejor la operación conviene presentarla en un diagrama:

1499000

Fin de Nov Dic hnc Fob M,ir Ahr May Jun

- 0.36/12 = 0.03

Para manejar los cálculos con las fórmulas de las anualidades simples ciertas, vencidas e in-mediatas conviene observar que el cliente disfrutará del televisor desde el 31 de octubre, por loque contrae la deuda desde este día y, por ello, el valor de su compromiso al 31 de diciembre es:

1 499(1.03)-* = 1 499(1.0609) - $1 590289

Ahora se puede visualizar la operación como una anualidad simple, cierta, vencida e inme-diata;

C - 1 590 289/ = 0.03

n = 6R = ?

por lo que el pago que debe realizar el cliente cada mes es de;

C = R1 - (1 + /)


R =O

- (1 + i)

1 590 289 (0.03) 47 708.671 - (1.03)-6 0.16251574

y, b] la tabla de amortización:

- $293 563

Fecha

31 de oct30 de nov31 de dic31 de ene28 de feb31 de mar30 de abr31 de may30 de jun

totales

Pago

_._— .—— .—

293 563293 563293 563293 563293 563295 565*

1 761 3ÜO

0.03 de interéssobre el saldo

—

4497046 3194770940 333327362491116852

8550

171 089

Amortización

— —_- —

245 854253 230260 827268 652276711285015

1 590 289

Saldo

1 499 0001 543 9701 590 2891 344 4351 091 205

830 378561 726285015

— . —

ajustó el último pago para eliminar las diferencias originadas por el redondeo

*Nótese que la cantidad que se amortiza es el valor de la deuda al 31 de diciembre.

Ejemplo 8.7.2 Pagos desiguales. Una deuda de $8 000 000 se habrá de amortizar mediante 5 pa-gos mensuales vencidos; los dos primeros por $1 500 000 y el tercero y cuarto por $2 000 000.Calcular el importe del quinto pago para saldar totalmente la deuda si la operación se pactó al28% anual convertible mensualmente.

Solución:

Conviene visualizar la operación a través de una tabla.

"Fecha

\rla operación

Fin mes 1Fin mes 2Fin mes 3

j Fin mes 4Fin mes 5

Totales

Pago

1 500 0001 500 0002 000 0002 000 0001 584 383

8 584 383

2.33% de interéssobre saldo

-1866671560221246638090536126

584 383

Amortización

1 3133331 343 9781 875 3371 9190951 548 257

8 000 000

Saldo

8 000 0006 686 6675 342 6893 467 3521 548 257

— .—


Al llegar al fin del quinto mes sabemos que el importe del pago final debe cubrir tanto el sal-do al cuarto mes como los correspondientes intereses o;

1 548 257 + 36 126 = $1 584 383

que es, precisamente, el importe del último pago.

Ejemplo 8.7.3 Cambios en la tasa de interés, amortización constante. Hacer una tabla de amorti-zación para un crédito que se contrata el 3 de junio por $20 000 000 que habrá de pagarse me-diante cuatro pagos bimestrales, si en los cuatro primeros meses se aplica una tasa del 42%anual y en los últimos cuatro meses se aplica la tasa, de 36%, ambas con capitalización bi-mestral, y si, además se debe amortizar una cuarta parte de la deuda por cada pago.

Solución:\e construye directamente la tabla;

*Fecha

3 de junio

3 de agosto

3 de octubre

3 de diciembre

3 de febrero

Totales

Pago

— .—

6 400 000

6 050 000

5 600 000

5 300 000

23 350 000

Interés sobreel saldo

— .—

1 400 000

1 050 000

600 000

300 000

3 350 000

Amorf/zac/ón

— .—

5 000 000

5 000 000

5 000 000

5 000 000

20 000 000

Saldo

20 000 000

1 5 000 000

10000000

5 000 000

— .—

Ejemplo 8.7.4 Amortización variable. Hacer una tabla de amortización para una deuda de $10 000 000a pagar en tres meses mediante abonos vencidos, con el 15% semestral con capitalización men-sual, amortizando el 50,30 y 20% de la deuda en el primero, segundo y tercer pagos, respectiva-mente.


Solución:

Fecha

Ai contratarla operación

Fin del mes 1Fin del mes 2Fin del mes 3

Totales

Pago

— . —

5 250 0003 1 25 0002 050 000

10425000

Interés sobre elsaldo 2.5% mensual

(0.15/6)

— . —

250 00012500050000

425000

Amortización

— . —

50000003 000 0002000000

10000000

Saldo

10000000

5 000 0002 000 000


1. ¿Qué es amortizar?2. ¿Qué es una tabla de amortización?3. Una deuda de $12 000 000 debe amortizarse mediante 4 pagos bimestrales iguales, el pri-

mero a realizar dentro de dos meses, con intereses al 4% bimestral sobre saldos insolutos.

, a) Calcular el importe de cada uno de los pagos£>) Construir una tabla de amortización

4. ¿Cuál sería el pago final que liquida una deuda de $23 000 000 contratada al 27% efectivoanual a pagar mediante tres pagos animales vencidos de $10 000 000 y un pago final que de-be realizarse al término de 4 años?

5. Una deuda de $7 250 000 se debe pagar en un año mediante pagos trimestrales iguales ven-cidos. Si el interés pactado para la operación es de 36% anual convertible trimestralmente,

a) Hallar el importe de cada pago y,b) construir una tabla de amortización.

6. Hacer un cuadro de amortización de pagos mensuales vencidos de $1 025 000 hasta la ex-tinción total de una deuda de $5 800 000 pactada al 20% anual convertible mensualmente,calculando también el pago final que extinga la deuda.

7. Una pareja de recién casados adquiere una casa en condominio que cuesta $60000000.Pagan un enganche de $15 000000 y acuerdan pagar el resto con 24 mensualidades igualescon el 24% de interés convertible mensualmente. Haga una tabla de amortización quemuestre los dos primeros y los dos últimos meses de la operación.

8 . Una persona adquiere un automóvil que cuesta $23 500 000. Paga $9 500 000 en efectivo yel resto lo paga con un préstamo de interés social otorgado por una institución de seguri-dad social estatal que le cobra el 0.4% quincenal de interés. Hallar el valor de los derechosadquiridos por el comprador al momento de realizar el vigesimoctavo pago si lo acorda-do fue liquidar el saldo a 5 años mediante pagos quincenales vencidos.


9. En e! ejercicio anterior, ¿cuál es el saldo a favor de la institución de seguridad social?10. Eí licenciado Montiel adquiere a crédito un despacho en condominio que cuesta $85 000000.

Paga el 30% de enganche y se compromete a pagar el saldo mediante pagos mensualesanticipados durante 3 años. SÍ la tasa de interés que paga es del 34% anual convertiblemensualmente, ¿qué cantidad tendría que pagar al cabo del trigésimo mes para adquirir la

f totalidad de los derechos sobre el despacho?11. Con cuántos pagos semestrales iguales y vencidos de $9 500 000 se pagaría la adquisición

de un terreno que cuesta $29 540 000 si se carga una tasa anual de 34% convertible men-sualmente?

12. Una persona tiene una deuda de $1 000 000 que convino en pagar con pagos bimestralesvencidos e iguales durante un año con intereses al 28% convertible cada dos meses. ¿Cuán-tos pagos le faltan por hacer si el saldo de su deuda es de $567 992?

13. El doctor Villasán tiene una deuda de $3 500 000 contraída el15 de octubre, con interés al27% anual convertible mensualmente y que acordó pagar en 12 abonos mensuales venci-dos e iguales. ¿Cuántos pagos ha realizado si ha adquirido derechos sobre la deuda por$1 345 767?

14. ¿Cuál es el valor de los derechos adquiridos sobre un mueble de sala por un cliente que locompró a crédito si el precio fue de $3 999 000 y se convino en pagarlo mediante 6 abonosmensuales vencidos con el 35% de interés convertible mensualmente y ha realizado 3 pagos?

15. Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a crédito de unautomóvil que cuesta $48 000 000 y se vende con un enganche del 45% y el resto a pagar enmensualidades vencidas de $1 254748 con interés al 39% convertible mensualmente.

16. En una operación de crédito se paga una deuda de $15 000 000 mediante pagos trimestralesvencidos e ¡guales por $3 002 684 durante año y medio ¿Cuál es la tasa de interés nominalanual con capitalización trimestral que se pagó?

17. Una aspiradora se vende en $499 000 al contado o mediante 4 pagos mensuales anticipadosde $135 000 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese aparato a crédito?

18. En el ejercicio 17, ¿cuál es la tasa efectiva anual?19. En el ejercicio 17, ¿cuál es la tasa nominal anual con capitalización mensual?20. Haga una tabla de amortización que muestre la forma en que se extinguiría una deuda de

$32 000 000 mediante 4 pagos mensuales vencidos si la tasa que se carga es del 29% anualconvertible mensualmente si en cada uno de los dos primeros abonos se paga el 30% de ladeuda, en el tercero el 25% y en el último el 15%.

8.8 DEPÓSITOS A UN FONDO DE AMORTIZACIÓN

Como se vio en la introducción, el caso de fondo de amortización se distingue porque aquí ladeuda que se va a amortizar se plantea a futuro y lo que se hace es constituir una reserva ofondo depositando determinadas cantidades (generalmente iguales y periódicas) en cuentasque devengan intereses, con el fin de acumular la cantidad o monto que permita pagar ladeuda a su vencimiento.

Enseguida se presenta un ejemplo que ¡lustra el caso en el que es necesario determinarel valor de los depósitos.


Ejemplo 8.8.1 Una empresa debe pagar dentro de seis meses la cantidad de $40000000. Paraasegurar el pago, el contralor propone, dado que hay liquidez en la empresa, acumular un fondomediante depósitos mensuales a una cuenta que paga el 30% convertible mensualmente.

a) ¿De cuánto deben ser los depósitos?b} Haga una tabla que muestre la forma en que se acumula el fondo.

Solución;

a) En este caso los $40 000 000 son un monto, ya que su valor es a futuro por lo que:

M = 40000000R = ?í - 0.30/12 - 0.025

n = 6

M = RO + /)" -

R =M /

O + /)" - 1

tu 000 000 (0.025) 1 000 000 , .,.. oon: — = o 261 999

(1.025)6 - 1 0.15969342

R = 6 261 999

b) la tabla:

Fecha

Fin del mes 1Fin del mes 2Fin del mes 3Fin del mes 4Fin del mes 5Fin del mes 6

totales

Depósitomensual

6 261 9996 261 9996 261 9996 261 9996 261 9996 261 998

37 571 993

ínteres es

_ _

15655031 7 01 4481 489650 076822 878

2 428 007

Tota! que sesuma a! fondo

6 261 9996 41 8 5496 579 01 36 743 48869120757 084 876*

40 000 000

Saldo

6 261 9991 2 680 5481925956126 003 0493291512440 000 000

Nótese que se redujo el último depósito mensual en un peso para ajustar el total del fondo a exactamente $40 000 000.

Ejemplo 8.8.2 Una persona adquiere a crédito un departamento en condominio por el que apar-te de un enganche y abonos mensuales debe pagar, al final de cada uno de los tres primerosaños, una anualidad de $6 500000. Para prevenir el pago de estas anualidades decide acumular


un fondo haciendo depósitos quincenales en una cuenta que paga el 24% convertible mensual-mente. ¿Cuánto debe depositar cada quincena para acumular lo que necesita para amortizar sudeuda cada fin de año?

Solución:f

En este caso, se debe advertir que el periodo de capitalización no coincide con el periodo de losdepósitos, por lo que se hace necesario determinar en primer lugar la tasa efectiva quincenalequivalente a una tasa de 0.24/12 = 0.02 efectiva mensual, para lo cual, como se vio antes:

(1 + O2 = 1.021 + / = V1.02

' =V1.02 - 1 = 0.00995049

Así:

M = 6 500 000R = ?

í^ = 0.00995049 quincenaln = 24 quincenas

(1 + /)" -1 M /M - R ; R =

(1 + /)"- 14

„ _ 6 500 000 [0.00995049) _ 64678.196050

(0.00995049)24 - 1 " 0.26824173

1 R = $241 119

8.9 TOTAL ACUMULADO EN UN FONDO DE AMORTIZACIÓN Y SALDO INSOLUTO

Ejemplo 8.9.1 Observe la tabla de fondo de amortización que se elaboró para el ejemplo 8.8.1.En ella se puede ver el total acumulado en el fondo al final de cada uno de los seis meses que secontemplan. Por ejemplo, al final del cuarto mes hay $26003049 acumulados en el fondo. Sisólo se deseara identificar esta cantidad sin construir la tabla, se le podría calcular sabiendo quees el monto de una anualidad vencida.

M = ?R = 6 261 999n = 4/ - 0.025

(1 025)4 — 1M = 6261 999 l } — = 6261 999(4.152515)

0.025

M = 26030048**La diferencia de un peso se debe al redondeo.


Por otro lado, y al mismo tiempo, si $26 030 049 es el monto acumulado en el fondo al final delcuarto mes, y la deuda es de $40000000, el saldo insoluto es:

40 000 000 - 26 030 049 (1.025)2 = 40 000 000 - 27 347 820 = $12 652 180

que, para su mejor comprensión, conviene plantear en forma de ecuación de valores equivalentes.

26 030 049 27 347 820

6

40000000

obsérvese que:

• $26 030 049 es lo acumulado en el fondo al final del cuarto mes.• $26 030 049 (1.025)2 - $27 347 820 es el valor de lo acumulado en el fondo al final del* cuarto mes, llevando su valor al final del sexto mes, que es el momento al que está plan-

teada la deuda.

Ejemplo 8.9.2 Si se depositan $100 000 mensuales en un fondo de inversión que rinde el 2.2%mensual efectivo, ¿cuál seria el valor acumulado del fondo al cabo de 7 años?

*Solución:

M = ?4

R = 100000/ = 0.022

n = 7(12) = 84

C1 022184 — 1M = 100 l ' — = 100 (237.327976)

0.022

M = $23 732 798

Ejemplo 8.9.3 Con los datos del ejemplo anterior, ¿en cuánto se incrementa el fondo del mes 83al 84 por concepto de intereses?

(1 022)83 — 1= 100 u J = 100 (231.24068) = 23 124 068

0.022

Al mes 84 $23 732 798- Al mes 83 $23124068

$ 608 730


De esta cantidad en que aumenta el fondo del mes 83 al 84, $100 000 corresponden al depó-sito que se hace cada mes y $508 730 a los intereses. Esto se puede verificar observando que losintereses de $23124068 del mes 83 al 84 son:

23124068(0.022) - 508730

8.10 NÚMERO DE DEPÓSITOS EN UN FONDO DE AMORTIZACIÓN

Dos ejemplos de este caso:

Ejemplo 8.10.1 ¿Cuántos depósitos mensuales sería necesario realizar en un fondo de amortiza-ción que se invierte en un instrumento que paga el 27-6% anual convertible mensualmente si sequiere liquidar una deuda que vale $4 800000a su vencimiento y si se realizan depósitos de $850000?

Solución:

M = 4800000* / = 0.276/12 = 0.023

R = 850000n = ?

C1 0231" — 14800000 = 850000 ll'""J

0.023

n m 4800000(0.023)

n m logl.12988235 = 0-05303320 m <log 1.023 0.00987600

Se podría pagar con 5 depósitos de $850 000 más un sexto depósito de:

Í1 02315 1850 000 t.' I (1-023) + x = 4 800 000 = 4 552 400 + x

x = 4 800 000 - 4 552 400 = 247 600

Ejemplo 8.10.2 Una persona debe pagar $7 500 000 el dos de junio y decide formar un fondo deamortización depositando $1 176928 mensuales en una inversión que rinde el 33% efectivoanual. El día 2 de qué mes debe hacer el primer depósito para acumular con el del 2 de junio lacantidad que adeuda?

Solución:

M = $7500000n = ?


R = 1 176928/ — 0.33 efectivo anual:

En primer lugar es necesario determinar cuál es la tasa efectiva mensual ya que los depósitos se-rán mensuales y la tasa dada es efectiva anual:

(1 + /)12 = -| 33

Esto se puede resolver por medio de logaritmos:

12 log (1 + /) = Iog1.33log (i + /) = 1/12 (log 1.33)

log (1 + /) = 0.0103211 + i = antilog 0.0103211 +./ = 1.02404962

/ = 0.02404962

que es la tasa efectiva mensual. Luego, para calcular el número de pagos:

(1.024)" - 17 500000 = 1 176928

0.024

m 7500000(0.024] =

1 176928I

n log 1.024 = log 1.15294054

loe 1.15294054 0.0618069n — — = 5.9,9 = 6log 1.024 0.01032100

Entonces, si el último depósito se habrá de realizar el 2 de junio y es necesario hacer 6 depósitos,el primero de ellos deberá realizarse el 2 de enero.

8.11 TASA DE INTERÉS EN UN FONDO DE AMORTIZACIÓN

En esta sección se presentan ejemplos de circunstancias en las que es necesario calcular latasa de interés que se carga en operaciones realizadas a través de fondos de amortización.

Ejemplo 8.11.1 Una deuda que vencía el 25 de septiembre, por un monto de $16 800000 se li-quidó con un fondo acumulado mediante 8 depósitos mensuales vencidos por $1 967 763 ¿Cuálfue la tasa de interés mensual que rendia el fondo?

Solución:

M = 16800000/ =?


n = 8R ^ 1 967 763

ti + /)"- 1 M

í ' R

(1 + i)8- 1 M 16800000

/ R 1 967 763

H + ()8- 1- 8.53761352

Ensayando valores de / para aproximar el valor que buscamos:

Í1 DPI8 _ 1Si ; = 0.02 *• ' - — =8.58296890

0.02

(1 01Q18 _ 1/ = 0.019 *• ' - — = 8.55270326

0.019

/ = 0.018 . _ _ 52255793

. í 0.018, /

/ = 0.0185 ^ .01 85) - 1 = 8 53761561

0.0185

y, como 8.53761561 es prácticamente igual al valor que buscamos (8.53761352) no resulta nece-sario interpolar para saber que la tasa cargada en la operación es de aproximadamente 1.85%mensual.

Ejemplo 8.11.2 Una deuda de $10 000 000 con vencimiento el 12 de octubre se amortizó median-te un fondo que se constituyó mediante 5 depósitos de $1 911 203 realizados los días 12 de losmeses de junio a octubre. ¿Cuál fue la tasa efectiva anual que pagó el fondo?

Solución:

M - 10000000n = 5R = 1 911 203

/ = ?


10000000 = 1 911 203(1 + f)5- 1

(1 + í)5- 1 100000001 911 203

= 5.23230769

En primer lugar se determina la tasa efectiva mensual ensayando valores de /:

S¡ / = 0.02 tr°2] ~1 = 5.204040060.02

/ = 0.022/ - 0.023f = 0.0225

= 5.22489347- 5.23535113= 5.23011971

Así, la tasa mensual está entre 2.25 y 2.30% y para aproximarla interpolamos entre estos valores:

0.0225

5.23011971 5.23230769

0.0230

5.23535113

/ - 0.0225 5.23230769 - 5.23011971

0.0230 - 0.0225 " 5.23535113 - 5.23011971

- 0.0225 0.002187980.0005 0.00523142

- 0.41823826

/ - 0.0225 = 0.41823826 (0.0005) = 0.00020912/ = 0.0225 + 0.00020912í = 0.02270912

Verificando:

(1.0227091 2)5 - 1= 5.23230706

0.02270912

La tasa efectiva mensual es de aproximadamente 0.0227 y la tasa efectiva anual:

(1.02270912)12- 1 = 0.30925892

o un tipo aproximado de 30.93% anual.


8.12 COMPARACIÓN ENTRE AMORTIZACIÓN Y FONDO DE AMORTIZACIÓN

Cuando se amortiza una deuda, se hacen pagos periódicos y del importe de cada uno deellos se liquidan los intereses causados hasta ese momento y el resto se aplica a la amortiza-ción o disminución del importe de la deuda.

Por otro lado, bajo el concepto de fondo de amortización, tal como se vio antes, el valorde la deuda está planteado a futuro y lo que se hace es realizar depósitos periódicos en algu-na inversión, de manera que se acumule la cantidad necesaria al momento en que es necesa-rio pagar.

En este caso puede suceder, entre otras combinaciones posibles, que los intereses causadospor la deuda se incluyan en el valor a futuro que se le asigna o que se paguen por separado.

Para ilustrar su interrelación y su comportamiento, se analiza el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8.12.1 Si la tasa vigente en el mercado para cierto tipo de inversiones es del 18% anual,convertible mensualmente, determinar la forma en que se podría saldar una deuda de:

a) $1 000000, contraída el día de hoy y que se debe amortizar mediante 4 pagos mensualesiguales.

b) NJna deuda de $1 061 364 que deberá pagarse exactamente dentro de 4 meses, con un fondode amortización constituido mediante 4 depósitos mensuales iguales, el primero de loscuales deberá hacerse dentro de un mes.

c) Hacer una tabla para comparar el comportamiento de las operaciones planteadas en a y b.

* Solución:

a) C = $1 000 000./, n = 4

/ - 0.18/12 = 0.015i

R = C i = 1 000000(0.015) 1 5 000 150001 _ (i + /)-" = 1-(1.015)-4 1-0.94218423 0.057815

El valor del pago mensual es de $259 445

5) M = $1 061 364/ = 0.015

n = 4

M i 1 061 364(0.015) 15920.46 =

d + /)" _ 1 " (1.015)4 - 1 0.06136355

E I valor del depósito mensual es de $259 445 y esto se debe a que $1 061 364 es, precisamente, elmonto de $1 000 000 después de 4 meses al 18% convertible mensualmente.

Se le fijó ,así en el ejemplo para ¡lustrar que bajo las mismas condiciones de pago (básicamen-te interés y plazo), una y otra forma de amortización son equivalentes.


c) La tabla de amortización.

Fecha


Fin del mes 1Fin del mes 2Fin del mes 3Fin del mes 4

Totales

Pagomensual

259445259 445259 445259 445

1 037 780

0-075 /níeréssobre saldo

1500011 333

76123 835*

34328

Amortización

244 445248 1 1 2251 833255610

1 000 000

Saldo

1 000 000

755 555507 443255610

— . —

La tabla de fondo de amortización:

Fecha\n del mes 1

Fin del mes 2Fin del mes 3Fin del mes 4

*Tofales

Depósitomensual

259 445

259 445

259 445

259 445

1 037 780

Intereses

,

3892

7842

11 851

23585

Total que sesuma al fondo

259 445

263 337

267 287

271 296

1 061 365

Fondo

259 445

522 782

790 0691 061 365*

La diferencia de un peso se debe a redondeo.

Resulta sencillo visualizar que si se obtiene en préstamos una cantidad de dinero que sepueda invertir a una tasa de interés mayor que la que se paga, esto resulta conveniente paraquien obtiene el préstamo:

Ejemplo 8.12.2 Una persona obtiene un préstamo de $10000000 que debe pagar en 6 meses,mediante abonos mensuales iguales y con intereses del 25% anual convertible mensualmente. Siesta persona deposita los $10 000 000 en un fondo de inversión que rinde el 3.0% mensual y deallí paga su deuda, ¿cuánto saldrá ganando al final de los 6 meses?

Solución:

C = $10000000; = .25/12 = 0.0208 (el interés que tiene que pagar)

n = 6

O

1 - {1 + O

10 OOQ 000 (0.0208)1 - (1.0208)

208 333-6 0.11636900

= $1 790 279


Debe pagar $1 790 279 cada mes para saldar su deuda, pero si invierte los $10 000 000 en elfondo al 0.03 mensual, lo que sucede es:

Fecha


Fin del mes 1Fin del mes 2Fin del mes 3Fin del mes 4Fin del mes 5Fin del mes 6

Intereses que seacumulan al fondo

300000

255292209 242161 811112957

62637

Abono a ladeuda

1 790 2791 790 2791 790 2791 790 2791 790 2791 790 279

Total en el fondode inversión

$1 0 000 000

8 509 7216 974 7345 393 6973 765 2292 087 907

360 265

Por lo tanto, al final del sexto mes la persona que obtuvo el préstamo y que lo invierte bajoesas condiciones habría logrado una utilidad de $360 265.

También se puede ver fácilmente que no conviene pedir dinero prestado para sólo invertirloen algún instrumento que rinda menos de lo'que se paga de interés, pues esto daría como resulta-do una pérdida.

8.13 APLICACIONES

Ejemplo 8.13.1 Salvador Díaz adquiere un condominio de interés social (en condiciones espe-ciales), que tiene un valor de $25 400 000. Si paga 20% de enganche y el saldo es a pagar a 10años con abonos mensuales de $266020 ¿qué tasa de interés anual nominal, convertible mervsualmente está pagando?

Solución:

C = 25 400 - [25 400 (0.20)] = 25 400 - 5 080 - $20 320 000

n = 12 (10) = 120


R = 266020

/ = ?

C = R1 - </ + /)

= 20 320 000 - 266 0201 - (/ + O 120

1 - (1 + i) 12° 20320000

266 020= 76.38523419

Ensayando valores de /:

1 - (1.01)-'20Si i = 0.01 ___—_ _ 69.70052203

0.01

1 - (1.008)-'20/ - 0.008, = 76.95522544

0.08

1 - (1.0081)-'20/ = 0.0081, 76.56668440

i = 0.0082,

0.0081

1 - (1.Q092)"120

0.0082= 76.1810021

Para aproximar más el valor de /, interpolamos:

0.0081 0.0082

76.56668440 76.38523419 76.1810021

i - 0.0081

0.0082 - 0.0081

76.38523419 - 76.56668440 - 0.1814502176.1810021 - 76.56668440 - 0.38568230

/ - 0.00810.0001

= 0.47046548


i - 0.0081 - 0.47046548(0.0001) = 0.00004705

/ = 0.00814705

Verificando:e

1 - (1.00814705)-12020 320 000 = 266 0200.00814705

20320000 » 266020(76.38488182) = 20319906*

* La diferencia existente se debe al redondeo.

Así, 0.00814705 es la tasa mensual efectiva y, para encontrar la tasa anual nominal, conver-tible mensualmente:

0.00814705(12) - 0.09776460

o, aproximadamente, 9.78% anual convertible mensualmente.

Ejemplo 8.13.2 Un automóvil que cuesta $38 500 000 se vende con 40% de enganche y el saldoa pagar en 18 mensualidades con el 3% de interés "global mensual". Calcular: a) el valor de los18 pagos mensuales y b) la tasa efectiva anua! que se está cargando.

* Solución:

a) Al hablar de interés "global mensual" los comerciantes se refieren a que se carga el 3% de in-terés sobre el saldo inicial, en cada uno de los periodos de pago; los 18 meses en este caso. Así,el enganche es de $38 500 000 (0.40) =$15 400 000

C - 38 500 - 15 400 = $23 100 000

como el interés se carga sobre este saldo inicial, entonces

interés mensual - 23100000(0.03) = 693000

y el saldo dividido entre los 18 pagos:

23100000/18 = $1 283333

por lo que el importe de cada uno de los 18 pagos mensuales es:

b) C = R

R = 1 283 333 + 693 000 = $1 976 333

1 - (1 + /}-"

V ahora, para calcular la tasa que se carga.

i _ n + /I-1823 100 000 = 1 976 333 ^ '

= 11,688313661^ (1 + /)- ' 23100000

/ 1 976 333

ensayando la /

1 — n 05i ~18Si / - 0.05 l J = 11.68958687

0.05

1 - (1.0)i = 0.0501 —— = 11.68045949

0.0501

Interpolando:


0.05 0.0501

11.68958687

/ - 0.05

11.68831366 11.68045949

0.0501 - 0.05

- 0.00127321

11.68831366 - 11.6895868711.68045949 - 11.68958687

- 0.00912738- 0.139492

/ = 0.05 + 0.0001 (0.139492)

/ - 0.05 + 0.00013949

í = 0.05013949

V, entonces, la tasa efectiva mensual es de aproximadamente 5.01 % que es considerablementesuperior a la del 3% "global mensual" planteada en la transacción.

Ahora, la tasa efectiva anual es de:

(1.05013949)12 = 1.79872153

79.87% aproximadamente.

Ejemplo 8.13.3 Sandra compra un refrigerador que cuesta $2 000 000 al contado, paga $800 000de enganche y conviene en amortizar el resto mediante 6 pagos bimestrales iguales pagando ¡n-


tereses a razón del 30% convertible bimestralmente. a) Encontrar el valor de los pagos, b) cons-truir una tabla que muestre la forma en que se va amortizando la deuda y c) determinar el valorde los derechos que el comprador ha adquirido sobre el refrigerador inmediatamente antes de.cuarto pago.

Solución:

a)C = 2 000 - 800 = 1 200 000n = 6i = 0.30/6 = 0.05

1 - (1 +- $236421

b)

Fecha


Fin del bimestre 1Fin del bimestre 2Fin del bimestre 3Fin del bimestre 4Fin del bimestre 5Fin del bimestre 6

Totales 1

/)'" 1

Pagobimestral

236421236421236 421236 421236 421236 421

418526

1 200 (0.05) 60

- (1.05)-6 0.25378460

5% de interéssobre saido

'

6000051 17941 917

• 3219221 98011 258

218 526

Amortización

1764211 85 242194504204 229214441225163

1 200 000

Saldo

643833439 604225163

c) Los intereses causados en cuatro meses por la posesión del refrigerador son;

1 200 000 [(1 + 0.05)4 - 1] = 258608

El valor de los 3 primeros pagos al momento de realizar el tercero es:

(1.05)3 - 1 _236 4210.05

= 236421 (3.1525) - 745 317

El valor de $745 317 ai final del cuarto mes:

745317(1.05) = 782583


Por lo que los derechos adquiridos por el comprador hasta inmediatamente antes de reali-zar el cuarto pago asciende a:

782 583 - 258 608 = $523 975


21. Se deben pagar $29 000 000 dentro de 12 meses por una deuda contraída con anterioridad.Si para pagarla se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos,¿cuál seria el importe de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rindeel 26% convertible mensualmente?

22. Haga una tabla de amortización para el ejercicio 21.23. Para pagar una deuda de $5 400 000 que vence dentro de 5 meses se va a constituir un fon-

do mediante depósitos mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un fondo deinversiones que rinde el 32% anual convertible mensualmente, hallar su importe.

24. Haga una tabla de amortización para el ejercicio 23.25. Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15 000 000 contra-

,. tada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral capitalizable men-sualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos quincenales vencidos enuna cuenta de inversiones que rinde el 2.7% mensual efectivo.

26. Ernesto Torres contrae una deuda por $8 000 000 a pagaren 14 meses con el 3-5% de inte-rés efectivo mensual. La va a amortizar constituyendo un fondo mediante depósitos men-

t suales vencidos. ¿Cuál deberá ser el importe de los depósitos si el fondo se coloca al 30%anual convertible mensualmente?

27. ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se colo-can en un fondo de inversión que rinde el 28.5% convertible mensualmente con el objetode amortizar una deuda de $8 888 888 que vence exactamente dentro de 8 meses?

28. El licenciado Vidriera ha estado ahorrando $200 000 cada dos meses desde hace año y medioen una cuenta de inversión de renta fija que paga el 20% anual convertible mensualmente.Lo que pretende es pagar dentro de seis meses una deuda que a esa fecha tiene un valor de$3 000 000. a) ¿Le alcanzará con lo que acumule en el fondo para pagar su deuda? 5} ¿Cuán-to le sobrará o cuánto le faltará?

29. Un comerciante decide crear una reserva para adquirir un local más amplio para su nego-cio. Deposita cada semana $250000 en un fondo de inversiones que paga el 27% anualconvertible mensualmente. ¿Cuánto habrá acumulado en el fondo al cabo de seis meses?

30. Un chofer desea adquirir el taxi que maneja y que pertenece al señor Urrutia. Éste ha conve-nido en venderle el auto y el permiso de taxi dentro de año y medio en $17 500000 ¿Cuántodebe depositar semanalmente el chofer en un fondo de inversión que paga el 25% converti-ble mensualmente para acumular la cantidad que necesita?

31. Si el mismo chofer del ejercicio 30 hiciera los depósitos cada tercer di a, ¿cuánto necesitaríadepositar? Considérense años de 360 días y meses de 30 días.

32. Una persona debe liquidar $7700000 al 15 de diciembre. Si ese día recibe $3200000 de. aguinaldo y lo va a aplicar el pago de su deuda, y el resto lo va a pagar con lo que se acumu-

le en un fondo de inversión. ¿Cuánto deberá depositar mensualmente en el fondo que pagael 28% anual convertible mensualmente, si el primer depósito lo va hacer e! 15 de junio?


33. Se constituyó un fondo con depósitos mensuales de $1 000 000. Durante dos años el fondoobtuvo intereses al 42% convertible mensualmente y al principio del tercer año el rendi-miento descendió al 30% también convertible mensualmente. ¿Cuánto se había acumula-do en el fondo al terminar el tercer año?

34. Un agente de ventas calcula que debe comprarle llantas nuevas a su automóvil cada 5 meses.f Decide formar un fondo para acumular el dinero que necesitará para el próximo juego de

llantas que calcula le costarán $900 000 dentro de 5 meses. ¿Cuánto dinero deberá deposi-tar quincenalmente en un fondo de inversiones que paga el 2.75% mensual para reunir los$900 000?

35. Se contrae hoy una deuda por $24000000 pagadera a 7 meses sin interés. Si se depositan$3 000 000 mensuales en un fondo que paga el 2% mensual de interés, ¿qué proporción dela deuda se habrá amortizado al momento de hacer el sexto depósito?

36. El ingeniero López debe pagar $6 350 000 el 13 de noviembre. Ha acumulado 6 depósitosmensuales de $800 000 en un fondo que paga el 2.025% mensual y realizó el sexto depósitoel 6 de septiembre ¿Cuánto tendría que depositar en el fondo el 13 de octubre para poder li-quidar su deuda al vencimiento?

37. Para pagar el 30% de enganche de un inmueble que vale al contado $42 750 000 (al mo-mento de la entrega) se constituyó un fondo mediante depósitos mensuales realizados desde8 meses antes de la operación. Si los depósitos mensuales fueron de $1 475 000, ¿cuál fue latasa de interés que rindió el fondo?

38. El Lie. Candelaria debe liquidar $3 500 000 dentro de 6 meses y $5 500 000 dentro de unaño. Para pagar, decide formar un fondo mediante depósitos iguales cada mes en una cuentade inversión que paga el 2.3% mensual. ¿Qué cantidad debe depositar cada mes para amor-tizar cada una de sus deudas en sus respectivos vencimientos?

39. Depositando $50000 quincenales en un fondo de inversiones que paga el 24% efectivoanual, ¿en qué tiempo se reuniría $1 000 000?

40. Haga una tabla que muestre el comportamiento de un fondo de amortización constituidomediante depósitos mensuales de $600000 a un fondo que rinde el 27.6% anual conver-tible mensualmente si al momento de realizar el segundo depósito el interés cambia al25%, con la misma capitalización y se hacen tres depósitos más por $600 000 cada uno.

41. Se depositaron $80000 semanales en una cuenta de ahorros. Si al cabo de seis meses seacumularon $2 320 270, ¿qué tipo de interés efectivo anual se paga en esa cuenta? Considé-rense 52 semanas por año.

42. ¿A qué tasa de interés tendrían que hacerse 8 depósitos mensuales vencidos de $420000para acumular, al momento de hacer el octavo depósito, $3800000?

8.14 RESUMEN

Amortizar es extinguir una deuda actual mediante pagos periódicos. Un fondo de amor-tización es una reserva que se acumula mediante depósitos periódicos con el objeto de extin-guir una deuda futura. Los valores de las amortizaciones y de los fondos de amortización secalculan con la fórmula de anualidades adecuada según la situación. Los conceptos sonequivalentes: la renta de una anualidad es el pago periódico de una amortización o el depó-sito de un fondo de amortización. Las tablas de amortización y de fondo de amortizaciónmuestran la forma en que se van modificando las condiciones de un periodo a otro.



Al terminar de estudiar este capítulo, el lector será capaz de:

• Definir y explicar el concepto de amortización• definir y explicar el concepto de fondo de amortización• Identificar situaciones en las que puedan aplicarse estos conceptos• Plantear y resolver ejemplos de amortización y de fondo de amortización encontrando:

— ti pago o depósito periódico— El valor actual o futuro a pagar— La tasa de interés— ti plazo— El número de pagos periódicos o depósitos necesarios según se requiera

• Elaborar tablas de amortización y de fondo de amortización

TÉRMINOS Y CONCEPTOS IMPORTANTES%

• Amortización• Fondo de amortización• Depósito periódico• Pago periódico• ( Derechos del acreedor• Derechos del deudor• Saldo


1. Haga una tabla que muestre cómo se amortiza una deuda de $4000 000 contratada hoy yque debe pagarse mediante 5 pagos mensuales iguales y vencidos si se carga el 29% anualconvertible mensualmente.

2. ¿Cuál sería el importe de cada uno de 15 pagos bimestrales iguales y vencidos necesariospara pagar un automóvil que cuesta $27 800 000, si se da un enganche de $7 800 000 y secobra un interés del 4% mensual sobre saldos insolutos?

3. El señor Ramírez compra un juego de muebles de sala en $4 500 000. Paga el 15% de en-ganche y tres mensualidades de $800 000 cada una a los 30, 60 y 90 días de realizada la ope-ración, respectivamente. Si convino en liquidar el resto mediante dos mensualidades más alos 120 y 150 días, ¿cuál será el importe decadaunode estos pagos iguales si la transacciónse contrató al 3.5% mensual sobre saldos insolutos?

4. Un abogado debe liquidar mediante 13 pagos mensuales vencidos una deuda de $10000 000que contrae hoy. Si paga intereses a razón del 1.8% mensual sobre saldos insolutos y con-viene en pagar 12 mensualidades iguales de $850 000, ¿cuál debe ser el importe del últimopago para amortizar totalmente su deuda?


5. Haga una tabla de amortización que muestre las condiciones de una deuda en los dos pri-meros y en ios dos últimos periodos si el importe del débito es de $5 450 000 y se convinoen amortizarlo mediante 24 pagos bimestrales vencidos y la tasa es del 3.9% mensual sobresaldos insolutos.

6. Se compró un automóvil con $12 000 000 de enganche y un saldo de $20 000000 a pagaren* 24 mensualidades iguales con el 3.7% anual capitalizable mensualmente. ¿A cuánto

ascendían los derechos adquiridos por el comprador sobre el automóvil exactamente des-pués de realizar el decimotercer pago?

7. Al comprar un refrigerador que cuesta $2 900 000, un cliente pagó el 25% de enganche yacordó pagar el saldo con 5 pagos mensuales vencidos iguales y con intereses del 2.85%mensual sobre saldos insolutos. ¿A cuánto ascendían los derechos adquiridos por el clienteinmediatamente antes de realizar el tercer pago?

8. ¿Cuál sería el saldo insoluto de una deuda de $9 380 000 contratada hoy y para pagar me-diante 6 pagos bimestrales iguales y vencidos con interés del 5.7% bimestral efectivo, exac-tamente al realizar el segundo pago?

9. Daniel obtiene un préstamo hoy por $3 650 000 que conviene en pagarlo mediante abonosquincenales de $212 365. Si el interés que pagará es del 3% efectivo mensual, ¿cuál será elsaldo de su deuda inmediatamente antes de realizar el décimo pago?

10. Se va a amortizar una deuda de $8000000 con 12 pagos mensuales iguales con el 34%anual convertible bimestralmente. Calcule el saldo de la deuda al realizar el sexto pago ydetermine de este sexto pago qué proporción es de intereses y qué proporción correspondea amortización.

11. Se adquiere un departamento que cuesta $65 250 000 con $30 000 000 de enganche y el sal-do a pagar a 10 años, con interés variable y abonos mensuales. Si durante el primer año secarga el 34% anual convertible mensualmente y se pagan 12 mensualidades de $1 034962y durante el segundo año se carga el 32% anual convertible mensualmente y se pagan 6mensualidades de $983 772, hallar el saldo insoluto al hacer el decimoctavo pago.

, * 12. Se paga una deuda de $8 370 000 con "] 5 pagos mensuales vencidos iguales, con el 46% de. interés efectivo anual. ¿Qué cantidad se paga en total de intereses?

13. El señor López obtiene un préstamo de $11 500 000 para comprar un automóvil usado. Va aliquidar el préstamo con pagos mensuales durante 3 años con el 34.5% efectivo anual¿Qué cantidad paga de intereses durante el segundo año?

14. ¿Por qué en una operación de amortización la parte de los pagos que se aplica a la amorti-zación misma va siendo cada vez mayor?

15. Una persona adquiere muebles a crédito para su casa por un valor de $7 600 000 que con-viene en amortizar mediante 24 mensualidades con el 3.1 % de interés mensual. Seis mesesdespués de realizada la compra obtiene un préstamo de una institución de seguridad so-cial, con el cual liquida el saldo de su deuda que queda con el 1.5% de interés y al mismoplazo. ¿Cuánto se ahorró de intereses?

16. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $948616 serían necesarios para amortizar unadeuda de $9 500 000 si el interés es de 2.73% mensual efectivo?

17. ¿Cuántos pagos mensuales de $1 000 000 serían necesarios para pagar una deuda de $5 000 000si se carga interés al 46% efectivo anual? ¿De qué cantidad tendría que ser el último pago[menor que $1 000 000) para amortizar completamente la deuda?

18. Una empresa adquiere tres vehículos de carga usados que cuestan en total $23 800 000 me-diante 10 pagos bimestrales de $3 250 000 ¿Qué tasa anual efectiva se pagó?


19. Un equipo modular cuesta $6800000 de contado. En abonos se vende con $2 000000 deenganche y 6 pagos mensuales vencidos de $900800. ¿Qué tasa de interés nomina! anualcon capitalización mensual se carga en la operación?

20. ¿Qué cantidad tendría que depositar cada mes el señor Lozano para acumular $50 000 000dentro de 6.5 años si los depósitos los hace en un fondo de inversión que paga el 2% men-sual?

21. Construya una tabla de amortización que muestre la forma en que se acumula un fondo,durante seis meses, mediante depósitos mensuales vencidos de $100000 al 40% anualefectivo.

22. Construya una tabla de amortización que muestre la forma en que se acumularían $500 000en un fondo de amortización, al cabo de seis meses, mediante depósitos mensuales venci-dos si el instrumento de inversión en que se coloca el fondo rinde el 24% anual capitalí-zale trimestralmente.

23. Romeo y Julieta desean ahorrar $20 000000 para dar el enganche de un departamento. Siahorran $500000 mensuales en una cuenta bancaria de inversión, ¿cuántos depósitosnecesitarían hacer y cuál sería el valor del último depósito, superior a $500 000 si su fondogana interés a razón del 2.2% mensual?

24. Jorge Vork necesita tener $18500000 dentro de tres años para liquidar una deudacontraída en su negocio. Encuentre los depósitos trimestrales que tendría que hacer a unfondo de amortización que paga el 25% anual convertible mensualmente y construya unatabla que muestre el comportamiento del fondo durante los tres primeros y los tres últimostrimestres.

25. Un comerciante puede obtener un préstamo por $40000000 que puede pagar:

a) Amortizándolo mediante 24 pagos mensuales con interés al 3.5% mensual sobre saldosinsolutos.

b) Pagar intereses sobre el préstamo al 60% anua! efectivo y formar un fondo de amortiza-ción mediante 24 depósitos mensuales en un fondo que paga el 42% anual efectivo.¿Qué plan resulta más económico-y en qué cantidad mensual?

26. ¿Qué tipo de interés tendría que rendir un fondo de amortización que se crea con 6 depósi-tos bimestrales de $155 500 para acumular al realizar el sexto depósito $1 000000?

Inversión en bolsa de valores

OBJETIVO:Al finalizar el estudio del presente capitulo, el lector será capaz de:

• Explicar las características fundamentales de los títulos-valor que se negocian en la BolsaMexicana de Valores, S.A. de C.V.;

• Explicar cuáles son las formas en que se pueden obtener rendimientos a través de estosvalores;

• Calcular las tasas efectivas de rendimiento de esos valores, a cualquier plazo y en diversascircunstancias.

TE\1ARIO

9.1 INTRODUCCIÓN

9.2 RENDIMIENTO DE VALORES BURSÁTILES

9.3 LOS VALORES BURSÁTILES

9.4 RENDIMIENTO DE VALORES QUE OFRECEN GANANCIAS DE CAPITAL

9.4.1 ACCIONES DE SOCIEDADES DE INVERSIÓN

9.4.2 ACCIONES DE EMPRESAS Y BANCOS

9.4.3 VALORES CON TASA DE DESCUENTOt

9.4.4 VALORES CON TASA DE DESCUENTO Y DENOMINADOS EN DÓLARES

9.5 VALORES QUE PAGAN INTERESES

9.5.1 TRES ASPECTOS IMPORTANTES

9.5.1.1 TASAS NETAS Y TASAS BRUTAS

9.5.1.2 FECHAS DE COMPRA-VENTA Y DE PAGO DE INTERESES

9.5.1.3 COMISIONES

9.5.2 BONOS DE DESARROLLO DEL GOBIERNO FEDERAL (BONDES)

9.5.2.1 OPERACIONES EN FECHAS DE PAGO DE INTERESES

9.5.2.2 OPERACIONES EN FECHAS QUE NO SON DE PAGO DE INTERESES

9.5.3 OBLIGACIONES



9.5.4 BONOS DE RENOVACIÓN URBANA DEL DISTRITO FEDERAL (BORES) Y BONOS INDEMNIZACIÓN

BANCARIA (BIB's)



253


9.1 INTRODUCCIÓN

El mercado de valores representa, por un lado, una de las más importantes fuentes de finan-ciamiento para las organizaciones tanto del sector público como del sector privado y, porotra parte, una amplia gama de alternativas de inversión, ahorro y manejo de excedentes mo-

'netarios.La Bolsa de Valores, reglamentada mediante la ley del Mercado de Valores, es la institu-

ción (mercado) en cuyo piso de remates se realizan las transacciones de compra-venta de losdocumentos (valores) que formalizan las operaciones. En el presente capítulo, se describenbrevemente las características de los diversos instrumentos bursátiles y se revisan los proce-dimientos que se aplican para calcular sus rendimientos efectivos en distintas circunstan-cias.

9.2 RENDIMIENTO DE VALORES BURSÁTILES

Las tres formas en las que se obtienen ingresos (rendimiento) sobre las inversiones bursátilesson:

* — interés— dividendos— ganancias de capital

El interés es el pago que se pacta por el uso de capital ajeno. Los dividendos son las utilida-des que obtienen las empresas y que reparten entre sus accionistas. Estos dividendos sepueden pagar en efectivo o en acciones. Se obtienen ganancias de capital al vender accionesa precio superior al que se paga en el momento de comprarlos. Es la forma más común deobtener rendimientos en la Bolsa de Valores, e incluye el caso de diversos instrumentos quese venden por debajo de su valor nominal (con descuento), y que a su vencimiento se pa-gan a ese valor nominal, con la consiguiente ganancia de capital. Incluye también, por su-puesto, el caso de valores cuyo precio varía en el mercado, lo cual ocasiona diferenciasentre el valor de compra y el de venta, como es el caso de las acciones y otros instrumentos.En este renglón de ganancias de capital, se incluye el aumento de valor que experimentan al-gunos instrumentos por el hecho de que su precio está asociado al tipo de cambio peso-dólar. Este concepto es importante, ya que las ganancias de capital están exentas del pagodel impuesto sobre la renta, mientras que los ingresos por intereses o dividendos sí son gra-vados por este concepto. Por supuesto, esto tiene efecto sobre el rendimiento efectivo que elinversionista obtiene.

9.3 LOS VALORES BURSÁTILES

Los instrumentos que se negocian actualmente en la Bolsa Mexicana de Valores, S.A. de C.V., son:

1. Acciones1.1 De empresas comerciales, industriales y de servicios1.2 Certificados de aportación patrimonial

Inversión en bolsa de valores 255

Acciones de sociedades de inversión2.1 de renta fija2.2 Comunes (de renta variable)2.3 de capitales (de capital de riesgo)Aceptaciones bancaríasBonos

4.1 Bonos Bancarios4.1.1 Bonos bancarios de desarrollo (BBD)4.1.2 Bonos bancarios para el desarrollo industrial con rendimiento capita-

lizable.4.1.3 Bonos bancarios para la vivienda

4.2 Bonos de desarrollo del Gobierno Federal (Bondes)4.3 Bonos de indemnización bancaria (BIB)4.4 Bonos de la Tesorería de la Federación (Tesobonos)4.5 Bonos de renovación urbana del Distrito Federal (Bores)4.6 Bonos ajustables del Gobierno FederalCertificados de la Tesorería de la Federación (Cetes)Certificados de participación6.1 Retrobónos6.2 Certificados de plata (Ceplatas)6.3 Certificados de Participación Inmobiliaria (CPI)Obligaciones7.1 Hipotecarias7.2 Quirografarias7.3 Convertibles7.4 Indizadas7.5 Con rendimiento capitalizable7.6 Subordinadas >Pagarés de la Tesorería de la Federación (Pagafes)Papel comercial

:n los párrafos siguientes, se hace una breve descripción tanto de cada uno de estos instru-"entos, como de la forma en la que otorgan rendimientos;

1. Las acciones de empresas comerciales, industriales y de servicios, así como los cer-tificados de aportación patrimonial de los bancos son títulos que representan lapropiedad de sus tenedores sobre una de las partes iguales en que se divide el capi-tal de la sociedad (anónima en el primer caso y nacional de crédito en el segundo).En estas acciones, las ganancias que se pueden obtener pueden ser de dos tipos: ga-nancias de capital y dividendos (en acciones o en efectivo).

2. Las acciones de sociedades de inversión son títulos que representan la participa-ción (propiedad) de sus tenedores sobre las parteslguales en que se divide un fondodestinado a inversiones financieras. Las ganancias que se pueden obtener medianteestos instrumentos se logran a través de ganancias de capital.

3. Las aceptaciones bancarias son letras de cambio emitidas por empresas y avaladaspor bancos, con base en créditos que la institución (banco) aceptante concede a las


emisoras. Con aceptaciones bancarias, se pueden obtener rendimientos medianteganancias de capital, ya que se venden con descuento.Los bonos son títulos que documentan préstamos a largo plazo, normalmente amás de un año. Exceptuando los Tesobonos, los demás bonos otorgan rendimien-tos, principalmente a través del pago de intereses. También se pueden obteneringresos (o pérdidas) mediante ganancias de capital. Aunque las ganancias o pérdi-das de capital suelen ser moderadas, es común que estos títulos se negocien en elmercado de valores a un precio diferente de su valor nominal. Existen también bo-nos que no hacen pagos periódicos de interés, sino que capitalizan estos pagos. Sinembargo, esto no altera el concepto del rendimiento mediante interés.4.1 Los Bonos Bancarios de Desarrollo son emitidos por los bancos de desarrollo

que son:

— Nacional Financiera (NAFINSA)— Banco Nacional de Obras y Servicios Públicos (BANOBRASJ— Banco Nacional de Comercio Exterior (BANCOMEXT)'— Banco Nacional del Pequeño Comercio (BANPECO)— Banco Nacional del Ejército, Fuerza Aérea y (BANJERCITO)— Banco Nacional de Crédito Rural {BANRURAL}— Financiera Nacional Azucarera (FINASA)

El propósito de estos bonos es, precisamente, fomentar el desarrollo na-cional en el área de competencia del banco emisor.

4.2 Los Bondes son títulos de crédito a largo plazo que se crearon mediante undecreto publicado en el Diario Oficial de la Federación el 22 de septiembre de1987, y su propósito es financiar los proyectos a largo plazo del Gobierno Fede-ral, fungiendo éste como garante. Los rendimientos que ofrecen son a través deintereses pagaderos mensualmente, aunque en la bolsa de valores suelen inter-cambiarse a un precio distintos su valor nominal, por lo cual también se ob-tienen ganancias o pérdidas de capital.

4.3 Los bonos de indemnización bancaria se crearon a raíz de la expropiación delos bancos, decretada el 1° de septiembre de 1982 a fin de pagar a los propieta-rios de los bancos el valor de los bienes expropiados. Se creó un Fideicomisopara el pago de la indemnización bancaria, con la Secretaría de Programación yPresupuesto como fideicomitente, en representación del Gobierno Federal, y elBanco de México como fiduciario. Pagan intereses y se negocian a precio distin-to a su valor nominal.

4.4 Los Bonos de la Tesorería de la Federación son títulos de crédito emitidos por elgobierno federal, denominados en dólares estadounidenses al tipo de cambiolibre. Como se venden con descuento, los rendimientos que ofrecen son a travésde ganancias de capital. Es importante observar que el rendimiento depende dela tasa de descuento y del tipo de cambio peso-dólar vigente.

4.5 Los bonos de renovación urbana del Distrito Federal se emitieron en 1986 con elobjeto de indemnizar a los propietarios de los inmuebles expropiados a conse-cuencia del terremoto que devastó la ciudad de México en septiembre de 1985Ofrecen rendimientos mediante pagos periódicos de interés y a través de ganan-cias de capital.


4.6 Los bonos ajustables del Gobierno Federal son títulos nominativos con valor no-minal de $100 000 o sus múltiplos, mismo que se ajusta a la alza o a la baja enproporción a aumentos o disminuciones del índice Nacional de Precios al Con-sumidor, que publica el Banco de México, S.A.

Los Certificados de la Tesorería de la Federación, fueron creados en 1977 para fi-nanciar la inversión productiva del gobierno federal, regular el circulante, influirsobre las tasas de interés y propiciar un sano desarrollo del mercado de valores.Como se venden con descuento, los rendimientos que se obtienen son a través deganancias de capital.6.1 Petrobonos. Son certificados de participación ordinarios y representan los de-

rechos de su tenedor sobre determinada cantidad de petróleo. La participaciónes en un fideicomiso constituido por el gobierno federal en Nacional Finan-ciera. El rendimiento que se obtiene es mediante intereses y ganancias de capitaltal. Como ya sólo existe en circulación la emisión de 1988, que vence el 25 deabril de 1991, y como no parece que vaya a haber más emisiones, ya no tienenmayor interés y, por ello, no se les analiza más.

6.2 Certificados de Plata. Son certificados de participación ordinarios que represen-tan los derechos de sus tenedores sobre un fideicomiso constituido con plata. Elrendimiento que se obtiene es por ganancias de capital.

6.3 Certificados de Participación Inmobiliaria. Representan los derechos que sus te-nedores tienen sobre determinados inmuebles comprometidos como patrimo-nio de un fideicomiso. Otorgan rendimiento por medio de pagos periódicos deinterés y a través de ganancias de capital.

Obligaciones. Son títulos-valor nominativos mediante los cuales se documenta unpréstamo que una sociedad anónima (o sociedad nacional de crédito) obtiene de unconjunto de inversionistas. El rendimiento se obtiene mediante pagos periódicos deinterés y a través de ganancias de capital.7.1 Las obligaciones hipotecaria^ están garantizadas por bienes inmuebles. Ofrecen

rendimientos principalmente a través de pagos periódicos de interés (las más de lasveces son pagos mensuales) y, secundariamente, mediante ganancias de capital.

7.2 Las obligaciones quirografarias no tienen garantía específica, aparte de la sol-vencia de la emisora. Sus rendimientos se dan en las mismas formas que paralas obligaciones hipotecarias.

7.3 Las obligaciones convertibles ofrecen a su tenedor la opción de obtener ac-ciones de la empresa emisora en su fecha de redención, en vez de obtener enefectivo su valor nominal.

7.4 Las obligaciones indizadas otorgan rendimientos aplicando a su valor nominalel crecimiento del índice Nacional de Precios al Consumidor. Esta actualiza-ción del valor nominal se lleva a cabo cada 91 días.

7.5 Las obligaciones con rendimiento capitalizable, como su nombre indica, sonaquellas en las que los intereses que se generan no se pagan en efectivo al tene-dor, sino que pasan a aumentar el capital invertido.

7.6 A las obligaciones subordinadas se les llama así porque, en caso de liquidaciónde la emisora, se pagan a prorrata después de haber cubierto todas las restantesdeudas de la institución, pero antes de repartir a los tenedores de las acciones elremanente del haber social.


8. Pagarés de la Tesorería de la Federación. Creados en julio de 1986, son títulos de• crédito denominados en dólares estadounidenses, en los cuales se consigna la obli-

gación del gobierno federal de pagar una suma en moneda nacional, equivalente asu valor en dólares, en una fecha determinada. Estos pagarés documentan créditosen dólares, otorgados al Gobierno Federal por el Banco de México, el cual a su vez,los coloca en el mercado de valores. El rendimiento que otorgan es mediante ga-nancias de capital, ya que se venden con descuento y, como están denominados endólares, su rendimiento depende también del tipo de cambio.

9. El Papel Comercial está constituido por pagarés que se utilizan para documentarcréditos, usualmente entre empresas. Como se pactan mediante tasa de descuento,los rendimientos que ofrecen son ganancias de capital.

En la tabla 9.1 se resumen las características de rendimiento de estos valores bursátiles.

TABLA 9.1RENDIMIENTO DE INSTRUMENTOS BURSÁTILES

*

Acciones de empresasAcciones de sociedadesde inversiónAceptaciones bancariasBonos

BBD

BondesBIB

TesobonosBores

Certificadosde participación

CeplatasCPI

ObligacionesPagafesPapel ComercialCetes

Dividendos

X

i

Ganancias decapital

X

XX

XXXXX

XXXXXX

Intereses

xxx

x

xXX

En las secciones siguientes se dan ejemplos de cómo calcular el rendimiento nominal y elrendimiento efectivo de los diversos instrumentos bursátiles, según el tipo de ganancia o ren-dimiento que principalmente permiten.

9.4 RENDIMIENTO DE VALORES QUE OFRECEN GANANCIAS DE CAPITAL

Tal como se vio antes, las ganancias de capital se obtienen al comprar un título y venderlo aun precio superior. Esta diferencia entre el precio de compra y el de venta se da, en un casomuy frecuente, en valores que se venden con descuento. Esto quiere decir que los valores sevenden a un precio inferior al que tienen a su vencimiento (valor nominal); el precio de venta


se determina mediante una tasa de descuento, la cual permite determinar el precio inferior alde vencimiento al que se venden los títulos en el momento de su colocación en el mercado.

El otro caso es el que surge de cambios en los precios de los valores en las operacionesde compra-venta que se realizan en la bolsa de valores (precio de mercado), y que ejemplifi-can clásicamente las acciones de empresas y las acciones de sociedades (fondos) de inver-sión. Bn ambos casos, el cálculo del rendimiento se hace de manera muy simple, dividiendola ganancia entre el precio pagado por el título (el cual a veces coincide con el valor nominal)

9.4.1 ACCIONES DE SOCIEDADES DE INVERSIÓN

En la tabla 9.1 se presentan los precios de algunas sociedades de inversión seleccionadas,para diversas fechas. Estos precios se pueden consultar en la sección financiera de los princi-pales periódicos del siguiente día hábil. Se incluye en la tabla una sociedad de inversión decapital con un sólo precio, para hacer hincapié en que existen sólo de momento, son apenasunas cuantas y, como no se negocian con frecuencia, tampoco se publica su precio.

Tabla 9.2Precios de cierre de acciones de sociedades de inversión (meses de 1990)

De renta fija

ABACORACCICORACCILIQARKAFEFICOMERFLNAFIN

* FONAFIN1NTEGR2INTEGRAPRODUCEPROTEGEREDIMAXRENTIMX

Comunes

ACCIARACCIPATBANABUREFICAPFCNAFINFICFINLAT4FOBURSAFONBNMFONMEXSERFIN1SOLIDOVALMER

De capitales

MtXPLUSi

1 febrero

1 107.081 166.433 684.753675.18

12770.2017080.6915 325.51

125.6727261.19

304.05209.97169.60

3573.36

3 700.009 560.00

136.35153.00

22 300.00437.14963.52597.75

2 519.53574.29228.44

14309.161 925.65

6100.00

28 febrero

1 143.431 207.573 802.003 791 .85

13185.781 7 491 .111 5 663.47

129.9628145.49

313.83• 214.09

175.033685.85

4 1 20.009 500.00

138.50163.50

23 900.00467.10958.51b09.60

2618.74602 52235.33

14876.902017.21

30 mayo

1 278.401 352.034 246.85

468.1814677.5019228.011 6 881 .66

145.3131 330.54

348.81228.80194.96

4085.77

5 420.0016560.00

195.85191 50

30 400.00564.48

1 269.12819.34

3410.5773590307.54

19280.252482.17

n •12 junio

1 295.101 369.554301.64

4738814855.8819443.1217033.74

147.1431 710.73

353.22231.21197.39

4131.94

5 205.0016403.00

194.45190.00

30 300.0055690

1 259.99839.28

3383.79726.08306.78

19329.832 443.47


El procedimiento para calcular la tasa efectiva de rendimiento de valores que tiene pre-cios distintos en fechas diferentes, consiste en dividir el precio de la fecha posterior entre elprecio de la fecha anterior y restarle una unidad. Esto equivale a dividir el monto entre el capi-tal. Este cociente menos uno da la tasa efectiva de rendimiento al plazo y, con ésta, sepuede determinar la tasa efectiva a cualquier otro plazo conveniente para comparaciones(Anormalmente un mes de 30 días o el año de 365). En símbolos:

Otra forma de considerar este rendimiento consiste en recordar que:

. /C

ya que se sabe que M = C + /. Sustituyendo esta expresión en (9.1):

C , / , _ , , / _ 1 = /c c e c e

* que es la misma expresión (9.2).

Como en el análisis de rendimientos de valores bursátiles suelen manejarse muy diversos. plazos, es común que ese plazo (p) no sea ni un mes ni un año y, como estos plazos son los

que se utilizan frecuentemente para efectos de comparación, con frecuencia se deben con-vertir las tasas determinadas al plazo original del instrumento o de la operación a tasas men-suales o anuales. Para hacer esto, se recurre al siguiente procedimiento:

'30 = d + íp)3*" - 1 O,

'36S = d + ''p)365'" - 1

De acuerdo a lo anterior, se puede ver que utilizando n para representar el plazo al quese desea convertir la tasa original obtenida:

/ — n + / 1 n/p (9 31'n ti T í p j

Ejemplo 9.4.1.1 Las acciones de la sociedad de inversión de renta fija, cuya clave es Ficomer yque administra Bancomer, tuvieron un valor de $12 770.20 y $13 185.78 el primero y el 28 defebrero de 1990, respectivamente, según se puede ver en la tabla 9-1. Calcúlese la tasa efectivade rendimiento a ese plazo y a 30 dias.


Solución:

f

El rendimiento fue entonces de

I M — C 13185.78-12770.20 415.58

C C 12770.20 12770.20f

'26 = 0.0325429516 o 3.25 %

Es importante observar que se puede calcular directamente la tasa efectiva de rendimiento al plazode 28 días de la siguiente manera:

Precio al f i ría I del periodo _ 1 _ monto __ MPrecio al principio del periodo capital C

13185.7812 770.20

- 1 = 1.0325429516 - 1 - 0.0325429516

Una vez habiendo obtenido la /2a, se puede calcular la tasa efectiva de rendimiento mensual a 30días:

- 1. 032542951 630/28 - 1 - 1. 032542951 61 °71428571 - 1

•j 0.03490757 o 3.49%\e es, por supuesto, igual a la que se obtuvo antes.

Adicionalmente, resulta útil visualizar que en la ecuación anterior el uno que se le resta es preci-samente el capital invertido.

Ejemplo 9.4.1.2 Calcúlese la tasa efectiva de rendimiento mensual de las acciones de FLNAFIN,ACCILIQ, ACCIPAT y FCNAFIN para el periodo del 28 de febrero al 30 de mayo de 1990, deacuerdo a los precios que se listan en la tabla 9.1.

Solución:

Entre las dos fechas consideradas transcurren 31 días de marzo, 30 de abril y 30 de mayo, por loque el plazo es de 91 días. Así

FLNAFIN

= ^ _ 1 = 19228.01 -- = a099301874

capital 17491.11

<30 = 1. 099301 8743W91 - 1 = 0.031703834

o 3.17%


ACC1LIQ:

. = 4 246-85 -- = 011 7004208 o3802

/30 = 1.11700420830/91 - 1 = 1.117004208o3296703297

í30 = 0.037151608 o 3.72%

ACCIPAT:

16560=

9500

/30 = 1.74315789530/91 - 1 - 0.201051302 o 20.11%

FCNAFIN:

3040Q mTioAA^v/gi --- 1 — 0.27196652723900

i

i 3Q = 1.27196652730'91 - 1 - 0.082536461 u 8.25%

En este ejemplo se puede observar que:

— los rendimientos de las sociedades de inversión de renta fi ja son bastante parecidos entre sí;además, son también semejantes a los rendimientos de los instrumentos bancarios de inver-sión, como los certificados de depósito a plazo y los pagarés con rendimiento liquidable alvencimiento.

— cuando el mercado accionario bursátil tiene movimientos alcistas importantes, como en elperiodo del 28 de febrero al 30 de mayo que se ilustra aquí (en el cual el índice de Precios \s de la Bolsa Mexicana de Valores subió de 473 018.11 puntos a 652 442 puntos, o

sea, un aumento del 37.93%), el rendimiento que se obtiene en las sociedades de inversióncomunes (de renta variable) es bastante superior al que se obtiene en las de renta fija. Eviden-temente, cuando el mercado accionario va a la baja, los rendimientos de estas inversionesson negativos (pérdidas), como en el lapso del 30 de mayo al 12 de junio para la mayoría delos fondos de renta variable y que es cosa que no sucede en los de renta fija. Esto se debe, porsupuesto, a que los fondos de inversión comunes invierten una buena proporción de sus re-cursos en acciones de empresas.

— se dan diferencias importantes en los rendimientos de las sociedades de inversión comunes(20.11 contra 8.25% en el ejemplo). Esto se debe a diferencias en la composición de las carte-ras.

Ejemplo 9.4.1.3 Calcúlese el rendimiento que ofrecieron las acciones de la sociedad de inver-sión común FINLAT4, del 30 de mayo al 12 de junio de 1990, de acuerdo a los precios anotadosen la tabla 9.1.


Solución:r

El precio de estas acciones era de $1 269.12 el 30 de mayo y de $1 259.99 el 12 de junio. El plazoes de 13 días. Así:

M — C 12 59 99 — 1 26912 - 913, fc J^ !r_ = -^ ' ¿mA¿ = Hii£_ = _ 0.0071939612C 1 269.12 1 269.12

Es decir, hubo una pérdida del 0.72% en el periodo. La tasa efectiva de rendimiento (pérdida)mensual es:

'30 - d + /i3)30/13 - 1 - [1 + (-0.0071939612)]2307692308- 1(30 - 0.99280603882-307692308 _ 1 = 0.9834765624 - 1/30 = 0.0165234176 o - 1.65%

que seria, entonces, la tasa efectiva de pérdida mensual que se obtendría en caso de permanecerdurante 30 días el mismo ritmo de reducción en el precio de las acciones de FINLAT4.

Por otro lado, los rendimientos calculados en el ejemplo 9.2 para FLNAFIN y ACCILIQ sonrealmente rendimientos efectivos, ya que los intermediarios bursátiles no cobran ninguna comi-sión éVi la compra-venta de los títulos, por tratarse de sociedades de inversión de renta fija. Sinembargo, cuando se trata de sociedades de inversión comunes, como ACCIPAT y FCNAFIN, en-tonces los intermediarios sí cobran una comisión del 1.7%, tanto al comprar como al vender. Porello, los rendimientos calculados de 20.11 y 8.25% se pueden considerar como el rendimientoacumulado en ese periodo, de acuerdo al precio de mercado. Si, de hecho, se hubieran compradoywendido las acciones en esas fechas, se habría tenido que pagar la comisión y, por ello el preciode compra habría sido 1.7% superior al precio de mercado, y el precio de venta, 1.7% menor,con la consiguiente reducción en el rendimiento efectivo.iEjemplo 9.4.1.4 Calcúlese la tasa efectiva de rendimiento mensual para un inversionista que ad-quirió acciones de ACCIPAT y de FCNAFIN el 28 de febrero de 1990 y que vendió el 30 de mayosiguiente.

Solución:

ACCIPAT:

Precio de compra = 9 500 + 9 500 (0.017) = 9 500 + 161.50 = 9 661.50

o = 9500(1.017) = 9661.50

Precio de venta = 16560 - 16560(0.017) = 16560 - 281.52 = 16278.48o = 16560(0.983) = 16278.48

Así, M = 16 278.48 y C = 9 661.50, por lo que,

.: _M_ _ 1 = 16278.48C 9 661.50


V,

'30 = d + '9i)30/91 - 1 = 1.68488123o3296703297 ~1 -

= 0.187662853 o 18.77%

FCNAFIN:

Precio de compra = 23 900 (1,017) = 24 306.30Precio de venta = 30400(0.983} = 29883.20

'91 ='

de donde:

29 883.2024 306.30

1 = 0.229442573 y,

/30 = 1.22944257330'91 - 1 = 0.07046913 o 7.05%

Como era de esperarse, las tasas efectivas para el inversionista son inferiores a las que se ob-tienen simplemente mediante los precios de mercado.

9.4.2 ACCIONES DE EMPRESAS INDUSTRIALES, COMERCIALESY DE SERVICIOS, Y CERTIFICADOS DE APORTACIÓNPATRIMONIAL (CAP).

Se pueden ahora revisar algunos ejemplos de cálculo de rendimientos de acciones de empresas y de, los certificados de aportación patrimonial de los bancos. Al igual que para las sociedades de inver-

sión, los precios de mercado de las acciones y certificados de empresas y bancos aparecen en los pe-riódicos al siguiente día hábil. En la tabla 9.3 se presentan los precios de algunas de esas acciones y

.' CAP en diversas fechas.

TABLA 9.3

PRECIOS DE CIERRE (ÚLTIMO HECHO) DE ALGUNOS CERTIFICADOS DE APORTACIÓNPATRIMONIAL Y DE ALGUNAS ACCIONES DE EMPRESAS (MESES DE 1990)

CAPBANCOMERBANAMEXBANORTHCOMERMEXINTENALSERFÍN

ACCIONES

CBACCICBINLATCBOBSA

1 febrero

6254680

515476276

3440

4222100

332

28 febrero

6104570

490408244

3100

4682 500

336

1 marzo

6254590

490408248

3100

4642 500

330

31 marzo

8306100

720565306

4070

5852610

324

1 mayo

8256625

815630324

4650

7503140

410


TABLA 9.3 (Continuac/ón)

PRECIOS DE CIERRE (ÚLTIMO HECHO) DE ALGUNOS CERTIFICADOS DE APORTACIÓNPATRIMONIAL Y DE ALGUNAS ACCIONES DE EMPRESAS (MESES DE 1990) (Continuación)

ALFAAPASCOCEMEXPRISCOPEÑOLESSANLUISA1TELMEXA90VITRO

1 febrero

38 100320084001 800456031503080

40000

28 febrero

43100—

97001 830453033803160

40800

1 marzo

43100—

96001 830453033903100

—

31 marzo

42 700280090001 930488033703370

39400

1 mayo

48000—

83752020395032003660

44500

Ejemplo 9.4.2.1 El valor de mercado (último precio) al que se negociaron las acciones de Cemen-tos Mexicanos S.A. (clave Cemex) los días primero y 28 de febrero de 1990 fueron $8 400 y $9 700,respectivamente. Calcúlese la tasa efectiva de rendimiento mensual para esas acciones, supo-niendo que no hubo pago de dividendos en ese lapso.

tSolución:

En primer lugar, se observa que el precio por acción aumentó en $1 300 en el periodo, por lo quela tasa efectiva de rendimiento al plazo fue:

'28 c1 3008400

0.154761905 o 15.48%

Se puede determinar esta misma tasa de la siguiente manera:

28 = 1.154761905 - 1 = 0.154761905C 8 400

y obtenida la i2K, es posible calcular la tasa efectiva de rendimiento mensual a 30 días:

i ¡o - (1 + '28}30/28 - 1 = 1.1547619051071428571 - 1 = 0.166691932 o 16.67%

bs importante notar que estos cálculos sólo reflejan el rendimiento en el precio de la acción, se-gún el comportamiento observado en ese periodo especifico de 28 días y que, como se mencionóal principio, no se toman en cuenta las comisiones que cobran los intermediarios bursátiles (ca-sas de bolsa o bancos) al comprar y vender acciones de empresas y de sociedades de inversióncomunes y de capitales, y que es de 1.7% tanto al comprar como al vender.

Ejemplo 9.4.2.2 Calcúlese el rendimiento de las acciones de Cemex, si efectivamente se hu-bieran comprado y vendido en esas lechas y a los precios dados.


Solución:

El procedimiento es igual que en el ejemplo 9.4, calculando el precio de compra superior en1.7% al valor de mercado del primero de febrero y el precio de venta 1.7% menor al valor de merca-do del día 28 debido a la comisión. Así:

*Precio de compra = 8400(1.017) = $8542.80Precio de venta = 9 700 (1 - 0.017) = 9 700 (0.983) = $9 535.10

entonces:

9 535 1'28 = l:.¿'n 1 = 0.116156295 u 11.62%

8 542.8

Como era de esperar, si efectivamente se realizan las operaciones de compra y de venta, se paga-rá comisión, y el rendimiento será menor al que se calcula sólo con los precios de mercado.

El otro caso que se puede dar con las acciones de empresas es que paguen dividendos, yasea en acciones o en efectivo. Si el pago lo hacen en acciones, el proceso de canje de accionesocasionará ajustes en el precio de la acción o en el número de acciones en circulación, en cuyoca$o se podrán aplicar los procedimientos que se revisan en esta sección para calcular su rendi-miento efectivo.

Si, por otro lado, el pago de dividendos se hace en dinero, el cálculo del rendimiento efecti-vo deberá tomar en consideración la fecha y el monto de ese pago (como se ve a continuación*mediante ecuaciones de valores equivalentes.

Ejemplo 9.4.2.3 Determínese la tasa efectiva de rendimiento mensual de las acciones de CBESTRA(Casa de Bolsa Estrategia Bursátil, S.A. de C.V.) que tuvieron un precio de $306 cada una el 25 de

i abril de 1990, de $310 el 12 de junio, y que pagaron un dividendo de $351 por acción el 23 de ma-

Solución:

Conviene visualizar el caso mediante un diagrama de tiempo y valor, que ayude a plantear laecuación de valor correspondiente Obsérvese la figura 9.1.

FIGURA 9.1DIAGRAMA PARA EL EJEMPLO 9.7

$306 *J5 $J10

I 1 125 de abril 23 de mayo 12 de junio

1 Para simplificar el análisis, no se toma en consideración el impuesto sobre la renta que los inversionistas debenpagar por los dividendos que obtienen de sus inversiones en acciones. Sin embargo, y por supuesto, en la prácticasi se deben incluir.


Los plazos en días entre las diferentes fechas son:

— del 25 de abril al 23 de mayo: 28 días— del 25 de abril al 12 de junio: 48 dias

fEn términos de la simbologia que se utiliza en este texto, M = 310, C = 306 e / = 35. Enton-

ces, la ecuación de valor correspondiente utilizando como fecha focal el 25 de abril, es:

306 35(1 + ')~2a + 310(1 + /)-«

Como no es posible despejar la / de este tipo de ecuaciones, su resolución se lleva a cabo en-sayando valores de /' hasta encontrar uno que haga que la igualdad se cumpla. Para hacer esto,conviene observar que, como el plazo está planteado en días (48 y 28), la tasa efectiva que se ob-tiene al resolver la ecuación será, por supuesto, la tasa efectiva diaria. Y entonces, por ejemplo,si se da a la / un valor de 0.002 se tiene que:

306 = 35(1.002)-2B + 310(1.002)-48

= 33.0957206 + 281.6508462= 314.7465668

Como 314.74 > 306, la siguiente aproximación se debe hacer con una tasa más alta. Y, si / = 0.0025:%

306 = 35(1.0025)-28 + 310 (1 .0025)-48

= 32.63663453 + 274.9865117= 307.6231462

Siguiendo con estas aproximaciones, se puede llegar a una tasa satisfactoriamente próxima, yque podría ser / = 0.002613, ya que:

306 = 35 (1. 00261 3)-28 + 310 (1 .00261 3}-48

= 32.53379789 + 273.5028053306 = 306.0366

Así, con la tasa efectiva diaria (aproximada) se puede calcular la tasa efectiva mensual:

'30 = O + 'i)30/1 - 1 = d + M30 - 1 = 1. 00261 330 - 1/30 = 0.08143 u 8.14%

Como se puede observar, la realización manual de estos cálculos es bastante laboriosa, porlo que en la práctica, si fuera necesario realizar estas operaciones con frecuencia o en abundan-cia; convendría utilizar alguno de los paquetes de computación disponibles que permiten resol-ver esta clase de ecuaciones.


9.4.3 VALORES CON TASA DE DESCUENTO

En esta categoría se encuentran principalmente los Certificados de la Tesorería de la Federa-ción (Cetes}, así como también el Papel Comercial y las Aceptaciones Sanearías. Se dice queprincipalmente los Cetes, porque los procedimientos para el Papel y las Aceptaciones hacenrefefencia a lo aplicable a Cetes, y porque las tasas de Cetes son una referencia importanteen el medio financiero mexicano.

El procedimiento general aplicable a este tipo de títulos es:

1. Calcúlese el precio descontado mediante la tasa de descuento. La fórmula que se ma-neja en el medio bursátil para calcular el precio es:

P = VN [1 -j-H C9.4)360 J

en donde:

P — precio descontadoVN = valor nominalí — plazo en díasd — tasa de descuento

» 2. Calcúlese el rendimiento al plazo, o descuento, que es:\ = VN - P (9.5)

i

3. Determínese la tasa efectiva de rendimiento al plazo.4. Calcúlese la tasa efectiva al plazo que se requiera (usualmente mensual o anual).

Se procede ahora a revisar algunos ejemplos.

Ejemplo 9.4.3.1 En la figura 9.2 se reproduce el anuncio de colocación de Cetes del jueves 8 demarzo de 1990 que apareció en el periódico/:/ Universal. Se puede observar que se emitieron Ce-tes a dos plazos distintos (28 y 91 días), con sus correspondientes tasas de descuento y de rendi-miento.


FIGURA 9.2Anuncios de colocación de Cetes

. ' - • . ' - • : - . - - . . - • . ' . ' - --•••; •

Este mensaje aparece cor, fines informativos

EL GOBIERNO FEDERAL, POR CONDUCTO DE LA SECRETARIADE HACIENDA Y CRÉDITO PUBLICO, EMITE

CT-10-90/5-IV-90 CT-10-90/7-VI-90

CERTIFICADOS DE LA TESORERÍA DELA FEDERACIÓN

con valor de

18"000,000'000,000(DIECIOCHO BILLONES DE

PESOS)

Fecha de IB Emi*i6nFecha de VencimientoPlazoValor NominalTosa de DaicuvntoTata de Rendimiento

8 da nurzo de 19906 da abril da 199028 días« 10,000.0044.82%46.44%

$ 400,000'000,000(CUATROCIENTOS MIL MILLONES

DE PESOS)

Fecha de la Emisión 3 de mano de 1990Fecha de Vencimiento 7 de junio de 1990Plazo 91 día*Valor Nominal » 10,000.00Tasa de Descuento 40.46%Tas» de Rendimiento 45.07%

AGENTE EXCLUSIVO PARA LA COLOCACIÓN Y REDENCIÓN BANCO DE MÉXICOEslos títulos se pueden adquirir en Casas de Bolsa, directamente.o a través de algunas Instituciones de Crédito

PRINCIPALES ADQUIRENTES EN COLOCACIÓN PRIMARIA

Bancomer, S.N.C. — Banco Nacional da México, S.N.C. — Probursa. S.A. de C.V. — Q.B.M.,Grupo Bursátil Mexicano, S.A. de C.V. — Casa da Bolsa Invarlat. S.A. —

Banca Serfin, S.N.C. — Operadora de Bolsa. S A. — Casa de Bolsa Prime, S.A. — Interacciones, Casade Bolsa, S.A. de C V — Inverméxico. S.A. — Acciones y Valores de México, S A. de C.V — Multivalores.S.A. — Banco Internacional. S.N.C. — Mexicana de Inversiones v Valores. S.A. — Valores Fmamex, S.A.— Banco del Atlántico, S.N.C — Banco Mexicano Somex, S.N C — C B.l, Casa de Bolsa, S.A de C.V

— Acciones Bursátiles. S.A. de C.V — Casa de Bolsa Arka, S.A. de C.V. -

. i


Los cálculos correspondientes son:

— Cetesa28días

d = tasa de descuento = 0.4482/ = tasa de rendimiento (nominal) — 0.4644

1. Se calcula el precio descontado del título mediante la fórmula:

P = VN I 1 - t d

P = VN h -

360

28 (0.4482)360

= 10000(0.96514) = 9651.40

2. El rendimiento al plazo de 28 días (o descuento) es:

D = VN - PD - 10000 - 9651.40 = 384.6

3. La tasa efectiva de rendimiento al plazo

D 348.6

4. La tasa nominal de rendimiento anual

', , 0.0361191123 ,_ , , ,Í360 = (360) = — (360) - 0.4644

r ¿o

Como puede observarse, la tasa de rendimiento que se publica es una tasa nominal, por loque es necesario utilizar la tasa efectiva de rendimiento al plazo para calcular tasas efectivas adiferentes plazos, o para realizar comparaciones con rendimientos de otras inversiones.

Además, también es importante notar que se puede llegar a la tasa efectiva de rendimientoal plazo mediante un procedimiento más expedito, tal como el que se aplicó en las secciones9.4.1 y 9.4.2, observando que el precio descontado equivale al capital (C), y el valor nominal almonto (M), de acuerdo a la simbología que se ha venido utilizando en el texto. Por ello,

1000° - 1 « 0.03611911239651.4

inversión en bolsa de valores 271

que es la misma tasa que se determinó en el punto 3 anterior.Sin embargo, tratándose de este tipo de valores, es conveniente seguir el procedimiento

planteado antes para hacer hincapié en que se trata de un descuento.Enseguida, se repasa el cálculo de tasas efectivas a otros plazos.

Ejemplo 9.4.3.2 La tasa efectiva de rendimiento anual, / jwj, de los Cetes del ejemplo 9.8, sepuede calcular de la siguiente manera:

i¿s = 0.0361191123/365 - (1 + 0.0361191123)365/28 - 1/Jb5 = (1 + 0.0361191123)365/28 - 1

= 1.03611911231ilJ3S714'!lJ - 1 - 0.588094372

0, 58.81 %

Ejemplo 9.4.3.3 Se calcula la tasa efectiva de rendimiento anual para los Cetes a 91 días cuyoaviso de emisión aparece en la figura 9.2

polución:

1. fcl precio descontado

P = VN |l —L 360

= 10000 Pl 91 t0-404b) = 10000(1 - 0.1022738889)360

= 10000(0.897726) = 8977.26

2. El rendimiento al plazo de 91 días:

D = VN - P = 10000 - 8977.26 = 1 022.74

3. La tasa efectiva de rendimiento al plazo de 91 días:

D 1022.74

8977.26= 0.1139256299

4. La tasa efectiva de rendimiento anual:

= (1 + /,)Jfa5'' - 1 = 1.1139256299*w _ -\ 1.11392562994ulwaiJÜ11 - 1 - 1.541486367 - 1

- 0.541486367 o 54.15%


En la siguiente tabla se resumen los resultados de los ejemplos 1 a 3:

TABLA 9.4CÁLCULO DE RENDIMIENTOS EFECTIVOS DE CETES

Plazo

28

91

Tasa dedescuento

44.82

40.46

Tasas anuales de rendimiento

Nominal

46.44

45.07

Efectiva

58.81

54.15

Obsérvese en la tabla 9.4 que, en tanto que las tasas nominales son del cuarenta y tantos porciento, las efectivas son del cincuenta y tantos por ciento. Nótese, además, que la diferenciaentre las dos tasas nominales es de 1.37% (46.44 — 45.07) y la diferencia entre las tasas efectivases de 4.66%. Estas diferencias subrayan la importancia que tiene el cálculo de tasas efectivas,las tasas nominales son engañosas.

Como se mencionó antes, el procedimiento de cálculo para aceptaciones bancarias y papelcomercial es idéntico al de Cetes. Obsérvense los siguientes ejemplos.

Tijemplo 9.4.3.4 Encuéntrese la tasa efectiva de rendimiento mensual y anual para el papel co-mercial emitido por Cemex, S.A., de acuerdo a la oferta pública que se reproduce en la figura 9.3y que fue publicada en los periódicos.

FIGURA 9.3

OFERTA PUBLICA DE PAPEL COMERCIALCON UN VALOR DEí 50 OTO 000 00000

1HACTEHISTICAS Ot LOS TÍTULOS


Solución:

Datos: plazo: 9 díastasa de descuento: 38.60%valor nominal: $100000

1. El precio descontado:

P = VNÍ1 - -¿L 360

100000 -360

= 100000(1 - 0.00965) = 100000(0.99035}- $99035

2. El rendimiento al pla¿u (descuento):

p = VN - P - 100000 - 99035 - $965

3. La tasa efectiva de rendimiento al plazo:

4. La tasa efectiva de rendimiento mensual /

/30 = (1 + ¡¿wt _ -i = T.009744029930/9 - 1- 1.032850935 - 1 - 0.032850935 o 3.28%

5. La tasa efectiva de rendimiento anual

— Con base en la ijo

/365 = 1.032850935365'30 - 1 = 0.481806076 o 48.18%

— Con base en la ¿9.

/365 - 1.0097440299365''9 - 1 = 0.481806023 o 48.18%

Ejemplo 9.4.3.5 Calcúlese la tasa efectiva de rendimiento mensual de las aceptaciones banca-das de Citibank, de acuerdo al anuncio de la figura 9.4.


FIGURA 9.4Anuncio de colocación de aceptaciones bancarias

Solución:

d= 0.3644= 100000

t= 28 días

ACEPTACIONES BANCARIAS$8,400-000.000.00

ACEPTANTE: ClTIBANK. NATIPO DE VALOR: Latns de amotoGIRADORAS: Emanan establecida» en 0! tufeCLAVE OE IDENTIFICACIÓN: Q CHIBAN *oaasVALOR NOMINAL: $ 100,000.00 y •«• muupto»PLAZO: a «MTASA DE DESCUENTO: 36•*«*TASA DE RENDIMIENTO: 37.90%FECHA DE EMISIÓN: w. o* ¡unto d* imFECHA DE VENCIMIENTO: a<tt turto d. ««OLUGAR DE PAGO: Q IratluU) pan « DWÚUO <to ValOTM(INDEVAL) al (Ka da vandmlmu da l« «nrátón.DEPOSITARIO: B insuuio para al Depottt da ValoreeflNDEVAL).POSIBLES ADQUIRENTF.S Únicamente pan personasmoral»! con fine» lucrativo!, Dependencia» dw loa

da Participación Estala! que. en su cuo, cuentan con laautorización qua corretoonda, asi como Sociedades daInversión. Fideicomisos. Mandato* o Comisiones daInvarsiony Cuentas Maestra» para Personas Monto».

Loa invwsiontsias persona» mótate* duoarán adacuarsaen al Régimen que *eflala la ley del Impueuo Sobre kaRenta.Esta» aceptaciones fueron colocada* por

C A S A Oí SOI. S A

INVERIAT*(AVISO CON FINES INFORMATIVOS)La Inwrípción an al Registro Nacional da Valores aínter madÉatkM* no implicaCeruhcacion sobra la bondad d*(os TÍ Jo* o :-t sotvancia del Emisor.LOB Ttutoa ob)«toda MU oleru seancuentran inkcrrios anU Sección de Valora» del Registro Naciorul de Vakxos eI ntw mediano»

AWCN.V.

o. O F • 31 d* (TMyod* 1990

EMPRESA COTIZMM EN BOLSACmia O* BMW Mn* SA <tt C.V.CBI*


0-3644 UBI= 100000 1 -

= 97165.78

360= 100000(0.971657777)


2- El rendimiento al plazo (descuento):

D - 100000 - 97165.78 = 2834.22


2 834.22'28 = = 0.0291689111

97165.78

4. La tasa efectiva de rendimiento mensual:

;30 = 1.029168911130/28 - 1 - 0.031284672 o 3.13%

En la siguiente sección se revisan los pagarés de la Tesorería de la Federación (Pagafes) y los bo-nos de la Tesorería de la Federación (Tesobonos) que son títulos que se negocian con tasa de des-cuento y que están denominados en dólares estadounidenses.

9.4.4 VALORES CON TASA DE DESCUENTO Y DENOMINADOS EN DÓLARES%

Ejemplo 9.4.4.1 En la figura 9.5 se puede ver el anuncio de colocación de Pagafes correspon-diente a la emisión PF-10-90 15-IV-90, y en la figura 9.6, se tiene el correspondiente a las emisionesde Tesobonos TB-10-9015-IV-90 y TB-10-9017-IV-90. El cálculo de la tasa efectiva de rendimientoen dólares se realiza de la misma manera que para Cetes, aceptaciones bancarias y papel comer-cial:

Este mensaje aparece con fines informativos

EL GOBIERNO FEDERAL, POR CONDUCTO DE LA SECRETARIADE HACIENDA Y CRÉDITO PUBLICO. COLOCA LA EMISIÓN

PF-10-90/5-IV-90

PAGARES DE LA TESORERÍA DELA FEDERACIÓN

con valor de

$ 70'000,000(SETENTA MILLONES

DE DOLARES F. Ll A i

ítUm d. ll tm , 5 i on 8 d* mriD d> 1»*Orec(i« d. Vencimiento fi d* (Dril d» 1990Pino 2t di»Valor Nominul Dli. E.U.A. 1.OOOTi» d> Daicuento 15 Ht)STi» de Rendimiento K.OOS

FIGURA 9.5Anuncio de colocación de Pagafes


• *-.•"•- •

Este mensaje aparece con fines informativos

EL GOBIERNO FEDERAL, POR CONDUCTO DE LA SECRETARIADE HACIENDA Y CRÉDITO PUBLICO, COLOCA LA EMISIÓN

TB-10-90/5-IV-90 TB-10-90/7-VI-90

BONOS DE LA TESORERÍA DELA FEDERACIÓN

con valor de

$ 11 '000,000(ONCE MILLONES

DE DOLARES E.U A)Fech* da la Emisión 8 dm marzo d« 1990Facha de Vencimiento 6 de abril de 1980Plaio 28 día*Valor Nominal Dls. E.U.A. 1.000Tasa de Descuento 14.33%Taaa de Rendimiento 14.49%

$10'000,000(DIEZ MILLONES DE

DOLARES E.U.A.)Facha da la Emisión 8 da mano d» 1990Facha da Vencimiento 7 de junio d« 1990Ptazo 91 d(MValor Nominal Día. E.U.A. 1,000Taaa da D«acu*nto 14.22%Taaa da Rendimiento 14.75%

AGENTE EXCLUSIVO PARA LA COLOCACIÓN Y REDENCIÓN: BANCO DE MÉXICOEstos titutos se pueden adquirir en Casas de Bolsa, o a través de Instituciones d* Crédito.

FIGURA 9.6Anuncio de colocación de Tesobonos

— Pagaíes:

1- El precio descontado:

t dP « VMM —

360- 1 000 1 28 [0.158) I

360

= 1000(0.9877111111) - 98771 dólares

2. El rendimiento al plazo (o descuento):

D = VN - P = 1 000 — 987.71 = 12.29



D 12 29'28 = -¥- = = 0.0124429235

P 987.71

4. La tasa nominal de rendimiento anual:

i — *2B fo¿rfi _ u.ví • i-r-rt^^-jj íocni'360 ; l-ÍOÜJ — (360)

t ¿o

= 0.1599804454 o 16%, según el anuncio

- Tesobonos (TB-10-90/5-IV-90)


P = VI360 J |_ 360

= 1 000 (0.988854444) = 988.85 dólares

2. El rendimiento al plazo (o descuento):

D - VN - P = 1000 - 988.85 = 11.15 dólares


/28 - -2— - 11'15 = 0.0112757243P 988.85

4. La tasa nominal de rendimiento anual:

í 28

= 0.1449735985 o 14.49%, según el anuncio.

Dos observaciones importantes sobre este ejemplo:1. En la tasa nominal de rendimiento anual de los Tesobonos, no se redondearon, en el anuncio,

las diezmilésimas como normalmente se hace. De haberlo hecho, habrían planteado una tasadel 14.50% y no del 14.49.

2. Las fechas de emisión y de vencimiento de ambos valores son iguales, lo cual implica que elplazo también.La menor tasa que se ofrece para los Tesobonos se debe a que su valor en pesos se calcula

con el tipo de cambio peso-dólar Libre, en tanto que para Pagafes se utiliza el tipo de equilibrio,y en general, aquél es mayor.

El siguiente paso para determinar el rendimiento efectivo de estos instrumentos consiste endeterminar los tipos de cambio correspondientes a las fechas de emisión y de vencimiento. Estostipos de cambio fueron:


TABLA 9.5TIPOS DE CAMBIO PESO-DÓLAR

Libre

, 9 de marzo

2762

6 de abril

2791

de equilibrio

9 de marzo

2716

6 de abril

2 744

Las fechas de los tipos de cambio de la tabla 9.5 son los correspondientes a los días poste-riores a las fechas de emisión y vencimiento de los documentos, ya que se establece que el tipode cambio que se debe utilizar para los cálculos es el de la fecha de liquidación, que es 24 horasdespués.

En el siguiente ejemplo, se revisa el procedimiento de cálculo de las tasas efectivas

Ejemplo 9.4.4.2 Cálculo de tasas efectivas de rendimiento de Pagafes y de Tesobonos.

— Pagafes

1. Se calcula el precio en pesos, en la fecha de emisión y en la de vencimiento\o en pesos — precio en dólares X tipo de cambio

Precio en pesos a la emisión = 987.71 (2 716) = 2 682 620.36Precio en pesos al vencimiento = 1 000 (2 744) = 2 744000

2. El rendimiento al plazo o descuento:

* D = VN - P = 2 744000 - 2 682 620.36 = 61 379.64

3. La tasa efectiva de rendimiento al plazo

D 61 379.64'28 = = 0.0228804794

P 2 682 620.36

4. La tasa efectiva de rendimiento mensual (30 días):

'30= (1 + 't)30/í - 1 = V022880479430/28 - 1= 0.024534692 o 2.45%

Tesobono*.

1. Precio en pesos:

P (emisión) - 988.85 (2 762) = 2 731 203.7P (vencimiento) = 1 000 (2 791) = 2 791 000

2. El rendimiento al plazo de descuento:

D = 2 791 000 - 2 731 203.7 - 59 796.3


3. La tasa efectiva de rendimiento al plazo.

/ = 59 796'3 - 0.02189375332 731 203.7

4. La tasa efectiva de rendimiento mensual (30 días):-

/so = 1.02189375333ü/2fi - 1 = 0.023475812 o 2.35%'30

Los títulos revisados hasta aquí, en la sección 9.4, son los principales títulos que se manejanmediante ganancias de capital. El único título distinto que se maneja de esta manera, y que no serevisa aquí debido a su reducida circulación, son los Certificados de Plata. Sin embargo, es fácilobservar, después de lo expuesto en esta sección, que la manera de evaluar estos certificadosconsiste en determinar sus precios de compra y de venta (que dependen del tipo de cambio peso-dólar y de la cotización internacional de la plata), para después aplicar el procedimiento que serevisó antes.

EJERCICIOS DE LAS SECCIONES 9.1 A 9.4

1» ¿Cuántas y cuáles son las formas en que se pueden obtener rendimientos en el mercado devalores?

2. ¿Qué son ganancias de capital?3. ¿Cuáles de los rendimientos de los valores bursátiles están exentos de impuestos?4. SÍ se compran acciones de una sociedad de inversión de renta fi ja en $9 500 cada una y se

, venden 60 días después en $10 078, ¿cuál es la tasa efectiva de rendimiento al plazo que seobtiene?

5. Para el ejercicio anterior, ¿cuál es la tasa efectiva de rendimiento mensual (a treinta días}?6. ¿Cuánto cobran de comisión los intermediarios bursátiles por operaciones de compra y

venta con acciones de empresas y de'sociedades de inversión comunes?

Resuelva los ejercicios 7 a 15 con los datos de la tabla 9.1:

7. ¿Cuál es el plazo, en días, entre el primero de febrero y el 12 de junio?8. ¿Qué tasa efectiva de rendimiento mensual ofrecieron las acciones de INTEGRA entre el

primero de febrero y el 12 de junio?9. ¿Qué tasa efectiva de rendimiento mensual otorgaron las acciones de ARKAFE entre e! pri-

mero y el 28 de febrero?10. ¿Qué tasa efectiva de rendimiento anual obtuvieron las acciones de ACCICOR entre el pri-

mero de febrero y el 30 de mayo?11. ¿Qué tasa efectiva de rendimiento al plazo ofrecieron las acciones de PROTEGE entre el 28

de febrero y el 30 de mayo, y cuál fue el plazo?12. ¿Qué tasa efectiva de rendimiento mensual se obtuvo en el ejercicio 11?13. ¿Qué tasa efectiva de rendimiento anual (365 días) se obtuvo en el ejercicio 1 I?14. Sin considerar la comisión de la casa de bolsa, ¿cuál fue la tasa efectiva de rendimiento de

las acciones de ACCIPAT entre el 30 de mayo y el 12 de junio?15. ¿Cuál es la respuesta al ejercicio 14, si se considera que efectivamente se compraron y ven-

dieron las acciones a los precios dados en la tabla?

280 Mafemát/cas financieras

16. Busque, en periódicos, información sobre precios de mercado de acciones de sociedadescomunes y de renta fi ja y determine los rendimientos que han obtenido recientemente: re-sulta interesante (y conveniente para los inversionistas) saber cuáles de ellas han ofrecidomayores rendimientos.

17. Si el 29 de mayo se negociaron acciones de la sociedad de inversión de renta fija AWLASAf en $2615.78, el 9 de julio en $2 705.48, y el 8 de agosto en $2 770.41:

a) ¿cuál fue la tasa efectiva de rendimiento entre el 29 de mayo y el 9 de julio?;b) ¿cuál fue la tasa efectiva de rendimiento entre el 29 de mayo y el 8 de agosto?, yc) ¿cuál fue la tasa efectiva de rendimiento entre el 9 de julio y el 8 de agosto?

18. ¿Cuál es la relación entre las tres tasas que se dieron como respuesta al ejercicio anterior?

El 17 de mayo de 1990 se pagó un dividendo de $100 por acción a los tenedores de accionesde TABLEX; enseguida se listan algunos precios de mercado con sus correspondientesfechas:

18 de marzo $1 5ÜO8 de mayo 1 660

31 de mayo 1 790\12 de junio 1 750

19. ¿Cuál fue la tasa efectiva de rendimiento de las acciones de TABLEX entre el 8 y el 31 demayo, sin considerar las comisiones de compra y venta? ¿Cuál fue la tasa efectiva de rendi-miento mensual?

20. ¿Cuál es la respuesta al ejercicio 17 si, de hecho, se toman en cuenta las comisiones?*I. ¿Cuál fue la tasa efectiva de rendimiento mensual de las acciones de TABLEX entre el 18 de

marzo y el 31 de mayo si, de hecho, se llevaron a cabo las operaciones de compra y de ven-ta?

- .'22. ¿Cuál es la respuesta al ejercicio 19 sin, tomar en cuenta las comisiones?. 23. ¿Cuál fue la tasa efectiva de rendimiento anual de las acciones de TABLEX entre el 8 de ma-

yo y el 12 de junio, sin considerar las comisiones de compra y venta?24. ¿Cuál es la respuesta al ejercicio 21 si, de hecho, se toman en cuenta las comisiones?25. El 23 de mayo de 1990 se pagó a los accionistas de CBESTRA un dividendo de $35 por ac-

ción y se listan a continuación algunos precios de mercado en distintas fechas:

26 de marzo $30625 de abril 306

29 de mayo 28612 de junio 310

¿Cuál fue la tasa efectiva de rendimiento mensual de las acciones de CBESTRA entre el 25de abril y el 12 de junio si, de hecho, se llevó a cabo la compra-venta de los títulos?

26. Diga cuál fue la tasa efectiva de rendimiento anual de las acciones de CBESTRA, sin tomaren cuenta las comisiones, entre las siguientes fechas:

a) 26 de marzo y 12 de juniob) 26 de marzo y 29 de mayoc) 25 de abril y 29 de mayo


27. Localice, en periódicos, información sobre precios de mercado, en distintas techas, para di-versas acciones de empresas comerciales, industriales, de servicios, financieras y sobre cer-tificados de aportación patrimonial de bancos y determine los rendimientos que se obtu-vieron. (Ponga especial atención a periodos de alzas o bajas pronunciadas en el índice dePrecios y Cotizaciones de U Bolsa Mexicana de Valores; los resultados pueden ser sorpren-

f dentes).

Enseguida se listan algunos datos de Cetes publicados en un periódico, en distintas fechas(se trata de promedios para operaciones entre casas de bolsa):

Emisión Dias de plazo al Tasa devencimiento descuento

17-90 10 30.1819-90 24 30.0425-90 66 29.5627-90 83 29.3828-90 90 29.13

28. ¿Cuál es la tasa anual de rendimiento nominal que corresponde a los datos de la emisión^ 17-90?

29. ¿Cuál es la tasa anual de rendimiento efectivo que corresponde a los datos de la emisión17-90?

30. ¿Cuál es la tasa mensual de rendimiento efectivo que corresponde a los datos de la emisión27-90?

31. ¿Cuál es la tasa mensual de rendimiento efectivo que corresponde a los datos de la emisión27-90?

32. Si se tiene que una emisión de Cetes a 90 días arroja una tasa efectiva de rendimiento men-sual 0.0345, ¿cuál es la tasa anual de rendimiento nominal?

33. Localice en algunos periódicos recientes de los jueves, dos o tres anuncios de colocaciónde Cetes y determine las correspondientes tasas efectivas de rendimiento mensual y anual.

Los siguientes datos de tasas de papel comercial aparecieron publicados en un periódico:

Emisora/emisión Dias al Promediovencimiento ponderado

UFA U0990 28 32.40MSSAN U0790 28 32.28PLAYA U0490 28 32.89PROCARR A2090 28 32.73

34. ¿Cuál es la tasa efectiva de rendimiento anual del papel de ALFA?35. ¿Cuál es la tasa efectiva de rendimiento anual del papel de NISSAN?36. ¿Cuál es la tasa efectiva de rendimiento mensual del papel de PLAYA?37. ¿Cuál es la tasa efectiva de rendimiento mensual del papel de PROCARR?38. Localice, en periódicos, algunos datos sobre emisiones de papel comercial y de acepta-

ciones bancarias y determine las correspondientes tasas efectivas de rendimiento.39. El 31 de mayo de 1990 se emitieron los Tesobonos 22-90, a plazo de 28 días y con una tasa

de descuento de 14%. Si los tipos de cambio libres vigentes para el 1 y el 29 de junio fueron


$2838.51 y $2861.89, respectivamente, calcule la tasa efectiva de rendimiento mensualcorrespondiente.

40. ¿Cuál fue la tasa nominal anual de rendimiento que apareció publicada para la emisión detesobonos descrita en el ejercicio anterior?

41. El 31 de mayo se emitieron los Pagafes 22-90, a plazo de 28 días y con tasa nominal de ren-dimiento anual de 16.32. Si los tipos de cambio peso-dólar vigentes para los días primero y29 de junio fueron $2 797.80 y $2 820.20, respectivamente, ¿cuál fue la tasa efectiva de ren-dimiento mensual de estos instrumentos?

42. ¿Qué tasa de descuento se publicó en el ejercicio anterior?43. Localice, en periódicos, algunos datos sobre emisiones de Pagafes y de Tesobonos y deter-

mine las correspondientes tasas efectivas de rendimiento.

9.5 VALORES QUE PAGAN INTERESES

En esta sección, se analiza la manera de evaluar los rendimientos efectivos de los valoresbursátiles que otorgan intereses como principal forma de rendimiento aunque, como se verá,prácticamente todos ellos ofrecen también ganancias (o pérdidas) de capital.

Los valores bursátiles que caen en esta categoría son todos los bonos (exceptuando losTesoBonos, que se analizaron en la sección anterior): Bonos bancarios {de desarrollo, de de-sarrollo industrial, para la vivienda), los Bonos de desarrollo del Gobierno Federal (Bondes),los Bonos para la Indemnización Bancaria (BIB), los Bonos de Renovación Urbana del DistritoFederal (Bores) y los Bonos Ajustables del Gobierno Federal (Ajustabonos). Se encuentrantambién en esta categoría las obligaciones de todo tipo (hipotecarias, quirografarias, conver-tibles, indizadas, subordinadas y con rendimiento capitalizable).

' El procedimiento que se aplica para calcular los rendimientos de este tipo de valores es.en esencia, igual al que se revisó en la sección anterior para las acciones de empresas que pa-gan dividendos en efectivo y que implica determinar el precio o valor de compra (o de colo-cación), el precio o valor de venta (o de vencimiento), y el pago o los pagos de interés. En elcaso de los valores que se analizan en esta sección, existen diversas maneras de calcular es-tas distintas cantidades, por lo que se comenzará en la sección siguiente revisando tres con-ceptos importantes, para terminar en las últimas secciones de este capítulo con ejemplos decálculos para algunos de estos instrumentos.

9.5.1 TRES CONCEPTOS IMPORTANTES

9.5.1.1 TASAS NETAS Y TASAS BRUTAS

Las tasas netas son las tasas de interés que se pagan a los inversionistas personas físicas, des-pués de deducir, de las tasas brutas, el impuesto sobre la renta. Por ejemplo, el 11 de julio de1990, se publicaron las siguientes tasas para bonos de renovación urbana del Distrito Fede-ral:

Tasa bruta Tasa netaPersonas físicas 29.01 26.49Personas morales 27.18


Para personas morales sólo se especifica la tasa bruta, porque los ingresos por este conceptoson acumulables para efectos del impuesto sobre la renta. A las personas físicas se les des-cuenta en forma definitiva este impuesto, pagando el 21 % sobre los primeros 12 puntos por-centuales de interés. El resto de la tasa está libre de impuestos para personas físicas. En el si-guiente ejemplo, se ilustran los cálculos correspondientes:

f

Ejemplo 9.5.1.1.1 Cálculo de la tasa neta para personas físicas.

Solución:

En primer lugar, se debe observar que, dada la forma en que se deben calcular los impuestos, sepuede considerar que la tasa bruta de! 29.01 % está compuesta del 12% (los 12 primeros puntosporcentuales que sí causan impuesto), y del 17.01 % que no causa impuesto, ya que 12 + 17.01- 29.01.

Luego, el 21% sobre esos 12 primeros puntos porcentuales es:

(0.12) (0.21) = 0.0252, que sería la tasa impositiva.

§i la tasa de interés es del 12% (o 0.12 en su expresión de tanto por uno), y la tasa impositivaes del 0.0252, entonces el rendimiento neto para el inversionista, después de impuesto será:

0.12 - 0.0252 = 0.0948

y, de aquí, sumando esta tasa neta a la tasa exenta, se obtiene la tasa neta global que se publicó:

*' 0.0948 + 0.1701 = 0.2649 o 26.49%

, * Los intereses que pagan los instrumentos bursátiles pueden ser periódicos (mensual o tri-mestralmente, por lo general) o capitalizabas. Pero además, con frecuencia, la forma en la quese especifican los intereses puede ser un tanto complicada, como se verá más adelante. Sin em-bargo, todas las tasas de interés que pagan estos títulos aparecen en periódicos o en las publica-ciones de la Bolsa Mexicana de Valores, S.A. de C.V

La fórmula que se utiliza en el medio bursátil para calcular intereses es (utilizando la nota-ción que es común en el medio):

TN X D X VNI ~ -— , en donde (9.6)360

TN — tasa neta (o bruta, para personas morales)D = dias transcurridos del cupón

VN — valor nominal

Como puede verse, este cálculo arroja el rendimiento efectivo al plazo, ya que el resultadoson los intereses, en dinero, que efectivamente recibe el inversionista. Esta misma fórmula, utili-zando la simbología que se ha venido manejando en este texto sería:

f = -í!C- = C i t (97)360 360


9.5.1.2 FECHAS DE COMPRA-VENTA Y DE PAGO DE INTERESES

Existen dos situaciones posibles con respecto a estas fechas que ocasionan diferencias consi-derables en los procedimientos. Es necesario analizar dichas situaciones para evaluar los ren-dimientos efectivos; se refieren a: 1) cuando las fechas de las transacciones de compra-ventay las fechas de pago de intereses coinciden y 2) cuando no coinciden. Enseguida se planteaen forma esquemática el procedimiento a seguir en cada caso:

1. Cuando las fechas de las operaciones y las de pago de intereses coinciden; puede pro-cederse a:

— determinar los precios de compra y de venta de los títulos;— determinar los intereses que pagan los instrumentos al momento de la venta,— sumando estos intereses al precio de venta se obtiene lo que puede llamarse

"ingresos a la venta";— dividiendo estos "ingresos a la venta" entre el precio de compra, y restando aí

resultado una unidad, se obtiene la tasa efectiva de rendimiento al plazo, a par-tir de la cual se pueden calcular tasas efectivas a cualquier otro plazo. La fórmu-la aplicable aquí es la (9.1), que ya se revisó antes:

\ -1 (9.1 i

C

Este procedimiento es aplicable cuando no existen fechas de pago de interesesK entre las fechas de compra y de venta. En el caso de haberlas, se aplica el proce-

4 dimiento que se explica enseguida, excepto en lo que se refiere a "intereses de-vengados". Esto es así porque en el caso que nos ocupa los "egresos a lacompra" son ¡guales al precio de compra, y los "ingresos a la venta" son igualesal precio de venta. '

2. Cuando las fechas de las operaciones no coinciden con las fechas de pago de intere-ses, puede precederse a:— determinar los precios de compra y de venta;— determinar los intereses devengados por el título, desde la última fecha de pa-

go de intereses previa a la compra hasta la fecha en que se realiza ésta. Estos in-tereses deben ser pagados por el comprador a quien vende, por lo que deben su-marse al precio de compra para conformar los "egresos a la compra";

— determinar los intereses devengados desde la última fecha de pago de interesesprevia a la venta hasta la fecha en que ésta se lleva a cabo. Al igual que en elpárrafo anterior, quien compra debe pagar estos intereses al vendedor. Porello, se deben sumar al precio de venta para obtener los "ingresos a la venta";

— determinar cualesquiera pagos de interés entre las fechas de compra y de ven-ta;

— con las cantidades anteriores se construye una ecuación de valores equivalen-tes;

— resolver la ecuación anterior, ya sea mediante aproximaciones sucesivas o utili-zando algún paquete de computación que permita resolver ecuaciones polino-miales.


Estos dos últimos pasos se ilustraron antes en el ejemplo 9.4.2.3, (página 266) que se re-fiere a acciones de empresas, y se repasa en varios de los ejemplos de esta sección 9.5.

9.5.1.3 COMISIONES

Aunque ya se mencionó antes, conviene tener presente también aquí que la necesidad de pa-gar comisiones a los intermediarios bursátiles ocasiona también diferencias en el procedi-miento de cálculo de rendimientos efectivos.

La diferencia consiste en que se debe sumar al precio de compra la comisión para obte-ner el "precio neto de compra" y se debe restar al precio de venta para obtener el "precio ne-to de venta". Por supuesto, a estos precios netos se les deben restar o sumar cualesquiera in-tereses devengados, según sea necesario dadas las circunstancias explicadas en la subsec-ción anterior.

Sobre este particular, vale la pena recordar que se incluyen las comisiones sólo cuando:a) el intermediario las cobra para el título específico y b) cuando el caso evaluado lo amerita.En otras palabras, se puede estar revisando un título por el que sí se cobra comisión, pero, almismo tiempo, es posible que no se lleven realmente a cabo las operaciones de compra y deventa, y que no sea necesario incluir las comisiones para el propósito del análisis.

Ahora se presentan los ejemplos de los valores bursátiles más importantes que pagan in-tereês.

9.5.2 BONOS DE DESARROLLO DEL GOBIERNO FEDERAL (BONDES)

El rendimiento de los bonos de desarrollo del Gobierno Federal proviene de dos fuentes: inte-reses pagaderos cada 28 días y las ganancias de capital que se logran al adquirir los títuloscon descuento. Además, como los ingresos para los intermediarios bursátiles para opera-ciones con esta clase de valores se obtienen mediante diferencias entre los precios decompra y venta, a los inversionistas no se les cobra comisión alguna.

La tasa de interés que devengan es la que resulte ser mayor entre las tasas de Cetes a 28días, la de los pagarés con rendimiento liquidable al vencimiento, a plazo de un mes, de losbancos y la de los certificados de depósito en bancos, a plazo de 30 dias. En algunos periódi-cos se publican ¡os datos sobre Bondes: las características de cada emisión (éstas aparecenpublicadas los días jueves de cada semana, que es cuando se emiten), las tasas de interés quepagan y los precios a los que se negocian en la bolsa de valores.

En la figura 9.7 se puede observar un anuncio de colocación de dos emisiones de Bon-des, la BD-10-90/7-III-91 y la BD-10-90/5-III-92; en la tabla 9.5 se resumen las característicasde varias emisiones adicionales.


Este mensaje, aparece con fines informativos

EL GOBIERNO FEDERAL, POR CONDUCTO DE LA SECRETARIADE HACIENDA Y CRÉDITO PUBLICO, COLOCA LA EMISIÓN

BD-10-90/7-HI-91 BD-10-9Q/5-III-92

BONOS DE DESARROLLO DELGOBIERNO FEDERAL

con valor de

$ 210,000'000,000(DOSCIENTOS DIEZ MIL MILLONES

DE PESOS)

Fecha da la Emisión 8 da marzo de 1990Fecha de Vencimiento 7 de marzo de 1991Plazo 364 díasValor Nominal » 100,000.00Precio Promedio * 99,522.66

$ 220,000'000,000(DOSCIENTOS VEINTE

MIL MILLONES DE PESOS)

Fecha de la Emisión 8 de marzo de 1990Fecha de Vencimiento 5 de marzo de 1992Plazo 728 dfasValor Nominal $ 100.000.00Precio Promedio $ 98,889.47

Tasa de Interés Referida a la tasa de rendimiento más alta de Cetes, Pagarés con RendimientoLiquidable al Vencimiento

Pagos de Interés Trece y veintiséis periodos respectivamente con plazo igual al de losCetes a un mes que se emitan al inicio de cada período.

AGENTE EXCLUSIVO PARA LA COLOCACIÓN Y REDENCIÓN BANCO DE MÉXICOEstos títulos se pueden adquirir en Casas de Bolsa, o a través de Instituciones de Crédito.

FIGURA 9.7


TABLA 9.6CARACTERÍSTICAS DE BONDES

Emisiónemisión

* 10-9010-9018-9018-9021-9021-9022-9022-9024-9024-90

Fecha deemisión

8 mar 908 mar 903 may 903 may 90

24 may 9024 may 9031 may 9031 may 9014 jun 9014 jun 90

Fecha devencimiento

7 mar 915 mar 922 may 91

30 abr 9223 may 9121 may 9230 may 9128 may 9213 jun 9111 jun 92

Días deplazo

364728364728364728364728364728

Preciopromedio

$99 522.6698 889.4799 750.0099 399.6199 784.6999 467.6599 779.3299 401 .4699 795.5399 41 5.02

Ahora, los ejemplos.


*Ejemplo 9.5.2.1.1 La tasa de interés que pagaron los Bondes de la emisión 22-90 en el periododel 28 de ¡unió al 26 de julio de 1990 fue de 32.29%, según apareció publicado en diversos pe-riódicos; y el precio al que se negociaron estos valores el 26 de julio fue de 99 779.32 (tabla 9.6].Por ello, la tasa efectiva de rendimiento en 28 días (el periodo de pago de intereses) fue:

tSolución:

C = 99 779.32 (de la tabla 9.5)

0.3229 (28) (100 000)360

= 2 511.44

En el desarrollo anterior, los $100000 son el valor nominal de los Bondes.

M - 99800 + 2511.44 = 102311.44

'28 =102311.44

99 779.32

i, directamente:

2 511.44'26 = 99 779.32

- 1 = 0.025377203 o 2.54%

- 0.025377203

A partir de esta tasa, como se ha visto repetidamente, se pueden encontrar tasas efectivas a dis-tintos plazos, según sea conveniente.



Ejemplo 9.5.2.2.1 Calcúlese la tasa de rendimiento efectivo mensual para Bondes de la emisión021-90, comprados el 21 de junio (dia de pago de intereses) en $99 7fa5, los cuales pagaron 32.35%desinterés del 21 de junio al 19 de julio, y 3U.30% de esta fecha al 16 de agosto, respectivamente,y que se vendieron en $99 637 el 31 de julio.

Solución:

En este caso, conviene dibujar en primer lugar el diagrama de tiempo y valor que aparece en lafigura 9.8. (Nótese que se incluyen las cifras de los intereses cobrados y devengados, que se cal-cularán más adelante.)

FIGURA 9.8DIAGRAMA PARA EL EJEMPLO 9.5.2.2.1

21 ¡un

32.35

19 jul

$99 765 2 516.11

30.30

31 jul

$99 6371 010

100 647

16

Los intereses pagados el 19 de julio:

>j _ (0.3235) (28) [100 000) _ 251 f c11

360

Los intereses devengados del 19 al 31 de julio:

(0.3030) (12) (100 000)

La ecuación de valores equivalentes, utilizando el 21 de junio como fecha focal:

99765 - 2516.11 (1 + /)~28 + 100647(1 + i)-40

Resolviendo esta ecuación mediante el método de aproximaciones sucesivas que se vio enejemplo 9.4.2.3 (página 266), se obtiene la tasa efectiva diaria de rendimiento que es:

/ , = 0.000843906

Y, la tasa efectiva de rendimiento mensual:

(jo ~ (1 + 'i)!u - 1 = 1.000843906iu - 1 = 0.02562943

inversión en bolsa de valores 289

(Kíiispecia ¡ disposición)

qs QUÍMICA Y FARMACIA S. A. DE C .V.

OFERTA PUBLICA DE

60,000

OBLIGACIONES QUIROGRAFARIAS CON RENDIMIENTOSCAPITALIZARLES

CON VALOR NOMINAL DE $100,000 CADA UNA

$6,000*000,000PERIODO DE OFRECIMIENTO: 22. 23 y 24 de mayo de 1990.

PRECIO DE COLOCACIÓN: 11,000,000POR TITULO AMPARANDO 10 OBLIGACIONES CADA UNO

FICHA DE ..'-IL-K

IVIUES. A pwltr

* leí Depovm I.HJ . ,. l» . •• _. ^L*Í ti Tnturru Ot li írtmoon HtTÉSi i Hk lauu Lkk-xiUli dr In fidnndr [>4m>

DE CAPITtL E INTEKESEá Se <

DE L05O»IICAÍH>MÍHS. BIK

Aul. C.N.V. 2110 Itiicrmtdiino Colocados

OPERADORABOLSA-

CASADE BOLSt

México, DF.. a » dt ma>o de 1990.

FIGURA 9.9


9.5.3 OBLIGACIONES

En el caso de las obligaciones, el que resulten ser hipotecarias (que tienen inmuebles comogarantía), quirografarias (sin garantía específica), convertibles (en acciones) o subordinadas,no tiene efecto sobre la manera en la que se calculan sus rendimientos específicos.

Las características de las obligaciones que sí tienen efectos determinados sobre sus ren-dimientos son las que las hacen encontrarse dentro de alguna de las categorías siguientes.

— Obligaciones "normales", que pueden ser quirografarias o hipotecarias y que repre-sentan la mayor parte de las obligaciones en circulación.

— Obligaciones indizadas, cuyo valor de colocación y de amortización están asociadoscon el tipo de cambio peso-dólar, y

— Obligaciones con rendimiento capitalizable, cuyo nombre es bastante descriptivo desu principal característica.

En la figura 9.9 se puede ver el anuncio de colocación de Obligaciones quirografarias conrendimiento capitalizable de Química y Farmacia, S.A. de C.V. Como la manera de plantearlas tasas de interés que pagan estos instrumentos es muy similar, independientemente del ti-po de obligación de que se trate, a continuación se reproduce la sección de INTERÉS, en laque se especifica la manera en la que se deben determinar los intereses a pagar.

INTERÉS: a partir de su fecha de colocación, y en tanto no sean amortizadas, las obliga-ciones generarán un interés bruto anual sobre su valor nominal actualizado, que el represen-tante común de los obligacionistas fi jará mensualmente el cuarto día hábil anterior al fin decada mes (fecha de determinación de la tasa de interés), computado a partir de la fecha deemisión y que regirá durante el mes siguiente, para lo cual deberá elegir la tasa que resultemayor de comparar:\) 5.0% (cinco por ciento) o 1.5 (uno punto cinco) puntos, lo que resulte mayor, sobre la

más alta de las siguientes tasas de rendimiento anual neto:1.1) La mayor tasa anual neta de rendimiento de los depósitos bancarios denominados

en moneda nacional, para personas físicas, a plazo de hasta 182 días, capitalizada o, en sucaso, equivalente a 91 días; determinada por las instituciones de crédito, según la publica-ción del Banco de México en el Diario Oficial de la Federación, en la fecha de determinaciónde la tasa de interés, o en su defecto, en la más cercana dentro de los 22 días hábiles ante-riores a dicha fecha.

1.2} La mayor o, en su caso, la única tasa de rendimiento anual neto (promedio pondera-do o la que la sustituya), en colocación primaria, de los Certificados de la Tesorería de la Fe-deración (CETES) a plazos de hasta 92 (noventa y dos) días, capitalizada o, en su caso equiva-lente a 91 días, que sea o sean comunicadas por el Banco de México a la Bolsa Mexicana deValores, S.A. de C.V., en la fecha de determinación de la tasa de interés o, en su defecto, den-tro de los 22 días hábiles anteriores, en cuyo caso deberán tomarse la o las tasas comunicadasen el día hábil más próximo a dicha fecha, con

2) 1.0 (uno punto cero) puntos sobre:La mayor o, en su caso, la única tasa de rendimiento anual neto (promedio ponderado) o

la que la sustituya, en colocación primaria, de los bonos de desarrollo del Gobierno Federa!(BONDES) a plazo de hasta 728 días, capitalizada o, en su caso, equivalente a 91 días, quesea o sean comunicadas por el Banco de México a la Bolsa Mexicana de Valores, S.A. de C.V.


en la fecha de determinación de la tasa de Interés o, en su defecto, dentro de los 22 días há-biles anteriores, en cuyo caso deberán tomarse la o las tasas comunicadas en el día hábil máspróximo a dicha fecha. Cuando el plazo que reste para que venza la Emisión de las Obliga-ciones sea inferior a dos años, sólo se considerarán en la determinación las tasas de emi-siones de Bondes con vencimiento hasta de 720 días.

La fasa calculada del bono de desarrollo del Gobierno Federal (Bonde) es la que satisfa-ce la igualdad que se establece en la escritura de emisión y en el prospecto de colocación.

Para determinar la tasa de rendimiento neto de los depósitos bancarios, los Certificadosde la Tesorería de la Federación (Cetes) y de la tasa calculada de los Bonos de Desarrollo delGobierno Federal (Bondes) a los plazos mencionados, capitalizada o equivalente a 91 días,(noventa y uno), el representante común de los obligacionistas utilizará la fórmula que se es-tablece en la escritura de emisión y en el prospecto de colocación.

Las obligaciones causarán un interés en el primer mes de la emisión con base en una tasaanual bruta de 41.65% sobre el valor nominal de las mismas, por lo que, una vez deducido elimpuesto sobre la renta aplicando la tasa "alta" o "definitiva", el rendimiento anual neto pa-ra el inversionista persona física será de 39.13%.

Como puede verse, el procedimiento a seguir para f i jar la tasa de interés que deben pa-gar las obligaciones en cada periodo es bastante complicado y es muy semejante, si no esque igual^ en todas ellas.

Para evaluar los rendimientos de las obligaciones es conveniente observar que:

1. Los rendimientos de las obligaciones con rendimiento capitalizable se calculan me-diante el procedimiento que ya se revisó, para acciones de sociedades de inversión enla subsección 9.4.1 (pp. 259-264) y que consiste, básicamente, en dividir el precio de

» venta entre el precio de compra y restarle una unidad (fórmula 9.1). Por supuesto, elprecio de las obligaciones en el mercado de valores refleja el aumento de su valor de-bido a la capitalización de los intereses;

2. El rendimiento de las obligaciones indizadas debe calcularse ajustando su valor no-minal de acuerdo al tipo de cambio pesVdólar. Una vez habiendo obtenido este va-lor ajustado, se aplica el procedimiento que se describió esquemáticamente en losprimeros párrafos de esta sección 9.5.3. Para los demás tipos de obligaciones (hipote-carias, quirografarias, convertibles y subordinadas) el procedimiento de cálculo esigual que el ilustrado antes para Bondes, y que por conveniencia se repite enseguida:

a) determinación del precio o valor de compra (o de colocación)fa) determinación del precio o valor de venta (o de vencimiento)c) determinación del o los pagos de interés en el plazod) planteamiento de la ecuación de valor correspondientee) determinación de la tasa efectiva encontrando la tasa efectiva / que resuelve

esa ecuación de valor, mediante aproximaciones sucesivas o mediante algúnpaquete de computación.

En los ejemplos siguientes se ilustran estos cálculos, así como también la determina-ción de tasas efectivas de rendimiento a los plazos más comunes.



Ejemplo 9.5.3.1.1 La empresa Grupo Bermúdez, S.A. de C.V., tiene colocadas en el mercado devalores obligaciones quirografarias con la clave de pizarra BRMUDEZ 89, que pagan interesescada tres meses, los días 5 de enero, abril, julio y octubre, de acuerdo a una tasa revisable men-

f. sualmente. La tasa trimestral que se aplica para el pago de los intereses es el promedio aritméti-co de las tres tasas mensuales correspondientes. Enseguida, se resumen las tasas brutas apli-cables en diversos periodos de 1990:

Periodo5 de marzo a 4 de abril5 de mayo a 4 de ¡unió5 de julio a 4 de agosto

Tasa52.65%

51.41%

48.27%

En la tabla siguiente se resumen los últimos precios a los que se negociaron estas obliga-ciones en determinadas fechas, también de 1990:

Fecha28 de febrero

5 de abril4 de julio

15 de julio

Último hecho101.00100.62100.00101.00

Con estos datos se procede a determinar el rendimiento efectivo mensual de estos valoresentre el 5 de abril y el 5 de julio, que son fechas de pago de intereses:

Solución:

Los intereses que se pagaron el 5 de julio fueron:

Cit 91 (0.5057) (100) _1360 360

12.78

Así, la gráfica correspondiente de tiempo y valor es:

FIGURA 9.9GRÁFICA DE TIEMPO Y VALOR DEL EJERCICIO 9.5.3.1.1

5 abr 5 jul

100.62100.00

+ 12.78

112.78

La tasa efectiva de rendimiento al plazo, sin tomar en cuenta la comisión de la casa de bolsa es:

112.78'91 = 100.62

- 1 = 0.12085072


de donde la tasa efectiva de rendimiento mensual es:

/3o = 1.1208507230'91 - 1 = 1.12085072o329670"97 - 1/30 = 0.03832768 o 3.83%

Para obtener ahora la tasa efectiva de rendimiento, incluyendo la comisión de compra y de ven-ta:

Precio neto de compra = 100.62 (1.0025) - 100.87155Precio neto de venta = 100 (0.9975) = 99.75

Precio de venta más intereses = 99.75 + 12.78 = 112.53, y

112 53, = Llf í 1 = 0.11557719, de donde

100.87155

/jo = 1-1155771930'91 - 1 = 0.03671460 o 3.67%

Esta tasa es, como era de esperarse, inferior a la que se calculó sin incluir la comisión del inter-mediario bursátil.

En el ejemplo siguiente, se repasan los cálculos para las obligaciones BRMUDEZ 89 nego-ciadas en días que no corresponden a fechas de pago de intereses.


. Ejemplo 9.5.3.2 Determínese la tasa efectiva de rendimiento mensual de las obligaciones deBRMUDEZ 89 entre el 5 de abril y el 15 de julio de 1990, considerando que, de hecho, se realiza-ron las operaciones de compra y venta.

Solución:

En este caso, es necesario determinar, además de lo que se calculó en el ejemplo anterior, los in-tereses que habían devengado las obligaciones entre el 5 y el 15 de julio, que son parte de lo querecibió el vendedor al realizar la operación:

10(0.0383277)000) _/ — — I Ub

30

Por ello.Precio neto de venta = 101(0.9975) + 1.06 = 100.7475 + 1.06 = 101.8075

Con los datos obtenidos en el ejemplo anterior, se puede construir el diagrama de tiempo yvalor:

FIGURA 9.10GRÁFICA DE TIEMPO Y VALOR DEL EJEMPLO 9.5.3.2

5 abr 5 jul 15 jul| 1 1

100.87155 12.78 101.807


La ecuación de valores equivalentes es, con fecha focal de 5 de abril:

100.87155 = 1278(1 + í)-91 + 101.8075(1 + /)-101

en donde / es la tasa efectiva diaria.

Resolviendo esta ecuación con alguno de los métodos descritos antes, se encuentra que/ = 0.0012772761, por lo que la tasa efectiva de rendimiento mensual es:

/jo - 1.001277277630 - 1 = 0.03903648 o 3.9%

9.5.4 BONOS DE RENOVACIÓN URBANA DEL DISTRITO FEDERAL(BORES) Y BONOS DE INDEMNIZACIÓN BANCARIA (BIB)

Se reúnen aquí estos dos valores, porque el procedimiento de cálculo es idéntico paraambos.

Los Bonos de renovación urbana del Distrito Federal (BORES) pagan intereses los días 12de enero, abril, julio y octubre, de acuerdo a una tasa que se publica en el Diario Oficial de laFederación los días 11 previos a las fechas de pago de interés. En la tabla 9.7 se resumen es-tas tasas de interés para varios periodos.

TABLA 9.7TASAS DE INTERÉS PARA BORES

12 ENE «9- 11 ABR 8912 ABR 89- 11 JUL 8912 JUL 89-11 OCT89

12 OCT 89-11 ENE 9012 ENE 90- 11 ABR 9012 ABR 90-11 |UL9012 JUL 90- 11 OCT 90

PERSONAS

Tasa bruta

32.4232.4232.4230.5733.5334.0229.01

Tasa neta

29.90299029.9028.0531.0131.5026.49

Morales

29.9029.9029.9028.9531.9532.4127.18


Ejemplo 9.5.4.1 Calcúlese el rendimiento efectivo mensual, para personas f ísicas, de Bores, en-tre el 12 de abril y el 12 de julio de 1990.


Solución:

Los precios de los Bores en las fechas indicadas fueron:*

13 de abril = $74.00f 12 de julio = $77.12

En la tabla 9.7 se observa que la tasa neta de interés para personas físicas fue de 31.50% en eselapso. Como entre esas dos fechas transcurren 91 dias, la tasa efectiva de interés para ese plazoes:

0.315(91)/91 = —-— = 0.079625

360

Y, como el valor nominal de estos instrumentos es de $100.00, el interés pagado el 12 de juliofue 0.079625 (100) = 7.9625.

Resumiendo estas condiciones en una gráfica de tiempo y valor:

13 de abril 12 de julio

$77.12S74.00

85.0825

La ecuación de valores equivalentes para estas circunstancias es, entonces:

/ = 85-0825 1 = 0.14976351 o 14.98% y,74

/30 = 1.1497635130/91 - 1 = 0.04708233o4.71%

Ejemplo 9.5.4.1.2 Los intermediarios bursátiles cobran el 0.25% de comisión a la compra y a laventa de estos títulos. Se calculará enseguida el rendimiento efectivo que obtendría un inver-sionista persona física que, de hecho, comprara y vendiera estos documentos en las condicionesplanteadas en el ejemplo 9.5.4.1.

Solución:

Sumando la comisión al precio de compra:

Precio de compra = 74(1.0025) = 74.185

* Como son escasas las operaciones con estos instrumentos, no se utilizan los precios de mercado de los diascorrespondientes, sino posturas de compra o venta en esos dias u otros cercanos. Por supuesto, esta simplifi-cación no cambia el procedimiento de cálculo y sí sirve para propósitos de ilustración.


Restando la comisión al precio de venta:

Precio de venta = 77.12 (0.9975) = 76.9272

Así, las nuevas condiciones son:

13 de abril 12 de julio

$7400+ 0.185

74.185

Y la ecuación de valores equivalentes es:

84.8897

$77.12+ 7.9625— 0.1928

84 8897

'91 = - 1 = O 14429736 o 14 43% y.74.185

i¡0 = 1.1442973630/91 - 1 - 1.14429736° 32967032 - 1

'30 - 0-04543861 o, en porcentaje, 4.54%t

Como era de esperarse, esta tasa de rendimiento es inferior a la que se encontró en elejemplo 9.5.4.2 en el que no se tomó en cuenta la comisión de la casa de bolsa.(Se debe observar que no se pagan comisiones sobre los intereses).

\2 OPERACIONES EN FECHAS QUE NO SON DE PAGO DE INTERESES

', Ejemplo 9.5.4.2.1 Calcúlese el rendimiento efectivo para un inversionista persona física que dehecho compra Bores el 16 de febrero de 199Í) en $73.75 y que vende el 29 de junio del mismo añoen $78.50.

Solución.

En este caso, es necesario calcular los intereses que han devengado los Bores desde la últimafecha de pago hasta el momento de la venta, ya que el comprador debe pagar esa cantidad alvendedor. Esto es así porque los intereses que producen los bonos durante ese lapso le pertene-cen al tenedor que es precisamente quien los vende.

Para facilitar este análisis, conviene ¡lustraren un diagrama de tiempo y valor las fechas rele-vantes, junto con los dias transcurridos entre las diferentes fechas de interés:

ENE 16 FEB 12 ABK 29 JIA

DÍASTRANSCURRIDOS 35 55 78


El 12 de enero y el 12 de abril son fechas de pago de intereses. Ahora bien, es necesario calcularlos intereses devengados por los Bores del 12 de enero al 16 de febrero, observando en la tabla9.7 que el interés que pagaron en el trimestre del 12 de energo al 12 de abril fue a razón del31.01%:

interés devengado = 35 (0-3101) (100] = $3(M486111 y>

comisión = 73.75(0.0025) = $0.184375 y,

precio neto de compra = 73.75 + 301486111 + 0.184375 - 76.94923611Los intereses cobrados el 12 de abril:

/ m 0,3101 (90)(1QO] =

360

El precio neto de venta, comenzando con los intereses devengados del 12 de abril al 29 de junio,que el nuevo comprador debe pagar al actual tenedor:

0.3150 (78) (100)

360

el precio neto de venta (el precio bruto menos la comisión):

- 78.50 - 78.50 (0.0025) = 78.50 - 0.19625 = 78.30375

*Así, la cantidad que el actual tenedor recibe al vender es:

= 78.30375 + 6.825 = 85.12875

En la gráfica siguiente se ¡lustran estas condiciones:

12 ENE 16 FEB 12 ABR 29 JUN

7694923611 7.7525 85.12875

La ecuación de valores equivalentes es, utilizando el 29 de junio como fecha focal:

85.12875 + 7.7525(1 + i}76 = 76.94923611 (1 + /)133

Utilizando el procedimiento de aproximaciones sucesivas que se ilustró en el ejemplo 9.4.2.3 (pá-gina 266), o algún paquete de computación, se encuentra el valor de /:

/i — 0.00149277, que es la tasa efectiva de rendimiento diario.

La tasa efectiva de rendimiento mensual es:

/ Í0 = 1.0014927710 - 1 = 0.04576608 o 4.58%


Los ejemplos anteriores ilustran los cálculos que es necesario realizar para obtener el rendimien-to efectivo de los Bores en diferentes circunstancias. En los párrafos siguientes, se comentan lasprincipales características de los bonos de indemnización bancaria, sin presentar ningúnejemplo, ya que los cálculos necesarios son idénticos a los que se acaban de ¡lustrar para los Bo-res.

-•Los bonos de indemnización bancaria funcionan de manera análoga a los Bores (con pagostrimestrales de interés), salvo que las fechas de pago son distintas. Para los Bib's las fechas de pa-go de intereses son los días primero de los meses de diciembre, marzo, junio y septiembre. Estastasas también se publican en el Diario Oficial de la Federación, los dias último del mes anterior ala fecha de pago de intereses. En la tabla 9.7 se resumen esas tasas para diversos periodos.

TABLA 9.8TASAS DE INTERÉS PARA BIB'S

1 MAR 89 - 31 MAY 89%1 JUN 89- 31 ACÓ 89

1 SEP 89- 30 NOV891 DIC 89- 28 FEB 90

1 MAR 90 - 31 MAY 901 JUN 90- 31 ACÓ 90

PERSONAS

FÍSICAS

Tasa bruta

32.4232.4230.95329433.7731.77

Tasa neta

29.9029.9028.4330.4231.2529.25

MORALES

29.9029.9029.3731.6132.1830.19

Conociendo estas tasas y revisando los precios a los que se cotizan los Bib's y los Bores en elmercado de valores (en algún periódico o en el boletín diario de la Bolsa Mexicana de Valores),se pueden ilustrar los métodos de cálculo de tasas efectivas de rendimiento para estos instru-mentos.

Los demás instrumentos que se manejan en la bolsa de valores, que actualmente son los bo-nos bancarios para el desarrollo industrial (Bondis), los bonos bancarios de desarrollo (BBD), losbonos bancarios para la vivienda, los bonos ajustables del Gobierno Federal y los bonos de pren-da se pueden evaluar mediante los métodos revisados exhaustivamente en las secciones ante-riores. Además, como el mercado bursátil es sumamente dinámico y aparecen constantementenuevos instrumentos, los susodichos métodos permiten analizar casi cualquier posibilidad encuanto a formas de ofrecer rendimientos.

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 9.5

44. ¿Qué tasa neta, después de impuestos, corresponde a una persona física que obtiene unatasa bruta del 25.93%?

45. ¿De qué tasa bruta se obtiene una neta de 20.16%, después de impuestos, para un inversio-nista persona física?

46. ¿De qué tasa bruta se obtiene una neta de 20.16%, después de impuestos, para un inversio-nista persona física?

47. ¿Qué tasa neta, después de la deducción de impuestos, corresponde a una persona físicaque obtiene una tasa bruta del 36.05%?


48. ¿Cuál es la comisión que cobran los intermediarios bursátiles en la compra-venta de obliga-ciones? ¿Sigue siendo igual a la que se maneja en este texto?

49. ¿Cuál es la comisión que cobran los intermediarios bursátiles en la compra-venta de bonosde indemnización bancaria? ¿Sigue siendo igual a la que se maneja en este texto?

Resuelva los ejercicios siguientes con los datos de la tabla 9.5:•'50. La emisión 24-90 de Bondes pagó 30.15% de interés del 9 de agosto al 6 de septiembre de

1990. Si un inversionista compra Bondes de esta emisión en $99 522.66 y los vende en la se-gunda fecha en $99 750, ¿cuál fue la tasa efectiva de rendimiento anual que obtuvo?

51. Para los Bondes del ejemplo 48, si los precios de compra y venta fueron $99401.46 y$99 414.02, respectivamente, ¿cuál fue la tasa efectiva de rendimiento anual?

52. Si, para los Bondes del ejemplo 48, los precios de compra y venta fueron de $99 467.65 y$99 522.66, respectivamente, ¿cuál fue la tasa efectiva de rendimiento mensual?

53. La emisión 28-90 de Bondes pagó 30.59% de interés del 12 de julio al 9 de agosto, y pagó30.15% del 9 de agosto al 6 de septiembre. Si se compran Bondes de esta emisión el 12 dejulio en $99 784.69 y se venden en $99 795.53 el 25 de agosto, ¿qué tasa efectiva de rendi-miento mensual se obtendrá?

54. Para los Bondes del ejercicio 51, si se compran los títulos el 20 de julio en $99 801.00 y sevenden el 6 de septiembre en $99 827.50, ¿qué tasa efectiva de rendimiento mensual se ob-

^ tiene?55. Para los Bondes del ejercicio 51, si se compran el 18 de julio en $99 800 y se venden el 27 de

agosto en $99 824.33, ¿qué tasa efectiva de rendimiento anual se obtiene?56. ¿Por qué se llaman indizadas las obligaciones indizadas?57. Las obligaciones de Banamex, BNM87-2 pagaron 42.9033% de interés del 6 de mayo al 5 de

agosto. Si un inversionista compra estos títulos en $99.20 el 6 de mayo y los vende el 6 deagosto en $99 23, ¿qué tasa efectiva de rendimiento anual obtiene?

58. Para las obligaciones del ejemplo anterior, ¿cuál habría sido la tasa efectiva de rendimientomensual que se habría obtenido si los precios de compra y de venta hubieran sido $99.59 y$99.47, respectivamente? ,

59. Las tasas de interés mensual de las obligaciones BNM87-2 para el trimestre del 6 de mayoal 5 de agosto fueron: 49.51, 41.81 y 37.39%. Si un inversionista compra de estos títulos el 6de mayo en $99.21 y los vende el 15 de junio en $99.21, ¿qué tasa efectiva de interés anualobtiene?

60. Para el ejemplo 57, si los vende el 2 de julio, ¿cuál es el rendimiento efectivo anual que ob-tiene?

61. Para las obligaciones del ejercicio 57, si se compran los títulos el 15 de mayo en $98.99 y sevenden el 2 de agosto en la misma cantidad, ¿cuál es el rendimiento efectivo mensual?

62. Para las obligaciones del ejercicio 59, si las fechas de las operaciones de compra y de ventason, respectivamente, el 20 de mayo y el primero de agosto, ¿cuál es el rendimiento efecti-vo anual?

63. ¿Cuál es la respuesta del ejercicio 55 si no se toman en cuenta las comisiones pagadas al in-termediario bursátil?

64. ¿Cuál es la respuesta del ejercicio 56 si no se toman en cuenta las comisiones pagadas al in-termediario bursátil?Resuelva los siguientes ejercicios con los datos de la tabla 9.6:

65. Si se compran bonos de indemnización bancaria el primero de junio de 1990 en $88.55 y sevenden el 31 de agosto en $91.12, ¿qué tasa efectiva de rendimiento mensual se obtiene?


66. Si se compran bonos de indemnización bancaria el primero de marzo de 1990 y se vendenel 31 de mayo, a $91.12 y $91.15, respectivamente, ¿qué tasa efectiva de rendimiento al pla-zo se obtiene?

67. Una empresa adquiere el 15 de marzo de 1990 bonos de indemnización bancaria en $87-12y los vende el 30 de junio en $88.00. ¿Qué tasa de rendimiento efectivo anual obtiene?

-68. Si la empresa del ejercicio 65 compra los Bib's el 20 de marzo y los vende el 20 de agosto¿qué cantidad neta obtiene de intereses?

9.6 RESUMEN

Se revisan en este capítulo los procedimientos que se deben seguir para determinar los rendi-mientos efectivos de los diversos valores bursátiles. Esta determinación de rendimientosefectivos es de especial importancia en el mercado de valores, porque las tasas que normal-mente se manejan en publicaciones son tasas nominales que, por lo general, no permiten rea-lizar comparaciones válidas entre diferentes instrumentos o entre diferentes periodos.

Para revisar los procedimientos de cálculo, se dividieron los valores en dos principalescategorías, de acuerdo a la fuente principal de rendimientos que ofrecen: a) ganancias de ca-pital y b) intereses.

Para los valores que ofrecen exclusivamente ganancias de capital y para los que paganintereses (y cuando las operaciones con estos últimos se realizan en fechas de pago de intere-ses y no hay pagos de intereses intermedios), el procedimiento que se debe seguir para calcu-lar los rendimientos efectivos se resume perfectamente en la fórmula 9.1:

/ *= -M- - 1p . C

, en donde /p es la tasa efectiva de rendimiento al plazo.Este mismo procedimiento se aplica a los valores que se manejan con tasa de descuento,

sólo que con éstos es necesario calcular antes el precio descontado (el capital), utilizando lafórmula 9.4:

P = VN I 1 - t d360

Para los valores que pagan dividendos y para los que pagan intereses (y cuando las ope-raciones con éstos no se llevan a cabo en fechas de pago de intereses y/o cuando existen pa-gos de intereses intermedios entre las fechas de compra y de venta), el procedimiento a se-guir es:

— determinar los precios de compra y de venta;— determinar los intereses devengados por el título desde la última fecha de pago de inte

reses previa a la compra hasta la fecha en que se realiza ésta. Estos intereses deberser pagados por el comprador a quien vende, por lo que deben sumarse al precio decompra para conformar los "egresos a la compra";

— determinar los intereses devengados desde la última fecha de pago de intereses pre-via a la venta hasta la fecha en que ésta se lleva a cabo. Al igual que en el párrafo arv


terior, quien compra debe pagar estos intereses al vendedor. Por ello, se deben sumaral precio de venta para obtener los "ingresos a la venta".(Estos dos últimos párrafos sólo son aplicables a los instrumentos que pagan intere-ses);

— determinar cualesquiera pagos de interés entre las fechas de compra y de venta. ParaTas acciones, en este párrafo se aplicaría "dividendos" en vez de "intereses";

— con las cantidades anteriores se construye una ecuación de valores equivalentes;— resolver la ecuación anterior, ya sea mediante aproximaciones sucesivas o utilizando

algún paquete de computación que permita resolver ecuaciones polinomiales.

Además de los procedimientos esbozados, al evaluar los rendimientos efectivos de losvalores bursátiles, es importante tener presentes las comisiones que los intermediarioscobran al realizar operaciones, si es que cobran alguna.

COMPROBACIÓN DE CAPITULO

Al finalizar el estudio de este capítulo, el lector debe:t

— saber cuáles son los valores que se negocian en el mercado de valores mexicano y sus princi-pales características;

— explicar las formas en las que los valores bursátiles permiten obtener rendimientos;— calcular rendimientos efectivos de acciones de sociedades de inversión de renta fija;-^ calcular rendimientos efectivos de acciones de empresas y de sociedades de inversión comu-

. nes;— conocer la fórmula para calcular el precio descontado de un valor.— calcular el rendimiento efectivo de Cetes, papel comercial y aceptaciones bancarias;

' — conocer la fórmula para calcular los intereses pagados;— explicar las características principales de los distintos tipos de obligaciones;— calcular el rendimiento efectivo de Bondes, obligaciones, Bores y BIB's;— calcular el rendimiento efectivo de cualquier instrumento bursátil;— obtener información sobre valores bursátiles en publicaciones e interpretar esa información.


— Acción de empresa comercial, industrial o de servicios— Sociedad de inversión de renta fija— Sociedad de inversión común— Aceptación bancaria— Bonos bancarios de desarrollo— Bonos de desarrollo del Gobierno Federal— Bonos de indemnización bancaria— Bonos de la Tesorería de la Federación— Bonos de renovación urbana del Distrito Federal— Bonos ajustables del Gobierno Federal


— Certificados de la Tesorería de la Federación— Certificados de participación— Obligaciones— Pagarés de la Tesorería de la Federación— Papel comercial— Valor nominal— Intereses— Dividendos— Descuento— Cotización de mercado— Tasa neta y tasa bruta— Tasa nominal y tasa efectiva— Tipos de cambio peso-dólar— Comisión de la casa de bolsa


/„ = (1 + 'p)n/p (9.3)

P = VN (1 ~--) ' (9.4)360

D = VN - P (9.5)

/ = TN X3»QX VN ' (9.6)

í t /-

(9.7)360


1. ¿A qué precio se compraron acciones de una sociedad de inversión de renta fi ja que rin-dieron el 33% efectivo anual, si la compra se realizó el 15 de agosto y el precio de ventafue de $4500?

2. El 25 de junio se negociaron acciones de ABACOF (una sociedad de inversión común o derenta variable) en $2 612.56 y en $2 761.19 el 24 de julio. Si se considera que no se compra-ron y vendieron en realidad, ¿cuál fue el rendimiento efectivo anual?


3. ¿Cuál es (a respuesta del ejercicio 3 si, de hecho, se llevan a cabo las operaciones de compray de venta?

4. Describa en forma de algoritmo el procedimiento que se debe seguir para determinar elrendimiento efectivo de la inversión en acciones de sociedades de inversión:

,a) de renta fi jab) de renta variable

5. El 23 de julio se pagó un dividendo en efectivo de $25 por certificado de aportación patri-monial de BANCOMER en circulación. Si estos certificados se cotizaron en $945 el 25 de ju-nio y en $1 030 el 9 de agosto, ¿cuál fue el rendimiento efectivo mensual para sus tenedo-res, sin tomar en consideración las comisiones por compra y venta de los títulos?

6. ¿Cuál sería el rendimiento efectivo anual de los certificados de aportación patrimonial deBANCOMER si efectivamente se toman en consideración las comisiones del intermediariobursátil?

7. Describa, en forma de algoritmo, el procedimiento que debe seguirse para evaluar el rendi-miento efectivo en circunstancias como las que se describen en el ejercicio 6.

8. Describa en forma de algoritmo, el procedimiento que debe seguirse para evaluar el rendi-miento efectivo en circunstancias como las que se describen en el ejercicio 7.

9. S^se obtuvo una tasa efectiva de rendimiento al plazo de 5.15% al invertir en acciones deuna empresa comercial, y el precio de compra (incluyendo la comisión de la casa de bolsa)fue de $3 750 por acción, ¿cuál fue el precio de venta (incluyendo la comisión}?

10. ¿Cuál sería eí precio de compra en el ejercicio 10 si no se incluye la comisión de la casa debolsa?

11. Utilizando los datos del ejercicio 10 y la respuesta al ejercicio 11, y sin considerar la comi-sión de la casa de bolsa por la venta de las acciones, ¿cuál sería la tasa efectiva de rendi-miento mensual?

12. ¿Cuál fue la tasa efectiva de rendimiento de las acciones de ALFA en el mes anterior?13. ¿Cuál fue la tasa efectiva de rendimiento de las acciones de la sociedad de inversión de ren-

ta fija FICPLAZ en eí mes anterior?14. La emisión CT-24-90 de Cetes tiene plazo de 28 días y tasa de descuento de 31.61%.

a) ¿Cuál es la tasa nominal de rendimiento anual?b) ¿Cuál es la tasa efectiva de rendimiento anual?

15. Para alguna (si es que hay más de una) de las emisiones de Cetes del jueves anterior:

a) Señale sus característicasb) ¿Cuál es la tasa efectiva de rendimiento mensual?

16. El 29 de junio de 1990 se emitió papel comercial de Grupo Comercial Mermes, S.A. de C.V., a

plazo de 28 días, ¿cuál era su fecha de vencimiento?17. El papel comercial del ejercicio anterior tenía una tasa nominal de rendimiento anual de

35.49%, ¿cuál era la tasa de descuento?18. ¿Cuál era la tasa efectiva de rendimiento anual de papel comercial de los ejercicios 16 y

17?19. Determine las tasas efectivas de rendimiento de las siguientes emisiones de papel comer-

cial, al plazo que se solicita:


Emisora

BICONSA U9011PMP U9007CARABEL UP007

Plazo(días)

282128

Tasa dedescuento

35.15%35.4435.29

Plazo de la tasaefectiva

MensualAnualDiaria

20. Localice en alguna publicación datos sobre emisiones recientes de papel comercial y deter-mine la tasa efectiva de rendimiento anual correspondiente.

21. Localice en alguna publicación datos sobre emisiones recientes de aceptaciones barcariasy determine la tasa efectiva de rendimiento anual correspondiente.

22. El 14 de junio de 1990 se emitieron los Tesobonos TB-24-90 a plazo de 91 días y con tasa dedescuento de 13.33% Determine la tasa efectiva de rendimiento anual que ofrecieron a suvencimiento.

23. El 14 de junio de 1990 se emitieron los Tesobonos TB-24-90 a plazo de 28 días y con tasa dedescuento de 13.64%. Determine la tasa efectiva de rendimiento anual que ofrecieron a suvencimiento.

24. El 14 de junio de 1990 se emitieron los Pagafes PF-24-90 a plazo de 28 días y con tasa dedescuento de 14.70%. Determine la tasa efectiva de rendimiento anual que ofrecieron a su

* vencimiento.25. ¿Por qué es mayor la tasa de descuento de los Pagafes del ejercicio 24 que la de los Tesobo-

nos del ejercicio 23, si ambos títulos son al mismo plazo?26. Localice datos recientes de emisiones de Tesobonos y determine la tasa efectiva de rendi-

miento anual.» 27. Localice datos recientes de emisiones de Pagafes y determine la tasa efectiva de rendímien-, to mensual.

28. ¿Cuál es la tasa definitiva del impuesto sobre la renta para personas físicas que obtienen in-tereses en inversiones bursátiles?

29. ¿Qué tasa neta de interés corresponde a una persona física que invierte en obligacionesque pagan el 33% anual bruto de interés?

30. ¿Cobran comisión los intermediarios bursátiles en las operaciones de compra y de venta deBondes? Si la respuesta es afirmativa, diga de cuánto es esa comisión. Si la respuesta es ne-gativa, explique por qué.Para resolver los ejercicios 31 y 32 utilice los datos que aparecen en la tabla 9.5.

31. El 28 de junio de 1990 se compran Bondes de la emisión 10-90 en $9 976.77 y se venden el 26de julio en el mismo precio. Si los intereses pagados en ese periodo son a una tasa nominalanual de 32.29%, ¿cuánto se recibe de intereses al momento de la venta?

32. Si se adquieren el 15 de julio Bondes de la emisión 28-90 en $9 877.65 y se venden el 15 deagosto en $9 901.11 y si, además, las tasas de interés para los periodos del 12 de julio al 9 deagosto y del 9 de agosto al 6 de septiembre son 30.59% y 30.15%, respectivamente, ¿cuáles la tasa efectiva de rendimiento mensual que se obtiene?

33. Localice datos recientes de Bondes y calcule las correspondientes tasas efectivas de rendi-miento anual, considerando que las operaciones se llevan a cabo en fechas de pago de inte-

reses.34. Localice datos recientes de Bondes y calcule las correspondientes tasas efectivas de rendi-

miento anual, considerando que las operaciones no se llevan a cabo en fechas de pago deintereses.


35. Las obligaciones quirografarias FRISCO88 pagaron el 7 de mayo el 51.79% de interés parael periodo del 7 de febrero al 6 de mayo. Si se compran obligaciones de esta emisión en laprimera fecha en $98.00 y se venden en la segunda fecha en $98.22, ¿qué tasa efectiva derendimiento mensual se obtiene?

36. ¿Cuál sería la respuesta al ejercicio 35 si no se toman en consideración las comisiones de la* casa de bolsa?

37. Se compran obligaciones de FRISCO88 el 14 de febrero, en $98.88 y se venden en $98.99 el15 de mayo. Si la tasa de interés vigente para el periodo del 7 de mayo al 6 de junio es de50.83%, determine la tasa efectiva de rendimiento anual. (La tasa de interés vigente en elperiodo del 7 de febrero al 6 de mayo fue de 51.79%).

38. Determine la respuesta al ejercicio 37 sin tomar en consideración las comisiones del inter-mediario bursátil.

39. ¿Por qué se llaman subordinadas las obligaciones subordinadas?40. Si se compran Bores el 16 de mayo en $88.10 y se venden el 30 de agosto en $86.55, ¿qué ta-

sa efectiva de interés mensual se gana?41. ¿Cuál es la tasa efectiva mensual de rendimiento de los Bores del ejercicio 31 si no se to-

man en consideración las comisiones de la casa de bolsa?42. Se compran bonos de indemnización bancaria, en $87.65, el primero de junio de 1990 y se

venden el 31 de agosto en $86,55. ¿Cuál fue la tasa efectiva de rendimiento mensual? (Véa-se la tabla 9.6).

43. ¿Cuál es el rendimiento efectivo anual de Bib's comprados el 27 de abril de 1990 y vendidosel 14 de junio, si los precios son de $86.55 y $87.66, respectivamente? (véase la tabla 9.6.)

44. Localice datos recientes de Bores y determine la tasa efectiva de rendimiento mensual,considerando que las operaciones se realizan en fechas de pago de intereses.

4í. Localice datos recientes de Bores y determine la tasa efectiva de rendimiento mensual,considerando que las operaciones no se realizan en fechas de pago de intereses.

46. Localice datos recientes de Bib's y determine la tasa efectiva de rendimiento mensual, con-, _' siderando que las operaciones se realizan/en fechas de pago de intereses.47. Localice datos recientes de Bib's y determine la tasa efectiva de rendimiento mensual, consi-

derando que las operaciones no se realizan en fechas de pago de intereses.48. Localice datos recientes de bonos bancarios de desarrollo y calcule la tasa efectiva de ren-

dimiento mensual.49. Localice datos recientes de bonos bancarios de desarrollo industria! y calcule la tasa efecti-

va de rendimiento mensual.50. Localice datos recientes de bonos bancarios para la vivienda y calcule la tasa efectiva de

rendimiento mensual.51. Localice datos recientes de certificados de plata y calcule la tasa efectiva de rendimiento

mensual.52. Localice datos recientes de bonos ajustables del Gobierno Federal y calcule la tasa efecti-

va de rendimiento mensual.

10

Depreciación

OBJETIVOS:

Al finalizar el capítulo, el lector será capaz de:

• Definir el concepto de depreciación• Distinguir los diversos métodos de depreciación

— Lineal— De porcentaje fijo

<— Suma de dígitos— Por unidad de producción o servicio— Fondo de amortización

• Aplicar los diversos métodos de depreciación en situaciones concretas

10.1 INTRODUCCIÓN

10.2 CONCEPTOS

10.3 MÉTODO DE LÍNEA RECTA

10.4 MÉTODO DE PORCENTAJE FIJO

10.5 MÉTODO DE SUMA DE DÍGITOS

10.6 MÉTODO POR UNIDAD DE PRODUCCIÓN O SERVICIO

10.7 MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN

10.8 LA DEPRECIACIÓN EN ÉPOCAS INFLACIONARIAS

10.9 RESUMEN

10.1 INTRODUCCIÓN

Desde el momento mismo en que se adquiere un bien (a excepción de los terrenos y algunosmetales), éste empieza a perder valor por el transcurso del tiempo o por el uso que se le da.

307


Esta pérdida de valor es conocida como depreciación y debe reflejarse contablemente con elfin de:

1. Determinare! costo de los bienes o servicios que se generan con dichos activos.2. Establecer un fondo de reserva que permita remplazar el bien al final de su vida útilf

En este capitulo se estudiará la depreciación, así como los distintos métodos que se em-plean para calcularla. En la última parte se analizarán también los problemas que se presen-tan en épocas inflacionarias y que obligan a realizar ajustes en los métodos de valuación ydepreciación de los activos.

10.2 CONCEPTO

La pérdida de valor que sufre un activo físico como consecuencia del uso o del transcursodel tiempo es conocida como depreciación. La mayoría de dichos activos, a excepción de losterrenos, tienen una vida útil durante un periodo finito de tiempo. En el transcurso de talperiodQ estos bienes van disminuyendo su valor y esta pérdida de valor es reflejada por la de-preciación.

Contablemente se realiza un cargo periódico a los resultados por la depreciación delbien, y en contrapartida, se crea un fondo para contar con los recursos necesarios para rem-plazarlo al concluir su vida útil.

Los cargos periódicos que se realizan son llamados cargos por depreciación. La diferen-cia entre el valor original y la depreciación acumulada a una fecha determinada se conocecomo valor en libros. El valor en libros de un activo no corresponde necesariamente a su va-lor de mercado. En tiempos de alta inflación, éste puede llegar a ser varias veces superior,pues aquél refleja únicamente la parte del costo original que está pendiente de ser cargada aresultados.

Al valor que tiene el activo final de su vida útil se le conoce como valor de salvamento ovalor de desecho, y debe ser igual al valor en libros a esa fecha.

La base de depredación de un activo es igual a su costo original menos su valor calcula-do de salvamento y es la cantidad que debe ser cargada a resultados en el transcurso de suvida activa.

En el caso de los activos que no pueden remplazarse se utiliza el concepto deagoíam/en-ío, esto es, la pérdida progresiva de valor por la reducción de su cantidad aprovechable. Es elcaso de los minerales que, por la extracción de que son objeto, van disminuyendo paulatina-mente su capacidad y su valor, hasta que se agotan totalmente.

Así pues, dos son los objetivos de la depreciación:

1. Reflejar en los resultados la pérdida de valor del activo.2. Crear un fondo interno para financiar la adquisición de un nuevo activo al finalizar la

vida útil del antiguo.

En épocas inflacionarias este segundo objetivo se logra sólo en forma parcial, pues losprecios de los nuevos activos serán considerablemente mayores a los de los antiguos.

Depreciación 309

Existen diversos métodos para determinar el cargo anual por depreciación. Cada uno deellos presenta ventajas y desventajas que serán analizadas en cada sección.

En este capítulo se utilizará la siguiente notación:

C — Costo original del activo5 — Valor de salvamento (S puede ser negativo)n — Vida útil calculada en añosB ~ C — S = Base de depreciación del activoDk = Cargo por depreciación por el año k (1 < k < n)A¡< — Depreciación acumulada al final del año k

(O < k < n), D0 = O y Dn = B

Vk — Valor en libros al final del año k (O < k < n)

V0 = C y Vn = S

dk — Tasa de depreciación por el año k (1 < k < n)*

10.3 MÉTODO DE LÍNEA RECTA

Es el método más simple y el más utilizado. En muchos países, como México, es el únicoaprobado por las autoridades para cumplir con las disposiciones fiscales al respecto.

Este método supone que la depreciación anual es la misma durante toda la vida útil delactivo. De acuerdo con ello, la base de depreciación se divide entre el número de años de vidaútil calculada y se determina el cargo que anualmente se hará al fondo de reserva y a los re-sultados.

Al final de la vida útil, la depreciación acumulada más el valor de salvamento del biendebe ser igual al valor de reposición.

— = D (independientemente de k) (10.1)n n

A,, - k D (10.2)

Vk = C -k D (10.3)

La depreciación acumulada crece cada año en una cantidad fija y el valor en libros dis-minuye en la misma cantidad.


3 N

Gráfica 10.1

Ejemplo 10.3.1 Se compra un equipo de cómputo con valor de $16 000 000 y se calcula que suvida útil será de cuatro años, antes de que deba ser remplazado por equipo más moderno. Su va-lor de desecho se calcula en $2 500000.

a) Determínese la depreciación anual por el método de línea recta.6) Elabórese una tabla de depreciación.

\

Utilizando la fórmula (10.1) se tiene:

D =C-S

D =16000-2 500 13500

D = 3 375

Asi, la depreciación anual será de $3 375 000, cantidad que se incrementará en el fondo de reser-va para depreciación y disminuirá en el valor en libros del activo. Esto se refleja claramente en Utabla (10.1)

Deprec/ac/ón 311

TABLA 10.1

Anos

0

1

2

3

4

Depreciaciónanual

0

3 375 000

3375000

3375000

3 375 000

Depreciaciónacumulada

0

3 375 000

6 750 000

10 125000

1 3 500 000

Valor enlibros

1 6 000 000

12 625000

9 250 000

5 875 000

2 500 000

Ejemplo 10.3.2 Un equipo con costo de $35 000 000 tiene una vida útil de 6 años, al final de loscualts se calcula que alcanzará un nivel de obsolescencia que obligará a cambiarlo por un mo-delo nuevo. Su valor de salvamento será de $1 000 000 y se prevé que deberá realizarse una in-versión adicional de $2000000 para desmontarlo y deshacerse de él.

a) Determínese el cargo anual por depreciacióni>) Elabórese una tabla de depreciación

Solución:

iAplicando nuevamente la fórmula 10.1 se ob'tiene:

05

D =35000 - (- 1 000)

D36000

D = 6000

En este caso, el valor de salvamento es negativo, pues si bien se recupera $1 000 000 por la ventadel equipo, debe realizarse una erogación de $2 000000 para desmontarlo y deshacerse de él.


Así, su valor neto de salvamento es de —$1 000 000. Esto puede observarse en la tabla 10-2

TABLA 10.2

Años

0

1

2

3

4

5

6

Depreciaciónanual

0

6 000 000

6 000 000

6 000 000

6 000 000

6 000 000

6 000 000


0

6 000 000

1 2 000 000

1 8 000 000

24 000 000

30 000 000

36 000 000

Valor enlibros

35 000 000

29 000 000

23 000 000

1 7 000 000

1 1 000 000

5 000 000

(1 000 000)

Ventajas:

1) Es de fácil aplicación.

Desventa/as:

1) No toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva.2) Los activos fijos tienden a depreciarse en una mayor proporción en los primeros años que en

los últimos. (Esto compensa el hecho de que en los primeros años los gastos de mantenimientoy reparación son menores, en tanto que aumentan con el transcurso de los años; de esta for-ma se logra distribuir los costos de inversión y operación en el tiempo).

10.4 MÉTODO DE PORCENTAJE FIJO

Este método tiene en consideración el hecho de que la depreciación es mayor en los primerosaños de uso y menor en los últimos. Para reflejarlo se carga un porcentaje fi jo del valor en li-bros del activo a los resultados de la empresa. Dicho valor en libros disminuye cada año y.por tanto, la depreciación disminuye también consecuentemente. La depreciación anual es-tará dada por la fórmula

D = V_ (10.4

Depreciación 313

El valor en libros al final del primer año estará dado por:

v, = v() - V0d = C ~ Cdd-d)

Donde V es el valor en libros y d la tasa de depreciación anual fijada. En el segundo año, elvalor en libros estará dado por.

V2 - V, - V, d = V, (1 -d) = C (1 -d) (1 -d)

y en el tercero será:

V3 = V2 - V2 d = V2 (1 -d) = C O -cO (1 -d) (1 -c()

Por tanto, se está en presencia de una progresión geométrica cuyo término común es (1 — d).El valor en libros al final de cada año puede determinarse utilizando la fórmula

VA - Cd-c f ) 1 (10.5)

En el último año, el valor de salvamento será igual al valor en libros.

S - C(1 -c/)" = Vn (10.6)%

Dados S y n, se puede determinar la tasa de depreciación utilizando la fórmula (10.6).Este método sólo puede aplicarse si el valor de salvamento es positivo; de lo contrario, la

fórmula (10.6) carecería de sentido. En caso de que el valor de desecho calculado fuese O,puede sustituirse por 1 para poder aplicar dicha fórmula.

Ejemplo 10.4.1 Una compañía compra una camioneta para el reparto de su mercancía en$75 000 000. Calcula que su vida útil será de 5 años y que al final de ella su valor de desecho seráde $10000000.

a) Determínese la tasa de depreciación d que puede aplicarse.b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente.

Solución:

En este caso se conoce el valor de desecho y el número de años de vida útil. Se aplica la fórmula(10.6) y se despeja d.

S = C (1 - d)n

10000 - 75000(1 - o1)5

10000 tf ,575000 = d -


0.13333333 = (1 - d)5

(0.13333333)1/5 = 1 - d0.66832506 = 1 - d

d = 1 - 0.668325d - 0.33167494d = 33.1675 %

Este porcentaje se aplica para calcular la tabla 10.3 de depreciación correspondiente: de existirdiferencia, debida al redondeo de las cifras, ésta se ajusta en el último cargo por depreciación

TABLA 10.3

Años

0

1

2

3

4

5

Depreciaciónanual

-.-

24 875.63

16625.00

11 110.90

7 425.70

4962.78


— .—

24 875.63

41 500.63

52611.53

60 037.23

65 000.00*

Valor enlibros

75 000.00

50124.37

33 499.37

22 388.47

14962.77

10000.00

Porcentaje dedepreciación

0.331675

/

/

/

/

/

*La diferencia de 001 se debe a redondeo

Ejemplo 10.4.2 Se adquiere un equipo de troquelado con valor de $28 750 000 y se calcula quesu tasa de depreciación es de 30%. Su esperanza de vida es de siete años.

ia) Elabórese una tabla de depreciación de los primeros cuatro años.b) Encuéntrese el valor en libros al final del quinto año.c) Determínese el cargo de depreciación del sexto año.d) Determínese el valor teórico de desecho.

TABLA 10.4

Años

0

1

2

3

4

Depreciaciónanual

0

8625

6037.5

4226.25

2958.38


0

8625

14662.50

18888.75

21 847.13

Valor enlibros

28 750

20 125

14087.50

9861.25

6 902.87

Depreciación 315

Solución:

a] Utilizando la fórmula (10.4]

Dfc - Vk-, d

se determinan los valores de la tabla 10.4

6) Utilizando la fórmula (10.5) se determina el valor en libros al final del quinto año.

Vk = C(1 - d)k

Vk = 28750(1 - 0.30)5

V5 = 28750(0.16807)V5 = 4832.01

c) El cargo por depreciación del sexto año se obtiene utilizando la fórmula (10.1.)

Dk = Vk_,dDe^-VjdD6 =4832.01 (0.30)D6 = 1 449.60

d) El valor teórico de desecho se calcula utilizando la fórmula (10.6)

S =C(l-c/)n

S =28750 (1-0.30)7

S =28 750 (0.08235430)S = 2 367.69

Ejemplo 10.4.3 El costo de un equipo de precisión es de $10000000. Se espera que su vida útilsea de tres años y que su valor de desecho sea igual a 0.

a) Determínese el porcentaje de depreciación que debe aplicarse.6) Elabórese una tabla de depreciación.

Solución;

a) Para determinar el porcentaje de depreciación se aplica la fórmula (10.6) y se despeja d, pues,como en el ejemplo 10.4.1, se conoce el valor de desecho y el número de años de vida útil:

5 =C(1-cTO =10000000(1 - c/)3

Sin embargo, como ya se mencionó antes, esta fórmula carece de significado si el valor dedesecho es igual a O, pues su resultado sería indeterminado. Por tanto, se sustituye el O por el 1 yse aplica nuevamente la fórmula:


10000000 (1 -c/)3 = 1(1-cD3 - M 10000000

(1-c/)3 = 0.0000001(1 -d) = (0.0000001)173

1 - d = 0.00464159- d 1 + 0.00464159

d = 0.99535841

El efecto de una tasa de depreciación como esta se refleja en la tabla 10.5

TABLA 10.5

Años

0

1

2

3

Depreciaciónanual

0

9 953 500

46284

215


0

9 953 500

9 999 7ÍÍ4

9 999 999

Valor enlibros

1 0 000 000

46500

216

1

v » En este caso, prácticamente el total de la depreciación es cargado al primer año y puede no serconveniente la utilización de este método.

Ejemplo 10.4.4 Resuélvase el ejemplo 10.3.1 utilizando el método de porcentaje fijo. Se sabeque el costo del equipo es de $16 000 000, su vida útil de cuatro años y su valor de desecho de$2 500 000.

a) Determínense los cargos anuales por depreciación.b) Elabórese una tabla de depreciación.

Solución:

En primer lugar debe determinarse el porcentaje de depreciación anual. Utilizando la fórmula(10.6) se tiene:

S = C (1-dT2 500 = 16000 (1-d)4

2 500

16000- (i - dy

Depreciación 317

0.15625(0.15625}"4

0.62871671ddd

(1-c/)4

1 - d1 - d1 - 0.628716710.3712832937.13%

Conocida la tasa de depreciación se aplica en la fórmula (10.4):

D¡< = V^—1 d y se elabora la tabla de depreciación.

TABLA 10.6

Año

0

1

2

3

A

Depreciaciónanual

0

5 940.8

3 734.98

2 348.18

1 476.04


0

5 940.8

9675.78

12023.96

13 500.00

Valor enlibros

16000

10059.2

6324.22

3 976.04

2 500.00

La diferencia resultante por el redondeo se ajustó en el último cargo. Como puede observarse,los cargos son más elevados en los primeros años y después se ajustan a la baja.

Venía/as:*

1) Es un método relativamente fácil de aplicar.2} Asigna un mayor cargo por depreciación a los primeros años, que es cuando los bienes efecti-

vamente pierden más valor.

Desventa/as:

1) Como el método de linea recta, no tiene en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva.


1. Una asociación estudiantil decide adquirir un equipo de video para realizar tareas de capa-citación. Su costo es de $2 500 000 y se calcula que dará servicio durante cinco años, al cabo


de los cuales esperan cambiarlo por uno más moderno. Su valor de desecho es de aproxi-madamente $500 000.

a) Determínese la depreciación anual por el método de línea recta.b) Elabórese la tabla de depreciación.

f

2. Una constructora instala una planta mezcladora para cubrir las necesidades de una obra degran importancia. Su costo total es de $35 000 000 y se espera que dé servicio durante los tresaños de duración de la misma. Al terminar se requerirá realizar una erogación de $5 000 000para desmontarla, y las piezas que se rescaten podrán ser vendidas en $1 000000.

a) ¿Cuál es el valor neto de salvamento?b) Determínese la depreciación anual por el método de línea recta.c) Elabórese la tabla de depreciación.

3. Un departamento de policía adquiere patrullas nuevas con valor de $50 000 000 cada unaEstima que su vida útil será de cinco años, al cabo de los cuales su valor de desecho será O

,_ a) Determínese la depreciación anual por el método de porcentaje fijo.b) Elabórese la tabla de amortización.

4. Resuélvase el problema anterior utilizando el método de línea recta.5. Una compañía de aviación adquiere un simulador de vuelo en $250000 000. Decide depre-

ciarlo por el método de porcentaje fijo aplicando 20 por ciento anual.

a) ¿Cuál será el valor en libros al cabo de cinco años?

•• ; 6. ¿A qué tasa debería depreciar su simulador la compañía de aviación si calcula que la vidaútil del mismo será de siete años y que su valor de salvamento será de $50 000 000?

7. ¿Cuál seria el valor en libros al cabo de cinco años si aplicara el método de línea recta \a tasa de depreciación de 20 por ciento anual?

8. Un agricultor compra un tractor con valor de $28 000 000. Calcula que tenga una vida útilde cinco años, al cabo de los cuales su valor de desecho será 0. Si aplica el método de de-preciación por porcentaje fijo, ¿qué tasa debe aplicar?

9. El agricultor decide vender el tractor al cabo de tres años al valor que tiene registrado en li-bros. ¿En qué precio debe ofrecerlo?

10. ¿En cuánto tiempo un equipo de cómputo que tuvo un costo de adquisición de $8 000 OOCtendrá un valor en libros de $1 000 000 si se utiliza el método de depreciación por porcentajefi jo y se aplica una tasa anual de 50%?

10.5 MÉTODO DE SUMA DE DÍGITOS

El método de suma de dígitos, al igual que el del porcentaje fijo, es un método acelerado dedepreciación que asigna un cargo mayor a los primeros años de servicio y lo disminuye con

Depreciación 319

el transcurso del tiempo. Para determinar el cargo anual se multiplica la base de deprecia-ción del activo por una fracción que se obtiene de la siguiente manera:

1. Se suman los dígitos (suma de dígitos) de 1 a n de los años de vida esperada del activo.

Ejemplo: Si un activo tiene una vida esperada de cuatro años, se suman los dígitos en-teros correspondientes a los años de servicio esperados: 1 +2 + 3 + 4 = 10.Esta cifra también puede determinarse utilizando la siguiente fórmula:

" (n + 1} (10.7)

Ejemplo: En el caso anterior se tiene:

4 (4 + 1)5 -

2

4(5)

2

S- 10%

La cifra así obtenida será el denominador de la fracción a depreciar.

2. Los dígitos correspondientes a los años de vida útil del activo se ordenan inversamentet al tiempo y así, inversamente, se asignan a cada uno de los años de vida útil. Estos se-

rán los numeradores de la fracción.

Ejemplo: En el caso del activo con vida de cuatro años se tiene:

Año: 1 '2 3 4

Años e n orden invertido: 4 3 2 1

Suma de dígitos s: 10 10 10 10

Fracción que se depreciará: 4 3_ 2_ 110 10 10 10

3. La fracción así obtenida se multiplica por la base de depreciación del activo (C — S) yse obtiene el cargo anual. Así, se tiene que:

D, - — (C - S) D2 - -^-(C-S) ... Dn = — (C-S)S 5 S

y generalizando: Dk - (C-5) (10.8)s

La depreciación acumulada (A^) se obtiene multiplicando la base de depreciación (C — S)por la suma de las fracciones acumuladas hasta ese año.


Ejemplo 10.5.1 Se compra mobiliario de oficina con valor de $8 975 000. Se espera que su vidaútil sea de cinco años y que tenga un valor de desecho de $2 000 000.

a) Elabórese la tabla de depreciación usando el método de suma de dígitos.

** Solución:

1. Se determina la base de depreciación.

8 = C - S8 = 8 975 - 2 0008 = 6975

2. Se calcula el denominador de la fracción (suma de dígitos)

n (n + 1)n = ^ S =

S =5 (6)

3- Se determinan los numeradores de las fracciones.

Año

Numerador

Fracción

1

5

5/15

2

4

4/13

3

3

3/15

4

2 .

2/15

5

1

1/15

Cabe destacar que 5/15 + 4/1 5 + 3/15 + 2/15 + 1/15 = 15/15

4. Se multiplica cada fracción por la base de depreciación para determinar el cargo de cada año

La tabla de depreciación correspondiente es la tabla 107

Este procedimiento puede simplificarse con la utilización de las fórmulas (10.7} y (10.8), como severá en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 10.5.2 Resuélvase el ejemplo 10.3.1 utilizando el método de suma de dígitos. El costodel equipo es de $16000000, su vida útil, de 4 años y su valor de desecho, de $2 500000

a) Determínense los cargos anuales por depreciación.b) Elabórese una tabla de depreciación.


¡2 =10

(13 500) = 4050

03 f_10

110

(13 500) + 2 700

(13 500) = 1 350

13 500 = C - 5

Con estos elementos se construye la siguiente tabla.

TABLA 10.8

Año

0

1

2

3

4

Depreciaciónanual

0

5400

4050

2 700

1 350


0

5400

9450

12 150

13 500

Valor enlibros

16000

10600

6 550

3 850

2 500

Ejemplo 10.5.3 Se construye un edificio para albergar las oficinas de una empresa. El costo delterreno fue de $250 000 000 y el valor de la construcción fue de $600 000 000. La vida útil del in-mueble se calcula en 20 años, y su valor de desecho, en $100 000 000.a) ¿Cuál es el valor en libros al cabo de cinco años si se aplica el método de suma de dígitos?

Solución:

En primer lugar se calcula la base de depreciación.

B = C - SB = 600 - 100B = 500

Nótese que se consideró únicamente el valor de la construcción, pues los terrenos, como se men-cionó, no se deprecian.

Depreciación 323

El denominador de la fracción se calcula utilizando la fórmula (10.7)f

n (n + 1)s

20 (21)s =

2

5 - 210

La depreciación acumulada se obtiene por la suma de las fracciones de los cinco primeros añosmultiplicada por la base de depreciación.

A5 = 20 + 19+^+17 + 16 (5QO)

¿5 = ^(500)

A5 ~ ¿14,2857143

El valor en libros será el resultante de restar al costo original la depreciación acumulada.

Vk = C - Ak

V^= 600 - 214.2857143V5.= 385.7142857

Asi, el valor en libros del edificio al cabo de cinco años será de: $385 714 285.70«• *

Venta/as;

1) Este método asigna un cargo mayor de depreciación a los primeros años de uso del activo.

Desveníay'as:

'(1) No toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reserva.


11. Una cooperativa pesquera ha resuelto adquirir un barco para la captura de atúnrSu costoes de $575 millones y su valor de desecho, al cabo de 25 años de vida útil esperada, será de50 millones. Aplicando el método de suma de dígitos:

a) ¿Cuál será su valor en libros al cabo de cinco años?£>) ¿Cuál será su valor en libros al cabo de 10 años?


12. En un restaurante han adquirido equipo para la cocina con valor de $12 350 000. Su vidaútil esperada es de cuatro años y su valor de desecho igual a O

a) Elabórese una tabla de depreciación utilizando el método de suma de dígitos.b] Compárense los resultados utilizando los métodos de línea recta y de porcentaje fijo

13. Un hospital ha comprado equipo para análisis de laboratorio con valor de $85 550 000. Lavida esperada del mismo es de 15 años y su valor de desecho será igual a 0.

a) Elabórese una tabla de amortización para los primeros cinco años, utilizando el métodode la suma de dígitos.

b) Determínese el valor en libros al cabo de 10 años.

14. Un centro deportivo instaló un nuevo baño sauna. Su costo fue de $28 800 000. Se calculaque tenga una vida útil de 10 años al cabo de los cuales será necesario reponerlo, para locual habrá que realizar una erogación adicional de $2000000, independientemente delcosto del nuevo equipo.

* a) ¿Cuál es la base de depreciación?b) Determínese el valor en libros al cabo de tres años utilizando el método de la suma de

dígitos.c) ¿Cuál será la depreciación acumulada al cabo de siete años?

10.6 MÉTODO POR UNIDAD DE PRODUCCIÓN O SERVICIO>

Al adquirir un activo se espera que dé servicio durante un determinado periodo de tiempc(años, días, horas), o bien, que produzca una cantidad determinada de kilos, toneladas, unida-des, kilómetros, etcétera. Si se conoce la vida esperada del bien en función de estos parametros, puede depreciarse de acuerdo con las unidades de producción o servicio que ha generadodurante un periodo determinado.

Ejemplo 10.6.1 Una compañía arrendadora de autos adquiere un automóvil para su flotilla, conun costo de $32000000. La compañía calcula que la vida útil del automóvil para efectos dearrendamiento es de 60 000 km y que, al cabo de ellos, el valor de desecho de la unidad será de$8000000. El kilometraje recorrido por la unidad durante los tres primeros años fue:

Año Kilómetros1 24 0002 22 0003 1 4 000

a) Determínese el monto de depreciación por kilómetro recorrido.b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente.

Depreciación 325

Solución:

En primer lugar se determina la base de depreciación:

B,= C - S

B = 32 - 8

B.= 24

Esta base de depreciación se distribuye entre el kilómetro "útil" para efectos de arrendamientocon el fin de encontrar la depreciación por kilómetro.

d x km = 24 000 00060000

d x km = $400

La depreciación por kilómetro es de $400. Conociendo este dato, la tabla 10.9 muestra la depre-ciación correspondiente.

TABLA 10.9

Año

0

1

2

3

Kilómetrosrecorridos

0

24000

22000

14000

Depreciaciónanual

0

9 600 000

8 800 000

5 600 000


0

9 600 000

1 8 400 000

24 000 000

Valor enlibros

32000000

22 400 000

1 3 600 000

8 000 000

Ejemplo 10.6.2 Una máquina fotocopiadora tiene una vida esperada de 600 000 copias. Su costode adquisición es de $6000000 y su valor de salvamento es de $1 200 000. El número de copiasobtenidas durante cuatro años de operación fue el siguiente:

180000 200 000 140000 80000


a) Determínese la depreciación por copia.

b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente.

Solución:f

Se determina la base de depreciación.

B = C - S

B = 6 000 — 1 200

B = 4800

Se divide la base de depreciación entre el número de unidades de producción esperadas.

4800600

El monto de depreciación por fotocopia procesada es de: $8.00

b) Se elabora con estos datos la tabla 10.10 de depreciación correspondiente:

TABLA 10.10

Año

0

1

2

3

4

Fotocopia

0

180000

200000

140000

80000

Depreciación

anual

0

1 440 000

1 600 000

1 1 20 000

640 000


0

1 440 000

3 040 000

4160000

4 800 000

Valor en

libros

6 000 000

4 560 000

2 960 000

1 840 000

1 200 000

Ejercicio 10.6.3 Resuélvase el ejercicio 10.3.1 utilizando el método de unidades de servicio. Con-sidérese que el equipo prestó servicio durante 3 500 horas el primer año; 4 500 el segundo, 4 000el tercero y 3 000 el cuarto año. El costo de adquisición es de $16 000000 y el valor de desechoes de $2 500 000. La vida útil esperada es de cuatro años.

a) Determínense los cargos anuales por depreciación.

Depreciación 327

b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente.

Solución:\e determina la base de depreciación.

f

B « C — S

B = 16000 - 2500

B = 13500

El total de horas de vida útil se tiene por:3 500 4- 4 500 + 4 000 + 3 000 = 15 000La depreciación por hora de trabajo se determina dividiendo la base de depreciación entre lashoras de vida útil.

13 500 00015000

= 900

Los cargos anuales por depreciación pueden verse en la tabla 10.11.

TABLA 10.11

Año

0

1

2

3

4

Horas detrabajo

0

3500

4500

4000

3000

Depreciaciónanual

0

3 150

4050

3600

2 700


0

3 150

7200

10800

13 500

Valor enlibros

16000

12850

8800

5200

2 500

Venía/as:

1) Es de fácil aplicación.2) Asigna la depreciación en relación directa con las unidades de producción o servicio que efec-

tivamente se generan durante el periodo de referencia.


Desventajas:

1} Se requiere experiencia previa para determinar la producción durante la vida útil del activo2) No considera los intereses ganados por el fondo de reserva.


15. Una universidad adquiere una micro-computadora para dar servicio a sus estudiantes. Sucosto es de $5 385 000 y se calcula que tendrá una vida útil de 5 000 horas, al cabo de lascuales su valor de desecho será 0.

a) Elabórese una tabla de amortización considerando que se utilicen 1 800 horas el prime*año, 1 700 el segundo y 1 500 el tercero.

b) Determínese su valor en libros al cabo de dos años.

16. Un hospital adquiere un equipo de rayos X para dar un mejor servicio a sus pacientes. Su vidaesperada es de 10000 horas, y su costo fue de $92 500 000. Se calcula que el uso que se ¡edé durante los próximos cinco años se comportará de acuerdo con la siguiente tabla:

Año Horas

1 1 500

2 2000

3 2800

4 2 300

5 1 400

10000

a) Utilizando el método de depreciación por unidad de servicio elabórese la tabla de ex-predación considerando que el valor de desecho es igual a $10000000.

Depreciación 329

17. Una empresa adquiere un dado para la inyección de plástico que tiene una vida estimadade 150 000 piezas. Su costo es de $17 250 000, y su valor de desecho es de 0. La tabla quemuestra la producción estimada es la siguiente:

Año

1

2

3

4

Unidades

25000

35000

45000

45000

1 50 000

Elabórese una tabla de depreciación utilizando el método de depreciación por unidadde producción.

10.7 MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN

Este método toma en consideración los intereses que gana el fondo de reserva que se vaconstituyendo; por lo tanto, el incremento anua-l en el fondo estará dado por la suma del car-go anual por depreciación más los intereses ganados en el periodo de referencia.

La aportación anual al fondo de amortización se deriva de la fórmula (4.1) que se utilizapara determinar el monto de una anualidad.

M = R '1 + 'I" - 1

Para determinar el pago periódico se despeja R:

M iR =(1 + /)" - 1

En este caso M = B, pues es el monto que se debe acumular al cabo de n años a una tasa deinterés /', y R = D, el cargo anual que debe realizarse al fondo:

Por tanto se tiene la fórmula:

Dk = B r = ?-í (10.9)(1 + /)" - 1 (1 + /)" - 1

330 Matemática* financieras

Para determinar la depreciación acumulada A^ se calcula el monto de un pago periódico Daun plazo k y a una tasa de interés / por periodo:

(10.10)

Donde: Ak = D '1 + 'I* ~ 1 ; M = R

El monto acumulado al cabo de n años debe ser igual, como ya se señaló, a la base de depre-ciación del activo.

Ejemplo 10.7.1 Se adquiere mobiliario nuevo para un hotel. Su costo de adquisición es de$40 000 000 y se calcula que tenga una vida útil de cinco años, al cabo de los cuales su valor dedesecho será de 0.El interés vigente es de 35 por ciento anual.

a) Determínese el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de amortiza-fión.

b) Elabórese la tabla de depreciación correspondiente.•?

Solución:

*Se calcula en primer lugar la base de depreciación.

B = C - S

B = 40 000 - O6 = 40 000

Acto seguido, utilizando la fórmula (10.9), se determina el cargo anual por depreciación.

iD = B

D = 40000

O = 40 000

D = 40000

(1 + /)" - 1

0.35(1 + 0.35)5 - 1

0.354.48403344 - 1

0.353.48403344

D = 40000 (0.10045828)D = 4018331.2

La aportación que se debe hacer anualmente al fondo de amortización es de $4018 331.2.

Depreciación 331

\_a tab\ AQAl de depTec'\ac\ón que se e\abova es equwa\er\te a una tab\ de amottn.ac\ón,pero con \ ad\c\ón de una co\umna para anotar e\r en libros.

AO.A2

Kños

0

1

2

3

4

5

Total

Depósito 1anua\

4018331.2

4018331.2

4018331.2

4018331.2

4018331.2

20 091 656

Intereses \s

0

0

1 406415.92

3 305 077.41

5 868 270.43

9 328 580.00

19908 344

Depreciación Ianual

0

4018331.2

5424747.12

7 323 408.61

9 886 601 .63

13346911.2

40 000 000

Depiec\aaór\a

0

4018331.2

9 443 078.32

16766486.93

26 653 088.56

40 000 000

Va\ov en \s

40 000 000

35 981 668.8

30 556 921 .68

23233513.07

13346911.44

— .—

* Las pequeñas diferencias se deben a redondeo

Como puede observarse, en épocas de inflación y altas tasas de interés, el monto de las apor-taciones que realiza la empresa es relativamente pequeño, pues el grueso de la depreciación estádado por los intereses ganados por el fondo. Esta situación se invierte si los intereses que gana el

Jkmdo son bajos.

Ejemplo 10.7.2 Resuélvase el problema anterior considerando una tasa de interés de 10%.

Solución: ,

La base de depreciación es de $40 000 y, a partir de ella, se calcula D.

(1 - /)" - 1

D = 40 0000.10

(1 + 0.10)b - 1

D = 40 0000.10

1.61051 - 1

D = 40 0000.10

0.61051

D = 40000(0.16379748)D = 6 551.90


Se elabora la tabla 10.13 de depreciación.

TABLA 10.13(en miles de pesos)

Año

0

1

2

3

4

5

Total

Depósitoanual

0

6551.90

6551.90

6551.90

6551.90

6551.90

32 759.50

Interesesganados

0

0

655.19

1 375.90

2 168.70

3040.71*

7 240.50

Depreciaciónanual

0

6 551.90

7 207.09

7927.80

8 720.60

9 592.61

40000


0

6551.90

13 758.99

21 686.79

30407.39

40 000.00

Valor enlibros

40 000.00

33448.10

26241.01

18313.21

9592.61

— .—

'Este valor se ajustó para compensar el error de redondeo.

1 El efecto financiero de los intereses ganados por el fondo de reserva puede ser, como ya sevio, muy importante, y por ello es conveniente tomarlo en cuenta.

Ejemplo 10.7.3 Una sociedad cooperativa adquiere un barco para la pesca del camarón, con va-lor de $5 000 000 000. Calculan que su vida útil sea de 20 años, al cabo de los cuales su valor dedesecho será del 10% de su costo. Deciden depreciarlo utilizando el método del fondo de amor-tización y considerando una tasa promedio de interés de 30%.

a) Determínese el cargo anual por depreciación.6) ¿Cuál es la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de 10 años?c) ¿Al cabo de 15 años?

Solución:

Se determina la base de depreciación.

B = C - SB = 5 000 - 500B = 4 500

Depreciación 333

Utilizando la fórmula (10.9) se calcula el cargo anual por depreciación.

iD = B

D = 4 500

D = 4 500

D - 4 500

(1 + /)20 - 1

0.30(1.30)20 - 1

Q.30(190.049638) - 1

0.30189.049638

D = 4 500 (0.001 58688)

D - 7.14096

El cargo anual por depreciación es de $7 140 960

*6) La depreciación acumulada al cabo de 10 años se obtiene utilizando la fórmula (10.10)

A r* n + o* - 1Ak. — O :/

Ak = 7140960 '

Ak = 7140960

Ak = 7140960

0.30

(13.78584918) - 1

0.30

12.78584918

0.30

Ak = 7140960(42.61949728)

Ak = $304344125.30

El valor en libros se obtiene restando la depreciación acumulada del costo original.

Ak - C - Ak

Vio = 5 000 000 000 - 304 344 125.30

V10 = 4695655874.7

c) Al cabo de 15 años se tendrá:

Ak = D (1 + "' ~ 1


(1 + 0.30)15 - 1Afc = 7140960

Ak = 7140960

0.30

51.18589361 - 10.30

i»Ak = 7140960(167.28631)

»

Ak= 1 194584849

El valor en libros será:

Vk = C - Ak

V15 = 5 000 000 000 - 1 194 584 849

V15 = 3805415151

Como pújele notarse, el fondo se incrementa aceleradamente en los últimos años debido al ereCimiento significativo que tienen los intereses generados por el fondo.

Ejemplo 10.7.4 Resuélvase el problema 10.3.1 utilizando el método del fondo de amortización,considerando que el fondo gana un interés de 30 por ciento. El costo de adquisición es de$16000000, y el valor de desecho, de $2500000 al cabo de cuatro años.

Solución:

Se tiene una base de depreciación de $13 500000, ya que:9

B = C - SB = 16000 - 25006 = 13 500

Aplicando la fórmula (10.9) se tiene que:

iD =

D = 13 500

D = 13 500

(1 + 0° - 1

0.30(1 + 0.30)4 - 1

0.30(2.8561) - 1

D = 13500(0.16162922)

D = 2181 994.47

Depreciación 335

La aportación anua! al fondo de amortización es de $2181 994.47. La tabla de amortizaciónqueda como sigue:

TABLA 10.14

* Año

0

1

2

3

4

Total

Depósito

anual

0

2181 994.47

2181 994.47

2181 994.47

2181 994.47

8 727 978

Interesesganados

0

0

654 598.39

1 505 576.18

2611 847.38

4 772 022

Depreciaciónanual

0

2181 994.47

2 836 592.81

3 687 570.65

4 793 841 .85

1 3 500 000


0

2181 994.47

5018587.28

8706157.93

1 3 500 000

Valor enlibros

16000000

13818005.53

10981 412.72

7 293 84Í07

2 500 000

" Las peque/las diferencias se deben a redondeo


18. Una oficina gubernamental adquiere equipo con valor de $28 280 000, para medir la conta-minación ambiental. Su vida útil esperada es de cinco años, y su valor de desecho de 0.

a) Elabórese una tabla de depreciación por el método del fondo de amortización, conside-rando que la tasa de interés es de 40 por ciento.

i f

19. Un ayuntamiento adquiere un camión recolector de basura para el servicio de la ciudad. Sucosto es de $82 485 000 y su vida útil esperada es de siete años, al cabo de los cuales tendráun valor de desecho de 0.

a) Determínese el cargo anual por depreciación utilizando el método del fondo de amorti-zación, si la tasa de interés vigente es de 50%.

b) ¿Cuál será su valor en libros al cabo de cinco años?c) ¿Cuál será la depreciación acumulada al cabo de seis años?

20. Una empresa productora de papel adquiere maquinaria con valor de $780 000 000. Decidedepreciarla utilizando el método del fondo de amortización y considerando que su vidaútil será de 15 años, y su valor de desecho, de $150000000.

a) Determínense las aportaciones que debe hacer el fondo si los intereses son de 20 porciento.

b) Si son de 30 por ciento.c) Si son de 60 por ciento.d) ¿Cuál es el monto de las aportaciones de la empresa y cuál el de los intereses generados

por el fondo en cada uno de los tres casos anteriores?


21. Una lavandería adquiere equipo nuevo con valor de $18000000. La vida útil de dicho

equipo es de 10 años, y su valor de desecho de $1 000 000.

a) Considerando una tasa de interés de 25 por ciento, determínese la aportación anual alfondo de amortización.

Ib) Calcúlese la depreciación acumulada y el valor en libros al cabo de cuatro años.c) Si se decidiera vender el equipo de acuerdo con su valor en libros al cabo de seis años,

¿cuánto debería pedir por él?

22. Un aeropuerto adquiere equipo con valor de $450000000 para la iluminación de las pis-tas. La vida esperada del mismo es de cinco años, y su valor de desecho de 0.

a) Determínense los cargos anuales por depreciación considerando intereses anuales ne-tos de 5, 10 y 50 por ciento.

5) Elabórese la tabla del fondo de amortización considerando un interés de 60 por ciento.

10,8 LA DEPRECIACIÓN EN ÉPOCAS INFLACIONARIAS

Al inicio de este capítulo se mencionó que dos son los objetivos de la depreciación:

1. Determinar el costo real de los bienes o servicios que se generan con un activo y,2., Establecer un fondo de reserva que permita remplazarlos al final de su vida útil.

En épocas inflacionarias el rápido incremento de los precios de todos los bienes y ser-vicios impide que un sistema de depreciación basado en costos históricos cumpla con los ob-jetivos arriba mencionados, pues al mantenerse la base de depreciación sin actualizar, losprecios de los bienes no revelarán los costos actuales de producción, ni el fondo que se es-tablezca permitirá remplazar al bien.

En esta sección se harán algunas consideraciones con respecto a los problemas arribamencionados y se presentarán alternativas para el tratamiento financiero de la depreciación.

El valor de reposición

Cuando las organizaciones enfrentan situaciones de alta inflación sus encargados de las fi-nanzas tienen una gran responsabilidad: hacerlas productivas descontando el efecto de lainflación. Una empresa puede mostrar grandes utilidades en sus estados financieros, pero siel porcentaje de incremento que ha tenido de un año a otro no compensa la pérdida del po-der adquisitivo ocasionada por la inflación, dicha empresa estará sufriendo pérdidas en tér-minos reales. Si a ello se auna el hecho de que tales utilidades aparentes se repartan entre losaccionistas, lo que estará sucediendo es que la empresa se estará descapitalizando y que enpocos años afrontará serios problemas de liquidez que pueden llevarla incluso a la quiebra.

Un elemento que deberá actualizarse, por tanto, en forma constante, es la depreciaciónpara efectos financieros.

Depreciación 337

Para hacerlo se usa el concepto de valor de reposición; esto es, el importe que se necesi-tará desembolsar en el futuro para reponer un activo que se encuentra en servicio en un mo-mento determinado. Este cálculo resulta complejo, pues influyen varios factores:

a) La vida útil esperada del activo.b)*La obsolescencia del activo.cj La inflación esperada.

a) Vida útil esperada de! activo

Son los años durante los cuales se considera que el activo podrá funcionar rentablemente.

«b) La obsolescencia

Si bien un activo puede tener una vida útil de 10 años, puede ser que el avance tecnológicohaga necesario su cambio con anterioridad, al aparecer equipos que hagan la misma funcióncon un costo sensiblemente menor.

c) íâ tasa de inflación esperada

Para poder conocer el valor de reposición de un activo es necesario calcular la inflación pro-medio esperada para los años de vida útil. Este cálculo es cada vez más complejo, pues la va-riabilidad de las políticas económicas de los países, su interdependencia cada vez mayor en elámbito mundial, y la presencia de variables ajenas al control de las mismas, hace muy difícilla predicción del comportamiento de esta variable en el mediano plazo (3 a 5 años) y prácti-camente imposible en el largo plazo.

A pesar de estas dificultades es necesario realizar los esfuerzos necesarios para calculardicho valor de reposición, en el entendido de-que se trata de valores esperados que seránajustados cada vez que se requiera.

Una vez conocidos los datos anteriores, el cálculo del valor de reposición es sencillo.

Ejemplo 10.8.1 ¿Cuál es el valor de reposición de un equipo cuyo costo de adquisición es de$5 000 000, si su vida útil esperada es de cuatro años y se prevé que la inflación anual promedioserá de 30 por ciento?

Solución:

Se aplica la fórmula del monto a interés compuesto y se obtiene:

M = C(1 + /')"M = 5 000 (1 + 0.30)4

M = 5000(2.8561}M = 14280.5

El valor de reposición esperado es de $14 280 500 en cuatro años.


Ejemplo 10.8.2 Si el valor de estos equipos ha estado disminuyendo 5 por ciento cada año en tér-minos reales como resultado de los avances tecnológicos y de la utilización de nuevos materialesmás económicos. ¿Cuál sería el valor de reposición esperado?

Solución:•

Si se considera que el equipo tuviera valor constante de $5 000 000, al cabo de un año su preciosería 5 por ciento menor; al cabo de dos años, 5 por ciento menor, y así sucesivamente.

Esto puede expresarse matemáticamente como sigue (V.R.C. — valor de reposición a preciosconstantes):

V.R.C. = 5 000 (0.95) (0.95) (0.95) (0.95)V.R.C. = 5000(0.95)4 = 4072.53125

Al valor asi obtenido se le aplica la inflación esperada de 30 por ciento durante los próximos cua-tro años.

M = C (1 + /}n

M = 4072.531250 + 0.30)4

M = 4072.53125(2.8561)M = 11 631 556

El mismo resultado puede obtenerse si se disminuye el valor de reposición obtenido en el ejem-plo 10.8.1.

V.R. - 14280.5(1 - 0.05)4

V.R. = 14280.5(0.95)4

V.R. = 14280.5(0.81450625)

V.R. = 11 631 556

Una vez determinado el valor de reposición se procede a calcular los cargos anuales por de- ¡preciación de acuerdo con los sistemas previamente vistos.

El valor de reposición puede calcularse también anualmente, ajusfando los costos histó-ricos de acuerdo con los índices de inflación que proporciona el Banco de México o median-te avalúo realizado por peritos. Una vez determinado dicho valor se ajustarán también los ¡cargos anuales por depreciación. Estos ajustes y revaluaciones no son admitidos por las auto-ridades para efectos fiscales, pero a pesar de ello es muy necesario que sean consideradaspara efectos financieros, con el fin de prevenir las consecuencias mencionadas.

No es el objetivo desarrollar aquí ampliamente este tema, pero si se desea destacar la im-portancia que tiene reflejar en los estados financieros los efectos que produce la inflación,con el fin de contar con información veraz para la toma de decisiones.


23. ¿Cuál es el valor de reposición de un equipo que tuvo un costo de $7 380 000, si tiene unavida esperada de cinco años y la inflación promedio esperada es de 30%?

Depreciación 339

24. ¿Cuál es el valor de reposición de un automóvil cuyo costo es de $35 350 000, si tiene unaduración esperada de ocho años y la inflación promedio esperada es de 50% anual?

25. ¿Cuál será el promedio de un equipo de cómputo que tuvo un costo de $12 000000, si tieneuna vida esperada de tres años y debido a los avances tecnológicos su precio ha venidoreduciéndose en términos reales 10% anual? La inflación promedio esperada es de 25%.

f

10.9 RESUMEN

En este capítulo se definió la depreciación como la pérdida de valor que sufren los activospor el transcurso del tiempo o por el uso que se les da.

Se señaló que la depreciación tiene dos objetivos básicos:

1. Determinar el costo real de los bienes o servicios que se generan con un activo.2. Establecer una reserva que permita remplazarlo al final de su vida útil.

Se estudiaron los métodos más usuales para calcular los cargos anuales por depreciación:

1. Método de línea recta2 * Método de porcentaje fijo3. Método'de suma de dígitos4. Método por unidad de producción o servicio5. Método del fondo de amortización

» En el momento de decidir cuál método debe utilizarse en una situación concreta debe-rán tenerse en cuenta las ventajas y desventajas de cada uno, las regulaciones fiscales y losobjetivos financieros que se persigan. Finalmente, se hicieron breves consideraciones sobreel manejo de la depreciación en épocas inflacionarias, destacando la necesidad que existede ajustar los costos históricos contables y'Ios cargos anuales por depreciación de acuerdocon la evolución que muestre el fenómeno inflacionario con el fin de reflejar con veracidadla situación económica de una organización y prevenir su posible descapitalización.


Tras estudiar este capítulo, el lector debe:

• Comprender el concepto de depreciación• Conocer los objetivos de la depreciación• Entender el método de línea recta• Conocer el método de porcentaje fijo• Comprender el método de suma de dígitos• Comprender el método por unidad de producción o servicio• Entender el método del fondo de amortización• Ser capaz de elaborar tablas de depreciación para cada uno de los métodos• Entender la importancia de los ajustes a los costos históricos y los cargos por

depreciación en función de los efectos inflacionarios que sufra una economía.

340 Maíemáí/cas financieras


• Depreciación• Cargos por depreciación

^ • Valor en libros• Valor de salvamento• Valor de desecho• Base de depreciación• Tasa de depreciación• Vida útil• Depreciación -acumulada• Método de línea recta• Método de porcentaje fijo• Método de suma de dígitos• Método por unidad de producción o servicio• Método del fondo de amortización• Valor de reposición


Método de línea recta

(101n n

Ak = k D {10.2

Vk = C - k D ' (10.3

Método de porcentaje fijo

Dk = Vk_-i d (10.4

Vk = C (1 - c/)k (10.5

S = C (1 - d)n = Vn (10.6

Método de ¡a suma de dígitos

S = LÂ no.-,2

D. = n ~ k + ^ - (C - 5) (10.8i

Depreciación 341

Método del fondo de amortización

Dk = — - - -- (10.9)(1 + i)n - 1

Ak-D? + 0 ' - 1 (10.10)


1. Una empresa de televisión coloca en órbita un satélite de comunicaciones con un costo de$2 000 millones. La vida esperada del satélite es de cinco años, al cabo de los cuales su va-lor de desecho será de 0.

a) Elabórese una tabla de depreciación utilizando el método de línea recta.

2. Resuélvase el problema 1 con el método de porcentaje fijo.3. Resuélvase el problema 1 utilizando el método de suma de dígitos.4. Resuélvase el problema 1 con el método del fondo de amortización.5. L^Jna máquina estampadora tiene una vida esperada de 1 000 000 de piezas. Se adquirió hace

cuatro años y tuvo un costo de $32 500 000. Su valor de desecho al cabo de la producciónarriba mencionada será de 0. La bitácora de operaciones de la máquina muestra los siguien-tes datos:

Años Producciónt

1 80 000

2 230 000

3 320 000

4 280 000

a) Elabórese una tabla de depreciación hasta la fecha utilizando el método por unidad deproducción.

b) Determínese el valor en libros actual.

6. Resuélvase el problema 5 considerando una vida útil de cinco años y utilizando el métodode línea recta.

7. Resuélvase el problema 5 con el método de suma de dígitos y considerando una vida útil decinco años.

8. Resuélvase el problema 5 utilizando el método de porcentaje fijo.9. Resuélvase el problema 5 utilizando el método del fondo de amortización y dada una tasa

de interés de 36 por ciento.10. Resuélvase el problema 5 con el método del fondo de amortización y dada una tasa de in-

terés de 30 por ciento.

11Probabilidades y tablasde mortalidad

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio del presente capitulo, el lector será capaz de:

• Definir el concepto de probabilidad• Distinguir entre probabilidad matemática y probabilidad estadística.• Comprender el concepto de esperanza matemática.• Calcular el valor presente de un pago contingente.• Utilizar las tablas de mortalidad.

TEMARIO

11.1 CONCEPTO DE PROBABILIDAD

11.2 PROBABILIDAD MATEMÁTICA

11.3 PROBABILIDAD ESTADÍSTICA

11.4 ESPERANZA MATEMÁTICA

11.5 VALOR PRESENTE DE UN PAGO CONTINGENTE

11.6 TABLAS DE MORTALIDAD

11.7 RESUMEN

INTRODUCCIÓN

El riesgo ha sido un compañero permanente del hombre desde sus primeras épocas. A fin deconocerlo y manejarlo se han desarrollado la estadística y la probabilidad como cienciasmatemáticas que ayudan al hombre a su evaluación. En este capítulo se hará una breveintroducción a la probabilidad y se verán sus aplicaciones en el cálculo de pagos contingen-

343


tes. Asimismo, se presentarán las tablas de mortalidad, las cuales muestran las probabilida-des de vida y de muerte de una población por grupos de edad.

11.J CONCEPTO DE PROBABILIDAD

En diversas circunstancias todas las personas han tenido que enfrentarse con situaciones cu-yo cesultado está determinado por el azar; Arrojar una moneda al aire y adivinar cuál caraquedará hacia arriba o adivinar que número resultará al arrojar un par de dados; determinarqué equipo resultará ganador en el juego del próximo domingo o estimar si una persona de30 años vivirá para jubilarse a los 65. Todos estos casos están regidos por el azar y sus resul-tados no pueden predecirse con exactitud. Implican un riesgo.

Sin embargo, existe una diferencia entre los cuatro ejemplos que se mencionan arriba; enlos dos primeros casos puede determinarse el número de eventos posibles. La relación entreambos dará como resultado la probabilidad matemática o teórica. En los otros dos casos, porcontra, es necesario recurrir a información disponible sobre lo que ha sucedido en eventosanteriores, a fin de estimar el posible comportamiento de los equipos que se enfrentarán eldomingo, o para determinar el número de personas que habiendo cumplido 30 años sobrevi-vieron hasta los 65. El resultado obtenido de esta manera es conocido como probabilidadestadística o empírica.

11.2 PROBABILIDAD MATEMÁTICA

*Si un evento puede ocurrir en n distintas pero igualmente posibles maneras, y si a de esas ma-neras son consideradas aciertos o casos favorables, en tanto que las otras f = n - a son consi-deradas fallas o fracasos, entonces la probabilidad de acierto en un experimento dado estádefinida por la razón entre el número detasos favorables y el número total de casos.

a aP = ——7- - - ( 1 1 . 1 .

a + f n

y la probabilidad de que el evento no ocurra está definida por la razón entre el número defracasos y el número total de casos

f fq = —a

pero

9 = —-7- = (11.2)a + f n

a f a + f: 7T7 ' :'TT7 : :TT7 : " '

y por lo tanto

p = 1 - q (11.31

y q = 1 - p (11.4'

Probabilidades y tablas de mortalidad 345

Se dice entonces que p y q son subconjuntos complementarios de un espacio muestral.Si un evento ocurre siempre de manera inevitable se dice que p(E) — 1; si e! evento nuncaocurre, se dice que p(E) — 0.

Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellosexcluye totalmente la ocurrencia de cualquiera otro. Por ejemplo, al lanzar un dado, el quesalga 1 excluye automáticamente la ocurrencia de cualquier otro número. Así, dada una can-tidad n de eventos mutuamente excluyentes E1, E2,. . . E", la probabilidad de ocurrencia decualquiera de los eventos (E1, o E2 o ... o £") es igual a la suma de sus respectivas probabilida-des individuales.

P(E! o E 2 O...EJ - píE,) + p(£2) + ... + p[£n) (11.5)

Se dice que los eventos son independientes si la ocurrencia de uno de los eventos notiene ningún efecto en la ocurrencia de los otros eventos. El resultado de sucesivos lanza-mientos de un dado es un ejemplo de éstos: el resultado de un lanzamiento no tiene ningúnefecto en el resultado siguiente. La probabilidad de ocurrencia de n eventos independientes£1( £2(... En es el producto de las probabilidades de los eventos individuales.

p (£ 1 y£ 2 y . . .£ í , ) - p(E¿ X p(£2) X . . . X p(£n) (11.6)

Ejemplo 11.2.1 Determínese la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado a) el resultadosea 1; fa) el resultado sea un número non.

Solución:\) El número de caras de un dado es 6. El número de resultados favorables a es 1, el número de

resultados desfavorales f es de 5; por tanto•' *

a 1 1P =

a + f 1 + 5 6

£>) En este segundo caso, los resultados que se consideran como aciertos son 3 (1,3, y 5) y los re-sultados que se consideran como fallas son también 3

3 3 1P =

3 - 1 - 3 6 2

1Alternativamente puede considerarse que la probabilidad de obtener uri 1 es de , la de obte-

61 1ner un 3 es también de ——, y la de obtener un 5 es ——. Aplicando la fórmula 11.56 6

P(E, o f 2 o E3) = PÍE,) + P(E2) + P(£3)

p{1 o 3 o 5) = + -(- = =


Ejemplo 11.2.2 Determínese la probabilidad de obtener en la extracción de una baraja de 52 car*tas:a) Un as; b) en dos extracciones consecutivas, dos ases.

~ Solución:f

a) El número de resultados favorables es de 4, pues hay cuatro ases, así.

P.Í. 4 1n 52 13

b) En este segundo caso se trata de dos eventos independientes. En la primera extracción, la pro-babilidad de obtener un as es, como se vio arriba: p

n 52 13

Para la segunda extracción, sin embargo, el número de eventos favorables es de 3, en el supuestocaso de que en la primera se hubiese extraído un as, y el número total de eventos posibles es de5V Por tanto

p(£2) =51

La probabilidad de que se den ambos eventos sucesivamente se determina por la fórmula 11.6p(Ei y £2) = p(£i) x p(£2)

4 3 1 2 3 1p(As y As) = x

52 51 2652 ' 663 221

Ejemplo 11.2.3 ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras extracciones de una baraja nosean ases?

Solución;

En este caso se está preguntando por el suceso de dos eventos desfavorables. Por 11.4 se tiene

q - 1 - p.

En el primer evento

4 48 12q (f1) - 1 -

52 52 13

En el segundo evento

4 47

51 51


La probabilidad de falla en el primero y falla en el segundo es, por tanto:

q(Ei y f 2) = q(£i) x q(£ 2)

12 47 564 188q = /As y ,4s = x —— = =

13 51 663 221

Ejemplo 11.2.4 ¿Cuál es la posibilidad de que de las dos primeras extracciones de una baraja, unasea as y la otra sea una carta diferente?

Solución:

Estos eventos pueden presentarse de dos formas:

a) As y otra cartab) Otra carta y As

En el primer caso la probabilidad es:

4 1P(/\s) =

p(otra) =

52 13

48

51

Dado que la primera carta fue as, el número de cartas distintas al as permanece sin cambios (48)para la segunda extracción.

La probabilidad de ambos eventos. ,

1 48 48 16p(as y otra) = x

13 51 663 221

En el segundo caso, la probabilidad es:

48 12p(otra) -

p(as) =

52 13

4

51

Dado que la primera carta fue distinta al as, los 4 ases permanecen en la baraja.

La probabilidad de ambos eventos.

12 4 48 16p{otra y as) x

13 51 663 221


Ya que ambos casos son igualmente válidos (un as y otra o bien otra y un as) sus respectivas pro-„ habilidades se suman.

p(A o 6} = p(A] + p(B)

, 48 48 96 32p(A o B) = + = — =

663 663 663 221

En estos tres ejemplos hemos visto todas ias posibles maneras en que pueden ser extraídas lasdos primeras cartas de una baraja:

3 1a) Dos ases

663 221

564 188b) Dos cartas distintas de ases p —

c) Un as y una carta distinta p —

663 221

96 32663 221

Todos estos eventos forman lo que se denomina el universo del experimento y la suma de susprobabilidades es igual a 1, pues ineludiblemente deberán ocurrir algunos de ellos.\ o r, 1 188 32 221

p(A o 6 o C) — +221 221 221 221.

11.3 PROBABILIDAD ESTADÍSTICA

Si se ha observado que un cierto evento E sucede a veces en n pruebas, la razón a/n es defini-da como la probabilidad estadística o empírica de que el mismo resultado ocurra en unaprueba futura. La confiabilidad que pueda otorgarse a los resultados así obtenidos depende-rá en gran medida del número de observaciones que se hayan hecho; a mayor número, ma-yor será la confianza que se les pueda dar. Si en una escuela se ha observado que el índice dedeserción escolar durante los últimos 15 años ha sido del 10%, es razonable esperar que de lanueva generación 1 de cada 10 estudiantes no concluya sus estudios.

La razón a/n es también conocida como la frecuencia relativa de un evento,

Ejemplo 11.3.1 De acuerdo a las estadísticas del departamento de tránsito, durante el últimoaño hubo 12 005 accidentes viales de los cuales 686 se debieron a exceso de velocidad. Si duran-te el primer mes de este año se reportaron 1 050 accidentes, ¿cuántos puede esperarse se deban aexceso de velocidad?


Solución:

Utilizando la información estadística del año anterior se tiene que la probabilidad de accidentesdebidos a excesos de velocidad es:

686p : = 0.05714286

12005

Por lo tanto, estimando el número de accidentes por exceso de velocidad se tiene

1 050(0.05714286) = 60

Ejemplo 11.3.2 Los registros llevados por un hospital especializado en el tratamiento del cáncermuestran que de un grupo de 800 personas a quienes se les detectó la enfermedad en un estadotemprano, 720 sobrevivieron al menos 10 años. Si el hospital alberga actualmente 120 enfermosen esas condiciones, a) ¿cuántos de ellos se espera sobrevivirán al menos 10 años? 6) ¿Cuál es suprobabilidad de morir antes de 10 años?

Solución:

\e sus registros se tiene que:

p __£__™._ 0 .90n 800

Es razonable, por tanto, el esperar que 90% de los enfermos vivan al menos 10 años.

120(0.90) = 108 enfermos* , i

La probabilidad de que mueran se determina por la fórmula (10.4)

q = 1 - pq = 1 - 0.90 = 0.10


1. De una caja que contiene 5 bolas blancas, 10 bolas rojas y 6 azules, se extrae una bola alazar. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída, a) sea blanca, b) no sea roja, c) seablanca o azul?

2. De una baraja de 52 cartas se extrae una carta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que lacarta extraída sea a) el rey de diamantes, b) una reina, c) un corazón, d] una figura roja, e)una carta de menor valor que el rey?

3. En un juego de dados, la casa gana si la suma de los números de ambos dados es 7. a) ¿Cuáles la probabilidad que tiene un jugador de ganarle a la casa si apuesta a un número? b)¿Cuál es su probabilidad de perder?


4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en un juego con 2 dados a) 3 números pares seguidos?,b] ¿3 veces seguidas doble seis?

5. ¿Cuál es la probabilidad de extraer de una baraja a) 4 ases en las primeras cuatro extrac-ciones?b) ¿3 ases y 1 rey?

f c) ¿2 ases y dos reyes?6. Un equipo de fútbol ha ganado 40 de sus 50 últimos partidos. Determine la probabilidad de

que a) gane su próximo partido, b) gane tres partidos seguidos, c) gane dos de sus tres si-guientes partidos, d) gane sus dos primeros partidos y pierda el tercero, e) gane al menos dosde sus cinco siguientes partidos.

7. Los registros de una Universidad muestran que las calificaciones obtenidas por sus estu-diantes en los últimos tres años se han distribuido de la siguiente manera

MB 10%B 30%

S 20%

NA 40%

Asumiendo que son eventos independientes: ¿Cuál es la probabilidad de que a) todos los es-tudiantes de los tres grupos de primer ingreso aprueben los cursos? b) ¿que todos los estu-diantes reprueben todos los cursos?

8. La probabilidad de vida de tres enfermos en un hospital es:

1 3 «Paciente A = , paciente B — ——, paciente C =

10

Considerando que las muertes de estos enfermos son eventos independientes, ¿cuál es laprobabilidad de que

,' ia) Los tres enfermos mueran?6} Los tres enfermos sobrevivan?c) al menos uno de los enfermos sobreviva?

9. Considerando los siguientes datos

Probabilidad desobrevivir 10 años

9/108/107/10

Determínese:

a) La probabilidad de que una persona de 30 años viva hasta los 60b) La probabilidad de que muera entre los 40 y los 50 años.c) La probabilidad de que muera entre los 50 y los 60 años.


11.4 ESPERANZA MATEMÁTICA

Si p es la probabilidad de que una persona reciba cierta cantidad M, entonces el productopM será una esperanza matemática.

E (M) =* pM.

Ejemplo 11.4.1 En la fiesta anual de una empresa se sortea un millón de pesos entre los asisten-tes. ¿Cuál es la esperanza matemática de cada uno de ellos si se depositaron 80 boletos en la ur-na?

Soiución:

1 1La probabilidad p de cada empleado es —; la esperanza matemática es por tanto — (1 000 000)

80 80= $12500.

Ejemplo 11.4.2 Se sortean $100 000 000 en un juego de lotería, a) ¿Cuál es la esperanza matemá-tica de una persona que compra un billete si se emiten 50 000 números? b) ¿Cuál es la esperanzamatemática si compra 2 números?

Solución:

af La probabilidad p de obtener el premio es de , la esperanza matemática

pM = (100000000) = $200050 000

2 16) Si compra dos boletos p = =

50 000 25 000

£(M) = pM =— (100000000) = $4000.

Si un experimento puede tener diversos resultados y cada resultado conlleva un distinto montode ingresos M, entonces M adoptará los valores M-\ M2 . • con probabilidades de ocurrenciap(M2),. . . La esperanza matemática o el valor medio esperado de M será

£(M) = M, P(M!J + M2 p(M2) + M j p(M j) + . . . Mn p(Mn]

En el caso deque existan N diversos resultados que conlleven el mismo monto de ingresos enton-ces

M] 1- M, + M, + . .Mr,E (M) = — 2

N


Ejemplo 11,4.3 En una ruleta con 50 números se han colocado 11 premios: 1 de $100 000, 2 de$50 000, 3 de $20 000 y 5 de $10 000. ¿Cuál es la esperanza matemática de cada jugador?

Solución:

La probabilidad de ocurrencia de cada uno de los premios es distinta.

E(M) = M1 p(M O + M 2 p(M 2) + M 3 p(M 3) + ...

1 2 3 5E (M) = 100 000 + 50 000 + 20 000 + 10 000

50 50 50 50

f(M) = 2 000 + 2 000 + I 200 + 1 000 = 6 200

Ejemplo 11.4.4 Si el costo de los boletos para la ruleta del ejercicio anterior es de $10000, ¿cuáles el valor de la esperanza matemática?

Solución;

Se ha determinado ya el valor de la esperanza matemática de los ingresos ($6 200), y ahora restapor determinar el valor de la esperanza matemática del pago; la probabilidad de perder q es de

3950i

39f(M) - - 10 000 -=2L = - 7 80050

Este valor se resta de la esperanza matemática de los ingresos y se tiene el valor de la espe-ranza matemática del experimento:

f (M) = 6 200 - 7 800 - - 1 600

La esperanza matemática de una persona que entre al juego pagando $10 000 es una pérdidade $1 600.

Ejemplo 11.4.5 Se organiza una rifa entre 25 personas. Los premios ofrecidos son: 1 de $50 000, 2de 20000 y 3 de 10000.

Los perdedores cubrirán íntegramente los premios de los ganadores. ¿Cuál es la cantidad quedebe aportar cada perdedor?


Solución:

fLa esperanza matemática del experimento es:

£(M) = M!

L(M) = 50 000 — — + 20 000 — — + 10 000 — ¿— - 2 000 + 1 600 + 1 200 = 4 80025 25 25

Además, 4 800 (25) = 120 000 = el total de premios. Y

120000

19 perdedores- $6316

Ejemplo 11.4.6 En un juego de dados una persona gana $500 000 sie l dado cae en 1 o en 5. ¿Cuáles su esperanza matemática!1

Solución:

Ambos, eventos tienen la misma probabilidad de ocurrencia y el mismo posible ingreso; se tienepor tanto que

Mi + M7f(M) r

N»

500 000 + 500 000

6

»• i,£(M) = 166667


10. En un juego de 2 dados, la banca paga un premio de $10 000 por cada punto que se obtengasiempre y cuando ambas caras de los dados sean iguales.

aj ¿Cuál es la esperanza matemática de una persona que juega?b) ¿Cuál es su esperanza matemática si el costo del boleto es de $15 000?c) ¿Cuál debía ser el costo del boleto para que la esperanza matemática fuese O?

11. Una empresa organiza un sorteo para sus 25 clientes principales. En una urna depositan 25papeletas con los siguientes premios: 1 premio de 5 millones, 1 premio de 1 millón, 2 pre-mios de 500 000 c/u y 5 premios de 100 000 c/u. ¿Cuál es la esperanza matemática de cadaparticipante?

12. Un grupo de estudiantes organiza una rifa para recabar dinero para su fiesta de graduación.Emiten 1 000 boletos de $5 000 c/u y ofrecen un premio de un millón, uno de 500 000 y uno


de 250 000. ¿Cuál es la esperanza matemática de un alumno que sólo vendió 5 de kletos que se le asignaron, y tuvo que pagar los restantes?

13. Un hombre de negocios que debe viajar en avión compra un seguro que lo protege :Mun mes y que paga $150000000 en caso de muerte accidental. Si la probabihc¿- 31muera en ese lapso es de 0.0001 5 ¿cuál es el precio que debería pagar por el seguro $••

** siderar gastos ni utilidad de la aseguradora?14. Una empresa de comunicaciones ha pagado 50 millones de dólares por la cons:--::«^

emplazamiento en órbita de un satélite espacial y decide asegurarlo contra riesgos^1lanzamiento. La compañía aseguradora estima que las probabilidades de falla en tmiento son de 0.01 si el tiempo durante el mismo no es bueno. El servicio meteorolo£««lestimado en un 85% las probabilidades de que el clima sea favorable. ¿Cuál es e í*^áque debe pagar la empresa de comunicaciones por el seguro sin considerar gastos 0| ••dades?

11.5 VALOR ACTUAL DE UN PAGO CONTINGENTE

Si pM es la esperanza matemática de que una persona reciba una cantidad de dinero e»futuro, el^valor actual de dicha esperanza suponiendo una tasa de interés / es:

t

pM (1 + /')-"

Generalizando, si distintas cantidades de dinero M1( M2. . . Mn serán recibidas en tiempo* í2,. . . tn con probabilidades p1( p2/. . . p,,, el valor actual de la esperanza matemática e?

P! M! (1 + /)-'i + p2 M2 (1 + i)-<2 + . . . + pn Mn (1 + /)-'„

Ejemplo 11.5.1 Un banco ofrece a los empleados que cumplen 5 años de trabajo un bono por$5 000 000. ¿Cuál es el valor actual de la esperanza matemática de un nuevo empleado si. daacuerdo a las estadísticas del propio banco, el 40% del personal de nuevo ingreso cambia oeempleo antes de cumplir cinco años? Considérese una tasa de interés del 40% anual efectúa

Solución:

La probabilidad p de que el nuevo empleado permanezca en el banco hasta cumplir los cincoaños es

p = -\ qp = 1 . 0.40 = 0.60

y la probabilidad de que se retire antes de cumplir los cinco años es 0.40 ó 40%.Su esperanza matemática es, por tanto

E(M) = pM = 0.60 (5 000 000) = 3 000 000


El valor actual de la esperanza matemática es:

pM(1 + í)-n - 3000000(1 + 0.40)-5

pM(1 + /)-" - $557 «03f

Ejemplo 11.5.2 Una compañía minera realiza inversiones en la prospección de una veta de (a

cual espera obtener utilidades por $200 000 000 en un plazo de tres años. ¿Cuál es el valor actual

de la esperanza matemática si sus estadísticas muestran que un 65% de sus prospecciones resul-

tan favorables? Considérese una tasa de interés del 35%.

Solución:

La esperanza matemática es:

pM = 0.65 (200 000 000)

pM = 130000000

El valor presente de pM es

(1 + ¡)~npM = d + 0.35} -3 (130 000 000)

(1 + i)-"pM = 0.40644211 (130000000) = $52837474

tEste resultado puede interpretarse como el monto máximo que debe invertir la empresa en sus

operaciones de exploración.

Ejemplo 11.5.3 Una empresa solicita al banco un préstamo y ofrece pagar 150 millones de pesos

al cabo de tres meses. Si la experiencia del banco muestra que el 2% de los préstamos resulta in-

cobrable, ¿cuánto dinero debe prestar a la empresa considerando que la tasa de interés del mer-

cado es del 10% trimestral? ¿Cuál es la tasa de interés real ganada por el banco?

Solución:

a) La esperanza matemática de recuperación del préstamo es:

£(M) = (0.98) (150000000)

E(M) = 147000000

Su valor presente descontado a la tasa de interés del mercado es

pM(1 + /)-» - 147000000(1 + 0.10)-1

pM(1 + /}-" = 133636364


La cantidad que el banco debe prestarle a la empresa es $133 636 364.

b] Si la empresa reintegra el préstamo en su totalidad el banco habrá ganado un interés de

133636364 = 150000000(1 +

1 50 000 000(1 + /) -

133636 364

/ = 1.122449 - 1y = 0.122449 ó 12 24%

De esta tasa el 10% corresponde al interés del mercado y el 2.24% cubre los riesgos de incobra-bilidad.

Ejemplo 11.5.4 Al cabo de los tres meses, la empresa del ejemplo anterior paga los $16 363 636(150000000 — 133636364) correspondientes a los intereses del préstamo pero se declara im-posibilitada para pagar el capital y solicita se le refinancie por un periodo similar. La experienciade recuperación de cartera problemática del banco se muestra en la siguiente tabla

Recuperación Probabilidad

0%50%75%

1 00%

0.050.050.100.80

Si la tasa delmercado vigente es del 8% trimestral ¿qué tasa deberá cobrarle a la empresa pararedocumentar su operación!1

Solución:

La esperanza matemática de recuperación de la cartera £(M) = (0.05] O + (0.05) (50%) + (0.10)(75%) + (0.80) (100%) = 90%El banco deberá cobrar por tanto una tasa de interés tal que

(1 + /)-1 =(0.90X1.08)-1

1.08d + O =

0.90

í « 1.2 — 1

i = 0.2 ó 20%

Como se observa, el cargo que se hace en el caso de préstamo a empresas en situación riesgosapuede ser muy elevado.

Ejemplo 11.5.5 Un padre ofrece entregarle $1 000000 a su hijo por cada año que apruebe todossus cursos universitarios. Si la carrera dura cinco años y las estadísticas muestran que sólo el


80% de los alumnos inscritos aprueban todas sus materias ¿cuál es la esperanza matemática delestudiante si la tasa de interés es del 35%?

Solución:

En é*ste caso se está en presencia de una serie de pagos iguales. Puede realizarse su sumatoria ocalcularlo como el valor actual de una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata.

£(M) = 0.80(1 000000)(1 + 0.35)-1 + 0.80(1 000 000) (1 + 0.35)-2 + . . .

£(M) = 800 000 1 ~ (1 + ° 35)—; £(M) = 1 775 969


15. Una compañía de seguros promueve su "Plan Universitario" entre alumnos inscritos en es-cuelas profesionales. Este plan ofrece pagar $5 000 000 a la presentación del título a fin deque el graduado cuente con una base económica para iniciar su vida profesional. Calcúleseel precio que debe cobrar la compañía, sin considerar gastos ni utilidades, si se ha determi-nado que sólo el 60% de los inscritos concluyen sus estudios y, de éstos, sólo un 65% segradúa. La duración promedio de los estudios es de 5 años y se considera que se requiere 1año más para que el alumno presente su tesis. La tasa promedio anual de interés se estimaen a) 20%, b] 30% y c) 50%.

16. El dueño de un equipo de fútbol ofrece pagar una prima de $10 000 000 a cada uno de los* 22 jugadores que lo integran si logran ganar el torneo anual. ¿Cuál es el valor actual del

compromiso del dueño si se estima que el equipo tiene un 70% de probabilidades de coro-narse al cabo de un año y la tasa de interés es del 30% anual;1

, 17. El contrato colectivo de una empresa estipula el pago de un bono de $10 000 000 para cadauno de los empleados que cumplan 30 años de trabajo dentro de la misma. La empresacuenta con 250 trabajadores con una antigüedad promedio de 8 años. Se desea constituirun fondo de reserva para hacer frente a esta obligación y se estima que sólo el 30% de losempleados alcanzará a cumplir los 30 años de trabajo, ¿cuánto dinero se debe depositarconsiderando un interés del 40% anual promedio;1

18. Un banco cobra 20% de interés en préstamos con garantía hipotecaria que asegura su totalrecuperación y cobra 28% en préstamo sin garantía. ¿Cuál es el porcentaje estimado decuentas incobrables?

19. La compañía operadora de una tarjeta de crédito bancaria ha determinado la siguientetabla de probabilidades de recuperación de la cartera.

Proporción de recuperación dela carter<i Probabilidad

0% 0.01

50% 0.0480% 0.0890% 0.17

100% 0.70


Si la tasa de interés para préstamos garantizados es del 35%, ¿qué tasa debe cobrar a losusuarios de la tarjeta?

11.6 TABLAS DE MORTALIDADf

Una tabla de mortalidad es el registro estadístico de las muertes ocurridas en un grupo sufi-cientemente grande de personas en un periodo determinado. La población considerada es ungrupo de tenedores de pólizas de seguro de vida y la tabla de mortalidad resultante se utilizapara el cálculo de las primas de este tipo de seguros. La tabla de mortalidad que se utilizaráen este libro es la tabla de mortalidad con la experiencia mexicana de 1962 a 1967, y es latabla número VI del f inal del libro.

La primera columna, edad, comprende desde los 15 hasta los 99 años, que correspondena los grupos que fueron objeto de estudio.

La segunda columna se denomina v, . En ésta la raíz I ha sido f i jada arbitrariamente en10 ÜÜO 000. Esta columna muestra el número de personas de la base original de 10 000 000que alcanzan a cumplir la edad x.

La columna mx (columna 3) indica el número de muertos a la edad x; esto es, personasque cumplieron x años y murieron antes de cumplir x + 1 años.

La columna 4,1000 qx, se deriva de las columnas 2 y 3 y muestra la probabilidad que tieneun individuo de x años de edad de morir antes de cumplir x + 1 años. Asi, por ejemplo, laprobabilidad de que una persona de 25 años muera antes de cumplir 26 es de 2.08/1000; estoes, que de acuerdo con las estadísticas, la probabilidad de muerte a los 25 años es de0.00208.

Las columnas 2 y 3 (vx y mj pueden también derivarse a partir de la columna 4 y de v15

considerando las siguientes relaciones:

' •' mx = v,-q

Por conveniencia, se considera que q99 es igual a la unidad. Esto es, el número de indivi-duos que sobreviven más allá de 100 años es tan reducido que no afecta los cálculos y, por lotanto vmi — 0.

Las columnas 5 y 6 M, y Nx son conocidas como valores conmutados y se explicarán enuna subsección posterior.

Para el manejo de las tablas de mortalidad es necesario considerar la siguiente notación:

px — Probabilidad de que una persona de x años de edad sobreviva por lo menos un año.

P* = -%^ 017)


np» = Probabilidad de que una persona de x años de edad sobreviva por lo menos n años.

v * + n n -, ft,nPx -- 7, - U'.OJ

v *

qx = Probabilidad de que una persona de x años de edad muera antes de cumplir x + 1 años.

V ' * + 1

nqx = Probabilidad de que una persona dex años de edad muera antes de cumplir x -f n años(qx

*"rfi* = 1 - nP* ^ ' *" (11-10)vx

— Probabilidad de que una persona dex años de edad muera entre las edades(x + n y x + n + k).

Ejemplo 11.6.1 Determínese la probabilidad de que a) una persona de 29 años sobreviva al me-nos un año. b) Una persona que celebra su 50 aniversario festeje el 51.

Solución:t

a) Se aplica la fórmula (11.7) substituyendo los valores correspondientes de la tabla de morta-lidad.

Alternativamente

p29 = 1 - q,29 = 1 - 0.002318 - 0.997682

b) en este segundo caso se procede en forma similar.

Alternativamente

Pso = Qso = 1 - 0.007786 = 0.992214


Ejemplo 11.6.2 Determínese la probabilidad de que una persona de 45 años de edad sobreviva25 años.

Solución:

Aplicando la fórmula (11.8)

Vx . ..

'*5 835 5059223452

Ejemplo 11.6.3 Determínese la probabilidad de que una persona de 15 años de edad muera entrelos 25 y los 30 años.

Solución:

En este caso es necesario determinar las probabilidades de que viva hasta los 25 y hasta los30 años, y por diferencia determinar la probabilidad de que muera en ese lapso.

La probabilidad de que viva hasta los 25 años es

Vr 9812521

= °-9812521

La probabilidad de que viva hasta los 30 años

v,n 9 705 39815P15 = - - — ~ - = 0.9705 <

Vi5 10000000

La probabilidad de que muera entre los 25 y los 30 años está dada por la diferencia de proba-bilidades p2s y p3o:

io|isqis = 0.98125 - 0.97054 = 0.01071

Alternativamente puede resolverse aplicando la fórmula (11.11)

n _vx+n_J~ y_x+_n + k._

9 812 521 - 9 705 398 107 123= 0.01071

10000000 10000000

Ejemplo 11.6.4 Determínese la probabilidad de que una persona de 35 años muera antes decumplir 40.


Solución:

Aplicando la fórmula (11.10) se tiene

n -rf-íx

9580621 - 9426 360

9580621

154 261

9580621= 0.016101

Valores conmutados

Las últimas dos columnas de la tabla VI, Dx y Nx, son lo que se conoce como valores con-mutados, y su propósito es abreviar algunos de los cálculos necesarios para resolver las anua-lidades contingentes que son el tema del siguiente y último capítulo.

Dv se define como

D = (1 + 0-Vl (11.12)

en donde*/ es la tasa de interés en el cálculo de las anualidades y que, por consideracionesprácticas, se toma como 0.18. Se escoge este valor por ser de uso relativamente común en al-gunos cálculos actuariales, y para facilitar el análisis de las anualidades contingentes. Así,los valores conmutados de la tabla VI están calculados con esta tasa, y los ejemplos en losque se utilizan también se basan en ella.

Ejemplo 11.6.5 Calcular D20

Solución:

Se convino en que / = 0.18

x = 20

de la misma tabla VI, en la columna correspondiente,I

v20 = 9 909 271 yD20 = (0.03650563) (9 909 271) = 361 744.18

que es prácticamente igual al valor que aparece en el renglón 20 de la columna Dx de la tabla VI.


Ejemplo 11.6.6 Calcular D97.

Solución.

x = 97f

v97 - 5311

D97(1.18)-97(5311) = (0.00000011) (5311)

D97 = 0.00056575

El valor que aparece en la tabla es 5.657461 E-4, en donde el £-4 indica que se debe correr elpunto decimal 4 posiciones a la izquierda, con lo que se obtiene 0.0005657461, que es el valorcorrecto (se mantiene este tipo de notación, a! que se denomina "notación científica" para con-servar la precisión con un mayor número de decimales).

Por otro lado, se define:*

N, = D, + Dx + 1 + D, + ¿ + . . . + D 99 (11.13)

Ejemplo 11.6.7 Calcular N95.

«Solución:

De acuerdo a la definición anterior,- ;

Nc,5 = D95 + D96 + D97 + Dqg + D99

= 0.00316418 + 0.001386823 + 0.0005657461 + 0.0002131372 + 0.00007351986= 0.005403406

que es el valor que aparece en la posición correspondiente en la tabla.

Como puede verse, calcular N2s exigiría sumar los valores de Dx desde 25 hasta 99; 75 cifras.lo cual es una labor tediosa y muy propensa a errores. Como este tipo de cálculos son necesariosen las anualidades contingentes, puede comprenderse fácilmente la utilidad de estos valoresconmutados.


20. Determine la probabilidad de que una persona de 35 años sobreviva:

a) al menos un año.5} al menos 5 años,c) al menos 20 años.


21. Determine la probabilidad de que una persona de 18 años muera:

a) antes de cumplir 19 años.6) antes de cumplir 30 años.c) antes de cumplir 60 años.

22. Determine la probabilidad de que una persona de 22 años de edad muera:

a) entre los 25 y 'os 30 años.b) entre los 30 y los 40 años.c) entre los 50 y los 60 años.d) después de cumplir 60 años.

23. Determine la probabilidad de que una persona de 45 años muera:

a) a los 45 años de edad.b) a los 46 años de edad.c) a los 70 años de edad.

24. Determínese

c)D81

25. Determínesea) N2tí

6) N,9' c) Nfi6

11.7 RESUMEN'" . *

En el presente capítulo se introdujo el concepto de probabilidad matemática, y se dijoque si un evento tiene que resultar de n distintas pero igualmente posibles maneras, y si a deesas maneras son consideradas como aciertos y f = n-a son consideradas como fallas, enton-ces la razón p = a/n es considerada como la probabilidad matemática de acierto.

Por otro lado, se dijo que la probabilidad estadística es la razón a/n determinada comoresultado de la observación y registro estadístico de n eventos de los cuales a fueron conside-rados como aciertos.

Al trabajar eventos y probabilidades es necesario distinguir entre los eveníos mutuamen-te exduyentes que son aquellos en los que la ocurrencia de uno excluye totalmente laocurrencia de los otros, y los eventos independientes, que son aquellos en los que la ocurren-cia de un evento no afecta la de los demás.

Se introdujo asimismo el concepto de pago contingente como aquel cuya liquidación es-tá sujeta a la ocurrencia de un evento E que tiene probabilidad p de ocurrir.

Se afirmó que la esperanza matemática es el producto resultante de multiplicar un mon-to M que se espera recibir por la probabilidad de recibirlo.

Finalmente se definieron las tablas de mortalidad como aquellas que registran el númerode muertos por grupo de edad observadas en una base numerosa de población, y que son uti-lizadas para el cálculo de las primas que deben pagarse al adquirir seguros de vida.



Al finalizar de leer este capítulo el lector será capaz de:

• Definir la probabilidad matemática• Q)efinir la probabilidad estadística• Explicar la diferencia entre una y otra• Distinguir entre eventos mutuamente excluyentes y eventos independientes• Realizar cálculos elementales que involucren el uso de probabilidades• Comprender el concepto de esperanza matemática• Calcular la esperanza matemática• Definir lo que es una tabla de mortalidad• Realizar cálculos de probabilidad de vida o de muerte auxiliándose de una tabla de mortalidad


• Probabilidad matemática• Probabilidad estadística• Eventos mutuamente excluyentes• Eventos independientes• Pagos contingentes• Esperanza matemática• Tabla de mortalidad

FORMULAS IMPORTANTESa a

a + f n

f f

(11.11

(11.21

p = 1 - q (11.3)

q = 1 - p (11.4)

o £ 2 o . . . o£n) = p(EJ + p(E2) + - ..p(En) (11.5)

p ( £ 2 ) . . . p(£n) (11.6)

Qx *=--£*- 01-9)


(11.10)

(11.11)

(11.12)

D99 (11,13)


1. En una caja se depositan 8 bolas blancas, 10 bolas negras y 4 bolas rojas. Determine las pro-babilidades de:

a) Sacar una bola roja en la primera extracción.b) Extraer dos bolas blancas consecutivas (sin remplazo).c) Extraer dos bolas blancas consecutivas (con remplazo).d) Extraer una bola blanca, una bola negra y una bola roja en forma consecutiva (sin

remplazo).e) Extraer una bola que no sea negra.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que de una baraja ordinaria (de 52 naipes) se extraiga:

a) Un par de ases en dos extracciones consecutivas?', b) Un par en dos extracciones consecutivas?

c) Una tercia en tres extracciones consecutivas?c/) Una tercia y un par en cinco extracciones consecutivas?

3. Una ruleta comprende los números del 1 al 36 más el 00. ¿Cuál es la probabilidad de que elnúmero sorteado sea:

a) Impar?6) Mayor que 20?c) Par mayor que 10?d] Múltiplo de 5?

4. En una escuela primaria se detectó que 1 480 de sus 3 200 alumnos padecieron caries. Siuna escuela vecina alberga 2 650 niños, estímese el número que tendrá caries.

5. Estudios médicos han demostrado que un 80% de las personas que fuman diariamentecontraen enfermedades crónicas del aparato respiratorio. Si en una universidad el 42% desus 16 000 estudiantes fuman cotidianamente, determínese el número que adquirirá enfer-medades crónicas del aparato respiratorio a causa del cigarro.

6- En un juego de dados, la banca paga 10 a 1 al que acierte la suma de los puntos de los dosdados, reservándose para sí el número 7. Determínese la esperanza matemática de una per-sona que apuesta $1 000 al:


a] 126) 6c) 3

7. Una persona apuesta $250 000 al triunfo del equipo local en el juego de foot-ball de la se-f mana. ¿Cuál es su esperanza matemática si el conjunto ha ganado 8 de los 14 encuentro?

que ha jugado como local?8. En un juego de béisbol, un fanático apuesta $100 000 a que su favorito ganará los 3 juegos

de una serie. ¿Cuál es su esperanza matemática si en cada juego el equipo tiene 20% deprobabilidades de perder?

9. El tercer hijo de los reyes de un pequeño país heredará la corona y 500 millones en el casode que sus hermanos muriesen antes de cumplir 21 años. Si el mayor tiene 15 años, el me-diano12yelmás pequeño 10. ¿Cuál es su esperanza matemática considerando que las pro-babilidades de muerte del primero son de .05 y del segundo de -04?

10. Juan y Carlos apuestan en un juego de cartas. Juan ganará si la primera carta que aparezcaes un rey, Carlos ganará si aparece primero un diamante (a excepción del rey). ¿Cuántodebe apostar Carlos para que el juego sea equitativo si Juan apostó $1 000?

11. Un padre deja a sus hijos de 14 y 10 años de edad una herencia por $30000 000 y 25 000 000respectivamente, la cual les será entregada al cumplir 18 años. El dinero se deposita en unacuenta bancaria que paga el 30% de interés anual. ¿Cuál es la esperanza matemática de ca-da uno de los hijos si la probabilidad de morir antes de los 18 años es de 0.0095 para el pri-mero y 0-0120 para el segundo, y la tasa de interés del mercado es de 35% anual?

12. Una persona de 65 años cuya salud es muy delicada desea adquirir un seguro que le garan-tice una renta de $2 500 000 al año mientras viva. Sus posibilidades de supervivencia sonlas siguientes:

Años

1

234

Posibilidades de supervivenua

0.600.400.200.00

Si la tasa de interés es del 20% anual, ¿cuál es el valor actual de los pagos? ¿Cuál será elcosto del seguro sin considerar gastos ni utilidades?

13. Una persona de 30 años compra un seguro de vida por $15 000 000 que lo protege duranteun año. Si la probabilidad de muerte a los 30 años es de 0.00239 y la tasa de interés es del35%, ¿cuál es el precio que debe pagar sin considerar gastos ni utilidades?

14. Un banco estima en un 2% su porcentaje de cuentas incobrables. ¿Qué tasa de interés debecobrar a una empresa que le solicita un préstamo si la tasa de mercado es del 25%?

15. La tasa de interés para créditos garantizados que cobra un banco a sus clientes es del 40%¿Cuál es el porcentaje de cuentas incobrables que maneja si a los créditos no garantizadosles carga 45% de interés?

16. Una rama industrial se ha visto seriamente afectada por la situación económica prevale-ciente, y su porcentaje de cuentas incobrables se ha incrementado. ¿Cuál es dicho porcenta-je si el banco del ejemplo anterior cobra un 48% de interés a las empresas de dicho sector?


17. Una compañía hipotecaria ha determinado la siguiente tabla de probabilidades de recupe-ración de préstamos

Proporción recuperada Probabilidaddel adeudo

0% 0.0050% 0.0175% 0.0490% 0.05

100% 0.90

¿Qué tasa debe cobrar a los solicitantes de préstamos si ¡a tasa de interés d.-jl mercado esde! 50%?

18. ¿Cuál es el precio de una obligación con valor de $1 000 y cuyo valor de redención a 5 añoses de $1 020, si paga interés al 18% convertible trimestralmente y existe una probabilidadde quiebra del U.1 % en cualquiera de los periodos de pago?

19. Carolina cumplió 16 años al ingresar a la universidad.Determine la probabilidad de que: a) Fallezca en el lapso de los 5 años que dura su carrera6) Fallezca antes de cumplir dos años c) Celebre con sus condiscípulos el 10o. aniversariode su graduación. Utilícese la tabla de experiencia mexicana,

20. ti padre de Carolina tenía 50 años al entrar ella a la universidad Determine la probabilidadde que:

*, a] Esté vivo para asistir a la graduación de su hija.b) Fallezca el año de la graduación de su hija.

21,' Si la generación de Carolina está formada por 1bO personas de líí años, 200 de 19 años y 120de 20 años, determine de acuerdo a las probabilidades de vida:

a) El número de los que estarán vivos para la fiesta de graduaciónb) Los que celebrarán los 10 años de la terminación de la carrera.c) Los que celebrarán los 25 años.c/) Los que celebrarán los 50 años.

Anualidades contingentes

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio del presente capitulo, el lector será capaz de:

• Definir y explicar cada una de las anualidades mencionadas en la temática.• Identificar situaciones en las que se puedan aplicar estos conceptos.• Plantear y resolver problemas que impliquen la resolución de los diversos casos de anualida-

£Jes presentados en el capitulo.

^TEMARIO

2.1 INTRODUCCIÓN

, 12.2 VALOR ACTUAL DE UN DOTAL PURO

12..1 ANUALIDADES VITALICIAS VENCIDAS

12.4 ANUALIDADES VITALICIAS ANTICIPADAS

12.5 ANUALIDADES VITALICIAS DIFERIDAS

12.6 ANUALIDADES CONTINGENTES TEMPORALES

12.7 RESUMEN

12.1 INTRODUCCIÓN

Como se vio antes, una anualidad contingente es aquella en la que su fecha de inicio o la determinación o ambas, dependen de algún suceso que se sabe va a ocurrir pero no se sabecuándo.

Un ejemplo muy común de una anualidad contingente seria el pago de una pensión aun cónyuge por motivo del fallecimiento del otro. Otro ejemplo sería el pago de una pen-sión a un trabajador que se jubila; se le paga cierta cantidad periódica mientras vive.

Una reñía vitalicia es una anualidad que se paga a una persona a partir de cierta fecha ymientras vive, y se le podría denominar anualidad vitalicia.

369


Una anualidad contingente témpora! es aquella en la que se paga un número f i jo de ren-tas, a diferencia de una renta durante todo el tiempo que la persona viva.

Una dotal puro es un compromiso de pagar a una persona determinada cantidad en unafecha futura, siempre y cuando esté viva para recibirla.

Son muy numerosas las aplicaciones y variaciones de las anualidades contingentes y, dehecho, su estudio exhaustivo compete al área del cálculo actuarial. Para los propósitos de estelibro, se ilustrarán sólo algunos de los principales tipos de anualidades contingentes y, parahacer esto, conviene comenzar revisando el concepto del valor actual de un dotal puro.

12.2 VALOR ACTUAL DE UN DOTAL PURO

Un dotal puro es una promesa de pagar una cantidad determinada a una techa futura, si elbeneficiario continúa con vida.

Ya vimos que el valor actual de una cantidad pagadera a futuro está dado por

C = M(1 + /)-"

Ejemplo 12.2.1 El valor actual de $500 000 pagaderos dentro de 5 años al 32% efectivo anual es:

C = 500 000(1.32)-5

= 500000(0.24953435) = 124767

% Por otro lado, la probabilidad de que una persona que tiene x años de edad permanezca vivaa los x + n años está dada por:

Ejemplo 12.2.2 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que tiene ahora 33 años de edad lle-gue a los 38?

Solución;

v< = v&= 9633282

v* + n = v J 8= 94926269 492 626 nuítrÍOoQ[-

npx — — 0.985398959633282

Combinando los resultados de los ejemplos 2.1 y 2.2

M(1 + O ,,Px = 124767(0.98539895)= 122945

Seria el valor actual de $500 000, pagaderos dentro de 5 años a una persona que actualmentetiene 33 años, si llega a la edad de 38 años.

Anualidades contingenten 371

Conviene hacer hincapié en el significado de los cálculos anteriores. Se puede decir que elvalor actual de un dotal puro es:

• ti valor actual de la cantidad multiplicado por• La probabilidad de que el beneficiario cobre el dotal (La probabilidad de que esté vivo• para cobrar).

Es común representar por medio del símbolo nk\l valor actual de un dotal puro de $1.00,pagadero a una persona que tenga ahora la edad x, y alcance la edad de x + n para cobrar.

Utilizando esa notación:

Y en el ejemplo seria

-'J t949262bj = 0.24589089(9 633 282)

Y el valor actual del dotal de $500000 es,

C = 500000(0.24589089) = 122945

Así, se podría plantear el valor actual de un dotal puro de $M a futuro como

* C - M „£,

C = M(1 + /)"" Vx T " (12.2)

•" , it ' Se introduce el símbolo ,,£x porque resulta conveniente para el análisis de las anualidades

vitalicias.

Por otro lado, aunque se pueden manejar anualidades contingentes mensuales, semestrales,etcétera, sólo nos ocuparemos de las que tienen plazo anual.

Con respecto a la tasa de interés y considerando que las tasas reales que se manejan en elmedio de los seguros son de cuando mucho el 18%, utilizaremos esta tasa en lo que resta del ca-pítulo para simplificar el análisis; los valores conmutados de la tabla VI del final del libro seconstruyeron con ella.

Es fácil encontrar el valor actual de anualidades contingentes con otras tasas simplementeincluyendo el valor pertinente.

Ejemplo 12.2.3 ¿Cuál es el valor actual de un dotal puro de $10 ÜOO OOU pagadero a una personade 25 años si vive para cumplir 65 años, si el interés es del 18% anual*1

Solución:

M - $10000000x - 25


n + x = 65/ = 0.18

y de la tabla VI, al igual que antes;

v25 = 9812 521vbs = 7 060 498

C = 10 000 000(1.18] "4U 70604989812521

= 10 000 000 (0.00133266) (0.71953966)= $9 589

/

Ejemplo 12.2.4 ¿Cuál es el valor actual de un dotal puro de $500000 pagadero a una personacuando cumpla los 40 años, si ahora tiene 32 y el interés es del 18% anual?

Solución:

M = 500000x = 32

n + x = 40; - 0.18

V de la tabla Vil:

= v32 = 9658142= 9 426 360

942b36°C = 500000(1.18)"»9658142

= 500 000 (0.26603816) (0.97600139)= 129827

Ejemplo 12.2.5 Si el valor actual de un dotal puro pagadero a una persona de 47 años al cumplirlos 65 años es de $2 321 933, calcular el valor a futuro.

Solución:

C = $2 321 933x = 47

2 m 932+66X == M!E, = M ^- = M = Mv47 9122355

De donde

2 321 933(9122355)/Vf ~7 060 498

M = $3 000 ÜOO

Anualidades contingentes 373

12.3 ANUALIDADES VITALICIAS VENCIDASr

Es el caso de pagos de una renta de por vida para una persona con x años de edad. Como esuna anualidad vencida el primer pago de la renta se hace cuando el rentista tiene x + 1 años, elsegundo cuando tiene x + 2 años y así sucesivamente mientras esté vivo. En forma gráfica:

f

x x + l x + 2 x + 3 x + 4 x - i - 5 x + & 9 6 9 7 9 8 9 9I - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - • • • - 1 - 1 - 1 - 1

Alternativamente, podemos considerar que una anualidad vitalicia es un conjunto dedótales puros y, por ello

• ti valor actual de una anualidad contingente puede contemplarse como la suma delos valores actuales de cada uno de esos dótales.

Si suponemos, para facilitar la exposición, que el monto de cada una de las rentas de laanualidad o, lo que es lo mismo, cada uno de los dótales puros, tiene un valor de $1, la situa-ción podría representarse gráficamente como:

x x 4- 1 x + 2 x + 3 x + 4 96 97 98 99I - 1 - 1 - 1 - I - • • • - 1 - 1 - 1 - 1

$1 $1 $1 $1 $1 $1 $1 $1

Si, por otro lado, denotamos porax el valor actual de una anualidad vitalicia ordinaria de$1 por año, para una persona de edad x y, dado que hemos utilizado el símbolo ntx para re-presentar el valor actual de un dotal puro unitario, el valor actual de la anualidad sería:

ax — ] E X + ¿Ex + }EX + 4EX + . . . hdstd el lindl de Id tdbld (x = 99)

Y como

F = M + n -n v* + "nLi U ' '} ,,

Entonces

= (I + /)-' V* "*" ' + (1 + f) -2 X + 2 + . . . (hd>td el rinde Id Ubld]

— i í J1 + ! _- *• '- " ~^-i • ' i (hdsta el fíndl de la tdbla)

Si la persona tiene, por ejemplo, 30 años de edad, el numerador de esta última expresiónincluye 69 términos y su evaluación es evidentemente muy tediosa, bs en este punto donde

374 Matemáticas Hilanderas

se pueden utilizar las tablas de valores conmutados para simplificar los cálculos. Los valoresconmutados aparecen en la tabla VI del final del libro. Como se vio en el capitulo anterior:

Dx = (1 + / ) - * v x (11.12)N, = D, + Dx + 1 + Dx + 2 + . . . + D9lí (11.13)

f

Si

a - (1 + l']~' Vx + | + (1 + Í}~2 Vx + 2 + • • - (hasta el tinal de la tabla)

Para simplificar esta expresión, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por(1 + i) ~x y obtenemos

d - (1 + 0~*~ Vx + l + (1 + f')~x~ Vx + 2 + • • • (hasta el tmal de la tabla)(1 + i')"* Vx

^ — ^x T l + ^*x -r 2 "*" ^\- J i • • • (hasta el linal de la tabla)

Y el valor actual C de una anualidad vitalicia vencida de $/? anuales, pagaderos a unapersona de edad x es:

C = R a,*

r - R N(12.4)

Además, al va/or actual de una anualidad contingente (vencida, anticipada o diferida) sele conoce como prima neta única ya que, evidentemente, tiene amplia aplicación en el áreade seguros.

Ejemplo 12.3.1 ¿Cuál es la prima neta única de una anualidad vitalicia vencida de $1 500000anuales pagadera a una persona de 40 años, si el interés es del 18% anual?

Solución:

R = 1 500 ÜOO

/= 0.18x - 40C - R ax

C - 1 500000 N> + 1 y. de la tabla VI'-'A

C = 1500000 6b9863512 562.14

C - 7 998 599


Ejemplo 12.3.2 ti señor López tiene 58 años de edad y va a jubilarse. La empresa va a pagarle, deacuerdo a su plan de pensiones, $6 000 000 anuales vencidos durante el tiempo que viva. Calculequé pago único realizado al momento de jubilarse sería equivalente a los pagos anuales.

Solución:

R = 6000000/ = 0.18

* = 58C = 6000000 5'J

c = 6000ooo 2fe16991555.6494

C = 28 258 729

Ejemplo 12.3.3 El valor actual de una anualidad vitalicia pagadera a una persona de 54 años esde $2 000 000. Calcular el valor del pago anual.

Solución:

C = 2 000 000x - 54

2 000 000 = R -5-5 =R(5 582.997 / 1133.207)

2000000(1133.207) =5582.997

12.4 ANUALIDADES VITALICIAS ANTICIPADAS

Una anualidad vitalicia anticipada es un conjunto de pagos (anuales en el caso de este libro)pagaderos a una persona de x años de edad mientras vive. Como los pagos se hacen al princi-oio de cada año, la anualidad es anticipada. Gráficamente:

x x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 96 97 98 9<<I 1 1 1 1 • • • 1 1 1 1

Y su valor accual es también la suma de los valores actuales de un conjunto de dótales puros;en este caso, también para simplificar el análisis, supondremos un pago anual de $1 por anti-cipado y utilizaremos el símbolo á\a denotar el valor actual de una anualidad vitaliciaanticipada de $1 anuales una persona de edad x, pagadera mientras viva.


Como el primer pago se hace al momento de realizar la operación, y como se le paga entanto viva, el valor actual de esta anualidad es un pago al momento de formalizar la opera-ción más el valor actual de una anualidad contingente vencida y unitaria, o

- +

Sustituyendo ax = - * + 1 tenemos

3 1d, — I TD

(hasta el tmal de la tabla)

á, = -T- (12.5)D*

Ejemplo*12.4.1 Encontrar el valor actual (o prima neta única) de una anualidad de $1 anuales pa-gaderos por anticipado a una persona de 65 años de edad, al 18% anual.

Solución:

C = $1/ = 0.18x = 65

De la tabla VI del apéndice

Nh- - 777.3924Dh-, = 150.1429

777.3924;, .__ = 5 .17768339150.1429

Ahora, de manera similar al caso de las anualidades vencidas, el valor actual de una anuali-dad vitalicia anticipada con el valor de $/? es:

C = R áv

C = R^- (12.6)Dx

Y, al igual que antes, en este caso se le denomina a C "prima neta única".


Ejemplo 12.4.2 Determinar la prima neta única de una anualidad anticipada de $650 000, paga-dera a una persona de 35 años de edad.

Solución;

R = 650000

/ = 0.18x = 35= 186783.0

DJ5 = 29209.45

= 65029 209.45

C = $4156496

12.5 ANUALIDADES VITALICIAS DIFERIDAS

Este sería ef caso de una anualidad pagadera a una persona de x años de edad pero pospo-niendo el inicio del pago durante k años. Se pueden presentar dos casos:

• Que el primer pago se haga unos años después de expirar el periodo de aplazamiento(k) en cuyo caso tendríamos una anualidad vitalicia diferida vencida.

• Que el primer pago se haga al momento de expirar el periodo de aplazamiento. En esteCaso se tiene una anualidad vitalicia diferida anticipada.

Analizaremos los dos casos en forma separada: ,

Anualidades vitalicias diferidas vencidas

A una persona de edad x se le va a pagar una anualidad de $1 anual. El primer pago se rea-lizará después de k años y, como se trata de una anualidad vencida, el primer pago se haceun año después de vencer el periodo de aplazamiento, o sea el año k + 1. Además seguire-mos utilizando la tasa del 18%. Se utiliza el símbolo Ma* para denotar el valor actual (pri-ma neta única) de una anualidad vitalicia vencida de $1, diferida durante k años. Tenemosentonces que:

, k + ¿x + fe + 2£x + k + j£ x + .ld" — - ., (hasta el final de (a tabla)

(hasta ti final de la ubla)

378 Maíemái/cas financieras

Multiplicando tanto el numerador como el denominador de la expresión anterior por

/k'a" = (1 + f)-xv~e

(hasta el Imal de la tabla).D,

Por lo que,

f c | a * - * * * * * (12.7)

Ejemplo 12.5.1 ¿Cuál es la prima neta única de una anualidad vitalicia vencida de $1 pagadera auna persona de 40 años si el primer pago debe hacerse cuando esta persona tenga 60 años^

Solución:

x = 40k = 20R = 1

. "e, . . 0,4069760D40 12562.14

Y, de nueva cuenta, el valor actual de una anualidad vitalicia vencida de $R anuales, pagadera auna persona de edad x y diferida durante k años es:

C = R * * k + 1 (12.8)Dx

Ejemplo 12.5.2 Determinar la prima neta única de una anualidad de $12 500 000 anuales paga-deros a una persona de 48 años, si el primer pago debe realizarse dentro de 15 años.

Solución:

Obsérvese que en este caso al especificar que el primer pago debe hacerse dentro de 15años, no se sabe en realidad si la anualidad es anticipada o vencida pero, al saber que el primerpago se realizará dentro de 15 años y que k + 1 — 15, se puede determinar el valor actual si seconsidera la operación como una anualidad vencida con:

R = 12500000x = 48k = 14


V,

C - 12 500000 N48 + 14 + n = 12 500000 -=^-^48 í->48

= 12 500000 IMJÍ2^ 3214.367

= 12 500000(0.36715223)

= 4589403

Anualidades vitalicias diferidas anticipadas

Como se vio al principio de la sección en este tipo de anualidades, el primer pago se hace eldía en que vence el periodo de aplazamiento o diferimiento. Y, del desarrollo anterior, es fácilcomprobar que el valor actual de una anualidad vitalicia anticipada de $1 y diferida durantek años es:

k|á 'x -- *-!-t (12.9)

Ejemptu 12.5.3 Encontrar el valor actual de una anualidad vitalicia anticipada de $1 pagadera auna persona de 35 años de edad si se aplaza 10 años.

Solución:

*Nio * T; N*. 33 505.42

10|a35 = 1 Q t 35 . — -- = 1.14707466D35 D35 29 209.45

i

También, y a semejanza del caso vencido, el valor actual de una anualidad vitalicia anticipadade $R, diferida durante k años, es:

« *C = R — *-!-*- (12.10)

Dx

Kjemplo 12.5.4 ¿Cuál es la prima de una anualidad vitalicia anticipada de $3 000 000 pagadera auna persona de 50 años de edad y diferida durante 5 años?

Solución:

R = $3000000k = 5x - 50C ^ 3 000 000

C - 3 000 000 (5582.997 / 2276.728)C = $7 356 606


12.6 ANUALIDADES CONTINGENTES TEMPORALES

Es una anualidad que se paga durante un número especificado de periodos y termina al cu-brir este número de pagos (aunque el rentista siga vivo) o a su muerte si ocurre antes de cubrirtodos los pagos.

f

Anualidades contingentes temporales vencidas

Ejemplo 12.6.1 Se le va a pagar a una persona de 50 años de edad una anualidad de $1, durante15 años. ¿Cuál es el valor de la prima neta única? Ilustrando el caso:

50 51 52 53 64 65 66 67 68 97 98 99I 1 1 1 1 1 1 h—] ~t 1 1

Si consideramos la parte A del diagrama anterior, tenemos la anualidad contingente temporalpropuesta en el ejemplo. Si añadimos la parte 6 tenemos una anualidad vital icia vencida, que yaanalizamos. Es posible apreciar que esta parte B puede contemplarse como una anualidad vitali-cia vencida diferida durante n años (n es el número de pagos de la anualidad temporal). De estose puede considerar que la anualidad contingente temporal es igual a una anualidad vitaliciavencida menos una anualidad vitalicia vencida y diferida n años. Para el caso de una anualidadde $1 y utilizando el símbolo ax.,¡ para denotar el valor actual de una anualidad temporal de $1pagadera a una persona con x años de edad y durante n años, tenemos:

y recordando que

Aa = —

Q»y.

, ^"+ n + '"ia* - "Ia* - DLyx

ax;n = * • T - ' " x + " + ' (12.11X

y.

C = R N* + 1 ~ N" + " " ' (12.121


Ejemplo 12.6.2 Se le va a pagar a una persona de 45 años de edad una anualidad contingentetemporal y vencida de $8 000000 durante 10 años:¿Cuál es su prima neta única?

R = 8000000x *= 45n = 10

C = Ka,.n = 8000000^-^ = 8000000 ™ 32 5" " 4"3158D45 5372.831

C = $34990018

Anualidades contingenles temporales anticipadas

En este caso, el primer pago se hace al principio del primer periodo de pago. También, de losdesarrollos anteriores puede verse que el valor actual o prima neta única de este tipo de anua-lidades está dado por:

C = R ax:n

de donde,

* C = R NX ~ NX + n (12.13)* D

Ejemplo 12.6.3 El señor Torres, de 65 años de edad, va a recibir una anualidad anticipada de$5 000 000 durante 10 años, siempre y cuando'permanezca vivo para cobrarla. Calcular su prima

' neta única.

Solución:

R = 5000000x = 65n = 10

- N, + „ N65 - N75

= 5 000 000

x D65

777 3924 — 70 54449150.1429

C = $23539172



1. ¿Qué es una anualidad contingente?2. ¿Qué es un dotal puro?3. ¿Qué es una prima neta única?4. Calcular el valor actual de un dotal puro de $1 000 000, pagadero a una persona de 55 años,

si vive a los 75 años (Utilícese el 18% anual que se convino para todos los ejemplos).5. $5 000 000 es el valor actual de un dotal puro pagadero a una persona de 40 anos si vive para

cumplir 60 años. ¿Cuál es el valor a futuro del dotal?6. ¿Qué es una anualidad vitalicia?7. Explique la diferencia que existe entre las anualidades vital icias vencidas y las anticipadas.8. Calcule la prima neta única de una anualidad vitalicia vencida de $7 000 000, pagadera a

una persona de 38 años de edad.9. ¿Qué anualidad vitalicia vencida anual, pagadera a una persona de 69 años, equivale a una

prima neta única de $2 500 000?10. Encuentre la prima neta única de una anualidad vitalicia anticipada de $800000 anuales,

pagadera a una persona de 75 años de edad.11. Una persona de 60 años de edad va a recibir una anualidad vital icia vencida de $3 000 000.

¿Qué cantidad anual recibiría si la anualidad se convirtiera en anticipada?12. ¿Qué es una anualidad vitalicia diferida?13. ¿Cuál es el valor actual de una anualidad vitalicia vencida de $7 500 000, pagadera a una

persona de 52 años de edad, si se difiere durante 10 años?14. Calcule el valor actual de la anualidad del ejemplo anterior, si se le considera adelantada.15^ El valor actual de una anualidad vitalicia anticipada, pagadera a una persona de 45 años de

. edad y diferida durante 6 años es de $7 500 000. ¿Cuál es el valor del pago anual?16. ¿Qué es una anualidad contingente temporal anticipada?17. ¿Qué es una anualidad contingente temporal vencida?'18. El señor García, de 63 años, puede recibir hoy como pago por jubilación, la cantidad de

$30 000 000. También puede optar por recibir una anualidad contingente temporal durante 5años, al 18% anual. ¿Cuál debe ser el importe de los pagos anuales que recibirá?

19. ¿Cuál es el valor actual de una anualidad contingente vencida pagadera durante 15 años auna persona de 48 años de edad, si el pago anual es de $1 500000?

12.7 RESUMEN

Este capítulo se ocupó de las anualidades contingentes, que son aquellas en las cuales su fe-cha de inicio, su fecha de terminación o ambas dependen de algún suceso que se sabe va aocurrir pero no se sabe cuándo. Un concepto muy importante para el manejo de anualidadescontingentes es el de renta vitalicia: una anualidad que se paga a una persona a partir decierta fecha y mientras viva para recibirla.

Se revisó también el concepto de dotal puro, que es un compromiso de pagar a una per-sona una cantidad determinada en una fecha futura, siempre y cuando esté viva para reci-birla. Con estos elementos y los ya conocidos de las anualidades simples, ciertas, vencidas einmediatas, se revisaron las:

Anualidades contingentes, 383

• Anualidades vitalicias vencidas. Con respecto a éstas se vio que se les puede contem-plar como un coniunto de dótales puros y que, por ello, su valor actual o capital es lasuma de los valores actuales de cada uno de esos dótales. A este valor actual de unaanualidad contingente se le Mama prima neta única.

• Anualidades vitalicias anticipadas, que se pueden contemplar de manera similar a las«vencidas, al igual que las dos siguientes:

• Anualidades vitalicias diferidas vencidas.• Anualidades vitalicias diferidas anticipadas.

Estos cuatro tipos de anualidades pueden resolverse combinando las fórmulas de lasanualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas, y las de los valores actuales de dótalespuros, tomando en cuenta sus correspondientes características.

• Anualidades contingentes temporales, son aquellas que se pagan durante un númeroespecificado de periodos y terminan al cubrirse este número de pagos aunque el ren-tista siga vivo, o a la muerte de éste si ocurre antes de cubrir todos los pagos. Se revi-saron los casos vencido y anticipado.

COMPROBACIÓN DEL CAPITULO

Al terminar de estudiar eí capítulo, el lector debe ser capaz de:

• Definir y explicar los siguientes conceptos:

\ — Dotal puro

— Anualidad contigente— Prima neta única

* .* — Renta vitalicia— Anualidad vitalicia vencida— Anualidad vitalicia anticipada— Anualidad vitalicia diferida vencida— Anualidad vitalicia diferida anticipada— Anualidad contingente temporal vencida— Anualidad contingente temporal anticipada

• Identificar situaciones que se puedan representar mediante esos tipos de anualidades• Plantear y resolver anualidades de esos tipos, calculando según sea necesario:

— El valor actual o prima neta única— La renta


• Dotal puro

• Anualidad contingente


• Renta vitalicia• Prima neta única• Anualidad vitalicia vencida• Anualidad vitalicia anticipada• Anualidad vitalicia diferida vencida• 'Anualidad vitalicia diferida anticipada• Anualidad contingente temporal vencida• Anualidad contingente temporal anticipada


Valor actual de un dotal puro de $1:

[12.1]

Valor actual de un dotal puro de $M:

C= M(1 + Í)-»Í -±J1- (12-2)* vn

El valor actual de una anualidad vitalicia ordinaria de $1 por año:

- 02.3)a» = -Â

*£/ valor actual o prima neta única de una anualidad vitalicia vencida de $R anuales:

> C = R^é

ti valor actual de una anualidad vitalicia anticipada de $1 al año:

¿ =-^£- (12.5)Dx

La prima neta única de una anualidad vitalicia anticipada de %R anuales:

C = R — — (12.6)Dx

ti valor actual de una anualidad vitalicia vencida de $1, diferida durante k años:

(12.7)

ti valor actual de una anualidad vitalicia vencida de $R anuales, pagadera a una persona dex años de edad y diferida durante k años:


C = R_^*±*±J_ (12.8)D

El valor actual de una anualidad vitalicia anticipada de $1, y diferida durante k años:

k , á x = -! A_ (12.9)

La prima neta única de una anualidad vitalicia anticipada de $R y diferida durante k años.

C = R-^±- (12.10)Dx

La prima neta única de una anualidad temporal vencida de $7 pagadera a una persona dex años de edad, durante n años [una anualidad contingente temporal vencida):

' ^x+1 '^x + n+1 ,,-, _ , ,• a*.-n - -- - --- (12.11)

La prima neta única de una anualidad temporal vencida de $K pagadera a una persona dex años de edad, durante n años (una anualidad contingente temporal vencida):

C . R N*+l-N* + n * T (12<12)

La prima neta única de una anualidad temporal anticipada de $/? pagadera a una persona de

• x años de edad, durante n años (una anualidad contingente temporal anticipada):i

C = K-Nx~ N* + n (12.13)


1. Dé un ejemplo de cada una de las siguientes anualidades:

a. Contingente temporalb. Vital icia diferida vencidac. Vitalicia inmediata y anticipada

2. Explique la diferencia entre una anualidad vitalicia y una contingente temporal.3. ¿Qué relación se puede establecer entre los conceptos de "dotaI puro" y "anualidad vitalicia'74. Si una persona recibe hoy $175 000 como valor actual de un dotal puro pagadero dentro de

12 años, calcule el valor a futuro del dotal si la persona tiene 28 anos de edad.5. ¿Tiene sentido calcular el monto de una anualidad vitalicia!1 ¿Por qué sí o por qué no!16. ¿Cuál es el valor actual de un dotal puro pagadero a la señora Martínez dentro de 18 años,

si el importe del dotai es de $2 OÜO 000 y la señora Martínez tiene 40 años de edad?1

7. ¿Qué es la prima neta única de una anualidad contingente?


8. ¿Qué datos se requieren para calcular el valor actual de una anualidad vitalicia diferida yanticipada!1

9. El licenciado Godinez, de 32 años de edad, va a recibir $2 500000 cada año, comenzandodentro de 15 años y durante otros 15 años más, si está vivo para cobrarlos. ¿Qué clase deanualidad puede utilizarse para representar este caso?

10. Calcule la prima neta única de una anualidad de $800 000 pagadera comenzando de inme-diato a una persona de 45 años de edad durante el tiempo que permanezca viva.

11. ¿Cuál es el valor actual de una anualidad contingente temporal en los siguientes términos:

— Periodo de aplazamiento; 10 años?— Renta anual; $750000?— Edad del rentista; 40 años?— Periodo de pago; 7 años?— Interés; 18% anual?— Clase; anticipada?

12. Un obrero jubilado de 58 años de edad dispone de $3 000 000 con los cuales desea contra-tar una anualidad vi tal ic ia. Al 18% anual, ¿qué renta anual vitalicia vencida sería equiva-ler\te a su capital?

13. Un trabajador de 33 años de edad desea reunir mediante abonos mensuales a un fondo de in-versiones que paga el 18% anual efectivo, la cantidad suficiente para comprar dentro de 17años una anualidad vital icia vencida de $300 000 anuales. Si se considera que el interés alque se contratará esta anualidad es del 18% anual, ¿cuánto debe depositar cada mes el tra-

% bajador?14. _ Calcule el valor actual de una anualidad temporal de $500000, pagadera durante 8 años a

una persona de 55 años de edad, si se difiere durante 5 años y es anticipada.

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