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Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 17 Marco Antonio Moya Silvestre
TrigonometríaPlana
ANGULO TRIGONOMÉTRICOa visión que se tiene en geometría acerca delángulo, es de a aquélla que se forma por la uniónde dos rayos fijos, que comparten un punto en
común llamado vértice.
En trigonometría plana un ángulo trigonométrico esaquel que se genera por un rayo móvil, cuando esterealiza una rotación sobre un punto fijo llamadovértice, desde una posición inicial (lado inicial), hastauna posición final (lado final). La amplitud de larotación es la medida del ángulo trigonométrico.
Recordemos que en trigonometría plana si el giro derealiza en sentido horario , el ángulo generado esconsiderado negativo, en cambio si el giro es ensentido anti horario el ángulo generado esconsiderado positivo; además un ángulotrigonométrico puede tomar cualquier valor
O
N
MLado inic ial
Lado final
P
L
Es bueno saber que…..
HIPARCO DE NICEA fue elobservador más grande de laantigüedad, tanto que sucatálogo estelar, quecontenía posiciones y brillosde unas 850 estrellas, fuesuperado en precisiónsolamente en el siglo XVI.
Por otro lado, inventó la trigonometría esféricaque incrementó el potencial del cálculo; renovólas matemáticas, herramienta esencial de lacosmología, astrofísica y astronomía, a la queperfeccionó con nuevos instrumentos.Conocedor de la distancia y de los movimientosde la Luna y en posesión de una teoría mejorque la de sus predecesores acerca de la órbitasolar, Hiparco pudo conseguir satisfacer una delas principales exigencias de la astronomíaantigua: la predicción de eclipses, cuestión quepara los griegos, antes de Hiparco, constituía unserio problema, ya que tan sólo contaban paradesarrollar sus predicciones sobre eclipses conel método del saros de los babilonios.
Los sucesores de Hiparco trataron derepresentar los movimientos planetariosmediante complejos movimientos circulares, yfue mucho más tarde, en tiempo de ClaudioPtolomeo (alrededor del año 150 d.c) cuando lateoría planetaria de la antigüedad adquirió suforma definitiva. Según ella, la Tierra descansaen el centro del universo; los movimientos delSol y la Luna en el cielo se pueden representarbastante bien por trayectorias circulares. Haciafines del siglo XV Cristóbal Colón descubrióAmérica, y pocos años más tarde Copérnicoplanteó el punto de vista heliocéntrico delmovimiento de la Tierra.
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 18 Marco Antonio Moya Silvestre
ricotrigonométángulo
O
Observaciones:
Si a un ángulo trigonométrico sele invierte su sentido, su signocambia.
Para sumar ángulos trigonométricos en ungráfico, estos deben tener el mismo signo.
La magnitud de un ángulo trigonométrico esilimitada
EJERCICIOS RESUELTOS
1. De la figura mostrada, evaluar el ángulo“x”.
40º5x+ 10º
-10º
a) 40° b) 20° c) -20°d) -50° e) -10°
Resolución:
Observamos que los ángulos no tienen elmismo sentido de giro. Entoncescambiamos a todos los ángulos ensentido horario al sentido anti horario(+)
Luego se cumple:
10º-5x-10
40º
ERptax
x
x
x
:10
90540
901010540
9010)105(40
2. Según la figura, expresar x en términos
de y
x
A
B C
Da) 180º-+ b) --180°c) 180º-- d) 180º+-e) --180º
Resolución:
Del grafico observamos que:
)(
)(
)(
esx
es
es
Cambiados el sentido al ángulo
Xº
-
A
B C
DVemos que:
XCOD
XBOC
XAOB
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 19 Marco Antonio Moya Silvestre
Se cumple que: 180CODBOCAOB
Reemplazando:
BRptax
x
xxx
:180
180
180
EJERCICIOS PROPUESTOS
NIVEL I
1. Del gráfico, calcule “X”
10-x20º
Xº
a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º
2. Del gráfico, hallar X
9º-3x36º
a) 15º b) 20º c)25ºd) 130º e) 35º
3. De la figura determina “x”.
O
x
a) 90º - b) - 90º c) 90 + d) -90º - e) 180º-
4. Del gráfico mostrado, calcular “x”O
º144)º95( x
a) 25 b) -25 c) 27d) -27 e) -36
5. Del gráfico mostrado, calcula “ + ”
a) 270º b) -270º c) 180ºd) –180º e) 90º
6. Del gráfico, hallar “X”.
(11-13X)º (17X-19)º
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
7. De la figura que se muestra, determinarel valor del ángulo x.
2x
3x
(20º-x)(60º-x)(40º-x)
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 20 Marco Antonio Moya Silvestre
a) 15º b) 20º c) 25ºd) -30º e) 30º
8. A partir del gráfico mostrado, calcular elvalor de “x”.
(
(
)
)
2
2
+ 34 º
-46 º
y+ x150º
y-x
a) 150º b) 290º c) -290ºd) -300º e) 30º
9. A partir del gráfico, calcular el valor de“x”
B
C A
(7x-4)º(8-9x)º
a) 18 b) 15 c) 12d) 10 e) 19,2
10. Del gráfico, hallar :
3
2
a) 630º b) 700º c) 660ºd) 600º e) -420º
11. Indicar si los ángulos dados son o nocoterminales
a) 50º y 410º
b) 160º y 880º
c) 400º y 1480º
d) 780º y 1200º
e) 1810º y 370º
f) 1364º y 564º
g) 3838º y 950º
h) 700º y 2880º
I) 1950º y 3850º
12. Averiguar si los ángulos indicados son ono coterminales
a) -150º y -510º
b) -80º y 640º
c) -340º y -1420º
d) -790º y 650º
e) -220º y 150º
f) -1500 y -3300º
g) 1210º y -2040º
h) -490º y -1930º
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 21 Marco Antonio Moya Silvestre
I) -2110º y -580º
NIVEL II
1. Del gráfico mostrado, calcula “x”
x
a) 180º-+ b) 180º++c) 180º-- d) 180º+-e) --180º
2. Determina el valor de x, en términos de“”
xO
120º
a) - 480º- b) 480º+ c) 480º-d) -480º e) -240º+
3. En la figura mostrada, calcula “x” entérminos de “” y “”
x
O
130º
a) 130º+- b) 130º--c) 230º-+ d) 230º--e) 230º+-
4. En la figura se cumple que:3 2 18ºx . Hallar E x
3xO
a) -9º b) 0º c) 9ºd) 18º e) 36º
5. De la figura mostrada determine: “x+y”en radianes
xy
120º C
A
a) / 3 b) / 2 c) / 4
d) 3 / 4 e) / 5
6. De la figura, calcular el valor positivoque toma “x”.
C
OA
B
120º
(3x + x)º2
2(3x-7x )º
a) 5º b) 7º c) 9ºd) 18º e) 36º
7. De la figura, indicar qué relación existe
entre , y
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 22 Marco Antonio Moya Silvestre
β α
θ
a) 720º
b) 36º
c) 360º
d) 720º
e) 360º
8. De la figura, hallar: “x” en término de, y
X
a) 2 2
b) 2
c) 2
d) 2 2
e) 2 2
9. En la figura, calcular el valor que toma“x”.
O
11x+ 50º
560º
a) 5º b) 7º c) 10ºd) 18º e) 36º
10. A partir del gráfico, hallar el suplementode “x”.
xº
a) º º b) º º
c) º º d) 2 º º
e) 2 º º
10. Señalar si los ángulos indicados son ono coterminales
a) 40º, 400º y 760º
b) 2580º, 1140º y 420º
c) -359º, 721º y 2521º
d) -1230º, -510º y 2470º
e) -3275º, -1835º y -35
f) 180º, 900º y -360º
NIVEL III
1. De la figura, hallar el máximo valor que
puede tomar " "
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 23 Marco Antonio Moya Silvestre
C
O
A
B
(100x)º
α- 100 º
x ))
a) 180° b) 160° c) 150°d) 135° e) 120°
2. De la figura mostrada, calcular “x”
(5-11x)g
27x
a) -2 b) -1 c) 5d) 4 e) 3
3. Del gráfico mostrado a qué es igual:10x-9y
y
3
g x
rad2π
a) 1 100 b) 360 c) 280d) 2 400 e) 1 800
4. En la figura, expresar " " en términos
de " " .
O
a) 360º b) 720º c) 360º d) 720º
e) 1080º
5. Del gráfico mostrado, ¿a cuántasvueltas equivalen: + 2 - ?
a) 1 vuelta b) 2 vueltasc) 3 vueltas d) 4 vueltase) 5 vueltas
6. En la figura mostrada, calcular (en rad)el valor de ángulo para que el
ángulo sea máximo. 1416,3: Considerar
rad( )2 -2 2
α
θ= (x - x )radx
a) 3,34 b) 2,6 c) 4,2832d) 1,7431 e) 2,1406
7. En la figura mostrada, si OB y OCtrisecan al ángulo AOD entonces laexpresión correcta es:
β
αθg
C
B
A
O
D
rad
a) 10 9 0 b) 180 0
c) 200 0 d) 380
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 24 Marco Antonio Moya Silvestre
e) 900 9 5
8. Dos ángulos coterminales son entre sícomo 1 es a 5. Hallar la medida delmayor de ellos, si el menor estácomprendido entre 100º y 200ºa) 180º b) 360º c) 540ºd) 720º e) 900º
9. Sean 2 27 1 º 1 3 ºx y x ángulos
coterminales, tal que x R . Hallar el
mínimo valor que puede tomar " "a) 1009º b) 757º c) 505ºd) 253º e) 107º
10. La suma de dos ángulos coterminaleses 600º. Hallar la medida del menor deellos, si el mayor está comprendidoentre 400º y 600º.a) 80º b) 100º c) 120ºd) 140º e) 160º
TAREA DOMICILIARIA
1. De la figura mostrada, hallar “x”
(3-7x)º
(4x-6)ºO
a) 9º b) 10º c) 12ºd) 11º e) 16º
2. De la figura mostrada, determinar “x”
x-40º3x+ 20º
a) 15º b) 20º c) 25ºd) 30º e) 45º
3. Del gráfico, calcular x.
4x -20º
-3x
a) 5º b) 8º c) 10ºd) 12º e) 15º
4. Del gráfico mostrado, calcular losvalores de ”x”
60º 22 (3x -5x+ 2)º(2-x-x )ºO
a) 8 y -5 b) 6 y -5 c)5 y -6d) 2 y -2 e) 5 y -5
5. De la figura mostrada, expresar x en
términos de
x
a) 2 b) 2 c)
d) e) 2
6. De la figura, determina la mAOC, si esobtuso.
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 25 Marco Antonio Moya Silvestre
Oº)634( xº5x
A C
B D
a) 130º b) 135º c) 140ºd) 145º e) 150º
7. Del gráfico mostrado, calcular “x”
Ox
a) + b) -- c) -d) - e) 2-
8. Indica en orden creciente la medida delos ángulos mostrados.
a) ; ; b) ; ; c) ;; d) ; ; e) ; ;
9. De la figura mostrada, indicar qué
relación cumplen los ángulos , ,
β
αθ
a) 720
b) 36º c) 360º
d) 720º
e) 360º
10. De los siguientes ángulos, indicarcuáles son coterminales:
3106º ; 854º 5186ºy
a) y b) y
c) y d) todos
e) ninguno
SOLUCIONARIO
NIVEL I1.d 2.a 3.c 4.d 5.a 6.c7.d 8.c 9.e 10.a
NIVEL II1.d 2.a 3.d 4.b 5.a 6.a7.a 8.d 9.c 10.b
NIVEL III1.b 2.c 3.d 4.c 5.b 6.c7.c 8.e 9.d 10.c
TAREA DOMICILIARIA1.a 2.a 3.c 4.b 5.a 6.d7.c 8.e 9.a 10.a
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 26 Marco Antonio Moya Silvestre
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 27 Marco Antonio Moya Silvestre
Sistemas DeMedición
Angularara medir un ángulo trigonométrico existeninfinidad de sistemas, ya que la unidadangular de medida se puede considerar de
manera arbitraria. Los sistemas de medición másusados son tres: sexagesimal, centesimal y radial.
1. SISTEMA SEXAGESIMAL O
INGLES ( S )
En este sistema, la unidad de medida esel “GRADO SEXAGESIMAL” ( 1º ) , el
cual se define como la ava360
1
parte de la medida del ángulo de unavuelta ( 360º ).
SUB UNIDADES:Minuto sexagesimal : 1’Segundo sexagesimal: 1”
EQUIVALENCIAS1 circunferencia 360º < > 1 vuelta1 circunferencia < > 4 cuadrantes1 cuadrante < > 90º
P
Es bueno saber que……
El Origen del término Seno inicia por el año 500,después de N.E., los matemáticos de la Indiaempezaron a considerar el movimiento de unarecta que gira en sentido contrario al de lasmanecillas del reloj alrededor de un punto fijo, y amedir las longitudes de las semicuerdas operpendiculares trazadas desde el extremo de larecta (en diversas posiciones de su movimiento) ala posición inicial de ella. Esa recta se conoce hoyen día como radio vector o “radio movimiento” (dellatín: vector, “portador”, de vehor, “muevo”;compárese con “vehículo”.Por esta razón la longitud de la semicuerda seasoció a un ángulo, el ángulo determinado por elgiro de la recta.
Los indios dieron el nombre de jva a dichasemicuerda, nombre que en hindú significa cuerda.La palabra pasó al árabe como jiba y más tarde seconfundió con la palabra árabe jaib debidoprobablemente a que las palabras en árabe seescribían frecuentemente sin vocales y por seriguales las consonantes de ambas jiba y jaib, esdecir jb. Sin embargo, la palabra jaib no tienerelación alguna con la longitud de la semicuerda yaque significa la abertura en el cuello de una prendade vestir. Pese a ello, los árabes tomaron lacostumbre de designar a la semicuerda por mediode dicha palabra jaib sin sentido, que hacíareferencia a un “doblez” o “curva”. Por este tiempo,los maemáticos europeos se familiarizaron con lapalabra árabe referente a semicuerda y tradujeronjaib por la palabra sinus que significa “doblez” o“curva”. Dicho error se ha perpetuado en nuestrapalabra seno. Así pues, originalmente el seno deun ángulo representaba la longitud de lasemicuerda de una circunferencia de un radio uno.En nuestros días, como pronto veremos, cuandohablamos del seno de un ángulo, no hablamos deuna longitud.
Semicuerda
Semicuerda
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 28 Marco Antonio Moya Silvestre
1º < > 60’1’ < > 60”1º < > 3600”
Observaciones:
aº b’ c” = aº +b’ + c”
2. SISTEMA CENTESIMAL O FRANCES ( C )
En este sistema, la unidad de medida esel “GRADO
CENTESIMAL” ( g1 ), el cual se define comola
ava400
1 parte de la medida del Angulo de
una vuelta ( g400 )
SUB UNIDADES:
Minuto sexagesimal: m1
Segundo sexagesimal:s1
EQUIVALENCIAS1 circunferencia g400 < > 1 vuelta1 circunferencia < > 4 cuadrantes1 cuadrante < > g100
g1 < > m100
m1 < > S100g1 < > S10000
Observaciones:SmgSmg cbacba
3. SISTEMA RADIAL, CIRCULAR O
INTERNACIONAL ( R )
En este sistema, la unidad de medidaes el “UN RADIAN” (1 rad). Un radiánes la medida del Angulo central en unacircunferencia que genera un arco cuyalongitud es igual que la medida del radiode dicha circunferencia.
Este sistema es el más utilizado en lamatemática, física, ingeniería,astronomía, etc.
r
Br
A
r
EQUIVALENCIAS1 Vuelta <> rad2
1 circunferencia <> 4 cuadrantes
1 cuadrante <> rad2
Para los cálculos se puede considerarcomo valor aproximado de
= 3,14159265....= 3,1416
o también:
NotaEn el Sistema Internacional(S.I), los ángulos se midenen radianes ( rad)
1 rad < > 57º 17’ 44”
1 rad > 1º > g1
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 29 Marco Antonio Moya Silvestre
7
22 ; 10 ; 23
EQUIVALENCIAS ENTRE LOS TRESSISTEMAS1 VUELTA < > 360º < > g400 < > rad2
180º < > g200 < > rad
De esta relación se deduce:
rad < > 180º
rad < > g200
9º < > g10
RELACION NUMÉRICA ENTRE LOS TRESSISTEMAS
FORMULA DE CONVERSIÓNSe utiliza solo cuando las medidas delángulo estén expresadas en las unidadesprincipales de medición angular, es decirgrados y radianes.
radRCS g º
En la figura se muestra un ángulotrigonométrico positivo “ ” m, tal que susmedidas en los tres sistemas estudiados son
Sº , gC y R rad , los cuales al representarla medida de un mismo ángulo, resultan serequivalentes.
Estos tres valores numéricos verifican lasiguiente relación:
2400360
RCS
.... simplificando:
RCS
200180
Para “S” y “C:
109
CS
RELACION SIMPLIFICADA :
1 )RCS
200180= k
KR
KC
KS
200
180
.... o también
2)RCS
200180= k Dividiendo entre
20, obtendremos:
20
10
9
KR
KC
KS
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 30 Marco Antonio Moya Silvestre
RELACION DE ORDEN:
radRCS g º
0 RSC
FACTOR DE CONVERSIONMuy usualmente para convertir un ángulo deun sistema a otro se utilizan Factores deConversión (F.D.C), que no son valores queal ser multiplicados por el ángulo dado dancomo resultado el nuevo valor en el sistemadeseado.
A continuación detallamos los factores deconversión:
SISTEMAINICIAL
SISTEMAFINAL
F.D.C
SEXAGESIMAL CENTESIMAL9
10
CENTESIMAL SEXAGESIMAL109
SEXAGESIMAL RADIAL180
CENTESIMAL RADIAL200
RADIAL SEXAGESIMAL
180
RADIAL CENTESIMAL
200
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Convertir: 36° al sistema centesimal.
Resolución:
Observamos que deseamos convertir unángulo del Sistema Sexagesimal alSistema Centesimal.
Entonces nuestro F.D.C será:9
10
Aplicamos: g409
1036
2. Convertir: CentesimalSistemaalrad4
3
Resolución:
Observamos que deseamos convertir unángulo del Sistema Radial al SistemaCentesimal.Entonces nuestro F.D.C será:
200
Aplicamos: g150200
43
3. Sabiendo que:
´48
BArad
Calcular:A B
53
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Resolución:
Convertimos:.
48sexaggradosarad
RS
180radR
48
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 31 Marco Antonio Moya Silvestre
´456075,0
)60.(.min75,0
:
xsexaga
sConvertimo
109
CS
Reemplazando:
´453
´453
75,03
75,31
48180
S
S
S
S
S
Entonces:
´48
BArad
453
´´453
ByA
BA
Reemplazando en:
CRpta
BA
:345.53
53
3
4. Hallar “n”:S = 3n + 3C =4n – 2 , si S y C son lo convencional.a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
Resolución:
Recordemos:Reemplazando:
CRptan
nn
nn
:8
1836303010
249
33
5. Simplificar:
22
6
SCS
SCCS
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
Resolución:
De la relación simplificada:
kC
kS
10
9
Reemplazando:
CRpta
k
k
k
k
kk
k
kk
kk
:345
218
619
2910
926
910
109
6. Hallar la medida de un ánguloexpresado en radianes, tal que secumpla la siguiente condición:
1820
CRSR
Siendo S,C y R lo convencional.
a) rad8
b) rad5
c) rad10
3
d) rad6
e) rad3
Resolución:
De la relación simplificada:
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 32 Marco Antonio Moya Silvestre
kR
kC
kS
200
180
Reemplazando en la condición:
81
153
1259
18
20020
180
22
k
kk
kk
kkkk
Reemplazamos en R:
ARptaradR
R
kR
:8
81
7. Hallar el ángulo que verifique:
222
70
10
18
20
10
R
R
S
R
C
a) 60º b) 135º c) 72ºd) 18º e) 30º
Resolución:
De la relación simplificada:
kR
kC
kS
200
180
Reemplazando:
35
14
701810
70
10
1018
20
2010
70
10
18180
20
10200222
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
Como las alternativas están en elSistema Sexagesimal, reemplazamos en“S”
CRptaS
S
kS
:72
3514
180
180
APLICACIONES
1. Expresar cada medida en los sistemasseñalados que faltan:
SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL
135º72g
3 /5rad
18º42g
/18rad
36°g144
2. Convertir 30º18´ a grados sexagesimales
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 33 Marco Antonio Moya Silvestre
3. Convertir 84º45´36´´ a gradossexagesimales.
4. Convertir 32º18´27´´ a gradossexagesimales
5. Convertir 143º36´45´´ a gradossexagesimales
6. Convertir 10,5125º a grados, minutos ysegundos sexagesimales.
7. Convertir 11,51º a grados, minutos ysegundos sexagesimales.
8. Convertir 67,9095º a grados, minutos ysegundos sexagesimales.
9. Convertir 38,26º a grados, minutos ysegundos sexagesimales.
10. Expresar en grados centesimales cadauno de los ángulos indicados:
36 29 85g m s
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 34 Marco Antonio Moya Silvestre
143 06 74g m s
8 37 6g m s
27 48 7g m s
11. Expresar en grados, minutos ysegundos centesimales lo siguienteángulos:
39,4873g
136,0271g
12,1647g
24,0803g
EJERCICIOS PROPUESTOS
NIVEL I
1. Reducir:
º24125
570
rad
radE
g
a) 4 b) 2 c) 3d) 7 e) 1
2. Hallar:
rad
radg
Q
106
340
a) 4 b) 2 c) 3d) 7 e) 1
3. Hallar el valor de la expresión:518 4
12 10 3
25º
rad radrad
E
a) 4 b) 12 c) 3d) 7 e) 11
4. Determine X en :
radx4
33
a) 7 b) 9 c) 14d) 16 e) 21
5. Del gráfico, hallar x
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 35 Marco Antonio Moya Silvestre
gx
72º rad5
a) 80 b) 100 c) 50d) 20 e) 6
6. Hallar la medida de un ángulo tal quese cumpla:S = 2(n+1)C = 3n-4a) 36° b) 30° c) 18°d) 15° e) 60°
7. Si 24 º 60 ,g
x x calcular
el valor de X.a) 400 b) 200 c) 300d) 700 e) 100
8. Hallar la medida de un ánguloexpresado en radianes, si:
2S - C=16
a)10
b)5
c)10
3
d)6
e)3
9. Hallar la medida del ángulo en el sistemaradial, si cumple:
1456
CS
a)10
b)5
c)
10
3
d)6
e)3
10. Simplificar 6C S
EC S
a) -5 b) +5 y -5 c) 3d) 1 e) 5
NIVEL II
1. Simplificar la expresión:5 4
3
S CP
S C
a) 4 b) 5 c) 3d) 7 e) 1
2. Siendo S y C lo conocido, simplificar:
22
6
SCS
SCCS
a) 4 b) 5 c) 3d) 7 e) 1
3. Simplificar:)(
10
)(2 CS
R
SC
SC
a) 1 b) 5 c) 3d) 2 e) 4
4. Dada la siguiente equivalencia:
'º11 bag Calcular: “ b – a “a) 45 b) 56 c) 49d) 47 e) 46
5. Si: "'32
3cbarad
.
Hallar: b-a-ca) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 12
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 36 Marco Antonio Moya Silvestre
6. Calcular el valor de:'4º3
21
m
g
P
a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 5
7. Los ángulos internos de un cuadriláteroconvexo miden:
yradx
xg
45
2,)º106(,100
Calcular el mayor valor de X de modoque sea obtuso.a) 10 b) 12 c) 50d) 20 e) 6
8. Si: S y C son lo convencional y:
30
562
2
xxC
xxS
Hallar la medida circular del ángulo, sies menor que una vuelta.
a)10
b)5
c)10
3
d)6
e)
3
9. Determinada la medida de un ángulo enradianes, tal que verifique la siguientecondición:
2 2
9
181
SCC S
S C
a)10
b)5
c)10
3
d)6
e)2
10. Halle el ángulo en radianes que cumpla: 2406432 RCS
a)209 b)
23 c)
15
7
d)3
2 e)107
NIVEL III
1. Halle
3
19
8
SC
SC
CS
S
CS
CM
Siendo S, C y R lo convencional para unmismo ángulo:a) 3 b) -3 c) 5d) -5 e) 2
2. Simplificar:gggg 40....642
º60.....º9º6º3
a) 1/3 b) 5/3 c) 3/5d) 1/6 e) 21
3. Reducir la expresión:
m
mg
b
bb
a
aaE
)2()3(
'
)'3()º2(
a) 245 b) 242 c) 425d) 524 e) NA
4. Siendo S y C lo conocido para unmismo ángulo y además se cumple que:
... 3211 CCCSHallar la medida de dicho ángulo enradianes.a)
20
9 b)15
8 c)15
7
d)20
e)18
5
5. Siendo S , C y R lo conocido y secumple que :
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 37 Marco Antonio Moya Silvestre
2
2
3 509
210
RSCRSC
Determinar “R”
a)5
4 b)5
3 c)2
d)2
3 e)3
4
6. Se tiene que:C
SCx
2
22
Calcular el valor de :
SxSx
SxSxT
a) 10/9 b) 9/10 c) 3/10d) 2 e) 1
7. Siendo S y C lo conocido, tal que:CS CS
Calcular: 109 CS
a) 20/9 b) 9/10 c) 3/10d) 2 e) 1
8. Determine la medida radial del ánguloque verifique la igualdad siguiente.
SC19
SC
RS10
C9
SC19
SC
RC9
S10
a)10 b)
5 c)
15
d)20 e)
25
9. Siendo S y C lo conocido, se cumple:CS SCSC
Calcule el valor de la expresión:101 SC
a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 20
10. Si S y C son lo conocido para un mismoángulo, hallar su medida ensexagesimales.
222333
320
3027RCSRCS
a) 30º b) 45º c) 60ºd) 53º e) 27º
TAREA DOMICILIARIA
1. Expresa cada ángulo en los sistemasseñalados
SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL
310º
85g
5 /18rad130º
40g
/ 32rad81
2. Calcular :
radE
g
9
370
º
a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1
2. Cual de los siguientes ángulos es elmayor:
a) g50 b)4
rad c) 45º
d) 180º/4 e) Todos iguales.
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 38 Marco Antonio Moya Silvestre
3. En un triangulo rectángulo, uno de los
ángulos agudos mide10
3 rad. Hallar el
otro ángulo en el sistema sexagesimal.a) 18º b) 36º c) 54ºd) 72º e) 63º
4. Si se verifica que : "'º64
zyxrad
Calcular el complemento de ( x + y - z)ºa) 15º b) 20º c) 25ºd) 130º e) 85º
5. En un triángulo las medidas de losángulos internos son : x/2 rad , x/6 rad yx/3 rad . Calcular la medida del ánguloque forman las bisectrices de losángulos menores.a) 150º b) 115º c) 135ºd) 120º e) 105º
6. Hallar x si se cumple:
gxx 11057
a) 7 b) 9 c) 3d) 11 e) 5
7. Calcular la medida radial del ángulo queverifique la siguiente relación.
SCCS
7611
a)3
2 b)2
c)3
d)4
e)5
8. Simplificar:C
SC
S
CS
a) 19/9 b) 19/20 c) 20/19d) 1/10 e) 199/90
9. Hallar R si: 825
CRSR
a)2
b)
4
c)5
d)8
e)16
10. Halle la medida radial del ángulo quecumple con la igualdad:
2
16)()(2
2RSCSC
a)209 b)
23 c)
15
7
d)25
6 e)107
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SOLUCIONARIO
NIVEL I1.e 2.a 3.b 4.c 5.a 6.c7.c 8.a 9.b 10.b
NIVEL II1.b 2.c 3.c 4.a 5.b 6.e7.b 8.c 9.e 10.b
NIVEL III1.a 2.b 3.c 4.d 5.a 6.b7.a 8.d 9.e 10.e
TAREA DOMICILIARIA1.c 2.e 3.b 4.e 5.c 6.a7.e 8.e 9.a 10.b