Matematyka oczami fizyka - wmii.uwm.edu.plwmii.uwm.edu.pl/f/images/PTM/SZM-2017/wyklad_6.pdf · Pitagoras i muzyka. Drgajaca˛ struna i współbrzmienia oktawa pomiedzy˛ pierwsza˛a

Matematyka oczami fizyka

Adam Doliwa

Uniwersytet Warminsko-Mazurski w OlsztynieWydział Matematyki i Informatyki

Polskie Towarzystwo Matematyczne

Olsztyn, 12 grudnia 2017 r.

Adam Doliwa (UWM) Matematyka oczami fizyka 12-XII-2017 1 / 22

Plan

1 Mity, magia i poczatki nauki

2 W poszukiwaniu pierwszych zasad i aksjomatów

3 Jezyk matematyczny jako forma zapisu praw przyrody oraz narzedzie badawcze

4 Potega symetrii


Outline




4 Potega symetrii


Poczatki liczenia

Pastuszek liczy owce (tyle samo ma wrócic do zagrody wieczorem ile wyszło rano)zbierajac kamyczki do kieszeni

calculus po łacinie oznacza kamyczek

Sa ludy, które potrafia liczyc tylko w bardzo prymitywny sposób: jeden, dwa, wiele.


Czy zwierzeta potrafia liczyc?

Lwy z Parku Narodowego Serengeti (Tanzania) potrafia ocenic czy ich stado jestliczniejsze od innego. Wilki i hieny potrafia to robic nawet lepiej (w zakresie dokilkunastu sztuk).

Prowadzone badania nad małpami człekokształtnymi pokazuja, ze je takze mozna„nauczyc liczyc” (okreslac liczbe przedmiotów, dodawac) w niewielkich zakresach.


Magia, mity i poczatki nauki

Ludzie wykazuja naturalna tendencje do opisu i poszukiwania zrozumieniaotaczajacego ich swiata. Kultury starozytne posiadaja mity opowiadajace o poczatkachswiata i istot go zamieszkujacych.

Nie było ani bytu, ani niebytu, ani powietrza, ani nieba nad nim...Nie było zycia ani smierci, ani dzien sie odrózniał od nocy, nieistniało nic w chaosie swiata.

[hymn 129, X ksiega Rygwedy, XIV w. p.n.e.]

W mitach mamy uporzadkowanie czasowe zdarzen (było, jest, bedzie); topoczucie nastepstwa czasowego nie jest trywialne.Mity utrwalaja swiadomosc koniecznosci tego, ze w swiecie wszystko ulegazmianom od nas niezaleznym, dziejacym sie poza nami; jest to obiektywizacjazjawisk.Mity zmuszaja do zastanawiania sie nad poczatkiem i pochodzeniem zjawisk.Mity swiadcza o dazeniu do tłumaczenia zjawisk, nawet takich jak powstanieswiata czy bóstw; w zasadzie jest to bezinteresowna chec dowiedzenia sieczegos, nie prowadzaca do natychmiastowych korzysci materialnych.Mity ucza stawiania hipotez, przypuszczen w celu tłumaczenia faktów i zjawisk,których przejawów nie mozemy naocznie zbadac i zrozumiec.


Mezopotamia i Egipt

Matematyka oraz geometria u starozytnych Egipcjan byławykorzystywana głównie do dokonywanie obliczen potrzebnychdo prac budowlanych, przy poborze podatków, mierzenia pól iobjetosci, zamiany miar wagi na inne jednostki. Potrafiliwyznaczyc pole prostych figur (trójkata, prostokata, trapezu) iobjetosci prostych brył (ostrosłupa, walca, równoległoscianu iostrosłupa scietego).

Najstarszym dokumentem matematycznym Egiptu jest Papirus Ahmesa z ok. 1650 r.p.n.e. Z niego m.in. wiemy, ze starozytni Egipcjanie znali ułamki i potrafili wyznaczycliczbe π z dokładnoscia do 1%.Suma pewnej wielkosci i jej dwóch trzecich i jeszcze jej 1/7 wynosi 37. Jaka to liczba?

Na słynnej glinianej tabliczce nazwanej Plimpton 322, pochodzacej z ok. 1800 p.n.e.,czyli ponad tysiac lat przed Pitagorasem, zapisane zostały obliczenia długosci bokówtrójkatów prostokatnych. Babilonczycy potrafili rozwiazac równania kwadratowe,wprowadzili takze system pozycyjny szescdziesiatkowy, który przetrwał do dzisiaj.


Wiedza praktyczna

Astronomia babilonska: wyznaczanie okresów obiegu Ksiezyca i planet (XX wiekp.n.e.), systematyczne obserwacje astronomiczne dotyczace połozen planety Wenus(XVII wiek.p.n.e) gło?nie na potrzeby astrologiczne, zodiak (IV wiek p.n.e), uzywanokalendarza ksiezycowego majacego 354 dni i od ok 2200 r. p.n.e. wiedziano zedodatkowy miesiac trzeba dodawac raz na 8 lat.Astronomia egipska stała na nizszym poziomie, za wyjatkiem kalendarza(przewidywanie wylewów Nilu) w którym rok składał sie z 365 dni. Wiedziano zeoficjalny kalendarz przesuwa sie wzgledem astronomicznego o jeden dzien na czterylata.Proste przyrzady: łuk (około 20 000 lat temu), koło pełne (Mezopotamia przed 3500 r.p.n.e.), koło szprychowe (Mezopotamia, ok. 1600 r. p.n.e.); w Egipcie do transportuuzywano głównie san (piasek) i znano metody zmniejszania tarcia przez lanie cieczy.Dzwignia dwuramienna i zuraw (Egipt przed 5000 r. p.n.e.), wykorzystanie siły wiatru(zagle). Budowano zegary słoneczne

Wiedza była czysto empiryczna.

Wykonano pierwsze kroki w kierunku naukowego porzadkowania danych (tabliceastronomiczne, papirusy medyczne).

Próby naukowego przewidywania, na przykład połozen ciał niebieskich czyskutków zadanych ran.


Outline




4 Potega symetrii


W poszukiwaniu pierwszych zasad i aksjomatów

Tales z Miletu (ok. 624 – ok. 547 p.n.e.)

Kazdy obiekt powinien posiadac precyzyjna definicje, a kazdajego własnosc powinna byc uzasadniona na grunciewyjsciowych załozen (postulatów i aksjomatów) i na drodzelogicznego rozumowania.

Uczonych egipskich i babilonskich interesował wynik, odpowiedzna pytanie ile i jak, Tales jako pierwszy zadał pytanie dlaczego.


Grecka filozofia przyrody

Za poczatek filozofii starozytnej uwaza sie rozwój tzw. szkoły jonskiej w Jonii naobrzezach Azji Mniejszej w VII-VI w. p.n.e. Głównym problemem dla filozofów jonskichbyła struktura swiata i podstawowa zasada nim rzadzaca (Arché).

Tales z Miletu — wodaAnaksymander z Miletu (ok. 610 – ok. 546 p.n.e.), uczen Talesa —- apeiron(bezkres)Anaksymenes z Miletu (ok. 585 – ok. 525 p.n.e.), uczen Anaksymenesa —powietrzeHeraklit z Efezu (ok. 540 – ok. 480 p.n.e.) — ogien (energia ?)

Pitagoras z Samos (ok. 572– ok. 497 p.n.e.)I uczył sie podstaw geometrii u Talesa z Miletu i jego ucznia

AnaksymandraI za namowa Talesa spedził ok. 10 lat w Egipcie uczac sie

matematyki od kapłanówI przebywał ok. 6 lat (jako jeniec wojenny) w BabilonieI pierwszy uzył słowa matematyka na oznaczenie dziedzin

uprawianych w sposób dedukcyjnyI wszystko jest liczba!

W trójkacie prostokatnym o przyprostokatnych długosci a i b oraz przeciwprostokatnejdługosci c

a2 + b2 = c2


Pitagoras i muzyka. Drgajaca struna i współbrzmienia

oktawa pomiedzy pierwsza a druga składowaharmoniczna

kwinta czysta pomiedzy druga a trzeciaskładowa harmoniczna

kwarta czysta pomiedzy trzecia a czwartaskładowa harmoniczna

tercja wielka pomiedzy czwarta a piataskładowa harmoniczna

tercja mała pomiedzy piata a szóstaskładowa harmoniczna


Outline




4 Potega symetrii


Fizyka(z stgr. φυσιζ physis – „natura”) – nauka przyrodnicza zajmujaca sie badaniemwłasciwosci i przemian materii i energii oraz oddziaływan miedzy nimi.

W starozytnosci fizyka była traktowana jako czesc filozofii. Arystoteles dokonałpodziału filozofii na fizyke – dział traktujacy o zjawiskach przyrodniczych i metafizyke(ontologie oraz epistemologie, czyli nauki dotyczace samej istoty bytu i mozliwosci jegopoznania) oraz etyke i logike. Fizyka az do XVI w. była uprawiana, podobnie jakpozostałe działy filozofii, głównie poprzez rozwazania teoretyczne.

Terminem „fizyk” (z łaciny physicus) okreslano w Polsce i w Niemczech odsredniowiecza do drugiej połowy XIX wieku lekarza miejskiego lub powiatowego(pol. fizyk miejski, niem. Stadtphysicus).

Physician (ang.) – lekarz (internista)Physicist (ang.) – naukowiec studiujacy i badajacy fizyke

Fizyka stała sie oddzielna nauka kiedy nowozytni europejczycy zaczeli uzywaceksperymentalnych i ilosciowych metod do odkrywania tego, co obecnie jest nazywaneprawami fizyki. Fizyka zajmuje szczególne miejsce w naukach przyrodniczych i jejgranice nie sa zdefiniowane w sposób sztywny. Nowe idee fizyczne czesto wyjasniajapodstawowe mechanizmy innych nauk, np. fizyka kwantowa wyjasniła reguły chemii.


Znani o fizyce i matematyce

Fizycy uzywaja matematyki zeby opisac wyniki eksperymentów i sformułowac nowehipotezy, których przewidywania moga byc potwierdzone lub obaloneeksperymentalnie. Matematyka jest nie tylko jezykiem ale tez narzedziem badawczym.

Liczby rzadza swiatem[Pitagoras]

Niech nie wchodzi nikt nieobeznany z geometria[Platon, nad wejsciem do Akademii]

Matematyka jest alfabetem, za pomoca którego Bóg opisał wszechswiat[Galileusz]

Bóg stworzył wszystko według miary, liczby, i wagi.[Isaak Newton, za Ksiega Madrosci 11:20]

Tyle jest w kazdym poznaniu nauki, ile jest w nim matematyki[Immanuel Kant]

We wszechswiecie najbardziej niezrozumiałe jest to, ze mozna go zrozumiec[Albert Einstein]

Cud stosowalnosci jezyka matematyki do formułowania praw fizyki jestwspaniałym darem, którego ani nie rozumiemy, ani na który nie zasługujemy.[Eugene Paul Wigner]


Outline




4 Potega symetrii


Symetrie trójkata równobocznego

A B

C

OOORR

I

I

R

R

O

O

O

1 2 A B C

1

2

A

B

C

I R1

R2

OA OB OC

R1

R2

A

OB

OC

I

I

R2 I

R1

C OBO OA

R1C

IOO

I

OB R 2

? ? ?

????

? ?? ?

najpierw

S

Rk – obrót o kπ3 wokół srodka trójkata S, k = 1, 2

OX – odbicie w prostej SX , X = A,B,C

I – identycznosc


Pokrycia płaszczyzny jednakowymi wielokatami foremnymi

trójkatny kwadratowy szesciokatny (plaster miodu)

TwierdzenieInnych foremnych parkietazy płaszczyzny nie ma

[Pitagoras z Samos]


Wielosciany foremne (bryły platonskie)

czworoscian (T) szescian (H) osmioscian (O)(ogien) (ziemia) (powietrze)

dwunastoscian (D) dwudziestoscian (I)(woda) (kwintesencja, idea wszechswiata)

TwierdzenieIstnieje tylko piec (wypukłych) wieloscianów foremnych

[Teajtet (Theaetetos) z Aten (ok. 417 - ok. 369 p.n.e)]


Miłe konsekwencje symetrii równan ruchu

Twierdzenie Noether wiaze symetrie (niezmienniczosci) praw fizyki z zasadamizachowania odpowiednich wielkosci fizycznych

Amalie Emmy Noether (1882 – 1935) – niemieckamatematyczka i fizyczka, znana głównie dziekirozwinieciu nowej gałezi matematyki – algebryabstrakcyjnej. Bywa opisywana jako „najwazniejszakobieta w historii matematyki”.

przesuniecia w przestrzeni – zachowanie pedu

przesuniecia w czasie – zachowanie energii

obroty – moment pedu

Uwaga: W fizyce kwantowej symetrie odgrywaja jeszczewieksza role. W szczególnosci definiuja czym sa czastkielementarne i wyjasniaja ich klasyfikacje.


Prawa elektrycznosci i magnetyzmu

James Clerk Maxwell (1831 – 1879) – szkocki fizyk imatematyk.

∇× ~E = −1c∂~B∂t

∇× ~B =1c∂~E∂t

+1c~J

∇ · ~E = ρ

∇ · ~B = 0

Równania Maxwella maja inna maja inna symetrie niz równania Newtona opisujacezjawiska mechaniczne. Albert Einstein w słynnej pracy „O elektrodynamice ciał wruchu” z 1905 r. usunał ten dyskomfort konstruujac teorie zjawisk mechanicznychmajaca symetrie równan Maxwella, która redukowała sie do teorii Newtona w granicymałych (w porównaniu z predkoscia swiatła c) predkosci ciał. Jedna z matematycznychkonsekwencji tej teorii (znanej jako szczególna teoria wzglednosci) jest słynny wzór

E = mc2

.


Isaac Newton (1642 – 1727 ) Albert Einstein (1879 – 1955)

Kiedy spytano znanego fizyka Victora Weisskopfa (lider grupy teoretycznej ProjektuManhattan, dyrektor Europejskiej Organizacji Badan Jadrowych CERN)

„Jak duzo matematyki powinien znac fizyk teoretyczny?”

jego odpowiedzia było

„Wiecej!”


Documents

Matematyka oczami fizyka - wmii.uwm.edu.plwmii.uwm.edu.pl/f/images/PTM/SZM-2017/wyklad_6.pdf · Pitagoras i muzyka. Drgajaca˛ struna i współbrzmienia oktawa pomiedzy˛ pierwsza˛a