Dr. sc. Ahmet Shala

Ligjërata

PRISHTINË, 2008

1

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

1Dr. sc. Ahmet SHALAMEKANIKA TEKNIKE

Literatura për LIGJERATA:

Dr. sc. Thanas Gace, Dr. sc. Fehmi Krasniqi : Kinematika - Ligjërata të autorizuara.

Dr. sc. Fetah Jagxhiu : Kinematika - Ligjërata.

Dr. sc. Ahmet Geca: Dinamika

Literatura për USHTRIME:

Dr. sc. Ahmet Shala: KINEMATIKA – Probleme të zgjidhura dhe aplikimi i softuerit MathCAD,

Dr. sc. Fehmi Krasniqi: Kinematika - Përmbledhje detyrash të zgjidhura.

Dr. sc. Fehmi Krasniqi: Permbledhje e detyrave nga Mekanike Teknike

Dr. sc. Fehmi Krasniqi - Dr. sc. Ahmet Shala : Kinematika - Përmbledhje detyrash (seminarike).

Dr. sc. Ahmet Shala: Përmbledhje detyrash të zgjidhura nga DINAMIKA dhe aplikimi i softuerit MATLAB,

Dr. sc. Fehmi Krasniqi: Përmbledhje e detyrave të zgjidhura në Dinamikë I (Dinamika e pikës)

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

2

Përmbajtja:

II. LËVIZJA DREJTVIZORE E PIKËS

III. LËVIZJA VIJËPËRKULUR E PIKËS

IV. KINEMATIKA E TRUPIT TË NGURTË

V. LËVIZJA E PËRBËRË E PIKËS

I. NJOHURI TË PËRGJITHSHME TË KINMATIKËS

VI. LËVIZJA E PËRBËRË E TRUPIT

VII. NJOHURI TË PËRGJITHSHME TË DINAMIKËS

VIII. DINAMIKA E PIKËS SË LIRË - EKUACIONET THEMELORE TË LËVIZJES SË PIKËS

X. LIGJET E PËRGJITHSHME TË DINAMIKËS SË PIKËS

IX. DINAMIKA E PIKËS JO TË LIRË

XI. LËVIZJA RELATIVE E PIKËS MATERIALE

XII. LËKUNDJET DREJTVIZORE TË PIKËS

2

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

3I. NJOHURI TË PËRGJITHSHME

Kinematika është pjesë e MEKANIKES që merret me studimin e vetivegjeometrike të lëvizjes së trupit, duke mos e marrë parasysh masën e tij dhe forcatqë veprojnë në trup.

Me lëvizje në kinematikë kuptojmë ndryshimin e pozitës së trupit në hapësirëkundrejt një trupi tjetër referent (që konsiderohet i palëvizshëm – Mekanika eNjutonit) në vijim të kohës.

Koha gjatë të cilës realizohet lëvizja në kinematikë quhet interval kohor.

Çasti i kohës paraqet numrin e sekondave që e ndajnë çastin e dhënë nga çastifillestar.

Koha është madhësi skalare që ndryshon vazhdimisht prandaj e luan rolin evariablës (ndryshores) apo argumentit

Bashkësia e pikave të pozitave të njëpasnjëshme që e formon pika materialegjatë lëvizjes për çdo çast të kohës quhet trajektore.

Nëse trajektorja është drejtvizore (vijë e drejtë), lëvizja quhet lëvizje drejtvizore(vijëdrejtë), ndërsa, nëse ajo është vijë e përkulur quhet lëvizje vijëpërkulur.

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

4

II.1. Ligji (ekuacioni) i lëvizjes drejtvizore të pikës

O 1MM x

xOM

txx

OM

11 MMOMOM

Ekuacioni i lëvizjes drejtvizore të pikës

Për këtë çast të kohës pozita e pikës është e përcaktuar me distancën:

x

II. LËVIZJA DREJTVIZORE E PIKËS

Rruga e saj në intervalin prej t0 deri t1 është

3

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

5II.2. Shpejtësia e pikës gjatë lëvizjes drejtvizore

O

1MM

x x1x

v x

ttt 1xxx 1

t

x

tt

xxvm

1

1

0lim

t

vt

xv

tm

0lim x

dt

dxv

Kështu, vlera numerike e shpejtësisë në çastin e dhënë të kohës, te lëvizja drejtvizore, është e barabartë me derivatin e koordinatës sipas kohës.

s

m

dt

dxvNjësia matëse për shpejtësinë është:

0M0v

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

6II.3. Nxitimi i pikës gjatë lëvizjes drejtvizore

O 1MM x1x

v x1v

ttt 1vvv 1

Ndryshimi i shpejtësisë sipas kohës quhet nxitim apo shpejtim i pikës.

t

v

tt

vvam

1

1

0lim

t

at

va

tm

0lim ;

dt

dva 2

2

dt

xd

dt

dva

Vlera numerike e nxitimit të pikës, në çdo çast të kohës, është e barabartë me derivatin e parë të shpejtësisë, përkatësisht me derivatin e dytë të koordinatës sipas kohës.

t1t

4

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

7

Nëse gjatë lëvizjes së pikës intensiteti i shpejtësisë rritet, pra, kur vektorët e shpejtësisë dhe të nxitimit kanë kah të njëjtë, lëvizja quhet e nxituar.

x

xM

v

a

Nëse gjatë lëvizjes së pikës intensiteti i shpejtësisë zvogëlohet, pra, kur vektorët e shpejtësisë dhe të nxitimit kanë kah të kundërt, lëvizja do të jetë ngadalësuar.

2s

m

ssm

t

vaNjësia është:

Vektori i nxitimit ka kah të anës pozitive të aksit nëse vlera numerike e tij është dhe anasjelltas.

a

xO0a

O

x

xM

v

a

O

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

8II.4. Rastet karakteristike të lëvizjes drejtvizore të pikës

Në vijim të kohës përgjatë trajektores, në rastin e veçantë përgjatë drejtëzës, pika mund të lëvizë sipas ligjeve të ndryshme:

a) Lëvizja e njëtrajtshme. Lëvizja e pikës quhet e njëtrajtshme nëse shpejtësia e saj gjatë tërë kohës mbetet konstante constv

vdt

dx dt

vdtdx

vdtdx

Cvtx

00 t0xPër çastin koordinata e pikës është

0xC

vtxx 0

0xxs vts t

sv

0x

O O

v

t

x

t

constv

)a )b

5

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

9b) Lëvizja njëtrajtësisht e ndryshuar.

dt

dva

dt

dtadv

tv

vdtadv

o 0

tavv o

dt

dxv

tavdt

dxo

dttadtvdx o

2

2tatvxx oo

dt

O

v

t

)b

0v

O

a

t

consta

)a

t

0x

O

xc)

oo

o vxx

xxt

00

tt

o

x

xdttadtvdx

o 00

Kjo lëvizje karakterizohet me nxitim konstant (a = const).

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

10c) Lëvizja harmonike.

Nëse gjatë lëvizjes drejtvizore pika bënë edhe lëkundje (oscilime) me amplitudë A dhe frekuencë ω të lëkundjeve, atëherë lëvizja e tillë quhet lëvizje harmonike.

tAv sin tAa cos2tAx cos

O

x

t

)a

T

A

O

v

t

)b

A ω

O

a

t

)c

-Aω2

Aω2

6

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

11

III.1. Mënyra vektoriale e definimit të lëvizjes së pikës

III.1.1. Ekuacioni vektorial i lëvizjes

trr

Ekuacioni i lëvizjes vijëpërkulur në mënyrë vektoriale

III. LËVIZJA VIJËPËRKULUR E PIKËS

x

y

z

O

r

M

1r 1M

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

12III.1.2. Vektori i shpejtësisë së pikës

x

y

z

O

v

mv

rrr

1

t

r

tt

rrvm

1

1

dt

rd

t

rvv

tm

t

00

limlim

M1M

r

1r r

7

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

13

rdt

rdv

x

y

z

O

1r

2r

ir

nr

nv

1v

2v

iv

nv

1N1v

2N2v

iNiv

nN

Vektori i shpejtësisë së pikës në çdo çast të kohës përcaktohet me derivatin e rreze vektorit të pikës sipas kohës.

Definicion:

Vendi gjeometrik i pikave të fundeve të vektorëve të shpejtësisë paraqet hodografin e shpejtësisë.

Definicion:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

14III.1.3. Vektori i nxitimit (shpejtimit) të pikës

x

y

z

O

ma

a

1v

v

v

1v

1M

M

t

v

tt

vvam

1

1

dt

vd

t

vaa

tm

t

00

limlim

2

2

dt

rd

dt

vda

Vektori i nxitimit të pikës në çdo çast të kohës është i barabartë me derivatin e vektorit të shpejtësisë përkatësisht derivatin e dytë të rreze vektorit sipas kohë.

Definicion:

8

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

15

kzjyixr

zryrxr zyx ,,

)(),(),( tzztyytxx

0,, zyxF

Ekuacioni i trajektores së pikës:

III.2. MËNYRA ANALITIKE E DEFINIMIT TË LËVIZJES SË PIKËS

III.2.1 Ekuacionet e lëvizjes së pikës

Ekuacionet e lëvizjes së pikës në koordinata kënddrejta të Dekart-it

Ku projeksionet e rreze vektorit:

y

x

z

i

j

k

M

r

x

z

y

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

16III.2.2. Shpejtësia e pikës

dt

rdv

ktzjtyitxkdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

)()()(

zdt

dzvy

dt

dyvx

dt

dxv zyx ,,

222222 zyxvvvv zyx

kzjyixr ktzjtyitx

)()()(

Projeksionet e vektorit të shpejtësisë së pikës në sistemin koordinativ kënddrejtë të Dekart-it janë të barabarta me derivatet e koordinatave përkatëse sipas kohës .

Definicion:

v

v

v

v

v

v zyx cos,cos,cos

v

vx

vy

vz

x

y

z

M

M’

α β

γ

9

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

17III.2.3. Nxitimi i pikës

,dt

vda

k

dt

dzj

dt

dyi

dt

dxkvjvivv zyx

kdt

dvj

dt

dvi

dt

dvkvjviv

dt

da zyx

zyx

kzjyixkdt

zdj

dt

ydi

dt

xda

2

2

2

2

2

2

,2

2

ydt

yd

dt

dva y

y ,2

2

xdt

xd

dt

dva x

x zdt

zd

dt

dva z

z 2

2

Definicion

Projeksionet e vektorit të nxitimit të pikës në sistemin koordinativ kënddrejtë të Dekart-it janë të barabarta me derivatet e para të projeksioneve të vektorit të shpejtësisë, përkatësisht me derivatet e dyta të koordinatave përkatëse të pikës sipas kohës .

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

18Intensiteti – Moduli i nxitimit është:

222222zyxaaaa zyx &&&&&& ++=++=

a

aa

aa

a

za

ya

xa

cos

,cos

,cos

a

ax

ay

az

x

y

z

M

M’

αaβa

γa

Drejtimi i vektorit të nxitimit me akset përkatëse caktohet nëpërmjet kosinuseve të këndeve αa , βa dhe γa që ai mbyll me akset përkatëse :

a

10

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

19III.3. MËNYRA NATYRALE E DEFINIMIT TË LËVIZJES SË PIKËS

III.3.1. Ligji i lëvizjes së pikës

t

dtzyxs0

222

dtzyxds 222

dtzdtvdz

dtydtvdy

dtxdtvdx

z

y

x

222 dzdydxds

2222 dzdydxds

tss

Ligji i lëvizjes së pikës përgjatëtrajektores së saj:

),(txx ),(tyy )(tzzy

x

z

i

j

k

M

r

s

x

z

y

o

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

20III.3.2. Përcaktimi i shpejtësisë së pikës

ttt 1sss 1

t

s

tt

ssvm

1

1

t

svv

tm

t

00

limlim

sdt

dsv

Pra, vlera numerike e shpejtësisë së pikës në çdo çast të kohës është e barabartë me derivatin e parë të koordinatës vijëpërkulur të pikës, sipas kohës.

Definicion

v

s1s

s

1T

T

M

1M

N

1v

11

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

21III.3.3. Përcaktimi i nxitimit të pikës

Tdt

dsvv T

Tvv

dt

TdvT

dt

dvTv

dt

d

dt

vda

dt

TdT

N

dt

Td

dt

Td

2

2

dt

sd

dt

dvaT

Nga matematika dihet se:

atëherë:

T

N

dhe vektor njësi

v

ss

1T

T

M

1M

N

1v

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

22

dt

d

tt

T

dt

Tdt

002

0lim

2

1

2

2sin

lim2lim

2

2sin

22

2sin

22

sin2T

t

T

t

T

dt

Tdtt

00limlim

11 TT

Nga ΔMM’M” kemi:

T

s

1T

T

M

1M

1T

'M

''M

Ky limit është i barabartë me “1”dt

d

dt

Td

12

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

23

ls Rsds

d 1lim

0

ds

dv

dt

ds

ds

d

dt

d

dt

Td

sMM 1

lRslRs

1

Rl – rrezja e lakesës, harkut Δs

lRv

ds

dv

dt

Td 1

s

1T

T

M

1M

1T

lR

1N

N

lRP

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

24N

R

vT

dt

dva

l

2

2

2

dt

sd

dt

dvaT

lN R

va

2

22222

lNT R

v

dt

dvaaa

T

N

a

atg

N

M

a

Na

Ta T

Nxitimi tangjencial për kah intensiteti është i barabartë me derivatin e shpejtësisë, përkatësisht derivatin e dytë të koordinatës vijëpërkulur sipas kohës kurse, nxitimi normal është i barabartë me herësin në mes katrorit të shpejtësisë dhe rrezes së lakesës së trajektores në pikë të dhënë.

Definicion

13

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

25III.4. MËNYRA E DEFINIMIT TË LËVIZJES NË RRAFSH PËRMES KOORDINATAVE POLARE

III.4.1. Ekuacionet e lëvizjes në koordinata polare

x

ytg ,22 yxr

)(t

)(trr

M

r

y

xox

y

Lidhja ndërmjet koordinatave polare dhe atyre kënddrejtë të Dekart-it:

cos rx

sin ry

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

26

III.4.2. Shpejtësia e pikës në koordinata polare

OMr

0rr

000 rrrrrrdt

d

dt

rdv

sincos0 jir

cossin0 jic

cossin)( 00 jir

dt

dr

sincos)( 00 jic

dt

dc

cv

v

rv

M

r

y

xox0c

0r

y

j

i

0c 0r

r

y

x

c

o

)cossin( ji

0c

)sincos( ji

0r

14

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

2700 crrrv

0rrvr

0crvc

rvr

rvc

2222 )( rrvvv cr

r

r

v

vtg

r

c

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

28III. 4.3. Nxitimi i pikës në koordinata polare

00 crrrdt

d

dt

vda

02

0000 rrcrcrcrrra

00 cr

00 rc

Zëvendësojmë

00000 crcrcrrrrra

02 )( rrra r

0)2( crrac

2 rrar rra c 2

dhe

002 )2()( crrrrra

15

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

29

22222 2 rrrraaa cr

2

2

rr

rr

a

atg

r

ca

ra

a ca

M

r

y

xox

0c

a

0r

y

j

i

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

30IV. KINEMATIKA E TRUPIT TË NGURTË

IV.1. Mënyra e dhënies së lëvizjes së trupit

Në kinematikën e trupit të ngurtë ndeshemi me dy probleme:

1) Shqyrtimi i lëvizjes së trupave në tërësi - përcaktimi i karakteristikave aaakinematike të trupit dhe,

Parametrat gjeometrik, të pavarur, të cilët e përcaktojnë pozitën e trupit, quhen shkallë të lirisë.

Trupi i ngurtë, i lirë, i ka gjashtë shkallë lirie.

Definicion

),(txx AA

Axx

y

z

O

A

),(t

Ay

),(tyy AA

Az

)(tzz AA

),(t

)(t

2) Shqyrtimi i lëvizjes së secilës pikë të trupit në veçanti - përcaktimi aai karakteristikave kinematike të pikës.

16

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

31Trupi i cili ka një pikë të palëvizshme, ka tri shkallë lirie dhe atë tri rrotullime.

)(t

Trupi i cili i ka dy pika të pa lëvizshme, ka një shkallë lirie dhe atë njërin prej rrotullimeve, p.sh.

Trupi i cili i ka tri pika të palëvizshme nuk ka asnjë shkallë lirie.

Pra trupi dhe të gjitha pikat përbërëse të tij janë të palëvizshme

)(),(),( ttt M

ekan

ika

Tek

nike

II

32IV.2. Lëvizja translatore e trupit të ngurtë

Me lëvizje translatore të trupit ngurtë nënkuptojmë lëvizjen e tillë të trupit gjatë së cilës çdo drejtëz e marrë në këtë trup zhvendoset së bashku me të, në mënyrë që ajo gjatë tërë kohës mbetet paralele me veten.

x

y

z

O

1B

1A

B

A

Ar

Br

ABrr AB

dt

d/

dt

ABd

dt

rd

dt

rd AB )(

AB vv

dt

d/

dt

vd

dt

vd AB

AB aa

0

Definicion

17

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

33IV.3. Lëvizja rrotulluese e trupit rreth aksit

IV.3.1. Ekuacioni i lëvizjes

0M M

zB

A

0P P

Nëse lëvizja e trupit është e atillë që dy pika të çfarëdoshme të tij gjatë tërë kohës mbesin të palëvizshme, atëherë kjo lëvizje quhet lëvizje rrotulluese e trupit rreth aksit.

)(t

Këndi

ekuacioni i lëvizjes rrotulluese

quhet këndi i rrotullimit

Definicion

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

34IV.3.2. Shpejtësia këndore e trupit

ttt 1 1

tttm

1

1

mt

0

lim

tt

0

lim dt

d

Shpejtësia këndore e trupit që rrotullohet, është e barabartë me derivatin e këndit të rrotullimit, sipas kohës.

1 srads

radNjësia është:

Për dhe

Shpejtësia këndore mesatare:

Definicion

Shpejtësia këndore:

Pra:

18

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

35IV.3.3. Nxitimi këndor i trupit

ttt 1 1

tttm

1

1

mt

0

lim

tt

0

lim dt

d

Madhësia që shpreh ndryshimin e shpejtësisë këndore të trupit në vijim të kohës quhet nxitim këndor i trupit.

Nxitimi këndor i trupit në çdo çast të kohës është i barabartë me derivatin e shpejtësisë këndore, përkatësisht derivatin e dytë të këndit të rrotullimit, sipas kohës.

22

srads

radNjësia është:

Për dhe

Nxitimi këndor mesatar:

Definicion

Nxitimi këndore:

Pra:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

36IV.3.4. Rastet karakteristike të lëvizjes rrotulluese të trupit

IV.3.4.1. Rrotullimi i njëtrajtshëm (ω=const.)

dt

ddt

dtd

tdtd

00

0t 0Për çastin këndi i rrotullimit është

tLigji i lëvizjes së njëtrajtshme rrotulluese

Në praktikë, shpejtësia këndore shprehet përmes numrit të rrotullimeve

n në minutë.

3060

2 nn

t

19

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

37IV.3.4.2. Rrotullimi njëtrajtësisht i ndryshuar (ε = const.)

dt

d

dt

dtd

tdtd

00

t 0

dt

d

tdt

d

0 dt

dttdtd 0

0

00

00

t

Lëvizja rrotulluese quhet njëtrajtësisht e ndryshuar, po që se nxitimi këndorë i trupit gjatë tërë kohës mbetet konstant (ε = const.)

20 2

1tt

Ekuacioni i rrotullimit njëtrajtësisht të ndryshuar

tt

dttdtd00

00

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

38IV.3.5. Shpejtësitë e pikave të trupit që rrotullohet

ds

drC v

z

dt

dr

dt

dsv

rv

dt

d

Shpejtësia periferike e pikës M të trupit, i cili rrotullohet rreth aksit të palëvizshëm, është e barabartë me produktin e shpejtësisë këndore dhe të distancës së pikës deri te aksi i rrotullimit

M0M

Definicion

20

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

39IV.3.6. Nxitimet e pikave gjatë rrotullimit të trupit

T

r

C

MTa

Na

a

dt

dvaT

LN R

va

2

rv rR L

dt

draT

r

raN

22

raT2 raN

Nxitimi tangjencial i trupit që rrotullohet, është i barabartë më prodhimin e distancës së pikës nga aksi dhe të nxitimit këndor të trupit, ndërsa nxitimi normal është i barabartë me prodhimin e distancës së cekur dhe katrorit të shpejtësisë këndore.

Intensiteti total i nxitimit është:4222 raaa NT

2

N

T

a

atgDrejtimi caktohet nga:

N

Definicion

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

40IV.4. Lëvizja plane e trupit të ngurtë

IV.4.1. Ekuacionet e lëvizjes plane

Me lëvizje plane nënkuptojmë lëvizjen e trupit, me ç’rast çdo pikë e atij trupimbetet në të njëjtin plan gjatë gjithë kohës së lëvizjes.

M

M

0M

0P

P

,,, tzztyytxx AAAAAA

1B

1A

B

A

B

s M

AAy

Ax

y

x

s

O

21

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

41

x

y

O

IV.4.2. Shpejtësitë e pikave të trupit

A

Ar

M

Mr

Av

AMrr AM dt

d

dt

AMd

dt

rd

dt

rd AM

MAv AM

AMAM vvv

Mv

M

A

Av

AMv

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

42

BA

IV.4.3. Teorema për projeksionet e shpejtësive të dy pikave të trupit

Projeksionet e shpejtësisë së dy pikave të çfarëdoshme të trupit, të cilat shtrihen nëseksionin (s) në drejtëz, e cila kalon nëpër ato dy pika, janë të barabartareciprokisht.

Av

ABv

coscos AB vv

ABAB vvv

Bv

Av

22

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

43

s

IV.4.4. Përcaktimi i shpejtësive të pikave të trupit përmes polit të çastit të shpejtësive

Me pol të çastit të shpejtësive nënkuptojmë pikën në planin e seksionit të trupit, e cila në çastin e dhënë të kohës ka shpejtësi të barabartë me zero.

vP

vvv

PA

PAPA vvvv

vA APv BPv vB

v

M

v

A

v

BMP

v

AP

v

BP

v

vM MPv

AAv

BBv

MvM

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

44

Poli i çastit për disa raste të veçanta të lëvizjes plane:

AAv

BBv

AAv

Bv

B

BBv

A Av

vP

vP

BA vv

vP BA vv

//

vP

23

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

45

s

IV.4.5. Përcaktimi i nxitimeve të pikave të trupit

AMrr AM

2

2

2

2

2

2

dt

AMd

dt

rd

dt

rd AM

AMAM aaa

,2

2

MM a

dt

rd

,2

2

AA a

dt

rd

AMa

dt

AMd

2

2

Ma

Aa

AMa

42 AMa AM

2 tg

M

Aa

A

TMA

NMA

AM aaa

AMa

NMAa

TMAa

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

46IV.5. Rrotullimi i trupit të ngurtë përreth një pike

IV.5.1. Ekuacionet e lëvizjes

Me lëvizje rrotulluese të trupit përreth një pike të palëvizshme nënkuptojmë atëlëvizje me ç’rast gjatë gjithë kohës mbetet një pikë e palëvizshme.

y

z

x

O

)()(),( tdhett Ekuacionet e lëvizjes janë:

Trupi A

24

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

47IV.5.2. Shpejtësia e çastit këndore dhe nxitimi i çastit këndor i trupit

Teorema e Euler-d‘Alamberit:

Çdo zhvendosje e trupit të ngurtë përreth pikës së palëvizshme mund të bëhetvetëm me një rrotullim të trupit të ngurtë përreth një aksi të caktuar që kalon nëpërpikë të palëvizshme.

O

m

M M

PmPttt 1

tm

ttm

t

00

limlim

dt

d

II I

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

48IV.5.3. Shpejtësitë dhe nxitimet e pikave të trupit

x

y

z

O

v

hM

r

p hv hrr sin

rrv

,

rrdt

vda

,,

vr

vra

,,

25

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

49V. LËVIZJA E PËRBËRË E PIKËS

V.1. Kuptimi i lëvizjes relative, zhvendosëse dhe asaj absolute

x

yO

M

A

Ar

r

z

M

M

1M

t

tt

t

trr

tzz

tyy

txx

Lëvizja relative:

Lëvizja absolute:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

50V.2. Shpejtësia e pikës gjatë lëvizjes së përbërë

Arrdt

d

dt

d

dt

rd

dt

rd A

Arr

r

r

Arr

cos222rereMa vvvvv

M

rv

aMv

ev

Ae rv

rea vvv

rrv

26

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

51

xy

z

V.3. Nxitimi i pikës gjatë lëvizjes së përbërë

r

Arr

r

rr v

r

dt

d

rr

rr vvv

rrr

Arr

rA

r rr 2

cera aaaa

rr

c va 22

rrc vva

,sin2

ca

Formula e Burit për derivatin absolut

Derivati relativ

rv

sin2 rc va

Rregulla e Zhukovskit:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

I. NJOHURI TË PËRGJITHSHME

Dinamika është pjesë e Mekanikës e cila studion ligjet e lëvizjes së trupavematerialë nën veprimin e forcave, përkatësisht Dinamika studion lëvizjen, shkaqetqë e shkaktojnë këtë lëvizje si dhe pasojat që rrjedhin nga kjo lëvizje. Pra ndryshenga Kinematika, Dinamika merr në parasysh përveç forcave që veprojnë në trupedhe masat e tyre.

Forca e inercisë është proporcionale me nxitimin (a), ka drejtimin e tij por kahje tëkundërt me të. Koeficienti i proporcionalitetit paraqet masën (m) të tij, pra:

Forcat që janë trajtuar në Statikë, kanë qenë konstante si vektor, këtu në Dinamikë,përveç forcave konstante shqyrtohen edhe forcat që mund të jenë:

- Forca funksion i kohës, F=F(t), ku t – koha,

- Forca funksion i distancës, F=F(r), ku r – distanca dhe

- Forca funksion i shpejtësisë, F=F(v), ku v – shpejtësia.

Forca mund të jetë edhe funksion i përbërë i këtyre tri ndryshoreve (t, r, v).

amF in

DINAMIKA 52

27

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

53

Pika materiale, me të cilën nënkuptojmë trupin që ka masën e vet, mirëpodimensionet e tij, në krahasim me rrugën që kalon, janë aq të vogla sa mund tëneglizhohen (mos përfillen).

Masa e trupit, paraqet sasinë e plogështisë, inercisë, materies që gjendet nëvëllimin e tij. Masa në pjesën e Dinamikës që e mësojmë këtu ështëkonstante, pra: m = const.

Të gjithë trupat në Dinamikë i ndajmë në tri modele mekanike:

Sistemi mekanik – material, me të cilën nënkuptojmë bashkësinë e dy e mëshumë pikave materiale (trupave) të lidhura mes veti, ku ekuilibri apo lëvizja enjërës pikë varet nga ekuilibri apo lëvizja e pikës tjetër.

Trupi i ngurtë, me të cilin nënkuptojmë sistemin material, në të cilin distancandërmjet dy pikave të çfarëdoshme, nën veprimin e forcave, mbetet epandryshuar.

Dinamika për kah modeli ndahet në dy pjesë:

1. Dinamika e pikës materiale dhe2. Dinamika e sistemit material.

Në lëndën Mekanika Teknike III, do të shqyrtohet pjesa e parë, pra Dinamika epikës materiale, ne detale ndersja pjeserisht edhe Dinamika e sistemit

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

54I.1. Ligjet themelore të Dinamikës

Ligji i parë – ligji i inercisë është dhënë nga Galile Galileu dhe tregon se:

Pika materiale izoluar e ruan gjendjen e qetësisë apo të lëvizjes drejtvizore tënjëtrajtshme(v=const), për derisa forca që vepron në të nuk e ndryshon këtë gjendje.Rezistencën e trupit që ta ndryshojë gjendjen e lëvizjes e quajmë inertitet të trupit.

0dt

vdmamF

Në Dinamikë kemi shumë ligje dhe parime por këtu do t’i japim katër ligjethemelore të cilat i ka dhënë Isak Njutoni, shkencëtar anglez, në veprën e tij“Parimet matematikore të filozofisë së natyrës”.

Ligji i dytë –e ka dhënë Njutoni dhe është ligj themelor i Dinamikës dhe tregon se:Prodhimi ndërmjet masës së pikës materiale m dhe nxitimit të saj a është ibarabartë me forcën F , pra:

amF

amF

Nëse trupi ose pika materiale ndodhet i vendosur lirshëm mbi sipërfaqe të tokësatëherë në atë trup vepron vetëm forca e gravitetit tokësore dhe ajo është vetëpesha e tij, pra:

Nëse lëvizja është drejtvizore atëherë:

gmG Pesha: .constg

Gm Masa:

28

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

55Ligji i tretë: Veprimi (aksioni) gjithnjë është i barabartë me kundërveprimin (reaksionin) ose dy pika materiale veprojnë në njëra tjetrën me forca të njëjta por me kahje të kundërta.

AF

A B

BF

,BA FF

BA FF

Ky ligj tregon se në natyrë nuk ka veprim të njëanshëm.

Ligji i katërt: Ndryshe quhet ligji i pavarësisë së veprimit të forcave dhetregon se:Nxitimi që fiton pika materiale nën veprimin e sistemit të forcave(Fi, i =1,2, …, n) që priten në një pikë, është i barabartë me shumëngjeometrike (vektoriale) të nxitimeve që fiton kjo pikë, po të vepron forcat esistemit një nga një (veç e veç).

Sipas Ligjit të dytë kemi:

R

n

iiniR

niR

FFFFFFam

amamamamam

1

21

21

......

......

1F

1a

2F

2a

iF

ia

nFna

RFRa

)(mM

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

56

n

iin FFFF

dt

rdmam

1212

2

...

Pozicioni i pikës M:

kzjyixtrr )(

Sipas Ligjit të dytë kemi:

Nxitimi i pikës M:

kzjyixkajaiataa zyx

)(

y

x

z

i

j

k

O

iF

nF

1F

2F

)(tsM

r

x

z

y

II. DINAMIKA E PIKËS SË LIRËEKUACIONET THEMELORE TË LËVIZJES SË PIKËS

29

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

57

R

n

iix XXxm

dt

xdmam

12

2

,1

2

2

n

iTiT F

dt

sdm

dt

dvmam

n

iNi

lN F

R

vmam

1

2

Me projektim në sistemin koordinativ kënddrejtë të Dekartit (x, y, z),fitohen ekuacionet diferenciale të lëvizjes së pikës materiale

Kur lëvizja jepet me koordinatën natyrale s(t), atëherë projektohet në drejtim të normales dhe tangjentes dhe fitohen ekuacionet diferenciale të lëvizjes së pikës materiale:

R

n

iiy YYym

dt

ydmam

12

2

R

n

iiz ZZzm

dt

zdmam

12

2

dt

dsv ku: dhe Rl- Rrezja e lakesës

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

58II.1. Problemi i parë (direkt) i Dinamikës

zmZ

)(trr

),(txx ),(tyy )(tzz

rmamF

xmX ymY

Trajektorja është dhënë me rreze-vektorin:

Ose koordinatat në funksion të kohës:

Sipas Ligjit të dytë, forca që e shkakton këtë lëvizje do të jetë:

- si vektor

Projeksionet në drejtim të akseve x, y dhe z dhe intensiteti i forcës:

Nxitimi i pikës M:

kzjyixtaa

)(

222222 zyxmZYXF

30

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

59

000

0000 ,,

,,0

zzyyxx

zzyyxxt

II.2. Problemi i dytë (invers) i Dinamikës

Në këtë rast janë dhënë masa m, kushtet fillestare:

si dhe forca që e shkakton lëvizjen:

kZjYiXF

Fam

Sipas Ligjit të dytë, duhet të caktohen ekuacionet e lëvizjes, pra:

- si vektor

Nxitimi i pikës M:

kzjyixtaa

)(

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

60

),,(

),,(

),,(

65

43

21

CCtzz

CCtyy

CCtxx

),,,,,,(

),,,,,,(

),,,,,,(

000000

000000

000000

zyxzyxtzz

zyxzyxtyy

zyxzyxtxx

Zdt

zdmzmam

Ydt

ydmymam

Xdt

xdmxmam

z

y

x

2

2

2

2

2

2

Projeksionet në drejtim të akseve x, y dhe z dhe intensiteti i forcës:

Me zgjidhjen e këtyre tri ekuacioneve diferenciale, duhet të caktohen ekuacionet e lëvizjes:

Përkatësisht duke i marrë parasysh kushtet fillestare, kemi:

31

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

II.3. Lëvizja drejtvizore e pikës materiale

iXxmdt

xdm

2

2

RFi

oM

xx

),,( 00 xxtxx

Ligjit të dytë:

duhet të projektohet në drejtim të lëvizjes, p.sh. x, pra:

Fam

- si vektor

Me zgjidhjen e këtij ekuacioni diferencial, duke i marrë parasysh kushtet fillestare, duhet të caktohet ekuacioni e lëvizjes:

61

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

62

Fo

Mxx

Shembull

constFXxmdt

xdm

2

2

dtm

Fxd /

Fdt

xdm

m

dt/

tx

x

dtm

Fxd

o 0

tm

Fx

dt

dxx o dt/

0

00 0

xx

xxt

200 2

)( tm

Ftxxtxx

Pika materiale M me masë m, lëvizë sipas aksit x nën veprimin e forcës konstante F, paralelë me aksin x. Të caktohet ligji i lëvizjes x = x(t), nëse kemi këto kushte fillestare:

tm

Fxx o

tt

o

x

x

tdtm

Fdtxdx

o 00

tdtm

Fdtxdx o /

Ligji i lëvizjes x = x(t) do të jetë:

32

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

63II.3.1. Rënia e lirë e pikës materiale

0

00

0

00 yy

yyt

gy

gmYymam i y

Le të kemi një pikë materiale e cila ndodhet në lartësinë h , mbi sipërfaqen e tokës dhe lëshohet lirisht.

Sipas Ligjit të dytë të Dinamikës, të projektuar në drejtim vertikal y kemi:

gdt

ydy

dt

dhe zëvendësojmë kushtet fillestare:y

h

O

M

G

a

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

64

2

2tgy

gtyv

2

2gTh

g

hT

2

Kështu shpejtësia e pikës gjatë rënies së lirë do të jetë:

O

M

y

y

h

G

a

tydtgyd

00

tgdt

dyy dt

ty

dttgdy00

Ekuacioni i rënies së lirë:

Kur pika bie në sipërfaqe të tokës, y = h, pra:

Kështu koha T, për të cilën pika ka rënë nga lartësia h është:

33

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

65II. 4. Lëvizja vijëpërkulur e pikës materiale

Hedhja e pjerrët e pikës

O

y

x

C

Le të kemi një pikë materiale të vendosur mbi horizontin x. Pika materiale nëpozicionin fillestar O ka shpejtësinë fillestare vo, drejtimi i të cilës mehorizontalen formon këndin . H paraqet lartësinë maksimale kurse Llargësinë maksimale ku bie pika.

M vMv

mg

vo

a

L

H

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

66

gmFam

,0 Xdt

xdmam x

Sipas ligjin të dytë të dinamikës kemi:

Projektojmë në x dhe y fitojmë:

mgYdt

ydmam y

ox xconstxvxd 0

Për to= 0 kemi:

cos)( ooox vxv

dtgyd

(x): (y):

cosox vxv

atëherë:

Pra:

sin)( oooy vyv

ty

ydtgyd

o 0

sinoy vtgyv

integrojmë:

Për to= 0 kemi:

Pra:

34

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

67

atëherë ligjet e lëvizjes janë:

Për to = 0 kemi:

0ox 0oy

Ndajmë ndryshoret:

dhe kryejmë integrimin:

dtvdt

dxx o / cos

t

o

xdtvdx

00cos

dtvtgdt

dyy o sin

t

o

tydtvdttgdy

000sin

cos tvx o sin2

2 tv

tgy o

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

68

coscos

oo v

xttvx

sin2

2 tv

tgy o

sin

cos2

cos

2

o

oo

v

xv

vx

gy

222 cos2

xv

gtgxy

o

Ekuacioni i trajektores së pikës:

Trajektorja caktohet duke eliminuar kohën t nga shprehjet e ekuacioneve të lëvizjes, ashtu që fitojmë ekuacionin y = f (x), pra:

Trajektorja e pikës

35

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

69Largësia e rënies së pikës

Largësia e rënies së pikës (L) caktohet për t = t1, y = 0 dhe x = L, pra:

,coscos 1 tvLtvx oo

sin2

0sin2 1

21

2tv

tgtv

tgy oo

Koha e nevojshme për të arritur në largësinë L (pika C) është:

g

vt o sin21

Largësia maksimale është:

g

v

g

vvL oo

o 2sin

cossin2 2

0sin21 ovt

g

Meqë atëherë01 t

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

70Lartësia më e madhe

Lartësia më e madhe H (koordinata yM e pikës M) caktohet nga vy=0,(shpejtësia në drejtim vertikal në pikën më të lartë është zero), pra:

,0sinsin 2 ooy vtgvtgv

sin2 g

vt oku: , koha e nevojshme për të arritur lartësinë më të madhe.

sin2

2

tvt

gy o

fitojmë lartësinë më të madhe ( y = H, t = t2) :

sin2 2

22 tv

tgH o

sinsin2

)sin( 2

g

vv

gv

gH oo

o

.sin2

22

g

vH o

Pas zëvendësimit të kohës t2 në ekuacionin e lëvizjes për y:

36

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

71

Me pikë të lirë materiale nënkuptojmë:

III. DINAMIKA E PIKËS JO TË LIRË

1. Lidhjet holonome (gjeometrike),që janë ato lidhje që kufizojnë vetëm pozicionin, për këtë arsye quhengjeometrike dhe janë funksion i koordinatave .

2. Lidhjet joholonome (kinematike),që janë ato lidhje që pos pozicionit kufizojnë edhe shpejtësinë, për këtë arsye quhen kinematike, dhe janë funksion i koordinatave dhe shpejtësive:

Lidhjet në përgjithësi ndahen në dy grupe:

0),,,,,( zyxzyxf

0),,( zyxf

Pikën që mund të zë pozitë të çfarëdoshme në hapësirë pa iu kundërvënë kurrfarë pengese,

ndërsa me pikë jo të lirë nënkuptojmë:

Pikën, lëvizja e së cilës është e penguar apo kufizuar. Lidhjet mund të jenë: sipërfaqe, vija apo pika.

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

721. Stacionare (skleronome), pra nuk ndryshojnë me kalimin e kohës, pra,

nuk janë në funksion të kohës (lidhjet e paraqitura më parë) dhe

0),,,,,,(

,0),,,(

tzyxzyxf

tzyxf

2. Jo stacionare (reonome), pra janë ato lidhje të cilat me kalimin e kohësndryshojnë, pra janë në funksion të kohës [t]:

Ndarja e tjetër e lidhjeve bëhet në:

Përveç këtyre ndarjeve, lidhjet mund të ndahen edhe në dy grupe:- Të qëndrueshme (dyanshme)- Të paqëndrueshme (njëanshme)

-v v

Lidhje joholonome, jostacionare të qëndrueshme

Lidhje të qëndrueshme apo të dyanshme janë të gjitha lidhjet që gjatë gjithë kohës mbesin (qëndrojnë). Të gjitha lidhjet që u përmenden deri më tani janë të qëndrueshme.

37

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

73Lidhjet e paqëndrueshme, janë ato lidhje të cilat gjatë kohës mund të humbin.

P.sh. kur projeksioni i forcës aktive në drejtim vertikal lartë është më i madh se pesha e trupit.

Kur projeksioni i forcës aktive në drejtimin vertikal është baras apo më e vogël se pesha e trupit, kemi lidhjen e qëndrueshme.

GFv

v

G

aFvF

G

Ekuacionet e lidhjeve të paqëndrueshme paraqiten me jobarazime:

0),,( zyxf

0),,,,,( zyxzyxf

0),,,( tzyxf

0),,,,,,( tzyxzyxf

- lidhjet holonome, stacionare të paqëndrueshme

- lidhjet joholonome, stacionare të paqëndrueshme

- lidhjet holonome, jostacionare të paqëndrueshme

- lidhjet joholonome, jostacionare të paqëndrueshme

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

74III.1. Ekuacioni themelor i Dinamikës së pikës jo të lirë

Për pikë jo të lirë, duke u bazuar në aksiomën e gjashtë të Statikës lirohemi nga lidhja. Në vend të lidhjes marrim forcën e kundërveprimit dhe pas kësaj mund të përdoret dhe atë për dy raste:

Rasti i parë:Sipërfaqja është reale (e vrazhdë), merret parasysh fërkimi në mes të sipërfaqeskontaktuese të pikës (trupit) dhe mbështetësit.

G

a

aFN

F

F

Ligji i dytë i Dinamikës, përkatësisht ekuacioni themelor i Dinamikës së pikës jo të lirë për këtë rast do të jetë:

FFGFam Na

38

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

75

FFF Nr

R

GFF aaR

- rezultanten e forcave aktive,

Nëse shënojmë:

- rezultanten e forcave të reaksionit

atëherë ekuacioni themelor i Dinamikës merr formën:r

Ra

R FFam

Rasti i dytë: Sipërfaqja është e lëmuar (ideale).

G

a

aFN

F

Na FGFam

0 NFF

Meqë sipërfaqja është e lëmuar (ideale), = 0

Ligji i dytë i Dinamikës, përkatësisht ekuacioni themelor i Dinamikës së pikës jo të lirë për këtë rast do të jetë:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

76

x

yir j

rkr

z

xy

z

0),,( =zyxf

O

III.2. Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së pikës jo të lirë tëshprehura nëpërmjet ekuacioneve të Lagranzhit të llojit të parë

Nëse është dhënë lëvizja e pikës M nëpër sipërfaqen: 0),,( zyxf

me rreze vektori i pikës M: kzjyixr

M

N (normalja në sipërfaqe)

r

Nëse marrim lëvizjen e pikës nëpër sipërfaqe ideale, ekuacioni themelor i dinamikës është:

Na

R FFam

39

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

77

zNaRz

yNaRy

xNaRx

FZzmamz

FYymamy

FXxmamx

:)(

:)(

:)(

Nëse projektojmë në x, y dhe z kemi:

Duke e ditur lidhjen ndërmjet ekuacionit të sipërfaqes f dhe normales N:

kz

fj

y

fi

x

ffgradN

Kurse forca e reaksionit FN në funksion të faktorit të Lagranzhit () është:

fgradNFN

kz

fj

y

fi

x

fkFjFiFF zNNxNN

y

Përkatësisht:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

78Pas zëvendësimit fitohen ekuacionet e Lagranzhit të llojit të parë, përkatësisht ekuacionet e lëvizjes së pikës jo të lirë, të cilat marrin formën:

0),,(

zyxfz

fZzmam

y

fYymam

x

fXxmam

aRz

aRy

aRx

0),(

yxf

y

fYymam

x

fXxmam

aRy

aRx

Për lëvizje të pikës në rrafsh, p.sh. xOy:

Nëse lëvizja e pikës është sipas sipërfaqes së vrazhdë reale, pra atëherë 0

FFFFFam Na

Rr

Ra

R

0 NFF kemi:

Forca si vektor ka drejtimin e tangjentes në trajektoren e pikës, por kahene kundërt të shpejtësisë së pikës, prandaj projeksionet e saj janë:

F

v

zFkvFkFFF

v

yFjvFjFFF

v

xFivFiFFF

Nz

Ny

Nx

),cos(),cos(

),cos(),cos(

),cos(),cos(

40

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

79

v

zF

z

fZzmam

v

yF

y

fYymam

v

xF

x

fXxmam

NaRz

Na

Ry

NaRx

Nëse këto shprehje zëvendësojmë, fitojmë ekuacionet diferenciale të lëvizjes së pikës nëpër sipërfaqe të vrazhdë në hapësirë, pra:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

80III.3. Ekuacionet diferenciale të lëvizjes së pikës jo të lirë në triedrin natyral. Ekuacionet e Eulerit

Nëse pika lëvizë sipas trajektores së dhënë e këtë trajektore e marrim sikoordinatë natyrale, atëherë lëvizja e saj mund të jepet në triedrin natyral:

B NBF

r

NNFr

O

M

s

QT N

NFr

s(t)

NBNNN FFF

0NTF

Forca e reaksionit është:

TFN

sepse

Kur sipërfaqja është ideale, ligji themelor merr formën:

Na

R FFam

41

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

81

,

,)( ),(

22

2

2

LN

T

R

s

MQ

va

OMtstsdt

sd

dt

sd

dt

dva

Duke e ditur se:

atëherë fitojmë ekuacionet e Ojlerit për lëvizjen e pikës jo të lirë:

NBa

RBB

NNa

RNL

N

aRTT

FFam

FFR

smam

Fsmam

2

NBaRBB

NNaRNN

aRTT

FFam

FFam

Fam

ose i projektuar në N, T dhe B:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

82

Nëse lëvizja e pikës është sipas sipërfaqes së vrazhdë reale, pra atëherë 0

0 NFF kemi:

00

2

NBNBa

RBB

NNa

RNL

N

aRTT

FFFam

FFR

smam

FFsmam

Kështu ekuacioni i parë i Ojlerit për lëvizjen e pikës jo të lirë shtohet për forcëne fërkimit F

në drejtim të tangjentës por në kahje të kundërt të shpejtësisë,

ndërsa ekuacionet tjera mbesin të njëjta:

00

2

NBNBaRBB

NNaRN

LN

aRTT

FFFam

FFR

smam

Fsmam

Nëse lëvizja është në rrafshin N, T dhe ky përputhet me rrafshin e oskulacionit atëherë aB = 0 dhe atëherë kemi:0a

RBF

42

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

83

N

T

j

III.4. Lavjerrësi matematik

Lavjerrësi matematik paraqet një pikë materiale M, me masë m, e cila është e varur në një litar me gjatësi l. Litari është i fiksuar në pikën e palëvizshme O. Këndin që formon litari me vertikale e shënojmë me .

aT

mg

j

M

l Fl

aN

v

O

Ekuacioni themelor i Dinamikës së pikës jo të lirë:

lNaR FgmFFam

Shpejtësia dhe nxitimi i pikës M është:

NT aaa

laT

2 laN

lv

dt

d

/ T, N

sinmglmam T

lN Fmglmam cos2

(T):

(N):

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

84Nga ekuacioni (N) caktohet forca në litar:

cos2 gmlmFl

Nga ekuacioni (T) kemi:

sinl

g

Duke bërë zgjerimin:

d

d

d

d

dt

d

dt

d

sinl

g

d

d

/

d/

dl

gd sin

Për kushte fillestare:

o

oot

0

oo

dl

gd sin

)cos(cos22

22

oo

l

g

)cos(cos22oo l

g

përkatësisht, shpejtësia këndore do të jetë:

43

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

85Për të caktuar ligjin e ndryshimit të shpejtësisë këndore dhe këndit nëfunksion të kohës e zgjidhim ekuacionin diferencial (T) si në vijim:

0sin l

g - ekuacionin diferencial i rendit të dytë, jolinear

Kështu për t’u zgjidh duhet të linearizohet përkatësisht aproksimohet dhe atë do tëmerret që këndi është: atëherë pa ndonjë gabim të madh merret: 88

sin 1cos dhe

l

g2Zëvendësojmë dhe fitohet ekuacioni diferencial linear vijues:

02

Supozojmë zgjidhjen atëherë: ,te tete 2

- ekuacioni karakteristik022

i2,1Atëherë zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial linear do të jetë:

titi eAeA 21

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

86Duke e ditur se: atëherë:titez ti sincos

tCtCtiAAtAA sincossin)(cos)( 212121Me derivim fitojmë:

tCtC cossin 21

C1 dhe C2 janë konstante të integrimit që caktohen nga kushtet fillestare:

o

oot

0

Atëherë ligji i ndryshimit të këndit do të jetë:

tl

g

g

lt

l

goo sincos

kurse ligji i ndryshimit të shpejtësisë këndore do të jetë:

tl

gt

l

g

l

goo cossin

0cos0sin

0sin0cos

21

21

CC

CC

o

o

g

lC

C

oo

o

2

1

44

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

87Siç po shihet lavjerrësi matematik bën lëkundje të lira që nuk shuhen rreth pozicionit vertikal, atëherë në këtë rast perioda e lëkundjeve, që paraqet kohën e nevojshme për kryerjen e një lëkundje të plotë, do të jetë:

g

lT

22

Kurse - quhet frekuenca rrethore e lëkundjeve të lavjerrësit

matematik. Frekuenca paraqet numrin e lëkundjeve në njësi të kohës.l

g

][19936.04 2

2m

gTl

Kështu lavjerrësi matematik me gjatësi një metër dhe periodë të lëkundjeve dy sekonda, quhet sekondë matës.

][2 sT

]/[807.9 2smg

Nëse:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

88III.5. Parimi i Dalamber-it për pikë jo të lirë

Nisemi nga ekuacioni themelor i Dinamikës në formën:

rR

aRN

aR FFFFam

0)( amFF rR

aR

atëherë:

amF in Duke e ditur se: , paraqet Forcën e inercisë, atëherë:

0 inrR

aR FFF

Shprehja e fundit paraqet parimin e Dalamberit për pikë jo të lirë, që thotë:

Shuma gjeometrike (vektoriale) e forcave aktive , të kundërveprimit

dhe të inercisë është e barabartë me zero.

aRF

rRF

inF

Edhe pse shuma e këtyre forcave është e barabartë me zero, pika nuk është në ekuilibër por ajo është në lëvizje.

45

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

89

inF inNF

inTF

Nëse lëvizja e pikës është drejtvizore, atëherë forca e inercisë do të ketë drejtimin e nxitimit por kahen e kundërt me të, pra:

amFamF inin

Nëse lëvizja është vijëpërkulur (lakore në rrafsh), e dhënë me koordinatën natyrale s(t), atëherë duhet të projektohet nxitimi në drejtim të tangjentes në lakore dhe normales kryesore në pjesën konkave të lakores, e me këtë edhe forca e inercisë projektohet në këto dy drejtime:

MT

N

s(t)

O

aT

aN a

NTNTin amam)aa(mamF

inN

inT

in FFF

Tin

T amF

NinN amF

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

90IV. LIGJET E PËRGJITHSHME TË DINAMIKËS SË PIKËS

Përveç mënyrës së zgjidhjes së problemeve në dinamikë me anë tëkatër ligjeve themelore dhe ekuacioneve diferenciale, shumë problememund të zgjidhen edhe me ligjet (teoremat) e përgjithshme tëdinamikës, të cilat në të vërtetë, janë forma të transformuara të ligjit tëdytë themelor të dinamikës.

Me zbatimin e këtyre ligjeve të përgjithshme, në shumë raste dukshëm thjeshtohetzgjidhja e problemeve të Dinamikës, pasi që nuk është i nevojshëm integrimi iekuacioneve diferenciale të lëvizjes së pikës.

IV.1. Sasia e lëvizjes së pikës

Sasia e lëvizjes së pikës është madhësi vektoriale e cila është e barabartë meprodhimin në mes të masës së pikës (m) dhe shpejtësisë së saj (v). Vektori isasisë së lëvizjes ka drejtimin dhe kahjen e shpejtësisë:

vmK

kzjyixkvjvivv zyx

46

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

91

pra, komponentët e sasisë së lëvizjes në drejtimet x, y dhe z janë:

x

y

T

rr

ir j

rkr

z

M

xy

z

O

)(tsvmr

Fra

r

zmvmK

ymvmK

xmvmK

zz

yy

xx

Intensiteti i sasisë së lëvizjes:

222zyx KKKK

Sasia e lëvizjes për nga dimensioni dhe njësia do të jetë:

][][ 11 smkgTLMK

kvmjvmivmkKjKiKK zyxzyx

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

92IV.1.1. Impulsi i forcës

Impulsi i forcës është madhësi vektoriale, për nga intensiteti është:

FI ku: paraqet intervalin e kohës së veprimit të forcës konstante F

Impulsi elementarë paraqet prodhimin në mes të forcës F dhe diferencialit të kohës dt:

dtFId

kZjYiXFku forca që shkakton impulsin është: atëherë

kZdtjYdtiXdtkdIjdIidIId zyx

Me integrim të shprehjes për impuls elementarë, impulsi i plotë do të jetë:

t

dtFI0

Komponentët e tija në drejtimet x, y dhe z janë:

t

x dtXI0

t

y dtYI0

t

z dtZI0222

zyx IIII

Intensiteti i impulsit të plotë

sNTFI Dimensioni dhe njësia e Impulsit:

47

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

93IV.1.2. Ligji mbi ndryshimin e sasisë së lëvizjesNisemi nga ligji i dytë i dinamikës:

R

n

ii FFam

1

dt

vda

.konstm vmK

RFvmdt

dam

)(

n

iiR FF

dt

Kd

1

atëherë:

Ekuacioni vektorial i fundit paraqet ligjin mbi ndryshimin e sasisë së lëvizjes, pra:

Derivati i sasisë së lëvizjes së pikës sipas kohës, është i barabartë me shumëngjeometrike të forcave që veprojnë në atë pikë, gjegjësisht me rezultanten ekëtyre forcave. Ky ekuacion paraqet formën diferenciale të këtij ligji.

Projeksionet nëakset koordinative janë:

R

n

ii

z

R

n

ii

y

R

n

ii

x

ZZdt

dK

YYdt

dK

XXdt

dK

1

1

1

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

94

dtFFdt

Kd n

iiR

/

1

Formën integrale (të fundme) të ligjit mbi ndryshimin e sasisë së lëvizjes sëpikës e përcaktojmë duke u nisur nga:

n

iiR dtFdtFKd

1

n

iiIdIdKd

1

Nëse shprehjen e fundit e integrojmë anë për anë kemi:

1111

00

t

R

tv

v

K

K

dtFIdKdKdoo

1

011

tn

iio dtFIIKKK

1

01

t

Ro dtFIvmvm

48

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

95

Ir

x

yir j

rkr

z

M1

xy

z

O

)(tsMo

ovmr

1vmr

Ir

RFr

1vmr

ovmr

.

,

,

1

1

1

011

011

011

t

Rzoozz

t

Ryooyy

t

Rxooxx

dtZIzmzmmvmv

dtYIymymmvmv

dtXIxmxmmvmv

1

01

t

Ro dtFIvmvm

Shprehja e fundit mund të projektohet në akset koordinative, pra:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

96IV.1.3. Ligji mbi ruajtjen e sasisë së lëvizjesNëse rezultanta e forcave që veprojnë në një pikë është zero:

01

n

iiFF

atëherë: 01

n

iiFF

dt

Kd

0dt

Kd

.konstK

.01 konstKK

.01 konstvmvm

Shprehja e fundit paraqet ligjin mbi ruajtjen e sasisë së lëvizjes së pikës dhe tregon se sasia e lëvizjes gjatë gjithë kohës së lëvizjes ruhet (nuk ndryshon) për kah intensiteti, drejtimi dhe kahja.

Përfundimisht:

01

n

iiFF

Nëse por, p.sh 01

n

iiXX atëherë kemi:

01

n

iiFF

dt

Kd

0 Xdt

dKx 0dt

dKx

konstmvmv xx 01 konstvx

por .konstKx

Pra, shpejtësia ruhet sipas aksit x.

49

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

97

oL

TvmK

IV.2. Momenti kinetik (momenti i sasisë së lëvizjes)IV.2.1. Ligji mbi ndryshimin e momenti kinetik

FrM Fo

0LM Ko

vmrKrML Koo

vmrvmrdt

Ld o

amrvmvdt

Ld o

vr av

0 vmv Fam

Fo

o MFrdt

Ld

ZYX

zyx

kji

Mdt

Ld Fo

o

x

y

z

OFoM

F

r M

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

98kXyYxjZxXziYzZyM

dt

Ld Fo

o

)()()(

kMjMiMM zyxFo

XyYxM

ZxXzM

YzZyM

z

y

x

kMjMiMkdt

dLj

dt

dLi

dt

dL

dt

Ldzyx

zyxo

XyYxMdt

dL

ZxXzMdt

dL

YzZyMdt

dL

zz

yy

xx

50

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

99IV.2.2. Ligji mbi ruajtjen e momentit kinetik

Më parë erdhëm në përfundim se derivati i momentit kinetik të pikësmateriale sipas kohës, për çfarëdo qendre O, është i barabartë memomentin e forcës që vepron në atë pikë për te njëjtën qendër O.

Fo

o Mdt

Ld

nga rrjedh që momenti kinetik nuk ndryshon gjatë kohës por mbetet konstant:

0FoM

0dt

Ld o

constL

Në qoftë se:

atëherë:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

100

O

s

ds

IV.3. Puna e forcës

Puna elementare paraqet zhvendosjen elementare të pikës nën veprimin e forcës dhe është e barabartë me produktin skalar në mes të forcës dhe zhvendosjes elementare, pra:

sdFA

Fr

T

TF

NF

M

N

a

dsFdsFTFdsF T )cos(),cos(

sdFA

Shprehja e fundit tregon se puna elementare është e barabartë me prodhiminnë mes të projeksionit të forcës në drejtim të tangjentes në trajektore dhezhvendosjes elementare.

51

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

101Në figurën vijuese është paraqitur zhvendosja e pikës M duke filluar prej pozicionit fillestar O. Kështu në pozicionin M1 pika ka kaluar rrugën s1 kurse deri në pozicionin M2, ajo ka kaluar rrugën s2. Lëvizja është si rezultat i veprimit e forcës F.

Fr

O

s

M1

M

M2

Puna e forcës F nga pozicioni M1 deri në pozicionin M2 :

2

1

2

1

2

1

2

1

21)(),(

M

M

M

M

s

sT

M

MMM dzZdyYdxXrdFdsFdAA

)(sfFT =

s1Oss2

TF

)( 21)( ssAS

ku pikat kanë këto koordinata: ),,( 1111 zyxM ),,( 2222 zyxM

Njësia për punë të forcës është Xhuli:

dhe

JmNLFA

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

102Me efekt të punës – fuqi, quajmë punën e kryer në njësi të kohës, pra:

vFdt

rdF

dt

rdF

dt

dAP

Njësia e fuqisë është Vati (W):

Ws

J

s

mN

T

LFP

Njësi tjetër që është përdorë për fuqi ka qenë kalfuqia (kF):

Ws

mkpkF 736751

52

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

103IV.3.1. Puna e forcës së gravitetit (peshës)

Puna e forcës së gravitetit (peshës) G, nga pozicioni M1 deri në pozicionin M2 do të jetë:

2

1

21)(),(

M

MMM dzZdyYdxXA

O

M2

M1

y

z

Gr

Mh

z2

z1

x

Pesha ka këto projeksione:

G

(X = 0, Y = 0, Z = -G = - m g=const)

hGzzGA

zzGdzGAz

zMM

)(

)(

21

12),(

2

1

21

021 Azz

021 Azz

- për: puna është pozitive

- për: puna është negative

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

104IV.3.2. Puna e forcës elastike

Nëse susta e përforcuar në njërin skaj, zgjatet për gjatësinë x, nga pozicioni iekuilibrit statik, atëherë në sustë, paraqitet forca elastike Fe = c x (forca ereaksionit të sustës), që ka drejtimin por kahjen e kundërt të zhvendosjes.

v x M

Fe

G

FN

x O

c

M

dzZdyYdxXA0

)(

eF

(X = -Fe = -c x, , Y = 0, Z =0)

2

0

2

00)0( 2

1

2

1xcxcdxxcdxXA

xxM

x

Forca elastike ka këto projeksione:

53

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

105

T N

IV.3.3. Puna e forcës së fërkimit

Kur pika M me peshë G lëviz nëpër sipërfaqe të vrazhdë, atëherë në të paraqitetforca e fërkimit në rrëshqitje NFF ku µ - paraqet koeficientin e fërkimit në rrëshqitje, kurse FN - forcën e reaksionit normal në sipërfaqe.

mFr

vr

NFr

O

sM2

M1

M

2

1

2

1

21 ),(

s

s

M

MTMM dsFdsFA

)( 12),(

2

1

21ssFdsFA N

s

sNMM

.constFN Këtu është supozuar se:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

106IV.4. Energjia kinetike e pikës

Energjia kinetike është madhësi skalare dhe e barabartë me gjysmën e prodhimit të masës dhe katrorit të shpejtësisë, pra:

2

2

1vmEk

ku janë: m – masa e pikës,v – shpejtësia e pikës.

Njësia e energjisë kinetike është:

sWJmNsmkgTLMT

LMEk

22222

Si sasia e lëvizjes edhe energjia kinetike janë matëse sasiore të lëvizjes mekanike.

54

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

107IV.4.1. Ligji mbi energjinë kinetike

Nisemi nga ligji i dytë i dinamikës:

rdFFamn

ii

/

1

ArdFrdam

dt

vda

dt

rdv

dtvrd

vdvvvddtvdt

vdrda

2:/ 22)( 2 vvdvdvvd

22)( vvvv

rdavvdvd

)2

1( 2 Avmd )

2

1( 2

dhe

AEd k )(

Shprehja e fundit paraqet ligjin mbi ndryshimin e energjisë kinetike në mënyrë diferenciale dhe thotë:

Diferenciali i energjisë kinetike është i barabartë me punën elementare.

dt

A

dt

)E(d k

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

108Shprehjen për ligjin mbi ndryshimin e energjisë kinetike në formë të fundme e caktojmë duke integruar shprehjen e fundit prej pozicionit M1 në M2:

2

1

2

1

M

Mk AdE )(12 21 MMkk AEE

),(21

22 212

1

2

1MMAmvmv

Nëse në pozicionin M1 shpejtësia e pikës është v1, kurse në atë M2 shpejtësia epikës është v2, atëherë në fund fitojmë:

Derivati sipas kohës i energjisë kinetike na jep fuqinë e forcës (forcave) qëvepron në atë pikë, pra:

Pdt

A

dt

dEk

Nëse, A(M1M2) = 0, pra puna e forcave që veprojnë në pikë është zero atëherëkemi të bëjmë me ligjin mbi ruajtjen e energjisë kinetike, pra:

.12 constEE kk Kështu pra, në bazë të shprehjes së fundit, energjia kinetike gjatë lëvizjes nukndryshon, mbetet konstante.

55

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

109V. LËVIZJA RELATIVE E PIKËS MATERIALE

Le të jetë dhënë lëvizja e pikës materiale jo të lirë M, me masë m sipas trajektores AB. Pika lëviz ndaj sistemit të lëvizshëm (jo inercial) të koordinatave Oxyz i cili edhe vetë lëvizë në mënyrë të caktuar, kundrejt një sistemi tjetër koordinatash Ox1y1z1 (të palëvizshëm).

orr

O

x

y

z

y

x

z

O1y

1

z1

M

x1

A

B

rr

Mrr

Lëvizja absolute e pikës M ipet merreze-vektorin saj, ndaj sistemit tëpalëvizshëm Ox1y1z1:

oM rr

Lëvizja relative e pikës M , paraqet lëvizjen ndaj sistemit të lëvizshëm Oxyz dhe jepet me rreze-vektorin:

kzjyixOM

Lëvizja e qendrës së sistemit të lëvizshëm Oxyz së bashku me pikën M (sikur të jenë bashkë) ndaj sistemi të palëvizshëm Ox1y1z1 paraqet lëvizjen zhvendosëse dhe kjo paraqitet me rreze-vektorin:

OOro 1

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

110Sipas ligjit të dytë të Dinamikës për pikë të lirë kemi:

n

i

aiFFam

1

ku:

Nxitimi në lëvizje të përbërë: corre aaaa

Nxitimi në lëvizjes zhvendosëse: 2

2

dt

rd

dt

vda oe

e

Nxitimi në lëvizjes relative: kdt

zdj

dt

ydi

dt

xd

dt

d

dt

vda r

r

2

2

2

2

2

2

2

2

Nxitimi i Koriolisit si vektor: recor va

x 2

Intensiteti i nxitimit të Koriolisit: ),sin(2 rerecor vva

56

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

111Kështu me zëvendësim në ligjin e dytë, fitohet ekuacionin vektorial të lëvizjes relative merr formën:

incor

ine

n

i

air FFFam

1ku janë:

corincor amF

Forca e Koriolisit e inercisë:

eine amF

Forca zhvendosëse e inercisë:

Shprehja e fundit paraqet ekuacionin vektorial të lëvizjes relative dhe tregon se për pikë të lirë prodhimi ndërmjet masës dhe nxitimit relativ është i barabartë me

shumën e forcave aktive, forcave zhvendosëse të inercisë dheineF

incorF

forcës së Koriolisit të inercisë .

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

112Nëse pika është jo e lirë, atëherë ekuacionit vektorial i shtohet forca e

kundërveprimit apo reaksionit të lidhjeve , pra: NF

incor

ineN

n

i

air FFFFam

1

I cili mund të projektohet në tri drejtime x, y dhe z:

n

i

incor

ineN

ai XXXXxm

1

n

i

incor

ineN

ai YYYYym

1

n

i

incor

ineN

ai ZZZZzm

1

Kështu po shihet se ekuacionet diferenciale të lëvizjes relative të pikës materialeshkruhen në po atë formë si edhe ekuacionet diferenciale të lëvizjes absolute tësaj, duke u shtuar forcave aktive të dhëna, kundërveprimeve të lidhjeve (kur pikaështë jo e lirë) edhe forcën zhvendosëse të inercisë me forcën e inercisë sëKoriolisit.

57

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

113V.1. Ligji mbi ndryshimin e energjisë kinetike në lëvizjen relative

Nisemi nga ekuacioni i lëvizjes relative të pikës jo të lirë, dhe atë e shumëzojmë në mënyrë skalare anë për anë me shpejtësinë relative vr:

rincor

ineN

n

i

air vFFFFam

/

1

rincorr

inerNr

n

i

ai

rr vFvFvFvF

dt

vdvm

1

këtu do të kemi:

këtu marrim se lidhjet janë ideale dhe forca është forca e kundërveprimit normal, dhe

0)90cos(),cos( rNrNrNrN vFvFvFvF

0)90cos(),cos( rincorr

incorr

incorr

incor vFvFvFvF

pasi që këto dy forca janë normale me shpejtësinë relative, kështu fitohet:

dtvFvFdt

vdvm r

iner

n

i

ai

rr

/

1

dtvFdtvFvdvm riner

n

i

airr

1

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

114Duke ditur se: dtvd

dt

dv

dt

vda rr

rr

,

)()2

()2

(22

krrr

rr Edv

mdv

dmvdvm

)()()(11

iner

n

i

aii

ine

n

i

aikr FAFAdFdFEd

r

Atëherë kemi:

Meqë puna elementare mund të merret përafërsisht e barabartë me diferencialin e saj:

)()()(1

iner

n

i

aiikr FdAFdAEd

r

Shprehja e fundit paraqet ligjin mbi ndryshimin e energjisë kinetike në

lëvizjen relative që është formë diferenciale, vlen për lidhjet ideale, kurse për lidhjet reale kjo shprehje do të ketë formën:

)()()(1

iner

n

i

jiikr FdAFdAEd

r

ri

ai

ji FFF

Ku me: janë shënuar forcat e jashtme, si shumë

vektoriale e forcave aktive dhe forcave të kundërveprimit (reaksionit).

58

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

115Kështu ligji mbi ndryshimin e energjisë kinetike në lëvizje relative nëformën diferenciale tregon se diferenciali i energjisë kinetike gjatë lëvizjesrelative është i barabartë me diferencialin e punëve të forcave të jashtmedhe forcës zhvendosëse të inercisë gjatë lëvizjes relative.

Formën e fundme integrale e gjejmë duke integruar:

M

M

iner

n

i

M

M

jii

M

Mkr

oo

r

o

FdAFdAEd )()()(1

Nëse në pozicionin Mo shpejtësia relative e pikës është vro, kurse në pozicionin Mështë vr, atëherë në fund fitojmë:

Forma e fundme tregon se: ndryshimi i energjisë kinetike gjatë lëvizjes relativeështë i barabartë me punën e forcave të jashtme dhe forcës zhvendosëse tëinercisë për të njëjtën zhvendosje relative.

)()(2

1

2

1)(

1)(

22 ineMMr

n

i

jiMMiror FAFAvmvm

oor

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

116VI. LËKUNDJET DREJTVIZORE TË PIKËS

Me lëkundje (oscilim) nënkuptojmë lëvizjen periodike, që përsëritet tërësisht apopjesërisht, rreth pozicionit të ekuilibrit të qëndrueshëm (statik).

Lëkundjet janë lëvizjet më të përhapura si në natyrë ashtu edhe në teknikë.

Sipas shkakut që i shkakton lëkundjet ndahen në dy grupe, e secili grup gjithashtundahet në dy nëngrupe.

1) Lëkundjet e lira:

- Lëkundjet e lira që nuk shuhen dhe- Lëkundjet e lira që shuhen (amortizohen).

2) Lëkundjet e detyruara:

- Lëkundjet e detyruara që nuk shuhen dhe- Lëkundjet e detyruara që shuhen (amortizohen).

59

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

117

lo

x M

x O

c

VI.1. Lëkundjet e lira që nuk shuhen

v

Për të pasur lëkundje, përkatësisht lëkundje të lira që nuk shuhen duhet të veprojvetëm forca elastike.Lëkundjet e lira që nuk shuhen janë lëkundjet që kryhen në një ambient parezistencë, d.m.th. neglizhohet çdo rezistencë që paraqitet.

xcFe

ku janë:

c - ngurtësia e sustës

x- zgjatja ose shkurtimi i sustës

lo- gjatësia fillestare e sustës

v - shpejtësia e pikës

FN - reaksioni normal dhe

G = mg - pesha e pikës

xFamn

ii /

1

xcFxm e

02 xx ku:m

c2 - frekuenca

rrethore [s-1]

Fe

FN

mg

Forca Fe që quhet forcë elastike ose e restitucionit, dhe paraqitet në sustën mengurtësi c, vepron në pikën materiale me masë m, duke shkaktuar lëvizjedrejtvizore në rrafshin horizontal të lëmuar (ideal), është:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

118Shprehja e fundit paraqet ekuacionin diferencial të lëkundjeve të lira që nukshuhen, dhe dihet se zgjidhja e tij është e formës:

tCtCx sincos 21 Përkatësisht derivati i parë:

tCtCx sincos 21

C1 dhe C2 janë konstante arbitrare të integrimit që caktohen nga kushtet fillestare:

,

,0

oo

oo vxx

xxt

01 21 CCxo oxC 1

10 21 CCxo oo vx

C

2

tv

txx oo

sincos

Kështu ligji i lëkundjeve të lira që nuk shuhen (në ambient pa rezistencë), do të jetë:

Nëse në vend të konstanteve të integrimit C1 dhe C2 marrim konstantet e reja të integrimit r dhe o të cilat lidhen ndërmjet veti përmes relacioneve:

dheorC sin1 orC cos2

)sin(sincoscossin ooo trtrtrx

60

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

119)sin( otrx ku: r , amplituda e lëkundjeve, distanca maksimale prej pozitës ekuilibruese

= o+ t , faza e lëkundjeve,o , faza fillestare apo ndryshimi fazor,

, frekuenca rrethore dhet – koha.

mc /

Karakteristikë tjetër e lëkundjeve është perioda (T ) me të cilën nënkuptojmëkohën e cila është e nevojshme për t’u kryer një lëkundje e plotë:

sT2

mv

xCCr2

020

22

21

Nëse shprehjet për C1 dhe C2 ngritën në katrorë anë për anë dhe pastaj i mbledhim, fitojmë shprehjen për amplitudë:

Nëse shprehjet për C1 dhe C2 pjesëtohen ndërmjet veti, fitohet shprehja për fazën fillestare apo ndryshimin fazor:

02

1 tgC

C rad

v

xarctg

C

Carctg

0

0

2

10

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

120

ku janë:r – amplituda,T – perioda,xo – pozicioni fillestar (për kohën to = 0),o- faza fillestare dhe - frekuenca rrethore.

Pasi që grafiku i lëkundjeve të lira në ambient pa rezistencë i përngjanëharmonikut, atëherë këto lëkundje quhen edhe lëkundje harmonike.

Ot

T

r x0

x

r

T/2 T/2o

r sin(o+ t)

61

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

121VI.1.2. Lëkundjet vertikale të ngarkesës së varur në sustë

Nëse zbatojmë ligjin themelor të dinamikës, në pikën e varur në sustën vertikale do të kemi:

fst

lo

mg

fst

Fe

lo

x

loc

eFGxm

mgG dhe )( xfcF ste

stcfmgcxxm Zgjatja statike ( fst ) caktohet ngakushtet e ekuilibrit statik pra:

00,0 xdhexx

prej nga:c

G

c

mgfst

02 xx

ku:m

c2

Kështu ekuacioni diferencial i këtyre lëkundjeve është:

Mek

anik

a T

ekni

ke I

I

122

FUND