LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN GANDA BILANGAN REAL · fungsi yang memetakan himpunan dengan daerah hasil yang termuat di . Dengan kata lain, suatu barisan di memasangkan masing-masing

Prosiding SEMNAS Matematika & Pendidikan Matematika IAIN Ambon ISBN 9 786025 185700

Ambon, 09 Februari 2018

29

LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN

GANDA BILANGAN REAL

Zumrotus Sya’diyah1) 1)Dosen Sekolah Tinggi Ilmu Komputer (STIKOM) Ambon

Email: [email protected]

Abstrak

Konsep dasar barisan bilangan real merupakan hal yang mendasar dalam

analisis matematika.Barisan bilangan real yang selama ini dikenal adalah

barisan bilangan real yang tunggal, namun dalam penelitian ini akan dibahas

mengenai barisan ganda bilangan real. Adapun hal yang akan dianalisis dan

dibahas dalam penelitian ini adalah tentang ekor barisan ganda bilangan real

dan hubungan suatu barisan ganda bilangan real :S ℕℕℝ:

,),(limlim,),(lim,

mnsmnsmnmn

.),(limlimdan mnsnm

Kata kunci: Limit, konvergensi dan barisan ganda bilangan real

PENDAHULUAN

Matematika adalah suatu studi dan pengembangan struktur-struktur yang memuat

beberapa pengertian dasar yang tak saling bertentangan, tak saling bergantung satu sama

lain dan saling mengisi (menunjang). Dalam menghadapi permasalahan sehari-hari yang

rumit, permasalahan tersebut perlu dibagi menjadi permasalahan yang lebih

sederhana.Bentuk permasalahan dapat dibentuk dalam suatu fungsi.Fungsi tersebutlah yang

kemudian didekati untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi (Marjono, 2009).Fungsi

tersebut dapat didekati dengan menggunakan konsep tentang barisan bilangan real, yakni

perkawanan antara bilangan asli dan bilangan real dengan domainnya adalah bilangan asli

dan bilangan real bertindak sebagai kodomain. Oleh karena itu,konsep tentang barisan

bilangan real merupakan salah satu dasar yang harus dipahami.

Konsep tentang barisan banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan permasalahan-

permasalahan sehari-hari.Salah satu teori barisan yang muncul adalah pada permasalahan

ekonomi, misalnya pada perkembangan usaha yang pertumbuhannya konstan dari waktu ke

waktu mengikuti perubahan baris hitung.Baris hitung maksudnya barisan bilangan di mana

pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan

tersebut dapat diperoleh dari selisih antara suatu suku dengan suku berikutnya (Irawan,

2001).

Pada dasarnya, suatu barisan bilangan real (atau suatu barisan di ) adalah suatu

fungsi yang memetakan himpunan dengan daerah hasil yang termuat di . Dengan kata

lain, suatu barisan di memasangkan masing-masing bilangan asli secara

tunggal dengan bilangan real (Bartle, 2000: 53) (Riyanto, 2008). Limit dan konvergensi

barisan bilangan real merupakan dasar untuk memahami konsep tentang barisan bilangan

real yang selanjutnya. Pada penelitian ini, pembahasan akan lebih ditekankan pada “Limit

dan Konvergensi Barisan Ganda Bilangan Real”.

Dalam penelitian sebelumnya oleh Habil (2008) hanya dijelaskan sebatas pada

pembuktian tiap teoremanya.Belum ditunjukkan melalui contoh-contoh agar dapat lebih

mudah dipahami. Dalam penelitian ini akan dikaji ulang pembuktian teorema terkait

mailto:[email protected]



30

barisan ganda bilangan real secara lebih mendalam dan akan diberikan contoh pada tiap

definisi dan teorema agar dapat dianalisis, dipahami dan dikembangkan secara lebih

mendalam oleh peneliti lainnya.

METODE

Langkah pengerjaan yang dilakukan dalam pengerjaan skripsi ini, diurutkan dalam

beberapa langkah, yaitu:

i. Mengidentifikasi definisi barisan ganda bilangan real

Tahap selanjutnya adalah proses pengidentifikasian definisi barisan ganda bilangan

real yang akan digunakan dalam pembahasan berikutnya.

ii. Mencari dan membuktikan sifat-sifat barisan ganda bilangan real

Setelah barisan ganda bilangan real diidentifikasi dengan benar, maka tahap

selanjutnya adalah mencari dan membuktikan sifat-sifat barisan ganda bilangan real.

iii. Menurunkan teorema-teorema terkait dengan limit barisan ganda dan konvergensinya

Tahap ii telah menjelaskan definisi barisan ganda bilangan real, selanjutnya pada tahap

iii telah diketahui sifat-sifat barisan ganda bilangan real. Maka, pada tahap ini akan

dibuktikan teorema-teorema barisan ganda bilangan real untuk mengetahui

konvergensi barisan ganda bilangan real. Dari tahap ini, akan diketahui tentang

bagaimana barisan ganda bilangan real yang konvergen dan bagaimana barisan ganda

bilangan real yang divergen.

iv. Menarik kesimpulan

Dari hasil-hasil yang diperoleh pada langkah-langkah sebelumnya, akan ditasik

kesimpulan mengenai limit dan konvergensi barisan ganda bilangan real. Penarikan

kesimpulan ini merupakan tahap akhir penelitian yang didasarkan pada hasil penelitian

yang dilakukan.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Definisi 1 (Habil, 2008)

Barisan ganda bilangan real (barisan ganda di ℝ) adalah suatu fungsi pada himpunan ℕ

dengan daerah hasil yang termuat di ℝ. 𝚫

Dengan kata lain, suatu barisan di ℝ memasangkan bilangan asli dan

bilangan asli secara tunggal dengan bilangan ℝ. Sehingga dapat disimpulkan

bahwa domain dari barisan ganda bilangan real adalah hasil cross product antara bilangan

asli (ℕ) dengan bilangan asli (ℕ). Sedangkan kodomain dari barisan ganda bilangan real

adalah sama dengan kodomain dari barisan bilangan real yang tunggal, yakni himpunan

bilangan real ( ). Dari kesimpulan ini, dapat dilihat bahwa perbedaan mendasar antara

barisan tunggal bilangan real dan barisan ganda bilangan real terletak pada domain fungsi

pembangun barisannya. Barisan ganda bilangan real :S ℕℕℝ sering dinotasikan

dengan:

,S )),,(( mns mnmns ,:),(( ℕ)

Contoh 1

Bila a ℝ, maka baris mnamns mn ,;),( ℕ adalah barisan

,...,,,(312111

aaa ,...),,,...,,,332313322212

aaaaaa

Artinya;

:),( mns ℕℕℝ

mnmn

amns ,;),( ℕℕ mna ℝ. ■



31

Jika limit dari suatu barisan ganda bilangan real ),( mns adalah a ditulis

,),(lim,

amnsmn

maka barisan ganda ),( mns dikatakan konvergen ke .a Dari hubungan

tersebut, dalam bab berikutnya akan dibahas tentang limit barisan ganda bilangan real.


Barisan ganda dikatakan konvergen ke dan ditulis ,),(lim,

amnsmn

jika

memenuhi , maka: amns ),( ).(, kmn

𝚫

Contoh 2

Tunjukkan bahwa .01

lim,

mnmn

Penyelesaian:

Ambil sembarang ,0 akan ditunjukkan bahwa

)(k ℕ ).(,,),( kmnamns Misalkan pmn , Sehingga diperoleh:

amns ),(pmn 2

10

1

p2

1

2 p Dengan demikian, diperoleh

.2

,,2

)(

mnk Dengan kata lain, terbukti bahwa .01

lim mn

■


Misalkan barisan ganda bilangan real, maka:

i) Barisan ganda dikatakan menuju ke dan ditulis ,),(lim,

mnsmn

jika

sedemikian hingga jika )(, kmn maka .

ii) Bari

san ganda dikatakan menuju ke dan ditulis ,),(lim,

mnsmn

jika

sedemikian hingga jika )(, kmn maka . 𝚫

Contoh 3

Tunjukkan bahwa .0lim,

mn

n

mn

Penyelesaian:

Ambil sembarang ,0 akan ditunjukkan bahwa

)(k ℕ ).(,,),( kmnamns Misalkan pmn , Sehingga diperoleh:

amns ),( 0

mn

n

mn

nm

mn

n

p

p

2

2

2

p 2 p .

Diperoleh .2,,2,;2)( mnpmnk

■

Teorema 1 (Ketunggalan Limit barisan ganda) (Habil, 2008)

Barisan ganda bilangan real hanya memiliki satu limit. ▲



32

Bukti:

Misalkan limit barisan ganda konvergen ke ;

i) Limit adalah artinya

)(0 1 k ℕ )(1

,,2

),(

kmnamns

ii) Limit adalah artinya

)(0 2 k ℕ )(2

,,2

'),(

kmnamns

Sehingga, '),(),(' amnsmnsaaa '),(),( amnsmnsa

'),(),( amnsamns

22

Karena 'aa dan , maka adalah bilangan positif. Sedangkan disisi lain, nilai

mutlak adalah suatu nilai yang selalu tak negatif. Maka, dapat disimpulakan

bahwa: 0' aa Sehingga Dengan kata lain, limit barisan ganda adalah tunggal.

Contoh 4

Tunjukkan bahwa .lim 02

,

mnmn

Penyelesaian:

Ambil sembarang ,0 akan ditunjukkan bahwa )(k ℕ

,),( amns ).(, kmn Misalkan ., pmn Sehingga

diperoleh: amns ),( 02

mn pp

2

p2

2

1 p Dengan demikian, diperoleh

.1

,,1

)(

mnk Dengan kata lain, terbukti bahwa .02

lim mn

■

Teorema 2 (Habil, 2008)

Misalkan ,),(lim , amnsmn artinya

amnsmn ),(limlim ),(lim mnsm ada, untuk setiap . ▲

Bukti:

Asumsikan bahwa nn cmns ),(lim untuk setiap Akan dutunjukkan bahwa

,acn dengan .m Ambil .0 Karena dimana ,, mn untuk

setiap )(1 k ℕ, sehingga: ),(,,2

),( 1

kmnamns Dan karena n ℕ,

ncmns ),( dimana )(, 2 km ℕ, sehingga ).(,2

),( 2

kmcmns n



33

Sekarang, ambil .)(),(sup 21 kkm Dimana

),(1 kn sehingga acn amnsmnscn ),(),(

amnsmnscn ),(),( . Oleh karena itu, ,acn dimana .n

Contoh 5

Tunjukkan bahwa ,0),(limlim mnsmn jika diketahui .0lim ),( mnsm

Perhatikan barisan ganda bilangan real

mnmn

nmns ,;),( ℕ.

0),(lim

mnsm

, mengakibatkan 0limlim ),( mnsmn . ■


Misal, .),(lim , amnsmn Maka, ),(limlim mnsmn dan

),(limlim mnsnm ada, jika dan hanya jika:

),(lim mnsm ada, dan ii). ),(lim mnsn ada, ▲

Bukti:

)( Akan dibuktikan bahwa .),(lim , amnsmn Maka, ),(limlim mnsmn dan

),(limlim mnsnm ada, jika:

),(lim mnsm ada, dan ),(lim mnsn ada,

Penyelesaian:

Misalkan amnsmn ),(limlim dan amnsnm ),(limlim . Dari Teorema

3, diperoleh amnsmn ),(limlim jika ),(lim mnsm ada, dan

amnsnm ),(limlim jika ),(lim mnsn ada. Dengan demikian, maka terbukti

bahwa .),(lim , amnsmn Maka, ),(limlim mnsmn dan

),(limlim mnsnm ada, jika: ),(lim mnsm ada, dan

),(lim mnsn ada,

)( Akan ditunjukkan bahwa ),(lim mnsm ada, dan ),(lim mnsn ada,

, jika .),(lim , amnsmn Maka, ),(limlim mnsmn dan

),(limlim mnsnm ada.

Penyelesaian:

Karena ),(lim mnsm ada dan ),(lim mnsn ada, maka ),(limlim mnsmn

ada dan ),(limlim mnsnm ada. Dengan kata lain, ),(limlim mnsmn ada.

Misalkan amnsmn ),(limlim . Maka, terbukti bahwa ),(lim mnsm ada,

dan ),(lim mnsn ada, , jika .),(lim , amnsmn Maka,

),(limlim mnsmn dan ),(limlim mnsnm ada.

Dari teorema di atas, dapat dilihat bahwa ada kemungkinan

amnsmn ),(limlim sedangkan .),(limlim bmnsnm Jika hal ini



34

terjadi, maka ),(limlim),(limlim mnsmns mmn Hal ini akan ditunjukkan

oleh contoh berikut ini.

Contoh 6

Tunjukkan bahwa ),(limlim mnsmn belum tentu sama dengan

),(limlim mnsnm dari barisan ganda bilangan real

mnmn

nmns ,;),( ℕ.

0lim),(lim

mn

nmns

mm, mengakibatkan 0),(limlim mnsmn .

Sedangkan 1lim),(lim

mn

nmns

nn, mengakibatkan .1),(limlim mnsnm

Dengan demikian, limit barisan ganda tersebut tidak ada. ■

Kekonvergenan suatu barisan ganda bilangan real bergantung pada perilaku suku-

suku akhirnya. Berikut ini akan diberikan definisi tentang ekor suatu barisan ganda

bilangan real.

Definisi 4

Misalkan ,),(),...,...,3,2(),2,2(),1,2(),...,3,1(),2,1(),1,1( mnsssssssS dimana adalah

barisan ganda bilangan real. Jika adalah suatu bilangan asli maka -ekor/ -tail

dari barisan ganda bilangan real adalah

),...2),2((),1),2((),...,2),1((),1),1(()),((:)( pspspspsmnpsps 𝚫

Contoh 7

Diberikan barisan ganda bilangan real sebagai berikut.

),( mns

mn

mn,;

1

,...

23

1,

13

1,...,

22

1,

12

1,...,

21

1,

11

1

,...

6

1,

5

1,

4

1,...,

5

1,

4

1,

3

1,...,

4

1,

3

1,

2

1

Maka ekor-2 dari barisan ),( mns adalah sebagai berikut.

)2(, mns

,...

7

1,

6

1,,...,

6

1,

5

1,...,

5

1,

4

1

Ekor-5 dari barisan ),( mns adalah sebagai berikut.

)5(, mns

,...

10

1,

9

1,...,

9

1,

8

1,...,

8

1,

7

1 ■

Definisi 5

Misalkan ,),(),...,...,3,2(),2,2(),1,2(),...,3,1(),2,1(),1,1( mnsssssssS dimana adalah

barisan ganda bilangan real. Jika adalah suatu bilangan asli maka -ekor/ -tail

dari barisan ganda bilangan real adalah

)),...2(,2()),1(,2()),...,2(,1(()),1(,1())(,(:)( qsqsqsqsmqnsqs 𝚫



35

Contoh 8


),( mns

mn

mn,;

1

,...

23

1,

13

1,..,

22

1,

12

1,...,

21

1,

11

1

,...

5

1,

4

1,...,

4

1,

3

1,..,

3

1,

2

1Maka ekor-2 dari barisan ),( mns adalah

mns ),2(

,...

7

1,

6

1,...,

6

1,

5

1,...,

5

1,

4

1. Ekor-5 dari barisan ),( mns adalah

mns ),5(

,...

10

1,

9

1,...,

9

1,

8

1,...,

8

1,

7

1

■

Teorema 4 (Panjang Ekor Barisan Ganda)

Misalkan )),((:)( mnpsps adalah ekor barisan ganda bilangan real, dan

))(,(:)( mqnsqs juga merupakan barisan ganda bilangan real, maka ekor barisan

))(,(:)( mqnsqs lebih panjang dari pada ekor barisan )),((:)( mnpsps .

Bukti:

Diberikan ),( mns adalah barisan ganda bilangan real.Misal mnmnmns ,;),( ℕ, maka

barisan ),( mns adalah sebagai

berikut. ),( mns ,...)3,2,1( nnn ...)2,22,12,...,21,11( Dengan kata lain,

:),( mns ℕℕℝ Karena m berjalan terlebih dahulu, maka jika terdapat ekor barisan

))(,(:)( mqnsqs dan ekor barisan )),((:)( mnpsps diperoleh setiap anggota dari

ekor barisan )),((:)( mnpsps merupakan anggota dari ekor barisan

))(,(:)( mqnsqs namun tidak berlaku sebaliknya.

Contoh 9

Diberikan barisan ganda bilangan real mnmns ,);,( ℕ sebagai berikut.

),( mns mnnm

,;1

( ℕ)

,...

9

1,

6

1,

3

1,...,

6

1,

4

1,

2

1,...,

3

1,

2

1,

1

1Dari Definisi 5 diperoleh:

),( mns mnnm

,;1

( ℕ)

,..

6

1,

3

1,..,

4

1,

2

1,..,

2

1,

1

1

i) ))1(,( mns

,...

9

1,

6

1,...,

6

1,

4

1,...,

3

1,

2

1Suku pertama pada ekor barisan ganda

))1(,( mns adalah suku ke dua dari barosan ganda ),( mns .

),( mns mnnm

,;1

( ℕ)

,...

9

1,

6

1,...,

6

1,

4

1,...,

2

1,

1

1

ii) )),1(( mns

,...

9

1,

6

1,

3

1,...,

6

1,

4

1,

2

1Suku pertama pada ekor barisan ganda

)),1(( mns adalah suku ke q dari barisan ganda ),( mns , dimana q ketika suku ke

1n berjalan.



36

Dari i dan ii, tampak bahwa panjang ekor barisan ))1(,( mns lebih panjang dari pada

panjang ekor barisan )),1(( mns

■

Teorema 5

Misal, mnmnsS ,:),(( ℕ) adalah barisan ganda bilangan real.Maka, -ekor

)),((:)( mnpsps dari barisan ganda ),( mns adalah konvergen barisan ganda

),( mns konvergen.Artinya ),(lim)(lim mnsps . ▲

Bukti:

)( Akan dibuktikan jika barisan ),( mns konvergen, maka -ekor ),( mns juga

konvergen.

Misalkan ),( mns konvergen ke artinya: )(,0 k ℕ )(kn memenuhi

.),( amns Maka, untuk suku dari )(),( kkps memenuhi

.),( pamns Sehingga dapat diambil ,)()( pkk p dengan kata lain

.)( aps

)( Jika -ekor dari ),( mns konvergen, maka barisan ),( mns juga konvergen.

Jika -ekor dari ),( mns konvergen, maka memenuhi:

)(,0 pk ℕ )()( mkkkn memenuhi .),( amns Maka, untuk

setiap suku-suku dari pknmns )(),,( memenuhi .),( amns

Contoh 10

Tunjukkan bahwa limit barisan ganda bilangan real

mnmn

mns ,;1

(),( ℕ) yang

konvergen ke 0, maka )),2(( mns juga konvergen ke 0.

Penyelesaian:

Dari Definisi 5 diperoleh bahwa barisan ganda bilangan real )),2(( mns adalah ekor

barisan dari barisan

mnmn

mns ,;1

(),( ℕ) yang mengakibatkan

.)2( mnmn Dari Teorema 5 mengakibatkan barisan ganda bilangan real

mnmn

mns ,;1

(),( ℕ) konvergen.Maka )),2(( mns juga konvergen. ■


Barisan ganda bilangan real dikatakan terbatas, jika terdapat suatu bilangan real

0G sedemikian hingga ,),( Gmns dimana mn, ℕ. Oleh karena itu, barisan

),( mns terbatas jika dan hanya jika himpunan mnmns ,:),.({ merupakan subset

terbatas dalam .



37

Contoh 11

Diberikan barisan ganda bilangan real mnmnmn

mns ,;8,14;11

(),( ℕ).Tampak

bahwa mn, ℕ yang terbatas. Yaitu, 13,...,4,3,2,1n dan 7,...,4,3,2,1m . Dengan

demikian, barisan ganda bilangan real mnmnmn

mns ,;8,14;11

(),( ℕ)

merupakan subset terbatas dari ℝ. ■


Barisan ganda bilangan real yang konvergen adalah terbatas. ▲

Bukti:

Misalakan .),( amns Artinya:

terdapat sedemikian hingga ,),( amns .

Ambil sehingga

).1(,,1),( kmnamns ),( mns aamns ),( aamns ),( a1 Jik

a diambil ,),(1,)1)1((...,)1,2(,)2,1(,)1,1(sup mnskssssM maka

mnMmns ,,),( ℕ.Maka, mnMmns ,,),( ℕ.

Contoh 12

Diberikan barisan ganda bilangan real

mn

mnmns mn ,;

11)1(),( ℕ. Akan

ditunjukkan bahwa

kmnsmn

,0.0),(lim,

ℕ Sehingga pmn , diperoleh:

0),( mns

mn

mn 11)1(

p2

1

2

1 p

Barisan ganda bilangan real

mn

mnmns mn ,;

11)1(),( ℕ adalah

konvergen.Namun, ),(limlim mnsmn

tidak ada.Karena ),(lim mnsm

tidak ada.Dan

),(limlim mnsnm

tidak ada.Karena ),(lim mnsn

tidak ada.Dengan demikian, barisan ganda

bilangan real yang konvergen tidak selalu memiliki limit. ■


Misal ),( mns adalah barisan ganda bilangan real yang dapat ditulis

mnaamns ),( sedemikian hingga 1lim lan

n

dan

2lim lamm

, maka

21,

),(lim),(limlim),(limlim llmnsmnsmnsmnmnnm

▲

Contoh 13

Misalkan diberikan barisan ganda bilangan real mnnm

mns ,;1

),( ℕ.

Diketahui .0),(limlim),(limlim),(lim,

mnsmnsmnsnmmnmn



38

mnaamns mn

11),( , maka diperoleh

01

limlim n

an

nn

dan .01

limlim m

am

mm

Dari Teorema 7, diperoleh bahwa

.0001

lim1

lim1

limlim1

limlim1

lim,

mnnmnmnm mnnmmnmn

■


Misal ),( mns adalah barisan ganda bilangan real yang dapat ditulis

mn aamns ),( sedemikian hingga 1lim lan

n

dan

2lim lamm

, maka

21,

),(lim),(limlim),(limlim llmnsmnsmnsmnmnnm

▲

Bukti

Dari hipotesisi, diperoleh

21limlim)(limlim),(limlim llaaaamns mmm

nn

mnmnnm

Dan

21limlim)(limlim),(limlim llaaaamns mmm

nn

nmnmmn

Kemudian, akan ditunjukkan bahwa .),(lim,

mnmn

llmns

Diberikan ,0 dari hipotesis terdapat bilangan asli ),(kk sehingga

21

lan dan

21

lam , mn, ℕ.

Oleh karena itu, diperoleh

2121 )(),()(, llaallmnskmn mn 21 lala mn

Sehingga, terbukti bahwa .),(lim,

mnmn

llmns

Contoh 14

Misalkan diberikan barisan ganda bilangan real mnmn

mns ,;11

),( ℕ.

Diketahui .0),(limlim),(limlim),(lim,

mnsmnsmnsnmmnmn

mnmns

11),( , maka diperoleh .0

1lim

1lim

11lim,

mnmn mnmn

Dari Teorema 8, diperoleh

mnmn

11lim,

0)11

(limlim

mnnm

■

Barisan ganda bilangan real yang terbatas, belum tentu konvergen.Sebagai contoh,

barisan ganda bilangan real mnnm

,;1 ℕ adalah barisan ganda yang terbatas, namun

tidak konvergen.


Misal, diberikan ),( mns adalah barisan ganda bilangan real

(i) Jika ),(),(),( kjkjsmns dalam ℕℕ, disebut barisan naik



39

(ii) Jika ),(),(),( kjkjsmns dalam ℕℕ, disebut barisan turun

(iii) Jika

),( mns naik maupun turun, maka barisan tersebut barisan ganda monoton 𝚫

Contoh 15


),( mns

mnmn

,;1

ℕ

,...

23

1,

13

1,...,

22

1,

12

1,...,

21

1,

11

1

Diperoleh barisan monoton sebagai berikut.

...

4

1

3

1

2

1

..

5

1

4

1

3

1

...

6

1

5

1

4

1

■

Definisi 8

Diberikan barisan ganda bilangan real ),( mns . Barisan ganda ),( mns dikatakan naik

tegas, jika ),(),(),( kjkjsmns dalam ℕℕ.Dan barisan ganda ),( mns dikatakan

turun tegas, jika ),(),(),( kjkjsmns dalam ℕℕ. 𝚫

Contoh 16

Diberisan barisan ganda bilangan real sebagai berikut.

mnnm

mns ,;1

),( ℕ.

,..

6

1,

3

1,...,

4

1,

2

1,...,

2

1,

1

1),( mns Diperoleh barisan monoton

tegas sebagai berikut.

...

3

1

2

1

1

1

...

6

1

4

1

2

1

...

9

1

6

1

3

1

■

Teorema 9 (Teorema Konvergensi Monoton) (Habil, 2008)

Suatu barisan ganda bilangan real monoton dikatakan konvergen, jika dan hanya jika

barisan tersebut terbatas. Dengan kata lain,

(i) Jika ),( mns adalah terbatas ke atas, maka

),(lim),(limlim),(limlim,

mnsmnsmnsmnmnnm

mnmns ,:),(sup{ ℕ

(ii) Jika ),( mns adalah terbatas ke bawah, maka

),(lim),(limlim),(limlim,

mnsmnsmnsmnmnnm

mnmns ,:),(inf{ ℕ} ▲

Contoh 17

Diberikan barisan ganda bilangan real yang dinotasikan sebagai berikut.

mnnm

mns ,;1

),( ℕ yang konvergen ke 0.

,...

6

1,

3

1,..,

4

1,

2

1,...,

2

1,

1

1),( mns

Jika diambil sub barisan,

,...

3

1,

2

1,

1

1),(' mns adalah barisan ganda monoton yang

terbatas, yaitu dibatasi oleh 0 dan 1.

,...

6

1,

4

1,

2

1),(" mns adalah barisan ganda monoton

yang terbatas, yaitu dibatasi oleh 0 dan 1. ■



40

Berikut ini akan diulas tentang kontribusi barisan ganda bilangan real yang

monoton dalam sub barisan dan konvergensi sub barisan ganda.


Misalkan ),( mns adalah barisan ganda bilangan real dan misalkan

...,,, 332211 rkrkrk adalah barisan ganda bilangan real yang naik tegas dari

bilangan asli (ℕ). Maka, ),( nn rks disebut sub barisan dari ),( mns

𝚫

Contoh 18


,...,,,...,,,,...,,,),( 333231232221131211 aaaaaaaaamns dengan ketentuan,

,...131211 aaa ,...232221 aaa ...333231 aaa

Jika diambil sub barisan dari ),,( mns yaitu ...),(' 131211 aaamns

Maka ),(' mns disebut sub barisan dari ).,( mns

■


Jika ),( mns adalah barisan ganda bilangan real yang konvergen ke ,a maka sembarang sub

barisan dari ),( mns juga konvergen ke .a Dengan kata lain;

(i) Jika barisan ganda ),( mns konvergen, maka sub barisan dari ),( mns juga konvergen

(ii) Jika sub barisan dari barisan ganda bilangan real ),( mns konvergen, maka belum tentu

barisan ganda ),( mns juga konvergen. ▲

Bukti

Ambil sembarang )(,0 k ℕ, sehingga .),( amns Karena mn, ℕ berlaku

),,(),( 1 kkkk mnmn untuk setiap )(, kmn sehingga .),( amns

Terbukti bahwa ),(),( kk mnsmns konvergen ke .a

Contoh 19

Misalkan mnmns nm ,;)1(),( ℕ divergen.Maka barisan ),( mns adalah sebagai

berikut. ,...1,1,1,1,,1,1),( mns Jika diambil sub-sub barisan sebagai berikut,

,...1,1,,1),(' mns ,...1,1,1),(" mns Tampak bahwa ),(' mns konvergen ke

dan ),(" mns konvergen ke 1, padahal mnmns nm ,;)1(),( ℕ divergen. ■

Dengan kata lain, suatu barisan ganda bilangan real yang divergen, belum tentu sub

barisan dari barisan ganda bilangan real tersebut juga divergen. Dan setiap barisan ganda

bilangan real, selalu terdapat sub barisan dari barisan ganda bilangan real yang monoton,

berikut ini akan diberikan definisinya.


Jika ),( mns adalah barisan ganda bilangan real, maka terdapat sub barisan dari

),( mns yang monoton.

𝚫



41

Contoh 20


mnnm

mns ,;1

),( ℕ yang konvergen ke 0.

,...

6

1,

3

1,...,

4

1,

2

1,...,

2

1,

1

1),( mns

Jika diambil sub barisan,

,...

3

1,

2

1,

1

1),(' mns

,...

6

1,

4

1,

2

1),(" mns

Tampak bahwa sub barisan ),(' mns dan ),(" mns adalah barisan yang monoton. ■

KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan hasil analisa dan pembahasan yang telah diuraikan, dapat disimpulkan

bahwa Sifat-sifat barisan ganda bilangan real dan limitnya dapat diuraikan sebagai berikut.

a. Barisan ganda konvergen ke dan ditulis ,),(lim,

amnsmn

jika

, maka: ).(,),( fmnamns

b. Barisan ganda bilangan real yang konvergen hanya memiliki satu limit.

c. Misal, .),(,lim amnsmn Maka, ),(limlim mnsmn dan

),(limlim mnsnm ada, jika dan hanya jika: ),(iml mnsm ada, dan

),(iml mnsn ada,

d. Misalkan ,),(),...,...,3,2(),2,2(),1,2(),...,3,1(),2,1(),1,1( mnsssssssS dimana

adalah barisan ganda bilangan real. Jika adalah suatu bilangan asli

maka -ekor/ -tail dari barisan ganda bilangan real adalah

),...2),2((),1),2((),...,2),1((),1),1(()),((:)( pspspspsmnpsps

e. Misalkan )),((:)( mnpsps adalah ekor barisan ganda bilangan real, dan

))(,(:)( mqnsqs juga merupakan barisan ganda bilangan real, maka ekor

barisan ))(,(:)( mqnsqs lebih panjang dari pada ekor barisan

)),((:)( mnpsps .

f. Barisan ganda bilangan real dikatakan terbatas, jika terdapat suatu bilangan

real 0G sedemikian hingga ,),( Gmns dimana mn, ℕ

Konvergensi barisan ganda bilangan real yang monoton dapat disimpulkan sebagai

berikut.

a. Suatu barisan ganda bilangan real monoton dikatakan konvergen, jika dan hanya jika

barisan tersebut terbatas.

b. Jika ),( mns adalah barisan ganda bilangan real, maka terdapat sub barisan dari

),( mns yang monoton.

Untuk pengembangan, penulis memberikan saran-saran agar peneliti berikutnya

menganalisis tentang barisan ganda bilangan kompleks atau melajutkannya ke deret ganda

bilangan real.



42

DAFTAR RUJUKAN

Bartle, R. G. dan Sherbert, D.R. 2000.Introduction to Real Analisis.John Wiley and Sons.

New York.

Habil E. D. 2008. Double Sequences and Double Series.Islamic University of Gaza.Gaza,

Palestine.

Irawan, J. F. P. 2001. Matematika Ekonomi. Salemba Empat. Jakarta

Marjono.2009. Kontribusi Matematika dalam Pengembangan SDM.

http://prasetya.ub.ac.id/berita/Prof-Marjono-Kontribusi-Matematika-dalam-

Pengembangan-SDM-2980-id.html. (Diakses Pada Tanggal 26 Maret 2017, 15.24

WIT)

Riyanto, Z. 2008. Pengantar Analisis Real I. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.

http://prasetya.ub.ac.id/berita/Prof-Marjono-Kontribusi-Matematika-dalam-Pengembangan-SDM-2980-id.html

http://prasetya.ub.ac.id/berita/Prof-Marjono-Kontribusi-Matematika-dalam-Pengembangan-SDM-2980-id.html

Documents

LIMIT DAN KONVERGENSI BARISAN GANDA BILANGAN REAL · fungsi yang memetakan himpunan dengan daerah hasil yang termuat di . Dengan kata lain, suatu barisan di memasangkan masing-masing