BARISAN YANG KONVERGEN DAN BARISAN YANG DIVERGEN

KELOMPOK V Delima panjaitan (09 050 148) Subanul Waton (09 050 164)

Wanti roulina (09 050 137) Butet ita maluhae ( 09 050 187) Abinhot simamora (09 050 157)

Anti sihotang (09 050 181) Elvira alia ( 08 050 014)

Barisan dan Sub barisan Bilangan Nyata

I. Pemetaan atau FungsiMerupakan suatu aturan yang

mengawankan setiap anggota / unsur h di H dengan unsur tunggal k= f(h) di K.

f = H → KDimana : H disebut domain K disebut kodomain k = f(h) disebut bayangan unsur h di H

oleh f

Jika jangkauan f (H) = K, Maka f disebut onto atau surjektif.

Jika Sembarang pasangan h1,h2 € H dan h1 ≠ h2 maka fungsi itu disebut injektif atau 1-1

Jika fungsi tersebut injektif dan surjektif maka fungsi itu di sebut bijektif atau koresponden satu-satu.

Beberapa nama pemetaan khusus

1. Pemetaan f : H → H Disebut pemetaan identitas jika f

terdefinisi oleh persamaan maka f(x) = x ,x € H2. Pemetaan f : H → H

Disebut pemetaan konstanta jika f terdefinisikan oleh persamaan f (x) = k , x € H dan k konstanta

II. Definisi BarisanJika dalam pelajaran SMA kita mengetahui bahwa barisan itu adalaha1,a2,a3,a4,...3,5,7,9,…Yang dibentuk dengan cara atau aturan tertentu.

Tapi saat ini untuk mendefinisikan suatu barisan kita akan menggunakan beberapa definisi, yaitu:

Definisi 2.1 Dengan menggunakan Notasi atau disebut pemetaan terdaftar f : Io → AI = { 1,2,3,4,.....}disebut him bil asli urutan boleh sembarangIo = < 1,2,3,…n,….> disebut him bil asli urutan alamiA = < a1,a2,a3,….an,…> disebut bil him asli f = < (1,a1),(2,a2),(3,a3),(n,an),,,> disebut himpunan bil sembarang

Definisi 2.2 Suatu barisan adalah suatu himpunan yang telah diberi daftar/di urutkan.Tetapi tidak setiap himpunan dapat dikatakan barisan,agar suatu himpunan dapat dikatakan barisanmaka harus ada terdapat suatu pengurutan titk-titik dalam himpunan itu yang di peroleh dari urutan alami dari himpunanbilangan asli melalui suatu pemetaan daftar.

Definisi 2.3 Barisan selalu di tandain oleh < an>

Teorema 2.1Io adalah sebuah barisan.Dimana pemetaan terdaftarnya adalah pemetaan identitas dimana,f : Io → Io, n € Io, f(n) = n.

Contoh 1.:1. DiDefenisikan pemetaan onto f : lo → l , n € lo

g

f (n) = n+ 1 jika n genap n-1 jika n genap

f (n) = n- (-1) pangkat n, n € IoMaka jika n=1, f(1) = 1- (-1) = 2

n=2 ,f(2) = 2 – 1 = 1n=3 ,f(3) = 3 – (-1)= 4

dst.....Jadi ,pemetaan di f untuk menentukan barisan

nya adalah < 2,1,4,3,6,5,....>Note : Ada kemungkinan mendifinisikan suatu

barisan yang merupakan himpunan terurut dari lo.

Contoh 2..Misalkan A adalah himpunan bilangan asli genap,

yang didefinisikan dari pemetaan onto f : lo → A, n € lo dan f(n)= 2n dimana lo<1,2,3,4,.....n>

Tentukanlah barisannya..

Penyelesaiannya:f(n) = 2n n= 1 → f(1) = 2 n= 2 → f(2) = 4 n= 3 → f(3) = 6 n = 4 → f(4) = 8Dst......Maka barisannya adalah ..<2,4,6,8,.....>Jika diBandingkan A dgn Io maka keduanya

merupakan A C Io

Definisi 2.4..Barisan a = < ni > adalah subbarisan dari

lo jika dan hanya jika :1.Setiap ni, merupakan suatu bilangan asli

A C I.2. Untuk setiap bilangan asli i, ni < ni + 1

Definisi 2.5 Suatu barisan <bn> adalah subbarisan

atau barisan-barisan dari barisan <an> jika dan hanya jika terdapat suatu barisan <n1> dari lo sedemikian rupa sehingga bi = ani , i € A.

Contoh 1Misalkan <an> adalah sebuah barisan :

yakni <an>= <a1,a2,a3,....>Misalakn <ni> adalah subbarisan dari lo,

<ni>=<3,6,9,13..> didefinisikan ni=3iTentukanlah subbarisan <bi> dari barisan

<ai> ,dimana untuk setiap i, bi = a3i..Penyelesaian : bi = a3i Maka, b1 = a3

b2 = a6 b3 = a9 , dst....

Jadi sub barisan <bi> = <a3,a6,a9,..> yang terambil dari setiap suku ke tiga dari barisan <an>.

bi = ani

Definisi 2.6Semua barisan yang didefinisikan secara

eksplisit adalah merupakan sebuah barisan dengan suku-suku yang berlaian.

Jika <an> adalah suatu barisan sedemikian rupa sehingga ai ≠ aj apabila i ≠ j.

Maka <an> disebut sebuah barisan dengan suku-suku yang berlainan.

Contoh 1.Misalkan suatu k bilangan yang diketahui

barisannya adalah k =<k1,k2,k3,...> untuk setiap n € lo,f(n) = k.

Maka definisikanlah suatu pemetaannya dalam sebuah daftar .

Penyelesaian:k= <k1,k2,k3,...> , n € lof(n) = 1 jika n gajil

0 jika n genap Maka f (n) = { 1 – (-1) pangkat n} / 2 n=1 → f(1) = 1 n=2 → f(2) = 0 n=3 → f(3) = 1 n=4 → f(4) = 0, dst..............Maka pemetaan barisannya adalah

<1,0,1,0,1,0,...>

Barisan yang terbatas dan yang monoton

Definisi 1 Bilangan nyata b adalah batas atas untuk barisan

<xn> jika dan hanya jika xn ≤ b untuk setiap n. Bilangan real a adalah batas bawah untuk

barisan <xn> jika dan hanya jika xn ≥ a untuk setiap n.

Sedangkan barisan <xn> adalah terbatas ke atas jika dan hanya jika barisan mempunyai batas atas :dan

Terbatas ke bawah jika dan hanya jika barisan mempunyai batas bawah..

Terbatas jika dan hanya jika barisan itu memiliki batas atas dan batas bawah.

Contoh 1

Perhatikan barisan <an> dimana an= 2 + 3/n ,untuk setiap n € lo..

Carilah pemetaan barisannya dan batas atas dan bawahnya.

Penyelesaian:Pemetaan barisannya= <5, 3 ½ , 3, 2

¾,...>Jadi barisan ini terbatas keatas dengan

batasnya : 5,6,7 ,... Barisan ini terbatas ke bawah dengan

batasnya : 2,1,0,... Sehingga <an> terbatas.

Teorema 1Barisan ,xn. Adalah barisan terbatas jika

dan hanya jika terdapat bilangan tag negatif M sedemikian rupa sehingga Ixnl ≤ M untuk setiap n.

BUKTINYA:Diketahui <xn> terbatas,sehingga menurut

definisi 1 barisan mempunyai batas atas M1 dan M2 batas bawahnya dengan sifat Xn ≤ M1 Dan Xn ≥ M2 untuk setiap n € lo..

Tetapkan M = Maks ( M1,M2) Maka; -M ≤ Xn ≤ M atau lXnl ≤ M

Batas atas MBatas bawah -M

Teorema 2 Setiap subbarisan dari barisan yang

terbatas adalah terbatas,ternyata setiap batas untuk suatu barisan induknya adalah batas atas untuk setiap subbarisan ,dan setiap batas bawah untuk barisan induknya adalah batas bawah untuk setiap subbarisannya.

BUKTI :Misalkan <bi> adalah subbarisan dari

<an> yang terbatas.Sama dengan teorema 1.

Definisi 2

Suatu barisan < Xn > adalah monoton tidak turun jika dan hanya jika Xn ≤ Xn + 1, n € asli

Suatu barisan <Xn> adalah monoton tidak naik jika dan hanya jika Xn ≥ Xn + 1 , n € asli

Suatu barisan adalah monoton jika dan hanya jika barisan itu monoton tidak turun atau monoton tidak naik.

Contoh Suatu barisan monoton tidak turun adalah

barisan yang suku-suku nya boleh sama atau naik,tetapi tidak pernah turun , <1,2,2,3,3,3......> disebut barisan monoton tidak turun..

Dan <1,1,1,1,...> disebut barisan monoton tidak turun dan tidak naik.

Definisi 3 1. Suatu barisan monoton <Xn> adalah

monoton naik jika dan hanya jika Xn < Xn +1 ,Untuk semua bil.asli n

2. Suatu barisan <Xn> adalah monoton turun jika dan hanya jika Xn> Xn + 1 untuk setiap bil.asli n

3. Suatu barisan < Xn> adalah monoton langsung jika dan hanya jika barisan itu monoton naik atau turun.

4. Teorema 35. Setiap subbarisan dari I o adalah

monoton naik.

g

Teorema 4 1. Setiap subbarisan dari barisan monoton

tidak naik adalah monoton tidak naik2. Setiap subbarisan dari barisan monoton

tidak turun adalah monoton tidak turun 3. Setiap subbarisan monoton naik adalah

monoton naik4. Setiap subbarisan monoton turun adalah

monoton turun

1. Contoh 1.2. Diketahui sebuah barisan

<1,2,1,4,1,6,1,8....> tentukan apakan barisan ini dapat memuat subbarisan monoton ?

3. Penyelesaiannya:4. <1,2,1,4,1,6,1,8,.....> tidak lah

merupakan subbarisan monoton,tetapi memuat subbarisan monoton tidak turun <1,1,1,1,..> dan juga memuat subbarisan monoton naik <2,4,6,8,..>

5. Note : Setiap barisan bilangan real harus memuat subbarisan monoton.

Bilangan aksioma 1. BILANGAN AKSIOMA BAIK ( well-Ordering)

untuk Io2. Himpunan bilangan asli lo adalah well-

ordered,yakni setiap himpunan tak hampa tetapi mempunyai elemen terkecil

3. AKSIOMAN PILIHAN (Axiom of choice) untuk barisan

4. Misalkan < An > suatu himpunan bagian tag hampa dari semesta U. Maka terdapatlah subbarisan <pn> terdiri atas titik-titik dari U sedemikian rupa sehingga diberikan n € lo, Pn € An.

<an,N> = < AN+1,aN+2, aN+3, An+4,....>

Misalnya:

<an,0> = <a1,a2,a3,a4,....><an,1> = < a2,a3,a4,a5,...><an,2> = < a3,a4,a5,a6,...><an,3> = <a4,a5,a6.a7,....>

Note : Bahwa setiap barisan dalam daftar ini adalah suatu subbarisan dari semua barisan yang mendahului; yakni untuk setiap bilangan asli n,Jika k adalah bil cacah <an,N+k> adalah subbarisan dari <an,N>.

LEMMA 1

Misalkan <an> adalah barisan sedemikian rupa sehingga untuk setiap bilangan cacah N terdapat suatu elemen dari barisan <an,N> yang merupakan batas bawah dari barisan <an>. Maka <an> mempunyai subbarisan monoton tidak turun.

LEMMA 2

Misalkana <an> adalah barisan dengan sifat berikut:

1. Terdapat bilangan cacah N sedemikian rupa sehinga tidak ada elemen dari barisan < an,N> yang menjadi batas bawah untuk <an,N>. Maka barisan <an> mempunyai suatu barisan monoton turun.

TEOREMA 5Setiap barisan bilangan real mempunyai suatu

subbarisan monoton.BUKTI :Misalkan < an> Sembarang barisan bilangan

real. Maka tepat salah satu peryataan di bawah ini adalah benar.

1. Untuk setiap bilangan cacah N , terdapat suatu elemen dari barisan <an,N> yang merupakan batas bawah untk barisan <an,N>, Disebut subbarisan monoton tidak turun(lemma1)

2. Terdapat suatu bilangan cacah N sedemikian rupa sehingga tidak ada elemen dari barisan <an,N> yang merupakan batas bawah dari barisan <an,N>,disebut subbarisan monoton turun.(lemma2)