Funções reais de variável real

Limites de funções reais de variável realO essencial

Dado um conjunto 𝐴 ⊂ 𝐼𝑅 e um número real 𝑎, 𝑎 designa-se ponto

aderente a 𝑨 quando existe uma sucessão 𝑥𝑛 , tal que:

∀𝒏 ∈ 𝑰𝑵, 𝒙𝒏 ∈ 𝑨 ∧ 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒏 = 𝒂

Ponto aderente de um conjunto

Definição de limite de uma função (Heine)

Dada uma função real de variável real 𝑓 e um ponto 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, 𝑏 ∈ 𝐼𝑅,

designa-se por limite de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende para 𝒂, e representa-

-se por:

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂

𝒇(𝒙) = 𝒃

quando 𝑎 for ponto aderente ao domínio de 𝑓 𝐷𝑓 e para toda a

sucessão 𝑥𝑛 de elementos de 𝐷𝑓 convergente para 𝑎, lim𝑓 𝑥𝑛 = 𝑏.

O limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende para 𝑎, quando existe, é único.

Dada uma função real de variável real 𝑓e um ponto 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, diz-se que o

limite de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende para 𝒂 é +∞ (respetivamente, −∞) e

representa-se por lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = +∞ (respetivamente, lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = −∞)

quando 𝑎 for ponto aderente ao domínio de 𝑓 e, para toda a sucessão

𝑥𝑛 de elementos de 𝐷𝑓 convergente para 𝑎, lim𝑓 𝑥𝑛 = +∞

(respetivamente, lim𝑓 𝑥𝑛 = −∞).

Definição de limite de uma função (Heine)

Dada uma função real de variável real 𝑓 e 𝑎 ∈ 𝐼𝑅:

𝑏 ∈ 𝐼𝑅 é o limite de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende para 𝑎 por valores

inferiores a 𝑎 e designa-se por limite de 𝑓(𝑥) à esquerda de 𝑎

quando 𝑏 = lim𝑥→𝑎

𝑓| −∞,𝑎 (𝑥).

𝑐 ∈ 𝐼𝑅 é o limite de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende para 𝑎 por valores

superiores a 𝑎 e designa-se por limite de 𝑓(𝑥) à direita de 𝑎

quando 𝑐 = lim𝑥→𝑎

𝑓| 𝑎,+∞ (𝑥).

Estes resultados representam-se, respetivamente, escrevendo

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝑏 e lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑐.

Limites laterais

Estas definições estendem-se de igual modo ao caso em que o limite é

+∞ ou −∞ substituindo 𝑏 por +∞ ou −∞, respetivamente.

Dados 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼𝑅 e uma função f, real de variável real, de domínio 𝑎, 𝑏 ,

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 e lim𝑥→𝑏

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑏−

𝑓 𝑥 .

Limites laterais

Dada uma função real de variável real 𝑓 e um ponto 𝑎 aderente ao

respetivo domínio, 𝐷𝑓:

Se 𝑎 ∉ 𝐷𝑓 e se os limites lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) existem e são

iguais, então, existe lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) e, nesse caso:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥)

Se 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 e se os limites lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) existem e são iguais

a 𝑓 𝑎 , então, existe lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) e, nesse caso:

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥)

Limites laterais

Dada uma função real de variável real 𝑓 de domínio não majorado,

𝑏 ∈ 𝐼𝑅, diz-se que o limite de 𝒇(𝒙) quando 𝒙 tende para +∞,

(respetivamente, −∞), e representa-se por lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 𝑏

(respetivamente, lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑏) quando, para toda a sucessão 𝑥𝑛

de elementos de 𝐷𝑓 e limite +∞ (respetivamente, −∞), lim𝑓 𝑥𝑛 = 𝑏

(respetivamente, lim𝑓 𝑥𝑛 = 𝑏).

Limites no infinito

Dadas duas funções reais de variável real 𝑓: 𝐷𝑓 → 𝐼𝑅 e 𝑔:𝐷𝑔 → 𝐼𝑅,

um número real 𝑎 e um número racional 𝑟, quando os limites em

pontos aderentes respetivamente aos domínios de 𝑓 + 𝑔, 𝑓𝑔, 𝑓

𝑔, 𝑎𝑓 e

𝑓𝑟 , existem, tem-se, sempre que não resultem em indeterminações:

1. lim𝑥→𝑎

𝑓 + 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

2. lim𝑥→𝑎

𝑓𝑔 (𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) × lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 ;

Operações com limites de funções

3. lim𝑥→𝑎

𝑓

𝑔𝑥 =

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥;

4. lim𝑥→𝑎

𝑎𝑓 𝑥 = 𝑎 lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ;

5. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 𝑟 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥𝑟

Mantendo-se ainda estas propriedades para limites infinitos ou quando

𝑥 tende para +∞ e −∞, respetivamente, sempre que daí não resultem

indeterminações.

Operações com limites de funções

Dado um conjunto 𝐷, duas funções reais de variável real 𝑓 e 𝑔 de

domínio 𝐷 e um ponto 𝑎 aderente a 𝐷, se lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 0 e 𝑔 é limitada,

então, lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) = 0.

Esta propriedade é ainda válida para os limites laterais e, sendo 𝐷 um

conjunto não limitado, quando 𝑥 tende para +∞ ou −∞.

Propriedade

Dadas funções reais de variável real 𝑓 e 𝑔 e um ponto 𝑎 aderente a

𝐷𝑔∘𝑓, se lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑏 e lim𝑥→𝑏

𝑔 𝑥 = 𝑐, então, lim𝑥→𝑎

𝑔 ∘ 𝑓 (𝑥) = 𝑐.

Limite da função composta

Uma função real de variável real definida pelo quociente de dois

polinómios designa-se por função racional.

Limite de uma função racional num ponto do seu domínio

Dada uma função racional 𝑓 e um ponto 𝑎 ∈ 𝐷𝑓, lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 .

Função racional

Dada uma função polinomial

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 +⋯𝑎1𝑥 + 𝑎0, 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1, 𝑎0 ∈ 𝐼𝑅, 𝑎𝑛 ≠ 0

tem-se:

lim𝑥→+∞

𝑎𝑛𝑥𝑛 +⋯𝑎1𝑥 + 𝑎0 = lim

𝑥→+∞𝑎𝑛𝑥

𝑛

e

lim𝑥→−∞

𝑎𝑛𝑥𝑛 +⋯𝑎1𝑥 + 𝑎0 = lim

𝑥→−∞𝑎𝑛𝑥

𝑛

Em geral: