LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

Cálculo de limites de funções, usando o gráfico de uma função

3

3

0

0

Observando o gráfico anterior,calcula os seguintes limites:

lim ( )

lim ( )

lim ( )

lim ( )

lim ( )

lim ( )

x

x

x

x

x

x

f x

f x

f x

f x

f x

f x

3

3

0

0

Observando o gráfico ao lado,calcula os seguintes limites:lim ( )

lim ( )

lim ( )

lim ( )

lim ( )

lim ( )

x

x

x

x

x

x

g x

g x

g x

g x

g x

g x

Definição de Limite segundo Heine

lim ( ) se e só se a toda a sucessão ( )de valores que tende

para por valores do domínio de , diferentes de , corresponde uma sucessão( )de valores de ( ) que tende para .

nx a

n

f x b x x

a f af x f x b

lim ( ) : ( , )n n n f n nx af x b x x a x D x a n f x b

Nota: Importante, recordar o conceito de limite de sucessão, por exemplo:

1 1lim lim 0nn n

Página 13

Por exemplo:

2Nesta função ( ) -1, qualquer sucessãoque tenda para 2, a sucessão imagem tende para 3.

2, ( ) 3Exemplosdesucessões, que tendem para 2:

12 ;

12 ;

2 3

As imagens destas sucessões

n n

n

n

n

f x x

x então f x

un

vn

nwn

tendem para 3.

Por exemplo:

Nesta função, consegue-seencontrar duas sucessões quetendem para 1, por exemplo:

1 11 , 1

onde ( ) 2 e( ) 1.

Logo não existe limiteem x = 1.

n n

n

n

x yn n

f xf y

2

3

2

Considera as sucessões:12

112

:1. lim

2.lim

3.lim

4.lim

n

n

n

n

n

n

n

n

an

b n

c n

dn

Calculaf a

f b

f c

f d

2

1

Usando a definição de limite, segundo Heine,Mostra que:

a) lim( 4) 5

1) lim 02 1

1 0) não existe limite em = 0, para ( ) =

0

x

x

x

bx

se xc x f x x

x se x

Página 10: Tarefa 1 pág. 11 ex. 2 pág 14 ex. 8 e 10

Recorda, novamente, os limites de Neper …

1lim 1n

ne

n

lim 1 ,nu

ann

n

a e desde que uu

2

7 1

:

2 5 3) lim 1 ) lim 1 ) lim 1

4 8 2) lim 1 ) lim 1 ) lim5 5

n n n

n n n

Exercícios

a b cn n n

nd e fn n n

LIMITES LATERAIS (Definição, segundo Heine)

lim ( ) se e só se, se a toda a sucessão ( ) de valores do D ,

com e a, corresponde uma sucessão ( ) convergente para .

n fx a

n n n

f x b x

x a x f x b

lim ( ) se e só se, se a toda a sucessão ( ) de valores do D ,

com > e a, corresponde uma sucessão ( ) convergente para c.

n fx a

n n n

f x c x

x a x f x

lim ( ) lim ( ) lim (x ax a x a

x ax af x f x f x

Propriedade:Desde que se possam considerar os dois limites laterais, podemos afirmar que: «Existe limite em se e só se os limites laterais em forem iguais».

) .b Página 13: ex. 6

] , [ [ , ],

lim ( )

lim ( )

f f

x a

x d

a d a d

x a f x

x d f x

Se D ou D então:

. em = só faz sentido calcular

. em = só faz sentido calcular

4 4

5 5

lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( )x x

x x

f x f x

f x f x

Algumas considerações sobre o conceito de Limite

1. Para que valores de a faz sentido calcular o limite? Terão que fazer parte do domínio de f?

2

2

7Mas lim ( )4

f

x

D

f x

É necessário que seja um ponto de acumulação do D (isto é, em qualquer

vizinhança de tem que existir pelo menosum elemento do D que não seja o )

f

f

a

aa

Existem pontos do D , onde não é possível

calcular o limite, são os chamados pontosisolados do D .

f

f

2

3

Por exemplo, faz sentido calcularlim ( ), mas já não faz sentido

determinar o lim ( ).x

x

f x

f x

2. Porquê a importância de os valores de ?nx a

2

2

lim ( ) 2

lim ( ) 2

Se considerarmos a sucessão 2, tem-se que:lim ( ) 2,o que contradiz o facto de existir limite e este ser 2.

x

x

n

n

f x

f x

xf x

3.Pode existir lim ( )

( ).x a

f x e ser

diferente de f a

4. (Teorema da unicidade do limite)O limite b, quando existe é único.

5. Algumas confusões com o + e -Embora possa escrever-se lim ( ) lim ( )

não existe limite, porque + e - , não são números reais.x a x a

f x e f x

Página 13

REGRAS OPERATÓRIAS COM LIMITES

Nota:lim ( )e lim ( )existem esão finitos.

1. lim ( é um número real)

2.lim

3.lim ( ) lim ( ) lim ( )

4.lim ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( )5.lim ( ) ,des

lim ( )

x a x a

x a

x a

x a x a x a

x a x a x a

x a

x ax a

f x g x

k k k

x a

f g x f x g x

f g x f x g x

f xf xg g x

deque lim ( ) 0.

6.lim lim ( )

7.lim ( ) lim ( ),desde que lim ( ) 0,se n é par.

x a

nn

x a x a

n nx a x a x a

g x

f x f x

f x f x f x

Página 15

Estas regras operatórias com limites podem ser alargadas, quando x tende para + e - ,excepto em algumas situações, porque nos conduz a uma INDETERMINAÇÃO.

(+ ) + (+ ) ( )(- ) + ( ) ( )(+ ) + ( ) indeterminação

+ (+ ) ( )+ ( ) ( )

aa

ÁLGEBRA COM INFINITOS

(+ ) (+ ) ( )(- ) ( ) ( )(+ ) ( ) ( )

0 (+ ) ( )0 ( ) ( )0 (+ ) ( )0 ( ) ( )

0 ( ) indeterminação

aaaa

Página 18

0 indeterminação

0 0

0 00 0

0 00 0

0 00 indeterminação0

a

a a

a aa ou a ou

a ou a ou

3

3não é possível

,( )

,

n

n se n é parse n é ímpar

2

2

1

2

0

2

2

20

11. lim1

12. lim3

1, 03. lim ( ), ( ) 2 , 0

124. lim

545. lim3

46. lim2

57. lim

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

x se xf x com f x x se x

xx

x

xx

x

Exercício 1

1

0

4 2

28.lim1

29. lim1

10.lim| || 1|11. lim

112. lim 2

x

x

x

x

x

xx

xxxxxx x

Exercício 2

2

Determina de modo que exista lim ( ),com

4 , 2( ) = 1 , 2

4

x

kf x

k x se xf x

se xx