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Limites Introducción El límite de funciones reales de una variable real. Es el concepto sobre el cual descansan los dos pilares más importantes del cálculo. En efecto, el cálculo diferencial e integral, a veces denominada el “análisis matemático”, trata con cambios infinitesimalmente pequeños de las variables independiente i dependiente de una función. Los cambios ha que se hace referencia se explican matemáticamente utilizando los conceptos de límite i continuidad. Tales conceptos fueron formulados en forma precisa en el siglo XIX, con lo que desapareció su aparente dificultad que adquirió en sus orígenes. La idea de aproximarse a un valor tan cercano como se especifique i aún así nunca alcanzarlo constituye, en esencia, el concepto de límite, el cual también se utiliza frecuentemente en razonamientos ajenos a la matemática, como por ejemplo, en el lenguaje diario cuando se dice “estoy acercándome al limite de mi paciencia”. Tal sentido tiene que ver con el cálculo, pero no mucho. Otro ejemplo, la producción máxima teórica a la que está empeñada una fábrica es un límite que en la práctica nunca se alcanza, pero a la cual es posible aproximarse arbitrariamente. La escuela rusa contemporánea de matemáticas concibe una gran división de la siguiente manera:
1. “Matemática superior” (donde se estudia la idea de límite) 2. “Matemática elemental” (donde no se estudia la idea de límite)
Los calificativos “superior” i “elemental” no son sinónimos de “difícil” i “fácil”
respectivamente. Lo que pasa es que la idea de límite nos proporciona un concepto profundamente imprescindible para la comprensión del análisis matemático. Por el momento se quiere estudiar el comportamiento que tienen las imágenes f(x) de la función f cuando la variable x se encuentra cerca de un valor de x=a; este comportamiento se logra por medio de este concepto. 12.1 Límites Como ejemplo motivador, consideremos la función algebraica definida por
8x224x2x)x(f
2
−−+
= . Note que esta función no está definida para x = 4; sin embargo,
queremos saber qué sucede con f(x) cuando x se aproxima a x = 4. Esta idea se traduce en escribir: ?)x(flim
4x=
→. Para responder a esta pregunta, en primer lugar calculamos los
valores de f(x) cuando x toma valores próximos a 4, pero menores que 4; i en segundo lugar, mayores que 4:
x 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 → 4 ← 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 f(x) 4.75 4.80 4.85 4.90 4.95 → 5 ← 5.05 5.10 5.15 5.20 5.25
2
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Observando la tabla podemos tener f(x) tan cercano a 5 como nosotros queremos, teniendo suficientemente x cerca de 4, por tanto podríamos escribir: 5)x(flim
4x=
→. Dicho de
otra manera, el valor de f(x) se aproxima cada vez más a 5 a medida que x se aproxima cada vez más a 4; de aquí que podemos hacer que el valor absoluto de la diferencia f(x) – 5 sea tan pequeña como se quiera, haciendo que el valor absoluto de la diferencia x – 4 sea suficientemente pequeña. Si representamos estas diferencias con los símbolos ε (epsilon) i δ (delta), entonces podemos decir en forma más precisa que | 5)x(f − | sea menor que ε siempre que |x – 4| sea menor que δ (x ≠ 4). En estas condiciones diremos que 5 es el
límite de la función 8x2
24x2x)x(f2
−−+
= con x ≠ 4, cuando x tiende a 4.
¿Cuál es la gráfica de y = f(x)?. Para ello observemos que las funciones
8x224x2x)x(f
2
−−+
= i 32x)x(g += para x ≠ 4 son iguales, puesto que
( )( )( ) ( )6x
21
4x24x6x)x(f +=
−−+
= , x ≠ 4. La gráfica es la recta expuesta en la figura 1
Fig. 1 Definición 12.2 El número b se llama límite de una función f en el punto a (a no necesariamente ∈ Dom (f)), si para cada ε > 0, existe δ > 0 (que depende de a i ε ) tal que
0 < |x –a| < δ ⇒ |f(x) – b| < ε.
En tal caso, escribiremos b)x(flimax
=→
.
Nosotros asumiremos que a es un punto de acumulación del Dom (f), de manera que a puede no estar en el dominio de f; es decir, f(a) puede estar o no definido. Si )x(flim
ax→
i f(a) existen, pueden ser iguales o diferentes. Por otra parte, la existencia del número real
4
5
4+2ε 4 -2ε x
5+ε
5-ε f(x) •
•
•
4+δ 4 -δ
x
y
Análisis Matemático I
3 positivo δ dependerá de ε que está dado de antemano. Cualquier otro número δ’ con δ’ < δ satisfará igualmente la definición. No es muy fácil familiarizarse con esta definición, ya que a la misma matemática le costó más de un siglo precisarla. Lo que confiere trascendencia al cálculo es el concepto de límite, i esto es, lo que lo diferencia del álgebra. Los ejemplos que vienen a continuación ilustran el uso de la definición para comprobar limites.
Ejemplo. Verificar que efectivamente 58x2
24x2xlim2
4x=
−−+
→
Solución: Como ( )( )( ) 3
2x
4x24x 6x)x(f +=
−−+
= para x ≠ 4, vamos a demostrar que
532xlim
4x=
+
→. En efecto, dado ε > 0, debemos encontrar δ > 0 tal que 0 < |x – 4| < δ
implique |
+ 3
2x –5| < ε. A propósito empezamos de lo último: |
+ 3
2x –5| =
21 |x – 4|.
Queremos que |f(x) – 5| < ε con la condición de que 0 < |x – 4| < δ. Si elegimos δ = 2ε evidentemente satisface la definición, con lo cual 5)x(flim
4x=
→. Véase nuevamente la figura
1. Note que cualquier x ∈ ⟨4 – δ,4 + δ⟩ su imagen f(x) ∈ ⟨5 – ε, 5 + ε⟩ con δ = 2ε.
Propiedades de los límites
La mayoría de los lectores coincidirán en que demostrar la existencia de límites mediante la definición formal de la sección anterior consume tiempo i es algo difícil. Por esta razón bienvenidos los teoremas de esta sección i las siguientes. Preferimos llamarlos propiedades, i nos servirán eficazmente para calcular límites.
P R O P I E D A D E S
Supongamos que ),x(glim),x(flim
axax →→existen:
1. b)x(f
axlim =→
i c)x(fax
lim =→
⇒ b = c (Unicidad de límite).
2. kkax
lim =→
, k es una constante (Función constante).
3. axax
lim =→
(Función identidad).
4. [ ] )]x(flimax
[k)x(kfax
lim→
=→
, k es una constante (Múltiplo).
5. [ ] )x(g)x(fax
limax
lim)x(g)x(fax
lim→→
=+→
+ (Suma).
4
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
6. [ ] )x(g)x(fax
limax
lim)x(g)x(fax
lim→→
=−→
− (Diferencia).
7. [ ] )x(g)x(fax
limax
lim)x(g)x(fax
lim→→
=×→
× (Producto).
8. )x(g
axlim
)x(fax
lim
)x(g)x(f
axlim
→
→=→
, 0)x(g
axlim ≠→
(Cociente).
9. [ ]n
axn
ax)x(flim)x(flim
=
→→, n entero. (Potencia).
10. nax
nax
)x(flim)x(flim→→
= , n impar positivo.
Si n par positivo, entonces 0)x(flimax
≥→
(Raíz).
11.
=
→→)x(flimg)x)(fg(lim
axax , siempre que:
b)x(flimax
=→
i )b(g)t(glimbt
=→
(Composición).
Ejemplo 1. Hallar 2x
lim→ 13x
6x32x+
++
Solución:2x
lim→ 13x
6x32x+
++ =
+
++→ 13x
6x32x 2x
lim =
+→
++→
13x 2x
lim
63x2x 2x
lim=
1 lim xlim
6 lim xlim3 lim x lim
2x
3
2x
2x2x2x
2
2x
→→
→→→→
+
+
+
= ( )( )34
13262322 =
+
++ .
Ejemplo 2. Obtener 1x
lim→ 12x
2x2x73x−
+−+
Solución: Sean f(x) = x3 + 7x2 + 2 i g(x) = x2
1xlim→
– 1. Como g(x) = 0, la propiedad 8
no dice nada del comportamiento del límite de )x(g)x(f ; es decir, este cociente puede tender o
no tender a un límite cuando x → 1, i como 1x
lim→
f(x) = 9 ≠ 0, el cociente )x(g)x(f toma
Análisis Matemático I
5
valores tan grandes como se quiera. En este caso 1x
lim→ )x(g
)x(f = 09 = ∞; es decir, no existe
límite. En cambio, cuando
axlim→
f(x) = 0, i ax
lim→
g(x) = 0 puede ocurrir que
axlim→ )x(g
)x(f exista, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3. Encontrar el valor de 1x
lim→
−+−
1x1x32x2 .
Solución: 1x
lim→
−+−
1x1x32x2 = ( )1x
1xlim
1x32x21x
lim
−→
+−→
= 00 . En este caso, antes de utilizar
la propiedad del cociente, podemos factorizar el numerador, con lo que resulta:
1xlim→
−+−
1x1x32x2 =
1xlim→
( ) ( )1x
1x1x2−
−− = 1x
lim→
(2x – 1) = 1.
Cuando se presenta la expresión 00 , llamada forma indeterminada, es
conveniente transformar la expresión )x(g)x(f , antes de aplicar las propiedades
correspondientes. Existen otras formas indeterminadas tales como: ∞/∞, 0×∞, ∞–∞, 00, ∞0, 1∞
1xlim→
; que se verán más adelante.
Ejemplo 4. Hallar
−−−+−+
−+−+−
1x23x24x55x76x47x3
x2x3x4x5x6x
Solución: Cuando reemplazamos x = 1, en el numerador i en el denominador, entonces
00)x(f
1xlim =→
. Otra vez estamos en el caso de la primera indeterminación. Para salvarla
factoricemos el numerador i el denominador: (usando el método de Ruffini) x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x = x (x–1) (x4 + x2 + 1), 3x7 + 4x6 – 7x5 + 5x4 – 2x3 – 2x – 1 = (x – 1) (3x6 + 7x5 + 5x3 + 3x2
1xlim→
+ 3x + 1). Reemplazando i simplificando resulta
1x32x33x55x76x3
)12x4x(x
+++++
++ , llevando a límite se obtiene 1x
lim→
f(x) = 223 .
Ejemplo 5. Determinar el valor de 0 x
lim→
−−x
x42
Solución: 0 x
lim→
−−x
x42 = 0 x
lim→
( ) ( ))x42(x
x42 x42−+
−+−− = 0 x
lim→ )x42(x
)x4(4−+
−− =
0 xlim→ )x42(x
x−+
=0 x
lim→ x42
1−+
= 41 .
6
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Ejemplo 6. Obtener el valor de 16 x
lim→
−−
4x2x4
Solución: 16 x
lim→
−−
4x2x4
= 16 x
lim→
4x16x
8x 4x 2x
16x44 24 3
+−
+++
−
=
16 xlim→ 8x 4x 2x
4x44 24 3 +++
+ = 41
888844
=+++
+ .
Ejemplo 7. Determine 1x
lim→ 2
31
32
)1x(1x2x
−
+−
Solución: Desde que el numerador es un cuadrado perfecto, escribimos 1x
lim→ 2
23
)1x()1x(
−
− =
1xlim→ 2
2
33 2
33
)1x(1
1xx
1)x(−
×
++
− = 1x
lim→
2
33 2 1xx
1
++=
91 .
E J E R C I C I O S
En los ejercicios del 1 al 30, calcular los siguientes límites:
1.
+−
→ 2x5x3lim
0x 2.
+−+−
→ 4x6x2x3xlim
23
3x 3.
−−
→ 8x64xlim
2
8x
4.
−−
→ 2x8xlim
3
2x 5.
−−
−→ 1xx2
1xlim 2
2
1x 6.
++
−−→ 2x3x
1xlim 2
2
1x
7.
−−
++−→ 6yy
y4y4ylim 2
23
2y 8.
+−
+−→ 15x8x
6x5xlim 2
2
3x 9.
+−
+−→ 3x4x
2x3xlim 4
3
1x
10.
+−
+−−→ 16x8x
8x4x2xlim 24
23
2x 11.
−+−−
−−−+→ 12x8xx2x
12x8xx2xlim 234
234
2x 12.
−
−→ 1x
1xlim 3
6
1x
13.
+−
+−→ 3x4x
2x3xlim 5
4
1x 14. ( )
( )103
202
2x 16x12x
2xxlim+−
−−
→ 15.
−−+
−+→ 1xxx
3x2xlim 27
11
1x
16. ( ) ( )52
5
0x xxx51x1lim
+
+−+
→ 17.
+−
+−→ 1x2x
1x2xlim 1530
3060
1x 18. ∈
−−
→n,
1x1xlim
n
1xN
19. ∈
−
−+−
−
→n,
xx2xxlim n2n2
n2n2
1xN 20. ∈
−
−
→m,n;
1x1xlim m
n
1xN
Análisis Matemático I
7
21.
−−−−++−−−+
−−++−−+→ 1x4x3x7x11x4xx3x4x7x
5x5x7x3x4x4x7xlim 2345678910
245678
1x
22.
−++
−+−→ 6xx4x
2xxlim 2812
214
1x 23.
−++
++−→ 3xxx
5x4xlim 41224
1521
1x
24.
+
−−→ 1x
1xlim 27
34
1x 25.
−
−→ 1x
1xlim 50
49
1x
26.
+−
−+−→ 2x3x
1xxxlim 4999
2350101
1x 27.
−−++++
→ 1xnx...xxxlim
n32
1x
28. ( )h
xhxlimnn
0h
−+→
29. ( ) ( )2
mn
0x xnx1mx1lim +−+
→
30.
+−
+−→ 1x2x
1x2xlim 50
100
1x
31. Dadas las funciones: 1x2x
2x2xx)x(f 2
23
+−
−+−= , 2
32
xx21xx2x43)x(g
+−
−+−=
(a) Probar que : )x(flim1x→
i )x(glim1x→
no existen
(b) A pesar de que )x(flim1x→
i )x(glim1x→
no existen, probar que:
[ ])x(g)x(flim1x
+→
existe i es igual a 1.
En los ejercicios del 32 al 45, obtener el límite de las funciones siguientes:
32. 9x3xlim
9x −−
→ 33.
49x3x2lim 27x −
−−→
34. 1x1xlim 31x −
−→
35. x92x114lim
5x −−+−
→
36. 9x
1x213xlim 23x −
+−+→
37. 1x1xlim
3
1x −−
→
38. 10x5x6x9x
8x5x43x3xlim22
3 23 2
1x ++−++
−+−−+→
39. 1x1xlim 4
3
1x −−
→
40. 38x
80x26xlim43
1x −++−+
→ 41.
xaxalim
33
0x
−+→
42. 2x4x2lim 38x −
−→
43. 38x x23x1lim
+−−
−→
44. x2ccx2
bax2xbax2xlim22
0x −−++−−++
→ 45.
axaxlim
55
ax −−
→
8
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Límites unilaterales. Al estudiar el concepto de límite de una función, nos hemos referido al comportamiento de la función f(x) cuando x se encuentra cerca de a; es decir, x se encuentra en una vecindad de a (puede ocurrir que x sea mayor o menor que a), i las imágenes se “aglomeran” alrededor de algún valor b; en tal caso decimos que b)x(flim
ax=
→.
Ocasionalmente se presentan funciones y = f(x) de tal manera que el límite no existe cuando x → a, pero puede existir cuando imponemos la condición de que x < a o
x > a; así por ejemplo, en la función 3xx
x)x(f
+= que no está definida para x = 0, ocurre lo
siguiente:
(a) Si x < 0, 22 x11
)x1(xx)x(f
+−=
+
−= , entonces 1
x11lim)x(flim 20x0x
−=
+
−=→→
(b) Si x > 0, 22 x11
)x1(xx)x(f
+=
+= , entonces 1
x11lim)x(flim 20x0x
=
+
=→→
Esto se puede apreciar fácilmente observando la gráfica de la función dada. Figura 2 Dicho de otra manera, cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, f(x) se aproxima a –1, i cuando x se aproxima a 0 por la derecha, f(x) se aproxima a +1. Estos límites reciben el nombre de límites unilaterales. Las definiciones de estos límites son similares a la definición 12.2. En efecto, desde que b)x(flim
ax=
→ significa que dado el ε >0, existe δ > 0
tal que 0 < |x – a| < δ ⇒ |f(x) – b| < ε, entonces: Si 0 < a – x < δ ⇒ |f(x) – b| < ε, se tiene el límite de f(x) cuando x se aproxima a a por la izquierda, i se escribe
b)x(f
axlim =−→
1
-1
0 x x • • x
y
Fig. 2
Análisis Matemático I
9
Si 0 < x – a < δ ⇒ |f(x) – b| < ε, se tiene el límite de f(x) cuando x se aproxima a a por la derecha, i se escribe
b)x(fax
lim =+→
Teniendo en cuenta la propiedad 1 de la sección 12.2, concluimos que:
)x(fax
lim→
existe ⇔ )x(fax
lim)x(fax
lim +→=−→
Finalmente, para evaluar límites unilaterales se utilizan las mismas propiedades del 1 al 10, expuestas en la sección 12.2. (algunos autores, denominan límites laterales) Ejemplo 1. Hallar [ ][ ]( )x425x3
3xlim ++
+→
Solución: El proceso de límite se realiza para los x inmediatamente a la derecha de a = 3 (x > 3). Si x → 3+ ⇒ (3x) → 9+ ⇒ (3x + 5/2) → (11.5)+
[ ][ ]25x3 +
. Esto quiere decir, que el punto (3x + 5/2) se aproxima a 11.5 por la derecha, ha tenido que pasar por 12, de manera que 11.5 < (3x + 5/2) < 12, luego =11. Por tanto:
( )x425x33x
lim +++→ = 23)x411(
3xlim =++→
Ejemplo 2. Calcular el valor de xx
lim0x→
Solución:
(a) Si x > 0, 11limxx
limxx
lim0x0x0x
===++ →→→
(b) Si x < 0, 1)1(limxx
limxx
lim0x0x0x
−=−==−− →→→
Por tanto, el límite no existe ya que contradice la unicidad desde que se han encontrado dos límites diferentes cuando x → 0. Ver figura 3. Ejemplo 3. Determinar el valor de
3xlim→
x
x
∘
∘ –1
1
y
∘ ∘
∘ ∘
∘ ∘
∘
1 2 3 4 -1 -2 -3
1 2 3
-1 -2 -3
x
y
Fig. 3 Fig. 4
10
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Solución: Como
<≤<≤
=4x3,33x2,2
x , entonces 3x
lim→
x = 22lim3x
=−→
i 3x
lim→
x
= 33lim3x
=+→
, luego el límite bilateral 3x
lim→
x no existe, sin embargo los límites
unilaterales sí existen que son 2 i 3. Ver figura 4.
Ejemplo 4. Encontrar ),x(flim),x(flim),x(flim2x2x2x +− −→−→−→
donde
−>−−=−<+
=2x,x112x,02x,x3
)x(f2
2
Solución: 7)x11(lim)x(flim,7)x3(lim)x(flim 2
2x2x
2
2x2x=−==+=
++−− −→−→−→−→. Como ambos
límites existen i son iguales, se tiene 7)x(flim2x
=−→
. Ver figura 5.
Ejemplo 5. Hállese (a) )x(f
2xlim−→
, (b) )x(f2x
lim+→, (c) )x(f
2xlim→
; donde
f(x) = [ ][ ]1x 4x2 3
+
−+
Solución: (a) Si 2x – 4 < 0 o x < 2, entonces | 2x –4 | = –2x + 4. Cuando x → 2–
)x(f2x
lim−→
, x < 2, x + 1 < 3,
[[ x + 1 ]] = 2; luego = −→2xlim [ ][ ]1x
4x2 3+
−+ = −→2x
lim23
24x23=
+− .
(b) Si 2x – 4 ≥ 0 o x ≥ 2, entonces | 2x – 4 | = 2x – 4. Cuando x → 2+, x > 2, x + 1 > 3,
[[ x + 1 ]] )x(f2x
lim+→= 3; luego = +→2x
lim [ ][ ]1x 4x2 3
+
−+ = +→ 2x
lim 1 3
4x23=
−+ .
(c) Desde que −→2xlim f(x) ≠ +→2x
lim f(x), entonces 2x
lim→
f(x) no existe.
• –2
7 Fig. 5
x
y
Análisis Matemático I
11
E J E R C I C I O S
En los ejercicios del 1 al 19, calcular los límites que se indican:
1. (a) f(x) =
≥−<+
3 x,x103x ,1x2
; cuando x → 3+, x → 3–
≥−<+
2 x , x62x ,1x4
, x → 3.
(b) f(x) = ; cuando x → 2–, x → 2+
>−=<+
1x ,x271x , 2 1x ,3x2
, x → 2.
2. (a) f(x) = ; cuando x → 1+, x → 1–
>−<<
<
4x , x44x1 , x
1x , x 2
, x → 1
(b) f(x) = ; cuando x → 1 i x → 4.
3. f(x) =
≥<<
=<−
1x , 2 1x0 , x
0x , 0 0x , )x1( / 1
; cuando x → 0–, x → 0+, x → 1–, x → 1+
≥<<−
=<−
2x , 2 2x1 , 2x
1x , 0 1x , )2x( / 1
.
4. f(x) = ; cuando x → 1, x → 2.
5. f(x) =
>−
+−−
<<+−
<−
−
4x , 4x
12x3x8x2
4x3 , 1x5x3
3x , 9x3x
23
2
2
; cuando x → 3, x → 4.
6. f(x) = |1x|
1x−− ; cuando x → 1+ i x → 1
22 ax
axax
−
−+−
–
7. f(x) = , a > 0; si x → a+ i x → a
|x|xx2 +
–
8. f(x) = , x ≠ 0; cuando x → 0+ i x → 0–
xx|x| −
9. f(x) = ; cuando x → 0–, x → 0+, x → 0
12
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
10. f(x) = 32
2
x27 ]] x/1 [[ x
−
+ ; hallar )x(f1 x
lim→
.
11. f(x) = | x | + | x – 1 |; si x → 0 i x → 1
12. f(x) = x
3 |x||x3| −−+ ; si x → –3 i x → 0
13. f(x) = 3 + [[ x ]] ; cuando x → 3– 14. f(x) = [[ x ]] + [[ 4 – x ]] ; si x → 3+, x → 3–
[[ ]]2x3x1x1xxx
2 +−
−+−
, x → 3
15. f(x) = ; cuando x → 1
16. f(x) = (1–x) [[ x ]]
+− x4
; cuando x → 1 17. f(x) = [[ x – 1 ]] ; cuando x → 4– 18. f(x) = | x | +[[ x ]] ; cuando x → 0 19. f(x) = 1–x + [[ x ]] – [[ 1 – x ]] ; cuando x → 1
L)x(flim0x
=→
–
20. Hallar las constantes a, b i L a fin de que tales que f(1) = 1, donde
[[ ]]
[[ ]]
<+−++
≥++=
0x,xxb
xa)bx(2
0x,)x-(3sgn ab 1x bx)x(f 52/12
222
21. Hallar el límite [ ][ ] ;2-x
x x)x(f
−
= cuando x → 2
[ ][ ]xx)x(f =
–
22. Hallar el límite ; cuando x → 1– , x → 1+ , x → 1
Análisis Matemático I
13 Límites infinitos i límites al infinito El concepto de “infinito” ha inspirado i hechizado a los matemáticos desde tiempos inmemoriales. Los problemas i paradojas más profundas de las matemáticas a menudo van unidos a esta palabra. A. Límites infinitos
Consideremos la función 2)3x(1)x(f−
= cuya gráfica se presenta en la figura 5.
Fig. 5 Fig. 6 Cuando x se aproxima a 3 por la derecha, podemos observar en la gráfica que f(x) crece indefinidamente, i lo mismo ocurre cuando x se aproxima a 3 por la izquierda. Este hecho lo precisamos en la definición siguiente. Definición 12.3
(a)
>⇒δ<−<>δ>
⇔∞+=→ n)x(fax0quetal
0existe,0nrealnúmerounDado)x(flim
ax
(b)
<⇒δ<−<>δ<
⇔∞−=→ n)x(fax0quetal
0existe,0nrealnúmerounDado)x(flim
ax
En ambos, el límite no existe; los símbolos + ∞ i – ∞ indican solamente el comportamiento de los valores f(x) a medida de que x se aproxima cada vez hacia a. Obsérvese que de la parte (a) de la definición anterior, se desprende que
+∞=+→)x(f
axlim i +∞=−→
)x(fax
lim ; i de la parte (b): −∞=+→)x(f
axlim i
−∞=−→)x(f
axlim .
x
x = 3
y
x = 3
x
y
14
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Existen otras funciones, como por ejemplo 3x
1y−
= . Ver figura 6, en las cuales
ocurre: +∞=+→)x(f
3xlim i −∞=−→
)x(f3x
lim , en tal caso escribiremos simplemente
∞=→
)x(f3x
lim .
Para el cálculo de límites infinitos necesitamos adicionar a las propiedades de las sección 12.2 otras, que faciliten su determinación.
P R O P I E D A D E S
1. +∞=+→
nx
10x
lim , si n es un entero positivo
2.
∞+∞−
=−→ positivoparesnsi,positivoimparesnsi,
nx
10x
lim
Las mismas reglas de suma, diferencia, producto i cociente de límites de funciones en un punto dado son aplicables para encontrar límites infinitos, siempre que los cálculos se efectúen teniendo en cuenta las siguientes reglas:
(1) (+∞) + (+∞) = + ∞ (2) (–∞) + (–∞) = – ∞ (3) c + (+∞) = + ∞, c ∈R (4) c + (– ∞) = – ∞, c ∈R (5) c (+∞) = + ∞, c > 0 (6) c (–∞) = –∞, c > 0 (7) c (+∞) = –∞, c < 0 (8) c(–∞) = + ∞, c < 0 (9) (+∞) (+∞) = + ∞ (10) (–∞) (–∞) = + ∞
(11) (+∞) (–∞) = – ∞ (12) ∈=∞−
=∞+
c,0cc R
Observemos que hay casos no contemplados en la lista anterior, tales como: 0 (+∞) = ?,
(+∞) – (–∞) = ?, ∞+
+∞ = ?, etc. que son indeterminaciones (faltan 4). Note que las doce
relaciones anteriores no son indeterminaciones.
Ejemplo 1. Sea 12xx
2x)x(f 2 −+
+= , hallar )x(f
4xlim −−→
, )x(f4x
lim +−→, )x(f
3xlim−→
,
)x(f3x
lim+→.
Solución: El límite de la función dada es equivalente a escribir:
)3x()4x(2xlim
12xx2xlim
4x24x −++
=−+
+−→−→
.
(a) Cuando x → –4–, vemos que (x+2) → –2, (x–3) → –7, (x+4) → 0– , entonces el
numerador tiende a –2 negativamente , i el denominador tiende a 0 positivamente,
Análisis Matemático I
15 (producto de dos negativos), luego −∞=−−→
)x(f4x
lim . Otra forma de establecer este
resultado es la siguiente: considere un valor muy cercano a –4, pero menor que 4, por ejemplo, x = – 4.1, luego analice el signo en cada factor: x+2 = (–), x–3 = (–), x+4 =
(–); resultando )()()(
)()x(f −=−−
−= .
Los demás casos son semejantes al caso anterior, puesto que las rectas x = – 4 i x = 3 son asíntotas verticales , que se obtienen rápidamente igualando el denominador a cero. Lo que nos importa es el comportamiento de la función cuando x está próximo a las asíntotas.
(b) Supongamos que x = –3.9, entonces )()()(
)()x(f +=−+
−= , luego ∞+=+−→ 4x
lim .
(c) Sea x = 2.9, entonces )()()(
)()x(f −=−+
+= , por tanto ∞−=−→3x
lim .
(d) Supongamos que x = 3.1, entonces )()()(
)()x(f +=++
+= ; es decir ∞+=+→3x
lim .
Ejemplo 2. Demostrar que ∞+=+→
x1
0xlim
Solución: Para probar que ∞+=+→
x1
0xlim , entonces dado n > 0, debe existir δ > 0 tal
que 0x1> siempre que 0 < x < δ. En efecto, n
x1> ⇒
n1x < siempre que 0 < x < δ.
Luego, haciendo δ = n1 , evidentemente se cumple la definición.
Ejemplo 3. Calcular el valor de
−+→ x11
1xlim
Solución: Como x → 1+ ⇒ x > 1 o 1–x < 0 ⇒ (1– x) → 0–
∞−=−−→−
=−+→
x11
0)x1(lim
x11
1xlim
, entonces aplicando la propiedad 2 anterior, con n = 1 ( n impar), se tiene:
.
Ejemplo 4. Encontrar el valor de ( )21x
11x
lim−→
.
Solución: (a) x → 1+ ⇒ x > 1 o x – 1 > 0 ⇒ (x –1) → 0+
( ) ( )+∞=
−=
− +→−+→22 1x
11x
1
0)1x(lim
1xlim
. Usando la propiedad 1 anterior, se tiene
.
16
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
(b) x →1– ⇒ x < 1 o x – 1 < 0 ⇒ (x –1) → 0–
( ) ( )+∞=
−=
− −→−−→22 1x
11x
1
0)1x(lim
1xlim
. Usando la propiedad 2 anterior, se tiene
.
Por tanto, de las partes (a) i (b) obtenemos ( )
+∞=−→ 21x1
1xlim .
Ejemplo 5. Determinar el valor de [ ][ ]x3
x- x lim3x −−→
Solución: Ya que [[ x ]] = 2 si 2 ≤ x < 3, i como x → 3– ⇒ (3 – x) → 0+
[ ][ ]−∞=+∞−=
−=
− +− →−→)()1(
x33-2lim
x3x- xlim
0)x3(3x
, entonces
.
E J E R C I C I O S Calcular los siguientes límites i grafique las funciones correspondientes:
1.
−+→ 4x1lim
4x 2.
−→ 4xxlim
4x
3. (a)
−
++→ 4x
2xlim 22x
4. (a)
−−→ 4x
1lim 22x
(b) 22x )4x(2xlim
−
+−→
(b)
−+→ 4x
1lim 22x
5.
−+−
−−+→ 1x3x3x
2x2x3xlim 23
23
1x 6. 22x )2x(
4xlim−
−→
7.
−
+−→ 25x
10x5xlim 2
2
5x 8.
+−
−→ 4x4x
x2xlim 2
2
2x
9. )1x()2x(
)3x(lim50
2x +−−
−→ 10.
→ x3senxlim 20x
11.
−→ 20x x
1x1lim 12.
−
−−→ 4x
32x
1lim 22x
13. (a)
−+→ xx1lim 2
1x 14. (a)
−−→
320x x
1x1lim
(b)
−−→ xx1lim 2
1x (b)
−+→
320x x
1x1lim
15.
−→ x2cos1
xsenlim0x
Análisis Matemático I
17
16. (a)
−
++→ 25x
5xlim 25x
17. (a)5x25xlim
2
5x −−
+→
(b)
−
+→ 25x
5xlim 25x (b)
5x25xlim
2
5x −−
−→
18. x
x3lim2
0x
+−→
19. x
x5lim2
0x
+→
20.
+−−
−++−→ 2xx4x3
7x5x2xxlim 23
234
1x 21.
−−
−−→ 2x1
2x1lim
2x
22. 1x
1– ]] x[[lim 2
2
1x −−→ 23.
xx– ]] x [[lim
0x −→
24. 1)–(x ]]2x [[
1lim1x +→
25.
++−
++−→ 4x8x113x
27x 32xxlim 23
_245
2x
B. Límites al infinito. Consideremos una función y = f(x) cuya gráfica se muestra en la figura 7. Por
ejemplo, podría ser la función logística kxAe1B)x(f −+
= (Véase la sección 8.2, parte E)
Fig. 7
Al observar la gráfica podemos afirmar que cuando x crece indefinidamente; es decir, x → + ∞, entonces los valores correspondientes f(x) se aproximan a B. De manera semejante, cuando x → – ∞, entonces los valores f(x) se aproximan a 0. Estas consideraciones nos conducen a expresar en forma más precisa su definición. Definición 12. 4
(a)
ε<−⇒>>>ε
⇔=∞+→ b)x(fnxquetal
0nrealunexiste,0Dadob)x(flim
x
• • •
•
x x
f(x)
f(x)
→ ←
↑
↓
• A1B+
B
x
y
18
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
(b)
ε<−⇒<<>ε
⇔=∞−→ c)x(fnxquetal
0nrealunexiste,0Dadoc)x(flim
x
En este tipo de límites es posible aplicar las propiedades 1 a 10 de la sección 12.2, debido a que no se alteran cuando x → a se reemplaza por x → + ∞ o x → – ∞.
Existen otras funciones, como por ejemplo 2x
bxy 2
2
+= (Ver figura 8) en las que
ocurre b)x(flimx
=∞+→
i b)x(flimx
=∞−→
; en tal caso escribiremos simplemente b)x(flimx
=∞→
.
Fig. 8 Finalmente, para calcular límites al infinito, necesitamos añadir 2 propiedades más.
P R O P I E D A D E S
Si n es un entero positivo, entonces:
3. 0nx
1x
lim =∞+→
4. 0nx
1x
lim =−∞→
La demostración de estas propiedades, requiere indudablemente emplear la definición 12. 4. dejamos la prueba, como pequeña tarea para el lector.
Ejemplo 6. Usando la definición correspondiente, demostrar que 25x27x4lim
x=
−+
∞+→
Solución: Dado cualquier número ε > 0, debemos encontrar un número n > 0 tal que x > n
⇒ 25x27x4−
−+ < ε. En efecto: ε<
−=−
−+
5x2172
5x27x4 ; es decir, ε<
−<ε−
5x217 . Si
ε<− 5x2
17 , entonces
ε+>
17521x . Luego, llamando n =
ε+
17521 , evidentemente se
cumple la definición. (Observe que si se considera la desigualdad 5x2
17−
<ε− no es posible
encontrar un n tal que x > n).
-4 -2 0 2 40
2
0
b •
x
y
Análisis Matemático I
19 Veamos cómo calcular algunos límites al infinito para funciones racionales
)x(h)x(g)x(f = , donde g(x) i h(x) son funciones polinomiales. En efecto, aquí aparecen tres
resultados típicos. El “truco” más popular empleado en estos límites consiste en dividir el numerador i denominador entre xk
)x(flim 1x ∞+→
, en donde k es el mayor exponente de x que aparece en f(x), i luego emplear las propiedades dadas anteriormente Ejemplo 7. Hallar los siguientes límites: (a) , (b) )x(flim 2
x ∞−→, (c) )x(flim 3
x ∞+→,
donde: 1x
1x4x3)x(f 4
3
1−
+−= ,
10x3x25x2x6)x(f 2
2
2+−
−+= ,
1x4x31x)x(f 3
4
3+−
−=
Solución:
(a) Dividiendo numerador i denominador por x4
4
431
x11
x1
x4
x3
)x(f−
+−=, resulta , llevando al
límite se tiene 0)x(flim 1x
=∞+→
.
(b) Análogamente, dividimos por x2 3
x10
x32
x5
x26
lim)x(flim
2
2
x2
x=
+−
−+=
∞−→∞−→, obteniendo
(c) En este caso, dividimos por x4 ∞+=+−
−=
∞+→∞+→43
4
x3
x
x1
x4
x3
x11
lim)x(flim, resultando .
Ejemplo 8. Calcular el límite: 4x
4xlim2
x ++
∞−→
Solución: Para encontrar el límite, en este caso también, dividimos numerador i
denominador en la expresión dada entre x = – 2x (1 es la potencia más grande de – x) debido a que x adopta solamente valores negativos.
4x4xlim
2
x ++
∞−→= ( ) 1
x41x41
limx4x
x4xlim
2
x
22
x−=
++−
=+
−
+
∞−→∞−→
Ejemplo 9. Determinar 1x
xxxlim
x +
++∞+→
20
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Solución: 1x
xxxlim
x +
++∞+→
= 1
x11
x1
x11
lim1x
xxxlim3
xx=
+
++=
+++
∞+→∞+→
Ejemplo 10. Hallar 2xx1xx
x2x1lim23 25
2
x +++++
++∞+→
Solución: La mayor potencia de x en el numerador es 1. En el primer sumando del
denominador es 35 ( 3
5
x , como potencia dominante), i en el segundo es 1. como 35 es
mayor que 1, se tiene 2xx1xx
x2x1lim23 25
2
x +++++
++∞+→
= 0.
Ejemplo 12. Hallar: )x(flimx ∞+→
, donde f(x) =1x6x
2xx1x3x
1x2
3
2
3
++
++−
++
+
Solución: Teniendo en cuenta el resumen, podemos afirmar directamente que )()()x(flim
x+∞−+∞=
∞+→. Para evitar esto, efectuamos primero la operación sustracción, i
luego llevar al límite en el resultado: 1x9x20x9x
1xx4xx31x6x
2xx1x3x
1x234
234
2
3
2
3
++++
−−−−=
++
++−
++
+ .
Ahora, 3)x(flimx
=∞+→
.
C. Límites infinitos al infinito. Todavía existen funciones, como por ejemplo, f(x) = x2
∞+=∞+→
)x(flimx
, mediante la cual i ∞+=
∞−→)x(flim
x. Su comportamiento puede observarse rápidamente en
la gráfica de la figura 9 Fig. 9 Su definición es la siguiente:
x
y
• •
•
•
N x
M
f(x)
Análisis Matemático I
21 Definición 12. 5
1° ∞+=∞+→
)x(flimx
⇔
>⇒>>>
M)x(fNxquetal0Nexiste,0MDado
2° ∞+=∞−→
)x(flimx
⇔
>⇒<<>
M)x(fNxquetal0Nexiste,0MDado
3° ∞−=∞+→
)x(flimx
⇔
<⇒>><
M)x(fNxquetal0Nexiste,0MDado
4° ∞−=∞−→
)x(flimx
⇔
<⇒<<<
M)x(fNxquetal0Nexiste,0MDado
Ejemplo 13. Hallar: 3x2
5xx4lim2
x +++
∞+→,
Solución: Sea f(x) =3x2
5xx4 2
+++ . Basta dividir numerador i denominador por x2
∞+=∞+→
)x(flimx
i llevar al
límite, de donde .
E J E R C I C I O S
En los ejercicios del 1 al 59, calcular los límites dados:
1.
++
∞+→ 1x5x3lim
x 2.
++
∞−→ 1x5x3lim
x 3.
++
+−∞+→ 1xx7
5x2xlim 3
2
x
4.
++
+−∞−→ 1xx7
5x2xlim 3
2
x 5.
+−
+−∞→ 5x8x
3xx2lim 3
2
x 6.
+−
+−∞→ 3xx2
5x8xlim 2
3
x
7.
+
+∞→ 33
22
x axaxlim 8.
++
−+∞→ 2xx
3xx2lim 3
23
x
9. ( )( )( )( )( )( )5x 1x5
5x4x3x2x1xlim−
−−−−−∞→
10.
++
−+∞−→ 2xx8
5x2x4lim 3
23
x
11. ( )( ) ( ) ( )( )22345
432
x 1xxxxx
4x3x2x1xlim+++++
++++∞+→
12. ( ) ( )5x
2x33x2lim 5
23
x +
−+∞→
13. ( )( ) ( )( )( ) ( )210x...2x1x
20x...2x1xlim202
x +++−−−
∞+→ 14. ( ) ( )
( )50
3020
x 1x22x33x2lim
+
+−∞→
15. ( ) ( )( )227
3322
x 12x3xx
1xx2x3xlim+++
++++∞+→
16. ( ) ( ) ( ))13x2x10()101x90x3(
100x...2x1xlim 22
444
x ++++
+++∞+→
22
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
17. 3x
9xlim2
x ++
∞−→ 18.
+
+−∞→ 1x
4x3x2lim4
2
x
19.
+
+∞→ 3x xx
3x2lim 20.
+∞+→ xx10xlim
2
x
21.
++
∞→ 1x1xlim
3 2
x 22.
xxx
xlimx
++∞+→
23. 5 24 6
5 233 4
x 7x4x2x3x
1xx3x2xxlim+++++
++++++∞+→
24. ( )( ) 5 20254 25
5 23 35
x 1x40x1x2x3x
1xx7xx2xlim++++++
+++++∞+→
25.
−+−
∞+→x6x5xlim 2
x 26. ( )xaxlim
x−+
∞+→
27.
−+
∞−→
3 3x
x1xlim 28.
−+
∞+→x1xxlim 2
x
29. ( )( )xbxxlimx
−+∞+→
30.
−+
∞+→x1xlim 2
x
31.
+−+
∞−→
3 33 3x
1xxxlim 32. ( )( )32
23
x 1xx2
1x2xlim−+
+−∞→
33. ( ) ( ) ( )( ) 22
22352x 5x2
1x1x1xlim−
+−+
∞+→ 34.
1x2xxxlim
43
x +
++∞+→
35.
−++
∞+→xxxxlim
x 36.
++−+
∞+→xxx2x2xxlim 22
x
37.
−−+
∞+→x2xx3xlim 23 23
x 38. ( ) ( )[ ]3/23/23/1
x1x1xxlim −−+
∞→
39. [ ]x1x22xxlim 2/3x
++−+∞+→
40.
+−−++
∞→
3 233 23x
1xx1xxlim
41. ( ) ( )33
12/144
x x1xxx1xlim
−+−+
∞+→ 42. n
n2
n2
x x
1xx1xxlim
−++
−−
∞+→
43.
+++
−++
+++∞+→ 2x
1xx1x3x
2x3x2xlim4
2
45
x 44.
++
−++
∞+→ 1x10x
2x1xlim
22
x
Análisis Matemático I
23
45.
+++
−+
++∞+→ 1x
10x3x2x
1x3xlim22
x 46. ( )( )( ) ( )
( )[ ] ( ) 2/1nn
n32
x 1nx1x...1x1x1xlim +∞→ +
++++
47. 1010
101010
x 10x)100x(...)2x()1x(lim
+
++++++∞+→
48. [ ]x)ax(...)ax()ax()ax(lim nn321
x−++++
∞+→
49. (a) 2n nn...321lim ++++
∞+→ (b) 3
2222
n nn...321lim ++++
∞+→
50.
−++++
∞+→ 3
2
3
2
3
2
3
2
n n)1n(...
n3
n2
n1lim 51.
−++++
∞→ 2222n n)1n(...
n1
n1
n1lim
52.
+++
++
++
+∞+→ 2222n )1n(n...
)1n(3
)1n(2
)1n(1lim
53.
+×
++×
+×
+×
+×∞+→ )1n(n
1...54
143
132
121
1limn
54.
+×
++×
+×
+×
+×∞+→ )2n(n
1...64
153
142
131
1limn
55.
+×+
++×
+×
+×
+×∞+→ )4n()3n(
3...87
376
365
354
3limn
56.
+
−+
−+++++∞+→ 2
1n21n
)1n2(...7531limn
57.
−
+++++∞+→ 4
nn
n...4321lim 3
33333
n
58.
−
+++
++
++
+
∞+→
2222
n na)1n(x...
na3x
na2x
nax
n1lim
59.
+++++
−+++++∞+→ 22222
22222
n )n2(...8642)1n2(...7531lim
Observación: Para los ejercicios del 49 al 59, tener en cuenta las igualdades siguientes, si fuera necesario:
(1) 2
)1n(nn...4321 +=+++++
(2) 2n)1n2(...531 =−++++
(3) 3
)1n2()1n2(n)1n2(...531 2222 +−=−++++
(4) 6
)1n2()1n(nn...4321 22222 ++=+++++
24
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
(5) ( )4
)1n(nn...321n...432122
233333 +=++++=+++++
(6) 30
)1nn9n6()1n(nn...432123
44444 −+++=+++++
(7) 3
)2n()1n(n)1n(n...433221 ++=+×+×+×+×
(8) n2
1nn11...
1611
911
411 2
+=
−
−
−
−
60. Demostrar que
<∞−>∞+
=∞+→ 0a,
0a,axlim n
x 61. Hallar
x1xx
1x23xlim6 78
4 35 7
x −++
+++∞+→
62. Sea 4 24 2
3 33 3
3x2x
4x3x)x(f−−+
+−+= Hallar )x(flimi)x(flim
xx ∞−→∞+→.
63. Obtener las asíntotas verticales i horizontales, si es que tiene, de: (Bosqueje la gráfica
de cada una)
(a) 6x5x
x)x(f 2
2
+−= (b)
x2x3x3)x(f 23 +−
=
(c) 2x1x)x(f 33 −−−= (d) xx
1)x(f 2 −= (e) 24 xx
1)x(f−
=
64. Hallar las asíntotas oblicuas, si es que tiene, de: (Bosqueje i trate de dibujar las
gráficas).
(a) f(x) = 1x
1xx2
3
−
++
(c) f(x) = 1x
1xx3
24
+
++
(e) f(x)=3x2x4x3x
3
4
++
++
(b) f(x) = 1xx2x3x2
2
3
++
++
(d) f(x) = 1x
1xx2
−++
(f) f(x) = 1xx9x3x
2
3
−+
−+
En los ejercicios del 65 al 80, hallar todas las asíntotas, si es que tiene, i trate de bosquejar las gráficas de las funciones.
Análisis Matemático I
25
65. f(x) = 1x
x2
2
−, | x | > 1. 66. f(x) = | x+4 | +
3|x|4−
67. f(x) = 1x
4x2x3x23
34
−
−−+ 68. f(x) = 4x
x2
2
++ x – 5
69. f(x) = x2x
)1x(2
2
−
− 70. f(x) = 4x
3x2
3
−
+
71. f(x) = 2
3
)1x()1x(
−
+ 72. f(x) = 32x8x2x12x
x324
2
+−+−
73. f(x) = 1x3x
2
2
+
+ 74. f(x) = 1x
5x3x2 2
−−+−
75. f(x) = x
1x2x2 −+ 76. f(x) = 1xxx2
++
77. f(x) = –x + 1 + 36x13x
x224
3
+− 78. f(x) = 3 – 2x –
2xx
x2
2
−−
79. f(x) = 4x
x2
2
++ x – 5 80. y2 (x – 2a) = x3 – a3
LIMITE DE FUNCIONES TRASCENDENTES, I CONTINUIDAD
Una función trascendente es aquella que no es función algebraica. Recuerde que una función algebraica está definida mediante un número finito de operaciones algebraicas en las funciones identidad i constante. (Véase la sección 8.1) 13. 1 Límite de funciones trascendentes
Consideraremos ahora funciones tales como y = sen 5x, y = ln (1 – x2 1xey +=), ,
2xcoshy = , etc. que son efectivamente funciones trascendentes. Para calcular el límite de
estas funciones es necesario considerar algunas propiedades adicionales, a las que ya se conocen, i que están dadas en el capitulo anterior.
P R O P I E D A D E S
1. cxcx
aalim =→
, 0 < a ≠ 1
2. ∞+=∞+→
xx
alim , a > 1
3. 0alim x
x=
∞+→, a < 1
26
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
4. [ ] ])x(flim[ln)x(flnlimaxax →→
=
5. [ ] ])x(flim[sen)x(fsenlimaxax →→
=
Las propiedades 4 i 5 son consecuencia de la propiedad 11 de la sección 12. 2: el límite de una composición. En igual forma se tienen propiedades para las demás funciones trigonométricas circulares, siempre que )x(flim
ax→ esté en el dominio de la función
trigonométrica correspondiente. Usted puede completar numerando las propiedades desde 6 hasta 10, para las funciones: coseno, tangente, cotangente, secante i cosecante respectivamente. La determinación de límite de funciones trascendentes, además, se basan frecuentemente en límites de la forma:
11. 1x
xsenlim0x
=→
12. ex11lim
x
x=
+
∞+→ o ( ) ey1lim y/1
0y=+
→
13. [ ])x(g
axlim
ax)x(g
ax)x(flim)x(flim →
→→
= , 0b)x(flim
ax>=
→
Ejemplo 1. Hallar 4x
x 21lim
+
∞+→
Solución: 012lim
12
1lim21lim 4x
x4xx
4x
x=
∞+==
=
+
∞+→
+∞+→
+
∞+→.
Ejemplo 2. Determinar x
x6senlim0x→
Solución: 6x6
x6senlim6x6
x6sen6limx
x6senlim0x60x0x
=×=
×=
→→→.
Ejemplo 3. Encontrar 20x xxcos1lim −
→
Solución: 21
xcos11
xxsenlim
)xcos1(xxcos1lim
xxcos1lim
2
0x2
2
0x20x=
+
=
+
−=
−→→→
Ejemplo 4. Obtener 2
3
0x x4xcos1lim −
→
Análisis Matemático I
27
Solución: )xcos1(x4
)xcosxcos1()xsen(limx4
)xcosxcos1()xcos1(limx4
xcos1lim 2
22
0x2
2
0x2
3
0x +
++=
++−=
−→→→
83
)xcos1(4xcosxcos1
xxsenlim
22
0x=
+++
→.
Ejemplo 5. Hallar xcos1
xtanlim2
x +π→
Solución: Sea x –π = z, x = z + π. Si x → π, entonces z → 0. Además, recuerde que:
btanatan1btanatan
)ba(tan−
+=+ , luego:
)z(cos1)z(tanlim
xcos1xtanlim
2
0z
2
x π++π+
=+ →π→
⇒
π−π+
π−π+
=+ →π→ senzsencoszcos1
tanztan1tanztan
limxcos1
xtanlim
2
0z
2
x ⇒
2zsenzcos1
zcoszsenlim
zcos11
zcoszsenlim
xcos1xtanlim 22
2
0z2
2
0z
2
x=
+=
−=
+ →→π→
Ejemplo 6. Determinar xcsc)3x(lim
3xπ−
→
Solución: Sea x – 3 = y, de donde x = 3 + y. Como x → 3, entonces y → 0; luego:
π−=
ππ
π
−=
π−=
π+π=π−
→→→→
1
yysen
1limysen
ylim)y3(sen
ylimxcsc)3x(lim0y0y0y3x
.
Ejemplo 7. Hállese x
x x211lim
+
∞+→
Solución: 212
1x2
x2
)21(x2
x
x
xe
x211lim
x211lim
x211lim =
+=
+=
+
∞+→∞+→∞+→.
Ejemplo 8. Hállese 1x
x 1x32x3lim
+
∞+→
−+
Solución: =
−+=
−
−+
+=
−+ +
∞+→
+
∞+→
+
∞+→
1x
x
1x
x
1x
x 1x331lim1
1x32x31lim
1x32x3lim
ee1x3
31lim 1x3)1x(3
xlim
1x3)1x(3
31x3
x==
−+ −
+
∞+→−+−
∞+→.
Ejemplo 9. Encuéntrese x
1alimx
0x
−→
28
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Solución: Sea ax
aln)y1(ln + – 1 = y, de donde x = . Como x → 0, entonces y → 0. Luego:
alnelnaln
)y1(lnalnlim
aln)y1(ln
ylimx
1alim y/10y0y
x
0x==
+=
+=
−→→→
.
Ejemplo 10. Determínese xsen
a1limx
0x
−
→
−
Solución: alna1
xsenx
x1alim
xsena1alim
xsena1lim x
x
0xx
x
0x
x
0x=
−=
−=
−→→
−
→.
Ejemplo 11. Obténgase )x1x(ln
)xn1nx(lnlim
2
22
0x −+
−+→
Solución: Teniendo en cuenta que: ln f(x) = p ln [f(x)]1/p
=−−++
−−++=
−+
−+→→ )]1x1x(1[ln
)]1xn1nx(1[lnlim
)x1x(ln
)xn1nx(lnlim
2
22
0x2
22
0x
se tiene:
=
−−++−−+
−−++−−+
−−+
−−+
→
)12x1x(
1
22
)12x2n1nx(
1
2222
0x
)1x1x(1ln)1x1x(
)1xn1nx(1ln)1xn1nx(lim
n]xn1)1nx[(x2
]x1)1x([nx2lim
x1)1x(
xn1)1nx(lim
eln)1x1x(
eln)1xn1nx(lim
22
2
0x2
22
0x2
22
0x=
−−−−
−−−−=
−+−
−+−=
−−+
−−+→→→
.
Ejemplo 13. Determínese 3
3x x2tanxtan
x2cosxcoslim++
π→
Solución: Teniendo en cuenta las fórmulas: sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b sen 2a = 2 sen a cos a
cos a + cos b = 2 cos (2
ba + ) cos (2
ba − ) , se tiene:
=+
+=
+
+=
++
xcosx2senx2cosxsen)x2cosx(cos)x2cosx(cos
x2cosx2sen
xcosxsen
x2cosxcosx2tanxtanx2cosxcos
Análisis Matemático I
29
2x3cos
2x3sen2
)x2cosx(cos)2xcos
2x3cos2(
x3sen
)x2cosx(cos)2xcos
2x3cos2(
= =
2x3sen
x2cosxcos2xcos
, luego
3
3x
2x3sen
x2cosxcos2xcos
limπ
→
, llevando al límite se tiene 23
1
)21()
21()
23( 63
−=−
.
E J E R C I C I O S
Hallar el valor de los siguientes límites:
1. (a) x
x 21lim
∞+→ (b)
x
x 21lim
∞−→ 2. (a) 1a,alim x
x>
∞−→ (b) 1a,alim x
x<
∞−→
3.
2xcos
x2senlim2
2
x π→ 4.
1xsen3xsen21xsenxsen2lim 2
2
6x +−
−+π
→
5. (a) x9senx2senlim
0x→ (b)
x8x6senlim
0x→ 6. (a)
x2senx3cos1lim 20x
−→
(b) x5cos1
x4tanlim2
0x −→
7. (a) x3tanx3senx2tanx2senlim
0x −−
→ (b)
)x3sec1()x4sen()x4sec1()xsen(lim
0x −−
→
8. (a) xsen
xcos1lim 2
3
x
+π→
(b) x2cos
xsenxcoslim
4x
−π
→
9. (a) 2
2x )
2x(
x3sen1limπ
−
+π
→ (b)
xsen)x(lim 2
2
x
π−π→
10. ( )xtanxseclim
2x
−π
→
11. xtan1
xcosxsenlim
4x −
−π
→ 12.
xsenxtanxsenlim
3
0x −→
13. x3secxseclim 2
2
2x π→
14. x3senxsenlim
1x ππ
→
15. x
xcsc1xctg)x1(lim3/1
0x
+−−+→
16. xtan11
xtanlim0x +−→
17. (a) x
x5senlim0x→
(b) x
axsenlim0x→
18. (a) x
xarcsenlim0x→
(b) x3
xarcsen2lim0x→
19. (a) x
xtanlim0x→
(b) x
xarctanlim0x→
20. x4cos1
xtan2xseclim2
4x +
−π
→
30
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
21. (a) x3sen
x2arctanlim0x→
(b) x3arcsen
x2tanlim0x→
22. 30x xxsenxtanlim −
→
23. x2senxx2senxlim
0x +−
→ 24.
hxsen)hx(senlim
0h
−+→
25. 30x x
x2senxsen2lim
−±→
26. x1senxlim
x ∞→
27. 20x xxcos1
lim−
→ 28.
xxsen1xsen1
lim0x
−−+→
29. 30x xxsen1xtan1
lim+−+
→ 30.
2xtan
x2cosxsenx1lim
20x
−+→
31. xcosxsenx1
xlim2
0x −+→ 32. 20x x
nxcosmxcoslim −→
33. axcosaxsen1xcosxsen1lim
0x −+−+
→
xsenxcosxcos
lim 2
3
0x
−→
34.
35. (a) xsen
)xtan(senlim0x→
(b) xcos
)xcos2(senlim
2x π→
36. x
2xsen1
limx −π
−
π→
37. ax
asenxsenlimax −
−→
38. x3
xcos21lim
3x −π
−π
→
39. ( )4xtan2xlim
2x
π−
→ 40.
4x
1xtanlim
4x
π−
−π
→
41. )
2x(sec)x1(
1lim1x π
−→ 42. x/2
0x)x1(lim +
→
43. xx
)x31(lim +
∞+→ 44. m
m)
mxsen1(lim +
∞→
45. x3cos1
xsenlim2
0x −→ 46. )x1/(1
1xxlim −
→
47. xcsc0x
)xsen31(lim −→
48. xcsc)21(lim x0x
−→
49. xtan
2x
)xctg1(lim +π
→ 50.
x5cos1x7senlim 3
2
0x −→
51. nn n!nlim
∞→ 52. n
1n
n n!)1n(!n)1n(lim
+
+ +
∞+→
Análisis Matemático I
31
53. x0x
x21lim −→
54. n0n na
nalim−+
→
55. )x(flim0x→
, donde
>−
=
<−
=
0x,x2sen
xtanxsen0x,5
0x,x
x3cos1
)x(f 56. 2x/1
0x x2cosxcoslim
→
57. xsen/1
0x xsen1xtan1lim
++
→ 58. ( ) x2tan
4x
xtanlimπ
→ 59. xtan
2x
)xsen(limπ
→
60. x53
13x5cos
lim
53x −π
+
π→
61. x0x
xcoslim→
62. 2x
x 3x1xlim
+
∞→
+−
63. ( ) 2x/10x
xcoslim→
64. 1x
21x 1x1xlim
+
→
−
− 65. 1x
xcos2xsen
lim21x −
π+π
→
66. x
xsen
2
2
0x 2x3x3x2xlim
+−
+−→
67. 2x
x 1x22xlim
−+
∞→ 68.
1x1x
2
2
x 1x1xlim
+−
∞→
+
−
69. x
x 1x1xlim
+−
∞→ 70. )x)(gf(lim
0x+
→, donde f i g están dadas por:
≤≤π
≤≤−−−=
4x0,)2x(senx
0x2,)1x(2)x(f
2
2
<≤+
−
<<−−+
=8x2,
4x2x
0x4,5x2x
)x(g
2
71. x/1
2
2
x 2x3x21x2x2lim
−−
−+∞→
72. 1x
x 1x23x2lim
+
∞→
++ 73.
− −
→ xsene1lim
x
0x
74.
−→ x
eelimbxax
0x 75.
x21
)]x1(sen)
x1(cos1[x
lim23
x +
+π−+π+
∞−→
76.
−→ x
balimxx
0x 77.
−→ xsen
12limx
0x 78.
−−
→ bxsenaxseneelim
bxax
0x
79. 0a),1a(nlim nn
>−∞→
80.
+−+
∞−→1x8xlim 24 4
x
81. x/1x0x
)xe(lnlim +→
82. 0c,b,a;3
cbalimxxx
0x>
++→
32
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
83. x/11x1x1x
0x cbacbalim
++++ +++
→ 84.
xsen)xsen1(lnlim
0x
+→
85. xcosx
x1xsenlim
1x π+−−π
−→
86. )x(tanln1xtanlim
4x
−π
→ 87. 20x x
)x(coslnlim→
88. 5x
)4x(lnlim5x −
−→
89. x
)x1(lnlim0x
+→
90. x
)e1(lnlimx
x
+∞+→
91. x
)e1(lnlimx
x
+∞−→
92. ]}nln)1n(ln[n{limn
−+∞+→
93. x
)x101(loglim0x
+→
94.
−+
→ x1x1ln
x1lim
0x
95. 0a,ax
alnxlnlimax
>−−
→ 96.
)e3(ln)e2(lnlim x2
x3
n +
+∞+→
97.
−+
−+→ 2
22
0x x1x
xn1nxlnlim
98. )bxcos(ln)axcos(lnlim
0x→ 99.
)1xx(ln)1xx(lnlim 10
2
x ++
+−∞+→
100. )xx1(ln)xx1(lnlim 43
3
x ++
++∞+→
101. )21(ln)31(lnlim x
x
x +
+∞+→
102. )21(ln)31(lnlim x
x
x +
+∞−→
103. )ex(ln)ex(lnlim x24
x2
0x +
+→
104. )x1x(ln
)ex1(lnlim2
x
0x ++
+→
105. ]xlnx)1x(ln)1x(2)2x(ln)2x([limx
+++−++∞+→
106. (a) xsenhlim0x→
(b) x
xtanhlim0x→
107. (a) x
xsenhlim0x→
(b) xcoshlim0x→
108. 20x x1xcoshlim −
→ 109.
)x3(coshlnxsenhlim
2
0x→ 110.
axasenhxsenhlim
ax −−
→
111. xtanheelim
xsenx2sen
0x
−→
112. ax
acoshxcoshlimax −
−→
113. )x(cosln)x(coshlnlim
0x→
114. Hallar el valor de n de manera que 2x
xe
1nx1nxlim =
−+
∞→.
115. Si f : N → Q es una función del conjunto de los números naturales en el conjunto de los números racionales i Si k)n(flim
n=
∞+→, donde k es un número real, definimos:
,aalim k)n(fn
=∞+→
con a real i 0 < a ≠ 1
Probar que:
(a) ( )( ) qpqp aaa += (b) ( ) pqqp aa = (c) )b()a()ab( ppp = (d) qpq
pa
aa −= , p, q ∈ R
116. Una pelota se deja caer de una altura de 12 m. Cada vez que rebota en el suelo alcanza una altura de 3/4 la distancia de la cual cayó. Encontrar la distancia total recorrida por la pelota antes de quedar en reposo.
Análisis Matemático I
33 117. Dado un cuadrado de lado a, se inscriben cuadrados de manera que sus vértices sean
los puntos medios de cada cuadrado anterior. Hallar el límite de la suma de las áreas de los cuadrados cuando éstos se inscriben indefinidamente.
118. En un cono de radio r i altura h se inscribe un cilindro circular cuya base está sobre la
base de cono i con una altura igual a la mitad de la altura del cono. Se repite el procedimiento con el cono parcial que resulta i así indefinidamente. Hallar el límite de la suma de las áreas laterales de los cilindros así construidos.
119. El segmento AB = a de la figura que aparece en este ejercicio , está dividido en n
partes iguales. Sobre cada una de ellas, tomándola como base, se ha construido un triángulo isósceles, cuyos ángulos en la base son iguales a θ = 45°. Demostrar que el límite del perímetro de la línea quebrada así formada es diferente de la longitud del segmento AB, a pesar de que pasando a límites cuando n → ∞, la línea quebrada se confunde geométricamente con el segmento AB.
120. Sobre los segmentos obtenidos al dividir un cateto a de un triángulo rectángulo en n partes iguales, se han construido rectángulos inscritos. Determinar el límite del área de la figura escalonada así construida, si n → ∞.
La continuidad de funciones.
Definición 13. 1 Sea f : R → R tal que y = f(x). Se dice que f es continua en a, si cumple las tres condiciones siguientes: 1. f(a) existe 2. )x(flim
ax→ existe 3. )a(f)x(flim
ax=
→
En caso contrario, si falla una de estas condiciones, diremos que f es discontinua en a. En ocasiones, para simplificar las referencias diremos que f es continua en x = a si i sólo si )a(f)x(flim
ax=
→. Queda entendido que para que se cumpla esta igualdad deben
previamente cumplirse las dos propiedades anteriores.
Continúe pensando a una función f como una máquina que toma una entrada a i produce una salida f(a). Esta es una buena máquina (una continua) cuando un pequeño error en la entrada genera un pequeño error en la salida. En otras palabras, una máquina continua toma x cerca de a i produce f(x) cerca de f(a). Un buen ejemplo, de una máquina discontinua es la “máquina postal” que cargaba (antiguamente) 30 céntimos de sol por una carta de 1onza pero 55 céntimos de sol por 1.1 onza. Vea la figura 4
θ • • A B
34
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Por este motivo, podríamos definir también la continuidad en un punto como:
“ f es continua en x = a ⇔ )a(f)ha(flim0h
=+→
”
O B S E R V A C I O N E S
1. Por la condición 1 de la definición 13.1, solamente tiene sentido analizar la continuidad
de f en puntos del dominio de f. 2. Afirmar que )a(f)x(flim
ax=
→, equivale a decir: dado ε > 0, existe δ > 0 tal que |x – a| <
δ ⇒ | f(x) – f(a) | < ε. No es necesario la restricción 0 < |x – a| < δ, ya que a ∈ Dom (f), x = a, i también | f(x) – f(a) | = 0 < ε.
3. Si a es un punto de acumulación del dominio de f, entonces se deben cumplir las tres
condiciones de la definición 13.1. 4. Si a no es punto de acumulación del dominio de f, entonces f resulta continua en a. Por
ejemplo, si y = f(x) tiene dominio: Dom (f) = ⟨2,3⟩ ∪ {4}, entonces a = 4 no es punto de acumulación i por tanto f es continua en a = 4. Consideremos cuatro funciones cuyas gráficas son el prototipo de funciones discontinuas en un punto: Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8
x
a
f(x) f(a)
f Fig. 4
x x x x a
y
M
y
a
M N
y
a
M N
y
a
Análisis Matemático I
35 La figura 5 nos muestra que M)x(flim
ax=
→ existe, pero f(a) no existe.
La figura 6 nos dice que M)x(flimax
=→
i f(a) = N, ambos existen, pero no son iguales.
La figura 7 nos conduce a decir que )x(flimax→
no existe, i f(a) = N sí existe.
La figura 8 nos proporciona la información de que )x(flimax→
i f(a) ambos no existen.
En cada caso a es un punto de acumulación del Dom (f), las funciones dadas no son continuas en x = a.
Ejemplo 1. Toda función polinomial de grado n: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, an
)f(Domc),c(P)x(Plimcx
∈∀=→
≠ 0, es continua en todo punto de su dominio. Recuerde que el dominio es todo R. Fácilmente se prueba que .
Si n = 2, entonces P(x) es de la forma P(x) = ax2
Ejemplo 2. Toda función racional
+ bx + c. Su gráfica es una parábola, i se puede afirmar que es continua en todo punto de R. Si n = 1, entonces P(x) = ax + b. Su gráfica es una recta, i también es continua en todo punto de R. Si n = 0, entonces P(x) se transforma en la recta horizontal P(x) = a, que también es continua.
)x(Q)x(P)x(R = , donde P i Q son funciones
polinomiales de grado m i n respectivamente, es continua en todo punto a ∈ Dom (R) =
{ x ∈ R / x ∈ Dom (P) ∩ Dom (Q) i Q(x) ≠ 0}. Sea f(x) = 12xx
2x2 −+
+ una función
racional, cuyo dominio es Dom (f) = R – {– 4,3}, puesto que f(x) = )3x()4x(
2x−+
+ . Esta
función es continua en todo punto de su dominio. Note que –4 i 3 son puntos de acumulación del dominio de f, pero )x(flimi)x(flim
3x4x →−→ no existen, de manera que f
no es continua en estos puntos. Observe que los límites unilaterales en los puntos de discontinuidad son infinitos:
+∞=−∞=+∞=−∞=+→−→+−→−−→
)x(flim,)x(flim,)x(flim,)x(flim3x3x4x4x
; lo cual nos dice que
x = –4 i x = 3 son las asíntotas verticales. Note también que los límites al infinito: 0)x(flim,0)x(flim
xx==
∞+→∞−→; con lo cual la recta y = 0 es una asíntota horizontal. Vea
la figura 9
-5 0 5
5
0
y
x –2 • • –1/6
x = –4 x = 2
Fig. 9 (2,0)
(-2,0)
(0,2)
• •
•
x
y
Fig. 10
36
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Ejemplo 3. Debemos mencionar que las funciones trigonométricas circulares y = sen x, y = cos x, la función exponencial y = ex son continuas en todo punto de R. Las demás funciones trigonométricas circulares son continuas en su dominio. La función logarítmica natural: y = ln x es continua en todo punto de R+
x, mientras que la función raíz cuadrada: y
= es continua en todo punto de +0R . La gráfica de estas funciones nos ayudan a afirmar
tal continuidad. Por su puesto la demostración de cada una de ellas se puede proceder rigurosamente.
Ejemplo 4. Estudie la continuidad de
>−≤+−=
0x,)2x(0x,4x)x(f 2
2
Solución: La función f(x) = –x2 + 4 es continua en ⟨–∞,0] por ser un polinomio; del mismo modo f(x) = (x – 2)2
,4)0(fqueDesde.4)x(flim4)2x(lim)x(flim
4)4x(lim)x(flim
0x2
0x0x
2
0x0x ==⇒
=−=
=+−=
→+→+→
−→−→
es continua en ⟨ 0,+∞⟩. Pero f está definida en todo R, Veamos si es continua en x = 0:
se sigue que:
)0(f)x(flim0x
=→
, con lo que probamos que f es continua en x = 0. Véase la figura 10.
Ejemplo 5. Estudie la continuidad de la función y = | x | + [[ x]]
Solución: Observando la gráfica de la función dada (en el capitulo 6), podemos afirmar que la función es discontinua en todo número entero. En efecto, (como ejemplo) para x = 0 i x = 1 :
Para x = 0 :
==
−=−−=
+→+→
−→−→
0 )x(lim)x(flim
1)1x(lim)x(flim
0 x0 x
0 x0 x ⇒ )x(flim0 x→
no existe
Para x = 1 :
=+=
==
+→+→
−→−→
2 )1x(lim)x(flim
1)x(lim)x(flim
1 x1 x
1 x1 x ⇒ )x(flim1 x→
no existe.
Ejemplo 6. Determine si la función f es continua en x = 2 i x = 4; donde f se define
por f(x) =
≥+<≤
<
4 xsi 6x- 4 x2 si 4
2 xsi x 2
Solución: 4)x(lim)x(flim 2
2 x2 x==
−→−→ i 44lim)x(flim
2 x2 x==
+→+→. Como f(2) = 4, se sigue
que )2(f)x(flim2x
=→
, luego f es continua en x = 2. Análogamente, −→ 4 x
lim f(x) = −→ 4 x
lim (4) =
Análisis Matemático I
37 4 i
+→ 4 xlim f(x) =
+→ 4 xlim (–x+6) = 2. Ya que
+→ 4 xlim f(x) no existe, afirmamos que f no es
continua en x = 4. Vea la figura 11. Ejemplo 7. Probar que f es continua en R, donde f está definida por:
f(x) =
=≠
0 x, 0 0 x(1/x),sen x
Solución: (a) Supongamos que x = a, donde a ≠ 0, entonces f(a) = a sen (1/a) i
)a/1( sen a)x(flima x
=→
, lo cual demuestra que f es continua en todo número real a ≠ 0.
(b) Supongamos que x = 0, luego f(0) = 0 i ) (1/x)sen x (lim0 x→
= 0, en virtud del ejemplo 12.
de la sección 13.1; es decir, f es continua en x = 0. De las partes (a) i (b) concluimos que f es continua en todo R. Vea la figura 12.
Ejemplo 8. Localice los puntos de discontinuidad de la función f dada por:
f(x) =
=
≠
0 x si 1
0 si xx
xtan
Solución: 0 x
lim→
f(x) = 0 x
lim→
x xtan =
0 xlim→
xcos1
x xsen = 1 = f(0), luego f es continua en
x = 0. Como tan x = xcos xsen , entonces f es discontinua en los puntos para los cuales cos x =
0; es decir, x = 2π + n π , n Z.
Ejemplo 9. Determine los valores de A i B para que la función f sea continua en x = –1 i
x = 1, donde f(x) =
≥+
<−
−
−≤
1x , Bx
1|x| , 1x1x
1x , A
4
6.
y
00
5 o
(4,2)
2 4
4
x
y
y = x y = – x
x
y
Fig. 11 Fig. 12
38
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Solución: Note que | x | < 1 es equivalente a escribir –1 < x < 1 i 1x1x
4
6
−
− =
1x)1xx( )1xx(
2
22
+
+++− para x ≠ –1 i x ≠ 1.
(a) Para saber si f es continua en x = –1, debe cumplir 1 x
lim−→
f(x) = f(–1). En efecto,
−−→ 1 xlim f(x) =
−−→ 1 xlim A = A,
+−→ 1 xlim f(x) =
+−→ 1 xlim
1x)1xx( )1xx(
2
22
+
+++− = 23 . Como
debe ser−−→ 1 x
lim f(x) =+−→ 1 x
lim f(x), entonces A = 23 , con lo cual
1 xlim
−→f(x) = f (–1) =
23 .
(b) Similarmente, a fin de que sea f continua en x = 1, debe verificarse 1 x
lim→
f(x) = f(1).
Siendo así: −→1 x
lim f(x) = −→1 x
lim1x
)1xx( )1xx(2
22
+
+++− = 23 i
+→1 xlim f(x) =
+→1 xlim (x + B)
= 1 + B; de donde 1+B = 23 ; esto es, B =
21 .
B. Operaciones con funciones continuas.
Vamos a establecer si la propiedad de continuidad de las funciones se conserva al operar con ellas.
Teorema: Sean f i g dos funciones continuas en x = a. Entonces: 1 La función “suma” f + g es continua en x = a. 2 La función “diferencia” f – g es continua en x = a 3 La función “producto” f × g es continua en x = a . 4 La función “cociente” f / g es continua en x = a, g(a) ≠ 0. 5 La función “producto por un escalar” k f es continua en x = a. 6 La función “composición” f
g es continua en x = a, supuesta que f es continua en g(a).
O B S E R V A C I O N E S
(1) Otro punto de vista de continuidad es la siguiente: Hemos dicho que si f es continua en x = a, entonces
a xlim→
f(x) = f(a); esto significa a x
lim→
f(x) = f(a x
lim→
x). Por lo tanto, la
continuidad para una función significa que podemos introducir un límite dentro de una función.
(2) Note en la parte (1) del teorema anterior, f i g son continuas en x = a, implica que f+g es continua en x = a. El recíproco no siempre es cierto; esto es, si f + g es continua en x = a, entonces no siempre cada sumando es continua en x = a. Para ello, basta presentar en contraejemplo.
Análisis Matemático I
39
Sean f(x) =
>−=<+
0x , 1x 0x , 0 0x , 1x
i g(x) =
>=<−
0x , 1 0x , 0 0x , 1
Ambas funciones son
discontinuas en x = 0, pues ninguno de los límites 0 x
lim→
f(x) , 0 x
lim→
g(x) existen. Véanse
las figuras 14 i 15. Veamos la suma:
(f + g)(x) =
>=<
0x , x 0x , 0 0x , x
, luego (f + g )(0) = f(0) + g(0) = 0 + 0 = 0, −→ 0 x
lim (f + g)(x) =
−→ 0 xlim x = 0 i
+→ 0 xlim (f + g)(x) =
+→ 0 xlim x = 0, luego
0 xlim→
(f + g)(x) = (f + g)(0); esto es,
f + g es continua en x = a. Vea la figura 16.
Fig. 14 Fig. 15 Fig. 16 De igual manera Ud. puede encontrar contraejemplos para mostrar que la recíproca
de las partes 2, 4 i 5 del teorema último no son siempre ciertas.
Ejemplo 10. Demostrar que f(x) = x
++
16xx24 2 + 3x2 – 1 es continua en todo número
real no negativo.
Solución: Sean f1 x(x) = , f216x
x24 2 ++(x) = , f3(x) = 3x2 – 1. Todas ellas son
continuas en su dominio: f1 en todo real no negativo, f2
16xx2
2 +
en todo número real, por ser suma
de dos continuas: la función constante y = 4 i la función racional y = , f3 por ser
un polinomio en todo R; luego f(x) = f1(x) f2(x) + f3(x) es continua en R0+
C. Continuidad en un conjunto.
.
Definición 13.2
(1) Decimos que f es continua sobre un intervalo abierto ⟨a,b⟩ si es continua en todo punto x0
ε ⟨a,b⟩.
o
o o • 1 –1 x
y
• o 1
–1 x
y y = x
x
y
40
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
(2) Diremos que f es continua sobre un intervalo cerrado [a,b], si es continua sobre ⟨a,b⟩ i
+→ axlim f(x) = f(a),
−→ bxlim f(x) = f(b).
(3) f es continua sobre el intervalo semicerrado [a,b⟩, si es continua sobre ⟨a,b⟩ i
+→ axlim f(x) = f(a).
(4) f es continua sobre el intervalo semiabierto ⟨a,b], si es continua sobre ⟨a,b⟩ i
−→ bxlim f(x) = f(b).
Otras veces, la continuidad sobre un conjunto recibe el nombre de “continuidad global”. Por otra parte, los límites dados: )a(f)x(flim
ax=
+→ i )b(f)x(flim
bx=
−→ se
denominan continua por la derecha en a i continua por la izquierda en b, respectivamente. Ahora bien, una misma función puede ser continua sobre un conjunto i ser discontinua sobre otro conjunto. Por ejemplo, la función f definida por:
f(x) =
≥<−+−
5x,45x,5x6x2
es continua sobre ⟨0,5⟩ i discontinua sobre [ 0,5].
En efecto: (a) f es continua sobre ⟨0,5⟩ por ser una función polinomial. (b) Para que f sea continua sobre [ 0,5] debe cumplirse: )0(f)x(flim
0x=
+→ i )5(f)x(flim
5x=
−→. Para el
1ro 5)5x6x(lim)x(flim 2
0x0x−=−+−=
+→+→: , i f(0) = –5, luego cumple la condición. Para
el 2do 0)5x6x(lim)x(flim 2
5x5x=−+−=
−→−→: i f(5) = 4; como no se cumple la condición,
se sigue que f no es continua sobre [0,5].
Ejemplo 11. La función f(x) = [[ x]] +2, con Dom(f) = [0,3⟩ no es continua en [0,3⟩. Pues fallan en x1 =1 i x2 = 2. Véase la figura 17. Sin embargo, sí es continua en [0,1⟩, ya que es en ⟨0,1⟩ i )0(f)x(flim
0x=
+→. Lo mismo ocurre en los intervalos [1,2⟩ i [2,3⟩. En resumen f
es continua en su dominio Dom(f) = [0,1⟩ ∪ ⟨1,2⟩ ∪ ⟨2,3⟩.
Fig. 17 Fig. 18
o
o
o
1 2 3
2 3 4
x
y
x
y
1 -1 -2 -3 2 3 0
1
2
Análisis Matemático I
41
Ejemplo 12. Estudie la continuidad, sobre su dominio de la función f(x) =
−∈∈
ZRx,1Zx,2
Solución: El dominio constituye todo R. Sea x0 ∈ Z, evaluando el límite por la izquierda i por la derecha de x0, se establece que 1)x(flim
0xx=
→, en cambio f(x0) = 2. Luego f no es
continua en R. Vea la figura 18. D. Tipos de discontinuidad. Extensión continua. Un punto a ∈ R se llama punto de discontinuidad de la función y = f(x) si satisface cualquiera de las condiciones expuestas en las figuras 5, 6, 7, 8. Ahora clasificaremos los tipos de discontinuidad en la forma siguiente: Supongamos que a es un punto de acumulación del Dom(f) tal que a ∉ Dom(f). Esta condición da lugar a discontinuidades que son de tres tipos: (1°) Discontinuidad evitable (o removible). Se define cuando a ∉Dom(f) i existe
)x(flimax→
. Esta situación se puede eliminar por medio de un procedimiento adecuado; es
decir, redefiniendo la función a fin de que a ∈ Dom(f) i )a(f)x(flimax
=→
. Esa nueva
función recibe el nombre de “extensión continua de f en a”. En efecto, podemos definir.
=≠∈
=→
ax),x(flimax),f(Domx),x(f
)x(f̂ax
Ejemplo 13. La función 3x9x)x(f
2
−−
= con x ∈ R – {3} tiene discontinuidad evitable en
x = 3 , por que 3 ∉ Dom(f) i 3x9xlim
2
3x −−
→= 6)3x(lim
3x=+
→. Definimos la extensión continua
en a = 3, mediante
=≠
=→
3x),x(flim3x),x(f
)x(f̂3x
La figura 5 muestra la discontinuidad
evitable. Cuando a ∈ Dom(f) i )a(f)x(flim
ax≠
→, podemos todavía remediarlo volviendo a
cambiar el valor de f(a) como puede observarse en la figura 6.
(2°) Discontinuidad de polo. Se define cuando 0)x(f
1lim)x(f
1limaxax
==+→−→
. Se necesita un
tratamiento especial a causa de que el valor funcional no se puede controlar. La figura 18 muestra tal discontinuidad.
42
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
Ejemplo 14. La función f(x) = 2x
1−
con x ∈ R – {2} tiene una discontinuidad de polo en
x = 2, por que 2 ∉Dom(f) i 0)2x(lim)x(f
1lim2x2x
=−=−→−→
. Igualmente se tiene cuando x →2+
∞+=∞−=+→−→
)x(flimi)x(flim2x2x
.
Note que .
(3°) Discontinuidad esencial. Se define cuando a no es un polo ni una discontinuidad evitable. Son aquellas que no se pueden evitar.
Ejemplo 15. La función f(x)= xx
con x∈ R – {0}, tiene una discontinuidad esencial en
a = 0, por que 0∉Dom(f) i 0)x(f
1lim0x
≠→
. La figura 6 muestra una discontinuidad esencial
en x = a.
Ejemplo 16. Graficar la función x2xx
12xx)x(f 23
2
−−
−−= , indicando los puntos de
discontinuidad, los límites unilaterales en los puntos discontinuos, los límites al infinito i los puntos de intersección con los ejes coordenados.
Solución: La función dada podemos expresarla como )1x()2x(x
)3x()4x()x(f+−+−
= , de aquí
afirmamos que el Dom(f) = R – {–1, 0, 2}. (a) Las discontinuidades de polo se presentan en x = –1, x = 0, x = 2. (b) +∞=
−−→)x(flim
1x −∞=
−→)x(flim
0x +∞=
−→)x(flim
2x
−∞=+−→
)x(flim1x
+∞=+→
)x(flim0x
−∞=+→
)x(flim2x
Esto demuestra que la gráfica tiene tres asíntotas verticales: x = –1, x = 0, x = 2. (c) Los límites al infinito son: 0)x(flim,0)x(flim
xx==
∞+→∞−→. Esto demuestra que la
gráfica tiene una asíntota horizontal: y = 0. (d) Intersección con los ejes coordenados:
Con el eje x: y = 0 ⇒ (x-4) (x+3) = 0 ⇒ x = –3 i x = 4
Con el eje y: x = 0 ⇒ 012y −
= no existe.
Análisis Matemático I
43 Con los resultados obtenidos pasamos a dibujar la gráfica. Véase la figura 19.
E J E R C I C I O S En los ejercicios del 1 al 16, hallar los puntos de discontinuidad de las funciones i trate de dibujar las gráficas de cada una de ellas (siga el modelo del ejemplo 16)
1. 1x1x)x(f
2
−−
= 2. 3x
x)x(f2
−= 3.
1xx)x(f 2 −
=
4. 4x4x
5x3)x(f 2 ++
+= 5.
2x6x5x)x(f
2
+++
= 6. x4x1x)x(f 3
2
−
+=
7. 2x3x
1x)x(f 3
2
+−
−= 8.
x55x)x(f −+
= 9. 6x5x
1x)x(f 24
4
−+
−=
10.
1x11
1)x(f
5 −+
= 11.
>−≤
=1x,x21x,x2
)x(f 12.
>−≤=
1x,x21x,x)x(f
2
13.
=
≠−−
=2x,2
2x,2x4x
)x(f2
14.
=
≠−
−=
4x,0
4x,4x4x
)x(f 15.
>−≤<−+−
−≤+=
2x,1x22x2,2x
2x,1x)x(f
16.
−=
−≠+−+
=3.x,1
3x,3x
6xx)x(f
2
En los ejercicios del 17 al 26, encontrar todos los valores de x para los cuales las funciones dadas son continuas, i bosqueje las gráficas de cada una de ellas.
17. 2x1)x(f −= 18. 4x
x)x(f 2 −=
–3 –1 0 2 4 x
y
Fig. 19
44
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
19. 12x5x6x
8x2x)x(f 23
2
−++
−+= 20. 32/122 )xx(x)x(f −− +=
21. x4x4x
2x)x(f 23
2
+−
−= 22. 3/1
2
2)
x1
4xx()x(f −−
=
23.
>+≤−=
3x,1x23x,2x)x(f
2 24.
±=>+<−
=1xsi,0
1xsi,11xsi,1
)x(f
25.
=
≠−−+
−−+−
=1x,
177
1x,6x4x9x
3x3x9x4x
)x(f 23
234
26.
=
≠+
++−++
=
0x,31
0x,x3x
1xx21x3x)x(f 5
22
En los ejercicios del 27 al 37, hallar los valores de a i b de modo que y = f(x) sea continua en todas partes.
27.
>−≤+
=4x,1ax4x,7x3
)x(f 28.
<−≥=
2x,1ax2x,ax)x(f
2
29.
≥−<<+
≤=
4x,x24x1,bax
1x,x)x(f 30.
>−≤≤−+
−<+=
1x,b2x31x2,bax3
2x,a2x)x(f
31.
≥−<<−
≤−=
4x,xa24x0,)bx(
0x,xa)x(f 2
2
32.
≥+<<−≤≤−+
−<−
=
3x,ax3x1,xc1x2,bx
2x,xax
)x(f2
2
33.
>++≤≤−+
−<+−=
1x,3x2x1x1,bax
1x,2x)x(f
2
2
34.
>−≤+−<++
=1x,4x21x,bax
1x,1xx)x(f
2
35.
>+≤<−+
−≤+=
2x,2x2x1,bax
1x,1x3)x(f 36.
>+≤≤−
−<+=
3x,bx3x1,x
1x,ax)x(f 2
37.
>
<<−−
−−+−<+−
=
1x,x
1x1,1x
baxbxax1x,1x
)x(f
42
45
2
En los ejercicios del 38 al 54, localizar los puntos de discontinuidad, i bosqueje las gráficas.
Análisis Matemático I
45
38. f(x) = ln (cos x) 39. x
sen)x(f π= 40.
xsenx)x(f =
41. xln
1)x(f = 42. )1x(/1e)x(f −= 43. )5x2(log)x(f −=
44. )6x(ln)x(f 2 −= 45. )1e(/1)x(f x −= 46. )12(/1)x(f x −=
47. )1e(/1)x(f x4 −= 48. 2e2
x2e)x(f x3
2x
−
+= 49.
3e3x4e)x(f x4
x
−
+=
50. x/1
x/1
2121)x(f
+
−= 51. f(x) = ctg x 52. f(x) = sen (cos x)
53. f(x) = ln (x–1) 54. xcos1
1)x(f−
=
En los ejercicios del 55 al 63, determine f(0) de manera que las funciones dadas sean continuas en x = 0.
55. 2xxcos1)x(f −
= 56. xee)x(f
xx −−= 57.
xsenx)x(f =
58. xtan
x)x(f = 59. 2x/1e)x(f −= 60. x/)12x()1x(/x )1e(2)x(f ++ −=
61. x)1x()x(f
1n−+= , n∈N 62.
x)x1(ln)x1(ln)x(f −−+
= 63. x1senx)x(f 2=
En los ejercicios del 64 al 70, hallar los valores de a i b de manera que y = f(x) sea continua en todas partes.
64.
≥+<=
0x,xa0x,e)x(f
x 65.
π>+
π≤
=
2x,2ax
2x,xsen
)x(f
66.
π>−
π≤
=
2x,1ax
2x,xcos2
)x(f2
67.
π≥
π<<
π−+
π−≤−
=
2x,xcos
2x
2,bxsena
2x,xsen2
)x(f
68.
≥<≤−+
−<=
1x,xln1x2,bax
2x,x/1)x(f 69.
π>+
π−
π≤+
=
4x,x
4a
4x,xcosxsen
)x(f
46
LIMITES Lic. José L. Estrada P.
70.
>+
+≤≤−+
−<<−+π
=
0x,xx2
xsen3xsen20x2,bax
2x2/5,2xxtan
)x(f
4
2con Dom(f) = ⟨ –5/2 , +∞⟩
En los ejercicios del 71 al 75, encontrar los puntos de discontinuidad de las funciones dadas, i luego trate de graficarlas.
71. −= x)x(f [[ x ]] 72. =)x(f [[ x1 ]]
73. f(x) = 1 – x + [[ x]] – [[ 1 – x]] 74.
+−−
=impares]]x[[si,]]1x[[x
pares]]x[[si,]]x[[x)x(f
75. f(x) = [[ x]] + ]]x[[x − ,∀ x ∈ R En los ejercicios del 76 al 78, diga si es continua en el punto indicado
76. 0xEn
0x,x
x3tan0x,2
0x,x
x3sen
)x(f =
>
=
<
= 77. 0xEn
0x,x2senx8sen
0x,4
0x,1x1x
)x(f
4
=
>
=
<−−
=
78. 0xEn0x,20x,1
0x,1x
1
)x(f2
=
>=
<+
=
Determine los puntos, donde la función es discontinua:
79.
≥−<<−−
−=−<
=
1x,2x1x1,1
1x,01x,x
)x(f
2
80.
π≥π<≤<<−
−<
=
x,1x0,xsen
0x1,x1x,x/1
)x(f
81. Investigue la continuidad de las funciones f o g i g o f, donde
>+=<−
=0x,10x,00x,1
)x(f ,
g(x) = x2+1