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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
FACULTAD DE CIENCIAS Y ADMINISTRACION DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
L I M I T E S Y
D E R I V A D A S
Bernardo Acevedo Frías
Omar Evelio Ospina A
Manizales, Abril 1994
I.S.B.N. 958 - 9322 - 11 - 5
Autores:
Ornar Evelio Os pina Arteaga Matemático, Ms. Se. Profesor Asociado Bernardo Acevedo Frías Matemático Profesor Asociado Universidad Nacional de Colombia Sede Manizaies
Revisado por Profesor Luis Alvaro Sal azar Sal azar, Ms. Se. Profesor José Alonso Salazar Caicedo Lic. en Matemáticas
Impreso p o r Centro de Publicaciones Universidad Nacional de Colombia Sede Man ízales.
Abril de 1994 Primera Edición
Contenido página
Presentación
Capítulo I
Límites de Funciones 2
1.1 Conceptos intuitivos de límite y continuidad 3
1.2 Definiciones de límite y continuidad 10
1.3 Límites infinitos y límites al infinito 19
1.4 Propiedades y cálculo de algunos límites 32
14 1 Propiedades 32
1 4.2 Límites de funciones trascendentes 45
A) Continuidad de funciones trascendentes 45
B) Lira ¿e™ 4 7 x • X
C) Definición de función exponencial y logarítmica 51
D) Continuidad de la función exponencial y logarítmica 54
Capítulo II
Derivadas 68
2.1 Introducción al concepto de derivada 69
A) Velocidad Instantánea 69
B) Pendiente de la recta tangente a una curva en un punto 71
2.2 Definición de Derivada 81
2.3 Propiedades y cálculo de derivadas 94
2.4 Derivada de funciones en forma paramétrica 127
A) Parametrización de curvas 127
B) Derivadas 133
Contenido página
2.5 Derivadas de orden superior 139
A) Aceleración de una partícula 139
B) Definiciones 140
2.6 Derivación Implícita 149
2.7 La diferencial de una función en un punto 157
2.8 Algunas características de las gráficas en una función 161
2.9 La derivada de una función en la construcción de sus
gráficas 166
a) Propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados 166
b) Puntos donde se pueden presentar máximos y mínimos 168
c) Propiedades de funciones derivables en intervalos
cerrados 175
d) Criterio para determinar los intervalos donde una función es
creciente o decreciente 174
e) Criterio para determinar los intervalos donde una función es
cóncava o convexa 176
f) Criterio de la primera derivada para determinar máximos y
mínimos relativos 179
g) Criterio de la segunda derivada para determinar máximos y
mínimos relativos 182
2.10 Problemas de aplicación de la derivada 186
A) Rectas tangentes y rectas normales 186
B) Velocidad y aceleración 188
C) Razón de cambio 190
D) Aplicaciones de máximos u mínimos 194
E) Regla de L'Hopital 198
Bibliografía 208
Presentación
A manera de continuación del libro titulado "NUMEROS VECTORES
FUNCIONES " publicado por la Universidad Nacional de Colombia seccional
Manizales, los autores pretendemos presentar los temas, relacionados con
límites y derivadas de funciones con una presentación análoga, es decir, en
la cual se tratan de introducir los temas de una manera intuitiva y
constructiva, buscando con ello hacer que el estudiante se involucre en el
aspecto conceptual, fundamental para su formación como futuro ingeniero.
Estos conceptos son ilustrados con ejercicios completamente desarrollados
que servirán de base, junto con la parte conceptual, para resolver los
ejercicios propuestos los cuales pretendemos no sean repetitivos.
Esperamos que este material sea de utilidad para los estudiantes de cálculo
diferencial y fundamentalmente esperamos que a través de la lectura de
este texto se cambie el concepto mecanicista de la matemática con que
muchos estudiantes llegan a la universidad.
Agradecemos las sugerencias que nos hagan llegar, las cuales permitirán
mejores ediciones.
Ornar Evelio Ospina A. Bernardo Acevedo F.
CAPITULO I LIMITES DE FUNCIONES
La distribución continua de los números reales en una recta, hace que al
tratar de acercar sobre esa recta una variable a un número fijo, no se
pueda decir de una manera inmediata cual es el comportamiento de una
función real definida en las proximidades de ese punto, pues es posible que
allí la función tome un valor fijo o su gráfica esté interrumpida o se aleje a
más infinito o a menos infinito.
El estudio de este aspecto conceptual fundamental en la formación de
cualquier estudio de la matemática y esencial en las aplicaciones de la
matemática a aspectos físicos en variables continuas es lo que se pretende
en este capítulo.
2
1.1 CONCEPTOS INTUITIVOS DE LIMITE Y CONTINUIDAD
Suponga que se tiene una función y = f(x) de reales en reales con dominio
D. Sea a e R; saber cuál es el comportamiento de la función en a es muy
sencillo, simplemente calcule f en a y observe que solamente pueden
suceder dos cosas: o existe un número real f(a), o sea a e Df, o no existe
f(a), lo cual indica que a ? D f . Pero saber cuál es el comportamiento de
la función muy cerca de a sin referirnos a un punto específico y sin
referirnos a "a", es un problema bastante delicado pero de gran
importancia, ya que conociendo este comportamiento se tiene una amplia
información sobre la gráfica de la función, información que no se puede
tener si solamente se conoce la función en el punto.
Inicialmente se presentarán diversas situaciones en las cuales se mostrará
a partir de las gráficas de unas funciones, que' sucede con las ima'genes de
una variable x a medida que esta variable se acerca a un punto fijo a, sin
llegar a ser a, pero acercándosele tanto como se quiera.
Ejemplo 1.
Considere la función f(x) = x2 (figura 1) y tome a = 2.
3
Figura 1
Conocer el comportamiento de la función en x = 2, es simplemente calcular
f(2), que en este caso es f(2) = 22 = 4 o sea 2 e Df.
Pero para conocer el comportamiento de la función cuando la variable x
se está acercando a 2, es preciso apreciar que :
1) En la figura 1 (a) a medida que x se acerca a 2 por su derecha, sus
imágenes se van acercando a 4, lo que se suele expresar diciendo, que el
límite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha es 4 y se nota por:
Lim f [ x ) =4 x - 2*
2) En forma análoga de la figura 1 (b) a medida que x se acerca a 2 por su
izquierda, sus imágenes se van acercando a 4, en este caso se dice que el
límite de f(x) cuando x tiende a 2 por su izquierda es 4 y se nota por :
Lim f ( x ) = 4 x-*2~
Observe que en este caso la gráfica de la función no presenta ningún
agujero, ni interrupción en x = 2 (lo que significa que la función es continua
4
en x = 2) y también que la función tiende al mismo valor cuando x se
acerca a 2 tanto por la derecha como por la izquierda. Estas situaciones no
siempre se presentan en la gráfica de una función, como se ilustrará en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Sea f [ x ) í * + 3 s i * , i 2 - x si x > 1
De la figura 2(a), se tiene que cuando x se acerca a 1 por la derecha f(x)
se acerca a 1, lo cual se nota por, = 1 pero cuando x se
acerca a 1 por la izquierda (fig 2(b)) f(x) se acerca a 4, que se nota como:
5
Lim f { x ) = 4
Esto muestra que no necesariamente los límites laterales
Lim f{x) , y Lim f ( x ) deben ser ¡guales; pues aquí a diferencia del x - a* x - a'
ejemplo 1, la gráfica sí presenta una interrupción en el punto x = 1 (Lo que
significa que la función es discontinua en x = 1). Esta característica de la
gráfica está determinada por el comportamiento de la función cerca de
x = 1, tanto a derecha como a izquierda y no por el comportamiento de la
función en x = 1, pues si solamente tenemos en cuenta este aspecto, lo
único que podríamos afirmar es que f (1) = 4 y por tanto x = 1 e Df.
En los ejemplos anteriores el punto x = a, era un punto en el dominio de la
función, hecho que no es necesario para conocer el comportamiento de la
función cerca de a, como se ilustra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 3
Observe que f(2) no existe, ya que al calcular f(2) habría que dividir por
cero, lo cual no es posible en números reales, o sea 2 <2 Df, lo que significa
que para la abscisa x = 2, no existe punto en la gráfica de la función. Ahora
en el caso en que sea x * 2 se puede dividir entre x - 2, puesto que x - 2
no es cero y así:
6
X¿ - 4 = (x - 2) (x + 2) x - 2 X + 2 ' o sea que la gráfica de la
función f (x ) = — c u a n d o x es diferente de 2, es la misma de
y = x + 2 y por tanto la de f(x) = es ,a de esta recta y = x + 2
A' - 2
con un agujero en x = 2 (figura 3).
Figura 3
•P' / / / I
f(x) = X 2 - 4
x - 2
->—<í-2 x
- » x
a)
-/
A
b| x 2
-» x
De la figura 3(a), se puede apreciar que lì™ x?' ' 4 = 4 v de la - x - 2 "
figura3(b) que líw x ~ 4 = 4 X - r X - 2
7
Aquí en ningún momento se tuvo en cuenta que la función no estaba
definida en x = 2, pero es preciso aclarar que en los dos ejemplos
anteriores, cuando se hizo referencia a los límites, tampoco influyó en nada
el que la función estuviera definida en "a", lo que significa que en el cálculo
de límites cuando x tiende a "a", no incide el hecho de que a pertenezca
o no al dominio de la función, pero si influye parcialmente para afirmar si la
gráfica es continua o no en ese punto, pues observe que aquí no lo es, ya
que se presenta un agujero.
Cuando se dice que el hecho de que a e Df influye parcialmente para
afirmar si la función es continua en a, se trata de decir que para que f sea
continua en a es necesario que a e Df como se ilustró en este ejemplo,
pero no es suficiente, como se ilustrará en el siguiente
Ejemplo 4
Sea 2 _
f(x) = x - 2 7
si x * 2
si x = 2
La diferencia de esta función, con la del ejemplo anterior radica, en que aquí
se ha definido en una forma especial la función en x = 2 ( f(2) = 7 ) o sea
que 2 g Df, su gráfica es muy similar a la anterior excepto que el punto (2,7)
pertenece a la gráfica de la función (figura 4).
8
Figura A
I i
/
b)
P
/ i
x 2
En este caso Lim f(x) =4 figura 4 (a) y X - 2 *
Lim f ( x ) = 4 x - 2 '
figura 4 (b); existe f(2), pero la gráfica de la función no es continua, pues
presenta una interrupción en x = 2.
Del ejemplo 2 se puede observar que si los límites por la derecha y por la
izquierda en un punto a son diferentes, la función no puede ser continua en
este punto y del ejemplo 3, que si la función no está definida en x = a
tampoco puede ser continua en x = a
En el presente ejemplo los límites laterales en a son iguales, la función está
definida en a = 2 ( f(a) = 4); y f no es continua en a; pero si observamos
la gráfica de esta función vemos que si en lugar del punto (2,7) se hubiera
tenido el punto (2,4) = (2,f(2)), éste rellenaría el agujero que aparece en la
gráfica y la función sería continua, es decir, que adicionalmente a las dos
condiciones dadas anteriormente se debe añadir una tercera para garantizar
la continuidad de la función en el punto: los límites laterales deben coincidir
9
con el valor de la función en el punto.
Cuando se dice que un número A tiende a un número B, lo que realmente
se esta' afirmando, es que A se esta' "pegando"a B, es decir, que la
distancia entre A y B está tendiendo a cero o se está acercando a cero, que
se notará por A - B -» 0.
Con esta notación, y teniendo en cuenta las ideas intuitivas que se
trabajaron en los ejemplos anteriores, se darán las siguientes definiciones
que no son completamente rigurosas, pero que permiten trabajar estos
conceptos.
1.2 DEFINICIONES DE LÍMITES Y CONTINUIDAD
1. Se dice que el límite de una función f(x) cuando x tiende a "a" por la
derecha es un número real L, y se nota por Lim f(x) =L si y solo x - a '
si f está definida en un intervalo de la forma (a, a + Ó), con 5 > 0 y
f(x) - L —» 0 cuando x - a 0 para x > a.
2. Se dice que el límite de una función f(xJ, cuando x tiende a "a" por la
izquierda es un número real L, y se nota por Lim f(x) =L si y solo x - a
si f(x) está definida en un intervalo de la forma (a - ó, a) con 5 > 0 y
f(x) - L -> 0 cuando x - a 0 para x < a.
3. Se dice que el límite de una función f, cuando x tiende "a" es un número
real L y se nota, Lim f(x) = l , si y solo si f está definida en un x - a
10
conjunto de la forma (a - 8, a) w (a, a + 5) para algún 5 mayor que 0 y
f(x) - L -> 0 cuando x - a 0.
Esta definición de límite equivale a afirmar que existe Lim f (x) y x - a '
Lim f{x) y que además x - a'
Lim f [ x ) = Lim f { x )
4 Una función f(x) se dice que es continua en x = a si y solo si satisface
las siguientes condiciones:
a) a e Df (existe f(a)).
b) existe Lim f{x) x - a
c) Lim f ( x ) =f (a) x - a
Ejemplo 1
Demostrar que Lim I =i es equivalente a demostrar que x • 2* X 2
&
f(x) - L -> 0 cuando x - a 0, es decir, (|x-2| / x-2) - 1 0 si
x - 2 0 con x > 2.
Para ello observe que:
f ( x ) - L ¡ = j i ^ - f i - 1 ! ! X - 2
2 - ( x - 2 )
11
Ahora puesto que x > 2 entonces Jx - 2 I = x - 2 por lo tanto
f ( X ) - L \x - 2 1 - ( x - 2!
x - 2
x - 2 - x + 2 x - 2 Ix - 2
= 0
Observe este resultado gráficamente (Ejercicio).
Ejemplo 2
Demostrar que Lim Jx = j a si a > 0, es equivalente a demostrar que x a*
%
\'x - -4a -^Q cuando x - a 0 con x > a.
Para ello:
¡yx - v/a| = {y/X ~ y/a) (y/X + y/I) s[x + Ja
x - a I x - a v'x + v'ai y/x + v/a
cuando x - > a. Pues x - a -» 0 cuandox -> a y^Ja + V a V o
Observe este resultado gráficamente (Ejercicio).
Ejemplo 3
Demostrar que L i m v'1 - * = v^ , es equivalente a demostrar que x - - 2
y/i - x - yfs - o cuando x -» - 2 . Para ello.
12
| y / T ^ - x - - y/3") + / 3 )
V'I - A + 3
1 - x - 3 - x - 2
V'I - x + \ /3 y/1 - x + v3
cuando x -> -2 Pues -x - 2 -» 0 cuando x -2 y \Í3 + V31 * 0
Observe este resultado gráficamente (Ejercicio).
Ejemplo 4
Demostrar que L i m ^ — ^ = 4 ^ x - 2 X - ¿
es equivalente a demostrar que
X2 - 4 X - 2
0 cuando x - 2 0.
Para ello:
x - 2 - 4 J ( x - 2 ) ( x+2 )
x - 2 - 4 = x + 2 - 4 |= x - 2 cuando x
Observe este resultado gráficamente (Ejercicio).
Ejemplo 5
En el ejemplo anterior se mostró que Lim 4 = 4 , pero observe que
aquíx = 2, no pertenece al dominio de la función, es decir no existe f(2), por
tanto la función no puede ser continua en x = 2, ya que no satisface la
primera condición de continuidad en este punto.
Observe este resultado gráficamente (Ejercicio).
13
Ejemplo 6
Sea f (x) = x2 - 4
— SI X * 2 X - 2
8 si x = 2
En forma simi lar al e jemplo anterior se muestra que
(Ejercicio), aquí x = 2 sí pertenece al dominio de la función Lim f ( x ) = 4 x - 2
f(x), pues f(2) = 8, pero como f(2) es diferente al valor del
Lim f{x) e n tonces no se satisface la tercera condición de continuidad, por
tanto f no es continua en x = 2.
Ejemplo 7
\x - 2\ En el ejemplo 1 se demostró que Lim i 1 = i , en forma análoga x- - 2 * X ¿
se puede demostrar que Lim _ ^ = -i (Ejercicio). Puesto que los x _ 2- X A
\x - 2 dos límites laterales son diferentes entonces no existe Lim — - l ,
x - 2 X A
por tanto no satisface la segunda condición de continuidad; luego esta
función no es continua en x = 2.
14
Observe este resultado gráficamente (Ejercicio).
Ejemplo 8
Observe que Jf® existe y es igual a 4, pues
I f ( x ) - 4 | = | x 2 - 4 | = | ( x +2) ( x - 2) | = |x + 2 | Ix - 2 | - 0
cuando x - 2 -> 0, pues x + 2 ^ 4 y x - 2 0 cuando x-> 2.
Además f(2) = 22 = 4, existe, y su valor coincide con el valor del límite, por
tanto f(x) = x2 es continua en x = 2.
Definición
Una función y = f(x) es continua en un intervalo abierto (a, b) si y solo si f
es continua en cada punto del intervalo
Ejemplo
La función f(x) = x2 es continua en cualquier intervalo abierto (c, d), pues en
forma análoga al ejemplo anterior se puede demostrar que
Lim f (x) = f(a) para cada a e (c,d).
Definición Una función f(x) se dice continua en un intervalo cerrado [a, b] si y solo si
a) fes continua en el intervalo abierto (a,b) y
b) Lim f(x) = f i a ) y Lim f ( x ) = f(b) x - a ' x - b~
Ejemplo 1
La función f(x) = Vx" es continua en intervalo cerrado [1,5], como se puede
15
deducir de los ejercicios vistos anteriormente.
Ejemplo 2
f U) = x si 0 < x ^ 5
2 si x — 0
Es evidente que f es continua en (0, 5) (Ejercicio), además
Lim f(x) = f( 5) (Ejercicio), pero Lim f(x) = 0 * /(O) = 2 * - 5" x - 0*
luego f no es continua en el intervalo cerrado [0,5],
EJERCICIOS
I) Trazar las gráficas de las funciones siguientes y apoyado en ellas hallar
los límites indicados.
1 f { x ) = x 3 ; Lim f ( x ) , Lim f { x ) , Lim f ( x ) x " 2 x - 3* x ~ 0"
f { x ) = v/1 + x ; Lim f (x ) ; L i / t f L ( x ) ; L i m f ( x ) * ^ 1 x - x - 2"
3. f ( x ) = X
2 Si Si
x s 5 x < 3
Lim f { x ) x — 3 ~
Lim f ( x ) x - 3 Lim f { x ) x - 5
, í ( x ) = , 3 _ * ; L i m í ( x ) ; Lim f ( x ) ; Lim f {x) | X 3 | x _ 3- X - 3" x - 4
16
5 f(x) = ——i ; Limf(x) ; Lim f(x) X ~ ± v - 1 V - - J X - 1 x - 1 x - 3
e. f < x ) - 1 - V A o sS i * > 5 ; am>£u) a i í { x ) : a i t [ x )
7 fíx) • — 1 ; Lim f{x) : Lim f ( x ) • X 2 - n --x - 2 X - 4
8. f{x) = [yfx] ; Lim f(x) x - 9
II) Determinar si las funciones dadas en el numeral I son continuas o no. Dé
un intervalo cerrado donde cada una de ellas sea continua.
III) Defina continuidad de una función en los intervalos (a,b), (a,b], (-a>, +oc)
y dé ejemplos.
IV) Determinar si las funciones siguientes son continuas en el intervalo
dado.
1. f(x) = ~ 28 ; en [-2,2] «fc
2. f(x) = y/1 - x en [ - 5 , 4 ) Mo
3 f(x) = x2 + x en [2,10)
17
4 f { x ) = [ x - 1] (Parte entera) en [ - 5 , 6 ) s,
5. f (x) = y/x - 4 en [ 4 , 5,
g f ( x ) = x 4 er¡ (-oo,+oo) cj;
V) Hallar el valor de m y n tal que la función dada sea continua
/72X S Í X > 4
x¿ si x <. 4
2. / ( x ) =
mx si x < 3 n si x = 3
- 2 x + 9 si x > 3
3. . f ( x ) = /rcx + 1 s i x £ 3 2 - mx si x > 3
4 / ( x ) = - 1 s i X 0
mx + n s i 0 < x <1 1 s i X 2! 1
18
1.3 Límites Infinitos y Límites al infinito
Siguiendo el mismo esquema utilizado para introducir los conceptos de
límites y continuidad, se estudiarán intuitivamente a través de unos ejemplos
los casos en los cuales cuando x se acerca a un número real a por la
derecha o izquierda, f(x) se aleja hacia arriba (f(x) -> +00) o se aleja hacia
abajo (/¡fxJ-> -00) y también se estudiará en forma intuitiva el comportamiento
de la función f(x) cuando en lugar de acercarse x a un número real a, se
aleja sobre el eje x hacia la derecha (x-> +00) o se aleja sobre el mismo eje
hacia la izquierda (x^- -00).
Ejemplo 1
Sea f ( X ) = si X < 1 x - 1 2 - x si x ¿ 1
19
En la figura 5 se observa su gráfica y en ella se puede apreciar que a
medida que x se acerca a 1 por la izquierda (x-> 1"), sus imágenes se van
alejando cada vez ma's hacia abajo sin ninguna cota, lo que se representa
con la expresión :
Lim f( x) -x - 1"
En forma análoga de la gráfica de la función
2 - x si x ¿ 1
( figura 6) se puede visualizar el sentido de la expresión
Lim f ( x ) = +<*> X - 1"
y
20
Ilustre el significado de
Limf(x)= +», Lint f(x) = -oo, Lim f(x)= +«, Lim f{x) = x ' a x ~ a* x - a X - a
con las gráficas de
a) fix) = 1 b) fW = -1
c) í W - ¿ d ) - - - L
Ejemplo 2
De la gráfica de f(x) =1 (figura 7) se puede apreciar que a
medida que x se hace más grande su imagen estará cada vez más próxima
a cero, confundiéndose con cero cuando x tiende a más infinito, esta
situación se describe afirmando que el límite de f(x) cuando x tiende a más
infinito es cero y se nota por:
Lim f { x ) =0 X - + <*
En forma análoga de la figura 7 se puede apreciar que a medida que x se
aleja hacia la izquierda su imagen estará cada vez ma's cerca de 0,
confundiéndose con cero, cuando x tiende a menos infinito, hecho que se
notará por:
Lim f ( x ) =0 X - -«•
Ejemplo 3
De la gráfica de f(x) = 2x (figura 8) se puede deducir que las
Figura 8 y
o o
imágenes de f(x) pueden estar tan arriba como se quiera tomando a x
suficientemente grande, situación que se suele describir afirmando que el
límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es más infinito y se nota por:
Lim f{x) = +<*> X - +<*>
Análogamente analice en este ejemplo qué sucede con la función cuando
x tiende a menos infinito (ejercicio).
A partir de los conceptos intuitivos que se han desarrollado en esta sección
se definirán los mismos en forma rigurosa. Se espera que el lector interprete
estas definiciones a través del concepto adquirido.
Definiciones
1 Lim f{x) = . equivale a decir que para cualquier M > 0 x - a*
dado, existe un 5 > 0 tal que si a < x < a + 5 entonces f(x) > M .
Ejemplo
Sea f (x) = - (figura 9)
23
y
\ Figura 9
\
Demostrar que, LÍW — = +<*> equivale a verificar que dado M > 0, x - 0 * X
existe un 8 > 0 tal que si 0 < x < 5 entonces 1/x > M.
Para hallar este 8, observe que 1/x > M => 1/M > x y así S = 1/M. Asi' si
0 < x < 8 = 1/M => x < 1/M => 1/x > M es decir, f(x) > M.
2. Lím f ( x ) = , equivale a decir, que para cualquier número
M > 0, dado, existe 8 > 0 tal que si a - 8 < x < a entonces f(x) < -M.
Ejemplo
24
Sea f(x) = — — (figura 10) x + 3
Demostrar que Lim —í— = equivale a verificar que dado x - -3"
M>0, existe 8 > 0, tal que si -3 - 5 < x < -3 entonces 1/(x+3) < -M.
Para hallar este 5 (que depende de M), observe que si 1/(x+3) < -M =>
M + 1/(x+3) < 0 => (Mx + 3M + 1)/(x+3) < 0 => Mx + 3M + 1 > 0 (Pues
como x < - 3 entonces x + 3 < 0) =>
Mx > - 1 - 3M => x > (-1 - 3M)/M = -1/M - 3 = -3 - 1/M (5 = 1/M)
Así, si -3 - 5 = -3 - 1/M = (-3M - 1) / M < x < -3 => 1/(x+3) < -M
(Ejercicio).
25
3. En forma análoga defina e ilustre con ejemplos similares los conceptos
siguientes:
Lim f{x) = ^ Lim f{x) = x - a
4. En todos los cuatro casos anteriores, la función f(x) en las cercanías de
a se aleja hacia arriba o hacia abajo pegándose a la recta x = a. En
cualquier situación de éstas, se dice que la recta x = a es una asíntota
vertical de f(x).
Definiciones 2
1 f [ x ) = a Equivale a decir, que dado e > 0 existe un N > 0
tal que si x > N entonces f(x) - a < e, es decir, si x > N entonces la
distancia entre f(x) y a es menor que el número e > 0 dado.
Ejemplo
Demostrar que Lim - L = o equivale a verificar que para un x ~ +°> X2
e > 0 dado, existe un N > 0 tal que si x > N entonces 1/x2 - 0 < c.
Para hallar este N (que depende de c) observe que:
1/x2 - 0 <e <=> 1/x2 <8 <=> 1/e < x2 <=> 1/8 < x 2 <=> 1/Ve"< x
<=> X > 1/Vs~= N ( Pues x = x por qué ? ).
Así si x > N => x > 1/Vs => 1/x2 < s => 1/x2 - 0 < 8 (Ejercicio)
2. Análogamente defina e ilustre el concepto de:
Lim f(x) = a x - -OO
26
3. En los dos casos anteriores la función f(x) se aleja hacia la derecha o
izquierda pegándose a la recta y = a. Si adicionalmente a esto se tiene que
a partir de un punto x1f la curva no corta a la recta, se dice que la recta
y = a es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f(x).
Ejemplo
La recta y = 2 es una asíntota horizontal de f(x) = (figura 11).
/ i
/
2
[ Figura 11
- 1
/ 2x "M = x t l
4. Lim f ( x ) = Equivale a decir, que para cualquier M > 0, x—
existe N > 0, tal que si x > N, entonces f(x) > M.
Ejemplo
Demostrar que Lim x2 + i = , equivale a verificar que
\
dado M > 0 cualquiera, existe N > 0 tal que si x > N entonces x2 + 1 > M.
Para hallar este N (que depende de M), observe que:
x2 + 1 > M <=> x2 > M - 1 <=> x 2 > M - 1 <=> x > M-1) <=>
x > V(M - 1) = N (pues x > 0).
Así si x > N entonces x2 + 1 > M (Ejercicio).
5. En forma similar defina e ilustre los conceptos :
Lím f{x) = Lim f (x) = Lím f(x) = Q0n las gráficas de las x - +oo X - 00
funciones f ( x> = -2x2 , f (x ) = x4 + 8 , f ( x ) = -x2
EJERCICIOS
1) Analizando las gráficas de las funciones dadas hallar los límites que se
indican :
a) f{x) = Sen x ; Lim f{x) ; Lim f(x) ;Limf{x)
l \ f (x) = Ln x ; Lim f(x) ; Lim f (x) ; Lim f{x) D) X-+» x-0*
c) = - X - Lim x-+<» f ( x ) Lim x--<*>
f(x) Lim x-2
f(x)
Hx f(x) = 2X ; Lim f(x) ; Lim f {x) ; Lim f (x) U ) x-*"-00 x - 3
28
e\ f ( x ) = Í-|)X >Lim ;Lim f ( x ) ;Lim f ( x ) ' ' 3 ' x-+<*> x - - « x - 0
2) En cada literal bosqueje la gráfica de una función que satisfaga todas las
condiciones dadas
a) Lim f { x ) = 2 ¡Lim f ( x ) = ;Lim f (x) = 3 ; L i m f { x ) = X - » X - + ° »
k\ Lim f ( x ) = +<» ; Lim f ( x ) = ; Lim f { x ) = ; Lim f { x ) = x - 0 * x - 0 "
c\ Lim f ( x ) = -00 ; Lim f ( x ) = -<» ; Lim f { x ) = 4 . f ( x ) = 1 0 ' X - 3 * X - 3 " > - - . + 0 0 V - - 0 0
d) Lim £{x) = ; Lim f ( x ) = 0 ;Limf(x) = 2 ; Lim f ( x ) =6 x - 3 x-*°° x - 5 x - 4
3) Demostrar
? p i a ) Lim — = ;¿>) Lim —=— = ; c ) L í / t ? — =
x -1* X - l x - 1 - X - l x - 0 XA
1 1 1 d) Lim -— = -o» ; e) Lim - — = ; f ) Lim -— = x - 0 X 4 x - 0 * X 3
g) Lim x5 = ; h) Lim x 3 + 2 = -<» ; i ) Lim - x 2 + 6 = X — + o o X - - ™ / X —
29
j) Lim x6 = +<*> ;k) Lim -3x+5 = x~-°» x—°°
4) a) ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener una función? ¿ Cuántas
verticales ?
b)Si Lim f(x) = ¿cuántas asíntotas horizontales puede X - + 0 0
tener f(x)7 ¿Cuántas verticales?
c) Si Lim f{x) = y Lim f(x) = ¿Cuántas asíntotas
horizontales puede tener f(x) ?
d) Si Df = R y f(x) es continua ¿ cuántas asíntotas horizontales y cuántas
verticales puede tener f(x) ?
e) Si Df = (3,20) y fes continua ¿ cuántas asíntotas horizontales y cuántas
verticales puede tener f(x) ?
5) En las gráficas que aparecen a continuación determine asíntotas
horizontales, verticales y analice su continuidad.
30
6) Halle asíntotas horizontales, verticales y bosqueje su gráfica si:
a) f i x ) - b] f i x ) m _ x f _ ç ) f { x ) m _ x x*-9 X
d) fix) « /^.y^-y. U - 5 ) ( 2 x - 3 )
31
1.4 Propiedades y Cálculo de algunos Límites
El cálculo de límites de funciones utilizando las definiciones presenta dos
problemas: Uno de ellos es que se debe conocer cuál es el posible valor
del límite y no existe ningún método práctico que nos indique cual es ese
valor y el otro, que así se conozca ese valor, la demostración de que éste
es o no el valor buscado, utilizando la definición adecuada es bastante
engorroso.
Afortunadamente a partir de propiedades de los límites que se desprenden
de sus definiciones se pueden calcular éstos en forma más o menos sencilla
utilizándolas adecuadamente.
Se presentarán estas propiedades junto con ejemplos que ilustren su
utilidad.
1.4.1 Propiedades
1. El límite de una función f(x) en un punto, cuando existe, es único.
Demostración
Supóngase que en x = a el límite de f(x) no es único, es decir, supóngase
que Lim f(x) = A y Lim f(x) = B ; se verá que A = B. x - a x - a
Como Lim f{x) = A entonces f(x) - A -> 0 cuando x - a 0 . x - a
Como Lim f ( x ) = B entonces f(x) - B 0 cuando x - a -> 0 . x - a
Ahora: A - B = A - f(x) + f(x) - B < A - f(x) + f(x) - B =
f(x) - A + f(x) - B - > 0 + 0 = 0 cuando x - a 0 .
32
Asi", O < | A - B | -> O, pero como A y B son números fijos entonces
A - B = 0 y así A = B.
2. La función constante f(x) = k es continua.
En efecto :
Lim f{x) = f (a) ,ya que \f(x)-f(a)\ = i k - k | = 0, lo que implica que x - a
f(x) - f(a) i -> 0 cuando x - a i -» 0.
3. La función idéntica es continua.
Demostración (Ejercicio).
Según esto Lim x = a x - a
4. Si Lim f(x) = A y Lim g(x) = B con A y B números reales
i) Lim (f(x) ± g(x)) = Lim f(x) ± Lim g(x) = A ± B
ii) Lim (f(x) . g(x)) = Lim f(x) . Lim g(x) = A . B
iii) Lim (f(x)lg(x)) = Lim f(x)¡Lim g(x) = A/B, si B * 0.
Aqui la expresión Lim, donde aparezca en esta propiedad, representa una
sola de las siguientes situaciones:
Lim ; Lim , Lim , Lim , Lim X - a' X - a x - a * - + " x - - »
Demostración
Se demostrará i) a manera de ilustración, las otras se hacen en forma
análoga.
De las hipótesis se tiene que:
Lim f{x) = A , es decir, ! f(x) - A • -> 0 cuando ! x - a ! —> 0 y x - a
33
Lim g{x) - B , es decir | g(x) - B ' -> O cuando ! x - a j -> 0, se verá que x - a
j f(x) + g(x) - (A + B) ¡ -> 0 cuando x - a -> 0.
En efecto: ! f(x) + g(x) - (A + B)1 =
(f(x) - A) + (g(x) - B) i < I f(x) - A + g(x) - B \ 0 + 0 = 0 cuando
x - a I —> 0.
5. Si f(x) y g(x) son continuas en un punto a entonces f(x) ± g(xf(x)
. g(x)\ son continuas en a y si g(a) * 0 entonces f(x)/g(x) es continua en a.
Demostración
Se desprende inmediatamente de la propiedad anterior (Ejercicio).
Ejemplos
a) Como f(x) = k es continua en a y g(x) = x es continua en a, entonces
H(x) = f(x).g(x) = kx es continua en a.
b) Como f(x) = x es continua en a, entonces g(x) = x2 es continua en a, y
en forma análoga x3, x4, x100, son continuas en a para cualquier
a e R.
c) En general f(x) = a0 + a ^ + + a^" . n c N es continua en a para todo
a en R (Ejercicio), por tanto :
Lim ( 1 + + 2x2 + x 3 ) = 1 + 2 * 5 + 2 * 5 2 + 125 = 1 1 + 50 + 125 = 186 X - * 5
d) Si P(x) y Q(x) son polinomios:
Lim = si q(a) ^ 0, por tanto x-a g ( x ) g{a)
, . x 2 - x - 4 22 - 2 +4 6 Lim = = -— x-2 x 2 + 9 22 + 9 13
34
e) Anteriormente se vio que líw jx = ja si a > 0 , esto indica que x-a
la función Vx"es continua en todo a > 0.
También se puede demostrar que en general es continua en a, para
todo a > 0 si n es par y para todo a si n es impar.
6. Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a) entonces g(f(x)) es
continua en a es decir, líw g(f(x)) - g [líw f(x)) = g(f(a)) x-a ' x-a '
Ejemplos
a)
b)
Lím y/x2 + 2x + 3 x-2 / Lím ( x 2 + + 3) X—2
Líw x-3 x 2 + 3 x + 5
x¿ Líw x-3
x + 3 x + 5
t, II + 4 + 3
4 231 4 6
Líw ¡3x2 = [líw ( 3 x 2 + v / x ^ J 4 = (12 + / F )
7. Con el mismo significado dado a Lim f(x) en la propiedad 4:
Si Lim f(x) = L y Lim g(x) = L y f(x) < h(x) < g(x) (Para todo x cerca de a,
o en más o menos infinito según sea el caso) entonces Lim h(x) = L.
Este resultado conocido con el nombre de Teorema del emparedado se
puede visualizar con la ilustración siguiente para líw (figura 12).
35
Figura 12
Ejemplo 1
L i m Sen* s¡x* + 1 = 0
En efecto:
puesto que - 1 ¿ Sen3 sjx2 + l ¿ 1 entonces
- 1 ¿ ^x2 ¿ j l y como-1/x y 1/x tienden a 0 cuando x-^+co
X X X
entonces S e n 3 + 1 también tiende a 0 cuando x +oc X
36
Ejemplo 2
- i
Lim x2 Sen— = 0 x - 0 X
En efecto 0 < | j^sen 1/x - 0 | = x21 sen 1/x | < x2 y como g(x)~ 0 y h(x) = x2
tienden a 0 cuando x-»0, entonces x2sen 1/x también tiende a 0 cuando
x -> 0.
Ejemplo 3
Si Lim | f(x) | = o entonces Lim f(x) = o x - a x - a
En efecto:
se sabe que - /¡fxj! < f(x) < l f(x) i y como Lim \f(x) | = o y x - a
Lim -\f (x) | = o , se concluye por e! teorema del emparedado que x - a
Lim f(x) =0 x-a
f (x) Si se requiere calcular un límite de la forma Lim — C o n f(x) y X - a y \X)
g(x) continuas, pero tal que g(a) = 0, entonces no es posible calcular el
límite simplemente reemplazando la x por la a . En estos casos se pueden
presentar dos situaciones que requieren tratamientosdiferentes: la primera,
que se tratará inmediatamente, es cuando f(a) también es igual a 0, y la
segunda, que se tratará posteriormente es cuando f(a) es diferente de 0.
37
En la primera situación se procede inicialmente a realizar operaciones
algebraicas correctamente, hasta conseguir que el reemplazo de x por a en
el denominador no lo anule. Estas operaciones se realizan siempre teniendo
en cuenta que x * a.
Ejemplo 1
Hallar Lim " 2c5
x - 5 X - 5
Si se reemplaza x por 5, el numerador y denominador se anulan, mas sin
embargo:
x 2 - 25 _ (x - 5) (x + 5) _ „ . c c . x _ 5
= " x + 5 , pues x * 5 , luego
Lim x2 ~ 25 = Lim x + 5 = 10 x - 5 X - 5 x - 5
Ejemplo 2
Hallar Lim {x + h\2 ~ h - o n
{x + h) 2 - x2 x2 + 2xh + h2 - x2 = 2xh + h2
= _ + . aquí y, ñ h
pues h * 0, luego Lim (x + h).2 " = Lim 2x + h = 2x r a - o n A - .o
Ejemplo 3
38
Hallar Lim ^ + * ~ ^ h ~ O h
sfnnti - sf2 = ( j y - m - / 3 ) (yr^rñ + y p = h h (\/3 + h + y j )
3 + h - 3 h 1 h (JJ~Tñ + /3 ) h ( v/3~n + ^3 ) + ^3
pues h entonces
Lim ST^l - v^ = Lim i -h a - o 73 + h + J3 2^/3
Ejemplo 4
Lim ^ Hallar 27 x - 21
1 1 1 1 3 - 3 ( x 3 - 3) (x 3 + 3 x 3 + 9)
X - 27
(X - 27) (X - 27)
1 1 ( x - 27) ( x 3 + 3 x 3 + 9 )
1 1 1 1 ( x 3 + 3 x 3 + 9) x 3 + 3 x 3 + 9
pues x * 27, luego
39
Lim V * - 3 , L i m 1 = 1 . _ L x - 27 X - 27 x - 2 1 2 1 9 + 9 + 9 27
x 3 + 3 x 3 + 9
Ejemplo 5
Hallar Lim x\ " 3x + 2
x - i x 4 - 4 x + 3
x
3 x + 2 _ x l ) 2 ( x + 2) 4 _ 4 x + 3 ( x - l ) 2 ( x 2 + 2 x + 3)
x + 2 + 2 x + 3
pues x * 1, luego
r • x 3 - 3 x + 2 r x + 2 _ 3 _ 1 Lim = Lim = — = — x-i x 4 - 4 x + 3 x - i x 2 + 2 x + 3 6 2
En el caso en que al calcular Lj£> Y[x) s e tenga que g(a) = 0,
pero f(a) * 0, con f(a) real, la función f(x)lg(x) tiende a +co o a -oo cuando x
tiende a a, según que f(a) sea positivo o negativo y que g(x) tienda a 0 por
valores positivos o negativos de la forma siguiente:
si f(a) > 0 y g(x) -> 0 por valores positivos, entonces f(x)/g(x) -» +oo
si f(a) > 0 y g(x) -» 0 por valores negativos, entonces f(x)/g(x) -> -oo
si f(a) < 0 y g(x) -» 0 por valores positivos, entonces f(x)/g(x) -> -oo
si f(a) < 0 y g(x) 0 por valores negativos, entonces f(x)/g(x) ->• +oo
Resultados análogos se tienen si se calculan límites laterales.
Ejemplo 1
40
Hallar Lim X-2
5 x + 3 4 - x 2
5x + 3-> 13 > O cuando x-> 2. Ahora observe que 4 - x2-» 0 por valores
positivos si x2 < 4 o sea si x < 2, es decir, 4 - x2-> 0 por valores positivos
cuando x -» 2", análogamente 4 - x2 0 por valores negativos cuando x2> 4
o sea cuando x > 2, lo que indica que 4 - x2 -» 0 por valores negativos
cuando x -» 2+ y por tanto :
Lim X-2'
5 x + 3 4 - X 2 y Lim
x-2'
5 x + 3 4 - x 2
Ejemplo 2
Hallar Lim x - 3* x
x - 8
- 3 y r • x - 8 Lim x - 3 - * " 3
Como x - 8 -> -5 < 0 cuando x 3 y x - 3-> 0 por valores positivos si x 3+
y x - 3 ->• 0 por valores negativos si x 3" entonces
r • x - 8 Lim x~* 3+ X ~ 3
y Lim = x - 3 " x - 3
Ejemplo 3
Hallar Lim X - 1
x 3 + 3 x - 8 U - D 2
Como x3 + 3x - 8 -> -4 < 0 cuando x -> 1 y (x - 1 )2-> 0 por valores positivos
cuando x 1 bien sea por la derecha o por la izquierda,
41
x3 + 3 x — 8 entonces Lim — —— = -« X- 1 (x - 1) 2
Los resultados anteriores se utilizan también en el cálculo de límites cuando
x +oo o x -oo en funciones de la forma f(x)Jg(x) después de realizar
algunos cambios en esta función
Ejemplo 1
T • x4 + x2 + 3 Lim -Hallar v2 X" + X
Dividiendo entre x4 numerador y denominador, la expresión se convierte en:
i + J_ + J l
Lim ^ = pues
x2 x3 X - +">
Lim 1 + JL + JL = i > o y _L + _L _ o por valores X2 X4 X2 X3
positivos, cuando x -> +co.
Ejemplo 2
42
_5 _3
Hallar Lim x 2 + x \ + 1 X - + 0 0 J T
2 x 2 + x 2 + 2
Si se divide numerador y denominador entre x5/2 se tiene :
i + 1 + X 1
r - X 2 + X 2 + 1 T . X 2 1 LIM = LIM ——- = —
_ O . 1 . 2 2
2 x 2 + x 2 + 2 I ~ 1 v 2 „ 2
Ejemplo 3
3 1
Hallar Lim * ^ + + 3 2
7 x 3 + x 2 + x
si se divide numerador y denominador por x3 se tiene :
Lím X- + < »
+ X
7 x + x
+ 3 Lim X - +
X X
+ _ 3 -X 3
+ X 7 +
J3 7
x
Ejemplo 4
43
Hallar ¿ ^ ^ ^ " ^
Lim y/x + 4 /3c = Lim (Jx^A - / x ) ( V ^ ^ + W X- ( y / X + 4 +
Lim x ~ + » / x + 4
X + 4 - X =Lim + / x v /x+ 4 + y/x
= O
pues V(x+4) + +oo cuando x-> +oo, ya que suma de funciones que tiendan
a +oo, tienden a +oo y suma de funciones que tiendan a -ce, tienden a -oo.
En el ejemplo anterior ocurre que el límite es de la forma (+QO) - (+oo) y da
cero, pero esto no siempre ocurre, como se ilustrará en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5
Hallar XL™ f ^ r r i ~ X 1
Este límite también es de la forma (+oo) - (+<») pero:
r . / x 3 2\ T • X3 - X2 (x2 + 1) J. X3 - X4 - X2 _ _ Lim • x¿\= Lim —•— = Lim =
x - +oo \ x2 +1 ' * - -<» x 2 + 1 x - x2 + 1
(Por qué?)
44
Ejemplo 6
3x + 1 Hallar L i r n x - — sjx2 + x + 2
Lim 3*+ 1
x - — sjx2 + X + 2 = Lim 3x + 1
x
= Lim x -
(1 + - +
3x + 1
1 + . i + X '
= Lim 3x + 1 = -3 = - x, ya que x < 0 ) - x 1 + X
1.4.2 Límites de Funciones Trascendentes
A) Continuidad de las funciones trigonométricas
La función f(x) = sen x es continua para todo a e R.
Para ver ello, basta con mostrar que ^im sen x = sen a e s decir, de
acuerdo a la definición, hay que demostrar que sen x - sen a ' O cuando
x -> a.
En efecto :
Ozlsen x-sen a\ = \2cos ) Sen (-2^)1 1 1 1 2 2 1
= 2 I eos ( i ^ ) ¡I Sen k 2 . l | Sen k = |x -a | i 2 " 2 1 1 2 2 1 1
es decir O < Sen x - Sen a ! < x - a
tienden a cero cuando x -» a , entonces
45
y como h(x) = x - a ; y g(x) = O
sen x - sen a ~> O cuando x-> a.
Nota.
Esta desigualdad se tiene, ya que para todo x real : sen x I < x
En efecto : considerando inicialmente el caso 0 < x < n/2 y comparando el
área del sector circular determinado por el ángulo x y el área del triángulo
con base 1 y altura sen x, como se aprecia en la figura 13, se tiene que :
área triángulo OPQ < área sector circular OPQ, es decir,
1. (Sen x) 12 < x 12 , entonces Sen x < x.
Considerando que la función Sen x es impar, se puede verificar que
i Sen x < x ¡ para -n/2 < x < 0, y considerando el comportamiento del
Senx en otro intervalo se puede mostrar que en general Sen x < j x Vx
(Ejercicio).
Ejemplo 1
f(x) = Cos x es continua para todo a e R; para ello representemos Cos x
como :
Cos x = Sen (ti/2 - x), y así como Sen x y n/2 - x son continuas, entonces
Cos x es continua. En resumen:
y Figura 13 x 2 + y 2 = 1
sen x x
46
Lim Cos x = Lim Sen (-* x - s \ 2
Ejemplo 2 L
La función Tan x = s f n x Cos x
Por qué? (Ejercicio).
¿Dónde son continuas ias funciones Cot x, Sec x y Csc x ? (Ejercicio)
Ejemplo 3
Lim I s e n Ux2 + 3x) + Tan l x' * 11 + Sec (— ) 1 = X - 3 l \ y j x + 6 1 \ x I 1
Sen ¡Lim \jx2 + 3x \ + Tan ¡Lim x ¿ + 1 1 + sec (Lim — i = \x 3 / \x 3 ^x + 6 ' \ x - y X }
Sen (v/18) + Tan ( M ) + S e c
B) Lim S e n x = x - 0 X
El cálculo de este límite requiere una ilustración geométrica basada en las
definiciones de ángulos en radianes y de funciones trigonométricas por
medio de! círculo unitario.
Se considerará solamente el caso 0 < x < tc/2
De la figura 14 se puede concluir que.
- xj =Sen {Lim - x )) =Sen ^ - a) = Cos a
es continua en R - {(2n + 1)tc/2 \ n e z}
47
Figura 14
Area del triángulo ORS
área del triángulo OPQ =>
< área sector circular OPR <
Cos x gen x ¿ x ¿ Tan x => 5 e / 7 T a n x = > 2 2 2
v 1 Cos X < < Sen x Cos x
y puesto que las tres expresiones son
mayores que cero se tiene, tomando sus recíprocos, que
> Senjc > C o s x
Cos X
Por la continuidad de la función Cos x, se tiene que cuando x-> o+
Cos x - > 1 y 1/Cos x -> 1 ; por tanto aplicando el teorema del emparedado se
concluye que :
L i w S e n x = i
48
Usando el hecho de que la función Sen x es impar se considera el caso
-71/2 < x < 0 ( 0 < - x < 7c/2) obteniendo como resultado
L i m S e n x = 1
x - 0 "
Ejemplo 1
T S e n ax Lim = a x - 0 x
En efecto: haciendo p = a x , cuando x-> 0, a x-> 0, es decir, p-> 0 y asi;
inicialmente se tiene que:
L i m Sen a x = L i m Senji = 2
x - o ax n - o |i
y utilizando este resultado entonces:
j • S e . n a x _ r . „ S e r ? a x „ , . S e n a x „ . Lim = Lim a = a L i / r ? = a . 1 = a x o x x - o a x x - o a x
2) Lim ^ ~ Cos x = Q x - 0 X
Lim Cos x = Lim {1~ Cos x ) (1+ = L¿/» Cos2 X
x — 0 X x - 0 X ( 1 + C O S x ) X - 0 X ( 1 + C o s x )
49
, • Sen2 x T • Sen x. Sen x Lim r = Liw —-—^ x - o x 1 + Cos x) x - o x 1 + Cos x)
Lim S e n x * Liw Sen x.Lirn o O X - O 1 + Cos X
1*0*— = O 2
3) Liw 1 - 2 C o g x = - — * n - 3x
Haciendo el cambio de variable (j = x - n/3 (x = [j + n/2>) se puede apreciar
que cuando x-> 7i/3, entonces p-» 0 y asi:
1 - 2 COS (— + \i) Lim 1 - 2Cog* = Liw 2
-I 71 ~ 3 X 71 - 3 + Jl)
1 - 2 [Cos — Cos |i - Sen — Sen Liw — i*
1 - 2 * — Cos L i + 2 - ^ - Sen [i 2 2 Lim
ü ~ o ~3\i
- 1 Liw 1 ~ Cos» - ^ Liw ^ Sen» = 0 - Ü = = --L 3 ( i - o H 3 n - o +H 3
50
C) Definición de Función Exponencial y Logarítmica
Para a > 0, definiendo a° = 1, an = a.a a (n-veces), a"n = 1/an, a1/n = "Va
queda definida para cada a > 0 una función f(x) = ax, para todo x racional.
A partir de estas definiciones se demuestran propiedades para esta función
de variable racional tales como: ap > 0, Va, ap+q = ap aq, a w = (ap)q,
ax es creciente para a > 1 y decreciente para 0 < a < 1, y puesto que es
inyectiva existe la inversa para cada "a", ésta se conoce como logaritmo en
base "a": loga x = y < - > x = a y y esta función, como inversa de la
exponencial, posee propiedades como : loga1 = 0 ;
logaa = 1; loga(uv) = loga u + loga v, loga(u/v) = loga u - loga v;
loga up = P loga u ; loga x es creciente para a¡-> 1 y decreciente para
0 < a < 1, loga x es inyectiva para todo a > 0 a * 1, además :
Loga x = L°9b X y a* = bx L°9b a
Logb a
El problema es que hasta aquí ni las funciones exponenciales, ni las
logarítmicas están definidas en tramos continuos de la recta real, razón por
la cual inicialmente se ampliará la definición para cada a > 0 de f(x) = ax,
a todo x real, para lo cual solo falta definir, ax para x irracional. Para ello
recuerde que un número cuya representación decimal es finita, es un
número raciona!, pues automáticamente esta representación es periódica,
ya que se supone que a su derecha van infinitos ceros.
Sea x un número irracional con representación decimal (no periódica)
x = a . a ^ ^ donde los a¡ son dígitos.
Observe que para cada k. para el cual ak * 9 se tiene que :
51
Pk = a.a^a2 ak < x < aa,a2 (ak+1) = qk y los Pk y qk son racionales.
Además entre más grande sea k, Pk y qk difieren menos de x. Así se han
construido dos sucesiones de números racionales (P k ) k e N ,
(qk)k e N tales que:
Lim Pk = x y Lim qk = x k - o» k - °°
Es decir, todo número irracional se puede representar como límite de una
sucesión de números racionales (por exceso y por defecto).
Ahora como para cualquier a > 0, y cualquier q e Q, aq está definido,
entonces si x es un número irracional, con x = Lim qn entonces se n - o»
define a x = Lim a D
n~ <*•
Queda definida para cada a > 0, la función f(x) = a*, con x e R, y las
propiedades consideradas para el caso x € Q se cumplen también para
x g R, y puesto que es inyectiva con dominio R y recorrido R+, entonces
tiene inversa con dominio R+ y recorrido R, y así para cada a > 0 queda
definida la función logaritmo para todo x e R+, función que satisface también
las propiedades enunciadas para el caso restringido,
Especial interés presenta en matemáticas el estudio de las funciones
exponencial y logarítmica en base "e", donde e es un número definido como
el límite de la sucesión
52
e = Lim ¡1 + —) n - » \ ni
Se puede demostrar que para cualquier valor de n la expresión (1 + 1/n)n
es mayor que 2 y menor que 3 y que la sucesión es creciente, pero crece
en forma lenta,así por ejemplo para n = 1000, (1 + 1/n)n es igual a 2.7169,
para n = 10.000 es igual a 2.71826, para n = 1.000.000 es 2.71828, para
n = 10.000.000 es 2.718281. También se puede demostrar que el número
límite de esta sucesión es irracional y es aproximadamente igual a:
e=2.718281..
El logaritmo en base e, o sea la inversa de la función f(x) = e* se llama
logaritmo natural y se nota por Ln, (In x = loge x ).
Con esta definición de e, la función exponencial en base e : ex se puede
representar como:
ex = /Lim ¡1 + — i" f = Lim ¡1 + - P = Lim í 1 + 4 f Vn - «o \ n I I n- oo \ n j k - « \ k !
,este último paso haciendo k = nx, pues si n -> +oc k -> +oo (para x > 0) y
1/n = x/k
Observación
En forma más genera! se puede definir el número e como
53
e = Lim ( 1 + g{x)) ?{x) Si Lim g{x) = O x - a x - a
cr
e = .Lim (1 + ——r x - a g{x)
Si Lim g{x) =
D) Continuidad de la función exponencial y logarítmica
1. Inicialmente se demostrará que la función f(x) = ex es continua en "0", es
decir, Lim ex = e° = i lo que significa que ex - 1 -» 0 cuando x 0 . x - 0
Se trata ráso la mente, el límite por la derecha, o sea se considerará x > 0, lo
cual implica que, por ser creciente la función, ex > e° = 1, y asi
ex - 1 = ex - 1.
Para ello se requiere primero demostrar la desigualdad ex>1+x Vx > 0
/
e* = Lim { i + = \ nj
Limil+n (*) + 1 n(n-l) + U Lim l l + n - Z ) = l + x » \ n 2 n I n- \ n¡
y (1 + x) < ex para x > 0.
Para demostrar que ex-1 0 cuando x 0 se mostrará que ex-1 > 0, puede
ser tan pequeño como se quiera, acercando suficientemente x a cero. Para
ello sea e>0 tan pequeño como se quiera. Tomemos x = In (1 + e).
Observe que, puesto que 1 + 8 < eE => x = In (1 + e) < In (e£) = s (por
ser ex creciente) y así cuando s 0 , x -> 0 (pues 0 < x < s) y además.
54
se puede hacer tan pequeño como se quiera, para valores de x tales que
x -> 0.
2. f(x) es continua en todo b e R., es decir ex = eb 0 sea
e x -e b - > 0 s i x - > b , yaque e x - e b = eb(ex-b-1) = eb e x b - 1 ->0 ,
si x -> b,pues haciendo u = x-b, si x -> b, u -> 0 y así :
eb(ex"b- 1) = eb (eu- 1) -> 0 (si u - > 0)
3. f(x) = ax es continua para todo a > 0.
En efecto: f(x) = ax = ex ln 3 y puesto que x In a es continua (constante por
x) y la exponencial en base e es continua, entonces ax = ex l na ,que es la
compuesta de estas dos, también es continua.
4. f(x) = logax es continua para todo x e R, es decir,
Lim Loga x = Loga b o | l o g a x - Loga jb|-0 O x-b
Log„ 4 I - 0 SÍ X - » b. b '
Para ver esto, sea y = Log a x/b => ay = x/b y Si x -> b => x/b 1 => ay ->1 =>
y ^ O ^ Log a (x/b) 0.
Ejemplos
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Lim e5x +4 = e 5* 2 + 4 = e 1 4
x - 2
2 . Lim e3x + 3 = e3
x - 0
3. Lim Log^{2x + 5) = Log3 (9) X—2
4. Lim Ln{x + 1 0 ) = Ln 10 x - 0
5. Lim Ln [x2 + 5 x + 1) = Ln( 1 + 5 + 1) = Ln7
E. L i m L l 7 ( 1 + = a y Lim ^ L l A = i x - 0 A x - 0 X
- 4 Lim Ln = Lim Ln (1+ ax) x = Ln (Lim (1+ ax) x ) = Ln(ea) = a x - 0 -A x -0 x - » O
(Por la continuidad del logartimo)
Ahora haciendo el cambio de variable p = ex- 1 (x = ln ( p+1)) se puede
apreciar que cuando x -> 0 entonces p -> e°-1 =0, (por la continuidad de
la función exponencial), luego
56
Lim eX 1 = Lim , ^ = Lim , 1 = - = 1 x -o X n - o X r z ( n + 1 ) ^o Ln ( 1 + j¿) 1
Ejemplos
1. Lim — - = Ln a x-0 X
Puesto que ' 1 = ' = ' Ln a x x x Ln a
entonces
^ x
- 1 ( L n a - 11 Lim - i = Lim — Ln a = 1. Ln a = Ln a
x-o x x -o x Ln a
(haciendo p = x ln a)
2. Lim-^0^3 ( 1 + ^ ~ * x-o x Li? a
Haciendo el cambio de base se tiene que
Log( i + ¿x) = ( 1 + bx) y entonces Ln a 3
Lim L°g* { 1 + h x ) - Lim Ln = x-0 x - o x Ln a Ln a x - o x Ln a
o n . l n x - 1 ó lim =
x - e x-e
Haciendo p = x - e; cuando x -> e, m 0 y así:
57
. Ln x - 1 , • Ln x - Ln e _ T • Ln (\x + e) ~ Ln e Lim ± = Lim —— - Lim
x-<? X - e x-e ^ e ^ 0 H
Ln i ) Ln (1 • \ ») , Lim = Lim - -[i-C p. n-a ^ u
^ ^ i i ^ ex - Cos x 4. Calcular Lim ; x-C X "
ya que
Lim ^ I f l = Lim = 1 (n-x^ y x - 0 X " H-
. . 1 - COS X = r i w 1 - eos2 X = L i m sen2 x L
x - c ^ - X 2 ( 1 + C O S X ) x - 0 X 2 ( 1 + C O S X )
L i w ¿ÉUJÍ.Lim S ^ . L i m 1 - = 1 *1 *1 = | x-o X x-0 A x - o l + C OS X ¿
entonces:
58
e x * - Cos x _ , . e - 1 + l - Cos x Lim — — = Lim x-0 X2 x - 0 X 2
Lim eX ~ 1 + Lim 1 ~ CoS X - 1 + 1 = 2
x-o x 2 x-o x 2 2 2
F. Lim f (x)^ ! x )
x - a
En los casos en que tenga sentido, para calcular límites de este tipo, se
utiliza la propiedad de cambio de base en exponencial:
a b _ e bm a p a r a a = f(x) > o y para b = g(x), es decir; f(xfx) = e9(x)ln f(x) y la
continuidad de la función exponencial.
Ejemplo 1
Si Lim f (x) = a > o y Lim g{x) = B entonces
Lim g[x) Lnf (x) Li/n f{x)Z'x) = Lim eg{X> L V U ) = e = e S L í 2 ; ! =
Ejemplo 2 Lim ( * 1 J = 1
l i m — — — = l i m — i — = 2 y l í / t? x + i = 2 y aplicando el x - 1 X 2 - 1 x - 1 x + 1 2 x - 1 J
resultado del ejemplo anterior se tiene que:
59
Lim x - 1
X ~ 1 I X + 1
X 2 _
1 1 4
Ejemplo 3 Lim (1 + Sen x) x = e
En efecto :
2 — Ln {1 + Sen x)
Lim (1 + Sen x) x = Lim e x
ya que
L l m SSLS L i m M L l l - L ^ L . m X x-0* b e n X
x - 0
Ejemplo 4 Lim x n x = i
t Ln x Ln x —x - o Lim x Ln x = Lim e 1J1X = e
x-O*
I x2 + 5 \ x
Ejemplo 5 = I i T T T ) =
60
Como Lim ( X ¿ + 5
» \ x 'tí- 1 ,
1 + Lim X - «>
X' 1 +
y Lim x =
Entonces Li/?? I x + 5 1 = +oo X- +«o \ X + 1 ;
Ejemplo 6 Li/7? j | = 0 x- \ 2x + 5
ya que x + 3 Lim —^ —
X - ¿X •+ 3 — y Lim x' 2 4-00
Ejemplo 7 Lim 1 = e - 6
, o \ 2 x 2 x Ln :
Lim 1 - — = Lim e - 1) X
Lim 2 x i / 7 i l - — )
= e*
Lim 2 .
e*— -6 lim '1 •
x
Ln >1 - ^ j> x
= e
(haciendo p = 3/x)
61
Ejemplo 8 Lim (eos x) Senx = i x-0
Lim (Cos x) sen * = Lim (1 + Cos x-1) Sen x
x-0
1 Cos x -1 i Lim (1 + [Cos x-1'1 ) Cos X~1
x-0
Lím | ( l + (Cos x-1 x - 0
(Tos x-1 >, \ Cos x-1 \ Senx _ g0 _
puesto que
Sen x - Cos x - 1
Lim (1 + (Cos x-1) ) C o s x"1 = e y Lim x-0 x=>0
Cos X - 1 X _ 0 _ n Lim - — - u
; , ; -o Sen X l
62
Ejercicios
I) Sea
f ( x ) _ axD+. . . +a0
g(x) bxm+...+brt
demustre e ilustre con ejemplos que :
L i . i l 4 = < x--» g[x)
— si m = n b
0 si n < m + « o - » si n > m
II) Las siguientes afirmaciones son todas verdaderas, ilústrelas con ejemplos
a) Si Lim f { x ) = +°° y Lim g(x) =c => Lim f { x ) +g{x) = +°° ' V — V - » ^
M Si Lim f ( x ) = -°° y Lim g{x) =c =» Lim f (x) +g(x) ' jr-»^?
q) Si Lim f{x) =+°° y Lim g{x) =c, c*0 entonces ' v—A y—
i ) Si c>0, Lim f (x) g{x)
i i ) Si c<0, Lim f (x) g(x)
d) S i Lim f (x) =+°° y Lim g{x) = c* 0=»1 im £{x).g{x) = sic>0 s i c<0
63
ei Si Lim f ( x ) = -°° y Lim g(x) =c t O= > l im f { x ) . g ( x ) = -00 sic> 0 + s i C<0
f) S i Lim f ( x ) =+°° y Lim g{x) = +°° =» L i m f ( x ) g ( x ) =+oo ' V - + 0 0 X— -«O
III) Hallar el valor de los siguientes límites :
1 . Lim W ) ' 3 - * 1 {Ri 3 ^ ) 2. Limx2~{a + 1\x+a (R:
x-o h x~a x 3 - a J 3a
3 . LimJílll. (R: i ) 4 . Limx" y" {R-.ny"'1) x - 1 X 2 + l x - y X - y
1 1 1 T . xm-l t o m i , r , x m - a m
5. Lim \R: — ) 6. Lim (i?: ) x-i x n - l n x-a x - a ma
7 . Lim ^ (i?: 1) 8 . Lim ** 1 ( i ? : - 2 ) X--1 x +3x+2 x-+ VX+y/x + V^
9 . Lim^JKJ. (R:- — ) 10. Lim ( —— + — ) ( f ? : i ) x-7 X 2 - 4 9 X-i X - 1 1 - X 3
11. L i m ^ l (22:1) 12. L i m ^ ^ . (*=4±) x-1 2 x—4 x + 1 5 y v i _L
13. Lim (x*h)-Senx { R : C o s x ) 1 4 . Lim Cos x-Cos a { R : . S e n a h-0 h x-a x a
64
15. LimSen x~Cos x
1-Tan x X - * 4
16 Lim( l -x) Tan -M <— )" x-1 2 71
l -Sen 17. Lim Cot 2x cot (-J-X) (/?:-=-) 18. Lim (i?:0)
x-0 2 2 7 t - X
19. L i m ^ - ^ Z f o s n x ( Ä I 1 ^»..„a, > 2 0 > Lim Tan x-Sen x x 2 2 x - 0 X 3
2 1 . L i m A r c S e n _ x { R , 2 2 . L i w A r c T a n 2 x { R : 2 }
x~o x x-o Sen 3x 3
23. Lim 1 x 2 {Ri — ) 24. L im 1 ^Cos_JÍ (R : 1 x- i Ser? n x 7t x-o x 2 4
25 . L i m - — § ( ä : 1 ) 2 6 . Limx(ex~l) ( i ? : l ] x-o Sen ax-Sen ßx x-«
27. Lim 1-̂ 1+ | 4 x - l [ + [x+4 j { R : 6 ) 2 g < L i / n Senh x (J?;1) X - + 0 » X X - O X
2 9 . L i m C o s h x 1 ( /? :—) 3 0 . Lim (R:a~b) x-o x 2 2 x-o x
3 1 . Lim2x2 + 3 x 4 (R: 2) 32. Lim (i?: +~) v / x 4 + x 2 + l 1 0 + x / x
3 3 . L i m ( S e W ^ + l - S e r i v ' x ( i? :0 ) 3 4 . Limx+Sen x (Ril) x-+°° x+Cos x
65
x + 1 a, Sen 2x_0Sen x -i s ——
3 5 . Lim-C ® (R: 1) 36. Lim (1 + - ) X {R:l) X X x-C
37. Lim— x-o x Y 1 - X
(¿?:1) Lim x+ (R: 0)
39. LimeX e X (R: 2} x~o Sen x
IV) Demostrar que:
1. 2. Lim{ l + -I-)x=l L + X E X-+» X 2
3 . L I M ( J Y + 1 ) 2 X ' 1 = E 6 4 . Lim (1 + Tan2sjx) 2 X = / E X~2 x - 0
• Sen x 5 . LimSen 6. Lim(Sei1*) ^=55^ = 1
X x - 0 X Í?
1 7 . L I M ( C O S X ) X" = — 8 . Lim x Sen 1 = 0
X-0 y/e x - C X
9. Lim X Sen-=1 10. Lim^+Sen x=+<
11. Lim 2 X - 3 0OCos X = + ° °
V) En cuáles de los casos que a continuación se dan, se puede determinar
66
L i m f(x)z[x)
x - a
sin más información sobre ias funciones.
a ) Lim f [x) =0 ; Lim g(x) =7 (R: 0) b) Lim f (x) =2 ; Lim g(x) =0 (¿?:1) x - a x - a x - a x - a
c) Lim f ( x ) =0 y Lim g(x) =0 (R-.No) d) Lim f (x) =0 ; Lim g{x) x - a x - a x - a x - a
e) Lim f ( x ) =+°°;Lim g{x) =0 {R:No) f ) Lim f { x ) = +°°;Lim g ( x ) = - « (R:No) x - a x - a x - a x - a
g) Lim f ( x ) =-«> y Lim g(x) =0 (R:No) h) Lim f [x) =1 y Lim g(x) =+«> [R:N0] x - a x - a x - a x - a
Vi) Se pueden concluir las afirmaciones siguientes? justificar sus
respuestas.
a) S i Lim f (x) =+°° y L i m g ( x ) =0 =»Lim f ( x ) g{x) =0 {R:No) X - + o o X - " » X—00
£>) S i L i m f ( x ) =+°° y L i m g ( x ) = +«>=>Lim [ f ( x ) - g ( x ) ] =0 {R:No)
f i c) S i Lim f ( x ) = + °° y L i m g ( x ) =-<*>=>Lim ' = -<*> (R:No) x - + ° ° x - ' < » x - + « > g ( x )
67
