Radicacion, Limites y Derivadas

8/18/2019 Radicacion, Limites y Derivadas

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Capítulo Pág.

I. Radicación ......................................................................................................................41

II. Límites ............................................................................................................................ 45

III. Derivadas I ......................................................................................................................55

IV. Derivadas II .....................................................................................................................61

V. Logaritmos I ....................................................................................................................69

VI. Logaritmos II ...................................................................................................................77

VII. Repaso I ......................................................................................................................... 85

VIII. Repaso II ........................................................................................................................ 89

Álgebra

ÍNDICE

B lackames


2/49

CIENCIAS - PAMER5

AÑOÁLGEBRA

Radicación

Capítulo I

Transformación de radicales dobles a simples

Forma general: B A

Para transformar este tipo de radicales aplicamos lasiguiente fórmula general:

A B = A + C

2 -+ -+ A - C

2

Donde: B AC 2

* Ejm.: Transformar: 245

11245C24B

5 A 2

Luego:

2

15

2

15245

23245

Método práctico:

A 2 B = x y± ±

(x + y) x . y donde: x > y


13 + 2 42 = 7 + 6

7 + 6 7 . 6


14 - 2 45 = 9 - 5 = 3 - 5

9 + 5 9 . 5

Racionalización

Es el procedimiento por el cual se transforma unafracción que tiene denominador irracional en otra fracciónequivalente cuyo denominador es racional.

Regla práctica: Se multiplica el numerador y denominadorpor una misma expresión a la cual se denomina factorracionalizante. (F.R.)

racional

.R .F.N

.R .F

.R .F

irracional

N

Casos que se presenta:

Expresionirracional

F.R. Expresion

racional

na

m

a + b

a - b

3 a + 3 b

3a -

3b

na

n - m

a - b

a + b

3 a -2 3 ab +3 b2

3a +

2 3ab +

3b

2

a

a - b

a + b

a - b

a - b

* Ejm.: Racionalizar:

a) x

x

x

x.

x

1

x

1 3 2

.R .F

3 2

3 2

33

b) 3

25

25

25.

25

1

25

1

.R .F

c)9

.R .F

2147

2147.

27

1

27

1

.R .F

3 233 2

3 233 2

3333


3/49

Bloque I

1. Racionalizar:

6

3

a) 6 b) 3 c)2

6

d)3

3e)

3

6

2. Racionalizar:32

3

a)3

3b)

2

33c)

2

3

d) 3 e) 2

3

3. Racionalizar:4 23 zyx

xyz

a) 4 32zxy b) 4 xyz c) 4 222 zyx

d) 3xyz e) xyz

4. Efectuar:2

22

3

3

a) 3 b) 6 c) 2

d) - 2 e) 0

5. Efectuar:

2

5

15

3

6

2

4

a) 52 b) 532

c) 52 d) 8

e) 0

Problemas para la clase

6. Efectuar:25

3

a) 1 b) 52 c) 52

d) 10 e)

2

2

7. Efectuar:

35

2

23

1

25

3

a) 2 b) 52 c) 32

d) 0 e) 25

8. Efectuar:

35

3515

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

9. Después de racionalizar el denominador de27

3

se

obtiene: ;ba calcular: a + b2

a) 11 b) 10 c) 9d) 7 e) 4

10.Efectuar:

36123628

3473413E

a) 2 b)2

1c) 4

d) 8 e) 12

Bloque II

1. Hallar el radical doble equivalente de:

3413347

a) 323

b) 324 c) 325

d) 321 e) 23


4/49

2. Transformar a radicales simples:

347463263

a) 12 b) 12 c) 22

d) 32 e) 102

3. Efectuar:

312213819R

a) 31

b) 31 c) 81

d) 61 e) 21

4. Señalar el denominador racionalizado:

2372

4

a) -6 b) -7 c) -8d) -9 e) -10

5. Racionalizar:

333 162025

1 A

a) 1 b) 9 c) 33 23

d) 33 45 e) 33

25

6. A cuánto equivale:

5372

53R

a) 5 b)35 c)

53

d) 3 e)5

5

7. Racionalizar:

3331826216

16 V

a) 3 4 b) 33 34

c) 3 416

d) 33 412 e) 33

412

8. Simplificar:

1

21

12

12

12

1 A

a) 1 b) -1 c) 2

d) 2 e) 3

9. Calcular:

1

2323

23232L

a) 6 b) 2 c) 3

d) 0 e) 1

10.Dar el denominador racionalizado de:

9

6

2

a) 4 b) 3 c) 7d) 14 e) 28

Bloque III

1. Efectuar:

;aba

bbab2

b

aaR

si: a > 0 b > 0

a) a b) ab c) a - b

d) a + b e) b

a

2. Indicar el denominador racionalizado de:

88ba

1C

a) a + b b) a - b c) ad) b e) ab

3. Racionalizar:

6321

2H

; la expresión resultante es:


5/49

a) 3621 b) 23

c) 65 d) 6321

e) 1

4. Efectuar:

35212

2

1429

5R

a) 52

b) 52

c) 272

d) 25

e) 5272

5. Dar el denominador racionalizado de:

3325

3 V

a) 1 b) 3 c) -3d) 2 e) -1

6. Reducir:

333469

5 A

a) 23

b) 1 c) 23

d) 32 e) -1

7. Simplificar:

1

3

13

13

13

3

4

a) 3 b) 13 c) 13

d) 32 e) 33

8. Simplificar:

1x:si;1x2x

1

1x2x

1

R

a) x + 2 b)1x

1x2

c)1x

1x2

d)2x

1x2

e)1x2

2x

9. Reducir:

3101...

251

341

231R

a) 210 b) 210 c) 10

d) 2 e) 5

10.Si “a”, “b” y “c” son positivos y además: c > b > a;transformar a radicales simples:

ab2bc6b3ac4cbaR 2

indicar uno de ellos.

a)2

cb2 b)

2

c2b c)

2

b3a

d)2

ba2 e)

2

bc2


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CIENCIAS - PAMER5

AÑOÁLGEBRA

Límites

Capítulo II

La recompensa del soldado

En un antiguo manual ruso de matemáticas, que lleva el ampuloso título de curso completo de matemáticas puras,elaborado por Efim Voitiajovski, cadete de artillería y profesor particular, para uso y provecho de la juventud y cuantos se ejercitan en matemáticas (1785), se lee el siguiente problema:

"Un soldado veterano recibe como recompensa 1 kopek por la primera herida sufrida; 2, por la segunda; 4, por latercera, etc. Cuando se hizo el recuento, el soldado resultó recompensado con 655 rublos 35 kopeks. Deséase saber elnúmero de heridas".

1 rublo = 100 kopeks

Solución:Planteamos la ecuación:6 5 5 3 5 = 1 + 2 + 2

2 + 23 + ... + 2x-1

65 535 = 1212

12.2 X1x

de donde obtendremos:65 536 = 2x y x = 16

resultado que obtenemos fácilmente por tanteo.Con este generoso sistema de recompensa, el soldado debía ser herido 16 veces, quedando además vivo, para

obtener 655 rublos y 35 kopeks.

El número "e" : ¿por qué?

Casi siempre nos es presentada la noción de logaritmo,por primera vez, del siguiente modo: "el logaritmo de unnúmero “y” en base "a" es el exponente "x" tal que: ax = y".

Sigue la observación: "Los números usados másfrecuentemente como base de un sistema de logaritmosson 10, que es la base de nuestro sistema de numeración,y el número e = 2,71828182...". Esto nos deja intrigados.

De partida, una pregunta ingenua: ¿persiste laregularidad en la secuencia de las cifras decimales de estenúmero? No. Apenas una coincidencia al comienzo. Un valormás preciso sería e = 2,718281828459...

No se trata de una fracción decimal periódica. El número"e" es irracional, esto es, no puede ser obtenido comocociente e = p/q de dos números enteros. Más aún: es unirracional trascendente . Esto significa que no existe unpolinomio P(x) con coeficientes enteros, que se anule para:x = e.

¿Por qué entonces escoger un número tan extraño comobase de logaritmos? Aún después de aprender que:

n

n n

11lime

la indagación persiste: ¿qué hace tan importante a esenúmero? Esto es lo que procuraré responder aquí.

Tal vez la respuesta más concisa sea que el número "e"es importante porque es inevitable. Surge espontáneamente

en varias cuestiones básicas.

Una de las razones por las cuales la matemática es útila las ciencias en general está en el cálculo (diferencial eintegral), que estudia la variación de las magnitudes. Y untipo de variación de los más simples y comunes es aquelen el cual el crecimiento (o decrecimiento) de una magnituden un instante es proporcional al valor de la magnitud enaquel instante. Este tipo de variación ocurre, por ejemplo,en cuestiones de interés, crecimiento de poblaciones (depersonas o bacterias), desintegración radiactiva, etc.

LímitesNuestro propósito será estudiar la noción de límite desdeun punto de vista intuitivo, para lo cual damos la idea deaproximación, de punto de acumulación, terminando conuna noción intuitiva de límite.

I. Ideas de aproximación

Sea “x0” un punto fijo en la recta numérica tal como seindica:

x0

recta numérica


7/49

Cuando un número desconocido “x” se aproxima a “x0”,lo puede hacer por valores mayores o menores que

“x”.

x0x x

- Por la izquierda de x0 (menores que x0).- En estecaso se dice que “x” se aproxima a “x0” por lai z q u i e r d a , p o r t a n t o s e s i m b o l i z a c o m o : x x0--,expresión que se lee: “x" es menor que "x0", perocercano a él.

- Por la derecha de x0 (mayores que x0).- En esteotro caso, se dice que “x” se aproxima a “x0” por laderecha, por tanto se simboliza como: x x0+,expresión que se lee: “x" es mayor que "x0", perocercano a él.

En los siguientes ejemplos, analizaremos qué sucedecon las imágenes f (x) cuando las preimágenes “x” varían.

* Ejemplos:

1. Sea la función:f (x) = 20 + x

si asignamos valores a “x” cercanos a 2, ¿quésucede con f (x)?

Solución:

x

f (x)

1,90

21,90

1,95

21,95

1,98

21,98

1,99

21,99

2,01

22,01

2,02

22,02

2,05

22,05

2,10

22,10

2

22

Por la izquierda Por la derecha

Si tabulamos los valores anteriores y efectuamos unagráfica, se tiene:

22,10

22,05

22,0222,01

2221,9921,98

21,95

20,0021,90

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

1 ,

9 0

1 ,

9 5

1 ,

9 8

1 ,

9 9

2 ,

0 1

2 ,

0 2

2 ,

0 5

2 ,

1 0 2

Por la izquierda de 2 Por la derecha de 2

x

y

x

1,90

1,95

1,98

1,99

2,01

2,02

2,05

2,10

y

21,90

21,95

21,98

21,99

22,01

22,02

22,05

22,10

Intuitivamente podemos darnos cuenta que alaproximarse los valores de “x” al valor "2", se tieneque las imágenes f (x) se aproximan al valor "22".

Esto se simboliza denotando:

“Cuando: x 2; se tiene que f (x) 22". Sabemos que

estamos aproximando, por ello no hacemos hincapiéque para: x = 2, se obtenga: f (x) = 22.

2. Hallar los valores de:

f (x) =3x

9-x2

para valores de “x” cada vez más cercanos a "- 3".

Solución:

Observamos que cuando “x” se aproxima a "- 3", lasimágenes f

(x) se aproximan a "- 6". Esto se simboliza

de la siguiente forma: “cuando: x - 3, tenemos que:f (x) - 6”. No nos interesa que f (x) no esté definida en"- 3", pues de hecho f (-3) no existe.

x

f (x)

-2,96

-5,96

-2,97

-5,97

-2,98

-5,98

-2,99

-5,99

-3,01

-6,01

-3,02

-6,02

-3,03

-6,03

-3,04

-6,04

-3

-6

Por la izquierda Por la derecha

En la función observamos que:

x2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

Luego el factor (x + 3) puede simplificarse en la expresiónf (x), quedando:

f (x) =(x - 3)(x + 3)

(x + 3) f (x) = x - 3; con: x - 3

II. Noción intuitiva de límite

Para el ejemplo 1 de aproximación: f (x) = 20 + x,tenemos:

cuando "x" se aproxima a 2; f (x) se aproxima a "22”.

Simbolizando: “cuando x 2 f (x) 22”

y se escribe como:

2xlim

f (x) = 22

que se lee: el límite de "f" cuando "x" se aproxima a"2", es "22”.Luego, lim f (x) nos indica: “valor límite de f (x)”.


8/49

Para el ejemplo 2 de aproximación:

f (x) =3x

9-x2

habíamos deducido que:

cuando "x" se aproxima a "- 3",se tiene que f (x) se aproxima a "- 6”

Lo que se simboliza: “cuando x - 3; se tiene que f (x) - 6”

y se escribe como:

3-xlim

f (x) = - 6

0xxlim

f (x) = L

Se lee: el límite de f (x) cuando “x” se aproxima a

“x0”es "L”.

Definición informal del límite

Si existe un número real “L” que f (x) esté cerca a “L” para todos los valores de “x” próximos al número “x0”,entonces se dice que:

oxxlim

f (x) = L

Ejemplos:

1.2xlimx = 2

2.1x

lim

(2x + 3) = 5

3.2

7-

2

-7

31-

2--5

3x

2-5xlim

1-x

4.2x

lim

5 = 5

5. A continuación analizaremos los siguientes límites,teniendo presente que la existencia de un límite nodepende de que esté o no definida la función en el puntoa que nos aproximamos.

4

2

f (x)y

x

4

2

g(x)y

x

4

2

h(x)y

x

2

a. b. c.

a. La función f (x) está definida en: x0 = 2; se tiene:

2xlim

f (x) = 4.

b. La función g(x) no está definida en: x0 = 2; se

tiene:2x

lim

g(x) 4

c. La función h(x) está definida en: x0 = 2; h(2) = 2,

pero se tiene:2x

lim

h(x) 4

6. Seguidamente, ilustramos algunos casos en los cualesel límite no existe:

4

3

f(x)y

x

g(x)

y

x

a. b.

3

a. Tenemos que:3x

lim

f (x) no existe, ya que:

- Cuando: x 3--; se tiene que: f (x) 4- Cuando: x 3+; se tiene que: f (x) 3

b. Tenemos que:-0x

lim

g(x) no existe, ya que:

- Cuando: x 0--; se tiene que: g(x) + - Cuando: x 0+; tenemos que: g(x) -

Observación: La definición dada es “informal”, ya queno precisa cuán próximo debe estar “x” de “x0” (o cuáncerca debe estar f (x) de "L"). La interpretación de “cuánpróximo debe estar” no es la misma, por ejemplo, paraun carpintero (para quien puede ser cuestión demilímetros) que para un astrónomo (para quien puedeser cuestión de miles de kilómetros).

Calcular:

1.2x

lim

(3x + 8) 2.4x

lim 3-x

5-2x

3.-2x

lim

3-x2 4.-3x

lim xx

2

2

5.0x

lim 2x

xx

3

2

6.

0xlim

3 2x

7.1x

lim 3 1x

2

8.

0xlim 3 3x

2x


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III. Cálculo de límites

1. Método de la cancelación de los factores comunes

Si:0xx

lim

f (x) es de la forma 0

0, se recomienda factorizar

el término (x - x0) tanto en el numerador como en eldenominador para su correspondiente cancelación.

* Ejemplo:

Calcular:

x

16-)4x(lim

2

0x

Solución: Veamos qué sucede si construimos una tabla que nosmuestre la aproximación:

x

f (x)

-0,5

7,5

-0,4

7,6

-0,1

7,9

-0,01

7,99

0,01

8,01

0,1

8,1

0,4

8,4

0,5

8,5

0

8

Lo que ocurre es que cuando “x” se aproxima a cero, laimagen f (x) se aproxima a 8, es decir:

8x

16-)4x(lim

2

0x

En este caso la forma indeterminada0

0 toma el valor

"8". Si aplicamos la recomendación dada para estecálculo, este proceso laborioso se puede obviarfactorizando el término (x - x0), que en este caso es:x - 0 = x, nos queda:

x

)44x)(4-4x(lim

x

16-)4x(lim

0x

2

0x

8)8x(limx

)8x(xlim

0x0x

2. Método de la racionalización

Si0xx

lim

f (x) es de la forma 0

0 y están presentes

radicales, se procede a multiplicar y dividir por laconjugada de cada una de las formas radicales; demodo que se cancelen factores comunes de la forma(x - x0).

* Ejemplo 1

Calcular:

2-x

4-xlim

4x

Solución: Veamos lo que ocurre construyendo una tabla de valoresque nos muestre la aproximación, para lo cual terecomendamos usar una calculadora.

x

f (x)

3,8

3,9494

3,9

3,9748

3,99

3,9975

3,999

3,9997

4,001

4,0002

4,01

4,0025

4,1

4,228

4

4

Lo que sucede es que cuando “x” se aproxima a "4", la

i m a g e n f (x) = 2-x

4-x se aproxima a "4".

Luego:

42-x

4-xlim

4x

La forma indeterminada

0

0 toma el valor "4". Aplicando

la recomendación dada para este cálculo, tenemos:

2)x(

2)x(.

2-x

4-xlim

2-x

4-xlim

4x4x

=(x - 4)( x + 2)

(x - 4) = 4)2x(lim

4x

* Ejemplo 2

Hallar:

8x

x2

lim

3

-8x

Solución:Tenemos:

3 23

3 233

-8x xx2-4

xx2-4.

8x

x2lim

=

)xx2-4)(8x(

)x8(lim

3 23-8x

=

12

1

444

1

xx2-4

1lim

3 23-8x

Después de resolver estos ejemplos, te has preguntado,

¿por qué a la expresión0

0 se le llama forma

indeterminada?, ¿qué opinas al respecto?Calcula los siguientes límites:

1.4-x

4-xlim

4x2.

0xlim

(3x + 2)

3. xlim4x

4.21x x2

x-1lim

5.3-x

218xlim

2x

6.1-x

1-xlim

1x


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IV. Formalización de límites

Las nociones intuitivas desarrolladas en el capítuloanterior, pasamos a precisarlas, a través de lasmediciones de las aproximaciones, tanto cuando “x” seaproxima a “x0” como cuando f (x) se aproxima a “L”.

1. Definición de límite

Dada una función “f”, decimos:El límite de la función “f” en el punto “x0” es el númeroreal “L”, si y sólo si:

> 0, > 0 / x Dom f 0 < |x - x0|


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Efectuando el numerador se tiene:

1xx1x

1xx1lim

2

2

0x

1xx1x)1x(xlim20x

; {simplificando la "x" que hace

la indeterminación}

2

1

1001

01

1xx1

1xlim

20x

4. Calcular:

1x

4x3x2lim4

2

x

Resolución:

Paso 1 : Evaluando se tiene:

Paso 2 : Dividimos el numerador y denomi-nador por el término cuyo exponen-te sea el mayor de todos los térmi-n o s . D i v i d i r e n t o n c e s p o r " x 2".

201

002

x

11

x

4

x

32

lim

x

1x

x

4

x

32

lim

x

1x

x

4x3x2

lim

4

2

x

4

4

2

x

2

4

2

2

x

5. Calcular:

5x

)2x3()3x2(lim

5

23

x

Resolución:

Paso 1 : Evaluando se tiene:

Paso 2 : Dividiendo el numerador y denomi-nador por "x5".

1

)3()2(

x

11

x

23

x

32

lim

x

11

x

2x3

x

3x2

lim23

5

23

x

5

23

x

725x

)2x3()3x2(lim5

23

x

6. Calcular:

22ax ax

axaxlim

Resolución:

Paso 1 : Evaluando:

0

0

aa

aaaa

22

Paso 2 : Desdoblando convenientemente:

2222ax ax

ax

ax

axlim

Calculando cada límite independientemente.

22ax22ax ax

axlim

ax

axlim

axax

axlim

ax)ax)(ax(

axaxlim

axax

ax1

limaxaxax

axlim

axax

ax1

limaxax

axlim

axax

aa1

aaaa

aa

a2

a2

a2

10


12/49

Bloque I

1. Calcular:

2-x 4-xlim

2

2x

a) 2 b) 0 c) - 2d) 4 e) - 4

2. Calcular:

3x

27xlim

3

3-x

a) 3 b) 9 c) 18d) 27 e) 36

3. Calcular:

4-x

2-xlim

4x

a) 2 b) 4 c)2

1

d)4

1e) -

2

1

4. Calcular:

2-1-x

2-1xlim

3x

a) 2 b) 2 c)2

2

d)2

1e) -

2

1

5. Calcular:

3-7-x

4-xlim

24x

a)2

1b)

2

3c)

4

3

d)3

2e) -

2

1

6. Calcular:

1x-2x2xxlim 3

23

x

Problemas para la clasea)

2

1b)

2

3c)

4

3

d)3

2e) 2

7. Calcular:

3x-x

2x-xlim

2

24

x

a) 0 b) + c) -

d) 1 e)3

2

8. Calcular:

3x-x2

52x-xlim

4

3

x

a) 0 b) + c) -

d)2

1e)

3

5

9. Calcular:

1x2x

1xx3lim

7

7

x

a) 3 b) 4 c) -3d) 0 e) +

10.Calcular:

3x2x

6xxlim

2

2

3x

a) 2 b)2

3c)

4

5

d) 1 e) - 4

5

Bloque II

1. Hallar:

a2x)2a(x

ax)1a(xlim

2

2

ax

a)2a

1a

b)1a

1a

c)1a

2a

d)2a

1a

e) N.A.


13/49

2. Hallar:

3x

x3x2lim

3x

a) -

3

2b) - 1 c) -

3

1

d) - 3 e) N.A.

3. Hallar:

1x

23xlim

2

1x

a) 0 b) - 1 c) 1

d)2

1e) N.A.

4. Hallar:

33

2

ax ax

ax)1a(xlim

a) 2a

1a b) 2a2

1a c) 2a3

1a

d) 2a4

1a e) N.A.

5. Hallar:

1x2x3x4

4x3x2xlim

23

23

x

a)2

1b)

4

1c)

8

1

d)16

1e) N.A.

6. Hallar:

1x2x3

5x3x2lim2

2

x

a) 1 b) -2

3c)

2

3

d)3

2e) N.A.

7. E n c u e n t r e e l v a l o r d e " " para que dos sea igual allímite.

4x3

1xxlim

2

2

x

a) 1,5 b) 9 c) 4

d)3

2e) 6

8. Hallar:

1x2x

5x7x2lim 2

2

x

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) N.A.

9. Hallar:

1x

1xlim

n

1x

a) n b) 1 c)

2

n

d) 0 e) N.A.

10. Calcular:

0;1x

1xlim

1x

a) b) - c)

d)

e) +

Bloque III

1. Hallar:

1-x

1-

1-x

2lim

21x

a)2

1b) -

2

1c) - 1

d) 1 e) 2

2. Hallar:

2-x

2x-4xlim

3 2

2x

a)3

1b)

4

1c)

8

1

d)12

1e)

20

1


14/49

3. Calcular:

2222n n

1-1...

4

1-1

3

1-1

2

1-1lim

a) + b) - c) -2

1

d)2

1e) 0

4. Calcular:

2-xx

2

2x 1-x3

1xlim

a) 3 5e b) 3e c) 5 2e

d)

5

e e) e

5. Si:

1x

1-f lim

)x(

0x

Calcular:

x

f -f lim

(bx))ax(

0x

a) 0 b) a + b c) a - b

d)ab

a-b 22

e)ab

b-a 22

6. Si:

22

2

b2x 4b-4bx-x

144-a)x-x(xlim

es un número real determinado, según ello, calcule:a + 4b

a) - 32 b) - 16 c) - 24d) - 48 e) - 64

7. Determine:

x

1-x1x1lim

mn

0x

a)nm

b)

n

m

c) n + m d) 0

e)mn

8. Calcular:

x2

x11lim

3

0x

a)3

1b)

6

1c)

8

1

d)9

1e) 1

9. Calcular:

2

2

x6x4

x2x35

24

24

x 1x5x2

5x16x250lim

a) 1 b) 25 c) 5

d)5

1e) 125

10.Calcular:

1x2x

1x2xlim 22

3

x

a) 0 b) 1 c)2

1

d)4

1e) -

4

1

1. Calcular:

14x5x

8x2xlim

2

2

2x

a)3

1b) 0 c) 1

d)2

3e)

3

2

2. Calcular:

9x

27xlim

2

3

3x

a)2

9b)

9

2c) 2

d) 9 e) 1

3. Calcular:

6xxx2

9x5x7x3

lim 23

23

x

Autoevaluación


15/49

a) 3 b)3

2c)

2

3

d) 2 e) 1

4. Calcular:

7x

1xx2lim 3

4

x

a) b) 0 c) 1d) 2 e) 3

5. Calcular:

2x1

1xlim

1x

a) 1 b) 22 c) 2

d) 2 e) 2 + 2


16/49

CIENCIAS - PAMER5

AÑOÁLGEBRA

Derivadas I

Capítulo III

El apretón de manos

Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que los apretones demano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión?

Solución:La cuestión se resuelve con facilidad si recurrimos al álgebra. Cada una de las "x" personas dio la mano a las

otras "x - 1". Por tanto, el total de apretones de manos debe ser "x (x - 1)". Además hay que tener en cuenta quecuando Juan da la mano a Pedro éste estrecha la mano a Juan; estos dos apretones de mano deben ser conside-rados como uno solo. Por eso, el número de apretones de manos contados es dos veces menor que "x (x - 1)". Enconsecuencia surge la ecuación:

662

)1x(x

o sea, que después de las correspondientes transformaciones se tendrá que:x2 - x - 132 = 0

de donde:

2

52811x

x1 = 12 , x2 = -11Como quiera que la raíz negativa (-11 personas) carece de todo sentido, la rechazamos, conservando únicamente

la primera: en la reunión estuvieron 12 personas.

Los avances en matemáticas

Con la invención del cálculo infinitesimal a finales delsiglo XVII el hombre ya puede dominar las ideas de "límite"y de lo "infinitamente pequeño" e introducir estas cantidadesen los cálculos.

Los nuevos métodos descubiertos multiplican lacapacidad de análisis de las matemáticas y permiten calcularsuperficies y volúmenes de forma complicada, la velocidadde desplazamiento de los proyectiles o el centro de gravedadde los objetos.

Dos sabios, Isaac Newton y el filósofo alemán GottfriedWilhelm Leibniz (1646 - 1716), que no trabajan en equipoy solamente se conocen de nombre, cada uno por su lado

y casi al mismo tiempo, descubren el cálculo infinitesimalen la década de los años 1670 - 1680.

El cálculo de Newton resulta muy eficaz para describirla "mecánica celeste", pero los matemáticos suelen utilizar,incluso en la actualidad, los métodos y las anotaciones deLeibniz.

A veces se llega a oponer la "matemática pura" con las"matemáticas aplicadas": la primera sería algo así comouna bella ensoñación de sabios que están "en la luna",mientras que las segundas, más concretas, se puedenutilizar en la práctica. Pero la "mecánica celeste" no tieneen cuenta esta distinción cuando plantea cuestiones como

la de los "tres cuerpos". En efecto, Newton demostró quedos planetas se atraen entre sí pero se mantienen a grandistancia uno del otro cuando se mueven con la suficienterapidez. Precisamente ese movimiento se puede determinar

con el cálculo infinitesimal. La cuestión se complica cuandoson tres los objetos que se atraen entre sí - como el Sol, la

Tierra y la Luna.Los trabajos que a este respecto llevaron a cabo Leibniz

Leonhard Euler, Alexis Clairaut, Jacques y Jean Bernoulli,Jean Le Rond d'Alembert y Louis de Lagrange hicieronprogresar considerablemente la mecánica, el cálculoinfinitesimal y la astronomía.

La derivadaLa interrogante que nos planteamos ahora, es cómo se

halla la pendiente de una recta que es tangente a una curva.

y

x

f (x)

12

LT

" " es el ángulo de inclinaciónde la recta tangente y la tges la pendiente de la recta

D a d a l a c u r v a : f = 4 - x

¿Como se halla la pendiente de una recta quees tangente a la curva en el punto x = 1/2?

(x )2


17/49

Respuesta: La pendiente de la recta LT que es tangente ala curva en el punto: x = 1/2, es la derivada de f (x) en elpunto: x = 1/2, para llegar a esta afirmación pasaron siglos.Los genios Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried Leibniz(1646 - 1716) descubrieron el cálculo diferencial y el cálculointegral. Este descubrimiento revolucionó toda lamatemática hasta entonces conocida.

Reglas de derivación

A continuación estudiaremos las reglas necesarias paraoperar con funciones diferenciales en un cierto intervalo.Para el efecto emplearemos una lista de derivadas dealgunas funciones especiales, que permiten deducir otrasmás complejas. Asimismo aprenderemos a evaluar lasderivadas de funciones en puntos "x0" de su dominio.

1. Teoremas fundamentales

Conozcamos los principales teoremas que se utilizanen el marco de la diferenciación de ciertas expresiones.Para esto, sean “u” y “v”, funciones diferenciables enun intervalo, una constante, entonces:

- (u + v)’ = u’ + v’

- (u - v)’ = u’ - v’

- (uv)’ = u’v + uv’

- 2u

'u

u

1'

- (cu)’ = cu’ ; donde: “c” IR

- 2

'

v

'uvv'u

v

u

2. Derivadas de algunas funciones especiales

Hasta el momento, el proceso seguido para encontrarla derivada de una función se ha basado en aplicar ladefinición:

f'(x) =h

f -f lim

(x)h)(x

0h

lo cual en algunos casos ha resultado demasiadotedioso.

A continuación exponemos una serie de reglas, lascuales, junto a las anteriores, nos permitirán calcularcon prontitud las derivadas:

Función Derivada

- f (x) = c; c IR f'(x) = 0

- f (x) = x f'(x) = 1- f (x) = c x; c IR f'(x) = c

- f (x) = x f'(x) =x2

1; x 0

- f (x) = xr; r IR f'(x) = r.xr - 1

- f (x) = |x| f'(x) =|x|

x; x 0

- f (x) = senx f'(x) = cosx- f (x) = cosx f'(x) = - senx- f (x) = cscx f'(x) = - cscx.ctgx- f (x) = tanx f'(x) = sec2x- f (x) = cotx f'(x) = - csc2x- f (x) = secx f'(x) = secx.tanx- f (x) = ax f’ (x) = axLna

- f (x) = Lnx f’ (x) =x

1

- f (x) = logbx f’ (x) =x

1logbe

- f (x) = ex f’ (x) = ex

Todas estas reglas pueden demostrarse a partir de ladefinición de derivada.

* Ejemplos

1. Si: f (x) = x3, tenemos: f'(x) = 3x2

2. Si: f (x) = 3 2x = 3

2

x , tenemos:

3

1-1-

3

2

3

23 2

x3

2

x3

2

xdx

d

xdx

d

3. Si: f (x) = x6 - 8x5 + 3x2 - 1, hallar f'(x).

Solución:

dx

d[x6 - 8x5 + 3x2 - 1] = (x6)' - (8x5)' + (3x2)' - (1)'

6x5 - 8.5x4 + 3.2x = 6x5 - 40x4 + 6x

4. Si:

y = 2x

3x2

2

Hallar: y'

Solución: Aplicando la regla de la derivada de un cociente:

2g

fg'-g'f '

g

f

y' = 22

22

)2x(

'2)3)(x(2x-)2x()'3x2(

= 22

2

)2x(3)(2x)(2x-)2x(2

= 22

2

)2x(46x-x2-


18/49

5. Sea:

f (x) =15x-x

32

Hallar: f'(x)

Solución: Aplicando la regla de la derivada de un cociente:

2)x(

)x(

)x( ]g[

'g-

'

g

1

Tenemos: f (x) = 3(x2 - 5x + 1)-1

y' = 3[(x2 - 5x + 1)-1]' = 3

22

2

1)5x-x(

1)'5x-x(-

= -3. 22 1)5x-(x

5-x2

EjerciciosHallar la derivada de cada una de las siguientesexpresiones:

1. y = (3x4 - 5x3 + 2)(x2 - senx + x)

2. f (x) =65x-x

43

3. f (x) = 5(x2 - tanx + 2)4. y = 3senx - 4cosx

5. f (x) =3 45 47 4 x2x3-x

6. f (x) =1-2xx

3-x3

2

7. y =x

ctgx

8. y =xtan2

3

9. f (x) = (x3 - 3x + 1)(x2 + cosx)

10. f (x) =2

15x-x2

11. y = x4

- 3cosx

12. f (x) =x

xtan

13. f (x) = (1 + x)2.tanx

14. f (x) = x.senx - xcosx

Bloque I

1. Si: f (x) = 3x2

- 5x + 3Hallar: f'(2)


a) 2 b) 5 c) 7d) 9 e) 12

2. Si f (x) = 4x3 - 5x2

Calcular: f'(3) - f'(2)

a) 20 b) 30 c) 40

d) 50 e) 60

3. Si: f (x) = 3x3 + 2x2

Hallar: f"(x) + f"'(x)

f"(x) : segunda derivada de la función f (x).

f"'(x): tercera derivada de la función f (x).

a) 18x + 22 b) 18x + 20c) 9x + 10 d) 9x + 20e) 18x + 12

4. Dada la función:

3

2x;

2x3

3x2f )x(

Hallar: f'(x)

a) 2)2x3(

13

b)

2x3

13

c) 2)2x3(

13

d)

2x3

13

e) N.A.


1x;x1

xf )x(

Hallar: f'(x)

a) 2)x1(

1

b)

x1

1

c)1x

1

d) 3)1x(

1

e) N.A.

6. Si: g(x) = 244

x

Hallar: g'(x)

a)3

32b)

2

23c)

2

33

d)3

22 e) 2


19/49

7. Si: f (x) = 63

x

Hallar:x

f

d

d

a) 3x

3

b) 3x

2

c) 3 2x

2

d) 3 2x

3e) 3 x2

8. Dada: f (x) = (3x4 - 47)4

Hallar: f'(2)

a) 320 b) 340 c) 324d) 412 e) 450

9. Hallar la derivada de la función:f (x) = (5x2 + 3)3

a) 20x (3x2 + 2)2 b) 15x (2x2 + 3)2

c) 30x (5x2 + 3)2 d) 30x (10x + 3)2

e) 20x (5x2 + 2)2

10.Dada la función:

x91f )x(

Hallar: f'(7)

a)149 b)

178 c) 169

d)13

9e)

14

8

Bloque II

1. Si:f (x) = 3x2 - 5x + 3

Hallar: f'(2)

a) 2 b) 5 c) 7

d) 9 e) 12

2. Si: 32 x

3

x

2

x

1y

Hallar:x

y

d

d

a) 432 x

9

x

4

x

1 b) 432 x

9

x

4

x

1

c) x2 + x3 + x4 d) 43 x

9

x

4x

e) x + x2

3. S i l a r e c t a L 1 es tangente a la gráfica de:

f (x) = 2

1x2 + x +

2

1

en el punto de abcisa 2, como se muestra en la figura.Hallar la pendiente de dicha recta.

x

y

y = f (x)L1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Dada:

f (x) = (3x4 - 40)3Hallar: f'(2)

a) 320 b) 340 c) 384d) 412 e) N.A.

5. Si: y = xx, calcular:x

y

d

d

a) xx (Lnx + 1) b) xx (Lnx - 1)c) x (Lnx + 1) d) xx (Lny + 1)

e) xx (x - 1)

6. Si: y = xLnx; calcular:x

y

d

d

a) 2xLnx + 1 b) 2xLnx . Lnxc) 2xLnx - 1 d) 2xLnx - 1

e) 2xLnx - 1 . Lnx


2

xn

Calcular:x

y

d

d

a) 22 xa b) 22 xa

1

c) - 22 ax

1

d) - 22 xa e) xa

1

2


20/49


2xx2x e2

3e

4

1ey

a)2xx2x xe3e

2

1e

b) 2xx2x xe3ee

c)2xx2x e

2

1ee

d) 2xx2x eee

e) 2xx2x eee

9. Si:

1

1Ln

6

1f

)

Hallar: f ’ (x)

a)1x

32

b))1x(3

12

c)1x

32

d))1x(3

12

e) 3(x2 - 1)

10.Si: y = (x2 - 2x + 3)ex; hallar:x

y

dd

a) ex(x2 - 1) b) ex (x2 + 1) c) ex (x + 1)d) ex(x + 1)2 e) xx (x2 + 1)

Bloque III

1. Si:x

xaf )x(

Hallar: f’ (x)

a) -a

x2b) - 2x

ac) ax2

d) x-2a e) 3a

x


x1f )x(

Hallar: f (3) + (x - 3) f’ (3)

a)4

5x

b)4

5x

c) x + 5

d) x - 5 e)4

x

3. Dado el polinomio: f (x) = 1 + x3 + (x2 + x5)3

Calcular: f’ (1)

a) 82 b) 84 c) 86d) 87 e) 89

4. Hallar la derivada de:

4 3)x( x12f

a) 9x1/4 b) 9x -1/4 c) 3x1/4

d) 3x -1/4 e) x1/4

5. Hallar la derivada de: f (x) = 11 + x2 + 31x4

a) 11 + x2

+ x4

b) 2x + 124x3

c) 2x - 124x3 d) 125 + 2xe) 125 + x

6. Dada las siguientes ecuaciones de movimientosrectilíneos, calcular el espacio recorrido, la velocidad yla aceleración en el instante indicado.

a) S = 4t2 - 6t ; t = 2b) S = 120t - 6t2 ; t = 4c) x = 32t - 8t2 ; t = 2d) y = 6t2 - 2t3 ; t = 1

7. Una pelota que se lanza directamente hacia arriba semueve según la ley: S = 25t - 5t2, si “S” se mide enmetros y “t” en segundos. Hallar:

a. Su posición y velocidad después de dos segundos ydespués de tres segundos.

b. Hasta qué altura ascenderá.c. ¿A qué distancia se moverá en el cuarto segundo?

* Un coche hace un recorrido en 10 minutos moviéndose

según la ley: S = 100t2 -

2

t4 midiendo “t” en minutos y

“s” en metros.

8. ¿Qué distancia recorre el coche?

a) 500 b) 5 000 c) 200d) 100 e) 150

9. ¿Cuál es su velocidad máxima?

a) 730 b) 740 c) 750d) 760 e) 770

10.¿Qué distancia ha recorrido el coche cuando alcanza suvelocidad máxima?


21/49

a) 2 600 m b) 2 700 c) 2 778d) 2 790 e) 2 796

1.S i :

4

)x( x24g , hallar g'(4)

a)3

32b)

2

23c)

2

33

d)3

22e) N.A.

2. Si: f '(x) = x3 + 3, hallar: f (4) - f (2)

a) 52 b) 58 c) 66

d) 70 e) N.A.

3. Dado: f (x) = xa + bx. Además:

f'(1) = 18 ....... (1)f"(2) = 12 ....... (2)

Hallar:a

b

Autoevaluación

a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 7

4. Si: 3 2 1xy , hallar: y'

a) )x2(1x3 2

b)3 2

1xx2

c) 3x2 (2x + 1) d) 3 22 )1x(3

x2

e) N.A.

5. Si: f (x) = x-2 + x-3, hallar: f'(4)

a)256

11b)

256

11c)

264

11

d)264

11e)

11

256


22/49

CIENCIAS - PAMER5

AÑOÁLGEBRA

Derivadas II

Capítulo IV

Previsión de las ecuaciones

En los casos examinados y en dependencia de las condiciones del problema, hemos hecho diferente uso de las dos raíces obtenidas. Enel primer caso hemos desechado la raíz negativa por no responder al contenido del problema; en el segundo, hemos renunciado a la raízfraccionaria y negativa y, en el tercero, por el contrario, hemos aceptado las dos raíces. La presencia de una segunda solución es, a veces,completamente inesperado no sólo para quien resuelve el problema, sino también para su autor; pongamos un ejemplo de cómo la ecuaciónresulta más previsora que el mismo que la establece.

Una pelota ha sido lanzada al aire a una velocidad de 25 m por segundo. ¿Al cabo de cuántos segundos se encontrará la pelota a 20 mde altura?

Solución:

Para los cuerpos lanzados al alto, y libres en su ascensión de toda resistencia, la mecánica establece las siguientes proporciones entrela altura a la que sube el cuerpo sobre la tierra (h), su velocidad inicial (v), el aceleramiento de la fuerza de gravedad (g) y el tiempo (t).

2

gtvth

2

En este ejemplo concreto podemos hacer caso omiso de la resistencia aérea, por cuanto es muy pequeña cuando la velocidad no es deconsideración. A fin de simplificar la operación, damos a "g" el valor 10, en lugar de 9,8 m (el error es tan sólo del 2%). Sustituyendo "h", "v","g" por sus valores en la fórmula indicada, tendremos la siguiente ecuación:

2

t10t2520

2

y después de quitar denominaciones y simplificar: t2 - 5t + 4 = 0. Resultan las raíces: t1 = 1 y t2 = 4.La pelota estará a la altura de 20 metros dos veces: al segundo y al cuarto segundo de haber sido lanzada. Acaso parezca inverosímil y, al no reflexionar, puede rechazarse el segundo resultado. Sin embargo, esto sería erróneo. El segundo resultado

es completamente lógico: la pelota puede encontrarse dos veces a la altura de 20 m: una, al ascender, y otra, al descender.Se deduce con facilidad que la pelota puede ascender durante 2,5 segundos con la velocidad inicial de 25 m, llegando a una altura de

31,25 m. Después de alcanzar la altura de 20 m (al segundo de ascenso) la pelota seguirá elevándose durante 1,5 segundos más, al cabode lo cual descenderá durante 1,5 segundos hasta la altura de 20 m, llegando al suelo un segundo después.

Los inventoresdel

análisis

matemático

Se atribuye a Newton y a

Leibniz, dos grandes

sabios de la mitad del siglo

XVII, el invento del análisis

infinitesimal; lo descu-

brieron en forma inde-pendiente y casi simul-

tánea, pero el invento

provocó una larga y lamen-

table disputa sobre la

prioridad del descubri-

miento, que se prolongó

durante todo el siglo XVIII.

En verdad, sería mejor

decir que tanto Newton

como Leibniz representan

un eslabón en una cadena

iniciada muchos siglos an-

tes con Eudoxo (390 - 337

a.C.) y su método de

exhaución; Arquímedes (287-212 a.C.) con sus

métodos infinitesimales;Bonaventura Cavalieri

(1598-1647) y sus indi-

visibles; Evangelista To-

rricelli (1608-1647) y los

volúmenes generados por la

rotación de ciertas curvas;

Pierre Fermat (1601-1665),

que inventó métodos

ingeniosos y útiles para

encontrar máximos y

mínimos; Johannes Kepler

(1571-1630), que utilizaba

métodos infinitesimales

para calcular el volumen de

los toneles de vino que se

usaban entonces; Huygens

(1629-1695), que además

de su obra como físico y

astrónomo estudió la

curvatura de muchas

curvas; Isaac Barrow (1630-

1677), que inventó el

concepto de derivada y fue

el maestro de Newton; y

muchos más.Lo que sorprende es que

sólo a dos matemáticos se


23/49

Función Derivada

y = c ; c : constante y' = 0

y = x y' = 1

y = c f (x) y' = c f'(x)

y = xn y' = nxn-1

y = f (x) + g(x) y' = f'(x) + g'(x)

y = f (x) . g(x) y' = f'(x) . g(x) + f (x) . g'(x)

y =)x(

)x(

g

f ; g(x) 0 y' = 2

)x(

)x()x()x()x(

]g[

'g.f g.'f

y = ex y' = ex

y = ax y' = axLn2

y = Lnx y' =x

1

y = logax y' = alnx

1

y = )x(f e y' = )x(f 'f .e )x(

y = n )x(f y' = )x(1n)x( 'f .f n

y = senx y' = cosx

y = cosx y' = -senx

y = tgx y' = sec2x

y = ctgx y' = -csc2x

y = secx y' = secx.tgx

y = cscx y' = -cscx.ctgx

les haya ocurrido esa idea

que estaba en el aire y que

se hacía cada vez más

necesaria para resolver los

problemas de la época.

La difusión de las nuevas

ideas fue muy lenta y sus

aplicaciones muy escasasal principio, pero los nuevos

métodos tenían cada vez

más éxito y permitían re-

solver con facilidad muchos

problemas; sin embargo

fueron sometidos a severas

críticas; la justificación y

las explicaciones lógicas y rigurosas de los

procedimientos empleados no se dieron hasta muy

entrado el siglo XIX, cuando aparecieron otros

matemáticos, más preo-

cupados por la presen-

tación final de los métodos

que por su utilización

práctica en la resolución de

problemas concretos.

Mencionaremos entre otros

a Agustin-Louis Cauchy(1789-1857), Karl Wiers-

trass (1815 - 1897),

Richard Dedekind (1831-

1916),...

Es curioso que cuando

se enseña este tema en

los últimos años de la

escuela secundaria, se empieza casi siempre por el

final de la historia, con un rigor y un nivel de abstracción

que los propios físicos y matemáticos que descubrieron

y usaron el análisis no conocieron ni necesitaron.


24/49

Máximos y mínimosDada la función f (x), esta función deberá tener tangentes

horizontales y verticales. Para tener una tangentehorizontal, se iguala la primera derivada a cero y para teneruna tangente vertical esta no debe existir.

y

x

T

TH

f (x)T V

x1 x2 x3 x4 x5

TH TH

Tangentes horizontales: f’(x) = 0Tangentes verticales: f’(x) no existe

maximo

minimo

y

y

x

x

x

x

max

min

T : f’(x) = 0H

T : f’(x) = 0H

Procedimientos a seguir:

- Se escribe una de las variables en función de la otra(función explícita)

- Se deriva la función con respecto a la variableindependiente y se iguala a cero, resolviendo yencontrando los denominados puntos críticos.

- Se reemplazan los valores encontrados en la funciónexplícita, donde el mayor valor encontrado será el

máximo de la función y el menor el mínimo.

1. Hallar el máximo y mínimo de:

f (x) = 1 + 6x - 2

1x3

Resolución:

Derivando: f (x) = 1 + 6x - 21 x3 ..... (*)

Problemas resueltos

f ’ (x) = 6 - 2

3x2

Igualando a cero la primera derivada:

6 -

2

3x2 = 0 12 = 3x2 x2 = 4 ... x = ±2

Reemplazando los valores encontrados en (*):

f (2) = 1 + 6(2) - 2

1(2)3 = 9

f (-2) = 1 + 6(-2) - 2

1(-2)3 = -7

de donde el máximo de la función será: 9 y el mínimo: -7

2. Hallar el máximo y el mínimo de:

1xx

1xxf

2

2

)x(

Resolución:

Recordando: si: 2v

'v.u'u.v'y

v

uy

Derivando en nuestro caso, e igualando a cero:

22

22

)x()1xx(

)1x2)(1xx()1x2)(1xx('f

0)1xx(

2x2

'f 22

2

)x( 2x

2

= 2 x = ±1

De donde en la función original:

3111

111f

2

2

)1(

(máximo)

3

1

1)1()1(

1)1()1(f

2

2

)1(

(mínimo)

3. Hallar el máximo y el mínimo de:

2xf

2

)x(

- 2 en [-3;1]

Resolución:

Sea: 22

xyf

2

)x( 2(y + 2) = x2

de donde la relación corresponde a una parábola, dondesu vértice será el punto (0;-2). Graficando:


25/49

(-3 ; 2,5)

-3 -1

(0 ; -2)(1 ; -1,5)

y

x

Donde se observa que:f máx = 2,5f mín = -2

Otra forma: Utilizando el criterio de la derivada:

Si:

2

xf

2

)x( - 2 f ’ (x) = x = 0

de donde:

x -3 1 0

f (x) 2,5 -1,5 -2

f máx = 2,5f mín = -2

4. Si un número y el cuadrado de otro suman 192.Determinarlos de modo tal que su producto sea máximo.

Asumir que ambos son positivos.

Resolución:

Sean “x” e “y” los números, luego:x2 + y = 192 ..... (1) p = xy ..... (2)

De (1): y = 192 - x2

En (2) : p = x(192 - x2) p(x) = 192x - x3

Luego:

p’(x) = 192 - 3x2 = 0 x2 = 64 x = 8

En (1) como “x” e “y” son positivos:

Para: x = 8, se tiene:

82 + y = 192 y = 128

Los números son: 8 y 128

5. Un jardín rectangular de 200 m2 de área debe cercarse.Hallar las dimensiones que requieren la menor cantidadde cerco, si uno de los lados del jardín es colindante a

una pared.

Resolución:

Sea “x” e “y” el ancho y largo del jardín.

y

xx

y

Del gráfico se deduce que:

xy = 200

de donde: y =x

200 .... (1)

Además: sea “L” la longitud del cerco:

L = 2x + y ... (2)

(1) en (2) :

x

200x2L

Para hallar el “L” mínimo derivamos “L” con respecto a “x”:

2x

2002'L ; luego:

2x

2002 = 0 x2 = 100

x = ±10

como “x” e “y” > 0

Entonces para x = 10, en (1) : y = 20

Las dimensiones deberán ser: 10 y 20 m respectivamente.

6. Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor áreaque se pueda inscribir en un círculo de radio “R”.

Resolución:

Graficando:

B

A

C

D

R

0

x

x/2

y/2

Py

El área del rectángulo será:

A = xy ......... (1)


26/49

En el triángulo rectángulo OCP se tiene:

R 2 =

22

2

y

2

x

De donde:

y2

= 4R 2

- x2

y = 22 xR 4 ....... (2)

(2) en (1) :

22 xR 4x A

........ (3)

Luego para que el área “A” del rectángulo inscrito seamáximo debe cumplirse que: A’ = 0Escribiendo adecuadamente la expresión “A” y luegoderivando:

2

1

4

x

2

1

(8R 2x - 4x3) = 0

de donde: 4R 2 = 2x3 ó x2 = 2R 2 x = 2R

En (2) : y = 2R

Los lados del rectángulo serán: x = 2R ; y = 2R

implica que se trata de un cuadrado.

7. Se desea construir una caja de base cuadrada y sintapa disponiendo de 300 cm2 de material. Hallar susdimensiones para que el volumen sea máximo.

Resolución:

Del gráfico y por dato: 300 = 4 x h + x2

de donde:x4

x300h

2

...... (1)

Además: V = x2h .... (2)

Reemplazando (1) en (2) :

4xx300 Vó

x4x300x V

32

2

Para que el volumen sea máximo deberá cumplirse que:

V’ = 0 es decir:

100x04

x3300'x 2

2

x = 10

En (1) :

5)10(4

)10(300h

2

Las dimensiones deberán ser:

longitud de la base: x = 10 cm la altura: h = 5 cm

8. Hallar el máximo volumen que puede tener un cilindrorecto que se puede inscribir en una esfera de radio

3 m.

Resolución:

Esbozando un gráfico se tiene:

A B

C DP

0

h

2

3

r

h2

El volumen del cilindro estará expresado por: V = r2h ..... (1)

Además en el triángulo rectángulo OPD se tiene:

4

h3rr

2

h3

222

2

...... (2)

(2) en (1):

4

h

h

4

h

3

3

......... (3)

Para que el volumen sea máximo: V’ = 0

2h4h0h4

33' V 22

En (3):3

3

m4426 V


27/49


1. Del siguiente gráfico:

-1

y

x

f (x)

1

-1

1

Hallar:mínmáx )x()x(

f f

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

2. Hallar el mínimo valor de la función:f (x) = 2x

2 - 4x + 2

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

3. Hallar el máximo valor de la función:f (x) = - 3x

2 + 12x - 6

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

4. Si un número y el cuadrado de otro suman 192. Hallarlos números de manera que su producto sea el mayorposible. Dar el mayor número.

a) 126 b) 127 c) 128d) 129 e) 130

5. Se debe levantar una valla de madera al lado de unmuro de piedra para cercar un terreno rectangular. Lalongitud total de dicha valla es igual a 8 m. ¿Cuál debeser la longitud de la parte de la pared paralela al muropara que la valla abarque la mayor área posible?

muro

a) 4 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

6. Hallar el volumen del mayor cilindro recto que se puede

inscribir en una esfera de radio .m3

a)3m

2

b) m3 c) 2 m3

d) 3 m3 e) 4 m3

7. Se quiere construir un jardín en forma de sector circularcon su perímetro de 30 m. Hallar el jardín de mayor

superficie.

a) 76,25 m2 b) 46,20 c) 56,25d) 86,16 e) N.A.

8. ¿Cuál debe ser el radio de un círculo para que el sectorcuyo perímetro es igual a un número dado “P” tenga lamayor superficie posible?

r r

a) P b) 2P c) 3P

d)4

Pe) 8P

9. Una caja rectangular tiene una base cuadrada y no tienetapa. El área combinada de los lados y el fondo es de48 pies cuadrados. Hallar las dimensiones de la caja de

máximo volumen. Dar una de las dimensiones.

a) 4 b) 5 c) 3d) 6 e) 7

10.Una compañía de transporte con una tarifa de 20 solestransporta 8 000 pasajeros por día. Al considerar unaumento en la tarifa la compañía determina que perderá800 pasajeros por cada 5 soles de aumento. En estascondiciones, ¿cuál debe ser el aumento para que elingreso sea máximo?

a) 15 b) 20 c) 35d) 45 e) 60

11.Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje "x",los otros sobre la recta y = x; 5x + 4y = 20. Hallar elvalor de "y" para que el área del rectángulo sea el mayorposible.

a)9

10b)

10

9c) 10

d) 9 e) N.A.


28/49

Bloque II

1. Un granjero tiene 1 000 metros de malla para cercar unterreno rectangular. Calcular el valor de la mayor áreade terreno que se podría cercar.

a) 62 500 u2 b) 62 000

c) 52 500 d) 52 000e) 65 000

2. Hallar el valor o los valores reales de "a" de modo que-4 sea el mínimo valor del trinomio.

x2 - a - 1 + ax

a) a = 6 b) a = 4 c) a = -6d) a = -6 a = 2e) -6 a 2

3. Una pelota proyecta verticalmente hacia arriba "S" piesdel punto de partida. En el instante "t" (segundos) donde:

S = 64t - 16t2

¿Cuál es la altura máxima alcanzada?

a) 64 b) 32 c) 16d) 0 e) infinita

4. De las esquinas de una hoja cuadrada de cartón delados iguales a 72 cm deben ser recortados cuadradosiguales, de modo que doblando convenientemente laspartes restantes resulte una caja que tenga la mayorcapacidad posible. ¿Cuánto debe medir cada lado del

cuadradito?

a) 3 cm b) 6 c) 8d) 12 e) 18

5. Una ventana tiene la forma de un rectángulo cuyo anchoes "a", coronado por un semicírculo. Si el perímetro dela ventana es 30 m y si A(x) es el área de esta ventana,encontrar el valor de "x" que maximiza el área.

a) 15 b) 225 c) 14d) 13 e) 10

6. Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máximainscrito en un triángulo de lados 8; 10; 12; tal que unlado del rectángulo se apoya en aquel de longitud 12.

a) 6y475 b) 5y

273

c) 6y2

35d) 5y

3

72

e) 6y2

7

7. ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo de áreamáxima que puede inscribirse en una circunferencia deradio "r"?. Indicar la suma de dichas dimensiones.

a) 2 r b) 3 2 r c) 2 2 r

d) 4 2 r e) 6 2 r

8. Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10 cm.¿Cuánto debe medir el cuarto lado para que el área seamáxima?

a) 10 cm b) 15 c) 25

d) 20 e) 30

9. Un agricultor quiere construir una cerca que tenga laforma de un sector circular si para cercarlo posee unalambre de 2 metros de longitud. Determinar el radioque debe tener el sector para que el campo sea lo másgrande posible.

a) 30 m b) 40 c) 50d) 80 e) 120

10.Obtener el área máxima de la región rectangular dadaen el siguiente gráfico:

8x + 5y = 40y = x

a)2u

13

10b)

13

25c)

13

50

d)13

100e)

13

65

11.De las gráficas adjuntas:

g(x)

f (x)

d


29/49

f (x) = - x2 + 2x

g(x) = 2

1x2

Determinar la máxima longitud vertical.

a) 1 b)3

1c)

7

2

d)3

2e)

4

3

12.Hallar la mayor área posible de un rectángulo que tienesu base inferior en el eje “x” y los otros vértices en lacurva: y = 27 - x2

a) 24 u2 b) 12 c) 54d) 108 e) 162


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CIENCIAS - PAMER5

AÑOÁLGEBRA

Logaritmos I

Capítulo V

Equipo de cavadores

Un equipo de cavadores se hizo cargo de la contrata para construir una zanja. Si hubiera trabajado todo el equipo, la zanjahabría sido cavada en 24 horas. Más el trabajo fue comenzado por un solo obrero. Poco después se le unió otro y más tardeun tercero, al cabo del mismo tiempo se incorporó un cuarto, y así sucesivamente, hasta el último. Cuando se hizo el balancedel trabajo efectuado, resultó que el primero había invertido en el trabajo 11 veces más de tiempo que el último. ¿Cuántotrabajó el último?

Solución:

Supongamos que el último obrero trabajó "x" horas; siendo así, el primero habrá trabajado "11x" horas. Si el número demiembros del equipo es "y", el número global de horas de trabajo se determina como la suma de "y" miembros de unaprogresión decreciente, cuyo primer término es "11x", y el último, "x" es decir:

xy62

y)xx11(

Sabemos también que el equipo, compuesto por "y" personas, trabajando simultáneamente hubiera terminado la zanjaen 24 horas, lo que quiere decir que para realizar ese trabajo hacen falta "24y" horas de trabajo. Por tanto: 6xy = 24y.

Como "y" no es igual a "0", la ecuación puede ser simplificada por ese factor, después de lo cual obtendremos: 6x = 24 x = 4

Por lo tanto, el último obrero trabajó 4 horas.Hemos contestado a la pregunta del problema, más si quisiéramos saber el número de obreros con que cuenta el equipo

no podríamos determinarlo, aunque en la ecuación figuraba este último con la "y". Para resolver esta cuestión no se cuentacon datos suficientes.

Logaritmos

Los logaritmos fueron inventados en el inicio del siglo17, a fin de simplificar las trabajosas operaciones aritméticasde los astrónomos, con miras a la elaboración de tablas denavegación.

En efecto, la regla log(xy) = logx + logy; y sus consecuencias,tales como log(x/y) = logx - log y; log(xn) = n. log x,

log n x = (logx) / n; permiten reducir cada operaciónaritmética (excepto, naturalmente, la adición y lasustracción) a una operación más simple, efectuada conlos logaritmos. Esta maravillosa utilidad práctica de loslogaritmos perduró hasta recientemente, cuando fue

ampliamente superada por el uso de las calculadoraselectrónicas.

Mientras tanto, la función logarítmica, junto con suinversa, la función exponencial, permanece como una delas más importantes de la matemática, por una serie derazones que van mucho más allá de su utilidad comoinstrumento de cálculo aritmético. Por ejemplo, la propiaidentidad log (xy) = logx + logy, a la par de su gran valorestético, sirve para demostrar que no existe diferenciaestructural (intrínseca) entre las operaciones de adición denúmeros reales y de multiplicación de números realespositivos. Pero la razón principal de la importancia de los

logaritmos (o, lo que es lo mismo, de las exponenciales)proviene de una propiedad que ya había sido observadahace cerca de 300 años, sobre la cual diremos ahoraalgunas palabras.

Las primeras personas que se ocuparon de elaborartablas de logaritmos no pueden haber dejado de notar que,para valores pequeños de "h", la razón [log(x + h) - logx]/hentre el incremento de "x" y el incremento "h" dado a "x"es, aproximadamente, proporcional a "1/x". Cuando se usanlos logaritmos naturales (que tienen como base el número"e") la constante de proporcionalidad es igual a 1, de modoque el cociente [log(x + h) - log x]/h, para valores pequeñosde "h", es aproximadamente igual a 1/x. De aquí enadelante, hablaremos sólo de Logaritmos en los reales

Dada la siguiente expresión: bx = N (potenciación)

la operación inversa, osea: logbN = x recibe el nombre

de logaritmación.

Ejemplos:

* 2 2 = 4 log24 = 2 * 25 = 32 log232 = 5

* 23 = 8 log28 = 3 * 26 = 64 log264 = 6

Logaritmo de un número real

Definición

El logaritmo de un número real y positivo "N", en la

base "b", (b > 0 b 1) es el exponente "x" al cual hayque elevar la base para obtener el número "N", es decir:

logbN = x bx = N


31/49

Donde: x : resultado (logaritmo)b : base del logaritmo, b > 0 b 1N : número real y positivo

En general, si se cumple que: xy = z

Tendremos que: y = logxz. Es decir, que la operación de

extraer logaritmos, también llamada logaritmación es unaoperación inversa de la potenciación, puesto que mientrasen la potenciación se trataba de encontrar un númerollamado potencia, conocidas la base y el exponente, en lalogaritmación se trata de hallar el exponente conocidas labase y la potencia.

En la práctica son dos los sistemas de logaritmos másutilizados a saber, el sistema de logaritmos vulgares cuyabase es 10 y fueron descubiertos por el matemático inglésHenry Briggs y el sistema de logaritmos naturales oneperianos descubiertos por el matemático escocés JohnNeper cuya base es el número irracional: e 2,7182...

Cuando se emplean logaritmos vulgares se acostumbraomitir el subíndice 10. Así por ejemplo, tendremos que si:

100 = 1, escribiremos: log1 = 0 log101 = 0101 = 10, escribiremos: log10 = 1 log1010 = 1102 = 100, escribiremos: log100 = 2 log10100 = 2103 = 1 000, escribiremos: log 1000 = 3 log101000 = 3104 = 10 000, escribiremos: log 10000 = 4 log1010000 =4

Cuando se emplean logaritmos neperianos, la notaciónserá la siguiente: Ln N = logeN

Ejemplos:

* Ln e = logee = 1* Ln 5 = loge5* Ln 7 = loge7

Ejemplo: Calcule "x" en la ecuación: log2(x2 + 7x) = 3

Resolución:

x + 7x = 232

x + 7x - 8 = 02

xx

8-1

(x + 8) (x - 1) = 0x = -8 x = 1

observar que para x = 1 x = -8,la expresión x + 7x es positivo.

2

Identidad fundamental

De la definición, se desprende que: Nb Nlogb ;

N > 0 ; b > 0 b 1

Ejemplos:

* 35 3log5

* 27 2log7

* 5e 5Ln

Efectuar: 4log5log 32 274

Resolución:

89)4()5()3()2()3()2( 3234log25log4log35log2 3232

Propiedades generales de los logaritmos

A. logb1 = 0 logbb = 1 b > 0 ; b 1

Ejemplos:

* log51 = 0 ; log31 = 0 ; Ln1 = 0* log33 = 1 ; Lne = 1 ; Ln(e+2) (e+2) = 1

B. Dados: A, B IR + , b > 0 b 1

logb AB = log

b A + log

bB

Ejemplos:

* log315 = log35 + log33

* log23 + log25 + log22 = log230

C. Blog AlogB

Alog bbb

Ejemplos:

* 3log5log3

5log 222

* log25 = log210 - log22

D. Alogn Alog bn

b

Ejemplos:

* log381 = log334 = 4log33 = 4

* log21024 = log2210 = 10log22 = 10

*3

15log

3

15log5log 5

3 /15

35

Nota:

1n;Zn;) A(log Alog nbnb

De aquí se desprende que: Alog Alog nbn

b


32/49

Ejemplos:

* veces3

2223

232 )5(log)5(log)5(log)5(log5log

* 64)4()2(log)16(log16log

334

2

3

2

3

2

E. Zn;2n Alogn

1 Alog b

nb

Ejemplos:

*5

13log

5

13log 3

53

* 2log3

12log 7

37

F. Zogogogn

b

n

b

n

Corolario:

Zn,m;m

n Alog

m

n Alog A

n Am

Ejemplos:

* 63log)9(log9log 6

3

3

)3(3 333

* 24log256log256log 24

1616 4

* 38log)8(log8log 244

)2(

4

2 444

*7

82log

7

82log 2

827

G. Propiedad del cambio de base:

1x0x;Blog

Alog Alog

x

xB

Ejemplo:

* 3log

5log

3log

5log5log

7

7

2

23

H. logB A . logDB . logED = logE A

Corolario:

1B0B

1 A0 A

Blog

1 Alog

AB

Ejemplos:

* log25.log72.log37.log253 = log255 = 2

1

* log37.log75.log59 = log39 = 2

* log57 = 5log

1

7

* log23 = 2log

1

3

I.1c0c

1a0aca alogclog bb

Ejemplos:

* 3log5log 22 53 * 7log5log 44 57

Cologaritmo

Se define el cologaritmo de un número "N" positivo enuna base dada "b" positiva y diferente de la unidad, comoel logaritmo de la inversa de dicho número en esa mismabase.

NlogN

1logNlogco bbb

Ejemplos:

* 416log16

1logco 22

* 481log81

1logco 33

Antilogaritmo

El antilogaritmo de un número real en una base dadaes igual al número que resulta de elevar la base al número.

xb bxloganti


33/49

Ejemplos:

* antilog23 = 23 = 8

* antilog25 = 25 = 32

Propiedades:

A. antilogb(logbN) = N ; N > 0 b > 0 b 1

B. logb(antilogbx) = x ; x R b > 0 b 1

1. Hallar el valor:

3373438

327log49log16logM

Resolución:

*3

42log

3

42log16log 2

428 3

* 7

4

2

7

27log7log49log 2

72

7.77343 2 /72 /13

*3

103log3.3log327log 3 /103

3 /133

33

Finalmente se pide:

21

110

3

10

7

4

3

4M

2. Siendo: x > 1, resolver: m1x

1xloga

Resolución:

Por definición del logaritmo:ma

1x

1x

Elevando al cuadrado miembro a miembro:

m2a1x

1x

Aplicando propiedad de proporciones:

1a

1ax

1a

1a

2

x2

m2

m2

m2

m2

Problemas resueltos

3. Calcular el valor de la expresión:

25

3

bc

alogblogco2clogco5alog

2

3F

Resolución:

Transformando la expresión:

253 bclogalog)blog(2)clog(5alog2

3F

)blogc(logalog2

3blog2clog5alog

2

3F 25

blog2clog5alog2

3

blog2clog5alog2

3

F

F = 3loga

4. Calcular antilogP, siendo:

243

32log

9

5log2

16

75logP

Resolución:

Cuando se tenga sumas y restas conviene transformar

la expresión a logaritmo de un producto o un cociente.

Entonces:

2log243.16.25

32.75.81log

81

25log

243

32.

16

75log

9

5log

243

32log

16

75logP

2

Tomando antilog en ambos miembros:antilog P = antilog log2

P = 2

5. S i : x R +, resolver: x44loganti

2

x

Resolución:

Aplicando la definición de antilogaritmo:

0xx64xx42

xx4

2

x 44

44

(descartado porque x R +)

Luego: x3 = 64 ó x3 = 43

De donde: x = 4


34/49

Bloque I

1. Calcular:

3log4log16logM324

a) 8 b) 6 c) 0d) 10 e) 4

2. Calcular:

2log13log12N 28

a) 9 b) 3 c) 4d) 12 e) 1

3. Calcular:

27log4log

16log5logM

24332

64125

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Hallar:

55log9log16logM 5332

a) 11 b)12

121c)

12

125

d) 13 e) N.A.

5. Hallar:

9

1logM 27

a) -3

2b)

2

3c)

3

2

d) -2

3e)

3

5

6. Reducir:

63

45

32 3log5log2logM

a)3

2b)

4

3c)

6

1

d)6

5e)

12

7

7. Hallar "P"

P = log3(4 + log28 + log525)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

Problemas para la clase8. Calcular:

8log6log9log 1057M 57

a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 23

9. Calcular:M = l o g 1 0 0 0 + l o g 3243 + log24

2

a) 12 b) 16 c) 18d) 14 e) N.A.

10.Calcular:

32log5log2logP 64258

a)6

1b)

6

5c)

3

2

d)23 e) 9

Bloque II

1. Si: logab = 3 y logb4a = 2el valor de "b" es:

a) 3 22 b) 2 c)3

24

d) 5 22 e) 5

82

2. Calcular:32log325log

9 5log4M

a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

3. Reducir:

3 64log32log3log 435 28125M

a) 2 b) 3 c) 5d) 33 e) 9

4. Calcular:M = lne5 + log4000 - log4

a) 4 b) 7 c) 8d) 6 e) 2

5. Calcular:

422 /124 2loglogloglogM

a)4

1b)

2

1c) 1


35/49

d)8

1e) 2

6. Hallar el valor de:

z2log;29

1log:si;

z

xlog 64x2

a) 0 b) 1 c) 2

d)6

1e)

2

1

7. Simplificar:

]7442logco15loganti22log6)2

1(

22[log9logM

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 20

8. Si: log1428 = xHallar en función de "x": M = log4916

a)x12

2x2

b)x1

2x

c)x2

)x1(2

d)x

x2 e)

x2

)1x(2

9. Simplificar:

2log5,0log alogalog

aa 22 )5,0(.aM

a) a b)a

1c) a2

d) a3 e) 1

10.Hallar:

12log13log 32 3.22.3M

a) 75 b) 30 c) 48

d) 38 e) N.A.

Bloque III

1. Reducir:

S = 34log83log2

a) 8 b) 3 c) 6

d) 2 e) 7

2. Si:loga(logab) - loga(logac) = 1

Calcular:E = loga(logbN) - loga(logcN)

a) 1 b) 2 c) - 1d) 3 e) - 2

3. Si:

log2 = 0,301030Hallar:

M = log25 + log125

a) 2,5 b) 3,5 c) 4,5d) 5,5 e) 6,5

4. Reducir:

m . (0,5)log

2m logm0,5 log2

mlogm2

a) m

1b) m c) mlogm

d) 1 e) m2

5. Resolver:

xloganti.logCo

)10log(log3 = Colog x x

a) 9 b) 18 c) 27d) 36 e) N.A.

6. Calcular: E = - Colog4antilog2log2antilog24

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) N.A.

7. Sabiendo:log2 = 0,30103log3 = 0,47712

Hallar:M = log5 + log6

a) 0,47 b) 0,3 c) 1,3

d) 1,47 e) 2,5

8. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?

a)

16

1log4 b) log50,2

c)

27

1log3 d) log2 8

e)

49

1log7


36/49

9. Si:

x = n3log2Calcular:

M = 3nlogxnlog x73

a) n2 b) n c) 2d) 4 e) 16

10. Hallar “x”, en:

8log1)-x(log 22

1

a)

8

9

; b)

8

9;0

c)

8

9;1 d)

e) N.A.

1. Calcule:

35,0

1

3

5

36,04

2log

15

9log

12

22logE

a) 0 b) 1 c) -1

d) 2 e) -2

1

2. Calcule:

8logcologantilogloganti 6432223

a) 27 b)

9

1c)

27

1

d)3

1e) 9

3. Si: log4y = 2, halle el valor que debe tener "x" para quese cumpla:

516

yxlog

32

4

a) 1 b) -2 ó 2 c) -1 ó 1d) 2 ó 1 e) -2

4. Resuelva:

13x42 3)15x2(log8

a) 3 b) -2 c) -1d) 1 e) 2

5. Efectúe:

172log

1

240log

2

45log

3

532

a) 2 b) -1 c) 1

d)2

1e) N.A.

Autoevaluación


37/49

CIENCIAS - PAMER5

AÑOÁLGEBRA

Logaritmos II

Capítulo VI

La compra del caballo

En la aritmética de MAGNITSKI encontramos un divertido problema que damos a conocer sin sujetarnos al lenguajedel original.

Cierta persona, hace ya largos años, vendió su caballo por 156 pesetas. Mas el comprador se arrepintió de haberloadquirido y devolvió el caballo diciendo:- No me interesa comprar el caballo por ese precio, pues no lo merece.El vendedor le propuso nuevas condiciones:- Si te parece elevado ese precio, compra sólo los clavos de las herraduras y conseguirás de balde el caballo. En cada

herradura hay seis clavos; por el primer clavo me pagas tan sólo 1/4 de céntimo; por el segundo, 1/2; por el tercero,1 céntimo, etc.El comprador, deslumbrado por las nuevas condiciones, en su afán de tener gratis un caballo, aceptó la propuesta,

creyendo que tendría que pagar por los clavos no más de diez pesetas.

¿Cuál fue el importe de la compra?

Solución:

Por los 24 clavos hubo de pagar:

,2...22212

1

4

1 32432

cuya suma será igual a:

céntimos4

33031944

4

12

124

12.2

22

21

Es decir, cerca de 42 000 pesetas. En tales condiciones no da pena entregar el caballo de balde.

Introducción

Expresar cualquier número tan sólo con tres números dos.

He aquí un ingenioso rompecabezas algebraico que distrajoa los delegados de un congreso físico celebrado en Odesa.

Proporcionar el siguiente problema:

Expresar cualquier número entero y positivo mediante

tres números dos y signos matemáticos.

Solución:

Mostramos en un ejemplo la solución de este problema,supongamos que el número dado es el 3. En éste caso elproblema se resuelve así:

2loglog3 22

Es fácil convencerse de la veracidad de tal igualdad.

En efecto:

32212 /1

2 /12 /1 2222

32log;22log 3232

2

3

si el número fuera 5 resolveríamos el problema por losmismos procedimientos:

2loglog5 22

Se tiene presente que siendo la raiz cuadrada, se omite

el índice de la misma.La solución general del problema es como sigue si elnúmero dado es "N", entonces:

vecesn

22 2....loglogN

n° radicales = número de unidades del número dado.

Función exponencial

Definición: Sea el número real "a", tal que: a > 0 a 1

}ayR x /)y,x{(exp xa


38/49

A) Base: a > 1

y

x

a

x1

x2

a

xa

x1 x2

Si: 12 xx12 aaxx

expa es estrictamente creciente.

Del gráfico:

x

xalim

0alim xx

B) Base: 0 < a < 1

y

x

a

x1

x2

a

xa

x1 x2

Si: 12 xx12 aaxx

expa es estrictamente creciente.

Del gráfico: 0alimx

x

xx alim

Función logaritmo

Definición.- Una función logaritmo se define como elconjunto de pares ordenados (x,y) / y = logbx; donde:x > 0 b > 0 b 1.

D o m f = IR + Ranf = IR

Es decir: f = {(x,y) / f (x)

= logb

x ; x > 0 b 1}

Veamos dos casos:

A) f (x) = logbx ; x > 0 b > 1

log x2b

log xb 1

y = log xb

x1 x2x

y

Del gráfico:si: logbx2 > logbx1 x2 > x1

B) f (x) = logbx ; x > 0 0 < b < 1

log x2b

log xb 1

y = log xbx1 x2 x

y

Del gráfico:

si: logbx1 > logbx2 x1 < x2

Desigualdades logarítmicas

Si: logbx1 > logbx2 b > 1 x1 > x2 > 0

Si: logbx1 > logbx2 0 < b < 1 0 < x1 < x2

Ejemplos:

* log2x > 2 x > 22 x > 4

* log3x < 4 x < 34 0 < x < 34

*4

1x0

2

1x2xlog 2 /1

* 27x3

1x3xlog

3

3 /1


39/49

1. Hallar el intervalo en el cual está comprendido "x" si:log1/5 x > 0

Resolución:

La desigualdad tiene sentido si se cumple que: x > 0

De otro lado, siendo: b =5

1< 1 xlog

5

1 > 0

0 < x <

0

5

1

0 < x < 1

2. Hallar todos los "x" tales que: xlogxlog 4 /13 /1

Resolución:

Transformando a base 1/3, aplicando la fórmula delcambio de base, se tiene:

4

1log

xlogxlog

3 /1

3 /1

4

1

luego, la desigualdad se escribe como:

0

4

1log

11xlog

0

4

1log

xlog

xlog

4

1log

xlog

xlog

3

13

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

03log1xlog03

1log1xlog 4

3

1

4

1

3

1

Puesto que: 1 - log43 > 0, también debe cumplirse:

0xlog3

1

donde por ser: 13

1b ; se tiene:

1x03

1

x00xlog

0

31

3. Resolver: log3(2x + 3) - log3(1 - 3x) > 3

Resolución:

La desigualdad tiene sentido, siempre que se cumpla:

a) 2x + 3 > 0 x > - 23

b) 1 - 3x > 0 x <3

1

En la desigualdad, aplicando propiedades de logaritmos:

3x31

3x2log3

27x31

3x23

x31

3x2 3

Resolviendo: (2 x + 3 ) (1 - 3 x ) > 2 7 (1 - 3 x ) 2

(3x - 1) (83x - 24) < 0

083

24x

3

1x

Graficando:

2483

< x <13

2483

13

- +

4. Sabiendo que: x > 1; hallar el intervalo que satisface ala desigualdad:

logx (x3 - 16x2 + 80x - 120) > 1

Resolución:

a) Si: x > 1, entonces: logx(x3 - 16x2 + 80x - 120) > 1

x3 - 16x2 + 80x - 120 > x

Luego: x3 - 16x2 + 79x - 120 > 0

Factorizando: (x - 3) (x - 5) (x - 8) > 0

- + 5 8

3 < x < 5 8 < x < +

3 < x < 5 8 < x < +

3

Problemas resueltos


40/49

5. R e s o l v e r : l o g 5 |2x - 1| > 4

Resolución:

La desigualdad tiene sentido si: 2x - 1 0 x2

1; de

otro lado por ser: b > 1;log5 |2x - 1| > 4 |2x - 1| > 5

4 |2x - 1| > 625

a) Si: 2x - 1 > 0 x >2

1 .... (a) 2x - 1 > 625

x > 313 ... (b)

de (a) y (b) : x > 313 ó 313 < x < +

b) Si: 2x - 1 < 0 x <2

1 ... (a)

2x - 1 < -6252x < -624 x < -312 ... (b)

de (a) y (b) : x < -312 ó - < x < -312

La solución se obtiene reuniendo los resultados delas dos condiciones:

- < x < -312 313 < x < +

Bloque I

1. Indicar la gráfica aproximada de: y = 4x

a) b)

y

x

y

x

c) d)y

x(0,1)

y

x

(0,1)

e) N.A.

2. Sea la función: y = bx; donde: b >1 x R. Indicar lo

correcto.

a) La función es decreciente.b) La función es discontinua.

c) La función no es inyectiva.d) La función es creciente.e) La función es negativa: x R

3. Sea la función: y = 3x

Indicar lo correcto.

a) Si: x > 0; entonces: y > 10b) Si x < 0; entonces: 2 < y < 3c) Si: x + ; entonces: y 0d) Si: x - ; entonces: y 0e) Si: x = 0; entonces: y = 3

4. Sea la función:

x

3

1y

Indicar lo correcto.

a) Dominio de "y": x < - ; + >

b) Rango de "y": y R +

c) La función:x

3

1y

; es positiva x R

d) Si: x < 0 y > 1e) Todas las anteriores.

5. Graficar: y = 2x - 4

a) b)

y

x(0,1)

y

x

4

c) d)

y

x-4

y

x4

e) N.A.

6. Graficar: y = e|x|

a) b)

y

x

(0,1)

y

x(0,1)



41/49

c) d)

y

x

y

x

e) N.A.

7. Resolver:l o g 3 (x - 3) > 1

a) x R b) d) e)

8. Si: logx7 < 2. Dar el C.S. para "x".

a) x R b) xc) x < 7 ; + >

d) x e) N.A.

9. Resolver:log(x-2)7 1

a) x 9 b) x 9 c) x 6d) x 6 e) N.A.

10.Si: log3(x - 5) > log1/3 7

Da

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Radicacion, Limites y Derivadas