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LIMITISia y=f(x) funzione
definita in un dominio D.
Sia c ∉D
Cercare il LIMITE della funzione per x→c ( x che tende a c) significa trovare,
man mano che la x TENDE a c, l’ORDINATA
a cui SI AVVICINA la funzione.Tutorial di Paola Barberis - agg 2012
Ord =limitey
c
Esempio: nel grafico seguente trova il limite per x che tende a c=2
Per x→2- da sinistra
le ordinate tendono a l =3 dal basso
Per x→2+ da destra
le ordinate tendono a l =3 dall’alto
limx→2−
f (x) = 3−
limx→2+
f (x) = 3+⎧⎨⎪
⎩⎪
Lim sinistro
limx→2
f (x) = 3Quando limite sin = lim destro
Si scrive in forma compatta:
Lim destro
2
Ord =limite l=3
1) LIMITE FINITO l per x→c valore finito
Per x→c- le ordinate possono tendere a l
o dall’alto o dal basso(uno dei due casi)
lim f(x)= lx→c
Man mano che la x tende a c da sin e da ds
le ordinate tendono al valore finito l
c
l
x
y
Per x→c+ le ordinate possono tendere a l
o dall’alto o dal basso
In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni
LIMITE sinistro LIMITE destro
CI SONO QUATTRO DEFINIZIONI DI LIMITE
2) LIMITE INFINITO per x→c valore finito
→ ←
y
x
lim f(x)= ∞ x→c
x=c è asintoto verticale
: Man mano che la x -->c [da sin e da ds ]
le ordinate tendono all’ infinito ±∞
Per x→c- le ordinate possono tendere o a +∞ (divergono positivamente) oppure a -∞ ( div negativamente)
(uno dei due casi)
Analogo ragionamento per x→c+
In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni
c
LIMITE sinistro di c
LIMITE destro di c
4 grafici con limite infinito per x -->valore finito ( es: 5 )
limx→5−
f (x) = −∞
limx→5+
f (x) = +∞
⎧⎨⎪
⎩⎪
Risposte:
y
x5
limx→5−
f (x) = +∞
limx→5+
f (x) = +∞
⎧⎨⎪
⎩⎪
x5
limx→5−
f (x) = +∞
limx→5+
f (x) = −∞
⎧⎨⎪
⎩⎪
limx→5−
f (x) = −∞
limx→5+
f (x) = −∞
⎧⎨⎪
⎩⎪
x5 x5
y y ya) b) c) d)
a) b) c) d)
3 ) LIMITE FINITO l per x che tende all’infinito lim f(x)= l x→∞
y= l asintoto orizzontale
Per x→ -∞ le ordinate possono tendere
o a l+ (dall’ alto) oppure a a l- (dal basso) Analogamente per x→ +∞ ( limite destro di infinito)
y
In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni
Man mano che la x tende a ±∞
le ordinate tendono a l
-∞ → x___
←
l
+∞
LIMITE sinistro di infinito
4 grafici possibili con limite finito per x -->infinito
a) b)
→x← +∞ →x← +∞
d)2 2
→x← +∞→x←
2
+∞
c)
2
limx→−∞
f (x) = 2−
limx→+∞
f (x) = 2+
⎧⎨⎪
⎩⎪
limx→−∞
f (x) = 2+
limx→+∞
f (x) = 2−
⎧⎨⎪
⎩⎪
limx→−∞
f (x) = 2−
limx→+∞
f (x) = 2−
⎧⎨⎪
⎩⎪
limx→−∞
f (x) = 2+
limx→+∞
f (x) = 2+
⎧⎨⎪
⎩⎪
x
y
lim f(x)= ∞ x→∞
-∞ +∞
Man mano che la x tende a ±∞ le ordinate tendono a ±∞
Per x→ -∞ le ordinate possono tendere o a +∞ (divergono positivamente) oppure a -∞ ( div negativamente)
Analogamente per x→ +∞
← →
In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni
4) LIMITE INFINITO per x che tende all’infinito
LIMITE verso meno infinito
4 grafici con limite infinito per x che tende a ±∞
limx→−∞
f (x) = +∞
limx→+∞
f (x) = −∞
⎧⎨⎪
⎩⎪
y
x-∞ +∞←
y
x-∞ +∞←
y
x-∞ +∞←
y
x-∞ +∞←
limx→−∞
f (x) = +∞
limx→+∞
f (x) = +∞
⎧⎨⎪
⎩⎪
limx→−∞
f (x) = −∞
limx→+∞
f (x) = +∞
⎧⎨⎪
⎩⎪
limx→−∞
f (x) = −∞
limx→+∞
f (x) = −∞
⎧⎨⎪
⎩⎪
funzione esponenziale con base e: Analizza i limiti agli estremi del dominio
Dominio: ∀x∈R (- ∞;+∞) Codominio COD: y>0 Gli estremi del dominio sono - ∞ ;+∞
lim ex = e-∞ =0+
x→-∞ lim ex = e+∞=+∞ x→+∞
Asintoto orizzontale (asse x): y=0
y=ex
x
y=ex
esempi
Funzione logaritmica con base e : Analizza i limiti agli estremi del dominio
Dominio D: x>0 (0;+∞) Codominio COD: ∀ y ∈ R
Gli estremi del dominio sono 0+ ;+∞
lim ln x = ln(0+ ) = -∞ x→0+
lim ln x = ln(+∞)= +∞ x→+∞
Asintoto verticale: x=0 (asse y)
y=lnx
esempi
F. Log con base maggiore di 1 F. Log con base compresa tra 0 e 1
F. esp con base maggiore di 1 F. esp con base compresa tra 0 e 1
log(0+ ) = −∞log(+∞) = +∞
⎧⎨⎩
log(0+ ) = +∞log(+∞) = −∞
⎧⎨⎩
a−∞ = 0+
a+∞ = +∞
⎧⎨⎪
⎩⎪
a−∞ = +∞
a+∞ = 0+
⎧⎨⎪
⎩⎪
Riepilogo LIMITI FUNZ ESPONENZIALE E LOGARITMICA
Limiti: principali regole di calcolo0N
= 0
∞N
= ∞
+∞ + 5 = +∞−∞ + 7 = −∞−∞ − ∞ = −∞+∞ + ∞ = +∞+∞( ) ⋅ +7( ) = +∞+∞( ) ⋅ −5( ) = −∞
base >1o_base = ee−∞ = 0+
e−∞ = +∞
ln(0+ ) = −∞ln +∞( ) = +∞
N∞
→ 0
N0→∞
ATTENZIONE Quando il denominatore tende ad infinito l’intera frazione tende a ZERO
Quando il denominatore tende a zero
l’intera frazione tende ad INFINITO
0 < base <1a−∞ = +∞
a+∞ = 0+
alog (0+ ) = +∞
alog +∞( ) = −∞
+∞ -∞ ∞ / ∞ 0 / 0 0·∞Forme indeterminate
CALCOLO di LimitiIl calcolo di un limite si ottiene, per funzioni
continue, sostituendo il valore a cui tende la x nella funzione f(x):
LIMITE IMMEDIATO Se ottengo subito il
risultato finito o infinito, il limite si
chiama IMMEDIATO
LIMITE CON FORMA INDETERMINATA
Se ottengo una di queste forme indeterminate:
+∞ -∞ ∞ / ∞ 0 / 0 In tal caso si deve“ togliere”
l’indeterminazione
Principali Forme indeterminate:come eliminarle
�
+∞−∞ Raccolgo la x di grado massimo Il risultato è +∞ oppure -∞
�
∞∞
Rapporto dei termini di grado max al Num e Den Se gradoNUM>gradoDEN ottengo limite ∞Se gradoNUM =gradoDEN ottengo limite finito l Se gradoNUM<gradoDEN ottengo 0
�
00
Devo scomporre numeratore e denominatore o con le note regole o con il metodo di Ruffini .Otterrò
un fattore che si semplifica mandando via
l’indeterminazione.Il risultato può essere finito o infinito