Α  + Β2

⋅ λ1 + λ1 2

λ2 − λ1

Β Γ2Α2 2

Α1 Β Γ1

(β) ≠ τέµνονταιΑ2 2

Α1 Β1

Β2Α2

Α1 Β1

2 2⎛ χ1  + χ2 ψ1  + ψ2 ⎞

ΕΥΘΕΙΑ

1) Η απόσταση  δύο σηµείων  Α(χ1 , ψ1)  και Β(χ2 , ψ2)   είναι :

ΑΒ =   (χ2 − χ1 )2 + (ψ2 − ψ1 )2

2) Το µέσο δύο σηµείων  Α(χ1 , ψ1)  και Β(χ2 ,  ψ2)   είναι : Μ⎜            ,             ⎟⎝                          ⎠

3) Η κλίση  ευθείας που  διέρχεται  από δύο  σηµεία Α(χ1 , ψ1)  και Β(χ2 , ψ2)

είναι

λ = ψ 2   −   ψ 1

χ2 − χ1

4) Η εξίσωση  της ευθείας που διέρχεται  από δύο σηµεία Α(χ1 ,  ψ1)  και

Β(χ2 , ψ2)   είναιψ  − ψ1

ψ2 − ψ1

= χ − χ1

χ2 − χ1

5) Η εξίσωση  της ευθείας που περνά από το σηµείο Α(χ1 , ψ1)  και  έχει

κλίση   λ   είναι : ψ-ψ1  = λ (χ-χ1)

6) Η ευθεία  µε  εξίσωση   ψ =  αχ  +β   έχει κλίση  λ =α   και τεταγµένη  επί την

αρχή  β   (   τέµνει τον  άξονα   ΨΨ  στο σηµείο (0,β)   )

7) Η ευθεία  που  σχηµατίζει γωνία  θ (  προσανατολισµένη  ) µε  τον  άξονα

ΧΧ΄ έχει κλίση   λ  = εφθ .

8) Η ευθεία  Αχ+Βψ  + Γ  = 0 έχει κλίση λ = −Α Β

.

9) Αν  οι ευθείες Α1χ+Β1ψ+Γ1=0 και Α2χ+Β2ψ+Γ2=0   έχουν :

(α) λ1=λ2 δηλαδή = είναι  παράλληλες

Β

(γ) = = ταυτίζονται

10) ∆ύο ευθείες  είναι  κάθετες αν  ισχύει λ1 λ2 =—1   . ( έχουν κλίσεις

αντιθετοαντίστροφες)

11) Η γωνία  που  σχηµατίζουν  δύο  ευθείες δίνεται  από τη σχέση  :

εφθ =

12) Η απόσταση  ενός σηµείου  Α(χ1,ψ1)   από ευθεία  Αχ+Βψ  + Γ  = 0 δίνεται

από τον τύπο :

d =Α χ 1   + Β ψ 1   + Γ

2

Νίκος   Α.   Νικολάου 1

22 2+ΒΑ

21

2χ 2 1ψ

+Β21

1Α

1 1 1 2 2Α +Β + ΓΑ + Β+ 

Γχ ψ χ ψ 2

13) Οι εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζουν δύο ευθείες

Α1χ+Β1ψ+Γ1=0 και Α2χ+Β2ψ+Γ2=0 είναι :

= . Τα πρόσηµα τοποθετούνται2 2

ανάλογα  µε  το πρόσηµο που παίρνουν  οι  ευθείες για τα σηµεία της

διχοτόµου  .

14) Για  να  βρίσκονται  τρία σηµεία  Α(χ1,ψ1) ,  Β(χ2,ψ2) ,  Γ(χ3,ψ3)   στην  ίδια

ευθεία  (  συνευθειακά  )  πρέπει να ισχύει  :

χ1 ψ1 1

χ2 ψ2 1 = 0

χ3 ψ3   1

Ο τύπος αυτός µπορεί να  χρησηµοπηθεί  και στη περίπτωση

υπολογισµού εξίσωσης ευθείας  που περνά  από  δύο  σηµεία . Για το

τρίτο σηµείο   χρησηµοποιούµε  το (χ , ψ).

15) Το εµβαδό  του τριγώνου µε  κορυφές   Α(χ1,ψ1) ,  Β(χ2,ψ2) ,  Γ(χ3,ψ3)   είναι :

χ1 ψ1 1Ε=

χ3 ψ3   1

16) ∆ύο ευθείες  Α1χ+Β1ψ+Γ1=0 και Α2χ+Β2ψ+Γ2=0   αποτελούν  δέσµη

ευθειών αν ισχύει η  σχέση  :  Α1χ+Β1ψ+Γ1  +κ(  Α2χ+Β2ψ+Γ2  )  =0   κ∈R .

Παρατηρήσεις :

1) Για  να  βρω εξίσωση  της διαµέσου ΑΜ  ενός  τριγώνου  ΑΒΓ  υπολογίζω

πρώτα το  µέσο Μ  και  µετά χρησηµοποιώ τη σχέση  (4)  για τα σηµεία Α

και Μ.

2) Για  να  βρω εξίσωση  του  ύψους Α∆ ενός  τριγώνου  ΑΒΓ  υπολογίζω

πρώτα τη κλίση  της  ΒΓ και µετά την κλίση  της Α∆

(  αντιθετοαντίστροφες) .  Στη συνέχεια χρησηµοποιώ τη σχέση (5)  για το

σηµείο Α  και τη κλίση  της Α∆ .

3) Ένα  σηµείο ανήκει σε  µια ευθεία αν  αυτό  επαληθεύει  την εξίσωση  της.

4) Για  να  βρω σηµείο το σηµείο τοµής δυο ευθειών λύνω το σύστηµα των

εξισώσεών  τους.

5) Η εξίσωση  του άξονα  ΧΧ΄ είναι  ψ=0   και του ΨΨ΄ είναι  χ=0

6) Οι ευθείες  που είναι  παράλληλες µε  τον  άξονα  ΧΧ΄έχουν  κλίση  λ =0 και

είναι  της µορφής  ψ=ψ1

7) Οι ευθείες  που είναι  παράλληλες µε  τον  άξονα  ΨΨ΄  είναι  της  µορφής

χ=χ1  και έχουν κλίση  λ =±  ∞ (  δεν ορίζεται  ).

Νίκος   Α.   Νικολάου 2

Thank you for evaluating Wondershare PDF Converter. 

You can only convert 5 pages with the trial version.

To get all the pages converted, you need to purchase the software from:

https://www.regnow.com/checkout/cart/add/8799-270?affiliate=94222&ss_short_order=true