Α + Β2
⋅ λ1 + λ1 2
λ2 − λ1
Β Γ2Α2 2
Α1 Β Γ1
(β) ≠ τέµνονταιΑ2 2
Α1 Β1
Β2Α2
Α1 Β1
2 2⎛ χ1 + χ2 ψ1 + ψ2 ⎞
ΕΥΘΕΙΑ
1) Η απόσταση δύο σηµείων Α(χ1 , ψ1) και Β(χ2 , ψ2) είναι :
ΑΒ = (χ2 − χ1 )2 + (ψ2 − ψ1 )2
2) Το µέσο δύο σηµείων Α(χ1 , ψ1) και Β(χ2 , ψ2) είναι : Μ⎜ , ⎟⎝ ⎠
3) Η κλίση ευθείας που διέρχεται από δύο σηµεία Α(χ1 , ψ1) και Β(χ2 , ψ2)
είναι
λ = ψ 2 − ψ 1
χ2 − χ1
4) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο σηµεία Α(χ1 , ψ1) και
Β(χ2 , ψ2) είναιψ − ψ1
ψ2 − ψ1
= χ − χ1
χ2 − χ1
5) Η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σηµείο Α(χ1 , ψ1) και έχει
κλίση λ είναι : ψ-ψ1 = λ (χ-χ1)
6) Η ευθεία µε εξίσωση ψ = αχ +β έχει κλίση λ =α και τεταγµένη επί την
αρχή β ( τέµνει τον άξονα ΨΨ στο σηµείο (0,β) )
7) Η ευθεία που σχηµατίζει γωνία θ ( προσανατολισµένη ) µε τον άξονα
ΧΧ΄ έχει κλίση λ = εφθ .
8) Η ευθεία Αχ+Βψ + Γ = 0 έχει κλίση λ = −Α Β
.
9) Αν οι ευθείες Α1χ+Β1ψ+Γ1=0 και Α2χ+Β2ψ+Γ2=0 έχουν :
(α) λ1=λ2 δηλαδή = είναι παράλληλες
Β
(γ) = = ταυτίζονται
10) ∆ύο ευθείες είναι κάθετες αν ισχύει λ1 λ2 =—1 . ( έχουν κλίσεις
αντιθετοαντίστροφες)
11) Η γωνία που σχηµατίζουν δύο ευθείες δίνεται από τη σχέση :
εφθ =
12) Η απόσταση ενός σηµείου Α(χ1,ψ1) από ευθεία Αχ+Βψ + Γ = 0 δίνεται
από τον τύπο :
d =Α χ 1 + Β ψ 1 + Γ
2
Νίκος Α. Νικολάου 1
22 2+ΒΑ
21
2χ 2 1ψ
+Β21
1Α
1 1 1 2 2Α +Β + ΓΑ + Β+
Γχ ψ χ ψ 2
13) Οι εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζουν δύο ευθείες
Α1χ+Β1ψ+Γ1=0 και Α2χ+Β2ψ+Γ2=0 είναι :
= . Τα πρόσηµα τοποθετούνται2 2
ανάλογα µε το πρόσηµο που παίρνουν οι ευθείες για τα σηµεία της
διχοτόµου .
14) Για να βρίσκονται τρία σηµεία Α(χ1,ψ1) , Β(χ2,ψ2) , Γ(χ3,ψ3) στην ίδια
ευθεία ( συνευθειακά ) πρέπει να ισχύει :
χ1 ψ1 1
χ2 ψ2 1 = 0
χ3 ψ3 1
Ο τύπος αυτός µπορεί να χρησηµοπηθεί και στη περίπτωση
υπολογισµού εξίσωσης ευθείας που περνά από δύο σηµεία . Για το
τρίτο σηµείο χρησηµοποιούµε το (χ , ψ).
15) Το εµβαδό του τριγώνου µε κορυφές Α(χ1,ψ1) , Β(χ2,ψ2) , Γ(χ3,ψ3) είναι :
χ1 ψ1 1Ε=
χ3 ψ3 1
16) ∆ύο ευθείες Α1χ+Β1ψ+Γ1=0 και Α2χ+Β2ψ+Γ2=0 αποτελούν δέσµη
ευθειών αν ισχύει η σχέση : Α1χ+Β1ψ+Γ1 +κ( Α2χ+Β2ψ+Γ2 ) =0 κ∈R .
Παρατηρήσεις :
1) Για να βρω εξίσωση της διαµέσου ΑΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ υπολογίζω
πρώτα το µέσο Μ και µετά χρησηµοποιώ τη σχέση (4) για τα σηµεία Α
και Μ.
2) Για να βρω εξίσωση του ύψους Α∆ ενός τριγώνου ΑΒΓ υπολογίζω
πρώτα τη κλίση της ΒΓ και µετά την κλίση της Α∆
( αντιθετοαντίστροφες) . Στη συνέχεια χρησηµοποιώ τη σχέση (5) για το
σηµείο Α και τη κλίση της Α∆ .
3) Ένα σηµείο ανήκει σε µια ευθεία αν αυτό επαληθεύει την εξίσωση της.
4) Για να βρω σηµείο το σηµείο τοµής δυο ευθειών λύνω το σύστηµα των
εξισώσεών τους.
5) Η εξίσωση του άξονα ΧΧ΄ είναι ψ=0 και του ΨΨ΄ είναι χ=0
6) Οι ευθείες που είναι παράλληλες µε τον άξονα ΧΧ΄έχουν κλίση λ =0 και
είναι της µορφής ψ=ψ1
7) Οι ευθείες που είναι παράλληλες µε τον άξονα ΨΨ΄ είναι της µορφής
χ=χ1 και έχουν κλίση λ =± ∞ ( δεν ορίζεται ).
Νίκος Α. Νικολάου 2
Thank you for evaluating Wondershare PDF Converter.
You can only convert 5 pages with the trial version.
To get all the pages converted, you need to purchase the software from:
https://www.regnow.com/checkout/cart/add/8799-270?affiliate=94222&ss_short_order=true