LINEAR PROGRAMMING DENGAN METODE SIMPLEKS ...dewi_putrie.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/70887/...Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel Beberapa Istilah dlm Metode Simplek

6s-1 LP Metode Simpleks

METODE SIMPLEKS


METODE SIMPLEKS

Metode Simpleks adalah suatu metode yg secara matematis dimulai dari suatu pemecahan dasar yg feasibel (basic feasible solution) ke pemecahan dasar feasibel lainnya dan dilakukan secara berulang-ulang (iteratif) sehingga akhirnya diperoleh suatu pemecahan dasar yang optimal.


Metode ini digunakan karena metode grafik

tidak dapat menyelesaikan persoalan linear

program yang memilki variabel keputusan

yang cukup besar atau lebih dari dua.


Bentuk Standar Fungsi Objektif

Maksimalkan: Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + … + CnXn

Bentuk Standar Fungsi Batasan:

a11X1 + a12X2 + a13X3 + … + a1nXn b1

a21X1 + a22X2 + a23X3 + … + a2nXn b2

. . . . . .

am1X1 + am2X2 + am3X3 + … + amnXn bm

X1 0

/ZA 4


Bentuk Matematis

Maksimumkan Z = 3X1 + 5X2

Batasan (constrain)

(1) 2X1 8

(2) 3X2 15

(3) 6X1 + 5X2 30


m = macam batasan-batasan fasilitas yang tersedia

n = macam kegiatan yang menggunakan fasilitas

i = nomor fasilitas yang tersedia ( i=1,2,3,…,n )

j = nomor kegiatan yang menggunakan fasilitas tersedia

( j=1,2,3,…,m )

Xi = tingkat kegiatan i, (i=1,2,3,…,n)

aij = banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan

setiap unit kegiatan j,

( i=1,2,3,…,n ) ( j=1,2,3,…,m )

bi = banyaknya fasilitas i yang tersedia untuk dialokasikan

ke setiap unit kegiatan i, ( i=1,2,3,…,n )

Z = nilai yang dioptimalkan (maksimumkan)

Cj = kenaikan nilai Z bila ada pertambahan satu satuan kegiatan (xj)

6


Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :

Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.


Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.

Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.

Kolom kunci (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris kunci(baris kerja).


Baris kunci (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.

Elemen kunci (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris kunci. Elemen kunci akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.


Model Umum Metode Simpleks.

1. Kasus Maksimisasi.

Fungsi Tujuan : Maksimumkan

Z – C1X1-C2X2- . . . . . –CnXn-0S1-0S2-. . .-0Sn = NK

Fungsi Pembatas :

a11X11+a12X12+. . . .+a1nXn+ S1+0S2+. . .+0Sn = b1

a21X21+a22X22+. . . .+a2nXn+ 0S1+1S2+. . .+0Sn = b2

……. …….. ……. ….. ….. …. …..= …

am1Xm1+am2Xm2+. . . .+amnXn+ S1+0S2+. . .+1Sn = bm

Var. Kegiatan Slack Var


Tabel Simpleks :

Var.

DasarX1 X2 . . . . Xn S1 S2 . . . . Sn NK

Z -C1 -C2 . . . . -Cn 0 0 0 0 0

S1 a11 a12 . . . a1n 1 0 0 0 b1

S2 a21 a22 . . . a2n 0 1 0 0 b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sn am1 am2 . . . amn 0 0 0 1 bm


2. Kasus Minimisasi

Fungsi Tujuan : Minimumkan

Z – C1X1-C2X2- . . . . . –CnXn-0S1-0S2-. . .-0Sn = NK

Fungsi Pembatas :

a11X11+a12X12+. . . .+a1nXn - S1 -0S2-. . . - 0Sn = b1

a21X21+a22X22+. . . .+a2nXn - 0S1-1S2 -. . . - 0Sn = b2

……. …….. ……. ….. ….. …. …..= …

am1Xm1+am2Xm2+. . . .+amnXn- S1- 0S2 -. . . -1Sn = bm

var.kegiatan Surplus var.


Tabel Simpleks :

Var.

DasarX1 X2 . . . . Xn S1 S2 . . . . Sn NK

Z -C1 -C2 . . . . -Cn 0 0 0 0 0

S1 a11 a12 . . . a1n -1 0 0 0 b1

S2 a21 a22 . . . a2n 0 -1 0 0 b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sn am1 am2 . . . amn 0 0 0 -1 bm


LINEAR PROGRAMMING

METODE SIMPLEKS

Langkah-langkah metode simpleks

Langkah 1:

Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan

Fungsi tujuan

Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z - 3X1 - 5X2 = 0.

Fungsi batasan (diubah menjadi kesamaan & di + slack variabel)

(1) 2X1 8 menjadi 2X1 + X3 = 8

(2) 3X2 15 menjadi 3X2 + X4 = 15

(3) 6X1 + 5X2 30 menjadi 6X1 + 5X2 + X5 = 30

Slack variabel adalah variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran

atau kapasitas yang merupakan batasan


LINEAR PROGRAMMING

METODE SIMPLEKS

Fungsi tujuan : Maksimumkan Z - 3X1 - 5X2 = 0

Fungsi batasan

(1) 2X1 + X3 = 8

(2) 3X2 + X4 = 15

(3) 6X1 + 5X2 + X5 = 30


Langkah 2:

Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel

Beberapa Istilah dlm Metode Simplek

NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama

dengan ( = ). Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar 15, dan

batasan 3 sebesar 30.

Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi

kanan dari persamaan. Pada persamaan 2X1 + X3 = 8, kalau belum

ada kegiatan apa-apa, berarti nilai X1 = 0, dan semua kapasitas masih

menganggur, maka pengangguran ada 8 satuan, atau nilai X3 = 8.

Pada tabel tersebut nilai variabel dasar (X3, X4, X5) pada fungsi tujuan

pada tabel permulaan ini harus 0, dan nilainya pada batasan-batasan

bertanda positif


1. Tabel simpleks yang pertama

Variabel

DasarZ X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8

X4 0 0 3 0 1 0 15

X5 0 6 5 0 0 1 30

Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi Z - 3X1 - 5X2 = 0.

(1) 2X1 8 menjadi 2X1 + X3 = 8

(2) 3X2 15 menjadi 3X2 + X4 = 15

(3) 6X1 + 5X2 30 menjadi 6X1 + 5X2 + X5 = 30


Langkah 3: Memilih kolom kunci

Kolom kunci adalah kolom yang merupakan

dasar untuk mengubah tabel simplek. Pilihlah

kolom yang mempunyai nilai pada garis

fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan

angka terbesar. Dalam hal ini kolom X2

dengan nilai pada baris persamaan tujuan –5.

Berilah tanda segi empat pada kolom X2,

seperti tabel berikut


Variabel


Keterangan

(Indeks)

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8

X4 0 0 3 0 1 0 15

X5 0 6 5 0 0 1 30

2 Tabel simpleks: pemilihan kolom kunci pada tabel pertama

Jika suatu tabel sudah tidak memiliki nilai negatif pada baris fungsi tujuan, berarti

tabel itu tidak bisa dioptimalkan lagi (sudah optimal).


Langkah 4: Memilih baris kunci

Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simplek, dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris dengan membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.

Indeks = (Nilai Kolom NK) / (Nilai kolom kunci)Untuk baris batasan 1 besarnya indeks = 8/0 = , baris batasan 2 = 15/3 = 5, dan baris batasan 3 = 30/5 = 6. Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil. Dalam hal ini batasan ke-2 yang terpilih sebagai baris kunci. Beri tanda segi empat pada baris kunci. Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga masuk dalam baris kunci disebut angka kunci

Langkah 5: Mengubah nilai-nilai baris kunci

Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci,

seperti tabel 3. bagian bawah (0/3 = 0; 3/3 = 1; 0/3 = 0; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0;

15/3 = 5). Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan variabel yang

terdapat di bagian atas kolom kunci (X2).


3 Tabel simpleks: Cara mengubah nilai baris kunci

Variabel


Keteranga

n (Indeks)

Z 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8

X4 0 0 3 0 1 0 15

X5 0 6 5 0 0 1 30

Z

X3

X2

X5

0/3 0/3 3/3 0/3 1/3 0/3 15/3

8/0 = ∞

15/3 = 5

30/5 = 6

0 0 1 0 01/3 15/3


Langkah 6: Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci

Rumus :

Baris baru = baris lama – (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci

[-3 -5 0 0 0, 0 ]

(-5) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )

Nilai baru = [-3 0 0 5/3 0, 25]

Baris pertama (Z)

Baris ke-2 (batasan 1)

[2 0 1 0 0, 8 ]

(0) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )

Nilai baru = [2 0 1 0 0, 8]

6s-23 LP Metode SimpleksBaris ke-4 (batasan 3)

[ 6 5 0 0 1, 30 ]

(5) [ 0 1 0 1/3 0, 5 ] ( - )

Nilai baru = [ 6 0 0 -5/3 1, 5 ]

Variabel


Z 1 -3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8

X4 0 0 3 0 1 0 15

X5 0 6 5 0 0 1 30

Z 1 -3 0 0 5/3 0 25

X3 0 2 0 1 0 0 8

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

X5 0 6 0 0 -5/3 1 5

Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru


VariabelDasar

Z X1 X2 X3 X4 X5 NKKeterangan

(Indeks)

Z 1 -3 0 0 5/3 0 25

X3 0 2 0 1 0 0 8

X4 0 0 1 0 1/3 0 5

X5 0 6 0 0 -5/3 1 5

Z 1

X3 0

X2 0

X1 0 6/6 0 0 -5/18 1/6 5/6

Langkah 7: Melanjutkan perbaikan

Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah ke-6

untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan

baru berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai

negatif

6/6 0/6 0/6 (-5/3)/6 1/6 5/6

= 8/2 = 4

= 5/6 (minimum)


Nilai baru

Baris ke-1

[-3 0 0 5/3 0, 25 ]

(-3) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )

Nilai baru = [ 0 0 0 5/6 ½, 271/2]

[ 2 0 1 0 0, 8 ]

(2) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )

Nilai baru = 0 0 1 5/9 -1/3, 61/3]

Baris ke-2 (batasan 1)

Baris ke-3 tidak berubah karena nilai pada kolom kunci = 0

[ 0 1 0 1/3 0, 5 ]

(0) [ 1 0 0 -5/18 1/6, 5/6] ( - )

Nilai baru = 0 1 0 1/3 0, 5]


Tabel simpleks final hasil perubahan

Variabel


Z 1 0 0 0 5/6 ½ 271/2

X3 0 0 0 1 5/9 -1/3 61/3

X2 0 0 1 0 1/3 0 5

X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6

Baris pertama (Z) tidak ada lagi yang bernilai negatif. Sehingga tabel tidak

dapat dioptimalkan lagi dan tabel tersebut merupakan hasil optimal

Dari tabel final didapat

X1 = 5/6

X2 = 5

Zmaksimum = 271/2

Documents

LINEAR PROGRAMMING DENGAN METODE SIMPLEKS ...dewi_putrie.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/70887/...Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel Beberapa Istilah dlm Metode Simplek