Metode Numerik - Solusi Persamaan by Iterasi

  • View
    222

  • Download
    8

Embed Size (px)

Transcript

  • (MenentukanAkarFungsi,f(x)=0)Ol hOleh

    DianYayan Sukma,ST.,MT.JTEFTUR

    20112011

  • y Menentukan akar persamaan dengan garis y xy Menentukan akar persamaan dengan garis y=x.y Akar ditentukan pada saat persamaan f(x)=0y Ubah persamaan di atas secara aljabar menjadi bentuk:y Ubah persamaan di atas secara aljabar menjadi bentuk:x=g(x)

    y Persamaan tersebut membentuk dua persamaan garis:y=xp g ydan y=g(x)

    y Iterasi bergerak diantara dua garis tersebut menuju suatutitik solusi angkon ergentitik solusi yangkonvergen

    y Solusi konvergen merupakan akar suatu persamaan f(x)=0berada pada titik potong kedua garis tersebut.berada pada titik potong kedua garis tersebut.

    y Solusi divergen akan menjauh dari titik akar persamaanf(x)=0.

  • y = x m=1g(x) m>1 yg(x), m>1

  • y = x m=1y = x m=1

    g(x), m>-1

  • y = x m=1m>1

    m-1

    m

  • K t d it ititikt t dit t k y Konvergennyametodaiterasititiktetapditentukanolehketepatanpemilihanfungsig(x).M t d i ik jik di i i y Metodainikonvergenjikagradiengarissinggungfungsig(x),(mg(x))beradapada:1
  • It ititikt t di l id b ik il iy Iterasititiktetapdimulaidenganmemberikannilaitaksiran(akar)awal,x0.D t f i il i k f i ( ) y Dengantransformasinilaix0 kefungsig(x0)yangsesuaidiperolehnilaixpadaiterasipertama,x1.P it ititikt t i idit li d l b t ky Prosesiterasititiktetapiniditulisdalambentukpersamaan:xn+1=g(xn).P i i dil k k idi k k y Prosesiterasiterusdilakukansampaiditemukanakarpersamaandarif(xn)=0,ataunilai|xn+1xn|
  • Start

    Nilai awal,x0

    Tentukan g(x )

    Iterasi=1

    Tentukan g(xn)

    xn+1=g(xn)Iterasi=Iterasi+1

    f(xn+1)=0||xn+1 xn|

  • y Tentukanakarpersamaandari,p ,f(x)=x33x+1

    menggunakanmetodaiterasititiktetap?menggunakanmetodaiterasititiktetap?

  • G fik f if( ) 3y Grafikpersamaanfungsif(x)=x33x+1:

    15

    20

    10

    15

    0

    5

    -10

    -5 r

    -15

    -3 -2 -1 0 1 2 3-20

  • P ilih F i ( ) (K [ ] )y PemilihanFungsig(x),(Kovergen:1
  • P t d il i l E 5y Penerapanmetoda:nilaiawal,x0=1,5;E=105n x(n) x(n+1) E(n)

    0 1,500000000000000 1,555555555555550 0,055555555555556

    1 1,555555555555550 1,515306122448980 0,040249433106576

    2 1 515306122448980 1 544286864152180 0 0289807417032042 1,515306122448980 1,544286864152180 0,028980741703204

    3 1,544286864152180 1,523325730876890 0,020961133275294

    4 1,523325730876890 1,538437600112360 0,015111869235471

    5 1,538437600112360 1,527517193884530 0,010920406227822

    6 1,527517193884530 1,535395407597430 0,007878213712892

    7 1,535395407597430 1,529704961431550 0,005690446165874

    27 1 532093772591140 1 532085358621060 0 00000841397007827 1,532093772591140 1,532085358621060 0,000008413970078

  • J l hIt i y JumlahIterasi:27y Nilaiakarfungsi:1,532085358621060y Error:0,000008413970078

  • M t k k d b t i y Menentukanakarpersamaandenganbantuangarissinggungkurva.

  • P i i ky Persamaangarissinggungkurva:( ) ( )101

    xxxfy

    xxxfy =

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( );0;. 1'10

    101

    10

    101

    101

    xfxxxfyymanadixx

    xxxfyxfy

    xxxx

    ==

    +=

    ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ).;..

    .0

    1'

    11'

    11'

    11'

    1

    1010

    xfdengandibagixfxfxxfxxxxfxf

    =+=

    ( )( ) ;1'

    11 xf

    xfxx =K il i k il i d it i b ik t k

    ( )nxfxx =Karena nilai x merupakan nilai pada iterasi berikutnya, maka

    ( )nnn xfxx '1 =+

  • y ProsesmetodaNe tondimulaidenganmemberikannilaiy ProsesmetodaNewtondimulaidenganmemberikannilaiawal,x0 yangberadadekatdengannilaiakarnya.

    y Pastikankurvafungsimemilikikecendrunganmemotongy Pastikankurvafungsimemilikikecendrunganmemotongsumbuxdengancaramengamatiturunanpertamafungsitidaksamadengannol.Jikaturunanpertamasamadengang J p gnolmakametodagagalmenentukannilaiakar.JikasebaliknyagunakanpersamaaniterasiNewtonuntuk

    k il i ki ib ikmenentukannilaixuntukiterasiberikutnya.y Periksaapakahnilaifungsipadanilaixtsbsamadengan

    l t k ild i l t dit t knolataukecildarigalatyangditetapkan.y Jikabenarmakatetapkannilaiakarsamadengannilaixterakhir jikatidakterpenuhilanjutkaniterasiberikutnyaterakhir,jikatidakterpenuhilanjutkaniterasiberikutnya.

  • Start

    Nilai awal:x0,E

    Tentukan ,f(xn)

    Iterasi=1

    f (xn)=0 yaf (xn)

    xn+1=xnf(xn)/f (xn)Iterasi=Iterasi+1

    ?

    tidak

    f(xn+1)=0||xn+1 xn|

  • y Tentukanakarpersamaandari,f(x)=x33x+1

    menggunakanmetodaNewtondengannilaiawal,gg g ,x0=1,5?

  • P t d il i l E 5y Penerapanmetoda:nilaiawal,x0=1,5;E=105:n x(n) x(n+1) E(n)

    0 1,500000000000000 1,533333333333330 0,033333333333333

    1 1,533333333333330 1,532090643274850 0,0012426900584800

    y Jumlahitersi:2

    2 1,532090643274850 1,532088886241460 0,0000017570333870

    Jy Nilaiakarfungsi:1,5320888886241460y Error:0 000001757033387Error:0,000001757033387

  • M t k k d b t i y Menentukanakarpersamaandenganbantuangarisyangmemotongduatitikkurva.

  • P t ti i i l l i titiky Persmaanmatematisgarissinggungmelalui2titikpadakurva: ( ) ( ) ( )122 xfxfxfy =

    ( ) ( ) ( ) ( ) ;0;. 212

    122

    122

    ymanadixxxx

    xfxfxfy

    xxxx

    =+=

    ( ) ( ) ( ) ( ).0 212

    122

    12

    xxxx

    xfxfxf

    xx

    +=

    ( ) ( ) ( ) ;. 1212

    22 xfxfxxxfxx

    =K il i k il i d it i b ik t kKarena nilai x merupakan nilai pada iterasi berikutnya, maka

    ( ) ( ) ( )11 . += nnnnn ff

    xxxfxx ( ) ( ) ( )11 + nnnnn xfxff

  • Start

    Nilai awal,x0,x1,x2,E

    Tentukan f (x )

    Iterasi=1

    f (xn)=0 yaTentukan ,f (xn)

    xn+1=xnf(xn)(xnxn1)/[f(x )f (x )]Iterasi=Iterasi+1

    ?

    tidak

    [f(xn) f (xn1)]

    f(xn+1)=0||xn+1 xn|

  • y Tentukanakarpersamaandari y Tentukanakarpersamaandari,f(x)=x33x+1

    menggunakanmetodaSecantdengannilaiawal x =1 5?menggunakanmetodaSecantdengannilaiawal,x0=1,5?

  • P t d il i l E 5y Penerapanmetoda:nilaiawal,x0=1,4;x1=1,5;E=105:n x(n1) x(n) x(n+1) E(n)

    1 1,400000000000000 1,500000000000000 1,537764350453170 0,037764350453172

    2 1,500000000000000 1,537764350453170 1,531876649316410 0,0058877011367570

    3 1 537764350453170 1 531876649316410 1 532087523331610 0 00021087401519503 1,537764350453170 1,531876649316410 1,532087523331610 0,0002108740151950

    4 1,531876649316410 1,532087523.331610 1,532088886566950 0,000001363235343

    y Jumlahiterasi:4y Nilaiakarfungsi:1 532088886566950y Nilaiakarfungsi:1,532088886566950y Error:0,000001363235343

  • M t k k d il it hd iy Menentukanakarpersamaandengannilaitengahdariduanilaiawalyangmengurungakarpersamaan.

  • P t ti il it h [ ]y Persamaanmatematisnilaitengah:[xa:r:xb]

    ::

    fungsipersamaanakarmengurungyangawalNilairfungsipersamaanAkar

    ::

    :

    b

    a

    atasawalnilaixbawahawalnilaix

    fungsipersamaanakarmengurungyangawalNilai

    :

    b

    tengahNilai.

    2ba xxm

    g+=

    :errorNilai

    2ab xxE =

  • Start

    Nilai awal,a0,b0 ,E

    Tentukan ,

    Iterasi=1Iterasi=Iterasi+1

    Tentukan ,mn=(an+bn)/2en=(bnan)/2

    an+1=mnbn+1=bn

    an+1=anbn+1=mn

    > 0

    en 0

    r=xn+1

    ya= 0

    End

  • y Tentukanakarpersamaandari,f(x)=x33x+1

    menggunakanmetodaBagiDuadengannilaiawal,gg g ga=1,5;b=2?

  • P t d il i l b E 5y Penerapanmetoda:nilaiawal,a=1,5;b=2,0;E=105:n a(n) b(n) m(n) E(n)

    0 1,500000000000000 2,000000000000000 1,750000000000000 0,250000000000000

    1 1,500000000000000 1,750000000000000 1,625000000000000 0,125000000000000

    2 1,500000000000000 1,625000000000000 1,562500000000000 0,062500000000000

    3 1,500000000000000 1,562500000000000 1,531250000000000 0,031250000000000

    4 1 531250000000000 1 562500000000000 1 546875000000000 0 015625000000000 4 1,531250000000000 1,562500000000000 1,546875000000000 0,015625000000000

    5 1,531250000000000 1,546875000000000 1,539062500000000 0,007812500000000

    6 1,531250000000000 1,539062500000000 1,535156250000000 0,003906250000000

    7 1,531250000000000 1,535156250000000 1,533203125000000 0,001953125000000

    15 1,532073974609370 1,532089233398430 1,532081604003900 0,000007629394531

  • y Jumlahiterasi y Jumlahiterasi:15y Nilaiakarfungsi:1,532081604003900E 6y Error:0,000007629394531

  • Metoda Iterasi Nilai akar fungsi Jumlah Iterasi Errorg J

    Newton 1,532088886241460 2 0,000001757033387

    Secant 1,532088886566950 4 0,000001363235343

    B gi D 1 532081604003900 15 0 00000762939453 Bagi Dua 1,532081604003900 15 0 ,00000762939453

    Titik Tetap 1,532085358621060 27 0,000008413970078

  • y Memberikan nilai a al angtepat (dekat dengan nilai akary Memberikan nilai awal yangtepat (dekat dengan nilai akarfungsi)dapat mempercepat proses iterasi.

    y Metoda Newtonsangat ampuh dalam mencarikan solusiy Metoda Newtonsangat ampuh dalam mencarikan solusipersamaan dengan iterasi,karena memiliki konvergensitasyangcepat.y g p

    y Metoda titik tetap sangat peka terhadap pemberian nilaiawal dan pemilihan fungsi g(x)karena denganmemberikan nilai awal dan fungsi g(x)yangtidak tepatmenyebabkan iterasi menjadi divergen.